mis clases matematicas 2

INDICE

Unidad Tema Pagina

1 Función cuadrática………………………………… 3

2 Construcciones y elementos geométricos básicos.………………………………………….…. 15

3 Congruencia y semejanza:………………………….. 43

4 Perímetros, áreas y volúmenes……………………… 51

5 Trigonometría………….……………………………. 60

2

UNIDAD 1: FUNCION CUADRATICA

CLASE 1SITUACIONES QUE DAN ORIGEN A UNA FUNCIÓN CUADRATICA.

¿De dónde se obtienen las funciones cuadráticas? Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo. En el CCH Vallejo se desea cercar un terreno en forma rectangular para cultivo deplantas, se cuenta con 120 metros de malla de alambre. Obtener el área del terreno enfunción de uno de sus lados.

Solución:

Área del terreno en función de dos lados A=xy y

Obtenemos el perímetro (función de apoyo) x

Despejamos y

120−2x=2 y120−2x2

= y

Sustituimos en la función del área

A=x(120−2 x2 )

A=x(1202

−2x2 )

A=x (60−x )A=60 x−x2

A=−x2+60 x

A esta última expresión le podemos llamar de diversos nombres:

Modelo matemático: Porque un problema en lenguaje común lo trasladamos a un lenguaje matemático.

Ecuación: Porque es una igualdad en las que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas.

Función: Porque a cada valor asignado a la variable x, le corresponde un valor de A, es decir el valor de A esta en función de x.

Además es una función cuadrática porque la incógnita elevada al mayor exponente es 2.

De aquí en adelante usaremos el nombre de función cuadrática.

3

P=2 x+2 y120=2x+2 y

Muy bien, vamos ahora a ver qué pasa con el área (A) si le voy dando valores al lado (x)

x (m) Terreno A=−x2+60 x (m2)

0 −(0 )2+60 (0¿¿0 ) zzzz

10 −(10 )2+60 (10 ) zzzzz2450¿−100+600=500

20

800

30 900

40 800

60 0

Vamos a graficar los valores obtenidos.

x

y

0 10 20 30 40 50 600

200

400

600

800

4

¿Para qué me sirve graficar una función? ___para ver cómo se comportan las variables______________variable dependiente______A=−x2+60 x __variable independiente_______________

¿Qué tipo de grafica se obtuvo? __una parábola________________________________________

¿Cómo es el comportamiento del área con respecto al lado x?____Empieza en cero va aumentando a medida que x aumenta hasta alcanzar un valor máximo y empieza a disminuir_____________________________________________________________

Observando la grafica, ¿Cuántos metros del lado x del terreno me da el área mayor?____30m___

Para este valor de x, cuando el área es máxima, ¿Cuánto debe medir el lado y? _______________

y = 30 m

x = 320 m

Veamos otro ejemplo:

Ejemplo 2. En la clase de biología la profesora pidió a las autoridades del CCH un terreno para plantar semillas y hacer unos experimentos, Las autoridades le dijeron que podía utilizar un terreno pegado a la barda y le proporcionaron 240m de malla de alambre para cercarlo.Obtener: a) El área en función de uno de sus lados (x). b) La grafica del comportamiento del problema. b) El valor de x para que el área sea máxima.

BardaSolución:Área del terreno en función de dos lados A=xy

yObtenemos el perímetro (función de apoyo)

despejamos y

240−x=2 y240−x2

= y x


A=x(240−x2 )

A=x(2402

−x2 )

A=x(120−12x )=120 x−1

2x2=−1

2x2+120 x

5

A=xy900=30 y90030

= y

30= y

P=x+2 y240=x+2 y

b) Grafica.

6

x(m) A=−1

2x2+120 x

(m2)0 0

50 4750

100 7000

120 7200

150 6750

200 4000

240 0

¿Qué tipo de grafica se obtuvo?_____________________________________________________

¿Cómo es el comportamiento del lado x con respecto al área?___________________________________________________________________________________________________________

¿Cuántos metros del lado x del terreno me da el área mayor?_____________________________

¿Para este valor de x cuanto debe medir el lado y? _____________________________________

y =

x =

Ejercicio. Don Juan tiene 50 m. de alambre y quiere cercar en forma de un triangulo rectángulo,como se ve en la figura.Obtener: a) La función del área con respecto al lado x. b) Grafica. c) La medida del lado x para que el área sea máxima. d) El valor del lado y.

Solución:a) Área en función de dos lados

A= xy

2 barda

obtenemos el perímetro y(función de apoyo)

x

despejamos y 50−x= y

7

A=xy7200=120 y7200120

= y

60= y

P=x+ y50=x+ y


A=x (50−x )2

A=50x−x2

2=50 x

2−x2

2

A=25 x−12x2

A=−12x2+25 x

b) Grafica.

c) El valor máximo del área corresponde a 312.5 y es para x = 25

d)

A=xy2

2(312 .5 )25

= y

25= y

CLASE 2CARACTERISTICAS DE LA FUNCION CUADRATICA

8

x y0 05,0 112,510,0 20015,0 262,520,0 30025,0 312,530,0 30035,0 262,540,0 20045,0 112,550,0 0

En la clase anterior vimos como se obtienen las funciones cuadráticas a partir de un problema ó situación planteada, existen infinidad de problemas reales donde se utilizan funciones cuadráticas.

La forma general de una función cuadrática está dada por:

y=ax2+bx+c

Características de la ecuación cuadrática:

Vértice. Punto a donde la parábola cambia de dirección. En la clase anterior el vértice lo obteníamos de la grafica, que no era un valor exacto, ahora lo calcularemos de una

manera exacta con la siguiente fórmula: . v=(−( b

2a ) , c−( b2

4a )) VGrafica. La grafica de una función cuadrática es una parábola.

si a < 0, abre hacia abajo (concavidad positiva)

si a > 0 abre hacia arriba (concavidad negativa)

máximo (eje y) eje de simetría eje de simetría

mínimo (eje y)

Intersección con el eje x. Igualamos la ecuación a cero y obtenemos los valores de x

y

x

Para graficar más puntos lo hacemos por medio de una tabla como en la clase anterior

Ejemplo. Obtener las características de la función cuadrática: A=−x2+50 x y graficarla.

Solución:

9

a_-1___, b__50__, c __0__

a____ 0, abre hacia ______ concavidad __________

Máximo o mínimo _____________ en y = __________Vértice

Sustituyendo valores en la formula

V=(−(502(−1) ) ,−(502

4 (−1 ) ))=(−(50−2 ) ,−(2500

−4 ))=(−(−25 ) ,−(−625 ) )=(25 , 625 )

Intersección con el eje x.

A=−x2+50 x0=−x2+50 x

x=−b±√b2−4ac2a

=−50±√502−4 (−1)(0 )2(−1 )

x=−50±√2500−2

=−50±50−2

x1=−50+50−2

=0−2

=0

x2=−50−50−2

=−100−2

=50

Grafica

10

x A=−x2+50 x0 05,0 22510,0 40015,0 52520,0 60025,0 62530,0 60035,0 52540,0 40045,0 22550 0

Vamos a obtener otros 4 puntos para colocarlos en la grafica.x A=−x2+50 x10

400

20

600

30

600

40

400

Ejercicio 1. Obtener las características de la función cuadrática: y=x2+ x−6 y graficarla.

