módulo yanina mat co ii si

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

MATEMTICA II (ex III)POLIMODALCiclo Orientado

El I.E.D. agradece la participacin de la Prof. Yanina Francs en la elaboracin del presente material. Este material es de uso exclusivo e interno para el I.E.D. No se encuentra a la venta. (Consultar bibliografa utilizada y recomendada para el siguiente plan estudio)Estimado alumno:

El presente material constituye el mdulo de estudio de la materia Matemtica del Ciclo Orientado III del Bachillerato para Adultos, Acelerado y a Distancia. En l encontrar los contenidos que se abordan en la materia, as como actividades que lo ayudarn en su comprensin, con vistas a la preparacin del examen.

El mdulo est organizado de la siguiente manera:

Se debe imprimir el mdulo en tamao carta

Presentacin

Matemtica Ciclo Orientado III: el presente material consta de 5 unidades y corresponde al 2 y 3 ao polimodal

Organizacin de los C.B.C de Matemtica: los contenidos de ste mdulo son para aprender y aprehender matemtica. La numeracin de los bloques aqu tratados (1,2,3,4) se corresponde con las unidades

Breve fundamentacin: donde se comentan los aspectos que hacen necesario el estudio de la presente asignatura.

Expectativas de logros: se mencionan los objetivos que se espera que Ud. logre a travs del trabajo con este material para aprobar la asignatura.

Contenidos desarrollados: constituye el programa de la materia; en l se mencionan los principales temas que se tratan en el mdulo.

Desarrollo

Unidad N: los contenidos estn organizados en cuatro unidades, que dan cuenta de los ejes temticos que se desarrollan.

Actividad de integracin N: al finalizar cada unidad, figura un grupo de ejercicios que le permitirn repasar los puntos ms importantes de los contenidos desarrollados

Ud. ya sabe que cuenta con una serie de recursos para facilitar su aprendizaje. Los mismos lo acompaarn a la par que trabaje y estudie con este material:

Consulta a docentes, que el sistema pone a su disposicin para aclararle dudas, guiarlo en la comprensin, supervisar los ejercicios, etc. Lo importante es que pueda consultar sus dudas a travs del medio que le resulte ms adecuado.

De esta manera, el mdulo -que tiene en sus manos-, las tutoras bajo el recurso que Ud. considere conveniente, se complementan para brindar un mejor abordaje y comprensin de los contenidos que forman parte del programa de la materia.

Por ltimo queremos compartir una idea central de esta modalidad que Ud. ha elegido para concluir su bachillerato: estudiar a distancia significa que puede adecuar el trabajo de estudio con cada materia a su tiempo disponible, que no debe cumplir horarios prefijados, contando con la posibilidad de organizarse segn sus tareas cotidianas. Esto implica un alto grado de autonoma, pero no es sinnimo de estudiar en soledad o aislado.

Por eso, en esta presentacin, quisimos recordarle los recursos con los que dispone para facilitarle el abordaje de cada asignatura.

BIENVENIDO!

INSTITUTO IED

BREVE FUNDAMENTACIN

Por qu estudiar Matemtica?

"La matemtica, igual que la msica, hay que interpretarla, el ejecutante es fundamental. Esta analoga es importante en otro aspecto, es posible hacer msica sin ser Bach ni Mozart ni muchsimo menos; es posible hacer msica cantando, tocando un instrumento, en un coro, en una orquesta... Pienso sinceramente que se puede hacer matemtica a cualquier nivel, ms que una tcnica es una actitud."

Enzo R.Gentile()

Desde siempre los seres humanos se enfrentaron a todo tipo de problemas, algunos de los cuales fueron resueltos contando, midiendo, calculando, es decir, usando conocimientos matemticos. Este, como todo conocimiento humano, es una construccin social de los seres humanos, en su intento de adaptarse a la realidad y actuar sobre ella.

El uso de calendarios para regular las cosechas y la vida religiosa, la contabilidad de bienes o el cobro de impuestos, la medicin de terrenos para la agricultura, son slo algunos ejemplos de situaciones prcticas que fueron motor de desarrollo de los conocimientos matemticos. Tambin, cabe sealar, aquellos problemas que fueron producto de la curiosidad de los seres humanos por resolver nuevos desafos matemticos, o aquellos que otras disciplinas como la fsica, la biologa, la economa- requeran para su resolucin.

Es decir que, con el correr de los tiempos, la vida social se fue complejizando y el conocimiento matemtico fue progresando en pos de buscar respuestas dentro de cierta mirada. Se puede decir, que la matemtica progresa a partir de nuevas formas de resolver viejos problemas y el planteo de problemas nuevos.

Algunas caractersticas

Como ciencia, la matemtica se caracteriza por:

Construir conceptos, hiptesis y teoras, y estudiar las relaciones de los mismos.

Crear su propio lenguaje

Crear su propio mtodo de trabajo e investigacin.

Estas caractersticas son las que se ponen de manifiesto a lo largo de los contenidos que se desarrollan en estas pginas. Claro que, desde los clculos o propiedades del primer captulo, pasando por el uso de expresiones algebraicas, hasta la introduccin de las nociones de probabilidad, los contenidos propuestos permiten resolver situaciones para actuar sobre la realidad. Claro que esta accin est teida de una mirada muy especial, aquella que hace uso de las nociones matemticas como herramientas para brindar un modelo que permita matematizar la situacin, y luego ser objeto de estudio.

Desde este punto de vista, estudiar matemtica no significa slo adquirir un conjunto de conceptos sino tambin resolver situaciones en las cuales trabajemos utilizando los modos particulares de pensar y producir en esta disciplina.

