mjerenje i greške

7/23/2019 Mjerenje i Greške

http://slidepdf.com/reader/full/mjerenje-i-greske 1/50

1.Uvod. Mjerenje i greške pri mjerenju

SI jedinice. Pod SI jedinicama u užem smislu podrazumijevaju se osnovne jedinice SI i izvedene jedinice SI (vidi dodatak na kraju knjige). To je koherentan(skladan) skup međusobno povezanih jedinica kod kojih su preraunski !aktori jednaki jedinici. "a primjer# osnovne jedinice su$ metar (m)# kilogram (kg)#...# aizvedene jedinice$ m%# kg&m%...

Prilikom izraunavanja najsigurnije je decimalne i mje'ovite zakonske jedinice pretvoriti u polazne SI jedinice. "pr$ nm *+,-m/ 0 cm 0*+,-1 m/

cm%*+,-0 m%/ km&h#2 m&s. 3 tom sluaju krajnji rezultat se dobijetakođe u SI jedinicama.

Sabiranje i oduzimanje vektora

Vektorske veličine su potpuno određene intenzitetom (iznos# brojnavrijednost)# pravcem i smjerom (sl.1.)

1

Sl.+.

Sl.(.



Trigonometrijske unkcije (na pravouglom trouglu# sl. !.)

(sinus)$ 1cossin ;sin 22 =+= α α α

c

a

(kosinus)$ α α α α cossin22sin;cos ==c

b

(tangens)$ b

a tg =α / (kotangens)$

a

b ctg =α

Mjerenje.Izmjeriti neku !iziku veliinu znai uporediti je sa istovrsnom veliinom koja

je odabrana za mjernu jedinicu. 4ezultat mjerenja se iskazuje kao

" # n$gdje je$ 5 - mjerena veliina# n - brojna vrijednost# 6 - jedinica mjere. "aprimjer#dužina uionice je +, m. Pi'emo$

l +, m#

pri emu je$ l - mjerena veliina# +, - brojna vrijednost# m (metar) - jedinica mjere. Prije poetka mjerenja potrebno je pripremiti odgovaraju7u tabelu u koju7emo upisivati rezultate mjerenih veliina.

Pisanje brojeva pomoću potencije broja 10

3 !izici se esto služimo vrlo velikim i vrlo malim brojevima pa je uobiajenoda se takvi brojevi pi'u skra7eno# pomo7u potencije broja +,. 8vo nekolikoprimjera$

brzina svjetlosti u vakuumu# c %,, ,,, km&s %*+,2 km&s %*+,9 m&s /srednji poluprenik :emlje# 4 0 %;, km 0#%;*+,0 m /naboj tijela# < ,#,,,,,,,,+ = +#*+,- = /standardni atmos!erski pritisak# p +,+ %,, Pa +#,+%*+,2 Pa.

8vo jo' nekoliko primjera>a) +,, +,*+, +,/ + ,,, +,*+,*+, +,%/ +,, ,,, +,2

%) 6ko je broj manji od +# onda ga pi'emo kao potenciju sa negativnimeksponentom$

3

3

2

2

1 10210

2002,0;10

10

101,0;10

10

11,0

−−− ⋅======

c) 242221020001,02)01,0(22 milimmcm −⋅⋅=⋅=

36333106000001,06)01,0(66 milimmcm −⋅⋅=⋅=

333131055;)10(555 mmdm

−− ⋅=⋅==

2

Sl.%.



Prefiksi

3 praksi se esto koriste umno'ci ili podumno'ci osnovnih jedinica. "jihovinazivi su dati u tabeli na kraju knjige# ali 7emo ih i ovdje ista7i.

&reiks Multiplikacioni aktor &reiks Multiplikcioni aktor deka da +,+, deci d ,#++,-+

hekto h +,,+, centi c ,#,++,-

kilo k + ,,,+,% mili m ,#,,++,-%

mega ? + ,,, ,,,+,0 ?ikro @ ,#,,, ,,++,-0

giga A + ,,, ,,, ,,,+, nano n ,#,,, ,,, ,,++,-

tera T + ,,, ,,, ,,, ,,,+,+ piko p ,#,,, ,,, ,,, ,,++,-+

peta P +,+2 !emto ! +,-+2

eBa 8 +,+9 ato a +,-+9

&rimjer' pC (dva piko!arada) D+,-+ C# % nm (tri nanometra) %D+,- m#

1 @6 (etiri mikroampera) 1D+,-0 6# ; mE (sedam milivolti) ;D+,-% E# +,, kPa (sto kilopaskala) +,,D+,% Pa +,2 Pa# % ?Fz (tri megaherca) %D+,0 Fz# AG (dva gigavata) D+, G.

Značajne cifre pri računanju .

Hada u zadacima raunamo s mjernim podacima# tanost rezultata mjerenjamora se ravnati prema broju znaajnih (pouzdanih) mjesta 'to ih imaju podaci.

Pri sabiranju i oduzimanju brojeva treba u rezultatu zadržati onoliko ci!arakoliko ima broj sa najmanjim brojem ci!ara. "a primjer$

,#+10 #+ ,#20 #9,0 ≈ #9.

Pri množenju i dijeljenju brojeva treba u rezultatu zadržati onoliko ci!arakoliko ima broj sa najmanjim brojem ci!ara. "a primjer$

2#0% *,#9 1#2,1≈1#2.

Pri dizanju brojeva na kvadrat i kub potrebno je u rezultatu zadržati samoonoliko ci!ara koliko ima u osnovi. "aprimjer$

%#9 +,#;921≈+,#9.

Pri vađenju kvadratnog (i kubnog) korijena važi isto pravilo. "aprimjer$

90 #;%≈ #%.

3 gornjim primjerima vr'ili smo zaokru(ivanje %rojeva. Jno se vr'i uproraunima kod kojih se koriste približne vrijednosti nekih veliina# a takvi su svi

3



rezultati mjerenja. 6ko je pri zaokruživanju prva od odbaenih ci!ara ve7a od 2posljednja ci!ra koja se zadržava pove7a se za +. 6ko je prva od odbaenih ci!aramanja od 2 brojevi se zaokružuju odbacivanjem ci!ara. "aprimjer$

%0#;%;1 %0#;1

%0#;%%1 %0#;%8vo jo' nekoliko primjera>1. 1#090 %#+ ;#90 mKroj %#+ ima tri ci!re. 3 rezultatu treba zadr'ati tri ci!re. Prilikom zaoruživanjaprva od odbaenih ci!ara je ve7a od 2 te se posljednja ci!ra pove7a za +. :bir je*+,. . %# cm D #+ cm 0#;0 cm.Aornji rezultat treba zaokružiti na dvije ci!re. Prva od odbaenih ci!ara je ve7aod broja 2 te se posljednja ci!ra uvea za +. 4ezultat mjerenja je -+ cm.

Koristi džepni računar

Hori'tenje džepnog raunara znatno nam olak'ava raunanje sa vrlo velikim ilivrlo malim brojevima. 8vo nekoliko primjera raunanja sa džepnim raunarima kojise naje'7e koriste na na'em trži'tu>

1. Potrebno je pomnožiti dva broja$ -+--/10!2 / !/10 "a raunaru pritiskujemo tipke$

-+-- 3e4p) ± !2 4 ! 3e4p) #"a ekranu raunara dobivamo ci!re 1+,* 5 .Taj rezultat oitavamo kao$ 1+,* / 105

. Potrebno je izvr'iti sjede7i proraun$ 5

189

107,1

10101,2−⋅⋅⋅

"a raunaru pritiskujemo tipke$#+ (eBp) × + (eBp) +9 $ +#; (eBp) ± 2

"a ekranu dobijemo ci!re$ 1+!5 !.4ezultat prorauna je$ 1+!5610!

!. Potrebno je izraunati$67

812

10105,2

103,2107,5

⋅⋅⋅⋅⋅ −

"a raunaru pritiskujemo tipke$

5+* 3e4p) 1 4 +! 3e4p) ± ' +5 3e4p) * ' 1 3e4p) - #"a ekranu dobivamo rezultat$ 5+22 ,4ezultat prorauna je$ 5+22610,

2.27

315

)10(

101,9102,7−

−⋅⋅⋅

*+3e4p)54,+13e4p)± !1 ' 13e4p)± *34) #

"a ekranu dobivamo rezultat$ -+55 11

4ezultat prorauna je$ -+55 6 1011

4



5. Izraunati sinus ugla od !20 7Prije raunanja potrebno je tipkom 89: podesiti da se na ekranu pojavi oznaka deg.

Pritiskujemo tipke$ !2 3sin) # 0+55,.Lobili smo da je vrijednost sinusa ugla ,#22.;apomena' Hod nekih tipova raunara potrebno je pritisnuti$ (sin) !2

-. Sinus ugla je ,#2. Potrebno je na7i iznos ugla u stepenima.

Pritiskujemo tipke$ 0+5 3nd) sin # !0Lobili smo da je iznos ugla !00.;apomena' Hod nekih tipova raunara# umjesto oznake nd+ stooji oznaka s<it.

!je"avanje jednačina

Poznavanje tehnike raunanja je vrlo važno za rje'avanje raunskih zadataka u !izici i tehnici.Iako je nedjeljni !ond sati metematike i u osnovnoj i u srednjoj 'koli znatno ve7i nego nedjeljni !ond sati!izike# praksa pokazuje da ak i i izvjestan broj studenata tehnikih !akulteta ima problema prilikomrje'avanja najobinijih jednaina.

6ko je #npr.# nepoznata veliina koju treba izraunati# oznaena sa B# onda proraun nekako iide. 6li ako je oznaena sa v# a ili C# onda nastaju problemi> 6ko je nepoznata na lijevoj strani# onda se

nekako i rije'i jednaina sa jednom nepoznatom# ali ako je nepoznata na desnoj strani# onda opetnastaju problemi> Sve to ukazuje na ormalizam u rje'avanju jednaina na asovima matematike> 3 ovom poglavljunije nam cilj da educiramo uenike kako se rje'avaju jednaine sa jednom nepoznatom nego daukažemo na tipine nedomice kod odredjenog broja uenika odnosno studenata.