Solución.a_1___, b__1__, c___-6__


Máximo o mínimo _____________ en y = __________ Vértice


V=(−(12(1) ) ,−6−(12

4 (1) ))=(−(12 ) ,−6−(14 ))=(−12,−6−1

4 )=(−12,−24

4−1

4 )¿(−1

2,−

254 )== (−0 .5 ,−6 .25 )

11


y=x2+ x−60=x2+x−6

x=−1±√12−4(1 )(−6 )2(1 )

x=−1±√1+242

=−1±√252

=−1±52

x1=−1+52

=42

=2

x2=−1−52

=−62

=−3

Grafica:

Vamos a obtener otros 4 puntos para colocarlos en la grafica.x y=x2+ x−6-2

-4

-1

-6

0 -61 -4

Ejercicio 2. Obtener las características de la función cuadrática: y=− x2−1y graficarla.

12

x y-3,0 0-2,5 -2,25-2,0 -4,0-1,5 -5,25-1,0 -6,0-0,5 -6,250 -6,00,5 -5,251,0 -4,01,5 -2,252,0 0

Solución.a_-1___, b__0__, c __-1__


Máximo o mínimo _____________ en y = __________

Vértice


V=(−(02(−1) ) ,−1−(02

4 (−1) ))=(0 ,−1 )


y=− x2−10=−x2−1

x=±√−4(−1)(−1)2(−1)

x=±√−4−2

No tiene solución en los números reales, no interseca al eje x.Grafica:

13

x y-3,0

-10,0

-2,5

-7,25

-2,0

-5,0

-1,5

-3,25

-1,0

-2,0

-0,5

-1,25

0 -1,00,5 -1,251,0 -2,01,5 -3,252,0 -5,02,5 -7,253,0 -10,03,5 -13,25

En este caso hacemos una tabulación. (3 valores a la izquierda del vértice y 3 a la derecha)x y=− x2−1-3

-10

-2

-5

-1

-2

0 -11 -22 -53 -10

CLASE 3ANALISIS DE LOS PARAMETROS a, b, y c DE LA FUNCION CUADRATICA

Vamos a analizar el comportamiento de los parámetros a, b y c de la función cuadrática.

y=ax2+bx+c 1. Graficar las siguientes funciones cuadráticas en el mismo plano cartesiano:

De las ecuaciones¿Qué parámetro cambia?_______

Para y=1

2x2

¿Cuánto vale a? _________________Para esta función: V(0,0)

Para y=x2 ¿Cuánto vale a?

_________________

14

xy=1

2x2 y=x2 y=3 x2

-3 4.5 9 --2 2 4 12

-1 0.5 1 3

0 0 0 0

1 0.5 1 3

2 2 4 12

3 4.5 9 -

Para esta función: V(0,0)

Para y=3 x2 ¿Cuánto vale a? _________________

Para esta función: V(0,0)

Grafica. (Las tres funciones en un solo eje cartesiano)

¿Qué papel desempeña el coeficiente a en la función cuadrática? ______Si a aumenta se contrae la gráfica.______________________________________________________________________2. Graficar las siguientes funciones cuadráticas en el mismo plano cartesiano:


Para y=x2+4 x+4 , ¿Cuánto vale b? ______Para esta función: V(-2,0)

Para y=x2−4 x+4 ,¿Cuánto vale b? ______Para esta función:V(2,0)

y=x2

y=x2

y=12x2

y=3 x2

15

x y=x2+4 x+4-5 9

-4 4

-3 1

-2 0

-1 1

0 4

1 9

x y=x2−4 x+4-1 9

0 4

1 1

2 0

3 1

4 4

5 9


¿Qué papel desempeña el coeficiente b en la función cuadrática?_____ Si b aumenta provoca un desplazamiento de la función a la izquierda.__________________________________________3. Graficar las siguientes funciones cuadráticas en el mismo plano:


Para y=x2+ x−1 , ¿Cuánto vale c? __________Para esta función: V(-0.5, -1.25 )

Para y=x2+ x ,¿Cuánto vale c? __________Para esta función: V(-0.5, -0.25)

Para y=x2+ x+1 , ¿Cuánto vale c? __________Para esta función: V(-0.5, 0.75)

y=x2+4 x+4y=x2+4 x+4

y=x2−4 x+4

16

x y=x2+ x−1 y=x2+ x y=x2+ x+1-3 5 6 7

-2 1 2 3

-1 -1 0 1

-0.5

-1.25 -0.25 0.75

0 -1 0 1

1 1 2 3

2 5 6 7


¿Qué papel desempeña el coeficiente c en la función cuadrática?________ Si c aumenta provoca un desplazamiento hacia arriba._____________________________________________________

UNIDAD 2: CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS.

CLASE 4CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA.

Geometría:__ Rama de las matemáticas que estudia las propiedades, formas y dimensiones de figuras y cuerpos geométricos.___________________________________________Elementos geométricos.

Significado Dibujo Representación.

Punto. Es la marca más pequeña que se puede dibujar . Punto A, Punto B

Línea Es una sucesión infinita de puntos

Línea recta (recta). Es una sucesión infinita de B Recta A⃗B=B⃗A

y=x2+ x−1

y=x2+ x

y=x2+ x+1

17

puntos que tienen una misma dirección en ambos sentidos.

ARecta l

Un segmento de recta (ó segmento) es parte de una recta.

B

A DC

Segmento CD=CDSegmento l

Un rayo o semirrecta es parte de una recta que contiene un punto A como origen y se prolonga infinitamente pasando por el punto B.

B

A

Rayo A⃗B

Plano. Es una superficie formada por una sucesión continua de líneas.

Plano N

Actividad: Qué elemento geométrico sugiere:a) El borde de una mesa _______________________________ b) una estrella en el cielo vista desde la Tierra ______________ c) la página de un periódico_____________________________ d) el borde de una regla ________________________________ e) la punta de un picahielo ______________________________ f) el filo de una espada _________________________________ g) la fachada (el frente) de una casa _______________________Relaciones entre puntos, rectas y planos:

Los puntos colineales son aquellos que están sobre un mismo segmento.

Los puntos coplanares son aquellos que están sobre un mismo plano.

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

AB≃CD

18

El punto medio de un segmento AB es un punto situado a la mitad de A y B, de manera tal que AC CB.

El punto de intersección de dos segmentos es el punto en donde ambos se intersecan.

Los segmentos paralelos son aquellos que no se intersecan. AB II CD

Los segmentos perpendiculares son aquellos que se intersecan y forman un ángulo de 90º. AB⊥ CD

Los segmentos coplanares son aquellas que están situadas sobre un mismo plano.

