Teorija konstrukcija 110. Matrina analiza

Prof. Mira Petronijevi

1

10. Matrina analiza konstrukcija10.1 UvodIstorijski razvoj 1930 Prvi put primenjena matrina analiza u reavanju problema aeroelastinosti, Collar i Duncan,avioindustrija, GB 1934 Prva knjiga Collar, Duncan i Frazer 1955 Argyris, metoda sila i metoda deformacije 1959 Tyrner, Direct Stiffness Method 1964 Wilson, metoda konanih elemenata (MKE) 1964 Gallagher, Irons,Martin,Clough, Zienkiewicz 1977 Sekulovi2

Od 1960-te godine sa ekspanzijom raunara, MATRINA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve vie primenjuje u analizi linijskih nosaa. Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti). Ime potie od matrice krutosti koja daje vezu izmeu sila i pomeranja krajeva tapa. Iz ove metode se praktino razvila METODA KONANIH ELEMENATA, mnogo optija metoda, koja se primenjuje u statikoj i dinamikoj analizi sloenih linearnih i nelinearnih sistema.3

Osnove matrine analize konstrukcija Nosa sa posmatra kao sistem sastavljen od diskretnih elemenata tapova koji su povezani u vorovima nosaa, Na nivou elementa (tapa) uspostavljaju se veze izmeu sila i pomeranja krajeva tapa, Usvajaju se nepoznate veliine na krajevima tapa, Formiraju se jednaine za odreivanje nepoznatih (uslovne jednaine), odreuju nepoznate, a onda i sile u presecima nosaa4

tap - osnovni element nosaa VOROVI4 4

5

1

1

2 2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

Br. vorova Br. tapova

10 9

9

10

TAPOVI Slika 10.15

Nepoznate veliine su parametri u vorovima nosaa. U zavisnosti od izbora parametara u vorovima, postoje 2 metode analize:

Metoda sila

Metoda deformacije

6

Metoda sila Parametri: sile u vorovima nosaa u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema: H, V, MHi Mi Vi Tk Mk Nk

Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktino se ne koristi u matrinoj analizi konstrukcija7

Metoda deformacije Parametri: komponente pomeranja u, v i obrtanja vorova nosaa. Konvencija znaka: pomeranja su pozitivna u smeru pozitivnih lokalnih osa, x i yy

ui

ii

kviSlika 10.1

x uklokalne ose8

vk

k

Metoda deformacije Postoje 2 nivoa analize: analiza tapa i analiza sistema tapova, Analiza tapa: uspostavlja veze izmeu sila i pomeranja na krajevima tapa, Analiza sistema tapova: formira jednaine za odreivanje nepoznatih pomeranja (uslovne jednaine) nosaa.9

Analiza tapay 3 1 x,y lokalni koordinatni sistem Vektor pomeranja Vektor sila 2p(x)

5 E, A, I, l 6 4 P: Vai linearna teorija tapa Osnovna jednaina tapa j x

q1 u i q v 2 i q q = 3 = i q 4 u k q5 v k q 6 k

R1 N i R T 2 i R M R = 3 = i R4 N k R5 Tk R6 M k

R j = K jq j Q jMatrica krutosti tapa Vektor ekvivalentnog optereenja10

Analiza sistema tapovaY1 2 3 4 5 6 7 8

X

9

10

X,Y - globalni koordinatni sistem

Jednaina sistema tapova u globalnom koordinatnom sistemu:

*j * K q = S* Vektor sila u vorovima sistema j Vektor pomeranja vorova sistemaMatrica krutosti sistema tapova11

USLOVNE JEDNAINE SISTEMA TAPOVA

K q =S*

* *

*

REENJE

q Rj, VEKTOR POMERANJA

VEKTOR SILA NA KRAJEVIMA TAPOVA12

10.2 Analiza tapaTipovi tapova kod ravnih linijskih nosaa: ui

ii

kvi vkg k

uk

tap tipa k (6 pomeranja ) tap tipa g (5 pomeranja ) Prost tap (2 pomeranja -l) (4 pomeranja13 -g)

ui

ii

vi uii

vg

ug

k

vi

vk

uk

tap tipa kR3 , q3 R1 , q1 R2 , q2 l = F, E, ly

E, F, I

R6 , q6 R4 , q4 R5 , q5

Aksijalno naprezanjey

R1 , q1

R2 , q2

x

SavijanjeR2 , q2

+ E, F, I, l R1 , q1

R4 , q4 R3 , q3

x

14

Vektor pomeranja q1 u i q v 2 i q q = 3 = i q 4 u k q5 v k q6 k aksijalno naprezanje savijanje