1. 4ije'iti jednainu po c>

d

c

b

a=

Jslobodimo se razlomka i jednainu pi'emo u obliku$ad # %c

Mednainu možemo preurediti tako da nepoznatu c dovedemo na lijevu stranu$

%c # ad

b

ad c =

. 4ije'iti jednainu po 4

Jslobodimo se razlomka$a=s # c%4

Mednainu možemo preurediti tako da nepoznata B bude na lijevoj strani jednaine$c%4 # a=s

cbays x =

. Mednainut

vva 0−= rije'iti po v7

Jslobodimo se razlomka# odnosno jednainu pomnožimo sa t# i dobivamo$ at # v > v0

Mednainu možemo preurediti tako da nepoznata v bude na lijevoj strani$ v v 0 # at

v # v0 ? at

Srednja vrijednost mjerene ve#ičine$

5

s

cb

x

ay=



"eka smo izvr'ili n mjerenja veliine B i dobili virjednosti B +# B# ...Bn. Tada jesrednja vrijednost

n

xxxx n21 +⋅⋅⋅++=

Potrebno je izvr'iti najmanje tri mjerenja. Srednja vrijednost je najbliža pravojvrijednosti.

$psolutna greška svakog pojedinog mjerenja jednaka je apsolutnojvrijednosti razlike srednje vrijednosti mjerene veliine i rezultata pojedinih mjerenja$

11 xxx −=∆ / xxx 22 −=∆ # itd.Eeliina

n

x x x x n∆⋅⋅⋅+∆+∆=∆ 21

zove se srednja apsolutna greška mjerenja. 4ezultate mjerenja zapisujemo uobliku

x x x ∆±=9elativna greška mjerenja je odnos srednje apsolutne gre'ke i srednje

vrijednosti mjerene veliine#

x

x∆=ε

Jna je neimenovan broj i obino se izražava u procentima$

%100⋅∆

= x

xε

&rimjer 1' Pomo7u pominog mjerila sa nonijusom izvr'ili smo pet mjerenjadužine olovke i dobili vrijednosti$ d+ +,#+ cm/ d +,#+2 cm/ d% +,#+% cm/d1 +,#++cm/ d2 +,#+1 cm. Srednja vrijednost mjerene veliine je

cm13,105

cm14,10cm11,10cm13,10cm15,10cm12,10d =

++++=

6psolutne gre'ke pojedinih mjerenja su$cm0,01cm12,1013,10d1 =−=∆

cm0,02cm15,1013,10d 2 =−=∆

cm0,00cm13,1013,10d 3 =−=∆

cm0,02cm11,1013,10d 4 =−=∆

cm0,01cm14,1013,10d 5 =−=∆

Srednja vrijednost apsolutne gre'ke je$

6



cmcmcmcmcmcm

d 01,05

01,002,000,002,001,0=

++++=∆

4ezultat mjerenja dužine olovke pi'emo u obliku

cm)01,013,10(d ±=

4elativna gre'ka je$

%1,0

001,000098,0cm13,10

cm01,0

=ε

≈==ε

:reške indirektni< mjerenja. Hada se !izika veliina ne može direktno mjeriti# vr'i seposredno (indirektno) mjerenje. :a izraunavanje gre'ke rezultata indirektnih mjerenja služimo sesljede7im pravilima$

a

a2 aa2x ax

b

b

a

a

b

ax

b

b

a

a a b bax bax

x

x bax bax

2 ∆=ε∆=∆=

∆+

∆=ε=

∆+

∆=ε∆+∆=∆⋅=

∆=ε∆+∆=∆±=

21 ε ε ε +=

&rimjer ' Pri mjerenju elektrinog otpora 3I-metodom# voltmetrom je izmjerena vrijednostnapona 3 +#9 E i ampermetrom jaina struje I ,#2, 6. "ajmanji podiok skale voltmetra je ,#,1 E# a

najmanji podiok skale ampermetra +, m6 (,#,+6). Jdredi vrijednost otpora 4 te apsolutnu i relativnugre'ku mjerenja.

4je'enje$ 8lektrini otpor je$ Ω=== 28,7A250,0

V82,1

I

!

4elativna gre'ka mjerenja je (vidi tabelu)

I

I

!

! ∆+

∆=

∆=ε

"ajmanji podiok voltmetra je ,#,1E. Jitavanje skale možemo procijeniti na polovinu dijelaskale. Jnda je najve7a mogu7a pogre'ka oitavanja napona

∆ " 0,02 V

"ajve7a mogu7a pogre'ka oitavanja jaine struje je

3,1%i#i 031,0

02,0011,0A250,0

A005,0

V82,1

V02,0

!

!

A005,0I

=ε

+=+=∆

=ε

=∆

6psolutna gre'ka mjerenja je$

7



Ω±=∆±=

=∆⋅Ω=⋅ε=∆

0,23)(7,28!

! ! !

0,23!

0,03128,7! !

I M@A$;IB$

. Binematika

.1. Crzina. 9avnomjerno pravolinijsko kretanje.Iznos srednje brzine de!ini'e se relacijom

tsv

∆

∆=

#

gdje je ∆s pređeni put za vremenski interval ∆t.

Hod ravnomjernog pravolinijskog kretanja#

tvs ;t

sv ;constv ⋅

SI jedinica za brzinu je mDs.

&rimjer 1$ 6utobus se kre7e stalnom brzinom 21 km&h. :a koje vrijeme 7e

pre7i rastojanje između dva tele!onska stuba koje iznosi +2, mN9ješenje'

$

m 54=v # Potrebno je brzinu izraziti u SI jedinici$

s"150 m&&&& smv s

m

h

km'15,

3600

10005454 ==

t"

Podatke smo izrazili u polaznim SI jedinicama. Krzina autobusa je$t

s =

a vrijeme kretanja st

s

m

m

v

st 10;

15

150===

8



&rimjer ' "a slici 5. je graikon puta uovisnosti od vremena za$ automobil-6# bicikl - K#pje'aka-P. Jdredi$ a)brzine kretanja automobila#bicikla i pje'aka # %) put koji su pre7i za prve trisekunde od poetka kretanja.

9ješenje' a) "a slici 5+ kretanjaautomobila# bicikla i pje'aka prikazana supravom linijom na s-t dijagramu# 'to znai da se

kre7u ravnomjerno pravolinijski. Krzina automobila je

s

mv

s

m

t

sv A

A

A A 6,

1

6===

Krzina bicikliste je$

s

mv

s

m

t

sv B

B

B

B 2, 3

6===

Krzina pje'aka je

sm 33,1

s3m2m6

ts* =−=∆∆= .

Ara!ik puta automobila ima najve7i nagib te automobil ima najve7u brzinu.

%) Pređeni put automobila za prve tri sekunde kretanja je

m18s3s

m 6ts AA =⋅=⋅= .

Kicikl pređe put

m6s3

s

m2ts *+ =⋅=⋅=

6ko raunamo vrijeme od trenutka t ,# onda je pređeni put pje'aka za trisekunde

m4s3s

m33,1ts ** =⋅=⋅=

3kupan pređeni put pje'aka# do trenutka t % s# je zbir pređenog puta dot, (tj. s, m) i puta pređenog od t , do t % s.

m6m4m2sss -0. =+=+=

9

s(m) A + *

6

4

2

1 2 3 t(s)Sl.2.



&rimjer !' Slika -.a. prikazuje gra!ik puta4avnomjernog kretanja automobila. 6nalizirajnjegovo kretanje>

9ješenje' Krzina automobila# za svakidio puta# može se na7i iz nagiba gra!ika za tajdio puta.

Jd tačke E do tačke $ predjeni putautomobila ravnomjerno raste sa vremenom#odnosno njegova brzina je stalna.

s

mv

s

mm

t

sv 20,

10

0200 =−==

Jd tačke $ do tačke C linija je horizontalna# 'to znai da auto miruje>

smv s

m

t

sv '0,

10

0 ===

Jd tačke C do tačke F udaljenost auta od poetnog položaja J se smanjuje.

6uto se vra7a ka poetnom položaju# odnosno smjer kretanja mu je suprotan>

s

mv

s

mm

t

sv 10,

20

2000 −=−==

&rimjer 2' Hretanje uenika od ku7e J do 'kole K prikazano je na slici -. a) Holiki je uenikpre'ao putN %) Holiki je pomakN

9ješenje' a) Put se mjeri duž putanje kojom se tijelo kre7e. Iznos puta je (sl. 0)$

m12,2m1m12,1s

m1s

m12,1)m5,0()m1(s

sss

A+

22/A

A+/A

=+=

=

=+=

+=

%) Pomak je vektor koji spaja poetnu i krajnju taku.Iznos pomaka je najkra7a udaljenost od poetnog do krajnjeg položaja tijela$

m8,1)m5,1()m1(d 22/+ =+=

10

(m)

1,5 B

0,5 A

O 1 x (m)

Sl.0.



.. U%rzanje. 9avnomjerno u%rzano pravolinijsko kretanje

6ko se u nekom vremenskom intervalu ∆t brzina promijeni za ∆v# onda jesrednje ubrzanje

t

v

a∆

∆

=

SI jedinica za ubrzanje je mDs.

Hod ravnomjerno ubrzanog pravolinisjkog kretanja je a # const.

asvv

at t v s

at vv

2

22

0

2

2

0

0

±=

±=

±=

gdje je. v,- poetna brzina# predznak plus za ravnomjerno ubrzano kretanje#predznak minus za ravnomjerno usporeno kretanje. 3 gornjim relacijamauvr'tavaju se apsolutne vrijednosti iznosa ubrzanja (usporenja).

6ko je poetna brzina jednaka nuli# onda je

as2v ;2

ats ;atv

22

=

&rimjer 1' 6utomobil se kre7e brzinom +9 km&h. Eoza OdodaO gas i brzina seravnomjerno pove7a na 21 km&h u toku 2 s. Jdredi$ a) ubrzanje automobila/ %)put koji je pre'ao za to vrijeme. c) 6ko je voza# umjesto pedale za gas# u trenutkukada je automobil imao brzinu +9 km&h# pritisnuo konicu i pri tome se ravnomjernozaustavljao 2 s# koliki je put pre'ao do zaustavljanjaN

9ješenje'

st s

m

h

kmv

s

mv

s

m

h

kmv

5

1554

5, 3600

10001818 00

=

==

=⋅==

11



a) aN# %) sN c) s+N

a) Hretanje automobila je ravnomjerno ubrzano sa poetnom brzinom.3brzanje se izraunava prema jednaini$

20 2,s5 s

m5

s

m15

s

mat

vva =

−

=−

=

Krzina automobila se svake sekunde pove7avala za s

m.

