modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru · pdf filesistema, da bi on postao...
TRANSCRIPT
Modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja
2.1 Koncepcija prostora stanja Matematički model sistema u prostoru stanja se predstavlja u vidu skupa diferencijalnih ili diferencnih jednačina prvog reda. Ove jednačine opisuju prošlo, sadašnje i buduće ponašanje sistema. U jednačinama figurišu promenljive stanja koje se definišu kao minimalan skup promenljivih posmatrano od vremena nx,...1x t t= 0, koji zajedno sa zadatim ulazom ru,...,1u određuje stanje sistema u budućem vremenu t t≥ 0. Koncept prostora stanja ima nekoliko prednosti u odnosu na klasični pristup, posebno ako se posmatra sa aspekta korišćenja digitalnih računara. Te prednosti su:
1. Određivanje rešenja sistema diferencijalnih jednačina prvog reda je brže na digitalnom računaru, nego rešavanje odgovarajuće diferencijalne jednačine višeg reda.
2. Uprošćeno je matematičko opisivanje korišćenjem vektorske notacije. 3. Uključivanje početnih uslova sistema je jednostavno. 4. Može da se primeni i na vremenski promenljive, nelinearne, stohastičke i diskretne
sisteme.
y1(x ,...,x ) u1
...
u2
u
...Objekatupravljanja
1 n
y2
ymr Slika 2.1.1. Blok shema multivarijabilnog sistema
Na slici 2.1.1. je prikazana jednostavna blok-šema sistema sa otvorenom povratnom spregom. Ulazne promenljive ru,...,2u,1u se mogu predstaviti u obliku ulaznog vektora u, odnosno:
(2.1.1) ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ru
2u1u
uM
Izlazne veličine se mogu predstaviti sa izlaznim vektorom y sledećeg oblika: my,...,2y,1y
(2.1.2) ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
my
2y1y
yM
Vektori u(t) i y(t) su funkcije vremena, pa se može reći da ( ) ( )tiyitiu predstavljaju i-te komponente odgovarajućih vektora, u trenutku t. Sve moguće vrednosti koje vektor u može zadobiti za neko vreme t ( Ttot )≤≤ formiraju ulazni prostor posmatranog objekta. Za početno stanje objekta se smatra stanje u početnom trenutku t0. Izlazni vektor y je funkcija ulaza u i početnih uslova. Ako se i ovaj vektor posmatra u vremenu t ( , onda oba vektora možemo prikazati kao funkciju vremena, ili
. Ako se uvede novi vektor x koji označava vektor stanja posmatranog )
)Ttot ≤≤
( ) ( T,0tyiT,0tu
1
sistema, da bi on postao stvarno vektor stanja, mora biti ispunjen uslov da formirani skup jednačina od vektora x, u, y jednoznačno određuje x i y za ( ) ( )T,0tui0tx . Tako formirani skup jednačina se može napisati na sledeći način:
(2.1.3) ( ) ( )( ) ( )t,u,xgty
t,u,xftx==&
Matematički model sistema u razvijenoj notaciji je:
( )
( )t;ru,...1u,nx,...1xnfnx
t;ru,...1u,nx,...,1x1f1x
=
=
&
M
&
( )
( )t;ru,...1u,nx,...1xmgmy
t;ru,...1u,nx,...,1x1g1y
=
=M (2.1.4)
gde su f(.) i g(.) u opštem slučaju nelinearne funkcije, a vektor x je dimenzije n, vektor u je dimenzije r i vektor y je dimenzije m. Ako je sistem linearan, prethodna forma se može pisati i kao:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttt
tttttuDxCyuBxAx
+=+=&
(2.1.5)
Prva jednačina iz (2.1.3) ili iz (2.1.5) se zove jednačina stanja, a druga je jednačina izlaza. Jednačina stanja sistema je data u normalnoj ili Košijevoj formi sistema diferencijalnih jednačina prvog reda. U slučaju da se radi o stacionarnom sistemu, odnosno, o sistemu čiji parametri ostaju konstantni tokom vremena u razmatranim uslovima, onda se prethodna matrična jednačina stanja i matrična jednačina izlaza mogu pisati kao:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ttt
tttDuCxyBuAxx
+=+=&
(2.1.6)
Pri tome su dimenzije ovih matrica sa konstantnim koeficijentima sledeće: matrica stanja matrica upravljanja
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
nr1n
r111
nn1n
n111
bb
bb
aa
aa
L
LLL
L
L
LLL
L
BA
matrica izlaza matrica ulaza/izlaza
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
mr1m
r111
mn1m
n111
dd
dd
cc
cc
L
LLL
L
L
LLL
L
DC
Svaki sistem čije je ponašanje moguće opisati sa konačnim brojem promenljivih stanja naziva se sistem sa koncentrisanim parametrima. Ovim se želi reći da svaka tačka u razmatranom prostoru stanja definiše stanje sistema u toj tački i u njenoj neposrednoj blizini. Dinamičko ponašanje ovakvih sistema je moguće opisati sistemom običnih diferencijalnih jednačina, jer je vreme jedina nezavisna promenljiva. Za razliku od prethodnih sistema, postoji klasa sistema kod kojih se kao nezavisna promenljiva pored vremena pojavljuje i položaj u prostoru. Dinamičko ponašanje ovih sistema se opisuje sa sistemom parcijalnih diferencijalnih jednačina. Prilikom izbora promenljivih stanja treba ih birati tako da one budu linearno nezavisne. Nezavisne promenljive stanja su one promenljive koje se ne mogu izraziti pomoću
2
preostalih promenljivih stanja. Svaka promenljiva stanja ne mora imati fizičku interpretaciju ili smisao. Kao fizičke promenljive se obično usvajaju one promenljive koje predstavljaju fizičke promenljive odgovarajućih skladišta energije. Iz ove činjenice sledi da je broj promenljivih stanja potreban da opiše dinamiku sistema jednak ili manji od broja energetskih skladišta u sistemu. Skladište energije u proizvoljnom sistemu predstavlja elemenat sposoban da primi i uskladišti odgovarajuću energiju. Tako na primer, ako je
elemenat kondenzator C, njemu odgovarajuća energija je a promenljiva stanja je
napon u, kalemu L odgovara energija
Cu2 2/Li2 2/ i promenljiva stanja struja i, masi M
odgovara energija Mv2 2/ i promenljiva stanja brzina v, opruzi K odgovara energija
Kx2 2/ i promenljiva stanja pomeraj x, itd. Dinamičke promene sistema se mogu objasniti preraspodelom i transformacijom energije između skladišta energije po određenim prirodnim zakonima. Definicija stanja sistema po R.E. Kalman-u glasi: “Stanje sistema je matematička struktura koja sadrži skup od n nezavisnih promenljivih stanja ( ) ( ) (x t x t x tn1 2, ,..., ) i koja
omogućava da se na bazi poznatih početnih vrednosti ( )x t0 i signala ulaza u sistemu u(t) za t t≥ 0, jednoznačno opiše odziv sistema za t t≥ 0.” Primer. a) Formirati matematicki model u prostoru stanja za elektricno kolo na slici 1. b) Ako se za izlaznu velicinu usvoji struja kroz otpornik R, formirati jednacinu izlaza. c) Formirati jednacinu izlaza ako se za izlazne velicine usvoje struje kroz izvore e1 i e2.