Vektor sila R1 N i R T 2 i R M R = 3 = i R4 N k R5 Tk R6 M k

15

10.2.1 Matrice krutosti tapova u ravnia) Matrica krutosti aksijalno napregnutog tapa

Sile i pomeranja krajeva tapa:R1 , q1 F, E l R2 , q2

Vektor sila i pomeranja krajeva tapa:R R = 1 R2

q2 u1 q= = q2 u2

(1)16

Veza izmeu vektora sila i pomeranja tapa se moe lako izvesti polazei od osnovnih jednaina teorije tapa. Promena duine tetive tapa l je jednaka razlici komponenata pomeranja krajeva tapa u pravcu ose tapa: (2) Dilatacija ose tapa je jednaka promeni duine po jedinici duine, tj. l q q (3) = = 2 1 Napon, tj. normalna sila se odreuje direktno iz dilatacije:

l = q 2 q1

l

l

N = F = FE =

EF ( q2 q1 ) l

(4)17

Sile na krajevima tapaN R1 N R2

EF EF R2 = N = ( q1 + q2 ) ( q1 q2 ) l l Osnovna jednaina neoptereenog tapa:

R1 = N =

(5)

R1 EF 1 1 q1 = l 1 1 q2 R2

R = Kqmatrica krutosti tapa

(6)

R

K

q

18

Fiziko znaenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog tapa Elementi matrice krutosti kij imaju jasno fiziko znaenje koje direktno sledi iz matrine jednaine (6).

R1 k11 = R2 k21

k12 q1 k22 q2

q1=1 q2=1 Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1, kada su sva druga pomeranja qk=0. Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutosti predstavlja sile na krajevima tapa usled pomeranja qj=1. k11 k12 q1=1 k21 k22 q2=119

Jednaina (7) je izvedena za neoptereen tap. Ako je tap izloen uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto , gde je t koeficijent termike dilatacije materijala. Ukupna normalna sila e biti: EF N = EF ( + t ) = (q2 q1 ) + EF t t o (7) l Uvodei matrinu notaciju, dobija se vektor sila u obliku:

R1 EF 1 1 q1 o 1 = EF t t l 1 1 q2 1 R2

(8)

Drugi lan desne strane jednaine predstavlja vektor ekvivalentnog optereenja

1 Qt = EF t t o 1

(9)20

Vektor ekvivalentnog optereenja jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog tapa usled zadatog uticaja, sa suprotnim znakom. To su zapravo sile koje se sa tapa prenose u vorove nosaa. EFtto Qt Q1=EFtto to EFtto Q2=EFtto

Sa uvedenim obeleavanjem, iz jednaina (8) i (9) dobija se osnovna jednaina optereenog tapa u matrinom obliku:

R = Kq Qt

(10)

21

a) Matrica krutosti tapa tipa k izloenog savijanjutap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranja, po tri u svakom voru: dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose.

y R2 , q2 R1 , q1 R1 R R = 2 R3 R4

R4 , q4 x R3 , q3 q1 q q = 2 q3 q4 22

Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente, pozitivne u smeru pozitivnih osa:

Veza izmeu vektora sila i pomeranja R1 k11 R k 2 21 = R3 k31 R4 k41 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43 k14 q1 k24 q2 k34 q3 k44 q4

R1 = k11q1 + k12 q2 + k13 q3 + k14 q4Ako je: q1 = 1, qi = 0 gde je i = 2,3,4

R1 = k11 1 + k12 0 + k13 0 + k14 0 = k11R1 q1=123

Matrica krutosti za sluaj savijanja K se moe izvesti polazei od znaenja elemenata matrice krutosti. Naime, element kij predstavlja silu na mestu i usled jedininog pomeranja na mestu j. To znai da elementi matrice krutosti kij, i=1-4, prizmatinog tapa predstavljaju reakcije obostrano ukljetenog tapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1, j=1,2,3,4, slika.

q1=1

K21=6EI/l2

K41=6EI/l2

q2=1

K22=4EI/l

K42=2EI/l

K11=12EI/l3

K31=-12EI/l3

K12=6EI/l2

K32=6EI/l2

K23=-6EI/l2

K43=-6EI/l2

q4=1K24=2EI/l K24=4EI/l

q3=1K13=-12EI/l3 K33=12EI/l3

K14=6EI/l2

K34=6EI/l2

Slika

24

U statikom smislu, tap tipa k izloen savijanju je dva puta statiki neodreen. Elementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jedininog pomeranja oslonca qj i odreuju se primenom metode sila. Ovde e biti ilustrovano odreivanje elemenata Ki1, usled pomeranja oslonca q1=1.q1=1

