Ejercicios de Macroeconoma AvanzadaJos L. Torres ChacnDepartamento de Teora e Historia EconmicaUniversidad de MlagaSeptiembre 2010iiIndiceI Sistemas dinmicos bsicos 51 Introduccin a la dinmica 72 Modelos dinmicos bsicos 29II Introduccin al Equilibrio General 903 La eleccin intertemporal de los consumidores 914 Las empresas y la decisin de inversin 1215 El gobierno y la poltica scal 1336 El modelo simple de equilibrio general 163III Crecimiento Econmico 1717 Introduccin al crecimiento econmico 173Indice 18 El modelo de Ramsey 1919 La tecnologa AK 2052 IndicePrefacioEl presente documento forma parte de un conjunto de tres manualesque se corresponden con la materias de la asignatura MacroeconomaAvanzada II, que imparte el Departamento de Teora e HistoriaEconmica en la Facultad de Ciencias Econmicas y Empresarialesde la Universidad de Mlaga, en el cuarto curso de la Licenciatura deEconoma. Se trata fundamentalmente de un curso de introduccina la macroeconoma dinmica con el cual se cierra el aprendizajede macroeconoma en la Licenciatura pero que al mismo tiemposienta las bases para que el alumno pueda seguir cursando estudiosde postgradoeneconomaconunaslidabase respectoalosfundamentos de la macroeconoma actual.Elmaterialque se imparte en esta asignatura se ha divididoen un total de tres manuales: Uno terico, Apuntes deMacroeconoma Avanzada (AMA); otro de ejercicios resueltos,Ejercicio de Macroeconoma Avanzada (EMA);y un tercero deejercicios numricos y de computacin, Macroeconoma AvanzadaComputacional (MAC). Enlos tres manuales se ha intentadomantener una estructura similar, correspondiente al programa dela asignatura, pero con unos objetivos y contenidos muy diferentesentre ellos, siendo totalmente complementarios.El presente manual,Ejercicios de Economa Avanzada (EMA)contiene un conjunto de ejercicios y sus correspondientes propuestas4 Indicede resolucin. Elobjetivo de esta recopilacin de ejercicios espermitir que los alumnos dispongan de una serie de ejercicios sobreel temario de la asignatura con sus respectivas soluciones.Se tratade un conjunto de propuestas de resolucin como en todo manual deejercicios resueltos. Esto signica que la resolucin de cada ejerciciono tiene porqu ser exactamente la propuesta, si bien los resultadostienen que ser los mismos. La propuesta de resolucin es unagua para ser aplicada en la resolucin de otros ejercicios similares.Aunque el presente texto tiene un enfoque fundamentalmenteprctico, tambin resulta de gran utilidad a nivel terico, por cuantose analiza una gran variedad de problemas econmicos y permiteobservar cmo los desarrollos tericos realizados pueden ser aplicadospara responder a un conjunto muy amplio de cuestiones.Mlaga, Septiembre de 2010Jos L. TorresParte ISistemas dinmicosbsicos561Introduccin a la dinmicaEste tema tiene como objetivo bsico la introduccin al alumnoenunadelas herramientas bsicas quevamos autilizar parael anlisis econmicodinmico: los diagramas de fases. Losdiagramas defases constituyenunaherramientagrcaqueseusa profusamente en el anlisis macroeconmico dinmico ypermite estudiar la dinmica temporal de las principales variablesmacroeconmicas, siendo una forma de presentar la solucin de unmodelo terico as como la dinmica de las diferentes variables anteuna determinada perturbacin. Tal y como hemos estudiado en eltema correspondiente,la forma bsica que vamos a utilizar paradescribir la economa es un sistema de ecuaciones diferenciales, lascuales describen el comportamiento a lo largo del tiempo de lasvariables de inters en funcin de ellas mismas y de un conjunto devariables exgenas. Para ello los ejercicios propuestos consisten en laaplicacin de diferentes conceptos, tales como el estado estacionario,la estabilidad del sistema y su representacin grca, a un conjuntode sistemas de ecuaciones diferenciales que no tienen signicadoeconmico. El objetivo que se persigue es simplemente familiarizarsecon estos instrumentos y los conceptos asociados a los mismos, queposteriormente aplicaremos a modelos con contenido econmico.8 1. Introduccin a la dinmicaEJERCICIO1.1: Considere el siguiente sistema deecuaciones dinmicas:_` r1,t` r2,t_=_ 0 , c_ _r1,tr2,t__ 1 0 10 j 1___ .1,t.2,t.3,t__(1.1)Calcule el valor de las variables en estado estacionario.SOLUCIN:El sistema de ecuaciones diferenciales planteado tiene la siguienteforma matricial en trminos generales:_` r1,t` r2,t_ = _r1,tr2,t_1__ .1,t.2,t.3,t__(1.2)dondees lamatrizdecoecientes asociados alas variablesendgenas (r1,t, r2,t)=_ 0 , c_(1.3)y 1 es la matriz de coecientes asociados a las variables exgenas(.1,t, .2,t, .3,t),1 = _ 1 0 10 j 1_Para calcular el Estado Estacionario partimos de su denicin. ElEstado Estacionario se dene como aquella situacin en la cual todaslas variables del sistema son constantes, es decir:_` r1,t` r2,t_ = _00_(1.4)1. Introduccin a la dinmica 9para lo cual se hace necesario que se cumpla:_r1,tr2,t_ = 1__ .1,t.2,t.3,t__(1.5)siendo en este caso r1,t = r1,t y r2,t = r2,t. Por tanto, para calcularel valor de las variables en estado estacionario tenemos que calcularel siguiente vector:_r1,tr2,t_ = 11.t(1.6)La inversa de matriz , junto con la matriz 1 y el vector devariables exgenas es:1=10c ,_ c, 0_, 1 = _ 1 0 10 j 1_, .t =__ .1,t.2,t.3,t__(1.7)por lo que sustituyendo obtendramos:_r1,tr2,t_ = 10c ,_ c , 0_ _ 1 0 10 j 1___ .1,t.2,t.3,t__(1.8)y multiplicando ambas matrices obtenemos:_r1,tr2,t_ =10c ,_ c,j c , 0j 0 ___ .1,t.2,t.3,t__(1.9)Por tanto, el valor de las variables en estado estacionario sera: r1,t =c0c ,.1,t ,j0c ,.2,t (c ,)0c ,.3,t(1.10) r2,t =0c ,.1,t 0j0c ,.2,t (0 )0c ,.3,t(1.11)Como podemos comprobar el valor de las dos variables endgenasenestado estacionario depende del valor de las tres variablesexgenas y de las constantes del sistema.10 1. Introduccin a la dinmicaEJERCICIO1.2: Analice laestabilidaddel siguientesistema de ecuaciones dinmicas:_` r1,t` r2,t_=_ 0 , c_ _r1,tr2,t__ 1 00 j_ _ .1,t.2,t_(1.12)SOLUCIN:Para realizar el anlisis de estabilidad del sistema y