métodos cuantitativos y macroeconomía avanzada

7/27/2019 Mtodos Cuantitativos y Macroeconoma Avanzada

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Notas de ClaseMtodos Cuantitativos y Macroeconoma Avanzada

Andrs Gonzlez GmezUniversida de los Andes


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ndice general

Parte 1. Solucin de modelos de Equilibrio General Dinmico 7

Captulo 1. Modelo de Solow 9

Captulo 2. Un modelo de equilibrio general competitivo en dos perodos 132.1. Ambiente 132.2. Hogares 132.3. Las rmas 152.4. Equilibrio. 17

Captulo 3. Programacin no lineal 193.1. Teorema de Khun-Tucker 193.2. Modelo de Ramsey con trabajo jo 193.2.1. Mtodos numricos de solucin. 223.3. Horizonte innito 233.3.1. Utilidad recursiva. 233.3.2. Problema de Ramsey en horizonte innito 243.3.3. Mtodos de numricos de solucin. 253.4. Modelo de Ramsey con trabajo variable 253.4.1. Solucin 273.5. Modelo de Ramsey con trabajo variable solucionado por el Mercado 303.5.1. Hogares 303.5.2. Firmas 32

3.5.3. Equlibrio 333.6. Modelo de Ramsey con distorciones 333.7. Programacin no lineal con incertidumbre 343.8. Modelo de Ramsey con incertidumbre 343.9. Mtodos de solucin numricos: 35

Captulo 4. Programacin dinmica 394.1. Utilidad indirecta 394.2. Introduccin a la Programacin dinmica 40Una versin ms general 414.3. Ejemplos del mtodo de programacin dinmica 434.3.1. El problema de la torta 434.3.2. El problema de Ramsey con trabajo jo 44

4.3.3. El problema de Ramsey con trabajo variable 454.3.4. Un caso en el que falla la programacin dinmica (Canova) 454.4. Solucin para horizonte innito iterando la funcin valor. 464.4.1. Problema de Ramsey 464.4.2. Problema de la torta 494.5. Iteracin de la funcin valor con horizonte nito 514.5.1. Problema de la torta 514.5.2. Problema de Ramsey 544.6. Solucin numrica del problema de la funcin valor 554.7. Programacin dinmica estocstica 57

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4 ndice general

Captulo 5. Mtodos aproximados de solucin 635.1. Linearizacin y log linerizacin de las condiciones de primer orden 635.1.1. Log-linearizacin en la prctica 655.2. Mtodos de Solucin 685.2.1. Conceptos bsicos 695.2.2. Mtodo de Blanchard y Kahn 71

5.2.3. Mtodo de Klein 755.2.4. Conceptos bsicos: 755.2.5. La solucin de Klein 775.3. Solucin de un DSGE con poltica ptima 84

Parte 2. Ejemplos de modelos con expectativas racionales 85

Captulo 6. Modelo bsico 876.1. Hogares 876.1.1. Firmas 886.1.2. Equilibrio 896.1.3. Solucin 906.1.4. Estado estacionario 91

6.2. Modelo con competencia monopolstica sin precios rgidos 936.2.1. Hogares 936.2.2. Firmas 936.2.3. Agregacin del problema de las rmas. 95APENDICE: Derivancin del costo marginal y las demandas relativas de factores para las rmas

productoras de bienes intermedios. 986.2.4. Formas funcionales 996.2.5. Estado estacionario 996.3. Modelo con rigideces reales, precios exibles y competencia perfecta 1016.3.1. Problema de los hogares 1016.3.2. Problema de las rmas en competencia perfecta 1016.3.3. Condiciones de primer orden 1026.3.4. Estado estacionario 1036.4. Modelo con rigideces de precios 1056.4.1. Problema de los hogares 1056.4.2. El problema de las rmas productoras del bien nal 1066.4.3. Firmas productoras de bienes intermedios 1076.4.4. Agregacin 1166.4.5. Regla de poltica 1206.4.6. Equilibrio del modelo y estado estacionario 121

Parte 3. Metodos empricos 131

Captulo 7. Anlisis de la solucin 1337.1. Introduccin 1337.2. Representacin de Media Movil 1347.3. Pronstico 1347.4. Descomposicin histrica de los choques 1367.5. Impulso respuesta 1377.6. Segundos Momentos 137

Captulo 8. Estimacin de un DSGE por mtodos de verosimilitud 1398.1. Representacin Estado-Espacio 1398.2. Filtro de Kalman 1408.3. Funcin de verosimilitud y la estimacin por mxima verosimilitud 1428.4. Problemas numricos en la maximizacin de la funcin de verosimilitud 143


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ndice general 5

8.5. Algunas consideraciones sobre la funcin de verosimilitud para los modelos DSGE 1488.6. Propiedades de maxima verosimilitud 151

Captulo 9. Mtodos Bayesianos 1539.1. Teorema de Bayes 153

Apndice A. Introduccin a mtodos numricos para encontrar races. 155

Apndice B. Backward iteration: 159B.1. Teorma de Euler: 161

Apndice C. Derivancin del costo marginal y las demandas relativas de factores para las rmasproductoras de bienes intermedios. 163

Bibliografa 165

Apndice. Bibliografa 165


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Parte 1

Solucin de modelos de Equilibrio General

Dinmico


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Captulo 1

Modelo de Solow

El modelo de Solow es muy simple: Hay una tecnologa de produccin que se caracteriza por tenerretornos constantes a escala, unaecuacin quedescribe la evolucin delcapital y unatasa de ahorro constantey proporcional al ingreso.

La produccin esta dada por

yt = At F (K t , H t )siendoK t es el capital utilizado para producir yH t es el trabajo. La funcin de produccin es homogenea degrado uno y tiene la propiedades estandard. La tecnologa est dada porAt = ( 1+ )t A0 siendo la tasa decrecimento de la tecnologa yA0 el nivel de tecnologa inicial. Asi mismo, se asume que la poblacin crece

a una tasa constanten lo que implica queH t = ( 1+ n) H t 1.La ecuacin de evolucin del capital es

K t + 1 = ( 1 ) K t + I t siendo la tasa de depreciacin eI t la inversin en el perodot . Por ltimo, se asume que el ahorro estdado por

S t = Y t o que es una fraccin constante del ingreso.

Para encontrar la solucin del modelo es necesario expresar todo el sistema en trminos percpita. Estoes, dividiendo por el nmero de trabajadores. La funcin de produccin percpita se optiene como

Y t =

At F

(K

t , H

t )Y t H t

= At F K t H t

,H t H t

que nalmente implica queyt = At f (k t ) . El paso clave en esta derivacin es el anterior y la igualdad secumple pues la funcin de produccin se asume tiene retornos constantes a escala.

La ecuacin de acumulacin del capital se puede escribir en trminos percpita as:

K t + 1 = ( 1 ) K t + I t K t + 1 H t + 1

= ( 1 )K t

H t + 1+

I t H t + 1

sin embargo, el trminoK t / H t + 1 no es estacionario y por tanto es necesario multiplicar este porH t / H t yobtener la ecuacin

k t + 1 = ( 1 )K t

H t + 1

H t H t

+I t

H t + 1

H t H t

=(1 ) k t + it

(1+ n) .

Finalmente, el ahorro se dene como una fraccin constante del ingreso y en trminos percpita esto sera

st = yt siendo una fraccin de producto por trabajador que se ahorra.

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10 1. MODELO DE SOLOW

FIGURA1.0.1 . Equilibrio modelo de Slow

k(t+1)

k(t)

0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.5

1.0

1.5

El equilibrio de esta economa se da cuando el ahorro es igual a la inversion(st = it ). De esta condicinencontramos el equilibrio as:

k t + 1 =(1 ) k t + it

(1+ n)

=(1 ) k t + yt

(1+ n)

=(1 ) k t + At f (k t )

(1+ n)o

(1+ n) k t + 1 = ( 1 ) k t + (1+ ) A0 f (k t ) .que es la ecuacin que describe el equlibrio. Si se supone que = 0 entonces esta relacin se puede simpli-car a

(1+ n) k t + 1 = ( 1 ) k t + A0 f (k t ) .La gura 1 presenta esta relacin. La linea recta esta dada pork t = k t + 1 mientras que la linea curva

representa((1 )k t + A0 f (k t ))(1+ n) . Como se puede ver, ambas lineas son iguales en dos puntos. a saber, enk 0 = 0y en unk t > 0. De hecho estos dos puntos respresentan equilibrios posibles del modelo de Solow. En ambcasos, el equilibrio se da cuandok t + 1 = k t = k que implica im nivel de estado estacionario del capital que sedene por la ecuacin

(1+ n) k = ( 1 ) k + f k ( + n) k = Ao f k El primero equlibrio, se tiene cuandok 0 = 0. En este punto no puede haber produccin y por tanto no se

tiene ni ingreso ni ahorro. El otro equilibrio es el nico equilibrio cuandok o es mayor a cero. Como se puedever en la Figura 1 para valores mayores a cero pero inferiores ak tenemos que(1 )k t + A0 f (k t )(1+ n) > k t y portanto hay una acumulacin de capital. Cuandok es mayor quek entonces lo que se tiene es una contraccindel capital.

Existen varios equilibrios en esta economia. Equilibrio, es una situacion en la cualImplicaciones del modelo de Solow:


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1. MODELO DE SOLOW 11

Las economias pobres, denidas como aquellas con menor capital inicial crecen mas rpido que laseconomas ricas. Esto se puede ver comparando la tasa de crecimiento del capital.

Dado que el creciento de la economa es proporcional a el crecimiento del capital percpitaentonces es suciente con calcular la tasa de crecimiento del capital percapita. Esta est dada por laecuacin

k = k t + 1k t = (1 ) k t + A0 f (k t )(1+ n) k t

La hiptesis es que esta tasa de crecimiento depende del nivel de capital para lo cual es posibleanalizar el comportamiento de la primera derivada con respecto al nivel de capital la cual esta dadapor

k k t

= (( 1 ) k t + A0 f (k t ))(( 1+ n) k t )1

= (1 ) + A0 f (k t ) ((1+ n) k t )1((1 ) k t + A0 f (k t ))(( 1+ n) k t )

2 (1+ n)

=(1 ) k t + A0 f (k t ) k t

(1+ n) k 2t (1 ) k t + A0 f (k t )

(1+ n) k 2t

= A0(1+ n) k 2t f (k t ) k t f (k t )

que es negativo pues la funcinf (k )es concava. (TAREA : Muestre xq este es el caso). Que seanegativa implica que a medida que hay mas capital la tasa de crecimiento del capital percpita esmenor que se explica fundamentalmente por una menor productividad marginal del capital a nivelesaltos de capital.Las economias convergen a lo que se conoce como el balance growth path. Esta es la tasa decrecimiento a la cual el capital y el producto crecen a la misma tasa constante.

