modulo i matematicas especiales
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CURSOS O
CURSOS O
Departamento de Matemáticas FundamentalesFacultad de Ciencias
M. Teresa Ulecia GarcíaRoberto Canogar McKenzie
Módulo I:Sistema de ecuaciones lineales
MATEMÁTICAS ESPECIALES (CAD)
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
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1. Introducción
El Álgebra basada en el uso de ecuaciones es una de las partes de las Matemáticas que
durante siglos, y en las distintas épocas, ha sido objeto del estudio de muchos matemáticos.
Dentro de esta rama de las Matemáticas, las ecuaciones tienen una gran cantidad de
usos, y en muchas situaciones intentamos resolver problemas mediante el uso de ecuaciones,
cuando un poco de sentido común nos permitiría resolverlas sin recurrir a esas herramientas
matemáticas.
El término “sistema” proviene del griego y significa: conjunto de…En Matemáticas se
utiliza la expresión Sistema de Ecuaciones para indicar un conjunto de ecuaciones
relacionadas unas con otras, de forma que las soluciones del sistema satisfacen a todas y cada
una de las ecuaciones que forman dicho sistema.
En este curso de Nivelación nos ocuparemos sólo de los sistemas de dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Objetivos
• Reconocer ecuaciones lineales con dos incógnitas.
• Conocer qué es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
• Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado.
• Resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Interpretar la solución.
• Calcular soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante
el método de sustitución.
• Calcular soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante
el método de igualación.
• Calcular soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante
el método de reducción.
• Clasificar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas según sus soluciones.
• Analizar el método que se ha de emplear en cada sistema.
• Plantear y resolver problemas reales mediante sistemas de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas.
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2. Esquema
Sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas
Sistemas equivalentes
Obtención de sistemas equivalentes
Métodos de resolución
Algebraica Gráfica
Sustitución Igualación Reducción
Resolución de problemas mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Como indica el esquema del módulo, se comienza tratando el concepto de sistema de
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, resolviendo algunos sistemas sencillos mediante
tablas de valores y gráficamente.
Se ve después los sistemas equivalentes y cómo se obtienen sistemas equivalentes a
uno dado. Más tarde, se abordan los métodos de resolución de sistemas más importantes:
gráfico y algebraico (sustitución, igualación y reducción).
Por último, se estudian la utilización de los sistemas de ecuaciones en el planteamiento
y resolución de problemas reales de distintos tipos.
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3. Prueba de autoevaluación inicial
1.- ¿Cómo es el siguiente sistema?
==+
4-
1- y x
yx
a) Compatible
b) Incompatible
c) Imposible
d) Equivalente
2.- Un sistema incompatible…
a) es el que le falta alguna de las incógnitas.
b) es el que no tiene término independiente.
c) es el que no tiene ninguna solución.
d) es el que tiene infinitas soluciones.
3.- Un sistema tiene como única solución x = -3, y = 4 y una ecuación x + 2y = 5.
¿Cuál es la otra ecuación?
a) x + y = 1
b) x - 2y = -6
c) 2x + 2y = 1
d) 2x + 4y = 10
4.- ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?
==+
72-3
0 4y x
yx
a) x = 4, y = -1
b) x = 2, y = -1/2
c) x = 3, y = 1
d) Ninguna de ellas
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5.- Si en un sistema compatible determinado se cambia el signo de todos los términos de
una de las ecuaciones:
a) El nuevo sistema puede ser incompatible
b) La solución es la opuesta de la original
c) La solución no varía
d) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta
6.- El sistema
==+
72-3
0 y 4kx
yx es incompatible para …
a) k= -6
b) k=1
c) 1≠k
d) k=0
7.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones referentes al sistema
==+0-
1 y kx
yxes correcta?
a) Para k = 1 es incompatible
b) Para 1−≠k es compatible indeterminado
c) Para k = -1 es compatible determinado
d) Para k=0 es compatible determinado
8.- Un padre tiene 30 años más que su hijo, y además la edad del padre es el triple de la
de su hijo. ¿Qué afirmación es correcta?:
a) La suma de la edad del hijo y del padre es 60
b) El padre tiene más de 50 años
c) El hijo ha cumplido la mayoría de edad
d) El hijo tiene 10 años o menos.
9.- En mi monedero tengo 22 monedas y sólo son de 5 céntimos o de 10 céntimos. Si
el valor total de mis monedas es de 2€, ¿qué afirmación es correcta?
a) Tengo más monedas de 5 céntimos que de 10 céntimos.
b) Tengo un número impar de monedas de 5 céntimos.
c) Tengo más del doble de monedas de 10 céntimos que de 5.
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d) No tengo más de 5 monedas de 10 céntimos.
10.- Un alumno realiza un examen de 10 preguntas. Por cada acierto le dan 1 puntos y
por cada fallo le quitan 1/2 punto. Sabiendo que la calificación final fue de 5 puntos y
que contestó a todas las preguntas, el nº de aciertos fue:
a) Aciertos = 6
b) Aciertos = 7
c) Aciertos = 8
d) Es imposible
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Soluciones a la Prueba de Autoevaluación inicial 1 → a
2 → c
3 → a
4 → b
5 → c
6 → a
7 → d
8 → a
9 → c
10 →d
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4. Contenidos conceptuales
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Solución de un sistema A veces nos encontramos con problemas en los que aparecen dos o más incógnitas.