Si dos o más rectas coplanares se cortan en el mismo punto se dicen que son rectas concurrentes.

Actividad: 1. Dibuja cuatro puntos que sean colineales. 2. Dibuja cuatro puntos que sean no colineales.

3. ¿Cuál es la diferencia entre recta y segmento?, Dibuja las dos. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

19

4. En el siguiente grupo de puntos traza, con ayuda de una regla, 3 segmentos, cada segmento debe pasar por 3 puntos.

5. De la figura 1:

a) Identifica 3 grupos de tres puntos colineales:Grupo 1: __________________________________Grupo 2: __________________________________Grupo 3: __________________________________

b) Identifica 3 grupos de tres puntos no colineales:Grupo 1: __________________________________Grupo 2: __________________________________Grupo 3: __________________________________

c) Identifica dos segmentos congruentes.__________________________________________

d) Menciona un punto que este entre el segmento AD __________________________________________

6. De la figura 2:

a) Identifica 3 segmentos que se intersectan y menciona en que punto lo hacen.________________________________________________________________________ A B C

b) Identifica tres segmentos que sean concurrentes:_____________________________________ D

c) Identifica dos pares de segmentos paralelas:1er Par_______________________________ E F2° Par________________________________

d) Identifica un par de segmentos perpendiculares.________________________________________

Figura 1

Figura 2

20

7. Dibuja 4 rectas que sean concurrentes.

7. En el salón de clase localiza:

a) Un punto______________________________________________________________________________

b) Una recta______________________________________________________________________________

c) Un plano______________________________________________________________________________

CLASE 5ANGULOS (PARTE 1)

Angulo: Es la unión de dos rectas, segmentos ó rayos que tienen el mismo origen.

Vértice: Punto en donde se unen dos rectas, segmentos ó rayos.

A. B, C, ,,, ABC

B BAC (la letra de en medio Es el vértice) A C

Loa ángulos se miden en grados (º)

21

En el sistema sexagesimal una circunferencia se divide en 360 grados, a su vez un grado se divide en 60 minutos (60’) y el minuto en 60 segundos(60’’)

60’ 60’’

360º 1º 1’

Conversión de grados-minutos-segundos.

Por 60 Por 60Grados minutos segundos

Ejemplo. Convertir los siguientes grados a grados, minutos y segundos.

1. 40.32º → 40º 0.32 * 60 = 19.2 → 19’ 0.2 * 60 = 12 “ 40.32º = 40º19’12”

2. 50.3º → 50º 0.3*60= 18’ 50.3º = 50º18`

Actividad: Mide con tu transportador los siguientes ángulos.

= ________________ = ________________ = ________________

22

Ángulos congruentes: Son aquellos que tienen la misma medida.

Dibuja con ayuda del transportador un ángulo congruente al siguiente.

B

A

C BAC DEFBisectriz de un ángulo: Segmento que divide en dos ángulos iguales a un ángulo.

Dibuja con ayuda del transportador la bisectriz del siguiente ángulo.

B AD es la bisectriz del ABC

A

C

Tipos de ángulos de acuerdo a su medida. Ángulo agudo es el que mide más de 0° y menos de 90°

30°

Ángulo recto es el que mide 90°.

Ángulo obtuso es el que mide más de 90° y menos de 180°.

Ángulo llano o colineal es el que mide 180°.

23

Ángulo cóncavo o entrante es aquel que mide mas de 180º y menos de 360º

Ángulo perigonal o de vuelta entera es el que mide 360º

Ejercicios:

1. Menciona 3 ángulos de la fig. 1. a) _____________________________ b) _____________________________ c) _____________________________

2. ¿Cuál es el vértice de los ángulos de la pregunta 1?

a) _____________________________ b) _____________________________ c) _____________________________

Figura 1

3. De la fig. 1, mide los siguientes ángulos y menciona que tipo de ángulo son.

a) EFD _____________________________ b) AFD _____________________________ c) DFB _____________________________

4. ¿En qué medidas se miden los ángulos? _______________________________

5. De la fig. 2. Menciona 2 ángulos cuyo vértice sea P.

a) _____________________________ b) _____________________________

6. De la fig. 2. Menciona un ángulo cuyo vértice sea Q. __________________________________________

24

7. construye un ángulo agudo.

Figura 2.

8. De la fig. 2. ¿Hay un ángulo que se le pueda llamar O? ____________ ¿Por qué?___________________________________________________________________

9. ¿Cuánto mide OMK?______________________

9. Convierte el siguiente ángulo a su equivalente en grados, minutos y segundos 18.255º → 18º 0.255*60=15.3→15’ 0.3*60=18” 18.255º=18º15’18”

CLASE 6ANGULOS (PARTE 2)

Tipos de ángulos de acuerdo a sus lados con otro ángulo. Ángulos adyacentes: Ángulos en el mismo plano que tienen un vértice y un lado común.

Los ABC y CBD son adyacentes porque tienen un lado en común BC

Ángulos opuestos por el vértice: Si dos rectas se cortan, hacen ángulos iguales opuestos por el vértice

ABC y EBD son opuestos por el vértice.CBD y ABE son opuestos por el vértice.

25

Tipos de ángulos de acuerdo a la suma de sus medidas. Ángulo complementarios: Dos o más águlos cuyas medidas suman 90º.

Ángulos suplementarios: Dos o más ángulos cuyas medidas suman 180º

Ángulos conjugados: Dos o más ángulos cuyas medidas suman 360º.

Ejemplo1. Algebraicamente encuentre el valor de los ángulos que se muestran en la siguiente figura:

Solución: D Ox

La suma de los ángulos es 90º C 2x

3x

B A

26

x+2x+3 x=90 º6 x=90 º

x=906

=15 º

∠ODC=x=15 º∠COB=2x=2(15º )=30 º∠BOA=3 x=3(15 º )=45 º

Ejemplo 2. Algebraicamente encuentre el valor de los ángulos que se muestran en la siguiente figura:

Solución: A O D

x2

B C

∠ AOB=x6

=180 º6

=30 º

∠BOC=x2

=180 º2

=90 º

∠DOC=x3

=180 º3

=60 º

Segmentos paralelas cortados por una recta secante.secante: segmento que corta 2 o más rectas.De la siguiente figura, ¿Qué recta es la secante?______________

E

1 2A B

4 3

5 6C D

8 7

FÁngulos internos, son los que se encuentran en el interior de los segmentos paralelos:

27

x3

x6

+x2

+x3

=180 º

x+3 x+2 x6

=180 º

6 x6

=180 º

x=180 º

x6

_______ 4, 3, 5, 6 _________

Ángulos externos, son los que se encuentran en el exterior de los segmentos paralelos:_______ 1, 2, 7, 8_________

Los ángulos alternos internos son iguales: 3 = 5 4 = 6

Los ángulos alternos externos son iguales: 1 = 7 2 = 8

Los ángulos correspondientes son iguales: 1 = 5 4 = 8 2 = 6 3 = 7

Ejemplo 1. Si l1 II l2obtener los valores de “x” y “y” de la siguiente figura:

Solución: La suma de los ángulos 110º y “2y” es de 180° (suplementarios)2y

28

2 y+110 º=180 º2 y=180 º−110 º

y=70 º2

=35 º

l1

110º

Los ángulos de 110º y “x –y” son alternos internos.