Suponga que la funcin de produccin esta dada por una Cobb-Douglas. Esto es,f (k ) =k siendo la fraccin del producto que se va a capital. Bajo esta forma funcional es fcil en-contrar la tasa de crecimiento balanceado. Que es una tasa de crecimiento constante de las variablespercpita.

k =(1 ) k t + At k t

(1+ n) k t

=(1 ) k t + A0 (1+ )t k t

(1+ n) k t

k =(1 )(1+ n) +

A0 (1+ )t

(1+ n) k 1 t

k t =1

(1+ n) k

(1 )(1+ n)

1 A0 (1+ )t

11

k t = (1+ )t

k (1+ n) (1 )1

1

este es el valor de capital consistente con una tasa constante de crecimiente. Ahora, la tasa decrecimiento estara dada por

k =k t + 1

k t =

(1+ )t + 1 k (1+ n)(1 )

11

(1+ )t k (1+ n)(1 )

11

= ( 1+ )1

1


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12 1. MODELO DE SOLOW

que sera la tasa de crecimiento del capital percpita. Ahora, la tasa de crecimiento del producpercpita se puede calcular como

yt + 1 yt

= At + 1k t + 1

At k t

= ( 1+ ) (1+ )

t + 1

k (1+ n)(1 )

1

(1+ )t k (1+ n)(1 )

1

= ( 1+ ) (1+ )

1

= ( 1+ )

1 + 1

= ( 1+ )1

1

que es igual a la del capital percpita.Existe una tasa de ahorro optima (que maximiza el bienestar en estado estacionario) que se llamel la regla de oro (golden rule).

Dado que el bienestar es slo funcin del consumo entonces es posible encontrar el mximbienestar maximizando el consumo. Para alcanzar este nivel de bienestar es necesario determinun nivel de ahorro que permita optener este nivel de consumo.

c = ( 1 ) y = ( 1 ) A0 f k sabemos adems que el nivel de capital de estado estacionario est denido en la siguiente ecuaci

( + n) k = Ao f k que se puede sustituir en la ecuacin de consumo

c = A0 f k A0 f k c = A0 f k ( + n) k

de la cual podemos derivar el nivel de capital que maximiza el consumo mediante la condicin primer orden la cual a su vez dene el capital ptimo de bienestark

0 = A0 f k ( + n) .Dado este capital, se puede sustituir en la ecuacin del estado estacionario y derivar de ella

tasa de ahorro ptima. Esto es, de la ecuacin

( + n) k = Ao f k

se deriva

=( + n) k

Ao f k

que es la tasa de ahorro ptima.


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14 2. UN MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO EN DOS PERODOS

esta pidiendo prestado y cuando es positivo esta prestando. Suponemos que esto lo puede hacer a la mistasa (mercado de capitales es perfecto).

Combinando la restriccin de presupuesto tenemos la restriccin intertemporal. Veamos:

S =C d 2 R

2 R

C d 1 +

C d 2 R = W N

s+ 1 +

2 R

que muestra varias cosas:El plan de consumo de la vida de los hogares debe satisfacer su restriccin intertemporal. Esto esvalor presente del consumo debe ser igual al valor presente de sus ingresos. Por lo tanto, el consuno depende slo del ingreso corriente sino del ingreso futuro descontado.Esta restriccin sin embargo slo es posible cuando los mercados de capitales son perfectos y tasa de inters para ahorros y prstamos es la misma. Notece que esta restriccin es necesaria pagenerar una restriccin intertemporal.

Suponiendo que no hay ingreso desperdiciado entonces es posible escribir el problema del hogar como

max u (WN s + 1S ) + u ( 2 + RS ) ( N s) .siendoN s y S las variables de decisin.Las condiciones de primer orden del problema de los hogares son:

u (C 1) + RU (C 2) = 0y

Wu (C 1) ( N s) = 0.o que se pueden reescribir como:

u (C 1) = Ru (C 2)

W = ( N s)u (C 1)

La primera ecuacin es la condicin de Euler. Que dice que el agente est dispuesto a sacricar uunidad de consumo presente, que tiene un costo en trminos de utilidad igual au (C 1), y ahorrar esta uni-dad para ser consumida el perodo siguiente lo cual le signicaR unidades de consumo adicionales en elsegundo perodo que aumenta la ulidad enRu (C 2). Sin embargo, como la valoracin del consumo en elsegundo perodo es menor en una tasa por unidad de utilidad estas unidades adicionales el perodo dossignican Ru (C 2) unidades de utilidad en el perodo siguiente. El consumidor posterga consumo hastaque los benecios son iguales a sus costos.

Hay tres sendas de consumo distintas dependiendo del valor de R. Si 1= R entonces

u (C 1) = u (C 2)

y por lo tanto es ptimo consumir lo mismo en ambos perodosC 1 = C 2. Esta es la suavizacin del consumo.Si por el contrario R < 1 entonces lo ptimo seraC 1 < C 2. Por ltimo, si R > 1entonces tendramos que

lo ptimo sera queC 1 > C 2.La ecuacin de Euler se puede escribir como1

R=

u (C 2)u (C 1)

.

En esta expresin el lado izquierdo es el valor en unidades del consumo presente de comprar una unidadconsumo futuro. Esto es, para consumir una unidad adicional en el siguiente perodo el hogar debe ahor1/ R unidades de consumo en el primer perodo. El lado derecho es la tasa marginal de sustitucin entconsumo presente y consumo futuro. El valor que un hogar le da a una unidad adicional de consumo enperodo siguiente en unidades del consumo presente.


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2.3. LAS FIRMAS 15

Esta condicin se puede usar para derivar una curva de oferta de ahorro. Denida como el lugar geogr-co entreS y R tal que la condicin de Euler se cumple. La curva de oferta de ahorro esta dada por:

R =u (W N s + 1S )

u ( 2 + RS ).

Para determinar la pendiente de esta curva tenemos que considerar los efectos sustitucin y riquezaque tengan cambios en la tasa de inters. Suponga que la tasa de inters aumenta. En este caso tenemosdos efectos: El aumento de la tasa de inters aumenta el costo de oportunidad de ahorrar (consumir en elprimer perodo). Lo cual implica un aumento en el ahorro y una disminucin en el consumoC 1. Puestode otra forma, el precio del consumo futuro en trminos de consumo presente cae, 1 R lo cual es unincentivo para ahorrar ms hoy. De otra forma, el aumento de la tasa de inters implica un mayor retorno porel ahorro y por tanto un mayorC 2 que implicaran una cada de la utilidad marginal en el perodo dos lo quecontrarresta las ventajas de ahorrar.

El primer efecto es un efecto sustitucin y el segundo un efecto ingreso. Para tener una curva ofertaahorro con pendiente positiva se necesita que el efecto sustitucin domine sobre el efecto ingreso. Y portanto

R = u (WN s + 1 S )

u ( 2+

RS )

.

La condicin de primer orden con respecto al trabajo esta dada por

Wu (C 1) ( N s) = 0.El trminoWu (C 1) mide los benecios en trminos de utilidad por unidad de trabajo y el trmino ( N s)mide los costos. Esto es, por unidad de trabajo adicional yo reciboW unidades adicionales de consumo queimplicanWu (C 1) unidades de utilidad. Pero me cuestan ( N s) unidades de utilidad. Esta condicin deequilibrio implica que el hogar trabaja hasta el punto en el cual los benecios sean iguales a los costos.

La condicin anterior se puede escribir como

W = ( N s)u (C 1)

donde el lado izquierdo es el benecio marginal de trabajar en trminos de unidades de consumo y el lado

derecho es la relacin marginal de sustitucin entre trabajo y consumo que mide el costo del trabajo entrminos de utilidad marginal del consumo. De esta forma, el benecio de trabajar una unidad adicional entrminos del consumo es el salario real. Mientras que el costo en trminos de benecios de consumo estdado por la relacin marginal de sustitucin.

Esta condicin de primer orden es la oferta de trabajo. Cuando aumenta el salario tenemos dos efectos.El efecto sustitucin: Por unidad adicional de trabajo tengo un mayor benecio en trminos de consumopuesto que, dadoC 1, Wu (C 1) aumenta. Sin embargo,C 1no es constante sino que aumenta por el efectoingreso lo cual tumba el benecio marginal de consumir y reduceWu (C 1) lo cual reduce el incentivo paratrabajar. Necesitamos que el efecto sustitucin sea mayor que el ingreso para que la curva de oferta de trabajotenga pendiente positiva.

En resumen, del problema de los hogares tenemos una curva de oferta de ahorro y una oferta de trabajo.Dados,W , R, 1y 2.

2.3. Las rmasAl igual que los hogares las rmas son tomadores de precios. Esto es, la idea es maximizar los benecios

esperados sujetos a la siguiente tecnologa. La rma demanda capital y trabajo. En la tecnologa de esteejemplo suponemos que en el primer perodo la rma produce con trabajo y que en el siguiente perodo sloproduce con el capital, el cual depende de la cantidad de inversin determinada en el primer perodo. Estoes, la funcin de produccin se dene como:

Y 1 = 1 f ( N )Y 2 = 2g( I )


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16 2. UN MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO EN DOS PERODOS

la funcin de produccin satisface los siguientes supuestos1. f (0) = 0, f (.) > 0, f (.) < 0, f (0) = , f () = 02. g (0) = 0, g (.) > 0, g (.) < 0, g (0) = , g () = 0

siendo 1y 2 parmetros de tecnologa.Esta tecnologa se puede ver como

Y 1 = 1F ( N , K 1)Y 2 = 2F (0, K 2)

donde

K 2 = I + ( 1 ) K 1.Esto es, ent = 1 las rmas toman como dado el capital y demandan trabajo. En el perodo dos las rmno demandan trabajo y slo usan capital para trabajar. En este caso, usan el capital disponible para produen el segundo perodo que sera igual a la inversin ms lo que queda despus de depreciacin del capdisponible en el primer perodo.

La tecnologa anterior se puede derivar as:Y 1 = 1F ( N , K 1) = 1 f ( N )Y 2 = 2F (0, K 2) = 2F (0, I + ( 1 ) K 1)

= 2 f (0, I ) = 2g ( I )puesto que(1 ) K 1es una constante.El problema de la rma es entonces

max 1 + 2 Rs.t

1 = 1 f ( N ) WN s 2 = 2g ( I ) RI

esto es, la rma pide prestadoI a una tasaR en el perodo uno para nanciar los gastos de inversin. Mientrasque paga un salarioW en el primer perodo por el trabajo demandado.La solucin al problema de la rma se puede obtener as:

max 1 f ( N ) W N s + 2g ( I )

R I que tiene las siguientes condiciones de primer orden:

1 f ( N d ) = W 2g ( I ) = R

La primera condicin es una demanda de trabajo. Las rmas demandan trabajo hasta el punto en el cuel benecio marginal de contratar una unidad adicional de trabajo iguala su costo dado por el salario reEsto es, la productividad marginal del trabajo iguala el salario. Y demanda inversin hasta el punto en el c

el costo marginal dado por la tasa de inters iguala el benecio marginal dada por la productividad margdel capital.Estas son curvas de demanda pues aumentos del salario implican (dado el capital) que es necesario p

mantener el ptimo disminuir el nivel de empleo y as aumentar la productividad marginal del trabajo. que implica una relacin inversa entre salario y demanda de trabajo. Por otro lado, aumentos en la tasainters implican que una serie de proyectos de inversin no son rentables y por tanto la inversin disminuO en otros trminos, dada una tasa de inters alta es necesario que la productividad marginal del capital alta. (Slo los proyectos de inversin que son rentables se llevan a cabo) lo que disminuye el capital disponen el perodo dos y por tanto un aumento en la productividad marginal. De esta forma, existe una relacnegativa entre la inversin y la tasa de inters.


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2.4. EQUILIBRIO. 17

FIGURA2.4.1. Equilibrio General

2.4. Equilibrio.

Necesitamos que el mercado de ahorro se equilibre con el de la inversin. Y que la oferta y la demandade trabajo se equilibren. De igual menera se necesita que se cumpla la restriccin agregada de recursos. Estoes,

Y 1 = C 1 + I 1Y 2 = C 2

recuerde que este es un modelo de dos perodos. Las otras condiciones de equilibrio estn dadas porTrabajo::

1 f ( N )

Demanda= W =

( N )u (WN + 1S )

OfertaRecursos::Y 1 = C 1 + I

Y 2 = C 2Activos:: 2g ( I ) = R =

u (WN + 1S ) N ( 2 + RS )

Tecnologa:

Y 1 = 1 f ( N )Y 2 = 2g( I )

Este sistema tiene solucin. Las variables a determinar en la solucin( N , I ,W , R, 1, 2,C 1,C 2,Y 1,Y 2).