%) Pređeni put nakon 2 s kretanja je$

2

)5(2

552

2

22

0

s s

m

s s

mat t v s

⋅+⋅=+=

# s 2, m.

c) Hretanje automobila je ravnomjerno usporeno. Treba na7i iznos usporenja.Horistimo jednainu$

at 0 −=

3 na'em primjeru automobil se zaustavio te je krajnja brzina v ,#

2

0

00

s

m1

s5

s

m5

t

a

at;at0

===

=−=

Pređeni put koji je automobil pre'ao do zaustavljanja (zaustavni put)izraunavamo iz jednaine

as2 20

2 −= .

Po'to je krajnja brzina v ,# to je as+ 2

0) /

m12,5

s

m12

s

m

5

2

2

=

⋅

=

a2

vs

20

1.

&rimjer ' "a v#t - dijagramu (slika +)prikazano je kretanje atuomobila 6 i bicikla K.

a) Jdredi ubrzanje biciklab) Jdredi ubrzanje automobilac) Ara!iki odredi pređeni put bicikla za prvih 0 s.

d) Ara!iki odredi pređeni put automobila za prvih 0 s.

12

Sl.+(.



9ješenje' a) 3 trenutku kad ponemo raunati vrijeme (t,) oba tijela imajubrzinu v, % m&s.

Cicikl se kre7e stalnom brzinom te je promjena brzine jednaka nuli.

v, const/ ∆v ,/ a ,.

b) 3brzanje automo%ila je

t

vv

t

va

0=

∆

∆

=

gdje je$ ∆tt ,t/ v+2 m&s

2s

m2

s6

s

m3

s

m15

a =−

=

c) Pređeni put u v#t - dijagramu predoen je povr'inom ispod v (t)prave. 3 na'em primjeru to je povr'ina pravougaonika osnovice ∆t t 0 s i visinev, % m&s.

m18s6s

m3ts 0+ =⋅==

d) Pređeni put automobila predoen je takođe povr'inom ispod v(t) prave$

2

tts 0A

⋅∆+=

S obzirom da je ∆ " a∆t i ∆t " t, to

,2

atts

2

0A +=

m smm

s s

m

s s

m s A A 54;3618

2

)6(2

63

2

2

=+=⋅

+⋅=

4elacija koju smo izveli je op'ta relacija za pređeni put kod ravnomjernoubrzanog pravolinijskog kretanja.

&rimjer !' Hretanje jednog bicikliste prikazano je na slici 1.a. a) Jpi'i kretanje bicikliste od take J do take K.%) Jpi'i kretanje od take K do take =. c) Izraunaj predjeni put od J do K.d) Izraunaj predjeni put od K do L.e) Holiki je pomak tijelaN

9ješenje'a) Jd take E do take $ brzina bicikliste

se ravnomjerno poveava. "ajve7u brzinudostiže u taki 6 i ona isnosi +, m&s.

13



Jd take $ do take C tijelu se brzinaravnomjerno smanjuje. 3 taki K se tijelozaustavi# odnosno bezina mu je jednaka nuli. %)Jd take K do take = brzina bicikliste ima negativnu vrijednost. To znai da jsmjer kretanja suprotan> Krzina se ravnomjerno poveava po apsolutnoj vrijednosti# ali sebiciklista kre7e u suprotnom smjeru i u taki = ima brzinu +, m&s. Jd take = do take L takodje se kre7e u suprotnom smjeru# ali ravnomjernousporeno. 3 taki L se zaustavi# odnosno brzina mu je jednaka nuli.

c) Predjeni put od take J do take K jednak je povr'ini ispod dijagrama. To jepovr'ina ravnostranog trougla J6K# odnosno

50;2

'1010m s

sm s s =

⋅=

Tijelo se udaljilo od take J za 50 m.d) Predjeni put od take K do take L jednak je povr'ini ispod dijagrama. To je

povr'ina ravnostranog trougla K=L# odnosno

50;2

)'10(10m s

sm s s

−=

−⋅

=

Kiciklista se kretao u suprotnom smjeru# odnosno prema poetnom položaju J# i pre'ao putod 2,m.

e) Ukupna površina odgovara pomaku tijela7 Iznos pomaka je 2, m 2, m ,

&omak je 0 m.

&rimjer 2' Lvojica motociklista (sl. 1!) kre7u se ususret jedan drugom iz mjesta 6 i K. Prvimotociklista u mjestu 6 ima brzinu v ,+ ; km&h i kre7e se ravnomjerno usporeno sa usporenjema m&s. Lrugi motocisklista se kre7e iz mjesta K# ima brzinu v , %0 km&h i kre7e se ravnomjernoubrzano sa ubrzanjem a m&s. 3daljenost između mjesta 6 i K je d %,, m. Poslije koliko vremena7e se motociklisti susresti i na kojoj udaljenosti od mjesta 6N

9ješenje'

v,+ ; km&h , m&sv, %0 km&h +, m&sa m&s

d %,, mQQQQQQQQQQ tN# s+ N

:a vrijeme t prvi motociklista pređe put

2

at

ts

2

011 −= # a drugi# 2

atts

2

022 +=4astojanje između motociklista je (sl. +%) )ss(d# 21 +−= .

3 trenutku susreta je l ,# te je$

s10

dt

ttssd

0201

020121

=+

=

+=+=

Prvi motociklista pre7e za to vrijeme put

14

Sl.+%.



m1002

atts

21

011 =−=

.!. 9avnomjerno kretanje po kru(nici.

Fentripetalno u%rzanje.To je kretanje kod kojeg je intenzitet brzine stalan# ali se mijenja pravac brzine.

3brzanje koje karakteri'e promjenu pravca brzine zove se centripetalnou%rzanje. Jno je usmjerno ka centru kružne putanje i ima intenzitet$

a

2

=

gdje je r poluprenik kružne putanje (sl. !).

Period obrtanja T je vrijeme trajanja jednog obilaska po kružnici/

2

π=

Crekvencija obrtanja je broj punih obrtaja u jedinici vremena#

1

t

==

gdje je " - broj obrtaja za vrijeme t.

&rimjer 1' ?alo tijelo je vezano za kraj konca dužine 9, cm i ravnomjerno seobr7e oko drugog kraja ine7i +2, obrtaja u jednoj minuti. Jdredi$ a) !rekvenciju

obrtanja i period obrtanja# %) peri!erijsku brzinu tijela# c) centripetalno ubrzanjetijela.

9ješenje'r 9, cm ,#9 m" +2, obt + min 0, sa) !N# TN# b) vN# c) ac N

a) Crekvencija obrtanja je$

s

ob

5,2s60

ob150

t

===

15

Sl.(%.



Period obrtanja je$

s4,0

s

ob5,2

1

1 ===

%) Peri!erijska brzina tijela je$

s

mv

s

m

T

r v 56,12,

4,0

14,38,022=

⋅⋅==

π

.

c) =entripetalno ubrzanje je$

2

2

2

s

m 2,197

m8,0

s

m56,12

a =

==.

!. 8inamika. Statika

!.1. ;eGtonovi 3;jutnovi) zakoni. Impuls. Edr(anje impulsa.

Holiina kretanja (impuls) tijela je

mvp ,vmp =

Lrugi "eRtonov zakon$

t

,t

∆

∆

=∆

∆

=

Jdnos sile# mase i ubrzanja$

maF ,amF =

Medinica za silu je njutn (")$

2s

mg ⋅

Sila :emljine teže$

mg,F ;gmF gg =

gdje je g - ubrzanje :emljine teže# g #9+ m&s na geogra!skoj 'irini 12.

Težina tijela je sila kojom tijelo djeluje na podlogu ili taku vje'anja.

Tre7i "eRtonov zakon$ 1,21,21,22,1 99 ;99 =−=

Hakon odr(anja impulsa 3količine kretanja)

3kupan impuls tijela izolovanog sistema je konstantan#

const)vm( uk = .

ili$ ukupan impuls izolovanog sistema prije međudjelovanja jednak je ukupnomimpulsu poslije međudjelovanja.

16



&rimjer 1' "a tijelo mase 9,, g# koje se kre7e stalnom brzinom v, 0 m&s#pone da djeluje sila jaine 1 " u smjeru kretanja. Ljelovanje sile traje s. Jdredi$

a) brzinu koju tijelo dobije u toku djelovanja sile + %) koliinu kretanja (impuls) kojiima poslije s# c) pređeni put u toku s.

9ješenje'm 9,, g ,#9 kgt sC 1 "v, 0 m&sa) v N# %) p N/ c) s N

a) Hretanje tijela# od trenutka djelovanja sile# je ravnomjerno ubrzanosa poetnom brzinom#

at 0 +=

3brzanje 7emo odrediti koriste7i se vezom između sile# mase i ubrzanja.Iz Lrugog "eRtonovog zakona slijedi$

2

2

5, 8,0

4

8,0

4

s

ma

kg

s

kgm

kg

N

m

F a ====

Krzina koju tijelo dobije je$

sm16s2

sm5

sm6

2 =⋅+= .

%) Holiina kretanja je$

s

mg8,12

s

m 16g8,0m =⋅== .

c) Pređeni put je$

17



m22s ;2

)s2(s

m5

s2m62

atts

2

22

0 =⋅

+⋅=+=

&rimjer ' Jdredi gra!iki silu reakcije podloge na tijelo mase m + kg# naslici %,. Holiki je njen iznosN Holika je te(ina tijelaN

9ješenje' Tijelo se nalazi na horizontalnoj podlozi i na njega djeluje sila:emljine teže mg usmjerena vertikalno naniže. Tolikom silom tijelo pritiskuje ipodlogu# a podloga djeluje na tijelo silom reakcije ". Tijelo miruje# te je a ,# iprema Lrugom "eRtonovom zakonu (sl. 5)

0gm 7 =+

Projekcija ove vektorske jednaine na vertikalni pravac daje$0mg =−

81,9s

m81,9g1mg

2 =⋅==

Iznos sile rekcije podloge je ; # ,+1 ;.Iznos sile kojom tijelo okomito pritiskuje podlogu je ; # ,+1 ;. To je#

ustvari# te(ina tijela. "apadna taka sile teže je u teži'tu tijela# a napadna takatežine je u taki dodira tijela i podloge>

7 7 J FN=N=9,81 N

&rimjer !. Iz topa ija je masa m+% t ispali se granata ija je masa m+1kgbrzinom v2,, m&s. Holika je brzina cijevi tokom njezina trzaja prema nazadN

9ješenje'm+% t%,,, kgm+1 kgv2,, m&sv+N

3kupna koliina kretanja (impuls) topovske cijevi i granate# prije ispaljivanja#

jednaka je nuli. 3 toku izlijetanja granate iz cijevi ukupna koliina kretanjamm 2211 +

18

N

mg

Sl.(2.



