UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA FIZIKU

MODELOVANJE I SIMULACIJA ELEKTRIČNIH SISTEMA U PROGRAMSKOM PAKETU MATLAB/SIMSCAPE

MASTER RAD

Student: Mentor:

Suzana Cvetković, br. indeksa 24 dr Biljana M. Samardžić

Niš, septembar 2017.

Прилог 5/1

Образац Q4.09.13 – Издање 1

Редни број, РБР: Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: монографска

Тип записа, ТЗ: текстуални / графички

Врста рада, ВР: мастер рад

Аутор, АУ: Сузана Цветковић

Ментор, МН: Биљана Самарџић

Наслов рада, НР: МОДЕЛОВАЊЕ И СИМУЛАЦИЈА ЕЛЕКТРИЧНИХ

СИСТЕМА У ПРОГРАМСКОМ ПАКЕТУ

MATLAB/SIMSCAPE

Језик публикације, ЈП: Српски

Језик извода, ЈИ: Енглески

Земља публиковања, ЗП: Р. Србија

Уже географско подручје, УГП: Р. Србија

Година, ГО: 2017.

Издавач, ИЗ: ауторски репринт

Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.

Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)

55 стр.; граф. прикази

Научна област, НО: Физика

Научна дисциплина, НД: Аутоматско управљање/Физичка и техничка мерења

Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Електрични системи/Matlab/Simscape

УДК 621.38:004.434:004.94MATLAB/SIMSCAPE

Чува се, ЧУ: библиотека

Важна напомена, ВН:

Извод, ИЗ: У овом раду су програмски пакет Matlab/Simulink и његова

библиотека Simscape примењени за моделовање и

симулацију електричних система. Моделовање се базира

на концепту генерализоване мреже и уопштених

Кирховљевих закона. УместоSimulink-ових математичких

блокова, за градњу модела система у Simscape-у се

користе блокови који одговарају физичким компонентама

као што су кондензатор, калем, отпорник, итд. На

конкретним примерима моделовања електричних система

потврђене су ефикасност и једноставност примене

Simscape-а.

Датум прихватања теме, ДП: 11.7.2017.

Датум одбране, ДО:

Чланови комисије, КО: Председник: др Дејан Алексић

Члан: др Љиљана Костић

Члан, ментор: др Биљана Самарџић

Прилог 5/2

Образац Q4.09.13 – Издање 1

Accesion number, ANO:

Identification number, INO:

Document type, DT: monograph

Type of record, ТR: textual / graphic

Content Code, CC: University degree thesis

Аuthor, АU: Suzana Cvetković

Mentor, МN: Biljana Samardžić

Title, TI: MODELING AND SIMULATION OF ELECTRICAL SYSTEMS IN THE

MATLAB / SIMSCAP PROGRAM PACKAGE

Language of text, LT: Serbian

Language of abstract, LA: English

Country of publication, CP: Republic of Serbia

Locality of publication, LP: Serbia

Publication year, PY: 2017.

Publisher, PB: author’s reprint

Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.

Physical desciption, PD: (chapter/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)

55 p.; graphic representation

Scientific field, SF: physics

Scientific discipline, SD: Automatic control / Physical and technical

measurements... Subject/Kez words, S/KW: Electrical systems / Matlab / Simscape...

UC 621.38:004.434:004.94MATLAB/SIMSCAPE

Holding data, HD: library

Note, N: Abstract, AB: The main topic of this paper is usage of the Matlab/Simulink

software package and its Simscape library in modeling and

simulating of electrical systems. Modeling, therefore, was

based on the concept of a generalized network and Kirch's

general laws. Also, instead of the Simulink mathematical

blocks, building blocks of Simscape system models

corresponding to physical components such as a capacitor, a

spool, a resistor, etc. Through the concrete examples in this

research, also have been confirmed the efficiency and

simplicity of the Simscape application in the modeling of

electrical systems.

Accepted by the Scientific Board on,ASB: 11.7.2017.

Defend on, DE:

Defended Board, DB: President: dr Dejan Aleksić

Member: dr Ljiljana Kostić

Member, Mentor: dr Biljana Samardžić

Zahvaljujem se mentoru dr Biljani Samardžić i člnovima komisije

za odbranu prof dr Dejanu Aleksiću i prof dr Ljiljani Kostić na

svesrdnoj podršci, strpljenju i saradnji prilikom izrade ovog rada.

UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA FIZIKU

MODELOVANJE I SIMULACIJA ELEKTRIČNIH SISTEMA U

PROGRAMSKOM PAKETU MATLAB/SIMSCAPE

MASTER RAD

Student: Mentor:

Suzana Cvetković, br. indeksa 24 dr Biljana M. Samardžić

Niš, septembar 2017.

1

Sadržaj:

UVOD.........................................................................................................................2

1. MATLAB – osnovno upoznavanje i primena……………………………………....4

2. SIMULINK………………………………………………………………………...10

2.1 Modeli……………………………………………………………………….....14

2.2 Osnovni elementi……………………………………………………………....14

2.3 Jednostavan primer………………………………………………………….....14

2.4 Pokretanje simulacija………………………………………………………......15

2.5 Izgradnja složenijeg sistema……………………………………………….......18

2.6 Modifikovanje blokova…………………………………………………….......18

2.7 Spajanje blokova linijama………………………………………………….......22

3. MODELOVANJE I SIMULACIJA ELEKTRIČNIH SISTEMA U MATLAB-

SIMULINKU..............................................................................................................24

3.1 Metod potpunog blokovskog predstavljanja.......................................................24

3.2 Metod modela u prostoru stanja..........................................................................28

4. OSNOVNE BIBLIOTEKE ZA MODELOVANJE ELEKTRIČNIH SISTEMA U

SIMSCAPE-u……………………………………………………………………....34

5. MODELOVANJE I SIMULACIJA KONKRETNIH ELEKTRIČNIH SISTEMA

U SIMSCAPE-u…………………………………………………………………...43

ZAKLJUČAK……………………………………………………………………...53

LITERATURA…………………………………………………………………….55

2

Uvod

Priča kako je nagli razvoj računarstva osamdesetih i naročito devedesetih godina

prošlog veka izmenio svet, nije više nikakva novina. Nove tehnologije, mikroprocesori i

globalne računarske mreže napravile su od računara uređaj bez koga se ne može zamisliti iole

ozbiljniji posao, kao ni svakodnevni život na ovoj planeti. Život pored računara i sa računarom,

u stvari, postaje svakodnevnica.

U poslednjih nekoliko godina sa masovnijim korišćenjem računara u školama stvoreni

su uslovi za kvalitetnije inoviranje obrazovne tehnologije.

Savremeni računari1 prodiru u svaku poru ljudskog života i imaju dinamiku razvoja

kao nijedna druga oblast. Oni su u velikoj meri doprineli i razvoju ostalih naučnih disciplina i

teško je naći oblast u kojoj nemaju značajnu ulogu.

Ovo su samo neke oblasti primene računara:

* naučno-tehnička

* poslovna

* informacioni sistemi

* u upravljanju procesima

* veštačka inteligencija

* u komunikacijama

* u obrazovanju

* u vojne svrhe

* u medicini,…

– Kod naučno-tehničke primene je karakteristično modeliranje – pravi se model za neki realni

objekat ili situaciju, te se vrše sve potrebne provere i analize;

– Poslovna primena je prikupljanje, obrada, čuvanje, prenošenje i prikazivanje podataka za

potrebe poslovanja banaka, pošti, preduzeća,…

1 Prvi računari su koristili vakuumske cevi. Bili su ogromni, skupi, nepraktični i bili su veliki potrošači električne energije, stvarali veliku

količinu toplote, te su zauzimali skoro čitavu sobu. No, ipak to je bio samo početak, pa su prvi računari radili na čistom mašinskom kodu (binarni kod) i mogli rešavati samo jedan problem odjednom, a prikaza na koji smo navikli (monitor) nije bilo, rezultati su bili prikazani na papiru pomoću tadašnjih printera. UNIVAC i ENIAC su samo od nekih tipova tadašnjih računara. Savremeni računari obuhvatu sve sto su prethodni imali ali sada u mnogo manjim razmerama, kućiste , monitor, miš i tastaturu, što je mnogo praktičnije.

3

– Informacioni sistemi obezbeđuju prikupljanje, čuvanje, obradu, pretraživanje i prikazivanje

informacija, na primer:sistemi za prodaju karata avio ili železničkog saobraćaja.

– Upravljanje procesima podrazumeva praćenje procesa i upravljanje putem računara, na

primer praćenje i upravljanje radom nuklearnog reaktora;

– Veštačka inteligencija, odnosno programiranje računara da imitira ljudske intelektualne

sposobnosti – igra šah, svira, komponuje, prepoznaje oblike,…

–Lokalno i globalno povezivanje računara omogućuje značajnu ulogu računara u

komunikacijama učestvovanje u diskusijama, brza dostupnost informacijama,…

– U obrazovanju se mogu koristiti razni edukativni programi za samostalno učenje, učenje na

daljinu, sistem za prijavu ispita studenata, simulacije eksperimenata i sl.

– Primena u vojsci obuhvata obuku pilota (simulacija leta), praćenje i kontrola vojnog

potencijala, kompjutersko navođenje projektila i sl.

– U medicini pomoú odgovarajuíh programa omogućno je praćenje stanja pacijenta tokom

operacije, dijagnostika, evidencija pacijenata, specijalizovana oprema itd.

