mis clases de matematicas 1

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL VALLEJO

CUADERNO DE TRABAJO

MATEMÁTICAS 1

PROFESOR:OTONIEL MARTINEZ GONZALEZ

SEMESTRE:2011-1

1

INDICE

Unidad Tema Pagina

1 Números y operaciones básicas…………………… 3

2 Variación directamente proporcional y funciones lineales……………………………………. 31

3 Ecuaciones lineales………………………………….. 51

4 Sistemas de ecuaciones lineales……………………… 62

5 Ecuaciones cuadráticas………………………………. 75

2

UNIDAD 1. NÚMEROS Y OPERACIONES BÁSICAS

CLASE 1NUMEROS NATURALES

La matemática no son abstracciones, son herramientas básicas para la vida profesional.

La matemática es la ciencia que estudia las propiedades y relaciones de las cantidades y formas.

La matemática por ser una ciencia muy extensa tiene divisiones, por ejemplo en tu estancia en el CCH estudiaras aritmética, algebra, geometría plana, geometría euclidiana, funciones polinomiales, cálculo y estadística.

En este primer semestre de matemáticas estudiaremos aritmética y algebra.

Aritmética: Es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de los números, sus reglas y operaciones.

La definición de algebra la daremos cuando lleguemos a ese tema.

Los números.A través de nuestras vidas nos hemos encontrados con números, los números están involucrados en gran parte de nuestro diario vivir, nuestra fecha de nacimiento, números telefónicos, números en las calificaciones, número de cuenta, número de mi casa, claves para ingresar a nuestros correos en internet, en nuestra infancia primero aprendimos a pronunciarlos que a escribirlos.

Los números no siempre han sido como los conocemos ahora, han cambiado a través del tiempo y también de cultura en cultura.

Una parte de la historia cuenta que los hindúes hicieron grandes y valiosos aportes en matemáticas a la humanidad. Los sacerdotes hindúes inventaron los números que usamos,

Números arábigos orientales llamados arábigos por ser los árabes quienes los divulgaron. Los contactos comerciales entre la India y el imperio construido por los árabes favorecieron que éstos últimos adoptaran tanto el sistema de numeración hindú como sus signos numerales, contribuyendo luego decisivamente a

Números arábigos occidentales difundirlos en Occidente.

Números arábigos actuales(Mapa de Arabia, India y España)

Evolución de las cifras indo-arábigas en su paso de oriente a occidente.

3

Para entender la definición de número recordemos que en varias culturas los números son representados por símbolos (También a los símbolos se le llaman figuras ó cifras).Veamos los siguientes ejemplos de símbolos y qué cantidad representan.

Numeración Romana Numeración Maya Numeración Arábiga

X 7 _______________ ________________ ________________

¿Qué es un número? _______________Es un símbolo que nos sirve para representar una cantidad________________

Por ejemplo: ____4 flechas_ _____3 teléfonos______

Un número puede estar formado por uno o varios símbolos.

Número digito: Son los que se forman con un solo símbolo. Los números dígitos son: _____0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9_________________

Número polidígito: Son los que se forman con varios símbolos. Algunos ejemplos de números polidígitos son: ___13, 96, 781 ___________

Los conjuntos de números que vamos a ver en esta primera unidad son: conjunto de los números naturales, conjunto de los números enteros y conjunto de los números racionales.

Números Naturales. Los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaron para contar elementos, ya que se procede a enumerar dichos números de una manera ordenada, actualmente también se siguen utilizando para contar elementos y otras aplicaciones.

Conjunto de los Números Naturales. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…} Nota: Algunos autores no incluyen el número cero en los naturales.

Representación de los números naturales en la recta numérica se coloca una recta horizontal o vertical y se coloca un punto de referencia (punto a partir del

cual vamos a contar o a medir) se utiliza una escala (las distancias serán las mismas para cada número) si un número es relativamente grande se hace un corte a los números positivos no se les coloca el signo + si la recta es vertical al seleccionar dos números el mayor es el que está a la derecha. si la recta es horizontal al seleccionar dos números el mayor es el que está arriba.

Coloca los siguientes números en una recta numérica horizontal: 3, 10, 39, 0, 500

4

Los números naturales y las operaciones básicas (la suma, la resta, la división y la multiplicación) nos pueden ayudar a resolver diversos problemas.

¿Qué entiendes por suma? ¿Qué entiendes por resta?__Es la unión de cosas __ __Quitar una parte al todo____

¿Qué entiendes por multiplicación? ¿Qué entiendes por división? __Es tomar un número tantas veces __Es cuantas veces cabe un número en otro__contenido en otro______

20 5=20/5=205

2*4= 2(4)=2(4)=(2)(4)=8

Problema matemático: Es una cuestión practica en la que hay que obtener cantidades desconocidas llamadas incógnitas, por medio de cantidades conocidas llamados datos.

Resuelve los siguientes problemas matemáticos:

1. Roberto trabaja lavando carros los fines de semana, abrió una cuenta en el banco con $235, después retiro $125, unos días después retiro $65. ¿Cuánto dinero tiene actualmente?

2. Compre un celular en $525 y unos tenis en $820, vendí el celular en $750 y los tenis en $750, ¿gane o perdí, y cuanto?

3. Pedro tiene actualmente $96 y Juan $162. Pedro ahorra $5 diarios y Juan gasta $1 diario. ¿En cuántos días ambos tendrán la misma cantidad?

5

4. Durante las vacaciones una pareja perdió a su perro. Después de un tiempo, el perro volvió a su casa, Si el perro recorrió 500 m cada hora, empleo 10 hrs. por día y tardo 20 días en llegar , ¿Cuál es la distancia recorrida por el perro?

5. Un tinaco de agua de 1200 litros se llena en 5 horas. El flujo de agua es constante. ¿Cuántos litros entran por minuto al tinaco?

6. Tengo una caja rectangular, de un lado le caben 23 latas y del otro lado le caben 131 latas, ¿Cuántas latas le caben en total a la caja?

6

CLASE 2NUMEROS ENTEROS

En la clase 1 estudiamos los números naturales, en esta clase estudiaremos los números enteros.

¿En la vida cotidiana tiene sentido hablar de números negativos? _______

Conjunto de los Números Enteros. Z = {…-4,-3,-2,-1, 0,1, 2, 3, 4,...}Los números enteros se crearon en la necesidad de utilizar números negativos.

Menciona 4 ejemplos a donde se utilicen números negativos:a) La temperatura esta a -5° centígrados b) -1000 a.c. significa 1000 años antes del nacimiento de Cristo

c) - $100 significa que adeudo $100 d) -500m bajo el nivel del mar

¿Los números naturales también son números enteros?______________________________¿Los números enteros también son números naturales?______________________________

Los números naturales son un subconjunto de Zlos números enteros, es decir el conjunto de los númerosnaturales esta dentro del conjunto de los números enteros, Npor lo tanto los números naturales también son 0números enteros. -2 5De aquí en adelante solo nos referiremos a los números enteros, sabiendo que ya están incluidoslos números naturales.

Coloca en una recta horizontal los siguientes números enteros: -300, -50, -25, 4, 30, 280

7

El siguiente símbolo nos indica si un número es mayor o menor a otro.

menor que < MAYOR QUE

Coloca el signo < ó > según corresponda

a) 8 ___10 b) 12 ___5 c) - 1 ____- 5 d) 3 ___3

Uso del paréntesis. Los paréntesis o signos de agrupación tienen tres formas:( ) ordinarios [ ] corchetes

{ } llavesVimos en la clase 1 que los paréntesis nos sirven para indicar multiplicación, por ejemplo: _____,Pero cuando hay una o varias operaciones también nos indica agrupación. por ejemplo: 4 (5+3+4) =el paréntesis me indica que primero sumo 5+3+4 4 (12) =finalmente multiplico 4 x 8 4 (12) = 48

Cuando hay un signo de operación entre números el paréntesis solos indica agrupación. Por ejemplo: 4 + (9/3) =

Primero realizo la división 4 + (3) = Finalmente la suma 4 + (3) = 7

¿Cómo efectuó la siguiente operación - 3 - (2 - 4) = -3 – (-2) =

Cuando hay dos signos juntos aplico las leyes de los signos.

Leyes de los signos de la multiplicación Leyes de los signos de la división(+)(+) = + + / + = +(-)(-) = + - / - = + (+)(-) = - + / - = - (-)(+) = - - / + = -

Vamos a terminar nuestra operación - 3 - (2 - 4) =-3 – (-2) = -3 + 2 =

Para hacer esta operación puedo ayudarme de la recta numérica

Cuando nos encontramos casos como el anterior (una suma o resta de dos números con signos diferentes), hay una regla que nos servirá mucho y ya no tendremos que usar la recta numérica: ___Al número mayor restarle el número menor y al resultado colocarle el signo del número mayor. ___

Y cuando hay dos o más números sumando o restando con el mismo signo aplicamos la siguiente regla: ___Se suman los números y se coloca el signo que tienen ambos._____

Efectúa las siguientes operaciones:a) 8+13 = b) 87-15 = c) -12-14 =

c) -16+13= d) -15+4-3+5-13 = e) -12+47-54+69 =Prioridad en las operaciones.

8

¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? 5 + 4 * 3 – (12 - 5) = __________

Cuando en una sola expresión existen varios paréntesis y operaciones básicas la prioridad es la siguiente:

{ [ ( ) ] } Realizar las operaciones desde el paréntesis mas interior hasta el más exterior Potencias y raíces. Multiplicaciones y Divisiones según se presenten de izquierda a derecha Sumas y Restas según se presenten de izquierda a derecha.

