modeliranje, identifikacija, simulacija

1. Моделирање динамички системи 1

________________________________________________________________________________________Моделирање, идентификација и симулација

ДЕЛ I. МОДЕЛИРАЊЕ ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ 1.1. ОПШТО ЗА МОДЕЛИРАЊЕТО ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ

Sl.1.1. êkori во procesot na matemati~ko modelirawe na eden dinami~ki sistem

Edna od najva`nite zada~i na inènerot vo procesot na izu~uvawe na dinami~kite

sistemi e da go ispita vlijanieto na parametrite na sistemot vrz negovoto

povedenie, kako i nagoduvaweto na tie parametri dodeka ne se dobie zadovolitelno

povedenie na istiot. Taa zada~a moè da se ostvari bilo so fizi~ko bilo so

matemati~ko modelirawe na nabquduvaniot dinami~ki sistem. Prednosta na

matemati~koto modelirawe e vo negovata brzina i cenata na ~inewe. Sledstveno,

matemati~koto modelirawe e zna~aen del od eden inènerski proces na analiza na

Realen dinami~ki sistem

Inènerski opis na realniot

dinami~ki sistem

Matemati~ki model na

realniot sistem

Reavawe na

matemati~kiot model

Analiza na povedenieto

na

matemati~kiot model

Diferencijalni ravenki

Prenosna funkcija

Vektor na sostojba

Analiti~ko reenie

Analogna simulacija

Digitalna simulacija

Stati~ko zasiluvawe

ûvstvitelnost na pre~ki

Dinami~ki karakteristiki

Modifikacija



daden dinami~ki sistem. Vo prodolènie e stane zbor za matemati~koto

modelirawe dinami~ki sistemi.

Modeliraweto dinami~ki sistemi se sostoi od nekolku ~ekori:

1. Najnapred, tuka e реалниот dinami~ki sistem od interes, koj se odlikuva so soodvetno dinami~ko povedenie. Celta na modeliraweto e to e mo`no poverno da

se opredeli odzivot, a so toa i dinami~kite osobini, na ovoj sistem.

2. Vtor ~ekor e tehni~kiot opis на реалниот dinami~ki sistem – odnosno kako inènerot go gleda sistemot i negovite dinami~ki osobini: dali sistemot e

linearen ili nelinearen, stabilen ili nestabilen, oscilatoren ili aperiodi~en itn.

Vo procesot na modelirawe, odredeni nelinearnosti prisutni kaj realniot

dinami~ki sistem, ili nekoi negovi dinami~ki karakteristiki od povisok red,

moàt da se zanemarat, zaradi pogolema ednostavnost na modelot. Taka modelot nema

da poseduva nekoi osobini so koi se odlikuva realniot sistem, odnosno tehni~kiot

opis na sistemot ne e vo celost veren na modeliraniot sistem.

3. Matemati~kiot model na nabquduvaniot dinami~ki sistem se sostavuva vrz osnova na zakonite to vladeat vo nego. Ako se raboti za mehani~ki sistem – toa se

osnovnite zakoni na mehanikata, ako se raboti za elektri~en sistem – osnovnite

zakoni na elektrotehnikata itn. Koga modeliraniot sistem e linearen,

sostavuvaweto na negoviot matemati~ki model e prili~no ednostavno. Me|utoa, koga

toj sodrì nelinearnosti, mnogu ~esto se pribegnuva kon odredeni aproksimacii, so

cel da se olesni analizata. Sledstveno, matemati~kiot model ne sekoga egzaktno

odgovara na inènerskiot opis na modeliraniot sistem.

4. êtvrtiot ~ekor se sostoi vo odreduvawe na odzivot na nabquduvaniot dinami~ki

sistem vrz osnova na negoviot matemati~ki model. Od matemati~ka gledna to~ka toa

zna~i reavawe na matemati~kiot model na nabquduvaniot dinami~ki sistem. Matemati~kiot model po pravilo pretstavuva nekoja ravenka ili sistem ravenki i

nivnoto analiti~ko reenie e to~noto reenie na matemati~kiot model. Me|utoa,

dokolku odzivot na modelot se opredeluva so pomo na analogen ili digitalen

presmetuva~, dobienoto reenie moè da sodrì odredena greka vo odnos na

to~noto analiti~ko reenie, predizvikana od strana na samiot primenet numeri~ki

ili analogen metod.

5. Sostaveniot matemati~ki model sluì za analiza na povedenieto na realniot

dinami~ki sistem, koja se врши podednakvo vo vremenskiot i frekventniot domen.

Dokolku matemati~kiot model или modeliraniot sistem nemaat zadovolitelno povedenie, postapkata se povtoruva, sè dodeka ne se dobie zadovolitelno povedenie.

Matemati~koto modelirawe po pravilo zna~i i odredeno prifatlivo otstapuvawe

na modelot od realniot dinami~ki sistem. Ova otstapuvawe moè da bide повеќекратно. Prvoto otstapuvawe nastanuva so uprostuvawe на matemati~kiot model preku zanemaruvawe na odredeni nelinearnosti ili dinami~ki



karakteristiki od povisok red na realniot sistem, ili so odredeni aproksimacii na

negovite osobini. Vtoroto otstapuvawe nastanuva zaradi voveduvaweto odredeni

aproksimacii vo samiot matemati~ki model, a so cel toj da moè analiti~ki da se

rei. Tretoto otstapuvawe nastanuva pri analogna ili digitalna simulacija na

matemati~kiot model i e predizvikano od grekite na samiot metod (na primer, kaj

digitalnata simulacija osnovnata greka vo presmetkite nastanuva poradi

ograni~enata aritmetika na smeta~ot i zaokruùvaweto pri presmetkite).

1.2.ФИЗИЧКО МОДЕЛИРАЊЕ НА РЕАЛНИТЕ ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ

Во prodolènie најнапред ќе stane zbor za fizikalnite analogii vrz koi se zasnоva физичкото моделирање на динамичките системи. Na sl.1.2 e prikaàn eden seriski elektri~en sistem, koj se sostoi od seriska vrska na induktiven element so induktivnost L, otpornik so otpornost R i kondenzator so kapacitivnost C. Vlezniot napon u(t) na sistemot e vo ramnoteà so padovite na naponite uL(t), uR(t) i uC(t) na kraevite od elementite L, R i C, soodvetno, a niz elementite te~e ista struja i(t). Ravenkata на динамичко povedenie na

nabquduvaniot sistem e:

(1.1) ∫++=++=t

CRL diC

tRidt

tdiLtutututu

0)(

1)(

)()()()()( ττ

uL(t) uR(t) uC(t)

L R C u(t) i(t)

Сл.1.2. Сериски електричен систем Na sl.1.3 e prikaàn paralelen elektri~en sistem, koj se sostoi od paralelna vrska na induktiven element so induktivnost L, otpornik so otpornost R i kondenzator so kapacitivnost C. Vleznata struja vo sistemot i(t) se razloùva na struite vo grankite iL(t), iR(t) i iC(t), a na kraevite od elementite L, R i C vladee ist napon u(t). Ravenkata na dinami~ko povedenie na ovoj sistem e:



(1.2) dt

tduCtu

Rdu

Ltitititi

t

CRL)(

)(1

)(1

)()()()(0

++∫=++= ττ

i(t) iL(t) iR(t) iC(t)

u(t) L R C

Sl.1.3. Paralelen elektri~en sistem Kone~no na sl.1.4 e prikaàn seriski mehani~ki sistem vo koj nadvorenata sila f(t) gi uramnoteùva otpornite sili fM(t), fT(t) i fE(t). Pomestuvaweto x(t), odnosno brzinata na dvièwe v(t), e zaedni~ka za site elementi, a se presmetuva vo odnos na nepodvi`nata podloga. Ravenkata na dinami~ko povedenie na ovoj sistem od sl.1.4 e:

(1.3) ∫++=++=t

ETM dvKtBvdt

tdvMtftftftf

0)()(

)()()()()( ττ

f(t)

fM(t) fT(t) fE(t)

M B K

Sl.1.4. Seriski mehani~ki sistem



Kaj dinami~kite sistemi od сл.1.2-сл.1.4 e mo`na odredena sporedba so ogled na sli~nosta na nivnite matemati~ki modeli odnosno nivnite diferencijalni ravenki na dinami~ko povedenie. Taka, na primer, mehani~kiot sistem od sl.1.4 i elektri~niot sistem od sl.1.2 imaat diferencijalni ravenki na dinami~ko povedenie od ist oblik i red. Taa sli~nost na matemati~kite modeli (1.1) i (1.3) se

temeli vrz sli~nosta vo povedenieto na oddelnite elementi od nabquduvanite sistemi. Imeno, masata M pretstavuva akumulator na kineti~ka energija, dodeka induktivnosta L e akumulator na elektromagnetna energija; priguuva~ot B ja “troi”, odnosno pretvora mehani~kata energija vo toplina, dodeka otpornikot R ja “troi”, odnosno pretvora elektri~nata energija vo toplina; pruìnata K pretstavuva akumulator na potencijalna energija, a kondenzatorot C e akumulator na elektrostati~ka energija. Taka, so sporeduvawe na seriskiot elektri~en i seriskiot mehani~ki sistem od sl.1.2 i 1.4, soodvetno, odnosno so sporeduvawe na relaciite (1.1) i (1.3), se doa|a do analogijata mehani~ka sila - elektri~en napon, kako i do

analogijata brzina na mehani~ko dvièwe - elektri~na struja:

(1.4) dt

tdiLtu

dt

tdvMtf LM

)()(

)()( =↔=

)()()()( tRitutBvtf RT =↔=

∫∫ =↔=t

C

t

E diC

tudvKtf00

)(1

)()()( ττττ

Vrz osnova na pogore izloènoto sleduva deka ako mehani~kiot sistem od sl.1.4 se nabquduva kako sistem to treba da se ispituva, toga za negovite svojstva i

povedenie slobodno moè da se zaklu~uva vrz osnova na rezultatite dobieni od eksperimenti so elektri~niot sistem od sl.1.2 upotreben kako model. Analogijata vospostavena pome|u sistemite od sl.1.2 i 1.4, odnosno nivnite modeli (1.1) i (1.3) ute se narekuva i naponska analogija. Me|utoa, moàt da se sporeduvaat i paralelniot elektri~en sиstem од sl.1.3 i mehani~kiot sistem od sl.1.4. Со други зборови, analogija postoi i me|u ravenkite (1.2) i (1.3). Vo ovoj slu~aj se vospostavuva analogija mehani~ka sila - elektri~na struja odnosno tn.

strujna analogija. Bideji i vo dvata slu~ai na sporedba analogiite se vovedeni vrz osnova na sli~nite matemati~ki opisi na sporeduvanite sistemi, (1.1) i (1.3) odnosno (1.2) i (1.3), i dvata pristapi se ramnopravni. Vo toa se ogleduva i

neednozna~nosta na metodata na analogii. Od aspekt na povrzuvaweto na fizi~kite elementi vo sporeduvanite sistemi, strujnata analogija pome|u sistemite od sl.1.3 i sl.1.4 e poo~igledna, no od gledite na povedenieto na elementite, naponskata analogija pome|u sistemite od sl.1.2 i sl.1.4 ima prednost. Zatoa po pravilo sekoga se primenuva naponskata analogija.



Analogii moàt da se vospostavat i me|u ostanatite fizikalni sistemi i golemini.

Taka vo Tablica 1.1 se prikaàni analognite golemini za nekolku osnovni

fizikalni sistemi: elektri~en, mehani~ki, rotacionen mehani~ki, pnevmatski i toplinski. Физичкото моделирање e zasnovanо tokmu vrz analogiite opiani vo Tablica 1.1. Taka, na primer, silnicite i gradientot na elektri~noto pole vo edna

elektrolitska kada moàt da gi pretstavuvaat silnicite i gradientot na nekoe

potencijalno pole zato ovie poliwa, opto, se opiuvaat so Laplasovata odnosno

Poasonovata parcijalna diferencijalna ravenka.

Na krajot od ova izlagawe treba da se obrne vnimanie na nekriti~nata upotreba na

analogiite navedeni vo Tablica 1.1. Imeno, ako ravenkite vrz osnova na koi se

izveduvaat analogiite se aproksimativni (pribli`ni), uprosteni i sl., moè da se slu~i analogijata da dovede do погрешни rezultati. Zatoa секогаш treba da se potencira potrebata od dobro poznavawe na fizikalnite zakonitosti to vladeat vo

prou~uvanite sistemi.

Eden primer za физичко моделирање e modelot на regulacisko kolo so koj se ispituva i/ili proektira proizvolna realna regulaciska kontura. Ispituvaweto na

regulaciskite uredi obi~no ne pretstavuva problem zato pretvoruva~ite,

regulatorite i sli~nite uredi moàt da se ispituvaat i vo laboratoriski uslovi.

Me|utoa, potekotiite se javuvaat pri ispituvaweto na regulaciskite patita,

bideji kotlovite, autoklavite, destilacionite koloni i sl. se glavno teko

dostapni za ispituvawe, a i eventualnite mo`ni ispituvawa bi go popre~ile

normalniot proizvodstven proces. Zatoa vo ovie slu~ai korisno e regulaciskiot pat

da se simulira so model na regulacisko kolo vo koj to se priklu~uva originalniot

regulaciski ured. Modelot na regulaciskoto kolo moè da ima pnevmatska, elektri~na ili kombinirana izvedba. Ako se raboti za kombinirana izvedba, toga

se potrebni i elektri~no-pnevmatski odnosno pnevmatsko-elektri~ni pretvoruva~i.

Celata izvedba se sostoi vo slednoto: na podloga ili vo kutija se pricvrsteni site

simulaciski sklopovi, a sekoj od niv ima vlezno-izlezni priklu~oci. Sklopovite se

povrzuvaat so plasti~ni cevki vo slu~aj na pnevmatska izvedba, ili so elektri~ni

vodovi vo slu~aj na elektri~na izvedba, to ovozmoùva razli~ni kombinacii na regulaciski konturi. Me|utoa, за да може modelot na regulaciskiot pat da se kombinira so realniot regulaciski ured, mora da postoi ili da se obezbedi sovpa|awe na signalnite podra~ja од modelot i realniot ured. Zatoa vo praksa se

koristat normirani signalni podra~ja i toa, normirano strujno podra~je od 0-20mA kaj elektri~nite signali i pritisok od 00.2-0.1[MPa] odnosno od 0-103[Pa] kaj pnevmatskite signali. So modelot na regulacisko kolo moàt da se simuliraat i

sloèni regulaciski kola kako, na primer, kolo za kaskadna regulacija.



Tablica 1.1. Tabelaren prikaz na analogiite pome|u razni fizikalni golemini

Veli~ina Elektri~na Mehani~ka Rotaciono

mehani~ka

Pnevmatska Toplinska

Koli~estvo elektri~en polne`

pomestuva-

we

agolno

pomestuva-

we

volumen koli~estvo

toplina

Q[As]

X[m]

Φ[rad]

V[m3]

Q[J]

Potencijal elektri~en

napon

mehani~ka

sila

torzionen

moment

pritisok temperatu-

ra

U[V]

F[N]

T[Nm]

P[Pa]

Θ[K]

Struewe ja~ina na

elektri~na

struja

brzina agolna

brzina

protok toplinski

protok

I[A]

V[ms-1]

Ω[rads-1]

Q[m3s-1]

I[Js-1]

Kapacitet elektri~en

kapacitet

recipro~na

krutost

recipro~na

torziona

krutost

pnevmatski

kapacitet

toplinski

kapacitet

C[F]

1/K[kg-1s2]

Kφ-1

[kg-1m-2s2]

Cp[kg-1m4s2]

CΘ[JK-1]

Otpornost elektri~na

otpornost

koeficient

na triewe

torzionen

koeficient

na triewe

pnevmatska

otpornost

toplinska

otpornost

R[Ω]

B[kgs-1]

BΦ[kgm2s-1]

Rp[kgm-4s-1]

RΘ[KJ-1s]

Inercija elektri~na

induktiv-

nost

masa moment na

inercija

pnevmatska

induktiv-

nost

L[H]

M[kg]

J[kgm2]

Lp[kgm-4]



1.3. МАТЕМАТИЧКИ МОДЕЛИ НА РЕАЛНИТЕ ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ

Matemati~kite modeli na realnite sistemi pretstavuvaat nekoj vid ravenka ili

sistem ravenki. Vidot i oblikot na ovie ravenki zavisi od sistemot koj go

opiuvaat. Sistemite so eden vlez i eden izlez se opiani so edna ravenka koja ja

dava vrskata pome|u negoviot vlez i izlez. Sistemite so povee vlezovi i izlezi se

opiani so sistem od ravenki koj ja dava vrskata pome|u negovite izlezi i vlezovi.

Ovoj sistem ravenki ima najmalku onolku ravenki kolku to iznesuva brojot izlezi

na nabquduvaniot sistem. Linearnite sistemi se opiani so linearni ravenki,

dodeka nelinearnite sistemi se opiani so nelinearni ravenki. Dovolno e

matemati~kiot model na nabquduvaniot sistem da sodrì barem edna nelinearna

ravenka, pa so sigurnost da se tvrdi deka toj sistem e nelinearen. Nedinami~kite

sistemi se opiani so algebarski ravenki, dodeka kontinualnite dinami~ki sistemi

se opiani so diferencijalni ravenki, a diskretnite dinami~ki sistemi se opiani

so diferentni ravenki. Stacionarnite sistemi se opiani so ravenki so konstantni

koeficienti – koeficienti koi ne zavisat od nezavisno promenlivata, dodeka

nestacionarnite sistemi se opiani so ravenki so promenlivi koeficienti –

koeficienti koi se funkcii od nezavisno promenlivata. Dovolno e matemati~kiot

model na nabquduvaniot sistem da sodrì samo eden koeficient koj e funkcija od

nezavisno promenlivata, pa so sigurnost da se tvrdi deka toj sistem e nestacionaren.

Matemati~kite modeli na dinami~kite sistemi moàt da bidat dadeni vo eden od

slednite oblici:

1.a) Diferencijalna ravenka

(1.5) ( ) ( ) =+′+⋅⋅⋅++ −− )()()()( 01

11 tatxatxatxa n

nn

n

( ) ( ) )()()()( 01

11 tybtybtybtyb m

mm

m +′+⋅⋅⋅++= −−

(ili sistem diferencijalni ravenki) 1.b) Diferentna ravenka (1.6) =+++⋅⋅⋅+−+++ − )())1(())1(())(( 011 kTxaTkxaTnkxaTnkxa nn

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )kTybTkybTmkybTmkyb mm 011 11 ++′+⋅⋅⋅+−+++= −

(ili sistem diferentni ravenki)



2.a) Prenosna funkcija

Y(s) X(s) )(sG

vlez izlez

Sl.1.5. Simboli~en prikaz na linearen stacionaren kontinualen dinami~ki sistem

so koncentrirani parametri so eden vlez ( )ty i eden izlez ( )tx

(1.7) 01

11

011

1

)(

)(

)(

)()(

asasasa

bsbsbsb

sa

sb

sY

sXsG

nn

nn

mm

mm

условипочетнинулеви ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=== −

−

−−

Y(z) X(z) )(zG

vlez izlez

Sl.1.6. Simboli~en prikaz na linearen stacionaren diskreten dinami~ki sistem so

koncentrirani parametri so eden vlez ( )kTy i eden izlez ( )kTx

(1.8) 01

11

011

1

)(

)(

)(

)()(

azazaza

bzbzbzb

za

zb

zY

zXzG

nn

nn

mm

mm

uslovipocetninulevi ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=== −

−

−−

или 2.b) Мatrica od prenosni funkcii Y1(s) X1(s) Y2(s) X2(s) Yi(s) Xj(s) Yk(s) Xl(s)

Sl.1.7. Simboli~en prikaz na linearen stacionaren kontinualen dinami~ki sistem so koncentrirani parametri so povee vlezovi i povee izlezi

)(sG



(1.9) ( ) ( )[ ] ( )( ) =

==

××

lki

jlkij sY

sXsGsG

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

×lkklkjkk

ilijii

lj

lj

sGsGsGsG

sGsGsGsG

sGsGsGsG

sGsGsGsG

21

21

222221

111211

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

lkk

l

k

j

kk

i

l

i

j

ii

lj

lj

sY

sX

sY

sX

sY

sX

sY

sX

sY

sX

sY

sX

sY

sX

sY

sX

sY

sX

sY

sX

sY

sX

sY

sXsY

sX

sY

sX

sY

sX

sY

sX

×

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

21

21

222

2

2

1

111

2

1

1

Y1(z) X1(z) Y2(z) X2(z)

( )zG

Yi(z) Xj(z)

Yk(z) Xl(z)

Sl.1.8. Simboli~en prikaz na linearen stacionaren diskreten dinami~ki sistem so

koncentrirani parametri so povee vlezovi i povee izlezi



(1.10) ( ) ( )[ ] ( )( ) =

==

××

lki

jlkij zY

zXzGzG

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

×lkklkjkk

ilijii

lj

lj

zGzGzGzG

zGzGzGzG

zGzGzGzG

zGzGzGzG

21

21

222221

111211

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

lkk

l

k

j

kk

i

l

i

j

ii

lj

lj

zY

zX

zY

zX

zY

zX

zY

zX

zY

zX

zY

zX

zY

zX

zY

zX

zY

zX

zY

zX

zY

zX

zY

zXzY

zX

zY

zX

zY

zX

zY

zX

×

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

21

21

222

2

2

1

111

2

1

1

3. Vektor na sostojba

(1.11)

( )( )

( )

( )( )

( )

( )ty

b

b

b

tv

tv

tv

aaa

aaa

aaa

tv

tv

tv

nnn

⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

′⋅⋅⋅

′′

2

1

2

1

111111

111111

111111

2

1

( ) [ ]

( )( )

( )

( )tdy

tv

tv

tv

ccctx

n

n +

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

2

1

21



(1.12)

( )( )

( )

( )( )

( )

( )kTy

b

b

b

kTv

kTv

kTv

aaa

aaa

aaa

TkTv

TkTv

TkTv

nnn

⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

+⋅⋅⋅

++

2

1

2

1

111111

111111

111111

2

1

( ) [ ]

( )( )

( )

( )kTdy

kTv

kTv

kTv

ccckTx

n

n +

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

2

1

21

1.4. ТИПИЧНИ ВЛЕЗНИ СИГНАЛИ ПРИ МОДЕЛИРАЊЕТО ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ

Odzivot na dinami~kite sistemi vo opt slu~aj ima dve komponenti – komponenta

predizvikana od nenulevite po~etni uslovi na sistemot, koi se rezultat na

energijata akumulirana vo sistemot pred po~etniot mig na nabquduvawe, i

komponenta predizvikana od soodvetnata vlezna vozbuda. Prvata komponenta se

narekuva sloboden odziv i go definira tn. avtonomen reìm na rabota na nabquduvaniot dinami~ki sistem, odnosno reìm na rabota vo otsustvo na

nadvorena vozbuda, dodeka vtorata komponenta se narekuva prinuden odziv i go

definira neavtonomniot, odnosno prinudniot reìm na rabota, koga vrz sistemot

dejstvuva nadvorena vozbuda. Slobodniot odziv na sistemot gi otslikuva negovite

sutinski dinami~ki svojstva – na primer, oscilatornata ili aperiodi~nata

priroda na sistemot, negovata stabilnost ili nestabilnost, dodeka prinudniot

odziv pokaùva kako sistemot reagira na realnite nadvoreni vlijanija. Ova

prinudeno odnesuvawe na dinami~kite sistemi vo procesot na nivno modelirawe se

ispituva so pomo na odredeni, tn. elementarni ili tipi~ni vlezni signali, koi gi pretstavuvaat realnite fizi~ki vlijanija vrz sistemot. Tie se:

1. Konstantnata ili Hevisajdova funkcija

2. Linearnata funkcija

3. Impulsnata ili Dirakovata funkcija

4. Kvadratnata funkcija

5. Periodi~nata funkcija



1.4.1. HEVISAJDOVA FUNKCIJA

Kaj realnite sistemi mnogu e ~esta pojavata na nagla, skoro skokovita promena na amplitudata на vlezniot signal od edna na druga vrednost. Tipi~en primer e vklu~uvaweto или isklu~uvaweto na elektri~en prekinuva~ kaj elektri~nite

sistemi, otvoraweto i zatvoraweto na ventil kaj hidrauli~nite sistemi,

osloboduvaweto na zategnata pruìna kaj mehani~kite sistemi itn. Vakvite nagli

promeni vo vlezniot signal, od aspekt na vremenskite konstanti na nabquduvaniot

sistem i negovata brzina na odziv, mnogu dobro se pretstavuvaat so Hevisajdovata

funkcija ( )th :

(1.13) ( )

≥<

=0,1

0,0

t

tth

koja grafi~ki e prikaàna na dolnata slika.

Sl.1.9. a) Hevisajdovata edini~na otsko~na funkcija; b) najopt oblik na

Hevisajdovata funkcija so proizvolna amplituda i mig na pojavuvawe

Zaradi izgledot na nejziniot grafik, Hevisajdovata funkcija se narekuva ute

otsko~na funkcija. Taa pretstavuva mignovena, skokovita promena na amplitudata na eden signal, kakva to ne moè da nastane vo realnosta, zoto sekoja promena na

ja~inata na eden realen signal, kolku i da e brza i kratkotrajna, trae odredeno, iako

moèbi izvonredno kuso vreme. Me|utoa, od aspekt na inercijata, odnosno brzinata

na odziv na realnite sistemi, mo`no e vakvite vlezni vozbudi pri nivnoto

modelirawe i analiza da se aproksimiraat so soodvetni Hevisajdovi funkcii.

t t 0 0 T

1

A

h(t) Ah(t-T)



1.4.2. LINEARNA FUNKCIJA

Linearnite vlezni signali, isto kako i otsko~nite, prirodno se javuvaat kaj

realnite sistemi. Eden primer za vakvi signali e oddale~uvaweto na podvi`nata cel

koja se dviì so konstantna brzina od strelecot. Sekoga koga vlezniot signal se

menuva linearno vo funkcija od vremeto, toj moè da se prestavi so linearnata

funkcija ( )ty :

(1.14) ( )

≥<

=0,

0,0

tt

tty

koja grafi~ki e prikaàna na sl.1.10.a.

Sl.1.10. a) Grafi~ki prikaz na linearnata funkcija, b) najopt oblik na linearnata

funkcija so proizvolen mig na pojavuvawe i proizvolen koeficient na

naklon

Moè da se zabeleì deka linearnata funkcija ( )ty pretstavuva integral od

otsko~nata funkcija ( )th , dodeka otsko~nata funkcija ( )th se dobiva kako izvod od

linearnata funkcija ( )ty :

(1.15) ( ) ( )th

t

t

dt

tdy =

≥<

=0,1

0,0

(1.16) ( ) ( )tytt

tdh

t=

≥<

=∫ 0,

0,0

0

ττ

y(t) Ay(t-T)

0 0 t T t



1.4.3. DIRAKOV IMPULS ILI IMPULSNA FUNKCIJA

Dirakoviot impuls ( )tδ , koj pretstavuva izvod od Hevisajdovata funkcija ( )th , ili

Dirakovata delta funkcija, kako to ute se narekuva, moè da se definira kako

grani~na vrednost od pravoagolniot signal ( )tfT so iro~ina T i viso~ina T

1,

koga 0→T , koj e analiti~ki opian so izrazot:

(1.17) ( ) ( ) ( )[ ]TththT

tfT −−= 1

i grafi~ki prikaàn na sl.1.11.

Sl.1.11. Grafi~ki prikaz na pravoagolniot signal ( )tfT

Od sl.1.12 se gleda deka, koga 0→T , signalot ( )tfT se povee se stesnuva, dodeka

negovata amplituda se povee raste, taka to, vo grani~en slu~aj se dobiva

funkcijata ( )tδ od sl.1.13.a:

(1.18) ( ) ( )tft TT 0lim→

=δ

Analiti~ki, Dirakoviot impuls moè da se pretstavi i na sledniot na~in:

(1.19) ( ) 0,0 ≠= ttδ

( ) 1=∫∞

∞−dttδ

0 T

1/T

t

fT(t)



Sl.1.12. Definicija na Dirakoviot impuls ( )tδ

Sl.1.13.a) Grafi~ki prikaz na edini~niot Dirakov impuls; b) najopt oblik na

Dirakovata funkcija so proizvolen mig na pojavuvawe i proizvolna

ja~ina

1.4.4. PRAVOAGOLEN SIGNAL

Dirakoviot impuls kako vlezen signal ne moè da se realizira vo stvarnost, zoto

toa bi zna~elo na vlezot od nabquduvaniot dinami~ki sistem da se dovede signal so

beskone~no golema ja~ina (amplituda) i nulevo vremetraewe. Namesto toa, na vlezot

od sistemot se doveduva pravoagolen signal so odredeno traewe i ja~ina, kako na

sl.1.14. Ovoj pravoagolen signal moè da se smeta za impuls dokolku negovoto traewe e zanemarlivo malo vo odnos na vremeto na odziv na ispituvaniot sistem.

Pravoagolniot impuls analiti~ki moè da se opie so sledniot izraz:

0 t

δ(t)

0 T t

Aδ(t-T)

0 T

1/T

t

Lim fT(t) T—>0



(1.20) ( )

>≤≤

<=

Tt

TtA

t

tfP

,0

0 ,

0 ,0

Sl.1.14. Grafi~ki prikaz na pravoagolniot signal ( )tfP a) so po~etok vo nulata i b)

proizvolen mig na pojavuvawe

1.4.5. OTSKO^NA FUNKCIJA SO KONE^EN NAKLON

Koga vlezot vo eden dinami~ki sistem go menuva operator, ili nekoj drug dinami~ki

sistem so kone~na brzina na odziv, kako rezultat mo`e da se dobie vlezna vozbuda so oblik kako na sl.1.15.

Sl.1.15. a) Edini~na otsko~na funkcija so kone~en naklon; b) najopt oblik na

otsko~na funkcija so kone~en naklon, so proizvolna amplituda i mig na

pojavuvawe

A

t t 0 0 T

1

y(t) y(t-T)

T1

0 T

A

t

fp(t)

0 τ T+τ t

( )τ−tf p



Matemati~ki signalot od sl.1.15.a e opian so sledniot analiti~ki izraz:

(1.21) ( )

>

≤≤

<

=

1

11

,

0,

0,0

TtA

TtT

tA

t

ty

1.4.6. PERIODIÊN VLEZ

Harmoniskite vlezovi se sretnuvaat, na primer, kaj oscilatornite elektronski kola

ili kaj rotacionite maini. Periodi~nite signali se generiraat lesno i ~esto se

koristat kako test signali pri analizata na dinami~kite sistemi. Pritoa, ne e

bitno dali se raboti za sinusen ili kosinusen periodi~en signal. Primenata na

periodi~ni vlezni signali vodi kon konceptot na frekventen odziv, pri to pod

poimot frekventen odziv se podrazbira stacionarnata komponenta od odzivot na

nabquduvaniot sistem. Sledstveno, po vozbuduvaweto na eden dinami~ki sistem so

periodi~na vlezna vozbuda, se ~eka odredeno vreme za koe e zavri preodniot

reìm i e se vospostavi stacionarniot frekventen reìm. Pri analizata na

frekventniot odziv, ne e od interes apsolutnata faza izlezot, tuku faznata razlika

pome|u vlezniot i izlezniot signal. Isto taka, namesto amplitudata na izlezniot

signal, se nabquduva odnosot pome|u amplitudite na vlezniot i izlezniot signal. Na sl.1.16 e prikaàn grafi~ki eden sinusen signal so nuleva sredna vrednost, koj e opian analiti~ki so izrazot:

(1.22) ( )

≥<

=0,sin

0,0

ttA

tty

ω

Sl.1.16. Sinusen signal so nuleva sredna vrednost a) so po~etok vo 0=t i b) vo

proizvolen vremenski mig Tt =

t 0

A y(t-T)

T t 0

A

y(t)



Sl.1.17. Sinusen signal so nenuleva sredna vrednost Namesto signalot od sl.1.16, mnogu ~esto se koristi i periodi~niot signal od sl.1.17, koj oscilira pome|u nulata i maksimalnata vrednost. Toj e opian so sledniot analiti~ki izraz:

(1.23) ( ) ( )

≥−<

=0 ,cos1

0 ,0

ttA

tty

ω

1.4.7. STANDARDNI TEST SIGNALI

Slobodniot odziv na eden sistem direktno gi opiuva negovite dinami~ki svojstva,

isto kako i negoviot otsko~en odziv, so toa to ovoj vtoriot mnogu polesno se

generira. Zaradi ova, a i poradi faktot deka od site prethodno spomenati vlezni signali, otsko~nata funkcija (1.13) najlesno se generira fizi~ki, taa pretstavuva naj~esto koristen test signal za analiza na povedenieto na dinami~kite sistemi. Linearnata funkcija (1.14) isto taka lesno se generira fizi~ki, za razlika od Dirakoviot impuls (1.19), koj ne mo`e da se realizira fizi~ki. Zatoa konceptot “impulsen odziv” povee e matemati~ki otkolku fizi~ki. Primenata na sinusnite vlezni signali (1.22) za analiza na povedenieto na dinami~kite sistemi e mnogu popularna zatoa to lesno se izveduva eksperimentalno, i soodvetnata matemati~ka

analiza e ednostavna. Me|utoa, so periodi~ni vlezni vozbudi se odreduva

stacionarniot re`im na povedenie na nabquduvaniot dinami~ki sistem, a ne

preodniot.

t 0

2A

y(t)

A

0



êsto, za test signali se koristat periodi~ni vlezni funkcii koi ne se harmoniski. Takvi se, na primer, povorkata pravoagolni ili triagolni impulsi od sl.1.18a i 1.18.b, koi relativno lesno se generiraat.