U nauci – korišćenje računara je praktično nezaobilazno, sva naša zapažanja i ideje

mogu se pomoću njih proveriti i pomoći nam da rešimo mnoge probleme. Naravno, da bi

računari radili za nas potrebno je da poznajemo jezik računara i da usavršimo njihov software2,

a to je ništa drugo već njihov jezik. Poznavajući jezik računara možemo uraditi mnoge stvari i

olakšati mnoge probleme vezane za nauku, pogotovo one za koje bi običan čovek izdvojio

mnogo sati i godina. Najveći problem nam predstavljaju stvari koje ne znamo kako

funkcionišu. Računar umesto nas stvara i simulira sve što nas interesuje o datom problemu.

Jedan od poznatih software je i Matlab sa svojim mnogobrojnim bibliotekama. U ovom radu

posebnu pažnju ćemo posvetiti Matlab-ovim bibliotekama Simulink i Simscape i njihovoj

primeni u modelovanju i simulaciji električnih sistema.

2 Skup funkcija i komadni(naredbi), koje brdo informacija grupišu u jedan red sa zakonitostima programskog jezika

4

1. MATLAB – osnovno upoznavanje i primena

Matlab je viši programski jezik namenjen obradi podataka u formi matrica i brojeva.

Sam naziv Matlab izveden je od MatrixLaboratory3, čime se sugeriše da su matrice osnovni

entiteti za numeričke proračune, za razliku od nekih nižih programskih jezika kao što je

Fortran, ili Pascal. Zahvaljujući fleksibilnom okruženju, širokom spektru ugrađenih funkcija

kojima se efikasno dolazi do numeričkih rešenja, mogućnošću razvoja algoritama i

programiranja, Matlab se nametnuo kao nezamenjiv alat za rešavanje problema u gotovo svim

oblastima inženjerske prakse.

Programski paket Matlab omogućava interaktivan i programski rad. U interaktivnom radu

naredbe se zadaju u promptu komandnog prozora Matlaba i interpretiraju odmah po zadavanju.

Prethodno otkucane naredbe ostaju u istoriji i mogu se vratiti pritiskom na kursorski taster ↑

(gore), editovati i ponovo pokrenuti. Programi se takođe pozivaju iz komandnog prompta

navođenjem imena i interpretiraju liniju po liniju.

Razmatranje struktura podataka u Matlabu izvešćemo u interaktivnom radu, uz pripadajuća

objašnjenja, a zatim kreirati programe, sve u cilju upoznavanja sa Matlab okruženjem i

realizacijom zadataka u vezi analize osnovnih osobina diskretnih i analognih signala i sistema.

Slika 1: PokretanjeMatlaba

Nakon pokretanja Matlaba (slika 1) na ekranu se otvara komandni prozor (Slika 2) Matlaba na

kome se uočava komandna linija, u čijem se levom uglu nalazi prompt „>>“, a odmah pored i

kursor koji trepti. Komandni prozor Matlaba treba zamisliti kao radni prostor ekvivalentan

3 Izumeo ga je kasnih 1970-ih Kliv Moler (engl.- Cleve Moler), šef katedre za informatiku na Univerzitetu „Novi Meksiko“ i nazvao ga tim imenom. Kasnije prelazi u skraćenicu MATLAB.

5

praznom listu hartije, na kome je moguće vršiti različite akcije posredstvom komandne linije.

Komandna linija služi da se izda naredba Matlabu. Nakon što se izda naredba, ona se neće

izvršiti dok god se ne pritisne taster <enter>. Sve naredbe koje se izvrše u komandnoj liniji,

kao i promenjive nastale posredstvom tih naredbi se automatski smeštaju u memoriju i mogu se

naknadno koristiti dok god se ne napusti trenutna seansa u Matlabu. Ako se u nekoj naredbi ne

definiše promenjiva kojoj se dodeljujue vrednost nekog izraza, Matlab tada dodeljuje vrednost

generičkoj promenjivoj ans. Prirodno, prilikom izračunavanja sledećeg izraza, nova vrednost

će biti prepisana preko prethodne vrednosti promenjive ans. U jednoj komandnoj liniji može da

se nalazi jedan ili više izraza.

Slika 2:Osnovni prozori Matlab-a

Najjednostavniji način da se upotrebi Matlab jeste kao veoma moćan kalkulator. Aritmetičke,

trigonometrijske ili eksponencijalne operacije se izvode posredstvom poziva ugrađenih Matlab

funkcija. Osim osnovnih, Matlab je opremljen velikom kolekcijom funkcija koje omogućavaju

veoma složene operacije. Pored toga, Matlab dopušta korisniku da definiše sopstvene funkcije.

Kada je potrebno uneti više naredbi u komandni prozor, ili je potrebno ponovo pozivati i

menjati izraze, rad u komandnoj liniji počinje da predstavlja ozbiljno ograničenje. Potencijalni

problemi mogu da se reše uvođenjem skript datoteka, tj. datoteka koje sadrže jednu ili više

naredbi koje bi se izvršile na isti način kao kad bi se jedna po jedna unosile u komandnu liniju

u komandnom prozoru Matlaba. Skript datoteka je tekstualna datoteka sa ekstenzijom „.m“

koja može da se kreira u bilo kom programu za obradu teksta, odnosno u editoru teksta i

debageru koji je deo paketa Matlaba. Kreirana skript datoteka se izvršava kucanjem njenog

imena u komandnoj liniji bez sufiksa „.m“ ili direktno iz Matlabovog editora.

Dužine identifikatora promenjivih u Matlabu treba da budu najviše 31 alfanumerički karakter,

pri čemu se karakteri posle tridesetog ignorišu. Identifikator promenjive obavezno mora početi

6

slovom, dok ostali karakteri mogu biti kombinacije slova, brojeva i znaka podvučeno (_).

Identifikator promenjive ne sme da sadrži blanko karakter. Matlab razlikuje velika/mala slova

u imenu identifikatora promenjive. Prilikom određivanja identifikatora uobičajene su dve

programerske konvencije. U prvoj se koristi donja crta, dok se kod druge koriste velika slova,

kao na primer: ime_promenjive odnosno ImePromenjive.

Postoje i specijalne promenjive čiji su nazivi rezervisani i to su: ans, pi, eps, flops, inf, nan, i, j,

nargin, nargout, realmin, realmax.

Za vreme jedne sesije rada sa Matlabom, tj. dokle god se ne napusti program, u memoriji se

čuvaju najnovije vrednosti svih definisanih promenjivih nastalih u komandnoj liniji ili u skript

datoteci. Kao što je prethodno napomenuto, vrednost dodeljena nekoj promenjivoj može

ponovo da se koristi jednostavnim kucanjem identifikatora te promenjive ili uključivanjem te

promenjive u neki izraz. Promenjive se brišu iz memorije naredbom clear. Da bi se videlo koje

su promenjive definisane od poslednjeg izvršenja naredbe clear, dovoljno je otkucati whos.

Skromnija varijanta naredbe whos je who. Ako se želi da se iz memorije izbrišu samo pojedine

promenjive to se čini naredbom clear i navođenjem liste identifikatora promenjivih

razdvojenih blanko karakterom.

Prilikom unosa matrice, elementi po vrstama se moraju razdvojiti ili blanko simbolom ili

znakom (,), dok se vrste razdvajaju znakom (;). Važno je napomenuti, da ako se na mestu

nekog elementa eksplicitno napiše matematički izraz, onda između alfanumeričkih karaktera i

simbola matematičkih operatora ne smeju da se stavljaju blanko karakteri. Matlab pruža više

različitih načina da se dodele brojčane vrednosti vektoru. Jedan je od načina da se specificira

opseg vrednosti i priraštaj između dva susedna broja određenom naredbom. U Matlabu je

moguće manipulisati matricama i vektorima, kao i vršiti operacije nad matricama i vektorima.

Kontrola toka izvršavanja naredbi u okviru programa napisanog u Matlabu se vrši

pomoću sledeće četiri neredbe: while, if, for i switch. Sintaksa ovih naredbi određuje da se

svaka od ovih naredbi završava naredbom end. Dakle, sve naredbe ili izrazi koji se nalaze

između jedne od naredbi kontrole toka programa i naredbe end će se izvršavati ako je

zadovoljen odgovarajući logički uslov. U okviru jedne naredbe kontrole toka je moguće

ugnezditi i druge naredbe za kontrolu toka.

Kada se koriste naredbe za kontrolu toka programa, dobra programerska praksa je da se

naredbe koje se nalaze pod kontrolom tih naredbi uvuku nekoliko karaktera. Nazubljivanje

programa znatno povećava čitljivost programa čime se olakšava traženje grešaka i održavanje

programa. Kada se koristi Matlabov editor / dibager, nazubljivanje se vrši automatski.

Jedan od načina da se grupiše sekvenca naredbi je u obliku skript datoteke sa ekstenzijom „.m“.

Drugi oblik m-datoteke je funkcija. Funkcije su skript datoteke koje kreiraju sopstveni radni

prostor i lokalne promenjive pod okriljem Matlaba. Sve promenjive koje se kreiraju u okviru

funkcije su lokalne za tu funkciju i ne korespondiraju sa promenjivima istih imena u drugim

skript ili funkcijskim datotekama. Sve ugrađene naredbe u Matlabu su funkcije ovog tipa.