+
e1 e2
L C
R+
Slika 1. Rešenje: a) Prvo treba oznaciti referentne smerove struja i napona:
3
+
e1e2
L C
R+
ul uc
i i2i1
.
Slika 2.10.1.2. Sada se mogu postaviti jednacine u kolu (po Kirhofovim zakonima):
2Ri1Ridt1diLRiLu1e ++=+=
2Ri1RiCuRiCu2e ++=+=
dt
CduC2i =
Dalje sledi:
1Ri1edt
cduRCdt1diL −=+ (1)
1RiCu2edt
CduRC −−= (2)
Kao promenljive stanja treba usvojiti promenljive koje se u jednacinama pojavljuju sa prvim izvodom, ako je to ikako moguce. Ocigledno je da ce ovde rešenje biti u izboru uC i i1. Tako prethodni sistem jednacina postaje:
2e1ecu1RiCu2e1Ri1edt
CduRC1Ri1edt1diL −+=++−−=−−=
2eL1
1eL1
CuL1
dt1di
−+= (3)
1iC1
CuRC1
2eRC1
dtCdu
−−= (4)
Moguce je sada formirati jednacine stanja pri cemu se za ulazne velicine usvajaju e1 i e2:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2e1e
RC10L1
L1
Cu1i
RC1
C1
L10
dtcdu
dt1di
Matrice stanja i upravljanja sistema su, respektivno:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
RC10L1
L1
RC1
C1
L10
=B ; A
Napomena: Broj zavojnica i kondenzatora u RLC kolu odreduje isti broj promenljivih velicina stanja.
4
b) Ako se kao izlazna velicina usvoji struja kroz otpornik dobija se jednacina izlaza:
1iCuR1
2eR1
dtCduC2 i2i1ii −−==+= ;
2eR1
CuR1
1iCuR1
2eR1
1ii +−=−−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
2e1e
R10
Cu1i
R10i
c) Ako se za izlazne velicine usvoje struje kroz izvore e1 i e2, dobijaju se sledece jednacine:
2e
R1
CuR1
1i2i
1i1i
+−−=
=
Jednacina izlaza u matricnoj formi je:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2e1e
R1000
Cu1i
R11
01
2i1i .
Primer. Za mehanicki sistem prikazan na slici 1. formirati matematicki model u prostoru stanja.
M
y(t)
f(t)
K
D
Slika 1. Rešenje. Jednacina kretanja mehanickog sistema je:
M1)t(fKy
dtdyD2dt
y2dM =++
fM1y
MK
dtdy
MD
2dt
y2d:.tj =++
Pri pisanju jednacina stanja koristi se pravilo po kome je red diferencijalne jednacine jednak broju promenljivih stanja.
Za prvu promenljivu stanja se usvaja x1=y. Tada je 1xdt
1dxdtdy &==
Druga promenljiva stanja se usvaja kao: 1xdtdy
2x &==
5
Tada je: fM1
1xMK
2xMDf
M1y
MK
dtdy
MD
2x2dt
y2d+−−=+−−== &
Konacno, za matematicki model u prostoru stanja se dobija:
)t(uM10
2x1x
MD
MK
10
2x1x
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ &
&; . [ ] ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2x1x
01y
2.2. Odnos između matematičkog modela sistema u
vremenskom i kompleksnom domenu Ako se razmatra multivarijabilni linearni sistem sa konstantnim koeficijentima (stacionarni sistem), njegova analiza se može vršiti u vremenskom domenu, odnosno, u prostoru stanja ili u kompleksnom domenu. U prostoru stanja matematički model sistema je:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) )t(tt
00t,tttDuCxy
xxBuAxx+=
=+=& (2.2.1)
U kompleksnom domenu model multivarijabilnog sistema je zadat sa: Y(s)=W(s)U(s) (2.2.2)
Ovde su Y(s) i U(s) kompleksni likovi odgovarajućih vektorskih promenljivih, dok je W(s) matrica funkcija prenosa (multivarijabilna prenosna funkcija) između upravljačkih promenljivih iz U(s) i izlaznih promenljivih iz Y(s). Sada je
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
smrws2mws1mw
sr2ws22ws21wsr1ws12ws11w
s
L
LLLL
L
L
W , (2.2.3)
gde je m dimenzija vektora izlaza, r je dimenzija vektora ulaza, a predstavlja funkciju prenosa između proizvoljnog i-tog izlaza i j-tog ulaza.