Realiza las siguientes operaciones:

a) 4 + 2 [10 – 2 ( 5 – 3 ) ] = 4 + 2 [10 – 2 ( 2 ) ] =4 + 2 [10 – 4 ] =

4 + 2 [6] =4 + 12 = 16

b) 16 / 4 + (2) (3) + 2 – 8 / 2 = 4 + 6 +2 – 4 = 8

c) Coloca paréntesis en la expresión 5 + 6 * 4 + 3 de tal manera que el resultado sea 47.

5 + (6 * (4 + 3)) = 47 también 5 + 6 * (4 + 3) = 47

CLASE 3

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NÚMEROS RACIONALES

Ejemplo 1: Don Juan hace su testamento y un terreno que tiene en el pueblo lo reparte entre sus 3 hijos, ¿Cómo queda dividido el terreno, si las partes deben ser iguales y que nombre recibe cada parte?

1 toma 1 para cada hijoAl terreno lo divido en tres partes 3 iguales 3 Nota: las partes divididas tienen que ser igualesEjemplo 2: Alicia compra una pizza y toma 3/4 para sus hermanas, sombrea la parte que es para sus hermanas y ¿con que parte se queda ella?

3 toma 3 partes Lo divide en 4 partes iguales 4

Ejemplo 3: Dibuja 5/2 de un pastel.

En base a los 3 ejemplos anteriores, ¿Para qué me sirven los números racionales?______________________________________________________________________________

Como podemos observar en los ejemplos anteriores los números racionales son necesarios para cuando queremos cuantificar partes iguales de una unidad.

Conjunto de los Números Racionales. Q={pq , se cumple que pϵ Z ,q ϵ Z ,q≠0} Los siguientes son números racionales:

_____________________________________________________________________________

El número 90

¿es un número racional? _____ ¿Por qué?

__________________________________

10

El número 09

¿es un número racional? _____ ¿Por qué?

__________________________________

¿Los números enteros también son números racionales? ______

−6=−61,8=8

1unnúmer oentero lo convertimosaracional dividiendoloentre1

¿Los números racionales también son números enteros?_______________________________

Los números enteros son un subconjunto de Qlos números racionales, es decir el conjunto de los númerosenteros esta dentro del conjunto de los números racionales, Zpor lo tanto los números enteros también son Nnúmeros racionales, pero no todo número racional es un número entero.

Indica con una palomita o tache si los siguientes números son Q, Z o N. y colócalos en su conjunto correspondiente.

QZ

N

Todo número racional se puede representar como un número decimal.

Ejemplos: −24

=¿ 19=¿

42=¿

Representación en la recta numérica.Representa los siguientes números racionales en la recta numérica: 1/2,4/3, -1/2, -5/4

11

número Racional Entero Natural-15

−43

015

A los números racionales también se les da el nombre de: ___fracciones o quebrados ___

Nombre que se les da a los números que forman un número racional

pq= numeradordenominador

Número mixto es el que consta de un número entero y un número racional. Ejemplos:

843=8+ 4

32

37=2+ 3

7Conversión de un número mixto a quebrado Conversión quebrado a mixto 17/3

Fracciones equivalentes (iguales)

=

Obtengo una fracción equivalente a otra si multiplico o divido el numerador y el denominador por un mismo número

Ejemplo: obtener una fracción equivalente a:

a) 4

30b)

34

Multiplicando Dividiendo Multiplicando

Dos fracciones son equivalentes si al igualarlas y efectuar los productos cruzados los resultados son iguales.

Ejemplo: verificar si las siguientes fracciones son equivalentes

a) 408

=85

b)

5614

=82

Dados 2 racionales encontrar cual es mayor.

12

1. Cuando los números tienen igual denominador es mayor el que tenga el mayor numerador.

Ejemplo: De los siguientes números:

1112

,1012

,−1212 ¿Cuál es mayor? _______________________

2. Cuando los números tienen diferente denominador

De los siguientes números:

1112

,1011

,−27 ¿Cuál es mayor? ________________________________

Las siguientes son 3 formas de conocer cuál es el mayora) Ponerlos en la recta

b) Obtener su equivalente decimal 11/12 = 0.916 10/ 11 = 0.909

c) Para comparar 2 números racionales se multiplica cada número por el denominador del otro y se comparan.

La forma más utilizada para saber cuál es el mayor de dos o más números es el inciso c)

Ejercicios:

1. Da dos ejemplos en tu vida diaria a donde utilices números racionales _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

2. Sombrea en un círculo la fracción

59

3. De la siguiente tabla

¿Puedo tomar

54 ? ______ ¿Por qué? ________

______________________________________ ______________________________________ ______________________________________

4. El tinaco de Don Luís tiene 3/4 de agua y el de Don Paco tiene 9/12 de agua ¿Qué tinaco tiene más agua? (dibujar los tinacos)

5. Coloca en una recta numérica vertical las siguientes fracciones:

73,−4

5

13

1112 (11

11 )=121132

1011 (12

12 )=120132

6. Haz un ejercicio donde tengas que utilizar quebrados

CLASE 4DIVISIVILIDAD, MULTIPLO Y MINIMO COMÚN MULTIPLO

Antes de ver suma y resta de números racionales es necesario ver los temas de divisibilidad, múltiplo y mínimo común múltiplo, pues estos conceptos nos serán de mucha utilidad.

Para entender el concepto de divisibilidad veamos el siguiente ejemplo:

La fracción 62 la podemos entender como 2 6

6 entre 2 da 3, como el resultado es un número entero, se dice que 6 es divisible entre 2.

Veamos otro ejemplo:

La fracción 75 la podemos entender como 5 7

7 entre 5 da 1.4, como el resultado no es un número entero, se dice que el 7 no es divisible entre 5.

Realiza las siguientes divisiones e indica si los números son divisibles ó no.

a¿ 72

7 ___no es_____ divisible entre 2.

b) 8048

4 8048 ___si es_____ divisible entre 4.

c) 2510

25 ___no es_____ divisible entre 10.

14

Divisibilidad de números. Existen algunas reglas para saber si un número es divisible por 2, 3, 4, 5 y 10 sin necesidad de estar haciendo las divisiones.

Divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.Ejemplo:

Divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.Ejemplo:

Divisibilidad por 4.Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 4.Ejemplo:

Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco.Ejemplo:

Divisibilidad por 10. Un número es divisible por 10 cuando termina en cero.Ejemplo:

Número primo: __Es el que solo es divisible por sí mismo y por la unidad.______Ejemplo:

Numero compuesto: __Es aquel que además de ser divisible por sí mismo y por la unidad lo es por otro número._____Ejemplo:

De la siguiente tabla de números coloca una palomita según sea número primo o número compuesto.

Numero Divisible por Número primo Numero compuesto1

2

3

4

5

6

15

… … … …

Los primeros números primos del 1 al 150 son:

1 2 3 5 7 11 13 17 19 2329 31 37 41 43 47 53 59 61 6771 73 79 83 89 97 101 103 107 109113 127 131 137 139 149

Múltiplo de un número. Para entender el concepto de múltiplo veamos los siguientes ejemplos:

¿El número 2 cabe un número exacto de veces en el 8?________ ¿Cuántas veces? _____,

porque __ 2*4=8_______, entonces se dice que el 8 es múltiplo de 2.

¿El número 25 cabe un número exacto de veces en el 100?_____ ¿Cuántas veces? _____ ,

porque ______________, entonces se dice que el 100 es múltiplo de 25.

¿El número 5 cabe un número exacto de veces en el 18?_______, porque _____________

__________________________________, entonces se dice que el 18 no es múltiplo de 5.

¿Cómo puedo obtener todos los múltiplos del numero 9?Multiplicando el 9 por 1, 2, 3…9*1 =99*2=189*3=27… Entonces los números 9, 18, 27, etc. son múltiplos de 9

¿Cuántos múltiplos tiene un número? ____Un número tiene infinidad de múltiplos ___________

Observando los ejemplos anteriores, ¿Cómo definirías lo que es un múltiplo de un número?

Múltiplo de un número: _Es un número que contiene un número exacto de veces a otro número.

Múltiplo común de dos o más números es todo número que contiene exactamente a cada uno de ellos.Ejemplo: ¿Encuentra un múltiplo común de 20 y 5? __La forma más sencilla es multiplicarlos y obtenemos un múltiplo de los dos 20(5)=100, 100 es múltiplo común porque contiene a 20 cinco veces y a 5 veinte veces._______________________ mínimo común múltiplo (m.c.m). El m.c.m. de dos o más números es el entero más pequeño que contiene a cada uno de ellos en una cantidad exacta.

Para saber si de varios números dados uno de ellos es el m.c.m. se observa si el mayor contiene a los demás.Ejemplo:El m.c.m. de 20, 5 es: 20 porque el 20 contiene 1 vez al 20 y 4 veces al 5.El m.c.m. de 4, 2, 8 es: 8 porque el 8 contiene 2 veces al 4 y 4 veces al 2.El m.c.m. de 8, 16, 32, 64 es: 64 porque contiene 8 veces al 8, 4 veces al 16, y 2 veces al 32.El m.c.m. de 5, 15, 7 es: por este método no se puede saber, porque el 15 si contiene al 5 pero no contiene al 7

16

Cuando uno de los números no contiene a los otros se utiliza el siguiente método (método abreviado)Ejemplo: encontrar el m.c.m de 15 y 4 → 60

Ejercicios: encontrar el m.c.m de:

a) 10, 15, 42

10, 15, 42 2 5 15 21 5 1 3 7 3 1 7 7

1

2*5*3*7 = 210

b) 5, 15, 7

5 15 7 5 1 3 7 3 1 7 7

1

5*3*7 = 105

c) 8, 10, 15, 32 →480

d) 6, 21, 32, 40 →3360

e) 7, 20, 12, 31 →13020

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CLASE 5SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES

Suma de números racionales

Caso 1. Quebrados con el mismo denominador.