Uslovne jednaine:i k

X1

X2

11 X1+12 X2+10=0 21 X1+22 X2+20=0Koeficijenti i slobodni lanovi:

Stanje X1=1 C1=1/l M1 Stanje X2=1 X2=1

11=

k

i

M 12 l ds = EI 3EI

22 =

k

i

2 M2 l ds = EI 3EI

C2=1/l

12 = 21 =

k

i

M1 M 2 l ds = EI 6 EI 1 l 2 c = C2 c = 1 l

1c = C1c =

Uslovne jednaine :C1=1/l M2 1k21 = 6EI l2

C2=1/l

l 3EI l 6 EI 6EI l2

l 1 6 EI X 1 l + = 0 l X 2 1 l 3EI

Reenje:k41 = 6EI l2

X1 = X 2 =

Reakcije oslonaca:

T1 = T2 =

12EI l3

i

12EI k11 = 3 l

k

25

12EI k31 = 3 l

Matrica krutosti tapa tipa k izloenog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima tapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti. Na slian nain odreuju se elementi kolona j=2,3 i 4 . Tako se dobija matrica krutosti oblika:

6l 12 2 EI 6l 4l s Kk = 3 l 12 6l 2 6l 2lq1=1

12 6l 12 6l}

6l 2l 2 6l 4l 2 }

}

q2=1

}

q3=1 q4=126

Vektor ekvivalentnog vornog optereenjaVektor ekvivalentnog vornog optereenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente, koje su jednake negativnim vrednostima reakcija oslonaca obostrano ukljetene grede usled zadatog optereenja. a) jednakopodeljeno optereenje:y

Mi TiQ2

py(x)=pl Q4

Mk Tkx

Q1

Q3

pl 2 Q1 Ti pl 2 Q 2 M i 12 Q = = = Q3 Tk pl Q4 M k 2 2 pl 12 27

b) temperaturna razlika t = tu-toy Mi t = tu- to > 0 l Q2 Q4 Mk x h tu to

0 t 1 Qt = EI t h 0 1 28

Matrica krutosti tapa tipa kMatrica krutosti tapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog tapa i tapa optereeno na savijanje stavljanjem odgovarajuih lanova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K tapa izloenog sloenom naprezanju aksijalno naprezanje EF l 0 0 Kk = EF l 0 0 1 2 3

0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2

0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l

EF l 0 0 EF l 0 0

4

5

0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l

6 EI l2 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l 0

6

5

4

3

2

1

Vektor ekvivalentnog optereenja se takoe dobija postavljanjem na odgovarajua mesta ekvivalentnog optereenja aksijalno napregnutog tapa i tapa izloenog savijanju

Q1 Q 2 Q Q = 3 Q4 Q5 Q6

aksijalno naprezanje

savijanje

6

savijanje

29

1 2 3 4 5 6

30

c) Matrica krutosti tapa tipa gMatrica krutosti tapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog tapa i matrice krutosti tapa tipa g izloenog savijanju.

Matrica krutosti tapa tipa g izloenog savijanju

y R2 , q2 x R1 , q1 R3 , q3

vektor sila

vektor pomeranja

R1 R = R2 R 3

q1 q = q2 q 3

tap tipa g izloen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja. Vektori sila i pomeranja krajeva tapa imaju po 3 komponente, a matrica krutosti tapa je treeg reda.31

Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i , jednostrano ukljetene grede usled pomeranja qj=1.k11 = 3EI l2q1=1

q1=13EI k21 = 3 l3EI k31 = 3 l

Sraunavanje elemenata ki1

i

g

X1

q2=1

k12 =

3EI l

Stanje X1=1 C1=1/l

C2=1/l

k22 =

3EI l2 3EI k13 = 2 l 3EI l3

k32 =

3EI l2

M1

q3=1k33 = 3EI l3

Uslovna jednaina:g

11 X 1 + 1c = 0

11 = i

M 12 l dx = , EI 3EI

1c = C j1c j =j

1 l

k23 =

X 1 = R2 =

1c 3EI = 2 11 l

R1 = R3 =

3EI l3

32

R3 R1

y

R2 Matrica krutosti tapa tipa g izloenog savijanju:

R5

R42

x 3 5

3EI l3 3EI s Kg = 2 l 3EI l3 1 EF l 0 Kg = 0 EF l 0 0

3EI l2 3EI l 3EI 2 l2 30

3EI 2 l3 3EI 3 2 l 3EI 5 l3 4 EF l0 0 EF l 0

5 0 3EI 3 l 3EI 2 l 0 3EI l3 33

1 2 3 4 5

Matrica krutosti tapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog tapa i tapa izloenog savijanju:

3EI l3 3EI l2 0 3EI l3

3EI l2 3EI l 0 3EI l2

Vektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa gp(x)

Q3 Q1

y

Q1, Q4- aksijalno naprezanje Q5 Q4x

Q2

Q2, Q3, Q5 - savijanje

Vektor ekvivalentnog optereenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa negativnim znakom.