Entre los procedimientos... a resolver problemas

Como ya se mencion la ciencia matemtica progresa a partir de descubrir nuevas formas de resolver viejos problemas y en el planteo de problemas nuevos. Ahora bien, qu es resolver un problema?

Resolver un problema implica:

interpretar y seleccionar la informacin con la que se cuenta;

imaginarse la situacin;

poner en juego los conocimientos matemticos que se consideran necesarios;

planear cmo llevar a cabo la resolucin;

anticipar resultados;

controlar los resultados, estudiando los caminos propuestos y los resultados;

ver si el problema tiene ninguna, una o varias soluciones;

volver a la situacin de partida, para corroborar el resultado obtenido.

Es importante tener en cuenta estas acciones al enfrentar un problema, ellas le dan pistas sobre la manera de progresar en el rea. El desafo que tiene en sus manos es importante. Consiste, nada ms y nada menos que en hacer matemtica.

EXPECTATIVAS DE LOGRO

1. Utilizar funciones en la resolucin de problemas de la vida real.

2. Analizar, comprender y comunicar resultados vinculados al estudio de funciones que permitan avanzar sobre otro tipo de funciones y factorizar polinomios.

3. Identificar, graficar e interpretar funciones de primer y segundo grado en la resolucin de distinto tipo de situaciones.

4. Conocer y saber usar el lenguaje simblico y las representaciones grficas en la modelizacin matemtica de fenmenos y problemas.

5. Utilizar ecuaciones y sistemas de ecuaciones en la resolucin de distintas situaciones.

6. Resolver analtica y grficamente ecuaciones y sistemas de ecuaciones con dos incgnitas.

7. Saber recolectar, organizar, procesar e interpretar datos, a partir de distintas representaciones de informacin estadstica.

Esperamos que la lectura de estas expectativas le permita comprender que, a travs de esta materia, se busca que Ud. no slo conozca los temas fundamentales del rea sino que pueda utilizarlos en el anlisis y resolucin de distintos fenmenos a la realidad actual, a partir de su modelizacin matemtica.Unidad 1:

Funciones exponenciales y logartmicas

1. El modelo exponencial

2. ecuaciones exponenciales

3. logaritmos

4. logaritmos decimales y naturales

5. propiedades de los logaritmos

6. la funcin logartmica

Autoevaluacin

Funciones exponenciales y logartmicas

En fenmenos tan diversos como la evolucin de poblaciones, la desintegracin radiactiva y la reproduccin de bacterias se encuentran magnitudes que varan con un ritmo muy acelerado, produciendo aumentos y decrecimientos muy rpidos, acordes con un modelo expresado por una funcin llamada exponencial.

Por el contrario, las funciones logartmicas, que son las inversas a la exponenciales, varan muy lentamente, por lo cual proporcionan escalas numricas adecuadas para medir y representar fenmenos naturales que involucran cantidades muy grandes o muy pequeas , como la intensidad de los fenmenos ssmicos o la concentracin de partculas en una solucin qumica.

1. El modelo exponencial

1. En la actualidad, la mayora de la entidades financieras trabajan dando inters compuesto sobre los depsito. Sintticamente, esto significa que los intereses se aplican al capital y tambin generan intereses.

El caso que vamos a considerar es un banco que otorga intereses en forma tal que el capital depositado se duplica al cabo de un ao transcurrido.

Supongan que una persona deposita $1 en este banco y nunca hace un retiro.

a) Completen la siguiente tabla y realicen el grfico correspondiente.

Tiempo transcurrido (aos)0123456

Dinero acumulado ($)12

b) Encuentren una frmula que permita calcular el dinero acumulado D en funcin del tiempo transcurrido t c) Al cabo de cunto tiempo se llega a acumular $256?

d) Cunto dinero se acumula al transcurrir 10 aos?

2. Existen sustancias qumicas que en condiciones normales de presin y temperatura se evaporan. Tenemos 4 litros de una sustancia lquida que evapora en forma continua a la mitad de su volumen por hora.

a) Completen la siguiente tabla y realicen el

Tiempo (h)0123456

Volumen de lquido (litros)

grfico correspondiente.

b) Encuentren la expresin que relacione el volumen del lquido V con el tiempo transcurrido

.

c) Al cabo de cunto tiempo quedaran 0,0625 litros de lquido?

d) Qu volumen de lquido quedara luego de un da entero?

3. Consideren la funcin

, cuyo dominio es R.

a) Completen la tabla de valores y grafiquen la funcin.

Xy

1

2

3

-1

-2

-3

0

b) Observen el grfico que hicieron y contesten alas preguntas.

I) Cul es el conjunto imagen de f?

II) f es creciente o decreciente?

III) Tiene algn punto de contacto con el eje de ordenadas? Cul?

IV) Tiene algn punto de contacto con el eje de abscisas? Cul?

V) Qu ocurre con la grfica de f(x) cuando x toma valores positivos muy grandes?

VI) Qu sucede con la grfica f(x) cuando x toma valores negativos cada vez menores?

Para leer

Llamamos funcin exponencial a toda funcin cuya expresin sea de la forma:

El dominio de estas funciones es R. Al representarlas grficamente, se obtienen curvas crecientes o decrecientes en todo su dominio, que tiene al eje de abscisas como asntota horizontal.

Una asntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente, sin llegar a tocarla.4. a) Representen estas funciones en el mismo sistema cartesiano:

b) Completen

Las grficas de f y g son simtricas con respecto al eje . Las grficas de h y m son simtricas ..