Ejemplo 1: sumar 14+ 2

4

+ =

¼ + 2/4 = ¾


5+ 3

5

+ + =

2/5 + 4/5 + 3/5 = 9/5

Viendo los ejemplos anteriores como es la regla para sumar dos o mas números racionales con el mismo denominador:

ad+ bd=a+b

d(se simplificael resultado)

Caso 2. Quebrados con diferente denominador.


3

+ =

Busco el mínimo común múltiplo (m.c.m.)de los denominadores 2 y 3, tomo el más grande que es 3, 3 cabe en 3 pero no cabe el 2, entonces busco el m.c.m. con el otro método 2 3 m.c.m.=6

18

Ahora paso 12a sextos y

13asextos :

12 ( 3

3 )=36y

13 ( 2

2 )=26

Finalmente como ya tienen mismo denominador lo sumo: 36+ 2

6=5

6

Una forma de simplificar el procedimiento es el siguiente:

ab+ cd=

(m .c .m. /b )a+(m .c .m. /d )cm.c .m .deb y d

(se simplifica elresultado)

Ejemplo. Sumar los siguientes quebrados:

a) 36+ 2

2=3+6

6=9

6=3

2

b) 14+ 3

7+ 32

60=509

420

Resta de números racionales

Caso 1. Quebrados con el mismo denominador.

Ejemplo. Restar 35−2

5

= 1/5

Se restan los numeradores y esta suma se parte por el denominador común, se simplifica el resultado.

ad−bd=a−b

d(se simplificael resultado)

Caso 2. Quebrados con diferente denominador.

El procedimiento es similar al de la suma con diferente denominador, se obtiene el m.c.m. de los denominadores y se efectúan operaciones, si se puede se simplifica el resultado.

ab− cd=

(m.c .m ./b )a−(m.c .m./d ) cm .c .m.deb yd

Ejemplo 1. Restar 35−2

7=21−10

35=11

35

19

Ejemplo 2. Restar 15− 3

10−1

2=2−3−5

10=−6

10

Realiza las siguientes operaciones

a )1784

+384

+584

+1184

+684

=4284

=2141

=12

b ) 23

+56

=4+56

=96=3

2

c )321

+12

+249

=42+147+12294

=201294

=6798

d ) 2+15

=21

+15

=10+15

=115

e )730

−18−

14

+512

=28−15−30+50120

=33120

=1140

f ) (6−12

+13 )−(2−1

2+1)=

36−3+26

−4−1+22

=356

−52

=35−156

=206

=103

20

g) Un hombre vende 1/3 de su terreno, alquila 1/8 y lo restante lo cultiva. ¿Qué porción del terreno cultiva?

1−13−1

8=24−8−3

24=13

24

CLASE 6MULTIPLICACION Y DIVISION DE NÚMEROS RACIONALES

Multiplicación de números racionales.

4(2) ½(1/3) 2/4(2/3)

Regla: Para multiplicar dos o más quebrados se multiplican los numeradores y el resultado se divide entre el producto de los denominadores, se simplifica el resultado.

ab ( be )=ab

be

Ejemplo: a) 45 ( 3

9 )=¿ b) 7(−79 )=¿ c)

−85 (−3

15 )=¿

Ejemplo: ¿Cuánto es

12 de 10? 0 10 ½(10)=10/2=5

¿Cuánto es

23 de 12? 0 12 2/3(12)=24/3=8

21

¿Cuánto horas son las ¾ partes de un día (24 hrs.)? ¾(24)=72/4=18

0 24

División de quebradosRegla: Para dividir dos quebrados se multiplican numerador y denominador de cada número en forma cruzada.

abbe= aedb

Que es lo mismo que

adbe

=aedb

Ejemplo. Realizar las siguientes divisiones:

a)

1234

=¿ b)

7284

=¿ c) 18

17

=¿

d)

−3234

=¿ e) −4

2−7

=¿

Ejercicios:

22

1 .23 (12 )=2

6=1

3

2 .78 (811 )(22

14 )(14 )=12324928

=3081232

=154616

=77308

=14

3 . 627 (13

11 )=447 (14

11 )=61677

=8

4 . (12 −13 )6=(3−2

6 )6=(16 )6=66

=1

5 .

35710

=3035

=67

6 .1−1

3

1−15

=

11−1

3=3−1

311−1

5=5−1

5

=

2345

=1012

=56

7. Si tengo 7/8 de m. de tela, ¿cuánto me falta para tener 1 m.?

1−78=8−7

8=1

8

8. Si una llave vierte ½ litro de agua por hora y otra vierte ¾ de agua por hora ¿en cuánto tiempo llenan un depósito de 5 litros?

23

12

+34

=2+34

=54

entre los dos por hora

554

=205

=4h

9. Tenía $40 y me gaste los 3/8 de ese dinero ¿Cuánto me queda?

38

( 40 )=1208

=15

40−15=$25 0 40

10. La cuarta parte del día la emplea un niño en estudiar y la tercera en dormir. ¿Cuántas horas al día le quedan libres?

0 24 hrs

11. Si tengo 3

14 Kg. de fríjol y lo reparto a 4 personas ¿Qué cantidad le toca a cada una?

(convertir el resultado a decimal) .

314

=134

1344

=1316

=0 .81kg

CLASE 7PORCENTAJES

Es muy común encontrar en los centros comerciales ofertes como estas: “Pantalones de $250.00 c/u rebajados el 18%”, ¿Cuánto pagarías en caja por un pantalón?

Antes de resolverlo veamos el siguiente concepto: El 100% de algo es el total, es todo lo que hay.

El 100% de $500.00 son $500.00

24

14

(24 )=244

=6h estudiar

13

(24 )=243

=8h dormir

24−8−6=24−14=10 h

El 100% de 5460 votos son 5460 votos El 50% de 7000 alumnos son 3500 alumnos

Para obtener un porcentaje de alguna cantidad, tengo que dividir el total en 100 partes y multiplicarlo por las partes que quiero obtener.

Ejemplo 1. Juan tiene ahorrado en el banco $1000 y retira el 15% para comprarse unos zapatos, ¿Cuánto dinero retiro y cuanto le queda en el banco?

Solución: ¿Cuál es el total, el 100 % de su dinero? ___________

Lo que retira Juan es: 1000100

(15 )=15000100

=$150 Lo que queda en el banco es

$1000 - $150 = $850

El total entre 100 retira el 15% o 15 partes

Ejemplo 2. Julieta tiene $250,00 y va a donar el 7% para un alberge, ¿Cuánto dinero va a donar y cuanto le queda?Solución: ¿Cuál es el total, el 100 % de su dinero? ___________

Lo que va a donar Julieta es: 250100

(7 )=1750100

=$17.50 Lo que queda en es

$250 - $17.50 = $232.50

Ejemplo 3. En una ciudad de un total de 15620 habitantes, el 82% son jóvenes, ¿Cuántos jóvenes hay?

15620100

(82 )=1280840100

=12808.4 habitantes

Ejemplo 4. ¿Cuánto es el 120% de $40?

40100

(120 )=4800100

=$ 48

Ejemplo 5. En una votación de la semana pasada se obtuvieron un tal de 6500 votos, las votaciones quedaron de la siguiente manera:

¿Qué porcentaje de votos le toca a cada partido?

25

Solución:

Para el PRD: 6500100

( x )=1500

65 ( x )=1500

x=150065

=23.07 %

Para el PAN: 6500100

( x )=3000 Para el PRI: 6500100

( x )=2000

65 ( x )=3000 65 ( x )=2000

x=3000

65=46.15 % x=

200065

=30.76 %

Comprobando que la suma de porcentajes es 100%: 23.07%+46.15%+30.76% = 99.98 %

Ejercicios:1. Resuelve el problema inicial de la clase.

250100

(18 )=4500100

=$ 45 Lo que paga en caja es $250 - $45 = $205

2. ¿Cuánto es el 17% de $8900?

8900100

(17 )=151300100

=$1513

3. A Rebeca le descontaron el 27% de una falda que cuesta $210.00 y el 14% de una blusa que cuesta $140.00 ¿Cuánto va a pagar en caja por las dos prendas?

Falda :210100

(27 )=5670100

=$56.70 Paga$210−$56.7=$153.30

Blusa :140100

(14 )=1960100

=$19.60 Paga$140−$19.6=$120.40

Pago total: $153.30+$120.40=$273.74. En el recibo de teléfono se cobra un IVA del 16% del valor total, el valor total está formado por la renta + las llamadas locales + larga distancia. Si en este mes la renta es de $156.66, no paga llamadas locales porque no paso de 100 llamadas y la larga distancia fue de $120.50, ¿Cuál es el total a pagar este mes?

Total = $156.66 + $120.50 = $277.16

26

IVA :277.16

100(16 )=4434.56

100=$ 44.34 Paga$277.16+$ 44.34=$321.50

5. La población de los tres países de América de Norte es: Canadá: 30,000,000 hab, EU: 270,000,000 hab. y México: 100,000,000 hab. Dibuja en un diagrama de pastel la población de América de Norte en porcentajes.

Solución:

Total: 400,000,000 hab.

Canadá:

400,000,000100

(x )=30,000,000

4,000,000 ( x )=30,000,000

x=30,000,0004,000,000

=7.5 %

E.U. : 400,000,000

100(x )=270,000,000 México:

400,000,000100

(x )=100 ,000,000

4,000,000 ( x )=270,000,000 4,000,000 ( x )=10 0,000,000

x=270,000,0004,000,000

=67.5 % x=100,000,000

4,000,000=25 %

27

Comprobando que la suma de porcentajes es 100%: 7.5%+67.5%+25% = 100 %

CLASE 8POTENCIAS Y RAICES

Notación exponencial

¿Cuánto es 2(2)(2)? 8 Exponente ó Potencia (indica cuantas veces se multiplica la base)Base 23=8 (el numero que se está multiplicando) ¿Cuál es la notación exponencial para la siguiente multiplicación: 5(5)(5)(5)(5) (5)(5) = ?