Ti Q2 Q s = Q3 = M i g Q T 5 g

34

a) jednakopodeljeno optereenje:y

Mi TiQ2

py(x)=pl

Tk

x

Q2 5 pl Q s = Q3 = l g Q 8 3 5

Q1

Q3

b) temperaturna razlika t = tu-toMi Ti

yTk

x

t = tu- to > 0

Q T g

Q3 Q2 Q5

1 l Q2 t = Q3 = 1.5EIT 1 h Q 1 5 l 35

Osobine matrice krutosti kvadratna simetrina kij= kji singularna det K=0

36

10.3 Analiza nosaa u ravni9 2 1 8

3

4

nepoznate: ui ,vi ,i ukupan broj pomeranja: N=2K+m=2 4+1=9 broj nepoznatih: n=N- zo=9-6=3 nepoznata pomeranja poznata pomeranja

XOY globalni koordinatni sistem, xy lokalni koordinatni sistem37

10.3.1 Matrice transformacijeSile i pomeranja krajeva tapova u matrinoj anlizi se definiu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema, koji je jedinstven za ceo nosa. To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOY . Poto su na nivou tapa sile i pomeranja krajeva tapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu tapa, u kome su izvedene i osnovne jednaine tapa, potrebno je izvriti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugi. Ta transformacija je definisana uglom koji osa tapa x zaklapa sa globalnom X-osom. Vektor sila i pomeranja krajeva tapa se transformiu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomou matrice transformacije T. Pokazaemo matrice transformacije za tapove tipa k, g i prost tap.38

a) Matrica transformacije za tap tipa kYy

Vektori sila i pomeranja u lokalnom koordinatnom sistemu xOyR5, q5 R6, q6

x

Vektori sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu XOY* * R6, q6 * * R5, q5

R4, q4* * R3, q3

* * R2, q2

R2, q2 R1, q1

R3, q3

* * R4, q4

* R1, q1*

X O

q1 q 2 q q = 3 q4 q5 q6

R1 R 2 R R = 3 R4 R5 R6

* q1 * q2 q* q* = 3 * q4 * q5 * q6

R1* * R2 * R3 * R = * R4 * R5 * R6 39

Projektovanjem komponenata vornog vektora pomeranja/sila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistema dobija se matrica transformacije vora, a na osnovu nje i matrica transformacije tapa.Y y

Vektor sila u voru i* * R2, q2

R, qx

lokalni k.s

globalni k.s.

R2, q2

R1 R i = R2 R 3

R1* * R* = R2 i R* 3

* * R3, q3

R3, q3

R1,q1* * R1, q1

X

Veza izmeu sila u voru i:* R1 = R1*cos + R2 sin

* R2 = R1* sin + R2 cos

* R3 = R3

R1 cos R2 = sin R3 0

sin cos 0

0 R1* * 0 R2 * 1 R3

40

Matrica transformacije sila u voru i

cos t = sin 0

sin cos 0

0 0 1

R i = tR * i

Za vor k vai ista relacija:

R k = tR * k

Na osnovu toga se moe napisati veza izmeu sila na krajevima tapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu:

Ri t 0 Ri* = * Rk 0 t Rk gde je

R = TR *

t T=

t

matrica transformacije tapa.41

Matrica transformacije za tap tipa k jednaka je:

cos sin 0 T = T

sin cos 0 0

0 0 1 cos sin 0 0 sin cos 0

0 0 1

Relacija vai ne samo za sile ve i za vektor pomeranja krajeva tapa:

R = TR * q = Tq* Q = TQ*Matrica transformacije je ortogonalna Tt

= T-1, odakle sledi da je:

R * = T t R q * = T t q Q* = T t Q42

b) Matrica transformacije za tap tipa gY R5,q5 y R2,q2 R3,q3 g R4,q4 g* 2

xR ,q* 5 * 5

R ,q

* 2

* * R4 , q4

R1 R 2 R = R3 R 4 R5

i R1,q1* * R3 , q3

R1* * R2 * * R = R3 R* 4 * R5

i

* R1* , q1

X

cos sin Tg =

sin cos 1 cos sin

sin cos

Veze izmeu vektora sila/pomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu:

