MODULO MATEMTICASBSICAS ARACELLY MAHECHAJORGE ELIECER RONDON DURAN UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGAE INGENIERIA UNIDADDECIENCIASBSICAS BOGOTA 2006 id7985515 pdfMachine by Broadgun Software- a great PDF writer!- a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.comhttp://www.broadgun.com 2 COMIT DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria HerreraVicerrectora Acadmica y de Investigacin Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggica Maribel Crdoba Guerrero Secretaria General MDULO MATEMTICAS BSICAS SEGUNDA EDICIN Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2007 Bogot, Colombia 3 TABLA DE CONTENIDO Pag. PRESENTACION.. 10 INTRODUCCION GENERAL. 11 PROPOSITOS.. 11 OBJETIVOS.. 12 METODOLOGIA Y CREDITOS ACADEMICOS....12 CONTENIDO PROGRAMATICO UNIDAD DIDACTICA UNO: Aritmtica y lgebra.13 CAPITULO 1: ARITMETICA.. 14 Introduccin.....14 Autoevaluacion Inicial.14 1.CONJUNTOS Y NUMEROS.. 16 1.1. Conjuntos..16 1.1.1.Operaciones entre conjuntos.18 1.1.2.Propiedades de operaciones con conjuntos 22 1.2.Nmeros..23 1.2.1.Nmeros naturales..25 1.2.2.Nmeros enteros.26 1.2.3.Nmeros racionales....26 1.2.3.1.Nmeros fraccionarios..26 1.2.3.2.Suma y resta de fraccionarios.27 4

PAG

1.2.3.3.Multiplicacin de racionales.33 1.2.3.4.Divisin de fraccionarios 34 1.2.3.5.Nmeros decimales 36 1.2.3.5.1. Fraccin decimal... 36 1.2.3.5.2. Operaciones con los nmeros decimales... 37 1.2.3.5.3. Clase de nmeros decimales... 40 1.2.4.Nmeros reales 42 1.2.5.Propiedades de los nmeros.. 43 1.2.6.Valor absoluto 46 AUTOEVALUACION 1 Conjuntos y nmeros...47 1.2.7.Potenciacin...48 1.2.7.1.Propiedades de la potenciacin50 1.2.7.2.Clases de potencias53 AUTOEVALUACION 2Potenciacin 53 1.2.8.Radicacin..54 1.2.8.1.Clases de raices. 55 1.2.8.2.Propiedades de los radicales 56 AUTOEVALUACION 3Radicacin..57 1.2.9.Logaritmacin...58 1.2.9.1.Propiedades de los logaritmos61 AUTOEVALUACION 4Logaritmos.62 5 PAG 1.2.10. Nmeros complejos.....................................62 1.2.10.1.Operaciones con nmeros complejos. 64 AUTOEVALUACION 5Nmeros complejos. 66 CAPITULO 2: ALGEBRA. 67 Introduccin. 67 Autoevaluacion Inicial 67 2.ALGEBRA. 68 2.1.Expresiones algebraicas..68 2.1.1. Adicin suma de expresiones algebraicas...70 2.2.Signos de agrupacin...73 2.3.Multiplicacin 77 2.4.Divisin..80 2.5. Productos notables..87 2.5.1. Binomios88 2.5.1.1.Binomio de newton92 2.5.1.2.Triangulo de pascal 93 2.5.1.3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.94 2.5.1.4. Producto de dos binomios... 95 AUTOEVALUACION 6Productos notables.97 2.6.Cocientes notables97 6 PAG 2.7.Factorizacin. 100 2.7.1.Factor comn...100 2.7.2.Diferencia de cuadrados perfectos... 105 2.7.3. Trinomios 106 2.7.3.1. Trinomio cuadrado perfecto. 106 2.7.3.2. Trinomio de la forma (x2+bx+c).. 109 2.7.3.3. Trinomio de la forma (ax2+bx+c).112 2.7.4.Suma o diferencia de cubos perfectos.. 115 AUTOEVALUACION 7Factorizacin.. 116 2.8.Mximo comn divisor117 2.8.1. Mximo comn divisor de monomios118 2.8.2.Mximo comn divisor de polinomios..119 2.9.Mnimo comn mltiplo 121 2.9.1.Mnimo comn mltiplo de monomios.. 122 2.9.2.Mnimo comn mltiplo de polinomios. 123 AUTOEVALUACION 8 Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo.. 124 2.10.Fracciones algebraicas.... 125 2.10.1.Reduccin de fracciones 126 2.10.2. Fracciones con monomios126 2.10.3. Fracciones con polinomios...127 2.11.Operaciones con fracciones. 1287 PAG 2.11.1.Suma de fracciones..128 2.11.2.Resta de fracciones..131 2.11.3.Multiplicacin de fracciones132 2.11.4.Divisin de fracciones..134 2.12.Fracciones complejas...135 AUTOEVALUACION 9Facciones algebraicas. 137 UNIDAD DIDACTICA DOS: Razones Proporciones y Geometria 138 CAPITULO 3: RAZONES Y PROPORCIONES 139 3. RAZONES Y PROPORCIONES139

3.1.Razones139 3.1.1. Razn aritmetica. 139 3.1.2. Razn geometrica..140 3.2.Proporciones..140 3.2.1. Cuarta proporcional.. 142 3.2.2. Transposicin de trminos.. 143 AUTOEVALUACION10Razones y proporciones 143 3.3.Reparto proporcional 145 3.3.1. Reparto proporcional directo simple.. 145 3.3.2. Reparto proporcional directo compuesto.. 156 3.3.3. Reparto proporcional inverso simple. 158 AUTOEVALUACION 11Proporciones1628

PAG

3.4.Porcentaje 163 AUTOEVALUACION 12Porcentaje... 167 CAPITULO 4: GEOMETRIA.168 4. GEOMETRIA....168

Introduccin168 Concepto de geometra168 4.1.Geometra plana 169 4.2.Clasificacin de las rectas171 4.2.1.Rectas paralelas. 171 4.2.2.Rectas perpendiculares172 4.2.3.Rectas oblcuas.172 4.3.Polgonos..172 4.3.1.Elementos de los polgonos 172 4.3.2.Clases de ngulos 174 4.3.2.1. Segn su posicin 174 4.3.2.2. Segn su medida. 175 4.3.3.Clases de polgonos 175 4.3.3.1.Polgonos convexos y concavos.. 176 4.3.3.2.Angulo interior de un polgono regular 177 4.4. El Tringulo. 179 4.4.1.Lneas y puntos notables de un tringulo....... 1809 PAG 4.4.2.Area y permetro del tringulo....181 4.4.3.Teorema de Pitgoras 183 4.5. El Cuadriltero185 4.5.1.Area de los cuadrilteros 186 4.5.2. Area de un polgono regular..186 4.6.La Circunferencia y el Crculo..187 4.6.1.Circunferencia..187 4.6.2.Crculo 187 4.6.3.Lneas notables de la circunferencia188 4.6.4.Area y permetro del crculo 188 4.6.5.Sector circular 189 4.6.6.Segmento circular. 189 4.6.7.Corona circular.. 190 AUTOEVALUACION 13Geometra plana. 190 4.7. Geometra espacial.. 191 4.7.1.Diedros191 4.7.1.1.Clases de diedros.. 192 4.7.2.Poliedros 192 4.7.2.1. El prisma193 4.7.2.1.1.Area del prisma..194 4.7.2.1.2. Volmen del prisma.. 19410 PAG 4.7.2.2. La pirmide.. 195 4.7.2.2.1.Area de la pirmide. 195 4.7.2.2.2.Volmen de la pirmide..196 4.7.2.3. El cilindro..196 4.7.2.3.1.Area del cilindro...197 4.7.2.3.2.Volumen del cilindro197 4.7.2.4. El cono..197 4.7.2.4.1.Volumen de un cono..198 4.7.2.5. La esfera 198 4.7.2.5.1.Area de la esfera. 198 4.7.2.5.2.Volumen de la esfera..199 AUTOEVALUACION 14Geometra espacial....199 INFORMACION DE RETORNO.. 201 GLOSARIO DE TERMINOS224 BIBLIOGRAFIA.228 CUADRO DE RESUMEN DE FORMULAS..229 11 PRESENTACION Hoy en da ninguno puede pensar que la obtencin de un diploma o un titulo le aseguraunsitioenlacomunidaddelconocimiento.Enlosiguiente,todoslos seres humanos tendremos que persistirennuestra formacino capacitacin a lo extenso de la vida. Esta exigencia ha obligado a dar unnuevo enfoque al procesoeducativoyponerlaimportanciaeneldesarrollodelascualidadesy habilidadesdelestudianteparaqueaprendaaaprender,aprendaahacer, aprenda a estar y, sobre todo, aprenda a ser. DeahqueenlaUniversidadNacionalAbiertayaDistancia-UNAD,hayamos emprendidouna extensa reforma del nmero y programas de las carreras, as como de los contenidos programticosa fin de ajustarlos a los requerimientos de la sociedad del saber. Unodelosreclamosmsfrecuentesdelosdocentesqueorientanloscursos de Matematicas, en los primeros semestres de las carreras universitarias, es la casinulapreparacinquelosalumnosquevienendeterminarsusestudios secundarios muestran en dicho campo. Talvezelmenosculpabledeestasituacineselpropioestudiantesi consideramoslaimprovisacin,enloscontenidosyenlametodologadela enseanzadelamatemtica,alaquesevesometidoalolargodesus estudiosrealizadosenelbachillerato.Paratratardeigualaraestosjvenes, tan complejos en sus conocimientos, se hace necesario incluir el curso electivo de matematicas bsicas como un puente entre los conocimientos adquiridos en la educacin media y el inicio de la educacin superior. El saber de estos problemasen la Universidad me han alentado a escribir este modulo, cuyas cualidades fundamentales son las siguientes: 1.El empleo de un lenguaje fcil y cmodo para el lector. 2.Trabajosfcilmenterealizablesqueconllevanalaasimilacindel concepto matemtico deseado. 3.Eldesarrollodelasdiferentestemticasincluyediversosejemplos,con el fin de ahondar adecuadamente y pensar en sus diversas aplicaciones. 4.Habrgrancantidaddeejerciciosdebidamenteescogidosquebuscan motivaralestudianteaobtenerconsupropiodesarrollounaadecuada bd bc addcba += +12 comprensin de los contenidos y un efectivo manejo de las operaciones matematicas. 5.Se encontraraconun apropiadonmero de formulas,grficosyfigurasque ayudan a visualizar los conceptos. 6. Al trmino de cada capitulo aparece un TALLERcon ejercicios tericos. Este taller persigue, entre otras cosas, evitar que tanto el docente como el estudiante tengan que ir a distintos textos a buscar ejercicios. Comoloexpreseanteriormente,elmoduloestaencaminadoadesarrollar contenidosmatemticosbsicos.Enestesentidopuedeserempleadoen cursosdemayornivelcomolgebra,TrigonometrayGeometraAnaltica,el Clculo,lasEcuacionesDiferenciales,laEstadsticayotrasreasdel conocimiento. Losnuevosmdulosproveenalalumnolasherramientasindispensablespara enfrentarlosdesafosqueseleplantearanensuvidaprofesional,elrpido desarrollo cientfico y tecnolgico. INTRODUCCION GENERAL: Enelprocesodeenseanzaaprendizajedelasmatemticashasido complicado para el estudiante, ya que durante toda su vida se le ha sembrado temorhaciaellas,generandoconestosurechazoydesmotivacinpara aprenderlas. En vista de la importancia de este curso acadmico y teniendo en cuenta que algunosestudiantesqueingresanalaUniversidadNacionalAbiertaya Distancia - UNAD, son personas que generalmente hace tiempo terminaron sus estudiossecundarios,seadiseadountextoconladidcticanecesariapara quesuscontenidosseanaprendidosteniendoencuentalosfundamentos bsicosdelaprendizajeautnomo,detalmaneraquefaciliteelprocesode aprendizaje. ElcursoacadmicoelectivodeMatematicasBsicas,estaubicadodentrode los cursos bsicos del campo disciplinar, debido a la gran importancia que tiene como baseparala formacindel futuroprofesional,yaqueesnecesariopara poder afrontar cursos de mayor complejidad y como herramienta para resolverproblemas en cualquier campo del saber. 13 PROPOSITOS: Dentro de los propsitos del curso se tiene que elestudiante identifique losprincipios de las Matemticas Bsicas, para que los aprendientes de losdiferentes programas acadmicos que oferta la UNAD, activen y fortalezcansusconocimientosprevios.Otraintencionalidadimportanteesquelos estudiantesclasifiquenlasdiferentesoperacionesmatematicas,teorias, axiomas, definiciones y propiedades, con el fin de que puedan comprenderlas y emplearlas cuando as se requieran. Porultimotodoloanteriornosconllevaaqueelestudianteseaunfactor determinante en la solucin de problemas en el campo de la ciencia, tecnologa eingeniera,conlosconocimientosdebidamenteadquiridosdelcurso acadmico. OBJETIVOS: Los objetivos del curso se pueden dividir en dos: Generales: a)Proporcionar y reforzar al estudiante los conocimientos bsicos mnimos en matematicas, que debe poseer un estudiante de nivel superior. b)Desarrollarenelestudianteunsentidomatemticoquelepermita enfrentar con seguridad y criterio situaciones que exijan matemtica. c)Capacitar al estudiante para que logre destreza en la manipulacin de la Aritmtica, lgebra, Geometra y Razones y Proporciones. d)Plantear, resolver e interpretar situaciones donde se tenga que aplicar la matemtica bsica. Especficos: a)Quelosestudiantesconozcan,describanymanejenclaramentelos conceptos,clases,operacionesypropiedadesdelosconjuntos numricos,nmeros,potenciacin,radicacin,logaritmacion,atravs del estudio terico y el anlisis de casos modelos. b)Identificarydesarrollarlasexpresionesalgebraicas,polinomios, Factorizacion, productos y cocientes notables, M.C.D y M.C.M. c)Desarrollar habilidades para operar y simplificar expresiones racionales. d)Representacin clara del concepto de punto y la lnea, polgonos, figuras geomtricas en el plano y en el espacio. e)Tenganclaridadyhabilidadenelclculodepermetro,reayvolumen de las diferentes figuras geomtricas en el plano y el espacio. 14 UNIDAD DIDACTICA UNO ARITMTICA Y LGEBRA 15 CAPITULO 1 ARITMETICA INTRODUCCION: Siempre que emprendemos una empresa que requiere nuestra mejor atencin y empeo, como el estudio del presente modulo, es conveniente revisar las bases y recorrer rpidamente el camino avanzado. Por eso este primer capitulo incluye un somero repaso de la teora bsica de conjuntos y nmeros; lo que nos dar, adems de conocimientos renovados de lo estudiado en la infancia, un mismo idioma para establecer una verdadera comunicacin con el estudiante. AUTOEVALUACION INICIAL Con el fin de hacer un diagnstico sobre el conocimiento que usted tiene sobre lastemticasrelacionadasconlaaritmtica,acontinuacinloinvitamospara que resuelva la siguiente evaluacin.Con este ejercicio, se pretende que usted hagaunareflexinsobreloqueconoceacercadeestatemticayloque quisiera aprender. Encasoquesientaquenopuedecontestarestaevaluacin,nosepreocupe que al abordar la temtica encontrar respuesta a todas sus inquietudes.Por eso es importante que al terminar el captulo vuelva a resolver esta evaluacin y nuevamente haga una reflexin sobre lo que aprendi. 1.Sean los conjuntos: A.= { x / x es un nmero entero entre 5 y 10 } B.= { x / x es un nmero entero entre 4 y 8 } Hallar: AB ,AB 2.Definaconsuspropiaspalabras:nmerosnaturales,nmerosenteros, nmerosracionalesynmerosreales.Deunejemplodecadaunode estos tipos de nmeros. 16 Hallar el resultado de : 3. 29 +27 +211 4.35 -97+ 4 5. 523 74 6. 56 94 7. Calcular los 83 de 16.000 Hallar: 8. 25 75 35 5 9.87 37 10. ( ) ( ) ( )0329 11.26 12.31331 13.Long5625 17 1.CONJUNTOS Y NUMEROS: Paraabordarlastemticasdearitmtica,lgebraygeometra,esnecesario tenermuyclaroslosconceptosbsicossobrelasdiferentesoperacionesque se pueden realizar con los conjuntos de nmeros naturales, enteros, racionales y reales. 1.1CONJUNTOS: Losconjuntossepuedencompararcomounacoleccin,reuninlistade objetosquecompartenunaciertacaractersticaquelosdiferenciadeotros.Estn conformados por un grupo de objetos llamados elementos. Se pueden enumerar de dos formas: 18 -Porextensincuandosedetallantodoslosintegrantes,porejemploel conjunto de vocales del alfabeto castellano: N = a, e, i, o, u

