clases iv de matematicas iv
DESCRIPTION
Clases IV de Matematicas IVTRANSCRIPT
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASClase 4
ECUACIONES DIFERENCIALES TRAYECTORIAS ORTOGONALESAUTOR:Lic. Armando Velsquez Romero
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Dada una familia de curvas planas:
(1)uniparamtrica, se define trayectorias ortogonales a las curvas que en cada uno de sus puntos forman un ngulo constante 90 con cada una de las curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto.Para encontrar las trayectorias ortogonales .Se hace lo siguiente:a. Dado
b. Formamos la ecuacin diferencial de (1)
c. Luego, la familia de trayectorias ortogonales tendrn la forma
d. La integral general de esta ltima ecuacin diferencial nos proporciona las trayectorias ortogonales
Problema 11: Encuentre la familia de trayectorias ortogonales a todas las rectas que pasan por el origen.
Solucin:
i) (2)ii) Derivando (1)
Luego en (2)
iii) para las trayectorias ortogonales
(3)
iv) Resolviendo (3)
Integrando
Donde constante.
(Familia de circunferencias)Problema 12:
Encuentre las trayectorias ortogonales para la familia de curvas
donde es un parmetroSolucin
... (1)
Derivando
Reemplazo en (1)
(sta es la ecuacin diferencial si resuelvo (1))Para las trayectorias ortogonales
Luego ser . La integral general de esta ltima ecuacin diferencial nos proporciona la familia de trayectorias ortogonales
Integrando
COORDENADAS POLARES
FIGURA 1(1) Angulo entre el radio vector y la tangente:
(2) Longitud de la subtangente
(3) Longitud de la subnormal
(4) Longitud de la perpendicular del polo a la tangente:
(5) Elemento de longitud de arco Elemento de rea:
NOTA: Cuando aumenta con , es positiva como la figura y es agudo, entonces la subtangente OT es positiva y se mide hacia la derecha de un observador que desde O mire en la direccin OP.Algunas demostraciones
(1) Sea , las coordenadas polares de un punto .Sea el ngulo formado por la tangente y el radio vector del punto entonces segn el grafico:
Entonces
EMBED Equation.3 (2) En el tringulo de la figura 1:
Problema 13:Encontrar la ecuacin de una curva, para el cual el segmento de la tangente comprendida entre el punto de contacto y el pie de la perpendicular trazado por el polo a la tangente es del radio vector del punto de contacto.
En la figura
Pero (ecuacin diferencial)
Resolviendo por separacin de variables:
Problema 14:Hallar la curva para el cual la subnormal polar es el doble del seno del ngulo vectorial (Segunda Prctica Calificada UNI FIC 96-3)
Segn el grfico (figura 1) se tiene:
Subnormal
(Ecuacin diferencial). Al resolver por separacin de variables:
Problema 15:Demostrar que la subtangente polar es
Segn el grafico (figura 1) subtangente polar
Problema 16:Una bala se introduce en una tabla de de espesor con una velocidad de pasando con una velocidad . Suponiendo que la resistencia de la tabla es proporcional al cuadrado de su velocidad encuentre el tiempo del movimiento de la bala en la tabla.Solucin:
(1)
En (1) tenemos:
Que se escribe como . Integrando y evaluando:
,
De
Problema 17:
Se sabe que la poblacin de un estado crece a una velocidad proporcional al nmero de habitantes que viven actualmente en el estado, si despus de 10 aos la poblacin se ha triplicado y despus de 20 aos la poblacin es de 150000 habitantes, hallar el nmero de habitantes que haba inicialmente en el estado.Solucin:Sea el nmero de habitantes que vive en el estado en el tiempo
; ;
aproximadamente.Es decir, inicialmente, segn el modelo haba 16,667 habitantes en el estado.