( )sijw
Transformacija iz vremenskog u kompleksni domen je jednoznačna i jednostavna. Primenom Laplasove transformacije na jednačine stanja i izlaza iz (2.2.1) uz pretpostavku nultih početnih uslova, x , dobija se: 0 0=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) )s(s1ss
s1ss
ssss
DUBUAICY
BUAIX
BUAXX
+−−=
−−=
+=
(2.2.4)
( ) ( )( ) ( ) DBAIC +−−== 1ssUsYsW (2.2.5)
Jednačina (2.2.5) predstavlja izraz za izračunavanje multivarijabilne matrice prenosa sistema. Transformacija iz kompleksnog u vremenski domen je mnogo teža iz više razloga. Prvo, matematički model u prostoru stanja sadrži više informacija o sistemu nego funkcija prenosa, što za posledicu ima nejednoznačnu transformaciju. Drugo, između mnogo mogućih transformacija treba izabrati onu koja obezbeđuje najmanji skup promenljivih stanja korespodentnih određenoj prenosnoj funkciji. Postoji više postupaka za nalaženje
6
takve ili takvih (pošto ih može biti više) funkcija prenosa minimalne realizacije, i neki od njiih će biti razmatrani u daljem tekstu. Primer. Matematicki model sistema u prostoru stanja je
ddt
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2 =
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-3 1
-2 0 ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2 +
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-1
-1 u; y = [ ]1 0
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2 + u
Odrediti funkciju prenosa sistema. Rešenje. Funkcija prenosa sistema je odredena izrazom G(s) = C[sI+A]-1B+D.
[sI-A]-1 = ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤s+3 -1
2 s
-1 =
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤s 1
-2 s+3s2 + 3s + 2
G(s) = C[sI+A]-1B+D = [ ]1 0 ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤s 1
-2 s+3s2 + 3s + 2
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-1
-1 + 1 =
s2 + 2s + 1s2 + 3s + 2
Primer. Matematicki model sistema u prostoru stanja je
ddt
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
= ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-1 0 1
0 -2 11 0 -3
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
+ ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1
01
u; y = [ ]1 0 -1
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
+ u..
Odrediti funkciju prenosa sistema. Rešenje. Funkcija prenosa sistema je odredena izrazom G(s) = C[sI+A]-1B+D.
[sI-A]-1 =
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤
s+1 0 -1
0 s+2 -1
-1 0 s+3
-1 = ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤s2+5s+6 0 s+2
1 s2+4s+2 s+1
s+2 0 s2+3s+2s3 + 6s2 + 10s + 4
G(s) = C[sI+A]-1B+D = [ ]1 0 -1 ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤s2+5s+6 0 s+2
1 s2+4s+2 s+1
s+2 0 s2+3s+2
s3 + 6s2 + 10s + 4 ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤1
01
+ 1 = s3 + 6s2 + 12s + 8s3 + 6s2 + 10s + 4
7
2.4. Matematički modeli u prostoru stanja Prva kanonična forma (redno programiranje, opservabilna kanonična forma) Neka je data funkcija prenosa sistema opšteg oblika (uz pretpostavku an =1):
0as1a...2ns2na1ns1nans
0bs1b...1ns1nbnsnb)s(U)s(Y
+++−−+−
−+
+++−−+
= (2.4.1)
Za slučaj da je red polinoma u brojiocu m i da važi uslov m<n, tada su koeficijenti
.0nb...2mb1mb ===+=+ Ako za koeficijenat uz u imeniocu važi , tada je potrebno podeliti ceo razlomak sa
ns 1na ≠an da bi se postigao željeni oblik funkcije prenosa.
Sređivanjem izraza (2.4.1) i primenim inverzne Laplasove transformacije dobija se:
)0bs1b...1ns1nbnsnb()s(U)0as1a...1ns1nans()s(Y +++−−+⋅=+++−
−+⋅
)s(Y)0as1a...2ns2na1ns1na()s(U)0bs1b...1ns1nbnsnb()s(Yns +++−−+−
−−+++−−+=
...y2nau2nb[y1nau1nb{unb)t(y +−−−+−−−+= ∫ ∫( )( ) dt}dt]...dtdty0au0by1au1b... ∫ ∫ −+−+ (2.4.2)
Na osnovu poslednje jednačine se formira graf toka signala za prvu kanoničnu formu.
...
...
...
......
b0
b1
b2
bm
s1
s1
s1
s1
s1
-a0 -a1 -a2 -am
-an-1-an-2
xn = xn-1
xnxn-1 = xn-2 x2 x1 x1= y(t)
-am+1
u(t)xn-m
xn-m-1
Slika 2.4.1. graf toka signala za prvu kanoničnu formu
8
Neka su promenljive veličine stanja definisane kao izlazi iz integratora što se vidi na slici 2.4.1. Sada je moguće napisati matematički model sistema u matričnoj formi:
(2.4.3)
)t(u
nb0a0b
nb2na2nbnb1na1nb
nx
2x1x
0000a
0102na0011na
nx
2x1x
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−−−−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
MM
L
MLMMM
L
L
&
M
&
&
(2.4.4)
[ ] [ ).t(unb
nx
2x1x
0001)t(y +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=M
K ]
Druga kanonična forma (direktno programiranje, kontrolabilna kanonična forma) graf toka signala za formiranje matematičkog modela u drugoj kanoničnoj formi može se dobiti na dva načina. Prvi način je na osnovu grafa toka signala za prvu kanoničnu formu, a drugi je direktnim programiranjem. Prvi način. Na grafu toka signala modela u prvoj kanonskoj formi potrebno je izvršiti sledeće transformacije: Zameniti mesta ulaza i izlaza. Obrnuti smer grana. Izabrati novi vektor promenljivih veličina stanja (za promenljive veličine stanja usvajaju se izlazi iz integratora) i formirati matematički model. Drugi način (direktno programiranje). Neka je data funkcija prenosa sistema:
0as1a...1ns1nans0bs1b...1ns1nbnsnb
)s(U)s(Y
+++−−+
+++−−+
=
(2.4.5) Izraz za prenosnu funkciju može se transformisati u sledeći oblik:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++−
−+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++−
−+ 0bs1b...1ns1nbnsnb)s(U0as1a...1ns1nans)s(Y
Uvođenjem nove promenljive Z(s) moguće je prethodnu jednačinu zameniti sa sledeće dve jednačine:
(2.4.6) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++−
−+= 0as1a...1ns1nans)s(Z)s(U
(2.4.7) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++−
−+= 0bs1b...1ns1nbnsnb)s(Z)s(Y
Sada se za promenljive veličine stanja usvajaju:
);s(Z)s(1X = ... );s(1sX)s(sZ)s(2X == );s(2sX)s(Z2s)s(3X ==
).s(1nsX)s(Z1ns)s(nX −=−= Ako se smatra da su promenljive stanja izlazi iz integratora, moguće je formirati graf toka signala za drugu kanoničnu formu:
9
...