R = TR*

q = Tq* Q = Tq*

R * = T t R q* = Tt q Q* = T t Q43

c) Matrica transformacije za prost tapVektor sila u lokalnom sistemu Y x* * R4 , q4

R R = 1 R2 Vektor sila u globalnom sistemu

y k

R2,q2* * R2 , q2

g R* , q* 3 3

i R1,q1 i* R1* , q1

R1* * R * R = 2 * R3 * R4 X

cos T =

sin cos

sin

R = TR*

q = Tq* Q = Tq*

R * = T t R q* = Tt q Q* = T t Q44

10.3.2

Transformacija matrice krutostiK * - matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu

R = Kq Q / Tt Tt R = Tt Kq Tt Q R* = Tt KT q* Q*

R* = K *q* Q*osnovna jednaina tapa u globalnom koordinatnom sistemu

K * = Tt KT K = KT K * = Tt K45

10.4Y

Formiranje uslovnih jednaina. Postupak kodnih brojevaUslov ravnotee sila u voru i:

Pi*i

Pi*

R* j = 0 ij =1

i

(1)

Pi*

vektor sila u voru i, na kraju tapa j

R* j ii

R* j ij k

R * j vektor sila u voru i iibroj tapova u voru i

R* j kX46

Vektor sila na krajevima tapa j

submatrice tapaj

R* k* i ii * = * R k k ki

j

k* ik k* kk

j

* * qi Qi * * q k Q k

(2)

Subvektor sila u voru i tapa j

R* j = k * j q* + k * j q* Q*j i ii i ik k iAko j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se

(3)

Pi* k * j q* + k * j q* Q*j = 0 ii i ik k ij =1

i

(

)

(4)

47

j =1

i

k * j q* ii i

+

j =1

i

k * j q* ik k

=

Pi*

+

Q*j ij =1

i

(5)

Ako uvedemo obeleavanje:

K* ii

=j =1

i

k* j iii

K* ik

= k* j ik

Q* i

= Q*j ij =1

i

dobija se jednaina

K * q* + ii i

K* q*k ikj =1

= Pi* + Q* i

i=1,2,..K

(6)

48

Ako se ispiu uslovi ravnotee za svih K vorova, dobija se sistem od N=2K+m jednaina:

K *q* = S*U jednainini (7) je

(7)

K*

- matrica krutosti sistema tapova - vektor pomeranja vorova nosaa

q*

S* = P* + Q* - vektor slobodnih lanova49

Formiranje K* i S* postupkom kodnih brojevalokalni koordinatni sistem tapa jy2*2 q2

*2 q1

* q6*2 q4

3x2

Y

3

2 2

2 2*2 q3

* q5

3 2 1* q1

* q4* q3

qy1x1

*1 4

2

2 1* q2 1

*1 q3

* q2

1

1 1X

q

*1 1

1

globalni koordinatni sistem

50

Kodiranje obeleavanje komponenata pomeranja vorova u globalnom koordinatnom sistemu, brojevima od 1,2,...N6 5 Y 2 4 3

PRAVILO2 1 1

X

Obeleavaju se prvo sva nepoznata pomeranja pa poznata pomeranja.51

Kodiranje matrica krutosti elemenata1*1 k11 *1 k K*1 = 21 *1 k31 *1 k41

2*1 k12 *1 k22 *1 k32 *1 k42

3*1 k13 *1 k23 *1 k33 *1 k43

4*1 k14 *1 k24 *1 k34 *1 k44

1 2

kodni brojevi3 4 Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se obeleavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima tapa u globalnom koordinatnom sistemu.

5

6

3

4

*2 k11 *2 k K*2 = 21 *2 k31 *2 k41

*2 k12 *2 k22 *2 k32 *2 k42

*2 k13 *2 k23 *2 k33 *2 k43

*2 k14 *2 k24 *2 k34 *2 k44

5 6 3 4

kodni brojevi

52

Formiranje matrice krutosti sistema K*1 2 31 k13 1 k23 1 2 k33 + k33 1 2 k43 + k43 2 k11 2 k21

41 k14 1 k24 1 2 k34 + k34 1 2 k44 + k44 2 k12 2 k22

5

6

K*1

1 1 k11 k12 1 1 k12 k22 1 1 k31 k32 * K = 1 1 k41 k42

2 k31 2 k41 2 k13 2 k23

2 k32 2 k42 2 k14 2 k24

1 2 3 4 5 6

K*2Matrica krutosti sistema K* dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih tapova na odgovarajue mesto shodno kodnim brojevima. Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju.