Upotrebom funkcija uprošćava se složenost i povećava čitljivost izvornog koda, izbegava se

dupliranje koda, povećava se portabilnost, itd.

7

Svaka funkcija ima najmanje dve linije koda, pri čemu prva linija obavezno mora da ima

zahtevani format.

Opšti oblik funkcije je:

function PovratnaVrednost = ImeFunkcije(Argumenti)

%komentari

Izrazi

Svakoj funkciji mora da se dodeli ime koje bi trebalo da bude smisleno i dovoljno

indikativno da ukazuje na to šta ta funkcija radi. Šta više, ime „.m“ datoteke mora da bude isto

kao i ime funkcije. Prva linija u funkciji predstavlja prototip funkcije, čime se specificira broj

promenjivih i njihov tip (skalar, vektor, matrica) koje se prenose iz glavnog programa u

funkciju i obrnuto. Komentare, koji se nalaze neposredno ispod deklaracije funkcije, Matlab

tretira kao help informacije vezane za tu funkciju, i ispisuju se kada se u komandnoj liniji

Matlaba unese: help ImeFunkcije.

Na kraju funkcije se ne nalazi terminator karakter ili izraz kao što je end kod naredbi

kontrole toka.

Kada se u komandnoj liniji napiše ime funkcije Matlab pokušava da prepozna funkciju po

imenu. Preciznije, Matlab najpre proverava da li je ime funkcije promenjiva. Ako to nije,

proverava se da li ta funkcija ne pripada skupu internih funkcija Matlaba. Ako to ne uspe,

Matlab traži na disku datoteku sa istim imenom. Ako se funkcija pronađe, Matlab je

kompajlira i smešta u memoriju tako da može da se koristi i svaki sledeći put.

Kada se pozove funkcija, bilo iz komandne linije, skript datoteke ili druge funkcije, vrši se

prenos argumenata u funkciju prema specificiranoj listi argumenata u prototipu funkcije.

Promenjive u definiciji funkcije ne moraju obavezno da imaju iste identifikatore kao u pozivu

funkcije. Naprotiv, ista imena promenjivih mogu da imaju potpuno različito značenje u skript

datoteci iz koje se poziva funkcija i same funkcije. Argumenti funkcije, koji se nalaze između

zagrada u definiciji funkcije, predstavljaju lokalne promenjive i formiraju se pri pozivu

funkcije. Prvom argumentu se dodeljuje vrednost prvog parametra u pozivu funkcije, i tako

dalje do kraja liste argumenata. Dakle, pri pozivu funkcije mora da se vodi računa da poziv

odgovara definiciji funkcije. Argumenti funkcije se odvajaju zapetom.

Matlab sadrži veoma fleksibilne funkcije za dvodimenzionalnu i trodimezionalnu

grafiku. Ovim funkcijama je moguće generisati krive ili površi, vršiti manipulacije sa

dijagramima i menjati karakteristike i notaciju na dijagramima.

Svaki dijagram se kreira u prozoru slike, tj. u prozoru koji otvori Matlab za vreme

izvršavanja funkcije koja kreira dijagram. Ako se u programu koristi više funkcija koje

8

generišu dijagrame, Matlab će pri izvršavanju svake funkcije da kreira prozor slike koji će da

prebriše prethodni.

Slika 3: Trodimenzionalni grafik kreiran u Matlabu

Osim osnovnih funkcija, Matlab raspolaže dodatnim paketima alata za rešavanje

posebnih klasa problema. Control Systems Toolbox obezbeđuje funkcije koje su od posebne

koristi za analizu i sintezu sistema automatskog upravljanja. Naredbom help control iz

komandne linije Matlaba, ispisuju se naredbe iz ovog paketa, čime se stiče uvid u napredne

mogućnosti.

Analiza i sinteza linearnih sistema automatskog upravljanja zasniva se na rešavanju i

razumevanju rešenja običnih linearnih diferencijalnih jednačina. Primenom Laplasove

transformacije na sistem opisan diferencijalnom jednačinom pri svim početnim uslovima

jednakim nuli, dobija se prenosna funkcija sistema.

Promena izraza sistema u toku vremena, izazvana dejstvom ulaza i / ili početnih uslova je

vremenski odziv sistema, ili kraće odziv sistema.

Odziv sistema je jedna od dinamičkih karakteristika sistema. On je rezultat rada sistema i

opisuje taj rad. Odnosno, odziv sistema je rezultat prirode sistema, dejstva ulaza i početnih

uslova (početnog stanja). On je spoljna reakcija na ova dejstva.

Matematički posmatrano, odziv sistema je rešenje jednačine ponašanja tog sistema za zadatu

promenu ulaza i zadate početene uslove.

Za upoznavanje, utvrđivanje i analizu odziva linearnih sistema dovoljno je proučiti

njihove odzive na određene, tipične promene ulaza. Tri najčešće korišćene ulazne veličine za

dinamičku analizu sistema su:

9

1. Hevisajdova ili odskočna (u Matlabu step),

2. Dirakova ili impulsna (impulse),

3. Sinusoidna funkcija (sin).

U tekstu koji je do sada izložen, pokazano je kako je uz pomoć Matlaba moguće vršiti

analizu i sintezu sistema automatskog upravljanja. Kako se u praksi javlja potreba za

rešavanjem složenih problema, gde se sistem ne sastoji samo od objekta i upravljačkog

sistema, već od više međusobno spregnutih podsistema, razvijene su funkcije kojima se

dobijaju ekvivalentne prenosne funkcije redne, paralelne i povratne sprege. Uz pomoć tih, kao i

ostalih funkcija iz Control Systems Toolbox-a je moguće vršiti simulaciju sistema bilo iz

komandne linije ili iz script datoteke. S druge strane, Simulink Toolbox, (u daljem tekstu:

Simulink) obezbeđuje grafičko okruženje, u kome se opisno skicira blok dijagram sistema i

vrši njegova simulacija. O Simulinku biće više reči u narednom poglavlju.

10

2. Simulink

Kao što je poznato, uz pomoć Matlaba moguće je vršiti analizu i sintezu sistema

automatskog upravljanja. Kako se u praksi javlja potreba za rešavanjem složenijih problema,

gde se sistemi ne sastoje samo od objekata i upravljačkog sistema, već od više međusobno

spregnutih podsistema, razvijene su funkcije kojima se dobijaju ekvivalentne prenosne funkcije

redne, paralelne i povratne sprege. S druge strane, Simulink obezbeđuje grafičko okruženje, u

kome se opisno skicira blok dijagram sistema i vrši njegova simulacija.

Uz pomoć Matlabovih funkcija iz Control System Toolbox-a je moguće vršiti simulaciju

sistema bilo iz komandne linije ili iz script datoteke. Simulink se pokreće iz komandne linije

naredbom:

Simulink

ili pomoću ikone u komandnom prozoru Matlaba. Važno je da se shavti da promenjive koje su

definisane u komandnom prozoru Matlaba važe i u prozoru Simulink-a.

Nakon pokretanja Simulink-a, pojavljuje se prozor Simulink Library Browser, gde su

pobrojane dostupne biblioteke. Glavne biblioteke su: Simulink, Control System Toolbox,

Neural Network Blockset i Simscapes. Dvostrukim klikom na neku od navedenih biblioteka,

grana se njihovo stablo i dolazi do dostupnih komponenti. Raspložive komponente Simulink

biblioteke su (slika 4a):

Commonly Used Blocks često korišćeni blokovi

Continuos – linearni kontinualni sistem

Discontinous – različite nelinearnosti

Discrete – linearni diskretni sistemi

Logic and Bit Operations – logičke i operacije nad bitovima

Look-Up Tables – interpolacija podataka iz tabele

Math Operations – matematičke operacije

Model Verification – verifikacija modela

Model-Wide Utilities – dodaci vezani za modele

Ports & Subsystems – portovi i podsistemi

Signal Atrributes – manipulisanje signalima

Signal Routing-usmeravanje signala

Sinks – prikazivanje i usmeravanje izlaznih podataka

11

Sources – generisanje ulaznih podataka

User-Defined Functions – pisanje funkcija

Additional Math and Discrete- dotatne matematičke operacije i diskretni elementi

Slika 4a:Komponente Simulink-ove biblioteke

Da bi se napravio model u Simulinku, najpre treba otvoriti Simulink prozor za modelovanje,

tako što se klikne ikona nove stranice. Ova ikona se nalazi ispod taba File na slici 4a. Sada

treba u novootvoreni Simulink prozor za modelovanje ubaciti željene komponente sistema. To

se radi tako, što se iz odgovarajuće biblioteke prevuče željeni blok. Na primer, ako želimo da

definišemo model u obliku prenosne funkcije, treba najpre iz biblioteke Simulink, dvostrukim

klikom na Continous(slika 4b) izabrati komponentu Transfer Fcn i prevući je u prozor za

modelovanje.

12

Slika 4b: Elementi (blokovi) Simulink-ove biblioteke Continuous

U Simulinku, sistemi su nacrtani na ekranu kao blok dijagrami. Mnogi od elemenata

blok dijagrama su dostupni, kao što su prenosne funkcije, veze i drugo, baš kao i virtuelni

ulazni i izlazni uređaji poput generatora funkcija i osciloskopa koji se nalaze u Simulinkovim

bibliotekama Sources (slika 4c) i Sinks (slika 4d).. Simulink je integrisan sa Matlabom i podaci

jednostavno mogu da se razmenjuju između ta dva programa. U ovom slučaju, primenjujemo

Simulink na primere iz Matlaba kako bismo modelovali sisteme, izgradili kontrolere i

simulirali sisteme. Simulink4 je podržan od strane Unix, Macintosh, i Windows okruženja i

uključen u studensku verziju Matlaba za PC računare.