Las funciones son crecientes y las funciones .. Son decrecientes.

5. Un capital de $ 10000 se deposita en un banco que paga un 1 % mensual de inters compuesto

a) Escriban la expresin que relaciona el capital acumulado C con la cantidad de meses transcurridos t.

b) Cunto dinero se logra acumular luego de un ao?

6. En cierto cultivo se reproducen bacterias que se triplican diariamente. Calculen cuntas habr al cabo de cinco das.

a) Si inicialmente hay una bacteria.

b) Si se comienzan con 500 bacterias.

2. Ecuaciones exponenciales

Decimos que una ecuacin es exponencial cuando contiene a la incgnita en algn exponente.

Observen el ejemplo de cmo se puede resolver.

1. Transformen cada una de las siguientes expresiones en una sola potencia.

2. Resuelvan las siguientes ecuaciones y comprueben las soluciones obtenidas.

3. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen las soluciones obtenidas

3. Logaritmos

Para leer

El exponente x al que hay que elevar una base b para obtener un determinado nmero a se llama logaritmo de dicho nmero en esa base.

Es decir,

(Donde a y b son nmeros reales, b>o, b distinto de 1, a>0)

Por ejemplo:

a) Calculen los siguientes logaritmos cuando sea posible y verifiquen los resultados que obtengan aplicando la definicin.

b) Analicen los ejemplos y la definicin, y respondan a las preguntas.

c) Por qu se establece que el nmero a debe ser positivo?

d) Por qu se establece que el nmero b debe ser positivo y distinto de 1?

4. Logaritmos decimales y logaritmos naturales

1. a)Utilicen las teclas log y ln de una calculadora cientfica para obtener los siguientes logaritmos (redondeen a milsimos)

I) log 9,8=

II) log 98=

III) log 980=

IV) log 9800=

V) ln 2,5=

VI) ln 25=

VII) ln 250=

VIII) ln 2500=

b) Analicen los valores que obtuvieron y enuncien alguna conclusin.

2. Apliquen la definicin de logaritmo de un nmero para resolver las siguientes ecuaciones y luego verifiquen las soluciones que obtengan.

5. Propiedades de los Logaritmos

Para leer

Los logaritmos verifican las siguientes propiedades (siempre que a y b sean positivos)

Logaritmo de un producto

Logaritmo de un cociente

Logaritmo de una potencia

Logaritmo de una raz

Cambio de base

La propiedad de cambio de base nos permite transformar un logaritmo dado en cierta base en otro logaritmo expresado en una base que nos convenga, por ejemplo aquellas que aparecen en las calculadoras , estas (ultimas tienen base 10)1. Resuelvan aplicando propiedades de los logaritmos , sin usar calculadora

2. Apliquen cambio de base que resulte conveniente para obtener los siguientes logaritmos con una calculadora, y anoten los valores redondeados al milsimo.

3. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen las soluciones que obtengan.

6. LA Funcin logartmica

1. Consideren las funciones

Que asignan a cada nmero real positivo su logaritmo en base 2 y en base , respectivamente.

a) Completen la tabla y construyan las grficas correspondientes.

X1/41/2123

Log2 x

Log1/2 x

b) Completen el cuadro

Funcin Dominio Imagen Ceros

f(x)

g(x)

c) Respondan las siguientes preguntas.

I) Cortan al eje de ordenadas? Por qu?

II) Qu se observa, en ambas grficas, cuando los valores de x se aproximan a cero?

III) Cules son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada funcin?

IV) Cul es la relacin grfica que se observan entre ambas curvas?

Para leer

Llamamos funcin logartmica a toda funcin cuya expresin sea de la forma:

El dominio de esas funciones son los reales positivos, y al representarlas grficamente se obtienen curvas crecientes o decrecientes en todo su dominio, que tienen al eje de ordenadas como asntota verticalAutoevaluacin

Marquen la opcin correcta

1. Consideren la funcin

a) Tiene como dominio al intervalo

b) Corta al eje x en el punto

c) Corta al eje y en el punto

2. La solucin de la ecuacin , es:

3. Se estudia el comportamiento de la concentracin de una solucin qumica sometida a distintas temperaturas y se comprueba que dicho comportamiento responde a un modelo exponencial

Para una temperatura de 2 C, la concentracin es de 9 unidades, y para una temperatura de 4 C, la concentracin asciende a 20,25 unidades.

a) Cul es la funcin que relaciona la temperatura y la concentracin?

b) Cul es la concentracin a 6 C?

c) Es cierto que la concentracin aumenta en forma directamente proporcional a la temperatura?

d) A qu temperatura la concentracin ser de 1,125 unidades?

Unidad 2:

Secciones cnicas

1. Circunferencia

2. elipse

3. hiprBola

4. parbola

Autoevaluacin

Secciones cnicas

Para leer

Se llama secciones cnicas a las que pueden obtenerse mediante la interseccin de un plano cono circular un con recto

Las secciones cnicas pueden definirse mediante el concepto lugar geomtrico, que es el conjunto de los puntos del plano que cumplen con una condicin comn.

1. Circunferencia

La circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo es constante.

La ecuacin de una circunferencia de centro o=(h;k) y radio r est dada por la frmula

Ejemplo:

La ecuacin de la circunferencia de centro

y radio 3 es

Queremos saber si es la ecuacin de una circunferencia.