Ejercicios:1. De la fig.1, Menciona 2 ángulos suplementarios. _______________________________________

2. De la fig.1, Menciona los ángulos conjugados. _______________________________________

3. De la fig.1, con tu trasportados verifica si hay ángulos complementarios. _______________________________________

4. De la fig. 2, menciona un ángulo suplementario del Figura 1. NOM. ________________________________________

5. De la fig. 2. menciona un par de ángulos adyacentes. __________________________________________

6. De la fig.1, ¿Hay ángulos opuestos por el vértice? _________________________________________

7. Si R = 35º y G son complementarios,¿Cuánto mide G? ______________

Figura 28. Encuentre el valor de los ángulos que se muestran en la siguiente figura:

B C

29

l2

x− y=110 ºx−35 º=110x=110 º+35 ºx=145 º

3xx - 10 2x - 20

A DO

Solución: x = 35 AOB = 25º BOC = 105º COD = 50º

CLASE 7CONSTRUCCIONES GEOMETRÍCAS (PARTE 1)

Siempre que hagamos construcciones geométricas dejar los trazos que se utilizaron.

Actividad: Dado el siguiente segmento traza 2 segmentos congruentes a él.

B

A

Construcción 2. Trazar un ángulo congruente a otro dado.

30

Actividad: Dado el siguiente ángulo, traza dos congruentes a él.

B

AC

La mediatriz ó recta perpendicular de un segmento pasa por el punto medio del mismo formando un ángulo recto (90º)

C CD es mediatriz de AB

Pm (punto medio)A B

D

Construcción 3. Construir el punto medio y la mediatriz de un segmento dado.

31

Actividad: construir los puntos medios y las mediatrices de los segmentos dados.

B

D

C

EA

F

Construcción 4. Trazar la bisectriz de un ángulo dado.

32

Actividad: Trazar la bisectriz de los siguientes ángulos.

FB

A

E

C

D

G

IH

33

Ejercicio 1. Los siguientes segmentos tienen longitudes a y b respectivamente, para medir utiliza el compás no la regla. a____________________ b_________________________

Ejercicio 2. Trazar la recta tangente a la circunferencia que pase por el punto A (La recta tangente

es perpendicular al segmento CA en el punto A)

A

.

C .

34

CLASE 8CONSTRUCCIONES GEOMETRÍCAS (PARTE 2)

Construcción 5. Traza la paralela a una recta dada y que pasa por un punto dado fuera de la recta dada.

Actividad: Traza dos rectas paralelas, una arriba y una debajo de la recta dada.

35

Construcción 6. Traza la perpendicular a una recta dada y que pase por un punto dado de ella.

Actividad: Traza las perpendiculares a las rectas dadas en los puntos indicados

A

B

C

36

Construcción 7. Traza la perpendicular a una recta dada y que pase por un punto fuera de ella.

Actividad: Trazar la mediatriz de la recta AB y 3 rectas perpendiculares a la recta dada en los puntos señalados.

B

C

D

A

E

37

Ejercicio 1. En la clase anterior trazamos una tangente a un círculo en un punto dado, con las construcciones vistas en esta clase de que otra forma se puede construir la tangente que pase por el punto A.

A

.

C .

Ejercicio 2: Construye una circunferencia en la cual los segmentos del ABC sean tangentes a ella, la medida del radio puede ser cualquiera.

B

A

C

1. Trazamos la bisectriz del ABC

B

A

C

2. Colocamos un punto R y trazamos un segmento perpendicular a el.

B

R .

A C

3. Con la misma medida del segmento AR colocamos el punto S y por este punto trazamos una recta perpendicular.

B

R

A C S

4. la intersección de los segmentos perpendiculares es el centro de la circunferencia, abrimos con el compás una distancia del centro al punto R y trazamos la circunferencia.

B

R

A C S

38

CLASE 9POLIGONOS.

TRIANGULOS.

Objetivos: Estudiaremos algunos elementos de los polígonos (clasificación, ángulo, vértice, diagonal). Como caso particular de los polígonos veremos la clasificación de acuerdo a sus lados y a sus ángulos, además construiremos las rectas y los puntos notables de un triangulo.

Polígono: __Un polígono es una figura cerrada, que se forma mediante la unión de segmentos rectilíneos._____________________________________________________________________

Actividad: Anotar en la primera línea de cada figura si es un polígono.

__________ ____________ ________________ ________ ___________________ ____________ ________________ ________ ___________________ ____________ ________________ ________ _________

__________ ____________ ________________ ____________ _____________________ ____________ ________________ ___________ _____________________ ____________ ________________ ___________ ___________

__________ ____________ ________________ ____________ _____________________ ____________ ________________ ___________ _____________________ ____________ ________________ ___________ ___________

Regulares: Sus lados miden lo mismo.Clasificación de polígonos

Irregulares: Sus lados no miden lo mismo.

39

Actividad: De los polígonos anteriores anota en la segunda fila cuales son regulares y cuales son irregulares.

Nombre de los polígonos según su número de lados. Pueden ser regulares o irregulares.

Numero de lados Nombre Numero de lados Nombre3 Triangulo 12 Dodecágono4 Cuadrilátero 13 Tridecágono5 Pentágono 14 Tetradecágono6 Hexágono 15 Pentadecágono7 Heptágono 16 Hexadecágono8 Octágono 17 Heptadecágono9 Nonágono 18 Octadecágono10 Decágono 19 Nonadecágono11 Undecágono 20 Icoságono

Actividad: De los polígonos anteriores anota en la tercera fila su nombre.

Elementos de los polígonos. A B Hexagono6 vertices

Vértice: __Es el punto donde concurren A,B,C,D,E,F 2 lados.

6 áng. int.Angulo interior: __Es el ángulo que se ABC forma con 2 lados adyacentes. F C DEF

Diagonal: __Es el segmento de recta que une 9 diagonales 2 vértices no adyacentes. E D

Triángulo: Polígono de tres lados.

Representación. Para representar un triangulo 3 verticesse utiliza el símbolo seguido de tres letras 3 ang. int.mayúsculas que corresponden a cada uno de los sin diagonales.vértices de dicho triangulo. Ejemplo: ABC . Actividad: Construye un triangulo con las siguientes medidas.1. a ______________ b __________________ c ___________

2. a ______ b __________________________ c ___________

40

¿Para construir un triangulo cómo deben ser las medidas de sus lados?__Para construir un triangulo es necesario que la suma de las medidas de los lados menores sea mayor que la medida del lado más grande.____________________________________________

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. + + = 180º

Clasificación de acuerdo a sus lados.Triangulo Definición Figura

Equilátero 3 lados iguales

Isósceles 2 lados iguales

Escaleno 3 lados diferentes

Clasificación de acuerdo a sus ángulos.Triangulo Definición Figura

RectánguloSi uno de sus ángulos

interiores es recto

OblicuánguloNinguno de sus ángulos

interiores es recto

41

Rectas y puntos notables de un triangulo.