conocer cmovan a ser las trayectorias de las variables en relacin al EstadoEstacionario, debemos de calcular las races asociadas a la matrizde las variables endgenas. Para ello lo que tenemos que haceres resolver una ecuacin de segundo grado que la obtenemos deigualar a cero el determinante de la matriz de coecientes asociadosa las variables endgenas menos la matriz identidad. De este modocalcularamos:1ct__ ` 00 `__ = 0 (1.13)de la cual obtendramos una ecuacin de segundo grado del tipo:`2/` c = 0 (1.14)siendo sus races:`1, `2 = / _/24c2(1.15)El signo de las dos races va a depender, por un lado del signodel coeciente inmediatamente anterior a la raz cuadrada (/) y,por otro lado, del signo que aparece dentro de la raz cuadrada.As, podemos comprobar que el primer trmino dentro de la razcuadrada simplemente es el coeciente anterior a dicha raz peroelevado al cuadrado (/2). Por tanto, si el segundo trmino de la razcuadrada fuese cero (c = 0), entonces tendramos que al resolver laraz cuadrada nos quedara:1. Introduccin a la dinmica 11`1, `2 = / _/22= / /2(1.16)por lo que nos quedara que una de las races sera segativa y la otranula: `1 = /; `2 = 0. Por tanto, la clave est en el signo queaparece en la raz cuadrada, que es el que nos va a decir si al resolverla raz cuadrada, el resultado es mayor o menor que el coecienteanterior a la misma. Obviamente, si el signo es positivo, el resultadode resolver la raz cuadrada es superior al coeciente anterior a lamisma y lo contraro sucedera su el signo dentro de la raz cuadradafuese negativo. Con este sencillo truco ya podemos calcular el signode las races asociadas a la matriz .En el problema propuesto tendramos1ct_ 0 ` , c `_ = 0 (1.17)Calculando el determinante, agrupando trminos e igualando acero, llegamos a la siguiente ecuacin de segundo grado:`2(0 c)` (0c ,) = 0 (1.18)cuyas races van a ser las siguientes:`1, `2 = (0 c) _(0 c)24(0c ,)2(1.19)Resolviendo, obtenemos que las dos races son positivas:`10, `20 (1.20)Como podemos comprobar, al resolver la raz cuadrada, elresultado que nos queda es un valor ms pequeo que el coecienteasociado a `, dado que:_(0 c)24(0c ,) < (0 c) (1.21)Por otra parte, el primer trmino de la expresin (1.21), (0 c)es positivo.Por tanto tenemos que un valor positivo ms algo mspequeo, resulta en un valor positivo. Un valor positivo menos algoms pequeo, resulta en un valor positivo. Por tanto, las dos racesson positivas.12 1. Introduccin a la dinmicaEJERCICIO1.3: Resuelva el siguiente sistema deecuaciones dinmicas:_` r1,t` r2,t_=_ 0 , c_ _r1,tr2,t__ 1 0 10 j 1___ .1,t.2,t.3,t__(1.22)y represente grcamente las condiciones de equilibriodinmicas y el diagrama de fases.SOLUCIN:A partir del sistema en notacin matricial, podemos obtener lassiguientes ecuaciones diferenciales, para cada una de las variablesendgenas, que nos dicen como stas varan en el tiempo:` r1,t = 0r1,t ,r2,t.1,t .3,t(1.23)` r2,t = r1,tcr2,t j.2,t .3,t(1.24)La interpretacin de estas ecuaciones es sencilla, al tiempo quecontiene toda la informacin necesaria para describir el movimientode las variables endgenas a lo largo del tiempo. As, la ecuacin(1.23) nos indica que las variaciones en la variable 1 dependenpositivamente de dicha variable, positivamente de la variableendgena 2, negativamente de la variable exgena 1 y positivamentede la variable exgena 3. Esto es, un aumento en la variable exgena1 provocara una disminucin en la variable endgena 1, mientrasque un aumento en la variable exgena 3 provocara un aumentoen la variable endgena 1. De forma similar la ecuacin (1.24)nos indica que los cambios en la variable endgena 2 dependenpositivamente de la variable endgena 1, negativamente de dichavariable y positivamente de las variables exgenas 2 y 3.A continuacin representamos grcamente dichas ecuaciones. Enrealidad lo que vamos a representar es una solucin particular de las1. Introduccin a la dinmica 13mismas, de las innitas soluciones que tiene.En concreto vamos arepresentar dichas ecuaciones cuando su valor es cero, que es a loque vamos a denominar una ecuacin de equilibrio dinmico, ya queestamos representando la combinacin de valores de las variablesendgenas, dadas unas variables exgenas, talque las variablesendgenasnocambien, esdecir, seanconstantesenel tiempo.Como son ecuaciones lineales, para realizar su respresentacin grcanicamente tenemos que calcular su pendiente.Para calcular la pendiente de la ecuacin diferencial de la primeravariable endgena, bajo la restriccin de que la derivada con respectoaltiempo de esta variable es cero, partimos de la condicin deequilibrio parcial para dicha variable:` r1,t = 0r1,t ,r2,t.1,t .3,t = 0 (1.25)esto es, igualamos a cero la primera ecuacin diferencial del sistema.Para hacer la derivada nicamente tenemos que despejar una variableendgena en trminos de otra, tal que:0r1,t = ,r2,t.1,t .3,t(1.26)Dado que vamos a representar a la variable endgena 1 en el ejehorizontal y a la varible endgena 2 en el eje vertical, para calcularla pendiente de la expresin (1.26), tenemos que despejar r2,t enfuncin de r1,t, de forma que:r2,t = 0,r1,t 1,.1,t 1,.3,t(1.27)por lo que la pendiente de esta condicin de equilibrio dinmicaparcial simplemente sera el coeciente que multiplica a la variabler1,t, y la expresamos de la siguiente forma:dr2,tdr1,t [_ a1;t=0= 0, < 0 (1.28)esto es,la pendiente de esta condicin de equilibrio dinmica esnegativa, por lo que su representacin grca es la que aparece en lagura 1.1.14 1. Introduccin a la dinmica`r1,tr2,t