Igualamos la ecuacin a 0

Sumamos y restamos 1 para obtener un trinomio cuadrado perfecto

Despejamos los cuadrados y obtenemos la ecuacin de una circunferencia de centro (0; 1) y radio 1

1. Hallen la ecuacin de las siguientes circunferencias de acuerdo con los datos indicados en cada caso.

a) Centro (0;0) y radio 5

b) Extremos de un dimetro (-1;-1)y (5;5)

c) Tiene el mismo centro que la circunferencia cuya ecuacin es y su radio es 3.

2. Resuelvan grficamente los siguientes sistemas

a)

EMBED Equation.3 b)

3. Encuentren el centro y el radio de cada una de las siguientes circunferencias

a)

b)

2. elipse

La elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

La ecuacin de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos sobre el eje de abscisas es.Si los focos estn sobre el eje de ordenadas, la ecuacin de la elipse es . En ambos casos se verifica

Ejemplos

Para hallar la ecuacin de una elipse de focos y cuyo eje mayor es 10, procedemos as:

Hallamos a resolviendo la ecuacin

Hallamos b mediante la relacin

EMBED Equation.3

Hallamos c

EMBED Equation.3

La ecuacin es, entonces

La ecuacin , hallamos las coordenadas de los vrtices y focos de la siguiente manera:

Los focos estn sobre el eje y porque , entonces y , c= 15Entonces

1. Las siguientes ecuaciones representan elipses con centro en (0,0).Hallen los focos y los vrtices

2. Resuelvan analticamente y grficamente los siguientes sistemas

a)

b)

3. Hiprbola

Para leer

La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que el mdulo de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

La ecuacin de la hiprbola con centro en el origen de coordenadas y focos sobre el eje de las abscisas es .

Si los focos estn sobre eje de las ordenadas, la ecuacin es

.

Las asntotas de una hiprbola son las rectas e .

En ambos casos se verifica que

Ejemplos

La ecuacin de la hiprbola de focos y y asntotas y se puede hallar de la siguiente manera

Como y , por las ecuaciones de las asntotas , entonces.

Reemplazamos en la expresin y obtenemos

.Despejamos: y , por lo tanto, . La ecuacin buscada es: .

Los focos de la hiprbola de ecuacin ,los podemos hallar de la siguiente manera:

Reemplazamos los valores de a y b en la relacin

Y obtenemos

Como los focos estn sobre el eje x porque , sus coordenadas son y , y las ecuaciones de las asntotas son e.1. Las siguientes ecuaciones representan hiprbolas con centro en (0,0). Encuentren los focos, los vrtices y las asntotas.

2. Identifiquen cada una de las siguientes cnicas. Determinen, en caso tenerlas, las coordenadas del centro, el vrtice, el foco y las ecuaciones de las asntotas, y luego grafquenlas.

4. Parbola

Para leer

La parbola es el lugar geomtrico de los puntos tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta llamada directriz son iguales.

La ecuacin de una parbola con vrtice en el origen y directriz de ecuacin es ecuacin . Si la ecuacin de la directriz es , la ecuacin de la parbola es .

Ejemplos

La ecuacin de la parbola de foco (5;0) y directriz x=-5 es , o sea , .

Para hallar las coordenadas del foco y de la ecuacin de la directriz de la parbola de la ecuacin procedemos de la siguiente manera

Igualamos

Entonces el foco es F=(-3;0) y la directriz x=3.

1. Hallen las coordenadas del foco y la ecuacin de la directriz de las parbolas cuyas ecuaciones son las siguientes.

2. Hallen la ecuacin de las siguientes parbolas de acuerdo con los datos indicados en cada caso.

a) Foco en (4;0) y directriz de la ecuacin x=-4

b) Foco en (-12;0) y directriz de la ecuacin x=12

c) Foco en (0;8) y directriz de la ecuacin y=-8

3. Resuelvan analticamente y grficamente los siguientes sistemas

4. a) Hallen la ecuacin de la circunferencia de centro (-2;5) a la que pertenece el punto (-2;0).

b) Encuentren los puntos de interseccin de la circunferencia anterior con la curva de ecuacin:

Autoevaluacin


1. La ecuacin de la elipse de centro (0;0) y que pasa por (0;-3) y (5;0) es:

a)

b)

c)

d)

2. La ecuacin de la hiprbola de vrtices (2;0) y (-2;0) y asntotas y =2x y y=-2x es :

a)

b)

c)

d)

3. La ecuacin corresponde a:

a) una hiprbola

b) una circunferencia

c) una elipse

d) una parbola

Unidad 3:

Sucesiones

1.Las sucesiones numricas

2.sucesiones aritmticas

3.la suma de los primeros n trminos de una sucesin aritmtica

4. sucesiones geomtricas

5. suma de los primeros n trminos de una sucesin geomtricaAutoevaluacin

1. Las sucesiones numricas

Para leerUna sucesin numrica es una funcin cuyo dominio es el conjunto N de los nmeros naturales o un subconjunto de ste y cuya imagen est incluida en el conjunto de los R de los nmeros reales.

Cundo trabajamos con sucesiones, prestamos especial atencin al nmero de orden n que le corresponde a cada una de las imgenes, y a stas las llamamos trminos de sucesin.

Los trminos de una sucesin siguen una regularidad o ley que las caracteriza, que se expresa algebraicamente mediante una frmula a la que llamamos trmino general o trmino ensimo de la sucesin.

Observen en el siguiente ejemplo la notacin que utilizamos para trabajar con sucesiones.