57=78,125¿Cuál es la notación exponencial para la siguiente multiplicación: 3(3)(9)(27) = ?3(3)(3)(3)(3)(3)(3) = 37=2187

¿Cuál es la notación exponencial para la siguiente multiplicación: 4(4)(5)(4) = ?

No se puede poner en notación exponencial por que no hay una sola base.

En cuanto a los signos de la base y el exponente tenemos 4 casos

Caso 1: Base + y exponente +Ejemplo: 32=9

Caso 2: Base - y exponente +Ejemplo: −62=(−6 ) (−6 )=36

Caso 3: Base + y exponente -

Ejemplo: 3−3= 1

33= 1

27Caso 4: Base - y exponente -

Ejemplo: −2−3= 1

−23= 1

(−2 ) (−2 )(−2)= 1

−8

De lo anterior se concluyen las dos primeras leyes de los exponentes: caso 1 y 2→be=bbb…e veces(cuando semultiplicanletras noes necesarioel signode multiplicación)

caso 3 y 4→b−e= 1bbb…e veces

De estas dos leyes solo hay una excepción: b0=1

28

Vamos a obtener otra ley de los exponentes (llamada multiplicación de potencias de la misma base)

¿Cuantoes23 (22 )?=(2∗2∗2 ) (2∗2 )=25

¿Qué operación se realizo con los exponentes? La suma

¿Cómo quedaría la ley? bn (bm )=bn+m

Las demás leyes se obtienen de manera similar.

Leyes de los exponentes

1. be=bbb…e veces 2.b−e= 1bbb… eveces

3.b0=1 4. bn (bm )=bn+m

5. ( ab )e

=ae

be 6. ( ab )

−e

=be

ae

7. (ab )e=ae be 8. (be)n=ben(Potencia de potencias)

Raíces Las raíces efectúan la operación contraria al efectuado por las potencias.El símbolo de la raíz cuadrada es: 2√❑=√❑El símbolo de la raíz cuadrada es: 3√❑El símbolo de la raíz cuadrada es: 4√❑

¿Cuál es la raíz cuadrada de 16? 2√16=√16=±4 porque4 (4 )=16 y−4 (−4 )=16

¿Cuál es la raíz cuadrada de 8? √8=±2.828 porque2.828∗2.828=8 y (−2.828)(−2.828)=8

¿Cuál es la raíz cuadrada de -1? √−1=no existennúmeros enterosiguales quealmultiplicarlosmeden1 ,

existe unaramade lasmatematicas queestudiaestos números y losllama númerosimaginarios ocomplejos :√−1=i

¿Cuál es la raíz cubica de 27? 3√27=3 porque3∗3∗3=27

¿Cuál es la raíz cubica de 13? 3√13=2.351 porque2.351∗2.351∗2.351=13

29

Leyes de los radicales

1. n√ab= n√a n√b 2. n√ab=n√an√b

3 .m√ n√a=mn√a

4.n√am=a

mn 5. a1/n= n√a

Resuelve los siguientes ejercicios.

1 . 32−9 (6)=(3 )(3)−54=9−54=−45

2 . 3 (2 )+4 ( 22)−6(3−1)=6+4 (4 )−6(3−1)=6+16−6 (2)=6+16−12=22−12=10

3 . [2(8−13+2)3

6+2 ]2

=[2(−3)3

8 ]2

=[2(−27 )8 ]

2

=[−548 ]

2

=[−6 .75 ]2=45 .56

4 .√15

√3=√15

3=√5=2. 23

5 . 2( 4√16 )=2 (2 )=4

6. ¿Cuánto vale x? x2=88

30

7. ¿Cuánto vale x? √ x=88

8. Un terreno cuadrado tiene 150 m2 de área, ¿Cuánto miden sus lados? (recuerda que la fórmula del área de un cuadrado es lado*lado)

a

a

9. Inicialmente una cierta población de bacterias constaba de 3 bacterias. En la primera hora se reprodujeron a 9, en la segunda hora a 27, en la tercera hora ya eran 81, y así sucesivamente, calcular el número de bacterias que se esperan a las 10 horas.(Hacer una tabla de bacterias por hora)

hora bacterias3 31

1 9 32

2 27 33

3 81 34

4 243 35

5 729 36

6 2187 37

7 6561 38

8 19683 39

9 59049 310

10 177147 311

31

a (a )=150a2=150a=√150=12 .24m

UNIDAD 2: VARIACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL (V.D.P) Y FUNCIONES LINEALES

CLASE 9VARIACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL (v.d.p)

Variación directamente proporcional

Ejemplo: el jabón de la marca” limpieza total” cuesta $5.00, llena la siguiente tabla:

No de jabones x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Costo (en pesos) y 5 10 15 20 2

530 35 40 4

550

y / x 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Contestemos:¿Cuándo x cambia, también cambia y? ________________¿De qué depende el costo?__________________________

Como el numero de jabones (x) y el costo (y) pueden variar reciben el nombre de variables.

A la variable costo (y) se le llama variable dependiente porque depende del número de jabones(x)

A la variable número de jabones se le llama variable independiente por qué no depende de algo.

De aquí en adelante en los ejemplos y ejercicios que hagamos siempre vamos a asignar a:

x como variable independiente y

y como variable dependienteContestemos: ¿De cuánto es el incremento del No. de jabones? ___________________________¿De cuánto es el incremento del costo? ___________________________________

Es decir por un incremento de x hay un incremento proporcional de y, cuando esto sucede en una serie de valores se dice que hay una variación directamente proporcional, es decir, para este ejemplo, x siempre incrementara en uno y y siempre incrementara en cinco.

Otra forma de saber si es una Variación directamente proporcional y es la que utilizaremos en esta unidad es llenando el tercer renglón de la tabla ( y / x), observamos que el resultado es ____ en todos los casos.

Cuando la relación y / x es constante (que no varía) podemos afirmar que existe una variación directamente proporcional.

32

Al valor constante, en este caso 2, se le llama constante de proporcionalidad y se designa con la

letra k: yk=2 , k = 2

Ejercicio 1. Un metro de listón cuesta $3.50a) Elabora una tabla para conocer el costo de 2, 3, 4, 4.5, 5, 5.5 y 6 metrosb) Indicar cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.c) indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional y porque. d) El valor de k

Solución:a) Tela (m) x 2 3 4 4.5 5 5.5 6Costo ($)

y 7 10.5 14 15.75 17.5 19.25 21

y/x 3.5

3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5

Ejercicio 2. Un bolillo cuesta $1.40 a) Elabora una tabla para conocer el costo de 1 a 10 bolillos.b) Indicar cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.c) indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional y por qued) El valor de k

33

Ejercicio 3: En la siguiente tabla se tiene el número de kilómetros recorridos por un automóvil que viaja por carretera a una velocidad constante de 90 Km/hr, durante 1, 2, 3, 4, y 5 horas.

Tiempo(horas)

1 2 3 4 5

Distancia(Km)

90 180 270 360 450

a) Indicar cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.b) indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional y porque.c) El valor de k

Ejercicio 4: De la siguiente tabla, indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional y en caso afirmativo indicar el valor de la constante de proporcionalidad.

x 2 3 4 5 6y 5 7.8 10.8 1

412

Ejercicio 5. ¿Qué entiendes por variación directamente proporcional?

34

Ejercicio 6. Completa la siguiente tabla de tal manera que las variables tengan una v.d.p. (si haces operaciones no las borres) x 1 4 6 15y 2.5 10 15 37.5

Ejercicio 7. 1kg de manzanas cuesta $15.00a) Indicar cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.b) En la tabla, ¿puedo colocar el cero como un valor de la variable independiente?____ ¿Por qué?____________________________________________________________c) En la tabla, ¿puedo colocar números negativos como en la variable independiente?____ ¿Por qué?____________________________________________________________d) Realiza una tabla con 5 valores (incluyendo el cero)e) Indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional y porque.f) El valor de k

Ejercicio 8. Realiza un ejercicio que involucre v.d.p.

35

CLASE 10MODELO MATEMATICO Y GRAFICA DE UNA VARIACIÓN DIRECTAMENTE

PROPORCIONAL

Para entender el significado de modelo matemático veamos el siguiente ejemplo:

El encargado de la cafetería compra a los proveedores refrescos a $5.00 cada uno.

a) Elabora una tabla para conocer el costo de 1 a 10 refrescosb) Indicar cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.c) indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional, en caso afirmativo cuánto vale k d) obtén el modelo matemáticoe) cual es el costo por 150 refrescosf) si el proveedor tiene $200 ¿Cuántos refrescos puede comprar?g) realiza la grafica del comportamiento de las variables

Solución:a)Refrescos x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Costo ($) y 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y/k 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

b) y = 5x

c) si, k es constante

d) El modelo matemático es la expresión que nos describe el comportamiento de la situación que estamos analizando.

¿Como la obtenemos? vemos en nuestra tabla que para obtener el costo multiplicamos el número de refrescos por una constante, en este caso la constante de proporcionalidad (que es el costo de cada refresco).

constante de proporcionalidadel costo = k (numero de refrescos)

variable dependiente → y = 5 (x) ← variable independiente

Sugerencia: para que nos sea más fácil obtener el modelo matemático, primero hay que identificar las variables.

Es grandioso ver como pasamos de un lenguaje cotidiano a un modelo matemático

36

lenguaje cotidiano modelo matemático

El encargado de la cafetería compra a los proveedores refrescos a $5 cada uno. y = 5 xe) No es muy práctico hacer una tabla con tantos valores, con la obtención del modelo matemático podemos obtener el costo de cualquier cantidad de refrescos.