Recta Definición.

Mediatriz.Recta perpendicular al lado de un triangulo y que pasa por el punto medio de este

mismo lado.A la intersección de las mediatrices se le llama circuncentro.

Bisectriz.Recta que divide en dos ángulos iguales a un ángulo interior de un triangulo.

A la intersección de las bisectrices se le llama incentro.

42

Recta Definición.

Altura.Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto.

A la intersección de las alturas se le llama ortocentro.

Mediana.Es el segmento que se traza de cada vértice al punto medio del lado opuesto.

A la intersección de las medianas se le llama baricentro.

43

CLASE 10POLIGONOS

CUADRILATEROS.

Paralelogramos: Los dos pares de lados opuestos Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados. son paralelos. No paralelogramos: Solo uno o ningún par de lados es paralelo

Clasificación de cuadriláteros

Paralelogramos.

Cuadrado: Lados iguales y ángulos rectos.

Rectángulo: Lados adyacentes desiguales y ángulos rectos.

Rombo: Lados iguales y ángulos adyacentes desiguales.

Romboide: Lados adyacentes desiguales y oblicuángulos.

No Paralelogramos.

Trapecio: Solo dos de sus lados paralelos.

Trapezoide: No tiene lados paralelos.

Nota: En algunos libros definen al cuadrado como un rectángulo.

44

Propiedad de los cuadriláteros: La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360º

+ + + = 180º

Propiedades de los paralelogramos: b

1. Los lados opuestos son iguales. 2. Los ángulos opuestos son iguales. a 3. Los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios. +=180° a 4. Las diagonales bisecan a los ángulos.

b

Ejemplo 1. Determina los ángulos interiores del siguiente paralelogramo.

Solución: Por la propiedad 3 3x - 12

x

3( 48º )−12=144−12=132º

Ejemplo 2. Del siguiente paralelogramo, determina los ángulos:a) DCBb) CDA DCB =75°

CDA = 105°D C

35º

40º A B

45

3 x−12+x=180 º4 x=192x=48º

Ejemplo 3. Del siguiente paralelogramo, determina la medida de los ángulos “y” y “z”.

Solución:13x+15

z

x + 5 y

Ejercicio. De la siguiente figura determina el valor de “x” y la medida de los ángulos “y” y “z”,

AB II CD

A B4x + 50 y

C 2x + 40 z D

Solución:

4 x+50+2x+40=180 º6 x=90 ºx=15 º

y=2x+40 º=2(15º )+40=30 º+40 º=70 º

z=4 x+50º=4 (15 º )+50 º=60 º+50 º=110 º

UNIDAD 3: CONGRUENCIA Y SEMEJANZA.

46

13x+15+x+5=180 º

x+3 x3

=160 º

4 x=480 ºx=120 º

z=x+5z=125

y=13x+15

y=40 º+15 ºy=55 º

CLASE 11CONGRUENCIA DE TRIANGULOS.

Congruencia: __Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño.__

El signo para la congruencia es: __ __En base a la definición anterior indicar cuales parejas de triángulos son congruentes.

a) b)

Hay ocasiones en que no es fácil ver si son congruentes, para ello utilizamos los siguientes postulados.

Postulados de congruencia:LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados iguales.

A D

ΔABC ΔDEFB F

C E

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen 2 ángulos y el lado comprendido entre ellos son respectivamente iguales.

LAL: Dos triángulos son congruentes si 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales.

Con que se cumpla un postulado ya los triángulos son congruentes, y como consecuencia también se cumplen los otros dos postulados.

Actividad 1: Regresando a las parejas de triángulos iníciales del inciso a) indica si son congruentes y menciona que postulado utilizaste.

47

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividad 2: Dibuja un par de triángulos congruentes utilizando el postulado LLL.

Actividad 3: Dibuja un par de triángulos congruentes utilizando el postulado LAL.

Actividad 4: Dibuja un par de triángulos congruentes utilizando el postulado ALA.

Actividad 5. En cada inciso indica que parejas de triángulos son congruentes encerrándolos en un círculo y menciona que postulado utilizaste.

48

Actividad 6: Demostrar que ADC BCDC

5

55

49

A B

DAfirmaciones Razones.

1. AD = BD AC = BC

1. Datos

2. CD = DC

2. Por ser lado común al triangulo.

3. ADC BCD 3. Por el postulado LLL

Actividad 7: Demostrar que AMC BMD, los segmentos ABy CD se cruzan en el punto M.

A M D

C B

Afirmaciones Razones.1. AM = MB CM = MD

1. Datos

2. AMC = DMB

2. ángulos opuestos por el vértice.

3. ADC BCD 3. Por el postulado LAL

Actividad 8: Demostrar que ADC ACB, los segmentos ABy CD son paralelos.

D C

A B

Afirmaciones Razones.1. DAC = ACB DCA = CAB

1. Ángulos alternos internos

2. AC = CA

2. Por ser lado común al triangulo.

3. ADC ACB 3. Por el postulado ALA.

CLASE 12

50

SEMEJANZA DE TRIANGULOS.Semejanza: _Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño_ _________________________________________________________________

El signo para la semejanza es: __ __

En base a las definiciones anteriores indicar cuales parejas de triángulos son semejantes.

a) b)

Hay ocasiones en que no es fácil ver si son semejantes, para ello utilizamos los siguientes postulados.

Postulados de semejanza:LLL: Dos triángulos son semejantes si tienen sus 3 lados proporcionales.

AAA: Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales.

LAL: Dos triángulos son semejantes si tienen 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.

Con que se cumple un postulado ya los triángulos son semejantes, y como consecuencia también se cumplen los otros dos postulados.

Actividad 1: Regresando a las parejas de triángulos iníciales del inciso b) indica si son semejantes y menciona que postulado utilizaste.

51

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividad 2: Dibuja un par de triángulos semejantes utilizando el postulado LLL.

Actividad 3: Dibuja un par de triángulos semejantes utilizando el postulado AAA.

B B∠ A=50º∠B=80 º∠C=50 º

∠ A=50º∠B=80 º∠C=50 º

A C A C

Actividad 4: Dibuja un par de triángulos semejantes utilizando el postulado LAL.

Actividad 5. En cada inciso demuestra si las parejas de triángulos son semejantes y menciona que postulado utilizaste.

52

a)

b)

c)

d)

e)

Actividad 6. ¿Cuánto debe medir el lado a y el lado b del segundo triangulo para ser semejante con el primero?

8

15 a 3

20 b

Solución:

Como sus lados homólogos deben ser proporcionales

153

=5 entonces y

Resuelve los siguientes problemas.