Consideremos la sucesin de trmino general

Lugar que ocupan=1n=2n=3n

trminos

a) Dados los trminos generales de cuatro sucesiones numricas, hallen para cada una los seis primeros trminos y la suma de stos.

b) Encuentren una expresin del trmino general de cada una de las siguientes sucesiones.

a)1; 3; 5; 7; 9

b)-1; 2; -3; 4; -5;

c)

EMBED Equation.3

d)2;

2. Sucesiones aritmticas

Para leerUna sucesin aritmtica es una sucesin numrica en la cual cada trmino se obtiene sumando un valor constante, llamado diferencia, al trmino anterior.

EMBED Equation.3

Frmula del trmino general de una sucesin aritmtica.

1. Despejen cada una de las variables en la frmula del trmino general, y completen.

a) Siendo ytrminos de una sucesin aritmtica, hallen y .b) Siendo y trminos de una sucesin aritmtica, hallen y .

2. Los datos que se dan como hiptesis corresponden a sucesiones aritmticas. Analicen si en cada caso la tesis es verdadera o falsa.

a)Si y , entonces .

b) Si y , entonces

c) Si , entonces

d) Si y , entonces

3) la suma de los primeros n trminos de una sucesin aritmtica

Para leer

Consideremos una sucesin aritmtica cuyos seis primeros trminos son:

7;11;15;19;23;27

Podemos calcular la suma de estos trminos haciendo:

S6 = (7+27).6/2

S6=102

Para sumar los primeros n trminos de cualquier sucesin aritmtica, podemos aplicar la siguiente frmula:

1. Calculen la suma de los primeros 40 nmeros naturales

2. Hallen la suma de los mltiplos de 5 mayores que 42 y menores que 158.

3. Cuntos mltiplos de 9 se encuentran entre 1000 y 3000?

4. El segundo y el tercer trmino de una sucesin aritmtica son respectivamente 7 y -3/2 . Calculen la suma de los primeros 10 trminos.4.sucesiones geomtricas

para leerUna sucesin geomtrica es una sucesin numrica en la cul cada trmino se obtiene multiplicando por un valor constante (si r>0 y r distinto 1), llamado razn , al trmino anterior.

a2=a1.r

a3=a2.r=a1.r.r=a1.r2a4=a3.r=a1.r2.r=a1.r3an=a1.rn-1 Frmula del trmino general de una sucesin geomtrica.

1. Sobre la base de la informacin dada, analicen si cada una de las siguientes sucesiones es o no una sucesin geomtrica. Para las que lo sean, calculen la razn y escriban la frmula del trmino.

a)3;6;12;24;48;.

b) -1;2;-4;8;-16;

c)3;6;24;192;3072;

2. Los datos que se muestran corresponden a sucesiones geomtricas. Completen las frases.

a) Si a1=3 y r=1/2 , entonces a5=.

b) Si a7=-64 y a3-4, entonces r=

3. El primer trmino de una sucesin geomtrica es 4 y su razn es 2. Hallen los cinco primeros trminos.5. suma de los primeros n trminos de una sucesin geomtrica

para leerConsideremos una sucesin geomtrica de razn 3, cuyo 5 primeros trminos son :

2;6;18;54;162

La suma de estos 5 trminos podemos calcularla haciendo:

Para sumar los primeros n trminos de cualquier sucesin geomtrica, podemos aplicar la siguiente frmula: donde r es la razn.

1. Los datos de cada fila de la siguiente tabla corresponden a la misma sucesin geomtrica. Completen los que faltan.a1a2a3a4rs4

420

15

40,1

0,22,496

-8-15

2. En un prisma rectangular de 216 cm3de volumen, tres aristas distintas forman una sucesin geomtrica y su suma es 21. Encuentren las dimensiones del prisma.Autoevaluacin


1. Los nmeros 2,3 y 4 son los primeros trminos de una sucesin cuyo trmino general es:

a)

b)

c)

d)

2. 1;2;6;24 son los primeros cuatro trminos de una sucesin . el quinto trmino es:

1. 33

2. 48

3. 96

4. 120

3. Si una sucesin geomtrica a1=-81; an=-1/3 ;r=1/3 entonces

a)

b) n es impar

c)

Unidad3

Ejercicios de aplicacin:

a) Escribir, a partir del trmino general, los 6 primeros trminos de cada una de las sucesiones.

1) 2) b) Indicar si las siguientes sucesiones son aritmticas o geomtricas y calculen la razn.

1) 5; 9; 13; 17; 21;...

5)

2)

6)

3)

7)

4)

8)

En una sucesin aritmtica cada trmino se obtiene sumndole al anterior un valor constante d.

Para calcular en una sucesin en la cual , se debe hallar la razn.

La razn es igual a la diferencia entre dos trminos consecutivos:

Para calcular en una sucesin en la cual = -35 y d= -8, se considera a como primer trmino y a , por lo tanto, como sptimo.

Para hallar el nmero de trminos de la sucesin 8; 20; ....;140, se debe calcular la razn.

Ejercicios de aplicacin

Ejercicios resueltosa) Dados , hallar.

1) Los 10 primeros trminos de la sucesin aritmtica.

3; 8; 13; 18; 23; 28; 33; 38; 43; 48

2)El trmino general

3)La suma de los 20 primeros trminos.

b) Calcular el nmero de trminos de cada una de las siguientes sucesiones.

1)-7; 6;...;175

2)

c) Calcular y responder.

1) Cul es la suma de los nmeros naturales del 1 al 100?

2)Cuntos mltiplos de 4 hay entre 21 y 95?

3)Cul es la suma de los 30 primeros mltiplos naturales de 7?

