metricki prostori

METRIKI PROSTORI 0

METRIKI PROSTORIime Ungar

http://www.mathos.unios.hr/~sime/

Literatura:S.Mardei. Matematika analiza, 1. dio, kolska knjiga, Zagreb, 1974.. Ungar. Matematika analiza 3, PMF-Matematiki odjel, Zagreb, 2002.http://web.math.pmf.unizg.hr/~ungar/NASTAVA/MA/Analiza3.pdf

W.A. Sutherland. Introduction to metric and topological spaces,Claredon Press, Oxford, 1975.

17. oujka 2015.

METRIKI PROSTORI 11. MALO REALNE ANALIZE PONAVLJANJE

to elimo ovim kolegijem?Naprimjer: Znamo da ako je f neprekidna realna funkcija nasegmentu [a, b] onda je ona omeena, tj. postoji broj M > 0 takavda je |f (x)| < M za sve x [a, b]. Ali to isto vrijedi i ako je ffunkcija dviju varijabli definirana na [a, b] [c, d ].A isto tako i za funkcije vie varijabli.Postavlja se pitanje: Dokle to moemo generalizirati? I zato?

Utedane treba vriti ponavljanja u slinim situacijama.Jedinstven misaoni procespogled na ideju, bez suvinestrukture.U dokazu se uoavaju tono ona svojstva koja su nuna, a nesluajno prisutna.

METRIKI PROSTORI 21. MALO REALNE ANALIZE PONAVLJANJE

1 MALO REALNE ANALIZE PONAVLJANJE

Oznake i terminologijaRealni brojeviNizovi realnih brojevaLimes funkcijeNeprekidnost

17. oujka 2015.

METRIKI PROSTORI 31. MALO REALNE ANALIZE PONAVLJANJE 0. OZNAKE I TERMINOLOGIJA

Oznake i terminologija

Podsjetimo se nekih oznaka i terminologije koju emo rabiti:f : X Y domena / kodomena itaj: f sa X u Yf (x) je vrijednost funkcije f u toki x , f (x) Ysin x nije funkcija! To je vrijednost funkcije sin : R R u toki x Rf (A) := {f (x) : x A} gdje je A podskup od X ,

dakle f (A) Y i naziva se slika skupa ASlika funkcije f je skup f (X ) YGraf funkcije f je skup f := {(x , f (x)) : x X } X Yinjekcija / surjekcija / bijekcijaidentiteta id : X X , ili 1 : X X , ili 1X : X X : id(x) = x , x Xkonstantna funkcija c : X Y za koju je c(x) = c(x ) za sve x , x XPraslika skupa B Y je skup f 1(B) := {x X : f (x) B} X

bez obzira postoji li funkcija f 1 ili ne![rabi se i oznaka f(B) posebno f(y) za f 1(y) f 1({y })kada f 1, kao funkcija s Y u X , ne postoji.]

METRIKI PROSTORI 41. MALO REALNE ANALIZE PONAVLJANJE 0. OZNAKE I TERMINOLOGIJA

Oznake i terminologija 2

Kompozicija funkcija f : X Y i g : Y Z je g f : X Zdefinirana s (g f )(x) := g(f (x)) i pie se g f (x) ili (g f )(x)

Za A X inkluzija : A X je dana s (x) = x , x AZa f : X Y i A X restrikcija f |A : A Y je definirana s

(f |A)(x) := f (x), x AStandardne oznake za neke skupove: prazan skup

skupovi brojeva: N, Z, Q, R, Cintervali: a, b, [a, b], a, b], [a, b, , b], itd. R

(uvijek pretpostavljamo da je a 6 b)Operacije sa skupovima: A B,

IA, A B,

I

A, A \ B

DOGOVOR: Kada je AB 6= govorit emo da skupovi A i B se sijekuili da A sijee B. Kada je AB = kaemo da su A i B disjunktni.

METRIKI PROSTORI 51. MALO REALNE ANALIZE PONAVLJANJE 1. REALNI BROJEVI

Realni brojevi(a) geometrijski: toke na pravcu(b) decimalni brojevi (beskonani decimalni zapis)Ali niti jedno od toga nije dovoljno precizno za (matematiku) analizu.Potreban je aksiomatski pristup:Realni brojevi su potpuno ureeno polje,tj. ureeno polje u kojem vrijedi i Cantorov aksiom potpunosti:1

Svaki neprazan odozgo omeen skup ima supremum.2

Aksiom potpunosti je kljuno svojstvo zbog kojeg seskup racionalnih brojeva Q (ALGEBRA) (intuitivno)razlikuje odskupa realnih brojeva R (ANALIZA) (ovdje nas intuicija naputa).

1Arhimedov aksiom (za sve a, b R, a > 0, postoji n N t.d. je n a > b)moe se dobiti kao posljedica aksioma ureenog polja i aksioma potpunosti.

2Supremum = najmanja gornja mea.Ekvivalentan iskaz aksioma potpunosti je da svaki neprazan odozdo omeenskup ima infimum (= najvea donja mea).


Arhimedov aksiomTeorem 1.1 (Arhimedov aksiom)

Skup N prirodnih brojeva nije omeen odozgo.

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. da N je omeen odozgo.Tada prema aksiomu potpunosti postoji M = supN R.Za svaki n N je i n + 1 N, pa je i n + 1 6 M, tj. n 6 M 1.To znai da je i M 1 gornja mea skupa Nkontradikcija.

Korolar 1.2 (Arhimedov aksiom kakav znamo)yZa sve realne brojeve a i b, a > 0, postoji n N t.d. je n a > b.

Korolar 1.3 (i ovo je jedna verzija Arhimedova aksioma)yZa svaki realan broj x > 0 postoji n N t.d. je 1n < x.

Razmislite: Zato se to zove aksiom kada smo ga dokazali, pa je to teorem ?


Skup Q je gust u R

Evo jo jedne primjene aksioma potpunosti (i ostalih aksioma):

Teorem 1.4Izmeu svaka dva razliita realna broja postoji racionalan broj.Kaemo da je Q gust na R.

Dokaz: Neka su x , y R, x < y . Tada je y x > 0 pa premaArhimedovom aksiomu postoji n N t.d. je 1n < y x .Neka je A = {m N : mn > x }. Skup A je neprazan (opet Arhimed !),a kako je A N, postoji najmanji element skupa A. Nazovimo ga a,a = minA A (minA postoji jer je N dobro ureen skup).To znai da je i an > x , ali

a1n 6 x .

Stoga je an 6 x +1n < x + (y x) = y , pa je

an traeni racionalan

broj za koji vrijedi x < an < y .


Primjena aksioma potpunosti: postoji broj2

I jo jedne:

Teorem 1.5Postoji realan broj takav da je 2 = 2.

Dokaz: Neka je S = {x R : x2 < 2}. Skup S je neprazan (npr. 1 S),i omeen je odozgo (jedna gornja mea je npr. 10, jer za svakiy > 10 vrijedi y2 > 100 > 2, pa y / S).Dakle, za svaki x S je x < 10.Prema aksiomu potpunosti postoji supS, oznaimo ga s .Oito je > 1 > 0 jer je 1 S.Pokazat emo da je 2 = 2 tako da pokaemo da pretpostavka2 6= 2 vodi do kontradikcije.


2 postoji ! (zavretak dokaza)Pretpostavimo 2 > 2

Tada je 222 > 0 pa postoji n N t.d. je 0 < 1n < 222 (Arhimed).

Stoga je( 1n

)2= 2 2n +

1n2 >

2 2n > 2 (2 2) = 2 ,pa za svaki x S vrijedi x2 < 2 < ( 1n )2, tj. x < 1n ,u suprotnosti s minimalnou od ( je najmanja gornja mea skupa S).

Pretpostavimo 2 < 2Neka je n N t.d. je 0 < 1n < 2

24 i

1n < 2. Tada je

(+ 1n )2 = 2 + 2n +

1n2 <

2 + 2n + 2n (jer je

1n < 2)

< 2 + 2 2 (jer je 4n < 2 2)= 2 .

Stoga je + 1n S, protivno injenici da je gornja mea skupa S.

METRIKI PROSTORI 101. MALO REALNE ANALIZE PONAVLJANJE 2. NIZOVI REALNIH BROJEVA

Nizprvi kljuni pojam u analizi

Niz realnih brojeva je svaka funkcija x : N R. Kako je takvafunkcija jednoznano odreena svojim vrijednostima x(n), koje jeuobiajeno oznaivati xn, na funkciju x moemo gledati i kao nabeskonaan ureen slijed, ne nuno razliitih, realnih brojevax1, x2, x3, . . . , koji emo kratko oznaivati (xn) ili (xn)nN.

VANO je razlikovati niz (xn) od skupa vrijednosti {xn : n N}.Niz (xn) je funkcija s N u R, dakle x (xn) : N R,dok je {xn : n N} = {x1, x2, x3, . . . } = x(N) podskup skupa R.Naprimjer, ako je (xn) niz 2, 0, 2, 0, . . . , dakle xn = 1(1)n, n N,onda je {xn : n N} = {2, 0}dvolan skup.


KonvergencijaDefinicija 2.1Za niz (xn) kaemo da konvergira ako postoji ` R t.d. za svaki > 0 postoji n N t.d. je |xn `| < za sve n > n.Drugim rijeima, niz (xn) realnih brojeva konvergira ako` R t.d. > 0 n N t.d. n N (n > n |xn `| < ).y Pokazuje se da ako takav broj ` postoji, onda je on jedinstven,pa se naziva limesom niza, oznaka ` = lim xn ili ` = limn xn ili` = lim

n xn, i kae se da je niz (xn) konvergentan.Pie se i xn `, xn n `i govori da (xn) tei k ` (kada n tei u beskonanost) (iako nitko nikamo ne tei).Dakle, niz (xn) konvergira broju ` ako se za svaku, unaprijedzadanu greku, svi lanovi niza, osim moda njih najvie konanomnogo, od ` razlikuju za manje od zadane greke.


Ustanoviti konvergenciju nije lako !

A kako ustanoviti konvergira li neki konkretno zadani niz ili ne?U jednostavnim situacijama, kada moemo nekako pogoditi broj `(ili nam ga netko apne), onda je to obino lako.Ali to je naprimjer s nizovima

xn = (1+ 1n )n, n Nsn = 1+ 11! +

12! + + 1n! , n N ?

Kako za te nizove pogoditi limes?e ? Tko je e ? Otkud nama e ?

Broj e se upravo definira kao limes tih nizova, pa konvergenciju tihnizova ne moemo ustanoviti direktno iz definicije konvergencije.Treba nam dakle neko unutarnje svojstvo niza koje e osiguratikonvergenciju svojstvo u kojem se ne pojavljuje limes.


Dva korisna unutarnja svojstva nizova realnih brojevaSljedea dva teorema neemo dokazivati. Oba su, barem jednom,dokazana u nekom od kolegija Matematike analize.Teorem 2.2ySvaki monoton ograen niz realnih brojeva konvergira.

Za drugi nam najprije treba definicija:Definicija 2.3Za (xn) kaemo da je Cauchyjev niz ili da ima Cauchyjevo svojstvo akoza svaki > 0 postoji n N t.d. je |xnxm| < za sve m, n > n.

Teorem 2.4 (Cauchyjev kriterij konvergencije niza realnih brojeva)yNiz (xn) realnih brojeva konvergira ako i samo ako je Cauchyjev.

Iako iskazi oba ova teorema imaju smisla u svakom ureenom polju, teoremiopenito ne vrijede, ak niti uz Arhimedov aksiom. Ali svaki od tih teoremaje u ureenom Arhimedovom polju ekvivalentan aksiomu potpunosti.

METRIKI PROSTORI 141. MALO REALNE ANALIZE PONAVLJANJE 3. LIMES FUNKCIJE

Limes realne funkcije realne varijable

to se dogaa s vrijednostima funkcije u blizini toke x koja nas zanima ?Nije vana sama vrijednost f (x), nego to je s vrijednostima od fu blizini toke x ?Definicija 3.1Za realnu funkciju realne varijable kaemo da ima limes u toki xako postoji ` R t.d. za svaki > 0 postoji > 0 t.d. je|f (x) `| < im je 0 < |x x| < . Dakle` R t.d. > 0 > 0 t.d. x (0 < |xx| < |f (x)`| < ).

U tom sluaju kaemo da je ` limes ili granina vrijednost funkcije fu toki x i piemo ` = lim

xf ili ` = lim

xf (x) ili ` = lim

xx f (x).Govori se i da f tei ili konvergira k ` kada x tei k x, a pie se if (x) ` za x x ili f (x) xx `.