53

20b

=5

20=5b205

=b

4=b

8a

=5

8=5a85

=a

1 .6=a

1. Pancho López mide 1.70m y su sombra a las 12 del día mide 1.3m, a la misma hora la sombra de un edificio mide 30m ¿Cuál es la altura del edificio?

2. Para encontrar la anchura AB de un río se construyeron 2 triángulos semejantes, como se muestra en la figura. Y al medir se encontró que:

AC = 17m, CD = 5m, DE =20m. ¿Cuál es la anchura del río?

UNIDAD 4: PERIMETROS, AREAS Y VOLUMENES.

CLASE 13

54

PERIMETROS Y AREAS.

Perímetro: Suma de los lados de un polígono. Área o Superficie: Región comprendida dentro de un perímetro.

Formulas para obtener el Área de figuras planas

Cuadrado. A=a2

Rectángulo. A=bh

Paralelogramo. A=bh

Triangulo.A=bh

2

s = semiperimatro

A=√s (s−a )( s−b)( s−c ) s=a+b+c

2

Rombo.A=Dd

2

Trapecio.A=

(B+b)h2

Polígonoregular. A=nal

2

n :numero de ladoslado del poligonoa : apotema

Circulo. P=2 πrA=πr 2

Serie de ejercicios. (En todos los ejercicios hacer la figura)

55

1. Calcula el perímetro de un cuadrado si uno de sus lados tiene 5 m de longitud.

2. Determina el perímetro de un terreno que tiene forma de pentágono regular sicada uno de sus lados mide 13 m de largo.

3. ¿Cuánto mide el perímetro de un decágono regular si cada uno de sus ladosmide 25 m?

4. Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 99 cm ¿cuánto mide por lado?

Solución: El perímetro se divide entre 3 que es el número de lados del triangulo.

l=993

l=33 cm .

5. El señor López tiene un terreno rectangular de 150 metros de largo y 95 metrosde ancho y desea cercarlo con tres líneas de alambre de púas. Si ya tienecolocados los troncos de madera a cada 5 metros, ¿cuántos rollos de alambrerequiere comprar, si cada rollo tiene 60 metros de alambre?

Solución: Se obtiene el total de metros de alambre y se divide entre 60 que es lo que mide cada rollo.

Perímetro del rectángulo: Longitud de las tres líneas de alambre: Dividiendo

Pr=150+150+95+95Pr=490 m .

Longitud=3( 490)Longitud=1470

Rollos=147060

Rollos=24 .5Se compran 25 rollos

6. Como mides el perímetro de una circunferencia (sin usar la formula)

56

7. Determina el área de la siguiente figura:

3 m 3 m

5 m


6cm

2.5 cm


6 m

3 mA=

(6+2 )32

=12m2

2 m

10. Determina el área del siguiente polígono regular:

apotema = 3.7 cm

3 cm

11. Obtener el área de la figura.

57

s=112

=5 .5

A=54

√11=4 .14m2

A=6(2 .5 )=15cm2

A=5 (3 )(3 .7 )

2=27 . 75cm2

Solución: La figura se puede descomponer en dos partes, un trapecio y un triangulo.

5 cm Área del trapecio: Área del triangulo: Área total:

3.5 cm

3 cm

10 cm

12. Si el área de un rombo = 28 cm 2 y D = 10 cm ¿Cuánto vale d?

Solución:

A=Dd2

2 AD

=d

2(28 )10

=d d=5 . 6cm

13. Una cancha de fútbol mide 50x100 m, si se va a cambiar la mitad del pasto, ¿Cuánto pasto se necesita?

R = 2500m2

14. Obtener el área sombreada si el radio de los círculos internos es 3 cm.

Solución: El área sombreada es el área del circulo mayor menos el área de los círculos internos.

El área de cada circulo El área de los cinco Finalmente el área interno es: círculos internos es: total es:

A=πr 2

A=π (3)2

A=π (9)A=9π cm2

A=5(9 π )A=45 π

At=πr2−45 πAt=π ( 9)2−45 πAt=π (81 )−45πAt=81π−45πAt=(81−45) πAt=36 πAt=36 (3 .14 )At=113 .04 cm2

18 cm

15. Obtener el área sombreada.

58

At=A1+A2

At=26 . 25+15At=41. 25 cm2

A1=(10+5)3. 52

A1=26 . 25 cm2

A2=10(3 )2

A2=15 cm2

Solución: El área sombreada es el área del cuadrado menos el área del circulo formado por los dos semicírculos.

El área del circulo formado por Finalmente el los dos semicírculos es: total es:

10 cm

A=πr 2

A=π (5)2

A=π (25)A=25π cm2

At=l2−25 πAt=(10)2−25 πAt=100−25 πAt=100−25(3 . 14 )At=100−78 .5At=21 .5 cm2

10 cm.

16. Obtener el área sombreada de la siguiente figura. Solución: Área de la ¼ parte Área del semicírculo.

del circulo mayor

10 cm

10 cm.

At=78 .53−39 .26At=39 .27cm2

59

A=πr 2

4=

3 . 1416(10 )2

4A=78.53cm2

A=πr 2

2=

3 . 1416(5 )2

2A=39.26cm2

CLASE 14VOLUMENES.

Polígono: ___Figura plana cerrada delimitada por segmentos de recta_____________________

Poliedro: __ Cuerpo geométrico limitado por polígonos _______________________________

¿La siguiente figura es un poliedro?_____ Actividad: Dibuja un poliedro. ¿Por qué?_______________________________ ______________________________________

Elementos de un poliedroCara AristaCada uno de los polígonos E F Son las uniones (segmentos) de que lo limitan. las caras del poliedro. El polígono ________ A B G H El segmento ____ es una arista.es una cara del poliedro En total la figura tiene En total la figura tiene. _____aristas._____caras. C D

Vértice Son los puntos donde concurren las aristas de un poliedro.

El punto___ es un vértice. En total la figura tiene _____vértices.

Área ó Superficie. Es el conjunto de todas las caras, ésta se obtiene mediante la suma de las áreas de las caras.

Volumen. Es la región de espacio limitada por el área del poliedro. Su medida es unidades cúbicas por ejemplo: cm3, m3, km3, etc.

Si desarrollamos el poliedro anterior nos queda

60

Formulas para obtener el Volumen.

Cubo. V=l3 [u3 ]

Prismarectangular. V=abh

Prisma.(Base polígono

regular de n lados).V=Abase∗h

Pirámide regular. (La base puede ser cualquier polígono

regular)

13Abase∗h=

Abase∗h3

Cilindro. V=Abase∗h=π r2h

Cono.

V=13Abase∗h=1

3π r2h=π r2h

3

Esfera.