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Captulo 3

Programacin no lineal

El capitulo presenta el mtodo de programacin dinmica y se usa como ejemplo el modelo de Ramsey.Este se resuelve tanto por el planeador central como por el mercado. Se ver las condiciones de primerorden son iguales. Adicionalmente, se muestra el mismo modelo de Ramsey con algunas distorciones y secomparan las ecuaciones de primer orden del problema solucionado por el mercado y el planicador central.En este caso, no las condiciones de primer orden llegan a distintos resultados y es una clara muestra de loque pasa cuando no se cumplen las condiciones del Segundo Teorema de Bienestar. El capitulo comienzapor el Teorema de Khun-Tucker y posteriormente se introduce el modelo de Ramsey.

3.1. Teorema de Khun-Tucker

Uno de los mtodos ms comunes para solucionar problemas de optimizacin no lineal se basa en elteorema de Kuhn-Tucker.

THEOREM1. Teorema de Khun-Tucker : Sea f una funcin cncava con primeras derivas continuasdenida deU R na R , siendoU un conjunto abierto y convexo. Parai = 1, . . . , l seanhi : U R funcionescncavas y con primeras derivadas continuas. Suponga que existe unx U tal que

hi(x) > 0 parai = 1, . . . , l .Entoncesx maximiza f sobreD = {x U |hi(x) 0, i = 1, . . . , l}si y solo si existe R l tal que lascondiciones de primer orden Kunh-Tucker se satisfacen:

f (x ) x j

+l

i= 1

i hi(x )

x j= 0, j = 1, . . . , n

i

0, i = 1, . . . , l

i hi(x ) = 0, i = 1, . . . , l

3.2. Modelo de Ramsey con trabajo joLa solucin al problema de Ramsey la encontramos usando el planeador central. La presentacin actual

de Ramsey no incluye variacin de trabajo. En la seccin siguiente presentamos el modelo de Ramseycuando el trabajo es variable. En esa seccin solucionamos el modelo de Ramsey tanto por el planeadorcentral como por el mercado.

El problem de Ramsey se puede presentar as:max

c1,...cT U (c0, . . . , cT )

s.tC t + K t + 1

f (K t ) t = 0, . . . , T

0C t t = 0, . . . , T 0K t + 1 t = 0, . . . , T

siendoK 0 dado.La idea es maximizar la utilidadU (c0, . . . , cT ) en T perodos sugeto a la restriccin de recursos y al

hecho de que ni el capital ni el consumo pueden ser negativos. La utilidad depende slo deC y no del ociopues esta se asume constante.

La restriccin de recursos esta dada por la siguiente ecuacinct + k t + 1 yt

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20 3. PROGRAMACIN NO LINEAL

en la cual es claro que el consumidor debe decidir cuanto consumir y cuanto guardar como semilla paraperodo siguiente. El productor usa capital (semillas) y trabajo el cual se asume constante e igual a uno pproducir siguiendo la tecnologa denida como:

yt = F (K t , N t = 1)y F se supone tiene las siguientes propiedades: (I) No se puede producir sin insumosF (0,0) = 0, (II)F es

estrictamente creciente en ambos argumentos, (III) Cncava (no hay rendimientos crecientes a escala) y (Icon primera y segundas derivas denidas y continuas.yt puede denirce neto de la depreciacion del capitalasi:

1. Depreciacin completa:En este caso, si se usa el producto como semilla esta no se puede usar enel futuro ni como semilla ni como consumo. En este caso la restriccin de presupuesto estara dapor

C t + K t + 1 yt = f (K t )siendo f (k t ) = F (K t , N ).

2. Depreciacin incompleta:En este caso, la cantidad disponible de semilla para consumir o volversembrar est dada porF (K t , N ) + ( 1 )K t (lo que se produce mas lo que se guarda como semillapero que se puede consumir o sembrar en perodos posteriores). La restriccin de presupuesto este caso est dada por:

C t + K t + 1 yt + ( 1 )K t = f (K t )siendo f (k t ) = F (K t , N ) + ( 1 )K t

El problema de Ramsey se puede resolver utilizando el teorema de KT si se supone queU (.) cumple conlas condiciones necesarias en el Teorema de KT y si las restricciones si cumplen con las condiciones dteorema.

Luego las condiciones de primer orden para el problema de Ramsey seran:

0 = U (c0, . . . , cT ) C t t + t , t = 1, . . . , T (3.2.1)

0 = t + t + 1 f (K t + 1) + t + 1, t = 1, . . . , T 1(3.2.2)0 =

T + T + 1(3.2.3)

0 = t ( f (K t ) C t K t + 1) , t = 1, . . . , T (3.2.4)0 = t C t , t = 1, . . . , T (3.2.5)

0 = t + 1K t + 1, t = 1, . . . , T (3.2.6)

siendo t el multiplicador de la restriccin de presupuesto, t y t + 1 los multiplicadores de la restriccin depositividad del consumo y del capital.

Las condiciones de primer orden se pueden cumplir en soluciones de esquina. Esto es,C t = 0 oK t = 0.Sin embargo, esto no pasa por las propiedades de la funcin de utilidad. En particular se tiene que

lmct 0

U (c0, . . . , cT ) C t

para todot . Esto es, el granjero pierde mucha utilidad si en algn perodo su consumo es cero. Teniendo esen cuenta entonces de (6.3.20) sabemos queC

t > 0 y por tanto que

t = 0 para todot . Se sabe quef (0) = 0

luego cantidades positivas deC t requieren de un nivel positivo de producto y por tantoK t > 0 lo que implicaque t + 1 = 0 parat = 1, . . . , T 1. Entonces de (6.3.16) y (6.3.19) tenemos

t = U (c0, . . . , cT )

C t , t = 0, . . . , T

t = t + 1 f (K t + 1), t = 0, . . . , T 1 f (K t ) = C t + K t + 1, t = 0, . . . , T 1

T + 1K T + 1 = 0


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3.2. MODELO DE RAMSEY CON TRABAJO FIJO 21

siendo T + 1 = T . Esta ltima condicin se conoce como la condicin de transversalidad. Lo que dice esque en todot incluyendo el ltimo perodo el agente tiene que consumir y por tanto necesita dejar unidadesde semillaK T para ser consumidas en el ltimo perodo. Puesto de otra forma, T + 1K T + 1 = T K T + 1 con T > 0 luegoK T + 1 = 0. Lo que esta condicin dice es que enT el consumidor se consume todo lo quequeda de capital y que no deja capital (semillas) paraT + 1. Si esta condicin no se cumple el programa deconsumo no puede ser ptimo pues cuando granjero muere deja maz (capital) que no fue consumido y que

de haberlo consumido pudo haber alcanzado una utilidad mayor.Combinando las condiciones de primer orden se llega a la ecuacin de Euler.

t = t + 1 f (K t + 1) U (c0, . . . , cT )

C t =

U (c0, . . . , cT ) C t + 1

f (K t + 1)

U (c0, . . . , cT ) C t

/ U (c0, . . . , cT )

C t + 1= f (K t + 1)

esta ltima es la Ecuacin de Euler y da la razn a la cual el granjero esta dispuesto a sustituir consumopresente por consumo futuro. Si el granjero posterga su consumo y lo usa como semilla entonces el recibe f (K t + 1) unidades de producto ent + 1 por unidad de semilla. Lo cual equivale a U (c0,...,cT ) C t + 1 f (K t + 1) uni-

dades de consumo. Postergar su consumo ent le cuesta U (c0,...,cT )

C t unidades de consumo ent . Luego si loscostos marginales son iguales a los benecios marginales el granjero es indiferente entre consumo presentey futuro. Esta es la lectura de la ecuacin de Euler.

Para encontrar una solucin analtica del problema es necesario especicar para-mtricamente las fun-cin de utilidad y de produccin. Suponga que la funcin de utilidad esta dada por

U (c1, . . . , cT ) =T

t = 1

t lnC t

U (c1, . . . , cT ) C t

= t

C t y

U (c0, . . . , cT ) C t

/ U (c0, . . . , cT ) C t + 1

= t

C t t + 1C t + 1

=C t + 1 C t

.

De igual forma si f (K t ) = K t

entonces f (K t ) = K 1t .

Bajo esta formas funcionales las condiciones de primer orden estn dadas por

K t + 1 + C t = K t t = 0, . . . , T K 1t =

C t + 1 C t

t = 0, . . . , T 1Una solucin al problema de optimizacin debe cumplir con estas condiciones y con la condicin de

transversalidad (K T + 1 = 0). Sin embargo, el sistema no tiene solucin analtica por lo que se necesita usarun computador. Una posible solucin aproximada es suponer que el consumo es constante(ct = ct + 1 = c)en este caso se tiene que

K = ( )1

1


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que es constante. Lo cual implica que

C t = ( )

1 ( )1

1

sin embargo esta solucin no es ptima por dos razones:1. ElK ono necesariamente es igual aK t y la senda de consumo constante no se posible.2. K T + 1puede no ser igual a cero.

En general la solucin de este problema implica que tantoC t comoK t deben cambiar en el tiempo.

3.2.1. Mtodos numricos de solucin.Ambos problemas se pueden resolver usando un optimiza-dor no lineal. Sin embargo, el numero de variables a determinar incrementa con el tiempo. Una primposibilidad para resolver el problema es escribir la funcin objetivo y las restricciones en el computady usar un algoritmo de optimizacin no lineal restringida. El espacio de solucin seria entonces de tama2(T + 1) que corresponde a las secuencias de consumoC 0, . . . ,C T y de capital o tortaK 1, . . . , K T + 1.En amboscaso se supone que el capital en cero esta dado. Otra posibilidad es usar las condiciones de primer ordcomo funcin objetivo y encontrar{C t }T t = 0 y {K t }T t = 1 tal que las condiciones de primer orden se cumplanaproximadamente.

La segunda posibilidad es reducir el sistema. En el caso de nuestros ejemplos una vez tomada la decissobre el capital disponible para maana sabemos cuanto vale el consumo ptimo. De esta forma el espade bsqueda se reduce sustancialmente.

El problema de Ramsey se puede resolver numricamente a partir de las condiciones de primer ordlas cuales se pueden expresar en trminos slo del capital as:

C t = K t K t + 1 t = 0, . . . , T K 1t =

K t + 1K t + 2 (K t K t + 1)

0 =K t + 1K t + 2

(K t K t + 1) K 1t + 1

Este conjunto de ecuaciones es el que se debe escribir en el computador. Para el caso deT = 3 tendra-mos el siguiente conjunto de ecuaciones:

Parat = 1 tendriamos K 2 K 3 K 1 K 2 K 12 = 0

Parat = 2 tendriamosK 3 K 4

K 2 K 3 K 13 = 0

Parat = 3 tendriamosK 4

K 3 K 4 K 14 = 0

que son un conjunto de tres ecuaciones para tres incgnitasK 2, K 3, K 4. Para solucionar el sistema se sabequeK 5 = 0 y se conoceK 1.

Un conjunto de valores iniciales bueno para este problema se encuentra suponiendo que los agentsuavizan consumo. Esto es,C t = C t + 1lo cual implica queK = ( )1/ 1 . Recuerde que esta no es unasolucin del problema puesK puede ser distinto deK 0 y el puede queK T + 1 = 0.

