Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Le plan dans R3

Intersections,angles et distances

Le plan dans R3

Intersections,angles et distances

IntroductionDans cette présentation, nous verrons comment déterminer les positions relatives de plans et comment utiliser les vecteurs et le produit scalaire pour calculer :

• l’angle entre deux plans,

• la distance d’un point à un plan,

• le point d’un plan le plus rapproché d’un point hors du plan.

Positions relatives de plans dans R3

Plans parallèles

Caractéristiques des plans parallèlesLes vecteurs normaux sont parallèles :

k R tel queN1 = k N2

Caractéristiques des plans parallèles distincts• Lorsqu’un point R(x1; y1; z1) est sur l’un

des plans, il ne peut être sur l’autre plan :

• Il n’y a aucun point d’intersection.

• Lorsqu’un point R(x1; y1; z1) est sur l’un des plans, il est sur l’autre plan :

• Les plans ont une infinité de points d’intersection.

Caractéristiques des plans parallèles confondus

si R ∏, alors R ∏2

si R ∏, alors R ∏2

Positions relatives de plans dans R3

Plans non parallèles

Caractéristiques des plan non parallèles

• L’intersection des deux plans (∏1 ∏2) est une droite ∆.

• On dit que les plans sont concourants ou sécants.

k R, N1 ≠ k N2

• Les vecteurs normaux ne sont pas parallèles :

Exemple 11.3.1Déterminer la position relative des plans suivants :

∏1 : x + 2y + 2z = 4

SS

Il ne reste que deux équations où z est une variable libre. En posant z = t, on trouve comme solution générale :

Cet ensemble représente une droite qui passe par le point (2; 1; 0) et dont

{(x; y; z)| x = 2, y = 1 – t, z = t}

Les plans ne sont pas parallèles, puisque leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. En résolvant le système formé de ces deux équations à l’aide d’une matrice, on a :

1 2 2 4

2 3 3 7≈

L1

L2 – 2 L1

1 2 2 4

0 –1 –1 –1≈

–L2

L1 + 2 L2 1 0 0 2

0 1 1 1

= (0; –1; 1) est un vecteur directeur. Les deux plans sont sécants et leur intersection est une droite.

D1

∏2 : 2x + 3y + 3z = 7

–10

–10

Exemple 11.3.2Trouver l’intersection des plans suivants :

En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une matrice, on a :

∏1 : x + 3y – 2z = 10

SS

Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; 1; –2).

1 3 –2 102 –4 5 –8 ≈

L1

L2 – 2L1 ≈L2

10L1 + 3L2

3 –1 2 4 L3 – 3L1

1 3 –2 100 9 –28

0 8 –26 L3 – L2

10 0 7 160 –10 9 –28

0 0 –1 2

≈L2 + 9L3

L1 + 7L3

L3

10 0 0 30

0 –10 0 –10

0 0 –1 2

≈L2 /(–10)

L1 /10

L3/(–1)

1 0 0 3

0 1 0 1

0 0 1 –2

∏2 : 2x – 4y + 5z = –8

∏3: 3x – y + 2z = 4

–11

–11

ExerciceTrouver l’intersection des plans suivants :

En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une matrice, on a :

∏1 : x + 3y – 2z = –10

SS

Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; –1; 5).

1 3 –2 –103 –2 4 31 ≈

L1

L2 – 3L1 ≈L2

11L1 + 3L2

5 4 1 16 L3 – 5L1

1 3 –2 –100 10 61

0 11 66 L3 – L2

11 0 8 730 11 –10 –61

0 0 1 5

≈L2 + 10L3

L1 – 8L3

L3

11 0 0 33

0 11 0 –11

0 0 1 5

≈L2 /11

L1 /11

L3

1 0 0 3

0 1 0 –1

0 0 1 5

∏2 : 3x – 2y + 4z = 31

∏3 : 5x + 4y + z = 16

Positions relatives et systèmes d’équations

Solution unique

SS

Lorsqu’il reste autant d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une solution unique.