Vrijednost f (x ) je nevana !

U definiciji limesa funkcije nigdje se ne pojavljuje vrijednost f (x).I ne samo da sama vrijednost f (x) nije vana, nego nije niti vanoje li funkcija f definirana u toki x ili ne, vano je jedino da jeona definirana u blizini toke x.Primjer 3.2yf (x) = x sin 1x ; g(x) =

{x sin 1x , x 6= 01, x = 0 ; h(x) =

{sin 1x , x 6= 00, x = 0

lim0f (x) = 0 ; lim

0g(x) = 0 ; lim

0h(x) ne postoji.


Limes funkcije pomou nizova

U poetnim kolegijima matematike analize (ili calculusa), esto selimes funkcije definira kao u tvrdnji (ii) sljedeeg teorema:

Teorem 3.3 (Heineova karakterizacija limesa funkcije)ySljedee su tvrdnje ekvivalentne:(i) Funkcija f ima u toki x limes `, tj. lim

xf (x) = `.

(ii) Za svaki niz (xn) koji konvergira toki x i xn 6= x za sve n,niz(f (xn)

)konvergira k `.

Dokaz (i) (ii) je lagan, a za dokaz (ii) (i) treba malo vjetine.

METRIKI PROSTORI 171. MALO REALNE ANALIZE PONAVLJANJE 4. NEPREKIDNOST

NeprekidnostIntuitivna, geometrijska ideja neprekidne funkcije je da njezin graf moemonacrtati jednim potezom, tj. bez da dignemo olovku s papira.Malo preciznije, ako je f : [a, b] R funkcija i broj d izmeu f (a) i f (b),onda graf funkcije f mora sijei horizontalni pravac na visini d .

f (a)

a

f (b)

b

d

Ovo svojstvo zavreuje definiciju:

Definicija 4.1Za funkciju f : [a, b] Rkaemo da poprima svemeuvrijednosti ako za svakibroj d [f (a), f (b)] postojic [a, b] t.d. je f (c) = d .

Meutim, kao to pokazuje primjer funkcije x 7{sin 1x , x 6= 00, x = 0

(h u primjeru 3.2), ovo svojstvo nije dovoljno da osigura neprekidnost.


Definicija neprekidne funkcijeNeprekidnost znai da malene promjene varijable uzrokuju malenepromjene vrijednosti funkcije. Pretoeno u definiciju, to izgleda ovako:Definicija 4.2Neka je f : x 7 f (x) realna funkcija realne varijable definirana utoki x i u njezinoj blizini. Kaemo da je ona neprekidna u toki xako postoji lim

xf (x) i jednak je f (x), ili, prevedeno na - jezik, ako

za svaki >0 postoji >0 t.d. je |f (x)f (x)| 0 t.d. x (|x x| < |f (x) f (x)| < ) .

Konano, f je neprekidna ako je neprekidna u svakoj toki svoje domene.

Usporedi ovu definiciju s definicijom 3.1 limesa funkcije, premakojoj f ima u toki x limes ` ako > 0 > 0 t.d. x (0 < |x x| < |f (x) `|) < ) .y U emu je bitna razlika ?


A to je s naim pokuajem s meuvrijednostima ?

Iako na prvi pokuaj definicije neprekidnosti pomoumeuvrijednosti, definicija 4.1, nije bio sasvim uspjean, vrijedi

Teorem 4.3ySvaka neprekidna funkcija f : [a, b] R poprima sve meuvrijednosti.

Ovaj se teorem dokazuje u svakom poetnom kolegiju matematikeanalize, te ga ovdje neemo dokazivati. Ipak, dobit emo gakasnije, u 5. poglavlju, kao posljedicu povezanosti segmenta.Napomenimo da dokaz bitno koristi svojstvo realnih brojeva kojeproizlazi iz Cantorova aksioma potpunosti.

METRIKI PROSTORI 202. METRIKI PROSTOR

2 METRIKI PROSTOR

UdaljenostPrimjeriOtvoreni skupovi u metrikom prostoruEkvivalentne metrike

17. oujka 2015.

METRIKI PROSTORI 212. METRIKI PROSTOR 5. UDALJENOST

to znai dovoljno blizu ?

Definicija neprekidnosti, definicija 4.2, iskazana rijeima, kae da jefunkcija f iz R u R neprekidna u toki x ako se udaljenost izmeuf (x) i f (x) moe uiniti proizvoljno malenom zahtijevajui da sux i x dovoljno blizu.U ovom sluaju (radi se o realnim brojevima), udaljenost dvajubrojeva je apsolutna vrijednost njihove razlike.No ista reenica ima smisla i za funkciju iz R2 u R, pri emu udaljenosttoaka P = (x , y) i P = (x, y) znai

(x x)2 + (y y)2.

Dakle, funkcija f dviju varijabli, tj. iz R2 u R, je neprekidna u P ako

> 0 > 0 t.d. P(

(x x)2 + (y y)2 < |f (P)f (P)| < )).

Na isti nain definiramo i neprekidnost funkcija triju i vie varijabli,tj. iz Rn u R, pri emu je udaljenost toaka P = (x1, . . . , xn) iP = (x1 , . . . , xn ) jednaka

k=nk=1(xk xk )2.


Udaljenost

Dakle, za neprekidnost realne funkcije jedne ili vie varijabli, potrebnaje jedino udaljenost, i nikoja druga struktura koju imamo u Rn.Oznaimo li udaljenost dviju toaka P i Q iz Rn s d(P,Q), ondamoemo govoriti o funkciji d : Rn Rn R.Naa, euklidska udaljenost, ima ova svojstva: za sve toke P,Q,R vrijedi

d(P,Q) > 0 (M1)d(P,Q) = 0 P = Q (M2)d(P,Q) = d(Q,P) (M3)d(P,R) 6 d(P,Q) + d(Q,R) . (M4)

Ima funkcija udaljenosti, d , i druga svojstva, ali se u praksipokazalo da, kada se radi o euklidskim prostorima, ova su etirisvojstva jedino to je potrebno za pitanja vezana uz neprekidnost,konvergenciju i slino. To sugerira sljedeu definiciju:


Definicija metrikog prostoraDefinicija 5.1Metriki prostor je neprazan skup X zajedno s funkcijomd : X X R koja zadovoljava svojstva (M1), (M2), (M3) i (M4).Funkcija d naziva se razdaljinska funkcija ili metrika na X .

Govori se o metrikom prostoru (X , d), ili samo o metrikom prostoru Xkada je iz konteksta jasno, ili je nevano, o kojoj se metrici d radi.Napomena (o tokama i vektorima)Elemente skupa X , kao i metrikog prostora (X , d) nazivamotoke, i obino emo ih oznaivati x , y , x, x , i slino. Meutim,kada se radi o euklidskom prostoru, tj. o Rn za neki n, onda emotoke oznaivati P,Q, . . . , a njihove koordinate (x1, x2, . . . , xn),(y1, y2, . . . , yn), . . . , kao to je uobiajeno u elementarnoj geometriji.U sluaju kada nam je potrebna struktura vektorskog prostora u Rn,onda emo te toke zvati i vektorima.


Neprekidnost u metrikim prostorimaSada je prirodno neprekidnost definirati ovako:

Definicija 5.2Neka su (X , dX ) i (Y , dY ) metriki prostori. Kaemo da je preslikavanjef : X Y neprekidno u toki x X ako za svaki > 0 postoji > 0 takav da je udaljenost izmeu f (x) i f (x) manja od imje udaljenost izmeu x i x manja od . Drugaije zapisano: > 0 > 0 t.d. x X (dX (x , x) < dY (f (x), f (x)) < ).Preslikavanje je neprekidno ako je neprekidno u svakoj toki x X .

Napomena 5.3Najee je iz konteksta jasno o kojoj se metrici radi pa se indeksiX i Y ne piu. Dakle, f je neprekidno u toki x X ako > 0 > 0 t.d. x X (d(x , x) < d(f (x), f (x)) < ).

METRIKI PROSTORI 252. METRIKI PROSTOR 6. PRIMJERI

Euklidski prostor EnNajprije primjer koji nam je bio motivacija:Primjer 6.1Na skupu Rn ureenih n-torki realnih brojeva, definiramo metriku dformulom

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)

):=

k=nk=1

(xk yk)2 .

Ovako definirana razdaljinska funkcija d naziva se euklidska metrika,a Rn s tom metrikom naziva se n-dimenzionalan euklidski prostori oznaivat emo ga En.Da za d zaista vrijede svojstva (M1)(M3) je oito iz definicijefunkcije d , a nejednakost trokuta, tj. svojstvo (M4), slijedi izy Cauchyjeve nejednakosti: za sve a1, . . . , an, b1, . . . , bn R vrijedi( n

1akbk

)26( n

1a2k)( n

1b2k)

to se obino dokazuje u linearnoj algebri.


Diskretan metriki prostorEvo jednog ekstremnog primjera:Primjer 6.2Neka je X proizvoljan skup a funkcija : X X R neka jedefinirana s

(x , y) :={0 , x = y1 , x 6= y .

Ovako definirana funkcija naziva se diskretna metrika na X ,a (X , ) se naziva diskretan metriki prostor.

Ovakvi metriki prostori esto slue kao kontraprimjeri za nekugeometrijski intuitivnu ideju, ali se prostori dobiveni od njihpojavljuju, i korisni su, u mnogim kombinatornim problemima.Primjer 6.3Korisnim e se pokazati diskretan metriki prostor koji se sastoji odsamo dvije tokedva simbola, npr. 0 i 1. Taj emo prostoroznaivati 2 i zvati diskretan dvotokovni prostor.


Razliite metrike na RnNa skupu Rn mogue je definirati mnogo razliitih razdaljinskih funkcija.Promotrimo tri, a zbog jednostavnosti i geometrijskog zora, za n = 2.Primjer 6.4Definirajmo sljedee tri funkcije R2 R2 R:

d1(P,Q) := |x1 y1|+ |x2 y2|d2(P,Q) :=

(x1 y1)2 + (x2 y2)2

d(P,Q) := max{|x1 y1|, |x2 y2|}gdje su P = (x1, x2) i Q = (y1, y2) proizvoljne toke u R2.y Lako se provjeri da su d1, d2 i d zaista metrike na R2.Oito je d2 upravo euklidska metrika iz primjera 6.1, tj. (R2, d2) = E2.Prostori (R2, d1) i (R2, d) nisu euklidski prostori.Jasno je da odgovarajue metrike d1, d2 i d postoje i na Rn za sve n.

NAPOMENA: Kako su u R sve tri metrike iste, umjesto E1 rabit emo R.


Kompleksni brojevi C kao metriki prostor

Primjer 6.5Za kompleksne brojeve z1 i z2 definiramo njihovu udaljenost kao

d(z1, z2) := |z1 z2|i tako dobivamo metriki prostor (C, d).

Izrazimo li kompleksne brojeve z kao x + iy , dobivamo

d(z1, z2) =(x1 x2)2 + (y1 y2)2

kao kada na kompleksne brojeve gledamo kao na parove realnih brojeva.Da je d zaista metrika na C, dokazuje se sada isto kao i za d2 u R2.U kojem su smislu metriki prostori (C, d) i E2 = (R2, d2)ekvivalentni, vidjet emo u 8 (primjer 8.11).


Metriki potprostorNeka je A podskup metrikog prostora (X , d). Tada je oitorestrikcija dA = d |AA : A A R, jedna metrika na A.Kae se, malo neprecizno, i da je metrika dA dobivena restrikcijomna A metrike d .Definicija 6.6Ovako definiran metriki prostor (A, dA) naziva se metrikipotprostor ili kratko potprostor metrikog prostora (X , d).

Iz definicije je jasno da za toke a, a A vrijedi dA(a, a ) = d(a, a ),pa se najee indeksi uz metrike ne piu, tj. za metriku napotprostoru A koristi se ista oznaka, d , kao i za metriku na X .Napomena 6.7Ako je A X , a X je metriki prostor, onda emo nekad govoriti oA kao podskupu od X , a nekad kao o potprostoru od X , ovisno otome na emu je u tom trenutku naglasak.


Neprekidnost restrikcije preslikavanja na potprostorNeka su X i Y metriki prostori, f : X Y neko preslikavanje, i Apotprostor od X . Treba razlikovati neprekidnost preslikavanja f i njegoverestrikcije na A, tj. preslikavanja f |A. Neposredno iz definicije slijedi

Teorem 6.8Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje i A X proizvoljanpotprostor. Tada je restrikcija f |A : A Y neprekidna.