...
...
......
b0
b1
b2
bm-1
s1
s1
s1
s1
s1
-a0-a1-a2-am
-an-1
-an-2
x1
-am+1
x2 x1
u(t)1 xn
xn-1=xn-2xn=xn-1 y(t)
bm
xm-1xm
Slika 2.4.2. Graf toka signala za drugu kanoničnu formu
Isti graf toka signala bi se mogao dobiti i na prvi način, primenom navedenih transformacija graf toka signala modela u prvoj kanoničnoj formi. Na osnovu dijagrama se formira matrični model sistema u drugoj kanoničnoj formi:
(2.4.8)
u
10
00
nx1nx
2x1x
1na3a2a1a0a10000
0010000010
nx1nx
2x1x
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
MM
L
L
MLMMMM
L
L
&
&
M
&
&
=+−+−−+++= nxnbnx1nb1nx2nb...2x1b1x0by & =+−−−−−−+−+−−++++= )unx1na...3x2a2x1a1x0a(nbnx1nb1nx2nb...3x2b2x1b1x0b
unbnx)nb1na1nb(...3x)nb2a2b(2x)nb1a1b(1x)nb0a0b( +−−−++−+−+−=
[ ] unb
nx
3x2x1x
)nb1na1nb()nb2a2b()nb1a1b()nb0a0b(y +
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−=M
L [ ]
(2.4.9)
10
Ako u sistemu ne postoji direktna veza između ulaza i izlaza, a važi uslov n>m, izraz (2.4.9) postaje: [ ]x00mb1b0bCxy LL== . Primer. Formirati matematicki model u prostoru stanja: 1) u prvoj kanonskoj formi (serijsko programiranje) 2) u drugoj kanonskoj formi (direktno programiranje) za sistem cije je ponašanje opisano diferencijalnom jednacinom
d3y(t)dt3
+ 8 d2y(t)
dt2 + 20
dy(t)dt + 16 y(t) =
d2u(t)dt2
+ 4 du(t)
dt + 3 u(t)
Rešenje
1) /d3y(t)dt3
= d2u(t)
dt2 - 8
d2y(t)dt2
+ 4 du(t)
dt - 20 dy(t)
dt + 3 u(t) - 16 y(t) ⌡⌠
/d2y(t)dt2
= du(t)
dt - 8 dy(t)
dt + 4 u(t) - 20 y(t) + ⌡⌠[3 u(t) - 16 y(t)]dt ⌡⌠
/dy(t)dt = u(t) - 8 y(t) +
⌡⌠⎣⎡
⎦⎤4 u(t) - 20 y(t) + ⌡⌠( )3 u(t) - 16 y(t) dt dt ⌡⌠
y(t) = ⌡⎮⌠⎩⎨⎧
⎭⎬⎫u(t) - 8 y(t) +
⌡⌠⎣⎡
⎦⎤4 u(t) - 20 y(t) + ⌡⌠( )3 u(t) - 16 y(t) dt dt dt
Graf toka signala za poslednju jednacinu je prikazan na slici:
3
4
1
s1
s1
s1
-16
-20
-8
x1= y(t)u(t) x1x3 x21 1
Na osnovu dijagrama, najzgodnije je kao koordinate vektora stanja usvojiti izlaze iz integratora (ulazi u integratore su tada prvi izvodi promenljivih stanja). Sada se mogu napisati sledeci izrazi:
x1 = y dx3dt = 3u - 16y = 3u - 16 x1
dx2dt = 4u + x3 - 20x1
dx1dt = u + x2 - 8x1
11
Odnosno, u matricnom obliku
ddt
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
= ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-8 1 0
-20 0 1-16 0 0
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
+ ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1
00
u; y = [ ]1 0 0
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
2) Prvi nacin. Na osnovu grafa toka signala prve kanonske forme se formira graf toka signala drgue kanonske forme, tako što se promene smerovi svih grana, a ulaz i izlaz zamene mesta.
3
4
1
s1
s1
s1
-16
-20
-8
y(t) u(t)x1x3x2
Sada se mogu napisati sledeci izrazi:
dx1dt = x2
dx2dt = x3
dx3dt = u - 8 x3 - 20 x2 - 16 x1
y = 3 x1 + 4 x2 + x3 Odnosno, u matricnom obliku
ddt
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
= ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0 1 0
0 0 1-16 -20 -8
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
+ ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0
01
u; y = [ ]3 4 1
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
Drugi nacin. Direktnim programiranjem. Formira se funkcija prenosa sistema
Y(s)U(s) =
s2 + 4s + 3s3 + 8s2 + 20s + 16
⋅ Z(s)Z(s) ⇒
Y(s) = ( )s2 + 4s + 3 Z(s) i U(s) = ( )s3 + 8s2 + 20s + 16 Z(s) Promenljive stanja se usvajaju na sledeci nacin:
X1(s) = Z(s)
X2(s) = sZ(s) = sX1(s) ⇒ dx1dt = x2
12
X3(s) = s2Z(s) = sX2(s) ⇒ dx2dt = x3
U(s) = sX3(s) + 8X3(s) + 20 X2(s) +16 X1(s) ⇒ dx3dt = u - 8 x3 - 20 x2 - 16 x1
Y(s) = s2Z(s) + 4sZ(s) + 3Z(s) ⇒ y = 3 x1 + 4 x2 + x3 U matricnom obliku je:
ddt
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
= ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0 1 0
0 0 1-16 -20 -8
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
+ ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0
01
u; y = [ ]3 4 1
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2x3
Odgovarajuci graf toka signala je prikazan na slici
3
4
1
s1
s1
s1
-16
-20
-8
y(t)u(t) x1x3 x21 1
Primer. Formirati matematicki model sistema sa dva ulaza i dva izlaza u prostoru stanja ako mu je dinamicko ponašanje opisano jednacinama:
2u)1y2y(32y1u2y21y21y31y
=−+
=−++&