Esto significa que el conjuntoN est compuesto por los elementos a, e, i, o, u exclusivamente. Eneste caso se puede decir que el elementoa perteneceal conjunto N; dicindolo matemticamente:a eN Entonces el smboloe significa pertenencia. Anlogamente se podra decir que: heN , o sea que el elemento h no Pertenece al conjunto N. El smboloe indica no pertenencia. -Porcomprensinesotraformadeenumerarlosconjuntos,dndese diferenciaunconjuntodeotroporlacaractersticanicaqueagrupasus elementos. En este caso la caracterstica sera: N = {x / x es una vocal del alfabeto castellano} Selee:Neselconjuntodeloselementosequistalesque(oquecumplenla condicin que) equis es una vocal del alfabeto castellano. Cuandounconjuntotieneunnmeroinfinitodeelementos(sellamaconjunto infinito) no se pueden contar, es imposible describirlo por extensin, razn por la cual se hace necesario hacerlo por comprensin, por ejemplo el conjunto de los nmeros racionales. 19 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Supongamos el conjunto que describo por comprensin es: P = {x / x es un nmero impar menor que 30} Estoequivalealconjuntodeelementosxquecumplenlacondicindeser nmero impares menores que treinta. Entonces para nombrar este conjunto por extensin sera: P = { 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, 21,23,25,27,29 } . Se podra decir que 11 e P, pero 6 e P Paranombrarlosconjuntossiempreseusanlasletras maysculas,enestecasoP,mientrasqueloselementosse denotan con las letras minsculas. 2. Si se tiene el conjunto M = {padre, madre, hijos}, por comprensin sera: M ={ x / x es un miembro de la familia } 1.1.1. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS: Yasetieneconocimientosobrecomonombrarlosconjuntos,ahoraes importanterecordarlasdiferentesoperacionesquesepuedenrealizarconlos conjuntos.Para facilitar este proceso, se acude los diagramas de Venn-Euler, mediante el cual se puede dar una idea mas clara de los conjuntos. El conjunto M anteriormente mencionado se puede representar en el diagrama de Venn-Euler de la siguiente manera: A Padre Hijos Madre

20 Antes de iniciar con las diferentes operaciones que se realizan con los conjuntos, es importante recordar las comparaciones entre conjuntos: Unconjuntoesigualaotrocuandotienenlosmismoselementos,por ejemplo los conjuntos: A = {1, 3,5} yB = {5, 3,1}, Se dice que A =B, por que tienen los mismos elementos, sin importar el orden de los elementos. Por otro lado, se puede decir que { 1,3,5,3,1 } = { 1,3,5,5,3 } por que tienen los mismos elementos, aunque se repitan algunos de sus elementos. Contenencia: Dados los conjuntos: M = { a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z }y N = {a, e, i, o, u} SeapreciaquetodosloselementosdelconjuntoNestntambindentrodel conjunto M, entonces se dice que N es un subconjunto de M o tambin que N esta contenido en M y se denota como: Nc M

En el caso de los conjuntos: A = {1, 3, 5,} B = {5, 3, 1} Se puede decir que Ac B,yBc A, entonces se llega a la conclusin que si dos conjuntos son iguales cada uno es subconjunto del otro. Suma: La ms sencilla de las operaciones entre conjuntos es la adicin o unin, a travs de la cual se obtiene un nuevo conjunto con los elementos de cada unodelosconjuntosqueseestnuniendo.Estaoperacinserepresentaconel operador Si se tienen los conjuntos: A = {a, b, c, d, e, f, g} 21 B = {a, e, i, o, u} La suma de estos dos conjuntos es: AB = { a,b,c,d,e,f,g,i,o,u }

En la adicin o unin de conjuntos, elconjuntoresultadoesiguala loselementos comunes y no comunes Los elementos comunes, en este caso a, e, solamente se colocan una vez. A travs del diagrama de Venn la suma se representa de la siguiente manera: Interseccin:

LaInterseccindedosomsconjuntos es el grupo de los elementos que son comunes a tales conjuntos

Esta operacin se representa por el smbolo 22 Siguiendo con el ejemplo anterior, A = {a, b, c, d, e, f, g} y B = {a, e, i, o, u}, interseccin igual a: AB = {a, e} Por que los elementos a, ese encuentran en los dos dos conjuntos. Mediante diagramas de Venn la operacin de interseccin se representan as: ExisteunconjuntollamadoUniversal(U).Esterepresentaeltotalde elementos que pueden componer un conjunto. Por ejemplo si se tienen los conjuntos U = { a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,y,z } y A = {a, e, i, o, u} El conjunto complemento de A denominado A (A prima) equivale al conjunto deelementosquepertenecenalconjuntoUniversalyquenopertenecenal conjunto A, entonces: A = {b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,y,z} El conjunto Universal se representa por un rectngulo en el diagrama de Venn, dentro del cual estn todos los subconjuntos: 23 U

A A` Conjunto unitario: Cuando un conjunto tiene un solo elemento se llama conjunto unitario. Conjunto vaco: Se refiere al conjunto que no contiene elementos y serepresentamediante la letra griega , yporextensin se representa as: {}, sin elementos, por ejemplo si: M = { 1,3,5,7,9 } y N= { 2,4,6,8 }la interseccin es: MN= por que los dos conjuntos no tienen elementos comunes. 1.1.2. PROPIEDADES DE OPERACIONES CON CONJUNTOS: - CONMUTATIVIDAD: La unin y la interseccin de conjuntos cumple la ley conmutativa, esto es: A B = B A;A B = B A - ASOCIATIVIDAD: La unin y la interseccin de conjuntos cumplen la ley asociativa, esto es: (A B) C = A (B C); (A B) C = A (B C) - DISTRIBUTIVIDAD: La interseccin es distributiva con relacion a la unin, y la unin es distributiva con relacin a la interseccin, esto es: A (B C) = (A B) (A C); A(B C) = (A B) (A C) 24 EJERCICIOS RESUELTOS Sean los conjuntos: U ={ 1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {1, 2, 3, 4,5} B = {1, 2,3} C = {4, 6,8} Hallar: ( A B); ( B C ); ( CA ); ( B C ); ( C A) ;B (A B)= {1, 2, 3, 4,5} (B C) ={1, 2, 3, 4, 6, 8} (C A)= {1, 2, 3, 4, 5, 6,8} (B C) =O (CERO) por que no tienen elementos comunes (C A)={4} B = {4, 5, 6, 7,8} (o sea que Bes igual a los elementos que estn en U pero no esten en B). 1.2. NUMEROS: Alconsiderarselosconjuntoscomounacoleccindeelementosconcierta caracterstica que lo diferencian de los dems, los diferentes grupos numricos: Reales,Racionales,EnterosyNaturalessoncatalogadoscomoconjuntos,de tal manera que pueden representarse mediante el diagrama de Venn Euler. 25

R Q

Z N 0 Z Nc Zc Qc R Donde: N representa los nmeros Naturales Z los nmeros Enteros Q nmeros Racionales Rnmeros Reales En este diagrama se representa Nc Zc Qc R(el conjunto de los nmeros NaturalesestncontenidosenlosEnterosyasuvez,elconjuntodelos Enteros estncontenidos en los Racionales y estos ltimos estn contenidos en los Reales.) Acontinuacinsedefinirncadaunodeestostiposdenmeros,empezando por los Naturales. 26 1.2.1.NUMEROS NATURALES: Matemticamente se denota al conjunto de los nmeros con la letra N , Tal que: N = { 1,2,3,4, 5, 6, ...... } Con estos nmeros se pueden realizar operaciones como suma, multiplicacin y potenciacin. Los nmeros Naturales tienen como subconjuntos los nmeros pares, impares y primos. Nmeros Pares: Se refiere a los nmeros que son divisibles por dos 2, es decirque se puedendividir exactamentepor 2 por ejemplo son el 2, 4, 6, 8, 10,12.... Nmeros Impares: son los nmeros que son indivisibles por 2, es decir que no se pueden dividir por 2, ejemplo 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,15......... Nmeros Primos: se dice que un nmero es primo si no tiene mas divisores que l mismo y la unidad, por ejemplo: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,........ya que: 2nicamente se puede dividir por s mismo 22 = 1 y por la unidad 21= 2, es decir no se puede dividir por ningn otro nmero 3131= 1y por la unidad 31 1 = 31 no hay ningn otro nmero que divida exactamente a est nmero. 4141= 1ypor la unidad 411 = 41 no hay ningn otro nmero que divida exactamente a est nmero. Es importante observar que el nico nmero par primo es el2 27 1.2.2. NUMEROS ENTEROS: Existeotrotipo denmeros,losEnteros(Z).Esteconjuntodenmerosest compuesto por los enteros positivos (Z+) (que son los mismos Naturales), por losenterosnegativos(Z)yporelcero(0).Conlosnmerosenterosse puedenrealizarlasmismasoperacionesplanteadasenlosNaturalesmasla resta. 1.2.3 NUMEROS RACIONALES: A los nmeros racionales se le conoce como conjunto Q, esta conformado por el cociente de nmeros enteros.Todos los enteros pueden ser escritos como nmeros racionales divididos por uno (1) por ejemplo 19,17 es decir que NcZcQ

1.2.3.1. Nmeros Fraccionarios: En diversas situaciones de la vida cotidiana es necesario trabajar con trozos de cosas como por ejemplo media pera, medio kilo de azucar, un cuarto de arroba de yuca, y un cuarto de terreno de unlote, entre otras, estos son los Nmeros Fraccionarios. Porejemplo,lasiguientefigurasedividienocho(8)partesysetomuna parte(lasombreada)estoequivaleadecir:1/8dondeel(1)representaal numerador (o sea las partes que se toman) y el ocho (8) el denominador (las partes en que esta dividida la unidad).