Obrat ni u kom sluaju ne vrijedi:

Primjer 6.9Neka je f : R R tzv. Dirichletova funkcija definirana s

f (x) ={1 , x Q0 , x / Q .

Restrikcija f |Q je konstantna funkcija, koja je neprekidna na Q, dokf nije neprekidna nigdje.


Neprekidnost slijeva i neprekidnost zdesna

Primjer 6.10Neka je [a, b] S R i neka je f : S R neka funkcija.to znai neprekidnost restrikcije f |[a,b]?Po definiciji, f |[a,b] je neprekidna u c [a, b] ako

> 0 > 0 t.d. x [a, b] (|x c | < (f |[a,b])(x) (f |[a,b])(c) < )Kako za x [a, b] vrijedi (f |[a,b])(x) = f (x), to je isto to i > 0 > 0 t.d. x [a, b] (|x c | < | |f (x) f (c)| < ).Ako je c a, b onda to nije nita drugo nego neprekidnost od f u c.Ali to je s neprekidnou restrikcije f |[a,b] u a ? Zahtjev x [a, b]i |x a| < znai a 6 x < a + , pa onda neprekidnost restrikcijef |[a,b] u a zapravo znai neprekidnost zdesna funkcije f u toki a.Analogno, restrikcija f |[a,b] je neprekidna u b ako i samo ako jefunkcija f neprekidna slijeva u toki b.


Produkt metrikih prostoraNeka su (X , dX ) i (Y , dY ) dva metrika prostora. Tada naproduktu X Y moemo definirati razliite metrike, npr. kao uprimjeru 6.4:

d1((x1, y1), (x2, y2)

):= dX (x1, x2) + dY (y1, y2)

d2((x1, y1), (x2, y2)

):=

(dX (x1, x2)

)2+(dY (y1, y2)

)2d((x1, y1), (x2, y2)) := max {dX (x1, x2) , dY (y1, y2)}

Kao za R2, lako se pokazuje da su d1, d2 i d zaista metrike na XY .U 8 (primjer 8.6) vidjet emo da su ove tri metrike u izvjesnom smisluekvivalentne, to opravdava sljedeu definiciju (vidi i napomenu 8.12):

Definicija 6.11Kartezijev produkt X Y zajedno sa bilo kojom od navedenihmetrika d1, d2 ili d naziva se produkt metrikih prostora X i Y .Analogno se definira i produkt od vie, ali konano mnogometrikih prostora.


Metrika na skupu omeenih funkcija

U analizi, a i drugdje, esto treba prouavati neke familije funkcija,i to tako da bliske funkcije imaju i bliska svojstva. Dakle,treba familiju funkcija snabdjeti strukturom metrikog prostora.

Primjer 6.12Za omeene funkcije f , g : [a, b] R definiramo

(f , g) := supx[a,b]

|f (x) g(x)| .

Na taj nain na skupu svih omeenih realnih funkcija na [a, b]dobivamo metriku.

Lako se pokazuje da je funkcija dobro definirana, tj. da supremumu definiciji zaista postoji, i da zadovoljava uvjete (M1)(M3).Pokaimo da vrijedi i (M4).


Prostor omeenih funkcijaNeka su f , g , h : [a, b] R tri omeene funkcije. Tada za svakit [a, b] vrijedi

|f (t) g(t)| 6 |f (t) h(t)|+ |h(t) g(t)|6 sup

x[a,b]|f (x) h(x)|+ sup

x[a,b]|h(x) g(x)|

= (f , h) + (h, g).Kako to vrijedi za svaki t [a, b], to je (f , h) + (h, g) gornjamea skupa {|f (t) g(t)| : t [a, b]}. Stoga je i

(f , g) = supt[a,b]

|f (t) g(t)| 6 (f , h) + (h, g)

pa zadovoljava i (M4).Definicija 6.13Metrika naziva se sup-metrika ili uniformna metrika, i metrikiprostor svih omeenih realnih funkcija na [a, b] s metrikom oznaujemo B([a, b],R) ili jednostavno B[a, b].


Prostor neprekidnih funkcija

Kao to znamo iz analize (vidi uvod, str. 1), svaka je neprekidnafunkcija f : [a, b] R omeena.Definicija 6.14Skup svih neprekidnih realnih funkcija na [a, b] sa sup-metrikom je metriki prostor. Nazivamo ga prostorom neprekidnih realnihfunkcija na [a, b], oznaka C([a, b],R) ili jednostavno C[a, b].On je potprostor metrikog prostora B[a, b].

Napomena 6.15Uniformna metrika esto se oznaava d, i na skupu neprekidnihrealnih funkcija na [a, b] predstavlja, uz metrike d1 i d2 definiranena sljedeoj stranici, analogone metrikama d, d1 i d2 na Rn.


Jo dvije metrike na skupu neprekidnih funkcijaNa skupu neprekidnih funkcija [a, b] R promatraju se i druge metrike.Definicija 6.16Za neprekidne funkcije f , g : [a, b] R definiramo

d1(f , g) :=ba|f (x) g(x)| dx .y Pokazuje se da je d1 zaista metrika na skupu neprekidnih funkcija

na [a, b], i naziva se L1-metrika.

Definicija 6.17Za neprekidne funkcije f , g : [a, b] R definiramo i

d2(f , g) :=

ba

(f (x) g(x)

)2 dx .y d2 je takoer jedna metrika na skupu neprekidnih funkcija na [a, b],i naziva se L2-metrika.


Hilbertov prostor `2 i Hilbertov kub I

Evo primjera dvaju vanih metrikih prostora o kojima e jo biti govora:

Definicija 6.18yHilbertov prostor `2 je skup svi nizova x = (xk)k realnih brojevatakvih da red

x2k konvergira, s metrikom definiranom ovako:

d2(x, y) :=

k=1

(xk yk)2.

Definicija 6.19yHilbertov kub I je skup svih nizova realnih brojeva x = (xk)ktakvih da je xk I = [0, 1] za sve k, s metrikom definiranom kao

d(x, y) :=k=1

|xk yk |2k .


Omeeni skupoviDefinicija 6.20Za podskup A metrikog prostora (X , d) kaemo da je omeen akopostoji toka x X i broj M R t.d. je d(a, x) 6 M za sve a A.y Lako se vidi da ako je A X omeen, onda za svaku toku x XpostojiM R t.d. je d(a, x ) 6 M za sve a A [M = M+d(x , x )].Definicija 6.21Za neprazan omeen podskup A metrikog prostora (X , d) definirase dijametar kao broj diamA := sup

a,a Ad(a, a ).

Lako se pokazuje

Teorem 6.22yUnija konanog broja omeenih skupova je omeen skup.


Omeene funkcije

Definicija 6.23Kaemo da je funkcija f : X Y skupa X u metriki prostor(Y , d) omeena ako je slika f (X ) omeen podskup od Y .y Ne treba nam nikakva dodatna struktura na skupu X kako bismo s

(f , g) = d(f , g) := supxX

d(f (x), g(x)

)definirali uniformnu metriku na skupu svih omeenih funkcija s X u Y.Tako dobiven metriki prostor oznaivat emo B(X ,Y ). Kada je iX metriki prostor onda je od interesa i njegov potprostorBC(X ,Y ) svih omeenih neprekidnih preslikavanja s X u Y .

Napomena 6.24yUoi da je BC([a, b],R) = C([a, b],R).


Udaljenost toke do skupa

U razliitim situacijama korisna je funkcija koju emo sada definirati.

Definicija 6.25Neka je A podskup metrikog prostora (X , d). Za toku x X sebroj d(x ,A) := inf

aAd(x , a) naziva udaljenost toke x do skupa A.

Primjer 6.26Za svaku toku x A je d(x ,A) = 0;ali obratno ne vrijedi: u R je d

(2, 2, 3) = 0 iako 2 / 2, 3.

Za svaki x R je d(x ,Q) = 0.Neka je S1 = {z C : |z | = 1} jedinina krunica. Tada zasvaki kompleksan broj w C vrijedi d(w ,S1) = 1 |w |.Za jednolan skup {a} je d(x , {a}) = d(x , a) za sve x X .


Neprekidnost udaljenosti do skupaesto je korisna sljedea injenica:Propozicija 6.27Za svaki podskup A metrikog prostora (X , d) je funkcijax 7 d(x ,A), kao funkcija X R, neprekidna.

Dokaz: Za x , y X i svaki a A je d(x ,A) 6 d(x , a) 6 d(x , y)+d(y , a),pa je d(x ,A) d(x , y) 6 d(y , a) za sve a A.Stoga je d(x ,A) d(x , y) 6 infaA d(y , a) = d(y ,A), tj.d(x ,A) d(y ,A) 6 d(x , y). Analogno jed(y ,A) d(x ,A) 6 d(x , y), pa je

d(x ,A) d(y ,A) 6 d(x , y),y odakle slijedi neprekidnost funkcije x 7 d(x ,A).Posljedica 6.28yZa proizvoljnu toku a X je funkcija x 7 d(x , a), kao funkcijaX R, neprekidna.

METRIKI PROSTORI 422. METRIKI PROSTOR 7. OTVORENI SKUPOVI U METRIKOM PROSTORU

Otvorene kugleDefinicija 7.1Neka je x toka metrikog prostora (X , d) i r > 0 pozitivan realanbroj. Otvorena kugla oko toke x s radijusom r je skup

K (x ; r) = Kd(x ; r) := {x X : d(x , x ) < r }.K (x ; r) e uvijek oznaivati otvorenu kuglu, ali emo esto, zbogjednostavnosti, govoriti samo kugla.

Primjer 7.2U euklidskim prostorima R, E2 i E3 otvorene kugle su redom:

K (x ; r) = x r , x + r (otvoren interval)K((x , y); r

)= {(x , y ) : (x x)2 + (y y)2 < r2}

(unutranjost kruga, krug bez obrubljujue krunice)K((x , y , z); r

)= {(x , y , z ) : (x x)2 + (y y)2 + (z z)2 < r2}

(unutranjost kugle, kugla bez obrubljujue sfere)


Nisu sve kugle okrugle

Termin kugla sugerira predodbu okrugle kugle u naem,3-dimenzionalnom prostoru. No, jesu li kugle okrugle ili ne, ovisi o metrici.Evo primjera nekih jedininih otvorenih kugala u R2:

Primjer 7.3

Kd1(O; 1) u (R2, d1) Kd2(O; 1) u (R2, d2) = E2 Kd(O; 1) u (R2, d)

O 1

O 1

O 1


Jo udnije kugle

Primjer 7.4Otvorena kugla u diskretnom metrikom prostoru (primjer 6.2)je ili jedna toka ili itav prostor, ovisno o radijusu. Tonije,

K (a; r) ={{a} , r 6 1X , r > 1 .

Primjer 7.5

U prostoru B(R) kugla K(sin; 1) sadri sve funkcije iji graf leiizmeu grafova funkcija x 7 sin x1 i x 7 sin x+1 (npr. plavi graf).


Otvorene kugle u potprostoru

Otvorene kugle u potprostoru mogu biti sasvim drugaije od istihkugala u prostoru:

Primjer 7.6Neka je A = [0, 3] {5} R.

kugla u R u AK (1; 1) 0, 2 0, 2K (1; 2) 1, 3 [0, 3K (1; 3) 2, 4 [0, 3]K (3; 1) 2, 4 2, 3]K (5; 1) 4, 6 {5}K (5; 3) 2, 8 2, 3] {5}

... ... ...


Neprekidnost i kugleKoristei se kuglama, moemo definiciju neprekidnosti, definicija 5.2,izrei i ovako:Definicija 7.7Preslikavanje f : X Y je neprekidno u toki x X ako zasvaku -kuglu u Y oko f (x) postoji -kugla u X oko toke xtakva da je f

(KX (x; )

) KY (f (x); ). Ili krae > 0 > 0 t.d. je f (K (x; )) K(f (x); )).

Ovo je oito samo preformulacija originalne definicije neprekidnosti,ali ima zorni, geometrijski tih, i, kao to emo uskoro vidjeti,pogodna je za generalizaciju.Primjer 7.8Svako preslikavanje diskretnog metrikog prostora (X , ) uproizvoljan metriki prostor (Y , d) je neprekidno.


Otvoreni skupovi

Sljedea generalizacija otvorenih kugala pokazala se izuzetno korisnom.

Definicija 7.9

Za podskup U metrikog prostora (X , d) kaemo da je otvoren akoza svaku toku x U postoji r > 0 takav da je K (x ; r) U.

Napomena 7.10Primijeti da u ovoj definiciji r ovisi o x (intuitivno, to je x bliirubu skupa U to e trebati uzeti manji r).