Para poder resolverlos, generalmente, necesitamos relacionar estas incógnitas mediante dos o
más ecuaciones, formando así un conjunto de ecuaciones que recibe el nombre de sistema de
ecuaciones.
Grado de un sistema es el producto de los grados de las ecuaciones. Cuando las
incógnitas del sistema tienen grado uno, es decir aparecen sin exponentes, decimos que es un
sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. En este módulo veremos sistemas que tienen
dos ecuaciones lineales y dos incógnitas. Las ecuaciones que forman el sistema se agrupan por
medio de una llave:
==+
4y-x
10yx
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x e y se expresa de la forma
=+=+
'y'xa'
yax
kb
kb
Los números a, b, a΄, b΄ son los coeficientes de las incógnitas y los números k y k΄ son
los términos independientes.
La Solución de un sistema es el conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen a
la vez todas las ecuaciones del sistema. No puede ser que el valor obtenido para las incógnitas
cumpla o verifique una ecuación y no cumpla o verifique las otras ecuaciones. Por ejemplo en
el caso del sistema anterior
==+
4y-x
10yx, x = 7 e y = 3, es la solución del sistema pues
sustituyendo estos valores de x e y en ambas ecuaciones resultan dos identidades: 7 + 3 = 10 y
7 – 3 = 4. En cambio, x = 2 e y = 8 no es una solución de este sistema cumple la primera
ecuación pero no la segunda.
Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es encontrar dos números
tales que al reemplazarlos, uno en la variable x y el otro en la variable y, verifiquen
simultáneamente las dos ecuaciones.
Según la solución, los sistemas pueden ser:
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Incompatibles si no tienen solución. Por ejemplo:
=+=+
4yx
10yx , no existe ningún par de
números reales que a la vez sumen 10 y 4.
Compatibles si tienen solución. A su vez, los compatibles pueden tener una solución
única y se llaman determinados o con infinitas soluciones y se denominan indeterminados.
Como ejemplo de compatible determinado mostramos el sistema
==+
4y-x
10yxcuya
única solución, vista anteriormente, es x = 7 e y = 3. En cambio,
=+=+
202y2x
10yxtiene como
soluciones: x = 0, y = 10; x = 1, y = 9; x =2, y = 8; etc. Por tanto es un sistema compatible
indeterminado.
Resolución gráfica de sistemas Si representamos las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas en
unos ejes cartesianos, obtenemos los puntos de una recta.
4x +y = 6 � x = 0, y = 6; x = 1, y = 2; x =3, y = -6; x = -1, y = 10,……
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se representa
gráficamente mediante dos rectas.
• Si las rectas se cortan, existirá un único punto común a ambas y este punto será
la única solución del sistema: éste es compatible determinado.
==+
4y-x
10yx
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• Si las rectas son paralelas, no existirá ningún punto común a ambas y no hay
solución del sistema: éste es incompatible.
=+=+
4yx
10yx
• Si las rectas coinciden, es decir, son en realidad la misma recta, existen
infinitos puntos comunes: el sistema es compatible indeterminado y tiene
infinitas soluciones.
=+=+
202y2x
10yx
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Por tanto, para resolver sistemas lineales de ecuaciones basta con representar las
ecuaciones gráficamente y buscar el punto o puntos de intersección de las rectas.
El método gráfico de resolución de sistemas nos da soluciones aproximadas, y aunque
se realice tomando en los ejes cartesianos unidades milimétricas, no siempre es fácil hallar el
valor exacto de las coordenadas del punto común a las rectas. ¿Cómo apreciar, por ejemplo, el
punto (15/16, 23/37)?
Para la solución exacta se recurre a métodos algebraicos basados en ciertos criterios de
equivalencia, concepto que desarrollamos a continuación.
Sistemas equivalentes Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Por ejemplo, el sistema
==+
2y-x
10yxes equivalente al sistema
==+12 2x
10yxya que en ambos la única solución es x = 6,
y = 4.
Comprobamos que estos dos sistemas, aunque son distintos, tienen la misma solución,
por tanto son equivalentes.
Obtención de sistemas equivalentes Para resolver sistemas se aplican los siguientes criterios, llamados criterios de
equivalencia:
1º.- Si se suma o resta la misma expresión algebraica o el mismo número a los dos
miembros de una ecuación de un sistema, se obtiene otro sistema equivalente al anterior.
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El sistema
==+
10y-x
30yx tiene como solución x = 20 e y = 10. Si sumamos 3 a los dos
miembros de la primera ecuación, se puede comprobar que el nuevo sistema
==++10y-x
333yxtambién tiene como solución x = 20 e y = 10.
2º.- Si se multiplican o dividen por un mismo número distinto de cero los dos
miembros de una ecuación de un sistema, se obtiene otro sistema equivalente al anterior.
Si multiplicamos por 2 los dos miembros de la segunda ecuación del sistema anterior,
el nuevo sistema
==++202y-2x
333yxtiene también como solución x = 20 e y = 10
3º.- Si se suma o resta a una ecuación de un sistema la otra ecuación multiplicada por
un número (lo que se llama una combinación lineal de las ecuaciones), se obtiene otro sistema
equivalente al anterior. Por ejemplo: si sustituimos la primera ecuación del sistema
==+
10y-x
30yxpor la suma de las dos ecuaciones, el nuevo sistema
==
10y-x
402xtiene, de nuevo,
como solución x = 20 e y = 10.