V=

43π r3

Ejercicios:

61

1. Mencionar cuantas caras, aristas y vértices tiene el poliedro.

6 caras 15 aristas 10 vertices

2. ¿Cuál es el volumen de la siguiente figura?

v = (10)(15)7 = 1050 cm3

15 cm7 cm

10 cm

3. Si 1 m3 = 1000 litros de agua ¿Cuántos litros le caben al siguiente tinaco?radio de la base = 1m

h =1.5 m

4. Obtén el volumen del siguiente prisma. Apotema del hexágono = 60.62 cm.

h = 90cm

l = 70 cm

5. Obtener el volumen de la siguiente pirámide, su altura = 1m.

62

V=π (1 )2(1 .5 )=3 .1416(1)(1 .5 )=4 .71m3

1m3

1000 l=4 .71m3

x→ x=( 4 .71 )(1000)=4710 l

V=Abase∗h=6(70 )(60.62 )

2∗(90 )=12730 . 2∗90=1 ,145 ,718cm3

Base de la pirámide.

0.87 m

1 m

6. A la siguiente pieza mecánica se le hizo un orificio de 1.4m de diametro, ¿Cuál es el volumen final de la pieza?

2 m

1.5 m2 m

7. Construye el desarrollo de una pirámide regular en la cual todos sus lados miden 5cm, la base es un cuadrado.

63

V=13 ((1)( 0.87 )

2 )∗1=13

(0 .435 )=0.145m3

Vcubo=(2)(1 .5 )(2 )=6m3

Vcilindro=π (0. 7 )2(1 .5 )=2 .3m3

Vtotal=6−2.3=3. 7m3

UNIDAD 5: TRIGONOMETRIA.

CLASE 15TRIANGULOS RECTANGULOS (PARTE 1)

Trigonometría: __Parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los elementos de un triangulo, especialmente entre sus ángulos y sus lados.__________________________________

Recordemos que de acuerdo a sus ángulos los triángulos se clasifican en ______________ y_______________.

En esta clase veremos las características de los triángulos rectángulos.

Elementos de un triángulo rectángulo.

hipotenusa: Lado mas largo.

cateto Lado opuesto al ángulo de 90º(adyacente a yopuesto a )

cateto (adyacente a y opuesto a )

Actividad: En los siguientes triángulos rectángulos medir los ángulos con transportador y colocar el nombre a sus lados, comprueba que la suma de sus ángulos es 180º.

hipotenusa cateto

cateto

64

Teorema de Pitágoras: __En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.________________________________________________

c1 h (hipotenusa)2 = (cateto 1 )2 + (cateto 2 )2

c2

Demostración Grafica del teorema de Pitágoras

c

c b Ade cua .gde=Ade 4 triang .+A decuadr . pequeño

c (a+b )2=4( ab2 )+c2

(a+b )2=2 (ab )+c2

c a2+2ab+b2=2ab+c2

a a2+b2=c2

a b

Ejemplo. Para los siguientes triángulos rectángulos como queda el teorema de Pitágoras.

a c rs

b a b

c t

_______________________ __________________ ____________________

65

Ejercicio 1. De los siguientes triángulos rectángulos calcular el lado faltante:

a)Solución:

8

5x

b)

Solución:

r 15

4.5

c)

12 Solución:

5

m

Ejercicio 2. Verificar si el triangulo con lados 16, 18 y 8 es un triangulo rectángulo.

Solución: tomamos el lado más largo como la hipotenusa.

El triangulo no es rectángulo.

66

(8 )2=(5)2+ x2

(8 )2−(5)2=x2

64−25=x2

√39=x6 .24=x

(15 )2=(4 .5)2+r2

(15 )2−(4 .5)2=r2

225−25=x2

√204 .75=x14 .3=x

m2=(5 )2+(12 )2

m2=25+144m=√169m=13

(18 )2=(16)2+(8 )2

324=256+64324≠320

Ejercicio 3. Encontrar la altura y el área de un triángulo equilátero que mide 7cm de lado. Solución:

Solución:

7 cm h

3.5 cm

Ejercicio 4. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, cuya diagonal mide 8 m.?

Solución:

x

x

Ejercicio 5. Al abrir una escalera de pintor, se forma un triangulo isósceles, la distancia entre las bases es de 1m y los lados iguales miden 1,40 m. Determinar la altura de la escalera

Solución:

1.4 m

1 m

Ejercicio 6. Determina el área de la siguiente figura, utilizando el teorema de Pitágoras.

Solución. 3 m 3 m

3 32=2.52+x2

5 m x 9=6.25+x2

√9−6.25=xx=1.65m .

67

A=7 (6 .06 )

2=21 .21cm249=h2+12. 25

36 . 75=h2

6 .06=h

64=x2+x2

64=2 x2

32=x2

√32=x5 .64=x

(1. 4 )2=h2+( 0.5 )2

(1. 4 )2=h2+( 0.5 )2

1.96−0 .25=h2

√1 .71=h1.3=h

2.5

CLASE 16TRIANGULOS RECTANGULOS (PARTE 2)

Identidades Trigonométricas en un triangulo rectángulo (Nos sirven para obtener los ángulos de un triangulo rectángulo).

hipotenusacateto opuesto a

cateto adyacente a

Ejemplo 1. Obtener los ángulos y el lado faltante del siguiente triangulo rectángulo.

Solución: Para calcular usamos la identidad cos .

15 7

x

Para calcular usamos la identidad sen

Comprobación de la suma de ángulos 62.18º + 27.81º + 90º = 179.99º 180º (por los decimales)

Para calcular el cateto faltante podemos usar las tres identidades, o el teorema de Pitágoras, usamos este último.

(15 )2=(7)2+ x2

√225−49=x13. 26=x

68

senθ=cateto opuestohipotenusa

cosθ=cateto adyacentehipotenusa

tanθ=cateto opuestocateto adyacente

cosθ=cateto adyacentehipotenusa

cosθ=715

θ=cos−1(715 )θ=62. 18 º

senα=cateto opuestohipotenusa

senα=715

α=sen−1(715 )α=27 . 81

Ejercicio 1. Obtener el ángulo y los lados faltantes del siguiente triangulo rectángulo.

x

30 60º

ySolución:Calculo de → + 60º + 90º = 180 º = 180º - 60º - 90º = 30º

Para calcular x usamos la identidad cos 30º.

Para calcular y usamos el Teorema de Pitágoras.

(34 . 64 )2=(30 )2+ y2

√1200−900= y√300= y17. 32= y

Ejercicio 2. Laura es una alumna que le gusta descubrir nuevas cosas, ella quiere calcular la altura de un gran edificio, para ello ideo lo siguiente: midió 50m a partir de la base y con un transportador cálculo un ángulo de 80º. ¿Cuánto mide la altura del edificio?

Solución:

h

80º

50 m.