` r1,t = 0oa2;toa1;t [_ a1;t=0= 0o< 0Figura 1.1: Condicin de equilibrio dinmica parcial parala variable r1,tEsta representacin grca nos indica la combinacin de valorespara las variables endgenas que tiene que existir en un momentodadodel tiempoparaque lavariable endgena1permanezcaconstante, es decir, no cambie de valor. As, obtenemos que dicharelacin es negativa. Es decir, si el valor de r1,t es muy alto, paraque dicho valor permanezca constante en el tiempo, entonces el valorde r2,t tiene que ser muy bajo.A continuacin, repetimos el mismo procedimiento para la segundavariable endgena. Igualando a cero la segunda ecuacin diferencialdel sistema:` r2,t = r1,tcr2,t j.2,t .3,t = 0 (1.29)Despejandolasegundavariable endgenaentrminos de laprimera, obtenemos que:r2,t = cr1,t jc.2,t 1c.3,t = 0 (1.30)Por tanto, la pendiente de la ecuacin diferencial de la segundavariable endgena, bajo la restriccin de que la derivada con respectoal tiempo de esta variable es cero, sera la siguiente:1. Introduccin a la dinmica 15dr2,tdr1,t [_ az;t=0= c0 (1.31)esto es,la pendiente de esta condicin de equilibrio dinmica espositiva, por lo que la representaramos tal y como aparece en lagura 1.2.`r1,tr2,t

` r2,t = 0oa2;toa1;t [_ a2;t=0= c0Figura 1.2: Condicin de equilibrio dinmica parcial parala variable r2,tUna vez representadas la dos condiciones de equilibrio dinmicasparciales para nuestras varaibles endgenas, a continuacin vamos autilizar unas echitas para indicar el comportamiento de las variablesendgenas en situaciones de desequilibrio. Estas echas, que es lo quenos va a permitir construir lo que vamos a denominar diagrama defases, simplemente consisten en la representacin grca del signode la derivada de las variables respecto altiempo, es decir, esuna representacin del signo (positivo o negativo) que toman lasecuaciones diferenciales del sistema.La gura 1.3.muestra el diagrama de fases correspondiente a lavariable endgena 1. Estas fechitas nos indican como se comportaesta variable en los dos tipos de desequilibrios en los que puedeencontrarse. Como podemos observar las echitas son horizontales,dado que hemos representado a la variable endgena 1 en el eje16 1. Introduccin a la dinmicahorizontal. Una echita hacia la derecha nos indicara que la variableaumenta (su derivada respecto al tiempo sera positiva) mientras queuna echita hacia la izquierda nos indicara que la variable disminuye(su derivada respecto al tiempo sera negativa).Para construir este diagrama de fases procedemos de siguientemodo. En primer lugar,jamos un punto de desequilibrio,porejemplo a la derecha de la condicin de equilibrio dinmica parcial.En todos estos puntos, o bien, la variable endgena 1 es muy elevadarespecto al valor que tendra que tener en equilibrio, o bien dado unvalor de la variable endgena 1, el valor de la variable engnena 2es muy elevado. Con esta informacin nos vamos a nuestra ecuacindiferencial, que sabemos es diferente de cero, dado que no estamossituados sobre ella:` r1,t = 0r1,t ,r2,t.1,t .3,t ,= 0 (1.32)Ahora lo que tenemos que hacer es ver como sera el signo enfuncin de los valores de las variables endgenas en desequilibrio ydel signo de los coecientes asociados a los mismos. Por ejemplo,en esta zona, la variable r1,t sera muy elevada (dado un valor der2,t) y lleva asociado un signo positivo, por lo que dicha ecuacinsera positiva,` r1,t0, es decir, en esta zona r1,t aumentara en eltiempo. Por tanto, la echita en esta zona la dibujamos hacia laderecha, indicando que en todas estas situaciones de desequilibrio laderivada de la variable endgena 1 respecto al tiempo es positiva,por lo que su valor aumentara. El mismo anlisis lo podramoshacer usando la variable r2,t dado un valor de r1,t, y obtendramosel mismo resultado.Si repetimos este mismo anlisis en la zona dela izquierda, observamos que ahora la derivada sera negativa, por loque la echita ira hacia la izquierda.Lagura1.3muestracomoserael diagramadefases parala variable r1,t. La lnea recta con pendiente negativa indica lacombinacin de valores de las variables endneas tal que la derivadade esta variable con respecto al tiempo es cero, es decir, su valorpermanece constante en el tiempo. Fuera de esta lnea con pendientenegativa,la derivada es distinta de cero (o positiva o negativa).Como podemos comprobar, a la derecha de esta lnea, la derivada espositiva, lo que indicamos con una echa hacia la derecha, mientrasque a la izquierda su derivada es negativa, lo que viene indicado poruna echa hacia la izquierda.1. Introduccin a la dinmica 17`r1,tr2,t

` r1,t = 0oa2;toa1;t [_ a1;t=0= 0o< 0Figura 1.3: Diagrama de fases de la variable r1,tEl mismo procedimiento lo aplicaramos a la variable endgena 2.La representacin grca del diagrama de fases correspondiente paraesta variable aparece en la gura 1.4.`r1,tr2,t`

` r2,t = 0oa2;toa1;t [_ a1;t=0= c0Figura 1.4: Diagrama de fases de la variable r2,t18 1. Introduccin a la dinmicaUna vez que hemos representado la informacin contenida enlas ecuaciones diferenciales para nuestras variables endgenas, acontinuacin vamos a unir toda esa informacin en un nico grco.Este grco,combinacin de las guras 1.3 y 1.4,sera nuestrarepresentacin delsistema dinmico en su conjunto,taly comoaparece en la gura 1.5.Tal y como podemos observar,esta representacin grca nosmuestra las condiciones de equilibrio dinmicas parcial para cadavariable (que aparecen como dos lneas rectas dado que ambasecuaciones son lineales), la condicin de equilibrio conjunto delsistema, que viene dada por el estado estacionario y en trminosgrcos es el puntodecortedelas condiciones anteriores, ascomo una serie de echitas que nos indican como se mueve cadavariable (si aumentaodisminuye) encualquier situacin. Laechas verticales nos indicaran los movimientos de la variable r2,tmientras que las echas horizontales indicaran los movimientos dela variable r1,t. Partiendo de cualquier punto, podemos conocercmo es la trayectoria que siguen ambas variables. De este modo yatenemos representada en trminos grcos (casi) toda la informacinquecontieneel sistemadeecuacionesestudiado, representacingrca que resulta muy til para su utilizacin en el anlisis deperturbaciones.`r1,tr2,t``