K* nn53

Formiranje vektora ekvivalentnog optereenja Q**2 Q2

y2

Q1*23x2*2 Q4

* Q6* Q5

Y

3

2 2

2 2*2 Q3

3 2 1

* Q4* Q3

Qy1x1

*1 4

2

2 1* Q2 1

*1 Q3

* Q2

1

1 1X

Q

*1 1

1

Q1*

Komponente vektora Qj* pojedininih tapova u globalnom koordinatnom sistemu

Komponente vektora Q* sistema u globalnom koordinatnom sistemu54

Kodiranje vektora ekvivalentnog optereenja elemenataQ Q * Q1 = Q Q *1 1, t *1 2, t *1 3, t *1 4, t

1 2 3 4*2 Q2

* Q4 1

2* Q2 1

* Q3 1

6 5 2 4 3

1

1

Q1*1

*2 Q1,t *2 Q * Q 2 = 2,t *2 Q3,t *2 Q4,t

5 6 3 4

Q3 2

*2 1*2 Q4

2 1

1

2

*2 Q3

55

Vektor ekvivalentnog optereenja sistema* *1 Q1,t Q1,t 1 * *1 Q2,t Q2,t 2 * *1 *2 Q3,t Q3,t + Q3,t 3 * Q = * = *1 *2 Q4,t Q4,t + Q4,t 4 * *2 Q5,t Q1,t 5 * *2 Q6,t Q2,t 6

Vektor ekvivalentnog optereenja sistema Q* dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog optereenja pojedinih tapova na odgovarajue mesto u vektoru sistema, shodno kodnom broju. Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju.56

Vektor koncentrisanih sila u vorovima6 5 3 2 1 2

P4*P3*

2

1

1

P* 1 * P2 P3* * P = * P4 P5* * P6

1 2 3 4 5 6

Sile u slobodnim vorovima - poznate sile Sile u oslonakim vorovima - nepoznate sileVektor sila u vorovima sistema P* dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na odgovarajue mesto u vektoru sistema prema kodnom broju.57

Vektor slobodnih lanova

S1* Q1* + P* 1 1 * * S2 Q2 + P2* 2 * * S3 Q3 + P3* 3 = * * S4 Q4 + P4* 4 * * S5 Q5 + P5* 5 * * S6 Q6 + P6* 6 Vektor slobodnih lanova se dobija sabiranjem vektora Q* i P* .58

10.5

Reavanje sistema jednaina

Matrica krutosti sistema je singularna, det K*=0. Matrica K* i vektori S* i q* se parcionu po nepoznatim (q*n) i poznatim pomeranjima (q*p):

K* nn * K pn

n n K * q* S* (I) np = * * * K pp q p S p (II) K * q* = S* K * q*p nn n np n

* Nepoznata pomeranja q n se dobijaju iz jednaine I :

K * q* + K * q*p = S* nn n np n

q* - vektor nepoznatih pomeranja n q*p - vektor poznatih (zadatih) pomeranja59

Mogu nastupiti 2 sluaja:I) q*p = 0

- homogeni granini uslovi (nepomerljivi oslonci )

K * q* = S* nn n nII) q* p

q* n q* n

0 - nehomogeni granini uslovi (pomerljivi oslonci )

K * q* = S* - K * q*p nn n n np

Ako je S* = 0 (neoptereen nosa, zadato pomeranje oslonaca) n

K * q* = - K * q*p nn n np

q* n60

10.6 Odreivanje reakcija oslonacaReakcije oslonaca su jednake silama u vorovima u kojima su poznata pomeranja. Njih odreujemo iz jednaine II:* S*p = K *pn qn + K *pp q* p * * S*p = Pp + Q*p Pp = S*p Q*pVektor Vektor reakcija ekvivalentnog Vektor oslonaca optereenja sila u osloncima61

10.7 Odreivanje sila na krajevima tapovaVektori sila na krajevima elementa tapa j se dobija iz osnovne j-ne tapa:

R j = K jq j Q j q j = T j q* j

-vektor sila u lokalnom sistemu veza izmeu sila u lokalnom sistemu i pomeranja u globalnom sistemu

R j = K j T j q* j Q j R j = K j q* j Q j , K = K j T jVektor sila u l.s. Vektor pomeranja u g.s. Matrica krutosti