Sl.1.18. a) Povorka pravoagolni impulsi, b) povorka triagolni impulsи

1.5. ZADAÎ

1.1. Da se navedat primeri na realni mehani~ki, elektri~ni, hidrauli~ni, elektro-mehani~ki i drugi dinami~ki sistemi.

1.2. Za eden od sistemite navedeni pod 1.1 da se definiraat vlezovite, izlezite i eventualnite poremetuvawa i kvalitativno da se prikaè o~ekuvaniot vremenski

tek na negoviot odziv.

1.3. Eksperimentalno da se opredeli vremeto na odziv na eden dinami~ki sistem vo zavisnost od negoviot vlez.

a) Zagrejte lon~e voda. Kolku vreme e potrebno vodata da po~ne da vrie? Dali i kako

vlijae koli~estvoto voda vo lon~eto?

b) Potprete lenir vrz masata taka to lenirot se oslonuva samo na krajot od masata,

a ostanatiot del mu e sloboden. Drèji go potpreniot kraj nepodvièn, povle~ete

go slobodniot kraj nadole, taka to lenirot e po~ne da oscilira. Kolku vreme e

potrebno dodeka lenirot se smiri? Dali ova vreme zavisi od agolot na povlekuvawe

na lenirot i dolìnata na slobodniot del od lenirot? Kvalitativno prikaète ja

ovaa zavisnost.

( )tyP ( )tyT

0 t 0 t



lenir

masa

Sl.1.19. Ilustracija kon zada~ata 1.3.b

v) Postavete go termostatot na grealkata (ili upravuva~ot na klima-uredot) za dva

stepeni pogore ili podolu. Kolku vreme e potrebno temperaturata vo prostorijata

da se promeni za 2 stepeni? Eksperimentot povtorete go za 4 stepeni. Objasnete.

Opiete go izvreniot eksperiment i zavisnosta na rezultatot od parametrite na

sistemot.

1.4. Da se opredeli obemot na eden krug preku obemot na mnoguagolnik vpian vo krugot. Da se poka`e deka to~nosta na rezultatot raste so zgolemuvaweto na brojоt

na strani na mnoguagolnikot.

1.5. Da se провери dali slednite modeli se nelinearni:

(1.24) ( ) baxxf +=

(1.25) ( ) 2axxf =

(1.26) ( ) xaxf sin=

(1.27) ( ) xaexf −=

1.6. Edna linearna diferentna ravenka od prv red so konstantni koeficienti ima opt oblik:

(1.28) ( ) ( ) ( )tybtxatxa 001 =+′

Koeficientite 010 ,, baa na ovaa ravenka se kombinacija od parametrite na sistemot

i vo ovoj oblik ne ka`uvaat mnogu za osobinite na sistemot. Me|utoa, ako ravenkata

se podeli so koeficientot 0a :

1. Моделирање динамички системи

________________________________________________________________________________Моделирање, идентификација и симулација

(1.29) ( ) ( )[ ybtxatxa =+′ 001

se dobivaat normaliziranite koeficienti:

(1.30) 0

1a

aT =

(1.31) 0

0

a

bK =

Koeficientot T se narekuva

negovata brzina na odziv, dodeka koeficientot

na sistemot. Vo prodolènie e prikaàn otsko~niot odziv na sistem od prv re

model (1.28) dobien so pomo na programskiot paket

Sl.1.20. Grafi~ki prikaz na otsko~niot odziv na sistem od prv red Da se pokaè deka vremenskata konstanta

(1.32) ( )1+

=Ts

KsG

динамички системи

________________________________________________________________________________оделирање идентификација и симулација

( )] ( ) ( ) ( )tKytxtxTaty =+′⇒0/

se dobivaat normaliziranite koeficienti:

se narekuva vremenska konstanta na sistemot i ja definira

negovata brzina na odziv, dodeka koeficientot K se narekuva stati~ko zasiluvawe

na sistemot. Vo prodolènie e prikaàn otsko~niot odziv na sistem od prv re

dobien so pomo na programskiot paket MATLAB .

. Grafi~ki prikaz na otsko~niot odziv na sistem od prv red (1.28)

Da se pokaè deka vremenskata konstanta T e vreme za koe odzivot na sistemot

22

________________________________________________________________________________________

na sistemot i ja definira

stati~ko zasiluvawe

na sistemot. Vo prodolènie e prikaàn otsko~niot odziv na sistem od prv red so

(1.28)

e vreme za koe odzivot na sistemot:



e dostigne 63% od svojata trajna vrednost. Potoa da se pokaè deka za vreme Tt 4=

odzivot na istiot sistem dostiga 98.2% od svojata trajna vrednost.

1.7. a) Da se sostavi soodveten model vo prostorot na sostojbi za sistemot opian so slednata diferencijalna ravenka:

(1.33) ( ) ( ) ( ) ( ) ttxtxtxtx ωsin32 =+′−′′+′′′

i b) da se opredeli diferencijalnata ravenka na dinami~ko povedenie za sistemot

opian so sledniot model vo prostorot na sostojbi:

(1.34) ( ) ( ) ( ) tetvtvtv −+−−=′ 211 2

( ) ( )tvtv 12 =′

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

tetvtx −+= 4)()( 1

1.8. Postavete go lenirot na masata, kako to e ilustrirano na sl.1.19. Povle~ete go slobodniot kraj od lenirot nadolu i otputete go, taka to lenirot e po~ne da

oscilira. Koi se po~etnite uslovi vo konkretniot slu~aj? Za kakov vid odziv

stanuva zbor (sloboden, prinuden, preoden, stacionaren)? Kvalitativno prikaète

go vremenskiot tek na nabquduvaniot odziv.

1.9. Ka~ete se na branikot od vaiot parkiran avtomobil i po~ekajte dodeka avtomobilot prestane da se nia. Potoa naglo skoknete dole i zabeleète to se

slu~uva. Za koj vid vlezna vozbuda (otsko~na, periodi~na, linearna) stanuva zbor vo

slu~ajot?

1.10. Zemete kabel vo dvete race (odli~no e posluì telefonski kabel) i naglo zategnete go. [to zabeleùvate? Skicirajte go odzivot na kabelot kako funkcija od

vremeto. Dali moète da predizvikate oscilacii so golemi amlitudi i vo koj

slu~aj? Primerot e ekvivalenten so primerot na vojska koja marira preku most.

Objasnete!

2.1. Моделирање електрични системи 25

________________________________________________________________________________________Ммоделирање, идентификација и симулација

2.1. МОДЕЛИРАЊЕ ЕЛЕКТРИЧНИ СИСТЕМИ Основните електрични величини кои се користат при анализата на електричните динамички системи се дадени во Таблица 2.1. Таблица 2.1. Основни електрични величини ЕЛЕКТРИЧНА ВЕЛИЧИНА

ОЗНАКА ДЕФИНИЦИЈА ЕДИНИЦА ДЕФИНИЦИЈА

ЕЛЕКТРИЧЕН ПОЛНЕЖ

q C (кулон) elektroniC 181024.61 ×=

ЕЛЕКТРИЧНА СТРУЈА

i

dt

dqi =

A (ампер)

s

CA =

ЕЛЕКТРИЧЕН НАПОН

u

dq

dwi =

V (волт)

C

Nm

C

JV ==

ЕЛЕКТРИЧНА СНАГА

p iu

dt

dwp ⋅==

W (ват)

s

Nm

s

JW ==

( −w потенцијална енергија во електричниот систем). Основните елементи на електричните системи се прикажани во Таблица 2.2. Таблица 2.2. Основни електрични елементи ЕЛЕМЕНТ ШЕМАТСКИ ПРИКАЗ ОПИС ТИП ОТПОРНИК

Riuu =− 21

ПОТРОШУВАЧ НА ЕНЕРГИЈА

КОНДЕНЗАТОР

( )

dt

uudCi 21 −=

АКУМУЛАТОР НА ЕЛЕКТРОСТАТСКА ЕНЕРГИЈА

НАМОТКА

dt

diLuu =− 21

АКУМУЛАТОР НА ЕЛЕКТРОМАГНЕТНА ЕНЕРГИЈА

i

2u 1uL

1u 2u

i

i

2u 1uR



Еден идеален електричен изолатор воопшто не проведува електрицитет. Наспроти него, еден идеален електричен проводник слободно спроведува електрицитет. Отпорниците се електрични елементи кои спроведуваат електрицитет до одреден степен, во зависност од нивната изведба. Тие се само потрошувачи, кои електричната енергија ја претвараат во топлинска и светлосна, и воопшто немаат способност за акумулирање електрична енергија. Врската помеѓу падот на напонот на краевите од еден отпорник и струјата што тече низ него е дадена со познатиот Омов закон: (2.1) Riuuu =−= 21 каде што R ја претставува отпорноста на електричниот отпорник. Во типичните примени на електричните отпорници, таа се движи од неколку стотици до милиони оми. Отпорниците вообичаено се изработуваат од тенки жици или филмови од некој проводен материјал. Електричниот кондензатор има способност да чува електричен полнеж. Врската помеѓу неговиот напон и струја е опишана со релацијата:

(2.2) ( )

dt

uudCi 21 −=

каде што C го означува капацитетот на кондензаторот. Капацитет од F1 е многу голем капацитет, па, во практичните примени, се користат кондензатори со капацитет од неколку нано до стотици микрофаради. Современите кондензатори се изработуваат од две плочи одвоени со диелектричен изолатор. Заради заштеда на простор, плочите често се свиткани во цилиндричен облик. Електричните намотки се индуктивни елементи опишани со релацијата:

(2.3) dt

diLuu =− 21

каде што L ја означува индуктивноста на намотката. Електричната енергија акумулирана во една намотка е пропорционална на квадратот од струјата што тече низ неа:

(2.4) 2

2

0

LiLidiid

dt

diLuidw

itt==

== ∫∫∫∞−∞−

ττ

Електричните намотки се прават било со воздушно било со железно јадро. Намотките со воздушно јадро имаат помала идуктивност за дадени димензии, но се одликуваат со поголема линеарност, за разлика од намотките со железно јадро, кои имаат поголема индуктивност при исти димензии, но помала линеарност, бидејќи пермеабилноста на феромагнетните материјали се менува со густината на магнетниот флукс.



Основните електрични параметри се прикажани во Таблица 2.3. Таблица 2.2. Основни електрични параметри ПАРАМЕТАР ОЗНАКА ЕДИНИЦА ДЕФИНИЦИЈА ОТПОРНОСТ R Ω (ом)

A

V=Ω1

КАПАЦИТИВНОСТ C F (фарад)

Ω

=== s

V

As

V

CF1

ИНДУКТИВНОСТ L H (хенри)

sA

VsH Ω==1

Електричните кола составени само од отпорници, кондензатори и/или намотки (без засилувачи) се нарекуваат пасивни електрични кола. Тие можат да бидат составени исклучиво од отпорници, од отпорници и кондензатори, отпорници и намотки или од сите три вида електрични елементи. Некои типични пасивни електрични кола се прикажани во Таблица 2.4. Постојат повеќе различни пристапи кон моделирањето пасивни електрични кола, какви што се, на пример, методот на контурни струи, методот за рамнотежа на напоните, методот за рамнотежа на струите и сл. Нивната примена зависи од влезот и излезот на електричното коло (дали се работи за напонски или струен сигнал), сложеноста на колото и сл. аспекти. Овде ќе биде изложена постапката за моделирање пасивни електрични кола, која се темели врз Кирхофовиот закон за струите. Од вака добиениот модел, потоа, можат да се добијат и останатите модели на набљудуваниот систем. Постапката се покажува најсоодветна кога се работи за електрично коло со напонски влез и излез. Крхофовиот закон за струите гласи: алгебарската сума на струите во еден јазол е еднаква на нула. Како таков, тој е само еден вид на законот за зачувување на електричниот полнеж во физиката и укажува на фактот дека збирот на струите што излегуваат од еден јазол мора да е еднаков со збирот од струите што влегуваат во јазолот. Постапката за моделирање пасивни електрични кола, заснована врз Кирхофовиот закон, се состои од следните чекори:

1. Шематски приказ на моделираното електрично коло и означување на секој елемент со соодветен симбол ( ,...,,...,,,...,, 212121 LLCCRR )

2. Означување на напоните за јазлите ( ,..., 21 uu )

3. Означување на струите во секој од електричните елементи од колото и

нивната насока ( ,...,,...,,,...,, 212121 LLCCRR iiiiii )



4. Составување на равенките на струите за секој од елементите од моделираното електрично коло преку соодветните импеданси

5. Составување на равенките на струите за секој од јазлите во колото (освен

јазлите поврзани со напонските извори)

6. Внесување на равенките за одделните струи низ елементите на колото во равенките за струите на јазлите и нивно сведување на единствена диференцијална равенка, која ја дефинира бараната врска помеѓу влезот и излезот на моделираното коло

Електричните кола во кои се врзани исклучиво отпорници се ретки. Такви се делителите на напон, делителите на струја, суматорите на напон и електричните мостови. Пример 2.1. Едно од најосновните електрични кола со чисто отпорнички електрични елементи е тн. напонски делител, кој се состои од сериска врска на два отпорника. На сл.2.1 е прикажана електричната шема на едно такво коло.

Сл.2.1. Шематски приказ на делител на напон Од шемата на сл.2.1 непосредно следува:

(2.5) 1

211 R

uui

−=

(2.6) 2

22 R

ui =

(2.7) 021 =− ii

2i

1i

1u 2u

1R

2R

+ +



(2.8) 02

2

1

21 =−−R

u

R

uu

(2.9) 1

2

11

21

22

1

1u

R

Ru

RR

Ru

+=

+=

што значи дека излезниот напон од колото е само дел од влезниот напон. Тој е многу мал, кога отпорноста 2R е многу мала во однос на отпорноста 1R , и се приближува

кон вредноста од влезниот напон кога отпорникот 2R има многу поголема отпорност

од отпорникот 1R . Пример 2.2. Електричното коло прикажано на сл.2.2 исто така има само отпорнички елементи и претставува струен делител.

Сл.2.2. Шематски приказ на струен делител Од шемата на сл.2.2 непосредно следува: (2.10) 210 iii +=

(2.11) 1

01 R

ui =

(2.12) 2

02 R

ui =

(2.13) 021

21

2

0

1

00 u

RR

RR

R

u

R

ui

+=+=

2i 1i

0i 1R 2R



(2.14) 0

1

221

012

1

1i

R

RRR

iRi

+=

+=

што значи дека струјата 02 →i кога односот ∞→1

2R

R и ∞→2i кога односот

01

2 →R

R.

Пример 2.3. Да се покаже дека електричното коло од сл.2.3 претставува суматор на напони.

Сл.2.3. Електрично коло во улога на суматор на напони Од сл.2.3 непосредно следува:

(2.15) 1

311 R

uui

−=

(2.16) 2

322 R

uui

−=

(2.17) 3

33 R

ui =

3i

2i

1i

+

+

+

1u

2u

3u

1R

2R

3R



(2.18) 0321 =−+ iii

(2.19) 03

3

2

32

1

31 =−−+−R

u

R

uu

R

uu

(2.20)

3

2

1

2

2

3

1

2

1

13

11R

R

R

Ru

R

R

R

Ru

u++

+++

=

Пример 2.4. Електричното коло од сл.2.4 претставува типичен мост, кој се состои од два напонски делители. Да се определи напонската разлика u∆ .

Сл.2.4. Електричен мост Бидејќи, електричниот мост од сл.2.4 се состои од два напонски делители, со излезни напони:

(2.21) uRR

Ru

21

21 +

=

(2.22) uRR

Ru

43

42 +

=

u

2u

4R

3R

2R

1R

1u u∆



напонската разлика u∆ ќе биде:

(2.23) ( ) ( )( )( ) u

RRRR

RRRRRRu

RR

Ru

RR

Ruuu

4321

214432

43

4

21

221 ++

+−+=+

−+

=−=∆

Моделирањето на електричните кола, кои, освен отпорнички, содржат и индуктивни и/или капацитивни елементи, е многу поедноставно во просторот на −L сликите, заради фактот дека таму многу поедноставно математички се претставуваат нивните врски со соодветни импеданси. Така, импедансата на чист отпорник со отпорност R во просторот на −L сликите е опишана со изразот: (2.24) ( ) RsZR = импедансата на кондензатор со капацитет C во просторот на −L сликите е дадена со изразот:

(2.25) ( )Cs

sZc1=

а импедансата на еден индуктивен елемент со индуктивност L е: (2.26) ( ) LssZL = каде што s е комплексната променлива на Лапласовата трансформација. Пример 2.5. Кондензаторите се користат во електричните кола главно за филтрирање високофреквентни сигнали или за акумулирање електрична енергија. На сл.2.5 е прикажано едно едноставно електрично коло составено од сериска врска на отпорник со отпорност R и кондензатор со капацитет C .

Сл.2.5. Шематски приказ на електрично RC коло

C

2i

1i

1u 2u

R

+ +



За колото од сл.2.5 важи:

(2.27) ( ) ( ) ( )R

sUsUsI 21

1−=

(2.28) ( ) ( )sCsUsI 22 = (2.29) ( ) ( ) 021 =− sIsI

(2.30) ( ) ( ) ( ) 02

21 =−−

sCsUR

sUsU

(2.31) ( ) ( )sURCs

sU 12 1

1

+=

(2.32) ( ) ( ) ( )sUsURCs 121 =+ каде што (2.32) ја претставува диференцијалната равенка на динамичко поведение на набљудуваното RC коло во просторот на −L сликите. Во просторот на оригиналите, таа равенка гласи: (2.33) ( ) ( ) ( ) ( )0; 220122 uutututuRC ==+′

Пример 2.6. На сл.2.6 е прикажано едно електрично RL . Типичен пример за вакви кола се соленоидите, релињата, уредите за вбризгување гориво, палење на мотори и други.

Сл.2.6. Шематски приказ на електрично RL коло За колото од сл.2.6 важи:

2i

1i

1u 2u

R

+ +

L



(2.34) ( ) ( ) ( )R

sUsUsI 21

1−=

(2.35) ( ) ( )sULs

sI 221=

(2.36) ( ) ( ) 021 =− sIsI

(2.37) ( ) ( ) ( ) 0

12

21 =−−sU

LsR

sUsU

(2.38) ( ) ( )sUs

R

L

sR

L

sU 121+

=

(2.39) ( ) ( )ssUR

LsUs

R

L121 =

+

каде што (2.39) ја претставува диеренцијалната равенка на динамичко поведение на набљудуваното RL коло во просторот на −L сликите. Во просторот на оригиналите, таа равенка гласи: (2.40) ( ) ( ) ( )tuTtutuT 122 ′=+′ Пример 2.7. Да се состави соодветен математички модел за електричното RLC коло од сликата 2.7, кој ја дефинира врската помеѓу влезниот 1u и излезниот напон Cu .

Почетните услови ( )0Cu и ( )0Li , под претпоставка, се однапред зададени.

Сл.2.7. Шематски приказ на електрично RLC коло

3u 2u

C

Ci

Ri

1u Cu

R

+ +

L

Lu+ +

Li

Ru



За колото од сл.2.7 важи:

(2.41) ( ) ( ) ( )R

sUsUsIR

21 −=

(2.42) ( ) ( ) ( )Ls

sUsUsIL

32 −=

(2.43) ( ) ( )sCsUsIC 3=

(2.44) ( ) ( )sIsI LR = (2.45) ( ) ( )sIsI CL =

(2.46) ( ) ( ) ( ) ( )

Ls

sUsU

R

sUsU 3221 −=−

(2.47) ( ) ( ) ( )sCsU

Ls

sUsU3

32 =−

(2.48) ( ) ( )sURCsLCs

sU 1231

1

++=

(2.49) ( ) ( ) ( )sUsURCsLCs 132 1 =++

каде што (2.49) ја претставува диференцијалната равенка на динамичко поведение на набљудуваното RLC коло во просторот на −L сликите. Во просторот на оригиналите, таа равенка гласи:

(2.50) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0;,; 33133021133132

2 uuuuLCTRCTtututuTtuT ′=====+′+′′

Почетниот услов ( )0330 uu = , бидејќи се работи за почетниот напон на кондензаторот

( ) ( )003 Cuu = , кој, под претпоставка е зададен, додека почетниот услов ( )0331 uu ′=

може да се определи од релацијата: (2.51) ( ) ( ) ( )sIsCsUsI CC == 3

Така, за ( )0331 uu ′= се добива:

(2.52) ( ) ( )01

03 LiCu =′



Таблица 2.4. Основни електрични елементи ВРСКА ШЕМАТСКИ ПРИКАЗ ЕКВИВАЛЕНТНА

ИМПЕДАНСА СЕРИСКА ВРСКА ОД ДВА ОТПОРНИКА

21 RRR +=

СЕРИСКА ВРСКА ОД ПРОИЗВОЛЕН (КОНЕЧЕН) БРОЈ ОТПОРНИЦИ

∑=

=n

iiRR

1

ПАРАЛЕЛНА ВРСКА ОД ДВА ОТПОРНИКА

21

111

RRR+=

ПАРАЛЕЛНА ВРСКА ОД ПРОИЗВОЛЕН (КОНЕЧЕН) БРОЈ ОТПОРНИЦИ

∑=

=n

i iRR 1

11

СЕРИСКА ВРСКА ОД ДВЕ НАМОТКИ

21 LLL +=

СЕРИСКА ВРСКА ОД ПРОИЗВОЛЕН (КОНЕЧЕН) БРОЈ НАМОТКИ

∑=

=n

iiLL

1

vlu

i

izu 1L nL

i

izu 1L 2Lvlu

+

i

1R nR vlu

+

i

1R 2Rvlu

vlu

i

izu 1R nR

i

izu 1R 2Rvlu



ПАРАЛЕЛНА ВРСКА ОД ДВЕ НАМОТКИ

21

111

LLL+=

ПАРАЛЕЛНА ВРСКА ОД ПРОИЗВОЛЕН (КОНЕЧЕН) БРОЈ ОТПОРНИЦИ

∑=

=n

i iLL 1

11

СЕРИСКА ВРСКА ОД ДВА КОНДЕНЗАТОРА

21

111

CCC+=

СЕРИСКА ВРСКА ОД ПРОИЗВОЛЕН (КОНЕЧЕН) БРОЈ КОНДЕНЗАТОРИ

∑=

=n

i iCC 1

11

ПАРАЛЕЛНА ВРСКА ОД ДВА КОНДЕНЗАТОРА

21 CCC +=

ПАРАЛЕЛНА ВРСКА ОД ПРОИЗВОЛЕН (КОНЕЧЕН) БРОЈ КОНДЕНЗАТОРИ

∑=

=n

iiCC

1

Таблица 2.4. (продолжение) Основни електрични елементи

+

i

1C nC

vlu

1C vlu

i

izu 2C

vlu

i

izu 1C nC

1C vlu

i

izu 2C

+

i

1L nLvlu

+

i

1L 2Lvlu



Наспроти пасивните електрични кола, кои се состојат само од пасивни електрични елементи (отпорници, кондензатори и намотки), активните електрични кола содржат и активни елементи, како транзистори и засилувачи. Овие активни елементи за својата работа бараат дополнителен извор на снага. Типични засилувачи се операционите засилувачи, кои ќе бидат разгледани во продолжение, логичките порти, транзисторите и др. уреди кои излегуваат надвор од рамките на овој предмет. Електричната шема на еден операционен засилувач е прикажана на сл.2.8. Тој се

состои од напонски засилувач со многу големо засилување K ( 610≥K ), голема влезна импеданса и мала излезна импеданса. Мал влезен напон и голема влезна импеданса значи дека влезната струја во засилувачот е занемарливо мала, додека малата излезна импеданса значи дека засилувачот се однесува како идеален напонски извор. Големото засилување на засилувачот овозможува при пресметките тој да се третира како идеален засилувач.

Сл.2.8. Електрична шема на операционен засилувач За операциониот засилувач важат следните релации:

(2.53) ( ) ( ) ( )( )sZ

sUsUsI

v

avv

−=

(2.54) ( ) ( ) ( )( )sZ

sUsUsI

i

iai

−=

(2.55) ( ) ( )sKUsU ai −=

(2.56) ( ) ( ) ( ) ( )sIsIsIsI iiav ≈+= , 0→ai

(2.57) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )sZ

sUsU

sZ

sUsU

i

ia

v

av −=−

-

ii

vu

vi

( )sZi

( )sZv

ai

+u

_u

iu

au

-

+u

_u

0u −au

+au



(2.58) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )sZ

sUK

sU

sZK

sUsU

i

ii

v

iv −−

=+

, ∞→K

(2.59) ( )( )

( )( )sZ

sU

sZ

sU

i

i

v

v −=

(2.60) ( ) ( )( ) ( )sUsZ

sZsU v

v

ii

−=

Типични активни електрични кола со операциони засилувачи се прикажани во Таблица 2.5. Таблица 2.5. Активни електрични кола ФУНКЦИЈА ШЕМАТСКИ ПРИКАЗ ПРЕНОСНА

ФУНКЦИЈА ИНВЕРТОР

1−

ЗАСИЛУВАЧ

v

i

R

R−

ИНТЕГРАТОР

RCs

1−

ДИФЕРЕНЦИЈАТОР

RCs−

iu- vu

R

C

iu- vu

C

R

iR

iu- vu

vR

iu- vu

R

R



ИНТЕГРАЛЕН КОМПЕНЗАТОР

1+

−CsR

R

R

i

v

i

ДИФЕРЕНЦИЈАЛЕН КОМПЕНЗАТОР

( )1+− CsRR

Rv

v

i

ИНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦИЈАЛЕН КОМПЕНЗАТОР

( )( )1

1

++−

CsRR

sCRR

iv

vvi

Таблица 2.5. (продолжение) Активни електрични кола

vC iR

iu- vu

iC vR

vR

C

iu- vu

iR

iR

iu- vu

C vR

2.2.МОДЕЛИРАЊЕ МЕХАНИЧКИ СИСТЕМИ

Mоделирање, идентификација и симулација 41

2.2. МОДЕЛИРАЊЕ МЕХАНИЧКИ СИСТЕМИ Основните механички величини кои се користат при анализата на механичките динамички системи се дадени во Таблица 2.6. Таблица 2.6. Основни механички величини МЕХАНИЧКА ВЕЛИЧИНА

ОЗНАКА ДЕФИНИЦИЈА ЕДИНИЦА ДЕФИНИЦИЈА

МАСА m kg(килограм)

РАСТОЈАНИЕ s m (метар) ВРЕМЕ t s (секунда) СИЛА f amF ⋅= N (њутон)

21

s

mkgN

⋅=

Основните елементи на линеарните механичките системи се прикажани во Таблица 2.7. Пружините можат да бидат транслаторни и ротациони. Транслаторните пружини симболично се прикажуваат како на сл.2.9. Тие имаат широка примена во многу направи и машини. Механизмот што го држи отворен капакот од багажникот на автомобилот и механизмот кој го враќа секое копче од тастатурата на сметачот во првобитна положба се само два примери за примената на транслаторните пружините во секојдневниот живот. Моделот на една транслаторна пружина ја дефинира врската помеѓу издолжувањето (собивањето) на пружината и надворешната сила која го предизвикува тоа издолжување (собивање) и може да се претстави на следниот начин: (2.61) ( )21, xxfF = Изразот (2.61) покажува дека отпорната сила на пружината F , која уште се нарекува сила на еластичност или крутост на пружината, е функција f од поместувањето

на крајните точки од пружината 1x и 2x . Зависноста f може да се определи и по експериментален пат, ако на долниот крај од пружината, која е прицврстена вертикално за горниот крај, сл.2.10, последователно се прикачува товар со различна тежина и се мери соодветното издолжување на пружината. Ако графикот на зависноста помеѓу товарот и издолжувањето на пружината претставува права линија, тоа значи дека се работи за линеарна пружина, чие издолжување е директно пропорционално со закачениот товар. Мнозинството пружини се карактеризираат со висок степен линеарност за релативно мали издолжувања во однос на нивната должина. Се разбира дека пружината поседува одредена маса. Меѓутоа, во практичните примени, кога нејзината маса е значително помала од масата на товарот закачен за неа, за целите на анализата, дозволено е таа маса да се занемари.



Таблица 2.7. Основни линеарни механички елементи ЕЛЕМЕНТ ШЕМАТСКИ ПРИКАЗ ОПИС ТИП ТРАНСЛАТОРНА ПРУЖИНА

( )12 xxKF −=

АКУМУЛАТОР НА ЕНЕРГИЈА

ТРАНСЛАТОРЕН ПРИГУШУВАЧ

( )12 xxBF && −=


РОТАЦИОНА ПРУЖИНА

θBT =

АКУМУЛАТОР НА ЕНЕРГИЈА

РОТАЦИОНЕН ПРИГУШУВАЧ

( )12 θθ && −= BT


Кај линеарните пружини, f е линеарна функција, па моделот (2.16) има конкретен облик: (2.62) ( )12 xxKF −= каде што коефициентот на пропорционалност K се нарекува коефициент на еластичност или крутост на пружината. Кога разликата ( )12 xx − е позитивна, тоа значи дека пружината е растегната. Исто така и силата е позитивна. Во спротивно, пружината ќе биде собиена, а силата – негативна.

1θ&

2θ&

B

B

F

2x& 1x&

F

F

2x 1x

KF

θ



Кај нелинеарните пружини, f е нелинеарна функција од издолжувањето на пружината, па моделот (2.16) ќе биде нелинеарен, како, на пример:

(2.63) ( )312 xxKF −= Равенката (2.63) претставува модел на една тврда пружина, кај која е потребно се поголем и поголем товар за да предизвика одредена деформација.

Сл.2.9. Шематски приказ на една транслаторна пружина пред и по растегнувањето

Сл.2.10. Графички приказ на зависноста помеѓу издолжувањето на една транслаторна

пружина и товарот што го предизвикува тоа издолжување

линеарна пружина

издолжување

т о в а р

мека пружина

тврда пружина

2 x

y

1

F

2x 1x

KF

x



Пригушувачите исто како и пружините, можат да бидат транслаторни и ротациони. Меѓутоа, за разлика од пружините, не можат да складираат енергија – тие се потрошувачи на енергија, кои механичката енергија ја претвараат во топлинска. Еден транслаторен пригушувач е прикажан шематски на сл.2.11. Тој се состои од клип кој се движи во цилиндер, исполнет со некоја вискозна течност.

Сл.2.11. Шематски приказ на еден транслаторен пригужувач Математичкиот модел на еден транслаторен пригушувач е даден со: (2.64) ( )21, xxfF &&= каде што 1x& и 2x& се брзините на крајните точки од пригушувачот. Пригушувачите можат да бидат линеарни и нелинеарни, па кога се работи за линеарен пригушувач, моделот (2.64) има конкретен облик: (2.65) ( )12 xxBF && −= Тоа значи дека отпорната сила F на еден линеарен пригушувач е директно пропорционална на разликата помеѓу брзините на неговите крајни точки. Коефициентот на пропорционалност B се нарекува коефициент на пригушување. Кај нелинеарните пригушувачи, f е нелинеарна функција, како што е тоа случај со пригушувачот, чиј модел има облик:

(2.66) ( ) ( )21212 xxBxxsignF &&&& −−= Ротационите пружини трпат аглово поместување под дејство на некоја надворешна вртлива сила или торзионен момент. Оштрачот за моливи и часовникот се два секојдневни примери за примената на ротационите пружини. И една оска може да претставува пример за ротациона пружина ако двата краја й се свиткаат во спротивна насока. На сл.2.12 е прикажана ротациона пружина.