Otro ejemplo de un nmero fraccionario es cuando unpan se divide en cinco (5)partes,denominadoryseseleccionan2deestasporciones,numerador; este fraccionario se representa de la siguiente forma: 28

Numerador: indica elnmero de partes que se toman

52 Denominador Indica las partes en queesta dividida la unidad No puede ser cero (0) 1.2.3.2.Sumayrestadefraccionarios:sisetienelasiguientesumade nmeros fraccionarios.

34 + 38 + 31 = = 313

Denominadores Iguales Seobservaquetodoslosdenominadorestienenelmismonmero(3)osea quelasfraccionessonhomogneas.Paralasumayrestadeestetipode fraccionessedejaelmismodenominador(3)ysesumanorestanlos numeradores, de acuerdo con la operacin planteada. Ejemplos: = + +46414845 46 1 8 5 + + = 48 = + +39323834

39 2 8 4 + + =35 Existeotrotipodefraccionarios,sonlosquetienenlosdenominadores diferentes. Este tipo defraccionarios se denominan No Homogneos. 1 8 4 + +3 29 Parallevaracabolasoperacionesdesumaorestadefraccionariosno homogneossedebeprimerohallarundenominadorcomnparatodaslas fracciones y luego si realizar la operacin de suma y resta de los numeradores.Veamos el siguiente ejemplo. 655738+ + Denominadores Diferentes

Como se trata de fraccionarios no homogneos porque sus denominadores son diferentes3,5y6seprocedeahallarundenominadorcomn,quedivida exactamente a los tres denominadores.

Una manera facil para hallar el denominador comn, es a travs del mnimo comn mltiplo m.c.m. el cualconsiste enDividircadauno de los nmeros dados Por su menor divisorycontinuarcon los cocientes hasta que todos los cocientes sean uno (1). El m.c.m. es el producto de todos los divisores primos.

3 5 6 2Al analizar los denominadores 3, 5 y 6 podemos darnos cuenta que el menor 3 5 3 3divisor de estos tres nmeros es 2, por lo tanto se divide el 6 por este nmero 1 5 1 5 dando como resultado 3.Los otros nmeros 3 y 5 como no son divisibles por 2 se 11 1 dejan igual. Por esta razon en la segunda fila aparecen 3, 5 y 3, la cual se divide por 3 dando como resultado 1,5 y 1, la cual a su vez se divide por 5 hasta llegar a 1,1 y 1. El m.c.m. se obtiene al multiplicar cada uno de los divisores primos 2.3.5 dandoResultado 30.Esto significa que 30 es el menor mltiplo de 3.5 y 6 y portal 2- 3- 5 =30razn, divide exactamente a estos nmeros. Repasemos... 30

La multiplicacin puede ser representada Por: El signo (x), por un()o por un parde parntesis ( ) ( )

El m.c.m,(30) se deja como el denominador comn para todas las fracciones.Parahallarcadaunodelosnumeradoresseprocededelasiguientemanera:el m.c.m. se divide por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas (3,5,6) y se multiplican por sus respectivos numeradores. = + +655738 ( ) ( ) ( )305 6 30 7 5 30 8 3 30 + + =3025 42 80 + +=30149 EJERCICIOS RESUELTOS Operar: 1) 601115857+ + Como los denominadores son diferentes, se hallan el denominador comn:

515602 515302 515153 5555 111

m.c.m = 22. 3. 5= 60 Entonceseldenominadorcomnes(60).Paraencontrarlostrminosdelos numeradores respectivos se divide 60 entre cada uno de los denominadores delas fracciones y se multiplican por sus respectivos numeradores. 31 601115857+ + = 6011 ) 60 60 ( 8 ) 15 60 ( 7 ) 5 60 ( + + = 601276011 32 84=+ + 2)825631El m.c.m de 6 y 8: 682 2 342 2 322 2 313 3 11 m.c.m.=23. 3 = 2 . 2 . 2 . 3 = 24 Elm.c.m.sedejacomodenominadorcomnylostrminosdelos numeradores se forman dividiendo el 24 entre cada uno de los denominadores de las fracciones y multiplicndolos por los respectivos numeradores.La nica diferencia entre la suma y la resta es que los trminos de los numeradores se restan o se suman de acuerdo a la operacin planteada. 24492475 1242425 ) 8 24 ( 31 ) 6 24 (825631== = 3) 5111649207 + 20 165 2108 5 2 545 2 625 2515 5 111 m.c.m. = 24. 5= 2.2.2.2.5 = 80 4)9 - 1249631+ 32 RecordandoquetodonmeroenterosepuedeconvertirenRacionalsisele coloca como denominador el nmero uno (1), la operacin se plantea as: 124963119+ 1612 2 136 2 133 3 111 m.c.m. = 22. 3 =2.2.3 = 12

124963119+ =12951249 62 1081249 ) 12 12 ( 31 ) 6 12 ( 9 ) 1 12 (=+ = + 5)6 -12123121 + + Para poder realizar esta operacin se tienen que convertir los nmeros enteros a Racionales quedando de la siguiente manera:

112112312116 + + 1231212 11311 1 3 11111 1 m.c.m. = 2 . 3= 6 33 112112312116 + + = = + + = + + 66 3 12 2 3 3661 ) 1 6 ( 1 ) 2 6 ( 2 ) 1 6 ( 1 ) 3 6 ( 1 ) 2 6 ( 6 ) 1 6 ( Recordando la simplificacin de fracciones, la cualConsiste en dividir tanto el numerador como del deNominador por un mismo nmero, en este casoel Nmero 2

3102 62 20= 6) Operar los siguientes nmeros racionales 5 + 43187+Este nmero se denomina Mixto por que consta de una parte entera (4) y un nmero fraccionario (7/8).Parapoderdesarrollar la operacinesnecesario convertir este mixto en nmero fraccionario. Esto se logra multiplicandoeldenominadordelafraccin (8) por el nmero entero (4) y a este resultado se le suma el numerador de la faccin (7). El resultado de esta operacin 8 x 4 + 7 = 39sedejacomo numerador dela nueva fraccin ycomo denominador se deja el que tiene la fraccin o sea(8). Una vezhecha la conversin del Mixto a racional, queda:

3183915+ + 1832 1432 1232 1133 111 m.c.m. = 23 . 3= 2 . 2. 2 . 3 = 24 34 1.2.3.3.Multiplicacin de racionales: Ejemplo: Para multiplicar dos o ms fracciones, se multiplican los numeradores entre si, en este caso(4 x 7) = 28 y los denominadores tambin se multiplican entre s (5x3) = 15 15283754= 7) Realizar 32) 7 21 () 7 14 (2114) 2 42 () 2 28 (4228) 2 84 () 2 56 (8456) 2 168 () 2 112 (168112211687== == == == = Enesteejercicioseobservaquealmultiplicarlosnumeradores(7x16)el resultado es 112 y al multiplicar los denominadores (8 x 21) el resultado es 168. Perotantoelnumeradorcomoeldenominadorsondivisiblespor(2),esdecir sepuedendividirpor(2),entoncessedivideporestenmero,dandocomo resultado 56/84, estos a su vez se pueden dividir por (2) dando como resultado 28/42 y as se sigue dividiendo sucesivamente hasta cuando ya no se puedan dividir por ningn otro nmero, es decir obtener una fraccin irreductible 8)

25) 7 14 () 7 35 (1435) 3 42 () 3 105 (42105) 3 126 () 3 315 (1263153 7 67 9 5377965== == == = = Es importante recordar algunas reglas de la divisibilidad:

- Un nmero es divisible por 2 cuando termina en nmero par o en cero - Un nmero es divisible por 3 cuando al sumar las cifras que conforman el nmero da un mltiplo de 3.Ejemplo315 es divisible por 3 porque al sumar 3+1+5 = 9 y este nmero es mltiplo de 3. -Un nmero es divisible por 5 cuando termina en 5 o en cero. 9)111) 20 20 () 20 20 (20201 5 420 1 11205141205141= == = = = 35 10)31141412712727121= = = 11)Calcular 65 de 42 La palabra de indica multiplicacin 35135) 3 3 () 3 105 (3105) 2 6 () 2 210 (621014265= == == = 12)Hallar los 32 de 54 de 30 16116) 15 15 () 15 240 (152401 5 330 4 21305432= == = = 1.2.3.4.Divisin de Fraccionarios: Ejemplo: 151632582358= = Unodelos mtodos para dividir dos fraccionarios es Multiplicar el primer fraccionario, en este caso 8/5 por elrecprocodel segundo. Esterecproco se lograInvirtiendoel numerador y el denominador, o sea que Si se tiene 3/2, su recproco ser2/3. 13)23) 3 6 () 3 9 (69) 2 12 () 2 18 (1218) 2 24 () 2 36 (243634894389== == == = = 14) 8940951859= = 36 15)54761971697697= = = Extremo16)32983298= Medios Extremo Teniendo en cuenta que un fraccionario siempre indica division, es decir si se tienen 8/9 significa que 8 se tiene que dividir por 9, un fraccionario divido por otro tambien se puede colocar uno sobre otro, en este caso 8/9 sobre 2/3. 34) 6 18 () 6 24 (18242 93 832983298== == = Este tipo de operacin se efecta por elmtodoPRODUCTO DE EXTREMOS,comoes el caso (8x3)sobre PRODUCTO DEMEDIOS (9X29). 17)712) 4 28 () 4 48 (28484 73 163471634716== == = 18)12 7727 16 12671126711267== = = 19)3075 61 715671567567== = =

37 1.2.3.5. Nmeros Decimales: Dentro del conjunto de nmeros racionales, se encuentra un conjunto numrico queesimportanteanalizarloycorresponde alosnmeros decimales.Todos hemosescuchadolapalabradecimalyglobalizamoselconceptoanmeros como0,32,1,25,7,4y3,25entreotros.Enestapartesepretendedarun formalismo matemtico a este sistema numrico que es muy aplicado en todas las reas del conocimiento. Para hablar de nmeros decimales, es pertinente recordar qu es un racional y especialmentelosnmerosfraccionarios,yaquetodonmerofraccionariose puede escribir como nmero decimal. 1.2.3.5.1.Fraccindecimal:se refiere a toda fraccin, cuyo denominador es la unidad seguida de ceros, comopor ejemplo: 108 Tambien se puede representar como 2 x 101 , 10057 Tambien se puede representar como 57 x 102 10005Tambien se puede representar como 5 x 103

Elnmerodecimalqueseobtienedeunafraccindecimalsehalladela siguienteforma:secolocaelnumeradorquetienelafraccindecimal, colocndole una coma( , ) o un punto (- ) a su derecha, luego esta coma o puntosecorrehacialaizquierdacuantoscerostengaeldenominador,por ejemplo:

108 Se coloca el nmerador (8,) y como el denominador (10) tiene un solo cero, se cuenta una sola cifra hacia la izquierda, partiendo del (8), entonces el nmero decimal queda: 0, 8 10017Se deja el numerador (17) y como el denominador tiene dos ceros, se cuentan dos cifras hacia la izquierda colocndose la respectiva coma. 0,17 38

100056Lo mismo que en el caso anterior, se deja el numerador (56) y se corren hacia la izquierda tres cifras, porque el denominador tiene tres (3) ceros : 0,056 =105 0,5 =1007 0, 07 =10009 0,009 =1000850,085 1.2.3.5.2. OPERACIONES CON LOS NUMEROS DECIMALES: Las operaciones que se pueden realizar con este tipo de nmeros son iguales a las que se hacen con los enteros Suma: Se colocan los sumandos unos debajo de los otros, de tal forma que las comas opuntosdecimalesquedenencolumna.Serealizalaoperacinenforma similar a los enteros, colocando en el total la coma de manera que coincida con la columna de las comas. Ejemplo: Realizar la siguiente suma: Columna de las comas 0,19 3,81 0,723 0,13144,854439 Resta:secolocaelsustraendodebajodelminuendo,detalformaquelas comas de los decimales queden en columna y se realiza la operacin igual que con los nmeros enteros. Ejemplo 539,72 Cuando el minuendo o el sustraendo tienen diferentes numero 539,720 - 11, 184de cifras decimales, se pueden completar con ceros, por ejemplo - 11, 184 ___________539,72 tiene dos cifras decimales, mientras 11,184, entonces se le___________ coloca un cero a 539,72 para igualarlos.528,536 Multiplicacin:Paramultiplicardosdecimalesounenteroporundecimal, semultiplicancomosifueranenteros,corrindose,enelproducto,dela derecha a la izquierda tantas cifras tengan el multiplicando y el multiplicador. 14,35 x 8,34 _______ 57404305 11480________ 119,6790 Se corren cuatro cifras a la izquierda porque cada uno de los factores tiene dos cifras decimales. Divisin: Para dividir nmeros decimales, si no son homogneos, es decir si notienenelmismonmerodecifrasdecimales,seseleccionaeltrminoque tengamayornmerodecifrasdecimalesysemultiplicanlosdostrminos (dividendo y divisor) por la unidad seguida del nmero de ceros igual al nmerodecifrasdecimalesquetieneeldemayornmero.Luegosiserealizala divisin de la misma forma que en los nmeros enteros y que ya a esta altura del curso se debe dominar. Ejemplo: Dividir Como estos numeros no son homogeneos, se procede a transformarlos en homogeneos, para esto se selecciona el 0,50,001que mayor numero de decimales tiene, en este caso 0,001 este numero tiene tres cifras decimales y se procede a multi- plicar los dos terminos (dividendo y divisor) por la unidad con 0,5 x 1000= 500el numero de ceros equivalente a las tres cifras decimales es decir por 1000. 0,001 x 1000 = 1 40 Recordando que para multiplicar por 10, 100, 1000, se corre la coma haciala derecha tantas veces indica el numero de ceros, por ejemplo si es por 100 se correndos cifras, si es por 1000 se corren tres cifras. Ahora se realiza la divisin comn y corriente: 500 1 = 500 Ejemplo: Dividir: 99 0,0003 Seconvierteahomogneosyelmayornmerodedecimalestiene4cifras, entonces los dos, tanto dividendo como divisor se multiplican por 10000. 99 x 10000 = 990000 0,0003 x 10000 = 3 Ahora si se procede a realizar la divisin con nmeros enteros: 9900003 = 330000 1.2.3.5.3. Clase de nmeros decimales: Decimalesexactos:Sonaquellosqueprovienendeunafraccin,cuya divisin es exacta. Ejemplos: =420,5porque al efectuar la divisin su residuo es cero =40120,3 Decimalesperidicos:Son aquellos que provienen de una fraccin, que al hacer la divisin presenta un residuo que se repite infinitas veces. 41 Por ejemplo : 92 origina un decimal peridico. 20 9 20 200,222 20 2 Se puede observar en la divisin que el residuo siempre va ha ser el nmero 2. Entonces 0.222... es un decimal peridico, el nmero que se repite es el dos.