&&&&&
Rešenje. Posle primene Laplasove transformacije na polazni sistem jednacina dobija se:
2U1Y32Y32sY
1U2Y2s21Y21sY31Y2s=−+
=−++
)1Y32Y32(U
s1
2Y
)]1Y21(Us1
1Y3[s1
2Y21Y
+−=
−−−=
Graf toka signala sistema je prikazan na slici
13
2
1s1
s1
s1
-3
-2
-3y1(t)u1(t)
x1
x3
x21
1u2(t) y2(t)1
3
Na osnovu dijagrama mogu se pisati jednacine stanja izlaza:
1y32x1x −=& 1u1y22x +−=& 2u2y31y33x +−=& 2y21x1y += 3x2y =
3x62x1x31x −+−=& 1u3x41x22x +−−=& 2u3x31x33x ++=& 3x21x1y += 3x2y =
Jednacine stanja i izlaza u matricnom obliku glase:
uxx⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
=100100
303402613
& ; . xy ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
100201
2.5. Jordan-ova kanonična forma
Pri formiranju matematičkog modela u obliku Jordan-ove kanonične forme teži se dijagonalizaciji matrice stanja A. Dijagonalnu formu matrice stanja je moguće dobiti samo u slučaju kada su svi polovi funkcije prenosa realni i prosti. U suprotnom, može se ostvariti forma koja je samo bliska dijagonalnoj. Prema tome, postoje tri različite varijante ove kanonične forme od kojih će svaka biti posebno razmatrana. Prva varijanta se javlja u slučaju kada su svi polovi funkcije prenosa realni i različiti. Drugi slučaj je kada se u funkciji prenosa pojavljuju i realni višestruki polovi. Treća varijanta se pojavljuje u slučaju kada se u funkciji prenosa pojave i konjugovano kompleksni polovi. Slede opisi ovih kanoničnih formi.
14
I slučaj. Svi polovi funkcije prenosa sistema su realni i prosti. Neka je data funkcija prenosa sistema u faktorizovanom obliku:
)nss)...(2ss)(ss(
)s(P)s(Q)s(P)s(W
1 −−−==
(2.5.1) Neka je stepen polinoma P(s) manji od n, i neka su svi koreni polinoma Q(s) realni i različiti. Funkcija W(s) se može nakon primene Hevisajdovog razvoja predstaviti u obliku zbira parcijalnih razlomaka:
∑= −
=n
1i issiK)s(W
(2.5.2)
Za proizvoljan parcijalni razlomak oblika iss1− važi:
iss1
)s(U)s(Y
−=
1/)s(U)iss)(s(Y −=− L
)t(yis)t(u)t(y +=& (2.5.3) Na osnovu poslednje jednačine formira se graf toka signala:
y(t)s1
si
u(t) y(t)
Slika 2.5.1. Graf toka signala izraza (2.5.3)
Graf toka signala za normalnu, Jordan-ovu kanoničnu formu se dobija paralelnim vezivanjem segmenata oblika kao na slici 2.5.1., što se može videti na slici 2.5.2.
...
...
k1
k2u(t)
1
s1
s1
s1
s2
s1
sn
xn
x1
x2
kn
1
1
x1
x2
xn
...
y(t)
Slika 2.5.2. Graf toka signala Jordan-ove kanonične forme
15
Promenljive veličine stanja određuju se kao izlazi iz integratora. Nakon toga je moguće formirati matematički model u prostoru stanja u Jordan-ovoj kanoničnoj, ili normalnoj kanoničnoj formi:
(2.5.4)
u
1
11
nx
2x1x
ns00
02s0001s
nx
2x1x
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
MM
L
MLMM
L
L
&
M
&
&
(2.5.5)
[ ] .
nx
2x1x
nk2k1ky⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=M
L
II slučaj. Pojava realnih višestrukih polova u funkciji prenosa sistema. Posmatra se faktorizovani oblik funkcije prenosa:
)nss...(m)rss)...(2ss)(1ss(
)s(P)s(Q)s(P)s(W
−−−−==
(2.5.6) U ovom proizvoljnom obliku funkcije prenosa su svi polovi realni i prosti, osim pola
koji je višestrukosti reda m. Nakon Hevisajdovog razvoja, prenosna funkcija se može predstaviti zbirom parcijalnih razlomaka oblika: sr
)nss(nK...m)rss(
1rK...2)rss(1rmK
)rss(rmK...
)2ss(2K
)1ss(1K)s(W
−++
−++
−−+
−++
−+
−=
(2.5.7) Odgovarajući graf toka signala je prikazan na slici 2.5.3. Matematički model u prostoru stanja sa promenljivim veličinama stanja usvojenim kao na slici 2.5.3. glasi:
u
1
10
00
11
nx
rmx1rmx
2rx1rx
2x1x
ns0000000
0rs00000001rs00000
0001rs00000001rs00
0000002s000000001s
nx
rmx1rmx
2rx1rx
2x1x
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
M
M
M
M
M
M
LLL
MLMMLMMMLMM
LLL
LLL
MLMMLMMMLMM
LLL
LLL
MLMMLMMMLMM
LLL
LLL
&
M
&
&
M
&
&
M
&
&
(2.5.8)
16
[
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
rmx
1rx
2x1x
nK...rmK...1rK...2K1K
M
M
M
y ] (2.5.9)
Prethodni izrazi predstavljaju Jordan-ovu kanoničnu formu jednačine stanja i jednačine izlaza za slučaj sistema sa jednim višestrukim polom reda m.
...
...
k1
k2u(t)
1
y(t)
s1
s1
s1
s2
s1
sr
xrm
x1
x21
1
x1
x2
xrm
...
s1
sn
xnxn
s1
srxrm-1
s1
sr
xr1
xrm-1 xr11 1
krm
kn
...
krm-1 kr1...
1...
...
...