De esta forma, aplicando uno o varios de estos criterios, se van obteniendo sistemas
equivalentes hasta llegar a uno en el que se pueda encontrar la solución fácilmente.
Métodos algebraicos de resolución de sistemas Basándose en estos criterios, existen distintos métodos para resolver algebraicamente
los sistemas. Los más importantes son:
1. Sustitución: El método de sustitución recibe este nombre porque consiste en
sustituir en una de las ecuaciones una de las incógnitas en función de la otra, obteniendo una
ecuación con una sola incógnita. Para ello efectuamos los pasos siguientes:
• Se despeja una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Conviene
analizar qué incógnita es conveniente sustituir y en qué ecuación vamos a
realizar la sustitución con el fin de obtener una ecuación lo más sencilla
posible. Así en el sistema:
=+=−
5y3x
5y2x despejamos y de la segunda ecuación
(es la incógnita con coeficiente más sencillo) y obtenemos:
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==−3x-5y
5y2x
• Se sustituye este valor hallado en la otra ecuación: 2x – (5-3x) = 5
• Se resuelve la ecuación resultante que tiene sólo una incógnita: 2x-5+3x = 5
�5x = 10 � x = 2.
• Una vez obtenida el valor de una de las variables, se calcula el valor de la otra
incógnita sustituyendo el valor obtenido en la variable despejada: y = 5-3.2
� y = -1
• Se comprueba que la solución verifica ambas ecuaciones:
==−51-3.2
5(-1)2.2
2. Igualación: El método de igualación recibe este nombre porque consiste en
igualar el valor que, en cada una de las dos ecuaciones, tiene una misma incógnita. Para ello
procedemos así:
• Se despeja, de la primera y de la segunda ecuación, la misma incógnita, la que
sea más fácil:
=+=−
-2y45x
-10y32x, despejamos x:
2
103 −= yx ,
5
24 −−= yx
• Se igualan las expresiones obtenidas: 5
24
2
103 −−=− yy.
• Se resuelve la ecuación obtenida que es una ecuación con una incógnita: 15y –
50 = -8y-4 � 15y + 8y = 50-4 � y = 2.
• Una vez obtenida el valor de una de las variables, se calcula el valor de la otra
incógnita sustituyendo el valor obtenido en la variable despejada:
x =2
102.3 −= -2
• Se comprueba que la solución verifica ambas ecuaciones:
=+=−
-22.45(-2)
-10.232(-2).
3. Reducción: Aplicando el tercer criterio de equivalencia, hacemos
combinaciones lineales de las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas. Para ello
procedemos de la siguiente forma:
• Se transforman las ecuaciones mediante multiplicaciones apropiadas hasta
conseguir que una de las incógnitas (la de coeficientes menores) tenga
coeficientes iguales en ambas ecuaciones. Para ello se multiplican los dos
miembros de la primera ecuación por el coeficiente que tenga la incógnita (que
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queremos eliminar) en la segunda ecuación, y viceversa, es decir, se
multiplican los dos miembros de la segunda ecuación por el coeficiente que
tenga la incógnita en la primera ecuación. Por ejemplo, en el
sistema
=+=−10y43x
1y32xeliminamos x multiplicando la primera ecuación por 3, la
segunda por 2: 2.102).43(
3.13).32(
=+=−
yx
yx�
=+=−
20y86x
3y96x.
• Se restan miembro a miembro las dos ecuaciones: -17y = -17.
• Se resuelve la ecuación de primer grado resultante, que tiene sólo una
incógnita: y = 1.
• Una vez obtenida el valor de una de las variables, se calcula el valor de la
segunda incógnita sustituyendo el valor obtenido en la otra variable,
previamente espejada: 22
1.31
2
31 =+=+= yx .
• Se comprueba que la solución verifica ambas ecuaciones:
=+=−10.143.2
1.132.2.
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5. Resumen teórico
Sistemas de
ecuaciones
• Conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más
incógnitas. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas x e y se expresa de la forma
=+=+
'y'xa'
yax
kb
kb
Los números a, b, a΄, b΄ son los coeficientes de las
incógnitas y los números k y k΄ son los términos
independientes.
• Resolver un sistema es encontrar dos números
que, al reemplazarlos en las dos ecuaciones, satisfagan
ambas simultáneamente.
• Una solución de un sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas es un par de números que verifican las dos
ecuaciones.
Clasificación según la
solución
• Un sistema es incompatible si no tiene solución.
• Un sistema es compatible determinado si tiene
una solución única.
• Un sistema es compatible indeterminado si tiene
un número infinito de soluciones.
Sistemas equivalentes • Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas
soluciones. Criterios de equivalencia:
1º.- Si se suma o resta la misma expresión
algebraica o el mismo número a los dos miembros de una
ecuación de un sistema, se obtiene otro sistema
equivalente al anterior.
2º.- Si se multiplican o dividen por un mismo
número distinto de cero los dos miembros de una
ecuación de un sistema, se obtiene otro sistema
equivalente al anterior.