62

10.8 Algoritam porauna Numeriu se vorovi i elementi nosaa, kodiraju se pomeranja vorova i odredi broj nepoznatih pomeranja; Srauna se geometrija svih elemenata (duina, povrina i moment inercije poprenih preseka, uglovi nagiba tapova j prema X-osi i cosj i sinj); Sraunaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog optereenja Qj elemenata u lokalnom sistemu; Sraunaju se matrice transformacije Tj , matrice krutosti K*j i vektori ekvuivalentnog optereenja Q*j elemenata u globanom koordinatnom sistemu; Sraunaju se matrice krutosti K* i vektor ekvuivalentnog optereenja Q* sistema; Formira se vektor koncentrisanih sila u vorovima P* u globalnom koordinatnom sistemu; Srauna se vektor slobodnih lanova S*= P*+ Q*; Rei se jednaina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja vorova q*n; Sraunaju se reakcije i vektori sila na krajevima tapova.63

10.9 Reetkasti nosaiReetka u ravni Osnovni element reetkastog nosaa je prost tap m, koji je u vorovima i i k zglavkasto vezan sa ostalim delovima nosaa (sl.1). tap je izloen aksijalnom naprezanju. Pretpostavlja se da je tap konstantnog poprenog preseka. Na krajevima tapa javljaju samo aksijalne sile R1, R2 i odgovarajua pomeranja q1, q2 u pravcu ose tapa (slika 3). Dakle tap ima dva stepena slobode pomeranja. tapovi

i

j

k

Slika 1

vorovi64

Element reetke je prost tap. Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su:R1 ,q1 l R2, q2

R R = 1 R2

q q = 2 q2

Matrica krutosti prostog tapa je jednaka matrici krutosti za aksijalno naprezanje.

k EF 1 1 k K = 11 12 = l 1 1 k21 k22

65

Transformacija koordinatnog sistemaY

lokalni sistemyxx

globalni sistemR*4, q*4

R2, q2 R*2, q*2 R1, q1O

R*3, q*3

R*1, q*1X* q1 R1* * * R q q* = 2 R * = 2 * * q3 R3 * q4 * R4

Vektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu: Matrica transformacije

cos T= 0

sin 0

0 cos

0 sin

q = T q*

Q = T Q*66

Matrice krutosti

K = KT EF cos K= l cos sin sin cos cos sin sin

K * = Tt K = Tt K TEF K = l*

Ke -K e

-K e Ke cos sin sin 2 67

cos 2 Ke = cos sin

10.11 Simetrini nosai. tap tipa s tap tipa s se javlja kod simetrinih nosaa koji su optereeni simetrinim optereenjem. To je tap tipa k koga polovi osa simetrije, slika 1.Pks

3 1

2

Pk

5 6 4

2 3 1

P/2k

4

s i

ne raunamo u nepoznata pomeranja

i

=2 s 3 1 i

tap tipa s

s

Slika 168

2

Matrica krutosti tapa tipa s

3 1 i

s

tap tipa k pri simetrinom optereenjuk3 1 2

vektor pomeranja tapa q1 q1 q q 2 2 q q q = 3 = 3 q4 q1 q5 q2 q6 q3

Pl

P

5 6

i

k

4

tap tipa s2 3 1 i

vektor pomeranja

vektor sila R1 R = R2 R 3

sls=l/2

s

q1 q = q2 q 3

69

Veza izmeu vektora sila i vektora pomeranja na krajevima tapa tipa k pri simetrinom optereenju data je matrinom jednainom: EF l R1 0 R 2 0 R3 = R4 EF R5 l R6 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EF l 0 0 EF l 0 0 0 12 EI l3 6 EI 3 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l 6 EI q l2 1 q 2 EI 2 l q3 q 0 1 q2 6 EI q 3 v 4 EI l 0

(a)

70

Veza izmeu vektora sila i vektora pomeranja na kraju i tapa tipa s se dobija iz prve tri jednaine (a) jednostavnim mnoenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q. U matrinom obliku se dobija:Matrica krutosti tapa tipa s

EF 2 R1 l R2 = 0 R 3 0

0 q1 0 0 q2 EI q3 0 2 l 0

EF 2 l Ks = 0 0 l

EF 0 ls 0 0 = 0 EI 0 2 0 l 0

0 0 0

0 0 EI ls

Veza izmeu vektora sila i pomeranja tapa tipa s

duina tapa tipa k

ls = l/2 duina tapa tipa s71

Primer3 1 2 2 5 6 4 3 1

s

9 7

8 11

12 10

6 5 4

s

tapovi tipa s

15 14 13 17

=18 16

8 9 7

s

broj nepoznatih: n=18

broj nepoznatih: n=972

10.11 Ortogonalni nosai Ortogonalni nosai su nosai iji su tapovi meusobno pod pravim uglom. Uticaj normalnih sila na deformaciju se moe zanemariti. Posledica: Sva pomeranja u pravcu jednog poteza tapova su ista.