Unidad 4:

probabilidades1. combinatoria, diagrama de rbol y de casilleros

2. permutaciones y variaciones

3. combinaciones

4. probabilidad de un suceso

probabilidadesSi bien es cierto que la teora de probabilidades surgi de juegos de azar, en la actualidad tiene variadas aplicaciones.

Para calcular el tamao de una muestra en un control de calidad, para averiguar el error de estimacin en una encuesta, para verificar si las variables que intervienen en una tabla de doble entrada dependen una de otra, para probar si un tratamiento mdico-que fue exitoso para una muestra-se puede aplicar en el resto de los que padecen la enfermedad, debemos aplicar los conceptos y los mtodos de la teora de probabilidades.

1. combinatoria, diagrama de rbol y de casilleros

para leerLa ilustracin muestra las posibilidades de almuerzo de los alumnos en el comedor de una escuela. Las distintas formas en que un alumno puede elegir el almuerzo se pueden esquematizar mediante un diagrama de rbol.

Men del da

ComidaBebidas

MilanesaJugo de naranja

PanchoJugo de pomelo

hamburguesa

Si solamente quisiramos contar la cantidad de almuerzos distintos que pueden armar un alumno con el men, podemos utilizar en diagrama de casilleros , de la siguiente manera:

Cantidad de almuerzos =3.2

32

Naranja o pomelo

Milanesa , pancho o hamburguesa

naranja

Milanesa pomelo

naranja

Almuerzos pancho pomelo

naranja

hamburguesa pomelo

1. Consideren slo los dgitos del 1 al 5 para responder las preguntas.

a) Cuntos nmeros de 3 cifras distintas se pueden formar?

b) Cuntos de 3 cifras se pueden formar?

2. De cuntas maneras pueden sentarse 4 personas en un colectivo que tiene 8 asientos libres?

3. Cuntas palabras (con o sin sentido) de 4 letras pueden formarse con todas las letras de la palabra CUBO?

a) Cuntas palabras (con o sin sentido) distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra OSTRA?

b) cuntas de ellas terminan en vocal?

c) Cuntas tienen una vocal en el medio

d) Cuntas terminan con s?

4. En la carrera final de la prueba de 100 metros llanos de una escuela intervienen 7 alumnos.

a) de cuntas formas distintas puede resultar la carrera?

b) En cuntas de ellas Gustavo llega primero?

c) En cuntas de ellas Gustavo llega primero y Matas ltimo?

2. permutaciones y variaciones

para leer

Una permutacin de un nmero n de objetos Pn es una disposicin de esos objetos en un cierto orden. Para contar las distintas permutaciones que se pueden formar con todos los n elementos de un grupo, se puede seguir alguno de los siguientes procedimientos.

4) Utilizar diagrama de casilleros,5) Utilizar la frmula Pn=n! n! se lee faltorial del nmero n y se calcula mediante el producto n!= n. (n-1). (n-2) .1 o bien , con la calculadora cientfica, utilizando la tecla x!

Ejemplo

La cantidad de formas distintas en que se pueden ordenar 5 libros en un estante puede calcularse as:

P5=5!=5.4.3.2.1=120 formas distintas

Una variacin de k elementos elegidos de grupos de n Vn;k es una disposicin de los k elementos seleccionados en un cierto orden

Para contar las variaciones de k elementos elegidos de un grupo

De n elementos podemos seguir algunos procedimientos

Utilizar diagrama de casilleros

Aplicar la frmula

Ejemplo:

La cantidad de formas en que se puede distribuir 3 premios distintos entre 7 personas se puede calcular con

V7;3=7!/(7-3)!=5040/24= 210

Si disponen de una calculadora cientfica que incluya la tecla nPr , pueden verificar el resultado oprimiendo la siguiente secuencia: 7 nPr 3= 210

1. Luego de un amistoso de vley, los jugadores posan para una foto

a) De cuntas formas distintas pueden ordenarse los 6 jugadores de cada equipo?

b) De cuntas formas distintas pueden ordenarse todos los jugadores en lnea para la foto?

c) Y si se posan los de un equipo de pie y los otros en cuclillas?

2. Consideren los dgitos del 1 al 7

a) Cuntos nmeros de 4 cifras distintas se pueden formar?

b) Cuntos son pares?

c) Cuntos son mayores de 3000?

d) Cuntos son menores de 4200?

3. combinaciones

para leerUna combinacin es una seleccin de objetos sin considerar el orden. Una seleccin de k objetos en un grupo de n distintos se llama combinacin de n elementos tomados de a k. Para contar todas las combinaciones de n elementos tomados de a k podemos seguir alguno de los siguientes procedimientos

Aplicar el cociente.

Usar el nmero combinatorio

Ejemplo :

Juan prepara su bolso para irse un fin de semana de campamento. Va a llevar 3 remeras y en el placard tiene 8 disponibles para empacar,. La cantidad de grupos distintos de 3 remeras que puede llevar se puede calcular mediante:

C8;3=8!/3!.(8-3)!=40320/720=56

Si disponen de una calculadora cientfica que incluya la tecla nCr , pueden verificar el resultado oprimiendo la siguiente secuencia: 8 nCr 3= 56

1. De cuntas formas distintas se puede seleccionar una comisin de 4 alumnos en un curso de 25?

2. Jsica va de compras a una liquidacin de remeras en la que venden 3 por $10. Si hay 7 modelos distintos, De cuntas formas distintas puede seleccionar 3 remeras?

3. En una inmobiliaria hay 10 empleados y se organizan guardias de 3 personas para los das domingo, en forma rotativa, de modo que sea equitativo para todos los empleados.