Les trois plans se rencontrent alors en un même point.

a b c d

0 e f g

0 0 h i

, où h ≠ 0.

Infinité de solutions

Lorsqu’il reste moins d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une infinité de solutions.

Les trois plans ont une droite comme intersection. Ils peuvent également être confondus s’il reste une équation pour trois inconnues.

a b c d

0 e f g

0 0 0 0

a b c d

0 e f g

0 0 0 i

Aucune solutionLorsque la matrice échelonnée com-porte une équation impossible, le système n’a aucune solution.

, où i ≠ 0.

Deux des plans peuvent être parallèles distincts.

Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes.

La représentation graphique d’une équation à trois inconnues est un plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues.

Angle entre deux plans dans R3

Pour calculer l’angle entre deux plans dans R3, on doit déterminer des vecteurs normaux à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci.

L’angle entre deux plans est toujours compris entre 0° et 90° alors que l’angle entre les vecteurs peut être aigu ou obtus.

Si est l’angle entre les vecteurs normaux, l’angle entre les plans est donné par :

Pour obtenir directement l’angle cherché, on prend la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus.

= , si 0° ≤ ≤ 90°

= 180° – , si 90° ≤ ≤ 180°

Angle entre deux plans dans R3

pour trouver l’angle entre deux plans dans R3

1. Déterminer un vecteur normal pour chacun des plans.

2. Utiliser le produit scalaire pour déterminer l’angle entre ces vecteurs.

3. Déterminer l’angle entre les plans à partir de l’angle entre les vecteurs normaux.

Procédure

• = , si 0° ≤ ≤ 90°

• = 180° – , si 90° ≤ ≤ 180°

Exemple 9.1.9

S

D’où :

Puisque > 90°, on a = 180° – = 60,57° et l’angle entre les plans est de 60,57°.

Les vecteurs normaux sont donnés par les coefficients des variables dans les équations. On a donc :

= (1; 2; –3) etN1 N2 = (5; –3; 4)

cos =N1 N2•

N1 N2

=–13

14 50

et : = arccos = 119,43°14 50

–13

Trouver l’angle entre les plans :∏1 : x + 2y – 3z + 4 = 0

∏2 : 5x – 3y + 4z – 22 = 0 S

Exercice

S

D’où :

Puisque < 90°, on a = = 3,69° et l’angle entre les plans est de 3,69°.

Les vecteurs normaux sont donnés par les coefficients des variables dans les équations. On a donc :

= (2; –3; 4) etN1 N2 = (3; –4; 5)

cos =N1 N2•

N1 N2

=38

29 50

et : = arccos = 3,69°29 50

38

Trouver l’angle entre les plans :∏1 : 2x – 3y + 4z – 12 = 0

∏2 : 3x – 4y + 5z + 28 = 0 S

Distances dans R3

Distance d’un point Q à un plan ∏ dont on connaît un vecteur normal.

La distance d’un point à un plan est la

longueur de la perpendiculaire abaissée

du point sur le plan.

Remarque :

Pour supporter la démarche, on ne représente habituellement pas le système d’axes. On donne simplement un plan, le vecteur normal N et le vecteur RQ joignant le point du plan à celui hors du plan.

On détermine un point R du plan ainsi

que le vecteur RQ. La distance cherchée

est alors la longueur de la projection du

vecteur RQ sur le vecteur normal N.

On peut trouver cette longueur de la

façon suivante.

Distances dans R3

pour trouver la distance d’un point Q à un plan ∏ dans R3 (en utilisant un vecteur normal)

1. Déterminer un vecteur normal au plan.

2. Déterminer un point R du plan.

3. Construire le vecteur allant du point R du plan au point Q dont on cherche la distance au plan.

4. Utiliser le produit scalaire pour trouver la projection de ce vecteur sur le vecteur normal. La longueur de cette projection est la distance cherchée. Elle est notée d(Q, ∏).

Procédure

La distance du point au plan est la longueur de la projection du

vecteur .

Exemple 11.3.4Trouver la distance du point Q(5; –6; 7) au plan  ∏ : 5x – 3y + z – 16 = 0.