` r1,t = 0` r2,t = 0 110 r1 r2Figura 1.5: Representacin del sistema dinmico1. Introduccin a la dinmica 19EJERCICIO1.4: Considere el siguiente sistema deecuaciones_` r1,t` r2,t_=_ 0 , c_ _r1,tr2,t__ 1 o0 j_ _ .1,t.2,t_(1.33)Se pide:1. Valor de las variables en estado estacionario.2. Anlisis de estabilidad.3. Representacin grca de las condiciones de equilibriodinmicas y diagrama de fases.4. Anlisis de los efectos de un aumento en .1,t.SOLUCIN:1. Valor de las variables en Estado Estacionario: El sistemade cuaciones diferenciales planteado tiene la siguiente forma matricialen trminos generales:_` r1,t` r2,t_ = _r1,tr2,t_1_.1,t.2,t_(1.34)dondees lamatrizdecoecientes asociados alas variablesendgenas y 1 es la matriz de coecientes asociados a las variablesexgenas.El Estado Estacionario se dene como aquella situacin en la cualtodas las variables del sistema son constantes, es decir:_` r1,t` r2,t_ = _00_(1.35)para lo cual se hace necesario que:_r1,tr2,t_ = 1_.1,t.2,t_(1.36)20 1. Introduccin a la dinmicasiendo en este caso r1,t = r1,t y r2,t = r2,t. Por tanto, para calcularel valor de las variables en estado estacionario tenemos que calcularel siguiente vector:_r1,tr2,t_ = 11.t(1.37)por lo que tendramos:_r1,tr2,t_ = 10c ,_c , 0_ _ 1 o0 j_ _.1,t.2,t_(1.38)y multiplicando ambas matrices obtenemos:_r1,tr2,t_ = 10c ,_c co ,j o 0_ _.1,t.2,t_(1.39)Por tanto, el valor de las variables en estado estacionario sera:r1,t =c0c ,.1,t co ,j0c ,.2,t(1.40)r2,t =0c ,.1,t o 0j0c ,.2,t(1.41)Como podemos comprobar el valor de las dos variables endgenasenestado estacionario depende del valor de las dos variablesexgenas.2. Anlisisdeestabilidaddel sistema: Para analizar laestabilidad delsistema tenemos que calcular los valores propiosasociados al mismo y en concreto, es su signo (positivo o negativo)lo que nos interesa. Para calcular el signo de los valores propiosprocedemos como sigue. En primer lugar calculamos el siguientedeterminante y lo igualamos a cero:1ct [`1[ = 01ct__ 0 , c__ ` 00 `__ = 1ct_ 0 ` , c `_ = 0 (1.42)a partir del cual obtendramos la siguiente ecuacin de segundogrado:1. Introduccin a la dinmica 21`2`(0 c) (0c ,) = 0 (1.43)Resolviendo obtenemos:`1, `2 = 0 c _(0 c)24(0c ,)2(1.44)Laclave estenver comoes el signoasociadoal segundocomponente dentro de la raiz cuadrada. Si el segundo componente dela raiz cuadrada fuese cero, entonces al resolver dicha raiz cuadradael resultado sera igual que el coeciente asociado a `. Por tanto sieste segundo componente de la raiz cuadrada tiene signo positivo, alresolver la raiz nos quedara un nmero mayor (en valor absoluto) queel coeciente asociado a `. Por el contrario, si el signo fuese negativo,entonces al resolver nos dara un nmero menor (en valor absoluto)al coeciente de `. Como el signo que hay dentro de la raiz cuadradaes negativo, esto quiere decir que al resolver la raiz cuadrada lo quenos queda va a ser inferior al negativo del coeciente de `. Por tanto,como el coeciente asociado a ` es negativo, el primer trmino dela expresin es positivo. Para la primera raz tendramos:positivoms algo ms pequeo, positivo. Para la segunda raz tendramos:positivo menos algo ms pequeo, positivo. Por tanto, las dos racesson positivas (`10, `20), por lo que elsistema presentainestabilidad global, es decir, todas las trayectorias que siguen lasvariables nos alejan del estado estacionario. As, pues este sistemade ecuaciones no tendra signicado econmico, ya que una vez seproduzca una perturbacin no se vuelve a alcanzar el nuevo estadoestacionario.3. Representacin grca de las condiciones de equilibriodinmicas: Pararealizar larepresentacingrcanicamentedebemos calcular la pendiente de cada condicin en equilibrio parcial,dado que las ecuaciones que estamos utilizando son lineales. Enconcreto, loque representaramos seraunasolucinparticularcorrespondiente al equilibrio dinmico parcial, aquella para la cuallas derivadas temporales son cero, esto es:` r1,t = 0r1,t,r2,t .1,t o.2,t = 0 (1.45)` r2,t = r1,t cr2,tj.2,t = 0 (1.46)22 1. Introduccin a la dinmicaVamos a representar r2,t en el eje vertical y r1,t en el eje horizontal,por lo que tendramos que derivar r2,t respecto a r1,t. Calculamosla pendiente de la primera ecuacin diferencial:0r1,t,r2,t .1,t o.2,t = 0 (1.47),r2,t = 0r1,t.1,to.2,t(1.48)r2,t = 0,r1,t 1,.1,t o,.2,t(1.49)Por tanto, obtenemos que:dr2,tdr1,t [_ a1;t=0= 0,0 (1.50)por lo que la pendiente sera positiva. A continuacin realizamos elmismo procedimiento con la segunda ecuacin de equilibrio parcial:r1,t cr2,tj.2,t = 0 (1.51)r2,t = cr1,t jc.2,t(1.52)por lo que resultadr2,tdr1,t [_ az;t=0= c < 0 (1.53)es decir, la pendiente sera negativa.Esta lnea con pendiente positiva nos indica la combinacin devalores que tienen que tomar las variables endgenas 1 y 2, paraque la variable endgena 1 sea constante en el tiempo,es decir,su derivada con respecto al tiempo sea nula. Por tanto, cualquiercombinacin de valores que se encuentre fuera de dicha recta nosindicara que la variable endgena 1 no es constante, y por tanto,o bien estara aumentando (su derivada respecto al tiempo serapositiva) o bien estara disminuyendo (su derivada respecto al tiemposera negativa). A la derecha de dicha condicin de equilibriodinmicanos encontramos conqueobienr1,tes muygrande(respecto al valor que tendra que tener para que existiese equilibrioparcial) o bien r2,t es muy pequeo (respecto al valor que tendra1. Introduccin a la dinmica 23que tener para que existiese equilibrio parcial). Analizamos los signosque tienen dichas variable sen la ecuacin dinmica para la variabler1,t. Como podemos comprobar, el signo asociado a r1,t es positivo,mientras que el signo asociado a r2,t es negativo. Por tanto,sir1,t es muy grande y su signo es positivo, entonces la ecuacin esmayor que cero, es decir, la derivada con respecto al tiempo de lavaraible endgena r1,t es positiva, por lo que su valor aumentara.Alternativamente, podemos hacer el mismo anlisis en trminos der2,t. As, a la derecha de esta condicin de equilibrio dinmica r2,t esmuy pequeo y dado que tiene un signo negativo, este valor negativosera inferior al que se requiere para que r1,t sea constante, por lo quela ecuacin sera positiva. Por tanto, r1,t aumentara a la derechade esta condicin dinmica mientras que disminuira en cualquiercombinacin de valores situados a su izquierda.`r1,tr2,t