Prema zakonu održanja koliine kretanja 2211 mm0 += # odnosno

.vmvm 2211 Eektori koliina kretanja cijevi i granate imaju suprotne smjerove.

Iznos vektora je jednak$ 2211 vmvm = # pa je brzina trzaja cijevi

s

mv

kg

s

mkg

m

vmv 3,2,

3000

500141

1

221 =⋅==

!.. Slaganje i razlaganje sila. Sila trenja. @lastična sila.

6ko na materijalnu taku djeluje istovremeno vi'e sila onda 7emorezultuju7u silu dobiti pomo7u paralelograma sila (sl..). Pomo7u pravila osabiranju i oduzimanju vektora možemo silu razložiti na komponente.

&rincip nezavisnosti djelovanja sila$ Ako na tijelo djeluje dvije ili više sila,onda one djeluju neovisno jedna od druge.

Sila trenja ima smjer suprotan od smjera kretanja tijela# tr # K;+ gdje je$µ- koe!icijent trenja# C" sila kojom tijelo okomito pritiskuje podlogu (vidi sliku !*).Jna je po iznosu jednaka sili reakcije podloge " (; # ;+ 7

7 −= ). 6ko je

podloga <orizontalna# onda je ; # mg. 6ko na materijalnu taku djeluje vi'e sila# onda je$ am n21 =+⋅⋅⋅++ #

odnosno am F n

i

i

=∑

=1

6ko je 0)a(const == # onda je ona u ravnoteži$

∑

=

=

n

1i

i 0F

.

6ko je v,# onda je materijalna taka u statikoj ravnoteži.

8lastina sila de!ormisane opruge$ ,kxF! gdje je$ B -izduženjeopruge# k - krutost opruge.

&rimjer 1' "a slici !1 je tijelo mase ,, g na strmoj ravni ija je visina + m idužina m. a) Jdredi uspon strme ravni i silu teže koja djeluje na tijelo. %) 4azložisilu teže na dvije normalne komponente od kojih jedna ima smjer niz strmu ravan.

c) Izraunaj iznos komponenti C i C". g+, m&s

.

19



9ješenje'

m,, g,# kg h+ m ∝ mQQQQQQQQQ

a)$ N#b) mgN# c) CN/ C"N

a) 3spon strme ravni je 50%i#im0,5m2

m1$ =

Sila teže koja djeluje na tijelo je Cgmg,# kg⋅+,2s

m ".

%) 4azlaganje sile teže mg na dvije normalne komponente prikazano je naslici %+. Homponenta C je usmjerena niz strmu ravan# komponenta C" jeokomita na podlogu.

c) Iz slinosti trouglova (slika !1)# 6K= i 6+#K+#=+# slijedi da je

"

mg

F i

#

mg

F N=

"mgF ;

#mgF N =

Iznos komponente C je# "2 ⋅0,5"1

La bi izraunali normalnu komponentu potrebno je izraunati stranicu b.

Prema Pitagorinoj teoremi b∝-h( m) (+ m)% m.b+#;% m

1,73m2

m1,73 2 =

ž

&rimjer ' Jdredi gra!iki silu reakcije podloge na tijelo mase m + kg# naslici a# b# c# d. (sl.!) Holiki je njen iznosN

20

$

$1

B1 F #

FN

A1 mg

A " B

:#31

Sl.%(.



a) Pogledaj primjer # i sliku 5. "a horizontalnoj podlozi# sila kojom tijelookomito pritiskuje podlogu jednaka je# po iznosu# sili teže$ ; # mg. Sila reakcije podloge " i sila C" su u odnosu$

N F N −=

%) Tijelo miruje na podlozi te je# prema Lrugom "eRtonovom zakonu (sl. !.a.)

0gm9 7 =++

Projekcija ove vektorske jednaine na vertikalni pravac daje$

0mg =−−

81,11 81,9 2mg =+=+=

Iznos sile reakcije podloge je ++#9+ "# a iznos sile kojom tijelookomito pritiskuje podlogu je takođe ++#9+ ". To je# po de!iniciji#

te(ina tijela>c) Silu C razložimo na dvije normalne komponente$ horizontalnu C+ i

vertikalnu C.

:a ugao 12° (sl.!!.) je

41,1

2

2 i

2

22

22

21

2

21

==

=+=

=

Pretpostavimo da u vertikalnom pravcu nema kretanja# te jeprema . "eRtonovom zakonu 0mg 2 =−+

4,8 41,1 81,9mg 2 =−=−=

d) "a tijelo (sl. !2) djeluje sila teže mg. 4azložit 7emo je na dvije normalne komponente# C i C".Tijelo se kre7e pod djelovanjem sile C# dok sila C" okomito pritiskuje podlogu. Iz slinosti trouglova 6K= i

6K= slijedi$

bmg

$mg oda#

, bmg ;$mg

=

=

=

Sila reakcije podloge ima isti pravac kao i sila kojom tijelookomito pritiskuje podlogu. 3 tom pravcu nema ubrzanja te

je$

21

Sl.%(.a.

Sl.%%.

Sl.%1



Sila kojom tijelo okomito pritiskuje podlogu iznosi 9#19 "# a toliko iznosi i sila reakcije podloge.

Ha one koji (ele više znati7Sile koje stvarno djeluju na tijelo na kosini jesu silateže mg kao aktivna sila# te sila reakcije podloge ".

4ezultuju7a sila je C (Sl. !5).

:a one koji znaju trigonometriju (sl. !2)'

α==α

α==α

cosmg ;#

bcos

sinmg ;#

$sin

&rimjer !' Lva tijela masa m+ 2, g i m +,, g vezana su pomo7u neistegljive niti ija je masazanemarljiva. Holikom silom treba vu7i nit# koja može izdržati silu zatezanja T 2 "# pa da nit ne pukne(sl. !-)N Trenje zanemariti.

9ješenje' "a tijelo m djeluje sila C. 3loga niti se svodi na to da prenosi djelovanje sile na drugotijelo. Ta sila koja se prenosi kroz nit naziva se silazatezanja ili napetost niti T. "a tijelo m+ djeluje silazatezanja niti T+ u smjeru djelovanja vune sile C. Premazakonu akcije i reakcije tijelo m+ djeluje na tijelo m silomT# te je# u na'em primjeru# T1# T# T. Mednaine kretanjau horizontalnom pravcu za prvo i drugo tijelo su$

%Fam

%am

2

1

=

4je'enjem jednaina dobivamo da je vuna sila

715

1m

2m16 =

Lokaži da# ako vuna sila djeluje na tijelo m+# njena vrijednost iznosi ;#2 ".

&rimjer 2. Tijelo mase kg leži nahorizontalnoj podlozi. "a tijelo djeluje sila C % "#

22

8,84

m2

m1,73

2s

m9,81g1

m1,732$

2 b

bmg

0

=

=

=

=

Sl.%2.

12

Sl.%0.

t

gm

Sl.%;.



kao na slici %;. Hoe!icijent trenja između tijela i podloge je ,#+. Jdredi ubrzanjekojim 7e se tijelo kretati.

9ješenje$ m kg/ C % "/ µ ,#+ a N

"a tijelo djeluje vuna sila C# sila trenja C tr # sila teže mg i sila reakcijepodloge ". 3 vertikalnom pravcu nema kretanja# a ,. Mednaine kretanja su$

horizontalan pravac$ ma t =− (+)

vertikalan pravac$ 0mg =− ()

Iz jednaine (+) iznos ubrzanja tijela je$

m

a t

−=

Iznos sile trenja je t " µ # a iz jednaine () je "mg

2

22

s

m52,0

g2

s

mg96,1 3

g2

s

m81,9g21,0 3

m

mga =

−=

⋅⋅−=

µ−= .

Ha one koji (ele više znati'

&rimjer 5' Jdredi ubrzanje tijela koje klizi nizstrmu ravan nagiba %,°. Hoe!icijent trenja izmeđutijela i strme ravni iznosi ,#%. (Sl.%9)

9ješenje'

α %,°

µ ,#%a N

"a tijelo djeluje sila teže gm # sila

reakcije podloge 7 i sila tranjat4

9 . Prema .

"eRtonovom zakonu je$ gm . 7 t4 9

am Projekcije ove vektorske jednaine na izabrani koordinatni sistem daju$

x <t "ma (1)

< "0 ()

Po'to je t " µ ; " " mg

b

/ " mg $

(vidi primjer +d i sliku %1)# jednainu (+) možemopisati u obliku$

23

Sl.%9.



mg

$-µ mg

bma

odnosno

b=

$ga

:a α%,°# ,3

3 b i

2

1$

te je a"2,4 s

m2

Ha one koji znaju trigonometriju'

, b

cos> ;$

sin>

= te je

)cos(singa αµ−α=

6ko je trenje zanemarljivo# µ ,# onda jeag sinα

6ko je ravan horizontalna (α,)# onda je

a -µg

6ko se tijelo niz strmu ravan kre7e stalnom brzinom v const# a , )# onda je

b

$tg ,0cossin =α=µ=αµ−α .

!.!. Fentipetalna sila. :ravitaciono polje

Sila koja tijelu daje centripetalno ubrzanje djeluje okomito na smjer kretanjatijela. 3smjerena je prema centru kružne putanje i ima iznos

&

mvF

2

$ =

TreLi Beplerov zakon. Holinik kvadrata vremenom obilaska planete oko

Sunca i kuba radijusa kružne orbite jednak je za sve planete$

const!

3

2

=

;eGtonov zakon opLe gravitacije. Privlana gravitaciona sila između dvatakasta tijela proporcionalna je proizvodu njihovih masa# a obrnuto proporcionalnakvadratu njihovih rastojanja (sl. 2!)$

2

21

&

mmF γ

γ - gravitaciona konstanta#

24

Sl.1%.



γ 0#0;*+,-++"m&kg

Iznos jaine gravitacionog polja$

2

?

m

@ γ ==

gdje je$ γ - gravitaciona sila# m - masa tijela na koje djeluje polje# ? - masa izvorapolja# r - udaljenost od izvora polja.

Sila :emljine teže$mgF ;gmF gg =

g-ubrzanje :emljine teže. Standardna vrijednost ubrzanja :emljine teže je$

g, #9+ m&s.

3brzanje :emljine teže opada sa udaljeno'7u od povr'ine :emlje$

,)$! (

! g)$! (

?g2

2

02 +=

+γ =

gdje je$g,-ubrzanje na povr'ini :emlje# 4-poluprenik :emlje# h-visina iznadpovr'ine :emlje# g-ubrzanje :emljine teže na visini h.