Ideja koja leži u pozadini je ta da se može videti tutorijal Simulinka u jednom prozoru dok se

Simulink pokreće u drugom. Fajlovi sistemskih modela se mogu skinuti iz tutorijala i otvoriti u

Simulinku. Ovi sistemi se mogu modifikovati i proširiti kako raste znanje o Simulinku, kao i o

modelovanju, upravljanju i simulacijama.

4 Simulink može da radi i pod Linux programskim jezikom ali samo kao paket programskog sistema koji se dodatno plaća.

13

Slika 4c: Elementi (blokovi) Simulink-ove biblioteke Sources

Slika 4d: Elementi (blokovi) Simulink-ove bibliotekeSinks

14

2.1 Modeli

U Simulinku, model je skup blokova koji, u opštem slučaju, predstavlja sistem. U

dodatku, da bi se nacrtao model u praznom prozoru modela, prethodno sačuvan fajl modela

može da se učita ili iz File menija ili iz Matlabovog komandnog prompta.

2.2 Osnovni elementi

Postoje dve osnovne klase elemenata u Simulinku: blokovi i linije. Blokovi se koriste za

generisanje, modifikovanje, kombinovanje izlaza i displej signale. Linije se koriste za prenos

signala od jednog bloka ka drugom.

2.3 Jednostavan primer

Jednostavan model dat na slici 5 se sastoji iz tri bloka: Step funkcije, prenosne funkcije

(Transfer Fcn) i osciloskopa (Scope). Step funkcija je blok izvora iz kojeg izvire odskočni

ulazni signal. Ovaj signal se prenosi preko linije u smeru indikovanom strelicom do

kontinulanog bloka prenosne funkcije. Blok prenosne funkcije modifikuje ulazni signal i

njegov izlaz je novi signal koji je linijom sproveden do osciloskopa. Osciloskop je blok koji se

koristi da predstavi signal kao realni osciloskop.

15

Slika 5:Jednostavan Simulinkovmodel

Naravno, postoji još više tipova blokova dostupnih u Simulinku i neki od njih će biti razmatrani

dalje u tekstu.

2.4 Pokretanje simulacija

Pokretanje simulacije prikazaćemo na modelu koji se čuva u fajlu:

primer2.mdl

Otvoaranjem ovog fajla, u Simulinku će se prikazati prozor modela dat na slici 6.

Slika 6:Primer2 simulacije u Simulinku

Nakon otvaranja Simulink modela, a pre pokretanja simulacije, potrebno je odabrati

metodu integracije (Solver) i podesiti parametre za izvođenje simulacije kao što su tolerancije i

minimalni i maksimalni koraci integracije.Ova podešavanja se vrše unutar Simulinkovog

prozora Configuration Parameters(slika 7). Simulink ima mnogo metoda za rešavanje sistema

linearnih diferencijalnih jednačina. Zavisno od izbora metode integracije i specifičnim

zahtevima modela, može biti potrebno podesiti i ostale parameter kao što su:

• Relative tolerance – Algoritam za integraciju koristi ovaj parameter za

regulisanje relativne greške u svakom koraku integracije. Za probleme

modeliranja električnih kola ova tolerancija može biti između 1e-3 i 1e-6.

16

Ukoliko nismo sigurni pri samom početku koja je tolerancija najbolja za naš

model, biramo konzervativniji pristup i postavljamo manju toleranciju, a zatim

je postepeno povećavamo kako bi smanjili trajanje simulacije. Cilj je postići

kompromis između tačnosti koju tržimo i prihvatljivog trajanja simulacije. Ova

primedba se takođe može primeniti i za slučaj odabira koraka integracije.

• Min step size – Minimalni dozvoljeni vremenski korak integracije. Ako

algoritam zahteva korak integrcije da bi zadovoljio traženu toleranciju, pojaviće

se upozorenje.

• Max step size – Maksimalno dozvoljeni korak integracije. Najčešće je

automatski postavljena vrednost (auto) dovoljna za većinu simulacija.

Slika 7: Simulinkov prozor Configuration Parameters

Vremenski trenutak u kojem se pokreće simulacija (start time)i trenutak u kojem se prekida

(stop time) se takođe moraju definisati u Simulinkovom prozoru Configuration Parameters.

17

Pre nego što se pokrene simulacija sistema prikazanog na slici 6, prvo moramo otvoriti prozor

osciloskopa duplim klikom na blok osciloskopa. Zatim, selektujemo ili Start ili Run na vrhu

ekrana kako bismo pokrenuli simulaciju.

Simulacija bi trebala da se pokrene jako brzo i prozor osciloskopa se pojavljuje kao na slici 8.

Slika 8: Primer grafika simulacije u Simulinku

Treba primetiti da je izlaz simulacije na vrlo niskom nivou relativan u odnosu na ose

osciloskopa. Ovo se ispravlja upotrebom Autoscale dugmeta.Postoji mnogo parametarskih

opcija za simulacije. U ovom primeru, razmatraćemo samo Start i Stop vremena, koja ukazuju

Simulinku za vreme kojih perioda treba da se izvrši simulaciju. Promenimo Start vreme iz 0.0

u 0.8. Promenimo Stop vreme iz 10.0 u 2.0, što bi trebalo da bude neposredno pošto se sistem

smiri. Zatvorimo dialog box (slika 7) i vratimo se na simulaciju. Posle korišćenja Autoscale

dugmeta, prozor osciloskopa bi trebao da ostvari mnogo bolji prikaz odskočnog odziva (Slika

9).

18

Slika 9:Primer grafika simulacije u Simulinku posle upotrebe Autoscale dugmeta

2.5 Izgradnja složenijeg sistema

Da bi se izgradio neki složeniji sistem, kao prvo, potrebno je prikupiti sve neophodne

blokove iz Simulinkovih biblioteka blokova5. Zatim, treba modifikovati blokove tako da se oni

usklade sa blokovima u željenom modelu. Konačno, blokovi se međusobno spajaju pomoću

linija kako bi se obrazovao kompletan sistem. Posle ovoga, kompletan sistem može da se

verifikuje kako bi se ustanovilo da li radi.

2.6 Modifikovanje blokova

Model sistema prikazan na slici 10 je složeniji od modela datog na slici 6. On sadrži još tri

nova bloka:

1. Sum – sumator,

2. Gain - pojačavač

3. PID Controller – proporcionalno-integralno-diferencijalni kontroler.

Takođe novi model sadrži i negativnu povratnu spregu.

5 Predstavlja celine u kojima su grupisani elementi koji nam trebaju, poređani i postavljeni od redosleda važnosti do zajedničkih karakteristika.

19

Slika 10. Primer blok dijagrama u Simulinku

Sledeći koraci će ispravno modifikovati blokove u modelu datom na slici 10:

Dva puta kliknite na Sum blok. Otvoriće se njegov dialog box (slika 11). Kako ćete

hteti da dodate drugi ulaz tj. negativnu povratnu spregu, unesite + - u listu

označenih polja. Zatvorite dialog box.

Dva puta kliknite na Gain blok. Promenite proporcionalno dejstvo i zatvorite dialog

box (slika 12).

Dva puta kliknite na blok PID regulatora i promenite proporcionalno dejstvo, kao i

integralno dejstvo. Zatvorite dialog box (slika 13).

Dva puta kliknite na blok prenosne funkcije. Ostavite numerator, ali promenite

denumerator. Zatvorite dialog box (slika 14).

Promenite naziv bloka PID regulatora u PI regulator dva puta klikćući na reč PID

regulator.

Konačno, svi blokovi su uneseni ispravno.

20

Slika 11: Dialog box bloka Sum

Slika 12: Dialog box bloka Gain

21

Slika 13: Dialog box bloka PID Controller

Slika 14: Dialog box bloka Transfer Fcn

22

2.7 Spajanje blokova linijama

Jednom kada su blokovi ispravno postavljeni, potrebno ih je povezati. U tu svrhu je

potrebno pratiti sledeće korake.

• Prevucite kursorom od izlaznog terminala Step bloka ka pozitivnom ulazu Sum

bloka.

• Rezultirajuća linija bi trebala da ima strelicu na kraju. Ako je strelica otvorena i

crvena, to znači da ništa nije povezano.

• U ovom slučaju, strelica može da se posmatra kao izlazni terminal i da se nacrta baš

kao i u prethodnom slučaju. S druge strane, ukoliko želite da ponovo nacrtate liniju

ili da povežete liniju sa pogrešnim terminalom, liniju treba da izbrišete i ponovo

nacrtate. Brisanje linije se postiže tako što se linija selektuje i jednostavno pritisne

Delete dugme na tastaturi.

• Nacrtajte liniju tako da povežete Sum blok sa Gain ulazom. Takođe, nacrtajte liniju

od Gain bloka do PI kontrolera, zatim liniju od PI regulatora do objekta i liniju od

objekta do osciloskopa.

• Linija koja ostaje da se nacrta je signal povratne sprege koji se povezuje sa izlazom

objekta i negativnim ulazom Sum bloka.

• Prevucite negativni deo Sum bloka na dole i otpustite miša, tako da linija bude

nezavršena. Od krajnje tačke linije, kliknite i prevucite liniju između bloka

TransferFCN i osciloskopa.