0,3434343... Es un decimal peridico, donde el nmero que se repite es el 34. 5,13213213213... Es un decimal peridico, cuyovalor que se repite es el 132

Cuando los nmeros decimales peridicos no tienen fin, existe una manera deescribirlos en forma simplificada y es colocndole una rayita encima a los nmerosque se repiten. Ejemplos: 0,8La rayita encima del ocho, indica que este se repite infinitas veces. 0,87 Indica que el 87 se repite infinitas veces. 7,524 Indica que el 524 se repite infinitas veces. Decimal mixto: Es aquel que tiene una parte exacta y una parte peridica. Veamos algunos ejemplos: 42 0, 8333. En este nmero la parte exacta es el 8 y la parte peridica es el 3. 7,99555 En este numero la parte exacta es el 99 y la parte periodica es el 5. 0, 763494949.En este nmero la parte exacta es el 763 y la parte peridica el 49. Cabeanotarquelosanterioresnmerossepuedenescribirtambindela siguiente forma: 0, 83333= 0, 83 7,99555=7, 995 0,7634949 =0, 76349 Decimalesnoperidicos:Sonnmerosqueprovienendeunafraccin racional, que al hacer la divisin, el residuo en cada paso de est es diferente.Estos decimales tienen gran importancia por las caractersticas especiales que tienen,locualsepuedeestudiarenuncursodeTopologa.Porahoralo primordial es conocer este conjunto numrico. Algunos ejemplos de este tipo de decimales son: 0,12345.... 2,3467214 0,123132452856.... Como se puede observar, estos nmeros No tienen una secuencia derepeticin. Dos nmeros irracionales que merecen ser destacados son: Nmero~ 3,141592654.....,se define como la relacin de : Longitud de la Circunferencia (L)..Dimetro(D) Estenmeroesutilizadoparalamedicindengulosenelsistema hexadecimal, osealosradianes, dondese sabeque =180osea media vuelta a un circulo. Nmero e=: 2,71828183.... usando como basede los logaritmos naturales oNeperianos. 43 1.2.4 NUMEROS REALES: Engenerallosnmerosrealessontodoslosquehemosestudiadohastael momento.Unadelasprincipalescaractersticasdelosnmerosrealesesla de poder ser graficados en una recta. Esta es la recta real y esta constituda porpuntosloscualesrepresentanunnmerorealquepuedeserracionalo irracional(estosltimos,serefierenalosquetienenunnmeroinfinitode decimales,porejemplo,elnmero~3,14159....,porestemotivonoes consideradofraccionario.Losnmerosirracionalessedenotanconlaletra (Q) En la grfica, las lneas verticales representan cada uno de los enteros, que se muestranenlapartesuperior,losdelaizquierdasonlosenterosnegativos (Z)ylosdeladerechasonlosenterospositivos(Z+),lasflechasquese observanenlosextremosindicanquelarectaseextiendehastaelinfinitoen ambos sentidos. Es importante resaltar que tambin se pueden representar los nmeros racionales (Q), por ejemplo 3/5, es decir se divide la unidad en cinco partesysetomantres(3)partesdeesta.Losnmerosirracionalestambin puedensermostradosenlarectareal,conlasalvedadquedebenser aproximadosaunnmerodecimalfinito,enelpresenteejemplo- es aproximadamente -3,14. 1.2.5. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS: Para quelas matematicas lograran entenderse unos con otros hubo necesidad de proponer ciertas reglas mnimas de manipulacin de los nmeros y smbolos parapoderoperarlos,estaformaestrictadecomunicacindesus conocimientospermitiunslidodesarrollodeestacienciaydeotrasquela usan como herramienta, por ejemplo la fsica. A continuacin describiremos las propiedades o reglas bsicas de las que hablamos para lasoperaciones de la suma y la multiplicacin. - UNICIDAD: Para todo par de nmeros que sumamos o multiplicamos siempre habrunsoloresultadoposible,envirtuddelocualsitenemoslosnmeros a,b,c y d (que pueden tomar cualquier valor real) se cumple que: Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d 44 Sia = b y c =d, entonces ac = bd

En lgebra la multiplicacin de dos variables se puede escribir mediante un punto (a- b) o simplemente colocndolas juntas (ab), para evitar confundirel operadorpor (x) con la letra equis. Veamos un ejemplo: 248= y5 . 021= Por lo que, 2 + 0.5 =2148+ 2.5 = 410 Por analoga: 2- 0.5 = 2148- 1 = 88 - CONMUTATIVA: Si a y bson nmeros reales, se cumple que: a+ b = b + a (El orden de los sumandos no altera la suma) ab = ba(El orden de los factores no altera el producto) - ASOCIATIVA: Lasoperacionesdesumaymultiplicacinserealizansiempreentredos nmerosalavez,assiqueremossumarlosnmeros1,3y5sumamos primerodosdeellosymsadelantesumamoselterceroalresultado,una posible forma de hacerlo sera: 1 + 3 = 4, y 4 + 5 = 9, pero podramos empezar haciendo1+5=6ydespus6+3=9paraobtenerelmismoresultado. 45 Anlogamente con la multiplicacinprimero haramos 1 x3 = 3 y luego 3 x 5 = 15 pero es equivalentea: 1 x5 = 5 y 5 x 3 = 15. A esta caracteristicade los realesselellamapropiedadasociativa,porlotanto,cona,bycrealesse cumple que: (a+b)+c = a + (b + c) (ab) c = a (bc) - MODULOS DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACION: Cuandoaunacantidadrealselesumacero(0),elresultadoeslamisma cantidad,porlotanto,elnumerocero(0)seconocecomoelmdulode la suma. Porejemplo: 75 + 0 = 75; 15 + 0 = 15;27 + 0 = 27 Enlamultiplicacinelmoduloeseluno(1),porquealmultiplicarunnumero real por uno (1) se obtiene el mismo numero.

Ejemplos:7 x 1 = 7; 58 x 1 = 58; 999 x 1 = 999 - INVERSO ADITIVO Y MULTIPLICATIVO: Seconocecomoinversoaditivoserefierealnmeroquesumandoconsu opuesto da como resultado cero (0). Ejemplos: 7 + (- 7) = 0, entonces el inverso aditivo de 7 es 7. -68 + 68 = 0 entonces el inverso aditivo de 68 es 68. Elinversomultiplicativooreciprocoserefierealnumeroque multiplicadoporsurespectivoreciprocoseobtienecomoproducto el numero uno (1) o la unidad. Ejemplos: 7 =71 1; entonces el reciproco de 7 es 71 o tambin71 es el reciproco de 7. 46 Unamaneradepresentarlosrecprocosesconelexponentenegativo(-)por ejemplo: El reciproco de 2 es21 porque 2 x 21= 1 , la otra forma de expresarlo es 3x 21 = 1. El reciproco de 7 es 71 porque 7 x 71= 1 o tambin 7 x71 = 1. El reciproco de 56 es 65 porque 56 x 561=56 x 65 = 1. - DISTRIBUTIVA: Cuando necesitamos hacer una multiplicacin complicada,como porejemplo 6 x 26 lo ms fcil (en caso de no conocer de memoria la tabla del veintisis) es descomponer uno de los nmeros asi: 26 = 20 + 6 y luego multiplicar cada uno de los nuevos sumandos por 6 as: (20 x 6 ) + (6 x 6) lo que nos facilita la labor. El resultado final ser120 + 36 = 156.Lapropiedadquenospermitehacerloanterioresprecisamentela propiedad distributiva, en la cual si a, b y c son reales: a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca Estapropiedadnosensealaformacorrectaderomperparntesis,siempre debemos tener en cuenta que se debe multiplicar al factor nico (a en nuestro caso) por todos los sumandos el parntesis, sin excepcin . Por ejemplo: 54 (2/27 + 5/2) = 54 (2/27) + 54 (5/2) = 4 + 135 = 139 1.2.6. VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto es una propiedad asociada a cada nmero que se denota por x ,dondexescualquiernmeroreal.Parapodercomprendermejorla propiedad de valor absoluto lo mejor es utilizar algunos ejemplos: 47 7 7 + = 5 5 + = + 4343+ = +0 0 =3 10 7 + = +(Se hace primero la operacin dentro del valorabsoluto). Ensntesiselvalorabsolutoleasignaelvalorpositivocorrespondientea cualquiernmero,seapositivoonegativo.Alcero(quenoespositivonies negativo) le asigna el cero (0). Como el conjunto de los Reales involucra a los conjuntos N, Z, Q, Q entonces las operacionesque se pueden realizar con este tipo de conjuntos son: suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin, radicacin y logaritmacin. Comosesuponequeaestaaltura,lasoperacionesbsicas(suma,resta, multiplicacinydivisin)yahansidoestudiadasyasimiladas,acontinuacin solamentesetrabajarnlasoperacionesdepotenciacin,radicaciny logaritmacin). 48 AUTOEVALUACION 1: CONJUNTOS Y NUMEROS 1.Diga cul de los siguientes conjuntos es un conjunto vacio? a-{ } 0b-{ } c-d- { } 2. Basndose en la recta siguiente conteste: a-Cuntos nmeros enteros hay entre A y F?

b-Qu nmero es la mitad entre C y G? c- Qu nmero representaun tercio entre B y H? AB CD EFG HI

3. Seana,b,c y d nmeros reales: Es a+3=b+3? Es 3.b = b.3? 4. Qu propiedad o propiedades justifican los siguientes enunciados? a-(8+10)+24=8+(10+24) b-7(2+3)=7(3+2) 5.Usando las propiedades descritas en el capitulo halle: (31 x 7) + (31 x 3)

15 (3/5 + 2/3) 6.Cuales de los siguientes enunciados son verdaderos? 49 a-7 2 5 = + + b-10 5 5 = + c- 5 2 5 5 + - = + + d-9 6 3 = + e- - 4 4 8 = + Por ultimo demuestre medinate diagramas de Venn que: A (B C) = (A B) (A C) 1.2.7. POTENCIACION: La potenciacin es una operacin que simplifica la multiplicacin, ya que sepuede decir que la potenciacin es una multiplicacin sucesiva.Esta operacinestilparaabordartemascomolasumayrestadefraccionariosy simplificacin,entreotras,porlotantoesnecesariotenermuyclaroel concepto de potenciacin. EXPONENTE 5 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2=32POTENCIA BASE BASE: Se refiere al nmero que se multiplica por si mismo, en este caso 2 EXPONENTE:Eselnmerodevecesqueserepite(oquesemultiplica)la base, en este caso 5 POTENCIA:Eselresultadodemultiplicarlabasetantasvecesindicael exponente, en el ejemplo, 32 50 Veamos otros ejemplos de potenciacin: 33= 3- 3- 3 = 27 74 = 7- 7- 7- 7 = 2401 b5 =b- b - b- b- b Matemticamente la potenciacin se representa: an = p a = BASE. Nmero que se multiplica por si mismo. n = EXPONENTE. Las veces que se multiplica la base por si misma. p = POTENCIA. Es el resultado de la operacin. -)Potenciadebasepositiva.Cuandolabaseespositivayelexponente positivo,lapotenciaespositiva.Eselcasodelosejemplosanotados anteriormente.A continuacin se relacionan otros ejemplos: 5 5 5 5 = 54 = 625 12 12 12 = 123 = 1728 | comprobar los resultados| -)Potenciadebasenegativa.Cuandolabaseesnegativa,sepresentados casos: Si el exponente es PAR, la potencia es positiva. Ejemplos (-4)2 =(-4) (-4) = 16 (-5) (-5) (-5) (-5) = (-5)4 = 625 Si el exponente es IMPAR, la potencia es negativa. Ejemplos 51 (-4)3 = (-4) (-4) (-4) = - 64 (-5) (-5) (-5) (-5) (-5) = (-5)5 = - 3125 -) Potencia de exponentes negativo: Cuandoelexponenteesnegativo,aplicamoselrecprocoparadesarrollarla operacin. 32 = 231= 91 (-5)12511251) 5 (133 ===