Slika 2.5.3. Graf toka signala Jordan-ove kanonične forme
17
Primer. Formirati matematicki model u prostoru stanja u Jordan-ovoj kanonicnoj formi za sistem cije je ponašanje opisano diferencijalnom jednacinom
d2y(t)dt2
+ 11 dy(t)dt + 30 y(t) = 4 du(t)
dt + 13 u(t)
Rešenje. Formira se funkcija prenosa sistema, koja se odmah piše u obliku sume parcijalnih razlomaka Y(s)U(s) = 4s + 13
s2 + 11s + 30 = 11
s + 6 - 7s + 5
Na osnovu poslednje sume formira se graf toka signala sistema prikazan na slici
11
-7u(t)
1
y(t)
s1
-6
s1
-5
x1
x21
x1
x2
Promenljive stanja su izlazi iz integratora, pa se mogu pisati sledece jednacine dx1dt = -6x1 + u
dx2dt = -5x2 + u
y = 11x1 - 7x2 Odnosno, u matricnom obliku
ddt
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2 =
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-6 0
0 -5 ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2 +
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
1 u; y = [ ]11 -7
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2
Primer. Formirati matematicki model u prostoru stanja u Jordan-ovoj kanonicnoj formi za sistem cije je ponašanje opisano diferencijalnom jednacinom
d2y(t)dt2
+ 6 dy(t)dt + 8 y(t) = 2 d
2u(t)dt2
+ 8 du(t)dt + 6 u(t)
Rešenje. Formira se funkcija prenosa sistema, koja se odmah piše u obliku sume parcijalnih razlomaka Y(s)U(s) = 2 s2 + 8s + 6
s2 + 6s + 8 = 2 - 1
s + 2 - 3s + 4
Na osnovu poslednje sume formira se graf toka signala sistema prikazan na slici
18
-3
-1u(t)
1
y(t)
s1
-4
s1
-2
x1
x2
1 x1
x2
2
Promenljive stanja su izlazi iz integratora, pa se mogu pisati sledece jednacine dx1dt = -2x1 + u
dx2dt = -4x2 + u
y = -x1 - 3x2 + 2u Odnosno, u matricnom obliku
ddt
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2 =
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-2 0
0 -4 ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2 +
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
1 u; y = [ ]-1 -3
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤x1
x2 + 2u
Primer. Formirati matematicki model u prostoru stanja u Jordan-ovoj kanonicnoj formi za sistem cije je ponašanje opisano diferencijalnom jednacinom
d5y(t)dt5
+ 8d4y(t)
dt4 + 24
d3y(t)dt3
+ 34d2y(t)
dt2 + 23
dy(t)dt + 6y(t) = 5
d4u(t)dt4
+ 34d3u(t)
dt3 + 85
d2u(t)dt2
+ 95du(t)
dt + 41u(t)
Rešenje. Formira se funkcija prenosa sistema, koja se odmah piše u obliku sume parcijalnih razlomaka Y(s)U(s) = 5s4 + 34s3 + 85s2 + 95s + 41
s5 + 8s4 + 24s3 + 34s2 + 23s + 6 = 1
s+2 + 1s+3 + 3
s+1 + 2(s+1)2
+ 1(s+1)3
Na osnovu poslednje sume formira se graf toka signala sistema prikazan na slici. Promenljive stanja su izlazi iz integratora, pa se mogu pisati sledece jednacine
dx1dt = -2x1 + u
dx2dt = -3x2 + u
dx3dt = x4 - x3
dx4dt = x5 - x4
19
dx5dt = -x5 + u
y = x1 + 3x2 + x3 +2x4 + 3 x5 Odnosno, u matricnom obliku
ddt
⎣⎢⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎥⎤x1
x2x3x4x5
=
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤-2 0 0 0 0
0 -3 0 0 00 0 -1 1 00 0 0 -1 10 0 0 0 -1
⎣⎢⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎥⎤x1
x2x3x4x5
+
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤11
001
u; y = [ ]1 1 1 2 3
⎣⎢⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎥⎤x1
x2x3x4x5
1
1u(t)
1
y(t)
s1
-2
s1
-3
s1
-1
x1
x21
1
x1
x2
s1
-1
s1
-11 1
3 2 1
x5 x4 x3
20
Linearizacija nelinearnih sistema
Ponašanje realnih dinamičkih sistema se najčešće opisuje nelinearnim matematičkim modelom, jer su relacije između ulaznih veličina, veličina stanja i veličina izlaza takođe nelinearne. Unutar svakog nelinearnog procesa postoje različite forme nelinearnosti. Raznolikost oblika nelinearnosti dodatno otežava postupak analize ovakvih sistema. Nelinearne simulacije su najčešće korišćeni postupak analize nelinearnih sistema. Da bi se postupak analize, a tim i sinteze, nelinearnih sistema pojednostavio, vrši se njihova linearizacija. Linearizacija je postupak zamene nelinearnih matematičkih izraza sa linearnim. Osnovni razlozi za široku primenu linearizacije su: -za male varijacije stanja sistema oko radne tačke, linearni model je vrlo sličan nelinearnom. -linearni matematički modeli se rešavaju pomoću moćnih numeričkih, računarski podržanih procedura, koje su pretežno iz oblasti linearne algebre. -koristi se princip superpozicije, koji omogućava jedinstven i generalizovan pristup analizi dinamike različitih procesa. -postupak analize stabilnosti, kao ključne osobine svakog dinamičkog sistema, koja ne zavisi od početnih uslova ili poremećaja, svodi se na relativno jednostavnu analizu karakterističnih vrednosti matrice stanja sistema. Postoji više metoda linearizacije nelinearnih sistema. Prva od ovih metoda je metoda harmonijske linearizacije. Harmonijska linearizacija se vrši u frekventnom domenu i za nju je karakteristično da razmatra samo signal osnovne frekvencije dok se viši harmonici zanemaruju. Druga metoda je metoda statističke linearizacije koja se vrši u vremenskom domenu. U ovoj metodi se realizovani model zamenjuje ekvivalentnim linearnim, uz pretpostavku da je sistem podvrgnut poremećajima koji imaju normalnu (Gauss-ovu) raspodelu. Treća metoda linearizacije, koja će ovde biti detaljno objašnjena, je metoda perturbacije, ili metoda aproksimacije tangente. U ovoj metodi nelinearni izrazi se zamenjuju linearnim u okolini radne tačke (radnog režima) koja najčešće predstavlja i stacionarno stanje sistema. Da bi se ova metoda mogla koristiti, neophodno je da u okolini radne tačke relacije budu bar jednom diferencijabilne, odnosno, da imaju jasno određenu tangentu na trajektoriju u radnoj tački. U matematičkom smislu ovo znači da nelinearne relacije treba razviti u Taylor-ov red, pri čemu se svi viši članovi reda zanemaruju. Naravno, ovaj postupak je tačniji što su promene ili perturbacije stanja oko radne tačke manje. Ideju perturbacione linearizacije je najlakše objasniti u dvodimenzionalnom prostoru gde se relacije između promenljivih mogu grafički predstaviti krivom i tangentom u datoj tački. Ako se relacija između promenljivih x i u nekog sistema opiše sa nelinearnom jednačinom oblika x=f(u), i pri tome definiše radna tačka )x,u(R (vidi sliku 1), onda se ova jednačina može razviti u Taylor-ov red u okolini radne tačke )x,u(R .