El problema de Ramsey se resolvi usando mtodos numricos. Las sendas de consumo y capital presentan en la Grca 3.2.1. Se supuso queK 0 = 0,13 , = 0,3 conT = 60. Las distintas grcas co-rresponden a valores diferentes de = ( 0,7, 0,9,1,0). Como se puede ver los agentes no pueden suavizarconsumo totalmente puesto que el capital inicial es inferior al de estado estacionario y deben acumularcapital faltante mediante una disminucin de consumo. De igual forma, al nalizar el perodo los agendeben aumentar su consumo.

Tarea Resolver el problema de Ramsey con la siguiente funcin de utilidad

U (c1, . . . , cT ) =T

t = 1

t C 1 t 1


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3.3. HORIZONTE INFINITO 23

FIGURA3.2.1. El problema de Ramsey con horizonte nito

0 50 100 15054.6554.7054.75

54.8054.8554.9054.9555.0055.05

Capital

0 50 100 1503.500

3.505

3.510

3.515

3.520Consumo

0 50 100 1500.9900.9910.9920.9930.9940.9950.9960.9970.9980.9991.000

Choque de productividad

Respuesta

0 =1

K t + 1K t + 2K t K t + 1

K 1t

3.3. Horizonte innito

En general el problema de Ramsey se plantea en horizonte innito(T

). La razn es que no hay un

T natural para el horizonte de una economa. Existen consecuencias grandes de suponerT como por ejemploque los problemas scales no pueden ser analizados en toda su extensin.

3.3.1. Utilidad recursiva.Se dice que un problema es recursivo si las decisiones presentes y futurasde los agentes son independientes de las decisiones pasadas. Por ejemplo, en los ejemplos anteriores lasdecisiones de consumo de los agentes ent dependen del capital ent y del consumo ent + 1 y no delconsumo anterior ent . De otra forma, la informacin relevante del ujo pasado de consumos est contenidaen el stock de capitalt . Esto es, esta variable contiene toda la informacin relevante para las decisiones det en adelante. A este tipo de variable se les llama variables deestado.

La separabilidad de las decisiones depende de la forma de la funcin de utilidad. Este es el caso de laCES y la suma de logs usados hasta el momento. Existe una familia de funciones de utilidad que cumplencon esta propiedad que se llamada TAS (Time additive separable). Las funciones de utilidad TAS se puedenexpresar recursivamente como

(3.3.1) U t = u(C t ) + U t + 1 (0, 1).

es el factor de descuento uu : [0, ]R se le conoce como la funcin de utilidad instantnea.u(C t ) tienelas siguientes propiedades:1. u(C t ) > 0 t = 1, . . . , T 2. u (C t ) > 0 t = 1, . . . , T con lmct 0 u (ct ) 3. u (C t ) < 0 t = 1, . . . , T .


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Iterando la ecuacin 3.3.1 se tiene

U t = u(C t ) + U t + 1

= u(C t ) + u(C t + 1) + 2U t + 2...

= T s= 0

su(C t + s) + T U t + T

y cuandoT entonces

U t =

s= 0

su(C t + s).

Para queU t represente una medicin que permita ordenar diferente sendas de consumo se necesita queU t sea acotada, esto es queU t < para cualquier senda de consumo.

3.3.2. Problema de Ramsey en horizonte innito.

max{ct }T 1 ,{W t }T 12

s= 0

su(C t + s)

s.tK t + 1 + C t f (K t )

0C t 0K t + 1

siendoK 0el capital inicial yf (K t ) la funcin de produccin que se asume tiene los siguientes supuestos:1. f (K t ) > 0 para todoT 2. f (K t ) > 0 para todoT con lmK t 0 f (K ) 3. f (K t ) < 0 para todoT .

Solucin del problema de optimizacin con KT. El teorema de KT se puede aplicar aun cuandoT y en particular se puede usar la ecuacin auxiliar dada por

L =

t = 0

t [u(C t ) + t ( f (K t ) C t K t + 1) + t C t + t + 1K t + 1]que se conoce como el Lagrangeano en valor corriente.

Las condiciones de primer orden seran:

t u (C t ) t t t t = 0 t t + t t + 1 + t + 1 t + 1 f (K t + 1) = 0

t ( f (K t ) C t K t + 1) = 0 t C t = 0

t + 1K t + 1 = 0los multiplicadores t + 1, t , t se reeren a los valores ent y los multiplicadores t t + 1, t t , t t a susvalores descontados al tiempo inicial 0.

Las restricciones de positividad se cumplen al igual que en el problema de horizonte nito luego t + 1y t son iguales a cero. Las F.O.C se reducen a

u (C t ) = t t t + 1 f (K t + 1) = 0

f (K t ) C t K t + 1 = 0.


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3.4. MODELO DE RAMSEY CON TRABAJO VARIABLE 25

Al igual que en problema de horizonte nitos tenemos una condicin de transversalidad que en ese casoest dada por T + 1K T + 1 = T K T + 1. En el caso deT la condicin es simplemente el limite de la dehorizonte nito dada por

lmt

t t K t + 1 = 0.Una senda ptima de consumo y capital tiene como condiciones necesarias las condiciones de primer

orden junto con la condicin de transversalidad. Las condiciones de primer orden se pueden escribir como:

u (C t ) = u (C t + 1) f (K t + 1) f (K t ) = C t + K t + 1

la primera de las cuales el la ecuacin de Euler que relaciona la tasa marginal de sustitucin de consumopresente con futuro con la productividad marginal del capital

u (C t )u (C t + 1)

= f (K t + 1).

Suponga que el agente disminuye en una unidad su consumo hoy(t ) lo cual le cuesta en trminosde su utilidadu (ct ) unidades y que por tanto guarda esta unidad como capital para el perodo siguiente.Lo cual le producef (K t + 1) unidades ent + 1. Estas unidades en trminos de utilidad ent + 1equivalen a f (K t + 1)u (C t + 1) que puestas en utilidades del tiempot son f (K t + 1)u (C t + 1). De esta forma el consumidor

estara dispuesto a postergar consumo presente hasta el punto en el cual el costo marginal sea igual albenecio marginal.

3.3.3. Mtodos de numricos de solucin.En muchos caso no tenemos solucin analtica de unproblema de optimizacin. Sin embargo, si es posible aproximar la solucin del problema usando mtodosnumricos. Los mtodos ms comunes para esto son el la iteracinBackward y la iteracinForeward. En elprimer caso, el algorithmo se comienza usando el estado estacionario y itera hacia atrs. Esto es, empezandoen K haciaK 0. En el segundo caso, se itera deK o haciaK T dondeT es un valor grande deT en el cual seacrea queK T K . Una descripcin del mtodo Backward se encuentra en el Apndice.El mtodoForeward esmuy simpley esun casogeneral del mtodode solucin parael casodehorizontenito. La mayor diferencia es que no se impone un condicin deK T = 0 para ningnK y que el problemase resuelve primero para unT dada la solucin este se resuelve para unT > T y se compara la solucin. Siesta no cambia mucho entonces se asume que se tienen las sendas ptimas de capital y consumo para el caso

de horizonte innito.La solucin al problema de Ramsey de horizonte innito calculada usando la iteracion hacia adelantese puede ver en la Grca 3.3.1

3.4. Modelo de Ramsey con trabajo variable

El modelo de Ramsey con trabajo variable se resume en el siguiente problema de maximizacin

max

t = 0

t u(C t , 1 Lt )s.t K t + 1 + C t f (K t , Lt )

0C t 0

K t + 1

0 Lt 1siendoLt las horas de trabajo y(1 Lt ) el ocio el cual. Notece que el ocio se valora positivamente en lafuncin de utilidad.

En el presente modelo no tenemos crecimiento de la poblacin ni crecimiento de la productividad.En caso de tener alguna fuente de crecimiento es necesario estandarizar el sistema antes de encontrar lascondiciones de primer orden. Resulta que cuando tenemos en trabajo en el modelo esta estandarizacinno es trivial. Al nal del esta seccin veremos unos casos particulares de estadarizacin. Por el momento,supongamos que no tenemos fuentes de crecimiento.

Escribiendo el sistema en trminos


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FIGURA3.3 .1. Solucion Forward Ramsey Innito

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

Capital

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.340

0.345

0.350

0.355

0.360

0.365

0.370

0.375

0.380

0.385

0.390

Consumo

L =

t = 0

t [u(C t , ht ) + t ( f (K t , ht ) C t K t + 1) + t C t + t + 1K t + 1 + t ht ]podemos encontrar las condiciones de primer orden asi:

t uc(ct , ht ) t + t = 0 t uh(ct ,1 Lt ) + t f h(K t , ht ) + t = 0

t ( t + t + 1) + t + 1 t + 1 f h(K t + 1, ht + 1) = 0Si se eliminan las condiciones de esquina tenemos

uc(ct ,1 Lt + 1) = t u L(ct , 1 Lt ) + uc(ct , ht ) f h(K t , Lt ) = 0

uc(ct + 1, 1 Lt + 1) f k (K t + 1, Lt + 1) = uc(ct ,1 Lt + 1) junto con las siguientes restricciones

t ( f (K t , Lt ) C t K t + 1) = 0 t C t = 0

t + 1K t + 1 = 0

t ht = 0Esto es, las condiciones de primer orden se simplican as:

u L(C t ,1 Lt )uc(C t ,1 Lt )

= f L(K t , Lt )

uc(ct , ht ) uc(ct + 1, 1 Lt + 1)

= f K (K t + 1, Lt + 1)

f (K t , Lt ) C t K t + 1 = 0


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3.4. MODELO DE RAMSEY CON TRABAJO VARIABLE 27

Estas son, la condicin de equilibrio para el trabajo, que dice que la tasa marginal de sustitucion entreconsumo y ocio debe ser igual a la productividad marginal del trabajo. La ecuacin de Euler y la restriccinde recursos de la economa. Adems sabemos que se debe cumplir la condicin de transversalidad dada por

l mt

t uc(C t ,1 Lt )K t + 1 = 0.Como vimos en el modelo de equilibrio general de dos perodos incluir trabajo en la funcin de utilidad

implica que se deben tener en cuenta los efectos sustitucin e ingreso de movimientos en la productividadmarginal del trabajo (salario). Esto es, si el agente observa un aumento transitorio en la productividad mar-ginal del trabajo tenemos dos efectos contrarios: el efecto sustitucin y el efecto ingreso. Ambos efectos sontanto intratemporales como intertemporales. Esto es, un aumento en la productividad marginal del trabajoimplica que a un nivel dado de trabajo el agente produce mas (mas cosecha). Al mismo tiempo, sin embargo,el aumento en la productividad marginal del trabajo aumenta el costo relativo de aumentar una unidad deocio que lo insentiva a ofrecer mas trabajo.

Esto es, por efecto ingreso tendriamos que

u L(C t , 1 Lt )uc(C t , 1 Lt )

= f L(K t , Lt )mientras que por el efecto sustitucin se tiene que

u L(C t , 1 Lt )uc(C t , 1 Lt )

= f L(K t , Lt ).La temporalidad de choque tambien tiene implicaciones signicativas sobre el resultado nal. Dado que

el aumento es temporal, el agente tiene un insentivo a sustituir consumo de hoy por ocio aumentando lacantidad ofrecida de trabajo hoy lo que le permite un mayor ingreso salarial hoy frente al futuro. Parte deeste ingreso adicional lo puede ahorrar (invertir) y asi consumirlo en el futuro cuando su ingreso salarialeste mas bajo. Momento en el cual, tendra una oferta laboral inferior. Como en el modelo de dos perodosnecesitamos que el efecto suistitucin domine sobre el efecto ingreso para que la curva de oferta de trabajotenga pendiente positiva.

