mŰveletek arÁnyossÁg, szÁzalÉkszÁmÍtÁs

5. modul: MVELETEK ARNYOSSG, SZZALKSZMTS Tanri tmutat 7

I. Arny, arnyossg

Az arny s az arnyossg mindennapi letnk s trtnelmnk rsze. Termszeti torvnyek,

gazdasgi szmtsok, pletek s mvszeti alkotsok kompozciinak alapjt kpezi. A

megfelel arny szerint kszlt alkotsokra azt mondjuk: harmonikus. Az arnyossgot az

antik kultrkban is a szpsg egyik sszetevjeknt tartottk szmon.

Az arny alapvet fogalom a matematikban. Pldul vezredeken keresztl llt az rdeklds

kzppontjban, s ma is foglalkoznak a kr kerlett s tmrjt sszekapcsol arny-

szmmal, a - vel.

Az isteni arny (olvasmny)

Az aranymetszs (divina proportione) arnyt mindig az egyik legtkletesebb arnynak tar-

tottk. Aranymetszsi arnyt akkor kapunk, ha egy szakaszt gy osztunk kett, hogy a szakasz

teljes hossza gy arnylik a nagyobb rsz hosszhoz, mint a nagyobb rsz hossza a kisebbhez.

xax

xa

=

Kiszmthat, hogy ekkor a nagyobb szakasz hossza 0,618-szorosa , a kisebb rsz pedig

0,382-szerese a teljes szakasz hossznak.( Ezek kzelt rtketek, ugyanis az aranymetszs

arnya irracionlis szm).

Az bra jellseivel: 618,0ax s 382,0

axa .

Pldul az aranymetszs szablyait kvetik a szablyos tszgben az

oldalak s az tlk: az oldal (x) az tl (a) hosszabbik aranymetszete

Mdszertani megjegyzs: Javasoljuk kutatsi projekt indtst az

aranymetszs tmakrvel kapcsolatban. A cl az, hogy a dikok ta-

lljanak j kpeket, s mrssel mutassk be azt a trsaiknak, hogy valban talltak az

8 MATEMATIKA A 9. VFOLYAM Tanri tmutat

aranymetszs szablyainak val megfelelst a kpeken. rdemes bemutatt krni az ssze-

gyjttt anyagokrl.

me nhny plda, hogy az aranymetszst milyen terleteken tallhatjuk meg:

a termszetben egyes csigafajok hznak kialakulsban; a szrt levllls nvnyek

(pl. Fikusz) levelei szmnak s elhelyezkedsnek szablyaiban; a napraforgmagok s

a tobozpikkelyek elhelyezkedst meghatroz spirl kapcsn; az emberi test aranyk-

zppontja a kldk, az arc a szemldkvonal. (Michelangelo Dvid szobrn az alakon s

a fejen szintn megtallhatk az aranymetszs arnyai);

az ptszetben megjelenik a piramisoknl (az alap felnek s az oldallapok magassg-

nak arnya), az antik pletekben (ez nem is csoda, az aranymetszst isteni eredetnek

tartottk), oszlopok arnyaiban, a rmai Szent Pter-bazilikban tbb helyen fellehet;

a festszetben s a szobrszatban sok alkots arnyaiban (pldul Raffaello Santi fest-

mnyein): tjkpeken, tmegjeleneteken, csendleteken nyugalmat s harmnit tkrz;

megtallhat Szent Istvn kirlyunk koronjn s pecstjn.

a zenben sok npdal alapjt ad tfok (pentaton) skla hangkzeiben az aranymetszsi

szablyt kvet, n. Fibonacci-szmsorozat jelenik meg, de sok zenei m (pldul Ko-

dly Zoltn, Bartk Bla mveiben) kompozcijban kiemelt

szerepet kap (cscspontot emel ki, eszmei szakaszokra bont);

az irodalomban versszakok, drmk szerkezeti arnyaiban;

Szent Istvn kirlyunk pecstjben is megtallhat.

Hmori Mikls: Arnyok s talnyok (Magyar Vilg Kiad, 2002) cm knyvben sok rde-

kes dolgot tallsz az arnyokkal kapcsolatban.

Mdszertani megjegyzs: Internetes informcik:

http://www.sulinet.hu/eletmod/hogyantovabb/tovabbtanulas/elokeszito/muveszettortenet/2het/

egyiptom.html

http://www.sulinet.hu/tovabbtan/felveteli/ttkuj/29het/muvtori/muvtori29.html

A Fibonacci-sorozatrl mg bizonyra nem hallottak a tanulk, de informcikat tallhatnak a

neten:

http://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/1998/fibonacci/megoldas.htm


http://www.intermedia.c3.hu/~zicsb/napra.html

http://www.sulinet.hu/ematek/html/fibonacci_sorozat.html

A fenti tmrl adhat ki kiseladsokat (internetes vagy szakirodalmi kutats).Az aranymet-

szet arnyait meg lehet szerkeszteni Euklides programmal is (http://www.jgytf.u-

szeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/2001/arany/04_sikgeometria.htm)

Az aranymetszsrl szl honlapok:

Sulinet honlapjn: http://www.sulinet.hu/tart/cikk/ag/0/24198/1

http://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/2001/arany/

http://www.sulinet.hu/ematek/html/aranymetszes.html

http://www.herner.hu/daniel/aranymetszes.html

http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/tv2001/tv0110/bagi.html

Ismtl feladatok

Mdszertani megjegyzs:

Az arnyok kiszmtsa eltt egy olyan tesztet ratunk, amely felmri, hogy a szksges el-

felttelekkel rendelkeznek-e a tanulk. Ezt nem ajnlatos osztlyozni, viszont a j eredmnyt

elrt dikokat clszer jutalmazni. Akik valamilyen rszszmtst (zrjel felbonts, egysze-

rsts, szzalkszmts, szmols trtekkel) tbbszr is elhibznak, azoknak jelljn ki a

tanr hinyptl feladatokat, majd diagnosztizlja jra a kvetkez rkon ket. A felmrs

10 percnl ne tartson tovbb.

A diagnosztika a kvetkez terletekrl szl: trtekkel val szmols, egyszer trtes egyen-

letek, egyszer szzalkos pldk. Javaslom, hogy vlasszon ki 1-1 feladatot az albbi fel-

adatcsoportokbl. gy kell sszevlogatni a feladatokat, hogy az eredmnyekbl klnbsget

tudjunk tenni egy-egy tudselem elszmolsa, illetve annak rosszul bergzlse kztt (pl-

dul mveleti sorrend, egyszersts, sszevons, szzalkszmts).

Javasolt feladatok:

A csoport B csoport

1. Vgezd el a kvetkez mveleteket:


2103

57

51

47:

312 +

2:54

23

317:

43

612 +

2. Elkltttk pnznk 35%-t, 105 Ft-ot.

Mennyi pnznk volt?

Pnznknek megmaradt a 15%-a, ami

450 Ft. Mennyi pnznk volt?

3. Oldd meg a kvetkez egyenletet:

42

42=

x 43

93=

x

1. Szmold ki fejben a kvetkez kifejezsek rtkt!

a) 31

21

+ ; b) 57

43

; c)

+

45

233 ; d)

103

575 ;

e)

+

65

32

43 ; f)*

51

47

312 ; g)

+94

31

65 ; h)

+75

143

741 ;

i) 31:

21 ; j)

312

47

; k) 167:

83 ; l)

113

942 ;

m) 261

35

+ ; n) 2103

57

; o) 322:

34

; p) 342:

94

+ .

Megolds: a) 65 ; b)

2013

; c) 418

433

= ; d) 215

211

= ; e) 811

89

= ; f) 60373

60217

= ;

g) 181 ; h)

149 ; i)

211

23

= ; j) 7; k) 76 ; l)

32 ; m) 2; n)

54 ; o) 0;

p) 951

914

= .

2. Oldd meg a kvetkez egyenleteket!

a) 762

=+x ; b) 8987

4=+

x ; c) 1052

=

x ; d) 1373

2=+

x ;

e) 26

3=

+x ; f) 42

42=

x ; g) 46

93=

x ; h) 42

211=

x ;

i) 32

121

=

x ; j) 5,0

105

3=

+x ; k) 52

42,0

=

x; l)

xx 29

312

=

;


m) 2,0

2310

=

+x ; n) 35,0

4122

=

x .

Megolds:

a) 2; b) 8; c) 30; d) 9; e) 9; f) 6; g) -5; h) 23 ; i) 9; j) 97; k) 4,5; l)

119 ; m) 20; n)

319 .

3. Vgezd el a kvetkez mveleteket!

Mdszertani megjegyzs: Ezek a mveleti sorrend gyakorlsra val feladatok.

a) 2 (x + 1) 2 ; b) 2 (x + 1 2); c) (2x + 1) 2; d) 3x + x (2x); e) (3 4x) 3x; f) 2 5 (2 + x); g) (4 + 4x) 4x; h) 2 (3 x); i) 2x + 3x (4x).