Otvorene kugle su otvoreni skupovi

Lema 7.11U metrikom prostoru (X , d) svaka je otvorena kugla K (x ; r)otvoren skup u smislu prethodne definicije.

Dokaz:

Neka je y K (x ; r) i neka je r = r d(x , y).Tvrdimo da je K (y ; r ) K (x ; r).Za proizvoljan y K (y ; r ) jed(y , x) 6 d(y , y)+d(y , x) < r +d(x , y) = r ,tj. y K (x ; r).

xr

y

d(x ,y)

r r y

d(x ,y)

y


Primjeri otvorenih (i ne-otvorenih) skupova u R

Openito, osim otvorenih kugala postoje i drugi otvoreni skupovi.

Primjer 7.12Za a < b je otvoren interval a, b u R isto to i kugla K(a+b2 ; ba2 ).Ali i beskonani intervali, npr. , 7, kao i cijeli R, su otvoreniskupovi, a oni nisu kugle.I skup 2, 1 3, je otvoren.S druge strane, segment [a, b] kao i poluotvoreni intervali [a, b ia, b] nisu otvoreni skupovi u R.Niti skupovi N, Z, Q nisu otvoreni podskupovi od R.


Otvoreni (i ne-otvoreni) podskupovi u E2

Primjer 7.13y Vaan primjer otvorenog skupa u E2 koji nije kugla je otvorenpravokutnik, tj. podskup oblika

a, b c, d = {(x , y) : a < x < b, c < y < d}.kao i prugea, bR = {(x , y) : a < x < b} i Rc, d = {(x , y) : c < y < d}.Takoer otvorena je npr. i otvorena desna poluravnina, tj. skup{(x , y) : x > 0}, ali ne i skup {(x , y) : x > 0}.Skup oblika a, b {0} nije otvoren u E2, iako je jednak skupua, b koji je otvoren u E = R.Ali, a, b {0} je otvoren u R {0} kao potprostoru od E2.

Analognih i slinih primjera otvorenih i ne-otvorenih skupova ima,naravno, u En i za n > 2.


Ekstremni sluajevi

Primjer 7.14U diskretnom metrikom prostoru (primjer 6.2) svaki je skup otvoren.S druge strane, u svakom metrikom prostoru (X , d) cijeli prostor Xje otvoren skup.Dogovorno se uzima da je u svakom metrikom prostoru prazanskup otvoren.

Sljedei teorem je jo jedna karakterizacija neprekidnosti.Iako se moe initi da je to samo prelijevanje upljega u prazno,vidjet emo da to nije tako.


Neprekidnost i otvoreni skupoviTeorem 7.15Preslikavanje f : X Y metrikih prostora je neprekidno ako isamo ako za svaki podskup V Y koji je otvoren u Y, njegova jepraslika f 1(V ) otvoren podskup od X.

Dokaz: X Yf

Vf 1(V )

xf (x)~

K(f (x);)f (x)~K(x ;)x ~~K(f (x);) f (K(x ;))f (x)

X Yf x f (x) K(f (x);)

f 1(K(f (x);))

xxK(x ;)

f (K(x ;))

f (x)

UPOZORENJE: Slika otvorenog skupa ne mora biti otvoren skup !

UPOZORENJE: Slika otvorenog skupa ne mora biti otvoren skup !


Familija otvorenih skupova

Sljedea su dva svojstva familije otvorenih skupova vana:

Propozicija 7.16yNeka su U1,U2. . . . ,Uk otvoreni podskupovi metrikog prostora X.Tada je i njihov presjek

j=kj=1 Uj otvoren.

Dakle, presjek konane familije otvorenih skupova je otvoren skup.

Primjer 7.17Presjek beskonane familije otvorenih skupova ne mora biti otvoren !Naprimjer,

n=1 1n , 1n = {0} nije otvoren skup u R.

Propozicija 7.18yUnija bilo koje familije otvorenih podskupova metrikog prostora jeotvoren skup.

METRIKI PROSTORI 542. METRIKI PROSTOR 8. EKVIVALENTNE METRIKE

Topoloki ekvivalentne metrike

Pojam metrike smo uveli kako bismo prouavali neprekidnostpreslikavanja. Prirodna je stoga sljedea definicija:

Definicija 8.1Neka su d1 i d2 dvije metrike na skupu X . Kaemo da su onetopoloki ekvivalentne ako za svaka dva metrika prostora (Y , d) i(Z , d ) i preslikavanja f : Y X i g : X Z vrijede sljedee tvrdnje:(a) f : (Y , d) (X , d1) je neprekidno ako i samo ako je

f : (Y , d) (X , d2) neprekidnotj. f je (d , d1)-neprekidno akko je (d , d2)-neprekidno; i

(b) g : (X , d1) (Z , d ) je neprekidno ako i samo ako jeg : (X , d2) (Z , d ) neprekidnotj. g je (d1, d )-neprekidno akko je (d2, d )-neprekidno.y Oito je da je to relacija ekvivalencije.


Karakterizacija topoloke ekvivalentnosti metrikaDefinicija topoloke ekvivalentnosti dviju metrika je prilino nezgrapnaza upotrebu, pa je vrlo korisna i zorna sljedea karakterizacija:Propozicija 8.2Metrike d1 i d2 su topoloki ekvivalentne akko definiraju jedne teiste otvorene skupove, tj. podskup U je otvoren s obzirom nametriku d1 akko je otvoren s obzirom na metriku d2.

Dokaz: Neka su d1 i d2 topoloki ekvivalentne metrike i neka jeU X d2-otvoren. Identiteta 1 : (X , d2) (X , d2) je neprekidna,pa je prema (b) iz definicije i 1 : (X , d1) (X , d2) neprekidna.Prema teoremu 7.15 skup 11(U) (X , d1) je otvoren.Ali 11(U) = U, pa je U i d1-otvoren.Analogno se dokae da ako je U d1-otvoren onda je i d2-otvoren.

Ovaj se smjer dokazuje primjenom teorema 7.15, provjeravajuiotvorenost odgovarajuih podskupova prema definiciji topolokeekvivalentnosti dviju metrika.


Jo jedna karakterizacija topoloke ekvivalencije metrikaPropozicija 8.3(a) Metrike d1 i d2 su topoloki ekvivalentne akko su d1-kugle

d2-otvorene, i obratno.(b) Metrike d1 i d2 su topoloki ekvivalentne akko za x0 X ir1 > 0, r2 > 0 t.d. je K2(x0; r2) K1(x0; r1), i obratno.

Dokaz: (a) Neka je x K1(x0; r). Kako su metrike d1 i d2 topolokiekvivalentne, kugla K1(x0; r) je i d2-otvoren skup, pa r > 0 t.d.je K2(x ; r ) K1(x0; r), tj. kugla K1(x0; r) je i d2-otvorena.Analogno se pokazuje da su d2-kugle i d1-otvorene. Neka je U X d1-otvoren i x U, te neka je r1 > 0 t.d. jeK1(x ; r1) U. Kako je kugla K1(x ; r1) i d2-otvorena, postojir2 > 0 t.d. je K2(x ; r2) K1(x ; r1) U, tj. U je i d2-otvoren.Analogno se pokae da je svaki d2-otvoren skup i d1-otvoren, patvrdnja slijedi iz prethodne propozicije 8.2. 4


Dokaz tvrdnje (b)

Neka su metrike d1 i d2 topoloki ekvivalentne. Prema (a) je svakad1-kugla K1(x0; r1) d2-otvorena, pa r2 > 0 t.d. je K2(x0; r2) K1(x0; r1).Analogno se dokae obratno.

Neka je U X d1-otvoren skup, x0 U proizvoljna toka, i nekaje r1 > 0 t.d. je K1(x0; r1) U. Prema pretpostavci, postoji r2 > 0t.d. je K2(x0; r2) K1(x0; r1) U, pa je skup U i d2-otvoren.Analogno se pokae da je svaki d2-otvoren skup i d1-otvoren, patvrdnja slijedi iz prethodne propozicije 8.2.


Lipschitz-ekvivalentne metrike

Jo jedna vrsta ekvivalencije metrika je korisna i vana:

Definicija 8.4Za dvije metrike d i d na X kaemo da su ekvivalentne uLipschitzovom smislu ili da su Lipschitz-ekvivalentne ako postojekonstante , > 0 takve da za sve x , y X vrijedi

d(x , y) 6 d (x , y), id (x , y) 6 d(x , y) .

y Lako se provjeri da je i to jedna relacija ekvivalencije.Napomena: Kod Mardeia (Matematika analiza, 1. dio) ovo se

svojstvo zove uniformna ekvivalentnost, a mi emo uniformnomekvivalentnou nazivati neto drugo.


Lipschitz-ekvivalencija topoloka ekvivalencija

Propozicija 8.5Lipschitz-ekvivalentne metrike su topoloki ekvivalentne.

Dokaz: Neka su i kao u definiciji Lipschitz-ekvivalencije.Tvrdnja: Kd(x ; r) Kd (x ; r) i Kd (x ; r) Kd(x ; r).

Zaista, za y Kd(x ; r) je d (y , x) 6 d(x , y) < r pa jey Kd (x ; r). Analogno se dokazuje druga inkluzija. 4Neka je U X d-otvoren i x U. Tada postoji r > 0 t.d. jeKd(x , r) U. Prema prethodnoj tvrdnji jeKd (x ; 1 r) Kd(x ; r) U, pa je U i d -otvoren.Analogno se dokazuje da je svaki d -otvoren skup ujedno i d-otvoren.Tvrdnja sada slijedi iz propozicije 8.2.


Ekvivalencija triju metrika u Rn

Primjer 8.6yZa metrike d1, d2 i d u Rn iz primjera 6.4 vrijedi:

1n d1(x , y) 6

1n d2(x , y) 6 d(x , y) 6 d2(x , y) 6 d1(x , y) .Odavde slijedi da su te tri metrike Lipschitz-ekvivalentne, dakle itopoloki ekvivalentne.Iste nejednakosti, i zakljuak, vrijede i za metrike d1, d2 i ddefinirane na produktu bilo kojih n metrikih prostora (def. 6.11).

Napomena: Primijetimo da je za Lipschitz-ekvivalentnost metrika d1,d2 i d dovoljno dokazati slabiju verziju gornjih nejednakosti:

d(x , y) 6 d2(x , y) 6 d1(x , y) 6 n d(x , y) ,to je malo jednostavnije dokazati.


Ne-ekvivalentnost metrika d1 i d u C[a, b]Primjer 8.7L1-metrika d1 (definicija 6.16) i sup-metrika d (definicija 6.23)na skupu C[a, b] neprekidnih realnih funkcija na [a, b], nisutopoloki ekvivalentne.Zaista, neka su f , g C[a, b]. Tada je |f (x) g(x)| 6 d(f , g) zasve x [a, b], pa je d1(f , g) =

ba |f (x)g(x)| dx 6 (ba) d(f , g).

Stoga je Kd(f ; r) Kd1(f ; (b a) r).Meutim, kugla Kd(0; 1), gdje je 0 : [a, b] R konstantnafunkcija 0(x) = 0 za sve x , nije d1-otvorena.Naime, kada bi bila d1-otvorena, onda bi za neki > 0 biloKd1(0; ) Kd(0; 1).Meutim, za svaki > 0 postoji neprekidna funkcija g na [a, b] t.d.je d1(0, g) =

ba |g(x)| dx < i za koju postoji x [a, b] t.d. je

g(x) > 1, pa je d(0; g) > 1.


HomeomorfizamDefinicija 8.8Neka su X i Y metriki prostori. Neprekidna bijekcija f : X Ytakva da je i njezin inverz f 1 : Y X neprekidan, naziva sehomeomorfizam, a za prostore X i Y kaemo da su homeomorfniili topoloki ekvivalentni.

Lako se vidi da vrijedi

Propozicija 8.9yDvije metrike d i d na skupu X su topoloki ekvivalentne ako isamo ako je identiteta 1X : (X , d) (X , d ) homeomorfizam.


IzometrijaDefinicija 8.10Surjekcija f : (X , d) (X , d ) t.d. je d

(f (x), f (y)

)= d(x , y)

za sve x , y X naziva se izometrija.y Lako se vidi da je svaka izometrija ujedno i homeomorfizam.Primjer 8.11Preslikavanje f : R2 C definirano s f (x , y) := x + iy jeizometrija euklidskog prostora (E2, d2) na prostor kompleksnihbrojeva (C, d) s metrikom d iz primjera 6.5.