Una familia de funciones de utilidad muy usadas en macroeconoma son las que tienen elasticidadconstante de sustitucin con respecto al consumo:

U (C ,1 L) =C (1 ) (1 L) si = 0lnC + (1 L) si = 0

siendo la elasticidad de la utilidad marginal del consumo y (1 L) una funcin tal queU (C , 1 L) seacncava. Ejemplos de esta funcin son:

U (C ,1 L) =(C t L t )

11 siendo < 0

C 1t (1 N t ) (1 )1siendo < (1 )

lnC t + Bln(1ht )en esta ltima la elasticidad de sustitucin entre consumo y ocio es constante e igual a uno.

3.4.1. Solucin.Paraencontrar la solucinse necesitadar formas funcionales explicitas. Supongamosque la funcin de subutilidad es

u (ct , (1 Lt )) =C 1t (1 Lt ) (

1 )1

y que la funcion de produccion esta dada por

yt = K (1 )t L t + ( 1 ) K t .

Usando el multiplicador de Lagrange es facil obtener las condiciones de primer orden:


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L =

t = 0

t C 1t (1 Lt ) (

1 )1

+ t K 1 t L t + ( 1 ) K t C t K t + 1luego las condiciones de primer orden estan dadas por

t = C

t (1 Lt ) (1

)

t = t + 1 (1 ) Lt + 1K t + 1

+ ( 1 )

(1 Lt )( (1 )1) C 1t = t

K t Lt

1

junto con la restriccin de recursos. Estas condiciones se pueden simplicar mas asi:

(1 Lt )( (1 )1) C 1t = t

K t Lt

1

= C t (1 Lt ) (1 ) K t

Lt

1

C t (1 Lt )

= K t Lt

1

y la ecuacin de Euler sera

C t (1 Lt ) (1 ) = C t + 1 (1 Lt + 1) (

1 ) (1 ) Lt + 1K t + 1

+ ( 1 )

1 = C t C t + 1

1 Lt + 11 Lt (1 )

(1 ) Lt + 1K t + 1

+ ( 1 ) .En resumen, las condiciones de primer orden para el modelo de Ramsey con capital y trabajo seran

1 = C t

C t + 1

1

Lt + 1

1 Lt (1 )

(1 ) Lt + 1K t + 1

+ ( 1 ) C t

(1 Lt )= ( 1 )

K t Lt

C t = K 1 t L t + ( 1 ) K t K t + 1.Al igual que en el modelo anterior, una posible solucin al modelo de Ramsey es su estado estacionariocual est dado por:

1 = (1 ) LK

+ ( 1 ) C

(1

L)= ( 1 )

K L

C = K (1 ) L K La solucin analtica esta dada por

1 (1 ) (1 )

1

K = L

GK = L

siendoG = 1 (1 ) (1 )1 .


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FIGURA3.4.1. Solucin modelo de Ramsey con trabajo variable

0 5 10 15 20 252.20

2.25

2.30

2.35

2.40

2.45

2.50Capital

0 5 10 15 20 250.120.130.140.150.160.170.180.19

Trabajo

0 5 10 15 20 250.280.290.30

0.310.320.330.340.350.36

Producto

0 5 10 15 20 25.240

.245

.250

.255

.260

.265Consumo

0 5 10 15 20 250.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.12

Inversion

0 5 10 15 20 250.0300.0320.0340.0360.0380.0400.0420.044

pmg Capital

0 5 10 15 20 251.421.441.461.481.501.521.541.561.581.601.62

pmg Trabajo

Si estamos interesados en encontrar la solucin del modelo podemos usar una algoritmo similar que empleamos en el modelo sin trabajo. En este caso particular necesitamos usar el siguiente conjuntoecuaciones

0 = C t C t + 1

1 Lt + 11 Lt (1 ) 1

Lt + 1K t + 1

+ ( 1 ) 1

0 = K t Lt

1

K 1 t L t + ( 1 ) K t K t + 1(1

Lt )

las cuales se cumplen parat = 1, . . . , T .La grco 3.4.1 muestra la solucin del modelo de Ramsey con trabajo variable. El supuesto es que

capital inicial esta por debajo del de estado estacionario y lo que las grcas muetran es la convergencia sistema al nivel de estado estacionario. Como se puede ver, a ese nivel de capital, el producto marginalalto lo que implica una renta esperada alta para la inversion o que el consumo de hoy es costoso por lo talos hogares tienen un incentivo a aumentar la inversion y disminuir el consumo.La cada del consumoimplica la relacin marginal de sustitucin de consumo y ocio cae lo que implica un aumento en laoferta de trabajo. Esto es, los hogares estan dispuestos a ofrecer un mayor nivel de trabajo a unsalario dado.

3.5. Modelo de Ramsey con trabajo variable solucionado por el Mercado

En esta seccin retomamos el modelo de Ramsey pero lo solucionamos a traves del mercado. Esto en esta seccion asumimos que hay un continuo de hogares que trabajan en competencia perfecta y tomdesiciones de consumo y trabajo dada la tasa de interes y el salario. Asi mismo, las rmas contratan el traby el capital dada una renta de capital y el salario.

3.5.1. Hogares.Existe un continuo de hogares identicos indexados en el intervalo(0,1). Se suponeque cada hogar puede proveer hasta una unidad de trabajo al mercado laboral. Como los hogares son idecos se puede tomar uno representativo (todos toman las mismas decisiones) y luego integrar en el interv(0,1) para obtener la solucin agregada.


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3.5. MODELO DE RAMSEY CON TRABAJO VARIABLE SOLUCIONADO POR EL MERCADO 31

Se supone que los individuos derivan su utilidad de consumo y ociou cit ,1l it . Suponemos que la uti-lidad tiene las mismas propiedades que el modelo caso anterior. Esto es, la funcin de sub-utilidad pertenece

U (C ,1 L) =C (1 ) (1 L) si = 0lnC + (1 L) si = 0

.

Por comparacin usamos la misma funcin de utilidad del ejercicio anterior.La hogares reciben ingreso por trabajo y la renta de capital, y deben decidir cuanto consumir y cuantoinvertir. El problema general deli-esimo hogar representativo es:

max

t = 0

u cit , 1l it s.t

cit = wt lit + r r k

it I it

k it + 1 = ( 1 ) k it + I it siendowt y r t el salario por hora y la renta del capital.

El problema del hogar se puede expresar usando el Lagrangeano

L =

t = 0

t cit

1 1l it (1 )

1+ 1t wt l it + r r k

it I it cit + t 2 (1 ) k it + I it k it + 1

y las condiciones de primer orden son:Consumo:

cit 1l it

(1 ) it = 0Trabajo:

cit

1 1

l it

(1 )1 + 1t wt = 0Inversion:

1t + 2t = 0Capital

2t + [ 1t + 1r t + 1 + 2t + 1 (1 )] = 0Restricciones:

cit = wt lit + r r k

it I it

k it + 1 = ( 1 ) k it + I it Estas condiciones de primer orden se pueden simplicar asi:

cit 1l it

(1 ) = it

cit 1 1l it

(1 )1 + cit 1l it

(1 ) wt = 0


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1t + 1t + 1 [r t + 1 + ( 1 )] = 0 1t = 1t + 1 [r t + 1 + ( 1 )]

cit 1l it

(1 ) = cit + 1 1l it + 1

(1 ) [r t + 1 + ( 1 )]

1 = ci

t + 1 1

l it + 1

(1 ) [r t + 1

+ ( 1

)]

cit 1l it (1 )

1 = cit + 1

cit

1l it + 11l it

(1 )[r t + 1 + ( 1 )]

Resumiendo, las condiciones de primer orden son:

cit + 1cit

1l it

1l it + 1 (1 )

= [r t + 1 + ( 1 )]

cit

1

l it

= wt

k it + 1 = ( 1 ) k it + I it cit = wt l

it + r r k

it I it

En cada momento el agente debe decidir sobrecit ,l it ,k it + 1y I it para lo cual tenemos cuatro ecuaciones quese cumplen en cadat .

Este conjunto de condiciones de primer orden son las condiciones individuales. Como todos los agenson iguales entonces todos deben tomas las mismas desciones y por lo tanto se pueden reescribir paraconjunto agregrado. La agregacion consiste en sumar las cantidades decit ,l it ,k it + 1y I it para todoi

C t = 10 c

it di K t =

10 k

it di

Lt =

10 l

it di I t =

10 I

it di

Tomemos el caso del consumo

C t = 1

0cit di =

1

0C t di

C t 1

0di = C t (1).

Esto es, la suma del consumo percapita es igual al consumo agregado percapita. Lo mismo tenemos parademas variables de los hogares. Esto es, el capital y el trabajo disponible para las rmas es igual a:

Lt = lt 10 di K t = K t

1t di

que corresponde al total de capital y trabajo ofrecido por los hogares.

3.5.2. Firmas.Suponemos que hay una rma agregada que produce en competencia perfecta y qutiene rendimientos constantes a escala en la produccion. El problema de la rma es maximizar benecidados los salarios y la tasa de renta del capital. Esto es,

max yt wt Lt r r K t s.t yt = F (K t , Lt )

El problema es estandar y se puede resolver usando como un problema de optimizacion no restringireemplazando la restriccion en la funcion objetivo. Esto es,


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3.7. Programacin no lineal con incertidumbre

En este modulo consideramos la solucin del problema de Ramsey cuando hay incertidumbre y asummos que la funcin de produccin esta sujeta a choques de productividad. De esta forma el producto enperodot no slo depende del capital ent pero tambin de la realizacin del choque de productividad. Elejemplo tpico sera el de un granjero el cual al sembrar tiene en cuenta el nivel de lluvia. Si hay muchpoca lluvia la cosecha es mala. Por el contrario, cuando el nivel de lluvia es bueno la cosecha tambines. Bajo incertidumbre, el granjero determina su nivel de consumo una vez observado el nivel de lluvia ydetermina cuanto consumir en el futuro puesto que no sabe cuanto es el choque de lluvias o productividadel futuro. A diferencia del caso determinstico, en el problema estocstico se tiene ms informacin a meque el tiempo corre.

3.8. Modelo de Ramsey con incertidumbre

Como el consumo futuro es un variable aleatoria la funcin objetivo esta dada por

E0

t = 0

t u(C t )

siendoEo[] la expectativa condicionada en la informacin ent = 0 de las variables aleatoriasC t t = 1. Esto es,el objetivo del agente es maximizar la funcin de utilidad esperada. Dado todo lo anterior el problemamaximizacin se puede escribir de la forma:

maxC 0

E0

t = 0

t u(C t )

s.tK t + 1 + C t Z t f (K t ) + ( 1 )K t 0C t 0K t + 1

Ntese que en este caso dada la informacin en cero el granjero determinaC 0 y por lo tantoK 1 dadaK 0 y Z 0. En el perodo 1 el granjero determinaC 1 y K 2 asumiendo como dadaK 1, Z 1. Sin embargo,C 1 esestocstica dada la informacin disponible en 0 pues no conocemosZ 1. Basados en el anterior argumentose puede ver que el problema de optimizacin se resuelve de manera secuencial as: Primero se revuelveproblema paraC 0 y K 1 dadosZ 0 y K 0 luego se revuelve el problema paraC 1 dadosK 1 y Z 1dondeK 1 es elvalor ptimo del capital dada la informacin hasta cero. Esto es,

L = E0

t = 0

t [u(C t ) + t ( Z t f (K t ) + ( 1 )K t K t + 1C t ) + t C t + t + 1K t + 1]que tiene como condiciones de primer orden

E0 u (c0) 0 + 0 = 0E0 0 + 1 + 1 Z 1 f (K 1) + ( 1 ) = 0

E0 [ Z 0 f (K 0) + ( 1 )K 0K 1C 0] = 0 1K 1 = 0 0C 0 = 0.