Megolds: a) 2x; b) 2x 2; c) 2x 1; d) 3x + 2x2; e) 9x 12x2; f) 8 5x;

g) 16x + 16x2; h) 6x; i) 2x + 12x2.

4. Vlaszd ki az albbiak kzl, hogy melyik mveletvgzs helyes, s melyik hibs!

a) 22

42=

xx ; 9 b) 42

42=

xx ; 8 c) 222

42=

xx ; 8

d) 24

22

242

=

xx ;9 e) 22

)2(2=

xx ;9 f) 923

96+=

+ xx ; 8

g) 323

96+=

+ xx ;9 h) 363

96+=

+ xx ; 8 j) )4(23

)4(6+=

+ xx ;9

k) 323

92+=

+ xx ;8 l) 332

392

+=+ xx ;9 m) 9

32

392

+=+ xx .8

Megolds: 9 helyes, 8 jelli a hibsakat.

5. rd le kpletekkel, s hozd a legegyszerbb alakra a kpleteket!

a) x-nek a 32 -ad rsze; b) y-nak a 15 %-a; c) x duplja s mg x-nek a 25 %-a;

d) a-bl a-nak a 10 %-a; e) x-bl x 20%-nak negyede.

Megolds: a) x32 ; b) y15,0 ; c) xxx 25,225,02 =+ ; d) aaa 9,01,0 = ;

e) xxxxx 95,905,0412,0 == .


6. Szmold ki fejben a kvetkezket!

a) 1200 Ft 4 %-a; b) 30 kg 5%-a; c) 24 liter 25%-a;

d) 12 f 33,

3 %-a; e) 400 Ft 75%-a; f) 400 Ft 125 %-a;

g) 300 mter 15 %-a; h) 5 torta negyed rsze; i) 20 knyv 250%-a.

Megolds:

a) 48Ft; b) 1,5 kg; c) 6 liter; d) 4 f; e) 300 Ft; f) 500 Ft;

g) 45 m; h) 1,25 torta; i) 50 knyv.

7. Szmold ki fejben a kvetkezket! Mennyi az a szm, aminek

a) 15 %-a 30; b) 150%-a 30; c) 33,3 %-a 12;

d) 16 %-a 32; e) 54 -d rsze 36; f)

23 -ed rsze 30.

Megolds: a) 200; b) 20; c) 36; d) 200; e) 45; f) 20.

8. Szmold ki fejben, hny szzalka

a) 7-nek a 70; b) 70-nek a 7; c) 15-nek a 35;

d) 50-nek a 20; e) 16-nak a 2; f) 1000-nek a 10.

Megolds: a) 1000; b) 10; c) 233,3; d) 40; e) 12,5; f) 1.


Klnsen fontos, hogy a fejszmolst gyakoroljk, mert ez a gyerekeket kzelebb viszi a

trtekkel val szmolshoz. Az egyszerbb trtes egyenletek megoldsakor sokszor a hibs

egyszersts okoz gondot, arra nagyon oda kell figyelni.

Az arny, mint kapcsolat


Az arnyossgnl elszr azt kell megrtetni, hogy kt mennyisg kztt valamilyen ssze-

fggs ll fenn. Javaslom, hogy a pedaggus vlasszon ki egy feladatot az itt tallhatk kzl

a tanulcsoport szintjnek megfelelen, brzoljk a grafikonokat, esetleg adjon fel belle

hzi feladatot. A feladatok az y x = lland, a ngyzetes s az exponencilis sszefggsekre

adnak pldkat.


9. Janinak s ccsnek, Pternek is sajt perselye van. Janinak 20 Eur, Pternek 14 Eur

gylt ssze. Mindennap kivesznek 2-2 Eurt. Jellemezd s brzold a vltozst, kszts

tblzatot s grafikont a megmarad pnzrl! Milyen sszefggs rhat fel a testvrek

megmarad pnzvel kapcsolatban?

Megolds:

Tblzat s grafikon, y x = 6, y = x + 6 sszefggs

jellemzi a vltozst. Ez az y x = lland sszefg-

gsre plda, amelyet gyakran kevernek a tanulk az egyenes arnyossg y / x = lland

sszefggsvel: amennyivel nvekszik az egyik mennyisg, annyival nvekszik a m-

sik is.

10. Biztosan prbltl mr a szvegszerkeszt programmal rajzolni. Az alaprtelmezs

szerint ksztett ngyzet oldalhossza 2,54 cm. Nagytskor az oldalhosszsg lpcs-

zetesen, 0,32 cm-enknt nvekszik. Kszts tblzatot s grafikont az oldalhosszsg

s a keletkez ngyzetek terletnek vltozsrl! llaptsd meg, hogy a kt mennyi-

sg kztt milyen sszefggs tallhat!

Megolds: tblzat s grafikon, az sszefggs: T = a2, ngyzetes sszefggs.

a [cm] 2,54 2,86 3,18

T [cm2] 6,45 8,18 10,11

11. A kerti tba 2 t szapora vzinvny ltettnk. Egy t ltal elfoglalt terlet 37 cm2. A

nvnyek ltal bentt terlet minden hnapban az elz havi terletnek 1,7-szeresre

nvekszik. Kszts tblzatot, s brzold a nvny ltal bentt terlet nagysgt az

id fggvnyben (az els 4 hnapban)! llapts meg sszefggst a kt mennyisg

kztt!

Megolds:

t [hnap] 1 2 3 4 5

bentt terlet [cm2] 74 125,8 213,86 363,56 618,06*

Az sszefggs 74 1,7 t, exponencilis sszefggsre plda.

x [Eur] 14 12 10

y [Eur] 20 18 16


12. Milyen tanulsgokat vonhatunk le a Fld n-

pessgnek nvekedsbl?

Megolds: Azt, hogy a nvekeds kapcsolatban ll

az idvel. Hvjuk fel a figyelmet arra, hogy

NEM EGYNESEN ARNYOS.

13. Egy szmtgpes vrus gy terjed, hogy tlagban napi 4 gprl tud tovbb fertzni.

brzold a vrusok szmt az id fggvnyben! Becsld meg, hogy 10 napon bell

hny fertztt gpet tallnnk, ha nem irtannk idkzben a vrust!

Megolds: 10 napon bell 410, vagyis 1048576 gp vlik fertztt.

14. A sakkjtk feltalljrl szl trtnet szerint a kirly nagyon megrlt a sakk feltal-

lsnak. Felajnlotta a feltallnak, hogy azt kvnhat jutalmul, amit csak akar. A felta-

ll azt krte, hogy a sakktbla els mezjre tegyenek egy bzaszemet, a msodikra

kettt, a harmadikra ngyet, a negyedikre nyolcat, s gy tovbb, minden mezre kt-

szer annyit, mint az elzre. A kirly nagyon megrlt, hogy ilyen olcsn megszta, de

aztn r kellett jnnie, hogy mgsem j az tlet.

brzold mezszm-gabonaszm grafikonon az arnyossgot, s becsld meg, hogy a

20. mezn mennyi bzaszem lesz, s annak mennyi a trfogata!

Megolds: A 20. mezn 219, vagyis 524288 bzaszem lesz Egy bzaszem trfogatt csak

2 mm3-nek vve ez kb. 1,05 dm2

Az ilyen jelleg vltozsokat nevezzk exponencilis vltozsoknak. Ebben az esetben az

rtkek hatvnyozottan nvekednek, mindig ugyanannyi SZOROSRA nnek. Ezt a jelens-

get exponencilis robbansnak hvjuk, lnyege a nagyon gyors mrtk nvekeds. A ter-

mszetben exponencilis robbanst tallunk pldul a radioaktv anyagok lncreakcija kap-

csn.


Az arny rtke brmilyen szm lehet, pldul irracionlis szm.

Az arny rtke brmilyen szm, pldul irracionlis szm is lehet.

Tvolsgok irracionlis arnyra plda a ngyzet tlja s a szablyos hromszg magassga.

Levezetskhz a Pitagorasz-ttelt hasznljuk:

Mdszertani megjegyzs:A kvetkez feladat alkalmas arra, hogy eloszlassa a tvhiteket az

arnyossggal szemben. Mindenkppen javasolt elvgezni! Szksg van mrszalagra, a tanu-

lk dolgozhatnak a munkatanknyvbe.

22

2 22222

==

=

+=

adad

adaad

Az arny mindig kt vagy tbb mennyisg viszonyt jelenti. Mrskor is egy

maghatrozott egysghez arnytunk (viszonytunk).

Kt szm arnyt felrhatjuk ba : jellssel vagy trttel: ba

. Ez egyben meg-

adja az arny rtkt is.

Az arnyban szerepl tnyezk nem cserlhetk fel: ab

ba

.