Bosmičke %rzine

&rva kosmička %rzina za :emlju je brzina koju tijelo treba imati da bi ravnomjerno kružilo okozemlje#

g

?1 =

gdje je $?-masa :emlje# r-udaljenost između centra masa tijela i :emlje.

"eposredno iznad :emljine povr'ine je v1=',9 s

m

8ruga kosmička %rzina za :emlju je najmanja brzina kojom tijelo treba izbaciti sa :emlje da binapustilo oblast djelovanja njenog gravitacionog polja#

2g

?22 = .

:a izbacivanje tijela sa povr'ine :emlje# v2=11,2 s

m

TreLa kosmička %rzina je najmanja brzina kojom treba izbaciti tijelo sa :emlje da bi napustiloSunev planetni sistem. Pod najpovoljnijim uslovima ona iznosi 1-+! kmDs.

etvrta kosmička %rzina je najmanja brzina kojom treba izbaciti tijelo sa :emlje da bi napustilooblast djelovanja na'e galaksije/ v2#,0 kmDs.

&rimjer 1' Holika je centripetalna sila potrebna da atletiar zavitla kladivomase +kg po kružnoj putanji poluprenika #, m sa +, ob&min.

9ješenje'm +#, kgr #, m

!+, ob&min +, ob&0, s #, ob&sC= N

25



"a kladivo treba da djeluje centripetalna sila C=

m 2

Peri!erijska brzina kladiva je

2

π= a period kruženja

315m2

)s'm1,25(g1

s

m1,25

s5,0

14,3m22

s5,0s2

1

1

2

1

=⋅

=

=⋅⋅=

===−

&rimjer ' a) "a povr'ini :emlje miruje ovjek mase 9, kg. Izraunajgravitacionu silu između ovjeka i :emlje# ako je poznato da je masa :emlje

?2#0⋅+,

1

kg i poluprenik 40%;, km. %) Holika sila teže djeluje na tog ovjekaako je poznato da je ubrzanje sile teže g#9+ m&sN c) 6ko je poznato ubrzanje:emljine težena povr'ini :emlje# g#9+ m&s i poluprenik :emlje 40%;, km#izraunaj masu :emlje.

9ješenje'a) m9, kg %) g#9+ m&s

?2#0⋅+,1 kg m9, kgQQ 40%;, km0#%;⋅+,0 m# CgN CN c) g#9+ m&s

40#%;⋅+,0 m ?N

a) Aravitaciona sila između ovjeka i :emlje data je obrascem2

21

&

mmF

⋅

γ .

3 na'em primjeru je (sl.22)26

24

2

211

2 m)10(6,37

g105,96g80

g

m106,67

?m

⋅

⋅

⋅=

"783,8

%) Sila teže kojom :emlja djeluje na ovjeka je g"80 %g⋅9,81 m's2

"784,8

Krojne vrijednosti se slažu u granicama pouzdanosti podataka za γ i g.

26

m

(

?

Sl.11.



c) Aravitaciona sila između ovjeka i :emlje i sila teže na ovjeka su

jednake CCg# te je mg!

m?

2 = # odnosno

2!

?g = . Jdatle je

! g?

2

= .

g105,96'g m106,67

m)10(6,37m's9,81

! g?

24

2211

2622

⋅

⋅

⋅

=

&rimjer !' Svoje zamisli o zakonu gravitacije "eRton je potvrdio na primjeru kretanja ?jesecaoko :emlje. "a koji nainN

9ješenje' 6ko važi "eRtonova pretpostavka da je gravitaciona sila kojom djeluje :emlja na?jesec identina sa silom teže# onda i sila teže opada sa kvadratom udaljenosti od centra :emlje. "audaljensti r od centra :emlje kre7e se ?jesec brzinom v (sl. 12). Sila teže kojom :emlja djeluje na?jesec je mg. "a udaljenosti 4 od centra :emlje (na povr'ini :emlje) sila teže bi bila jednaka mg ,

Prema zakonu gravitacije sila teže treba da opada sa kvadratom rastojanja$mg ∼ +&r # tj.

2

20

!

mg

mg

= (+)

S druge strane sila teže koja djeluje na ?jesec jednaka jecentripetalnoj sili pri kruženju ?jeseca oko :emlje$

!

mmg

2

= ()

Iz jednaina (+) i () dobivamo da je$

! g

2

02 = (%)

Krzina kretanja ?jeseca oko :emlje je$

2 π=

gdje je T- period obilaženja ?jeseca oko :emlje# te je$2

0

2

3

2

! g

4

π= odnosno22

32

0!

4g

π= .

Iz "eRtonove pretpostavke da su :emljina sila teže i njena gravitacija identine dobili smo izrazza ubrzanje :emljine teže na njenoj povr'ini. Hada se uvrste podatci za$ r%#91*+, 0m/ 40#%;*+,0 m/T;#1 d#%;*+,0 s# dobivamo

g, # m&s.

Lobivena vrijednost za g na povr'ini :emlje potvrđuje ispravnost "eRtonove ideje o op'oj

gravitaciji.

!.2. Bretanje u %lizini površine Hemlje. Aitac

Hod kretanja tijela u blizini :emljine povr'ine vrijedi g # const# tj. na na'ojgeogra!skoj 'irini g #9+ m&s. Posmatrat 7emo idealizirani sluaj gdje je otpor zraka zanemarljiv.

Slo%odan pad (a " g, 0" 0)

27

Sl.12.



v =gt gs2v 2

gts 2

2

=

gdje je$ s pređeni put od poetka slobodnog pada.

Aitac uvis Aitac nani(e

?aksimalna visina koju tijelo dostigne kod hica uvis je

g2

v#

20

max = # gdje je

v, poetna brzina.

Erijeme penjanja kod hica uvis$g

vt 0

p = .

Aorizontalni <itac (sl. 2*)

gtv ;vv

2

gt) ;tvx

)0x

2

0

=

=

&rimjer 1' Tijelo slobodno pada sa visine %, m. a) :a koje vrijeme7e pasti na :emljuN %) Hojom brzinom 7e pastiN c) :a kojevrijeme 7e pre7i prvu polovinu putaN d) :a koje vrijeme 7e pre7i drugupolovinu putaN e) Holiki put 7e pre7i u posljednjoj sekundi padanjaN

9ješenje'hs%, m

a) t N# %) v N# c) t+ N# d) t N# e) s+ N (sl. 2)a) Erijeme za koje 7e tijelo slobodno pasti sa visine h

izraunavamo iz jednaine

2

gt$

2

=

28

gs2

2

gtts

gt

2

0

2

2

0

0

+=

+=

+=

g$22

gtt$

gt

2

0

2

2

0

0

−=

−=

−=

Sl.1;.

Sl.19.



s47,2

s

m81,9

m302

g

$2t

2

=⋅

==

%) Krzinu kojom 7e tijelo pasti sa visine h izraunavamoiz jednaine$

s

m 3,24m30

s

m81,92g$2

2 =⋅⋅==

c) Iznos prve polovine puta je $12

$+2 m. Erijeme za koje tijelo pređe prvu

polovinu puta izraunavamo iz jednaine2

gt$

21

1 = # odakle je

s75,1

s

m81,9

m152

g

$2t

2

11 =⋅==

d) Erijeme za koje tijelo pređe drugu polovinu puta je$

t2" t Bt1" 2,47 s <1,75 s " 0,72 s

e) Put koji pređe tijelo prije posljednje sekunde padanja iznosi$

m6,10)s1s47,2(

2

gs 2

0 =−=

3 posljednjoj sekundi tijelo pređe put

s" $ B s0" 30 m < 10,6 m " 19,4 m

&rimjer ' Tijelo se izbaci uvis poetnom brzinom +,9 km&h. Jdredi$a) brzinu tijela poslije s kretanja# %) visinu na kojoj se nalazi tijelo poslije skretanja# c) maksimalnu visinu koju dostigne tijelo.

9ješenje'

v,+,9 km&hs

m30

s3600

m1000108 =

t sQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ a) vN# %) hN# c) FN

a) Krzina koju ima tijelo poslije s je#

29

"0

C

0

s#49



s

m38,10

s2s

m81,9

s

m30gt

20

=

⋅−=−=

%) Eisina na kojoj 7e se nalaziti tijelo tijelo poslije s je#

m38,40$

2

)s2(s

m81,9

s2s

m30

2

gtt$

2

22

0

=

⋅−⋅=−=

c) ?aksimalnu visinu koju tijelo dostigne kod hica uvis izraunavamo izuslova da je u najvi'oj taki brzina jednaka nuli# tj. v,. Iz relacije v2=v0

2*2g##izraunavamo da je v0

2=2g+# odnosno maksimalna visina je

m87,45

s

m81,92

sm30

g2

C

2

2

20 =

⋅

==

&rimjer !' 6vion leti brzinom ;, km&h# po pravoj i horizontalnoj putanji# navisini km. Iz aviona se ispusti bomba. a) Poslije koliko vremena 7e bomba pastina :emljuN %) "a kojoj udaljenosti u horizontalnom pravcu# od mjestaizbacivanja#7e pasti bombaN c) 3 kom položaju 7e se nalaziti avion u trenutku padabombeN d) Holikom brzinom 7e pasti bombaN e) Holiko bi trebalo da bude vrijeme tempiranja bombeda bi eksplodirala na visini h++,, m iznad :emljeN g+, m&s.

9ješenje'FU km,,, mv, ;, km&h ,, m&sa) tN# %) BN c) haN# Ba N# d) vN# e) t+N# U+ F-h+ +,, m.

Pogledaj sliku 2*.

a) Hada se ispusti iz aviona bomba se po inerciji kre7e istom brzinom uhorizontalnom pravcu# kao i avion. Istovremeno bomba slobodno pada i vrijeme

padanja je# iz ,

2

gtC

2

=

s20

s

m10

m2002

g

C2t

2

=⋅

==

%) :a to isto vrijeme bomba je pre'la u horizontalnom pravcu put

m4000s20s

m200tx 0 =⋅==

c) 3 trenutku pada bombe avion 7e se nalaziti vertikalno iznad bombena visini km (sl.2*).

30



d) Krzina kojom padne bomba je (sl. 1;)$

s

m8,282s20

s

m10

s

m200)gt(

22

220 =

⋅+

=+=

e) Erijeme tempiranja bombe je

s5,19

s

m10

m19002

g

)$C(2t

2

11 =

⋅=

−=

gdje je U+ F h+ +,, m put koji pređe bomba# slobodno padaju7i sa visine h.