Problema 18:Hallar la ecuacin de una curva que cumpla la siguiente condicin: la recta tangente a la curva en cualquier punto y el segmento que une el origen con el punto forman un tringulo de rea igual a .Solucin:
Dndole forma
Es lineal en la variable y se resuelve con antes. La solucin general es:
Problema 19:Dos pueblos y estn directamente opuestos el uno del otro en las riberas de un rio de ancho D, el cual corre hacia el oriente (paralelos al eje positivo) con una velocidad constante un bote que sale del pueblo A viaja con una velocidad constante V siempre dirigido hacia el pueblo B.a) La trayectoria del bote est dada por la ecuacin paramtrica
b) A qu punto de la orilla opuesta llega el bote si
Solucin:a)
Del grfico:
adems
Entonces se tiene
Se tiene una ecuacin diferencial homognea:
Haciendo ;
Usando la condicin inicial se obtiene la solucin el cual es
Volviendo a las variables originales:
Si elevamos al cuadrado y considerando simplificando trminos se obtiene
b) Si el bote llega al punto . Es decir no llega al pueblo .Problema 20:De acuerdo a la Teora especial de la relatividad de Einstein, la masa de una partcula vara con su velocidad de acuerdo a la frmula donde es la masa en el reposo y es la velocidad de la luz. La ecuacin diferencial del movimiento es
Si una partcula parte del reposo en y se mueve en una lnea recta, estimulada por una fuerza constante , Qu distancia cubrir y cul ser la velocidad en el tiempo ? Muestre que a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de la partcula se acerca a la velocidad de la luz.
Solucin:
constante; . Integrando tenemos
. De acuerdo a las condiciones iniciales
cuando implica .
Operando y de aqu despejamos con lo que se obtiene:
Que es la respuesta a la primera parte del enunciado.
Ahora, de implica despejamos
Para integrar hacemos el cambio de variables entonces da
=
La condicin para nos permite hallar y as tenemos la solucin para la posicin de la partcula en el tiempo
Tambin
EMBED Equation.3 Problema 21:
Cuando se impone cierta cantidad de dinero al por ciento de inters compuesto continuo, se tiene
donde es la cantidad de dinero despus de aos. Qu tiempo se necesita para duplicar una cantidad de dinero impuesta al de inters compuesto continuo?
Solucin:
Tenemos
Las condiciones iniciales: Para es ; Para es
Encontrando por lo que
Tambin: Para
Luego el tiempo necesario para duplicar tal cantidad de dinero impuesta al de inters compuesto continuo es 13.86 aos 13 aos 10 meses 10 das.Problema 22:
De acuerdo con la Ley de Kirchhoff, un circuito elctrico simple (ver figura) que contiene un resistor con resistencia de ohm y un inductor de (henrys), en serie con una fuente de fuerza electromotriz (batera o generador) que proporciona un voltaje de voltios en el tiempo , satisface la igualdad
donde es la corriente medida en amperes. Considere el circuito con henrys, 6 ohmios y un generador de corriente alterna que proporciona un voltaje . Si cuando encuentre en el momento y observe el comportamiento para valores grandes de .Solucin:
Reemplazando los valores dados en la ecuacin diferencial:
O lo que es lo mismo:
Tenemos una ecuacin diferencial lineal en . El factor integrante es:
Multiplicando por este factor integrante se obtiene la derivada de un producto en el primer miembro:
Integrando:
Al integrar produce la corriente :
De las condiciones iniciales cuando nos da
Con lo que en definitiva tenemos la corriente :
Para grandes valores de , resulta despreciable por lo que
Esta es una corriente alterna con la misma frecuencia que el voltaje impuesto.
TRAYECTORIAS ISOGONALES
Si tenemos una familia de curvas planas
(1)La curva que en cada uno de sus puntos forman un ngulo constante con las curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto se llama trayectoria isogonal.Se puede demostrar que la ecuacin diferencial de las trayectorias isogonales tiene la forma
Ejemplo:
Determinar la familia que forman un ngulo constante de con la familia de elipses:
(*)
Solucin:
Diferenciando (*):
Al reemplazar en (1) se tiene
Reemplazando este valor de en (*) tenemos:
Luego, como tendremos:
Escribiendo en la forma se tiene:
es una ecuacin homognea. Para resolver hacemos y entonces tenemos la solucin general:
TRAYECTORIAS ORTOGONALES EN COORDENADAS POLARESLas curvas polares son ortogonales en un punto de interseccin si y solo si:
Habamos visto que si es el ngulo formado por la recta tangente y el radio vector entonces
Ejemplo 1:
Encuentre las trayectorias ortogonales a (1)
Derivando: (2)Remplazando en (1): esta ecuacin en (2):
En (2)
Para las trayectorias ortogonales (E. diferencial)Resolviendo por separacin de variables: que es la ecuacin de la familia de trayectorias ortogonales.