23

23

43

222

222

==

=

=

amam

am

aam


Feladatok

15. Vlassztok ki a legkisebb s a legnagyobb lb trsatokat, s mrjtek le, hogy meny-

nyi utat tesznek meg 5, 10, 15 s 20 lpssel! Ksztsetek tblzatot, s brzoljtok

egy grafikonon a kt adatsort.

lpsek 5 10 15 20

megtett t [cm] A

megtett t [cm] B

Figyeljtek meg, hogy mennyi a klnbsg a megtett tban 5, 20, stb. lps megttele

utn. Vlaszoljatok a kvetkez krdsekre:

a) Igaz-e, hogy a kt t kztti klnbsg minden mrsnl lland?

b) Igaz-e, hogy amennyivel vltozik a lpsek szma, annyival vltozik a megtett tvol-

sg?

c) Igaz-e, hogy a kt t kztti klnbsg minden mrsnl ugyanannyival nvekszik?

d) Tallunk-e olyan kapcsolatot a mennyisgek kztt, amelyik minden mrsnl meg-

egyezik?

Megolds: a) nem; b) nem; c) igen; d) a megtett t s a lpsszm hnyadosa.


Hzi feladatknt feladhat a 16. feladat (tbb csoportra bontva, csoportonknt 6-8 szmts).

Mivel a szmolsra ott ll az rn megoldott 15. feladat, a megolds nem jelenthet problmt.


16. Egy megye lakossgnak kor szerinti eloszlst mutatja a korfa s a tblzat. A megye-

szkhely koreloszlsa is hasonl kpet mutat. Szmtsd ki, hogy a 118ezer fs megye-

szkhelyen milyen a koreloszls!

Pldul 09 vesek szmt arnnyal szmtjuk. A megyben az sszlakossghoz kpesti ar-

nyuk a frfiaknl 0555,06,4214,23

= . Ezzel kell megszorozni az sszlakossgot, gy kijn

55,61180555,0 = , azaz 6,55 ezer f. Ugyangy szmtva a 09 ves nk szma:

16,61186,421

22= , azaz 6,16 ezer f.

Megolds:

Kor Frfi N

0-9 23,4 22

10 - 19 27 26,5

20 - 29 33,6 31,5

30 - 39 26 26

40 - 49 31 32

50 - 59 25 29

60 - 69 17,5 25

70 - 79 12,7 20,4

80 - x 5,8 7,2

ssz. 202 219,6

ssz. 421,6

Kor 09 1019 2029 3039 4049 5059 6069 7079 80x

Frfi (ezer f)

N (ezer f)

Kor 0 9 10 19 20 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 x

Frfi 6550 7560 9400 7280 8680 6700 4900 3560 1620

N 6160 7420 8820 7280 8960 8120 6700 5710 2020


17. Melyik arny nagyobb? Hatrozd meg, s rendezd az arnyokat nvekv sorba!

a) A krokodil fogaink a szma (74) s az ember fogai szmnak (32) arnya.

b) A tornd legnagyobb sebessgnek (150 km/h) s a szemlyautk lakott terleten be-

lli legnagyobb megengedett sebessgnek (50 km/h) arnya.

c) 50 kg krumpli s 28 kg krumpli tmegnek arnya.

d) 3130 mter s 2,3 km tvolsg arnya.

e) A kr kerletnek s tmrjnek arnya.

Megolds:

a) ;31,23274

= b) 350

150= ; c) 97,1

2850

= ; d) 36,123003130

= ;

e) 3,14; A sorrend: d, c, a, b, e.

Mdszertani megjegyzs

A csves s brigdos mintapldt egytt oldjuk meg, tanri irnytssal. Ezutn 5 olyan

feladatcsoport tallhat, amelyben ugyanolyan jelleg feladatok szerepelnek: egyszer ar-

nyos, geometriai, csves vagy brigdos, egyb. Ez lehetsget ad arra, hogy csoportmunkban

oldjk meg a feladatokat a tanulk. Pldul az A csoport az a) jel feladatokat oldja. Amit

nem tudnak befejezni, legyen hzi feladat az adott feladatcsoportbl. A 3. ra elejn az ellen-

rzst ugyanazon csoportokban vgezzk el a tanulkkal. A fennmarad idben oldjk meg a

tbbi feladatot. Mind kompetencit fejleszt, remek feladat.

Mintaplda1

Egy medencbe 2 csvn keresztl folyik be a vz. Az els csvn keresztl 6 ra alatt telik

meg teljesen a medence, a msikon 4 ra alatt. Mennyi id alatt telik meg a kezdetben res

medence, ha 1 rig mindkt csbl tltik, de utna csak a 2. csvn keresztl folyik be a vz?

Megolds:

Ezeknl a pldknl meg kell vizsglni az idegysg alatt beraml vzmennyisget. Az

1. csvn 1 ra alatt a tele medence 61 rsze, a msodikon az

41 rsze folyik bele, egytt

kinyitva a csapokat 125

41

61

=+ rsze.


2 ra alatt a medence 1210

1252 = rsze telik meg. x-xel jellve a fennmarad idt a to-

vbbiakban a medencbe x41 -ed rsze folyik bele, s meg is tlti:

141

41

612 =+

+ x . Az egyenlet jobb oldaln azrt ll 1, mert az egyenletben a teljes

medencetrfogathoz viszonytott arnyok szerepelnek. A tele medencben ez az arny:

1. Az egyenlet megoldsa: 32

=x ra, ami 40 perc.

A feladatban vgig arnyokkal szmoltunk, hiszen nem is volt informcink arrl, hogy mek-

kora a medence.

Mintaplda2

120 darab alkatrszt az egyik brigd 5 nap, a msik 4,5 nap alatt gyrt le egyedl. Mennyi id

alatt vgeznek, ha egytt dolgoznak?

Megolds:

Idegysg, vagyis 1 nap alatt az egyik 245

120= darabot, a msik 6,26

5,4120 &

= darabot

gyrt, ketten egytt 3

1526,50 =& darabot. A munka akkor kszl el, ha a 120-at legyrt-

jk, s ez 37,23

152:120 = nap alatt kszl el.

1 ra alatt megtelik

1. csap 61 rsz

2. csap 41 rsz

egytt 41

61

+ rsz


Feladatok

18. Vlaszd ki az egyenl arnyokat!

a) 32 ,

61 , 10 : 15,

64 , 20 : 30, 4 : 5,

49 , 8 : 12;

b) 5 : 9, 2 : 6, 1810 ,

218210 , 25 : 81,

1910 ;

480 kg burgonya volt a raktrban. Mennyi maradt, ha eladtk

c) 163 -odt;

Megolds: 390 kg.

d) els nap az 81 -t, msodik nap a

107 -t.

Megolds: 84 kg.

e) A habarcs hnyad rsze a homok, a vz illetve a msz, ha 14,5 m3 habarcshoz 3,5 m3

msz s 2 m3 vz kell?

Megolds: msz: 297 ; vz:

294 ; homok:

2918 .


19. a) llaptsd meg a trkp mretarnyt, ha Prizs s Prga tvolsga lgvonalban mr-

ve 1110 km! Mekkora tvolsg felel meg a valsgban a trkpen egy 2 cm-es t-

volsgnak?

b) llaptsd meg a trkp mretarnyt, ha Prizs s Prga tvolsga lgvonalban

mrve 1110 km! Mekkora a tvolsg Miln s Berlin kztt a valsgban, lgvo-

nalban?

c) A laksban a franciagy szlessge

140 cm. llaptsd meg a kicsiny-

ts lptkt (arnyt), s szmtsd

ki, mekkora a laks alapterlete!

d) Szmtsd ki, mekkora a frdszoba

alapterlete!

e) Szmtsd ki, mekkora az elszoba

s a nappali egyttes alapterlete!

20. a) 12 tag munkacsoport egy munkt 8

rs munkaidvel 16 nap alatt vgez el. Mennyi id alatt vgeznek ugyanezzel a

munkval, ha 16 fvel dolgoznak, naponta 8,5 rt? Megolds eltt becsld meg az

eredmnyt!

Megolds: 11,3 nap.

b) 2 tyk 2 nap alatt 2 tojst tojik. 6 tyk 6 nap alatt hny tojst? Megolds eltt be-

csld meg az eredmnyt!

Megolds: 18 tojst.

c) Egy munkacsoport egy munkt 6 nap alatt vgez el, egy msik munkacsoport

ugyanazt 4 nap alatt. Mennyi id alatt vgeznek egytt? Megolds eltt becsld

meg az eredmnyt!

Megolds: 2,4 nap.

d) Hrom brigd dolgozik ugyanazon a munkn. Az els 60 ra, a msodik 72 ra, a

harmadik 36 ra alatt vgez egyedl a munkval. 12 rig dolgoznak egytt, majd a


harmadik brigdot elhvjk mshova dolgozni. Mennyi id alatt vgez a kt meg-

maradt brigd a munkval? (Megolds eltt becsld meg az eredmnyt!)