!.5. 9otacija

Hod rotacionog (obrtnog) kretanja tijela sve take tijela opisuju koncentrinekružnice 7iji centri leže na pravoj koja se zove osa rotacije (obrtanja) tijela.

3gaona brzina je ,t

ϕ

=

gdje je$ ∆ϕ-ugaoni pomak u vremenskom intervalu ∆t.

2%

2π=

gdje je$ T- period obrtanja# !-!rekvencija obrtanja. SI jedinica za ugaonu brzinu jerad&s/ ob πrad.

Eeza između linijske i ugaone brzine#

,&v ⋅

gdje je r- poluprenik kružnice.

3gaono ubrzanje je

,tω=

gdje je$ ∆ω-promjena ugaone brzine u vremenskom intervalu ∆t.

Hod ravnomjernog obrtanja# ω const.

Hod ravnomjerno promjenljivog obrtanja# α const$

αϕ± 2 ,2

tt -t 2

02

2

00

Tangencijalno ubrzanje materijalne take$ at αr.

?oment inercije materijalne take na okomitoj udaljenosti r od ose rotacije je

31



I"m 2

?oment inercije diska je2

m I

2

= # a lopte 2m

5

2I = . Vtajnerov obrazac$ II,md# gdje

je I,-moment inercije u odnosu na paralelnu osu koja prolazi kroz centar mase# d-udaljenost paralelnihosa.

Jsnovni zakon rotacije$t

D

I

?

∆∆

==α .

= F/# gdje je$ ? - moment sile/ d - krak sile# tj. najkra7a udaljenost oserotacije od pravca djelovanja sile.

= , gdje je$ W - moment impulsa tijela.

Hakon odr(anja momenta imulsa

3kupan moment impulsa tijela izolovanog sistema je konstantan#

const)3( uk =

.

&rimjer 1' "a disk mase 9,, g i poluprenika , cmtangencijalno djeluje sila od " (sl. 52). Jdredi$ a) momentsile koji djeluje na disk# b) moment inercije diska# c) ugaonoubrzanje koje dobije disk# d) ugaonu brzinu diska poslije 1 sod poetka obrtanja.

9ješenje'm ,#9 kgr ,# m

C "a) ?N# %) IN/ c) αN/ d) ωN/ t 1 s.

a) Iznos momenta sile je ? " d 3 na'em primjeru je$

m4,0m2,0 2 ? =⋅=⋅=

%) ?oment inercije diska je$

222gm016,0)m2,0(g8,0

2

1m

2

1I =⋅==

c) 22s

ad25

gm016,0

m4,0

I

?===α .

d) 6ko je kretanje ravnomjerno ubrzano# onda je$

t

0ω−ω=α

3 na'em primjeru je ω, ,# te je$

s

ad

100s4s

ad

25t 2 =⋅=α=ω

32

Sl.21.



!.-. Inercijalne sile. Fentriugalni eekat

Inercijalni sistem re!erencije (IS9) je sistem koji miruje ili se kre7e ravnomjerno pravolinijski uodnosu na :emlju. Takav sistem se naziva i laboratorijski sistem. 3 takvom sistemu važe "eRtonovizakoni dinamike.

"einercijalni (ubrzani) sistem re!erencije ("S4) je svaki sistem koji se kre7e ubrzano u odnosu nainercijalni sistem re!erencije. 3 "S4 djeluje inercijalna sila (sl. 5.)

0in0in maF ;amF =

gdje je$ a,- ubrzanje sistema. Inercijalnasila u rotiraju7em sistemu naziva secentriugalna sila (sl.;9b)/$

.&

mvFF

2

c in =

&rimjer 1 Xovjek mase m 9, kg stoji u li!tu na vagi. Jdredi pokazivanje kazaljke vage ako seli!t podiže ubrzano sa akceleracijom a, m&s$ a) u inercijalnom sistemu re!erencije# b) u ubrzanom(neinercijalnom) sistemu re!erencije. g +, m&s.

9ješenje$ a) 3 sistemu re!erencije vezanom za :emlju (inercijalni ili laboratorijski sistem) natijelo djeluje sila teže mg i sila reakcije podloge ". Sile djeluju na istom pravcu te prema . "eRtonovom

zakonu je (sl. 5,)#

N960)s

m2

s

m80g(10)am(g

mamg

220

0

=

=

Sila kojom ovjek pritiskuje podlogu je ;NFN

N940NFN =

b) 3 sistemu re!erencije vezanom za li!t (ubrzani sistem) djeluju trisile$ sila teže mg# inercijalna sila Ci i sila reakcije podloge ". Tijelo u odnosu

na li!t miruje te je vektorski zbir tih sila jednak nuli$ 0 gm i =++ .

Mednaina projekcije tih sila na osu U daje (sl. -0)$

960)ag(m

mamgmg

0mg

0

0i

i

=+=+=+=

=−−

&rimjer ' Huglica# obje'ena o uže dužine l 0, cm# kruži u

horizontalnoj ravni (konusno klatno) sa periodom T +#2 s. Holiki je ugaoizmeđu užeta i vertikalne ose rotacijeN :adatak rije'iti u$

33

Sl.0+.

Sl.0,.

Sl.29.

Sl.2.



a) inercijalnom sistemu re!erencije# %) ubrzanom sistemu re!erencije.

9ješenje'l0, cm,#0 mT+#2 s.QQQQQQα Na) 3 inercijalnom sistemu re!erencije djeluju dvije sile$ sila teže Amg i sila zatezanja niti 4T.

Po'to se kuglica kre7e po kružnici rezultanta te dvije sile ima smjer prema centru kružnice ( sl. -1) i tarezultanta ima ulogu centripetalne sile$

g

mg

m

mg

tg

2c ===α

Peri!erijska brzina je ,sin i

2 α=

π= l te je$

1,21

932,0g

4

cos

2

2

=α

=⋅π

=αl

%) 3 sistemu re!erencije vezanom za kuglicu ("S4# rotiraju7isistem) na nju djeluju dvije sile$ sila teže A mg i centri!ugalna sila Cc! (sl. 0).

Sa slike vidimo da je$ g

mg

tg

2c ==α Istim postupkom# kao pod a)# nalazimo da je α+#+°.

!.*. Me<anika luida

Pritisak je

5

Fp =

gdje je C-sila koja okomito djeluje na povr'inu S.

SI jedinica za pritisak je paskal (Pa).

*a10 ba ;

m

*a 5

2 ==

Fidrostatiki pritisak zavisi od gustine tenosti i visine stuba tenosti h iznadmjesta na kojem se mjeri.

6g#p =

&askalov zakon$Spolja'nji pritisak se kroz tenosti prenosi na sve stranepodjednako.

Sila potiska na tijelo uronjeno u tenost (ili gas) ima smjer suprotan sili teže#

g7F 0p ρ

gdje je $ E-zapremina uronjenog tijela# ρ,-gustina tenosti.

34

Sl.0(.



Težina tijela uronjenog u tenost (ili gas) je

1 EE −=

gdje je A-težina tijela u vakuumu (i približno u vazduhu)

luid je zajedniki naziv za tenosti i gasove. Strujanje je stacionarno ako se

brzina !luida u datoj taki ne mijenja u toku vremena. Cluid je idealan# ako se možezanemariti unutra'nje trenje (viskoznost).

:apreminski protok !luida je

5vt

78

=

∆

∆

=

gdje je$∆E-protekla zapremina !luida u vremenskom intervalu ∆t# S-povr'inapresjeka strujne cijevi# v-brzina strujanja !luida.

Nednačina kontinuiteta. Protok u bilo kojem presjeku strujne cijevi jekonstantan# 2211 v5v5 =

const;:F

:a stacionarno strujanje idealnog !luida kroz horizontalnu cijev (sl.02.) važiCernoullijeva (Kernulijeva) jednačina.

2

vp

2

vp

.const

2

vp

22

2

21

1

2

ρ

ρ

ρ

odnosno

gdje je$ p-statiki pritisak#2

2ρ -dinamiki pritisak.

6ko cijev nije horizontalna# onda je .constg#2

vp

2

=

gdje je$

ρgh -visinski pritisak# h-visina posmatranog presjeka u odnosu na određeni nivo.

Krzina isticanja tenosti iz malog otvora# g#2v = gdje je h-visina stubatenosti u sudu iznad otvora (sl.-*.)

Intenzitet sile unutra'njeg trenjax

v5F∆

∆

η

gdje je $ S-povr'ina slojeva

!luida koji se taru# η-koe!icijent dinamike viskoznosti#t

)

∆

∆-gradijent brzine. SI

jedinica za dinamiku viskoznost je Pa*s.Iznos otporne sile prilikom kretanja tijela proizvoljnog oblika kroz !luid je

,5v$

2

1F

2

9

35

:1 1 1

:2 2

2

Sl.02.



gdje je$ρ-gustina !luida kroz koji se tijelo kre7e# S-eona povr'ina tijela#=5-aerodinamiki koe!icijent tijela# v-brzina tijela.

&rimjer 1' 3 posudi cilindrinog oblika# ija je povr'ina dna 2 cm# nalazi se

+#2 l vode. Jdredi' a) masu vode u posudi ako je gustina vode +,,, kg&m%#%) pritisak vode na dno# c) visinu stuba vodeN

9ješenje'S2 cm2⋅+,-1 m

E+#2 l+#2⋅+,-% m%

ρ+,,, kg&m% QQQQQ a) mN# b) pN# c)hNa) ?asa i gustina tvari su povezane relacijom

m"ρV"100033

3

m101,5

m

g

⋅

m"1,5 %g

%) Sila pritiska na dno je F=mg# te je pritisak

*a5886

m1025

m's9,81g1,5

:

mg

:

24

2

=

⋅

⋅

=

c) :apremina cilindra je 7=5 #, te je visina stuba tenosti

m0,6$

m1025

m101,5

:

V

$ 24

33

=

⋅

⋅

=

Aidrostatički pritisak stuba tenosti visine h možemo izraunati iz relacije

*a5886;m0,6s

m9,81

m

g1000Gg$

23 =⋅⋅== p .

&rimjer ' Kakarna kocka ima masu 9, g. 6ko znamo da je gustina bakra9,, kg&m%# odredi$ a) zapreminu bakarne kocke# %) težinu kocke u vazduhu#

36

#

mg

5

:#66



s

#7,1

s

m107,1

s

m42,5m1014,3F

m1014,314,34

)m02,0(

4

d:

3324

2422

=⋅=⋅⋅=

⋅=⋅=π=

−−

−

c) :apreminski protok je ,t

VF = odakle je vrijeme isticanja +,, l vode

s9#29l&s +#;

l +,,

Z

Et ===

d) "eka je brzina kojom se spu'ta nivo tenosti v+# a brzina isticanja vv.Prema jednaini kontinuiteta 2211 :: = gdje je

4

d: i

4

H:

2

2

2

1 π=π=

3vr'tavanjem u izraz za jednainu kontinuiteta dobivamo

s

m0135,0

m4,0

m02,0

s

m42,5

H

d

2

2

2

21 =

⋅==

Ta brzina je oko 1,, puta manja od brzine isticanja.