S

On a donc :

La distance est d’environ 5,75 unités.

Le vecteur normal est = (5; –3; 1).N 

d (Q, ∏)=RQ N•

N=

34

35

Déterminons un point du plan. Posons, par exemple, x = 2 et y = –1 dans l’équation, ce qui donne z = 3. Le point R(2; –1; 3) est un point du plan, puisqu’il satisfait à son équation.

On trouve alors : = (5; –6; 7) – (2; –1; 3) = (3; –5; 4).RQ = OQ – OR

≈ 5,75

sur le vecteurRQ N 

Distances dans R3

pour trouver la distance entre deux plans parallèles

1. Déterminer un vecteur normal aux deux plans.

2. Déterminer un point Q du plan ∏1 et un point R du plan ∏2.

3. Construire le vecteur allant du point Q au point R.

4. Utiliser le produit scalaire pour trouver la projection de ce vecteur sur le vecteur normal. La longueur de cette projection est la distance cherchée. Elle est notée d(∏1, ∏2).

Procédure

La distance entre les plans est la longueur de la projection du vecteur

.

Exemple 11.3.5Trouver la distance entre les plans :

∏1 : x + 2y – 3z + 4 = 0 et ∏2 : x + 2y – 3z – 22 = 0.

S

On a donc :

La distance est d’environ 6,95 unités.

Le vecteur normal est = (1; 2; –3).N 

d (∏1, ∏2)=QR N•

N=

26

14

Déterminons un point sur chacun des plans. Supposons que notre choix est Q(3; –2; 1) et R(10; 3; –2). On trouve alors :

= (10; 3; –2) – (3; –2; 1) = (7; 5; –3).

QR = OR – OQ

≈ 6,95

sur le vecteurQR N 

Remarque : Pour simplifier les calculs, on aurait pu choisir le point (–4; 0; 0) sur ∏1 et le point (22; 0; 0) sur ∏2.

La distance entre les plans est la longueur de la projection du vecteur

.

Exercice Trouver la distance entre les plans :

∏1 : 3x – 2y + 4z + 8 = 0 et ∏2 : 3x – 2y + 4z – 24 = 0.

S

On a donc :

La distance est d’environ 5,94 unités.

Le vecteur normal est = (3; –2; 4).N 

d(∏1, ∏2)=QR N•

N=

32

29

Déterminons un point sur chacun des plans. Supposons que notre choix est Q(0; 0; –2) et R(0; 0; 6). On trouve alors :

= (0; 0; 6) – (0; 0; –2) = (0; 0; 8).

QR = OR – OQ

≈ 5,94

sur le vecteurQR N 

Q(0; 0; –2)

R(0; 0; 6)

Distances dans R3

Distance d’un point Q à un plan dont on connaît deux vecteurs directeurs.

Distance d’un point Q à un plan dont on connaît trois points.

La distance cherchée est la hauteur du

parallélépipède.

On l’obtient en divisant le volume par l’aire de la base, soit le module

du produit vectoriel des vecteurs directeurs.

On détermine un point R du plan ainsi

que le vecteur RQ. On détermine le

volume du parallélépipède construit sur

les trois vecteurs, D1, D2 et RQ donné

par la valeur absolue du produit mixte.

Soit A, B et C, les points. On procède de façon analogue en consi-

dérant les vecteurs D1 = AB, D2 = AC et AQ.

Distances dans R3

pour trouver la distance d’un point Q à un plan ∏ dans R3 (en utilisant des vecteurs directeurs)

1. Déterminer deux vecteurs directeurs du plan.

2. Déterminer un point R du plan.

3. Construire le vecteur allant du point R du plan au point Q dont on cherche la distance au plan.

4. Utiliser le produit mixte pour trouver le volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs.

Procédure

5. Calculer la hauteur du parallélépipède en divisant son volume par l’aire de sa base, soit le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs. La hauteur du parallélépipède est la distance cherchée.

Exercice

S

La distance est d’environ 6,47 unités.