De igual forma parat = 1 tenemos

L = E1

t = 1

t 1 [u(C t ) + t ( Z t f (K t ) + ( 1 )K t K t + 1C t ) + t C t + t + 1K t + 1]y las condiciones de primer orden estaran dadas por


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3.9. MTODOS DE SOLUCIN NUMRICOS: 35

E1 u (c1) 1 + 1 = 0E1 1 + 2 + 2 Z 2 f (K 2) + ( 1 ) = 0

E1 [ Z 1 f (K 1) + ( 1 )K 1K 2C 1] = 0 2K 2 = 0 1C 1 = 0.

y as parat = t tendramos

L = E t

s= t

st [u(C s) + s ( Z s f (K s) + ( 1 )K s K s+ 1C s) + sC s + s+ 1K s+ 1] junto con las condiciones de primer orden

Et u (ct ) t + t = 0E t t + t + 1 + t + 1 Z t + 1 f (K t + 1) + ( 1 ) = 0

Et [ Z t f (K t ) + ( 1 )K t K t C t ] = 0 t + 1K t + 1 = 0 t C t = 0.

Si se consideran solo soluciones interiores entonces t = t + 1 = 0 lo cual implica que parat tendramoslas siguientes condiciones de primer orden

u (ct ) = t E t t + 1 Z t + 1 f (K t + 1) + ( 1 ) = t

Z t f (K t ) + ( 1 )K t K t + 1C t = 0y combinando las condiciones uno y dos tenemos

Et u (C t + 1) Z t + 1 f (K t + 1) + ( 1

) = u (C t )

Z t f (K t ) + ( 1 )K t K t + 1 = C t La primera ecuacin es la versin estocstica de la condicin de Euler y la segunda es la restriccin de

presupuesto.Para la solucin numrica del problema de optimizacin es ms conveniente reescribir todas las ecua-

ciones en funcin del capital. Puesto que el nmero de ecuaciones de reduce en la mitad. De esta forma, laecuacin de Euler tambin se puede escribir como:

E t [u (C t + 1)( Z t + 1 f (K t + 1) + ( 1 ))]u (C t )

= 1

E t u ( Z t + 1 f (K t + 1) + ( 1 )K t + 1K t + 2)

u ( Z t f (K t ) + ( 1 )K t K t + 1) Z t + 1 f (K t + 1) + ( 1 ) = 1

3.9. Mtodos de solucin numricos:En esta seccin veremos uno de los posibles mtodos de solucin para este sistema de ecuaciones.

Existen otros que se basan en aproximaciones de Taylor de las condiciones de primer orden. El mtodo queveremos en esta seccin se conoce comoExtended Deterministic Path. La idea del algorithmo es la siguiente:Suponga que en el perodot el agente observa el choqueZ t . Si adems,Z t + s = Z para s = 1, . . . ,entoncesla solucin debera ser igual a la solucin del modelo determinstico en el cualK T con T sucientementegrande debe ser igual aK . De esta forma, el valor deK t + 1 de la senda convergente corresponde al valorde capital parat + 1 bajo los supuestos de previsin perfecta y de que no hay choques adicionales. Una vezdeterminado el valor deK t + 1 se puede encontrarK t + 2 si se le un choqueZ t + 1 al modelo.


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FIGURA3.9.1. Respuesta a un choque de productividad en el modelo de Ramsey.

0 50 100 15054.6554.7054.7554.8054.8554.9054.9555.0055.05

Capital

0 50 100 1503.500

3.505

3.510

3.515

3.520Consumo

0 50 100 1500.9900.9910.9920.9930.9940.9950.9960.9970.9980.9991.000

Choque de productividad

(A) Impulso respuesta

Deterministic Extended Path. La mejor manera de ver como funciona el algorithmo es mediante ejemplo. Suponga que

max{ct }

E0[

t = 0

t C 1t 1

] > 0, (0, 1)

s.tK t + 1 + C t Z t f (K t ) + ( 1 )K t 0C t 0K t Z t = Z

t 1exp

t

En este ejemplo suponemos queZ t sigue un proceso autorregresivo estacionario y que su media es 1.De esta forma, los agentes conocen que un choque ent = 0 se mantiene por un nmero largo de perodos.Las condiciones de primer orden para este problema son las siguientes. Si se supone que hay un choque sen t = 0 entonces tendramos las siguientes F.O.C. Parat = 0

u ( Z 0 f (K 1) + ( 1 )K 1K 2)u ( Z 0 f (K 0) + ( 1 )K 0K 1)

Z 0 f (K 1) + ( 1 ) =1

.

Parat = 1 con un choque ent = 0 tendramos

u ( Z

2

0 f (K 2) + ( 1 )K 2K 3)u ( Z 0 f (K 1) + ( 1 )K 1K 2)

Z 2

0 f (K 2) + ( 1 ) =1

y as parat = T 1conT sucientemente largo se tendra

u ( Z

T 10 f (K T 1) + ( 1 )K T 1K )

u ( Z 0 f (K T 2) + ( 1 )K T 1K T 2) Z

2

0 f (K T 2) + ( 1 ) =1

.

Este es un conjunto deT 1 ecuaciones para encontrarT 1 capitalesK 1, K 2, . . . , K T 1. El K T se suponeigual al de estado estacionario. Vase la ltima ecuacin.

La gura 3.9.1 muestra las trayectorias del consumo, el capital y el choque de productividad enmodelo de Ramsey. El choque negativo de productividad reduce el ingreso de los agentes (menos cosecy como consecuencia de esto el agente disminuye su consumo pero en una proporcin menor a la cada


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3.9. MTODOS DE SOLUCIN NUMRICOS: 37

ingreso. La razn de esto es que dada la utilidad marginal decreciente de los agentes el agente esta mejorcuando distribuye la prdida de consumo en el tiempo. El comportamiento del capital se puede explicar pordosefectos. Primero, la productividad marginal delcapital es baja y segundo el comportamiento del consumoimplica que tiene menos recursos para invertir. Los dos efectos sumados entonces explican la evolucin delcapital el cual permanece por debajo de su nivel de estado estacionario por un perodo largo de tiempo.

El mismo algorithmo se puede utilizar generar realizaciones del modelo. En este caso, se tiene que tener

en cuenta dos cosas: Primero, en cadat el modelo recibe un choque y por tanto para cadat se debe resolver elsistema deT 1 ecuaciones. Segundo, de la solucin para cadat solo se usa el capital del perodo siguiente,el cual se toma como dado ent + 1.


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Captulo 4

Programacin dinmica

En este captulo veremos otro mtodo de solucin de los problemas de optimizacin. Que se basa en lafuncin valor un concepto muy similar al de la funcin indirecta de utilidad en el problema de maximizacinde utilidad en la microeconoma.

4.1. Utilidad indirectaConsidere el siguiente problema de maximizacin de utilidad

max u (c1, c2)st y = p1c1 + p2c2

en este problema se conocen( p1, p2, y) y se busca encontrar la combinacin dec1y c2que maximizan lautilidad. La funcin indirecta de utilidad es la funcin de utilidad evaluada en las decisiones ptimas y portanto es funcin de los precios y del ingreso. Por el teorema de K-T tenemos las siguientes condiciones deprimero orden:

uc1(c1, c2) p1 = 0uc2(c1, c2) p2 = 0

( y p1c1 p2c2) = 0De estas condiciones de primer orden se tiene que:

(4.1.1) =uc1(c1, c2)

p1

(4.1.2) =uc2(c1, c2)

p2

(4.1.3) y = pc1 + p2c2Combinando las ecuaciones 4.1.1 y 4.1.2 se tieneuc1(c1,c2) p1 =

uc2 (c1,c2) p2

que es la conocida condicin deoptimalidad. A su vez de 4.1.1 o 4.1.2 se sabe que > 0 puesto queuc j(c1, c2) > 0 por lo cual 4.1.3 secumple. Adems, dado que lmc0 uc j (c1, c2) para j = 1,2 se tiene que los agentes gastan su ingresoen cantidades positivas de(c1, c2).

En resumen, la restriccin de presupuesto y las condiciones de optimalidad nos dan la informacinpara establecer los consumos ptimos dec1 y c2 dados los precios y el ingreso. Estos a su vez se puedenreemplazar en la funcin de utilidad y tendramos la utilidad indirecta. Supongamos que,u(c1, c2) = logc1 +logc2 entonces:

p1c1 = p2c2.Dado quey = p1c1 + p2c2 y quec2 = p1 p2 c1 entonces

c1 =y

2 p139


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40 4. PROGRAMACIN DINMICA

c2 =y

2 p2.

La funcin indirecta de utilidad sera:

V ( p1, p2, y) = 2log ylog2 p2log2 p1La funcin indirecta de utilidad predice cual es el nivel de utilidad mximo de un agente que maximdados los precios y el ingreso. De esta forma esta funcin se puede usar para saber cual es el efecto de

aumento en el ingreso y/o los precios sobre la utilidad total slo sabiendo que los agentes maximizan. Encaso del ejemplo podemos ver que pasa a la utilidad mxima ante un aumento el ingreso en un unidad

V y( p1, p2, y) =2 y

luego el aumento del ingreso en una unidad genera un aumento equivalente a 2/ y unidades de utilidad.El efecto de un aumento en el ingreso sobre la utilidad mxima debe ser igual al multiplicador de

restriccin de ingreso . Esto se puede ver usando las condiciones de primer orden

=uc1(c1, c2)

p1

luego =

1c1 p1

=2 p1 yp1

=2 y

.

En general necesitamos saber que

V y( p1, p2, y) =uc1(c1, c2)

p1=

uc2(c1, c2) p2

El mismo ejercicio se puede hacer para un rma que maximiza benecios dados los salarios y el nivelcapital. De esta forma, la derivada de la funcin de mximo benecio dara el valor de una variacin dcapital dentro de la rma.

Ntese que lo nico que se necesita saber es que los agentes estn maximizando para calcular el efecsobre la utilidad total. Esto es, la forma en que los agentes distribuyen el ingreso adicional no es importapara determinar el efecto sobre la utilidad o benecios.

4.2. Introduccin a la Programacin dinmica

Suponga que un agente tieneT perodos para comerse un torta de tamaoW 0. Adems se sabe que eltorta no pierde tamao o calidad en el tiempo. La idea de la programacin dinmica es encontrar la secuende consumo ptima de torta dados unas preferencias de los consumidores. Suponga que la utilidad queconsumidor deriva de comer el torta esta dada por

T

t = 0 t u(C t )

dondeu(.) mide el ujo de utilidad del consumo ent y que esta funcin tiene las caracteristicas que semensionaron antes.

La programacin dinmica convierte un problema deT perodos en uno de dos as: Como se vio, lasolucin de un problema de optimizacin se puede condensar en la funcin indirecta de utilidad. En el cde la programacin dinmica esta se llama lafuncin valory mide el valor de la utilidad mxima que sepuede alcanzar dado unestado.Para el caso de la utilidad antes mencionado el estado estaba dado por losprecios y el ingreso, en el caso de la torta el estado est resumido en el tamao de ponqueW t disponible enel perodot .