Megolds: 9,82 ra.

e) A frdkdba kt csvn keresztl folyik be a vz (hideg, meleg), s egy lefolyn

keresztl rl ki. A hideg vizes csapon keresztl 10 perc alatt, a melegvizesen ke-

resztl 14 perc alatt telik meg a kd, a lefolyn keresztl 8 perc alatt rl ki. Meny-

nyi id alatt telik meg a kd, ha mindkt csap, s a lefoly is nyitva van. Szmtsd

ki, mennyi vizet pocskolnnk el ilyen kdtltsi mdszerrel!

Megolds:

21,5 perc. Egy frdkdat 300 literesre becslve az elfoly vzmennyisg a

21,5 perc alatti pocsklst szmtjuk ki. A lefolys sebessge 5,378

300= li-

ter/perc, vagyis a pocskls 21,5 37,5 =806 liter. Ez hidegvz s csatorna djjal

szmolva (400 Ft/m3) kb. 323 Ft.

21. a) Egy 36 fs osztly osztlytallkozt szervez egy tteremben. Az tlapon egyebek

mellett kt specialits: mtrai borzas prolt rizzsel s juhtrs sztrapacska. A jelen-

levk 2/3-a mtrai borzast, 5/9-e sztrapacskt, s 7 f egyb telt rendelt. Hnyan

rendeltek a mtrai borzast s sztrapacskt is?

Megolds:

24 f mtrai borzast, 20 f sztrapacskt rendelt. 36 7 = 29 f rendelt legalbb

az egyikbl. Venn-diagramon brzolva lthat, hogy 24 + 20 = 44 sszeads

esetn a metszet elemszmt ktszer adtuk hozz, vagyis 44 29 = 15 kivons

utn pp a metszet szmossgt kapjuk. Teht 15-en rendeltek mindkt telbl.

b) Ha 10 USA dollr 13 Eurt r, s 16 Eurrt adnak 25 svjci frankot, akkor hny

dollrt kell fizetnie 150 svjci frankrt egy amerikainak? Hny frankba, s hny

dollrba kerl 1 pr 45 Eurs cip?

Megolds: 73,8 USD; 70,3 CHF,34,6 USD.


c) Nagy-Britanniban s az angolszsz orszgokban rgebbi mrtkegysgekkel is m-

rik a tvolsgokat. 1 lb = 12 inch, s 1 lb = 30,48 cm. Milyen magas az az angol

riember centimterben kifejezve, akinek magassga 6 lb s 2 inch?

A) kb. 172 cm; B) kb. 178 cm; C) kb. 183 cm; D) kb. 188 cm.

Megolds: D.

d) A nvnyeket az optimlis nvekeds rdekben tpoldatokkal kezelik. Egy tpol-

dat hasznlati utastsban a kvetkezket olvassuk:

Fl liter tpoldat ksztshez 32 kupaknyi koncentrtumot hasznljon!

Mennyi koncentrtumot kell felhgtani, ha 2,5 liter tpoldatot akarunk kszteni?

A) 25 kupaknyit; B)

313 kupaknyit; C) 5 s fl kupaknyit; D)

320 kupaknyit.

Megolds: B.

e) Mennyi francia frankot rt 1000 svjci frank, ha

14 francia frankrt a nmetek 4 mrkt fizettek.

1 nmet mrkrt az olaszok 2920 lrt adtak.

10 000 lrrt a svjciak 9,1 svjci frankot fizettek.

Megolds: 1317.

22. a) A szakcsknyvek receptjeiben ltalban 4 szemlyre adjk meg a szksges anya-

gok mennyisgt. A lngos hozzvali: 1 kg liszt, kb. 1/2 l (1/2 kg) tej, 5 dkg lesz-

t, 1 pohr tejfl (30 dkg), s. (Elksztsnek mdja nem az, hogy sszekeverjk

az anyagokat, s a keletkez masszt kistjk. Ha lngost akarsz kszteni, nzz

utna a receptnek, pldul az interneten.). Mennyi a tejfl arnya a keverkben? Ha

35 szemlyre ksztnk lngost, mennyit szerezznk be az sszetevkbl?

Megolds:

A s nem szmt. Az ssztmeg 1,85 kg, amiben a tejfl arnya376 . 35 sze-

mly esetn 75,84

35= -szerest kell a megadott mennyisgeknek beszerezni,


vagyis 9 kg lisztet (s mg a nyjtshoz kb. 1 kg-ot), 5 liter tejet, 44 dkg lesz-

tt (a boltban 5 dkg-os kiszerelsben adjk, ezrt 9 csomaggal), 9 pohr tejflt.

b) Egy rajzolprogrammal maximum 1600-szorosra nagythatjuk a kpeket, hogy a

pixeleket (ngyzet alak kppontokat) akr egyenknt sznezhessk. A gyrt ada-

tai szerint a monitoron egy pixel mrete 0,28 mm. Milyen arnyban kell felnagyta-

ni a kpet, hogy egy pixelt 2 cm-es oldalhosszsg ngyzetnek lssunk?

Megolds: kb. 72-szeresre.

c) A fenti tblzatban a Nap s a Naprendszer bolyginak adatait lthatod. Hatrozd

meg a legnagyobb s a legkisebb mret bolyg tmegnek arnyt, valamint hogy

mekkora a Naptl val tvolsgnak arnya a Naptl legtvolabb, illetve legkze-

lebb elhelyezked bolyg Naptl mrt tvolsgnak.

Megolds:

A Jupiter a legnagyobb, a Plt a legkisebb, tmegeik arnya

522

27

1044,11032,1

109,1=

. A tvolsgok arnya 5912520/57910 = 102,11.

d) Hatrozd meg a bolygk tblzata alapjn, hogy melyik kt bolyg sugarnak ar-

nya 21,04 ?

Megolds: becslssel gyorsan megoldhat. A vlasz: Jupiter s Mars.

gitest Tvolsg a Nap-

tl (ezer km)

Sugr

(km)

Tmeg

(kg)

Nap 697000 1.991030 Fld 149600 6378 5.981024 Vnusz 108200 6052 4.871024 Jupiter 778000 71492 1.901027 Mars 227940 3398 6.421023 Merkr 57910 2439 3.301023

Szaturnusz 1429000 60268 5.691026 Urnusz 2870990 25559 8.691025 Neptunusz 4504300 24764 1.021026 Plt 5913520 1160 1.321022


e) A szvegszerkesztben a 12 pontos betnagysggal 33 sor fr a lapra (als s fels

margt nem szmtva), ha a sorkz 1,5. Hny sor fr el szimpla (1-es) s dupla (2-

es) sortvolsg esetn? Hny sor fr el msfeles illetve dupla sorkzzel, ha a bet-

nagysgot 18-ra vltoztatjuk?

Megolds: 49 sor, 24 sor (2

5,133 ), 22 sor

185,1125,133 , 16 sor

182125,133 .

23. A kperny s a filmvszon egyik jellemzje a kp szlessgnek s magassgnak

arnya. Kt szabvny terjedt el: 16/9-es s 4/3-as. Ha a TV egy 16/9-as formtum

filmet sugroz 4/3-as kpernyn, kt lehetsg kzl lehet vlasztani:

a) a kpmagassg teljesen betlti a kpernyt, de ekkor a kp kt szle lemarad a kp-

ernyrl:

b) A kp teljes egszben lthat, de ekkor a kperny aljn s tetejn egy-egy fekete

csk jelenik meg.

Add meg az els esetben elvesztett kp arnyt a lthat kphez viszonytva, illetve a

msodik esetben a kperny "haszontalan" rsznek arnyt a teljes kpernyhz vi-

szonytva.

Megolds:

Els esetben a fggleges szakaszok arnya 3, s 43=12 miatt a

kp 41

164

= rsze elvsz. Az elveszett arnya a lthathoz kpest

31

43:

41

= .

A msodik esetben a vzszintes szakaszok egyenlk, a j arny

16:4=4 lenne. Ekkor 9:4=2,25 lenne a fggleges oldal hossza, gy a

haszontalan rsz arnya az egszhez 41

375,0

325,23

==

. Teht ne-

gyed rsz vsz el.

24. Egy ptsz egy 280 mter magas plet 1,4 mteres modelljt tesztelte klnbz

szlerssgek mellett. Arra lett figyelmes, hogy a modell teteje valamelyest rezeg. A

modell tengelye a cscsnl 1 cm-t lengett ki a fggleges irnyhoz kpest. Ezek alap-

jn mennyi lenne a tesztnek megfelel idjrsi krlmnyek mellett a valdi plet

kilengse? rd le a szmtsaidat!


Megolds:

A lptk a magassgok arnya, gy a kilengs nagysga cm20014,1

280= . Ez tl sok. A

Mtrban az 50 m magas ssti kilt kilengse ers szlben a 120 cm-t is elrheti, de a

vilg legmagasabb tornya Toronto-ban tallhat, 553 m magas, s ers szlben is csak

8-15 cm-t leng ki az plet.