De nuestro modelo matemático obtenido y = 5x¿En qué variable sustituimos 150 refrescos?____ x______¿Por qué? _____ Porque los refrescos son la v. independiente ____________________________

Entonces nuestro modelo nos queda: y = 5 (150) y = 750 el costo de 150 refrescos es $750

f) De nuestro modelo matemático obtenido y = 5x¿En qué variable sustituimos $ 200?____ y_____¿Por qué? ___ __________ Porque el costo es la v.dependiente ___________________________

Entonces nuestro modelo nos queda: 200 = 5x

despejamos x → 200

5=x

x = 40 El proveedor puede comprar 40 refrescos con $ 200

g) grafica

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

10

20

30

40

50

Vemos que la grafica resultante es _____ una línea recta ______________________________

37

x

y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

5

10

15

20

25

30

Bien, vamos a resumir, los dos nuevos significados que hemos obtenido son:

1. El modelo matemático de una v.d.p. es: ___ y = k x _______

2. la grafica de una v.d.p. es: ______ una línea recta _________Ejercicio 1. Una llave de agua vierte 3 litro por minuto.

a) Elabora una tabla para conocer cuánto vierte de 1 a 10 minutos.b) Indicar cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.c) indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional, en caso afirmativo cuánto vale k d) obtén el modelo matemático e) ¿cuánto vierte en 50 minutos?f) si quiero llenar una cubeta de 22 litros, ¿Cuántos tiempo tardara en llenarse?g) realiza la grafica del comportamiento de las variables

Solución: a)

Minutos x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Litros de agua

y 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

y /x 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

b) v.i. → litros (x) v.d. → Agua (y)

c) si, k = 3

d) y = 3x

e) y = 3 (50) =150 litros

f) 22 = 3x → x = 7.33

g)

38

Ejercicio 2. De los siguientes modelos matemáticos indica con una (v) si representan una v.d.p. y una (f) en caso contrario.

Modelomatemático

v.d.p(y = k x)

k

a) y = 4x

b) y = - 2x

c) y= 4x

d) x= y8

e) y=2x2

f) y2=x

g) y = x

h) y – 2x = 0

Ejercicio 3. a) Grafica la siguiente tabla de valores

b) En base a la grafica indica si las variables tienen un comportamiento directamente proporcional y porque.

c) Obtén el modelo matemático.

39

y 2 3 4 5x 3 4 6 6

Ejercicio 4. El número de bolsas de plástico producidas por una maquina es directamente proporcional al tiempo que la maquina esta en operación. Si la maquina produce 20,000 bolsas en 8 horas.a) obtener el modelo matemático b) ¿cuántas bolsas producirá en 20 horas?c) si necesito producir 3000 bolsas, ¿Cuánto tiempo necesito?

Solución: a) y = 2500x

b) y=2500 (20 )=50,000

c) 3000 = 2500x

30002500

=x x = 1.2 horas

Ejercicio 5. El peso de un objeto sobre la luna es directamente proporcional con respecto a su peso sobre la tierra. Una persona que tiene 95 Kg. de peso sobre la tierra, en la luna pesa 15.2 Kg.a) En este ejercicio, ¿El peso en la luna depende del peso en la tierra ó el peso en la tierra depende del peso en la luna?b) ¿Cuál es la variable dependiente y cual la independiente?c) Hacer una tabla con los dos pesos dados para obtener el valor de kd) Obtener el modelo matemáticoe) ¿Cuánto pesara una persona en la luna si en la tierra su peso es de 70 Kg?f) ¿Cuál es tu peso en la luna?

Solución: a) el peso en la luna depende del peso en la tierra

b) v. i. → P. tierra v. d. → P. luna

c)

d) P. luna = k (P. tierra) y = 0.16 x

40

Tiempo (hrs) x 8Producción y 20,000

y/x 2500

P. tierra x 95P. luna y 15.2

y/x 0.16

e) y = 0.16 (70) y = 11.2 kg

f)

CLASE 11FUNCIONES LINEALES

Ejemplo: Una agencia de renta de automóviles cobra al cliente $3.50 por cada kilómetro recorrido, más $200 por el uso del automóvil. Encuentra:a) Las variablesb) La variable dependiente y la independientec) El modelo matemático que represente el cobro por kilómetros recorridosd) Elabora una tabla con lo que pagaron las personas que recorrieron 40, 50, 120, 130, y 200 Km.e) La grafica del modelo matemático. f) La pendiente.

Solución:

a) Cobro al cliente y Km recorridos del automóvil

b) Variable dependiente →Cobro al cliente = y Variable independiente→ Kms. Recorridos.= x

c) cobro = 3.50* km. Recorrido + 200 y = 3.50x +200

d) Km recorrido x 40 50 120 130 200Cobro y 340 375 620 655 900

e) x

y

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

200

400

600

800

41

f) m= incremento dealturaincrementode labase

=∆altura∆base

=∆ y∆ x

=620−375120−50

=24570

=3.5

Ejercicio 1. El sueldo total de un vendedor se forma con el salario base más la comisión. El salario base es de $350 a la semana y la comisión es de $50 por cada vajilla que vende. Determina:a) Las variablesb) La variable dependiente y la independientec) El modelo matemático que represente el sueldo total del vendedord) ¿Cuál es su sueldo si vende 1, 2, 3, 4, 5, 10 y 25 vajillas?e) La grafica del modelo matemático. f) La pendiente.

Solución:

a) Sueldo total y vajillas vendidas

b) Variable dependiente → Sueldo total = y Variable independiente→ vajillas vendidas = x

c) Sueldo total = salario base + comisión y = 350 +50x

d) Vajilla x 1 2 3 4 5 10 25Sueldo total y 400 450 500 550 600 1200 1600

e)

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

42


=∆altura∆base

=∆ y∆ x

=550−5004−3

=5001

=500

Ejercicio 2. El viaje directo en avión de la Ciudad de México a Madrid se realiza en 10 horas de vuelo, el avión consume 4500 litros de turbosina por hora; antes de partir el avión se carga con 46,000 litros de éste combustible. Determina:

a) El modelo matemático que representa la cantidad de turbosina que va quedando en el tanque del avión con respecto al tiempo.b) Elabora una tabla con las 10 horas de vuelo y la turbosina que va quedando en el tanque.c) La grafica del modelo matemático. d) Calcula la pendiente. Solución:

a) Cantidad de turbosina que va quedando en el tanque = carga inicial – consumo por hora y = 46,000 – 4500x

d) Tiem(hrs)

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Turbo y 41,500 37,000 32,500 28000 23,500 19,000 14,500 10,000 5,500 1000

d)

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10^4

2x10^4

3x10^4

4x10^4

43


=∆altura∆base

=∆ y∆ x

=37,000−41,5002−1

=−4,5001

=−4500

CLASE 12 DIFERENCIA GRAFICA ENTRE UNA VARIACIÓN DIRECTAMENTE

PROPORCIONAL Y UNA FUNCION LINEAL.

La clase anterior concluimos que el modelo matemático para

variable directamente proporcional

y = k x

función lineal

y = m x + b

En ejercicios anteriores hemos elaborado graficas de ambos modelos, vamos a recordar y a recalcar cual es la diferencia entre la grafica de un modelo y otro.

Ejemplo 1. Traza las rectas de los siguientes modelos matemáticos.

y = 3x y = 3x+2 ¿Qué modelo matemático representa?____________________________________________

¿Qué modelo matemático representa?__________________________________________

Para trazar una recta necesito ____________________________________________________

x y = 3x 0 y = 3(0) = 0 5 y = 3(5) = 15

Grafica


x y = 3x +2 0 y = 3(0) + 2 = 0 + 2 = 2 5 y = 3(5) + 2 = 15 +2 =17

Grafica

¿La recta pasa por el origen? ____no_______

44

¿La recta pasa por el origen? ____si________ ¿Por qué punto pasa en el eje y?_2 que es el valor de b___

Ejemplo 2.Traza las rectas de los siguientes modelos matemáticos.

y = -6x y = -x + 2 ¿Qué modelo matemático representa?____________________________________________

¿Qué modelo matemático representa?__________________________________________


x y = -6x 0 y = -6(0) = 0 5 y = -6x = -6(5) = -30

Grafica

¿La recta pasa por el origen? ____si________


x y = -x + 20 y = -x + 2 = -(0)+2 = 2 5 y = -x + 2 = -(5)+2 = -5 + 2 = -3

Grafica


¿Por qué punto pasa en el eje y?____2 que es el valor de b______

De los ejemplos anteriores podemos concluir que:

La grafica de una v.d.p. es:__________________________________

La grafica de una función lineal es:__________________________________

La recta de una v.d.p.:__________________________________

La recta de una función lineal:__________________________________

45

Ejercicio 1. Traza las rectas de los siguientes modelos matemáticos.

y=1

3x+10

y=−1

2x

¿Qué modelo matemático representa?____________________________________________



xy=1

3x+10

0y=1

3x+10=1

3(0 )+10=0+10=10

5 y=13x+10=1

3(5 )+10=5

3+10=1 .66+10=11. 66

Grafica


¿Por qué punto pasa en el eje y?____20 que es el valor de b_____


xy=−1

2x

0y=−1

2x=−1

2(0 )=0

5y=−1

2x=−1

2(5)=−5

2=−2. 5

Grafica

¿La recta pasa por el origen? ____si_______

46

Ejercicio 2. Traza las rectas de los siguientes modelos matemáticos.

y=−1

3x+10

y=1

2x




xy=−1

3x+10

0y=−1

3x+10=−1

3(0 )+10=0+10=10

5 y=−13x+10=−

13

(5 )+10=−53

+10=−1 .66+10

=8.34

Grafica

¿La recta pasa por el origen? _____no_____

¿Por qué punto pasa en el eje y?____10 que es el valor de b______


xy=1

2x

0y=1

2x=1

2(0)=0

5y=1

2x=1

2(5)=5

2=2 . 5

Grafica

¿La recta pasa por el origen? ____si______

47

CLASE 13 DADA UNA GRAFICA DE VARIACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL O

FUNCION LINEAL OBTENDREMOS SU MODELO MATEMATICO.