B

F

2x& 1x&

F

B

F

2x& 1x&



Сл.2.12. Ротациони пружини На сл.2.13 е прикажана оска (лост) во улогата на торзиона пружина.

Сл.2.13. Оска во улогата на торзиона спирала Ротационите пружини можат да бидат линеарни и нелинеарни. Моделот на една линеарна ротациона пружина е даден со изразот: (2.67) θθKT =

каде што T е торзиониот момент, θK е константа на еластичност и θ е аголот на

деформација на пружината. Ротациониот пригушувач може да се претстави со цилиндер што ротира во внатрешноста на друг цилиндер, исполнет со вискозна течност. Тогаш триењето предизвикано од тенкиот слој масло помеѓу ѕидовите од цилиндрите произведува

T T

L

1θ& 2θ&



вртлив момент T , кој е пропорционален со разликата од агловите брзини на вртење

на цилиндрите 1θ& и 2θ& . Моделот на еден линеарен ротационен пригушувач е:

(2.68) ( )12 θθ && −= BT Масата е својство на материјата да се спротивставува на забрзувањето - промената на својата брзина. Инерционата сила на тело со маса m кое врши транслаторно движење е: (2.69) xmmaF &&== Кога телото со маса m врши ротационо движење, неговата инерција е претставена со вртливиот момент:

(2.70) θ&&JT =

каде што J е момент на инерција на масата m , а θ&& е соодветното аглово забрзување.

Сл.2.14. Ротационен пригушувач



Таблица 2.8. Основни механички параметри ПАРАМЕТАР ОЗНАКА ДИМЕНЗИЈА ЕДИНИЦА КОЕФИЦИЕНТ НА КРУТОСТ НА ТРАНСЛАТОРНА ПРУЖИНА

K dol`ina

sila

m

N

КОЕФИЦИЕНТ НА КРУТОСТ НА РОТАЦИОНА ПРУЖИНА

θK radiani

dol`inasila ⋅

rad

mN ⋅

КОЕФИЦИЕНТ НА ПРИГУШУВАЊЕ НА ТРАНСЛАТОРЕН ПРИГУШУВАЧ

B brzina

sila

m

sN ⋅

КОЕФИЦИЕНТ НА ПРИГУШУВАЊЕ НА РОТАЦИОНЕН ПРИГУШУВАЧ

θB брзинааглова

момент

rad

smN 2⋅⋅

Пример 2.8. На сл.2.15 е прикажана вага, која многу често ја користат дивите продавачи на различни земјоделски производи. Да се состави соодветен математички модел на вагата, ако садот за мерење има маса m .

Сл.2.15. Илустрација кон примерот 2.8 Решение: Кога садот за мерење не е закачен за пружината, таа се наоѓа во ненапрегната состојба. Заради тежината од садот, пружината се истегнува за некоја

k

m

G

∆

x

xm && ( )∆+xk

mg



должина ∆ . Отпорната сила на пружината при ова истегнување е еднаква со тежината на садот mg : (2.71) ∆== KmgG Должината ∆ ја дефинира статичката рамнотежна состојба на вагата. Ако, сега, со x се означи издолжувањето на вагата од рамнотежната положба, од Њутоновиот закон за рамнотежа на силите што дејствуваат врз неа се добива: (2.72) ( ) xmxkGFG e &&=∆+−=−

односно: (2.73) 0=∆−=+ kGkxxm && Изразот (2.73) е бараниот модел на вагата, кој покажува дека влијанието од тежината на вагата се поништува од отпорната сила на пружината предизвикана со првобитната статичка деформација ∆ . Сите останати движења се пресметуваат во однос на рамнотежната состојба. Пример 2.9. Даден е системот со еден степен слобода на движење прикажан на сл.2.16. Тој се состои од количка со маса m, која се движи по хоризонтална подлога. Од едната страна количката е прицврстена за вертикален ѕид преку пружина со коефициент на крутост односно еластичност k. Под претпоставка, тркалата на количката имаат занемарлива инерција. Да се состави соодветен математички модел на овој систем.

Сл.2.16. Шематски приказ на едноставен систем со еден степен слобода на движење

k

m

F



Решение: Променливата х го опишува движењето на набљудуваниот систем по хоризонталната подлога. Бидејќи се работи за систем со еден степен слобода на движење, неговото движење ќе биде опишано само со една равенка. Бараниот математички модел може да се добие со примена на Њутоновата механика, ако се појде од законот за рамнотежа на силите што дејствуваат врз количката. Имено, на надворешната сила F што дејствува врз количката и се спротивставуваат силата на крутост на пружината eF и силата на инерција iF на количката. Силата на крутост

eF (или еластичност) на пружината е пропорционална на движењето на количката х

со фактор на пропорционалност k, додека инерцијата на количката iF е

пропорционална на масата од количката m и нејзиното забрзување xa &&= . Следствено, за силите што дејствуваат врз количката се добива: (2.74) kxmakxxmFFF ei +=+=+= &&

Дијаграмот на силите што дејствуваат врз количката од сл.2.16 е прикажан на сл.2.17.

iF

F

eF

Сл.2.17. Дијаграм на силите за системот од сл.2.16 Пример 2.10. Да се состави математички модел на транслаторното движење на механичкиот систем од долната слика.

Сл.2.18. Илустрација кон примерот 2.10

k

1m

F

2m

θ

l θ& θθ sinl &

θθ cosl &



Системот претставува количка со маса 1m која се движи по хоризонтална подлога. Количката од едната страна е прицврстена за вертикална подлога преку пружина со коефициент на крутост (односно еластичност) k, додека за самата количка е закачено нишало со маса 2m и должина l. Конкретниот систем поседува два степени слобода на движење – линеарно односно транслаторно движење во правец на хоризонталната оска и ротационо движење на нишалото па, следствено, постојат две координати на движењето х и θ. Решение: Равенката за рамнотежа на силите кои дејствуваат во системот гласи: (2.75) ei FFF +=

каде што F е надворешната сила која дејствува врз количката и ја принудува на транслаторно движење по хоризонталната подлога, iF е збир од силите на инерција

што дејствуваат во системот и eF е еластичната сила на пружината.

Имајќи на ум дека брзината на нишалото е збир од брзината на количката и брзината на нишалото во однос на количката, односно:

(2.76) ( ) jlilxjlilixVVV cpcpr

&r

&&r

&r

&r&

rrr sin cos sin cos/ θθθθθθθθ ++=++=+=

за транслаторното забрзување на нишалото се добива:

(2.77) ( ) ( )θθθθθθ sincoscos 2&&&&&&& llxlxdt

da p −+=+=

Оттука, инерцијалната сила на нишалото е:

(2.78) ( )θθθθ sincos 2222

&&&&& llmxmamF pip −+==

додека инерцијалната сила на количката изнесува: (2.79) xmFic &&1=

Следствено, равенката на линеарното движење на набљудуваниот систем од сл.2.18 е:

(2.80) ( ) kxlmlmxmmF +−++= θθθθ sincos 22221

&&&&&



2.3. ЗАДАЧИ 2.1. Да се состави равенката на движење на механичкиот систем од долната слика. Под претпоставка, влезот ( )ty е позната временска функција. Сл.2.16. Илустрација кон задачата 2.1 2.2. Да се состави равенката на движење и да се определи преносната функција на

механичкиот систем прикажан на долната слика, ако:m

NK 25= ,

m

sNB

⋅= 4 ,

.1kgM = Сл.2.17. Илустрација кон задачата 2.2

2x

1x

вискозно триење В

K

( )tx

( )ty K K2

B

M

движење на масата М во однос на земјата

движење на рамката во однос на земјата



2.3. Даден е механичкиот систем со два степени слобода на движење и два влеза 1y

и 2y , од долната слика. а) Да се состави основен модел на движењето на овој повеќевеличински систем. б) Да се определи диференцијалната равенка која го опишува излезот на системот 2x во функција од неговите два влеза 1y и 2y . в) Да се определат преносните функции на набљудуваниот систем. Сл.2.18. Илустрација кон задачата 2.3 2.4. Дискот прикажан на долната слика се тркала по хоризонталната подлога без лизгање. На дискот е прицврстено нишало со занемарлива маса и должина на кракот L . Дискот на крајот од нишалото неможе да ротира во однос на кракот од нишалото. Да се состави соодветен математички модел на движењето на набљудуваниот систем. Сл.2.19. Илустрација кон задачата 2.4

ϕ

θ

11, Jm

r

22, Jm

2y 1y

B

3K 2K

1K

1M 2M



2.5. Во рамките на некој производствен процес, објект е поставен на хоризонтална подлога, како што е покажано на сл.2.20. Почетната брзина на објектот изнесува 1V и тој се лизга по подлогата до одредена точка, кога роботска рака го подига и префрла на друга позиција за понатамошна обработка. За успешна реализација на оваа фаза од производствениот процес, објектот мора да запре на одредената позиција во рок од

s1 . по неговото поставување. Во спротивно, роботот ќе го промаши и нема да биде во состојба да го изведе својот дел од задачата. Да се состави математички модел на движењето на објектот по хоризонталната површина и да се определи соодветниот опсег вредности на коефициентот на триење помеѓу објектот и подлогата, ако

почетната брзина на објектот изнесува s

m6 , а димензиите на подлогата и целната

зона се означени на сликата. Сл.2.20. Илустрација кон задачата 2.5 Во продолжение да се повтори истата задача, само што сега објектот е поставен на почетокот од рампа со должина од m3 . и неговата почетна брзина е нулева. Да се определи наклонот на рампата и коефициентот на триење помеѓу објектот и

подлогата за кои брзината на објектот на крајот од рампата ќе изнесува s

m6 . Новата

ситуација е прикажана на сл.2.21.

целна зона

m5 m1

1V



Сл.2.21. Илустрација кон задачата 2.5 2.6. Да се определи преносната функција на електричното коло од сл.2.22. За влез да се усвои напонот 0u , а за излез напонот 2u . Сите почетни услови, под претпоставка,

се нулеви. Сл.2.22. Илустрација кон задачата 2.6 2.7. Да се состави математички модел на електричното коло од долната слика. За влез да се усвои напонот 0u , а за излез – напонот 1u . Соодветните почетни услови на овој

модел во вид на диференцијална равенка од втор ред да се изразат преку познатите почетни услови ( )01u и ( )0Li . Потоа да се состави соодветен модел на истиот систем

2u 1u 0u

2C 1C 2R

1R L

α

m3

целна зона

m5 m1



во просторот на состојби, така што за состојбени големини ќе се усвојат струјата Li и

напонот 1u . Сл.2.23. Илустрација кон задачата 2.7 2.8. Да се определи преносната функција на операциониот засилувач од сл.2.24. Потоа да се пресмета природната фреквенција и факторот на релативно пригушување на набљудуваниот систем, ако Ω= kRv 10 , Ω= kRi 10 , FCi µ1= , Ω= 500oR и

FCo µ10= .

Сл.2.24. Илустрација кон задачата 2.8

ou vu oC

oR

iC

iR

vR

R

R

2R 1u 0u

C

1R

L



2.9. На долната слика е прикажан операционен засилувач, на чии влезови се приклучени соодветни импеданси. Да се определи излезот на засилувачот ou во

функција од напоните pu и nu . Карактеристиката на засилувачот е ( )−+ −= uuKu0 .

Сл.2.25. Илустрација кон задачата 2.9 2.10. Ако на краевите од електричното коло прикажано на сл.2.26 се приклучи аналоген волтметар со влезна импеданса Ω= kRVM 100 , дали покажувањето на

волтметарот, кој го мери напонот 1u , ќе биде точно? Со други зборови, дали излезниот напон на колото ќе се намали како последица од оптоварувањето со импедансата на волтметарот? Да се разгледа истиот проблем ако на краевите од колото се приклучи дигитален волтметар со влезна импеданса од ΩM1 ! Сл.2.26. Илустрација кон задачата 2.10

1u ou

VMR Ωk47 Ωk10

−u

+u pu

gZ

ou

nu

oZ

pZ

nZ

+

K

5. Опис на дискретните системи во просторот на состојби 81

________________________________________________________________________________________Mоделирање, идентификација и симулација

Воведувањето на поимот за преносна функција го поедноставува проблемот на опишување и изучување на линеарните стационарни динамички системи. Имено, за одредување на поведението на кој и да било линеарен стационарен динамички систем доволно е да се познава неговата преносна функција и соодветните почетни услови. Меѓутоа, методите на трансформација од временското во комплексното подрачје се засновани врз принципот на суперпозиција, што значи дека концептот на преносна функција е наполно неупотреблив кај линеарните нестационарни и нелинеарните динамички системи. Затоа се барани поинакви форми за математичко опишување на динамичките системи. Кон крајот на 50-тите години од минатиот век била воведена идејата за опишување на динамичките системи од произволен −n ти ред преку системи од n диференцијални или диферентни равенки од прв ред и наскоро таа станала стандарден приод и стандарден математички апарат за нивно изучување. Концептот е наречен концепт на просторот на состојби и тој овозможува изучување на динамичките системи преку нивниот модел односно опис со состојбени големини. Суштината на описот на динамичките системи во просторот на состојби е следната: динамички систем од −n ти ред, наместо со една диференцијална или диферентна равенка од −n ти ред (за системи со еден влез и еден излез), се опишува со симултан систем од n диференцијални или диферентни равенки од прв ред. Решенијата на тој систем равенки се нарекуваат состојбени големини на набљудуваниот систем и тие се елементи на тн. вектор на состојба на изучуваниот динамички систем. Значењето на описот на динамичките системи преку векторот на состојба е многу подлабоко од самата погодност при записот. Имено, концептот на состојбени големини, за разлика од другите концепти, дава целосен опис не само на надворешната, туку и на внатрешната динамика на набљудуваниот систем. Покрај тоа, векторот на состојба во секој временски миг во себе ја опфаќа сета “предисторија“ на соодветниот систем. Постојат и други причини за широката примена на концептот на векторот на состојба во изучувањето на динамичките системи:

• Концептот на просторот на состојби подеднакво успешно се применува и кај системите со еден влез и еден излез, и кај повеќевеличинските системи.

• Ваквиот приод може да се примени и на одредени класи нестационарни и/или

нелинеарни системи.

• Некои битни одлики на динамичките системи, какви што се управливоста и набљудливоста, можат лесно да се воочат и едноставно да се формулираат кога моделот на набљудуваниот систем е даден во просторот на состојби.

5. ОПИС НА ДИСКРЕТНИТЕ СИСТЕМИ ВО ПРОСТОРОТ НА СОСТОЈБИ



• Концептот на просторот на состојби, наспроти популарните трансформациони методи, често овозможува синтезата на еден динамички систем целосно да се изврши во временско подрачје, што има голема важност и значење кога проектираниот систем не е линеарен, па, трансформационите методи како, на пример, Лапласовата, Фуриеовата или −Z трансформацијата, не можат директно да се применат, а и постапките за анализа и синтеза на динамичките системи во временско подрачје даваат подобар увид во самата анализа и синтеза.

Заради сите погоре наведени причини, постапките за анализа и синтеза на динамичките системи засновани врз концептот на просторот на состојби наоѓаат голема примена и во изучувањето на дискретните системи. Всушност, најголемиот број современи методи за анализа и синтеза на дискретните динамички системи се искажани токму преку јазикот на просторот на состојби. Методите на просторот на состојби се погодни за анализа и синтеза на дискретните системи и од гледиште на примена на дигиталните сметачи. Покрај тоа, ваквиот приод овозможува единствена постапка за третирање на дискретните системи со различни процеси на дискретизација. 5.1. ВЕКТОРОТ НА СОСТОЈБА И СОСТОЈБЕНИТЕ ГОЛЕМИНИ КАЈ ДИСКРЕТНИТЕ СИСТЕМИ На сл.5.1 со еквивалентна блок-шема, на многу симболичен начин, е претставен еден дискретен динамички систем од произволен −n ти ред со p влезови и q излези, опишан во просторот на состојби. Трите вида променливи прикажани на сликата се влезните, излезните и состојбените големини на набљудуваниот систем. Влезните големини pyyy , ... , , 21 претставуваат надворешни возбуди, кои влијаат врз

динамиката односно движењето на системот во просторот на состојби. Излезните променливи qxxx , ... , , 21 се карактеристични големини на системот, кои можат

директно да се мерат. Конечно, nvvv , ... , , 21 се состојбени големини на системот, кои

ја карактеризираат неговата внатрешна динамика. Кај дискретните динамички системи, влезните, излезните и состојбените големини се функции од дискретната променлива kt :

(5.1) ( ) ( ) ( )kppkk tyytyytyy === , ... , , 2211

(5.2) ( ) ( ) ( )kqqkk txxtxxtxx === , ... , , 2211

(5.3) ( ) ( ) ( )knnkk tvvtvvtvv === , ... , , 2211



Сл.5.1. Симболичен приказ на динамички систем од −n ти ред со p влезови и q

излези во просторот на состојби Заради поголема едноставност во записот, множеството влезни променливи на повеќевеличинскиот дискретен систем (5.1) се претставува со векторот на влезови односно влезниот вектор y :

(5.4) [ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )kTr

kpkkp tytytytyyyyy =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 21Tr

21

кој е вектор со димензија 1×p . Аналогно, множеството излезни променливи (5.2) се

претставува со векторот на излезите или излезниот вектор x :

(5.5) [ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )kTr

kqkkq txtxtxtxxxxx =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 21Tr

21

кој е 1×q димензионален вектор и, конечно, множеството состојбени променливи

(5.3) се претставува со 1×n димензионален вектор на состојба v :

(5.6) [ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )kTr

knkkn tvtvtvtvvvvv =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 21Tr

21

Изборот на состојбените големини ( ) ( )nitv ki ,...,2,1 = за даден дискретен систем не е

еднозначна работа. Тоа значи дека векторот на состојба ( )ktv може да се формира на

повеќе начини, односно еден ист дискретен систем во просторот на состојби може да се опише со повеќе модели. Меѓутоа, сите тие модели имаат една заедничка одлика – бројот елементи на векторот на состојба кај сите нив е еднаков, минимален и одговара на редот на моделираниот дискретен систем.

1y

2y

py

1x

2x

qx

.

.

.

.

.

.

nvvv ,...,, 21



Состојбените големини ( ) ( )nitv ki ,...,2,1 = зависат од почетната состојба на

набљудуваниот дискретен систем зададена преку ( )0tv и влезните вектори

( ) ( ) ( ) ( )1210 , ... , , , −ktvtvtvtv . Притоа, ако е познат векторот на состојба ( )ktv и

влезниот вектор ( )kty во дискретниот миг kt , неговата состојба во мигот 1+kt ќе

биде наполно определена: (5.7) ( ) ( ) ( )[ ]kkkk ttytvftv ,,1 =+

каде што f е векторска функција од векторите ( )ktv и ( )kty :

(5.8) [ ] ( ) ( ) ( )[ ]Trknkk

Trn tyvftyvftyvfffff ,,,...,,,,,,,...,, 2121 ==

На сличен начин, излезот ( )ktx на набљудуваниот дискретен систем во секој миг kt

,...)2,1,0( =k на единствен начин е определен со векторите ( )ktv и ( )kty :

(5.9) ( ) ( ) ( )[ ]kkkk ttytvgtx ,,=

каде што g е векторска функција од ( )ktv и ( )kty :

(5.10) [ ] ( ) ( ) ( )[ ]Trkqkk

Trq tyvgtyvgtyvggggg ,,,...,,,,,,,...,, 2121 ==

Во случај на еквидистантна дискретизација, кој е вообичаен, дискретните мигови kt

се еквидистантни, односно настапуваат по ист временски период T : (5.11) ,...2,1,0 ;0.1 =>==−+ kconstTtt kk

па можат да се претстават на следниот начин: (5.12) ,...2,1,0 ; == kkTtk

Тогаш, изразите (5.7) и (5.9) ќе добијат облик: (5.13) ( )( ) ( ) ( )[ ]kTkTykTvfTkv ,,1 =+

(5.14) ( ) ( ) ( )[ ]kTkTykTvgkTx ,,=

или, поедноставно: (5.15) ( ) ( ) ( )[ ]kkykvfkv ,,1 =+

(5.16) ( ) ( ) ( )[ ]kkykvgkx ,,=



Притоа, векторската равенка (5.13) односно (5.15) претставува систем n диферентни равенки од прв ред и тоа се равенките на векторот на состојба на набљудуваниот дискретен систем. Заедно со равенките на излезите (5.14) односно (5.16), тие го чинат моделот на еден повеќевеличински дискретен систем во просторот на состојби. Кај линеарните повеќевеличински дискретни системи, f и g се линеарни функции

од своите аргументи, па, моделот (5.13)-(5.14) односно моделот (5.15)-(5.16) го добива следниот облик: (5.17) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )kTykTBkTvkTATkv +=+1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kTykTDkTvkTCkTx +=

(5.18) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kykBkvkAkv +=+ 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kykDkvkCkx +=

каде што ( ) ( ) ( ) ( )kTDkTCkTBkTA ,,, се nn × , pn × , nq × и pq × димензионални матрици, соодветно, чии елементи, во општ случај, се функции од дискретната променлива k . На сл.5.2 е прикажана структурната блок-шема на еден линеарен дискретен систем опишан со моделот (5.17) односно моделот (5.18).

Сл.5.2. Структурна блок-шема на моделот (5.17) Аргументот kT во изразите (5.17) се јавува експлицитно само во случаите кога набљудуваниот дискретен систем е нестационарен. Во спротивно, кога се работи за стационарен дискретен систем, што значи дека ниеден од неговите параметри не се менува со времето, kT не се јавува експлицитно во моделот на системот, а матриците

( )kTy

( )kTB

1−z ( )kTC

( )kTA

( )kTD

( )kTx( )kTv



( ) ( ) ( ) ( )kTDkTCkTBkTA ,,, имаат константни елементи. Тогаш моделот (5.17) ќе го има следниот изглед: (5.19) ( )( ) ( ) ( )kTyBkTvATkv +=+1

( ) ( ) ( )kTyDkTvCkTx +=

Конечно, ако се работи за линеарен стационарен дискретен динамички систем со еден влез и еден излез, моделот (5.19) ќе гласи: (5.20) ( )( ) ( ) ( )kTybkTvATkv +=+1 ( ) ( ) ( )kTdykTvckTx += каде што b е вектор со димензија 1×n , c е матрица-редица со димензија n×1 и d е скалар. 5.2. ПОСТАПКИ ЗА ИЗБОР НА СОСТОЈБЕНИТЕ ГОЛЕМИНИ

КАЈ ЛИНЕАРНИТЕ ДИСКРЕТНИ СИСТЕМИ Се набљудуваат линеарни стационарни дискретни динамички системи со еден влез и еден излез, чија надворешна динамика е опишана со следната диферентна равенка од

−n ти ред: (5.21) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++⋅⋅⋅+−+++ − kxakxankxankx n 011 11

( ) ( ) ( ) ( )kybkybnkybnkyb nn 011 11 +++⋅⋅⋅+−+++= −

односно со преносната функција:

(5.22) ( ) ( )( )

( )( ) 01

11

011

1

azazaz

bzbzbzb

za

zb

zY

zXzG

nn

n

nn

nn

++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=== −

−

−−

каде што ( ) ( ) kyZzY = и ( ) ( ) kxZzX = се −Z слики на влезот и излезот на набљудуваниот дискретен систем. Секогаш кога полиномите во броителот и именителот од преносната функција (5.22) се со ист степен, најнапред се врши нивно еднократно делење, при што се добива количник од делењето и остаток:



(5.23) ( ) ( )zGdazazaz

bzbzbbzG

nn

n

nn

n~

~~~

011

1

011

1 +=++⋅⋅⋅++

++⋅⋅⋅++= −−

−−

каде што ( )zG~

е дробно-рационална функција која има ист именител како и

преносната функција ( )zG , но броител со барем за еден понизок степен. Притоа:

(5.24) 1,...,2,1,0 ;~ −=−= niabbb inii

5.2.1. МОДЕЛ СО РАЗГРАНЕТ ВЛЕЗ Нека, под претпоставка, nzzz ,...,, 21 се полови на функцијата ( )zG , следствено и на

функцијата ( )zG~

, кои се реални и прости. Преку своите полови, функцијата ( )zG~

секогаш може да се претстави во следниот факторизиран облик:

(5.25) ( ) ( )( ) ( )n

nn

nn

n

nn

zzzzzz

bzbzb

azazaz

bzbzbzG

−⋅⋅⋅−−++⋅⋅⋅+=

++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=

−−

−−

−−

21

011

1

011

1

011

1~~~~~~

~

и да се развие во парцијални дропки:

(5.26) ( ) ( )( ) ( ) n

n

n

nn

zz

c

zz

c

zz

c

zzzzzz

bzbzbzG

−+⋅⋅⋅+

−+

−=

−⋅⋅⋅−−++⋅⋅⋅+=

−−

2

2

1

1

21

011

1~~~

~

каде што:

(5.27) ( ) ( )[ ] nizGzzc izz

ii

,...,2,1 ;~

lim =−=→

се коефициенти на тој развој. Тогаш, −Z сликата ( )zX на моделираниот дискретен систем, врз основа на (5.23) и (5.26), може да се претстави на следниот начин:

(5.28) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zYzz

czY

zz

czY

zz

czdYzX

n

n

−+⋅⋅⋅+

−+

−+=

2

2

1

1

Состојбените големини ( ) ( ) ( )kvvkvvkvv nn === , ... , , 2211 се одбираат така што за

нивните −Z слики важи:

(5.29) ( ) ( ) nizYzz

zVi

i ,...,2,1 ;1 =−

=



Тогаш, со ослободување од именителите на десната страна и мало преуредување, од (5.29) се добиваат диферентните равенки на векторот на состојба на моделираниот систем претставени во комплексното подрачје: (5.30) ( ) ( ) ( ) nizYzVzzzV iii ,...,2,1 ; =+=

Равенката на излезот се добива со воведување на смените (5.29) во (5.28): (5.31) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zVczVczVczdYzX nn+⋅⋅⋅+++= 2211

Моделот (5.30)-(5.31) во просторот на оригиналите гласи: (5.32) ( ) ( ) ( ) nikykvzkv iii ,...,2,1 ;1 =+=+

(5.33) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kvckvckvckdykx nn+⋅⋅⋅+++= 2211

или, во матричен облик:

(5.34) ( ) ( ) ( )kykv

z

z

z

kv

n

⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

=+

1

1

1

00

00

00

1 2

1

(5.35) ( ) [ ] ( ) ( )kybkvccckx nn +⋅⋅⋅= 21

Него му одговара структурната блок-шема од сл.5.3, врз основа на чиј изглед го добил и своето име модел со разгранет влез. Од (5.34) може да се забележи дека, кај моделот со разгранет влез, A е дијагонална матрица, чии елементи се половите на набљудуваниот систем. Недостаток на моделот е што претпоставува познавање на половите од моделираниот систем, кои мора да бидат прости и реални.



Сл.5.3. Структурна блок-шема на моделот со разгранет влез за еден дискретен систем Пример 5.1. Со помош на моделот со разгранет влез, да се опише во просторот на состојби дискретниот систем со еден влез ( )ky и еден излез ( )kx со преносна функција:

(5.36) ( )65

1222

2

++++=

zz

zzzG

Решение: Со делење на полиномите во броителот и именителот од преносната функција (5.36) се добива:

(5.37) ( ) ( )zGzz

zzG

~2

65

1182

2−=

+++−=

Дробнорационалната функција ( )zG~

има прости полови во 2−=z и 3−=z , па нејзиниот развој во парцијални дропки е:

( )ky

1

1

zz −

nzz −1

nzz −1

.

.

.

.

1c

2c

nc

( )kx

( )kvn

( )kv2

( )kv1

nb



(5.38) ( )3

13

2

5

65

118~2 +

++

−=++

+=zzzz

zzG

Оттука, за −Z сликата ( )zX на моделираниот дискретен систем се добива:

(5.39) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) =

+−

++=−== zY

zzzYzGzYzGzX

3

13

2

52

~2

( ) ( ) ( )zYz

zYz

zY3

132

52

+−

++=

Состојбените големини ( )kv1 и ( )kv2 се одбираат така што за нивните −Z слики важи:

(5.40) ( ) ( )zYz

zV2

11 +

=

(5.41) ( ) ( )zYz

zV3

12 +

=

па, со воведување на смените (5.40)-(5.41) в0 (5.39), за излезот ( )zX се добива: (5.42) ( ) ( ) ( ) ( )zVzVzYzX 21 1352 −+= Равенките (5.40)-(5.42) го претставуваат бараниот модел во просторот на состојби на набљудуваниот дискретен систем: (5.43) ( ) ( ) ( )zYzVzzV +−= 11 2 (5.44) ( ) ( ) ( )zYzVzzV +−= 22 3 (5.45) ( ) ( ) ( ) ( )zVzVzYzX 21 1352 −+= кој во просторот на оригиналите гласи: (5.46) ( ) ( ) ( )kykvkv +−=+ 11 21 (5.47) ( ) ( ) ( )kykvkv +−=+ 22 31 (5.48) ( ) ( ) ( ) ( )kykvkvkx 2135 21 +−= Соодветната структурна блок-шема е прикажана на сл.5.4.



Сл.5.4. Структурна блок-шема на дискретниот систем од примерот 5.1 Елементите на моделот (5.46)-(5.48) се:

(5.49)

−−

=30

02A ,

=

1

1b , [ ]135 −=c , 2=d

5.2.2. ДИРЕКТНА МЕТОДА Многу често нулите и половите на преносната функција од набљудуваниот дискретен систем не се познати, ниту можат едноставно да се определат. Исто така, тие во никој случај не мора да бидат реални. Тогаш, за избор на состојбените големини може да се примени тн. директна метода, која се состои во следното. Најнапред полиномите во броителот и именителот од преносната функција (5.22) се делат со најголемиот степен од комплексната променлива z :

(5.50) ( )nn

n

nnnn

nn

n

nn

nn

zazaza

zbzbzbb

azazaz

bzbzbzbzG −−−

−

−+−−−

−−

−−

++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=

++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=

01

11

1

01

11

1

011

1

011

1

1

Потоа се воведува помошна променлива ( )kw , таква што за нејзината −Z слика важи:

(5.51) ( ) ( )zYzazaza

zWnn

n−−−

− ++⋅⋅⋅++=

01

11

11

1

( )ky

2

1

+z

3

1

+z

5

13−

( )kx ( )kv2

( )kv1

2



Состојбените големини на набљудуваниот дискретен систем се одбираат преку помошната променлива ( )kw и нејзините дискретни вредности:

(5.52) ( ) ( )zWzzV 11

−=

( ) ( )zWzzV 22

−= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

( ) ( )zWzzV nn

−=

Тогаш, од (5.52) непосредно следува: (5.53) ( ) ( )zWzzV =1

( ) ( ) ( )zVzWzzzV 11

2 == − _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

( ) ( ) ( )zVzWzzzV nn

n 11

−+− ==

или, во просторот на оригиналите: (5.54) ( ) ( )kwkv =+ 11 ( ) ( )kvkv 12 1 =+ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( ) ( )kvkv nn 11 −=+

Равенката на излезот:

(5.55) ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅⋅⋅++

++⋅⋅⋅++== −−−−

−+−−− zY

zazaza

zbzbzbbzYzGzX

nnn

nnnn

01

11

1

01

11

1

1

( ) ( )zWzbzbzbb nnnn

−+−−− ++⋅⋅⋅++= 0

11

11

со воведување на смените (5.52) станува:

(5.56) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅⋅⋅++= −+−−− zWzbzWzbzWzbzWbzX nn

nn 01

11

1

( ) ( ) ( ) ( )zVbzVbzVbzWb nnnn 01111 ++⋅⋅⋅++= −−



или, во просторот на оригиналите: (5.57) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kvbkvbkvbkwbkx nnnn 01111 ++⋅⋅⋅++= −−

Останува уште да се определи ( )zW од равенката (5.51):

(5.58) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒=++⋅⋅⋅++ −−−− zYzWzazWzazWzazW nn

n 01

11

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒+−−⋅⋅⋅−−= −−−− zYzWzazWzazWzazW nn

n 01

11

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zYzVazVazVazW nnn +−−⋅⋅⋅−−= −− 01111

па моделот (5.54), (5.57) да се доведе на конечен облик: (5.59) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kykvakvakvakv nnn +−−⋅⋅⋅−−=+ −− 011111 1

( ) ( )kvkv 12 1 =+ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( ) ( )kvkv nn 11 −=+

(5.60) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅⋅⋅++= −− kvbkvbkvbkwbkx nnnn 01111

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kybkvbabbkvabbkvabb nnnnnnnn +−+−+⋅⋅⋅+−= −−− 000111111

Неговите елементи се:

(5.61)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−⋅⋅⋅−−

=

−−

01000

00000

00010

0000101221 aaaaa

A

nn

,

⋅⋅⋅=

0

0

1

b ,

[ ]01221~~~~~bbbbbc nn ⋅⋅⋅= −− , nbd =

а соодветната структурна блок-шема е прикажана на сл.5.5.



Сл.5.5. Структурна блок-шема на моделот (5.59)-(5.60) Пример 5.2. Со помош на директната метода, да се опише во просторот на состојби дискретниот систем од примерот 5.1. Решение: За −Z сликата ( )zW на помошната променлива ( )kw во конкретниот случај се добива:

(5.62) ( ) ( )zYzz

zW21 651

1−− ++

=

од каде што непосредно следува:

(5.63) ( ) ( ) ( ) ( )zYzWzzWzzW +−−= −− 21 65 Состојбените големини на моделираниот дискретен систем се одбираат во согласност со (5.53):

(5.64) ( ) ( )zWzzV 11

−=

( ) ( )zWzzV 22

−=

( )kvn ( )kv2 ( )kv1( )ky

z

1

z

1 z

1

1~

−nb

0a−

( )kx

1−− na

2−− na

2~

−nb 0~b

nb



па со нивно воведување во (5.63) се добива: (5.65) ( ) ( ) ( ) ( )zYzVzVzW ++−= 21 65 Бараниот модел на дискретниот систем од примерот 5.1 во просторот на состојби, добиен со директната метода, во комплексното подрачје ќе биде: (5.66) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zYzVzVzWzzV +−−== 211 65

( ) ( ) ( )zVzWzzzV 11

2 == − (5.67) ( ) ( ) ( ) ( )zYzVzVzX 2118 21 +−−= или, во просторот на оригиналите: (5.68) ( ) ( ) ( ) ( )kykvkvkv +−−=+ 211 651 ( ) ( )kvkv 12 1 =+ (5.69) ( ) ( ) ( ) ( )kykvkvkx 2118 21 +−−= Неговите елементи се:

(5.70)

−−=

01

65A ,

=

0

1b ,

[ ]118 −−=c , 2=d а соодветната структурна блок-шема е прикажана на сл.5.6.

Сл.5.6. Структурна блок-шема на моделот (5.68)-(5.69)

( )kv2 ( )kv1( )ky

z

1

z

1

8−

( )kx

6−

5−

11−

2



5.2.3. МОДЕЛ СО РАЗГРАНЕТ ВЛЕЗ И ИЗЛЕЗ Моделот со разгранет влез и излез е уште еден начин за опис на линеарните дискретни системи во просторот на состојби, во случај кога нулите и половите на дискретната преносна функција (5.22) не се познати и/или не можат да се определат. Називот го добил по изгледот на соодветната структурна блок-шема. Од (5.50) непосредно следува:

(5.71) ( ) ( ) =++⋅⋅⋅++ −−−− zXzazaza nn

n 01

11

11

( ) ( )zYzbzbzbb nnnn

−+−−− ++⋅⋅⋅++= 0

11

11

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]zXazYbzzXazYbzzYbzX nnnn 0011

1 −+⋅⋅⋅+−+= −−−

−

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] +⋅⋅⋅+−+−+= −−−

−−− zXazYbzzXazYbzzYbzX nnnnn 22

111

1

( ) ( )[ ] ⋅⋅⋅−+ − zXazYbz 001

па, состојбените големини ( ) ( ) ( )kvvkvvkvv nn === , ... , , 2211 се одбираат така што за

нивните −Z слики важи:

(5.72) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) zVzXazYbzzV nn 2111

1 +−= −−−

( ) ( ) ( )[ ] ( ) zVzXazYbzzV nn 3221

2 +−= −−−

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( ) ( ) ( )[ ] ( ) zVzXazYbzzV nn +−= −− 11

11

( ) ( ) ( )[ ] zXazYbzzVn 001 −= −

Со мало преуредување, (5.72) се трансформираат во облик: (5.72) ( ) ( ) ( )[ ] ( )zVzXazYbzzV nn 2111 +−= −−

( ) ( ) ( )[ ] ( )zVzXazYbzzV nn 3222 +−= −−

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( )[ ] ( )zVzXazYbzzV nn +−=− 111

( ) ( ) ( )[ ]zXazYbzzVn 00 −=



од каде се гледа дека станува збор за равенките на векторот на состојба, прикажани во −z комплексното подрачје. Равенката на излезот е: (5.73) ( ) ( ) ( )zVzYbzX n 1+=

Со нејзино воведување во (5.72) и инверзна −Z трансформација, се добива следниот модел во просторот на оригиналите: (5.74) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kyabbkvkvakv nnnn 112111 1 −−− −++−=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kyabbkvkvakv nnnn 223122 1 −−− −++−=+

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kyabbkvkvakv nnn 11111 1 −++−=+−

( ) ( ) ( ) ( )kyabbkvakv nn 00101 −+−=+

( ) ( ) ( )kvkybkx n 1+=

со елементи:

(5.75)

⋅−⋅−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−

=

−

−

0000

1000

00000

0010

0001

0

1

2

1

a

a

a

a

A

n

n

,

⋅⋅⋅= −

−

0

2

1

~

~

~

b

b

b

b n

n

,

[ ]00001 ⋅⋅⋅=c , nbd =

Соодветната структурна блок-шема е прикажана на сл.5.7.



Сл.5.7. Структурна блок-шема на моделот (5.74). Пример 5.3. Со помош на методот разгранет влез и излез, да се опише во просторот на состојби дискретниот систем од примерот 5.1. Решение: Ако −Z сликата ( )zX на одзивот од набљудуваниот дискретен систем се претстави во облик:

(5.76) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++−−= −−−− zYzzYzzYzXzzXzzX 2121 2265

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =−+−+= −− zXzYzzXzYzzY 6522 21

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] zXzYzzXzYzzY 652 2 11 −+−+= −− станува очигледно како можат да се одберат состојбените големини на моделираниот дискретен систем. Нека:

( )kx

( )kvn

( )kv2

( )kv1

( )ky1−z

1−z

1−z

1~

−nb

0a−

1−− na

2−− na

2~

−nb

0~b

nb

.

.

.

.

.

.



(5.77) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) zVzXzYzzV 21

1 52 +−= −

( ) ( ) ( )[ ] zXzYzzV 6 12 −= −

Тогаш: (5.78) ( ) ( ) ( )zVzYzX 12 += па бараниот модел ќе биде: (5.79) ( ) ( ) ( ) ( )kykvkxkv 2 51 21 ++−=+ ( ) ( ) ( )kykxkv +−=+ 612 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( ) ( ) ( )kvkykx 12 += Дефинитивниот облик на (5.79) се добива по елиминирањето на ( )kx од равенките на векторот на состојба: (5.80) ( ) ( ) ( ) ( )kykvkvkv 8 51 211 −+−=+ ( ) ( ) ( )kykvkv 1161 12 −−=+ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( ) ( ) ( )kvkykx 12 += Неговите елементи се:

(5.81)

−−

=06

15A ,

−−

=11

8b ,

[ ]01=c , 2=d а соодветната структурна блок-шема е прикажана на сл.5.8.



Сл.5.8. Структурна блок-шема на моделот (5.80) 5.2.4. ИТЕРАТИВНА ПОСТАПКА - СЕРИСКИ МОДЕЛ И оваа постапка за избор на состојбените големини на еден линеарен стационарен дискретен динамички систем, како и останатите, поаѓа од неговата преносна функција, која во најопшт случај има облик (5.23). Постапката има ограничување во примената, затоа што бара познавање и на половите и на нулите од дробно

рационалната функција ( )zG~

во (5.23). Уште повеќе, тие нули и полови мора да бидат реални. Ако −Z сликата ( )zX на одзивот од набљудуваниот дискретен систем (5.23) се претстави во облик:

(5.81) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) =+== zYzGbzYzGzX n~

( ) ( ) =++⋅⋅⋅++

++⋅⋅⋅++= −−

−− zY

azazaz

bzbzbzYb

nn

n

nn

n01

11

011

1~~~

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) =

−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−+= −−

n

nnn zzzzzz

wzwzwzbzYzYb

21

1211~

( )kx

( )kv2

( )kv1( )ky

1−z

1−z 8−

5−

6−

11−

2



( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

−−⋅⋅⋅

−−

−+= −−

n

nnn zz

wz

zz

wz

zz

bzYzYb 1

2

1

1

1~

каде што 121 ,...,, −nwww се нулите, а nwzz ,...,, 21 половите на дробно рационалната

функција ( )zG~

, може да се уочи како се одбираат состојбените големини кај серискиот модел:

(5.82) ( ) ( ) ( )1

11

~

zz

bzYzV n

−= −

( ) ( ) ( )( )2

112 zz

wzzVzV

−−=

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

( ) ( ) ( )( )n

nnn zz

wzzVzV

−−= −

−1

1

Со преуредување на равенките (5.82) се добива:

(5.83) ( ) ( ) ( )zYbzVzz n 111~

−=−

( ) ( ) ( ) ( )zVwzzVzz 1122 −=− _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( ) ( ) ( ) ( )zVwzzVzz nnnn 11 −−−=−

односно:

(5.84) ( ) ( ) ( )zYbzVzzzV n 1111~

−+=

( ) ( ) ( ) ( )zVwzzVzzzV 11222 −+= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( ) ( ) ( ) ( )zVwzzVzzzV nnnnn 11 −−−+=

Равенките (5.84) се диферентни равенки од прв ред, претставени во −z комплексното подрачје, чии решенија се состојбените големини на моделираниот дискретен систем. Следствено, тоа се равенките на векторот на состојба. Тие мора да бидат функции само од тековните вредности на состојбените големини и влезот од набљудуваниот дискретен систем. Затоа членовите ( ) ( )1,...,2,1 −= nizzVi во (5.84) се елиминираат

со воведување на секоја претходна равенка од (5.84) во следната. При тоа се добива:



(5.85) ( ) ( ) ( )zYbzVzzzV n 1111~

−+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zYbzVwzzVzzzV n 1111222~

−+−+=

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zYbzVwzzVwzzVzzzV nnnnnnn 1111111~

−−−− +−+⋅⋅⋅+−+=

Равенката на излезот на набљудуваниот дискретен систем, по воведените смени, е: (5.86) ( ) ( ) ( )zVzYbzX nn +=

На равенките (5.85) во просторот на оригиналите им одговараат равенките:

(5.87) ( ) ( ) ( )kybkvzkv n 1111~

1 −+=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kybkvwzkvzkv n 1111222~

1 −+−+=+

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kybkvwzkvwzkvzkv nnnnnnn 1111111~

1 −−−− +−+⋅⋅⋅+−+=+

кои заедно со равенката на излезот: (5.88) ( ) ( ) ( )kvkybkx nn +=

го чинат серискиот модел на дискретниот систем (5.23). Негови елементи се:

(5.89)

−⋅−−−⋅⋅⋅⋅⋅

⋅−−⋅−⋅

=

nn wzwzwzwz

zwzwz

zwz

z

A

332211

32211

211

1

0

00

000

,

⋅⋅⋅= −

1

1

1

1

~1nbb ,

[ ]1000 ⋅⋅⋅=c , nbd =

Називот на моделот произлегува од изгледот на соодветната структурна блок-шема, која е прикажана на сл.5.9.



Сл.5.9. Структурна блок-шема на серискиот модел во просторот на состојби на еден

дискретен систем Пример 5.4. Да се состави сериски модел во просторот на состојби на дискретниот систем од примерот 5.1. Решение: Со оглед на тоа дека полиномите во броителот и именителот од преносната функција на моделираниот дискретен систем (5.36) се со ист степен, најнапред се врши нивно еднократно делење, при што се добива (5.37).

Дробнорационалната функција ( )zG~

во (5.37) има два прости реални полови во

21 −=z и 32 −=z и една проста реална нула во 8

111 −=w , па може да се запише во

следниот факторизиран облик:

(5.89) ( ) ( )( )32

118~++

+=zz

zzG

Тогаш, за −Z сликата ( )zX на одзивот ( )kx од набљудуваниот дискретен систем (5.23) се добива:

(5.90) ( ) ( ) ( )( ) ( )zYzz

zzYzX

328

118

2++

+−=

Состојбените големини ( )kv1 и ( )kv2 се одбираат така што нивните −Z слики се:

(5.91) ( ) ( ) ( )zYz

zV2

81 +

=

( )zVn ( )zX ( )zVn 1−( )zV2 ( )zV1 ( )zY

1

1~

zz

bn

−−

2

1zz

wz

−−

n

n

zz

wz

−− −1

nb



( ) ( ) ( )zVz

zzV 12 3

8

11

+

+=

Равенките на векторот на состојба на набљудуваниот дискретен систем се добиваат со преуредување на равенките (5.91) и елиминирање на членовите ( ) ( )2,1 =izzVi од

нив:

(5.92)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⇒

+=+

=+

zVzzVz

zYzVz

12

1

8

113

82

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⇒

++−=

+−=

zVzzVzzV

zYzVzzV

122

11

8

113

82

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+−−=

+−=

zYzVzVzzV

zYzVzzV

88

53

82

122

11

Следствено, бараниот модел во просторот на состојби ќе биде: (5.93) ( ) ( ) ( )zYzVzzV 82 11 +−=

( ) ( ) ( ) ( )zYzVzVzzV 88

53 122 +−−=

( ) ( ) ( )zVzYzX 22 −= односно: (5.94) ( ) ( ) ( )kykvkv 821 11 +−=+

( ) ( ) ( ) ( )kykvkvkv 88

531 122 +−−=+

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( ) ( ) ( )kvkykx 22 −=



Елементите на моделот (5.94) се:

(5.95)

−−−

= 38

502

A ,

=

8

8b ,

[ ]10 −=c , 2=d а неговата структурна блок-шема е прикажана на сл.5.10.

Сл.5.10. Структурна блок-шема на серискиот модел во просторот на состојби на

дискретниот систем (5.36) ПРАШАЊА Состојбените големини ( ) ( )nitv ki ,...,2,1 = не зависат од почетната состојба на

набљудуваниот дискретен систем зададена преку ( )0tv . Т П

Состојбените големини ( ) ( )nitv ki ,...,2,1 = зависат исклучиво од влезните вектори

( ) ( ) ( ) ( )1210 , ... , , , −ktvtvtvtv . Т П

_

( )zX ( )zV2 ( )zV1 ( )zY

2

8

+z

38

11

+

+

z

z

2

Лекција 6. Дискретен модел во просторот на состојби на еден континуален систем 81


6. ДИСКРЕТЕН МОДЕЛ ВО ПРОСТОРОТ НА СОСТОЈБИ НА ЕДЕН КОНТИНУАЛЕН СИСТЕМ

Движењето на континуалните системи во просторот на состојби може да се набљудува и преку нивните дискретни модели, односно само во дискретните временски мигови ( ),...2,1,0=k tk . Ваквиот приод е од посебен интерес од

гледиштето на примена на нумеричките методи во анализата на динамичките системи и нивната симулација со помош на дигитални сметачки машини, а е заснован врз дискретизација на елементите на векторот на состојба, влезовите и излезите на набљудуваниот континуален систем. Притоа, периодата на дискретизација T мора да биде доволно мала за добиените резултати со задоволителна точност да го апроксимираат реалното континуално решение. Во општ случај, дискретизацијата треба да се врши така што, во текот на една периода на дискретизација T , влезните сигнали значително да не се изменат, односно да можат да се сметаат за приближно константни. Во продолжение е изложена постапка за добивање на диферентните равенки на векторот на состојба за еден линеарен стационарен повеќевеличински континуален систем со концентрирани параметри врз основа на неговите диференцијални равенки. Со нумеричко решавање на тие диферентни равенки, потоа, можат да се определат вредностите на сите состојбени големини на набљудуваниот континуален систем во дискретните временски мигови ( ),...2,1,0=k tk .

Нека набљудуваниот линеарен континуален динамички систем, чиј дискретен модел во просторот на состојби треба да се определи, е опишан со системот равенки: (6.1) ( ) ( ) ( )tyBtvAtv +=′

(6.2) ( ) ( ) ( )tyDtvCtx +=

Решението на матричната равенка на векторот на состојба (6.1) е:

(6.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫−− +=+=

tAtAtA

ttAtA dyBeevedyBevetv

00

00 ττττ ττ

Оттука, за kTtt k == и TkTtt k +== +1 , непосредно се добива:

(6.4) ( ) ( ) ( ) ( )∫−+=

kTkTAkTA dyBevekTv

0

0 τττ



(6.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+

−++ +=+TkT

TkTATkA dyBeveTkTv0

1 0 τττ

Ако равенката (6.4) се помножи со TAe и потоа се одземе од равенката (6.5), ќе се добие:

(6.6) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫

+−+=−+

Tk

kT

TkTATA dyBekTveTkTv1

τττ

Со воведување на смената tTkT −+=τ , под претпоставка дека влезовите на набљудуваниот континуален систем се константни во текот на секоја периода на дискретизација T , односно: (6.7) ( ) ( ) ,...2,1,0;, =+<≤= k TkTtkT kTyty

равенката (6.6) добива облик:

(6.8) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ =−=−+T

tA

T

tATA dtkTyBedtkTyBekTveTkTv0

0

односно:

(6.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kTyBkTvΑkTydtBekTveTkTvT

tATA ~~

0

+=

+=+ ∫

Матриците A~

и B~

, кои се пресметуваат според формулите:

(6.10) TAeΑ =~

(6.11) ∫=T

tA dtBeB0

~

заедно со матриците CC =~ и DD =~

го определуваат дискретниот модел во просторот на состојби на системот (6.1) – (6.2):

(6.12) ( ) ( ) ( )kTyBkTvΑTkTv~~ +=+

(6.13) ( ) ( ) ( )kTyDkTvCkTx~~ +=



Пример 6.1. Да се определи дискретниот модел во просторот на состојби на континуалниот систем од втор ред, чии диференцијални равенки на векторот на состојба се:

(6.14) ( ) ( ) ( )tytvtv

+

−=′

01

10

20

10

Решение: Фундаменталната матрица ( )tf на набљудуваниот континуален систем е:

(6.15) ( ) ( )

−==

−

−

t

ttA

e

eetf

2

2

0

12

11

па, за A~

и B~

, се добива:

(6.16) ( ) ( )

−===

−

−

T

TTA

e

eTfeΑ

2

2

0

121

1~

(6.17) ( ) ( )

( )

−

−−=

⋅

−==

−

−

−

−

∫∫01

2

1

12

1

201

10

0

12

11~

2

2

0 2

2

0T

TT

t

tTtA

e

TeT

dte

edtBeB

Оттука, диферентните равенки на векторот на состојба за набљудуваниот континуален систем ќе бидат:

(6.18) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )kTye

TeT

kTve

eTkTv

T

T

T

T

−

−−+

−=+

−

−

−

−

012

1

12

1

2

0

121

1

2

2

2

2

За .1sT = , на пример, равенките (6.18) стануваат:

(6.19) ( ) ( ) ( )kTykTvTkTv

+

=+0432.0

1284.0

135.00

432.01

Лекција 7. Постапки за дигитална симулација на динамички системи 111

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Моделирање, идентификација и симулација

ДЕЛ II. СИМУЛАЦИЈА НА ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ

1. ПОСТАПКИ ЗА МОДЕЛИРАЊЕ И ДИГИТАЛНА СИМУЛАЦИЈА

НА ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ ОД ПРВ РЕД

Во продолжение ќе стане збор за една широка класа модели на динамичките системи,

кои се добиваат со примена на постапките за нумеричко решавање диференцијални

равенки и овозможуваат нивна симулација на дигитален пресметувач. Математичкиот

модел на еден континуален динамички систем од произволен ред n ја дефинира

врската помеѓу влезот и излезот на тој систем и, по правило, за систем со еден влез и

еден излез претставува диференцијална равенка од n -ти ред, додека за систем со

повеќе влезови и излези претставува систем диференцијални равенки од ред in .

Притоа, бројот на равенките во моделот на повеќевеличинскиот систем од ред n мора

да одговара на бројот на неговите излези m . Решението на ваквите математички

модели наполно е определено со познатата функција која го претставува влезот на

системот и соодветните почетни услови, кои ги има на број n ,

m

iinn

1

.

Друг еквивалентен начин на претставување на динамичките системи е преку нивните

состојбени големини. Изборот на состојбените големини за еден систем не е

еднозначна задача. Затоа нивниот модел во просторот на состојби не е единствен – за

еден ист систем можат да се состават повеќе модели во просторот на состојби, кои ќе

зависат од изборот на состојбените големини. Меѓутоа, секој од тие модели на

единствен начин го претставува моделираниот систем и бројот на состојбените

големини за систем од n -ти ред секогаш е n .

Пример 1.1. Даден е системот претставен со следните диференцијални равенки:

(1.1) ttxtytxtytx cos2 2

(1.2) 4 tytxty

со почетни услови:

(1.3) 10,10,20 yxx

Системот е од трет ред и во просторот на состојби може да се опише со 3 состојбени

големини:

(1.4) tytvtxtvtxtv 321 ,,

112 Лекција 7. Постапки за дигитална симулација на динамички системи

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


Со воведување на смените (1.4) во системот равенки (1.1)-(1.2) се добива:

(1.5) ttvtvtvtvtv cos2 132232

(1.6) 4313 tvtvtv

па еден модел на набљудуваниот динамички систем во просторот на состојби е

одреден со равенките на векторот на состојби:

(1.7) tvtv 21

ttvtvtvtvtv cos2 132232

4313 tvtvtv

и соодветните почетни услови:

(1.8) 10,10,20 321 vvv

На овој начин можат да се опишат голем број динамички системи.

1.1. ОЈЛЕРОВА ПОСТАПКА ЗА НУМЕРИЧКО РЕШАВАЊЕ

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ

Ојлеровата постапка е една од наједноставните нумерички постапки за интеграција на

поведението на континуални динамички системи со модел од обликот:

(1.9) ttytxftx ,,

каде што ty е вектор на влезовите на набљудуваниот систем, додека tx е неговиот

излезен вектор.

Моделот (1.9) важи за произволен континуален динамички систем, додека во случајот

на линеарен континуален динамички систем тој ќе има облик:

(1.10) tyBtxAtx

Во продолжение Ојлеровата постапка ќе биде изложена најнапред за нумеричко

решавање диференцијални равенки од прв ред од обликот:

(1.11) ttytxftx ,,


__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


каде што ty , под претпоставка, е позната функција.

Од математиката е познато дека првиот извод на функцијата tx може да се замени со

апроксимацијата:

(1.12)

T

txTtxtx

па со воведување на (1.12) во (1.11) се добива:

(1.13)

ttytxfT

txTtxtx ,,

Следствено, диференцијалната равенка (1.11) може да се замени со следната

диферентна равенка:

(1.14) kkkkk ttytxTftxtx ,,1

каде што kt се дискретни временски мигови ,...2,1,0k , а T е соодветен чекор на

интеграција односно период на дискретизација. Во случајот кога точките kt се

еквидистантни, .1 constTtt kk , моделот (1.14) може да се запише на следниот

начин:

(1.15) kTkTykTxTfkTxTkTx ,,

Равенката (1.15) може многу лесно да се испрограмира на дигитален пресметувач

според следниот алгоритам:

(1.16) kTkTykTxfkTx ,,

,...2,1,0; kkTxTkTxTkTx

односно:

(1.17) kkkk tyxfx ,,

,...2,1,0;1 kxTxx kkk

Геометриската интерпретација на Ојлеровата постапка е прикажана на сл.1.1, од каде

лесно може да се забележи дека со Ојлеровата постапка оригиналната интегрална

крива tx , која го претставува точното решение на диференцијалната равенка (1.11),


___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


на секој сегмент на интеграција 1, kk tt се заменува (апроксимира) со права, која е

тангента на кривата tx во почетната точка kt од сегментот 1, kk tt .

Сл.1.1. Графичка интерпретација на постапката на Ојлер

Ојлеровата постапка се одликува со голема едноставност во примената, применлива е

подеднакво за моделирање и на линеарни и на нелинеарни системи, и на стационарни

и на нестационарни системи и претставува теоретска основа за многу други нумерички

и графички постапки за решавање диференцијални равенки. Главен недостаток на

Ојлеровата постапка е нејзината мала точност.

Пример 1.2. Даден е системот:

(1.18) 31,,2 xttxfttxtx

Точното решение на диференцијалната равенка (1.18) е:

(1.19) 235

6

ttx

Нејзиното приближно нумеричко решение со чекор 05.0T може да се добие со

помош на Ојлеровата постапка според следниот алгоритам:

(1.20) 10 t

30 tx

kx

1kx

T

kt 1kt t

kx

ktxtx ,


__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


Ttt kk 1

kkkkkkk ttxTtxttxTftxtx 2

1 , , ,....3,2,1,0k

Резултатите добиени според (1.19) и (1.20) се дадени во Tаблицата 1.1.

Таблица 1.1. Точното и приближно решение според Ојлер на моделот (1.18)

k kt 1kt kk txx tx

0 1.00 1.05 3.00 3.00

1 1.05 1.10 3.45 3.55

2 1.10 1.15 4.07 4.38

3 1.15 1.20 4.99 5.81

4 1.20 1.25 6.42 8.82

5 1.25 1.30 8.89 19.20

6 1.30 1.35 13.83 -85.71

Споредбата помеѓу точното и приближното нумеричко решение на равенката (1.18)

покажува дека со зголемувањето на бројот чекори на интеграција приближното

решение добиено со Ојлеровата постапка се` повеќе и повеќе отстапува од точното.

Затоа во пракса, при примената на Ојлеровата постапка пресметките не треба многу да

се оддалечуваат од почетното решение. Големината на грешката исто така зависи и од

соодветниот избор на чекорот на интеграција T .

Од изразот (1.19) се гледа дека точното решение на равенката (1.18) има сингуларитет

во точката 29.13

5t . Ојлеровата постапка дава многу незадоволителни (неточни)

резултати во околина на оваа точка, што лесно може да се воочи и од Таблицата 1.1.

Ако се продолжи со Ојлеровата постапка и понатаму, се добиваат бесмислени

резултати.

Пример 1.3. Со помош на Ојлеровата постапка да се определи слободната компонента

на одзивот tx на објектот на управување, чија диференцијална равенка на динамичко

поведение гласи:

(1.21) 20; 0 xxtkytxtxtxTs

Нека, под претпоставка, sTs 1 и 11 sk .

Решение: Равенката (1.21) најнапред се доведува на облик:

(1.22)

20; 0

xx

txT

txtkytx

s


___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


Оттука:

(1.23)

20;,, 0

xx

txT

txtkyttytxf

s