3º.- Si se suma o resta a una ecuación de un
sistema la otra ecuación multiplicada por un número (lo
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que se llama una combinación lineal de las ecuaciones),
se obtiene otro sistema equivalente al anterior.
Métodos de
resolución
• Gráfico: Representar las ecuaciones gráficamente
y buscar el punto o puntos de intersección de las rectas.
• Sustitución: Despejar una incógnita de una
ecuación y sustituir su valor en la otra.
• Igualación: Despejar una misma incógnita en las
ecuaciones e igualar sus valores.
• Reducción: Igualar los coeficientes de una de las
incógnitas mediante multiplicaciones adecuadas. Restar
ambas ecuaciones eliminando una de las incógnitas.
Resolución de
problemas mediante
sistemas
• Comprender el problema
• Plantear las ecuaciones y formar el sistema
• Resolver el sistema de ecuaciones
• Comprobar que la solución cumple las condiciones
del enunciado.
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6. Actividades resueltas
1. Comprueba si los valores que se dan son soluciones del sistema:
a)
=−=+
-6yx
8 y x , Solución: x = 1, y = 7.
b)
=−=+
2yx
4 y 2x , Solución: x = 2, y = 1.
Solución
a) Al sustituir x por 1 e y por 7 en las dos ecuaciones resultan dos identidades: 1 + 7=
8, 1-7 = -6, por tanto estos valores satisfacen las dos ecuaciones y son la solución del
sistema.
b) Al sustituir x por 2 e y por 1 en la primera ecuación resulta: 2.2 + 1 = 4, una
igualdad falsa, por tanto estos valores no satisfacen la primera ecuación y no son la
solución del sistema.
2. Forma una tabla para cada una de las ecuaciones del sistema
=−=+
1yx
1 y x
¿Hay algún par de valores x e y que aparezca en las dos tablas?
Solución
Tabla de x + y =1 � y = 1-x
x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5
y 1 0 -1 -2 -3 -4 2 3 4 5 6
Tabla de x-y = 1 � y = x-1
x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5
y -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -4 -5 -6
En las dos tablas aparece x = 1 e y = 0 que es, por tanto, la solución de este sistema.
3. Estudia las soluciones de los siguientes sistemas mediante tablas
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a)
=−=+
5yx
7 y x b)
=−=+
2y2x
5 y x
Solución
a) Formando las tablas correspondientes a cada ecuación:
Tabla de x + y = 7 � y = 7-x
x 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5
y 7 6 5 4 3 2 1 8 9 10 11 12
Tabla de x-y = 5 � y = x-5
x 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5
y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -6 -7 -8 -9 -10
En las dos tablas aparece la solución: x = 6 e y = 1.
b) Tabla de x + y = 5 � y = 5-x
x 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5
y 5 4 3 2 1 0 -1 6 7 8 9 10
Tabla de x-2y = 2 � y = x/2 - 1
x 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5
y -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5
En las dos tablas aparece el punto común a las dos rectas, solución del sistema: x =
4 e y = 1.
4. Estudia la solución del siguiente sistema mediante tabla
=+=+
12y22x
6 y x
Solución:
Tabla de x + y = 6 � y = 6-x
x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5
y 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11
Tabla de 2x + 2y = 12 � y = (12-2x)/2
x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5
y 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11
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En las dos tablas aparecen los mismos puntos, se trata de un sistema con infinitas
soluciones, es decir, un sistema compatible indeterminado. Se comprueba que en
realidad las dos ecuaciones representan la misma recta.
5. Resuelve el siguiente sistema:
=+=+10yx
6 y x
Solución:
Construimos las tablas de valores.
Tabla de x + y = 6 � y = 6-x
x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5
y 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11
Tabla de x + y = 10 � y = 10-x
x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5
y 10 9 8 7 6 5 11 12 13 14 15
Al contrario que en el ejemplo anterior, este sistema no parece que tenga solución.
Para confirmar que así es representamos las ecuaciones, es decir lo resolvemos
gráficamente.
Comprobamos que las ecuaciones del sistema representan sendas rectas paralelas, por
tanto no tienen ningún punto común y el sistema es incompatible. Si nos fijamos en las
ecuaciones vemos que la primera indica que la suma de los valores de x e y debe ser 6,
y en la segunda, esto mismo debe ser 10, lo cual no nunca será posible.
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6. Halla gráficamente el punto intersección de las rectas representadas por los siguientes
sistemas de ecuaciones:
a)
=+=−
10yx
4- y 2x b)
=−=+
6y23x
10 y 25x
Solución:
a) Aunque una recta queda perfectamente determinada por dos puntos, hallamos tres
puntos de cada recta y tenemos más seguridad de no equivocarnos.
En la primera ecuación: En la segunda:
Se representan en el plano cartesiano las rectas determinadas por los tres pares de
puntos.
El punto intersección nos da la solución (2,8); luego la solución del sistema será x = 2,
y = 8.
b)
=−=+
6y23x
10 y 25x
En la primera: En la segunda:
Se representan en el plano cartesiano las rectas determinadas por los tres pares de
puntos.
x 0 1 -1
y 10 9 11
x 0 1 -1
y 4 6 2
x 0 1 -1
y 5 2,5 7,5
x 0 1 -1
y -3 -1,5 -4,5
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El punto intersección nos da la solución (2,0); luego la solución del sistema será x = 2,
y = 0.
7. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
=+=+3yx
6 y 22x b)
=−=−
6y22x
2 y x
Solución:
a) Representamos las rectas.
En la primera ecuación: En la segunda:
Se representan en el plano cartesiano las rectas determinadas por los tres pares de
puntos.
Vemos que las dos ecuaciones representan la misma recta. El sistema tiene infinitas
soluciones: x = 0, y = 3; x = 1, y = 2, etc. Es un sistema compatible indeterminado.
b)
=−=−
6y22x
2 y x
x 0 1 -1
y 3 2 4
x 0 1 -1
y 3 2 4
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En la primera: En la segunda:
Se representan en el plano cartesiano las rectas determinadas por los tres pares de
puntos.
Se observa que las dos ecuaciones representan rectas paralelas. El sistema no tiene
solución, es incompatible.
8. Determina para qué valor de k (un parámetro) el siguiente sistema no tiene solución:
=+=+
3y3kx
2 y 52x .
Solución: Para que el sistema no tenga solución las rectas representadas por estas
ecuaciones deben ser paralelas, por tanto las pendientes ser iguales:
Pendiente de la 1ª ecuación: m1= 5
2−.
Pendiente de la 2ª ecuación: m2= 3
k−.
Igualando ambas pendientes se obtiene el valor de k: 35
2 k−=−�
5
6=k .
9. Di si los siguientes sistemas son equivalentes o no y razona la respuesta.
a)
=++=+
92y4x
3 y x equivalente a
=+=+
7y4x
15 y 55x
x 0 1 -1
y -2 -1 -3
x 0 1 -1
y -3 -2 -4
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b)
=+=+
2y3x
1- y 2x equivalente a
=+=+
63y3x
2- y 42x
c)
=+=−
-1y2x
1 y 3x equivalente a
=+=+
-1y2x
0 y 4x .
Solución:
a) x + y = 3, 4x + y + 2 = 9 es equivalente a 5x + 5y = 15, 4x + y = 7. Ya que la
primera ecuación del segundo sistema se puede obtener multiplicando por 5 los dos
miembros de la primera ecuación del primer sistema (segundo criterio de
equivalencia); la segunda ecuación del segundo sistema se obtiene restando 2 en los
dos miembros de la segunda ecuación del primer sistema (primer criterio de
equivalencia).
b) x +2 y = -1, 3x + y = 2 no es equivalente a 2x + 4y = -2, 3x + 3y = 6. Con las dos
primeras ecuaciones de los dos sistemas no hay problema, por el 2º principio de
equivalencia. No ocurre así con las segundas: Habría que multiplicar también por 3 el
coeficiente de x en el segundo sistema.
c) 3x - y = 1, x + 2y = -1 es equivalente a 4x + y = 0, x + 2y = -1. La primera ecuación
del segundo sistema se puede obtener sumando las dos primeras ecuaciones de ambos
sistemas (tercer principio de equivalencia). Las segundas son iguales.
10. Obtén un sistema equivalente donde la incógnita x tenga el mismo coeficiente en las dos
ecuaciones.
a)
=−=+
9y2x
8 y 3x . b)
=−=+
-2y52x
16 y 23x .
Solución:
a)
=−=+
9y2x
8 y 3x .
Multiplicamos por 2 la primera ecuación: 2x + 6y = 16, 2x – y = 9.
b)
=−=+
-2y52x
16 y 23x .
Multiplicamos por 2 la primera ecuación y por 3 la segunda:
=−=+
-6y156x
32 y 46x .
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24
11. Obtén sistemas equivalentes a los anteriores donde la incógnita y tenga el mismo
coeficiente en las dos ecuaciones.
Solución:
a)
=−=+
9y2x
8 y 3x .
Multiplicamos por -3 la segunda ecuación:
=+=+
-27y36x-
8 y 3x .
b)
=−=+
-2y52x
16 y 23x .
Multiplicamos por 5 la primera ecuación y por -2 la segunda:
=+=+
4y104x-
80 y 1015x .
12. Escribe tres sistemas equivalentes que tengan como solución: x = -3, y = 1.
Solución:
Como x + y = -2 y 2x + y = -5, el sistema formado por las ecuaciones:
=+=+
-5y2x
2- y x es
uno de los pedidos.
Si a los dos miembros de la primera ecuación los multiplicamos por 2, obtenemos el
segundo sistema equivalente al anterior:
=+=+
-5y2x
4- y 22x .
Por último, si sumamos estas ecuaciones se obtiene la ecuación: 4x + 3y = -9 que junto
con una cualquiera del sistema anterior, forma el tercer sistema solicitado.
13. Resuelve por el método de sustitución los sistemas:
a)
=+=−
11y3x
1- y 2x b)
=+=+
25y64x
8y 3x
Solución:
a) Primer paso: Ya que la variable y tiene coeficiente 1 en la 2ª ecuación, despejamos
el valor de y en dicha ecuación y lo sustituimos en la primera: y = 11-3x; 2x – (11-3x)
= -1.
Segundo paso: A continuación resolvemos la ecuación de una sola variable: 2x – 11 +
3x = -1; 5x = 11-1; 5x = 10; X = 2.
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25
Tercer paso: Reemplazamos el valor de x en y = 11-3x: y = 11- 3.2 = 5.