` r1,t = 0oa2;toa1;t [_ a1;t=0= co0Figura 1.6: Representacin de la dinmica de la variable 1A continuacin repetimos elmismo anlisis en trmino de laecuacin dinmica de equilibrio parcial para la variable endgena2. En primer lugar representamos grcamente dicha condicin deequilibrio dinmica parcial, observando que tiene pendiente negativa.En este caso, para que r2,t sea constante en el tiempo, se requiereque la relacin entre las dos variables endgenas sea inversa, es decir24 1. Introduccin a la dinmicasi r1,t aumenta entonces r2,t tiene que ser inferior para que r2,tpermanezca constante.De nuevo, realizamos el mismo anlisis anterior para conocer quele sucede a r2,t en situaciones de desequilibrio. Por ejemplo,ala derecha de esta condicin de equilibrio dinmico parcial r1,t esmuy elevado (respecto al valor que debera tener para que existieseequilibrio parcial, es decir, para que r2,t fuese constante). Como susigno es positivo en dicha ecuacin, esto quiere decir que este positivoes muy elevado, por lo que la ecuacin sera positiva, es decir, laderivada de r2,t respecto al tiempo sera positiva, por lo que r2,testara aumentando. A la izquierda de dicha condicin de equilibriodinmico parcial r1,t sera muy pequeo, por lo que la ecuacin seranegativa (dado que dicha variable tiene un signo positivo), es decir,r2,t estara disminuyendo.`r1,tr2,t`

` r2,t = 0oa2;toa1;t [_ a2;t=0= c< 0Figura 1.7: Representacin de la dinmica de la variable 24. Diagrama de fases: Una vez tenemos representadas las doscondiciones de equilibrio dinmico y el comportamiento de ambasvariables en situacin de desequilibrio, a continuacin representamosen un mismo grco los resultados anteriores, obteniendo larepresentacin grca de nuestro sistema de ecuaciones y dandolugar al denominado diagrama de fases del sistema, que nos indica1. Introduccin a la dinmica 25el comportamiento de nuestras variables en cada situacin, a la vezque podemos denir el estado estacionario en trminos grcos.`r1,tr2,t` `

` r2,t = 0` r1,t = 0 110 r1 r2Figura 1.8: Representacin del diagrama de fases5. Anlisis de los efectos de un aumento en .1,t: Paraanalizar los efectos temporales de una perturbacin, en primer lugar,tenemos que calcular el nuevo estado estacionario una vez que se haproducido dicha perturbacin, que correspondera con sus efectos enel largo plazo. El nuevo estado estacionario puede ser calculadode dos formas. O bien derivamos elvalor de las variables enestado estacionario respecto a la perturbacin y vemos cules son sussignos, o bien analizamos como cambian las condiciones de equilibriodinmicas, para representar su nueva solucin.As, dados los valores de estado estacionario obtenemos que:r1,t =c0c ,.1,t co ,j0c ,.2,t(1.54)r2,t =0c ,.1,t o 0j0c ,.2,t(1.55)Por tanto, derivando respecto a la perturbacinque se haproducido obtenemos:0r1,t0.1,t =c0c , < 0 (1.56)26 1. Introduccin a la dinmica0r2,t0.1,t =0c ,0 (1.57)Vemos como la derivada del valor de estado estacionario de r1,trespecto a la perturbacin es negativa, mientras que la derivada der2,t es positiva. Esto signica que, a largo plazo, en el nuevo estadoestacionario esta perturbacin ha provocado una disminucin de r1,ty un aumento de r2,t, respecto al estado estacionario inicial. Portanto, el nuevo equilibrio se situara hacia arriba y hacia la izquierdadel punto de equilibrio inicial.Otra forma de calcular el nuevo estado estacionario es a travsdel anlisis grco, analizando cmo cambia la solucin particularigual a cero de nuestras condiciones de equilibrio dinmicas. Taly como podemos observar, la variable exgena .1,tslo apareceen la ecuacin correspondiente a la variable endgena r1,t. Estosignica que la representacin grca para la ecuacin diferencialde la variable endgena r2,t no experimenta ninguna variacin, perosi cambia la correspondiente a r1,t, ya que cambia la constante dela misma (representada por las variables exgenas). Esto signicaque nicamente se va a producir una alteracin en la representacingrca de la condicin de equilibrio dinmica parcial de la variabler1,t, mientras que la correspondiente a la variable r2,t permanece sinalteracin.Para conocer la nueva representacin grca de esta ecuacindiferencial, tenemos que observar el signo de la perturbacin y elsigno de una de las variables endgenas. As, vemos que el signo de.1,t es positivo. Por tanto, la ecuacin, que parta de un valor de cero,al aumentar su constante (que tiene signo positivo) se hace positiva.Para volver a representar su solucin para la cual la ecuacin escero,tenemos que volver a equilibrarla,es decir,o algo positivodentro de dicha ecuacin tiene que disminuir o algo negativo tieneque aumentar. Si observamos el signo asociado a r1,t vemos queeste es positivo, por lo que r1,t tendra que disminuir para que estaecuacin volviese a ser cero. Esto signica que ahora para cada valorde r2,t, el valor de r1,t tiene que ser menor para que para que su valorse mantenga constante en el tiempo.En trminos grcos es comosi esta condicin de equilibrio dinmica se hubiese desplazado haciala izquierda.1. Introduccin a la dinmica 27Alternativamente, podemos realizar dicho anlisis en trminos dela otra variable endgena.As, observamos que el signo asociado ar2,t es negativo, por lo que para que esta ecuacin volviese a ser cero,esta variable tendra que aumentar (el negativo tendra que ser msgrande). Esto signica que para cada r2,t, r1,t tiene que ser menor,o alternativamente, para cada r1,t, r2,t tendra que ser mayor.Portanto, la nueva solucin la tenemos que representar a la izquierdade la que tenamos antes de que se produjese la perturbacin, tal ycomo aparece reejado en la gura 1.9.Como podemos observar en esta gura,ahora el nuevo estadoestacionario est situado a la izquirda y arriba del estado estacionarioinicial, indicando que a largo plazo esta perturbacin va a provocarun aumento de r2,t y un adisminucin en r1,t.`r1,tr2,t``