Napomena 8.12Neka su (X , dX ) i (Y , dY ) metriki prostori a d1, d2 i dspominjane tri metrike na produktu X Y . Metriki prostori(X Y , d1), (X Y , d2) i (X Y , d) nisu meusobnoizometrini, ali jesu homeomorfni.

METRIKI PROSTORI 643. TOPOLOKI PROSTOR

3 TOPOLOKI PROSTOR

Topoloka strukturaBaza i podbazaPotprostorProdukt topolokih prostoraHomeomorfizam i topoloka svojstvaZatvoreni skupovi, gomilita, zatvorenje, rub i nutrinaAksiomi separacije

17. oujka 2015.

METRIKI PROSTORI 653. TOPOLOKI PROSTOR 9. TOPOLOKA STRUKTURA

Definicija topolokog prostoraKao to smo vidjeli u prethodnom poglavlju, za neprekidnostpreslikavanja dovoljno je poznavati otvorene skupove. Zato jeprirodna sljedea definicija:Definicija 9.1Topoloki prostor (X ,T) je skup X zajedno s familijom Tpodskupova od X koja ima sljedea svojstva:

(TOP1) X , T;(TOP2) presjek svaka dva skupa familije T takoer pripada familiji T;(TOP3) unija proizvoljne kolekcije skupova iz T takoer pripada

familiji T.Familija T naziva se topoloka struktura ili jednostavno topologijana X , a njezini lanovi nazivaju se otvoreni skupovi.

Iz (TOP2) indukcijom slijedi da je i presjek svake konane kolekcijeotvorenih skupova otvoren skup.


PrimjeriPrimjer 9.2Neka je X skup a T = 2X =P(X ) familija svih podskupova od X .Ta familija oito zadovoljava (TOP1)(TOP3) pa je to topologijana X u kojoj je svaki skup otvoren. Ta se topologija nazivadiskretnom topologijom, a (X ,T) diskretnim topolokimprostorom.y Uoi da je diskretna topologija inducirana diskretnom metrikom.Primjer 9.3U svakom metrikom prostoru (X , d) familija svih otvorenihskupova u smislu definicije 7.9, zadovoljava (TOP1)(TOP3),tj. metrika d definira topoloku strukturu na X . Kae se da je tatopologija definirana ili inducirana metrikom d .Dakle, svaki metriki prostor je ujedno i topoloki prostor.Specijalno, svi euklidski prostori imaju topoloku strukturu.


Usporeivanje topolokih struktura

Kao to su na istom skupu mogue razliite metrike, tako sumogue i razliite topoloke strukture.Naprimjer, diskretna topologija na Rn je oito razliita od euklidsketopologije topologije inducirane euklidskom metrikom d2.Ali, razliite metrike mogu inducirati istu topologiju. Naprimjer,otvoreni skupovi koje u Rn definiraju metrike d1, d2 i d su jedni teisti, tj. sve te tri metrike definiraju istu topoloku strukturu na Rn.

Definicija 9.4Neka su T i T dvije topologija na skupu X . Kaemo da jetopologijaT finija od topologijeT, ili daT profinjuje topologijuT,ako je T T , tj. ako je svaki skup koji je otvoren s obzirom natopologiju T otvoren i s obzirom na topologiju T . U tom sesluaju za topologiju T kae da je grublja od topologije T .


Postoje topologije koje nisu inducirane metrikom

Primjer 9.5Neka je X neki skup i neka je T = {,X }. Ova familija T oitozadovoljava (TOP1)(TOP3). To je indiskretna topologija i to jenajgrublja meu svim topologijama na X .Lako se vidi da, ako X ima barem dvije toke, ne postoji metrikakoja inducira indiskretnu topologiju.Dakle, postoje topoloki prostori koji nisu metriki.Da ima i zanimljivih i vanih ne-metrizabilnih topolokih prostora,vidjet emo kasnije.

Napomena 9.6yNe moraju svake dvije topologije na skupu X biti usporedive, tj.ako su T i T dvije topologije na X mogue je da T 6T i T 6T.


Kofinitna topologija

Primjer 9.7yNeka je X proizvoljan skup a familiju T neka ine prazan skup ikomplementi konanih skupova. Nije teko vidjeti da je takodefinirana familija T jedna topologija na X .Ta se topologija naziva kofinitnom topologijom na X .Ako je X konaan onda se radi o diskretnoj topologiji, ali ako je Xbeskonaan onda je topologija T razliita od diskretne topologije.


Neprekidna preslikavanja topolokih prostora

Imajui u vidu teorem 7.15, neprekidnost se definira ovako:

Definicija 9.8Preslikavanje f : X Y topolokih prostora je neprekidno ako jeza svaki otvoren podskup V Y njegova praslika f 1(V ) otvorenpodskup od X .

UPOZORENJE: Definicija neprekidnosti ne govori o slici otvorenihskupova, nego o praslici, tj. originalu otvorenih skupova.Openito, slika otvorenog skupa iz X nije otvoren skup u Y ,bez obzira je li preslikavanje neprekidno ili ne.

Uoi da je, za razliku od definicije neprekidnosti u metrikimprostorima, ovdje neprekidnost odmah definirana globalno,tj. kao svojstvo funkcije na cijelom prostoru.


Neprekidnost u tokiNeprekidnost u toki definira se ovako:

Definicija 9.9Preslikavanje f : X Y je neprekidno u toki x X ako za svakiu Y otvoren skup V 3 f (x) postoji u X otvoren skup U 3 x t.d. jef (U) V .y Lako se vidi da je f neprekidno akko je neprekidno u svakoj toki.

DOGOVOR: Kada otvoren skup U sadri toku x , dakle x U,govorit emo da je U okolina toke x .Isto tako, kada otvoren skup U sadri neki skup A, govorit emoda je U okolina skupa A.Napomena: Neki autori okolinom toke nazivaju svaki skup koji sadrineki otvoren skup koji sadri tu toku. I analogno za okolinu skupa.Mi emo se drati gornjeg dogovora.


Neprekidnostosnovne injeniceNavedimo nekoliko jednostavnih osnovnih injenica o neprekidnimpreslikavanjima topolokih prostora.Propozicija 9.10y(i) Neka su f : X Y i g : Y Z neprekidna preslikavanja.

Tada je i kompozicija g f : X Z neprekidno preslikavanje.(ii) Za svaki topoloki prostor X, identiteta 1X : X X je

neprekidno preslikavanje.

Propozicija 9.11y(i) Svako konstantno preslikavanje je neprekidno.(ii) Svako preslikavanje kojemu je domena diskretan prostor je

neprekidno.(iii) Svako preslikavanje kojem je kodomena indiskretan prostor je

neprekidno.

METRIKI PROSTORI 733. TOPOLOKI PROSTOR 10. BAZA I PODBAZA

Baza topologijeU metrikom prostoru svaki je otvoren skup unija (od najeebeskonano mnogo) otvorenih kugala. I u topolokim prostorima jeesto korisno imati neku potfamiliju otvorenih skupova koja imaulogu poput familije kugala u metrikom prostoru.Definicija 10.1Neka je (X ,T) topoloki prostor. Za familiju B T kaemo da jebaza topologija T, ako je svaki skup u T unija nekih lanovafamilije B.

Uoi razliku izmeu ove i sljedee definicije:Definicija 10.2Neka je X skup. Za familiju B podskupova od X kaemo da jebaza neke topologije na X ako je familija koja se sastoji odpraznog skupa i svih proizvoljnih unija lanova od B, topologija,tj. ako zadovoljava (TOP1)(TOP3).


Kriterij za bazuNe moe svaka familija podskupova biti baza neke topologije.O tome govori

Propozicija 10.3Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako isamo ako vrijedi sljedee:(B1) Unija svih lanova familije B jednaka je X, i(B2) Presjek svaka dva lana odB jednak je uniji nekih lanova odB.

Dokaz:(TOP1) Slijedi neposredno iz definicije i prvog uvjeta.(TOP2) Za U =

B, V =

B je U V =

,(B B), a

svaki B B je unija nekih lanova od B, pa je U V unijalanova iz B.

(TOP3) Unija unije lanova iz B je unija lanova iz B.


Primjena

Primjer 10.4Kako bismo provjerili je li neko preslikavanje f : X Y neprekidno,dovoljno je provjeriti jesu li praslike lanova neke baze topologije na Yotvoreni podskupovi od X (ekonominost: ne treba to provjeravatiza sve otvorene skupove u Y ).Dz. Za V =

B Y je f 1(V ) = f 1

( B

)= f 1(B).

Druga primjena je nain kako se esto topologija zadaje:

Primjer 10.5yOdozdo granina topologija na R je topologija generirana bazomkoju ine svi poluotvoreni intervali [a, b, a < b. Tu emotopologiju zvati i `-topologija, a realne brojeve s tom topologijomoznaivat emo R`.


Podbaza topologije

Moe se jo vie ekonomizirati:

Definicija 10.6Podbaza topologije T na X je takva familija S podskupova od Xda je familija svih konanih presjeka lanova iz S baza topologijeT,tj. svaki je otvoren skup unija konanih presjeka lanova familije S.

Primjer 10.7yJednu podbazu standardne topologije na R ine svi beskonaniotvoreni intervali, tj. skupovi oblika , b i a,+, a, b R.Jo ekonominije, dovoljno je uzeti samo beskonane intervale sracionalnim krajevima, a, b Q.

METRIKI PROSTORI 773. TOPOLOKI PROSTOR 11. POTPROSTOR

PotprostorDefinicija 11.1Neka je (X ,T) topoloki prostor a A X podskup. Relativna iliinducirana topologija na A je familija svih presjeka lanova odT s A.A s relativnom topologijom naziva se (topoloki) potprostor od X .

Nekad je korisno znati sljedee:

Propozicija 11.2Neka su X i Y topoloki prostori, A X potprostor, a i : A Xinkluzija.(i) Ako je f : X Y neprekidno onda je neprekidna i restrikcija

f |A = f i : A Y .(ii) Preslikavanje g : Y A je neprekidno ako i samo ako je

neprekidna kompozicija i g : Y X.

METRIKI PROSTORI 783. TOPOLOKI PROSTOR 11. POTPROSTOR

Lema o lijepljenju za otvorene skupoveDobro je znati sljedee:

Propozicija 11.3Neka je A otvoren podskup prostora X a U A otvoren u A.Tada je U otvoren i u X.

Sljedei teorem pokazuje kako je neprekidnost lokalno svojstvopreslikavanja, i vrlo je koristan.

Teorem 11.4 (Lema o lijepljenju za otvorene skupove)Neka je X =

J U, pri emu su U otvoreni podskupovi od X,

a f : X Y preslikavanje takvo da su restrikcije f |U : U Yneprekidne za sve J. Tada je i preslikavanje f neprekidno.

Dokaz: Neka je V Y otvoren skup. Za svaki skup (f |U)1(V ) jeotvoren u U, pa je onda otvoren i u X , jer je U otvoren u X ,a f 1(V ) =

(f |U)1(V ), pa je i on otvoren u X .

METRIKI PROSTORI 793. TOPOLOKI PROSTOR 12. PRODUKT TOPOLOKIH PROSTORA

ProduktRavnina R2 je produkt R R s topologijom koju definira bilo kojaod metrika d1, d2 ili d iz primjera 6.4, a preslikavanje u R2, npr.krivulju f : [a, b] R2 zadanu s f (t) = (x(t), y(t)), smatramoneprekidnom ako su koordinatne funkcije t 7 x(t) i t 7 y(t) neprekidne.To elimo poopiti na produkt proizvoljnih topolokih prostora.

Definicija 12.1Neka su X i Y topoloki prostori s topologijama TX odnosno TY .Produktna topologija na Kartezijevom produktu X Y jetopologija koju definira baza B = {U V : U TX , V TY }.y Primijetimo da ako su (X , dX ) i (Y , dY ) metriki prostori, onda jeproduktna topologija na X Y upravo topologija generirana bilokojom od metrika d1, d2 ili d.

OPREZ: Skupovi oblika U V , U TX i V TY , nisu jedini otvoreniskupovi u X Y !


Osnovno o produktuOsnovne injenice o produktu dane su sljedeim teoremom:

Teorem 12.2

(i) Za toku (x , y) X Y i svaki otvoren skup W X Yt.d. je (x , y) W, postoje otvoreni skupovi U X oko x iV Y oko y takvi da je (x , y) U V W.

(ii) Projekcije pX : X Y X i pY : X Y Y su neprekidne.

Dokaz: Obje tvrdnje slijede neposredno iz definicije produktne topologije.Jasno je kako se definira produktna topologija na produktukonanog broja topolokih prostora.


