Estudios Matemticos Argentera

Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparacin para comprender las cosas que hay ms all. (Hipatia)

Mdulo 1.

Operaciones

Aritmticas

Algebraicas

Hypatia: Naci en el 370 D.C. Eminente mujer griega, clebre por su elocuencia, belleza y conocimiento. Ense la doctrina de platn y Aristteles. Se destac en los campos de las Matemticas y la Astronoma. Miembro y lder de la Escuela neoplatnica de Alejandra, se centr en estudios lgicos y ciencias exactas, llevando una vida asctica.La acusaron de hechicera por tener influencia cientfica, literaria y matemtica. Cre el Cann Astronmico de Diofanto, el astrolabio y la esfera plana. Invent el aermetro o hidroscopio. Muri quemada en el 415.

EL TANGRAM

EEss uunn rroommppeeccaabbeezzaass qquuee ccoonnssttaa ddee 77 ppiieezzaass oo ttaannss.. jjuueeggoo

cchhiinnoo ddee llooss ssiieettee eelleemmeennttooss oo ttaammbbiinn llaa ttaabbllaa ddee llaa

ssaabbiidduurraa oo ""ttaabbllaa ddee ssaaggaacciiddaadd"" hhaacciieennddoo rreeffeerreenncciiaa aa

llaass ccuuaalliiddaaddeess qquuee eell jjuueeggoo ccoonnlllleevvaa.. RReeqquuiieerree ddee iinnggeenniioo,,

iimmaaggiinnaacciinn yy,, ssoobbrree ttooddoo,, ppaacciieenncciiaa..

EEnn llaa eennsseeaannzzaa ddee llaa mmaatteemmttiiccaa,, uuttiilliizzaa ccoommoo mmaatteerriiaall

ddiiddccttiiccoo qquuee ffaavvoorreecceerr eell ddeessaarrrroolllloo ddee hhaabbiilliiddaaddeess ddeell

ppeennssaammiieennttoo aabbssttrraaccttoo,, ddee rreellaacciioonneess eessppaacciiaalleess,, llggiiccaa,,

iimmaaggiinnaacciinn,, eessttrraatteeggiiaass ppaarraa rreessoollvveerr pprroobblleemmaass,, eennttrree

mmuucchhaass oottrraass,, aass ccoommoo uunn mmeeddiioo qquuee ppeerrmmiittee iinnttrroodduucciirr

ccoonncceeppttooss ggeeoommttrriiccooss.. EEss uunn ggrraann eessttmmuulloo ppaarraa llaa

ccrreeaattiivviiddaadd.. PPrroommuueevvee eell ddeessaarrrroolllloo ddee ccaappaacciiddaaddeess

ppssiiccoommoottrriicceess ee iinntteelleeccttuuaalleess ddee llooss nniiooss.. SSee uuttiilliizzaa eenn

ppssiiccoollooggaa,, eenn ddiisseeoo,, eenn ffiilloossooffaa yy ppaarrttiiccuullaarrmmeennttee eenn llaa

ppeeddaaggooggaa.. SSee ppuueeddeenn rreeaalliizzaarr aallrreeddeeddoorr ddee 1166,,000000

ffiigguurraass ddiissttiinnttaass..

1

Leyes de los signos

Ley de los signos para la Suma y Resta

Se aplican los siguientes criterios:

1. Cuando las cantidades son del mismo signo, Se suman las cantidades

y se conserva el mismo signo.

Ejemplos: 2 + 5=7; -8-4=-12

2. Cuando las cantidades son de signos diferentes, Se restan los

nmeros y se conserva el signo de la de mayor valor absoluto.

Ejemplos: 9-3=6, -8+3=-5

Ley de los signos para la multiplicacin y divisin

Tanto la multiplicacin como la divisin de expresiones con signos iguales

darn como resultado un valor positivo, mientras que la multiplicacin de

expresiones con signos contrarios dar como resultado un valor negativo, es

decir,

Multiplicacin Divisin

(+) (+) = (+) (+) (+) = (+)

(+) (-) = (-) (+) (-) = (-)

(-) (+) = (-) (-) (+) =(-)

(-) (-) = (+) (-) (-) =(+)

Ejemplos: (-2) (-3) = 6, -30 -15 = 2;

(2)(-3) =-6; -27 9 = -3

2

FRACCIONES

Fraccin: Es cada una de las partes en que se divide la unidad.