` r2,t = 0` r1,t = 0 110 111 r1 r2Figura 1.9: Efecto a largo plazo de un aumento en .1,tUna vez hemos representado grcamente el nuevo estadoestacionario, a continuacin describimos la dinmica de las variablesunavezsehaproducidolaperturbacin. Estadinmicanosva a indicar cmo se mueven las variables endgeneas a partirde lasituacinincial, es decir, del estadoestacionarioinicial,representando el corto y el medio plazo. Sin embargo, en este caso, ytal y como nos indica el diagrama de fases, el sistema no va a alcanzarel nuevo estado estacionario, sino que tanto r1,t como r2,t van a ir28 1. Introduccin a la dinmicaaumentando de forma idenida.Este resultado es consecuencia delobtenido anteriormente en trminos de la estabilidad del sistema,segn el cual los valores propios de la matriz de coecientes asociadosa las variables endgenas eran positivos, por lo que el sistema eraglobalmente inestable, es decir, todas las trayectorias nos alejabandel estado estacionario.`r1,tr2,t``

` r2,t = 0` r1,t = 0 110 111 r1 r2

Figura 1.20: Efectos a medio plazo de un aumento en .1,t2Modelos dinmicos bsicosEn este tema vamos a realizar una serie de ejercicios con modelosbsicos que tienen contenido econmico con el objetivo de aplicarlas tcnicas de anlisis dinmico que hemos ilustrado en el temaanterior. Los ejercicios que vamos a resolver son muy similares alos realizados en el tema 2 de AMA, pero introduciendo algunoselementos diferenciadores en las ecuaciones que denen la estructurade una economa. Se trata de ir adquiriendo prctica en la resolucinde este tipo de modelos dinmicos, as como en la representacindeldiagrama de fases para la economa resultante. Elobjetivoque se persigue es familiarizarse con este tipo de anlisis al tiempoque estudiar los efectos dinmicos de determinadas perturbacionesque pueden ser muy ilustrativas para conocer el comportamientode una economa y la interrelacin entre las diferentes variablesmacroeconmicas.Tal y como veremos, los pasos a seguir y los instrumentos a utilizarson siempre los mismos en todos los casos. As, lo que importanoesconocerestosmodelos(puedenexistirmilesdevariantesdistintas) sino aprender a resolverlos e interpretarlos en trminoseconmicos as como familiarizarse con el uso de los diagramas defases que constituye un elemento grco de gran utilidad a la hora deestudiar una gran variedad de problemas econmicos en un contextodinmico.30 2. Modelos dinmicos bsicosEJERCICIO2.1: Considere el siguiente sistema deecuaciones que denen una economa:tjt = cjt0it(2.1)jot = ,0,1it(2.2)` jt = j(jtjt) (2.3)` jt = (jot jt) (2.4)donde:esel logaritmodelacantidaddedinero, jellogaritmo del nivel de precios, j el logaritmo del nivel deproduccin, j el logaritmo del nivel de produccin potencial,i el tipo de inters nominal e joel logaritmo del nivel dedemanda.Resuelva el modelo aplicando los 10 pasos enumeradosen el tema 2 de AMA y analice cules son los efectos de unaumento en el nivel de produccin potencial de la economa.SOLUCIN:Como podemos observar,el sistema de ecuaciones que denennuestra economa es muy similar al correspondiente al ejercicio 2.1del manual AMA. El modelo est compuesto de cuatro ecuaciones.La primera ecuacin determina el equilibrio en el mercado de dinero.La segunda ecuacin es la demanda agregada. La tercera ecuacindetermina la dinmica de los precios,es decir,la inacin. Porltimo, lacuartaecuacindeterminaladinmicadel nivel deproduccin, es decir, del crecimiento econmico. En este caso, hemosintroducido un cambio respecto al modelo resuelto en AMA. Eneste ejercicio hemos simplicado la funcin de demanda agregada.En lugar de depender negativamente del tipo de inters real, va adepender del tipo de inters nominal. Este cambio no va a tener2. Modelos dinmicos bsicos 31consecuencias sobre el comportamiento explicativo del modelo, yaque no suponemos la existencia de una tasa de crecimiento positivade la cantidad de dinero. En el caso en que la tasa de crecimiento dela cantidad de dinero fuese positiva, entonces no podramos realizaresta simplicacin.En primer lugar, vamos a enumerar los 10 pasos que debemosaplicar para trabajar con este tipo de modelos y poder responder ala pregunta planteada, esto es, cules son los efectos de un aumentoen el nivel de produccin potencial. De forma esquemtica estospasos son los siguientes:1. Variables endgenas y exgenas.2. Denir variables endgenas de referencia3. Obtencin de las ecuaciones diferenciales.4. Modelo en notacin matricial.5. Valor de las variables en estado estacionario.6. Anlisis de estabilidad.7. Representacin grca de las condiciones de equilibriodinmicas.8. Diagrama de fases.9. Senda estable.10. Anlisis de perturbaciones.Paso 1: Variables endgenas y exgenas: En primer lugartenemos que clasicar a las variables en funcin de si se trata devariables endgenas o bien son exgenas. Este procedimiento es,en principio,bastante sencillo. nicamente tenemos que pensarsi en nuestra economa dicha variable se determina "dentro" dela economa o bien se determina "fuera" de la economa. As,las variables que se determinan dentro delmercado como frutode la interaccin de los distintos agentes econmicos son variablesendgenas, que son las que tenemos que determinar. Por el contrario,las variables que no se determinan dentro del funcionamiento de los32 2. Modelos dinmicos bsicosmercados como resultado de la interaccin de los distintos agenteseconmiso o son determinadas por un slo agente econmico, sonvariables exgenas.Esto es lo que sucede con las variables que sondeterminadas a travs de la poltica econmica.Las variables que aparecen en el modelo son las siguientes seis:1. Cantidad de dinero (exgena)2. Precios (endgenos)3. Nivel de produccin potencial (exgeno)4. Tipo de inters nominal (endgeno)5. Nivel de demanda (endgeno)6. Nivel de produccin (endgeno)Tal y como podemos observar, tenemos cuatro variables endgenasy dos variables exgenas, por lo que podemos resolver el sistema.Tambin vamos a considerar como varaible exgena el componenteautnomo de la demanda agregada, ,0, que lo vamos a identicarcomo el gasto pblico.Paso 2: Variables endgenas de referencia: En segundolugar, denimos las variables endgenas de