69

cos30 º=cateto adyacentehipotenusa

cos30 º=30x

x cos30 º=30

x=30cos 30º

x=34 .64

tan 80º=cateto opuestocateto adyacente

tan 80º=h50

50( tan 80 º )=h283 .56=h

Ejercicio 3. Obtener el área del siguiente triangulo, su altura mide 4.5 cm

35º 70ºa b

Solución:calculo de a calculo de b Calculo del área

Checar altura 45

Ejercicio 4. Obtener el área del Δ ACD, la longitud AB = 50mC

60º a A B

45º b

DSolución: calculo de a calculo de b Calculo del área

70

A=(6 . 42+1 .63 )452

A=362. 252

=181.12cm2

tan70 º=cateto opuestocateto adyacente

tan70 º=4 .5b

b tan 70º=4 .5

a=4 .5tan70 º

a=1 .63


tan35 º=4 . 5a

a tan 35º=4 .5

a=4 .5tan35 º

a=6 .42

A=(28 . 86+50 )502

A=78.862

=1971 .5m2

tan 45 º=cateto opuestocateto adyacente

tan 45 º=50b

b tan 45 º=50

b=50tan 45 º

b=50


tan60 º=50a

a tan 60º=50

a=50tan60 º

a=28 . 86

CLASE 17TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS.

LEY DE LOS SENOS

Ley de los senos: Es la razón que existe entre un lado de un triangulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado es proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos restantes.

asen α

= bsen β

= asenθ

ba

c

La ley de los senos se utiliza cuando:

Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Los datos conocidos son dos ángulos y cualquier lado.

Ejemplo. En el siguiente triangulo calcular las medidas de los lados y ángulos faltantes.

Solución:

b Calculo de → + 76º + 42º = 180 º 15 cm = 180º - 76º - 42º

= 62º 76º 42º c

Calculo de b (aplicamos ley de los senos) Calculo de c (aplicamos ley de los senos)

Ejercicio 1. En el siguiente triangulo calcular las medidas de los lados y ángulos restantes.

71

15sen 42 º

=csen 62º

15( sen 62 º )=c (sen 42º )15( sen 62 º )sen 42 º

=c

19 .79=c

15sen 42 º

=bsen 76 º

15( sen 76 º )=b( sen 42º )15( sen 76 º )sen 42 º

=b

21 .75=b

76º a 8cm 12cm Solución: Utilizamos ley de los senos

Calculo de

Calculo de → + 76º + 40.3º = 180 º = 180º - 76º - 40.3º = 63.7

Calculo de a

72

12sen 76 º

=8sen θ

12( sen θ )=8( sen 76 º )

sen θ=8(sen 76 º )12

θ=sen−1(8(sen 76 º )12 )

θ=sen−1 (0 . 646 )θ=40 . 3º

12sen 76 º

=asen 63 . 7

12( sen 63 .7 º )=a (sen 76 º )12( sen 63 .7 º )sen 76 º

=a

11=a

Ejercicio 2. Teorema del triangulo isósceles: En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales. En base a este teorema encuentra los lados y ángulos faltantes del siguiente triangulo isósceles.

Solución: Como el triangulo es isósceles sus lados y sus ángulos quedan 45º 45º

a a

18cm 18cm

Calculo de

45 º+α+α=180 º2α=180 º−45º

α=135 º2

α=67 . 5 º

Calculo de a

asen α

=18sen 45º

asen 67 .5º

=18sen 45 º

a=18sen 45 °

( sen 67 .5º )

a=25 . 45(0 .92)a=23 . 4 cm

Ejercicio 3. ¿Cuál es la longitud de los lados del siguiente pentágono regular?

73

Solución.

4cm ángulo entre los lados de 4cm

4cm

Como es un triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales miden lo mismo. 72º 4 4

x

Calculo de la base.

x72 º

=4α

x72 º

=454 º

54 ºx=4(72 º )

x=28854 º

x=5 .33cm

CLASE 18

74

360 º5

=72 º

2α+72 º=180 ºα=54 º

TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS.LEY DE LOS COSENOS.

Ley de los cósenos: El cuadrado de un lado de un triangulo oblicuángulo, es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado.

a b

c

La ley de los cósenos se utiliza cuando:

Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos. Se tiene el valor de 3 lados.

Ejemplo. En el siguiente triangulo calcular las medidas de los lados y ángulos restantes.

Solución: Utilizamos ley de los cósenos. Calculo de a a b =15 cm 70º c =18 cm

Calculo de , utilizamos ley de los senos. Calculo de

15senθ

=19. 08sen70 º

15 sen70 º=19. 08 senθ15 sen70 º19 . 08

=senθ

sen−1 (15 sen70 º19 .08 )=θ

47 . 62 º=θ

α+θ+70=180ºα+47 . 93+70=180 ºα=180 º−47 . 93 º−70 ºα=62 . 07

Ejercicio 1. En el siguiente triangulo calcular las medidas de los lados y ángulos restantes.

75

a2=b2+c2−2bccos (angulo opuesto al lado a )b2=a2+c2−2ac cos ( angulo opuesto al lado b )c2=a2+b2−2abcos (angulo opuesto al lado c )

a2=b2+c2−2bccos (angulo entre b y c )a2=152+182−2(15 )(18 )cos70 ºa2=225+324−184 .6a2=364 . 4a=19 .08

b = 45 a = 50 cm c = 32 cm Solución: utilizando ley de los cósenos.

Calculo de Calculo de , utilizamos ley de los senos.

a2=b2+c2−2bccos (angulo opuesto al lado a )502=452+322−2(45 )(32)cosθ2500=2025+1024−2880 cosθ2500−2025−1024=−2880 cosθ−549=−2880 cosθ−549−2880

=cosθ

0 . 19=cosθcos−1 0 .19=θ79 º=θ

32senα

=50senθ

32senα

=50sen79 º

32( sen79º )=senα (50)32( sen79º )50

=senα

sen−1 (32(sen 79º )50 )=α

38 . 92º=α

Calculo de

+ + = 180º + 38.92 + 79 = 180º = 180º - 38.92º - 79º = 62.08º

Ejercicio 2. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones forman un ángulo de 85º. Después de 1 hora, uno de ellos se encuentra a 225 Km. de la ciudad, mientras que el otro está a 300 km. de esta. ¿Cuál es la distancia entre ambas aviones?

76

Solución:

a

225 km. 300 km.85º

a2=b2+c2−2bccos (angulo opuesto al lado a )a2=2252+3002−2(225 )(300)cos85 ºa2=50 ,625+90 ,000−(135 ,000 )cos85 ºa2=140 ,625−11 ,766a2=128 ,859a=√128 ,859a=358 . 96km .

Ejercicio 3. Tres barcos salen de un mismo punto y se dirigen a tres destinos diferentes, a 5 horas de haber salido el kilometraje recorrido es el siguiente:

77

Barco A Barco B Barco C

El barco A y el Barco B forman un ángulo de 49°, y el barco A y el barco C forman un ángulo de 125º ¿Cuál es la distancia entre el barco B y el Barco C?

Solución:

distancia

400 km. 600 km.76º

a2=b2+c2−2bccos (angulo opuesto al lado a )d2=4002+6002−2( 400)(600 )cos76 ºd2=160 ,000+360 ,000−(480 ,000 )cos76 ºd2=520 ,000−116 ,122.5d2=403877 . 5d=√403877 .5d=635. 51km .

78

Barco Km. recorridosA 500B 400C 600

mis clases matematicas 2

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