En la clase anterior obtuvimos la grafica una v.d.p. y una función lineal, en esta clase en base a la grafica obtendremos su modelo matemático.

Ejemplo 1. De la siguiente grafica obtener su modelo matemático.

x

y

0 0,2 0,4

0

1

2

3

¿La grafica representa una v.d.p. o una función lineal? _________________________________¿Por qué? _____________________________________________________________________

Exactamente la grafica representa una función lineal porque no pasa por el origen, y recordemos que su modelo matemático general es: ____y = mx + b______

¿Recuerdas que es m y como obtener su valor? ________________________________________

¿Recuerdas que es b y como obtener su valor? ______________________________________________________________________________________________________________________

∴El modelo matemático queda como: __________________________

48

Ejemplo 2. De la siguiente grafica obtener su modelo matemático.

x

y

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0

1

2

3

4

¿La grafica representa una v.d.p. o una función lineal? _________________________________¿Por qué? _____________________________________________________________________Exactamente la grafica representa una v.d.p. porque pasa por el origen, y recordemos que su modelo matemático general es: ____y = kx ______

¿Recuerdas que es k y como obtener su valor? ________________________________________

∴El modelo matemático queda como: __________________________

Ejercicio 1. De la siguiente grafica obtener su modelo matemático.

xy

0 10 20 30 40 50 60 70

-20

-15

-10

-5

0

¿La grafica representa una v.d.p. o una función lineal? _________________________________¿Por qué? _____________________________________________________________________

49

∴El modelo matemático queda como: ___________________

Ejercicio 2. De la siguiente tabla obtener su grafica y su modelo matemático.

x 0 10 20 30 40y -4 -1.5 2 4.5 8

x

10 15 20 25 30 35 40

-4

-2

0

2

4

6

8

¿La grafica representa una v.d.p. o una función lineal? _________________________________

Modelo matemático: _________ y = 3/10x – 4 _______________________________________

Ejercicio 3. De la siguiente grafica obtener su modelo matemático.

x

y

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

50

Modelo matemático: _________ y = - (1/4) x + 2 _____________________________________Ejercicio 4. De la siguiente grafica obtener su modelo matemático.

x

y

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

-4

-2

0

2

4

Modelo matemático: _________ y =15 x – 5 ________________________________________

Ejercicio 5. De la siguiente tabla obtener su grafica y su modelo matemático.

x 0 1 2 3 4y 0 1.5 3 4.5 6

x

y

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

6

51

Modelo matemático: _________ y = 1.5 x _____________________________________

UNIDAD 3: ECUACIONES LINEALES.

CLASE 14 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A ECUACIONES LINEALES.

1. SITUACIONES QUE DAN LUGAR A ECUACIONES LINEALES

En la vida cotidiana y en la vida profesional hay varias situaciones o problemas que se pueden representar con un modelo matemático con el fin de resolverlo.

Para obtener el modelo matemático de una ecuación y solucionarlo tengamos en cuenta las siguientes sugerencias:1. Entender bien el enunciado.2. Identificar la(s) incógnita(s) que por lo general están dadas en la pregunta.3. obtener el modelo matemático.4. resolver el modelo matemático.5. comprobar el modelo matemático.

En esta clase estudiaremos los 3 primeros pasos, los pasos 4 y 5 se verán en la clase siguiente.

Vamos a encontrar un modelo matemático para resolver el siguiente ejemplo:

La edad de Arturo mas 13 es igual a 40 ¿Qué edad tiene Arturo?

Incognita → edad de Arturo = x

La edad de Arturo mas 13 es igual a 40

A este modelo matemático x +13 = 40 también se le llama ecuación, de aquí en adelante utilizaremos el nombre de ecuaciones.

Ecuación: es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

Elementos de la ecuación: igualdad

miembro izquierdo → x + 13 = 10 ← miembro derecho

Termino: Cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el signo + ó –El miembro izquierdo de la ecuación tiene 2 términos: x, 13El miembro derecho de la ecuación tiene 1 término: 10Factor: El número que está multiplicando a la incógnita.El factor de x es: 1La incógnita es la cantidad desconocida y se representa por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

52

Se dice que es una ecuación de primer grado o lineal porque la incógnita esta elevada a la primera potencia: x1 = xA esta parte de la matemática que representa valores desconocidos con letras se le llama:

ALGEBRA

En Algebra es necesario saber utilizar el lenguaje matemático.El lenguaje matemático es trasladar un problema común a su ecuación, como en nuestro ejemplo inicial:

Lenguaje común Lenguaje matemáticoLa edad de Arturo mas 13 es igual a 40. x +13 = 40

Las siguientes expresiones nos servirán para entender la notación del lenguaje matemático:

Lenguaje común Lenguaje matemáticoLa mitad de un numero 1

2x=1

2 ( x1 )= x2

La tercera parte de un numero 13x=1

3 ( x1 )= x3

El doble de un numero 2xEl triple de un numero 3xUn número más dos (un número excedido en dos) x+2El cuadrado de un número x2

Ejercicios. Obtén las ecuaciones lineales que representen las siguientes situaciones, reducir términos semejantes.

1. El doble de un numero es 24 ¿Cuál es el numero?

2. El triple de un número más 3 es igual a 6 ¿Cuál es el número?

3. La mitad de un número menos 2 es 6, ¿Cuál es el numero?

4. La suma de dos números enteros consecutivos da 17 ¿Cuáles son esos números?

5. La edad de Juan es el doble que la de Pedro y ambas suman 15, ¿Qué edad tiene cada uno?

53

6. En el centro de copiado del CCH Vallejo la maquina 1 produce el doble de copias que la maquina 2 y ambas producen al día 300 copias, ¿Cuántas copias produce cada máquina?

7. Ana, Beti y Caro realizaran un trabajo de historia. Ana escribirá x cuartillas, Beti escribirá el triple de cuartillas que Ana y Caro escribirá 8 cuartillas más que el doble de las cuartillas de Ana. Si el trabajo tendrá un total de 248 cuartillas ¿Cuántas cuartillas escribirá cada una?

8. Un tronco de madera se cortara en tres partes, dos partes iguales y la tercera que tenga el triple de una de ellas. Si el tronco mide 25 metros, ¿Cuáles serán las medidas de los tramos?

9. En una empresa hay cierto número de empleados en la planta baja, mientras que en el primer piso hay el doble de los que hay en la planta baja, y en el segundo piso hay solo la mitad de las que tiene el primer piso. Si en total hay 104 empleados ¿Cuantos empleados hay en cada piso?

10. Tres maquinas producen 162 artículos, la maquina B produce 10 artículos más que la maquina A y la máquina C produce 8 menos que la maquina B, ¿Cuánto produce cada máquina?

11. La suma de dos números es 27, si el mayor es el triple del menor menos 5 unidades, ¿Cuáles son esos números?

54

12. La suma de un número más su triple es igual a tres veces ese número más dos, ¿Cuál es el número?

13. Un número incrementado en 24 es 3 veces el número original. ¿Cuál es el número?

14. El área de un circulo es igual a el numero π multiplicado por su radio al cuadrado, si r = 6, ¿Cuál es el valor del área?

15. Ana tiene cuatro años más que Raúl y ambas edades suman 28. ¿Cuántos años tiene cada uno?

16. El doble de (b + 1) es igual a un tercio de (b + 2), ¿Cuánto vale b?

17. El perímetro de un triangulo isósceles es 20, si la base mide el doble que uno de sus lados, ¿Cuánto mide cada lado?

18. Realiza un ejercicio con el tema de esta clase.

55

CLASE 15SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES.

La clase anterior vimos los 3 primeros pasos para obtener un modelo matemático, en esta clase vamos a ver los dos últimos pasos que son resolverlo y comprobarlo.

Raíz o solución de una ecuación: Son los valores de la incógnita que satisfacen la igualdad.

Para obtener la solución de las ecuaciones se aplican las siguientes propiedades de las igualdades:

1. Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos miembros de una igualdad, la igualdad persiste.

2. Si ambos miembros de una igualdad se multiplican o se dividen por la misma constante, que no sea cero, la igualdad persiste.

Esto es similar al comportamiento de una balanza.

=

Si restamos un elemento de un ladode la balanza

Para que la balanza se mantengaen equilibrio debo también restar un elemento del otro lado.

Por ejemplo, tengo la siguiente ecuación 2 x−6=4Paso 1. Para quitar el -6 les sumo 6 a ambos miembros 2 x−6+6=4+6 Paso 2. Hago las operaciones y me queda 2 x=10

Paso 3. Ahora para quitar el 2 divido ambos miembros entre 2 2x2

=102

Paso 4. Realizo las operaciones y me queda x=5

56

Vamos a obtener una forma resumida de pasar un término o factor al otro lado de la igualdad, por ejemplo, en el paso 1 para el termino -6, es como si lo pasáramos al otro lado como 6, por eso se dice que si un término está restando pasa sumando. Y en el paso 3 es como si el dos que está multiplicando a la incógnita lo pasáramos dividiendo, por eso se dice que si un factor está multiplicando pasa dividiendo.

Resumiendo lo anterior:Si un término esta: Pasa:sumando restandorestando sumandoSi un factor esta:multiplicando dividiendo(con el mismo signo)dividiendo multiplicando(con el mismo signo)

Ejercicios. De los siguientes enunciados obtener su ecuación, obtener la raíz y comprobarla.