referencia, que son lasnicasvariablesentrminosdelascualesvamosarepresentarnuestra economa. Podemos elegir como variable endgenacualquiera de las variables endgenas de nuestra economa, u otrasvariables endgenas que sean funcin de alguna de las endgenas. Eneste caso, el enunciado del problema no nos especica que variablesendgenas vamos a usar para describir nuestra economa, por lo queescogemos directamente las dos variables endgenas para las cualestenemos una ecuacin dinmica. Esto es:1. Nivel de precios2. Nivel de produccinPaso3: Ecuaciones diferenciales: Paraobtenerlasdosecuaciones dinmicas que vana representar nuestra economa,2. Modelos dinmicos bsicos 33necesitamos comprimir la informacin de las cuatro ecuaciones denuestro sistema en slo dos. Para ello hemos de resolver para lasvariables endgenas que no van a ser de referencia, esto es, el tipode inters nominal y el nivel de demanda agregada. As, tenemosque calcular el valor de estas variables en funcin de las variablesendgenas de referencia y de las exgenas. Una vez que tenemos susvalores, sustituimos dichos valores en las ecuaciones (2.3) y (2.4).Despejamos el tipo de inters nominal de la ecuacin (2.1):it = 10(:tjtcjt) (2.5)Sustituimos (2.5) en (2.2):jot = ,0 ,1c0jt ,10 (:tjt) (2.6)Sustituyendo la expresin (2.6) en la ecuacin dinmica del nivelde produccin (expresin 2.4):` jt = _,0 ,1c0jt ,10 (:tjt) jt_` jt = _,0(,1c0 1)jt ,10 (:tjt)_Por tanto, ya tenemos nuestras dos ecuaciones diferenciales, yaque la correspondiente alnivelde precios, no necesita ningunatransformacin al ser una funcin de las variables endgenas dereferencia y de variable exgenas.Paso 4: Modelo ennotacinmatricial: Unavez quetenemos nuestra dos ecuaciones diferenciales, escribimos el modeloen notacin matricial con el objetivo de identicar la matriz decoecientes asociados a las variables endgenas, ya que vamos a tenerque trabajar con esta matriz. Las dos ecuaciones diferenciales denuestro modelo son:` jt = j(jtjt)` jt = _,0 ,10 (:tjt) (,1c0 1)jt_34 2. Modelos dinmicos bsicosPuestas en notacin matricial resultara:_` jt` jt_ = _0 juo10(o10 1)_ _jtjt__ 0 0 juo100___ ,0:tjt__Paso 5: Clculo de los valores de estado estacionario: Paracalcular el valor de las variables en Estado Estacionario, invertimosla matriz , la multiplicamos por -1, multiplicamos por la matriz 1y multiplicamos por el vector de variables exgenas, es decir:_jtjt_= 11.t = _ (o10 1)juo100_1_ 0 0 juo100___ ,0:tjt__donde=_0 juo10(o10 1)_1 = _ 0 0 juo100_.t =__ ,0:tjt__Comenzamos invirtiendo la matriz .Para ello, en primer lugarcalculamos la adjunta de la matriz A, siendo:ad,()=_ (o10 1)uo10j 0_Su traspuesta es:2. Modelos dinmicos bsicos 35ad,()0=_ (o10 1)juo100_siendo su determinante:[ [ =,1j0por lo que el negativo de la inversa de es:1=0,1j_ (o10 1)juo100_o bien:Por tanto obtenemos que:_jtjt_= 11.t = 0,1j_ (o10 1)juo100__ 0 0 juo100___ ,0:tjt__y multiplicando las matrices 11 se obtiene:_jtjt_ = 11.t = 0,1j_ j juo10j(o10 1)0 0 juo10___ ,0:tjt__Finalmente obtenemos los valores de las variables enestadoestacionario:jt = 0,0,1:t(c 0,1)jtjt = jtPaso 6: Anlisis de estabilidad: A continuacin analizamosla estabilidad del sistema, calculando el signo de los valores propiosasociados a la matriz de coecientes de las variables endgenas. Paraello tenemos que calcular el siguiente determinante:36 2. Modelos dinmicos bsicos1ct_ 0 ` juo10(o10 1) `_ = 0cuyo resultado es la siguiente ecuacin:`2`_(,1c0 1)_ ,1j0= 0Resolviendo obtenemos que los valores propios son los siguientes:`1, `2 = (o10 1) __(o10 1)_2 4uo1j02Tal y como podemos observar el signo dentro de la raiz cuadradaes negativo, por lo que al resolver esta raz cuadrada lo que quedaes menor que el primer trmino. Dado que el primer trmino esnegativo,resulta que ambas araces seran negativas. En efecto:negativo ms algo ms pequeo, negativo y negativo menos algoms pequeo, negativo. Por tanto, existira estabilidad global, esdecir, todas las trayectorias nos conduciran al estado estacionarioPaso 7: Representacin grca: A continuacin,representamos grcamente las dos condiciones de equilibriodinmicas,o ms exactamente,aquella solucin para la cual lasecuaciones valen cero. Esto tambin nos va a permitir describir elcomportamiento de las variables endgenas fuera de su equilibriorespectivo. Dado que las ecuaciones diferenciales son lineales lonico que tenemos que hacer es calcular su pendiente. Para ellolo que hacemos es igualar a cero cada ecuacin (equilibrio dinmicoparcial) y despejar la variable que colocamos en el eje vertical enfuncin de la variable que colocamos en el eje horizontal.Vamos arepresentar al nivel de precios en el eje vertical, mientras que en eleje horizontal vamos a representar al nivel de produccin. Por tanto,despejaramos el nivel de precios en trminos del nivel de produccinen cada ecuacin. As por ejemplo, respecto a la primera ecuacintenemos:` jt = j(jtjt) = 0Despejando el nivel de precios obtenemos:2. Modelos dinmicos bsicos 370jt = jjtjjtjt = j0jt j0jtCon respecto a la segunda ecuacin tendramos:` jt = _,0 ,10 (:tjt) (,1c0 1)jt_ = 0De nuevo, despejando el nivel de precios obtenemos:,10jt = _,0 ,10 :t(,1c0 1)jt_jt = _,0 o10 :t(o10 1)jt_uo10Por tanto, nicamente tendramos que derivar el nivel de preciosrespecto al nivel de produccin en cada ecuacin,por lo que lapendiente en este caso sera igual al coeciente que multiplica alnivel de produccin.La pendiente de la ecuacin diferencial de la primera variableendgena (nivel de precios), bajo la restriccin de que la derivadacon respecto al tiempo de esta variable es cero, es:djtdjt [_ jt=0= j0 = La pendiente de la ecuacin diferencial de la segunda variableendgena (nivel de produccin), bajo la restriccin de que la derivadacon respecto al tiempo de esta variable es cero, sera:djtdjt [_ jt=0= (o10 1)uo10< 0dado que por el anlisis de estabilidad sablemos que el numeradorde esta expresin es negativo.Por tanto, la presentacin grca de la condicin de equilibrioparcial para el nivel de precios es una lnea vertical. Esto signicaque