&rimjer 2' Eoda protie kroz tzv.Eenturijevu cijev# prikazanu na slici 09. Prenik'ireg dijela cijevi je L++, cm# a užeg L2 cm#dok je razlika nivoa vode u cjevicama 6 i K# h,cm. Jdredi$ a) razliku statikih pritisaka u 'irem iužem dijelu cijevi# b) brzinu vode u 'irem i užemdijelu cijevi# c) zapreminski protok vode.

9ješenje'L++, cm,#+ mL 2 cm,#,2 mF, cm,# m

a) p+-pN# b) v+N# vN c) ZN

a) Pritisak ispod cjevice 6 u 'irem dijelu cijevi je11 g$ ρ= # a u užem dijelu cijevi ispod

cjevice K# 22 g$ ρ= . 6ko visine raunamo u odnosu na nivoe tenosti u cjevici K# onda

je h+h# h,# te je

*a1962m2,0s

m81,9

m

g1000g$

2321 =⋅⋅=ρ=− .

%) Iz Kernoullijeve jednaine za horizontalnu cijev je2

2

22

2

21

1

ρ+=

ρ+ odnosno

38

A +

$

H1 1

2

H2

Sl.09.



)(2

G 2

12221 −=− . Iz jednaine kontinuiteta# 2211 :: = slijedi

−=− 1

:

:

2

G

2

2

212

121 odakle jes

m26,01 = i

s

m 07,1

:

: 1

2

12 == # pri

emu je 4H

H

:

:22

21

2

1 == .

c) :apreminski protok jes

m101,2

4

H:F

33

1

2

111

−⋅=⋅π== .

2.@nergija i rad

2.1. 9ad i energija. Snaga 6ko stalna sila ima smjer kretanja tijela# rad sile C na putu s de!inisan je

izrazom (sl.*2.)'A=F/s

:I dinica a ad dJ.# (@)@"m

6ko sila djeluje pod nekim uglom u odnosu na smjer kretanja onda je rad sile

(sl.*5.) A"1Ks:a one koji znaju trigometriju$

1" cosα; A"s cosα

4ad sile pri pomjeranju tijela u poljusile teže je

A = mg#,

gdje je$ h- visinska razlika između krajnje i poetne take.

4ad koji vr'i vanjska sila pri istezanju elastine opruge je

39

Sl.;1.

Sl.;2.



2kx2

1A =

gdje je$ B - istezanje opruge# k - konstanta opruge.

4ad gravitacione sile pri pomjeranju tijela mase m iz take + u taku je$

−⋅γ =12

1

1?A

gdje su$ r + i r -udaljenosti taaka od centra :emlje# ?-masa :emlje.

4ad gravitacione sile ne zavisi od oblika putanje nego samo od poetne i krajnje udaljenosti odcentra sile. Takve sile nazivaju se konzervativne sile. "jihov rad na zatvorenoj putanji jednak je nuli.;ekonzervativne sile su sile trenja i otporne sile. "jihov rad na zatvorenoj putanji nije jednak nuli.

4ad pri obrtnom kretanju je

ϕ= ?A

gdje je$ ? - moment sile# ϕ opisani ugao.

Hinetika energija tijela mase m i brzine v je

2

mv:

2

=

3 polju sile teže# tijelo mase m ima gravitacionu potencijalnu energiju# navisini h u odnosu na određeni nivo

:p = mg#,

gdje je$ g - ubrzanje sile teže.8lastina potencijalna energija je

2x2

1L = .

3kupna mehanika energija sistema je

: = :k < :p

8nergija se izražava jedinicama za rad.

Potencijalna energija dva tijela ije su mase m i ? na udaljenosti r# u gravitacionom polju:emlje#

m?L γ −=

Potencijal gravitacionog polja u taki na udaljenosti r od centra izvora polja

?V γ −=

Hinetika energija pri rotaciji tijela je

,2

IL

2

ω=

gdje je$ I - moment inercije tijela# ω - ugaona brzina.

40



Promjena kinetike energije sistema jednaka je radu svih sila koje djeluju nasistem#

A"∆L

4ad sile je pozitivan ako se pove7a energija sistema. 4ad sile je negativan

ako se smanji energija sistema. 4ad sile trenja je uvijek negativan.Srednja snaga je de!inisana izrazom$

vFt

A= ⋅

gdje je$ ) - srednja brzina# C - sila koja ima smjer kretanja tijela.

SI jedinica za snagu je vat (G)

s

@M =

6ko je stepen korisnog djelovanja ma'ine k# uloženi rad 6# onda je korisnirad

A A ⋅=

Jdnosno korisna snaga

Pkk⋅P

Snaga pri obrtnom kretanju tijela je$

*"?Kω

gdje je$ ? - moment sile koji uzrokuje obrtanje# ω-ugaona brzina tijela.

&rimjer 1' Tijelo mase 2,, g leži na horizontalnoj podlozi i na njega ponedjelovati stalna sila od % " u horizontalnom smjeru. a) Holiki rad izvr'i sila na putu% mN %) Holika je kinetika energija tijela na kraju putaN c) Holiku 7e brzinu imatitijelo na kraju putaN Trenje se zanemaruje.

9ješenje'm,#2 kgC% "s% mQQQQQ

a) 6N/ b) 8kN# c) vN

%) Prira'taj kinetike energije tijela jednak je radu spolja'nje sile. Po'to jetijelo prije djelovanja sile mirovalo# to je$

8k 6 M

c) Hinetika energija tijela je

2

mL

2

=

te je brzina koju tijelo dobije na kraju puta s

m

6g5,0

@92

m

L2

=

⋅

==

41

a) Sila ima smjer kretanja tijela te pove7avakinetiku energije tijela# 'to znai da je rad silepozitivan. 4ad sile je$

@9A

m9m3 3sA

=

=⋅=⋅=



&rimjer ' Tijelo vuemo dinamometrom po horizontalnoj podlozi tako dadinamometar zaklapa ugao 12° sa povr'inom stola# odnosno smjerom kretanja.Holiki je rad sile na putu +#2 m ako dinamometar pokazuje stalno istezanje od "N.

9ješenje'

C "α 12°s +#2 mQQQ 6 NLa je sila usmjerena duž puta rad bi bio jednak proizvodu vune sile C i

pređenog puta s. ?eđutim rad obavlja samo jedan dio sile# tj. komponenta C+ (vidisliku *5) koja ima smjer kretanja. Homponenta sile C je okomita na smjer kretanjai ne utie na kretanje tijela. 4ad sile jednak je radu komponente sile u smjerukretanja

A"1Ks

:a ugao α12° je C+C# te primjenom Pitagorine teoreme (sl. ;2) nalazimoda je

41,12

2

1

2

1

2

2

2

1

2

==

=+=

4ad sile je$

@1,2A

7m1,2m5,1 741,1A

=

=⋅=

&rimjer !' Ljeak podigne knjigu mase 2, g na visinu 9, cm. a) Holiki je radizvr'io djeakN %) Holiki je prira'taj gravitacione potencijalne energijeN c) Holika jekorisna snaga djeaka ako je knjigu podigao za ,#9 sN d) Holika je uložena snagaako je koe!icijent korisnog djelovanja ;2[.

9ješenje'm2, g,#2 kgh9, cm,#9 mt,#9 sk;2 [,#;2QQQQ a) 6N# b) 8pN# c) PkN# PN

a) 4ad koji izvr'i djeak je

m96,1A

m6,0s

m81,9g25,0mg$A

2

=

⋅⋅==

%) Prira'taj potencijalne energije knjige je#

@96,1L

mg$LA

=

==

c) Horisna snaga je

42



M45,2s0,8

@96,1

t

A* ===

d) 3loženu snagu izraunavamo iz relacije Pkk⋅P# tj.

M27,30,75

M45,2

** ===

&rimjer 2' 6utobus mase 2 t polazi sa stanice i poslije pređenog puta od 19, m ima brzinu2;#0 km&h. Xitavo vrijeme kretanja na autobus djeluje sila trenja koja iznosi 2[ od sile teže koja djelujena automobil. Jdredi$ a) 4ad koji izvr'i motor autobusa na putu od 19, m. b) Srednju snagu koju razvijamotor autobusa u toku kretanja.

9ješenje'

m2 t2,,, kgs 19, mv 2;#0 km&h +0 m&sCtr ,#,2 mg 12#2 "

a) 6N# b) * N

a) Prira'taj kinetike energije autobusa jednak je radu sile motora umanjenom za rad nasavlađivanje sile trenja. 4ad sile trenja je uvijek negativan# tj. smanjuje energiju sistema. Stoga možemopisati$

6 6tr 8k

@1058,72

s

m16g5000

m480 5,2452A

2

msA

5

2

2

t

⋅=

⋅

+⋅=

+⋅=

%) Srednja snaga koju razvija motor autobusa je$

t

A* =

gdje je$ 6 - izvr'eni rad# t - vrijeme kretanja. 3 na'em primjeru kretanje autobusa je bilo

ravnomjerno ubrzano# bez poetne brzine# te 7emo vrijeme kretanja na7i iz sljede7ih jednaina$as2 );at) 2 ==

odakle je $ s60a

todnosno ,

s

m27,0

s2

a

2

2

====

M63,12M12633*

s60

@1058,7*

5

==

⋅=

43



Hakon odr(anja me<aničke energije

3 izolovanom sistemu u kojem ne djeluju nekonzervativne sile (sile otpora)ukupna mehanika energija ostaje konstantna u toku vremena#

:= :k< :p= const.

Hod neelastičnog sudara jedan dio mehanike energije prelazi uunutra'nju energiju te stoga važi samo zakon održanja impulsa.

Hod elastičnog sudara ukupna mehanika energija i ukupan impuls ostajunepromijenjeni.

6ko se tijela poslije sudara nastave kretati u istom pravcu# onda se takavsudar naziva rontalni (eoni# centralni).

Epšti zakon odr(anja energije. 8nergija se ne može stvoriti niti uni'titi#ve7 samo može prelaziti iz jednog oblika u drugi.