Чекорот на интеграција Т зависи од временските константи на моделираниот систем.

Вообичаено Т се одбира во интервалот min3.01.0 T , кадешто minT е најмалата

временска константа на соодветниот систем. Следствено, во конкретниот случај може

да се усвои sT 2.0 .

Со воведување на дадените вредности за параметрите ,sT и k во (1.23) и имајќи на ум

дека за автономен режим tty 0 , за прираснувањето kx се добива:

(1.24) k

k

ks

kkkkkk

x

x

xT

xkyTtyxTfx

12.0,,

а секоја следна вредност на бараното решение tx во миговите kt се добива според

релацијата:

(1.25) ,...2,1,0;1 kxxx kkk

Резултатите од горните пресметки се дадени во Таблица 1.2.

Таблица 1.2. Приближно решение на диференцијалната равенка (1.22) според

постапката на Ојлер

k kt kx kx

0 0.0 2.000 -0.133

1 0.2 1.867 -0.130

2 0.4 1.736 -0.127

3 0.6 1.609 -0.123

4 0.8 1.486 -0.120

5 1.0 1.366 -0.115

6 1.2 1.251 -0.111

7 1.4 1.140 -0.107

8 1.6 1.033 -0.102

9 1.8 0.931 -0.096

10 2.0 0.835 -0.091

Постапката на Ојлер лесно може да се обопшти и за решавање диференцијални

равенки од повисок ред, ако се има на ум дека диференцијална равенка од произволен

ред n секогаш може да се претстави со еквивалентен систем од n диференцијални

равенки од прв ред, каков што е системот (1.9). Тогаш:


__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


(1.26)

ttytxfT

txTtxtx ,,

па моделот (1.9) може да се замени со следниот приближен дискретен модел:

(1.27) kkkkk ttytxfTtxtx ,,1

каде што kt се дискретните временски мигови ,...2,1,0k , а T е чекорот на

интеграција. За еквидистантни точки kt , моделот (1.27) гласи:

(1.28) kTkTykTxfTkTxTkTx ,,

Равенката (1.28) може многу лесно да се испрограмира на дигитален пресметувач

според следниот алгоритам:

(1.29) kTkTykTxfkTx ,,

,...2,1,0; kkTxTkTxTkTx

односно:

(1.30) kkkk tyxfx ,,

,...2,1,0;1 kxTxx kkk

1.2. УСОВРШЕНА ОЈЛЕРОВА ПОСТАПКА

Со цел да се зголеми точноста на пресметките според Ојлеровата постапка, развиена е

т.н. усовршена постапка на Ојлер. Според неа, прираснувањето на решението tx за

секој чекор на интеграција повторно се одредува според тангентата, но сега во

средината, наместо на почетокот од соодветниот сегмент на интеграција. За таа цел,

најнапред се одредува множеството средишни точки:

(1.31) 2

2

1T

tt kk

kkkkk

tyxfT

xx ,,2

2

1


___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


а потоа се определува наклонот на тангентата на кривата tx во овие точки:

(1.32)

2

1

2

1

2

1

2

1 ,,kkkk

tyxftg

Тогаш, прираснувањето на tx во k-тиот чекор ќе биде:

(1.33)

2

1

2

1

2

1

2

1 ,,kkkk

k tyxTfTtgx

додека самото решение tx се добива според следната рекурентна релација:

(1.34) ,...2,1,0;,,

2

1

2

1

2

11

ktyxTfxxxx

kkkkkkk

Графичката интерпретација на усовршената Ојлерова постапка е дадена на сл.1.2.

Сл.1.2. Графичка интерпретација на усовршената Ојлерова постапка

2

1k

x

2

1

k

x

2

T

kx

1kx

T

kt 1kt t

kx

ktxtx ,

2

1k

t


__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


Пример 1.4. Со помош на усовршената Ојлерова постапка да се определи решението

tx на диференцијалната равенка:

(1.35)

10;2

xtx

ttxtx

за време од 1ѕ. За чекор на интеграција да се усвои sT 2.0 .

Решение: Средишната точка

2

1

2

1 , xt од почетниот сегмент на интеграција 10 , tt се

определува преку наклонот на тангентата на кривата tx во почетната точка од овој

интервал:

(1.36) 12

,0

00000

x

txtxftg

Оттука:

(1.37) 1.02

2.00

20

2

1 T

tt

(1.38) 1.11.01,2

000

2

1 txfT

xx

Наклонот на тангентата во точката

2

1

2

1 , xt се определува според (1.32) и тој

изнесува:

(1.39)

9182.01.1

1.021.1

2

,

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x

t

xtxftg

Тогаш, за бараното решение tx по првата итерација се добива:

(1.40) 1836.19182.02.01,

2

1

2

10

2

101

txTfxxxx


___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


Останатите итерации (приближувања кон бараното решение) се дадени во Таблица 1.3.

Таблица 1.3. Приближно решение на равенката (1.35) добиено со усовршената

постапка на Ојлер

k kt kx ktg

T

2

2

1k

t

2

1k

x kx

0 0.0 1.0000 0.1000 0.1 1.1000 0.1836

1 0.2 1.1836 0.0846 0.3 1.2682 0.1590

2 0.4 1.3426 0.0747 0.5 1.4173 0.1424

3 0.6 1.4850 0.0677 0.7 1.5527 0.1302

4 0.8 1.6152 0.0625 0.9 1.6770 0.1210

5 1.0 1.7362

1.3. ПОСТАПКА НА ОЈЛЕР - КОШИ

Постапката на Ојлер – Коши претставува уште една модификација на Ојлеровата

постапка. Според овој метод, наклонот на правата со која се апроксимира

оригиналната крива tx , на секој сегмент на интеграција 1, kk tt , се зема како

средна аритметичка вредност од наклоните на тангентите на кривата tx во крајните

точки од соодветниот сегмент. Графичката интерпретација на постапката на Ојлер –

Коши е дадена на сл.1.3.

Наклонот на тангентата на кривата tx на почетокот од интервалот 1, kk tt е:

(1.41) kkkk tyxftg ,,~

додека за определување на наклонот на тангентата на кривата tx во крајната точка од

интервалот 1, kk tt најнапред треба приближно да се определи вредноста 1~

kx :

(1.42) kkkkkkk tyxTfxTtgxx ,,~~1

Тогаш:

(1.43) 1111 ,,~~ kkkk tyxftg

Средната аритметичка вредност од наклоните (1.41) и (1.43) изнесува:

(1.44) 1111 ,,~,,2

1~~

2

1 kkkkkkkkk tyxftyxftgtgtg


__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


и таа се усвојува за наклон на правата со која се апроксимира кривата tx на

сегментот 1, kk tt . Следствено, прираснувањето на бараното решение tx ќе биде:

(1.45) 111 ,,~,,2

kkkkkkkk tyxftyxfT

Ttgx

а секоја следна вредност на решението tx во миговите ,...3,2,,1ktk се добива

според релацијата:

(1.46) ,...2,1,0;1 kxxx kkk

Сл.1.3. Графичка интерпретација на постапката Ојлер – Коши

1.4. ТАЈЛОРОВА ПОСТАПКА

Ојлеровата постапка може да се смета за специјален случај на Тајлоровиот развој на

една функција во ред, кој за произволна функција xf во околина на точката 0x

гласи:

1~

k

k~

1kx

kx

1~

kx

T

kt 1kt t

kx

ktxtx ,


___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


(1.12)

20

02

2

00

0!2

1xx

dx

xfdxx

dx

xdfxfxf

i

i

i

xxi

xf0

0 !

Набљудувајќи ја диференцијалната равенка од прв ред:

(1.13) ttxftx ,

може да се уочи дека првите два члена од развојот во Тајлоров ред на нејзиното

решение tx :

(1.14)

Tttxftxttdt

tdxtxTtxtx

0000

000 ,

ја претставуваат Ојлеровата формула за приближно решавање на (1.13).

Ако сега, наместо првите два члена, се земат првите три члена од Тајлоровиот развој

на решение tx на равенката (1.13):

(1.15)

202

2

00

002

1tt

dt

txdtt

dt

tdxtxTtxtx

2

0000 ,

2

1, Tttxf

dt

dTttxftx

2

0000 ,,

2

1, T

dt

tdxttxf

xdt

dtttxf

tTttxftx

2

0000 ,,,

2

1, Tttxfttxf

xttxf

tTttxftx

ќе се добие следниот алгоритам за нумеричко решавање на диференцијалната равенка

(1.13), познат како Тајлорова формула:

(1.16) Ttt kk 1

x

ttxfttxf

t

ttxfTttxTftxtx kkkk

,,

,

2

1, 2

1

,....3,2,1,0k


__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


Пример 1.3. Диференцијалната равенка (1.9) може да се реши и со помош на

Тајлоровата постапка. Бидејќи во конкретниот случај:

(1.17)

txt

ttxf 2,

и:

(1.18)

ttxx

ttxf2

,

равенката (1.15) се сведува на равенката:

(1.19) 23222

1 22

1TtxttxttxTtxtx kkkkkkk

2222

2

1TtxttxttxTtx kkkkkk

Решението на равенката (1.9) со помош на Тајлоровата формула (1.16) за чекор

05.0T е прикажано во Таблицата 1.2. Иако, очигледно, оваа постапка дава поточни

резултати во споредба со Ојлеровата, и таа води кон неприфатлива грешка кога

решението се приближува кон сингуларитетот во точката 29.13

5t .

Таблица 1.2. Точното и приближно решение според Тајлоровата постапка на

моделот (1.9)

k kt 1kt kk txx tx

0 1.00 1.05 3.00 3.00

1 1.05 1.10 3.53 3.55

2 1.10 1.15 4.32 4.38

3 1.15 1.20 5.61 5.81

4 1.20 1.25 8.05 8.82

5 1.25 1.30 13.89 19.20

6 1.30 1.35 36.66 -85.71

1.3. РУНГЕ-КУТА ПОСТАПКА

Постапката на Тајлор покажува дека усвојувањето на три члена од Тајлоровиот развој

на бараното решение дава многу поточни резултати отколку усвојувањето само на

линеарните членови – првите два. Точноста на пресметките значително се зголемува


___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


ако се усвојат повеќе членови од Тајлоровиот развој (1.12). Така, во праксата често се

користи апроксимација од четврти ред:

(1.20)

20

02

2

00

0!2

1xx

dx

xfdxx

dx

xdfxfxf

40

04

43

0

03

3

24

1

6

1xx

dx

xfdxx

xd

xfd

Бидејќи пресметувањето на повисоките изводи од функцијата ttxf , не само што

може да биде тешко, туку многу често и невозможно поради тоа што не постои

аналитички израз за функцијата ttxf , , наместо формулата (1.20) се користи

следниот приближен нумерички алгоритам:

(1.21) kk txtfK ,1

12

2

1,

2

1TKtxTtfK kk

23

2

1,

2

1TKtxTtfK kk

34 , TKtxTtfK kk

Ttt kk 1

43211 226

1KKKKTtxtx kk

познат како постапка на Рунге-Кута од четврти ред. Тој се одликува со две

предности над Ојлеровите постапки: многу е поточен и лесен за примена, бидејќи не

бара пресметување изводи. Треба да се забележи важноста на редоследот на

извршување на пресметките според алгоритамот (1.21). Имено, 1K мора да биде

пресметано пред 2K , 2K пред 3K итн.

Пример 1.4. Алгоритамот за решавање на диференцијалната равенка (1.9) со помош на

постапката Рунге-Кута од четврти ред е следниот:

(1.22) ttxK 21


__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


2

122

1

2

1

TKtxTtK

2

232

1

2

1

TKtxTtK

234 TKtxTtK

43211 226

1KKKKTtxtx kk

Ttt kk 1

а самото решение за чекор 05.0T е дадено во Таблица 1.3, каде што е направена

споредба со претходните две постапки.

Таблица 1.3. Точното и приближно решение на равенката (1.9) според Ојлеровата,

Тајлоровата и Рунге-Кута постапкапката

k kt 1kt kk txx

според

Ојлер

kk txx

според

Тајлор

kk txx

според

Рунге-

Кута

tx

точно

решение

0 1.00 1.05 3.00 3.00 3.00 3.00

1 1.05 1.10 3.45 3.53 3.55 3.55

2 1.10 1.15 4.07 4.32 4.38 4.38

3 1.15 1.20 4.99 5.61 5.81 5.81

4 1.20 1.25 6.42 8.05 8.82 8.82

5 1.25 1.30 8.89 13.89 18.98 392.55

6 1.30 1.35 13.83 36.66 -85.71

Од Таблицата 1.3 лесно се забележува супериорноста на постапката Рунге-Кута од

четврти ред, меѓутоа и понатаму останува проблемот со сингуларитетот во точката

29.13

5t . Овој проблем се јавува поради фактот дека наклонот на тангентата на

кривата tx , која го претставува бараното решение на диференцијалната равенка (1.9),

во точките кои се приближуваат кон критичната точка 29.13

5t се стреми кон

бесконечност.


___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


1.4. РУНГЕ-КУТА-ФЕЛБЕРГ ПОСТАПКА

Ако се набљудува функцијата tx прикажана на сл.1.4, лесно може да се забележи

дека за пресметутање на одделните нејзини делови се потребни различни нумерички

постапки. Така, на интервалот 10 , tt кривата tx може да се апроксимира со

константа. На интервалот 21, tt веќе ќе биде потребно да се примени постапка од

втор ред, бидејќи на овој интервал се менуваат и наклонот (првиот извод) и

конкавноста (вториот извод) на кривата tx . Бидејќи фреквенцијата на овие промени

станува многу изразена на интервалот 32 , tt , потребно е да се усвои многу помал

чекор на интеграција T и, најверојатно, постапка од повисок ред, каква што е Рунге-

Кута постапката. Без оглед на се`, пресметаните вредности за tx на интервалот

43, tt нема да бидат ни приближно точни заради сингуларитетот во точката

29.13

5t .

Сл.1.4. Графички приказ на произволна крива tx

Еден од најпопуларните приоди за нумеричко решавање диференцијални равенки е со

примена на постапки од различен ред, на пример, Рунге-Кута постапка од четврти и

петти ред. Бараното решение најнапред се одредува со постапката на Рунге-Кута од

t0 t1 t2 t3 t4 t

x(t)


__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


четврти ред, а потоа со примена на Рунге-Кута постапка од петти ред - ако се добијат

слични резултати, решавањето продолжува со поголем чекор T , на пример, T3 .

Доколку резултатите значително се разликуваат, чекорот T се намалува, на пример, на

вредност T1.0 . Тоа, со други зборови значи дека, кога кривата tx е доволно мазна,

пресметките се вршат со релативно голем чекор на интеграција, додека во случај на

нагли осцилации кај бараното решение потребната точност на пресметките се

обезбедува со помал чекор на интеграција.

Рунге-Кута-Фелберг формулата од петти ред е дадена со следните изрази:

(1.23)

54311

5

1

4104

2197

2565

1408

216

25KKKKTtxtx kk

654311

55

2

50

9

56430

28561

12825

6656

135

16KKKKKTtyty kk

kk txtfK ,1

12

4

1,

4

1TKtxTtfK kk

213

32

9

32

3,

8

3KKTtxTtfK kk

3214

2197

7296

2197

7200

2197

1932,

13

12KKKTtxTtfK kk

43215

4104

845

513

36808

216

439, KKKKTtxTtfK kk

543216

40

11

4104

1859

2565

35442

27

8,

2

1KKKKKTtxTtfK kk

Алгоритмот на Рунге-Кута-Фелберг за нумеричко решавање диференцијални

равенки од прв ред е прикажан на сл.1.5. За пресметување на баранато решение во

секој чекор на интеграција тој користи Рунге-Кута постапка од четврти и петти ред.

Разликата на добиените решенија според двете постапки се споредува со однапред

зададено дозволено отстапување . Малата вредност на обезбедува поголема

точност во пресметките. Заради променливиот чекор на пресметки кој го користи,

постапката се нарекува уште адаптивна Рунге-Кута-Фелберг постапка или постапка

со променлив чекор на интегрирање.


___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________


Сл.1.5. Адаптивна Рунге-Кута-Фелберг постапка

не

не да

да

Задај ги почетните услови:

,1,, 00 ktxt

печати 00, txt

Пресметај го x со

помош на Рунге-

Кута од четврти

ред

Пресметај го y со

помош на Рунге-

Кута-Фелберг- од

петти ред

yx

TT 1.0

1 kk

Крај

Печати

ktxt kk ,,

yx

Ttt

TT

3

?nk

Лекција 8. Моделирање и дигитална симулација на динамички системи од повисок ред 129 _________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________Моделирање, идентификација и симулација

2. МОДЕЛИРАЊЕ И ДИГИТАЛНА СИМУЛАЦИЈА НА СИСТЕМИ ОД ПОВИСОК РЕД

Секоја диференцијална равенка од произволен ред може да се претстави со систем диференцијални равенки од прв ред, чиј број одговара на редот на равенката. Оттука следува начинот на примена на претходно разгледаните постапки за нумеричко решавање диференцијални равенки од прв ред и во случајот на диференцијални равенки од произволен ред. Нека е дадена диференцијалната равенка од произволен ред n :

(2.1) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tfbtxatxatxatx nn

n001

11 =+′+⋅⋅⋅++ −

−


(2.2) ( ) ( ) ( )( )0,...,0,0 1110

−− =′== n

n xxxxxx

каде што ( )tf е позната функција. Со воведување на смените:

(2.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )txtxtxtxtxtx nn

121 ,...,, −=′==

равенката (2.1) може да се претстави со следниот систем n диференцијални равенки од прв ред: (2.4) ( ) ( )txtx 21 =′ ( ) ( )txtx 32 =′

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( )txtx nn =′ −1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfbtxatxatxatx nnn 012110 +−⋅⋅⋅−−−=′ −

Секоја од равенките (2.4) може да се реши нумерички со помош на Ојлеровата постапка според следниот алгоритам: (2.5) Ttt kk +=+1 , ,....3,2,1,0=k ( ) ( ) ( )[ ]kkiikiki ttxTftxtx ,1 +=+ , ni ,....,3,2,1=

130 Лекција 8. Моделирање и дигитална симулација на динамички системи од повисок ред ___________________________________________________________________________


Пример 2.1. Даден е системот опишан со следната диференцијална равенка: (2.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,;3 ≥==′+′′ tttftftxtxtx ( ) 0, ≥= tttf ( ) ( ) 10,20 =′= xx Со воведување на помошната променлива ( ) ( )txty ′= , равенката (2.6) се трансформира во следниот систем: (2.7) ( ) ( ) ( ) 20, ==′ xtytx ( ) ( ) ( ) ( ) 10,3 =−=′ ytytxtty Алгоритмот за нумеричко решавање на системот диференцијални равенки (2.7) со помош на Ојлеровата постапка е: (2.8) Ttt kk +=+1 , ,....3,2,1,0=k ( ) ( ) ( )kkk tTytxtx +=+1 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kkkkk tytxtTtyty 31 −+=+ Треба да се уочи дека редоследот на извршувањето на пресметките во (2.8) мора да се почитува, зошто пресметувањето на секоја наредна вредност на ( )1+ktx ја бара

претходно пресметаната вредност ( )kty . Истиот систем равенки може да се реши и со помош на Рунге-Кута постапката според следниот алгоритам: (2.9) 00 =t , ( ) 20 =x , ( ) 10 =y ( )ktyK =11 ( ) ( )kkk tytxtK 312 −=

( ) 1221 2

1TKtyK k +=

( ) ( )

+

+−+= 121122 2

1

2

13

2

1TKtyTKtxTtK kkk



( ) 2231 2

1TKtyK k +=

( ) ( )

+

+−+= 222132 2

1

2

13

2

1TKtyTKtxTtK kkk

( ) 3241 TKtyK k += ( )[ ] ( )[ ]323142 3 TKtyTKtxTtK kkk ++−+= 3. МОДЕЛИРАЊЕ И СИМУЛАЦИЈА НА НЕЛИНЕАРНИ

ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ За математичко моделирање и симулација најинтересни се динамичките системи, бидејќи нивното поведение се менува со текот на времето. Така првите изводи на променливите во диференцијалните равенки на динамичко поведение на континуалните динамички системи ја опишуваат брзината со која тие променливи се менуваат. Еден пример е математичкиот модел на прирастот на популацијата на одредена животинска врста (овој пат се работи за математички модел на биолошки систем). Динамиката на популацијата во животинскиот свет се дефинира како „брзина на промена на популацијата пропорционална на нејзината големина“ и нејзиниот математички модел е следниот:

(3.1) Ndt

dN λ=

каде што N е големината на популацијата во мигот t , а λ е соодветната константа на пропорционалност. Во продолжение е разгледан проблемот на моделирање на динамиката на прирастот на популацијата на одредена животинска врста. Постојат голем број чинители кои влијаат врз динамиката на прираст на една животинска врста. Меѓутоа, прво што може да се забележи е дека таа динамика е пропорционална со големината на популацијата. Нека ( )tN е големината на популацијата во мигот t , а λ е константа на пропорционалност, како што е дефинирано погоре. Тогаш може да се напише: (3.2) ( ) ( )tNtN λ=′ или, накусо: (3.3) NN λ=′



За дадени почетни услови ( )00 NN = , решението на горниот модел е:

(3.4) ( ) 0,0 ≥= teNtN tλ Очигледно, популацијата се зголемува експоненцијално со тек на времето. Овој математички модел понекогаш се нарекува Малтусов модел во чест на англискиот економист Томас Малтус, кој на овој начин ја предвидел „експлозијата“ на човечката популација во 18-тиот век. Малтусовиот модел може да се потврди со многу примери. Меѓутоа, не е тешко да се заклучи кога и зошто овој модел нема да даде задоволителни резултати (да биде точен). Прирастот на популацијата, освен од големината на популацијата, зависи и од многу други фактори, какви што се: капацитетот на средината во која живее таа популација да го поддржи прирастот на популацијата, взаемните влијанија со други популации, од кои некои се пријателски, а други непријателски, како и обезбеденоста на топлинска енергија со текот на времето. На пример, можеби во средината во која се развива набљудуваната популација нема доволно храна, или во неа постои и друга популација која е природен непријател на првата (популација на зајаци и лисици). Малтусовиот модел може да се модифицира ако се претпостави дека конкретната околина може да поддржи популација со максимална големина mN - наречена носечки капацитет. Тогаш изразот:

(3.5) ( ) ( )

mm

m

N

tN

N

tNN −=−1

го претставува делот што може да расте, а изразот ( )mN

tN го претставува делот од

системот што не може веќе да расте. Пореален модел на прирастот на една популација од оној на Малтус е моделот:

(3.6) ( ) ( ) ( )

−=′

MN

tNtNtN 1λ

или, накусо:

(3.7)

−=′

MN

NNN 1λ

кој кажува дека брзината на прираст на една популација е пропорционална и со големината на таа популација и со делот од популацијата што може да расте. Моделот



(3.7) се нарекува логистичка равенка и е нелинеарен. За ( )tN мало, равенката се приближува до Малтусовиот модел, бидејќи:

(3.8) ( ) ( )110 →−⇒→

mN

tNtN

Аналогно:

(3.9) ( ) ( )01 →−⇒→

mm N

tNNtN

и брзината на прираст ( ) 0→′ tN . Иако моделот (3.7) е нелинеарен, неговото аналитичко решение постои и изнесува:

(3.10) ( )tm

m

eN

N

NtN

λ−

−−

=

011

На сл.3.1 е прикажана големината на некоја популација за 25=mN и различни

вредности на 0N . Кога mNN <0 , големината на популацијата расте и асимптотски се

приближува кон носечкиот капацитет mN , додека за mNN >0 , прикажаните криви се

приближуваат кон mN од горе. Во секој случај, ( ) mNtN → без оглед на 0N .

Логистичкиот модел се покажува добар во средини каде има само една популација и ограничен извор на храна за таа популација. Меѓутоа, многу поверојатно е дека во реалноста во истата околина ќе постои и популација која е природен непријател на моделираната. Овие две популации на ловци и пленови се обидуваат да опстанат така што ќе уловат или ќе избегнат да бидат уловени. Популацијата ловци расте пропорционално на својата големина и изворот на храна – својот плен. Нека ( )tN P е големината на популацијата на пленот, а ( )tN L - големината на популацијата на ловците. Тогаш бројот меѓусебни интеракции ловец – плен е пропорционален на производот ( ) ( )tNtN LP ⋅ . Следствено, брзината на пораст на двете популации е дадена со релациите:

(3.11) ( ) ( ) ( )

−=′

11 1

βα tN

tNtN LPP

(3.12) ( ) ( ) ( )

+−=′

22 1

βα tN

tNtN PLL



каде што: 2121 ,,, ββαα се позитивни константи на пропорционалност за секоја

популација. Математички гледано, константите 21, ββ се аналогни со носечкиот капацитет во логистичкиот модел, но немаат соодветна аналогија кај моделот наречен ловец-плен. Термините константи на пропорционалност се, всушност, погрешни во случајот на константите 21,αα , зошто 1α е приближно константа на пропорционалност само за ( )tN L релативно мало во однос на ( )tN P , а 2α е

приближно константа на инверзна пропорционалност кога ( )tN P е мало.

Сл.3.1. Приказ на големината на одредена популација за 25=mN и различни почетни

вредности Моделот ловец-плен го предложиле А. Ј. Лотка и Вито Волтера, кои главно се занимавале со интегрални равенки, па во нивна чест е наречен Лотка-Волтера модел (или равенки). Очигледно овој модел е нелинеарен и за него не постои познато аналитичко решение. Затоа мора да се примени некоја од познатите постапки за нумеричко решавање диференцијални равенки како, на пример, Ојлеровата. Во продолжение е прикажан алгоритамот за симулација на Лотка – Волтера моделот со помош на Ојлеровата постапка. Со оглед на малата точност на Ојлеровата постапка, чекорот на интеграција T се одбира многу мал, на пример, 001.0=T . Ако

0 1 2 3 4 5 6 7 време

60 50 40 30 25 20 10 0

500 =N

400 =N

100 =N

10 =N

Лекција 8. Моделирање___________________________________________________________________________________

____________________________

интеграцијата се врши на

пресметки ќе биде =n

тешко можат да се табелираатприкаже, на пример, секојабројот точки што се печататотпечатени резултати, вкупниотинтервалот [ ]ntt ,0 ќе биде

остварено со вториот алгоритам

СИМУЛАЦИЈАВОЛТЕРА МОДЕЛОТ

СИМУЛАЦИЈАМОДЕЛОТ СО ПЕЧАТЕЊЕ

Моделирање и дигитална симулација на динамички системи___________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________Моделирање, идентификација

врши на интервалот [ ]ntt ,0 , каде што ,00 == ntt

( ) 10000/0 =− Tttn и тоа е многу голем број

табелираат, или прикажат графички. Наместо нивсекоја 200-та, или вкупно 50 точки. Така, ако

се печатат, а m е бројот пресметки помеѓурезултати, вкупниот број пресметки, односно пресметани

ќе биде nm, каде што ( ) 10000/0 =−= nTttm n

вториот алгоритам.

СИМУЛАЦИЈА НА ЛОТКА ВОЛТЕРА МОДЕЛОТ

СИМУЛАЦИЈА НА ЛОТКА ВОЛТЕРА ПЕЧАТЕЊЕ НА СЕКОЈА m-ТА

ТОЧКА

системи од повисок ред 135 _________________________________________________________________________________________

_________________________________идентификација и симулација

10= , бројот потребни

голем број точки, кои многу

то нив, доволно е да се Така, ако n го претставува помеѓу секои два соседни

односно пресметани точки на 20050/10000 = . Ова е



Пример 3.1. Да се определи нумеричкото решение на Лотка-Волтера моделот: (3.13) ( ) ( ) 100,1.013 =−= xyxx& ( ) ( ) 50,04.012.1 =+−= yxyy& на интервалот [ ]5,0 . Решение: Иако изборот на чекорот Т не е одреден, нека, под претпоставка, биде

001.0=T . Со оглед на должината на интервалот на пресметки [ ]5,0 , прифатливо е да се планираат вкупно 10*5 точки за графичко претставување со, на пример, по ( ) ( ) 100001.050/05 =⋅− меѓуточки односно пресметки. Добиениот график е прикажан на сл.3.2.

Сл.3.2. Графички приказ на решението на Лотка-Волтера моделот (3.13) Поинтересен приказ е оној од сл.3.3, на кој се гледа периодичниот карактер на моделот. Како што може да се претпостави, со порастот на популацијата на пленот кој претставува храна, расте и популацијата на ловците. Меѓутоа, само до одреден момент, кога ловците толку ќе се намножат, што нема да има доволно храна за сите. Како се намалува популацијата на пленот, така ќе почне да опаѓа и популациајта на ловците,



додека бројот ловци толку не се намали, што пленот ќе може слободно да се размножува и да ја зголемува својата популација. И така до недоглед.

Сл.3.3. Графички приказ на Лотка-Волтера моделот (3.13) Пример 3.2. Да се испрограмира и графички прикаже нумеричкото решение на Лотка-Волтера моделот со три популации:

(3.14) ( ) 50,15

11.013 =

+−= xzyxx&

( ) ( ) 100,04.005.012.1 =−+= yzxyy&

( ) 80,35

1

30

112 =

+−= zyxzz&

на интервалот [ ]25,0 . Решение: Бидејќи набљудуваниот модел е нелинеарен и неговото решение не е познато, еден соодветен начин е да се примени методот Рунге-Кута од четврти ред со чекор на интеграција, на пример, 0001.0=T . Добиените резултати графички се прикажани на сл.3.4.



Сл.3.4. Графички приказ на решенијата на Лотка-Волтера моделот со три популации

од примерот 3.2

Сл.3.5. Фазна траекторија на решението ( )tx



Сл.3.6. Фазна траекторија на решението ( )ty

Сл.3.7. Фазна траекторија на решението ( )tz



4. МОДЕЛИРАЊЕ И СИМУЛАЦИЈА НА ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ СО ПОВЕЌЕ ВРЕМЕНСКИ БАЗИ

Клучна независно променлива кај динамичките системи е времето. Сите брзини и, следствено, сите изводи се определуваат во однос на времето. Притоа сметаме дека сите потсистеми и сите настани во динамичкиот свет се определуваат во однос на исто време – иста временска база. Меѓутоа, во природата не е секогаш така. Така, на пример, растенијата растат и зреат во зависност од примената топлотна енергија (температурата), а не во зависност од вообичаеното хронолошко време. Оваа топлотна енергија се смета за физиолошко време, и динамичките промени во растителниот свет се мерат во однос на физиолошкото, а не хронолошкото време. Уште повеќе, во некои системи, одделните потсистеми се претставуваат и мерат во различно време. За илустрација може да се набљудува моделот на раст на одреден вид бактерии. Нека, под претпоставка, температурата на средината во која живеат набљудуваните бактерии се менува во зависност од времето според функцијата ( )tT . Лесно се утврдува дека под

одредена температура 0T нема никаков раст на бактериите, додека за температури над овој праг релативната брзина на раст на бактериите е директно сразмерна со температурната разлика ( ) 0TtT − . Следствено, математичкиот модел за кој станува збор ќе има изглед:

(4.1) ( )

( )[ ] ( )

≥−<

=00

0

,

,0

TtT TtTr

TtT

x

x&

каде што r e соодветна константа на пропорционалност, а 0T е температурниот праг на моделот. Полезно е да се дефинира ново време τ , наречено физиолошко, на следниот начин:

(4.2) ( ) ( )[ ]∫Γ

−= dtTtTt 0τ

каде што множеството Γ го претставува времето t за кое температурата ( )tT го надминува температурниот праг 0T :

(4.3) ( ) ( ) 0TtTt t ≥=Γ

Од дефиницијата на физиолошкото време (4.2) следува дека тоа претставува збир од топлотни единици во текот на одредено време, па типична единица мерка за физиолошкото време е степени/ден. Со диференцирање на изразот (4.2) се добива:



(4.4) ( ) ( )

( ) ( )

≥−<

=00

0

,

,0

TtTTtT

TtT

dt

td

τ

па, оттука и од (4.1), непосредно следува:

(4.5) dt

dr

x

x τ=&

и:

(4.6) ( ) ττ rexx 0= Равенството (4.6) се совпаѓа со експоненцијалниот модел на прираст на една животинска врста (3.4), прикажан во главата 3. Следствено, експоненцијалната зависност на брзината на раст важи како за хронолошкото, така и за физиолошкото време или, со други зборови, сите биолошки модели се однесуваат на ист начин. Со воведувањето на физиолошкото време τ , соодветниот потсистем го “гледа“ τ како природна временска база, во која сите настани се одвиваат на предвидлив начин, додека надворешниот набљудувач гледа нестандардно поведение. Во Таблицата 4.1 се прикажани различните модели на брзина на раст на една биолошка врста во зависност од хронолошкото и физиолошкото време. Таблица 4.1. Приказ на различните модели на брзина на раст во хронолошко и

физиолошко време

МОДЕЛ ХРОНОЛОШКО ВРЕМЕ ФИЗИОЛОШКО ВРЕМЕ МАЛТУСОВ

dt

dr

x

x τ=&

( )ττ

rxd

dx =

ЛОГИЧКИ

( ) dt

dr

xxx

x

m

τ=− /1

& ( ) ( )[ ]mxxrx

d

dx/1 ττ

τ−=

ЛОТКА-ВОЛТЕРА ( )

( ) dt

dr

yxy

y

dt

dr

xyx

x

m

m

τ

τ

2

1

/1

/1

=+−

=−

&

&

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]m

m

yxyrd

dy

xyxrd

dx

/1

/1

2

1

τττ

τττ

+−=

−=

Пример 4.1. Даден е идеализиран модел со следниот температурен профил (промена на температурата T со тек на времето t ):

(4.7) ( )

−−=

14

1sintt

ttAtT π



каде што А е амплитудата на температурните промени, а 1t и 4t се пресечни точки со хоризонталата. Да се опише математички соодветното хронолошко време за температурен праг 0T . Потоа да се прикажат графички физиолошките профили за

различни температурни прагови. Решение: Под претпоставка дека ATA <<− 0 , се добива графикот од сл.4.1, од каде

што се забележува дека температурата T го надминува дефинираниот температурен праг 0T само помеѓу точките 2t и 3t . Овие точки се добиваат како решенија на

равенката:

(4.8)

−−=

−+=⇒

−−=

A

Ttttt

A

Ttttt

tt

ttAT

01443

01412

14

10

arcsin

arcsinsin

π

ππ

Сл.4.1. Графички приказ на температурниот профил на набљудуваниот идеализиран