Clasificacin de las fracciones

Segn la relacin ente el numerador y el denominador:

Fraccin propia: Fraccin que tiene su numerador menor que su

denominador. 2/7, 4/5.

Fraccin impropia: Fraccin en donde el numerador es mayor que

el denominador. 13/6, 18/8, 4/2.

Segn la relacin entre los denominadores:

Fraccin homognea: Fracciones que tienen el mismo denominador. Ejemplos: 5/4; 7/4.

Fraccin heterognea: Fracciones que tienen diferentes

denominadores. Ejemplos: 3/5, 7/8, 9/11

Reductibles: Fracciones en las que el numerador y el denominador

no son primos entre s y puede ser simplificada.

Ejemplos: 20/40, 4/20, 5/10

Irreductibles: Fracciones en las que el numerador y el denominador

son primos entre s. No pueden ser simplificadas. Ejemplos: 3/7,

17/11, 33/15

2 41

6 6

3

Operaciones con fracciones.

Multiplicacin

Para multiplicar dos fracciones numricas o algebraicas se multiplican sus numeradores y sus denominadores, por separado, teniendo as el numerador

y el denominador de la fraccin producto.

Ejemplos: a c ac

b d bd

2 3 2*3 6

5 7 5*7 35

Divisin

Para dividir dos o ms fracciones, se multiplican el numerador de la primera

fraccin por el denominador de la segunda fraccin (as tenemos el

numerador) y el denominador de la primera fraccin por el numerador de la

segunda fraccin (denominador).

Ejemplos: a c ad

b d bc

2 3 2*7 14

5 7 5*3 15

Tambin podemos dividir de la siguiente forma, simplemente invirtiendo la

segunda fraccin para convertirla en un producto.,

Ejemplo: a c a d ad

b d b c bc

Suma y resta de fracciones homogneas y heterogneas

Para sumar o restar dos o ms fracciones homogneas, se suman los

numeradores y se deja el denominador comn.

Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones a c a c

b b b

a) 3 5 3 5 8

18 8 8 8

; b)

4

Para sumar fracciones heterogneas se siguen estos procesos:

1. Se calcula el mnimo comn mltiplo (M.C.M.), por lo que se tiene que

a) 3 5 9 10 19 1

16 9 18 18 18

b) 5 3 15 6 9 1

6 9 18 18 2

2. Tambin se puede desarrollar convirtindola en homognea

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

FRMULAS

Una frmula es una expresin general de una ley o mandato. Ejemplos de frmulas son:

A = L*L (frmula de un cuadrado)

.

2

b hA (Formula de un triangulo)

2 4

2

b b acx

a

(Frmula para resolver una ecuacin de segundo grado)

dv

t (Frmula para la velocidad)

5

Regla para despeje de frmulas:

Aplicando directamente las operaciones inversas tales como:

1- La operacin inversa de la suma es la resta y viceversa. 2- La operacin inversa de la multiplicacin es la divisin y

viceversa. 3- La operacin inversa de la potenciacin es la radicacin y

tambin la logaritmacin.

4- Y de la derivacin es la integracin.

Ejemplos:

a) De la ecuacin x + b = c, si queremos despejar a x solo debemos pasar a b con signo contrario para el otro lado x = c-b.

b) De la ecuacin a b = c, b pasa dividiendo al lado contrario de la igualdad, a = c/b

c) pv nrt despejar v.

En esta frmula solo hay multiplicandos, si quiero pasar un trmino de un

lado al otro pasarlo dividiendo. Al pasar P el resultado ser: nrt

vp

En la frmula5( 32)

9

Fc

despejar F .

Es igual poner 5( 32)

9

Fc

y empezar a transferir trminos

9( )5( 32) 9( ) 32

5

cF c F

Lenguaje algebraico

Es a travs del cual podemos escribir simblicamente, pues las matemticas

tienen su propio lenguaje, Se combinan nmeros y letras a travs de

operaciones aritmtica algebraica.