K+−
=
+−=
+= 2)uu(uu
2du
f2d!2
1)uu(uudu
dfxx (1)
21
dxdfdu∆u∆x
∆uu u u
x
x
x R
Slika 1. Grafički prikaz ideje perturbacione linearizacije
Ako je linearizacija ograničena na oblast u okolini radne tačke (male perturbacije), onda se kvadratni i svi ostali članovi reda mogu zanemariti, pa se iz (1) dobija
)uu(uudu
dfxx −=
=− , (2)
odnosno,
ukxuuudu
dfx ∆=∆⇒∆=
=∆ (3)
Izraz (3) pokazuje linearnu zavisnost između vrednosti devijacija oko radne tačke (a ne apsolutnih vrednosti) promenljivih u i x. Gore izvedeni postupak se može uraditi i za slučaj multivarijabilnog nelinearnog sistema. Grafički prikaz tada nije moguć, jer se radi o trajektoriji - hiperpovrši u hiperprostoru, dok tangenta ima formu tangentne hiper-ravni. Ako se pretpostavi da je matematički model nelinearnog dinamičkog sistema dat sa sistemom diferencijalnih jednačina:
( )
( )t;ru,...1u,nx,...1xnfnx
t;ru,...1u,nx,...,1x1f1x
=
=
&
M
&
( )
( )t;ru,...1u,nx,...1xmgmy
t;ru,...1u,nx,...,1x1g1y
=
=
M (4)
onda se postupak linearizacije može ilustrovati na i-toj diferencijalnoj jednačini tog sistema. Ako se primeni postupak razvoja u Taylor-ov red i-te jednačine oblika ( ) ( ) ( ) ( )( )t,tru,,t1u,tnx,,t1xifix KK& = , (5)
dobija se sledeća jednačina (6) iz koje su isključeni članovi višeg reda.
( ) K&& +−
==
∑= ∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
==
∑= ∂
∂+= kuku
uu,xx
r
1k kuif
jxjx
uu,xx
n
1j jxif
ixix (6)
Pošto se linearizacija vrši u okolini radne tačke koja je obično i stacionarna tačka,
može se usvojiti da važi 0xi =& . Jednačina (6) se može tada pisati i u sledećoj formi:
nx
uu,xxnx
if1x
uu,xx1x
ifixixix ∆
==∂
∂++∆
==∂
∂=∆=− K&&&
ru
uu,xxru
if1u
uu,xx1u
if ∆
==∂
∂++∆
==∂
∂+ K (7)
Uvođenjem smene koeficijenata oblika:
22
r,,1k;n,,1j,i;uu,xxku
ifikb,
uu,xxjxif
ija KK ==
==∂
∂=
==∂
∂= (8)
dobija se već dobro poznata forma jednačina stanja linearnog sistema, u kojoj koeficijenti i predstavljaju elemente matrice stanja A i matrice upravljanja B, respektivno. ija ikb
Prema tome važi: u,uxxu
f;Bu,uxxx
fA==∂
∂=
==∂∂
=
U razvijenom obliku matrice A i B glase:
uuxxnx
nf
2xnf
1xnf
nx2f
2x2f
1x2f
nx1f
2x1f
1x1f
uuxxx
fA
==⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
==∂
∂=
K
KKKK
K
K
uuxxru
nf
2unf
1unf
ru2f
2u2f
1u2f
ru1f
2u1f
1u1f
uuxxu
fB
==⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
==∂
∂=
K
KKKK
K
K
Sistem nelinearnih algebarskih jednačina koje opisuju izlaz sistema može biti oblika: ( ) ( ) ( ) ( )( )t,tnx,,t2x,t1xgty K= (9)
Ako se primeni postupak razvoja u Taylor-ov red, i zanemare članovi višeg reda, za i-tu jednačinu izlaza sistema (4) dobija se izraz:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
∑= ∂
∂+= jxjx
xx
n
1j jxig
iyiy (10)
Jednačina (10) se može napisati u obliku:
nxxxnx
ig1x
xx1xig
iyiyiy ∆
=∂
∂++∆
=∂
∂=∆=− K (11)
Koeficijenti oblika
xxjxig
ijc
=∂
∂= ,j=1,...,n ;i=1,...,m; su elementi matrice izlaza sistema C.
Prema tome, matrica izlaza sistema je: xxx
gC=∂
∂=
Nakon izvršene linearizacije, može se formirati matrična forma matematičkog modela sistema u prostoru stanja.