• Konačno, potrebno je postaviti oznake u model kako bi se identifikovali signali

r,e,u,y. Da biste to uradili dva puta kliknite na tačku koju želite da obeležite.

• Ukucajte r na izlazu iz Step bloka, obeležavajući referentni signal i zatim kliknite

izvan kako biste završili editovanje.

• Označite signal greške (e), upravljački signal (u), i izlazni signal (y) na isti način.

Krajnji model će izgledati kao na Slici 10.

• Da biste sačuvali model, selektujte Save As u File meniju i ukucajte željeno ime

modela, primer3.

Jednom kada je model završen, moguće je izvršiti simulaciju istog. To se radi tako što se

selektuje Start u simulacionom meniju i pokrene simulacija. Izlazni signal je moguće videti

duplim klikom na osciloskop, čime se dobija grafik izlazne funkcije (slika 15).

23

Slika 15: Izlazni signal blok dijagrama sa slike 10.

Dakle, Simulink je grafičko proširenje Matlaba za modelovanje i simulaciju sistema.

Jedna od glavnih prednosti Simulinka jeste njegova sposobnost da se modeluju nelinearni

sistemi, čiju prenosnu funkciju nije moguće uraditi u Matlabu. Druga prednost Simulinka je

njegova sposobnost da uzme u razmatranje početne uslove. Jednom kada se napravi prenosna

funkcija, početni uslovi se uzimaju da su nula.

U narednom poglavlju biće objašnjeno modelovanje i simulacija električnih sistema u

Matlab/Simulinku. U pitanju su dva načina modelovanja:

1. Potpuno blokovsko predstavljanje na osnovu sistema jednačina koje opisuju dati

električni sistem,

2. Modelovanje korišćenjem matematičkog modela u prostoru stanja.

Prvi način modelovanja može se primeniti i kod linearnih i nelinearnih električnih sistema, dok

je drugi način primenljiv samo u slučaju linearnih sistema.

24

3. Modelovanje i simulacija električnih sistema u Matlab-Simulinku

3.1 Metod potpunog blokovskog predstavljanja

Na primeru simulacije odskočnog odziva RLC kola biće prikazan metod potpunog

blokovskog predstavljanja sistema u Simulink-u. Jednostavno RLC kolo je prikazano na slici

16. Vrednosti parametara RLC kola su :R=50 Ω, L=0.1 H i C=1000 μF. Amplituda step

funckcije napona izvora ui iznosi 100 V. Početne vrednosti induktivne struje i napona

kondenzatora su jednake nuli. Vrednost step napona će se promeniti u trenutku t=0.05 s, a

vreme trajanja simulacije je 0.5 s.

Slika 16: RLC kolo

Ulazna promenljiva je napon izvora ui, a izlazne promenljive su napon kondenzatora uc i

induktivna struja iL. Za konturu 1 i čvor 2 se prema I i II kirhofovom zakonu mogu napisati

jednačine

−𝑢𝑖 + 𝑖𝑖𝑅 + 𝑢𝑐 = 0

−𝑖𝑖 + 𝑖𝐿 + 𝑖𝑐 = 0 (3.1)

Za granu sa induktivnošću naponska jednačina je

𝑢𝑐 = 𝐿𝑑𝑖𝐿

𝑑𝑡 (3.2)

a za granu sa kapacitivnošću

𝑢𝑐 =1

𝐶∫ 𝑖𝑐𝑑𝑡 (3.3)

Ako se indukovana struja i napon kondenzatora izaberu kao promenljive stanja, onda se

jednačine (3.1) i (3.3) mogu napisati na sledeći način:

𝑖𝐿 =1

𝐿∫ 𝑢𝑐𝑑𝑡 (3.4)

𝑢𝑐 =1

𝐶∫ (

𝑢𝑖−𝑢𝑐

𝑅− 𝑖𝐿) 𝑑𝑡 (3.5)

25

Preporučljivo je jednačine (3.4) i (3.5) najpre prikazati u obliku blok dijagrama što znatno

olakašava kasniju izradu modela u Simulink-u. U prvom koraku je potrebno pretvoriti

jednačine iz vremenskog domena u Laplasov domen. Uz pretpostavku da sve promenljive

stanja u trenutku t=0 imaju vrednost nula, integral u vremenskom domenu odgovara množenju

sa 1/s, gde je s Laplsov operator. Jednačine (3.4) i (3.5) tada postaju

𝑖𝐿(𝑠) =1

𝐿

1

𝑠𝑢𝑐(𝑠) (3.6)

𝑢𝑐(𝑠) =1

𝐶

1

𝑠(

𝑢𝑖(𝑠)−𝑢𝑐(𝑠)

𝑅− 𝑖𝐿(𝑠)) (3.7)

Simulacioni blok dijagram na slici 17 je formiran na osnovu jednačina (3.6) i (3.7).Na ovoj

slici je prikazano potpuno blokovsko predstavljanje RLC kola. Da bi se dobio odskočni odziv

kola, step napon izvora se simulira pomoću generatora Step funkcije koji se nalazi u biblioteci

Sources (слика 18).

Slika 17: Potpuno blokovsko predstavljanje RLC kola

26

Slika18: Dialog box bloka Step

Vrednosti parametara R, L i C u modelu na slici 17 je moguće definisati u svakom bloku Gain

posebno kao konkretne numeričke vrednosti. Takođe je moguće, umesto konkretnih vrednosti,

koristiti imena promenljivih (simbolička imena) kojima se vrednosti dodeljuju u Matlab

Command Window-u. U tom slučaju se simboličkim imenima dodeljuju vrednosti pre

pokretanja simulacije na sledeći način:

>> R=50

R =

50

>> L=0.1

L =

0.1000

>> C=0.001

C =

1.0000e-03

Vrednosti izlaznih veličina: struje izvora ii, struje induktiviteta iL i napona kondenzatora uc se

mogu otpremiti i u Matlab-ov radni prostor. Za to se u modelu koriste blokovi To Workspace

27

(slika 17). Vreme se takođe može snimiti (sačuvati) kao izlazna karakteristika. U tu svrhu se

koriste blok Clock koji se nalazi u bibilioteci Sinks i sa njim povezan blok ToWorkspace.

Posle podešavanja parametara simulacije unutar Configuration Parameters dijalog boksa, i

stavljajući da je Start Time=0, a StopTime=0.5, pokreće se simulacija datog RLC kola.Da bi se

prikazali rezultati simulacije (slika 19) u Matlab Command Windowsu potrebno je ispisati

sledeće naredbe:

>> subplot(3,1,1), plot(t,ii)

>>subplot(3,1,2), plot(t,iL)

>>subplot(3,1,3), plot(t,uc)

Dakle, za vizuelni prikaz izlaznih rezultata snimljenih u radnom prostoru koriste se

Matlab naredbe plot i subplot. Naredbom subplot definiše se deo slike na koji se smešta

odgovarajući plot grafik.

Slika 19:Talasni oblici odskočnog odziva RLC kola.

28

3.2 Metod modela u prostoru stanja

Jedna od prednosti modelovanja dinamičkih sistema pomoću promenljivih stanja sastoji

se u tome što se od tako dobijenih modela direktno može preći na simulacioni dijagram. Dakle,

potrebno je diferencijalnu jednačinu bilo kog reda svesti na Košijevu normalnu formu.

Sistem opisan pomoću Košijeve normalne forme , tj., pomoću n diferencijalnih jednačina

prvog reda predstavljen je na sledeći način:

𝑥1 = 𝑓1(𝑢, 𝑥, 𝑡)

𝑥2 = 𝑓2(𝑢, 𝑥, 𝑡) (3.8)

⋮ 𝑥 = 𝑓𝑛(𝑢, 𝑥, 𝑡)

Ovo je savremena forma zapisivanja i koristi se u radu sa računarima.

Sistem jednačina (3.8) može se predstaviti u vektorsko-matričnom obliku, pri čemu se dobija

model sistema u prostoru stanja:

= 𝐀(𝑡) ∙ 𝐱 + 𝐁 ∙ 𝐮 (3.9)

gde je 𝐱 = [𝐱𝟏 𝐱𝟐 … 𝐱𝐧]𝐓n-dimenzionalni vektor stanja, 𝐮 = [𝐮𝟏 𝐮𝟐 … 𝐮𝐫]𝐓je vektor

ulaznih signala, A(t) je matrica stanja koja može biti i vremenska funkcija i B je matrica

ulaza.Izlaz sistema se definiše pomoću sledeće jednačine:

𝐜 = 𝐃𝐱 + 𝐇𝐮 (3.10)

gde je c vektor izlaza a D i H su odgovarajuće matrice izlaza.

Model u prostoru stanja predstavljen jednakostima (3.9) i (3.10) odnosi se na sisteme sa

više ulaza i izlaza.

Za sisteme sa jednim ulazom i izlazom model u prostoru stanja je uprošćen:

= 𝐀(𝑡) ∙ 𝐱 + 𝐛 ∙ 𝑢 (3.11)

𝑐 = 𝐝𝐱 + 𝐡𝑢 (3.12)

U ovom slučaju u i c su skalarne veličine, b je vektor ulaza, a d i h su takođe vektori.

Na sledećem primeru pokazaćemo kako se u programskom paketu Matlab/Simulink na ovaj

način može izvršiti modelovanje i simulacija električnih kola.