Cuarto paso: Comprobamos la solución: 2.2-5=-1, 3.2 + 5 = 11.
b) Primer paso: Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.
Elegimos la y de la primera ecuación porque es la que tiene el coeficiente más
pequeño. Así: 3x + y = 8 � y = 8-3x.
Segundo paso: Sustituimos en la segunda ecuación la variable y por el valor anterior:
4x + 6y = 25 � 4x + 6(8-3x) = 25.
Tercer paso: Resolvemos la ecuación obtenida: 4x + 48 – 18x = 25 � -14x = -23 � x
= 23/14.
Cuarto paso: Sustituimos el valor en la otra variable, ya despejada: y = 8 – 3. 23/14 =
43/14.
Luego la solución es: x = 23/14 e y = 43/14.
Quinto paso: Comprobamos la solución: 3. 23/14 + 43/14 = 69/14 + 43/14 = 112/14 =
8; 4. 23/14 + 6. 43/14 =92/14 + 258/14 = 350/14 = 25.
14. Resuelve por el método de igualación los sistemas:
a)
=+=−
11y3x
1- y 2x b)
=+=+
25y64x
8y 3x
Solución:
a) Primer paso: Ya que la variable y tiene los coeficientes menores, despejamos el
valor de y en ambas ecuaciones: y = 2x + 1 e y = 11-3x.
Segundo paso: A continuación igualamos las dos expresiones: 2x + 1 =11-3x.
Tercer paso: Resolvemos la ecuación: 5x = 10 � x = 2.
Cuarto paso: Reemplazamos el valor de x en la ecuación más sencilla: y = 2.2 + 1 = 5.
Quinto paso: Comprobamos la solución: 2.2-5=-1, 3.2 + 5 = 11.
b) Primer paso: Ya que la variable y tiene los coeficientes menores, despejamos el
valor de y en las dos ecuaciones. Así: y = 8-3x e 6
425 xy
−=
Segundo paso: Igualamos las dos expresiones: 6
42538
xx
−=− .
Tercer paso: Resolvemos la ecuación obtenida: 48 – 18x = 25 – 4x � -14x = -23 � x
= 23/14.
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26
Cuarto paso: Sustituimos el valor en la otra variable, ya despejada: y = 8 – 3. 23/14 =
43/14.
Luego la solución es: x = 23/14 e y = 43/14.
Quinto paso: Comprobamos la solución: 3. 23/14 + 43/14 = 69/14 + 43/14 = 112/14 =
8; 4. 23/14 + 6. 43/14 =92/14 + 258/14 = 350/14 = 25.
15. Resuelve por el método de reducción los sistemas:
a)
=+=−
11y3x
1- y 2x b)
=+=+
25y64x
8y 3x
Solución:
a) Primer paso: Ya que la variable y tiene los coeficientes 1 y -1, sumamos ambas
ecuaciones: 5x = 10.
Segundo paso: Resolvemos la ecuación: 5x = 10 � x = 2.
Tercer paso: Reemplazamos el valor de x en la ecuación más sencilla: y = 2.2 + 1 = 5.
Cuarto paso: Comprobamos la solución: 2.2-5=-1, 3.2 + 5 = 11.
b) Primer paso: Ya que la variable y tiene los coeficientes menores, multiplicamos la
primera ecuación por 6: 18x + 6y = 48.
Segundo paso: Restamos miembro a miembro las ecuaciones resultantes: 14x = 23.
Tercer paso: Resolvemos la ecuación obtenida: x = 23/14.
Cuarto paso: Sustituimos el valor en la otra variable despejada: y = 8 – 3. 23/14 =
43/14.
Luego la solución es: x = 23/14 e y = 43/14.
Quinto paso: Comprobamos la solución: 3. 23/14 + 43/14 = 69/14 + 43/14 = 112/14 =
8; 4. 23/14 + 6. 43/14 =92/14 + 258/14 = 350/14 = 25.
16. Resuelve los siguientes sistemas por el método más adecuado:
a)
=+
=−
0y2
32x
3 y x 3
4
b)
=−+
=−
0y3
12x
3 y 3
1-x
c)
=+=+
1y2x
4 y 3x d)
=−=−
0y3
3 y x
x
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27
Solución:
a) Para decidir cuál método es el más apropiado se estudian los coeficientes de ambas
incógnitas en las dos ecuaciones. En este caso sólo una (y en la 1ª ecuación) que tiene
un coeficiente sencillo. Por ello es conveniente utilizar el método de sustitución y
despejar esa variable: y = 33
4 −x .
Al sustituir en la segunda ecuación resulta: 0)33
4(
2
32 =−+ xx � 0
2
922 =−+ xx �
2
94 =x �
8
9=x .
Sustituimos el valor de x en la otra variable despejada: 2
33
8
9.
3
4 −=−=y .
Comprobamos la solución:
=−=−
==+
04
9
4
9
2
3.
2
392.8
3 2
6
2
3
8
9.
3
4
b) De nuevo estudiamos los coeficientes de las variables. Como la y se puede despejar
fácilmente en ambas ecuaciones y no así con la x, vamos a resolver el sistema por
igualación.