Se debe tener cuidado con el manejo de los signos negativos, el parntesisindica que el nmero esta afectado por el signo, veamos los siguientes casos: (-7) 492= , mientras que -7 492 = 1.2.7.1.PROPIEDADES DE LA POTENCIACION: Potenciadeexponentecero:Todabasecuyoexponenteescero(0),la potencia es la unidad (1). 30 = 1 Ejemplos: x 10= 36 10= Potencia de exponente uno: Toda base cuyo exponente es la unidad, tiene como potencia, la misma cantidad.(Ley modulativa de la potencia). 3 31= 52 Ejemplos 57 571= X1 = X Potencia de bases iguales: cuando se tienen dos o mas bases iguales multiplicndose entre si, se operan, dejando la misma base y sumando los exponentes. 33 35 3 =6 314 6 5 33 =+ + Ejemplos: 74 73 71 = 78 1 3 47 =+ + za zb zc = zc b a + + Potencia de un producto: cuando se tiene un producto de varios trminos, elevados al mismo exponente, se expresa como producto de cada uno de los trminos elevados al mismo exponente. (4 7 9)3 =43 73 93 (x y z ) =bxb yb zb Potencia de un cociente: para dividir potencias de la misma base, serestan los exponentes 3 = 5 833=5 8 33 Ejemplos: 15 = 4 71515 3375 153 4 7= = 35 1 6 1 63 3 3 = = C2 5 7 5 7C C C = = (nnnyxyx= )53 (b abayyy= ) Potencia de una potencia: Cuando una potencia esta elevada a otra potencia, la potencia tiene como base, la base de la potencia y como exponente el producto de los exponentes. ((34)3) = 3 12 3 43 =

Ejemplos: (((5 5 5 ) ) )2 5 3 2 5 3= = 30 (za)ab bz = (((760 3 4 5 3 4 57 7 ) ) = = Potencia de un exponente negativo: Como vimos antes, cuando el exponente es negativo, se aplica el reciproco o inverso multiplicativo. Ejemplos: zz11= 5511= 41614122= = 1.2.7.2.CLASES DE POTENCIAS: Existen dos tipos de potencias especiales, que se identifican segn su base. Potencia Base Decimal: es toda aquella potencia cuya base es 10. 54 Ejemplos: 10 1002= 10100110122= = Potencia Base Natural: se refiere a toda aquella potencia cuya base es el nmero e. Conocido como el nmero de Euler( e ~ 2,71828182.. ) Ejemplos: e e =1 e 08553 , 203= AUTOEVALUACION2: POTENCIACION Realizar las siguientes operaciones: 1)9 2) -51 3) (-5)4 4)(-3)3 2) 2 ( + 5)(x3 4 2) x 6)(y5 4 3) z 7)(37 43 2)5 25 2 55 8).(3 | | ) 10 4 22 3 2 + + 9)5 ) 7 (342223 + 10) | |24 4 32 4 33 z yz y x 1.2.8. RADICACION: Esunaoperacininversaalapotenciacinyconsisteenhallarlabase, conociendo el exponente y la potencia. 7 343 7 7 73= - - = Entonces, para conocer la base se acude a la radicacin 7 3433= donde: 3 es el ndice de la raz (en la potenciacin es el exponente)

343es el radicando (este nmero corresponde a la potencia en el caso depotenciacin) 7es la raz cbica (3) de 343 (en la potenciacin corresponde a la base) Matemticamente la radicacin se puede expresar as: m rn= n = ndice, el cual es un nmero entero positivo, mayor o igual a 2. r = Radicando, es la cantidad a la cual se le va a extraer la raz n-esima. Esta cantidad puede ser positiva o negativa, segn el caso. 56 m=Larazn-esimader,estevalorpuedeserpositivo,negativoolosdos, segn el caso. Entonces la expresin nr = mtambin se puede expresar como: m rn= 1.2.8.1. CLASE DE RAICES: Races de ndice par: (r = par) Lasracesdendicepartienensolucinparanmerosreales(radicando) mayores o iguales a cero. r> 0 en este caso la solucin es doble, es decir una es positiva y la otra negativa. Ejemplos: = 25 5 , porque (+5) 252=y(-5)2= 25 = 36 6 , porque (+6) 362=y(-6) 362=

Cuando el ndice es dos (2) no se escribe, porque se asume que este es el mnimo que existe. Ejemplos: 625 = 25 44096 = 8 Cuando el radicando es negativo la solucin NO es real, este tipo de solucin se le ha llamado IMAGINARIA, la cual se estudiar ms adelante. Races de ndice impar: (r = impar) Lasracesdendiceimpartienensolucinparacualquiernmerorealr e R.Lasolucindependedesignodelradicando.Sielradicandoespositivo,la 57 solucinespositiva,perosielradicandoesnegativo,lasolucinesnegativa.Lo anterior indica que la solucin de races de ndice impar es nica. Ejemplos: 3729 = +9 porque: 9 7293= 57776 =- 6porque: (-6)5= -7776 1.2.8.2. PROPIEDADES DE LOS RADICALES: nmn ma a =(es decir, un radical se puede presentar de dos formas: con el smbolodelaradicacin osimplementeelradicandoconexponente fraccionario,dondeelnumeradorcorrespondealexponentequetieneel radicando y el denominador al ndice de la raz. Porejemplo 5 225puederepresentarsetambincomo2552 ;donde(2)esel exponente que tiene el radicando y(5) es el subndice de esta raz. Ejemplos: 7 28 = 872 =6 59965 53 =351Enestecasocomopodemosobservarelradicando3notiene exponente, se supone que es uno (1). n0 = 0 n1= 1 nanb = nab58 Ejemplo: 25 4=4 25- =100 = 10 OJO: b a +Es diferentea+b yx= yx Ejemplo: = =25125251255 =n na a porque a a ann= =1 Ejemplo: 8 85 5= Porque 8 8 8155= = 5 53 3= Porque 533= 5 =15 59 AUTOEVALUACION3: RADICACION Realice los siguientes ejercicios: 1)3543 2) 30 3)5 - 10 4)5256 5)251 6)327825100 +7)416 16 + 8) 31255 9)6 2 4 4z y x 10) 5211y 60 1.2.9. LOGARITMACION: Es otra de las operaciones inversa a al potencia y consiste en hallar el exponente, conociendo la base y la potencia. 7 343 7 7 73= - - = Como en la logaritmacin lo que se halla es el exponente, en el ejemplo anterior queda: Log7 343 = 3 (logaritmo en base 7 de 343 es igual a 3). La forma general de representar la logaritmacin es: Loga x = y Es lo mismo que decir:a xy= Donde: a = Base del logaritmo, es un nmero mayor que cero, pero diferente de uno, a > 0,y a= 1.Cuando a equivale a 10 se le llama logaritmo decimal y se representa Log. As mismo, cuando a vale e (Nmero de Euler) se le llama logaritmo natural o neperiano y se representa Ln. x = Nmero al que se le extrae logaritmo.Este nmero x siempre ser positivo x > 0.Esto nosindica que el logaritmo de nmeros negativos NO EXISTEN,al igual que el logaritmo de cero o de un numero complejo. y=Es el logaritmo, o sea el exponente al que se elevaa para ser igual ax Este es positivo si x es mayor que uno (x >1), yes negativo si xesta entre cero y uno (0 < x < 1). Esimportante recordar que el smbolo > indicamayor que y el smbolo < indica menor que, por ejemplo 5 > 3 (indica que 5 es mayor que 3) y 7 < 10 (indica que 7 es menor que 10). Ejemplos: Log 264 = 6porque 2 646= 61 Log 5 25 = 2porque 5 252=

Log 4 16 = 2porque4 162= Log a b = 4 porque a b =4 Logaritmos decimales: se caracterizan por tener la base 10 Log10 10 = 1 porque10 101= Log10100 = 2 porque 10 1002= Log 1010000 = 4 porque 10 100004=y as sucesivamente. Log 101 = 0 porque 10 10=(recordemos que la potencia de una base elevada al exponente cero (0) es igual a 1). Es de aclarar que en los Logaritmos Decimales no es necesario colocar la base, se sobreentiende que es diez (10), entonces se pueden escribir de la siguiente forma: Logx = y Log 1 = 0 Log 10 = 1 Log 1000 = 3 Log101= -1 . Como podemos observar en este caso el logaritmo es Negativo porquela base101estaentre cero y uno. Log1001 = -2 62 Logaritmo Natural: Como ya se haba dicho anteriormente, cuando la base de un logaritmo es el nmero e , se le conoce como logaritmo natural, se puede escribir : x Loge o Ln(x) Ejemplos: Utilizando la calculadora, hallar el logaritmo de los siguientes nmeros: Ln 1 = 0 Ln 2 = 0, 69314 Ln20 =(completar) Ln 0,5= (completar) 1.2.9.1.PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: Logaritmo de uno es igual a cero: Log 1 = 0 Logaritmo de la base:Lognn = 1Ejemplo: Log1 77= porque 7 71= Logaritmo de un producto: LogPQa= Log a P + Log a Q Ejemplo: Log 2 (8 x 64) = Log 2 8 + Log 2 64 = 3 + 6 = 9 Logaritmo de un cociente:Log a QP = Log a P Log a Q 63 Ejemplo: Log 5 ( = )25125 Log 5 125 Log 5 25 = 3 2 = 1

3 2 Porque 5 1253=yPorque 5 252= AUTOEVALUACION4: LOGARITMACION 1) Log 464 2) Log 2 32 3) Log 5 125 4) Log 3

91 5) Log20 6) Log 10 + Log 1000 7) Log 50 Log70

8) Ln 10 9) Ln 100 10) Ln 1 + Ln () 64 1.2.10NUMEROS COMPLEJOS: Parahablardelosnmeroscomplejos,esnecesarioprimeroestudiarlos nmeros imaginarios, lo cual haremos a continuacin: Nmeros imaginarios: Losnmerosimaginariossonaquellosqueseobtienendelasracesde nmeros negativos, cuando el ndice es par. Por ejemplo el valor de9 no tiene solucin en los reales, ya que NO existe un nmero real que al elevarlo a la dos (2) se obtenga -9, o sea : x2 = -9 no tiene solucin en los reales. Para dar solucin a este tipo de operaciones, los matemticos han encontrado unsistemadenumeracinllamadosLOSIMAGINARIOS,loscualessirven para obtener la raz par de un nmero negativo. Los principios fundamentales de los nmeros imaginarios son: 1 = i -1= i2 Analicemos ahora como es el comportamiento de las potencias del nmero imaginario. i =1 = i i =2( = 2) 1 -1 i =3(2) 1 - 1 = -1i = -i Para resolver un radicando negativo el ndice par, se procede de la siguiente forma: Si se tiene 16 =) 1 ( 16 -=16 - 1 = 4- i = 4iporque la raz de 16 es4y1 = i. 45 =) 1 ( 45 - =) 1 ( 5 9 - -Porque 45 se puede descomponer en 95 - ,nueve tiene raz exacta que es 3 mientras que 5 no tiene raz exacta entonces queda dentro del radical. As mismo,1 = i, entonces el resultado es 3 i 5 65 Numeros Complejos: Los nmeros complejos son de la forma: a + bi donde: a y b = parte real, i =parte imaginaria Los siguientes son nmeros complejos: 7 + 8i -4 + 5i7i1 i -4 5i10 + 8i Todo nmero complejo tiene su conjugado, el cual es el mismonumeropero con el signo contrario en la parte imaginaria. NumeroConjugado 20 8i 20 + 8i 14 + 7i 14 7i -13 3i-13 + 3i 1.2.10.1. OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS: Suma: Dos o ms nmeros complejos se suman operando termino a trmino. Ejemplos (4 + 8i) + (5 + 6i) = (4+5)+(8i+6i) Se suman las partes reales entre si y las imaginarias entre si. (7-9i)+ (10+10i) = (7+10)+(-9i+10i) = 17 + 1i Resta: Se opera igual que la suma, solo que en este caso es restando. Ejemplos: (7+8i) (12+5i) = (7-12) + (8i-5i) = -5 + 3i 66 (7-4i)- (14-8i) = (7-14) + (-4i+8i) = -7 + 4i (-15-7i) (-7-3i) = (-15+7) + (-7i+3i) = -8 4i Me permito recordarles que cuando se suma o resta signos iguales, se realiza una suma y se deja el mismo signo, mientras que si se tienen signos contrarios, se restan y se deja el signo del numero mayor. Del resultado anterior, se puede observar que la suma resta de nmeros complejos, origina otro nmero complejo. Multiplicacin: La operacin se hace de la siguiente manera: (a+bi)- (c+di) = ac + adi + bci + bdi2= (ac bd) + (ad+bc)i Ejemplo: (5+3i)- (4+7i) = 5- 4+5- 7i+3i- 4+3i- 7i =20+35i+12i+21i2= 20 +47i +21i2 Recordemos quei 12 = Entonces: (5+3i)- (4+7i) = 20 + 47i 21 = -1 + 47i Ejemplo: (-3-8i)- (2 4i) = -3- 2 + (-3)- (-4i) +(-8i)- 2+ (-8i)- (-4i) = -6+12i-16i+32i2 (-3-8i)- (2 4i) = -6-4i+32i2= -6-4i-32= -38-4i Como se observar, la multiplicacin de nmeros complejos origina otro complejo. Divisin: Para dividir nmeros complejos, se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.Veamos: 67