1. Tres casas seguidas tienen una numeración que aumenta de 1 en 1, si la suma de los números de las casas es de 36 ¿Qué número tiene cada casa?

x+x+1+x+2=363 x+3=363 x=36−3

x=333

=11

2. En una tienda donde se vende equipo de cómputo se vendieron 28 computadoras en tres días. Si el segundo día se vendieron 2 computadoras más que el primer día y el tercer día se vendió una menos que el primero, ¿Cuántas computadoras se vendieron cada día?

x+x+2+ x−1=283 x+1=283 x=28−1

x=273

=9

57

1er d=x2o . d=x+23er d=x−1

3. En un triangulo isósceles, cada uno de los lados iguales mide 6 cm. más que la base. Si sabemos que el perímetro del triangulo mide 48 cm. ¿Cuál será la longitud de cada uno de sus lados?

4. A Noemí le heredaron un terreno de forma rectangular el testamento dice que el terreno tiene de largo el doble del ancho y que el perímetro es de 90 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?

5. Silvia tiene el doble de años de Luís, más 3. Si la edad de Silvia menos la edad de Luís da como resultado 10, ¿cuántos años tiene cada uno?

58

6. El triple de un número más el mismo número es igual a 20 ¿Cuál es el número?

7. Dos corredores se entrenan en una pista para correr el maratón. Si el corredor A hizo un tiempo x al correr una determinada distancia y el corredor B hizo el doble del tiempo del corredor A, menos 10 minutos. ¿Qué tiempo hizo cada uno, si la suma de los tiempos es de 50 minutos?, comprobar la ecuación.

x+2x−10=503 x=60x=20 mincorredor A :20 mincorredor B :30 min

8. Un número más dos es igual a 20 menos ese número, ¿Cuál es ese número?

9. En un triangulo escaleno, uno de los lados mide el doble mas dos cm. que la base, y el otro lado mide una tercera parte de la base, si el perímetro es 12 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

59

CLASE 16EJERCICIOS, SOLUCION DE ECUACIONES.

Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones.

1. x+3 x−(8+2 x )=248

2. 35+x=2 (15+x )

3. −4 ( x−3 )=2(4−x )

4. 10 x+20=15 x+303

60

5. 5 x+9 x=17

6. 8 x−10 x=10 x+34−10x

7. 8( 3 x4 )=2

5

8. x4+8=5 x

8=5 x− x4

32194

+8=5( 3219 )

8=20 x−x4

3276

+8=16019

32=19 x 32+608

76=160

19

61

x=3219

64076

=16019

9. 3x+5=1

10. 83=1x−2

11. 5x−3

7=2 x+4

3

12. ( x+3 ) ( x+2 )=( x−1 )(x+3)

62

UNIDAD 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L)

CLASE 17SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L)

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO.

En la clase 14 recordamos lo que es una ecuación lineal, en esta clase vamos a recordar lo que es un sistema de ecuaciones lineales.

Situaciones que dan lugar a S.E.L. (Como se obtiene un S.E.L.)Ejemplo. El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30 y si se compran 3 cuadernos y una pluma es de $35. Encuentra el precio de cada artículo.

¿Cómo podemos obtener un S.E.L. y resolverlo? Seguimos los mismos pasos para obtener y resolver una ecuación1. Entender bien el enunciado.2. Identificar la(s) incógnita(s) que por lo general están dadas en la pregunta.3. obtener el modelo matemático, en este caso el modelo matemático es un S.E.L.4. resolver el modelo matemático.5. comprobar el modelo matemático.

Solución: incógnitas: c = precio de cada cuaderno p = precio de cada pluma primera ecuación: 2c + 2p = 30 __1 S.E.L de 2 x 2 (2 ecuaciones y dos incógnitas) segunda ecuación: 3c + 1p = 35 __2

Ahora podemos definir lo que es un S.E.L.Un sistema de ecuaciones lineales es ________________________________________________Indica si los siguientes sistemas de ecuaciones son lineales y de cuanto por cuanto.

a) 2x + 2y = 28 S.E.L. de 2x2 b) 6s – 4 = 4t2 1ecuacion no lineal 3y = 25

c) -6x = 35 3s + 8t – 6r = -8 8 = x2 + y S.E. no L. de 2x2 d) 4s – 8t + r = 3 S.E.L. de 2x3

Resolver un sistema de ecuaciones, es encontrar el valor de las incógnitas que satisfacen las igualdades, a estos valores se les llaman soluciones o raíces de la ecuación.

63

Una solución S.E.L de 2x2 Tiene solución

Infinidad de soluciones No tiene solución

- Método graficoMétodos para - Método de suma o restaresolver S.E.L. - Método de sustitución Vamos a retomar el problema planteado al inicio de clase y resolverlo por el método grafico que es el que veremos en esta clase.

El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30, pero si se compran 3 cuadernos y una pluma se pagan $35. Encuentra el precio de cada artículo.Solución:Incógnitas: cuaderno = c Las ecuaciones nos quedan 2c + 2p = 30 ____1 pluma = p 3c + p = 35 ____2 2c + 2p = 30 _____1 3c + p = 35_______2Despejar una incógnita2c+2 p=302c=30−2 p

c=30−2 p2

=302

−2 p2

=

c=15−p

Despejar una incógnita3c+ p=353c=35−p

c=35−p3

Tabulación. Para graficar una recta mínimo necesito 2 puntos

p c = 15 – p 0 y = 15- (0)= 15- 0 = 1510 y = 15- (10)= 15- 10 = 5

Tabulación. Para graficar una recta mínimo necesito 2 puntosp

c = c=35−p

30

c=35−p3

=35−03

=11.66

10

c=35−p3

=35−103

=253

=8 .33

Grafica. Para las graficas tomar como eje horizontal p (se puede tomar cualquiera, pero para que todos tengamos los mismos ejes hagámoslo de esa manera).Las dos rectas se grafican en el mismo eje coordenado.

64

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14

0

5

10

15

20

La solución es el punto donde se intersecan las rectas. Precio de la pluma __________ Precio del cuaderno __________

Ejercicio 1. Resolver por el método grafico el siguiente S.E.L. de 2x2

7 x+4 y=13 ___ 15 x−2 y=19 ___ 2Solución:

7 x+4 y=13¿1 5 x−2 y=19¿2Despejar una incógnita. Cuando las incógnitas son “x” y “y” se despeja y. 4 y=13−7 x

y=13−7 x4

Despejar una incógnita. Cuando las incógnitas son “x” y “y” se despeja y.−2 y=19−5x

y=19−5x−2

y=(13-7x)/4x y0 3,2510 -14.25

Tabulación

Tabulación.

Grafica

y=(19-5x)/-2x y0 -9,510 15.5

65

x

y

0 2 4 6 8 10

-15

-10

-5

0

5

10

15

La solución es el punto donde se intersecan las rectas.x = _3_________ y = ____-2________

Ejercicio 2. Resolver por el método grafico el siguiente S.E.L. de 2x2

x−2 y=6 ___ 12 x−4 y=5 ___ 2

Solución:x−2 y=6¿ 2 x−4 y=5¿

Despejar una incógnita

−2 y=6−x

y=6−x−2

Despejar una incógnita

−4 y=5−2x

y=5−2x−4

Tabulación

y=(6-x)/-2x y0 -310 2

Tabulación

y=(5-2x)/-4x y0 -1.2510,0 3.75

Grafica

66

x

y

0 2 4 6 8 10

-6

-4

-2

0

2

4

6

La solución es el punto donde se intersecan las rectas.x = __________ y = __________

CLASE 18SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L)

SOLUCION POR EL METODO DE SUMA O RESTA.

Método de suma o resta:

1. Se ordenan las ecuaciones en columnas de acuerdo a las incógnitas.2. Se escoge una incógnita para eliminarla, de preferencia la que tenga un factor igual a 1.3. Se multiplican las ecuaciones por los factores de las incógnitas a eliminar en forma cruzada, a un factor (cualquiera) se le cambia de signo.4. Se realiza la suma o resta y se encuentra la primera incógnita.5. Se sustituye el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la incógnita faltante6. comprobar los resultados en ambas ecuaciones

Ejemplo . El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30, pero si se compran 3 cuadernos y una pluma se pagan $35. Encuentra el precio de cada artículo.

Solución:Incógnitas: cuaderno = c pluma = p

2c + 2p = 30 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3c + p = 35

67

1. 2c + 2p = 30 ____1 3c + p = 35 ____2

2. vamos a eliminar p,

3. 1(2c + 2p = 30) → 2c + 2p = 30 -2(3c + p = 35) → -6c – 2p = -70 ____________4. -4c = -40 c = -40/-4 c = 10

5. sustituyendo c en ec. 2 3c + p = 35 p = 5

cada cuaderno vale $10 y cada pluma vale $5

6. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 2

2c + 2p = 30 3c + p = 35 2(10) + 2(5) =30 3(10) + 5 = 3520 + 10 = 30 30 + 5 =35 30 = 30 35 = 35

Ejercicio 1. En un laboratorio de biología se van a comprar tubos de ensayo y probetas, la tienda dice que diez tubos de ensayo y cuatro probetas cuestan $62, y tres tubos de ensayo y cinco probetas cuestan $30, ¿Cuánto cuesta cada producto?