Le volume du parallélépipède est alors :

≈ 6,47

Trouver la distance du point Q(4; 5; 7) au plan ∏ :x = 2 + 3s – 2t

y = 5 – 4s + t

z = –7 + 5s – 3t

Les vecteurs directeurs sont : = (3; –4; 5) etD1

R(2; 5; –7) est un point du plan et

D2 = (–2; 1; –3) et

RQ = (2; 0; 14).

RQ • (D1 D2) = 3 –4 5–2 1 –3

0 142= –56

D1 D2 = 3 –4 5–2 1 –3

i j ki j k= 7 – 1 – 5 = (7; –1; –5)

72 + (–1)2 + (–5)2D1 D2 = = 75 et d (Q, ∏) =–56

75

S

Le point d’un plan le plus prèsd’un point hors du plan

Nous savons trouver la distance d’un point Q à un plan, mais comment déterminer le point du plan qui est le plus proche de Q?

On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons d’abord comment utiliser les opérations d’addition vectorielle et de produit scalaire pour déterminer le point le plus près, puis nous verrons comment procéder en déterminant l’intersection de lieux géométriques.

Le point R d’un plan ∏ le plus proche d’un point Q hors de celui-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏.

Le point d’un plan le plus prèsd’un point hors du plan

Approche vectorielle

pour déterminer le point R d’un plan le plus rapproché d’un point Q hors de ce plan par une approche vectorielle.

1. Déterminer un point P quelconque du plan.

2. Écrire l’équation vectorielle du triangle PQR :

3. Effectuer le produit scalaire des deux mem-bres de l’équation par le vecteur normal.

4. Déterminer la valeur du scalaire, b, dans l’équation scalaire obtenue par ce produit.

5. Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R cherché.

PR + RQ = PQ

PR + b N = PQ

Procédure

OQ + QR = OR

Exemple 11.3.6Trouver le point du plan ∏ : x + 2y + 3z –28 = 0 le plus proche du point Q(7; 9; 15).

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏.

En déterminant la valeur de b, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Pour déterminer cette valeur, il faut d’abord trouver un point P du plan.

PR + RQ = PQ

La direction de RQ est alors la même que celle du vecteur normal au plan, N = (1; 2; 3). On a donc RQ = b N,

Par l’addition vectorielle, on a :

PR + b N = PQ

SSS

P(3; 2; 7) et PQ = (4; 7; 8).

–

En posant x = 3 et y = 2 dans l’équation de ∏, on obtient z = 7. Par conséquent, P(3; 2; 7) est un point de ∏.

La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur normal donne :

N • (PR + b N ) = N • PQ

N • PR + b ( N • N ) = N • PQ

Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a N • PR = 0, et : b N 2 N • PQ =

Ce qui donne : 14b = (1; 2; 3) • (4; 7; 8) = 4 + 14 + 24 = 42 et b = 3.

SS

Sachant que b = 3, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque :

OR = OQ + QR = OQ – RQ = OQ – (3 N)

Cela donne :OR = (7; 9; 15) – 3(1; 2; 3) = (4; 3; 6)

Le point le plus rapproché est donc R(4; 3; 6).

= OQ – b N

S

Remarque

La démarche a consisté à déterminer que, pour parvenir au point R à partir du point Q, il fallait se déplacer dans la même direction et dans le sens contraire du vecteur normal et parcourir une distance qui est le triple de la longueur du vecteur normal.

On remarque également que la distance qu’il faut parcourir pour aller de Q à R est la distance du point Q au plan ∏.

ExerciceTrouver le point du plan ∏ : 5x + 3y + z – 16 = 0 le plus proche du point Q(23; 14; –1).

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏.

En déterminant la valeur de b, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Pour déterminer cette valeur, il faut d’abord trouver un point P du plan. En posant x = 1 et y = 1 dans l’équation de ∏, on obtient z = 8. Par conséquent, P(1; 1; 8) est un point de ∏.