di cbi a++= di cdi cdi cbi a-++= 2 2) ( ) (d ci ad bc db ac+ + + Ejemplos: = + + +=++-+=+224 6 6 910 15 6 92 32 32 35 32 35 3i i ii i iiiiiii1321 14 910 21 9 i i + =+ + =+ =-+=+2248 16 22228 128 1ii i iiiiiii517 61 48 17 2 i i =+ =) 17 6 (51i AUTOEVALUACION 5: NUMEROS COMPLEJOS Efectuar las siguientes operaciones: 1)i =4 2)i =5 3) 36 = 4) 50 5) 98 -162 = 6) = + 36 25 7) El conjugado de (-5+4i) es: Realizar las operaciones indicadas: 8) (a+bi) + (x-yi)9)(-5i+3) - (8+3i) 10)(3-8i)(4+2i)11) i- (3-i) 68 CAPITULO 2 LGEBRA INTRODUCCION: Estudiar matemticas es como hacer un repaso por la historia de la humanidad, sobretodoporlasformasdeorganizarlospensamientosquehanusado nuestros ancestros. Medir y contar fueron las primeras actividades matematicas del hombre primitivo. Haciendo marcas en los troncos de los arboles lograban, estosprimerospueblos,lamediciondeltiempoyelconteodelnumerode animales que poseian; asi fue que surgio la Aritmtica. El origen del lgebra es posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara un concepto abstractodelnmero,basefundamentalparalaformacindelaciencia algebraica.Ellgebra es,porlotanto,una deestasformas de pensardelas quehablamos,yeselprimergranpasoparageneralizarprocesos matematicos.Deahoraenadelantepodremosestarpreparadosparadar respuestasaproblemasmsgrandes,paraloscualesanteriormente deberamos hacer largos y desgastantes procesos de solucin. AUTOEVALUACION INICIAL As como en el captulo anterior, lo invitamos a desarrollar esta evaluacin, con elpropsitodequeestablezcaqutantosabesobrelatemticaquesevaa tratar y as se motive para aprender las temticas que crea no domina. 1.Simplificar: - ( ) | | { } c b a + - ( ) | | { } ( ) | | { } b a b a c + + + + 2.Multiplicar: ( )( ) 3 4 2 2 5 2 32 2 2 + + a a a a a 3.Dividir: ( ) ( ) 2 5 62+ + + x x x Escribir por simple inspeccin el resultado de: 4.( )24 1 ax 5. ( )35 x a +69 6. 2239aa Factorizar: 7.a b ab a +2

8.1-4c+4c2 9.7b 20 64 2 + b 10. Reducir a su ms simple expresin: b bx a axby bx ay ax8 2 42 4 2+ + 11. Simplificar:( )( )( )( )( )( ) 3 2 112 1111+ + +++ + x x xxx x x 2.ALGEBRA: EslaramadelaMatemticaqueestudialacantidadconsideradadelmodo msgeneralposible.Aligualqueparajugarunpartidodebasketballes necesariosaberculessonlasReglasdeljuego,paraelentendimientodel lgebraesnecesarioconocerlasreglasquesedebencumplircomopor ejemplo,nosepuedefactorizarsinosesabecomosumarorestartrminos semejantes,nosepuedesimplificarsinosetieneconocimientosobrela factorizacin.Acontinuacinsehaceunasntesisdelasprincipalespautas para el desarrollo del lgebra. 2.1EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Lasexpresionesalgebraicassoncombinacionesdenmerosyletrasunidos porlasoperacionesfundamentalesdellgebra.Estasexpresionesestn formadas por: Trminos:Loscualesestncompuestosporelsigno,coeficiente (generalmente la parte numrica), basey exponente.Aspor ejemplo, en el trmino 5x2 , el signo, aunque no esta escrito, se sobreentiende que es positivo70 (+), el coeficiente es 5, la base es x y el exponente es 2. Dos o ms trminos son semejantes cuando tienen igualBase e igual exponente. Ejemplos: Los siguientes trminos son semejantes porque todos tienen como base x y como exponente el 2. Veamos,2x2 2 2 2 210 , , 8 , 5 , x x x x Lossignosdeloscuatro(4)primerossonpositivosyeldelltimoes negativo,loscoeficientesdeestosterminosson:2,5,8,1y-10 respectivamente. Caberecordarquecuandolabasenotieneninguncoeficiente,comoes nuestro casox2, se sobreentiende que este es 1. Si se tienen los siguientes terminos: 3x, 2y y x x x x y 8 , 6 , 10 , 7 , 9 , 5 ,2 2 2 Los terminos semejantes son: x x x 6 , 9 , 3 2 210 , 7 x x y y 8 , 522yno tiene otro trmino semejante Unaexpresinalgebraicapuededefinirsecomolaunindetrminos algebraicos a travs de las operaciones fundamentales del lgebra como son la adicin (suma) y la sustraccin (resta). Por ejemplo:5x 8 32+ + y 71 2.1.1.ADICION O SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Toda expresin algebraica ligadas por los signos + y -se llama Suma Algebraica. Para desarrollar la suma algebraica de dos o ms trminos primero se buscan los trminos semejantes y luego se suman o restan los coeficientes (dependiendo de la operacin indicada) .

Por ejemplo, La suma de: 1 5 3 + + y x y 8 3 2 + y x = 8 3 2 1 5 3 + + + + y x y x Los terminos semejantes de esta expresin son: 3x+2x=Sesumanloscoeficientes(3+2)=5ysedejalamisma base(x);entonces la expresin queda reducida a: 5x 5y -3y = (5-3) y = 2y 1+8 = 9 El total de esta suma algebraica es 5x+2y+9 EJERCICIOS RESUELTOS Realizar las siguientes operaciones: 1. 7a + 2a+ 5a = (7+2+5)a = 14a 2. -4b-9b = (-4-9)b = -13b Recordemos que en una suma algebraica:

REPASEMOS.......... En la suma algebraica, cuando los trminos tienen el mismo signo, se suman y se deja el mismo signo. 72 Entonces:-4 -9 = -13 REPASEMOS....... En la suma algebraica, cuando los trminos tienen diferentes signos,se restan y se deja el signo que tenga el nmero mayor. Por ejemplo5 8 = -3 porque como tienen diferentes signos, es decir uno es + y el otro- , se restan y el resultado en este caso es 3 y el signo del nmero mayor absoluto es - 3.8x ( )2 2 2 2 23 1 6 2 8 6 2 x x x x x = + = + 4. ( )3 3 3 3 35652 7 1525751c c c c c = += + REPASEMOS...... En la suma de fraccionarios homogneos (tienen el mismo denominador), se suman sus numeradores y se deja el mismo denominador. 5. ( )1 1 1 1 1 1 1214249 11 7 3494114743+ + + + + + + = = + = + m m m m m m ma a a a a a a 6. 1 1 1 1 1 1112167322121673221 |.|

\| + + = + +n n n n n nb b b b b b REPASEMOS......

Para realizar una suma de fraccionarios No homogneos, (diferentes denominadores), se halla el denominador comn, el cual se divide por cada uno de los denominadores de lasfracciones y este resultado se multiplica por su respectivonumerador. 73 Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 121216366 3 7 4 361 1 6 1 2 6 7 6 6 2 3 6 1 2 6 === + += + + n n n n nb b b b b 7.a 48 21 7 7 8 83 4 2 3 2 3 2 4 2 2 3 4+ + + + a b a b a b a b a b a b a b a b Los terminos semejantes son: a ( ) b a b a b a b a b4 4 4 4 414 21 8 1 21 8 = + = + -a ( )2 3 2 3 2 3 2 3 2 37 7 1 1 7 b a b a b a b a b = = + a ( ) 0 0 1 12 2 2 2= = = b a b a b a b -a3 No hay otro termino semejante -8-7+48 = 33 Entonces: 14a = + + 33 0 73 2 3 4a b a b 14a 33 73 2 3 4+ a b a b 8.x 10 8 6 51 3 1 2 + + + + + a a a a ax x x x Los trminos semejantes son: x2 + aNo tiene otro terminos semejantes -5x ( )1 1 1 13 8 5 8+ + + += + = +a a a ax x x -6xaNo tiene otro trmino semejante -x3 + a No tiene otro trmino semejante -10No tiene otro trmino semejante El resultado es: x 10 6 33 1 2 ++ + + a a a ax x x Al ordenar en forma decreciente, de acuerdo al exponente se obtiene -x 10 6 31 2 3 + ++ + + a a a ax x x 74 2.2.SIGNOS DE AGRUPACION: Existendiferentessignosdeagrupacinoparntesisqueseempleanpara indicar como un todo las cantidades contenidas en estos: los ms usados son: Parntesis ( ), Corchete| |, La llave{ }. Por ejemplo: 3y + (x+y) significa que a la expresin 3y se le suma (x+y) entonces: 3y + (x+y) = 3y + x+y = 4y +x. Para hallar el resultado es necesario eliminar el parntesis y para ello es necesario tener en cuenta los siguientes aspectos: REPASEMOS...... Cuando un parntesis esta precedido por el signo( + ), se dejan las cantidades que estn dentro del parntesis con el mismo signo Ejemplo: 2x + (5y -7x) = como al parntesis le antecede el signo+ ,las cantidades que estan dentro de este quedan iguales: = 2x + 5y -7xAgrupando trminos semejantes queda: =-5x+5y REPASEMOS..... Cuando un parntesis esta precedido por el signo ( - ), las cantidades que estn dentro del parntesis cambian de signo al eliminar dicho parntesis. 75 Ejemplo: 4x ( ) x x x 7 6 22 2+ Comoelparntesisestaprecedidoporelsigno- todos los trminos que estn dentro del parntesis cambian de signo. 4x x x x x x 9 10 7 6 22 2 2 = + EJERCICIOS RESUELTOS Simplificar suprimiendo los signos de agrupacin y reduciendo trminos semejantes: 1.7x +( ) | | y x x + 2 En este ejercicio se tienen que destruir dos parntesis, para esto es necesario ir destruyendo parntesis por parntesis, empezando por el ms interno (el que est contenido dentro del otro), entonces el proceso es el siguiente: Destruccin del parntesis ms interno () ycomo ste esta precedido del signo- , todos los trminos contenidos en ste cambian, entonces: 7x +| | y x x 2 Luego se destruye el otro parntesis| |, en este caso esta precedido por el signo+, por lo tanto todos sus trminos conservan el mismo signo 7x + x -2x -y Y por ltimo se reducen los trminos semejantes, entonces el resultado es 6x - y 2. 5b -( ) ( ) | | c b c b + En este ejercicio, tambin se tienen dos tipos de signos de agrupacin| | ylos () se pueden destruir al tiempo, porque no esta uno dentro del otro, sino que estn al mismo nivel entonces:

76 5b -( ) ( ) | | | | c b c b b c b c b = + 5 Se observa que en el primero de estos parntesis( ) no aparece ningn signo que preceda a este parntesis, pero cuando esto sucede tcitamente se sobreentiende que es+ , entonces los trminos (b-c) quedan con el mismosigno, mientras que el segundo parntesis ( ) est precedido por el signo negativo razn por la cual sus trminos cambian de signo. Ahora se procede a eliminar el segundo signo de agrupacin| |y como este est precedido por el signo -todos sus trminos cambian, as: 5b -( ) ( ) | | | | c b c b b c b c b = + 5 = 5b-b+c+b+c Por ltimo se reducen los trminos semejantes: 5b-b+c+b+c = 5b + 2c 3.m +( ) ( ) { } m p n m n m + + + 2 Los signos de agrupacin () estn contenidos dentro de{ }. Los dos() estn al mismo nivel, es decir no est contenido uno en el otro, razn por la cual se pueden destruir simultaneamente. m +( ) ( ) { } { } m p n m n m m m p n m n m + + + + + = + + + 2 2 Ahora se destruye la llave quedando: m - 2m + n + m n +p + m Por ltimo se reducen los trminos semejantes m + p 77 4. 2x- (-4x+y) -| | { } ) ( ) ( 4 x y x y x + + Es este caso hay tres signos de agrupacin que son (),{ }y| | . Inicialmentese pueden destruir los parentesis (), porque el primero esta libre y los otros dos son los ms internos: 2x (-4x+y)- | | { } ) ( ) ( 4 x y x y x + + = 2x + 4x y - | | { } x y x y x + + 4 Ahora se destruye | | 2x + 4x y - | | { } x y x y x + + 4 = 2x + 4x y -{ } x y x y x + + 4 Luego la llave{ } 2x + 4x y - | | { } x y x y x + + 4 = 2x + 4x y 4x + y x + y x y por ltimo se reducen los trminos semejantes 2x + 4x y 4x + y x + y x = y 5.- ( ) | | { } ( ) | | { } ( ) | | { } n m n m p p n m + + + + + Empezando por los parntesis ms internos (): - ( ) | | { } ( ) | | { } ( ) | | { } n m n m p p n m + + + + + = -| | { } | | { } | | { }= + + + + n m n m p p n m Ahora se destruyen los corchetes| | : -| | { } | | { } | | { }= + + + + n m n m p p n m 78 -{ } { }{ }= + + + + n m n m p p n m Luego se eliminan las llaves { } : -{ } { }{ }= + + + + n m n m p p n m- m n + p + p m + n + m + n Ypor ltimo se reducen los trminos semejantes - m + n + 2p 2.3. MULTIPLICACION: La multiplicacin algebraica es una operacin que al igual que en la aritmtica, tiene por objeto hallar el producto de dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador.Pararepresentarunamultiplicacinseusanlos signos de

x, ()() , generalmente en lgebra se usan las dos ltimas. Por ejemplo, la siguiente multiplicacin se puede representar como: 6x3 x 5x8 6x3-5x8 (6x3) (5x8) La forma para solucionar esta multiplicacin es: Multiplicar los signos de estos factores, en este caso, 6x3- 5x8vemos que ambos son positivos (+) , porque en ninguno aparece el signo y cuando esto sucede se sobreentiende que es+ Luego multiplicar los coeficientes6- 5 = 30 Luego multiplicar las bases, recordando las propiedades de la potenciacin x3.x8 =x3+8= Entonces el resultado es X11 30X11 79 Es importante recordar las reglas de los signos: Ejemplo: Realiza la siguiente operacin: (3a3)(-7a2) Primero se multiplican los signos en este caso:(+)(-)=- Luego se multiplican los coeficientes: (3)(7)= 21 En seguida las bases(a3)(a2 )= a5 Entonces el resultado es EJERCICIOS RESUELTOS 1.Resolver(-4m5)(12m) Primero se multiplican los signos en este caso:(-) (+)= - Luego se multiplican los coeficientes:(4)(12)= 48 Enseguida las variables(m5) (m)=m5+1 = m6 Entonces el resultado es 2.Multiplicar:( -xa)(-xa+1) Primero se multiplican los signos en este caso:(-) (-)=+ Luego se multiplican los coeficientes:(1)(1)= 1 (+) . (+) = (+) (+) . (-) =(-) (- ) . (+) = (-) (- ) . (- ) = (+) -21 a5 -48m6 80 Recordemos que cuando no aparece coeficientes se sobreentiende que es1 Enseguida se multiplican las bases.Recordemos que cuando se multiplican potencias con bases iguales, se deja la misma base y se suman los exponentes(xa)(xa+1)=xa+a+1=x2a +1 Entonces el resultado es 3.Realizar la siguiente operacin|.|

\|3 232y x|.|

\| y x a4 253 Primero multiplicacin de signos:(+)(-)=- Luego se multiplican los coeficientes: recordamos que para multiplicar nmerosfraccionarios,semultiplicanlosnumeradoresporlonumeradoressylos denominadores por los denominadores = = Simplificado= Enseguida multiplicacin de las bases:x2 y3.a2x4 y=x2 +4 y3 +1 a2= Entonces el resultado es: 4.Efectuar la siguiente operacin:(3a2 ) (- a3 b ) (-2 x2 a ) Se multiplican los signos, en este caso son tres entonces se multiplica el primero por el segundo y el resultado de este se multiplica por el tercero: (+)- ( -)=-y ahora este resultado se multiplica por el signo del tercero X2a+1 23 35 2 . 3=63 . 5152 5 X6 y4 a2 -2X6 y4 a2

5 81 (-) - (-) = +

Resumiendo:(+) (-) (-) =+ Luego se multiplican los coeficientes (3) (1) (2)= 6 Enseguida las bases( a2 )(a3 b) (x2 a ) =a2 + 3 + 1 bx2 =a6bx2 Entonces el resultado es

5. Multiplicar: (m + 3)(m 1). En este caso se multiplican los dos trminos del primer factor (m + 3)por los trminos del segundo factor (m 1), entonces:

(m + 3) (m 1)= m -m - m -(1) + 3-m 3-(1)= m2 - m + 3m- 3 = 2.4. DIVISION : Antesde iniciar la divisin algebraica, es necesario repasar las reglas de los signos: 6a6 bx2 (m + 3)(m 1) m2+ 2m - 3 (+) (+) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) (-) (-) = (+) 82 Tambin es importante recordar cuales son las partes de una division Si se tiene28 7=4

28es eldividendo , o sea la cantidad que ha de dividirse 7 es el divisor, se refiere a la cantidad que divide 4 es el cociente,resultafdoque se obtiene al realizar la 0 es el residuo, en este caso es cero porque la division es exacta, es decir si una division es exacta, su residuo es cero ( 0 ) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Realizara8 a3= a 8-3 = a5 2. Dividir24 a7 6 a2 Para llevar a cabo esta division algebraica primero se dividen los signos, luego coefiecientes y por ultimo las bases. Primero se dividen los signos( + ) ( + )= + Luego se dividen los coeficientes246=4 En seguida se dividen las basesa7 a2= a7-2=a5 El resultado de sta division es: 3.Dividir (x3+x- 4x2 ) x REPASEMOS...... Para dividir potencias de la misma base, se deja la mismabaseysecolocacomoexponentela diferencikaentreelexponentedeldividendoyel exponente del divisor 4 a5 83 En este caso se divide cada uno de los terminos del dividendo por el divisor asi: x3 x = x3-1 = x2 x x = x1-1= x0= 1recordando que la potencia de cualquier base elevada al exponente cero ( 0 ) es igual a uno ( 1 ) -4x2x=-4x2-1=Entonces el resultado es:x2+ 1 4xordenando quedax2 4x + 1 Otra forma de presentar esta division es: = =

= El resultado es:x2- 4x+ 1 4. Dividir: (a 20 + a2 )( a 4 ) Para dividir dos polinomios es necesario los siguientes pasos, los cuales son similares a los de una division arimetica. Se ordenan los polinomios colocando una de las letras enorden descendentes de sus exponentes: a2 + a- 20 El primer termino del dividendo (a2 ) se divide por el primer termino del divisor( a ) y el resultado de este corresponde al tprimer termino del cociente: + a-20-4 a2a= a -4x X3 XX2 X X1 -4X2 X-4X a-4 a2 a84 Entonces + a-20-4

Se multiplica el primer termino del cociente (a) por cada uno de los terminos del divisor y este producto se resta de cada uno de los terminos semejantes del dividendo.

Porque a- a = a2este valor se le resta al primer trmino del dividendo a- (-4) = -4aeste valor se le resta al segundo trmino. El primer trmino del nuevo dividendo se divide por el divisor y se repite las operaciones de multiplicar el cociente por el divisor y restarle este producto aldividendo. a2 + a -20 a - 4 -a2 +4aa+5 0 +5a -20 - 5a +20 00 Porque 5 . a=5aeste valor se le resta al nuevo dividendo a2 aaa-4 a -a2+ 4a

0 +5 a- 20 a2 + a -20 85 5- ( -4 )= -20 valor que tambien se le resta al dividendo. Se repite la operacin hasta que el residuo es cero o no se puede dividir mas. 5.Dividir 2 a3 - 2 4aentre 2 + 2a Paso 1 organizacin: 2 a3 -4a- 2Es importante resaltar que en el dividendo, el exponente con mayor exponente es a3, le seguira en orden descendente a2, pero en este caso no existe, razon por la cual se colocaa un cero (0) en el espacio que le corresponderia.Asi mismo, comom se ordeno el dividendo tambien se ordenan los terminos del divisor.: Paso 2:

Porque2a3 2a=2a2 a2-2a= 2a3Este valor se le resta al primer termino del dividendo a2 -2 = 2a2Este se le resta al segundo termino ( 0 ) del dividendo 2a + 2 2a3 + 0-4a- 22 a+2 -2a3 - 2a2 0-2 a2- 4 a - 2 a2 86 Paso 3, 4 y 5

6.Dividir31 a2+107 ab-31b2entre a- 52 b 231a+ab107- 31b2a -b52 -231a+152 ab31 a 0+ ab65 - 231b Porque31a2 a =31a

23131a a a = - este valor se le resta al primer termino del dividendo

2a3 +0-4a-2 -2 a3-2 a2 0-2 a2-4 a-2 2 a2+2 a 0 -2 a-2

+2 a+2 0 2 a+2 a2 -a+1

87 ab b a1525231 = |.|

\| -valor que se le resta al seguno termino del dividendo Al realizar la suma de estos trminos: a2- a2=0 ab+abComo se trata de fraccionarios no homogneos, se buscaeldenominador comn, en este casoese denominador es 30 ((30 10) 7ab + (30 15) 2)ab=(21 + 4 ) ab= absimplificado: 30 30 ((30 10) 7ab + (30 15) 2)ab= ab =65ab 30

REPASEMOS..... Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador REPASEMOS..... Para sumar o restar fraccionarios no homogneos primero se halla el denominador comun y luego se divide por cada uno de los denominadores de las fracciones y este resultado se multiplica por su respectivo numerador 1 31 3 7 10 2 15 2530 255 30 5 88