A kvetkez feladat pldi nehezebbek, de szksgesek a ksbbi geometria feladatok miatt:

felmerl bennk a szablyos hromszg magassga, a ngyzet tlja s a kocka testtlja.

25. Hatrozd meg a kvetkez tvolsgarnyokat:

a) szablyos hromszgben a magassg s oldal felnek arnya;

b) kocka testtljnak, s szomszdos lfelez pontjait sszekt szakasz hossznak

arnya;

c) kocka testtljnak s egy oldallapja tljnak az arnya;

d) az egyenlszr derkszg hromszg befogjnak s tfogjnak arnya;

e) a szably hatszgben a szemkzti oldalak tvolsgnak, s az oldalhossznak az ar-

nya.

Megolds: a) 3 ; b) 232 = 6 ; c)

23 ; d)

21 ; e) 3 .

26. Egy katonai helikopter Zalaegerszegrl Szolnokra repl, majd onnan Budapestre. l-

laptsd meg a trkp alapjn, hogy hny kilomter hossz a replt sszesen! Sajnos

a mretarny elveszett, de azt tudjuk, hogy Gyr s Budapest tvolsga 120 km.

Megolds: 373 km.


Mdszertani megjegyzs: A mrt tvolsg fgg a nagyts arnytl, ezrt nem adtunk meg

lptket, azt a tanulnak kell meghatroznia.

27. Amikor bevezettk az eurt, az eurpai orszgok llampolgrai 2002. februr 15-ig

tvlthattk a megszn nemzeti valutkat eurra. Hny eurt kapott az a magyar csa-

ld, amely 5500 nmet mrkt vltott t eurra. Akkor 1 nmet mrka 124,8 forintot s

1 eur 244,2 forintot rt.

A 5500:124,8:244,2=0,18; B 5500124,8244,2=167 618 880;

C 5500:124,8244,2=10762; D 5500124,8:244,2=2810,81.

Megolds: D.

28. Az osztly klfldre kszl. Az elz vi osztlykirndulsrl megmaradt belga s

holland valutt szeretnnk eurra vltani. Az interneten megkerestk ngy bank valu-

tatvltsi rfolyamt. Melyik bank tvltsi arnyai a legkedvezbbek szmra?

Megolds: A.

29. Egyes orszgokban a hmrskletet nem Celsiusban (C), hanem Fahren-

heitben (F) mrik. A Celsiusban s Fahrenheitben mrt hmrskletrt-

kek kztt a kvetkez sszefggs rhat fel:

95)32( = fc (c a Celsiusban, f a Fahrenheitben mrt hmrskletrtk)

a) Jelld be az albbi hmrn a 0 F-et s a 100 F-et!

b) Hny C-ot vltozik a hmrsklet, mikzben 1 F-tel cskken?

c) rd fel azt a kpletet, amelynek a segtsgvel a C-ban megadott h-

mrskletrtket F-re szmthatjuk t, azaz fejezd ki f-et az eredeti

sszefggsbl!

A) 1 euro 38 belga frank

B)1 euro 40 belga frank

1 euro 2,1 holland forint 1 euro 2,5 holland forint

C) 1 euro 43 belga frank

D)1 euro 44 belga frank

1 euro 2,3 holland forint 1 euro 2,5 holland forint


Megolds: a) 8,179532 C, 8,37

9568 C; b) 0,556 C; c) 32

59

+= cf .

Mdszertani megjegyzs: diagnosztika az arnyok kezelsrl (10 perc). Mindenkppen ja-

vasolt felmrni, hogy megfelel mlysgben sajttottk-e el az arnyokkal kapcsolatos fel-

adatok kezelst a tantvnyok. Ha nem, a megadott feladatokbl tud javtpldkat kijellni.

Javaslom valamelyik csves vagy brigdos pldhoz hasonl feladat, esetleg egy meg nem

oldott gyakorlplda kijellst.


II. Az egyenes s a fordtott arnyossg


Az ra clja a ktfle arnyossg megtapasztalsa, a grafikonok megismerse. Ezt 1-1 beveze-

t plda segti.

Mintaplda3

brzoljuk grafikonon egy biciklis helyt az id fggvnyben, ha sebessge lland (15

km/h), s

a) 0 km-es tbltl indul;

b) a 20 km-es tbltl indul.

Ksztsnk tblzatokat, melynek segtsgvel megvizsgljuk a biciklis helyzetnek s az

eltelt idnek a hnyadost (rnknti idbeosztssal), s az egyes rk alatt megtett utakat!

Megolds:


A feladat f clja az, hogy tisztzza: egyes esetekben (ez vezet majd az egyenes arnyossg-

hoz) ahnyszorosra n az egyik mennyisg, annyiszorosra n a msik, de ez nem mindig

igaz.

a)

id [ra] 1 2 3 4 5

hely [km] 15 30 45 60 75

hnyados 151

15= 15

230

= 15345

= 154

60= 15

575

=


Itt lland az id s a megtett t arnya: ahnyszorosra ntt az egyik mennyisg,

annyiszorosra ntt a msik.

b)

id [ra] 1 2 3 4 5

hely [km] 35 50 65 80 95

hnyados 35135

= 252

50= 6,21

365 &

= 204

80= 19

595

=

tklnbsgek 35 20=15 50 35=15 65 50=15 80 65=15 95 80=15

A mostani esetben nem lland az t s az id arnya: nem igaz, hogy ahnyszorosra

ntt az id, annyiszorosra vltozott a biciklis helye. A megtett t viszont minden rban

ugyanannyival vltozott, vagyis ideltelt

vltozsahelya = lland.


Hangslyozni kell, hogy az egyiknl a mennyiVEL, a msiknl a mennyiSZERESRE az,

ami lland.

Pldul egyenletes sebessg mellett a megtett t s az id egyenesen arnyos.

Egyenesen arnyos mennyisgek esetn ahnySZOROSRA vltozik

az egyik mennyisg, annyiSZOROSRA vltozik a msik.

Egyenes arnyossg esetn az sszetartoz rtkprok hnyadosa

egyenl: axy

= (ahol a = lland).

Ekkor xay = , ezrt az egyenes arnyossg grafikonja: orign

thalad egyenes.


Mintaplda4

100 km-es utat kell megtenni klnbz jrmvekkel. Kiszmtjuk klnbz jrmvek me-

netidejt, s brzoljuk grafikonon a sebessg-id prokat!

Verseny-aut

Szemly-gpkocsi

autbusz motor bicikli gyalogos

Sebessg (km/h)

260 130 90 75 25 4

id (ra)

Megolds:

A grafikon gy alakul:


A pontokat azrt ktttk ssze, hogy a hiperbola ltszdjk a grafikonon. Az elmletet job-

ban megkzelt grbt akkor kapnnk, ha mg tbb sebessgrtk mellett szmtannk ki az

idket.

Verseny-aut

Szemly-gpkocsi

autbusz motor bicikli gyalogos

Sebessg (km/h)

260 130 90 75 25 4

id (ra) 0,38 0,77 1,11 1,33 4 25


Pldul azonos thossz mellett az id s a sebessg fordtottan arnyos.

Feladatok

30. A levegvel tlttt lufi az egyenes s fordtott arnyossg szakrtje. Biztosan sz-

revetted, hogy ha a flig felfjt lufit kicsit sszenyomod, a msik feln alaposan kidu-

dorodik. Ennek az az oka, hogy lland hmrskleten a trfogat cskkensekor meg-

nvekszik a nyoms mgpedig gy, hogy ahnyszorosra cskken a trfogat,

annyiszorosga nvekszik a nyoms: a kt mennyisg kztt fordtott arnyossg ll

fenn.

Fordtottan arnyos mennyisgek esetn ahnySZOROSRA nvek-

szik az egyik mennyisg, annyiSZOROSRA cskken a msik.

Fordtott arnyossg esetn az sszetartoz rtkprok szorzata egyenl: cyx = (ahol c = lland, s 0c ).

Ekkor xcy = ( 0x ), ezrt a fordtott arnyossg grafikonja hiperbola.


Tltsd ki a tblzat hinyz rszeit! brzold grafikonon az eredmnyeket! (pV = c,

ahol c lland.)

V (cm3) 860 850 870

p (Pa) 10032 10400 10784

Megolds:

V (cm3) 860 850 870 830 800

p (Pa) 10032 10150 9917 10400 10784

31. Ha a lufit melegtjk, kitgul (amg ki nem durran). A hmrsklet s a trfogat kztti

kapcsolat egyenes arnyossg. Tltsd ki a tblzat hinyz rszeit! brzold grafiko-

non az eredmnyeket!

T ( C) 20 23 30

V (cm3) 860 900 800

Megolds:

T ( C) 20 23 30 21 18,6

V (cm3) 860 989 1290 900 800

32. Egy 20 literes vdrbl ntznk, fl literes kancsval. Kszts grafikont az ellocsolt,

s a vdrben marad vzmennyisgrl! Milyen sszefggs ll fenn a kt mennyisg

kztt?