Ejemplo 2:
Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de curvas:
(1)
Derivando . Luego al reemplazar en (1) se obtiene . Para las trayectorias ortogonales: . Integrando
Al escribir y simplificar tomando exponenciales se tiene:
que es la familia de trayectorias ortogonales solicitada.
Este problema tambin lo podramos haber resuelto usando en coordenadas rectangulares: Veamos: . Las formulas de transformacin son:
Considerando que tenemos . O sea tenemos la ecuacin cartesiana de la curva polar: (1)Derivando:
El cual se escribe como .
De esta ltima ecuacin se tiene que (2)De la ecuacin (1) se obtiene y al reemplazar en (2) tenemos:
Para las trayectorias ortogonales hacemos
Con lo que queda: (ecuacin diferencial a resolver). Escribiendo en la forma:
Que es una ecuacin diferencial homognea. El cambio la transforma en una ecuacin de variables separables:
Para la ultima integral hacemos: cambio que conduce a
Tomando funcin exponencial se tiene
De la ltima ecuacin se obtiene
Ejemplo 3:
Encuentre la constante para que las curvas y sean ortogonales.
Solucin:
Tenemos
Diferenciando
Para las trayectorias ortogonales:
Entonces tenemos la ecuacin diferencial a resolver:
Integrando:
que lo escribimos como
De all podemos deducir que .PROBLEMAS PROPUESTOS
1) En cada punto de una curva la interseccin de la tangente con el eje es igual a . Encuentre la familia de curvas.
2) Una familia de curvas tiene la propiedad de que la lnea tangente a cada curva en el punto , el eje y la lnea que une con el origen, forman un triangulo issceles con la lnea tangente como base:
a) Determine una ecuacin para la familia.
b) Aquel miembro particular que pasa por el punto (2,0).
3) Determinar la funcin tal que que cumple la condicin: El rea limitada por la tangente a la curva en cualquier punto , el eje y el radio vector del punto es igual a una constante cuyo valor es 4.
4) Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada por: . Grafique algunos miembros de cada familia.
5) Encuentre la constante a para que la familia de curvas y sean ortogonales.
6) Encuentre las trayectorias ortogonales a las familias (a es un parmetro)
a)
b)
7) Hallar la ecuacin diferencial de la familia de curvas .
8) Mostrar que la familia donde a y b son constantes dadas, es as mismo ortogonal. Esta es denominada una familia de cnicas confocales
9) Un cuerpo se mueve en una lnea recta con aceleracin constante a, si v0 es la velocidad inicial, v es la velocidad y s es la distancia viajada despus de un tiempo t. Muestre que
a) b) c)
10) Una masa m se lanza hacia arriba con una velocidad inicial La resistencia del aire es proporcional a su velocidad instantnea, siendo k la constante de proporcionalidad. Muestre que la altura mxima conseguida es
11) Se tienen n tanques interconectados dos a dos con 2 m3 de solucin y con 1 Kg de soluto cada uno. Si al primer tanque ingresa agua pura a razn de 1m3 por minuto y de ste pasa al segundo a la misma tasa, del segundo al tercero y as sucesivamente a la misma tasa. Hallar la cantidad de sal en el tanque ensimo en el instante t.
12) Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solucin salina con 1/8 de lb de sal por galn. En el instante inicial otra solucin salina que contiene 1 lb de sal por galn se agrega al tanque a una velocidad de 4 galones por minuto, mientras que una solucin bien mezclada sale del tanque a una velocidad de 8 galones por minuto. Hallar la cantidad de sal en el tanque cuando este contenga exactamente 40 galones de solucin. 13) Un cuerpo de masa cae desde una altura con la velocidad v. Durante la cada el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar la ley del movimiento. RESOLUCIN DEL EXAMEN PARCIAL MATEMTICA IV FIC 2007-1La prueba fue tomada el 16 Mayo del 2007Primer enunciado:
Resolver
Solucin:
Usando el mtodo de las ecuaciones exactas . La solucin de la ecuacin diferencial planteada es
Segundo enunciado:
Un depsito esfrico de 3 metros de radio est lleno de un lquido hasta una altura de 3 metros. Calcular el tiempo de salida del lquido del depsito, si este presenta un orificio de 2 centmetros de radio a una altura de 1 metro. Considere que el coeficiente de descarga es 0.5 y que .Solucin:
El modelo es
Reemplazando se tiene:
Integrando:
es el tiempo que demora en vaciarse el depsito ( esta dado en segundos). Integrando:
Tercer enunciado:
Se pide calcular la ecuacin de una curva que pase por el punto y que goce de la siguiente propiedad:Si por un punto se traza una tangente a la curva, sta corta al eje X en un punto que equidista de y de
Solucin:
La ecuacin de la recta tangente en es
Sea . Entonces con lo que
Como
Escribiendo en la forma
Tenemos . La ecuacin no es exacta. Sea un factor integrante. Entonces es exacta. Usando la expresin resulta que . Luego:
es una ecuacin diferencial exacta. Resolviendo por los mtodos explicados se obtiene la solucin general:
Usando el hecho que es un punto de la curva solucin se tiene . Finalmente la solucin del problema planteado es
Cuarto enunciado:
Resolver la ecuacin diferencial
La ecuacin diferencial es segundo orden. Usando el mtodo de reduccin de orden. Puesto que en la ecuacin no aparece la variable independiente la ecuacin corresponde al tercer caso.
Integrando se obtiene
Diferenciando
Finalmente integrando se obtiene la solucin paramtrica:
Quinto enunciado:
Hallar las soluciones de
Solucin:La ecuacin es de grado superior: con lo que se obtiene:
(*)Ahora, diferenciando:
Agrupando y factorizando:
De esta factorizacin se tiene
De la ecuacin (2) se obtiene integrando y que al reemplazar en la ecuacin (1) se tiene la solucin general:
Al reemplazar (1) en (*) se obtiene la solucin singular:
EMBED Equation.3
_1299773566.unknown
_1299792008.unknown
_1299851961.unknown
_1300129805.unknown
_1300175695.unknown
_1300176558.unknown
_1300176891.unknown
_1300248179.unknown
_1300248372.unknown
_1300248420.unknown
_1300177033.unknown
_1300177076.unknown
_1300176763.unknown
_1300176857.unknown
_1300176677.unknown
_1300176439.unknown
_1300176535.unknown
_1300176326.unknown
_1300175263.unknown
_1300175598.unknown
_1300175659.unknown
_1300175562.unknown
_1300129974.unknown
_1300174950.unknown
_1300175129.unknown
_1300130093.unknown
_1300130080.unknown
_1300129892.unknown
_1300129666.unknown
_1300129751.unknown
_1300129770.unknown
_1300129781.unknown
_1300129790.unknown
_1300129760.unknown
_1300129698.unknown
_1300129717.unknown
_1300129726.unknown
_1300129708.unknown
_1300129675.unknown
_1300129670.unknown
_1299963392.unknown
_1300123128.unknown
_1300123154.unknown