Neprekidnost preslikavanja u produktPreslikavanje f : Z X Y skupa Z u produkt X Y definiranoje parom koordinatnih preslikavanja fX : Z X i fY : Z Y , papiemo f = (fX , fY ) : Z X Y , tj. f (z) =

(fX (z), fY (z)

).

Osnovno svojstvo produktne topologije, i razlog zato je definiranakako je definirana definicijom 12.1, je sljedei teorem:

Teorem 12.3Preslikavanje f = (fX , fY ) : Z X Y je neprekidno ako i samoako su koordinatna preslikavanja fX i fY neprekidna.

Dokaz: Neka je U V bazni otvoren skup u produktu X Y ,gdje su U i V otvoreni skupovi u X odnosno Y .Tada je f 1(U V ) = f 1X (U) f 1Y (V ) otvoren podskup od Zjer su fX i fY neprekidna preslikavanja, pa je preslikavanje f neprekidno. Ako je f neprekidno onda su i kompozicije fX = pX f ifY = pY f neprekidne.

METRIKI PROSTORI 823. TOPOLOKI PROSTOR 13. HOMEOMORFIZAM I TOPOLOKA SVOJSTVA

Homeomorfizam

Topoloke prostore koje moemo jedan iz drugog dobiti neprekidnimdeformacijama bez trganja i lijepljenjane razlikujemo. Tonije

Definicija 13.1Neprekidno preslikavanje f : X Y je homeomorfizam ako postojineprekidno preslikavanje g : Y X t.d. je g f = 1X i f g = 1Y ,a za topoloke prostore kaemo da su homeomorfni ili topolokiekvivalentni ako postoji barem jedan homeomorfizam s X na Y .Rabit emo i sljedee oznake: X = Y , f : X

= YLako se vidi: f : X Y je homeomorfizam akko je f neprekidnabijekcija takva da je i inverzno preslikavanje f 1 : Y X neprekidno.Ekvivalentno, homeomorfizam je bijekcija f takva da je U otvorenako i samo ako je f (U) otvoren. Drugim rijeima, homeomorfizamje bijekcija koja uva topoloku strukturu.


Primjeri

(a) Svaka dva otvorena intervala realnih brojeva su homeomorfna.(b) Svaki otvoren interval i R su homeomorfni. Npr. x 7 x1+|x | je

homeomorfizam R 1, 1 (inverz je y 7 y1|y |).

R

1

1

(c) = 6=


Primjeri

(d) = (iako se deformacija nemoe izvesti u ravnini)

Jesu li ovi prostori homeomorfni?

(dvije krunice spojene segmentom)

(e)

Jesu li ovi prostori homeomorfni?

= =

A mogu li se u E3 deformirati jedan u drugog?


Homeomorfizam s grafom

Teorem 13.2Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje topolokih prostora.Tada je graf f =

{(x , f (x)

): x X} kao potprostor produkta

X Y , dakle s relativnom topologijom, homeomorfan prostoru X.Dokaz: Preslikavanje x 7 (x , f (x)) i restrikcija projekcije pX na f su

meusobno inverzna neprekidna preslikavanja.

X

Yf

X Y


Topoloka svojstva

Ako je neko svojstvo koje ima smisla za sve topoloke prostore, itakvo je da ukoliko neki prostor ima to svojstvo onda ga imaju i svinjemu homeomorfni prostori, onda kaemo da je topoloko svojstvo.Naprimjer, prostor se sastoji od 13 toaka je topoloko svojstvo,ali prostor je omeen nije topoloko svojstvo.Biti otvoren takoer nije topoloko svojstvo: skup realnih brojevaveih od 0 a manjih od 1 je otvoren u R ali nije otvoren u C.

METRIKI PROSTORI 873. TOPOLOKI PROSTOR 14. ZATVORENI SKUPOVI, GOMILITA, ZATVORENJE, RUB I NUTRINA

Zatvoreni skupovi

Definicija 14.1Za podskup F topolokog prostora X kaemo da je zatvoren ako jenjegov komplement X \ F otvoren.

Primjer 14.2 (Zatvoreni i ne-zatvoreni podskupovi od R)Segment, tj. zatvoren interval [a, b] je zatvoren u R;[a, je zatvoren u R;ali a, b, [a, b, a, b], a, nisu zatvoreni u R;ali ,+ je zatvoren u R; a i kao podskup od R je zatvoren;N i Z su zatvoreni u R;ali Q i njegov komplement R \Q nisu zatvoreni u R.


Familija zatvorenih skupovaKako su zatvoreni skupovi komplementi otvorenih, to, premaDeMorganovim formulama, za familiju zatvorenih skupova vrijedi:Propozicija 14.3yU svakom topolokom prostoru X

prazan skup i cijeli prostor X su zatvoreni;unija konano mnogo zatvorenih skupova je zatvoren skup;presjek bilo koje familije zatvorenih skupova je zatvoren skup.

Primjer 14.4Za svaki n N neka je Fn =

[ 1n , 2

1n] R segment. Tada je unija

nN Fn = 0, 2, to nije zatvoren skup u R, iako su svi Fn zatvoreni.

Primjer 14.5U diskretnom topolokom prostoru svaki je podskup zatvoren.


Zatvoren u potprostoru. Neprekidnost

Osnovne injenice o zatvorenim skupovima u potprostoru, kao ineprekidnost preslikavanja jezikom zatvorenih skupova, dana jeovom propozicijom:

Propozicija 14.6yNeka je A potprostor topolokog prostora X.(i) Podskup F A je zatvoren u A ako i samo ako postoji u X

zatvoren podskup G takav da je F = G A.(ii) Ako je F zatvoren u A i A je zatvoren u X, onda je i F

zatvoren u X.(iii) Preslikavanje f : X Y je neprekidno ako i samo ako je za svaki

zatvoren podskup F Y, praslika f 1(F ) zatvoren podskup od X.


Lema o lijepljenju za zatvorene skupove

Za razliku od neprekidnosti na uniji otvorenih skupova, teorem 11.4,analogan teorem vrijedi samo za konane unije zatvorenih skupova.

Teorem 14.7 (Lema o lijepljenju za zatvorene skupove)Neka je X = A1 An, pri emu su Ak zatvoreni podskupoviod X, a f : X Y preslikavanje takvo da su restrikcijef |Ak : Ak Y neprekidne za sve k = 1, . . . , n.Tada je i preslikavanje f neprekidno.

Dokaz: Neka je G Y zatvoren skup. Za svaki k skup (f |Ak )1(G) jezatvoren u Ak , pa je onda zatvoren i u X , jer je Ak zatvoren u X ,a f 1(G) = (f |A1)1(G) (f |An)1(G), pa je i on zatvoren u X .y Tvrdnja teorema ne vrijedi ako se radi o uniji beskonane familijezatvorenih skupova.


GomiliteDefinicija 14.8Neka je A podskup topolokog prostora X . Za toku x Xkaemo da je gomilite skupa A ako svaka okolina U toke x sadribarem jednu toku skupa A koja je razliita od toke x .Skup svih gomilita skupa A oznaivat emo Ad .engleski nazivi: limit point, cluster point, accumulation point

Uoi da gomilite moe, ali i ne mora pripadati skupu.

Napomena 14.9Kako bismo ustanovili je li neka toka x gomilite skupa A,dovoljno je zahtjev iz definicije provjeriti za one okoline toke xkoje su elementi baze topologije na X .To za metrike prostore znai da je dovoljno da za svaki r > 0,kugla K (x ; r) sadri barem jednu toku skupa A razliitu od x .


Primjeri

Primjer 14.10U R su toke a i b gomilita i od a, b i od [a, b].Zapravo, svaka toka segmenta [a, b] (i nikoja druga) jegomilite svakog od intervala a, b, a, b], [a, b i [a, b].Toka 0 nije gomilite skupa {0} [2, 3] R.Svaki realan broj je gomilite skupa Q R.U R`, tj. u R s odozdo graninom topologijom, b nijegomilite intervala a, b i a, b], dok a je !

OPREZ: Ako je (xn)n niz u prostoru X , treba razlikovati gomilite nizaod gomilita skupa {xn : n N}, tj. skupa vrijednosti toga niza.Primjer: Svaki konstantan niz ima jedno gomilite, ali njegov skupvrijednosti nema niti jedno gomilite.


Zatvorenje skupa

Definicija 14.11Neka je A podskup topolokog prostora X . Presjek svih zatvorenihskupova koji sadre A naziva se zatvorenje skupa A, oznaka A ili ClA.Drugim rijeima, A je najmanji zatvoren skup koji sadri A.

Primjer 14.12U R sa standardnom, tj. euklidskom topologijom je

a, b = [a, b], Q = R, R \Q = R, { 1n : n N} = { 1n : n N} {0}ali s diskretnom topologijom je A = A za svaki A R.U R` je a, b] = [a, b], ali je [a, b = [a, b = a, b.


Zatvorenje kugli u metrikim prostorima

Zatvorenje kugli K (x ; r) = {x Rn : d(x , x) < r } u Rn jejednostavno:

K (x ; r) = {x Rn : d(x , x) 6 r },i to za svaku od metrika d1, d2 i d.Stoga je lako pomisliti da tako vrijedi i openito. Ali:

Primjer 14.13Zatvorenje kugle K (x ;1) u diskretnom metrikom prostoru (X , )jednako je {x }, dok je {x X : (x , x) 6 1} = X .Zatvorenje kugle K (1; 1) u potprostoru

X = [0, 1] [2, 3] Rje [0, 1], dok je {x X : |x 1| 6 1} = [0, 1] {2}.

ZATO OPREZ !


Jo o zatvorenju kugli u metrikim prostorima

Ipak, jedna od inkluzija vrijedi uvijek:

Propozicija 14.14U svakom metrikom prostoru X je K (a; r) {x : d(x , a) 6 r }.

Dokaz: Prema korolaru 6.28 je funkcija : X R definirana s(x) := d(x , a) neprekidna, a kako je skup [0, r ] R zatvoren,zbog neprekidnosti je i skup {x : d(x , a) 6 r } = 1

([0, r ]

)zatvoren,

a jer sadri K (a; r) = 1([0, r), sadri i K (a; r).

Alternativni dokaz: Za d(x , a) > r je kugla K = K(x ; d(x , a) r

)otvoren skup koji ne sijee K (a; r), pa x / K (a; r) premateoremu 14.17, ili zbog injenice da je skup X \ K zatvoren, sadriK (a; r) pa sadri i K (a; r), ali ne sadri toku x .


Zatvorenje u potprostoruZatvorenje nekog skupa ovisi o tome u kojem prostoru skup promatramo.

Primjer 14.15Zatvorenje intervala 0, 1 u R je [0, 1], alizatvorenje istog intervala 0,1 u potprostoru 0,R je 0, 1].Zatvorenje skupa Q u R je R, alizatvorenje skupa Q u potprostoru Q R je Q.

DOGOVOR: Kada je A Y X rabit emo oznake ClX A, ClY A i sl.kako bi bilo jasno u kojem se prostoru vri zatvorenje.Dogovorno emo oznaku A rabiti iskljuivo kada se radi ozatvorenju s obzirom na itav prostor. Dakle, A ClX A . Uvijek !Propozicija 14.16yZa A Y X je ClY A = A Y , tj. ClY A = (ClX A) Y .


Zatvorenje i supremumEvo jedne korisne karakterizacije zatvorenja:Teorem 14.17Toka x pripada zatvorenju skupa A, tj. x A, ako i samo akosvaka okolina toke x sijee A.

Dokaz: Neka je x A i pretpostavimo da postoji okolina U 3 xkoja ne sijee A. Tada je X \ U zatvoren skup koji sadri A i nesadri x , pa x / A . Neka je x X takva toka da svaka okolina U 3 x sijee A, ipretpostavimo da x / A. To znai da postoji zatvoren skup F Xt.d. je A F i x / F . No tada je X \ F otvoren skup koji sadritoku x a ne sijee A. Posljedica 14.18yNeka je A R neprazan odozgo omeen skup. Tada je supA A.


Zatvorenje u metrikim prostorima

Sljedea karakterizacija zatvorenja u metrikim prostorimapotkrepljuje intuiciju.

Teorem 14.19Neka je A podskup metrikog prostora (X , d). Toka x pripadazatvorenju A ako i samo ako je d(x ,A) = 0.

Dokaz: Ako je x A onda prema teoremu 14.17 svaka okolinatoke x sijee skup A. Specijalno, za svaki > 0 je K (x ; )A 6= ,tj. postoji a A t.d. je d(a, x) < , pa je d(x ,A) = infaA d(a, x) = 0. Ako je d(x ,A) = 0 onda u svakoj kugli K (x ; r) postoje tokeskupa A, pa je x A, prema teoremu 14.17.