Megolds: x + y = 20, vagyis az sszeg lland. A grafikon sllyed egyenes. Hangslyozza

ki: amennyivel tbb vizet vesznk ki, annyival kevesebb marad benne. NEM egyenes

arnyossg!

33. Egy digitlis fnykpezgppel ksztett legjobb felbonts kp most fgglegesen

1536, vzszintesen 2048 kppontbl ll.

a) Hny kppontbl ll a legjobb felbonts kp?


b) A fnykpezgp adott mennyisg kppontot kpes trolni. 2048 x 1536-os fel-

bonts mellett kb. 64 kp trolsra kpes. Krlbell hny kpet tud megrizni a

fnykpezgp memriakrtyja, ha a kzepes minsg, 1024 x 768-as felbon-

tst vlasztjuk?

Megolds: 3 145 728; 256.

34. Jancsi s Juliska vitorlst brelnek az Adriai-tengeren. A vitorls brleti dja: 200 eur

alapdj, s naponta tovbbi 75 eur.

c) rd be a tblzatba, hogy mennyibe kerl a vitorls brleti dja (alapdj + napid-

jak) 1, 2, 3, 4, 5 s 6 nap vitorlzs utn!

Id [Nap] 1 2 3 4 5 6 Dj [Eur]

d) rj fel sszefggse a kifizetett dj s az eltelt napok szma kztt!

e) Legfeljebb hny napra tudjk kibrelni a vitorlst, ha ketten sszesen 1000 eurt

tudnak a brletre sznni?

Megolds: a)

b) p = 200 + 75 t

c) 10 nap.

35. Az informatikban a nyomtatk felbontst DPI-ben mrik. A DPI (dot per inch) azt

jelenti, hogy egy inchen (2,54 cm-en) hny kppontot jelent meg a nyomtat. Minl

nagyobb ez a szm, annl finomabb a grafika, lesebbek a krvonalak. Mekkora egy

kppont mrete a kvetkez felbontsok mellett:

a) 300 DPI b) 600 DPI c) 1200 DPI d) 72 DPI

Megolds: a) 0,085 mm; b) 0,042 mm; c) 0,021 mm; d) 0,35 mm.

36. Egy stlutca 180 mteres szakaszt j dszburkolattal kvezik le, s az pts idejre

lezrjk. Kt burkol egyszerre dolgozik ezen a szakaszon, a kt vgtl a kzepe fel

haladva. Az egyik naponta 17 mtert, a msik 19 mter utat kvez le. Hny nap mlva

lehet az utct jra megnyitni?

Megolds: a 6. nap reggeln.

Id [Nap] 1 2 3 4 5 6 Dj [Eur] 275 350 425 500 575 650


37. Egyenslyozd ki a hintt a sllyal! A hintt kzpen tmasztottk al, a rdja 20 cm. A

tblzatban A-val a hinta vgn lev sly tmegt jelltk, B-vel pedig azt a slyt,

amit a hinta rdjra, az altmasztsi ponttl d tvolsgban kell rakasztani. Kszts

brt! Gondolj a fizikban tanult forgat hatsra, s egsztsd ki a tblzatot!

A sly tmege (kg) 10 16 19,2

B sly tmege (kg) 15 25,4

d (cm) 5 8,6 7,5

Megolds: A sly tmege

(kg) 10 16

10 x =25,4 8,6

x = 21,8 19,2

B sly tmege

(kg) 15

10 16 = 5 x

x = 32 25,4

10 19,2 = 7,5 x

x = 25,6

d (cm) 10 10 = 15 x

x = 6,7 5 8,6 7,5


Forgatnyomatk=er (itt sly) s erkar szorzata. A kt oldalon kiegyenslyozzk egymst a

forgatnyomatkok, vagyis a sly s a tvolsg kztt fordtott arnyossg ll fenn.

38. Egyenslyozd ki a hintt a sllyal! Becsld meg, aztn szmtsd ki, hogy a mrleg rd-

jn hova akasztand a B slyt! Az altmasztsi pont a 16 cm hossz rdnak ppen a

kzepnl van.

Megolds:

Ha a rd kzeptl x tvolsgra helyezzk el a 16 egysgnyi B slyt, akkor egyensly

esetn 82016810 =+ x 51680

==x . Teht a kzpponttl 5 cm tvolsgra kell

akasztani a slyt A irnyban.


39. 3,8 mter hossz, pros mrleghintra klnbz tmeg gyerekek lnek. Tltsd ki a

tblzat hinyz helyeit gy, hogy a mrleghinta egyenslyban legyen!

Megolds:

40. A grafikon egy gpkocsi zemanyag felhasznlst mutatja a megtett t fggvnyben.

Az t els rszt vroson bell, a msik rszt vroson kvl tette meg. Tltsd ki a tb-

lzatot: szmtsd ki a megtett utakhoz tartoz fogyasztst (liter/100 km) s benzinklt-

sget, ha egy liter benzin ra 256 forint.

t (km) kltsg v-roson bell

(Ft)

kltsg v-roson kvl

(Ft) 150

245,8

3000

4600

8712

14310

A (kg) 24 18 28

B (kg) 20 23 19

C (kg) 28 30 32

D (kg) 16 26 23

A (kg) 24 18 33,53 28

B (kg) 20 23 19 24,69

C (kg) 28 25,92 30 32

D (kg) 18,53 16 26 23


Egy teli tankkal (60 liter) mekkora tvolsgot tud megtenni vrosban illetve vroson k-

vl a jrm?

Megolds:

Vroson bell 21,5/2,47 = 8,70 l/100 km a

fogyaszts, vroson kvl

20.61002477,406

5,214,31=

l/100 km.

60 l benzinnel a vroson bell 689,7 km-t, a vroson kvl 967,7 km-t tud megtenni a

jrm.


Amennyiben szeretne tovbb foglalkozni az egyenes s a fordtott arnyossg krdsvel,

javaslom a kvetkez feladattpusokat: menetrend feldolgozsa, biciklitra megtett tjnak

szmtsa tlagsebessgbl, zemanyag fogyaszts szmtsa megtett t alapjn adott tlagfo-

gyasztssal vrosban s vroson kvl: tblzat+grafikon kszts. Hzibulin adott telmeny-

nyisg s ltszm kapcsolata, replt. hajt, zemanyag kszlete, sts, fzs, fests adott

mennyisg festkkel, varrs, kertszkeds, szmtgp vetts (film, bra, kpek).

t (km])

kltsg v-

roson bell

(Ft)

kltsg v-

roson kvl

(Ft)

150 3341 2381

245,8 5474 3901

134,7 3000 2138

206,5 4600 3278

548,9 12225 8712

901,6 20080 14310


III. Szzalkszmts


Javaslom az els kt mintapldt rn tvenni, a szzalk magyarzatt frontlisan feldolgoz-

ni. A mintapldk diagramjainak elksztse feladhat hzi feladatnak.

A szzalkszmtst fejben is szksges gyakoroltatni. Javaslom, hogy szmoltassunk elszr

arnyt (pl. elszr olyan trtrsz, ami fejben 100-ad rszre tvlthat: negyedek, tdk, ket-

tedek, azutn a sok oszts 12-nek -ed, 1/3-ad, 7/3-ad, stb. rsze, majd %-ba tvltst, s

adott szmnak hny %-a ez meg az. Azt is, hogy ha pl. 30% 75, akkor mennyi 50%, 60%,

100%, stb. Fontos, hogy a gyerekek megrtsk, hogy a szzalkokban kifejezett rtkekkel

ugyangy szmolhatnak, mintha magukkal a szmokkal szmolnnak. Amennyiben a modul

elejn megratott diagnosztikban a szzalkszmts rossz eredmnyt mutatott, mindenkp-

pen fontos az egyszer arnyos s szzalkos feladatok megoldsa.

Minden ra elejn rdemes fejben szmthat szzalkszmtsos feladatokat feladni. Ezt

megtehetjk csoportmunkban, pldul dikkvartett vagy feladatklds mdszervel is.

Mintaplda5

Az albbi tblzat egy csald havi kltsgvetst mutatja. Szmold ki, hogy a fizetsknek

hny szzalkt kltik az egyes rfordtsokra, s kszts krdiagramot az egyes ttelekbl.

A krdiagramon a krcikkek arnyokat (szzalkokat) jeleznek, amihez szksg van a

kzpponti szgek nagysgra.

Ttel Rezsi tel Aut Trleszts Ruha Egyb

Kltsg 42300 89800 35200 26800 12600 38700

Szzalk

Szg

Megolds:

Szzalk 17,23 36,59 14,34 10,92 5,13 15,77

Szg [ ] 62,05 132,74 51,64 39,32 18,48 56,77


Mintaplda6

Egy orszgban az FA (ltalnos forgalmi ad) a termk nett rnak 25 %-a, a boltban a

termkrt a brutt rat kell kifizetni (butt r = nett r + FA). Ha a brutt rat rjk ki, s

mi a nett rra vagyunk kvncsiak, hny szzalkt kell levonni a brutt rnak?