( ) ( ) ( )tButAxtx +=& ; ( )tCxy = (12) Konačno, potrebno je još jednom naglasiti važnost pravilnog izbora radne tačke za koju se vrši linearizacija. Ova činjenica dobija posebnu važnost ako se zna da nelinearni sistemi mogu imati i više stacionarnih stanja, pa rezultat analize sistema i izbora radne tačke se ne svodi samo na nalaženje stacionarnog stanja, već i izbora najpovoljnijeg među nekoliko mogućih. Primer 1. Dat je matematički model nelinearnog sistema automatskog upravljanja:
23
1u3xe3x
22ut2x
21tx1x
=
=
=
&
&
&
; ;
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=)0tsin(
10
0x⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= )0tcos(
)0tln(0u
Izvršiti linearizaciju nelinearnog modela u okolini radne tačke zadate sa x0 i u0. Rešenje:
.)0tcos()0tln(
)0t()0tsin(
10
)0t(
1u3xe
22ut
21tx
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= u , x , x&
= f(x(t),u(t),t). x& Ovo je matematički model nelinearnog sistema u prostoru stanja. Ako se izvrši linearizacija u okolini tačke određene sa x0 i u0, dobija se linearizovani model:
).( ux,uBxAx α+δ+δ=δ &
0u,0xxfA
∂∂
= ,
0u,0x
fBu∂∂
=
- zanemareni članovi Taylor-ovog reda. )( ux,α
0tln)0t(1u0)0t(1x21tx)t,(1f1x ==== u,x&
0tcos)0t(2u1)0t(2x22ut)t,,(2f2x ==== ux&
)0tsin()0t(3x1u3xe)t,,(3f3x === ux&
A =
0,0
1u3xe1u00
000001tx2
0,03x3f
2x3f
1x3f
3x2f
2x2f
1x2f
3x1f
2x1f
1x1f
uxux
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
24
B =
0,0
01u3xe3x
2ut2000
0,02u3f
1u3f
2u2f
1u2f
2u1f
1u1f
uxux
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
U okolini tačke x0 i u0 dobijaju se sledeće vrednosti matrica A i B:
A =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
)0tsin0t(lne)0tln(00
000000
)0t(1u)0t(3xe)0t(1u00
00000)0t(1x0t2
B =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0)0tsin0t(ln
e0tsin
0tcos0t2000
0)0t(1u)0t(3x
e)0t(3x
)0t(2u0t2000
Linearizovani model sistema je:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2u1u
0)0tsin0t(ln
e0tsin
0tcos0t2000
3x2x1x
)0tsin0t(lne0tln00
000000
3x2x1x
&
&
&
.
Primer 2 Matematički model sistema automatskog upravljanja je dat sledećim sistemom diferencijalnih jednačina drugog reda:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
+θ−
=θ
+−θ=
)t(2u)t(r
1)t(r
)t(r)t(2)t(
)t(1u)t(2r
k)t(2)t(r)t(r
&&&&
&&&
(1)
Izvršiti linearizaciju u okolini radne tačke: 0)0t(2u)0t(1u;)0t(;0)0t(;0)0t(r;1)0t(r ==ω=θ=θ== && .
Rešenje: Ovakav sistem nije u formi prostora stanja, odnosno ne zadovoljava Košijevu formu sistema diferencijalnih jednačina. Zato se usvajaju nove promenljive stanja, na sledeći način: ; ; )t(r)t(1x = )t(r)t(2x &= )t()t(3x θ= ; )t()t(4x θ= &
Zamenom novih oznaka u jednačine (1) dobija se novi sistem jednačina. (Zbog kraćeg pisanja, u daljem tekstu će biti izostavljeno “(t)”).
25
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
+−=
=
+−=
=
1x2u
1x2x4x2
4x:4f
4x3x:3f
1u21x
k24x1x2x:2f
2x1x:1f
&
&
&
&
(2)
Sada se prelazi na linearizaciju sistema u okolini radne tačke: 0)0t(2u)0t(1u;)0t(4x;0)0t(3x;0)0t(2x;1)0t(1x ==ω====
Ona je određena na osnovu radne tačke zadate u postavci problema.
0,0
1x2x2
01x4x2
21x2u
21x
2x4x21000
4x1x20031x
k224x
0010
0,0
4x4f
3x4f
2x4f
1x4f
4x3f
3x3f
2x3f
1x3f
4x2f
3x2f
2x2f
1x2f
4x1f
3x1f
2x1f
1x1f
xf
ux
ux
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
+
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂∂ (3)
0,0
1x10000100
0,0
2u4f
1u4f
2u3f
1u3f
2u2f
1u2f
2u1f
1u1f
uf
ux
ux
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=∂∂ (4)
Sledi zamena početnih vrednosti u izraze (3) i (4):
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ω−
ω+ω=
=
=∂∂
=
00201000
200k20010
)0t(uu
)0t(xxxfA ; B =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=
=∂∂
10000100
)0t(uu
)0t(xxuf
Sada se može napisati jednačina stanja sistema u matričnom obliku:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ω−
ω+ω=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2u1u
10000100
4x3x2x1x
00201000
200k20010
4x3x2x1x
&
&
&
&
26
Primer 3 Zadat je matematički model nelinearnog sistema automatskog upravljanja oblika:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
)t),t(),t((3f)t),t(),t((2f)t),t(),t((1f
3x2u1ue
3x22u1u
1u21x
)t(3x)t(2x)t(1x
uxuxux
&
&
&
; 3x22x)t(y =
Izvršiti linearizaciju matematičkog modela u okolini radne tačke:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
)0tcos(1
0
)0t(3x)0t(2x)0t(1x
; . ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡)0tln()0tln(
)0t(2u)0t(1u
Rešenje: Prema opštem obrascu sledi:
)0t(uu
)0t(xx3x2x1ue2x1u3x2x1u
e3x1u0
22u1u00
001u1x2
)0t(uu
)0t(xx3x3f
2x3f
1x3f
3x2f
2x2f
1x2f
3x1f
2x1f
1x1f
=
=⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
=A
A =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
− )0tcos()0tln(e)0tln(
)0tcos()0tln(e)0tcos()0tln(0
)0t(3ln00000
)0t(uu
)0t(xx03x2x1ue3x2x
3x2u1u23x22u
021x
)0t(uu
)0t(xx2u3f
1u3f
2u2f
1u2f
2u1f
1u1f
=
=⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=B
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
0)0tcos()0tln(
e)0tcos(
)0tcos()0t(2ln2)0tcos()0t(
2ln00
B
27
C = )0t(xx
22x3x2x20
)0t(xx3xy
2xy
1xy
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
[ ]1)0tcos(20 −=C
Sada se matematički model sistema može napisati u matričnom obliku u prostoru stanja: =Ax+Bu; y=Cx. x&
28