Primer3.2.1: Za električno kolo dato na slici 20 odrediti model u prostoru stanja ako je RC =1 i početni uslovi su jednaki nuli, 𝑥1(0) = 0 i 𝑥2(0) = 0. Na osnovu dobijenog modela

formirati Matlab/Simulinkov model i izvršiti simulaciju izlaznog signala y=c ako je ulazni

signal 𝑢 = 10sin𝜋𝑡/10.

29

Slika 20: Električno kolo primera 3.2.1

Rešenje:

Kod električnih mreža za promenljive stanja pogodno je usvojiti struje kroz induktivne

namotaje i napone na kondenzatorima. Za električno kolo dato na slici 22 za promenljive stanja

biramo napone na kondenzatorima 𝑥1 i 𝑥2. Za dato kolo važe sledeće relacije:

𝑖3 = 𝑖1 − 𝑖2 (3.13)

𝑢 = 𝑥1 + 𝑅𝑖3 = 𝑥1 + 𝑅(𝑖1 − 𝑖2) (3.14)

𝑢 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑅𝑖2 (3.15)

𝑖1=𝑥1

𝑅+ 𝐶

𝑑𝑥1

𝑑𝑡 (3.16)

𝑖2=𝑥2

𝑅+ 𝐶

𝑑𝑥2

𝑑𝑡 (3.17)

Iz jednačine 3.15 dobijamo:

𝑖2 =𝑢

𝑅−

𝑥1

𝑅−

𝑥2

𝑅 (3.18)

Zamenom (3.16) i (3.18) u (3.14) dobija se:

𝑢 = 𝑥1 + 𝑅𝑖1 − 𝑅𝑖2=

=𝑥1+R[𝑥1

𝑅+ 𝐶

𝑑𝑥1

𝑑𝑡]-R[

𝑢

𝑅−

𝑥1

𝑅−

𝑥2

𝑅]=

= 3𝑥1 + 𝐶𝑅𝑑𝑥1

𝑑𝑡+ 𝑥2 − 𝑢 (3.19)

Daljim sređivanjem relacija (3.19) dobijamo prvu diferencijalnu jednačinu koja opisuje sistem

dat na slici (20):

𝑑𝑥1

𝑑𝑡 =

1

𝑅𝐶[−3𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑢] (3.20)

Zamenom jednačine (3.17) u (3.15) dobija se:

𝑢 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑅 [𝑥2

𝑅+ 𝐶

𝑑𝑥2

𝑑𝑡] (3.21)

30

Daljim sređivanjem jednačine (3.21) dobija se druga diferencijalna jednačina date električne

mreže:

𝑑𝑥2

𝑑𝑡 =

1

𝑅𝐶[−𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑢] (3.22)

Model u prostoru stanja u matričnom obliku dobija se na osnovu jednačina (3.20) i (3.22):

[1

2]=

1

𝑅𝐶[

−3 −1

−1 −2] [

𝑥1

𝑥2]+

1

𝑅𝐶[

2

1] 𝑢 (3.23)

Iz jednačine (3.23) jednostavno se određuju matrice A i B:

A= 1

𝑅𝐶[

−3 −1

−1 −2] , 𝐁 =

1

𝑅𝐶[

2

1] (3.24)

Za izlaz električne mreže 𝑦 = 𝑐 dobijamo sledeći model:

𝑦 = −𝑥1 − 𝑥2 + 𝑢 (3.25)

tj.,

[𝑦] = [−1 −1] [𝑥1

𝑥2] + [1]𝑢 (3.26)

Iz jednačine (3.26) jednostavno se određuju matrica D i skalar h:

𝐃 = [−1 −1]i ℎ = 1 (3.27)

Programski paket Matlab/Simulink pruža mogučnost simulacije linearnog sistema čiji je model

dat u prostoru stanja u matričnom obliku pomoću State-Space simulacionog bloka (slika 21).

Duplim klikom miša na ovaj blok otvara se njegov prozor za unos parametara, tj., elemenata

matrica i početnih vrednosti. Na slici 22 prikazan je izgled ovog prozora za primer 3.21, tj.,

kada važe jednačine (3.24). (3.27), RC = 1 i kada su početni uslovi jednaki nuli, 𝑥1(0) = 0 i

𝑥2(0) = 0. Kao što se sa slike 22 vidi vrste matrica odvajamo tačka zarezom prilikom unosa.

Oznake matrica A i B su iste kao u jednačini (3.24), dok je matrica D iz jednačine (3.27)

označena slovom C, a skalar h označen slovom D na slikama 21 i 22.

Ulazni napon električnog kola sa slike je sinusni signal 𝑢 = 10sin𝜋𝑡/10. On se modeluje

pomoću bloka Sine Wave iz Source Simulinkove biblioteke.Prozor za unos parametra bloka

Sine Wave za ulaz 𝑢 dat je na slici 23.

Na slici 24 prikazan je Simulinkov simulacioni blok dijagram električnog sistema datog na slici

20. Promena izlaznog napona y sa vremenom prikazana je na slici 25.

31

Slika 21: Simulacioni blok State-Space

Slika 22: Prozor za unos parametara State-Space bloka

32

Slika 23: Prozor za unos parametra bloka Sine Wave za ulaz 𝑢

33

Slika24: Simulinkov simulacioni blok dijagram električnog sistema datog na slici 22

Slika 25: Promena izlaznog napona y sa vremenom

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

y

34

4. Osnovne biblioteke za modelovanje električnih sistema u Simscape-u

Da bi omogućio upotrebu jedinstvenog jezika za modelovanje MathWorks je svoj paket

Simulink® (MATLAB®, R2007a) proširio alatom Simscape™6. Simscape je namenjen

modeliranju, simulaciji i analizi multidomenskih fizičkih sistema. Modelovanje se bazira na

konceptu generalizovane mreže i uopštenih Kirhovljevih zakona. Umesto matematičkih

blokova (Simulink), za gradnju modela sistema koriste se blokovi koji odgovaraju fizičkim

komponentama (Simscape) kao što su kondenzator, kalem, otpornik, bipolarni tranzistor,

ventil, cilindar, prigušnica itd. Između komponenti se uspostavljaju veze koje odgovaraju

energetskim tokovima i tokovima signala. Na taj način struktura modela odgovara strukturi

realnog sistema a sam proces formiranja modela liči na sklapanje realnog sistema. Korisnik iz

biblioteke bira odgovarajuće blokove a onda ih povezuje linijama prateći strukturu sistema.

Na slici 26 su prikazane biblioteke Simscape:

• Foundation Library

• SimDriveline

• SimElectronics

• SimHydraulics

• SimMechanics

• SimPowerSystems

• Utilities

Na korisničkom nivou, svaka komponenta je predstavljena pomoću svog interfejsa.

Interfejs je određen brojem i tipom priključaka preko kojih se razmenjuju energija i informacije

sa spoljnim svetom. U Simscape terminologiji ovi priključci se zovu energetski odnosno

signalni portovi. Portovi su konceptualna mesta kroz koja energija/signal ulazi/izlazi iz

komponente. Energetski portovi odgovaraju fizičkim vezama kroz koje se vrši dvosmerna

razmena energije bez gubitaka.

Signalni portovi su jednosmerni i kroz njih se prenose signali između blokova. Energetski

portovi imaju svoj tip u zavisnosti od energetskog domena kojem pripadaju (električni,

hidraulički, termalni, mehanički). Svakom energetskom portu se pridružuju po dve energetske

veličine (napor i tok) čiji proizvod određuje protok energije kroz dati port.

Podela na napor-tok (accross-through) veličine se bazira na načinu merenja ovih veličina.

Veličinu napora posmatramo kao razliku (promenu) između dve prostorno odvojene tačke u

energetskom toku. Komplementarna veličina toka (u smislu da njihov proizvod određuje

snagu) je karakteristika jedne tačke u energetskom toku.

Veze između komponenti (blokova) se modeluju pomoću linija koje predstavljaju fizičke veze

koje prenose energiju ili signale. Energetske veze su dvosmerne. Kada formiramo vezu

moramo da definišemo smer toka energije. Signali su, kao i u Simulinku, jednosmerni.

6 Programski dodatak MATLAB laboratorije u sklopu SIMULINK-a

35

Slika 26:Simscape biblioteke

Osnovni gradivni elementi u Simscape-u nalaze se u Foundation Library.Tu se nalaze blokovi

koji predstavljaju realne komponente kao što su otpornik, kondezator, masa, opruga, ventil,

komora itd. Oni su organizovani u biblioteke u skladu sa domenom kojem pripadaju (slika 27).

Na slici 27 uočavamo 7 biblioteka SimscapeFoundation Library:

1. Electrical -električna

2. Hydraulic-Hidraulična

3. Magnetic-Magnetna

4. Mechanical-Mehanička

5. Pneumatic-Pneumatska

6. Thermal-Termička i

7. Physical Signals-Fizički signali

Blokovi se mogu opisati na dva načina: kao bazični elementi kojima se opisuje neka fizička

pojava (model ponašanja) ili kao mreža blokova nižeg nivoa (model strukture). Za opis

ponašanja koristi se Simscape™ Language (SL). To je tekstualni, objektno-orijentisan jezik za

opis ponašanja korisnički definisanih blokova. SL samo proširuje mogućnosti Simscape

okruženja ali se ne može koristiti kao samostalni jezik. Drugim rečima, pomoću SL-a se

formira novi model ponašanja, dok se za formiranje strukturnih modela i dalje koristi Simscape

grafički editor.