El lenguaje algebraico nos ayuda a traducir expresiones desde el lenguaje

coloquial al lenguaje algebraico.

6

Ejemplos: Traducir al lenguaje algebraico o simblico.

*El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

*El cudruple del cubo de un nmero disminuido en 78.

*La edad de Pedro es el triplo aumentado en 4 de la edad de flete.

Flete= x Pedro: 3x+4

Ejemplo: Traducir al lenguaje coloquial:

4(x-y)= Cuatro veces al producto de la diferencia de dos cantidades.

Cinco veces el cubo de un numero por el cuadrado de otro.

Monomios Y Polinomios:

Monomio: Es una expresin algebraica que consta de un solo termino.

a. b.

Polinomio: Es una expresin algebraica que consta de ms de un trmino.

Pueden clasificarse en Binomio Y Trinomio.

Binomio: Es cuando un polinomio tiene dos trminos.

Ejemplos: 23 4x m

Trinomio: Es cuando el potencial tiene tres trminos.

Ejemplos: 5x-y+4

Cuando hay ms de tres trminos se le llama normalmente polinomio.

Ejemplos:

2 2 2h c c

34 78x

3 25x y

24x3 4 76m n w

3 25x

xy

26 3 20x y

4 3 23 2 8x x x x 39 2 5m n x a

7

Valor numrico de expresiones algebraicas:

Consiste en sustituir la expresin por su valor y luego realizar las

expresiones indicadas.

Ejemplos: Buscar el valor numrico de las siguientes expresiones sabiendo que:

a=3 b=1 c=-2

A) = -2(1)+4(-2)-5 = 27-2-8-5 = 12

B)

Signos de agrupacin:

Para eliminar los signos de agrupacin tanto en operaciones algebraicas

como aritmtica, debemos ir operando desde adentro hacia afuera.

Ejemplos: Eliminar los signos de agrupacin en:

a. -{2-[3+5(-2+4)-8]+7}=

-{2-[3-10+20-8]+7}

-{2-[5]+7}=-{4}=-4

b. 6[-4+ (3+1)-8+ (4-6)-2]

6[-4+4-8-2-2]=6[-12]=-72

Trminos semejantes:

Dos o ms trminos sern semejantes cuando tengan la misma parte

literal afectadas por iguales exponentes.

Ejemplos: ; ;

3 2 4 5a b c 3(3)

25 12 4a b c 25(3) 12(1) 4( 2) 45 12 8 25

23x y 25x y 27x y

8

Operaciones Matemticas con monomios

a. Suma de Monomios: Para sumar dos o ms monomios se operara

con aquellos trminos semejantes.

3 2 3 2 3 2

2 3 2 3 2 3

a) 3x+5x=8x

2 1 13 b)

3 5 15

c)

Ejemplo

10a b 6

s

a b

:

a b 4

m n m n m n

b. Producto de monomio: Se multiplican los coeficientes y se suman

los exponentes.

Ejemplos:

a) 1 2 111 3

6 63 5 154 41

) 6 23

b m n x m n y m nx y

c) 2 5 1 316

2 8a b a ba

d) 2

3 3 5 4

75 10 50

mm x m x

x

c. Divisin de monomios: Se dividen los coeficientes y se restan

algebraicamente los exponentes.

1)

2) 2 5 3

8 7 3

6 2

3 3= m n p

7 7

m n p

m n

3)

8 6 46 9 4 2

2 3 2

102

5

x y zx y z w

x y w

2 5 7(3 )(4 ) 12m m m

6 34 4

2

82

4

x yx y

x y

9

Operaciones de polinomios:

Suma y resta de polinomios:

Solo se operan con aquellos trminos que sean semejantes, tomando en

cuenta que signos iguales se suma y se pone el mismo signo y que si son

diferentes se restan y se pone el que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplo: Operar

3 2 5 7 3 2 5 7 3 2 5 74 2 9 7 13 5x y x y x y x y x y x y

Producto de Polinomios:

Para multiplicar dos polinomios basta con multiplicar cada monomio del

primer factor por todos y cada uno de los trminos del segundo factor y as

sucesivamente y luego y luego se reducen los trminos semejantes.