=−+
=−
0y3
12x
3 y 3
1-x
�
+=
−=
3
12x
3 3
1-x
y
y�
3
123
3
1 +=−− xx� 1291 +=−− xx � x = -11
Sustituyendo en la segunda ecuación el valor de x: 73
1)11(2 −=+−=y
Comprobamos la solución:
=+−=++
=+=+
07773
12(-11)
374- 7 3
1-11-
c) En el sistema
=+=+
1y2x
4 y 3x todas las incógnitas tienen coeficientes bastante sencillos.
Es conveniente hacerlo por reducción: Multiplicamos por 2 la 1ª ecuación y restamos
miembro a miembro, esta nueva ecuación y la segunda.
=+=+
1y2x
8 y 62x � 5y = 7 �
5
7=y
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28
Hallamos la segunda incógnita, sustituyendo en la segunda ecuación: 15
72 =+x �
5
712 −=x �
5
1−=x .
Comprobamos la solución:
==+
==+
15
5
5
7)
5
12(-
45
20
5
7.3
5
1-
.
d) Los coeficientes de este sistema nos permiten utilizar cualquier método.
Utilizamos, nuevamente, reducción. Restamos la 1ª ecuación menos la 2ª:
=−=−
0y3
3 y x
x�
=−=−
32
3 y x
x�
−=
=−
2
33 y x
x�
−=
=−
2
3
3 y 2
3-
x�
−=
−==
2
32
93-
2
3- y
x
Comprobamos la solución:.
=+−=+−
==+
02
9
2
9
2
9)
2
3(3
3 2
6
2
9
2
3-
.
17. La edad de un padre y la de su hija suman 77 años, y dentro de dos años la edad del padre
será el doble de la de su hija. ¿Qué edades tienen el padre y su hija?.
Solución:
1º Comprender el problema: Se trata de obtener la edad de un padre u la de su hija, que
son las incógnitas. Como datos conocemos que las dos edades suman 77 y que dentro
de dos años la edad del padre será el doble de la de su hija.
2º Plantear el sistema: Denotamos con x = edad actual del padre e y = edad actual de la
hija. Releemos el problema en términos de x e y:
x e y suman 77� x + y = 77
dentro de dos años la edad del padre: x+2, será el doble de la de la hija y+2� x+2=
2.(y+2).
El sistema queda:
+=+=+
2)2(y 2x
77 y x
3º Resolver el sistema:
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29
+=+=+
42y 2x
77 y x �
=−=+
2 2yx
77 y x
Como los coeficientes de x son iguales, aplicamos el método de reducción. Restamos
la primera ecuación menos la segunda: 3y = 75 � y = 25. La edad del padre la
despejamos de la primera ecuación: x = 77-25 = 52.
18. Si se mezcla café de 7,5 euros el kilo con otro de 6 euros el kilo, de modo que resultan 25
kilos de café a 6,9 euros el kilo de mezcla, ¿cuántos kilos se mezcló de cada clase de
café?.
Solución:
1º Comprender el problema: Se trata de obtener los kilos de cada clase de café, que son
las incógnitas. Como datos conocemos que las dos clases suman 25 kilos y los precios
de las dos clases y de la mezcla.
2º Plantear el sistema: Denotamos con x = nº kilos de la primera clase e y = nº kilos de
la segunda clase.
Releemos el problema en términos de x e y. Manejamos dos magnitudes:
Peso: x e y suman 25� x + y = 25.
Coste: 7,5x (coste 1ª clase) + 6y (coste 2ª clase) = 6,9.25 (coste mezcla)
El sistema queda:
=+=+
5,17265,7
25 y x
yx
3º Resolver el sistema: Como el coeficiente de x en la primera ecuación es 1,
utilizamos el método de sustitución de x en la segunda ecuación
=+=
172,56y7,5x
y-25 x � 7,5(25-y) +6y = 172,5 �187,5 -7,5y+6y = 172,5 �
-1,5y= 172,5-187,5 � 5,1
15
−−=y = 10 Kg.
El otro peso lo despejamos de la primera ecuación: x = 25 – 10= 15 Kg.
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7. Actividades propuestas
1. Comprueba si los valores que se dan son soluciones del sistema:
a)
=−=+
5y3x
7 y 32x Solución: x = -2, y = 1.
b)
=−=+
-6y3x
8 y 3x Solución: x = -1, y = 3.
2. Estudia las soluciones de los siguientes sistemas mediante tablas
a)
=−=+
4yx
10 y x b)
=+=−
6y4x
1- y 23x
3. Clasifica según la solución (en incompatible, compatible determinado o compatible
indeterminado) los sistemas de ecuaciones:
a)
=+=+
4yx
10 y x b)
=−=−
-2y46x
1- y 23x c)
=−=+3yx
1 y 2x
4. Señala si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles e indica cuántas
soluciones tienen:
a)
=+=+
4yx
10 y x b)
=−=−
-2y46x
1- y 23x
5. Los siguientes sistemas, ¿son compatibles o incompatibles?. En su caso halla su
solución.
a)
=+=−
10y64x
5 y 32x b)
=−=−
8y26x
12 y 39x
6. Halla gráficamente el punto intersección de las rectas representadas por los
siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
=−=+
-7y23x
7 y 2x b)
=−=+
9yx
15 y x
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31
7. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
=+
=+
5yx
2 3
y
2
x b)
=+
=+
59
2y
3
x
6 3
y
2
x
8. Escribe dos sistemas equivalentes que tengan como solución: x = 4 e y = -3.
9. Obtén un sistema equivalente donde la incógnita x tenga el mismo coeficiente en las
dos ecuaciones.
a)
=−=+
9y2x
8 y 3x . b)
=−=−
-1y35x
0 y 2x .