36

Slika 27: Osnovne biblioteke Simscape/Foundation Library

Za simulaciju električnih sistema koristi se Electrical biblioteka. Blokovi ove biblioteke

prikazani su na slici 28. To su nove tri biblioteke:

1. Electrical elements –električni elementi

2. Electrical sources –električni izvori

3. Electrical sensors-električni senzori

37

Slika 28: Simscape Electrical biblioteka

Biblioteka Electrical elements sadrži osnovne elemente kojima možemo realizovati električne

šeme (slika 29): otpornik ,kalem ,kondenzator , uzemljenje, transformator, diodu itd.

38

Slika 29: Elementi Simscape Electrical Elements biblioteke

Biblioteka Electrical Sources sadrži jednosmerne i naizmenične izvore napona i struje (slika

30).

39

Slika 30: Elementi Simscape Electrical Sources biblioteke

Biblioteka Electrical sensors data je na slici 31. Ona se sastoji iz dva senzora

1. Current Sensor –ampermetar (senzor struje)

2. Voltage Sensor –voltmetar (senzor napona)

Oba bloka imaju po tri izvoda. Po dva za povezivanje u električnu šemu (+ i – izvod) i po jedan

za merenje i prikaz rezultata merenja (I-strujni izlaz, V-naponski izlaz).

Slika 31: Elementi bibliotekeElectrical sensors

40

Slika 32: BibliotekaUtilities

Da bi grafički mogli da predstavimo vrednosti struje i napona koje su izmerene senzorima

koristi se biblioteka Utilities (slika 32). Ova biblioteka sadrži sledeće elemente:

• PS/Simulinc Converter

• Simulink/PS Converter

• Connection Port

• Solver Configuration

• Two – Way Connection.

Element PS/Simulinc Converter konvertuje fizičke signale (PS) struje i napona strujnih i

naponskih izvora Simscape-a u signale koji mogu da se prikažu na nekom od Simulinkovih

Sinks blokova (npr., Scope – osciloskopu). Izbor fizičkog signala koji konvertujemo u

Simulinkov signal vrši se unutar prozora PS/Simulinc Converter-a (slika 33). Izborom

odgovarajuće fizičke jedinice parametra Output signal unit određuje se koja je fizička veličina

41

izmerena i spremna za prikazivanje u Simulinku. Izborom A struja se konvertuje u Simulinkov

signal. Slično izborom V konvertuje se napon u signal koji se može prikazati na Simulinkovom

Scope bloku.

Element Simulinc/ PS Converter konvertuje Simulink signale u fizičke signale PS, koji

predstavljaju ulaze u Simscape modele.

Slika 33:Prozor PS/Simulinc Converter-a za izbor parametara

Element iz Utillies biblioteke Solver Configuration je obavezan blok u svakom Simscape

modelu (slika 44). On se vezuje za bilo koju granu ispitivanog električnog kola i služi za

definisanje parametara simulacije (slika 45).

42

Slika 34: Element Solver Configuration

Slika 35: Prozor elementa Solver Configuration za unos parametara simulacije

43

5. Modelovanje i simulacija električnih sistema u Simscape-u

U prethodnoj glavi električni sistemi su modelovani u okviru biblioteke Simulink.

Korisnik je najpre sam morao da izvede matematičke jednačine koje opisuju električne sisteme

a potom da date jednačine blokovski predstavi, poveže i simulira u Simulinku.

Jednostavniji pristup modelovanju električnih sistema pruža biblioteka Simscape. Ona od

korisnika ne zahteva unapred pripremljene matematičke modele za unos u grafički editor kao

kod Simulinka. Potrebno je samo da se pravilno povežu elementi Simscape/Electrical

biblioteke koji podsećaju na realne električne komponente.

U nastavku, na primerima konkretnih električnih kola, pokazaćemo jednostavnost modeliranja

i simulacije u Simscape-u.

Primer 5.1

Izvršiti modelovanje električnog kola datog na slici 36 u programskom paketu

Matlab/Simscape.Brojni podaci su U1=1V, 𝑅 = 1𝛺, 𝐶 = 1F. Početne vrednosti napona na

kondenzatorima su jednake 0V. Rezultat simulacije, promenu izlaznog napona U4 sa

vremenom, prikazati grafički (Start Time=0, StopTime=30).

Slika 36: Električna mreža primera 5.1

44

Slika 37. Simscape model električnog kola primera 6.1.

Na slici 37 prikazan je Simscape model električnog kola sa slike 36. Povezivanje elemenata iz

Simscape Electrical Elements biblioteke (slika 29) izvršena je jednostavno i brzo na osnovu

električne šeme. Prozori za unos parametara DC Voltage Source U1, svih elemenata Resistor i

Capacitor prikazani su na slikama 38, 39 i 40, respektivno.Takođe obavezni elementi svakog

električnog Simscape modela su uzemljenje (Electrical Reference) i blok Solver Configuration.

Slika 38: Prozor za unos parametra jednosmernog naponskog izvora

45

Slika 39: Prozor za unos parametra otpornika

Slika 40: Prozor za unos parametara kondenzatora

46

Pošto se u zadatku zahteva praćenje talasnog oblika izlaznog napona U4 za izlazne portove

kola povezali smo + i - krajeve bloka Voltage Sensor. Sa trećeg porta bloka Voltage Sensor,

koji je označen slovom V fizički signal koji predstavlja izlazni napon U4 se dovodi na ulaz

bloka PS-Simulink Converter. Ovaj blok konvertuje fizički signal, tj., napon U4 u signal koji

može dalje da se ispituje u Matlab/Simulinku. Zato smo izlaz bloka PS-Simulink

Converterpovezali sa ulazom u Simulinkov blok ToWorkspace. Da bi prikazali promenu

izlaznog napona U4 sa vremenom potrebno je u modelu na slici 37 povezati i blok Clock sa

novim blokom ToWorkspace. Posle pokretanja simulacije, u Matlab Command Window unose

se naredbe:

plot(t,U4)

grid

nakon čega se otvara prozor prikazan na slici 38.

Slika 38: Rezultat simulacije. Promena izlaznog napona U4 sa vremenom.

0 5 10 15 20 25 300.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

t

U4

47

Primer 5.2

Izvršiti modelovanje električnog kola datog na slici 39 u programskom paketu

Matlab/Simscape.

Brojni podaci su: 𝐿 = 0.1H, 𝐶 = 0.005F, 𝑅 = 100Ω, 𝑒1 = 10sinπ

10t, 𝑒2 = 15sin

π

2t. Svi

početni uslovi su nula.Izlazni signali električnog su struja 𝑖1 i napon na otporniku R.

Rezultate simulacije, promenu 𝑖1sa vremenom i promenu napona na otporniku R sa vremenom

prikazati grafički (Start Time=0, StopTime=400).

Slika 39: Električno šema sistema primera 5.2

Slika 40:Simscape model električnog kola sa slike 39

Na slici 40 prikazan je Simscape model električnog kola sa slike 39. Prozori za unos

parametara AC Voltage Source e1 i e2 su na slikama 41 i 42, respektivno. Takođe obavezni

48

elementi ovog električnog Simscape modela su uzemljenje (Electrical Reference) i blok Solver

Configuration.

Slika 41:Prozor za unos parametara AC Voltage Source e1

Slika 42: :Prozor za unos parametaraAC Voltage Source e2

Pošto se u zadatku zahteva praćenje talasnog oblika izlaznog napona na otporniku R, paralelno

sa njim povezali smo + i - krajeve bloka Voltage Sensor. Sa trećeg porta bloka Voltage

Sensor, koji je označen slovom V fizički signal koji predstavlja izlazni napon ur se dovodi na

ulaz bloka PS-Simulink Converter. Izlaz bloka PS-Simulink Converter povezali smo sa ulazom

u Simulinkov blok ToWorkspace. Takođe se zahteva posmatranje talasnog oblika struje koja

teče kroz kalem, i1. Zato je postavljen ampermetar, tj, Current Sensor redno, između izvora e1

i kalema L. Sa trećeg porta bloka Current Sensor, koji je označen slovom I fizički signal koji

predstavlja izlaznu struju i1 se dovodi na ulaz bloka PS-Simulink Converter. Izlaz bloka PS-

Simulink Converter povezali smo sa ulazom u novi Simulinkov blok ToWorkspace. Posle

pokretanja simulacije, u Matlab Command Window unose se naredbe plot(t,i1) i plot(t,ur), za

grafičko prikazivanje rezultata merenja (slike 43 i 44).

49

Slika 43: Rezultat simulacije. Promena izlazne struje i1 sa vremenom

Slika 44:Rezultat simulacije. Promena izlaznog napona ur sa vremenom

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t

i1

Simulacija izvršena u Simscape-u

0 50 100 150 200 250 300 350 400-15

-10

-5

0

5

10

15

t

ur

Simulacija izvršena u Simscape-u

50

Primer 5.3

Izvršiti modelovanje i simulaciju električnog sistema datog na slici 45 u programskom

paketu Matlab/Simscape.

Brojni podaci su: 𝐿 = 100mH, 𝐶 = 0.351F, 𝑅1 = 𝑅2 = 100Ω, 𝑛 = 100. Svi početni uslovi su

nula.Strujni izvor je sinusni signal amplitude 10A i frekvencije 60Hz. Izlazni signali su napon

primara i struja sekundara (Start Time=0, StopTime=0,4).