231a+ab107- 31b2a -b52 -231a+152 ab 31 a + 65 b 0+ ab65 - 231b-ab65 + 31 b2 00 EJERCICIOS PROPUESTOS Realizar las siguientes divisiones: 1.(m2-mn )( m ) 2.( 4a8- 10a6- 5a4 ) ( 2a3 ) 3.( x4- x6 - 2x 1 ) ( x2 x 1 ) 4.( 3m3n 5mn3 + 3n4 - m4 ) ( m2 2mn + n2 ) 5. x2+ xy-y2 x+ y 2.5. PRODUCTOS NOTABLES: Losproductos notables son productos que satisfacen algunas reglas y su resultado puede ser hallado por simple inspeccin, sin tener que realizar la operacin, lo que agiliza cualquier operacin. 16 5 36 16 13 12 89 2.5.1BINOMIOS: El binomio es un polinomioque consta de dos terminos, como: a + b, x y, b amx b27 31475 Recordando quea2 =a- a es decir que la base a se repite las veces que indica el exponente, en este caso en 2 veces, entonces: EJERCICIOS RESUELTOS Hallar por simple inspeccin: 1.(5 + m)2 = (5)2 + 2- 5-m + (m)2= Explicacin: Cuadrado del primer termino = (5)2 = 5- 5 = 25 Dos veces el primero por el segundo = 2-5-m= 10m Cuadrado del segundo termino = (m)2 = m-m = m2 (a + b )2=( a + b ) ( a + b ) =a 2+ 2ab+ b2 Elcuadradodelasumadedoscantidades(a+b)2es igual al cuadrado del primer termino (a2), mas dos veces elprimeroporelsegundo(2ab),maselsegundoal cuadrado (b2) 25+10m+m2 90 2. (4xy2 + 3xy3 )2=(4xy2 ) + 2-(4xy2 )- ( 3xy3 ) + ( 3xy3 )2 (4xy2 + 3xy3 )2= Explicacin: Cuadrado del primer termino= (4xy2 )2 = 42 x2 y2..2= 42 x2 y2 = 16 x2y4 Dosveceselprimeroporelsegundo = 2- (4xy2 )-(3xy3)=2-4 -3 -x -x -y2 y3= 24x2 y5 Cuadrado del segundo termino =(3xy3 )2=32 x2 y3.2 = 9x2 y6 Cuando se trata del cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( a b )2, el resultado es el siguiente : La nica diferencia con el cuadrado de la suma de dos cantidades es el signo del segundo termino, que en este caso es negativo ( - ) entonces: Hallar por simple inspeccin: 3. (x 7)2=x2-2 -x-7 + 72 = Explicacin: Cuadrado del primer termino=(x)2=x-x=x2 Dos veces el primero por el segundo =2 -x -7= 14x Cuadrado del segundo termino = (7)2=7- 7=49 16x2 y4+ 24 x2 y5+ 9x2 y6 ( a b )2 =( a b ) (a b )= a2- 2ab+ b2 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( a b )2 esigualalcuadradodelprimertermino(a2),menos dosveceselprimeroporelsegundo(2ab),masel segundo al cuadrado ( b2) X2-14x+49 91 4.(4a 3b)2=(4a)2-2(4a)- (3b)+(3b)2 = Hasta ahora se ha trabajado en cuadro se la suma de dos cantidades (a b)2, ahora analizaremos el cubo de la suma de dos cantidades (a + b)3, entonces: Es importante resaltar que el primer termino inicia con el exponente tres ( a3), en el segundo termino este termino desciende un numero ( a2) y aparece el segundo termino ( b ), en el tercero sigue descendiendo el primer termino ( a ) y el segundo continua creciendo ( b2 ) y en el cuarto el primer termino del binomio desaparecey el segundo llega hasta ( b3 ). 5.(3n + 5m )3=( 3n )3+ 3( 3n )2-( 5m )+ 3 (3n)-(5m)2 + (5m)3 = (3n + 5m )3= Explicacin:Cubo del primer termino: (3n)3=33n3=27n3 Triplo del cuadrado del primer termino por el segundo: 3(3n)2-(5m) =3- 32 -n2 - 5m=135n2m Triplo del primer termino por el cuadrado del segundo: 16 a2 - 24ab +9b2 ( a + b )3= ( a + b ) - ( a + b ) -( a + b )=a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3 Elcubodela sumadedos cantidades esigualal cubodelprimer termino(a3)maseltriplodelcuadradodelprimertermino multiplicadoporelsegundo(3a2b),maseltriplodel primertermino multiplicadoporelcuadradodelsegundo(3ab2),maselsegundo termino al cubo (b3) 27n3 + 135n2m+225nm2+ 125m3 92 3(3n)-(5m)2 =3-3-n - 52- m2 =225nm2 Cubo del segundo termino = (5m)3= 53 m3= 125m3 6.(4a + 3)3= (4a)3 +3 (4a )2(3) + 3 (4a ) (3)2 + (3)3 = Explicacin: Cubo del primer termino: (4a)3=43 a3 = 64a3 Triplo del cuadrado del primer termino por el segundo: 3(4a)2 (3)=3-42- a2- 3=144a2 Triplo del primer termino por el cuadrado del segundo: 3(4a) (3)2=3- 4-a-32=108a Cubo del segundo termino =(3)3 = 33= 27 7. (t 4)3 = t3 3(t2) (4)+3(t) (42)- 43 = Explicacin: Cubo del primer trmino:t3 Triplo del cuadrado del primer termino por el segundo: 3-t2-4 = 12t2 Triplo del primer termino por el cuadrado del segundo: 3- t- 42= 48t Cubo del segundo termino = 43 = 64 Matemticamente, la forma general de un producto notable se puede expresar como: (a+b)- (a+b)-......- (a+b) n veces. 64a3 + 144a2 + 108a + 27 t3 - 12t2+48t - 64 Seobservaquelanicadiferenciaentreelcubodela sumo de un binomio (a + b)3 y el cubo dela diferencia de unbinomio(ab)3sonlossignos,porqueenlasuma todoslostrminossonpositivos,mientrasqueenla diferencia se combinan, es decir, el primero es positivo, el segundo negativo, el tercero positivo y el ultimo negativo 93 El producto de estas bases se puede resumir as: (a+b)n n e Z+ Esto significa que n puede tomar los valores : 0, 1 , 2, 3 .... La expresin (a+b)nse ve como un binomio elevado a la n, lo que indica que los productos notables son BINOMIOS con exponente n. Entonces cuando: n = 0 (a+b)=1Por definicin de potencias n = 1 (a+b)1=(a + b)Propiedad de la potenciacin. n = 2(a+b)2 =(a+b)- (a+b)= a +ab +ab +bn = 3 (a+b) =(a+b)- (a+b)- (a+b) =a+3ab+3ab + bPero qu pasa si n tiene valores superiores a estos? Para dar solucin a estos casos se puede acudir a dos mtodos: Binomio de Newton y el Tringulo de Pascal. 2.5.1.1.BINOMIO DE NEWTON: Por ejemplo (a +b) = a + 3a b+ 3ab +b-El nmero de terminos del polinomio ser igual a n+1 = 3 + 1 = 4 -El primer trmino del polinomio ser a -El ltimo trmino del polinomio ser bBINOMIO DE NEWTON Dado el binomio (a+b)n -El nmero de trminos del polinomio es den+1 -El primer trmino del polinomio ser an -El ltimo trmino del polinomio ser bn -Cuando el binomio tiene signo positivo, todos los trminos del polinomio sern positivos. -Si el signo del binomio es negativo, los signos del polinomiovanintercalados,empezandoporel signo positivo. 94 La formula general, conocida como la LEY DEL BINOMIO, descubierta por Newton es: (a+b)n= an+na1 nb + a2 nb + a3 nb + ...... + bn (a -b)n = Igual que el caso anteior, solo que los signos van intercalados, iniciando con positivo.Ejemplos: ( )4 3 3 4 2 2 4 1 4 4 43 * 2 * 1) 2 4 )( 1 4 ( 42 * 1) 1 4 ( 44 b b a b a b a a b a + ++ + = + ( )4 3 2 2 3 4 44 6 4 b b a b a b a a b a + + + + = +Enelejemplopodemosobservarqueamedidaqueelexponentedelprimer trminovadisminuyendodesdeelvalorden,elexponentedelsegundo trmino del Binomio va aumentando desde cero hasta n.( )5 4 4 5 3 3 5 2 2 5 1 5 5 54 * 3 * 2 * 1) 3 5 )( 2 5 )( 1 5 ( 53 * 2 * 1) 2 5 )( 1 5 ( 52 * 1) 1 5 ( 55 y y x y x y x y x x y x + + = Desarrollando y simplificando: ( )5 4 3 2 2 3 4 5 55 10 10 5 y xy y x y x y x x y x + + = 2.5.1.2.TRIANGULO DE PASCAL:Una forma fcil para obtener LOS COEFICIENTES del polinomio, es utilizando el tringulo de pascal.El tringulo se construye de la siguiente manera:

n(n-1) 1 -2 n(n-1)(n-2)1 - 2- 3 n = 1 1(a+b) n = 1 1 1 (a+b)1 n = 212 1(a+b) n = 3 13 31 (a+b) n = 4 146 41 (a+b)4 n =515 10 1051 (a+b)5 n = 616 15 201561(a+b)6

95 Los trminos del tringulo se obtienen, a partir de la tercera fila, sumando trminos de la fila superior inmediata. 11121 2 33Como ejercicio obtenga los trminos para n = 7, 8, 9,10 Ejemplos: Hallar el polinomio resultante de: (p-q)4 utilizando el tringulo de pascal. (p-q)4. Los coeficientes para n= 4 son: 1, 4, 6, 4,1 entonces. Los exponenetes de p van disminuyendo uno a uno desde 4, mientras que los exponentes de q van aumentando desde cero hasta 4. Como el signo del binomio es negativo, los signos de la respuesta se van alternando. (p q)4 = 1 p4q0 -4pq1 +6pq - 4p1q + 1p0q4 = (2x + 4)5 Los coeficientes para n = 5 son: 1, 5, 10, 10, 5,1 Entonces: 1(2x)5 40 +5(2x)441 + 10(2x) 4 + 10(2x)4 + 5(2x)144 + 1(2x)045 = 2.5.1.3.PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES: p4 4pq+6pq - 4pq + q4 32x5+320x4+1280x +2560x +2560x +1024 (a + b)(a-b) = a - b Lasumadedoscantidades(a+b) multiplicadaporladiferenciadeestas mismascantidades(a-b),esigualal cuadradodelprimertrmino(a)menosel cuadrado del segundo trmino (b) 96 EJERCICIOS RESUELTOS Escribir por simple inspeccin el resultado de las siguientes expresiones. 8.(2x+1) (2x-1) = (2x) - (1) =Explicacin: Cuadrado del primer trmino: (2x) = 2- x = 4xCuadrado del segundo trmino: 1 = 1 9. (6m - am) (6m +am) = (6m) -(am) = 36m2 4 4m a Explicacin: Cuadrado del primer trmino = (6m) = 6m4 = 36m4 Cuadrado del segundo trmino = (am) = a2..2 m = a4m 2.5.1.4. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS: Si se tiene: (x+3)(x+5) = x + 5x +3x +15 = Con este ejemplo nos podemos dar cuenta que en lugar de realizar toda la multiplicacin se puede obtener el resultado aplicando la siguiente regla: 4x - 1 X +8x +15 Cuando se tiene el producto de dos binomios, de la forma (x+a)(x+b), el resultado es igual al producto del primer trmino de cadaunode losfactores,eneste caso ( (x)(x) = x), mas la suma algebraica de los segundos trminos de cada uno de los factores (3+5=8), multiplicada por la raz cuadrada del resultado anterior (2x = x), mas la multiplicacin de los segundo trminos de los factores ((3)(5) = 15).97 EJERCICIOS RESUELTOS Resolver por simple inspeccin los siguientes ejercicios: 10. (x+5)(x-2) =Explicacin: Multiplicacin de los primeros trminos de cada uno de los binomios x- x = x Suma algebraica de los dos segundos trminos de los binomios multiplicada por la raz cuadrada del resultado anterior (5-2)x = 3x Multiplicacin de los dos segundos trminos de los binomios (5- 2) = -10 11. (a-6)(a-5) =Explicacin: Multiplicacin de los primeros trminos de cada uno de los binomios a- a = a2 Suma algebraica de los dos segundos trminos de los binomios multiplicada por la raz cuadrada del resultado anterior (-6 5)a = -11aMultiplicacin de los dos segundos trminos de los binomios ( -6- 5) = 30 12. (m6+7) (m6 9) =Explicacin: Multiplicacin de los primero trminos de cada uno de los binomios m6 -m6 =m6+6 = m12 Suma algebraica de los dos segundos trminos de los binomios multiplicada por la raz cuadrada del resultado anterior (7-9) m6 = -2m6 Multiplicacin de los dos segundos trminos de los binomios (7- 9) = -63 13. (xy -3) (xy +4) =x +3x -10 a -11a +30 m12 2m6 -63 xy4 +xy -12 98 Explicacin: Multiplicacin de los primeros trminos de cada uno de los binomios xy- xy =x1+1 y2+2 = xy4 Suma algebraica de los dos segundos trminos de los binomios multiplicada por la raz cuadrada del resultado anterior (-3+4)xy = 1xy = xy Multiplicacin de los dos segundos trminos de los binomios (-3- 4) = -12 AUTOEVALUACION6: PRODUCTOS NOTABLES Desarrollar los siguientes binomios por el mtodo de Binomio de Newton. 1.(p q)2.(a + 3) 3.(5x 3y)4 4.x- 2- y 3 Desarrollar los siguientes potencias por el mtodo del tringulo de pascal. 5.(t 4) 6.(2t +3s)4 7.(x-1 -y2)3 8.(x 3y)5 Resolver los siguientes ejercicios por simple inspeccin9.(a+2) (a +7) 10. (m + 8) (m 8) 11. (m + 4) (m -4) 99 2.6. COCIENTES NOTABLES: Al igual que los productos notables, existen cocientes que cumplen reglas fijas y que su resultado puede ser escrito por simple inspeccin, sin realizar toda la operacin. =a 2porque (a +2) (a -2) = a -4 De este ejemplo se puede concluir que la diferencia de los cuadrados de dos trminos, en este caso (a -4),dividida por la suma de las cantidades (a+2) es igual a la diferencia de las cantidades. =x + y En este caso la diferencia de los cuadrados de dos trminos dividida por la diferencia de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades. =5m + 6n Ahora analizaremos el siguiente ejercicio = x4 + xy +xy +xy +y4 Como se observa, los dos trminos del numerador estn elevados al exponente 5 y como denominador estn las bases de ste numerador. Enestecasoelprimertrminodelcociente(oresultadodeestadivisin)es igual al primer trmino de las bases elevado a un grado menos del que tiene el numerador (x4), mas el mismo termino elevado a un grado menos multiplicado porelsegundotrmino(xy),maselprimertrminoconungradomenos multiplicadoporelsegundotrminoaumentadoenungrado(xy),masel primertrminoelevadoalexponente(1)porlasegundabaseelevadoal siguientegrado(xy),maselsegundotrminoelevadoaungradoinferiordel dividendo (y4). De este ejemplo se puede concluir que: a -4 a + 2 Recordando .. Para probar una divisin se multiplican el divisor por el cociente y a este producto se le suma el residuo. El resultado de esta operacin debe ser igual al dividendo. x -y x - y 25m-36n 5m 6n X5 y5 x - y 100 =m5 (m4) (2) + (m3) (2) (m2)(m) + m-24 25

Organizando= m5 2m4 + 4m - 8m + 16m 32 Esderesaltarquecuandoeldenominadoresunasuma,lossignosse combinan, es decir el primer trmino de este resultado es positivo, el segundo negativo, el tercero positivo y as sucesivamente.Cuando el numerador es una diferencia todos los signos del resultado son positivos. Paraelcasodesumadepotenciasimparessepuedeprocederdelamima manera que lo planteado anteriormente, porque esta suma es siempre divisible por la suma o diferencias de sus bases. REPASEMOS - La diferencia de potencias iguales, ya sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de sus bases - La diferencia de potencias iguales pareses siempre divisible por la suma de las bases - La suma de las potencias iguales impares es siempre divisible por la suma de las bases - La suma de las potencias iguales pares NUNCA es divisible por la suma ni por la diferencia de las bases. =no es una divisionexacta X-Y X-Y X-Y X-Y X-Y X+Y X+Y X+Y X+Y X-Y La diferencia de potencias iguales, ya sean pares oimparessepuededividirporlasumao diferencia de sus bases y el resultado se empieza porungradomenosdelaspotenciasdel dividendo,elsiguientetrminovadescendiendo degradoyelsegundotrminovaaumentando hasta completar un grado menos del dividendo. m6 64 m+2 101 EJERCICIOS RESUELTOS 1. =(2x) - (2x)(3y) + (3y) = 4x - 6xy +9y 2.=no se puede realizar porque la suma de potencias pares no sondivisibles por la suma o diferencia de sus bases. 2.7.FACTORIZAC