4. Un domingo coincidieron Esteban, Gonzalo y Cecilia y se hicieron muy amigos Dentro de cuntos domingos volvern a coincidir en la guardia?

RESUMEN DE FRMULAS

COMBINACIONESVARIACIONESPERMUTACIONES


Antes de comenzar a resolver problemas es necesario saber distinguir si se trata de un clculo de combinaciones, permutaciones o variaciones.

a) El plantel de un equipo de ftbol cuenta con 8 volantes. Para el partido del domingo, el director tcnico debe elegir a 3 de ellos. De cuntas maneras pueden ser elegidos?

b) De cuntas maneras posibles pueden ubicarse 3 automviles en una playa de estacionamiento que tiene 5 lugares disponibles?

c) Interpretar los siguientes enunciados e indicar (sin resolver) si se trata de combinaciones, permutaciones o variaciones.

1) Una persona asiste a un criadero de perros. Hay 7 cachorros de su agrado, pero slo dispone en su casa de espacio suficiente para tener 2. De cuntas maneras puede elegir 2 de los 7 cachorros?

2) En un estante pueden colocarse 12 videos cassettes. De cuntas maneras pueden ubicarse?

3) De cuntas maneras pueden ubicarse 5 personas en una fila?

4) Cuntas posibilidades hay de elegir 4 candidatos a un mismo cargo entre 10 postulantes ?

5) En un recital, el cantante solista interpretar 7 temas. De cuntas maneras diferentes puede ubicar cronolgicamente sus canciones en ese recital?

6) Seis atletas (A, B, C, D, E, F) van a competir en una carrera de 200 metros. El ganador ser premiado con una medalla de oro y el segundo con una de plata. El tercero con una de bronce. De cuntas maneras pueden repartirse los 3 premios entre 6 atletas participantes?

7) Recuerdas la caracterstica del nmero telefnico de un amigo y los dos nmeros siguientes: 753 48 - -, pero olvidaste las dos cifras finales. Cuntos nmeros telefnicos pueden comenzar con 753 48 - - ?

8) De cuntas maneras distintas pueden ubicarse los 20 equipos de ftbol de primera divisin en la tabla de posiciones al terminar un campeonato?

9) Una persona tiene que elegir 3 libros entre 9 que son de su inters.

Cuntas elecciones diferentes puede hacer?

10) Un muchacho observa que en su placard hay 10 camisas. Desea seleccionar 7 para utilizar una en cada da de la semana siguiente. Cuntas elecciones puede hacer?

4. probabilidad de sucesos

para leerLlover maana? El premio del gordo de ao nuevo terminar en 5? Se producir algn accidente de aviacin el mes entrante? Conseguir estudiar el temario completo del prximo examen?

As, en nuestra vida aparecen centenares de acontecimientos cuya realizacin es incierta. El grado de incertidumbre (es decir de ausencia, certeza o seguridad) suele ser menor o mayor, segn el caso.

A esos sucesos que dependen del azar se los llama aleatorios y, justamente, la teora encargada de medir hasta qu punto un suceso ocurra o no, es la de la Probabilidad.

En muchos casos se trata de predecir un acontecimiento futuro teniendo en cuenta experiencias anteriores. As es que la teora de la Probabilidad es ayudada por las Estadsticas.

La probabilidad es entonces, la medida que seala hasta qu punto puede o no ocurrir un determinado suceso.

Matemticamente se define como el cociente que resulta de dividir el nmero total de casos favorables por la suma de todos los casos, igualmente posibles, sean stos favorables o no.

Probabilidad =Total de casos favorables

Resultados esperados

Total de casos posibles

Resultados igualmente posibles

Por ejemplo: Qu probabilidad hay que caiga en cara una moneda que se arroj al aire?

En este caso, es evidente que la moneda caer mostrando cara o cruz todas las veces que la arrojemos, puesto que no hay ms casos posibles en un tiro.

O sea que la probabilidad de que caiga en cara es igual que la de que caiga en cruz.

La relacin de probabilidad siempre est entre 0 y 1.

Probabilidad 0

Implica la imposibilidad total de que ocurra un determinado suceso. Por ejemplo que maana el ro Paran se seque.

Probabilidad 1

Es la seguridad total de que ocurra un suceso. Por ejemplo que una persona que en la actualidad viva, algn da muera.

As, entre 0 y 1 se dan todos los grados de de probabilidad, cuanto ms cercano a 0, el suceso ser poco probable y cuanto ms cercano a 1, ms probable, hasta llegar a ser casi seguro o completamente seguro si llega a 1.

1) Si del mazo se extraen 3 reyes: Cul es la probabilidad de extraer el rey que falta?

2) Qu probabilidad hay de extraer el 4 de copas?

3) Se separan del mazo los comodines, las copas y los bastos. Qu probabilidad hay de extraer, de entre las cartas que quedan, el as de espadas?


a) Cul es la probabilidad de...

1)... obtener un 5 al arrojar un dado?

2)... sacar un as de un mazo de 40 cartas espaolas?

3)... sacar una carta de basto de un mazo de 40 cartas espaolas?

4)... obtener 3 caras al arrojar 3 monedas al aire?

b) Enuncia 3 ejemplos de imposibilidad (probabilidad 0) y 3 de certeza (probabilidad 1).

Es posible estimar la probabilidad de que ocurra un suceso antes de efectuar una experiencia, siempre y cuando el instrumento aleatorio presente caractersticas de regularidad, por ejemplo, un dado; pero si es irregular, por ejemplo unas chinches o un dado defectuoso, slo puede valorarse la probabilidad de que ocurra un suceso de experimentar reiteradamente.