Sokan gy gondoljk, hogy 25 %-ot.

Vizsgljuk meg egy pldn keresztl, mirt tves ez a nzet!

Mennyi a termk nett ra, ha 1200 Ft-ot fizettnk rte? Hny szzalka a nett r a brutt

rnak?

Megolds:

Mivel a brutt r 1,25-szerese a nett rnak, az 1200 Ft-ot el kell osztani 1,25-tel. A ka-

pott nett r 960 Ft. Ez az 1200 Ft-nak 8,01001200960

= -szorosa, vagyis 80 %-a.

Vizsgljuk meg a kvetkezt:

nett r 80 Ft brutt r 100 Ft

+25 % FA 20 Ft - FA 20 Ft ez a 100-nak (a brutt rnak) a 20 %- a. brutt r 100 Ft nett r 80 Ft

Azt kaptuk, hogy ha valahny szzalkkal megnveltk egy mennyisgnek az rtkt,

akkor az eredeti rtk visszalltshoz NEM UGYANANNYI SZZALKKAL kell

cskkenteni a megnvelt rtket.

Mintaplda7

Becsld meg a svdiagramrl, hogy hny kg a tmege az egyes

almafajtknak s ez hny szzalka az egsznek, ha sszesen 60 kg

alma tmegt brzoltk! Hasznlj vonalzt a mrshez, s kszts

tblzatot!


Megolds:

Pldul mennyi 80 Ft 25%-a? )(20418025,080

1002580 Ft===

Pldul hny forint 25%-a 20 Ft?

)(8020412025,0

10025 Ftxxvagyxx ====

Pldul 80-nak a 20 hny szzalka (hny szzadrsze)?

%25%2525,010025

41

8020

==== -a.

A szzalknl kisebb arnyt fejez ki az ezrelk ( /

). rtelmezse s hasznlata hasonlan

trtnik.

szzalk Tmeg (kg) Fajta 20% 12 Jonatn 10% 6 Idared

13,3% 8 Starking25% 15 Golden 6,7% 4 Somogyi

A szzalkszmts specilis trtrsz szmts: rsz

100100%100

rsz100

%

rsz100

1%1

=

=

=

pp

1) Szzalkrtk meghatrozsakor adott mennyisg valahny szzad rszt szmoljuk.

2) Az alap meghatrozsakor a trtrsz ismeretbl az egsz rszt szmoljuk.

3) A szzalklb a szzalkrtk s az alap arnyt mutatja

(szzadokra vltva): rsz100

% pp =


Mdszertani megjegyzs: A kvetkez trimint valamelyik gyakorlrn adjuk fel. Csoport-

ban dolgoznak a tanulk, s szmolgp hasznlata nem engedlyezett. Annyi idt adjunk a

feladatra, hogy a dikoknak egyms kztt meg kelljen osztani a feladatokat, s erre hvjuk is

fel a figyelmet a feladat megoldsa eltt!


Feladatok

41. Egy keresked ktfle rucikket vsrolt: inget ktszer annyirt, mint plt. Az inge-

ken 15%-ot, a plkon 20%-ot keresett, gy a nyeresge 100-100 darab eladsa utn

31500 Ft. Mennyirt vsrolta, s mennyirt adta el a termkeket? Hny szzalk az

sszes nyeresge?

Megolds:

A pl ra x, az ing ra 2x, a nyeresg 1 pr utn 0,2x + 0,152x = 0,5x. Egy pr utn a

nyeresg 31500/100 = 315 Ft, vagyis 0,5x = 315. A termkek ra gy 630 s 1260 Ft.

100 pr termket 100(630 + 1260) = 189000 Ft-rt vsrolt, aminek a 31500 Ft 16,67

%-a.

42. Egy biciklis 24 km/h sebessggel halad, sszesen 120 km utat kell megtennie. Az t

hny szzalkt teszi meg 45 perc, 1 ra, msfl ra, 2 ra, 200 perc alatt? (kszts

tblzatot)

id 45 perc 1 ra 1,5 ra 2 ra 200 perc

megtett t

[km] 1824

6045

= 24 36 48 80

Megtett t

(szzalk) %1515,0

12018

= 20% 30% 40% 66,7%


A kvetkez feladat a szablyos hromszg magassgt s a ngyzet tljt is hivatott elm-

lyteni azltal, hogy jra elkerl.

43. Hny szzalka a szablyos sokszg terlete a kr rajzolhat kr terletnek, ha a

sokszg a) hromszg; b) hatszg; c)ngyzet.

Megolds: a) %37,411004

33=

; b) %74,82100

233

=

;

c) %69,631002 =

. ( 3,14)


44. Egy tglalap egyik oldalt megnveltk p%-kal. Hny szzalkkal kell a msik oldalt

cskkenteni, hogy a terlete vltozatlan maradjon?

a) p = 25% b) p = 20% c) 30% d) 50%

Megolds: a) 20%; b) 16,7%; c) 23,1%; d) 33,3%.

45. Hny szzalka a tglalap terlete a kr rhat kr terletnek, ha oldalai

a) 12 cm s 5 cm; b) 3 s 4 cm; c) 10 s 13 cm; d) 12,5 s 17,4 cm.

Megolds: a) 45,23%; b) 61,15%; c) 61,56%; d) 60,36%.

46. dn nagymamja aszalt szilvt kszt. 3,5 kg szilvbl 105 dkg marad a folyamat

vgre, mert az eredeti szilva tmegnek jelents rsze elprolog a vzzel. Hny

szzalk a slyvesztesg?

Megolds: 70%.

47. Az albbi grafikon a TurboEdu Kft.

tanfolyamain rsztvev hallgatk szmt

mutatja, ves felbontsban.

a) Hatrozd meg, hny szzalkkal n-

vekedett a hallgatk szma az egyes

vekben az elz vihez kpest!

b) Az utols vi nvekedst felttelezve

mennyi hallgatra szmtson a vezet-

sg 2005-ben?

Megolds: a) 61,36%, 105,87%, 69,04%; b) 6018 f.

48. Zedorszgban az emberek ves keresetk utn a kvetkezkppen adznak:

ha az ves kereset nem ri el az 500 zedet, 20% az ad;

ha a kereset 500 s 1000 zed kztt van, akkor 100 zed s a kereset 500 zedet meg-

halad rsznek 30%-a az ad;

ha a kereset 1000 zed felett van, akkor 250 zed s az 1000-zedet meghalad rsz-

nek 40%-a az ad.


a) Hny zed az ves adja annak, akinek az ves keresete 2500 zed?

b) Mennyi az ves keresete annak, akinek 112 zed az adja?

Megolds: a) 850; b) 540.

49. Az albbi elektronikus kijelz egy parkolhz bejrata fltt lthat. Az olvashat le

rla, hogy a parkolhelyek hnyad rsze szabad. A szrke rsz jelenti a foglalt

parkolhelyeket.

a) Hny szzalka SZABAD a parkolnak?

A) 80%-a; B) 70%-a; C) 60%-a; D) 50%-a.

b) Hny aut ll a garzsban, ha 80 frhelyes a parkol?

A) 24; B) 32; C) 48; D) 56.

Megolds: C, B.

50. Fantziafld kormnya egy kormnyzati ciklus alatt 360 km autplya ptsre vllalt

ktelezettsget, s a megbzst kt pt cg kapta. Mivel idkzben kiderlt, hogy az

adkbl tbb pnz folyt be, ezrt tovbbi megbzst kaptak a cgek: az egyik az

eredeti tvolsg 112%-t, a msik pedig a 110%-t ptette meg, gy a kormny 40

km-rel tbb autplyt ptett a tervezettnl. Mennyi ttal ptettek tbbet az egyes

cgek az eredeti tervhez kpest?

Megolds: 24 s 16 km-rel.

51. Egy tmblaksban l csald talnydjat fizet az elfogyasztott vz utn. Az talnyt

gy llaptjk meg, hogy a hz sszes vzfogyasztst elosztjk a lakk szmval. A

csald szerint tl sok talnyt szmolnak nekik, k csak a 80%-t fogyasztjk el a

rjuk kirtt 26 m3-nek. gy dntenek, hogy beszereltetnek egy 14000 tallros vzrt

a laksukba. Mennyi id alatt trl meg a befektets, ha valban csak a 80%-t

hasznljk el a kirtt vzmennyisgnek, s egy m3 vz ra 212 Ft?

Megolds: 13 hnap alatt (12,7).


52. Grdonyi Gza: Egri csillagok cm regnye 525 oldal. Istvn 4 ht alatt szeretn

kiolvasni a knyvet, ezrt naponta elolvas 12 oldalt. Egy ht utn rjn, hogy nem fog

vgezni. Hny szzalkkal kell a naponta elolvasott oldalak szmt nvelnie, hogy

idre vgezzen?

Megolds: 75%-kal.