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4.2. INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN DINMICA 41

Teniendo en cuenta esta denicin es posible entonces re-escribir el problema de optimizacin deT perodos como uno de dos perodos as: Suponga que ent = 0 la torta es de tamaoW 0 y denoteW eltamao ptimo de la torta ent = 1. SeaV (W ) la funcin valor o la utilidad mxima que se obtendra siW = W desdet = 1. Por la naturaleza de problema es usual diferenciar slo entre el estado de hoy y el demaana los cuales se denotan de manera estndar comoW y W .

De manera intuitiva se puede partir el problema de optimizacin deT perodos en uno de dos as:

T

t = 0

t u(ct ) = u(c0) +T

t = 1

t u(ct )

= u(c0) + T

t = 1

t 1u(ct )

= u(c0) + V (W 1).

dondeV (W 1) denota la mxima utilidad que se puede alcanzar si se llega at = 1 conW 1 unidades de torta.De manera ms exacta es posible escribir el problema de optimizacin como

V (W ) =max

c0u(c

0) + V

(W

1)s.t W 1 = W 0c0conW o dado. Es usual escribir el problema slo en funcin de lasvariables de estadoen cuyo caso tendramosel siguiente problema equivalente pero donde la variable de eleccin no es el consumo sinoW .

V (W ) = maxW 1

u(W 0W 1) + V (W 1)V (W ) = max

c0u(W W ) + V (W )

(4.2.1)

Esto es, el nivel ptimo de tortaW en t = 1 debe ser tal que se cumple la ecuacin 4.2.1 lo que implica que

W satisface la siguiente condicin

u (W W ) = V (W )que es la condicin de primer orden del problema en 4.2.1 evaluada en el ptimo nivel de la variable deestado ent + 1. Ahora el problema con sta condicin es que no conocemos el valor deV (W ). De conocerV (W ) podramos encontrar una funcing() tal queW = g(W ) que relaciona el tamao de la torta de hoycon el tamao ptimo para el perodo siguiente. Esta funcin se conoce como la funcin de poltica o funcinde reaccin.

Una versin ms general.Seaxt un vector con variables de estado en el periodot y seayt un vector devariables de control. SeaF ( xt , yt ) la funcin quese quieremaximizar. El problema de optimizacindinmicase puede representar como

V (W ) =max{ yt }

t = 0

t = 0 t F ( xt , yt )

s.t xt + 1 = G ( xt , yt )

siendoG ( xt , yt ) la ecuacin de evolucin de los estados. La ecuacin de Bellman para este problema sepuede encontrar con las siguientes recursiones


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V ( xt ) = max yt

i= 0

iF ( xt + i, yt + i)

= max yt

F ( xt , yt ) + max

i= 1

iF ( xt + i, yt + i)

= max yt

F ( xt , yt ) + max

i= 0

i+ 1F ( xt + 1+ i, yt + 1+ i)

= max yt

F ( xt , yt ) + max

i= 0

iF ( xt + 1+ i, yt + 1+ i)

V ( xt ) = max yt

[F ( xt , yt ) + V ( xt + 1)] .(4.2.2)

Este resultado permite escribir un problema de maximizacin de innitos perodos como uno de dperodos: hoy y maana. Este problema se puede escribir como

V ( xt ) =max yt [F ( xt , yt ) + V ( xt + 1)]

s.t xt + 1 = G ( xt , yt )

o slo en trminos de los estados como

(4.2.3) V ( xt ) = max yt

[F ( xt , yt ) + V (G ( xt , yt ))] .

La ecuacin 4.2.1 o 4.2.3 se conoce como la ecuacin de Bellman y es unaecuacin funcional en la cuallo desconocido es una funcin. En este, caso la funcin valorV (.). La teora de la programacin dinmicaestudia las condiciones en las cuales se pueden encontrarV y H y cuales seran sus propiedades. En generalse sabe que:

Si ambas funciones F ( xt , yt ) y G( xt , yt ) son estrictamente crecientes, estrictamente cnca-vas y doblemente diferenciables en sus argumentos entonces:1. La funcin V () existe, es diferenciable, estrictamente creciente y estrictamente cnca-

va.

2. La funcin de poltica H () es creciente y diferenciable.3. La funcin V () es el lmite de la siguiente secuencia de pasos para s = 0, 1, . . . ,:V s+ 1( xt ) = max

0< xt + 1G( xt , yt )F ( xt , yt ) + V s( xt + 1)

conV 0 = 0.El resultado anterior nos dice que bajo ciertas condiciones existen las funciones de poltica y valor. Sembargo, es posible usar los mtodos de programacin dinmica para encontrar las condiciones de primorden. Para encontrar estas condiciones de primer orden usamos el teorema de la envolvente.

Las condiciones de primer orden para el problema de optimizacin

V ( xt ) = max yt

[F ( xt , yt ) + V (G ( xt , yt ))]

estn dadas por

F y ( xt , yt ) + V x(G ( xt , yt ))G y ( xt , yt ) = 0.Sin embargo, estas condiciones de primer orden no son de mucha utilidad pues no conocemos el valor dderivada deV y( xt + 1). Sin embargo, es posible usar el teorema de la envolvente para determinar su valor.

Suponiendo que existe la funcin de polticayt = H ( xt ) es posible escribir el mximo de la funcinobjetivo asi:

V ( xt ) = F ( xt , H ( xt )) + V (G ( xt , H ( xt )))y que por lo tanto se tiene que cumplir que


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4.3. EJEMPLOS DEL MTODO DE PROGRAMACIN DINMICA 43

V x ( xt ) = F x ( xt , H ( xt )) + F y ( xt , H ( xt )) H x( xt ) + V x (G ( xt , H ( xt )))[G x ( xt , H ( xt )) + G y ( xt , H ( xt )) H x( xt )]

que se puede simplicar como

V x ( xt ) = [F y ( xt , H ( xt )) + V x (G ( xt , H ( xt ))) G y ( xt , H ( xt ))] H x( xt ) +F x ( xt , H ( xt )) + V x (G ( xt , H ( xt ))) G x ( xt , H ( xt ))

= F x ( xt , H ( xt )) + V x (G ( xt , H ( xt ))) G x ( xt , H ( xt )) .

Si es el caso queG x ( xt , H ( xt )) = 0 entonces tenemosV x ( xt ) = F x ( xt , H ( xt ))

y que por tanto las condiciones de primer orden son:

F y ( xt , yt ) + F x ( xt + 1, yt + 1) G y ( xt , yt ) = 0o reemplazando la ecuacion de evolucion de los estados

F y ( xt , yt ) + F x (G ( xt , yt ) , yt + 1) G y ( xt , yt ) = 0.Si G x ( xt , H ( xt )) = 0 entonces no es posible encontrar una solucin analtica. En este caso tenemos que usarel computador para encontrar las funciones de poltica y valor. Esto se puede hacer siguiendo las iteracionesde presentadas arriba. Ejemplos de este mtodo se veran al nal de este captulo.

4.3. Ejemplos del mtodo de programacin dinmicaEn esta seccin mostramos distintos ejemplos del uso de la programacin dinmica y cmo sta se

puede usar para las condiciones de primer orden que caracterizan la solucin ptima. La siguiente seccinla dedicamos a encontrar la funcin de poltica ya sea analticamente o usando el computador.

4.3.1. El problema de la torta.El primer ejemplo es el de la torta. Suponga que un consumidorrecibe una torta de tamaoW 0 y que tieneT perodos para consumirla. La fucin de sub-utilidad esta dadapor u(ct ) = lnct . Ademas por la naturaleza del problema sabemos que la torta evolucionaW t + 1 = W t

C t .

Esto es, el tamao al comienzo del perodo menos el consumo en ese perodo.El problema de manera formal se puede escribir como

V (W t ) =max

ct ln(ct ) + V (W t + 1)

s.t W t + 1 = W t ct .o en trminos slo del estado (tamao de la torta) entonces

V (W t ) = maxW t + 1

[ln(W t W t + 1) + V (W t + 1)] .Las condiciones de primer orden estan dadas por

1

W t

W t + 1

+ V w (W t + 1) = 0

pero no conocemosV w (W t + 1). Sabemos queexiste unafuncin de polticaW t + 1 = H (W t ) la cual no conozco.Sin embargo, se que se cumple que

V (W t ) = [ ln(W t H (W t )) + V ( H (W t ))]y que por lo tanto:

V w (W t ) = 1

W t H (W t ) H w (W t ) +

1W t H (W t )

+

V w ( H (W t )) H w (W t )


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que se puede simplicar usando la condicin de primer orden

V w (W t ) = 1

W t H (W t )+ V w ( H (W t )) H w (W t ) +

1W t

H (W t )

V w (W t ) = 1W t H (W t ).

Reemplazando esta ecuacin en la condicin de primer orden tenemos:

1

W t W t + 1+

1W t + 1W t + 2

= 0o que

1W t W t + 1

= 1

W t + 1W t + 2.

Este sistema de ecuaciones se resuelve usandoW 0 y W T + 1 = 0 y caracteriza la solucin ptima del consumode la torta.

4.3.2. El problema de Ramsey con trabajo jo.Las condiciones de primer orden para el problemade Ramsey con trabajo jo tambien se pueden encontrar. De manera ms explicita considere el problemaRamsey:

maxct

t = 0

t u (C t ) (0,1)

s.t K t + 1 + C t f (K t ) + ( 1 )K t el cual se puede escribir usando la ecuacin de Bellman como

V (K t ) =max u (C t ) + V (K t + 1)s.t f (K t ) = C t + K t + 1

o en trminos slo del capital tendramos

V (K t ) = maxK t + 1

u ( f (K t ) K t + 1) + V (K t + 1) .Las condiciones de primer orden son:

u f (K t ) K t + 1 = V K t + 1 .Por otro lado sabemos que existe una funcinH ( xt ) tal queK t + 1 = H (K t ) y que se debe cumplir que

u ( f (K t ) H (K t )) + V ( H (K t )) = V (K t )del cual podemos encontrar la derivada de la funcin valor

V (K t ) = u (C t ) f (K t ) .

Esta funcin la podemos adelantar un perodo y tendramos queV (K t + 1) = u (C t + 1) f (K t + 1) .

Finalmente, reemplazando en la condicin de primer orden tenemosu ( f (K t ) K t + 1) = V (K t + 1)

= u (C t + 1) f (K t + 1)que es la condicin de Euler del problema de Ramsey.