Slika 45: Električno šema sistema primera 5.3

Slika 46:Simscape model električnog kola sa slike 45

Kolo dato na slici 45 sadrži idealan transformator, koji je na slici 46 predstavljen pomoću

Simscape/Electrical elementa čiji je prozor za unos parametara dat na slici 47. Simscape model

koji sadrži element Ideal Transformer mora da ima dva uzemljenja po jedno za primarno i

sekundarno kolo (slika 46). Dva Scope bloka smo koristili za prikaz rezultata simulacije, tj.,

napona primara (slika 48) i struje sekundara (slika 49).

51

Slika 47: Prozor za unos parametra bloka Ideal Transformer

Slika 48: Napon primara

52

Slika 49: Struja sekundara

53

Zaključak

Priča kako je nagli razvoj računarstva osamdesetih i naročito devedesetih godina

prošlog veka izmenio svet, nije više nikakva novina. Nove tehnologije, mikroprocesori i

globalne računarske mreže napravile su od računara uređaj bez koga se ne može zamisliti iole

ozbiljniji posao, kao ni svakodnevni život na ovoj planeti. Život pored računara i sa računarom,

u stvari, postaje svakodnevnica.

U poslednjih nekoliko godina sa masovnijim korišćenjem računara u školama stvoreni

su uslovi za kvalitetnije inoviranje obrazovne tehnologije. Nastava sa multimedijalnom

sadržinom postoji u nastavnoj praksi duže vreme, ali je termin multimedijalna nastava

pedagoška kategorija novijeg datuma. Multimedijski sistem u nastavi izgrađuje se zbog

potrebe funkcionalne i tehničke integracije brojnih i raznovrsnih medija u nastavi u

sistematične sklopove, odatle i naziv multimedijski sistem.

Sve više se nameće potreba za savremenom školom i savremenim učiteljima. Postavlja

se pitanje kako utiče tehnologija obrazovanja na nastavu i učenje. Postavlja se i drugo pitanje:

u kojoj meri su škole spremne za prihvatanje novih tehnologija i informatike u nastavi. Oba

pitanja su ključna za proces učenja, a naročito su aktuelna za proces aktivnog učenja. Većina

psihologa tvrdi da i pored značajnih rezultata, još uvek postoje ozbiljni nedostaci u nastavnom

procesu. Prvi takav nedostatak je nedovoljna aktivnost dece u nastavnom procesu, kao i

nesamostalnost učenika. Usvajanje znanja u najčešćem slučaju je reproduktivno, učenik

reprodukuje znanje koje mu učitelj/nastavnik prenosi. Ako učenik nije pasivan, nego aktivno

učestvuje u toku predavanja, učenje će biti mnogo efikasnije. Drugi nedostatak je što učenik ne

dobija povratne informacije o rezultatima delatnosti. Školske ocene imaju informativni

karakter. Učenici ocene najčešče ne dobijaju na osnovu učenja, i učenik ne zna tačno da odredi

šta je u odgovaranju dobro, a šta loše. Ispitivanja dokazuju da je učenje mnogo efikasnije, ako

se učenik informiše o rezultatima učenja. Nastavnikovo obrazlaganje ocene doprinosi uspehu

učenja. Ocene date u tajnosti negativno utiču na tok učenja. Za uklanjanje gore navedenih

nedostataka traže se nove metode u nastavi. Jedna od mogućnosti je programirana nastava.

Programirana nastava obuhvata programirani (materijal) udžbenik i primenu mašine za učenje

u procesu nastave. Programirana nastava bi delimično uklonila gore navedene nedostatke u

tradicionalnoj nastavi. Učenik je aktivan, jer planira proces nastave tako što samostalno radi,

može da kontroliše sopstveno usvajanje gradiva. Učenik postepeno, korak po korak, usvaja

gradivo, tempo učenja je primereno sposobnostima učenika. Iako su programirani udžbenici,

pokazali dobre rezultate, oni ne mogu da zamene živu reč nastavnika. Uz pomoć ovih sredstava

ne može se usvojiti složeno gradivo . Učenici koje bi učili uz pomoć ovih sredstava bili bi

siromašniji u međuljudskim odnosima. Ako je cilj škole da priprema učenike za život, treba

učiniti ozbiljne korake, da učenik, koji izlazi iz obrazovne ustanove ima praktična znanja na

polju koriščenja računara.

Danas se zna da su računari i internet, IT tehnologija7, veoma važni faktori za

obučavanje odraslih, ali mnogi sumnjaju da virtuelna stvarnost doprinosi obuci mladih

generacija. Misljenja su podeljenja ali svi uviđaju da tehnologija i IT tehnologija8 idu napred i

7Informaciona tehnologija je opšti termin koji opisuje tehnologiju koja pomaže proizvodnji, manipulaciji, skladištenju,

komunikaciji i distribuciji informacija. 8 Termin (pojam) „informaciona tehnologija” često obuhvata i znatno šire polje oblasti tehnologije. Sve one aktivnosti kojima se IT

profesionalci bave, od instalacija aplikativnih programa do projektovanja složenih računarskih mreža i informacionih sistema. Neke od tih

aktivnosti su: umrežavanje i inženjering računarskog hardvera, dizajniranje softvera i baza podataka, kao i upravljanje i administracija

informacionim sistemom.

54

u njihovom napredovanju i uzdizanju učestvuju svi, kako odrasli tako i oni najmlađi. Svako u

toj virtuelnoj stvarnosti može raditi sta god poželi, biti ko god želi, bez granica i ograničenja.

Naravno najviše je mesta ostavljeno za one koji u toj virtuelnoj stvarnosti žele da se bave

naukom, ostvare svoje snove i ciljeve, provere da li to što su zamislili funkcioniše, bez bilo

kakve opasnosti, i te snove i želje pretvoriti u stvarnost. Jedno je sigurno, virtuelna stvarnost

omogućava da sve sto zamislimo uz malo truda proverimo i napravimo u realnosti i učinomo

čovečanstvo ponosim što postojimo.

Jedan od tih, nazovimo ga i virtuelnom stvarnošću, jeste program i software MATLAB,

virtuelna laboratorija u kojoj možemo proveriti i teoriju i praksu, usavršiti sadašnjost i stvoriti

budućnost.

Poznavanje ovog programskog jezika daje odskočnu dasku u svetu IT tehnologije.

Jedan od ciljeva pisanja ovog rada jeste da programski jezici kao što je ovaj uđu u skole i budu

sastavni deo svakodnevnog učenja. U inostranim zemljama postoji podatak da skoro 65% škola

srednjih stručnih se obučava u Matlabu i slicnim programima bliskim njihovoj struci, da bi

odmah posle završene škole obučeni ljudi već radili i pomagali zajednici. Jedna od tih stavki je

sada i kod nas, da škole imaju nesto nalik privatnom preduzetništvu, uče i rade u školi, stiču

znanja i usavršavaju se. Primenom MATLAB-a u školi, može se postići isti efekat, deca mogu

naučiti pre svega programski jezik, savladati engleski jezik, naučiti i primenjivati matematiku,

a za one malo više zainteresovanije u ovom programskom paketu postoji i laboratorija za

projektovanje elektronskih mreža i raznih šema koje mogu da se iskoriste u IT tehnologiji. Još

jedna velika novina jeste i korišćenje ovog programa u mnogim firmama širom naše zemlje,

koje se bave elektronikom i elektronskim kolima, projektovanje električnih mreža do izrade

stampanih ploča za razne električne uređaje.

Matlab ima širok spektar primene, od matematike, rada sa matricama i

trigonometrijom, preko funkcija i krivih u prostoru do složenih izračunavanja u elektronici i

elektrotehnici,i mnogim drugim granama nauke i trebalo bi se više posvetiti pažnja ovakim

programskim paketima jer njihovo znanje i umenje mogu nas odvesti u budućnost, a pritom da

sve radimo sa sto manje gubitaka i sa sto večim učinkom.

55

LITERATURA

1. Automatsko upravljanje, udžbenik, Biljana Samardžić, Bojana Zlatković

2. Primena matlaba u elektronici, matematici i fizici, internet izdanje skripte sa

sarajevskog unevrziteta, 2010.

3. Automatsko upravljanje, udžbenik, Biljana Samardžić, Bojana Zlatković

4. Analiza električnih strojeva primjenom računala, dr. sc. Damir Žarko, knjiga

Sveučilista u Zagrebu, Fakultet Elektrotehnike i računarstva, 2004. godina

5. Modeliranje i simuliranje u elektrotehnici MATLAB/SIMULINK, dr Igor Vujović,

Split 2014.

6. Laboratorijski praktikum iz elektrometrologije, dr Mladen Popović, 2006 Beograd

7. Electrometrology – Anew Approach to Engineering Education, Mlden Popović,

Predrag, Zoran Petrović,VII International SAUM Conference, 2001

8. Virtual laboratory for electrometrology Mladen Popović, Vera Petrović, Predrag

Poljak, Zoran Petrović, YUINFO 2003, Kopaonik 2003.

9. Introduction to matlab for engineering student, David Houcque, Northwestern

University, August 2005.

10. Essentials of MATLAB Programming, Volume 10, bz Stephen J. Chapman

11. https://www.mathworks.com- sajt na engleskom jeziku posvecen matlabu 12. www.wikipedija.rs

13. https://www.mathworks.com/academia/student.../tutorials.html