Svojstva zatvorenjaOsnovna svojstva zatvorenja opisana su sljedeim teoremom:

Teorem 14.20Neka je X topoloki prostor, A i B proizvoljni podskupovi.(i) A je zatvoren i A A;(ii) A je zatvoren ako i samo ako je A = A;(iii) A = A, tj. Cl(ClA) = ClA;(iv) ako je A B onda je A B;(v) A = A Ad .

Dokaz: Jedina netrivijalna tvrdnja je (v). Neka je x A i neka jeU 3 x proizvoljna okolina. Prema teoremu 14.17 je U A 6= , paili je x A ili U sadri toku iz A razliitu od x , te je x Ad .Obratno, ili je x Ad pa svaka okolina od x sadri toku iz A (akrazliitu od x), te je po teoremu 14.17 x A, ili je x A A.


Zatvorenje unije i presjeka

Ponaanje zatvorenja prema uniji opisano je sljedeim teoremom:

Teorem 14.21yNeka su A1,A2, . . . ,An podskupovi topolokog prostora X. Tada je

A1 An = A1 An.Za proizvoljnu familiju {A}J podskupova od X vrijedi samo

A A .

a ponaanje prema presjeku ovim:

Teorem 14.22yZa proizvoljnu familiju {A}J podskupova od X vrijedi

A A .

Jednakost ne vrijedi niti za zatvorenje konanih presjeka.


Zatvorenje i neprekidnost

esto je korisna sljedea karakterizacija neprekidnosti:

Teorem 14.23Preslikavanje f : X Y je neprekidno ako i samo ako za svakipodskup A X vrijedi f (A) f (A).

Dokaz: Neka je x A i V 3 f (x) otvoren skup. Kako je f neprekidno,postoji okolina U 3 x t.d. je f (U) V . Zbog x A je U A 6= (teorem 14.17), pa je V f (A) 6= , znai f (x) f (A). Neka je x X i V 3 f (x) otvoren skup. OznaimoA := f 1(Y \ V ) = X \ f 1(V ). Tvrdnja: x / A. Inae bi bilof (x) f (A) f (A) = f (f 1(Y \ V )) Y \ V = Y \ V .Dakle,x U := X \A = X \(X \ f 1(V )) X \(X \ f 1(V )) = f 1(V ),pa je f (U) V , tj. f je neprekidna u x .


Gusti skupoviVidjeli smo, teorem 1.4, da izmeu svaka dva razliita realna brojapostoji barem jedan racionalan broj, tj. da je Q gust na R.Openita definicija je sljedea:

Definicija 14.24Za podskup A topolokog prostora X kaemo da je gust ili svudagust na X ako je X = A.

Propozicija 14.25Podskup A je gust na X akko svaki neprazan otvoren skup sijee A.

Dokaz: Neka je U X otvoren skup. U je okolina svake svojetoke, pa, jer je A gust na X , U A 6= (teorem 14.17). Ako svaki otvoren skup sijee A, onda za svaki x X i svakuokolinu U 3 x je UA 6= , pa je po teoremu 14.17 x A, tj. A = X .


Interior (nutrina)

Dualno zatvorenju je interior:

Definicija 14.26Interior ili nutrina skupa A u topolokom prostoru X je unija svihotvorenih skupova sadranih u A, oznaka IntA.To je, dakle, najvei otvoren podskup od X koji je sadran u A.

Primjer 14.27Int[a, b] u R je a, b;Int[a, b] u , b] je a, b];IntQ u R je , a IntQ u Q je Q.


Nigdje gusti skupoviDefinicija 14.28Za skup A u topolokom prostoru X kaemo da je nigdje gust akoje X \ A gust u X .

Posljedica 14.29Zatvoren skup je nigdje gust akko je njegov komplement gust.

Primjer 14.30N je nigdje gust u R.{ 1n : n N} je nigdje gust u [0, 1] R.

Propozicija 14.31A je nigdje gust u X ako i samo ako je IntA = .

Dokaz: IntA = svaki neprazan otvoren skup sijee X \ A X \ A je gust u X prema propoziciji 14.25.


RubSkup toaka koje su blizu skupa i njegovog komplementa je rub. Tonije

Definicija 14.32Rub ili granica skupa A u topolokom prostoru X je skup AX \ A,oznaka A ili FrA ili BdA.

Primijeti da je uvijek A = (X \ A) i X = .Primjer 14.33

U R je a, b] = {a, b}, 0, = {0}, Q = R, N = N.U Rn je K (x ; r) = {y : d(x , y) = r } za svaku od metrika d1,d2 i d.

Propozicija 14.34yToka x X pripada rubu skupa A ako i samo ako svaka njezinaokolina sijee A i X \ A.

METRIKI PROSTORI 1063. TOPOLOKI PROSTOR 15. AKSIOMI SEPARACIJE

Konvergencija u metrikim prostorimaKonvergencija se u metrikim prostorima definira kao i u Rodnosno En, s time da se, umjesto euklidske metrike koristimetrika u promatranom metrikom prostoru.

Definicija 15.1Kaemo da je niz (xn)n u metrikom prostoru (X , d) konvergentanili da konvergira ako postoji toka x X takva da za svaki > 0postoji n0 N takav da za sve n > n0 vrijedi d(xn, x) < .Toka x naziva se limes niza i oznaava x = lim xn ili limn xn,i kae se da niz (xn) konvergira k x.injenicu da niz (xn)n konvergira k x moemo pomou kugalaizrei ovako: Za svaku otvorenu kuglu K (x; ) oko toke xpostoji n0 N takav da za sve n > n0 vrijedi xn K (x; ).Drugim rijeima, za svaki > 0, svi se lanovi niza, osim modanjih konano mnogo, nalaze u -kugli oko x.


Konvergencija u produktu

Kao i kod neprekidnosti, konvergencija u produktu se svodi nakonvergenciju po koordinatama. Tonije,

Teorem 15.2yNeka su (X , dX ) i (Y , dY ) metriki prostori. Niz

((xn, yn)

)n u

X Y konvergira ako i samo ako kovergiraju koordinatni nizovi(xn)n i (yn)n, i tada vrijedi limn(xn, yn) =

(limn xn, limn yn

).


Konvergencija u topolokim prostorimaKonvergencija se u topolokim prostorima definira kao i umetrikim, s time da se, kao i kod neprekidnosti, otvorene kuglezamijene otvorenim skupovima.

Definicija 15.3Za niz (xn)n u topolokom prostoru X kaemo da je konvergentanili da konvergira ako postoji toka x X takva da za svakiotvoren skup U X koji sadri x postoji n0 N takav da za sven > n0 vrijedi xn U.Postoji meutim jedan problem.

Primjer 15.4Neka je X indiskretan topoloki prostor, tj. jedini otvoreni skupoviu X su i cijeli X . Tada bilo koji niz (xn)n u X konvergira svakojtoki iz X .


Jedinstvenost limesa u metrikim prostorima

U metrikim prostorima s limesom niza nemamo problema kao uindiskretnom prostoru. Vrijedi naime sljedea propozicija:

Propozicija 15.5Limes konvergentnog niza u metrikom prostoru je jedinstven.

Dokaz: Pretpostavimo da su x i x^ dva razliita limesa niza (xn)n.Tada za = d(x

, x^)2 postoje prirodni brojevi n i n^ takvi da za

n > n vrijedi xn K (x; ) a za n > n^ vrijedi xn K (x^ ; ),pa bi za dovoljno velike n lanovi xn morali biti u obje kugle, to jenemogue jer su one disjunktne.Zato emo esto na topoloki prostor staviti dodatni zahtjev koji eosigurati jedinstvenost limesa.


Hausdorffovo svojstvo

Definicija 15.6Za topoloki prostor kaemo da je Hausdorffov, ili da imaHausdorffovo svojstvo, ili da je T2-prostor, ako za svake dvijerazliite toke x i y postoje disjunktni otvoreni skupovi U 3 x i V 3 y .

Primjer 15.7R i Rn s bilo kojom od metrika d1, d2 i d, su Hausdorffovi;svaki metriki prostor je Hausdorffov.

Propozicija 15.8Limes konvergentnog niza u Hausdorffovom prostoru je jedinstven.

Dokaz: Kao dokaz prethodne propozicije 15.5 treba samo kuglezamijeniti disjunktnim otvorenim skupovima.


Osnovna svojstva Hausdorffovih prostoraLako se dokazuje sljedea propozicija:

Propozicija 15.9y(i) Jednolani podskupovi Hausdorffova prostora su zatvoreni.(ii) Svaki potprostor Hausdorffova prostora je Hausdorffov.(iii) Produkt dvaju Hausdorffovih prostora je Hausdorffov.(iv) Hausdorffovo svojstvo je topoloko svojstvo.

Definicija 15.10Za topoloki prostor kaemo da je T1-prostor ako su jednotokovnipodskupovi zatvoreni.y Ekvivalentno, za svake dvije razliite toke x i y postoje otvoreniskupovi U 3 x i V 3 y takvi da y / U i x / V .Propozicija 15.9 (i) pokazuje da je svaki Hausdorffov prostor T1-prostor.


Regularnost i normalnost

Hausdorffovo i T1-svojstvo su samo dva u itavoj hijerarhijiseparacijskih svojstava.

Definicija 15.11Za T1-prostor kaemo da je regularan ako za svaku toku x izatvoren skup F koji ju ne sadri, postoje disjunktni otvoreniskupovi U 3 x i V F .

Definicija 15.12Za T1-prostor kaemo da je normalan ako za svaka dva disjunktnazatvorena skupa A i B postoje disjunktni otvoreni skupovi U A iV B.y Vrijedi: metriki= normalan= regularan= Hausdorffov= T1

METRIKI PROSTORI 1134. KOMPAKTNI PROSTORI

4 KOMPAKTNI PROSTORI

Motivacija i definicijaKompaktnost segmentaSvojstva kompaktnih prostora i neprekidnih funkcija na njimaKompaktnost potprostora i produktaKompaktnost u Rn

17. oujka 2015.

METRIKI PROSTORI 1144. KOMPAKTNI PROSTORI 16. MOTIVACIJA I DEFINICIJA

MotivacijaKolegij smo zapoeli diskusijom o omeenosti neprekidne realne funkcijef : [a, b] R. Cilj nam je dokazati ovu tvrdnju kao i njena poopenja.Neka je A R proizvoljan skup a f : A R neka funkcija. Je li onaomeena, tj. postoji li pozitivan broj K t.d. je |f (x)| 6 K za sve x A?

1. korak: Ako je skup A konaan, A = {a1, . . . , an}, odgovor je DA,moemo npr. uzeti K = max{|f (a1)|, . . . , |f (an)|}.

2. korak: Openitije, neka je A =nj=1 Aj konana unija skupova takvih

da je f omeena na svakom od njih, tj. postoje pozitivni brojeviK1, . . . ,Kn takvi da je |f (x)| 6 Kj za sve x Aj i sve j = 1, . . . , n.Uzmemo li K = max{K1, . . . ,Kn} bit e |f (x)| 6 K za sve x A.Primjer 16.1Promotrimo funkciju f : 0, 1 R definiranu s f (x) = 1x . Za svakiK > 0 postoji x 0, 1 t.d. je f (x) > K . Dakle, f nije omeenaiako je ona ak neprekidna.


Lokalna omeenost neprekidnih preslikavanja3. korak: Ipak, ima neke koristi od neprekidnosti.

Teorem 16.2Svako je neprekidno preslikavanje f : X Y topolokog prostora Xu metriki prostor Y lokalno omeeno, tj. za svaku toku x Xpostoji okolina U 3 x takva da je f (U) omeen podskup od Y .

Dokaz: Za x X i npr. = 1, zbog neprekidnosti preslikavanja f ,postoji okolina U 3 x takva da je f (U) K(f (x); 1).Dakle, ako je A R i f : A R je neprekidna funkcija, onda zasvaku toku a A postoji > 0 t.d. za x A vrijedi |f (x)f (a)| < 1im je |xa| < , tj. |f (x)| < 1+|f (a)| za sve x K (a; ) = a, a+,pa je f omeene na -okolini toke a.Vano je uoiti da ovisi o a, pa emo ga oznaiti s a.Dakle, za svaki x A je Ka = 1+ |f (a)| gornja mea za |f (x)| naokolini K (a; a) = a a, a + a toke a.