_1300129650.unknown
_1300031976.unknown
_1299852037.unknown
_1299852196.unknown
_1299852306.unknown
_1299852403.unknown
_1299852109.unknown
_1299852014.unknown
_1299792497.unknown
_1299792618.unknown
_1299851399.unknown
_1299851569.unknown
_1299851857.unknown
_1299851917.unknown
_1299851752.unknown
_1299851499.unknown
_1299851536.unknown
_1299851434.unknown
_1299792653.unknown
_1299850417.unknown
_1299851372.unknown
_1299792670.unknown
_1299792681.unknown
_1299792754.unknown
_1299792675.unknown
_1299792660.unknown
_1299792640.unknown
_1299792646.unknown
_1299792628.unknown
_1299792556.unknown
_1299792581.unknown
_1299792600.unknown
_1299792610.unknown
_1299792591.unknown
_1299792569.unknown
_1299792575.unknown
_1299792562.unknown
_1299792528.unknown
_1299792541.unknown
_1299792550.unknown
_1299792534.unknown
_1299792513.unknown
_1299792521.unknown
_1299792506.unknown
_1299792353.unknown
_1299792437.unknown
_1299792469.unknown
_1299792484.unknown
_1299792490.unknown
_1299792478.unknown
_1299792447.unknown
_1299792463.unknown
_1299792445.unknown
_1299792387.unknown
_1299792412.unknown
_1299792417.unknown
_1299792401.unknown
_1299792374.unknown
_1299792381.unknown
_1299792364.unknown
_1299792171.unknown
_1299792288.unknown
_1299792299.unknown
_1299792308.unknown
_1299792293.unknown
_1299792274.unknown
_1299792283.unknown
_1299792182.unknown
_1299792055.unknown
_1299792156.unknown
_1299792164.unknown
_1299792071.unknown
_1299792020.unknown
_1299792035.unknown
_1299792043.unknown
_1299792026.unknown
_1299792014.unknown
_1299791331.unknown
_1299791839.unknown
_1299791922.unknown
_1299791951.unknown
_1299791963.unknown
_1299791991.unknown
_1299791957.unknown
_1299791936.unknown
_1299791945.unknown
_1299791929.unknown
_1299791885.unknown
_1299791904.unknown
_1299791914.unknown
_1299791892.unknown
_1299791868.unknown
_1299791875.unknown
_1299791852.unknown
_1299791768.unknown
_1299791796.unknown
_1299791818.unknown
_1299791833.unknown
_1299791806.unknown
_1299791781.unknown
_1299791787.unknown
_1299791775.unknown
_1299791514.unknown
_1299791648.unknown
_1299791761.unknown
_1299791528.unknown
_1299791399.unknown
_1299791457.unknown
_1299791349.unknown
_1299789785.unknown
_1299790625.unknown
_1299791007.unknown
_1299791162.unknown
_1299791315.unknown
_1299791140.unknown
_1299790712.unknown
_1299790906.unknown
_1299790685.unknown
_1299790654.unknown
_1299789949.unknown
_1299790348.unknown
_1299790525.unknown
_1299790058.unknown
_1299789842.unknown
_1299789918.unknown
_1299789821.unknown
_1299774036.unknown
_1299789491.unknown
_1299789651.unknown
_1299789770.unknown
_1299774274.unknown
_1299774408.unknown
_1299774448.unknown
_1299774463.unknown
_1299774488.unknown
_1299774426.unknown
_1299774336.unknown
_1299774112.unknown
_1299774250.unknown
_1299774062.unknown
_1299773740.unknown
_1299773962.unknown
_1299774017.unknown
_1299773902.unknown
_1299773676.unknown
_1299773697.unknown
_1299773624.unknown
_1299737105.unknown
_1299737545.unknown
_1299737734.unknown
_1299737793.unknown
_1299773241.unknown
_1299773317.unknown
_1299773324.unknown
_1299773258.unknown
_1299737807.unknown
_1299737828.unknown
_1299737889.unknown
_1299737894.unknown
_1299737871.unknown
_1299737822.unknown
_1299737799.unknown
_1299737766.unknown
_1299737779.unknown
_1299737786.unknown
_1299737772.unknown
_1299737751.unknown
_1299737759.unknown
_1299737740.unknown
_1299737629.unknown
_1299737702.unknown
_1299737715.unknown