10. Obtén un sistema equivalente donde la incógnita y tenga el mismo coeficiente en
las dos ecuaciones.
a)
=−=+
11y2x
8 y 2x . b)
=+=+
7y53x
9 y 45x .
11. Resuelve por el método de sustitución los sistemas y señala si son compatibles o
incompatibles. ¿Cuántas soluciones tienen?
a)
=+=+
8y64x
4 y 32x . b)
=+=+
21y2x
8 y 2x .
c)
=+
=+
5yx
6 3
y
3
x d)
=+
=+
55
2y
3
x6 2y x
12. Resuelve por el método de igualación los sistemas y señala si son compatibles o
incompatibles. ¿Cuántas soluciones tienen?
a)
=+=+
8y64x
4 y 32x . b)
=+=+
21y2x
8 y 2x .
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32
c)
=−=
10y22x
5 y -x d)
=−=
5186
8 4y -3x
yx
13. Resuelve por el método de reducción los sistemas y señala si son compatibles o
incompatibles. ¿Cuántas soluciones tienen?
a)
=+=+
0y32x
4 y 23x . b)
=−=−
1y34x
6 y 5x .
c)
=−=+
11y2x
8 2y x d)
=+=+
753
9 4y 5x
yx
14. Averigua para qué valores del parámetro k el siguiente sistema no tiene solución:
=++=++
84k)(2
7 5y 2k)x (1
yx
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33
8. Bibliografía
“Matemáticas. Álgebra-Cálculo-Geometría-Probabilidad” Serie Schaum. ED.
McGrauw-Hill.
“Matemáticas. 3º ESO. Ed. Edelvives.
“Matemáticas. 4º ESO. Opción B. Ed. MCGraw-Hill.
“Matemáticas. 4º ESO. Opción A. Ed. SM.
“Problemas de Matemáticas Especiales”(1989) Cuadernos de la UNED, nº 80.
“Problemas de Matemáticas Especiales”(1995). Mª E. Ballvé y otros. Ed. Sanz y
Torres. Madrid
www.maristasleon.com/MATEMATICAS /4eso /mat4eso .htm
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/4esosoluciolibro-b.htm
http://actividadesinfor.webcindario.com/autoevaluacion3.htm
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9. Prueba de autoevaluación final
1.- ¿Cómo es el siguiente sistema?
==+
4-2
1- 2y x
yx
a) Compatible
b) Incompatible
c) Imposible
d) Equivalente
2.- Dos sistemas que son equivalentes tienen:
a) El mismo coeficiente de la x
b) Los mismos términos independientes
c) El mismo valor de la y
d) La misma solución
3.- Un sistema tiene por solución x = -1, y = 3 y una ecuación x + 2y = 5. ¿Cuál es la
otra ecuación?
a) 3x – y = -6
b) –x + 2y = 1
c) x + 2y = 2
d) 2x + 3y = 5
4.- ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?
==+
8-3
10 4y 2x
yx
a) x = 2, y = 4
b) x = 3, y = 1
c) Las dos anteriores
d)Ninguna de ellas
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5.- Si en un sistema compatible determinado se multiplican todos los términos de una de
las ecuaciones por dos:
a) El nuevo sistema puede ser incompatible
b) La solución no varía
c) La solución es el doble de la original
d) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta
6.- La solución del sistema
=
=+
72
1-3
6 y x 3
2
yx es:
a) x = 2, y = 4
b) x = 3, y = 4
c) Las dos anteriores
d) Ninguna de ellas
7.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones referentes al sistema
==+42-
1 2y kx
yxes correcta?
a) Para k = 1 es incompatible
b) Para 1−≠k es compatible indeterminado
c) Para k = 2 es compatible determinado
d) Ninguna de ellas
8.- La suma de las edades de dos hermanos es 29 años. Dentro de ocho años, la edad
del mayor será doble de la del menor. Las edades actuales de ambos son:
a) Mayor = 20 y Menor = 9
b) Mayor = 17 y Menor = 10
c) Mayor = 22 y Menor = 7
d) Mayor = 21 y Menor = 8
9.- En un hotel de 120 habitaciones hay habitaciones dobles e individuales. Si el
número total de camas es 195, las habitaciones de cada tipo son:
a) Dobles = 100 y Individuales = 20
b) Dobles = 75 y Individuales = 45
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c) Dobles = 45 y Individuales = 75
d) Dobles = 100 y Individuales = 95
10.- Un alumno realiza un examen de 10 preguntas. Por cada acierto le dan 2 puntos y
por cada fallo le quitan 1 punto. Sabiendo que la calificación final fue de 8 puntos y
que contestó a todas las preguntas, el nº de aciertos fue:
a) Aciertos = 8
b) Aciertos = 10
c) Aciertos = 4
d) Aciertos = 6
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Soluciones a la Prueba de Autoevaluación final 1 → a
2 → d
3 → a
4 → b
5 → b
6 → b
7 → c
8 → c
9 → b
10 → d