Solución:Incógnitas: Tubos de ensayo = t probetas = p

10t + 4p = 62 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3 t + 5p = 30

1. 10t + 4p = 62____1 3 t + 5p = 30 ____2

2. Eliminar p

3. 5(10t + 4p = 62) → 50t + 20p = 310 -4(3 t + 5p = 30) → -12t - 20p = -120 ____________

68

4. 38t = 190 t = 190/38 t = 5

5. Sustituyendo t en ec. 2 3(5) + 5p = 30

15 + 5p = 30 5p = 15

p = 3

cada tubos de ensayo vale $5 y cada probeta vale $3

6. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 210t + 4p = 62 3 t + 5p = 3010(5) + 4(3) = 62 3(5) + 5(3) = 3050 + 12 =62 15 + 15 = 30

62 = 62 30 = 30

Ejercicio 2. Rosa y julia tienen ahorrado entre las dos $40, Rosa tiene el doble de lo que tiene julia más $7 ¿Cuánto tiene ahorrado cada una?

Solución:Incógnitas: Dinero ahorrado de Rosa = R Dinero ahorrado de Julia = J

R + J = 40 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas R = 2J +7

1. R + J = 40____1 R – 2J = 7 ____2

2. vamos a eliminar R

3. 1(R + J = 40) → R + J = 40 -1(R - 2J = 7) → -R + 2J = -7 ____________4. 3J = 33 J = 33/3

J = 11

69

5. sustituyendo J en ec. 1 R + J = 40 R + 11 = 40 R = 40 - 11R = 29

Rosa tiene ahorrado = $29 y Julia tiene ahorrado $11

6. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 2R + J = 40 R – 2J = 729 + 11 = 40 29 – 2(11) =7 40 = 40 29 – 22 = 7

7 = 7

Ejercicio 3. Resuelve el siguiente S.E.L. x = 3 + 2y _______ 1 -4y = 6 - 3x _______ 2Solución:Incógnitas: x, y

x – 2y =3 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3x – 4y = 6

1. x – 2y = 3____1 3x – 4y = 6____2

2. vamos a eliminar x

3. 3( x – 2y = 3) → 3x – 6y = 9 -1(3x – 4y = 6) → -3x + 4y = -6 ____________4. -2y = 3 y = 3/-2

y = -1.5

5. sustituyendo y en ec. 1 x – 2y = 3x – 2(-1.5) = 3x + 3 = 3x = 0

70

6. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 2x – 2y = 3 3x – 4y = 6 – 2(-1.5) = 3 3(0) – 4(-1.5) = 6

6 = 6

CLASE 19SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SOLUCION POR EL METODO DE SUSTITUCION.

Método de sustitución:

1. Se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones (de preferencia la que tenga un factor igual a 1)2. La incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación para obtener el valor de esta incógnita.3. Se sustituye el valor de la incógnita obtenida en el paso 2 en cualquier ecuación original para obtener el valor de la incógnita restante.4. comprobar los resultados en ambas ecuaciones

Ejemplo. Resolver por el método de sustitución el siguiente S.E.L.

x – y = 6 ____ 1 S.E.L. de 2 x 2 3x + y = 2 ____ 2 (Sistema de 2 ecuaciones con 2) incógnitas

Solución:

1. despejamos x de la ecuación 1 x = 6 + y

2. sustituimos x en la ecuación 2 3(6 + y) + y = 2 18 + 3y + y = 2 4y = 2 - 18

y= -16

71

y = - 4

3. sustituimos y en la ecuación 1 x - (- 4) = 6x + 4 = 6x = 6 - 4x = 2


x – y = 6 3x + y = 2 2 – (-4) = 6 3(2) + (-4) = 22 + 4 = 6 6 – 4 = 2

6 = 6

Ejercicio 1. Resolver por el método de sustitución el siguiente S.E.L.

__ 1

__ 2

Solución:1. despejamos x de la ecuación 1

2. sustituimos x en la ecuación 2

72

x−1=27

x+ y=14

x−1=27

x=27

+1

x=2+77

x=97

x+ y=14

97

+ y=14

y=14

−97

y=7−3628

y=−2928

y=−2928


x+ y=14

97

+(−2928 )=1

497

−2928

=14

36−2928

=14

728

=14

14

=14

Ejercicio 2. 9x – 3y = 2411x + 2y = 1

Solución.

1. despejamos x de la ecuación 1

9 x−3 y=249 x=24+3 y

x=24+3 y9

73

x−1=27

97

−1=27

9−77

=27

27

=27

2. sustituimos x en la ecuación 2

11 x+2 y=1

11(24+3 y9 )+2 y=1

264+33 y9

+2 y=1

264+33 y9

=1−2 y

264+33 y=(1−2 y )9264+33 y=9−18 y33 y+18 y=9−26451 y=−255

y=−25551

y=−5

3. sustituimos y en la ecuación 1

9x - 3y = 249x-3 (-5 )=249x+15=249x=24−15

x=99

x=1


9 x+3 y=249(1 )−3(−5 )=249+15=2424=24

11 x+2 y=111(1 )+2(−5 )=111−10=11=1

Ejercicio 3. Del siguiente enunciado obtener el S.E.L. y resolverlo por el método de sustitución. La edad de Juan es el doble que la de Pedro y ambas suman 15, ¿Qué edad tiene cada uno?

Solución:Incógnitas: Edad de Juan → J Edad de Pedro → M

J = 2P ____ 1 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

74

J + P = 15 ____ 21.

2. sustituimos J en la ecuación 2 (2P) + P = 15

3P = 15 P = 15/3 P = 5

3. sustituimos P en la ecuación 1 J = 2P J = 2(5)J = 10

4. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 2 J = 2P J + P = 1510 = 2(5) 10 + 5 = 1510 = 10 15 = 15

Ejercicio 4. Resolver por el método de sustitución el siguiente ejercicio:Don Juan compro 30 animales para su granja (patos y chivos), si por cada pato pago $20 y por cada chivo $120 y en total gasto $3000, ¿Cuántos patos y cuantos chivos compro?

Solución:

p + ch = 30 ___ 120p + 120ch = 3000 ___ 2

75

1. despejamos p de la ecuación 1 p=30−ch

2. sustituimos p en la ecuación 2

20(30−ch )+120 ch=3000600−20 ch+120 ch=3000100 ch=3000−600

ch=2400100

ch=24

3. sustituimos ch en la ecuación 1

p+ch=30p+24=30p=30−24p=6

Se compraron 24 chivos y 6 patos


p+ch=3024+6=3030=30

20 p+120ch=300020(6 )+120(24 )=3000120+2880=30003000=3000

UNIDAD 5: ECUACIONES CUADRATICAS

CLASE 20ECUACION CUADRATICA (PARTE 1)

SITUACIONES QUE DAN LUGAR A ECUACIONES CUADRATICAS.

¿De dónde se obtiene una ecuación cuadrática?Hay ocasiones en el que modelando un problema nos encontramos con una ecuación cuadrática,

76

veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo. Obtén el modelo matemático que represente las siguientes situaciones.

1. ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado que tiene un área (superficie) de 100 m2?

Solución.

A=lado∗lado100=x (x )100=x2

0=x2−100

2. ¿Cuánto miden los lados de un terreno rectangular cuyo largo es 10 m mayor que elancho y el área es de 600 m2

Solución.

A=lado∗lado600=x ( x+10 )600=x2+10 x0=x2+10 x−600

Una ecuación cuadrática tiene este nombre porque su incógnita elevada a la mayor potencia esta elevada al cuadrado, también se le llama ecuación de 2° grado.

La forma general de una ecuación cuadrática con una incógnita es una ecuación de la forma:ax2 + bx+c = 0 en donde a, b, y c son números reales con a ≠ 0

En el ejemplo 1 obtuvimos la ecuación cuadrática _________________________¿Está en su forma completa?______ ¿Qué termino le falta?______________a: _________ b:__________ c:__________

En el ejemplo 2 obtuvimos la ecuación cuadrática _________________________¿Está en su forma completa?______ a: _________ b:__________ c:__________

Una ecuación cuadrática tiene 2 soluciones o raícesA continuación vamos a ver cómo obtener las soluciones de las ecuaciones cuadráticas. Caso 1 (La ecuación está incompleta): ax2 + c = 0Caso 2 (La ecuación está incompleta): ax2+bx = 0Caso 3 (La ecuación está completa): ax2 + bx +c = 0

En esta clase estudiaremos los casos 1 y 2

77

Ejemplos del caso 1

Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones y comprobarlas

a) x2 -16 = 0 Comprobación

b) 4 x2−3=2

c) x2+4=0

Ejemplos del caso 2

a) x2+2 x=0

78

b)

12x2−3

5x=0

Ejercicios. Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas y comprobarlas

1. 2 x2−160=0

2. 2 x2+162=0

3.

45x2− 1

4x=0

79

4. 2 x2=3 x

5. Cuatro veces el cuadrado de un numero menos 144 es igual a cero. Obtén el número.

r= 6 y-6

6. Se desea cercar un terreno de forma cuadrada que tiene una superficie de 400 m2,

¿Cuántos metros de tela de alambre se necesitan?

r= 80 m

CLASE 21ECUACION CUADRATICA (PARTE 2)

FORMULA GENERAL

En la clase anterior vimos como resolver ecuaciones de 2º grado de la formaCaso 1. ax2 + c = 0

80

Caso 2. ax2+bx = 0

En esta clase aprenderemos a solucionar ecuaciones de la forma

Caso 3. ax2 + bx +c = 0

por medio de la formula general: x=−b±√b2−4ac2a

las soluciones de la ecuación son:

x1=−b+√b2−4 ac

2a x2=

−b−√b2−4ac2a

Ejemplos: obtener las raíces y comprobar el resultado de las siguientes ecuaciones:

a) x2=16x−63

b) 6 x−x2=9

c) 0=2x2−3 x+3

81

d) x2=3x−4

e) 3 x2−2 x2+8 x=x−12

f)3 x2−5 x=−2

g) x (3 x+5 )−2=8

82

h) 12=(3+2 x )x

i) x2=−15x−56

j) 12+23 x=−5 x2

83

mis clases de matematicas 1

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