PR + RQ = PQ

La direction de RQ est alors la même que celle du vecteur normal au plan, N = (5; 3; 1). On a donc RQ = b N,

Par l’addition vectorielle, on a :

PR + b N = PQ

SSS

La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur normal donne :

N • (PR + b N ) = N • PQ

N • PR + b ( N • N ) = N • PQ

Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a N • PR = 0, et :

b N 2 N • PQ =

D’où : 35b = (5; 3; 1) • (22; 13; –9) = 110 + 39 + –9 = 140 et b = 4.

SS

–

P(1; 1; 8) et PQ = (22; 13; –9).

Sachant que b = 4, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque :

OR = OQ + QR = OQ – RQ = OQ – (4 N)

Cela donne :OR = (23; 14; –1) – 4(5; 3; 1) = (3; 2; –5)

Le point le plus rapproché est donc R(3; 2; –5).

= OQ – b N

Le point d’un plan le plus prèsd’un point hors du plan(méthode de l’intersection de lieux)

Le point d’un plan le plus près d’un point Q hors de ce plan dont on connaît un vecteur normal (équation cartésienne).

Le point cherché est le pied de la

perpendiculaire abaissée du point Q

sur le plan ∏.

Cette perpendiculaire est une droite

∆ passant par le point Q et ayant

comme vecteur directeur le vecteur

normal au plan ∏.

On peut donc déterminer une description paramétrique de la droite ∆

et trouver son intersection avec le plan ∏.

Le point d’un plan le plus prèsd’un point hors du plan (méthode de l’intersection de lieux)

pour déterminer le point R d’un plan le plus rapproché d’un point Q hors du plan par l’intersection de lieux.

1. Déterminer une description paramétrique de la droite passant par le point Q et perpendiculaire au plan ∏

2. Substituer les équations paramétriques de la droite dans l’équation cartésienne du plan.

3. Calculer la valeur du paramètre au point de rencontre de la droite et du plan.

4. Substituer la valeur du paramètre dans les équations paramétriques pour déterminer les coordonnées du point de rencontre qui est le point le plus rapproché.

Procédure

Exemple 11.3.6

En substituant ces équations paramétriques dans l’équation du plan ∏, on obtient :

SS

La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∏ est :

x = 7 + ty = 9 + 2tz = 15 + 3t

(7 + t) + 2(9 + 2t) + 3(15 + 3t) – 28 = 0

D’où : 7 + t + 18 + 4t + 45 + 9t – 28 = 0

Cela donne : 14t + 42 = 0 et t = –3

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

x = 7 + 1 –3) = 4y = 9 + 2 –3) = 3z = 15 + 3 –3) = 6

Le point le plus rapproché est donc R(4; 3; 6).

Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∏ : x + 2y + 3z –28 = 0 le plus proche du point Q(7; 9; 15).On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∏.

Exercice

En substituant ces équations paramétriques dans l’équation du plan ∏, on obtient :

SS

La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∏ est :

x = 23 + 5ty = 14 + 3tz = –1 + t

5(23 + 5t) + 3(14 + 3t) + (–1 + t) – 16 = 0

D’où : 115 + 25t + 42 + 9t – 1 + t – 16 = 0

Cela donne : 35t + 140 = 0 et t = –4.

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

x = 23 + 5 –4) = 3y = 14 + 3 –4) = 2z = –1 + 1 –4) = –5

Le point le plus rapproché est donc R(3; 2; –5).

Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∏ : 5x + 3y + z – 16 = 0 le plus proche du point Q(23; 14; –1).On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∏.

ConclusionÀ partir de l’équation cartésienne d’un plan, on peut déterminer un

vecteur normal à ce plan. À partir des équations paramétriques d’un

plan, on peut déterminer deux vecteurs directeurs de ce plan. Le

produit vectoriel des vecteurs directeurs donne un vecteur normal au

plan.

En utilisant ces vecteurs, on peut déterminer :

• l’angle entre deux plans,

• la distance d’un point à un plan,

• la distance entre deux plans parallèles,

• le point d’un plan le plus rapproché d’un point hors du plan.

LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 11.3, p.321-326.

Exercices

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 11.4, p. 327-328.