&rimjer 1' Tijelo mase +,, g baci se vertikalno uvis poetnom brzinomv,2, m&s. Jdredi$ a) ukupnu mehaniku energiju tijela u trenutku izbacivanja(taka 6)# %) ukupnu mehaniku energiju tijela poslije % s od poetka kretanja(taka K)# c) ukupnu mehaniku energiju tijela u najvi'oj taki putanje (taka ?).Jtpor vazduha zanemariti/ g+, m&s.

9ješenje'm+,, g,#+ kgv,1, m&s

t% sQQQQQQQQQ a) 8 6N# b) 8KN# c) 8?N

3kupna mehanika energija tijela je8 8k 8p.

a) 3kupna mehanika energija tijela u takiizbacivanja 6 (slika 1) je jednaka kinetikoj energiji# jer je u tom položaju njegova potencijalna energija jednakanuli/

@1252

s

m 50g1,0

L

,2

mLL

2

A

2

0

NAA

=

=

==

%) Poslije % s kretanja tijelo se nalazi u taki K. 3 toj taki raspolažekinetikom energijom 8HK i potencijalnom gravitacionom energijom 8PK# te jeukupna mehanika energija (sl. 1)+

mg$

2

mLLL

2

*+N++ +=+=

Krzina v u toj taki je#

44

:#81



s

m20s3

s

m10

s

m50gt

20 =⋅−=−=

Eisina u odnosu na taku izbacivanja je#

@125@105@20L

m105s

m10g1,0

2

s

m20g1,0

L

m1052

)s3(s

m10

s3m50$

,2

gtt$

+

2

+

2

2

2

0

=+=

⋅⋅+

⋅=

=⋅

−⋅=

−=

c) 3 najvi'oj taki ? tijelo se zaustavilo pa je ukupna mehanika energija jednaka gravitacionoj potencijalnoj energiji u toj taki#

8?8P?mghm

gdje je-hm - maksimalna visina$

@125m125s

m10g1,0L

m125

s

m102

s

m50

g2

$

2?

2

2

2

0

m

=⋅⋅=

=⋅

==

Izraunali smo da je ukupna mehanika energija tijela u svakoj taki jednaka$

LA"L+"L?

&rimjer ' Lvije kugle masa m+#2 kg i m+#2 kg kre7u se ususret jednadrugoj sa brzinama v+ 0 m&s i v m&s. Jdredi$ a) brzinu kugli poslije sudara# akose nastave kretati zajedno u istom pravcu# b) kinetiku energiju kugli prije i poslije

sudara# c) dio kinetike energije kugli koji je pre'ao u unutra'nju energiju.9ješenje'm+ #2 kgm +#2 kgv+ 0 m&sv m&sQQQQ a) v N# b) 8N# 8 N# c) ∆8N

Sudar je neelastian i !rontalan.

a) Hugle se prije i poslije sudara kre7u u istom pravcu te impulse možemo

sabirati algebarski. Sudar je neelastian te važi samo zakon održanja impulsa# tj.ukupan impuls kugli prije i poslije sudara je jednak (sl. 9).

45

:#82



)mm(mm 212211 +=−

pri emu smo smjer kretanja prve kugle# uzeli za pozitivan.

s

m3g5,1g5,2

s

m

2g5,1s

m

6g5,2

mm

mm21

2211 =+

⋅−⋅=+−=

%) Hinetika energija kugli prije sudara je

@48

2

s

m3g5,1

2

s

m6g5,2

L

2

m

2

mL

22

222

211

=

⋅

+

⋅

=

+=

a poslije sudara je

L′"221

2

)mm( +

L′ @18s

m3

2

)g5,1g5,2(2

=

⋅+

=

c) Lio kinetike energije kugli koji je pre'ao u unutra'nju energiju je

∆L"L < L- " 30 @

4elativni gubitak kinetike energije je

62% i#i 62,0@48

@30

L

L==

∆

5. Escilacije 3titraji) i talasi 3valovi)

5.1. Escilacije

Sila pod ijim djelovanjem materijalna taka vr'i harmoniske oscilacije (upravcu U-ose) je

⋅−=

gdje je$ U elongacija (udaljenost take od ravnomjenog položaja)# k konstantaproporcionalnosti (k#m

). :nak (-) pokazuje da je sila usmjerena ka ravnotežnompoložaju.

?aksimalno udaljenje take od ravnotežnog položaja je amplituda > $.rekvencija oscilovanja je broj oscilacija u jedinici vremena#

46



t

N =

gdje je$ " broj oscilacija# t vrijeme trajanja oscilacija. Medinica za !rekvenciju je<erc (Fzs-+).

&eriod oscilovanja je vrijeme trajanja jedne oscilacije i jednak je recipronojvrijednosti !rekvencije.

1% =

Hružna !rekvencija je data izrazom

2

2π=

π=ω

Period sopstvenih oscilacija je

m2 π=

gdje je m masa oscilatora.

Matematičko klatno se sastoji od materijalne take obje'ene o neistegljivkonac zanemarljive mase. :a male amplitude oscilacije su izohrone i imaju period

g T

π 2=

gdje je$ l dužina klatna# g ubrzanje :emljine teže.

Hinetika energija oscilatora je2

mL 2

= # a potencijalna 221L = .

3kupna energija oscilatora je

2

0

2 m2

1A

2

1LL L ==+=

gdje je maksimalna brzina v0# $.

6ko tijelo pone oscilovati iz položaja ravnoteže# jednaina koja opisuje oscilovanje je

tsinA ω=

Krzina take koja harmonijski osciluje jetcos 0 ω= ,

a ubrzanje

a2

ω−=

&rimjer 1' ?atematiko klatno (sl.)# ija je dužina + m# izvr'i , oscilacijaza 1, s. Jdredi$ a) !rekvenciju oscilovanja klatna+ %) period oscilovanja klatna#c) ubrzanje :emljine teže na mjestu gdje klatno osciluje. a) Holika je apsolutna irelativna gre'ka mjerenja u odnosu na standardnu vrijednost g,#9,0 m/s.

47



9ješenje'",t1, s

l+ ma) !N# b) TN# c) gN

Period oscilovanja je vrijeme za koje kuglica klatna izvr'i jednu punuoscilaciju. "a slici . to je# npr.# vrijeme za koje kuglica dođe iz položaja 6 upoložaj K i ponovo u položaj 6.

a) Cekvencija oscilovanja klatna je

C5,0s5,0s40

20

t

1< ====

b) Period oscilovanja je

s220

s40 t

1 ====

c) 6ko je poznat period oscilovanja klatno i njegova dužina onda je iz

relacijeg

#26 π= #

22

2

2

2

s

m86,9

s)2(

m1)14,3(4

#4g =

⋅⋅=

π= .

d) 6psolutna gre'ka mjerenja (vidi uvod) je

2220sm05,0

sm81,9

sm86,9ggg =−=−=∆

4elativna gre'ka mjerenja je

0,51%i#i0051,0

s

m81,9

s

m05,0

g

g

2

2

0

==∆

=ε

&rimjer ' Huglica mase +, g pone oscilovati iz ravnotežnog položaja sa periodom s iamplitudom % cm. Jdredi$ a) maksimalnu brzinu kuglice pri oscilovanju # b) maksimalnu povratnu silukoja djeluje na kuglicu# c) maksimalnu kinetiku energiju kuglice pri oscilovanju.

48

l

A +

/

Sl.99.



9ješenje' m+,g ,#,+ kgT s

6 % cm ,#,% m a) v,N# b) C,N# c) 8,N

a) Huglica ima maksimalnu brzinu kad prolazi kroz ravnotežni položaj$

s

m0,094m03,0

s2

28,6A

2A0 =⋅=

π=ω=

b) Sila pod ijim djelovanjem kulica vr'i harmonijske oscilacije C-kU. Sila je maksimalna kada je U6. Po'to je k mω# to je iznos sile

A

2mA

2

0

π==

102,96m03,0s2

6,28 g01,0 3<

2

0 ⋅=⋅

=

c) ?aksimalna kinetika energija kuglice je

@104,42

)s

m(0,094g01,0

2

mL 5

22

00

−⋅===

5.. Me<anički talasi.

?ehaniki talasi nastaju u nekoj elastinoj sredini kada jedan njen dioosciluje. Talasno kretanje je periodino preno'enje energije oscilovanja od jednogmjesta na drugo. Hod transverzalnih talasa energija se prenosi okomito na pravacoscilovanja djeli7a# a kod longitudinalnih talasa u pravcu oscilovanja.

Talasna du(ina je udaljenost između dva najbliža djeli7a u istoj !azioscilovanja#

c=

gdje je$ c - brzina 'irenja talasa# ! !rekvencija talasa.

Krzina 'irenja transverzalnih talasa u zategnutoj žici je

m

#c

⋅=

gdje je$ C sila zatezanja žice# l dužina žice# m masa žice.

Mednaina progresivnog talasa ima oblik$

ωω=

c

x<tsinA

gdje je U elongacija take na udaljenosti B od izvora ravnog talasa.

49



&rimjer 1' "a slici ,0 je gra!iki prikaz talasa na povr'ini vode koji se 'iribrzinom 0 m&s. "a horizontalnoj osi je udaljenost od izvora talasa# a na vertikalnojosi udaljenost estica od ravnotežnog položaja. a) Hoje take su u istoj !azioscilovanjaN %) Hoje take su u suprotnoj !azi oscilovanjaN c) Holika je talasna

dužina talasaN d) Holiki je period i !rekvencija talasaN e) Holika je amplituda talasaN

9ješenje' a) Xestice koje su u istoj !azi oscilovanja su u takama$ J i L# 6 i8# K i C \ %) Xestice u suprotnoj !azi su u takama$ J i K# 6 i =# K i L\ c)Talasna dužina je udaljenost dva najbliža djeli7a u istoj !azi oscilovanja. "a slici ,to je npr. udaljenost 6 i 8 ili J i L# koja iznosi

m2=λd) Talas pređe put od jedne talasne dužine za vrijeme od jednog perioda#

c ⋅=λ .

s33,0m's6

m2

c ==λ=

Crekvencija oscilovanja je

C3s3m2

m's6c

1< ===λ

=

e) Krijeg i dolja talasa su najve7e udaljenosti estica vode od ravnotežnogpoložaja i to su amplitude talasa. "a brijegu estica dostiže najvi'i položaj i oniznosi ,#% m. 3 dolji estica dostiže svoj najniži položaj i on iznosi ,#% m.

A c L

0,3

/ + H x(m)

1 2 3

0,3

Sl.,.

mjerenje i greške

Documents