_1299737722.unknown
_1299737708.unknown
_1299737665.unknown
_1299737680.unknown
_1299737638.unknown
_1299737656.unknown
_1299737576.unknown
_1299737590.unknown
_1299737596.unknown
_1299737582.unknown
_1299737565.unknown
_1299737571.unknown
_1299737551.unknown
_1299737285.unknown
_1299737391.unknown
_1299737484.unknown
_1299737531.unknown
_1299737537.unknown
_1299737493.unknown
_1299737426.unknown
_1299737431.unknown
_1299737398.unknown
_1299737315.unknown
_1299737329.unknown
_1299737385.unknown
_1299737324.unknown
_1299737302.unknown
_1299737308.unknown
_1299737292.unknown
_1299737174.unknown
_1299737212.unknown
_1299737228.unknown
_1299737246.unknown
_1299737217.unknown
_1299737200.unknown
_1299737206.unknown
_1299737194.unknown
_1299737144.unknown
_1299737162.unknown
_1299737168.unknown
_1299737156.unknown
_1299737132.unknown
_1299737138.unknown
_1299737116.unknown
_1299736633.unknown
_1299736885.unknown
_1299737045.unknown
_1299737079.unknown
_1299737090.unknown
_1299737096.unknown
_1299737084.unknown
_1299737062.unknown
_1299737073.unknown
_1299737057.unknown
_1299736991.unknown
_1299737011.unknown
_1299737016.unknown
_1299737006.unknown
_1299736907.unknown
_1299736981.unknown
_1299736893.unknown
_1299736744.unknown
_1299736828.unknown
_1299736858.unknown
_1299736880.unknown
_1299736863.unknown
_1299736842.unknown
_1299736763.unknown
_1299736811.unknown
_1299736758.unknown
_1299736665.unknown
_1299736721.unknown
_1299736739.unknown
_1299736733.unknown
_1299736701.unknown
_1299736648.unknown
_1299736656.unknown
_1299736641.unknown
_1298869440.unknown
_1298870868.unknown
_1298872982.unknown
_1299148657.unknown
_1299558336.unknown
_1299732630.unknown
_1299732717.unknown
_1299732772.unknown
_1299736575.unknown
_1299732739.unknown
_1299732753.unknown
_1299732641.unknown
_1299732684.unknown
_1299732613.unknown
_1299732321.unknown
_1299178944.unknown
_1299273356.unknown
_1299275067.unknown
_1299276742.unknown
_1299274169.unknown
_1299181205.unknown
_1299149020.unknown
_1298873299.unknown
_1298999524.unknown
_1299035294.unknown
_1298998266.unknown
_1298997606.unknown
_1298873256.unknown
_1298873281.unknown
_1298873095.unknown
_1298871981.unknown
_1298872164.unknown
_1298872183.unknown
_1298872057.unknown
_1298870994.unknown
_1298871911.unknown
_1298870890.unknown
_1298869961.unknown
_1298870409.unknown
_1298870431.unknown
_1298870717.unknown
_1298870424.unknown
_1298870278.unknown
_1298870293.unknown
_1298870265.unknown
_1298869672.unknown
_1298869717.unknown
_1298869908.unknown
_1298869692.unknown
_1298869536.unknown
_1298869647.unknown
_1298869480.unknown
_1298564710.unknown
_1298565470.unknown
_1298623577.unknown
_1298623638.unknown
_1298628849.unknown
_1298629091.unknown
_1298625663.unknown
_1298623602.unknown
_1298566669.unknown
_1298567830.unknown
_1298569797.unknown
_1298567516.unknown
_1298566633.unknown
_1298565038.unknown
_1298565086.unknown
_1298565004.unknown
_1298539559.unknown
_1298564436.unknown
_1298564625.unknown
_1298564642.unknown
_1298564605.unknown
_1298564346.unknown
_1298564383.unknown
_1298539596.unknown
_1298563953.unknown
_1298539579.unknown
_1238403411.unknown
_1238403884.unknown
_1298539006.unknown
_1298539147.unknown
_1238404065.unknown
_1298538737.unknown
_1238403971.unknown
_1238403799.unknown
_1238403827.unknown
_1238403468.unknown
_1238402965.unknown
_1238403233.unknown
_1238403339.unknown
_1238403120.unknown
_1238402659.unknown
_1238402833.unknown
_1238402484.unknown