биолошки модел од примерот 4.1 За поголема едноставност на математичките записи, се воведува константата:

(4.9) 1;0 <= ρρA

T

и смената:

(4.10) ( )14

1tt

ttt

−−= πψ



Лесно може да се провери дека: (4.11) ( ) ρψ =2sin t ( ) ρψ =3sin t

( ) 22 1cos ρψ −=t

( ) 23 1cos ρψ −=t

Од дефиницијата на физиолошкото време следува дека: (4.12) ( ) 2,0 ttt <=τ За 32 ttt ≤≤ физиолошкото време е збирната температура во текот на истиот временски интервал:

(4.13) ( ) =

−

−−= ∫ dtT

tt

ttAt

t

t2

014

1sin πτ

( ) ( ) ( )[ ] ( ) =−−−−= 202

14 coscos ttTttttA ψψ

π

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) =−+−−−−= ρ

πψψ

πarcsincoscos 140

10214 ttT

ttTttttA

( ) ( ) ( )

−−+−−= tt

ttA ρψψρρρπ

cosarcsin1 214

За 3tt > физиолошкото време не се менува, бидејќи температурата е под

температурниот праг. Оттука:

(4.14) ( ) ( ) ( )

−+−−== πρρρρ

πττ arcsin212 214

3ttA

tt

па за физиолошкото време на набљудуваниот биолошки модел важи:



(4.15) ( ) ( ) ( ) ( )( )

>

−+−−

≤≤

−−+−−=

<

=

3214

32214

2

,arcsin212

,cosarcsin1

,0

ttttA

tttttttA

tt

t

πρρρρπ

ρψψρρρπ

τ

каде што ρ е дадено со (4.9), а ( )tψ со (4.10). Зависноста помеѓу физиолошкото и хронолошкото време (4.15) за набљудуваниот биолошки модел е прикажана графички на сл.4.2. Вредностите 901 =t дена, 2704 =t

дена, FA 0100= се фиксни, додека ρ се менува помеѓу 0.0 и 0.8 со чекор 0.2. На тој

начин се одредени температурните прагови FFFFT 00000 80,60,40,20,0= .

Моделот покажува дека за повисоки температурни прагови почетното време на пораст е порано и генерираната топлина е поголема.

Сл.4.2. Графички приказ на физиолошкото време наспроти хронолошкото време за

температурниот профил од сл.4.1 Формулите од Таблицата 4.1 можат да се симулираат со помош на новото физиолошко време. Единствената разлика се состои во тоа што чекорот на интеграција сега се менува со текот на времето. Така, ако физиолошкото време τ е дадено како експлицитна функција од хронолошкото време t , на пример, physio(t), а хронолошкиот



чекор на интеграција е δ , алгоритамот за нумеричко решавање на логистичкиот модел со физиолошко време ќе биде дополнет со следните наредби: Симулацијата на логистичкиот модел со новото физиолошко време може да се изврши и со примена на соодветен потпрограм кој врз основа на дадено хронолошко време го пресметува физиолошкото време. Ако тој потпрограм се нарече physio(t,τ), тогаш промената во програмот за нумеричко решавање на логистичкиот модел со физиолошко време ќе се состои од следните наредби:

каде што ( )21 ττδ −=h е бројот степени/ден помеѓу последователните хронолошки временски мигови t и δ+t .

( )( )[ ]

xtpr

tt

xxahxx

h

tphysiocall

tphysiocall

m

,int

/11

),(

),(

21

2

1

δ

ττδτδ

τ

+=−+=

−=+

СИМУЛАЦИЈА НА ФИЗИОЛОШКОТО ВРЕМЕ

( ) ( )[ ]( )[ ]

xtpr

tt

xxahxx

tphysiotphysioh

m

,int

/11

δ

δδ

+=−+=

−+=

Лекција 8. Моделирање___________________________________________________________________________________

____________________________

Како што може и да се очекува

со физиолошко време. Што

подоцна и вкупниот раст е Пример 4.2. Да се состави

(4.16) ,251

15

−= xxxx&

со следниот температурен

(4.17) ( )

=180

sin100t

tT π

Решение: Температурниотпресметување на физиолошкототекот на една година е даден

ПОТПРОГРАМ ЗА ПРЕСМЕТУВАЊЕ

Моделирање и дигитална симулација на динамички системи___________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________Моделирање, идентификација

се очекува, температурниот праг 0T има важна

време. Што е повисок температурниот праг 0T , тоа

раст е помал.

состави програм за симулација на логистичкиот модел

( ) 50 =x

температурен профил:

−180

90

Температурниот профил (4.17) е ист како во примерот физиолошкото време е physio(t), а главниот програм

е даден во продолжение.

ЗА ПРЕСМЕТУВАЊЕ НА ФИЗИОЛОШКОТОПРИМЕРОТ 4.2

системи од повисок ред 147 _________________________________________________________________________________________

_________________________________идентификација и симулација

важна улога кај моделите

, тоа растот започнува

логистичкиот модел:

примерот 4.1. Потпрограмот за програм за симулација во

ЗИОЛОШКОТО ВРЕМЕ ВО



На сл.4.3 се прикажани графички резултатите од симулацијата на логистичкиот модел (4.16) за различни вредности на ρ .

Сл.4.3. Резултати од симулацијата на логистичкиот модел (4.16)

ПРОГРАМ ЗА СИМУЛАЦИЈА НА ЛОГИСТИЧКИОТ МОДЕЛ (4.16)

( )( )

( ) ( )[ ]

( )[ ]

knext

xtpr

xhxx

tt

tphysiotphysioh

tokfor

xtpr

t

t

T

x

t

,int

25/151

3651

,int

arcsin116270

arcsin11690

100/

5

0

3

2

0

−+=+=

−+==

−=+=

===

δδδ

ρρ

ρ



ЗАДАЧИ 4.1. Дадено е едноставното RC коло од долната слика. а) Да се состави влезно-излезната равенка на колото и да се определи аналитички нејзиното точно решение. б) Да се определи аналитички решението на математичкиот модел добиен под а) за:

( ) .2,50 sRCVv == и ( )tvs зададена графички на долната слика. в) Нумерички да се

определи ( )tv со помош на Ојлеровата постапка, а за чекор на пресметките да се усвои 1.0=T . Да се споредат резултатите добиени под б) и в), така што ќе се пресмета во

проценти соодветната релативна грешка.

Сл.4.4. Илустрација кон задачата 4.1 4.2. Даден е систем од две диференцијални равенки од прв ред: (4.18) ( ) ( ) ( )[ ]ttytxftx ,,=′ (4.19) ( ) ( ) ( )[ ]ttytxgty ,,=′ а) Да се определи алгоритамот за нумеричко решавање на овој систем равенки според Тајлоровата постапка. б) Добиениот резултат под а) да се примени за нумеричко решавање на следниот систем диференцијални равенки од прв ред: (4.20) ( ) ( ) ( ) ( ) 10,2 =+=′ xttytxtx (4.21) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,sin2 =++=′ yttytxty на интервалот [ ]5,0 со чекор 1.0=T . в) Истото да се повтори со Ојлеровата постапка и добиените резултати да се споредат.

R

C ( )tv

( )tvs

( )tvs

t 43210

5

а) б)



4.3. Даден е динамичкиот систем од втор ред опишан со следната диференцијална равенка:

(4.22) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 40,10;82 −=′==−′−′′ xxetxtxtx t а) Да се определи аналитичкото решение на оваа диференцијална равенка. б) Нумерички да се определи решението на дадениот математички модел со помош на Ојлеровата постапка на интервалот [ ]2,0 со чекор 01.0;5.0;1.0=T . в) Резултатите добиени под б) да се претстават графички на ист дијаграм и да се споредат. 4.4. Даден е динамичкиот систем од прв ред:

(4.23) ( ) ( ) ( ) 40,cos2 2 =+=′ xttxtx а) Нумерички да се пресмета решението ( )tx на интервалот [ ]10,0 со чекор 1.0=T со помош на Ојлеровата постапка, Тајлоровата постапка од втор ред и Рунг-Кута постапката од четврти ред. б) Да се споредат добиените резултати. 4.5. Да се покаже дека ако: (4.24) ( ) ( )[ ]ttxftx ,=′ тогаш:

(4.25) 2

22

22

2

2

2

22

x

ff

x

ff

t

f

x

f

tx

ff

t

f

dt

xd

∂∂+

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

Со помош на овој резултат да се изведе Тајлорова формула од трет ред за нумеричко решавање на диференцијални равенки од прв ред од обликот (4.24). 4.6. Да се испрограмира и графички прикаже нумеричкото решение на Лотка-Волтера моделот: (4.26) ( ) ( ) 100,1.013 =−= xyxx& ( ) ( ) 50,04.012.1 =+−= yxyy& на интервалот [ ]5,0 . (Упатство: Да се добијат графиците од сл.3.2 и сл.3.3). 4.7. Да се испрограмира и графички прикаже нумеричкото решение на Лотка-Волтера моделот со три популации:



(4.27) ( ) 50,151

1.013 =

+−= xzyxx&

( ) ( ) 100,04.005.012.1 =−+= yzxyy&

( ) 80,351

301

12 =

+−= zyxzz&

на интервалот [ ]25,0 . Да се нацртаат графиците ( ) ( ) ( )tztytx ,, , како и зависностите

zzyyxx &&& →→→ ,, . (Упатство: Да се добијат графиците од сл.3.4, 3.5, 3.6 и 3.7.) 4.8. Со воведувањето на физиолошкото време τ , соодветниот потсистем го “гледа“ τ како природна временска база, во која сите настани се одвиваат на предвидлив начин, додека надворешниот набљудувач гледа нестандардно поведение. Објаснете! Кај линеарните динамички системи, одзивот има две компоненти – една, која зависи исклучиво од почетните услови, и втора – која зависи исклучиво од надворешната влезна возбуда. Кај стабилните линеарни динамички системи првата компонента исчезнува со текот на времето, а втората го определува стационарниот работен режим на системот. Меѓутоа, случајот кога стационарната компонента на одзивот на еден динамички систем не зависи од почетните услови важи само кај линеарните динамички системи. Кај многу нелинеарни динамички системи стационарниот режим е толку чувствителен на почетните услови, што таквиот систем може да се нарече хаотичен. Кога ова ќе се земе предвид заедно со фактот дека не постои генерална теорија за аналитичко решавање нелинеарни диференцијални равенки, станува јасно дека на располагање стојат единствено нумеричките постапки за решавање диференцијални равенки, кај кои извонредно внимание треба да се обрне на изборот на чекорот на интеграција.

5.ЛИНЕАРИЗАЦИЈА НА НЕЛИНЕАРНИ ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ

ЗБИРКА ЗАДАЧИ ПО МОДЕЛИРАЊЕ, СИМУЛАЦИЈА И ИДЕНТИФИКАЦИЈА 153

5. ЛИНЕАРИЗАЦИЈА НА НЕЛИНЕАРНИ ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ

Сите досега претставени модели се модели на линеарни стационарни динамички

системи. Претпоставката за линеарност на моделираниот систем е основна

претпоставка во сите изложени постапки за моделирање. Меѓутоа, не сите системи се

линеарни. Напротив, реалните системи, по правило се нелинеарни. Примери има

многу. Еден електронски засилувач е линеарен во одреден опсег од влезниот напон,

меѓутоа, покажува нелинеарно поведение наречено заситување при високи влезни

напони, сл.5.1. Поведението на еден електромотор, кој нема одзив при многу мали

вредности на влезниот напон заради присуството на отпорни сили на триење во

механичките делови, исто така е нелинеарно и се нарекува мртва зона, сл.5.2.

Запчаниците кои не налегнуваат точно еден на друг покажуваат вид нелинеарно

однесување кое се нарекува хистерезис, сл.5.3. Од сл.5.3 се гледа дека влезниот

запчаник мора да се придвижи за растојание 2

b пред да го допре излезниот запчаник и

да го натера на движење; во спротивна насока, влезниот запчаник мора да се придвижи

за растојание b пред излезниот запчаник воопшто да се придвижи.

Сл.5.1. Влезно-излезна карактеристика на еден електронски засилувач

и

з

л

е

з

влез


154 ЗБИРКА ЗАДАЧИ ПО МОДЕЛИРАЊЕ, СИМУЛАЦИЈА И ИДЕНТИФИКАЦИЈА

Сл.5.2. Влезно-излезна карактеристика на мотор со мртво време

Сл.5.3. а) Приказ на два запци од влезен и излезен запчаник. б) Нелинеарна

карактеристика од типот на хистерезис

За да можат веќе изложените постапки за моделирање линеарни динамички системи да

се применат и кај нелинеарните динамички системи, се врши нивна линеаризација во

одредено подрачје од нивниот режим на работа. Накусо линеаризацијата може да се

дефинира како процес на одредување линеарен модел за даден нелинеарен систем.

Притоа, многу е битно да се истакне дека линеарниот модел не е егзактен, туку само

приближен математички опис на набљудуваниот нелинеарен систем, чие поведение е

блиску до поведението на нелинеарниот систем само во тесна околина на одбраната

точка во која се врши линеаризацијата. Надвор од таа околина, линеарниот модел

значително отстапува во поведението од оригиналниот нелинеарен систем.

Идејата за линеаризација се темели врз еден од резултатите на големиот руски научник

Љапунов, кој пред повеќе од 100 години докажал дека, ако линерниот модел на еден

нелинеарен систем е стабилен и верно го претставува нелинеарниот систем во околина

влез

излез

Излезен запчаник

Влезен запчаник



на одбраната рамнотежна состојба, тогаш постои област околу истата рамнотежна

состојба во која е стабилен и самиот нелинеарен систем. Тоа во основа значи дека,

барем во околината на рамнотежната состојба, поведението на еден нелинеарен систем

може да се анализира преку поведението на неговиот линеарен модел.

На сл.5.4 графички е прикажана линеаризацијата на една функција xf во околина на

рамнотежната точка nx . Таа се состои во замена на оригиналната крива xf со

нејзината тангента во рамнотежната точка nx . Кога f е функција од два аргументи,

не станува збор за крива, туку за закривена површина, која, во околина на

рамнотежната точка се апроксимира со тангентна рамнина.

Сл.5.4. Графичка илустрација на процесот на линеаризација

Постапката за линеаризација на еден нелинеарен динамички систем може да се

илустрира на следниот нелинеарен динамички систем од прв ред, со еден влез ty и

еден излез tx , опишан со следниот модел во просторот на оригиналите (временското

подрачје):

(5.1) 0 , , txtytxftx

Почетниот услов на системот 0tx , под претпоставка, е однапред зададен и познат.

Нека номиналниот работен режим на системот е означен со tyn и txn ; tyn се

нарекува номинален влез, а txn се нарекува номинален излез или номинална

траекторија на набљудуваниот систем. За номиналниот работен режим важи:

nxf

xf

xnx



(5.2) , tytxftx nnn

Поведението на набљудуваниот систем во непосредна околина на избраната

номинална работна точка може да се опише на следниот начин:

(5.3) txtxtx n

каде што tx го означува отстапувањето на променливата tx од нејзината

номинална вредност txn (односно отстапувањето на работниот режим на системот

од номиналниот) и претставува многу мала величина. На сличен начин може да се

претстави и влезот ty на системот во околина на номиналната работна точка:

(5.4) tytyty n

чие што отстапување од номиналната вредност tyn е ty . За непосредната околина

на избраната номинална работна точка, релацијата (5.1) може да се запише на следниот

начин:

(5.5) 0 , , txtytytxtxftxtx nnn

Линеаризација на набљудуваниот нелинеарен систем (5.2), во околина на избраната

номинална работна точка txty nn , , е заснована врз постапката за развој на

нелинеарната функција tytxf , во Тајлоров ред, при што се задржуваат само

линеарните членови од тој развој:

(5.6)

txtx

x

tytxftytxftytxf n

xynn

nn ,

,,,

tyty

y

tytxfn

xy nn ,

,нелинеарни членови

Тогаш, релацијата (5.2) може да се запише на следниот начин:

(5.7)

tytxfdt

txd

dt

txd

dt

txtxdnn

nn ,

tytyy

tytxftxtx

x

tytxfn

xyn

xynnnn

,,

,,

односно:



(5.8)

tyy

tytxftx

x

tytxf

dt

txd

nnnn xyxy

,,

,,

Со воведување на смените:

(5.9)

nn xyx

tytxfa

,0

,

(5.10)

nn xyy

tytxfb

,0

,

линеарниот модел (5.8) на набљудуваниот нелинеарен систем преминува во следниот

облик:

(5.11)

tybtxadt

txd

00

Соодветниот почетен услов на моделот (5.11) се определува од условот:

(5.12) 000 txtxtx n

и тој изнесува:

(5.13) 000 txtxtx n

Во општ случај, линеарниот модел (5.11) е нестационарен, меѓутоа овде главно ќе

бидат разгледувани стационарните динамички системи. Треба да се уочи дека моделот

(5.11) се однесува на прираснувањата на одделните променливи, а не на самите

променливи, иако, заради едноставност во записот и пресметките, ознаките за

прираснување најчесто се испуштаат.

Пример.5.1. Да се состави линеарен модел за хидрауличниот систем прикажан на

сл.5.5. Системот се состои од резервоар со константен попречен пресек S и

конструктивна константа . Количеството течност што дотекува во резервоарот во

единица време е QQdot , додека количеството течност што истекува од резервоарот

во единица време е isQ и тоа зависи од нивото на течност во резервоарот h :

(5.14) hQis



Сл.5.5. Илустрација кон примерот 5.1

Решение: Врз основа на законот за зачувување на материјата, за набљудуваниот

хидрауличен динамички систем важи:

(5.15) tQQhS isdot

Оттука, за 0t непосредно следува:

(5.16) dttQtQtSdh isdot

Имајќи ја на ум нелинеарната зависност (5.14), релацијата (5.15) може да се доведе на

облик:

(5.17)

tQthfthtQS

thtQSdt

tdhdot ,

11

Равенката (5.17) претставува нелинеарна диференцијална равенка од прв ред, бидејќи

набљудуваниот хидрауличен систем е нелинеарен динамички систем од прв ред.

Неговата линеаризацијата се врши околу номиналната состојба nn Qh , за која важи:

(5.18)

thtQSdt

tdhnn

n 1

th

dotQ

isQ



Во непосредна околина на номиналната точка nn Qh , , променливите на моделот

(5.17) можат да се претстават на следниот начин:

(5.19) tQtQtQ n

(5.20) ththth n

додека развојот на нелинеарната функција tQthf , во Тајлоров ред гласи:

(5.21) tQtQththftQthf nn ,,

thth

h

tQthftQthf n

Qhnn

nn ,

,,

членови нелинеарни

,

,

tQtQQ

tQthfn

Qh nn

tQS

ththS

thtQS n

nn1

2

1

Оттука:

(5.22)

dt

thd

dt

tdh

dt

ththd

dt

tdh nn

tQtQththf nn ,

thth

h

tQthftQthf n

Qhnn

nn ,

,,

tQtQ

Q

tQthfn

Qh nn ,

,

tQS

ththS

thtQS n

nn 1

2

1

и, следствено:

(5.23)

tQ

Sth

thSdt

thd

n

1

2



Равенката (5.23) го претставува бараниот линеарен модел на набљудуваниот

нелинеарен хидрауличен систем, кој важи само во непосредна околина на избраната

работна точка.

На сличен начин може да се линеаризира и нелинеарниот динамички систем од втор

ред, со еден влез ty и еден излез tx , опишан со следниот модел во просторот на

оригиналите (временското подрачје):

(5.24) 00 , ; ,,, txtxtytytxtxftx

во околина на зададен номинален работен режим ,,, txtxtyty nnnn . Така, со

воведување на смените:

(5.25) txtxtx n

(5.26) txtxtx n

(5.27) tytyty n

(5.28) tytyty n

и развој на нелинеарната функција ,,, tytytxtxf во Тајлоров ред по нејзините

аргументи во непосредна околина на избраната номинална работна точка:

(5.29) tytytxtxftytytxtxf nnnn ,,,,,,

txtxx

tytytxtxfn

xyxy nnnn ,,,

,,,

txtxx

tytytxtxfn

xyxy nnnn ,,,

,,,

tytyy

tytytxtxfn

xyxy nnnn ,,,

,,,

tytyy

tytytxtxfn

xyxy nnnn ,,,

,,,

+ нелинеарни членови



се добива:

(5.30)

tytytytytxtxtxtxftxtx nnnnn ,,,

tytytxtxf nnnn ,,,

txtxx

tytytxtxfn

xyxy nnnn ,,,

,,,

txtxx

tytytxtxfn

xyxy nnnn ,,,

,,,

tytyy

tytytxtxfn

xyxy nnnn ,,,

,,,

tytyy

tytytxtxfn

xyxy nnnn

,,,

,,,

односно:

(5.31)

txx

tytytxtxftx

nnnn xyxy ,,,

,,,

txx

tytytxtxf

nnnn xyxy ,,,

,,,

tyy

tytytxtxf

nnnn xyxy ,,,

,,,

tyy

tytytxtxf

nnnn xyxy ,,,

,,,

Ако коефициентите на моделот (5.31) се означат со 0a , 1a , 0b и 1b , соодветно, тој

може да се запише во следниот општ облик:

(5.32) tybtybtxatxatx

0101

каде што:



(5.33)

nnnn xyxyx

tytytxtxfa

,,,0

,,,

(5.34)

nnnn xyxyx

tytytxtxfa

,,,1

,,,

(5.35)

nnnn xyxyy

tytytxtxfb

,,,0

,,,

(5.36)

nnnn xyxyy

tytytxtxfb

,,,1

,,,

Почетните услови на линеарниот модел (5.32) се добиваат од релациите:

(5.37) 000 txtxtx n

(5.38) 000 txtxtx n

(5.39) 000 tytyty n

(5.40) 000 tytyty n

Пример.5.2. Проблемот на балансирање стап може да се опише со следниот

математички модел:

(5.41) tytfttytt ,cossin

каде што t е аголот на отклонување на стапот од вертикалната оска, додека ty е

хоризонталната сила на прстот со која се врши балансирањето.

Решение: Нелинеарниот модел (5.41) се линеаризира околу номиналната точка

tyt nn , :

(5.42) 0 tt nn

0tyn

за која важи:



(5.43) ttt n

(5.44) tytyty n

(5.45)

nnnn yyt

tytyttfa

,,,0

,,,

1sincos ttyt nnn

(5.46)

0

,,,

,,,1

nnnn yyt

tytyttfa

(5.47)

1cos,,,

,,,0

ty

tytyttfb n

yy nnnn

(5.48)

0

,,,

,,,,1

nnnnn yyyty

tytyttfb

па, бараниот линеарен модел ќе гласи:

(5.49) tytt

односно:

(5.50) tytt

Читателот лесно ќе забележи дека, со оглед на (5.42), важи:

(5.51)

tt

(5.52) tyty

Линеарниот модел (5.49) односно (5.50) може да се добие и со примена на

апроксимациите:

(5.53) 1cos ,sin ttt

кои важат за мали агли t .

Изложената постапка за линеаризација на нелинеарни динамички системи од прв и

втор ред, може да се прошири и на нелинеарни динамички системи од произволен n



ти ред. Меѓутоа, со зголемувањето на редот на системот, и посебно во случајот на

повеќевеличински нелинеарни системи, пресметките поврзани со неа стануваат

обемни и долготрајни. Оттаму, многу поедноставно е да се примени постапката за

линеаризација преку соодветен модел во просторот на состојби.

Нека најнапред се набљудува нелинеарен систем со еден влез ty и еден излез tx ,

чие поведение во просторот на состојби е опишано со следниот модел:

(5.54) 00 , , ttytt vvvfv

tytgtx ,v

Величината tv го претставува векторот на состојба на набљудуваниот систем, f и

g се нелинеарни функции од своите аргументи и 00 tvv е соодветниот почетен

услов. Линеаризацијата на моделот (5.54) се врши во околина на рамнотежната

состојба на набљудуваниот систем, која се карактеризира со нулев извод на векторот

на состојба tv :

(5.55) 0vfvfvv rrrrrr ytytt ,,

Следствено, рамнотежната состојба на нелинеарниот систем (5.54), околу која се врши

негова линеаризација, претставува решение на равенките (5.54), за кое важи:

(5.56) tt r vvv

tyyty r

Нелинеарната функција tytt ,vfv се линеаризира така што се развива во

Тајлоров ред во околина на избраната рамнотежна состојба rv и се задржуваат само

линеарните членови од тој развој:

(5.57)

ttt r vvvv

r

rr

rrr yty

yttyt

fvv

v

fvf ,

tytytyy

t rr

rr

bvA

fvv

v

f

На сличен начин, за нелинеарната функција tytgtx ,v се добива следната

линеарна апроксимација:



(5.58)

r

rr

rrrr yty

y

gt

gtytgtxxtx vv

vv ,

tydttx vc

Оттука, системот:

(5.59) tyttyy

tt

rr

bvAf

vv

fv

tydttyy

gt

gtx

rr

vcv

v

претставува линеарен модел на нелинеарниот систем (5.54) во околина на

рамнотежната состојба rv одредена со (5.55). Притоа, моделот (5.59) се однесува на

прираснувањата на одделните променливи, а не на самите променливи, иако, заради

едноставност во записот и пресметките, ознаките за прираснување најчесто се

испуштаат.

(5.60) 000 ttt r vvv

000 tytyty r

Пример.5.3. Дадено е едноставно физичко нишало, прикажано на сл.5.6.

Сл.5.6. Едноставно физичко нишало

l

m

sinmg

cosmg

mg



Слободното движење на нишалото е опишано со нелинеарната диференцијална

равенка:

(5.61) 0100 , ;0sin tttl

gt

каде што l е должината на нишалото, е аголот на отклонување на нишалото од

вертикалната оска, g е земјиното забрзување и 0t и 0t се соодветните почетни

услови.

Решение: Со воведување на смените:

(5.62) ttv 1

ttv 2

равенката (5.61) се сведува на следниот систем диференцијални равенки од прв ред:

(5.63) tvtvftvttv 21121 ,

tvtvftvl

gt

l

gttv 21212 ,sinsin


(5.64) 000110 ttvv

100220 ttvv

Равенките (5.63) се всушност диференцијалните равенки на векторот на состојба на

набљудуваниот систем, чии елементи се состојбените големини (5.62), и заедно со

равенката на излезот:

(5.65) tvt 1

тие претставуваат еден модел на нишалото од сл.5.6 во просторот на состојби.

Рамнотежната состојба на нишалото се добива од условите:

(5.66) 0, 21121 tvtvftvttv

0,sinsin 21212 tvtvftvl

gt

l

gttv



и таа е опишана со релациите:

(5.67) ,...2,1,0 ;1 kkvr

02 rv

Очигледно, нишалото има бесконено многу рамнотежни состојби, но, по правило, се

усвојува првата. Тогаш, развојот на функцијата tvtvf 212 , во Тајлоров ред во

околина на точката TrTrrrr vv 0021 v ќе биде даден со изразот:

(5.68)

tvtvvtv r 2222

22

2

211

1

2212 , r

r

r

rr vtv

v

fvtv

v

ftvtvf

tv

v

ftv

v

f

rr

22

21

1

2

На ова место треба да се забележи дека функцијата tvtvf 211 , веќе е линеарна и

нема потреба од нејзин развој во Тајлоров ред.

Со задржување само на линеарните членови во (5.68) се добива следниот линеарен

модел на нишалото од сл.5.6 во просторот на состојби:

(5.69) tvtv 21

tvl

gtv 12

___________________

tvt 1

Соодветните почетни услови на моделот (5.69) се определуваат од условите:

(5.70) 010101 tvtvtv r

(5.71) 020202 tvtvtv r

Во продолжение е дадена општата постапка за линеаризација на нелинеарен

повеќевеличински континуален динамички систем од произволен ред n , опишан во

просторот на состојби со следниот модел:



(5.72) ttt yvfv ,

ttt yvgx ,

Нека системот, под претпоставка, има l влезови и m излези, претставени со

соодветните вектори:

(5.73) Transl tytytytyt 321y

(5.74) Transm txtxtxtxt 321x

додека tv е неговиот вектор на состојби кој има n елементи:

(5.75) Transn tvtvtvtvt 321v

Рамнотежната состојба на системот е определена со условот:

(9.19) 0yvfyvfvv rrrrrr ttt ,,0

и е преставена со векторот:

(9.20) Transnrrrrr vvvv 321v

а рамнотежната точка околу која се врши линеаризацијата е точката

mrrrlrrrnrrr xxxyyyvvv ,...,,;,...,,;,...,, 212121 .

Линеарниот дел од Тајлоровиот развој во ред на функцијата tt yvf , во околина на

рамнотежната точка може да се претстави на следниот начин:

(9.21)

r

r

ir

r

irii vv

v

fvv

v

fff 22

211

1

,, yvyv

r

r

inrn

rn

i yyy

fvv

v

f11

1

lrl

rl

ir

r

i yyy

fyy

y

f22

2



nrn

r

r

r

rn

i

r

i

r

i

r

i

vv

vv

vv

vv

v

f

v

f

v

f

v

f33

22

11

321

ni

yy

yy

yy

yy

y

f

y

f

y

f

y

f

lrl

r

r

r

rl

i

r

i

r

i

r

i ,...,2,1 ; 33

22

11

321

додека линеарниот дел од Тајлоровиот развој во ред на функцијата tt yvg , во

околина на истата точка е:

(9.22)

r

r

jr

r

jrjj vv

v

gvv

v

ggg 22

211

1

,, yvyv

r

r

jnrn

rn

jyy

y

gvv

v

g11

1

lrl

rl

jr

r

jyy

y

gyy

y

g22

2

nrn

r

r

r

rn

j

r

j

r

j

r

j

vv

vv

vv

vv

v

g

v

g

v

g

v

g33

22

11

321

mj

yy

yy

yy

yy

y

g

y

g

y

g

y

g

lrl

r

r

r

rl

j

r

j

r

j

r

j,...,2,1 ; 33

22

11

321



Следствено, линеарниот модел на набљудуваниот нелинеарен систем во просторот на

состојби ќе биде следниот:

(9.23)

tv

tv

tv

v

f

v

f

v

f

v

f

v

f

v

f

v

f

v

f

v

f

tvdt

d

tvdt

d

tvdt

d

n

rn

n

r

n

r

n

rnrr

rnrr

n

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

ty

ty

ty

y

f

y

f

y

f

y

f

y

f

y

f

y

f

y

f

y

f

l

rl

n

r

n

r

n

rlrr

rlrr

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

tv

tv

tv

v

g

v

g

v

g

v

g

v

g

v

g

v

g

v

g

v

g

tx

tx

tx

n

rn

m

r

m

r

m

rnrr

rnrr

m

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

ty

ty

ty

y

g

y

g

y

g

y

g

y

g

y

g

y

g

y

g

y

g

l

rl

m

r

m

r

m

rlrr

rlrr

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

Пример.5.4. Даден е механичкиот систем од сл.5.7, кој се состои од тег со маса M ,

прицврстен за ѕид со пружина со коефициент на крутост K . За тегот е закачено

нишало со должина l и маса m , кое осцилира околу својата рамнотежна состојба со



агол . Движењето на набљудуваниот систем е опишано со следниот систем

диференцијални равенки:

(5.76)

tKxttml

tmgtg

t

tx

tmlMm

ttgtmltmlm2sincos

sincos

Сл.5.7. Нелинеарен механички систем од четврти ред

Решение: Ако за состојбени големини се одберат линеарното движење tx ,

линеарната брзина tx , агловото движење t и агловата брзина t :

(5.77) txtv 1

txtv 2

ttv 3

ttv 4

еден модел на набљудуваниот нелинеарен систем во просторот на состојби ќе биде

следниот:

m

l

K

tx

M



(5.78)

tv

tv

tv

tv

tvmlMm

ttgvtvmltvmlm

4

3

2

1

3

333

cos00

0100

sincos00

0001

tKvtvtvml

tv

tmgtgv

tv

12

43

4

3

2

sin

Моделот (5.78) е од облик:

(5.79) BvA t

кој, по множењето од лево со инверзната матрица кон матрицата A , станува:

(5.80) BAv1 t

Очигледно, системот равенки (5.78) е нелинеарен, заради присуството нелинеарни

членови во него – тригонометриски функции од променливите, производи од

тригонометриски функции од променливите и квадрати од променливите.

Рамнотежната состојба на системот произлегува од условот:

(5.81) 0BAv 0

10

при што сите изводи во системот (5.78) треба да се изедначат со нула, вклучувајќи го и

членот на десната страна од четвртата равенка, во која се јавува квадратот од првиот

извод на состојбената променлива tv4 .

Линеарниот дел од развојот на функцијата (5.78) во Тајлоров ред во околина на

рамнотежната точка 0v е:

(5.82)

tt

dt

dvBA

vBAv

0

10

1

tvBAv

Bv

A

00

1

00

1



Од равенството (5.80) следува дека во рамнотежната точка 0B , додека 0A е:

(5.83)

mlMm

mlm

00

0100

00

0001

0A

Конечно:

(5.84)

043210 vvvv

BBBBB

v

0432

43

32

sin2cos0

1000

0sec00

0010

tvtvmltvtvmlK

tvmg

000

1000

000

0010

K

mg

па равенството (5.80) се сведува на:

(5.85)

tt

dt

dvB

vAv

00

1

t

K

mg

mlMm

mlmv

000

1000

000

0010

00

0100

00

00011

Лекција 10. Работа во SIMULINK 175

__________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

Mоделирање, идентификација и симулација

6. РАБОТА ВО MATLAB SIMULINK

1. ЗАПОЗНАВАЊЕ СО ОКОЛИНАТА MATLAB SIMULINK

1.1 УВОД ВО SIMULINK

SIMULINK е симулациона програма која работи во рамките на програмскиот пакет

MATLAB. Има неколку начини да се дефинира модел. Едниот е да се работи

графички, при што ќе се дефинира блок дијаграм со користење на веќе предефинирани

блокови, а другиот е да се даде математички опис на проблемот со помош на

диференцијални равенки зададени во mfile (форматот во кој се пишува mfile – от треба

да биде зададен во програмскиот јазик користен од MATLAB).

MATLAB/Simulink ги поддржуваат двете од овие репрезентации, како и нивни

комбинации. Уште повеќе, може и да се користи опис, во кој ќе постои хиерархија на

меѓу поврзаните системи.

За да се разбере како се опишуваат моделите и како се врши нивна симулација со

помош на блок дијаграми, најдобро е да се изведат кратки примери на комјутер. Во

продолжение се дадени неколку примери.

1.2 КАКО СЕ СТАРТУВА SIMULINK

Стартувајте го MATLAB. Потоа впишете ја наредбата simulink во командниот

прозорец. Со извршување на оваа наредба на екранот се појавува прозорец со

блокови прикажан на сликата 1. Секој блок претставува библиотека која содржи

одреден број градбени блокови.

1.3 Едноставен систем

Кликнете на File во Simulink прозорецот, и од паѓачкото мени изберете New ->

Model. Изберете ја библиотеката Continuous и земете го блокот Transfer Fcn во

новиот прозорец наречен “Untitled”. Истото направете го со Sources->Step Fcn и

Sinks->Scope. Нацртајте стрелки (лев клик на глувчето) и поврзете ги

176 Лекција 10. Работа во SIMULINK

___________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________


влезно/излезните порти на блоковите. Треба да добиете блок – дијаграм како на

сликата 2.

Сл. 2 Едноставен систем во Simulink

Изберете Simulation->Parameters во прозорецот “Untitled”. Нагодете ја

вредноста Stop time на 5. Отворете го прозорецот за блокот Scope со двоен клик

на самиот блок. Стартувајте ја симулацијата со Simulation- >Start.