En conclusin para el problema de Ramsey, la programacin dinmica se puede usar para encontrar condiciones de optimalidad que encontramos usando los mtodos de programacin no lineal. Sin embar


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4.3. EJEMPLOS DEL MTODO DE PROGRAMACIN DINMICA 45

esta no es la solucin al problema pues sabemos que la senda de consumo ptimo debe satisfacer la ecuacinde Euler pero no sabemos como encontrar esta secuencia. El mtodo de programacin dinmica no permiteencontrar tanto la funcin valor como la funcin de reaccin o poltica. La solucin a este problema sepuede encontrar usando tanto mtodos analticos como numricos. Estando la solucin analtica disponiblepara casos muy especcos. Veremos dos ejemplos en el cual es posible encontrar la funcin de polticaexplcitamente. El primero es el problema de Ramsey sin depreciacin y el segundo es el problema del

ponque.4.3.3. El problema de Ramsey con trabajo variable.

maxct

t = 0

t u (C t , 1 Lt ) (0,1)s.t K t + 1 + C t F (K t , Lt ) + ( 1 )K t

La ecuacion de Bellman para este problema seria:

V (K t ) =maxct , Lt u (C t , (1 Lt )) + V (K t + 1)s.t C t = F (K t , Lt ) + ( 1 )K t K t + 1

y en terminos de de la variable de estado

V (K t ) = maxct , Lt u [F (K t , Lt ) + ( 1 )K t K t + 1, (1 Lt )] + V (K t + 1)las condiciones de primer orden serian:

uc (C t ,1 Lt ) + V k (K t + 1) = 0

u L (C t ,1 Lt ) + U c (C t ,1 Lt ) F L (K t , Lt ) = 0.Necesitamos saber cuanto valeV k (K t + 1) para poder usar estas condiciones de primer orden. Para lo cualusamos de nuevo el teorema de la envolvente. Suponemos que existe un funcin de poltica tal queK t + 1 = H (K t ) y la reemplazamos en nuestro problema de optimizacin que queda

V (K t ) = u [F (K t , Lt ) + ( 1 )K t H (K t ) , (1 Lt )] + V ( H (K t ))y que por lo tanto sabemos que

V k (K t ) = U c (C t , K t ) [F k (K t , Lt ) + ( 1 ) H k (K t )] + V k ( H (K t )) H k (K t )

que se puede agrupar como

V k (K t ) = U c (C t , K t ) [F k (K t , Lt ) + ( 1 )] +[ V k ( H (K t )) U c (C t , K t )] H k (K t )

luego

V k (K t ) = U c (C t , K t )[F k (K t , Lt ) + ( 1

)] .

Reemplazando en las condiciones de primer orden:

u L (C t ,1 Lt ) + U c (C t ,1 Lt ) F L (K t , Lt ) = 0

uc (C t , 1 Lt ) + U c (C t + 1, K t + 1) [F k (K t + 1, Lt + 1) + ( 1 )] = 0queson la condiciones de primer orden queteniamos cuandoresolvimos el problema de optimizacin usandolos mtodos de programacin no lineal.

4.3.4. Un caso en el que falla la programacin dinmica (Canova).Poner en un futuro....


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4.4. Solucin para horizonte innito iterando la funcin valor.4.4.1. Problema de Ramsey.Seanu (C t ) = lnC t y f (K t ) = K t entonces la ecuacin de Bellman se

puede escribir como

V (K ) = max0K K

ln K K + V K recuerde que lo que necesitamos encontrar son las funciones de valor y poltica. Esto es, cuanto debe secapital demaana dado el capital de hoy y cuanto sera elmximode utilidad futura si el capital demaana eel ptimo. Para resolver este problema tenemos el siguiente resultado de la teora de programacin dinm

La funcin V () es el lmite de la siguiente secuencia de pasos para s = 0, 1, . . . ,:

V s+ 1(K ) = max0< W f (W )

u( f (K ) K ) + V s(K )conV 0 = 0.

Lo que este resultado nos dice es que la funcin valor es el lmite de estas iteraciones las cuales se comiendesdeV 0 = 0. En principio se podran comenzar desde cualquier otro punto y el resultado debe ser iguaAplicando este resultado al problema de Ramsey la siguiente secuencia de iteraciones.

V 1(K ) = max0K K

ln K K + V 0 K

= 0y si este es la funcin valor entonces el capital ptimo seraK = 0 puesto que dejar capital para el perodosiguiente no produce ninguna utilidad. Luego la solucin de este primera iteracin est dada por

V 1(K ) = lnK K = 0.

Ahora dada esta funcin valor es posible resolver el problema paras = 2 as:

V 2(K ) = max0K K

ln K K + V 1 K = max

0K K ln K

K + lnK .

El capital que resuelve este problema debe cumplir con la siguiente condicin de primer orden

ln(K K ) + lnK K

= 0

lo cual implica

1

(K K )+

1K

= 0

luego

1

K =

1(K

K )

(K K )

K = 1

K K = K K = K + K K = K (1+ )

(1+ ) K

= K .

Reemplazando este valor del capital en la funcin valor tendramos la siguiente funcin valor


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4.4. SOLUCIN PARA HORIZONTE INFINITO ITERANDO LA FUNCIN VALOR. 47

ln K K + lnK = ln K 1

(1+ ) + ln

(1+ ) K

= lnK + ln 1

(1+ ) + 2 lnK + ln

(1+ )

= (1+ ) lnK + ln 1 (1+ ) + ln (1+ )= (1+ ) lnK ln(1+ ) + ln ln(1+ )= (1+ ) lnK + ln

1(1+ ) +

ln (1+ )

= (1+ ) lnK + A1

siendoA1 = ln 1(1+ ) + ln

(1+ ) . De manera equivalente es posible resolver el problema paras = 3usando la solucin des = 2. En este caso, la funcin valor esta dada por

V 3(K ) = max0K K

ln K K + V 2 K = max0K K

ln K K + (1+ ) lnK + A1y las condiciones de primer orden paraK seran:

ln(K K ) + (1+ ) lnK + A1 K

= 0

1

K K + (1+ )

1K

= 0

(1+ ) K K = K (1+ ) K = K + (1+ ) K

(1+ )1+ (1+ )

K = K

+ ( )2

1+ + ( )2K = K

y la funcin valor est dada por

V (K ) = ln K + ( )2

1+ + ( )2K + (1+ ) ln + ( )

2

1+ + ( )2K + A1

= lnK + 2 + 3 2 lnK + (1+ ) ln + ( )2

1+ + ( )2+ ln

11+ + ( )2

+ A1

= 1+ + ( )2

lnK + (1+ ) ln + ( )2

1+ + ( )2 + ln1

1+ + ( )2 + A1

= 1+ + ( )2 lnK + A2

siendoA2 = (1+ ) ln +( )2

1+ +( )2 + ln1

1+ +( )2 + A1.En general podemos ver que la funcin de poltica est dada por

K =si= 1 ( )

i

si= 0 ( )i K


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y paras tenemos quelmS

S

i= 1

( ) i = lmS

1+ + ( )2 + + ( )S

= l mS

1+ + ( )2 + + ( )S

= lmS

1( )S

1 =

1

y de manera similar

lmS

S

i= 0

( ) i =1

1 luego

K = lmS

si= 1 ( )i

si= 0 ( )i K

= (1

)

1 K

K = K

esto es la funcin de poltica seraK = g(K ) = K .

Para encontrar la funcin valor entonces necesitamos calcular el lmite deV s(K ) cuandoS . Lo cualde manera directa es muy complicado. Una posibilidad es usar un guess y luego vericarlo. Del resultde s = 1 ys = 2 podemos inferir que la funcin valor es lineal en lnK y que es de la forma

v = a + b lnK luego usando este guess podemos resolver la ecuacin de Bellman as:

maxK ln K K + [a + b lnK ]y tenemos las siguiente condicin de primer orden

K

ln K K + [a + b lnK ] = 1

K K + b

1K

1

K K + b

1K

= 0

b1

K =

1K K

b K K = K b

1+ bK = K

y la funcin valor sera

v (k ) = ln K b

1+ b K + a + b ln

b1+ b K

= lnK + ln1

1+ b + a + blnK + b ln b1+ b

= ( + b) lnK + ln1

1+ b + a + b ln

b1+ b

luego si el guess es correcto tendramos


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4.4. SOLUCIN PARA HORIZONTE INFINITO ITERANDO LA FUNCIN VALOR. 49

a = ln1

1+ b + a + bln b1+ b

b = ( + b)

que es un sistema de dos ecuaciones en dos incgnitasa , b para resolverlo podemos usar la segunda ecuacinb b =

b =

1 y reemplazando en la primera ecuacin tendramos

a = ln1

1+ 1 + a +

1

ln

1 1+ 1

a=

11

ln 11+ 1 +

1 ln

1

1+ 1

a =1

1 ln(1 ) +

1

ln

luego ya tenemos tanto la funcin de poltica como la funcin valor.

4.4.2. Problema de la torta.Seanu (C t ) = lnC t y f (W t ) = W t . El problema de la torta se resuelve demanera similar. La ecuacin de Bellman sera

V (W ) = max0W < W

ln W W + V W .

Suponiendo queV 0 = 0 tenemos la siguiente ecuacin de Bellman

V 1 (W ) = max0W < W

ln W W

que tiene mximo cuandoW = W . Luego

W = W v1(W ) = lnW .

Paras = 2 tenemos

V (W ) = max0W < W

ln W W + lnW

que tiene como condicin de primer orden

W

ln W W + lnW = 1

W W +

1W

= 0

1W W

= 1

W W W = W

11+ W = W


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y la funcin valor serav = ln W W + lnW

= ln W 1

1+ W + ln

11+

W

= lnW + ln

1+ + lnW + ln

1

1+ = ( 1+ ) lnW + ln 1+ +

ln 11+ = ( 1+ ) lnW + A1

siendoA1 = ln 1+ + ln1

1+ .Paras = 2 tenemos que

v2 = max0W < W

ln W W + (1+ ) lnW + A1luego las C.P.O seran

1

W W + (1+ )

1W

= 0

de lo que tenemos

1

W W + (1+ )

1W

= 0

(1+ )1

W =

1W W

(1+ ) W W = W (1+ )

1+ (1+ )W = W

W = + 2

1+ + 2W


v2 = ln W W + (1+ ) lnW + A1= ln W

+ 2

1+ + 2W + (1+ ) ln +

2

1+ + 2W + A1

= lnW + (1+ ) lnW + ln1

1+ + 2 + (1+ ) ln

+ 2

1+ + 2 + A1

= 1+ + 2 lnW + A2

siendoA2 = ln 11+ + 2 + (1+ ) ln + 2

1+ + 2 + A1. As para s = S tendremos

W =S i= 1

i

S i= 0

iW

y paraS tendremosW = W

que es igual al resultado en encontrado paraT . De manera similar podemos calcular la funcin valorla cual es una funcin linea de lnW . Seav = a + b lnW entoncesv = max ln W W + a + b lnW

y las condiciones de primer orden seran

1

W W +

bW

= 0


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4.5. ITERACIN DE LA FUNCIN VALOR CON HORIZONTE FINITO 51

por tantoW =

11+ b

W


v = ln W 1

1+ b W + a + bln 11+ b W

v = ( 1+ b) lnW + ln 11+ b + b ln 11+ b +

a

de donde tenemos el sistema de ecuaciones ena y b dado porb = ( 1+ b)

a = ln1

1+ b + b ln 11+ b +

a

y cuya solucin est dada porb = ( 1+ b)

b =1

1 y la dea

a = ln1

1+ b + bln 11+ b + a

=1

1 ln 1

1+ 1 + b ln

11+ 1

=1

1 ln(1 )

11

a =1

1 2ln(1 )

4.5. Iteracin de la funcin valor con horizonte nitoEl mtodo de iterar la funcin valor tambin se puede aplicar en el caso de horizonte nito. Lo ms

importante es tener en cuenta que hay una condicin terminal del capital o de la variable de estado el cualdebe ser cero al nalizar el horizonte de solucin. La solucin se encuentra recursivamente empezando porel problema deT = 1 y siguiendo por el deT = 2 y as sucesivamente.

4.5.1. Problema de la torta.V 1 (W ) = max

0W < W ln W W

que tiene como solucinW = 0 v = lnW

la solucin implica que hay que consumir todo el ponque en el perodo corriente.

ParaT = 2 tendramos la siguiente ecuacin de BellmanV 1 (W ) = max

0W < W ln W W + V 2 W

de lo cual podemos construir la ecuacin de Euler as: Sabemos queW debe

métodos cuantitativos y macroeconomía avanzada

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