53. Paradicsom rnak van 6 720 000 Ft megtakartott pnze, amit szeretne befektetni. A

biztos befektetsnek szmt llampaprok hozama vi 7,5%, egy bizonytalanabb

rszvnypiaci ajnlat viszont vente 18%-ot gr. Mennyit fektessen be az egyes

ajnlatokba, ha 13%-os haszonra szeretne szert tenni egy v alatt?

Megolds: 3 200 000 Ft-rt vegyen llampaprokat, 3 520 000 Ft-rt rszvnyeket.

54. A ktszint rettsgin egy adott tantrgybl az rsbeli vizsgarszen 100 pont, a

szbelin 50 pont az elrhet maximum, s az sszpontszm 20%-tl elgsges az

osztlyzat. Helyesen okoskodik-e az, aki azt mondja, hogy az rsbelin elrek 18%-ot,

a szbelin 22%-ot, ezek tlaga ppen 20%, teht tmentem a vizsgn?

Megolds:

Nem, mert az rsbelin elr 18 pontot, a szbelin 11 pontot, az egytt 29 pont. 150 pont

20%-a 30 pont, teht a tanul megbukna a vizsgn.

55. Bontsd 160-at kt szm sszegre gy, hogy az egyik rsz 40%-hoz a msik rsz 60

%-t adva 79-t kapunk!

Megolds: 85 s 75.

56. Egy szmhoz hozzadjuk a 25 %-t, aztn mg a 35%-t, az sszegnek a 25%-t, s

36-ot kapunk. Mennyi volt a szm?

Megolds: 18.

57. Vannak idszakok, amikor a tzsdn hullmvlgyek kvetik egymst. A Herkules s

Tsa cg rszvnyeinek rfolyama is sajtosan viselkedik, napi eltrsekkel:

ha az rfolyam tegnap nvekedett, akkor ma cskkenni fog 10 %-kal a tegnapihoz

kpest.

ha tegnap cskkent, akkor ma emelkedik 10 %-kal a tegnapi rfolyamhoz kpest.


Kt ht mlva az eredeti rfolyamhoz kpest nvekszik, vagy cskken, esetleg azonos

marad-e a Herkules rszvnyek rfolyama?

Megolds:

Kezdjk el felrni az rfolyam vltozsait, nap-nap utn elszr gy, hogy cskkenssel

indul. Analgia alapjn megllaptjk, hogy 0,971,17=0,997=0,932 < 1 lesz az ered-

mny, vagyis cskken. Ha az els nap nvekedssel indul, a helyzet ugyanez.

58. Egy keresked a termkt gy tudta eladni, hogy az eredetileg tervezett rbl elbb 8

%-ot, majd ebbl mg 10%-ot engedett. Az gy kialakult r 2070 Ft. Mennyi volt az

eredeti r?

Megolds: 2500 Ft.

59. A boltokban kikereskedk ruljk a cikkeket, amiket nagykereskedktl, ltalban

raktrruhzakbl vsrolnak. A raktrak a termelktl szerzik be az rut. Mennyi lesz

annak a ruhnak az ra, amelynek a termeli ra 946 Ft, a nagykereskedelmi haszon

kulcsa (a nagykeresked haszna) 4%, a kiskereskedelmi haszonkulcsa (a kiskeresked

haszna) pedig 8,5%?

Megolds: 1067 Ft.

60. Egy kvfz fogyaszti ra 3250 Ft, a nagykereskedelmi rrs 336 Ft, a kiskereske

delmi haszonkulcs 14%. Mennyi a termeli ra a kvfznek?

Megolds: 2515 Ft.

61. Tegnap vettem egy biciklit 10500 Ft-rt, ma tovbbadtam 12000 Ft-rt. Hny

szzalkos a hasznom? Ha 10000 Ft-rt adtam volna el, hny szzalk lenne a

vesztesgem?

Megolds: 14,28%; 4,76%.

Mintaplda8 (keverses plda)

A tengervz startalma 5%. Mennyi desvizet kell 200 liter tengervzhez nteni, hogy a

keverk startalma 2% legyen?

Megolds:

A keverses feladatoknl mindig az oldott anyag mennyisge az, amire alapozzuk a

szmtst. Jelen esetben 1005,0200 = liter a s, s ez a kevers utn is ugyanennyi


marad. Ha 10 liter 2 %, akkor a 100% 5001002

10= liter. A klnbsg teht 300 liter,

ennyit kell a tengervzhez nteni.

Egyenlettel is felrhat a megolds: x liter desvz esetn a startalom:

( ) 02,020005,0200 += x , ahonnan x = 300.

Feladatok

62. 2 kg 25%-os soldatbl mennyi vizet kell elprologtatni, hogy 32%-os oldatot

kapjunk?

Megolds:

0,4375 kg-ot. Egyenlettel: Ha x kg vizet prologtatunk el ( ) 32,0225,02 = x x = 0,4375 kg.

63. Mennyi 42%-os knsavat kell nteni 2,6 liter 20%-os koncentrcijhoz, hogy az

eredmny 30%-os koncentrcij knsav legyen?

Megolds:

2,17 litert. Egyenlettel: x liter knsavat tltnk: ( ) 3,06,26,22,042,0 +=+ xx , ebbl x = 2,17 liter.


Kislexikon

Az arny mindig kt vagy tbb mennyisg viszonyt jelenti. Az arny rtke brmilyen szm

lehet, irracionlis szm is.

Kt szm arnyt felrhatjuk a:b jellssel, de jellhetjk trttel is: ba . Ez egyben megadja

az arny rtkt is. Az arnyban szerepl tnyezk nem cserlhetk fel: ab

ba

.

Egyenesen arnyos mennyisgek esetn ahnySZOROSRA vltozik az egyik mennyisg,

annyiSZOROSRA vltozik a msik. Egyenes arnyossg esetn az sszetartoz rtkprok

hnyadosa egyenl. Az egyenes arnyossg grafikonja: orign tmen egyenes.

Fordtottan arnyos mennyisgek esetn ahnySZOROSRA nvekszik az egyik mennyi-

sg, annyiSZOROSRA cskken a msik. Fordtott arnyossg esetn az sszetartoz rtk-

prok szorzata egyenl. A fordtott arnyossg grafikonja hiperbola.

A szzalkszmts egy specilis trtrsz szmts:

1) Szzalkrtk meghatrozsakor adott mennyisg valahny szzad rszt szmoljuk.

2) Az alap meghatrozsakor a trtrsz ismeretbl az egsz rszt szmoljuk.

3) A szzalklb a szzalkrtk s az alap arnyt mutatja (szzadokra vltva).


Ellenrz feladatsor

1. Ha az osztlyban a tanulk 54 rsze lny, s 6 fi van az osztlyban, akkor mennyi az

osztlyltszm?

2. 8 darab dinnye tmege 24 kg. Milyen nehz 15 dinnye?

3. A grafikon a szelektv hulladk

mennyisgnek ves eloszlst mutatja.

Hny szzalkkal ntt 2004-re a gyjttt

mennyisg? Mi a vlemnyed errl a

grafikonrl?

4. 80 v anyagot 25 adatrgzt 20 ra alatt dolgoz fel. 50 adatrgzt mennyi id alatt dolgoz

fel 240 v anyagot?

5. A 16 km-re lev, dobozos dtket gyrt gyr mintaboltjban egy literes doboz ra 126 Ft,

a kzeli boltban 20%-kal tbb. Hny doboz dtrt ri meg elmenni a mintaboltba, ha egy

km t kltsge 21 Ft?

6. Kt ldban egytt 96 darab zsemle van. Ha az egyikbl elvennnk a benne lev harmadt,

a msikhoz pedig hozztennnek a benne lev harmadt, akkor ugyanannyi lenne mindkt

ldban. Mennyi a zsmlk szma az egyes ldkban?

7. Fekete Pter 1,3 milli forintot szeretne befektetni vi 7,65%-ot gr biztos llami, s

18,5%-ot gr riziks rszvnypiaci pnzgyi paprokba.

a) Mennyit kamatozik a pnze v vgre, ha 550 000 Ft-ot fektet be llami

rtkpaprokba, a maradkot rszvnyekre?

b) Mennyit fektessen be az egyes befektetsi nemekbe, ha azt szeretn, hogy v vgre

16% legyen a nyeresge?


Megoldsok:

1) 30; 2) 45 kg; 3) 17,6%-kal, a grafikon hamisan mutatja az arnyokat, mert nem 0-tl

indul, s manipulcira ad lehetsget; 4) 30 ra; 5) 27 db-tl;

6) 32 darab s 64 darab; 7) 13,9% s 300 000 Ft llami, 1 000 000 Ft rszvnyekbe.

Mdszertani megjegyzs: A fenti feladatsor nellenrz diagnosztikaknt is kioszthat a tanu-

lk kztt.

mŰveletek arÁnyossÁg, szÁzalÉkszÁmÍtÁs

Documents