Ejemplo 1: a c a c

Ejemplo 2: Resolver

Divisin de polinomio por monomio:

Para dividir un polinomio por un monomio basta con dividir cada trmino del

polinomio entre el monomio.

a)

8 7 2 6 144 2 3 1 2 11

4 3

9 6 5 5) 3 2

3 3

w v w v w v zb w v w v w v z

w v

2 2 2 22a ac ca c a ac c

3 5(2 5)(2 1)m m 8 3 54 2 10 5m m m 8 5 34 10 2 5m m m

2 5 6 7 82 2 2 4 8

4 3

8 104 5

2

a b a b ca b a b c

a b

10

Divisin de Polinomios:

Para dividir polinomios se ordena el dividiendo y el divisor con relacin a una

misma letra. Para obtener el primer trmino del cociente dividimos el

primer trmino del divisor; luego se multiplica el trmino obtenido por el

divisor y se pasa con signo contrario y luego se realizan las operaciones

indicadas.

2

2

2

3 x

x 6

6

3

2 6

2 6

0

1: Resolver 3

2

xx

x x

xEjemplo

x

x

x

x

5

5

3 2

1

:x

Ejemplo Dividirx

x

3 2

5

3 3 1x x x

x

4 3 2 2

4

3 3 3 6

3

x x x x x

x

3 2

4

3

3

x x

x

3 2

3

9 9

6

x x

x

2

3

8 3

6

x x

x

2

2

18 18 6

1 0 15 6

x x

x x

11

3 2 2

a)

) Realiza las sigui

f) 95 7 4

1 2 1 1 2) 3 5 g) .

7

entes operaciones y s

3 2 3

implifica:

7

ACTIVIDADES

I

b

+ 5=

6 1 2 1 1) h)

7 4 5 3 9

1 2 2 3 1) 7 3 i)

8 5 5 2 5

1 5) 6

2 3

c

d

e

2 2

2

4 2 1 j)

7 3 2

) 2x+3y=6 Despejar a X.

) Sen Cos 1 Despejar el Co

) Despeje de frmulas

seno.

1c) Ec=

2

:I

a

mv

I

b

1 222

1 2 122

Despejar a V.

) Despejar q .

e) Despejar W

Kq qd Fe

r

w w R

nk

12

2 2

2 3 3 2 2 3

3 2 2 2 3 2 4 2

2 3 3 5 4

3

2 3

2 6 9 20

2 5

2

a) 3m 4m

1) 6a 2

2

) 5 4 3 4 5

) 5m 4 3

) 2 4

) Realiza las siguintes operac

2

) 3 2 1

ione

8 6)

2

) m 2 3 entr

s

e

:

1

b b a b a b

c m n m m m n m n p

d n m n z mn

e x x

II

f x x x

x y x y zg

x y z

h m m

i

I

8 5 10 4 8 12 12 3

4 7

4

9 30m 12n)

6

) b b entre 1

m n x n x x

m n

j b

III) Reduce los signos de agrupacin y reduce trminos .

) 2 8 3 9 4

) 4 2 6 2 4 9 5 23 =

sem jante

e s

a x x

b x x x x

"Una persona no puede directamente escoger sus circunstancias, pero si puede escoger sus

pensamientos e indirectamente -y con seguridad- darle forma a sus circunstancias."

James Allen)

13

Bibliografa

Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemtica Superior I. Santo Domingo

Rep. Dom: Universidad Catlica de santo Domingo.

Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Preclculo. 6ta edicin, Mxico: editora Pearson Educacin.

Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undcima edicin, Mxico: editora Codice

Amrica, S.A. Santillana I. serie umbral, (educacin media).

(2001), 1ra ediccion, Rep.Dom: Editora Santillana

Imagen del tangram rojo propiedad de http://www.google.com.doi

imgurl=http://nuvolo.files.wordpress.com/2006/10/tangram-red.j

Wikipedia Las fracciones http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n

Revisado el 31 de Agosto de 2012

Prof. Wilton Oltmanns