Како да се промени системот. За да се промени системот во систем со преносна

функција даден подолу:

25.0

1

2 ss

двојно кликнете на блокот Transfer Fcn и сменете го полето Denominator на [1 0.5 2].

Ова значи дека ги подесувате коефициентите пред членовите од именителот од

најголем кон најмал. Симулирајте го новиот систем со Simulation->Start. Менувајте ги

параметрите во менито за симулација и скалите во блокот Scope, додека не бидете

задоволни.

Како да го промените влезниот сигнал. За да се промени влезниот сигнал, прво

треба да се избрише блокот Step Fcn на тој начин што истиот се селектира и се брише

со наредбата Edit->Delete. Истиот може да се замени со блокот Sources->Signal

Generator. Двојно кликнете на блокот Signal Generator и селектирајте го саканиот облик

на сигналот, неговата амплитуда и фреквенција. Исто така променете го времето на

запирање на симулацијата Simulation->Parameters->Stop Time на “Inf” и одберете

Simulation->Start. Со ова се добива бесконечна симулација која може да се запре со

избирање на наредбата Simulation->Stop.

- Може ли да се изврши промена на амлитудата на влезниот сигнал за време на

симулацијата?

- Исто така пробајте да ги измените параметрите на блокот Transfer Fcn за време

на симулацијата.

Како да се користат променливите дефинирани во MATLAB во Simulink

блоковите. Треба да се забележи дека променливите кои се дефинираат во MATLAB

околината можат да се користат во Simulink.

Дефинирајте броител и именител на преносната функција со испишување на

следните наредби во командниот прозорец на MATLAB:


__________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________


num=[1 1]

den=[1 2 3 4]

Во блокот Transfer Fcn променете ги параметрите за Numerator и Denominator на

num и den.

Како да зачувате резултати од Simulink како MATLAB променливи.

За да се зачуваат вредностите од влезовите и излезите преместете две копии од блокот

Sinks->To Workspace. Поврзете ги овие блокови со влезот и излезот од блокот Transfer

Fcn. Земете блок Sources->Clock и поврзете го со блок Sinks->To Workspace. Двојно

кликнете на блоковите Workspace, за да може да ги смените имињата на променливите

на u, y и t, соодветно. Променете го полето Save format на вредност Array. Прозорецот

треба да има облик како на сликата 3.

Сл. 3

Како да се користат резултатите од симулациите при пресметките во MATLAB.

Нека влезниот сигнал има форма на синусна функција со фреквенција 0.1 rad/s и

амплитуда 1. Изберете ги параметрите за должина на симулацијата доволно долги за да

излезот стане стационарен.

Пресметајте:

n=length(y)

max(y(n/2:n))

и споредете го ова со теоретската вредност G(0.1i)

>>g=tf(num,den)


___________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________


Transfer function:

s + 1

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 4

>> abs(evalfr(g,0.1*i))

ans =

0.2518

Како да се зачуваат системите. Користете ги наредбите File-Save As or File->Save.

2. ПРОТОЧЕН СИСТЕМ

Да разгледаме еден едноставен систем од еден резервоар, претставен со следниот

модел во просторот на состојби:

Ова може да се претстави во Simulink со помош на дијаграмот прикажан на сликата 4.

Сл. 4 Систем од еден резервоар

Функцијата f (u) има вредност a*sqrt(2*g*u[1]). На блокот за сумирање му се зададени

два влеза со различни знаци, со што се задава стрингот “-+” на параметарот Sum->List

of Signs. Блокот за сума и Gain (засилување) се наоѓаат во библиотеката Math

Operations, а блокот Fcn се наоѓа во библиотеката User-Defined Functions. Малите

елипси, кои се наоѓаат во библиотекита Ports & Subsystems, му кажуваат на Simulink

што треба да се смета за влез, а што за излез од овој (под)систем. Имињата на

блоковите може да се сменат со кликнување на нив. Селектирајте го целиот систем со

притиснат лев клик на глувчето, со тоа што ќе означите правоаголник околу него.

Потоа од паѓачкото мени изберете Edit->Create Subsystem. Оваа постапка резултира со

тоа што сега системот е претставен со еден блок. Користете ја наредбата Edit->Copy за


__________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________


да формирате систем кој ќе биде составен од два резервоара. Користете ги наредбите

trim и linmod за да најдете линеаризиран модел

Сл. 5 Систем од два резервоари и врски помеѓу нив на системот од двата резервоари,

околу точката 1.00

2

0

1 hh

Користете ги параметрите 3

21 10*7.2 AA , 6

21 10*0.7 aa , g = 9.8. Исцртајте ја

Бодеовата и Најквистовата крива со користење на наредбита bode и nyquist, при што

наместо „flow‟ ќе го запишете името на вашиот проект.

>> A=2.7e-3;a=7e-6;g=9.8;

>> [x0,u0,y0]=trim(‟flow‟,[0.1 0.1]‟,[],0.1)

Warning: Output port 2 of block ‟twotank/Subsystem‟ is not connected.

Warning: Output port 1 of block ‟twotank/Subsystem1‟ is not connected.

x0 =

0.1000

0.1000

u0 =

9.7995e-06

y0 =

0.1000

>> [aa,bb,cc,dd]=linmod(‟flow‟,x0,u0);

>> sys=ss(aa,bb,cc,dd);

>> bode(sys)

>> nyquist(sys)

3. ДОДАТОК

Основни библиотеки во MATLAB Simulink и нивна сидржина:

Sources - Во оваа библиотека се наоѓаат сите можни видови на возбудни

сигнали подржани од Matlab Simulink (step, impulse, sin…).


___________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________


Sinks – Во оваа библиотека пак се наоѓаа избор на формат во кој резултатот

ќе биде претставен на корисникот (низа во матлаб – to workspase, директно

на график – scope и сл.)

Continuous – Разни видови на континуални функции, чии параметри се

птоменливи, односно се нагодуваат по потребите на корисникот.

Discrete – Разни видови на дискретни функции исто така со можност за

промена на параметрите.

Math – Голем број на математички функции.

Functions & Tables – Содржи блокови кои подржуваат внрсување на

произволни функции од корисникот или правење на табели со правила.

Забелешка: Имињата на блоковите може да се разликуваат во различни верзии на

Матлаб, но сигурно се групирани по некој сличен, логичен распоред.

Лекција 11. Идентификација на детерминистички динамички системи 181

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________


11. ИДЕНТИФИКАЦИЈА НА ДЕТЕМИНИСТИЧКИ

ЛИНЕАРНИ СТАЦИОНАРНИ ДИНАМИЧКИ

СИСТЕМИ

11.1. ИДЕНТИФИКАЦИЈА НА ДЕТЕМИНИСТИЧКИ ЛИНЕАРНИ

КОНТИНУАЛНИ ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ ВО ВРЕМЕНСКО

ПОДРАЧЈЕ (ВРЕМЕНСКА ИДЕНТИФИКАЦИЈА)

Под терминот идентификација на динамиката на еден линеарен стационарен

континуален динамички систем се подразбира определување на преносната функција

на системот врз основа на измерените влезни и излезни големини на системот, кои се

обработуваат на соодветен математички начин. Притоа се претпоставува дека

набљудуваниот систем е без енергија во времето 0t , односно дека неговите почетни

услови се нулеви. Идентификацијата во временско подрачје се врши врз основа на

мерење на преодната карактеристика од зададениот систем. Овде ќе биде прикажана

временската идентификација само на системите чии полови се еднократни (прости) и

различни од нулата, бидејќи овие системи се поедноставни за обработка.

Многу често во праксата, наместо со преодната карактеристика:

(11.1)

s

sGLtx 1

се работи со помошната карактеристика:

(11.2) txxtx

бидејќи граничната вредност x може секогаш лесно да се измери, а и

карактеристиката tx е попогодна за обработка. Во продолжение, при

идентификацијата на динамиката на еден систем секогаш ќе претпоставуваме дека е

познат редот на системот n. Во спротивно, постапката на идентификација би се

усложнила.

За определување на половите is на непознатата преносна функција sG најнапред

треба да се определат 12 n еквидистантни точки на карактеристиката tx : 11 txx ,

22 txx , 33 txx , . . . кои се добиваат со мерење на преодната карактеристика tx

на идентификуваниот систем во еднакви временски интервали Т, поаѓајќи од

почетниот миг на набљудување 0t , кој се усвојува да биде еднаков на нула, 00 t :

Ttt 01 , Ttt 202 , Ttt 303 , . . . На овој начин секогаш ќе биде позната

точката 1000 xtxx .

182 Лекција 11. Идентификација на детерминистички динамички системи

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________


Со помош на определените точки 1x , 2x , 3x , . . . на карактеристиката tx од системот

што се идентификува, се формира систем од n линеарни алгебарски равенки по

непознатите niDi ,...,2,1 :

(11.3) 022110 nnDxDxDxx

0123121 nn DxDxDxx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0122111 nnnnn DxDxDxx

чии решенија niDi ,...,2,1 се коефициенти на полиномот:

(11.4)

n

i

ii zDza

1

1

Нулите iz на полиномот (11.4) и половите is на системот, чија динамика треба да се

идентификува, се врзани со релацијата:

(11.5) nizT

s ii ,...,2,1;ln1

Преодната карактеристика tx на системот што се идентификува може да се опише со

следниот општ израз:

(11.6) 0,

1

teCxtx

n

i

tsi

i

каде што iC се соодветни коефициенти кои допрво треба да се определат, а is се

половите на непознатата преносна функција sG . Оттука, помошната карактеристика

tx ќе биде дадена со изразот:

(11.7) 0,

1

teCtx

n

i

tsi

i

Со цел да се постигне најдобра апроксимација на карактеристиката tx , непознатите

коефициенти iC во (11.7) односно (11.6), се определуваат со методата на најмали

квадрати на отстапувањата (грешките):


__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________


(11.8)

n

i

tsijj

jieCtxte

1

според која бараните вредности за коефициентите iC произлегуваат од условот за

минимум на функцијата:

(11.9) nNeCtxteCCCFN

j

n

i

tsij

N

jjn

ji

,,...,,

1

2

11

221

Притоа мора едновремено да биде задоволен и условот:

(11.10) nCCCx 210

кој обезбедува еднаква почетна вредност на измерената и апроксимативно одредената

помошна преодна карактеристика tx .

Коефициентите iC се решенија на системот равенки:

(11.11) nCCCx 210

njCCCFC

nj

,...,3,2;0,...,, 32

каде што:

(11.12)

N

j

n

i

tstsi

tsjn

jjij eeCextxCCCF

1

2

232

110,...,,

и N е бројот извршени мерења.

Врз основа на определената помошна преодна карактеристика tx и релацијата (11.6)

може да се определи и самата преодна карактеристика tx на системот, чија динамика

се идентификува. Тогаш, преносната функција sG на идентификуваниот систем се

добива со Лапласова трансформација на tx според изразот:

(11.13) txsLssXsG


__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________


Пример 11.1. Да се определат половите 2,1s на преносната функција sG на линеарен

стационарен континуален динамички систем од втор ред, од чија преодна

карактеристика tx се снимени неколку точки и се дадени во Таблица 11.1.

Таблица 11.1. Точки од преодната карактеристика tx од примерот 11.1

t 0 1.5 3.0 4.5

tx 0 1.295 1.449 1.394 1

Решение: Врз основа на (11.2) се добива Таблица 11.2.

Таблица 11.2. Точки од помошната карактеристика tx од примерот 11.1

t 0 1.5 3.0 4.5

tx 1 -0.295 -0.449 -0.394 0

Со оглед на редот на системот што се идентификува, се формира систем од две

линеарни алгебарски равенки со две непознати 1D и 2D :

(11.14) 022110 DxDxx

023121 DxDxx

каде што вредностите 3210 ,,, xxxx се отчитуваат од Таблица 11.2. Следствено,

решенијата 1D и 2D на системот (11.14) со конкретен облик:

(11.15) 0449.0295.01 21 DD

0394.0449.0295.0 21 DD

се:

(11.16) 167.61 D , 278.62 D

и тие претставуваат коефициенти на полиномот:

(11.17) 2221

2

1

278.6167.6111 zzzDzDzDza

i

ii

чии нули се:

(11.18) 776.01 z , 204.02 z


__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________


Бараните полови на набљудуваниот систем од примерот се определуваат според

изразот (11.5) и изнесуваат:

(11.19) 169.0776.0ln5.1

1ln

111 z

Ts

059.1204.0ln5.1

1ln

122 z

Ts

Пример 11.2. Да се определи преносната функција sG на линеарен стационарен

континуален динамички систем од втор ред, од чија преодна карактеристика tx се

снимени неколку точки и се дадени во Таблица 11.3.

Таблица 11.3. Точки од преодната карактеристика tx од примерот 11.2

t 0 0.75 1.5 2.25

tx 0 0.283 0.772 1.1085 1

Решение: Во Таблица 11.4 се дадени соодветните точки од помошната преодна

карактеристика tx на набљудуваниот систем, пресметани врз основа на Таблица 11.3

и изразот (11.2).

Таблица 11.4. Точки од помошната карактеристика tx од примерот 11.2

t 0 0.75 1.5 2.25

tx 1 0.717 0.228 -0.1085 0

Бидејќи за системот што се идентификува е претпоставен ред 2, се формира систем од

две линеарни алгебарски равенки по непознатите 1D и 2D :

(11.20) 022110 DxDxx

023121 DxDxx

___________________

0228.0717.01 21 DD

01085.0228.0717.0 21 DD

чии решенија се:

(11.21) 1.21 D , 205.22 D


__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________


Половите 2,1s на набљудуваниот систем од примерот се определуваат преку нулите на

полиномот:

(11.22) 2221

2

1

205.21.2111 zzzDzDzDza

i

ii

кои изнесуваат:

(11.23) 41 676.0

j

ez , 42 676.0

j

ez

па така, во согласност со (11.5), за 2,1s се добива:

(11.24) 3

52.0676.0ln75.0

1ln

1 411

jezT

sj

3

52.0676.0ln75.0

1ln

1 422

jezT

sj

Преку половите (11.24), преодната карактеристика tx може да се запише во следниот

облик:

(11.25) tjtj

tsts

i

tsi eCeCeCeCeCtx i

3

52.0

23

52.0

121

2

1

21

Бидејќи половите 2,1s чинат еден коњугирано комплексен пар, такви ќе бидат и

коефициентите 2,1C , па може да се запише:

(11.26) jC 2,1

односно:

(11.27) 22 CC

Со воведување на смената (11.26) во (11.25) се добива:

(11.28)

ttetx t

3sin2

3cos2)( 52.0

односно:


__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________


(11.29)

ttetx t

3sin2

3cos)( 52.0

бидејќи од условот:

(11.30) 21 210 CCx

непосредно следува дека:

(11.31) 2

1

Останува уште да се определи параметарот , за што се користи методот најмали

квадрати. Критериумската функција за идентификација, која претставува збир од

квадратите на отстапувањата односно грешките помеѓу измерените и апроксимативно

одредените вредности на помошната карактеристика tx , во случајот е дадена со

изразот:

(11.32)

3

1

22

1

3

1

221,

j i

tsij

jj

jieCtxteCCF

Fttetx

jjj

tj

j

3

1

252.0

3sin2

3cos

и таа зависи само од непознатиот параметар , кој се определува од условот за

минимум на (11.32):

(11.33) 25.05.020

F

Следствено:

(11.34)

ttetx t

3sin5.0

3cos)( 52.0

и:

(11.35)

ttetx t

3sin5.0

3cos1)( 52.0

Со Лапласова трансформација на изразот (11.35) се добива сликата:


__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________


(11.36)

22

2

22

22

352.0

52.004.1

352.0

35.0

352.0

52.01

ss

s

ss

s

ssX

па преносната функција на системот што се идентификува ќе биде:

(11.37)

2

2

2

352.0

52.004.1

s

sssXsG

11.2. ИДЕНТИФИКАЦИЈА НА ДЕТЕМИНИСТИЧКИ ЛИНЕАРНИ

КОНТИНУАЛНИ ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ ВО ФРЕКВЕНТНО

ПОДРАЧЈЕ (ФРЕКВЕНТНА ИДЕНТИФИКАЦИЈА)

Идентификацијата во фреквентната област се врши врз основа на измерената

фреквентна карактеристика на непознатиот систем, чија динамика треба да се

идентификува. Структурата и редот на моделот со кој се апроксимира набљудуваниот

систем однапред се одредуваат. Ако апроксимативната преносна функција се

претстави во облик:

(11.38) mnsasasasa

bsbsbsbsbsG

nn

nn

mm

mm

a

,

112

21

1

012

21

1

тогаш соодветната апроксимативна фреквентна преносна функција ќе биде:

(11.39)

112

21

1

012

21

1

jajajaja

bjbjbjbjbjG

nn

nn

mm

mm

a

55

44

33

22

1

55

44

33

22

10

1 ajaajaaj

bjbbjbbjb

22

11

jvu

jvu

каде што:

(11.40) 66

44

22

01 bbbbu

77

55

33

11 bbbbv


__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________


66

44

22

2 1 aaau

77

55

33

12 aaaav

При идентификацијата во фреквентното подрачје се изедначуваат стварната

(измерената) и апроксимативната фреквентна преносна функција:

(11.41)

jGjVU

jvu

jvujGa

22

11

при што U и V , за дадена фреквенција , претставуваат конкретна точка од

измерената фреквентна карактеристика на непознатиот систем.

Од условот (11.41) се добиваат две равенки во однос на непознатите коефициенти

mmnn bbbbbaaaa ,,,,,,,,,, 1210121 на апроксимативната преносна функција

(11.38):

(11.42) 0221 VvUuu

0221 VuUvv

За определување на непознатите коефициенти mmnn bbbbbaaaa ,,,,,,,,,, 1210121

Според условот (11.41), треба да се располага со 2

1 nm точки од

експерименталната фреквентна карактеристика jG доколку бројот 1 nm е

парен, односно со 2

2 nm точки, доколку бројот 1 nm е непарен.

Пример 11.3. Од фреквентната карактеристика на еден систем се снимени две точки,

кои се дадени во Таблица 11.5.

Таблица 11.5. Точки од фреквентната карактеристика од примерот 11.3

U V

1 0.2 -0.3

2 0.04 -0.2

Непознатиот динамички систем да се апроксимира со систем од втор ред со преносна

функција:

(11.43) 11

22

01

sasa

bsbsGa


__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________


Решение: Фреквентната преносна функција на апроксимативниот модел во

конкретниот случај има облик:

(11.44)

12

2

10

12

2

01

11 jaa

jbb

jaja

bjbjGa

па условите (11.42) за определување на непознатите коефициенти 1021 ,,, bbaa ќе

бидат:

(11.45) UVaUab 12

20

VVaUab 2211

Со воведување на вредностите од Таблица 11.5 во равенките (11.45), се добива

следниот систем алгебарски равенки:

(11.46) 2.03.02.0 120 aab

3.03.02.0 211 aab

04.04.016.0 120 aab

2.08.008.02 211 aab

чии решенија се: 097.0,568.0,35.0,46.1 1021 bbaa . Следствено,

апроксимативната преносна функција на набљудуваниот систем ќе биде:

(11.47) 146.135.0

568.0097.0

2

ss

ssG

Лекција 12. Идентификација на динамичките системи 181

_______________________________________________________________________________________


12. ИДЕНТИФИКАЦИЈА НА ДИНАМИЧКИТЕ СИСТЕМИ

12.1. УВОД

При проектирањето системи на автоматско управување неопходно е да се поседува

модел на објектот на управување, кој верно ќе го опишува неговото поведение. Еден

начин да се добие овој модел е со познавање на основните закони кои владеат во

набљудуваниот систем. Меѓутоа, многу често, заради сложените природни појави,

или воопшто не може да се состави таков модел, или тој е премногу сложен и

неупотреблив за анализа и синтеза, затоа што аналитички не е решлив. Во такви

случаи, инженерот проектант нема друг избор освен да ги употреби податоците за

влезот и излезот на набљудуваниот систем, добиени по експериментален пат.

Процесот на составување модел и проценка на непознатите параметри на еден систем

врз основа на експериментални податоци за неговиот излез и влез се нарекува

идентификација. Идентификацијата претставува многу важно подрачје во областа

на автоматското управување при што, треба да се истакне, постои голема разлика

помеѓу целите на моделирањето во автоматиката и моделирањето во останатите

науки. Во останатите науки, се настојува да се најде модел на природата таква каква

што е; во автоматиката се бара модел кој ќе одговори на целите на автоматското

управување. Со други зборови, при идентификацијата на објектите на автоматско

управување, се настојува да се најде таков модел, кој ќе биде погоден за синтеза на

саканиот систем на автоматско управување со набљудуваниот објект. Така, при

синтезата со помош на методот геометриско место на корени или нагодување на

половите, потребна е преносна функција на објектот, модел во просторот на состојби

или познавање на неговите нули, полови и коефицент на засилување. Сите овие три

еквивалентни модели се карактеризираат со броеви, кои се нарекуваат нивни

параметри, па сите три спаѓаат во категоријата параметарски модели. Од друга

страна, фреквентните методи на синтеза со помош на Најквистовата крива, Бодеовите

дијаграми на слабеење и фаза и Николсовиот дијаграм, бараат познавање на

фреквентните карактеристики на објектот на управување, односно неговата

фреквентна преносна функција. Се разбира, овие карактеристики без проблем можат

да се определат доколку се располага со параметарски модел на набљудуваниот

објект. Меѓутоа, фреквентната синтеза е можна и само врз основа на

експериментално одредената фреквентна карактеристика на управуваниот објект, без

да се познаваат неговите параметри. Затоа фреквентната преносна функција се

нарекува непараметарски модел. Во зависност од формираниот модел, се зборува за

непараметарска и параметарска идентификација.

Во продолжение, се изложени некои постапки за параметарска и непараметарска

идентификација на динамичките системи од аспект на теоријата и праксата на

автоматското управување. Притоа, направена е една многу ограничувачка

претпоставка дека сите модели за кои ќе стане збор се стационарни, линеарни и

детерминистички.


_______________________________________________________________________________________


12.2. НЕПАРАМЕТАРСКА ИДЕНТИФИКАЦИЈА

Фреквентната синтеза на системите на автоматско управување има многу широка

примена во праксата, токму затоа што фреквентната карактеристика на системите на

автоматско управување може едноставно да се добие по експериментален пат. Уште

повеќе, по експериментален пат добиените фреквентни карактеристики се прилично

верни на реалните, дури и кога во идентификуваниот објект се присутни шумови и

кога објектот покажува одредено нелинеарно поведение. Во продолжение е изложена

постапка за непараметарска идентификација на линеарен стационарен стабилен

систем во која е земено предвид и присуството на одреден шум во системот. Одзивот

на еден ваков систем може да се претстави со релацијата:

(12.1) zWzHzUzGzY

каде што kyZzY е одзивот на системот, kuZzU е неговиот влез и

kwZzW е немерливиот шум во системот, кој може, но не мора да биде

случаен. Преносната функција zG ја дефинира врската влез – излез на

набљудуваниот објект во отсуство на шумот zW , додека непознатата преносна

функција zH го дефинира влијанието на шумот врз одзивот на системот. Иако

преносната функција zH е непозната, под претпоставка, сите нејзини полови се

наоѓаат во внатрешноста од единичниот круг 1z . (Претпоставката за стабилност

на набљудуваниот систем е неопходна, затоа што во спротивен случај преодниот

режим во системот нема никогаш да исчезне.) Ако на влезот од набљудуваниот

систем се доведе периодична влезна возбуда со амплитуда A и фреквенција :

(12.2) 00 sin kTAkTu

по воспоставувањето на стационарен режим во отсуство на шум, одзивот на системот

ќе биде опишан со релацијата:

(12.3) 00 sin kTBkTy

каде што:

(12.4) 0TjeGG

A

B

и:

(12.5) 0argTj

eG


_______________________________________________________________________________________


Величините (12.4) и (12.5) определуваат една точка од фреквентната карактеристика

на набљудуваниот систем. За различни вредности на фреквенцијата , можат да се

определат произволен број вакви точки.

Нека, под претпоставка, се направени N мерења на влезот и излезот на

набљудуваниот систем, кои се од облик (12.1) и (12.2). Излезот на бараниот модел,

кој може да се претстави на следниот начин:

(12.6) sincoscossinsinˆ 0000 kTBkTBkTBkTy

0000 cossincossinsincos kTBkTBkTBkTB cs

по правило, не одговара егзактно на излезот од идентификуваниот систем, заради

фактот дека експерименталните податоци содржат одреден шум и можат да

отсликуваат одредено слабо нелинеарно поведение. (Овој шум може да се должи на

многу причини: непрецизноста на мерните инструменти, нашата непрецизност во

нивното отчитување, разни надворешни влијанија, какви што се температурните

промени, непостојаноста на напоните за напојување кај електричните и

електронските уреди, трошењето на материјалите итн.). Затоа секогаш постои грешка

помеѓу мерениот излез и неговата проценка, односно излезот на моделот, која може

да се означи со 0kTe :

(12.7) 000000 cossinˆ kTBkTBkTykTykTykTe cs

При определувањето на еден модел во процесот на идентификација, секогаш се

настојува тој да биде што е можно поверен на реалниот систем. Со други зборови,

грешката 0kTe треба да биде што е можно помала. Оттаму, непознатите величини

cosBBs и sinBBc во (12.6) треба да се определат така што одзивот на

моделот 0ˆ kTy ќе биде што е можно поблизу до вистинскиот одзив 0kTy . За таа

цел се дефинира критериумската функција:

(12.8)

1

0

200

1

00

2 ˆ11 N

k

N

k

kTykTyN

kTeN

J

1

0

2000 cossin

1 N

kcs kTBkTBkTy

N

па непознатите sB и cB се определуваат од условот за нејзин минимум:

(12.9)

1

0

2000 cossin

1 N

kcs

ss

kTBkTBkTyNB

J

B

J


_______________________________________________________________________________________


0sincossin2 1

00000

N

kcs kTkTBkTBkTy

N

(12.10)

1

0

2000 cossin

1 N

kcs

cc

kTBkTBkTyNB

J

B

J

0coscossin2 1

00000

N

kcs kTkTBkTBkTy

N

Со воведување на соодветни тригонометриски смени, изразите (12.9) и (12.10) можат

да се доведат на следниот облик:

(12.11) 02sin2

2cos22

sin1 1

00

1

00

1

000

N

k

cN

k

ssN

k

kTN

BkT

N

BBkTkTy

N

(12.12) 02sin2

2cos22

cos1 1

00

1

00

1

000

N

k

sN

k

ccN

k

kTN

BkT

N

BBkTkTy

N

Општо земено, сумите

1

002sin

N

k

kT и

1

002cos

N

k

kT се мали, затоа што

амплитудите на периодичните сигнали менуваат знак и нивната средна вредност е

нулева. Меѓутоа, со соодветен избор на фреквенцијата , тие можат да се направат

нулеви. Така, ако фреквенцијата на влезниот сигнал се одбере да биде NT

l

0

, каде

што l , изразите (2.11) и (2.12) ќе се сведат на:

(12.13) 02

2sin

1 1

00

sN

k

B

N

lkkTy

N

(12.14) 02

2cos

1 1

00

cN

k

B

N

lkkTy

N

од каде што непосредно следува:

(12.15)

1

00

2sin

2 N

ks

N

lkkTy

NB


_______________________________________________________________________________________


(12.16)

1

00

2cos

2 N

kc

N

lkkTy

NB

Врз основа на (12.15) и (12.16) се пресметува една точка од бараната фреквентна

карактеристика на идентификуваниот систем:

(12.17) 22cs BBB

(12.18) s

c

B

Barctg

Точноста на проценката на (12.17) и (12.18) зависи од бројот мерења N , релативната

јачина на шумот и времето на почетокот на мерењата (односно во колкава мера

исчезнал преодниот режим).

12.3. МАТЕМАТИЧКИ МОДЕЛИ НА ЛИНЕАРНИТЕ ДИСКРЕТНИ

ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ ВО ВРЕМЕНСКО ПОДРАЧЈЕ

На сл.12.1 е прикажан симболично еден линеарен дискретен динамички систем со

еден влез ku и еден излез ky .

Сл.12.1. Симболичен приказ на линеарен дискретен динамички систем со еден влез и

еден излез

Линеарен дискретен

динамички систем со

еден влез и еден излез

влез излез

ku ky

kv пречки


_______________________________________________________________________________________


Излезот на набљудуваниот систем ky во произволен временски миг k е определен

со изразот:

(12.1) kvnkungkyk

n

0

каде што kg ја претставува тежинската низа на дискретниот систем. По

дефиниција, kg е одзив на набљудуваниот дискретен систем кога на неговиот влез

дејствува Кронекер –делта функцијата

0,0

0,10

k

kk .

Z-сликата kgZzG на тежинската низа kg се нарекува преносна функција на

дискретниот систем и таа претставува модел на набљудуваниот дискретен систем во

комплексното подрачје.

Со воведување на смената jez во изразот за zG се добива фреквентната

преносна функција на набљудуваниот дискретен систем jez

zGjG .

Членот kv во изразот (12.1) ги претставува пречките во набљудуваниот систем,

накусо наречени шум. Шумот најчесто е недетерминистички и немерлив случаен

процес, но не мора да биде.

Изразот (12.1) вообичаено се претставува на следниот начин:

(12.2) kvkuqGky

каде што q е оператор на поместување, а kuqG ја претставува конволуцијата:

(12.3)

k

n

nkung0

Притоа:

(12.4)

0k

kqkgqG

Аналогно, моделот на шумот може да се претстави во облик:

(12.4) kwqHkv

каде што:


_______________________________________________________________________________________


(12.5)

0k

kqkhqH

а kw е некој стандарден сигнал на шум, па изразот (12.2) заедно со изразот (12.4)

претставува математички модел на набљудуваниот линеарен дискретен динамички

систем од сл.12.1 во временското подрачје:

(12.6) kwqHkuqGky

Моделот (12.6) е применлив и во случајот на повеќевеличинските системи – системи

со поголем конечен број un влезови и yn излези, само што сега ku претставува

влезен вектор со un елементи, ky претставува излезен вектор со yn елементи,

kw е вектор на пречките со wn елементи, qG претставува матрица со димензија

uy nn , а qH е матрица со димензија wy nn и се означуваат со ku , ky , kw ,

qG и qH , соодветно.

Изразите за qG и qH се нарекуваат непараметарски модели, бидејќи не се

дефинирани преку параметрите на моделираниот систем.

Наместо како функции од фреквенцијата , G и Н можат да се претстават како

дробно-рационални функции од 1q , чии коефициенти се функции од конечен број

параметри на моделираниот систем. Ваквите модели се нарекуваат параметарски

модели, затоа што во нив фигурираат параметрите на моделираниот систем. Еден

таков модел е тн. ARX модел, кој има општ облик:

(12.7) kwmkuqBkyqA

или:

(12.8)

kwqHkuqGkwqA

kuqA

qBqky m 1

каде што qA и qB се полиноми од операторот на поместување 1q со општ

облик:

(12.9) aa

nn qaqaqA

111

(12.10) bb

nn qbqbbqB

110

а m го означува задоцнувањето на влезот од страна на системот.


_______________________________________________________________________________________


Имајќи на ум дека:

(12.11) ,...2,1; iikfkfq i

моделот (12.8) може да се запише експлицитно на следниот начин:

(12.12) an nkyakyakya

11

kwnmkubmkubmkub bnb 110

Преносната функција zU

zYzG во овој случај е дадена со изразот:

(12.13)

aa

bb

nn

nmn

mm

zaza

zbzbzb

zU

zYzG

11

110

1

za

zbz

zaza

zbzbbz m

nn

nnm

aa

bb

11

110

1

каде што:

(12.14) zdenGza , znumGzb

и m го означува задоцнувањето на влезот ku од страна на системот.

Моделот (12.8) односно (12.12) е применлив и кај повеќевеличинските системи, со

тоа што сега ku претставува вектор на влезовите или накусо влезен вектор со

димензија 1un , ky е вектор на излезите или накусо излезен вектор со димензија

1yn , qA е матрица со димензија yy nn , qB е матрица со димензија uy nn и

zG е матрица на преносните функции со димензија uy nn .

Поопшт модел од ARX моделот е тн. ARMAX модел кој е даден со изразот:

(12.15) kwqCmkuqBkyqA

односно:

(12.16)

kwqA

qCku

qA