Sluaj kada je A pokriven s konano mnogo a-okolina4. korak Na poetku smo pitali postoji li K > 0 koji je vei od |f (x)| za

sve x A. Za svaki a A postoji Ka koji je dobar na a-okolinitoke a, ali openito ne moemo uzeti najvei od tih brojeva jerskup svih Ka ne mora biti omeen.Ali, ako je dovoljno konano mnogo a-okolina da pokriju skup A,onda e maksimum pripadnih konano mnogo Ka biti vei od |f (x)|za sve x A, kao to smo eljeli.Dakle, ako je od, u principu beskonano mnogo, a-okolina koje supokrivale domenu A neprekidne funkcije f , dovoljno ve konanomnogo njih da pokriju A, onda e funkcija f biti omeena.Drugim rijeima, ovakvo svojstvo skupa A, da se iz svake familijeokolina koje pokrivaju A moe izdvojiti konana potfamilija kojapokriva A, omoguuje da se lokalno svojstvo, lokalna omeenostneprekidne funkcije, proiri do globalnog svojstva na cijeli skup A.


Definicija kompaktnostiDefinicija 16.3Otvoren pokriva podskupa A topolokog prostora X je familija Uotvorenih podskupova od X takva da je A UU U.Pritom A moe biti i cijeli prostor X .Potpokriva pokrivaa U je svaka potfamilija V U koja je isama pokriva skupa A, tj. A UV U.Potpokriva V je konaan ako je familija V konana.

Definicija 16.4Topoloki prostor je kompaktan ako svaki njegov otvoren pokrivaima konaan potpokriva.

OPREZ Definicija kompaktnosti ne kae da je prostor X kompaktan ako imakonaan otvoren pokriva (svaki ima jednolan otvoren pokriva, {X }),nego da svaki otvoren pokriva od X ima konaan potpokriva.


Otvoren interval nije kompaktan

Primjer 16.5 (Otvoren interval 0, 1 nije kompaktan)Naravno da postoje otvoreni pokrivai intervala 0, 1 koji imajukonane potpokrivae. Ali postoje i oni koji nemaju. Naprimjer,familija U =

{ 1n , 1 : n N} je otvoren pokriva intervala 0, 1jer je

nN 1n , 1 = 0, 1, ali ne postoji konana potfamilija od U

koja je dovoljna da pokrije 0, 1.

S druge strane, uskoro emo pokazati da je svaki zatvoren interval,tj. segment, kompaktan.Diskusija kojom smo zapoeli i motivirali definiciju kompaktnostipokazuje kako je svaka neprekidna realna funkcija s kompaktnomdomenom, omeena.


Dva citata

Evo kako E.Hewitt komentira kompaktnost u lanku The role ofcompactness in analysis, Amer. Math. Monthly, 67 (1960), 499516(u slobodnom prijevodu):Kompaktnost je zamjena za konanost, pogodna za prouavanjeneprekidnosti. Mnoge tvrdnje o funkcijama X Y su:

istinite i trivijalne ako je skup X konaan;istinite za neprekidne funkcije ako je X kompaktan;neistinite ili vrlo teke za dokazati, ak i za neprekidnefunkcije, ako X nije kompaktan.

A Herman Weyl, jedan od najpoznatijih matematiara 20. stoljea,komentirajui kompaktne podskupove ravnine, kae: Kada bi gradbio kompaktan, bio bi dovoljan konaan broj ma kako kratkovidnihpolicajaca, da odrava red.

METRIKI PROSTORI 1204. KOMPAKTNI PROSTORI 17. KOMPAKTNOST SEGMENTA

Segmenti su kompaktni

Teorem 17.1Svaki segment [a, b] R je kompaktan.

Postoje razliiti dokazi ove prevane i ne sasvim trivijalne injenice.Prikazat emo dva dokaza.

1. dokaz: Neka je U proizvoljan pokriva segmenta [a, b] otvorenimpodskupovima od R, i neka jeC = {x > a : [a, x ] je pokriven nekom konanom potfamilijom od U}.Trebamo pokazati da je b C . Primijetimo najprije da

ako je x C i a 6 y 6 x , onda je i y C . ()Nadalje, C 6= , tovie, postoji > 0 t.d. je [a, a + C .Zaista, postoji U U t.d. je a U, a kako je U otvoren, postoji > 0 t.d. je [a, a+ U, pa je i [a, x ] U za sve x [a, a+ .Znai, za svaki x [a, a + je [a, x ] pokriven jednolanomfamilijom {U}, pa je [a, a + C .


Zavretak 1. dokaza kompaktnosti segmenta

Ako C nije omeen odozgo onda postoji c C t.d. je c > b, pa jeprema () i b C , ime je teorem dokazan.Ako C je omeen odozgo, prema aksiomu potpunosti, postoji s = supC .Ako je s > b onda postoji c C t.d. je c > b, pa je opet b C .Pretpostavimo da je s 6 b. Zbog [a, a + C je s > a.Ali kako je s [a, b], postoji V U t.d. je s V , a kako je Votvoren, postoji 0 < < s a t.d. je s , s + V . Kako je snajmanja gornja mea skupa C , postoji c C t.d. je c > s .To znai da postoji konana potfamilija {U1, . . . ,Uk } U kojapokriva [a, c], pa familija {U1, . . . ,Uk ,V } pokriva [a, s + , dakle i[a, s + 12], u kontradikciji s injenicom da je s = supC .Mora dakle biti s > b, to zbog () dokazuje teorem.


2. dokaz kompaktnosti segmenta

2. dokaz: Pretpostavimo da je U otvoren pokriva segmenta [a, b] kojinema konaan potpokriva, i neka je c = a+b2 . Tada se baremjedan od podsegmenata [a, c] i [c, b] ne moe pokriti nekomkonanom potfamilijom od U. Oznaimo takav segment [a1, b1].Ponavljajui postupak, dolazimo do nizova (an) i (bn) takvih da jean1 6 an 6 bn 6 bn1 za sve n, i bn an = ba2n , i da segment[an, bn] nije pokriven nikojom konanom potfamilijom od U.Kako su nizovi (an) i (bn)monotoni i ograeni, oni konvergiraju, a jer jelim(bn an) = 0, oba konvergiraju zajednikoj vrijednosti ` [a, b].Neka je U U t.d. je ` U.Kako je U otvoren, postoji > 0 t.d. je ` , `+ U.Ali, nizovi (an) i (bn) konvergiraju k `, pa postoji n N za koji suan, bn ` , `+ U, te je segment [an, bn] pokrivenjednolanom potfamilijom {U} U.

METRIKI PROSTORI 1234. KOMPAKTNI PROSTORI 18. SVOJSTVA KOMPAKTNIH PROSTORA I NEPREKIDNIH FUNKCIJA NA NJIMA

Omeenost metrikih kompakata

Ovaj teorem je na liniji nae poetne diskusije o omeenostineprekidnih realnih funkcija realne varijable.

Teorem 18.1Svaki kompaktan potprostor A metrikog prostora X je omeen.

Dokaz: Fiksirajmo toku a A. Tada je A nN K (a; n), jer za svakix A postoji n N t.d. je n > d(x , a).Dakle, familija

{K (a; n) : n N} je otvoren pokriva od A, pa zbog

kompaktnosti, postoji konana potfamilija tih kugala koja pokriva A.Zato postoji i N N za koji je A K (a;N), tj. A je omeen.

Kompaktnou u metrikim prostorima bavit emo se detaljnije kasnije.


Zatvorenost kompakataTeorem 18.2Svaki kompaktan potprostor A Hausdorffova prostora X je zatvoren.

Dokaz: Pokaimo da je X\A otvoren. Neka je x X\A proizvoljna toka.Jer je X Hausdorffov, za svaki a A postoje disjunktne okoline Ua 3 ai Va 3 x . Familija {Ua : a A} pokriva A, a skupovi

aA Ua A i

aA Va 3 x su disjunktni. Ako je skup A konaan, onda je skupaA Va otvoren, pa je to traena okolina toke x sadrana u X \A.

Ali, i kompaktnost od A je dovoljna. Naime, familija {Ua : a A}je otvoren pokriva od A, pa zbog kompaktnosti postoji konaanpotpokriva, tj. postoje a1, . . . , ak A t.d. je A Ua1 Uak =: U.Tada je skup V := Va1 Vak otvorena okolina toke xsadrana u X \ A, to pokazuje da je skup A zatvoren.

Napomena: Prethodni dokaz pokazuje i vie. Naime, skupovi U A i V 3 x sudisjunktni, pa dokaz pokazuje da se u Hausdorffovu prostoru kompaktanskup A i toka x / Amogu razdvojiti disjunktnim otvorenim skupovima.


Omeenost i zatvorenost metrikih kompakata

Kao posljedicu prethodna dva teorema, dobivamoPosljedica 18.3Svaki kompaktan potprostor metrikog prostora je omeen i zatvoren.

Napomena 18.4Pokazat emo da u euklidskim prostorima En vrijedi i obrat, tj.pokazat emo da je potprostor A En kompaktan ako i samo akoje omeen i zatvoren.Meutim, u metrikim prostorima obrat openito ne vrijedi!

Primjer 18.5yU Hilbertovom prostoru `2 je skup toaka {ei : i N}, gdje jeei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . . ) (jedinica na i-tom mjestu), omeen izatvoren ali nije kompaktan.


Topoloka invarijantnost kompaktnosti

Teorem 18.6Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje topolokih prostora.Ako je X kompaktan onda je i slika f (X ) kompaktan potprostor od Y .

Dokaz: Neka je V otvoren pokriva od f (X ). Zbog neprekidnosti je f 1(V )otvoren u X za svaki V V, pa je {f 1(V ) : V V} otvorenpokriva od X . Kako je X kompaktan, postoji konaan potpokriva,tj. postoje V1, . . . ,Vk V t.d. je X f 1(V1) f 1(Vk),pa je

{V1, . . . ,Vk

}traeni konaan potpokriva od f (X ).

Dokaimo nekoliko posljedica ovog teorema:Posljedica 18.7 (Topoloka invarijantnost kompaktnosti)Kompaktnost je topoloka invarijanta, tj. ako su X i Y homeomorfniprostori onda su ili oba kompaktna, ili niti jedan nije kompaktan.


Omeenost neprekidnog preslikavanja na kompaktuPosljedica 18.8Svako neprekidno preslikavanje kompaktnog prostora u metrikiprostor je omeeno.

Dokaz: Preslikavanje f : X Y u metriki prostor Y je omeeno akoje slika f (X ) omeen podskup od Y . Tvrdnja dakle slijedi izteorema 18.6 i 18.1.Specijalno, svaka je neprekidna realna funkcija na kompaktnom prostoruomeena, pa, zbog kompaktnosti segmenta, dobivamo i tvrdnju spoetka, da je svaka neprekidna funkcija f : [a, b] R omeena.Osim toga, kako je svaki kompaktan podskup od R omeen i zatvoren(teorem 18.3), pa sadri infimum i supremum (korolar 14.18), dobivamoPosljedica 18.9 (Weierstrassov teorem)Svaka neprekidna realna funkcija na kompaktu ima minimum imaksimum.


Uniformna neprekidnostKada se dokazuje da je svaka neprekidna funkcija f : [a, b] RRiemann-integrabilna, koristi se injenica da je svaka neprekidnafunkcija na segmentu i uniformno neprekidna.

Definicija 18.10Za preslikavanje f : (X , dX ) (Y , dY ) kaemo da je uniformno ilijednoliko neprekidno, ako za svaki > 0 postoji > 0 t.d. za svex , x X za koje je dX (x , x) < vrijedi dY

(f (x ), f (x)

)< .

Dakle, > 0 > 0 t.d. (dX (x , x) < dY (f (x ), f (x)) < ).y Uoi da je za uniformnu neprekidnost potrebno specificirati metrike na

domeni i kodomeni. Uz razliite, iako topoloki ekvivalentne metrike,isto preslikavanje moe u jednon metrici biti uniformno neprekidno,a u drugoj ne.


Neprekidnost vs. uniformna neprekidnost

y Svako uniformno neprekidno preslikavanje je neprekidno, ali obratnoopenito ne vrijedi.Neprekidnost je lokalno svojstvo preslikavanjaovisi o ponaanjupreslikavanja u okolini toke, dok je uniformna neprekidnostglobalno svojstvogovori neto o preslikavanju na cijeloj domeni.Kako kompaktnost esto omoguuje da se lokalno svojstvoprotegne do globalnog, ne treba nas uditi da vrijedi slj

metricki prostori

Documents

skup f x ygraf funkcije

slika skupa aslika funkcije

x y domena kodomena

x xpraslika skupa b

metric and topological

oznaka fb posebno fy

prazan skup skupovi

postoji broj m 0 takavda