Unidad 5:

Lmite

1. aproximacin intuitiva al concepto de lmite

2.lmite de una funcin en un punto

3. lmites en el infinito

4. clculo de lmite

Propiedades de los lmites

5. indeterminaciones

6. indeterminacin del tipo



Autoevaluacin

1. aproximacin intuitiva al concepto de lmite

Para leer

En este captulo comenzaremos a manejar algunas herramientas del clculo diferencial, empezando por el concepto de lmite

Tanto en la relacin con este concepto como con muchos otros de los que trataremos, no trabajaremos con definiciones y demostraciones formales, sino con aproximaciones intuitivas que nos permitirn aplicar algunas de sus propiedades en la profundizacin del estudio de funciones.

Cuando los valores de x se aproximan a 5 por la derecha , f(x) toma valores cada vez mayores.

Decimos entonces que el lmite de f(x) cuando x tiende a 5 por la derecha tiende a ms infinito y lo simbolizamos de la siguiente manera:

Cuando los valores de x se aproximan a 5 por la izquierda , f(x) toma valores cada vez menores.

Decimos entonces que el lmite de f(x) cuando x tiende a 5 por la izquierda tiende a menos infinito y lo simbolizamos de la siguiente manera:

Cuando los valores de x son cada vez mayores, f(x) toma valores cada vez ms cercanos al 3.

Decimos entonces que el lmite de f(x) cuando x tiende a ms infinito es 3 y lo simbolizamos de la siguiente manera:

Cuando los valores de x son cada vez menores, f(x) toma valores cada vez ms prximos al 3.

Decimos entonces que el lmite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es 3 y lo simbolizamos de la siguiente manera:

1.Completen

a)

b)

2. lmite de una funcin en un punto

1. Realicen las grficas de las siguientes funciones y luego completen:

a)

X1,91,991,99922,0012,012,1

F(x)

b)

X1,91,991,99922,0012,012,1

g(x)

c)

X1,91,991,99922,0012,012,1

h(x)

Cuando calculamos el lmite de una funcin en un punto de la abscisa x=a, pueden presentarse las siguientes situaciones

a pertenece al dominio de f y f es continua en dicho punto. En este caso, el lmite coincide con la imagen de a

a no pertenece al dominio de f y los lmites laterales coinciden. La funcin tiene lmite en ese punto.

a pertenece al dominio de f y los lmites laterales no coinciden. La funcin no tiene lmite en ese punto.

2. Calculen los siguientes lmites

a)=

b)

c)

d)

e)

2. Grafiquen cada una de las funciones y calculen .

a)

b)

c)

3. Grafiquen las funciones y completen las tablas

a)

X-0,1-0,01-0,00100,0010,010,1

f(x)

b) a)

X-0,1-0,01-0,00100,0010,010,1

f(x)

Para leer

4. Para cada una de las siguientes funciones indiquen el dominio, el conjunto imagen y los lmites pedidos.

5. Calculen los lmites de cada funcin en aquellos puntos donde no pertenezcan a su dominio.

a)

b)

c)

3. lmites en el infinito

a)

x 10 100 1000 10000 100000

F(x)

x-10-100-1000-10000-100000

F(x)

b)

x 10 100 1000 10000 100000

F(x)

x-10-100-1000-10000-100000

F(x)

para leer

En los siguientes ejemplos pueden observar cmo expresamos mediante lmites el comportamiento de una funcin cuando los valores de x crecen indefinidamente (cuando x tiende a ) o cuando los valores de x decrecen indefinidamente (cuando x tiende a )

a. Hallen los lmites

a)

b)

4. clculo de lmites

Propiedades de los lmites

Para leer

Si y , siendo m y k nmeros reales, se verifican las siguientes propiedades:

(solo si k0)

Ejemplos

y

1. Calculen los siguientes lmites

a)

b)

c)

5. indeterminaciones

Para leer

En algunos casos nos encontraremos con que cuando intentamos hallar un lmite por clculo directo obtenemos una expresin en la cual no es posible concluir cul ser la tendencia. A estos casos los llamamos indeterminaciones

Algunas indeterminaciones

Que pueden presentarse son las siguientes:

Nos dedicaremos a trabajar con algunos recursos algebraicos que sirven para resolver algunos casos del tipo de las tres primeras


En los ejemplos siguientes se resuelven indeterminaciones del tipo para las funciones racionales.

(aplicamos propiedad cancelativa)1) Calculen los siguientes lmites

a)

b)

c)

d)


En el siguiente ejemplo se resuelve una indeterminacin del tipo

dividiendo a cada trmino por la potencia ms grande del denominador .

1) Calculen los siguientes lmites

a)

b)

c)

d)


En el siguiente ejemplo se resuelve una indeterminacin del tipo

1) Calculen los siguientes lmites

a)

b)

c)

Bibliografa

Carpeta de matemtica I, Carlos Abdala-Mnica Real-Claudio Turano, editorial Aique. Carpeta de matemtica II, Carlos Abdala-Luis Garaventa -Claudio

Turano, editorial Aique.

Matemticas , Bachillerato 1, Miguel de Guzmn y otros, editorial Anaya.

BACHILLERATO

ACELERADO

PARA ADULTOS

A DISTANCIA

- IED-

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Enzo Romero Gentile (1928-1991), nacido en Buenos Aires, obtuvo el ttulo de Doctor en Matemtica con todos los honores, destacndose en sus trabajos de investigacin en Algebra y Aritmtica.

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módulo yanina mat co ii si

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