qBqky m


_______________________________________________________________________________________


каде што qA и qB се полиномите (12.9) и (12.10), соодветно, а qC е полиномот:

(12.17) cc

nn qcqcqC

111

Изразот (12.15) може да се запише експлицитно на следниот начин:

(12.18) an nkyakyakya

11

bn nmkubmkubmkubb

110

cn nkwckwckwc

11

Друг модел на набљудуваните линеарни динамички системи е тн. модел на

грешката на излезот:

(12.19) kwqFmkuqBkyqF

односно:

(12.20)

kwkuqF

qBqky m

каде што:

(12.21) f

f

nn qfqfqF

111

или експлицитно:

(12.22) fn nkyfkyfkyf

11

kwnmkubmkubmkub bnb 110

Конечно, познатиот Бокс-Џенкинсов модел (Box-Jenkins) е од облик:

(12.23)

kwqD

qCmku

qF

qBky

каде што qB , qC и qF се полиномите (12.10), (12.17) и (12.21), соодветно, а

qD е полиномот:


_______________________________________________________________________________________


(12.24) dd

nn qdqdqD

111

Сите наведени модели се само специјален случај од општиот параметарски модел:

(12.25)

kwqD

qCmku

qF

qBkyqA

Така, за 0 fdc nnn од (12.25) се добива ARX моделот (12.7), за 0 fd nn се

добива ARМАX моделот (12.15), додека моделот на грешка на излезот (9.19) се

добива од (9.25) за 0 dca nnn , а Бокс-Џенкинсовиот модел (12.23) се добива за

0an .

Освен наведените модели, во праксата се користат и тн. ARARX модел (модел на

најмали квадрати на грешката) и ARARMAX моделот (проширен матричен модел).

ARARX моделот се добива од општиот линеарен модел (12.25) за 0 fc nn и тој

има облик:

(12.26)

kwqD

mkuqBkyqA1

додека ARARMAX моделот се добива од (12.25) за 0fn :

(12.27)

kwqD

qCmkuqBkyqA

Доколку набљудуваниот линеарен дискретен динамички систем има произволен

конечен број un влезови, општиот модел (12.25) ќе биде од облик:

(12.28)

kw

qD

qCmku

qF

qBmku

qF

qBkyqA

uu

u

unn

n

n 11

1

1

12.4. ПАРАМЕТАРСКА ИДЕНТИФИКАЦИЈА НА ДИСКРЕТНИТЕ

ЛИНЕАРНИ ДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ

Во продолжение се изложени основните начини за идентификација на линеарните

динамички системи и најважните постапки за проценка на нивните параметарски

модели. Главно се набљудувани дискретни линеарни динамички системи, заради

фактот дека во современиот свет доминира дигиталната обработка на сигнали.


_______________________________________________________________________________________


Разликата помеѓу анализата на континуалните и дискретните сигнали не е толку

голема и главно се сведува на замената на постапката на интегрирање со сумирање.

При параметарската идентификација, структурата и редот на идентификуваниот

систем се однапред одредени и зададени; непознати се само параметрите на

системот, кои допрво треба да се определат. Нека, на пример, моделот на

идентификуваниот систем е преносната функција од трет ред:

(12.29) 32

21

332

21

azazaz

bzbzbzG

Нејзините коефициенти се непознатите параметри на системот, кои се претставени со

векторот на параметри:

(12.30) Tbbbaaa 321321θ

Моделот на еден систем може да биде даден и во просторот на состојби:

(12.31) kukk BAvv 1

kky Cv

Тогаш непознати параметри на системот се елементите на матриците CBA ,, . Ако се

обрне внимание, може да се забележи дека моделот во вид на преносна функција

(12.29) има 6 параметри кои треба да се идентификуваат, додека моделот во

просторот на состојби за истиот систем (12.31) има дури 15 параметри. Тоа значи

дека вториот модел има 9 параметри повеќе. За да се обезбеди минимален број

параметри за идентификација, секој модел во просторот на состојби треба да се сведе

на каноничен облик, каков што е моделот добиен со постапката разгранет влез и

излез, кој се карактеризира со матриците:

(12.32)

00

10

01

3

2

1

a

a

a

A ,

3

2

1

b

b

b

B , 001C

На ова место ќе биде прикажан уште еден модел на линеарните дискретни

динамички системи во просторот на состојби, кој е посебно погоден за

идентификација, и затоа заслужува посебно внимание. Тој се нарекува ARMA модел

и неговата структурна блок-шема за системот од трет ред опишан со преносната

функција (12.29), е прикажана на сл.12.2.


_______________________________________________________________________________________


Сл.12.2. Структурна блок-шема на еден ARMA модел

ARMA моделот од сл.12.2 се карактеризира со матриците:

(12.33)

010000

001000

000000

000010

000001

321321 bbbaaa

A ,

0

0

1

0

0

0

B

321321 bbbaaa C

Од аспект на анализата, моделот (12.33) не е најдобар, бидејќи систем од трет ред

опишува со 6 состојби, што значи дека моделот (12.33) е неминимален. Меѓутоа, тој

поседува извонредна особина – векторот на состојба на ARMA моделот за елементи

ги има минатите вредности на влезот и излезот:

(12.34) Tkukukukykykyk 321321 v

Следствено, со мерење на влезовите и излезите на еден систем, едновремено се

познати и неговите состојби, кога тој е опишан со ARMA модел.

Врз основа на досега кажаното може да се заклучи дека при идентификацијата на

дискретните параметарски модели на објектите на управување, секогаш треба да се

настојува да се избере модел што има најмал број параметри, модел чии параметри се

u

2v

1z

1b

1z

2b

1z

3b

3a

1z 1z

1a

1z

4v 5v 6v

1v3v

y

2a


_______________________________________________________________________________________


еднозначно одредени со експерименталните податоци и модел кој ќе ја олесни

синтезата на соодветниот систем на автоматско управување. Откако тоа еднаш е

сторено, следен чекор е да се дефинира постапка за проценка на параметрите од

усвоениот модел, така што тие ќе ги претставуваат верно експерименталните

резултати. За таа цел се дефинира грешка, односно отстапување помеѓу вистинските

и проценетите вредности на параметрите од идентификуваниот систем. Меѓутоа,

бидејќи параметрите на реалниот систем се непознати, оваа грешка не може да се

искаже експлицитно, туку само преку расположивите информации – влезно-

излезните мерења. Со други зборови, грешката на идентификацијата се искажува

преку вредностите ku и ky . Предмет на интензивно изучување во литературата

се три дефиниции на грешката на идентификација: грешка на самиот модел

(равенките со кои е опишан системот), грешка на излезот на моделот и грешка на

проценка на излезот од моделот.

Грешката на моделот најнапред ќе биде дефинирана за континуалните динамички

системи. За таа цел се набљудува најопштиот модел на еден континуален динамички

систем во просторот на состојби, кој има облик:

(12.35) θuvfv ,, ttt

θuvgy ,, ttt

каде што tu е влезниот вектор (вектор на влезовите), ty е излезниот вектор

(вектор на излезите), tv е векторот на состојби, θ е векторот на параметри, а f и

g се произволни векторски функции од своите аргументи. Нека, под претпоставка,

се познати векторските функции f и g , но не и векторот θ . Во продолжение, се

претпоставува дека се мерливи не само влезовите tu и излезите ty , туку и сите

состојби tv и нивните изводи tv . Со други зборови, претпоставка е дека за

моделот (12.35) сé е познато, освен вредностите на θ . Тогаш, може да се дефинира

грешката:

(12.36) θuvfvθe ,,, tttt aaa

која е еднаква на нула само ако aθθ , каде што индексот a стои за точните

вредности на одделните величини (од англискиот збор accurate - точно). Непознатите

параметри на идентификуваниот систем се определуваат од условот за минимум на

критериумската функција:

(12.37) t

T d

0

,, θeθeθJ


_______________________________________________________________________________________


Во идеален случај, може да се најде вектор θ , за кој 0θJ ˆ , и тогаш aθθ ˆ ;

меѓутоа, доколку во моделот (12.35) е присутен шум, грешката θe ˆ,t нема да биде

нулева, па 0θJθJ minˆˆ .

Дефиницијата на грешката на моделот во случајот на дискретни динамички системи

е во основа иста, само што критериумската функција θJ се дефинира со сума, и

сите променливи се функции од дискретен аргумент. Во најопшт случај, моделот на

еден дискретен динамички систем во просторот на состојби ќе има облик:

(12.38) θuvfv ,,1 kkk

θuvgy ,, kkk

каде што ku е влезниот вектор (вектор на влезовите), ky е излезниот вектор

(вектор на излезите), kv е векторот на состојби, θ е векторот на параметри, а f и

g се произволни векторски функции од своите аргументи. Под претпоставка, за

моделот (12.38) сé е познато, освен вредностите на θ , што значи дека се познати

векторските функции f и g и дека постојат сензори за мерење на сите влезови

ku , излезите ky и состојбите kv . Тогаш, грешката на моделот се дефинира со

разликата:

(12.39) θuvfvθe ,,1, kkkk aaa

и таа е еднаква на нула само ако aθθ . Непознатите параметри на

идентификуваниот дискретен систем се определуваат од условот за минимум на

критериумската функција:

(12.40)

N

k

T kk

0

,, θeθeθJ

Претпоставката дека се мерливи сите состојби и нивните изводи кај континуалните

динамички системи е многу строга претпоставка и најчесто не е реална. Меѓутоа, кај

линеарните дискретни динамички системи претставени со ARMA модел во

просторот на состојби тоа воопшто не претставува проблем. Имено, кај еден ARMA

модел состојбените големини на моделираниот систем се едноставно минатите

вредности на влезот и излезот. За да се илустрира кажаното, повторно е набљудуван

системот со преносна функција (12.29), чиј ARMA модел е одреден со (12.33). Тогаш,

грешката на моделот, која за линеарни системи има општ облик:

(12.41) kkkk aaa BuAvvθe 1,

за дадениот ARMA модел ќе биде:


_______________________________________________________________________________________


(12.42) kukkk aaa BAvvθe 1,

ke

ke

ke

ke

ke

ke

ku

kv

kv

kv

kv

kv

kvbbbaaa

kv

kv

kv

kv

kv

kv

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1321321

6

5

4

3

2

1

0

0

1

0

0

0

010000

001000

000000

000010

000001

1

1

1

1

1

1

Имајќи ја на ум релацијата (12.34), лесно се утврдува дека сите елементи на векторот

θe ,k се нулеви, освен θ,1 ke , каде што:

(12.43) kvbkvbkvbkvakvakvakvke 63524133221111 1, θ

или:

(12.44) 321, 3211 kyakyakyakyke aaaaθ

321 321 kubkubkub aaa

Тогаш, критериумската функција (12.40) се сведува на функцијата:

(12.45)

N

k

ke

0

21 ,θθJ

За да се избегне претпоставката дека се познати вредностите на сите состојбени

променливи (и нивните изводи кај континуалните системи), наместо грешката на

моделот се дефинира грешка на излезот на набљудуваниот модел. Оваа грешка

симболично е прикажана на сл.12.3. Индексот a крај соодветните променливи на

сл.12.3 има за цел да го потенцира фактот дека се работи за измерените вредности на

соодветните променливи (експериментални податоци).

Во случај на систем со еден влез и излез, каков што е прикажаниот на сл.12.3,

грешката на излезот е скаларна величина и критериумската функција θJ е дадена

со изразот:

(12.46)

N

kizlez ke

0

2 ,θθJ


_______________________________________________________________________________________


Сл.12.3. Дефиниција на грешката на излезот

За да се споредат грешката на моделот и грешката на излезот од моделот, повторно

се набљудува ARMA моделот (12.33). Грешката на излезот за овој модел е:

(12.47) kykyke maizlez θ,

каде што:

(12.48) 321 321 kyakyakyaky mmmm

321 321 kubkubkub aaa

и ако таа се спореди со грешката на самиот модел (12.44), лесно може да се забележи

дека во (12.44) фигурираат вистинските (измерените) вредности на излезот на

идентификуваниот систем, додека во (12.48) се појавуваат вредностите на излезот од

моделот. Оттаму, грешката на моделот е подобар критериум за идентификација,

бидејќи користи повеќе информации за идентификуваниот систем; меѓутоа, оваа

идентификација излегува надвор од рамките на предметот.

Третиот тип грешка симболично е прикажан на сл.12.4.

Сл.12.3. Дефиниција на грешката на проценка на излезот од моделот

kua систем

aθ

проценка

на моделот

θ

kya

ky

θ,keprocenka

kua систем

aθ

модел

θ

kya

kym

θ,keizlez


_______________________________________________________________________________________


Најпознат критериум за проценка на параметрите на идентификуваниот систем е

методот на најмали квадрати, кој ќе биде изложен во продолжени. (Постојат и други

критериуми, но тие вклучуваат елементи од теоријата на веројатност и излегуваат

надвор од рамките на овој предмет).

Лекција 13. Метод на најмали квадрати 199

________________________________________________________________________________________

Елизабета Лазаревска, Белешки за предавања по предметот моделирање, идентификација и симулација

Параметарските модели на системите се опишани со равенки со експлицитно

изразени параметри. Следствено, во процесот на идентификација се определуваат

параметрите на овие модели. Параметарските модели на системите се погодни за

примена при синтезата на системи за автоматско управување, оптимизацијата на

управувањето со процеси, надгледувањето процеси и сл.

При параметарската идентификација се претпоставува дека е позната структурата

и редот на моделот, а непознати се неговите параметри. Наједноставен метод за

оценка на непознатите параметри е методот најмали квадрати. Овој метод најнапред

е изложен за случајот на нединамички системи.

13.1. МЕТОД НА НАЈМАЛИ КВАДРАТИ

Нека е даден дискретен систем со параметри:

(13.1) omooTo 21θ

и излезна променлива величина ky . Излезот ky не е директно мерлив, туку преку

променливата kyp , која во себе содржи и пречки kn . Сигналот kn е сигнал на

шумот, кој се суперпонира со излезот ky , како што е покажано на сл.13.1.

Сл.13.1. Приказ на еден дискретен систем

oθ

ky

kn

ky p

систем

13. ПРОЦЕНКА НА ПАРАМЕТРИТЕ НА ЕДЕН ДИСКРЕТЕН

СИСТЕМ ВО ПРОЦЕСОТ НА ИДЕНТИФИКАЦИЈА


________________________________________________________________________________________


Нека е даден модел на системот:

(13.2) θfkyM

каде што:

(13.3) mT 21θ

се непознатите параметри на моделот, кои допрво треба да се определат. Моделот е

прикажан на сл.13.2.

Сл.13.2. Параметарски модел на системот од сл.13.1

Параметрите θ на моделот (13.2) се определуваат на следниот начин. Најнапред се

формира разликата:

(13.4) kykyke Mp

која го претставува отстапувањето на излезот на моделот од излезот на оригиналниот

систем. Потоа се формира сумата од квадратите на грешките (13.4) за Nk ,...,2,1 :

(13.5)

N

k

keNeeeS

1

2222 21

Параметрите θ се определуваат од условот за минимум на сумата (13.5).

13.2. МЕТОД НА НАЈМАЛИ КВАДРАТИ КАЈ ЛИНЕАРНИ НЕДИНАМИЧКИ

СИСТЕМИ

Нека е даден линеарен нединамички систем со еден параметар:

θ kyM

модел


________________________________________________________________________________________


(13.6) kKukyu

каде што ku е влез, kyu е излез и K е параметар на набљудуваниот систем. На

излезниот сигнал kyu , под претпоставка, се суперпонира шум kn , па измерената

излезна величина ky p е:

(13.7) knkKuknkyky up

Системот е прикажан на сл.13.3.

Сл.13.3. Приказ на линеарен нединамички дискретен систем со еден параметар

Треба да се определи параметарот K врз основа на N мерења кои се прикажани во

Таблицата 13.1.

Таблица 13.1. Мерења на влезниот и излезниот сигнал за системот (13.7)

k 0 1 2 ........ 1N

ku 0u 1u 2u ........ 1Nu

ky p 0py 1py 2py ........ 1Nyp

Моделот на системот има облик:

(13.8) kuKky MM

а разликата помеѓу излезот на системот и неговиот модел е дадена со (13.4) и е

прикажана на сл.13.4.

K

kyu

kn

ky p

систем

ku


________________________________________________________________________________________


Сл.13.4. Идентификација на системот од сл.13.3

Со методот на најмали квадрати се минимизира сумата:

(13.9)

N

k

Mp

N

k

kuKkykeS

1

2

1

2

во однос на MK :

(13.10)

1

0

21

0

2N

k

MpM

N

kMM

kuKkydK

dke

dK

d

dK

dS

021

0

N

k

Mp kukuKky

(13.11)

K

ku

kuky

KN

k

N

k

p

Mˆ

1

0

2

1

0

K е проценка на стварната вредност на параметарот K на идентификуваниот систем

од сл.13.3, добиена со методот на најмали квадрати.

ky p

kyM

_

_

K

kyu

kn

систем

ku

MK

модел

ke


________________________________________________________________________________________


Ако изразот за K се подели и во броителот и во именителот со N , се добива:

(13.12)

1

0

2

1

0

1

1

ˆN

k

N

kp

kuN

kukyN

K

Условот за постоење на решението (13.12) е:

(13.13) 01

0

2

N

k

ku

Пресметките за идентификација на набљудуваниот линеарен нединамички систем со

еден параметар можат да се претстават и во векторски облик. Нека u е вектор на

вредности на влезот:

(13.14) TNuuuu 1210 u

py е вектор вредности на излезот:

(13.15) Tppppp Nyyyy 1210 y

а e е вектор вредности на грешката:

(13.16) TNeeee 1210 e

Тогаш векторската равенка на грешката гласи:

(13.17) uye Kp

а критериумската функција за идентификација се дефинира како:

(13.18) uyuyee KKS pT

pT

Нејзиниот извод по K е:

(13.19) uyueuueeue

eee

KdK

d

dK

d

dK

dSp

TTTTTT

22

па со изедначување на изразот (13.19) со нула се добива:


________________________________________________________________________________________


(13.20) pTTK yuuu

1

Параметарот K на еден линеарен нединамички систем лесно се одредува со методот

на најмали квадрати доколку се исполнети следните услови:

1. влезниот сигнал ku мора да биде егзактно мерлив

2. 01

0

2

N

k

ku

3. шумот kn мора да биде ограничен по амплитуда

13.3. МЕТОД НА НАЈМАЛИ КВАДРАТИ КАЈ НЕЛИНЕАРНИ

НЕДИНАМИЧКИ СИСТЕМИ

Даден е нелинерниот нединамички систем опишан со следниот модел:

(13.21)

q

i

ii

qqu kuKKkuKkuKkuKKky

1

02

210

Доколку мерениот излез kyp содржи и компонента на шум kn , ќе важи:

(13.22) knkyky up

За N мерења на влезните и излезниот сигнал, се добива системот N равенки од

облик:

(13.23) nUKy p

каде што:

(13.24)

1111

1111

0001

2

2

2

NuNuNu

uuu

uuu

q

q

q

U


________________________________________________________________________________________


е матрица на мерењата на влезните сигнали, додека py е векторот мерења на

излезот дефиниран со (13.15) и e е векторот вредности на грешката за направените

N мерења, даден со (13.16). Векторот N последователни вредности на шумот kn е

од облик:

(13.25) TNnnnn 1210 n

додека K е вектор на непознатите параметри на набљудуваниот систем кои треба

допрво да се идентификуваат:

(13.26) TqKKKK 210K

За моделот на набљудуваниот систем се усвојува равенката:

(13.27) MM UKy

па грешката e е дефинирана со разликата:

(13.28) MpMp UKyyye

Заради поголема едноставност на изразите и пресметките што следат, во

продолжение ќе бидат испуштени индексите на одделните величини во (13.28), па

наместо (13.28), ќе се набљудува равенката:

(13.29) UKye

Критериумската функција за идентификација на нелинеарниот систем (13.21) гласи:

(13.30) UKUKUKyyUKyyUKyUKyeeTTTTTTTTTTS

UKUKKyUyUKyyTTTTTTT

а нејзиниот минимум е одреден со решението на равенката:

(13.31) UKUKK

KyUK

yUKK

yyKK

TTTTTTT

d

d

d

d

d

d

d

d

d

dS

02222 UKyUUKUyUUKUyUyUTTTTTT

Така, за проценка на параметрите на идентификуваниот нелинеарен нединамички

систем (13.21) се добива:


________________________________________________________________________________________


(13.32) pTT

yUUUK1

ˆ

За да постои решението (13.32), мора да постои инверзната матрица 1UU

T , што

значи дека UUT не смее да биде сингуларна матрица. Условот за тоа гласи:

(13.33) 0det UUT

За да постои решение на проблемот на идентификација на еден нелинеарен

нединамички систем со модел (13.21), со помош на методот најмали квадрати, мора

да бидат исполнети следните услови:

(1) влезниот сигнал ku мора да биде егзактно мерлив

(2) 0det UUT

(3) 01

0

2

N

k

ku

(4) шумот kn мора да биде ограничен по амплитуда

Пример 13.1. Со помош на методот најмали квадрати да се изврши идентификација

на параметрите на дадената нелинеарна карактеристика:

(13.34) KuTkuKkuKky

21

Решение: Во изразот (13.34) со Tu е означен влезниот вектор (векторот влезни

податоци):

(13.35) kukuT u

а K е векторот непознати параметри:

(13.36) TKK 21K

Нека, во конкретниот случај, 5.0 .

За идентификација на параметрите (13.36), се вршат N последователни мерења на

влезот и излезот. Следствено:


________________________________________________________________________________________


(13.37)

11

11

00

NuNu

uu

uu

U

(13.38)

1

0

21

0

1

0

1

0

2

N

k

N

k

N

k

N

kT

kukuku

kukuku

UU

(13.39)

1

0

1

0N

k

p

N

k

p

pT

kyku

kyku

YU

(13.40)

1

0

211

1N

k

kuN

NC

NCkukuN

NCN

k

21

1

0

121

1

0

2

221

N

k

kuN

NC

1

0

11

N

k

py kykuN

NC

1

0

21

N

k

py kykuN

NC

(13.41)

NCNC

NCNC

N

T

2212

12111UU


________________________________________________________________________________________


(13.42)

NC

NC

N y

yp

T

2

11YU

(13.43)

NCNC

NCNC

NCNCNC

adjN

N T

TT

1112

1222

2122211

11

det

1

UU

UUUU

(13.44)

NCNCNCNC

NCNCNCNC

NCNCNCNK

NKN

yy

yy

211112

212122

21222112

1 1

ˆ

ˆK

13.3. ПРИМЕНА НА МЕТОДОТ НА НАЈМАЛИ КВАДРАТИ ЗА

ИДЕНТИФИКАЦИЈА НА ДИНАМИЧКИ ПРОЦЕСИ

Методот најмали квадрати почнал да се применува за идентификација на динамички

системи и процеси многу подоцна. Првите трудови биле од областа на

идентификација на параметрите на AR модели (1937, 1943) и идентификацијата на

линеарните дискретни динамички системи (1958, 1960, 1964). Во продолжение ќе

биде прикажана идентификацијата на линеарни дискретни динамички системи со

помош на методот најмали квадрати.

Нека, под претпоставка, е даден линеарен стационарен стабилен дискретен

динамички систем со еден влез ku и еден излез kyu . Во теоријата на

автоматското управување нестабилните динамички системи и процеси не се од

интерес, затоа што не можат да се управуваат. Затоа, од гледиште на теоријата на

автоматско управување, еден нестабилен систем треба најнапред да се стабилизира,

па дури потоа да се проектира неговото поведение. Изучувањето на нестационарните

динамички системи излегува надвор од рамките на овој предмет. Изучувањето на

нелинеарните динамички системи исто така излегува надвор од рамките на овој

предмет. Затоа, доколку набљудуваниот динамички систем е нелинеарен, тој

најнапред треба да се линеаризира, се разбира, доколку тоа е можно. Конечно,

интересот за динамичките системи произлегува од нивната практична применливост

и распространетост. Оттаму и претпоставките за линеарен стационарен стабилен

дискретен динамички систем. Врз основа на кажаното, следува дека набљудуваниот

динамички систем може да се опише со следната диферентна равенка:

(13.45) mkyakyakyaky umuuu 21 21

mdkubdkubdkub m 21 21

каде што:

(13.46) UkUku


________________________________________________________________________________________


YkYky uu

се отстапувања на апсолутните сигнали kU и kYu од нивните стационарни

(усталени) вредности U и Y , соодветно, а ,...2,1,00

T

Td d е целобројна вредност

на времето на доцнење.

Во диферентната равенка (13.45) усвоено е дека 00 b , затоа што системи со

скоковита влезна промена се ретки. Со тоа бројот параметри што треба да се

определуваат е помал за 1 (наместо 12 m параметар, се определуваат m2

параметри).

Преносната функција на набљудуваниот систем е:

(13.47)

d

mm

mmdu

p zzaza

zbzbz

zA

zB

zu

zyzG

11

11

1

1

1

Мерениот излезен сигнал ky , под претпоставка, содржи компонента на шум kn :

(13.48) knkyky u

како што е покажано на сл.13.4.

Сигналот на пречките kn , под претпоставка, може да се претстави со ARMA модел:

(13.49) pknckncknckn p21 21

pkwdkwdkwdkw p 21 21

каде што kw е некој стандарден сигнал на шум, па дискретната преносна функција

на шумот е:

(13.50)

p

p

pp

wzczc

zdzd

zC

zD

zw

znzG

11

11

1

1

1

1

Равенките (13.47) и (13.50) водат кон моделот:

(13.51)

zwzC

zDzuz

zA

zBzy d

1

1

1

1


________________________________________________________________________________________


Целта на параметарската идентификација во конкретниот случај е да се определат

параметрите на системот (преку коефициентите на полиномите 1zA и 1zB ) и

параметрите на филтерот за шум (преку коефициентите на полиномите 1zC и

1zD ). Се разбира, во процесот на идентификација не се определуваат точните

вредности на параметрите што се идентификуваат, туку се прави само нивна

проценка, која треба да биде што е можно подобра според даден критериум. Со други

зборови, се настојува пресметаните вредности на параметрите што се

идентификуваат да бидат што е можно поблиску до стварните. Овде ќе стане збор

само за идентификацијата на системот (13.47), односно одредување на непознатите

параметри на системот (13.47) врз основа на извршени N мерења на неговите влезни

и излезни сигнали. Притоа, во постапката на идентификација се претпоставува дека:

(1) за 0k системот е во рамнотежна состојба

(2) познати се редот m и времето на доцнење на моделот на системот d

(3) влезниот сигнал ku и неговата стационарна вредност U се прецизно мерливи

(4) шумот kn е ограничен по амплитуда

(5) стационарната вредност Y на излезниот сигнал ky е точно позната

Сл.13.4. Модел на дискретниот динамички систем и модел на шумот од (13.51)

Во процесот на идентификација се претпоставува дека редот на моделот на системот

m е однапред познат. Доколку тоа не е случај, тој може да се определи со некоја од

постапките за одредување редот на даден систем. За шумот kn се претпоставува

дека е ограничен по амплитуда, што значи дека нулите на полиномот 1zC лежат

внатре во единичниот круг во z-комплексната рамнина.

1

1

zC

zD

kyu

систем

ku

1

1

zA

zB ky

kn kw


________________________________________________________________________________________


Нека, под претпоставка, влезот ku и излезот ky на набљудуваниот дискретен

систем се мерат до мигот k, а параметрите на системот се определени заклучно до

мигот 1k . Тогаш, со воведување на овие вредности во (13.45), се добива:

(13.52) mkykakykakykaky m 1ˆ21ˆ11ˆ 21

kemdkukbdkukbdkukb m 1ˆ21ˆ11ˆ21

Равенката (13.52) всушност е следната равенка:

(13.53) kekyky M

каде што ky е измерената вредност на излезот во мигот k, kyM е излезот на

моделот на системот односно проценетата вредност за излезот ky врз основа на

претходните мерења заклучно до 1k , која може да се означи како 1ˆ kky . Во

идеален случај (отсуство на пречки и шум):

(13.54) 01ˆ kekkyky

како што и следува од оригиналната равенка (13.45). Во стварност грешката 0ke

се должи на присуството на шум во мерениот излез ky и грешките направени при

проценката на параметрите на системот која не е точна, туку само приближна.

Членот 1ˆ kky :

(13.55) mkykakykakykakky m 1ˆ21ˆ11ˆ1ˆ 21

mdkukbdkukbdkukb m 1ˆ21ˆ11ˆ21

во равенката (13.54) може да се смета за предвидување или проценка на следната

вредност од излезот ky направена во мигот 1k и тој може да се запише на

следниот начин:

(13.56) 1ˆ1ˆ kkkky T θΨ

каде што:

(13.57) mdkudkumkykykyk 121Ψ

(13.58) Tmm bbbaaa ˆˆˆˆˆˆˆ2121 θ


________________________________________________________________________________________


Равенката на грешката (13.54) може да се запише на следниот начин:

(13.59) 1ˆ kkykyke

Нека, под претпоставка, влезниот и излезниот сигнал се мерат во миговите

Ndmk ,...,2,1,0 . Векторот податоци (13.70) најнапред се пополнува за

dmk , па за 1 dmk итн. Се до Ndmk . Така се добиваат 1N

равенки од облик:

(13.60) kekkky T 1θΨ

За определување на m2 непознатите параметри на идентификуваниот процес

потребни се најмалку m2 равенки. Оттаму mN 2 , а со цел да се намали влијанието

на шумот kn , се усвојува mN 2 .

1N - равенки од обликот (13.73) можат да се претстават во матричен облик на

следниот начин:

(13.61) NdmNdmNdmNdm eθΨy ˆ

каде што:

(13.62) TNdmydmydmydmyNdm 21y

е вектор на вредности на излезот,

(13.63) TNdmedmedmedmeNdm 21e

е вектор на вредности на грешката и:

(13.64)

T

Nuuu

Nmumumu

Nmumumu

Ndydydy

Ndmydmydmy

Ndmydmydmy

Ndm

10

212

11

1

212

121

Ψ

Матрицата (13.64) има димензија mN 21 .


________________________________________________________________________________________


Критериумската функција за идентификација е:

(13.65)

Ndm

dmk

T keNdmNdmS 2ee

и се бара нејзиниот минимум, кој е одреден со решението на равенката:

(13.66) 0θΨyΨθ θθ

ˆ2ˆ

T

d

dS

Тоа решение гласи:

(13.67) yPΨyΨΨΨθTTT

1ˆ

односно:

(13.68) NdmNdmNdmNdm T yΨPθ

каде што:

(13.69) 1 NdmNdmNdm T

ΨΨP

Бидејќи матрицата (13.64) има димензија mN 21 , за голем број мерења N таа

има многу голема димензија. Матрицата NdmNdmT ΨΨ за ограничени

по амплитуда влезни и излезни сигнали е симетрична и има димензија mm 22 , без

оглед на бројот мерења N.

За да постои инверзната матрица (13.69), матрицата NdmNdmT ΨΨ мора

да има ранг m2 , односно нејзината детерминанта не смее да биде еднаква на нула:

(13.70) 0det ΨΨT

За решението (13.67) да претставува минимум на критериумската функција S, треба

да биде исполнет условот:

(13.72) 02

ΨΨ

θθ

T

T

S

што значи дека матрицата ΨΨT треба да биде позитивно дефинитна, од каде следува

условот:


________________________________________________________________________________________


(13.73) 0det ΨΨT

За да се пресмета θ , најнапред треба да се определи инверзната матрица кон

матрицата ΨΨT , а потоа таа да се помножи со векторот yΨ

T :

(13.74)

NdmNdm

NdmNdmNdmT

2221

1211ΨΨ

12

2

2

2

2

22

2

1

1

1

1

1

1

2

1121

11

d

dk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

ky

mkykykykyky

mkykykykyky

Ndm

Nd

dk

Nd

dk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

dkukymdkuky

mdkukydkuky

mdkukydkuky

Ndm

1

21

1

2

2

2

2

1

1

1

1

12

N

k

Nm

mk

Nm

mk

Nm

mk

Nm

mk

ku

mkukukyky

mkukuku

Ndm

0

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2221

1


________________________________________________________________________________________


(13.75)

Ndm

dmk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

Ndm

dmk

T

mdkuky

dkuky

mkyky

kyky

kyky

1

2

1

yΨ

Бидејќи параметрите на непознатиот систем се определуваат на крајот, откако ќе се

извршат сите мерења, постапката се нарекува нерекурентна постапка за

идентификација. Таа подразбира паметење на сите измерени влезно-излезни

вредности што значи ангажирање многу голема меморија.

modeliranje, identifikacija, simulacija

Documents