Prednosti: Smanjuje se broj nepoznatih, Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanju, Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se transformacija

73

Na slici a) je predstavljen tipian ortogonalni nosa simerino optereen. Sva vertikalna pomeranja vorova du vertikalnog poteza tapova su ista i jednaka nuli. Horizontalna pomeranja vorova su ista na svakoj etai. Nepoznate su: horizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih vorova. Ukupan br. nepoznatih je n=3+6=9. Ako se iskoristi osobina simetrije, slika b), dobie se da su sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli, pa je br. nepoznatih n=3.4 1 0 0 5 1 0 1 0 0

s

0

6 2

0

7 2

20

0

s

0

tapovi tipa s0

8 3

0

0 9 3

=30

s

0

0 0

0

a)

0 0 0 0 0

0

b)n=374

broj nepoznatih n=9

Napomena: Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje, br. nepoznatih je n=6x3=18, tj. 9.

Yx2 2 y2

Da bi se izbegla transformacija potrebno je lokalni koordinatni sistem postaviti tako da je koordinatni poetak : kod horizontalnih tapova u levom voru, kod vertikalnih tapova u gornjem voru. X75

y1

x1 1

10.12 Ramovske konstrukcije u zgradarstvuzidno platno grede stubI= I,E

l I= a) I,E

b)

h

l

h/2

l

76

a) Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprenog preseka velika u odnosu na duinu elementa h>0,25l. Zbog toga se, u matrici krutosti zidnog platna, uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u 2 obzir. 1i tap tipa k Kod odreivanja elemenata matrice krutosti na savijanje, uticaj transverzalnih sila se pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja:

E, G, I, k

l

ik = s

MiMk TT ds + k i k ds EI GF s

4 k 377

h

Matrica krutosti zidnog platna je jednaka matrici krutosti tapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sraunavanja elemenata matrice krutosti: EF l 0 0 1 K= 1 + EF l 0 0 12

b

0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2

0 6 EI l2 (4 + ) EI l 0 6 EI l2 (2 ) EI l

EF l 0 0

0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l

EF l 0 0

6 EI l2 (2 ) EI l 0 6 EI 2 l (4 + ) EI l 0

2 EI 3 h l =k E = GF G l kl

- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)78

Zidno platno-tap tipa g Matrica krutosti EF l 0 1 0 = 1 + 0.25 EF l 0 0 3EI l3 3EI l2

K gz =

1 Kg 1 + 0.25 EF l 0 0 EF l 0 0 3EI 3 l 3EI 2 l 0 3EI l3 79

0 3EI l2 3EI l 0 3EI l2

K zg

0 3EI l3

b) tapovi skokovito promenljivog preseka jedan kraj beskonano krut tipa k EF l 0 K= I= E, F, I

ll

l

0 12 EI '3l 3

0 6 EI 12 EI + '2l 2 '3l 2 4 EI 12 EI 12 2 EI + '2 + '3 'l l l

EF l 0 0

0 12 EI '3l 3

6 EI 12 EI '2l 2 '3l 2 0 12 EI '3l 3

EF l sim. 0

6 EI '2l 2 2 EI 6 EI + 'l '2l 0 6 EI '2 2 l 4 EI 'l 080

tipa g

I=

E, F, I

ll

l

EF l K= EF l

3EI '3l 3 3EI '3l 2 3EI '3l 2 3EI '3l

EF l

EF l 3EI '3l 3 3EI '3l 2

3EI '3 3 l 3EI '3 2 l 3EI '3l 3 81

oba kraja beskonano kruta tip kI= E, F, I I=

l

ll

l

EF l 0 K=

0 12 EI '3l 3 6 EI

0

EF l 0 0

0 12 EI '3l 3 0 12 EI '3l 3 12 EI '3l 2

'2l 2

+

12 EI '3l 2

4 EI 12 EI 12 2 EI + '2 + '3 'l l l

6 EI

'2l 2

EF l sim. 0

6 EI 12 EI + '3 2 '2l 2 l 2 2 EI 12 EI 12 EI + '2 + '3 'l l l 0 6 EI 12 EI '2 2 '3 2 l l 2 4 EI 12 EI 12 EI + ' 2 + '3 l 'l l 0

82

tip sq2 q3 q2 -q3

q1

E,

F, I

-q1

2

I=

l

ll=10

I= l

2

q2 q3 2

q1 s

2 EF l Ks = 0 0

0 0 0

0 0 2 EI ' l

83