para que exista equilibrio parcial del nivel de precios, es decir,para que los precios sean constantes, lo nico que se requiere es que38 2. Modelos dinmicos bsicosel nivel de produccin sea igual a su nivel potencial, sin importar elnivel de precios de la economa.A continuacin, representamos grcamente el comportamientodelnivelde precios en situacin de desequilibrio. Taly comopodemos observar aladerechadeestacondicindeequilibriodinmica, el nivel de produccin es superior al potencial, por lo queesta ecuacin sera positiva, indicando que los precios aumentan.Por el contrario, a la izquierda el nivel de produccin es inferioralpotencial, por lo que los precios disminuiran. En efecto, ala derecha de esta condicin de equilibrio dinmica elniveldeproduccin de la economa es superior a su nivel potencial, por loque las empresas estaran produciendo por encima de su capacidadproductiva, lo que se traducira en tensiones inacionistas. Por elcontrario, a la izquierda de esta condicin de equilibrio dinmica, elnivel de produccin es inferior al potencial, es decir, las empresasestn produciendo por debajo de su capacidad productiva, lo que setraducira en disminuciones en los precios, tal y como viene descritopor la ecuacin (2.4).La representacin grca de la condicin de equilibrio parcial parael nivel de produccin tiene pendiente negativa, indicando que paraque el nivel de produccin permanezca constante se requiere que si losprecios son muy altos el nivel de produccin sea muy bajo, mientrasque si el nivel de precios es muy bajo, el nivel de produccin deberaser muy alto.Denuevo, calculamosel comportamientodeestavariableensituacin de desequilibrio. As, a la derecha de esta condicinde equilibrio dinmica,dado un nivel de produccin,los preciosson muy elevados. Dado que el nivel de precios aparece en estaecuacin con signo negativo, esto quiere decir que dicha ecuacinsera negativa, por lo que disminuira el nivel de produccin. Porel contrario, a la izquierda, dado un nivel de produccin los preciosseran muy bajos, por lo que aumentara el nivel de produccin. Entrminos de desequilibrio entre la oferta y la demanda agregada, lospuntos situados a la derecha de esta condicin de equilibrio dinmicose corresponden con situaciones de exceso de oferta, mientras quelos puntos situados a la izquierda reejan situaciones de exceso dedemanda.2. Modelos dinmicos bsicos 39`jj`` jt = 0ojtojt [_ jt=0= j0 = jFigura 2.1: Condicin de equilibrio dinmica parcial para el nivelde precios`jj

` jt = 0ojtojt [_ jt=0= o1j1o1c< 0Figura 2.2: Condicin de equilibrio dinmica parcial para el nivelde produccin40 2. Modelos dinmicos bsicosPaso8: Diagramade fases: El diagramadefaseshacereferencia a la representacin grca de nuestra economa, tal y comoviene descrita por nuestro sistema de ecuaciones diferenciales. Paraello lo que hacemos es representar ambas condiciones de equilibriodinmicas deformaconjunta, juntoconel comportamientodecada variable en situacin de desequilibro. De este modo tenemosrecogidaenunmismogrcotodalainformacinrelevantedenuestra economa. A partir de esta representacin grca podemosdeterminar el Estado Estacionario, es sera el punto de equilibrio denuestra economa en trminos de precios y de nivel de produccin,as como los diferentes tipos de desequilibrios que pueden existir entrminos de estas dos variables as como el comportamiento de estasdos variables en desequilibrio.`jj``

` jt = 0` jt = 0 110 j jFigura 2.3: Diagrama de fases del modeloTaly como podemos observar en la representacin grca denuestra economa (segn elmodelo planteado) nos encontramoscon la existencia de cuatro diferentes situaciones de desequilibrioposibles: Exceso de demanda con sobreproduccin (los precios aumentany el nivel de produccin aumenta).2. Modelos dinmicos bsicos 41 Exceso de oferta con sobreproduccin (los precios aumentan yel nivel de produccin disminuye). Exceso de oferta e infraproduccin (los precios disminuyen y elnivel de produccin disminuye). Exceso de demanda e infraproduccin (los precios disminuyeny el nivel de produccin disminuye).Paso 9: Senda Estable: La senda estable hace referencia aaquellas trayectorias que nos llevan al estado estacionario. En estecaso obtenemos que existe estabilidad global, por lo que todas lastrayectorias conducen alestado estacionario. Por tanto en estecaso no existira la senda estable, ya que como podemos comprobar,todas las trayectorias del modelo son estables y nos llevan al estadoestacionario, bien de forma directa o bien de forma asinttica, esdecir, no nos conducen directamente al estado estacionario sino quevamos pasando de un tipo de desequilibrio a otro (ciclos econmicos)aunque cada vez ms cerca del estado estacionario.Paso 10: Anlisis de perturbaciones: Finalmente,procedemos a utilizar nuestro modelo para el anlisis deperturbaciones. En particular, vamos a analizar cules son los efectosa lo largo del tiempo de un aumento en el nivel de produccinpotencial. Estoequivale apreguntarnos por las implicacioneseconmicas de un aumento en la tecnologa,que es elelementodeterminante del nivel de produccin potencial de una economa (almargen de la disposicin de recursos productivos)Tal y como podemos comprobar, el nivel de produccinpotencial aparece en ambas ecuaciones diferenciales, por lo que surepresentacin grca va a cambiar, dado que se altera la constantede las mismas, indicando que ambas variables van a verse afectadasa largo plazo por esta perturbacin, por lo que la situacin actual yano la podemos considerar de equilibrio.Vamos a suponer que el punto de partida de nuestra economaes el reejado en la gura 2.3, representado por el punto 110. Alproducirse la perturbacin, la economa sigue estando situada en estepunto ya que ambas variables son rgidas a corto plazo, si bien dichopunto ya no es el estado estacionario de la economa. Por tanto, loprimero que tenemos que hacer es representar grcamente el nuevoestado estacionario.42 2. Modelos dinmicos bsicosEl nuevo estado estacionario lo podemos calcular nicamente entrminos grcos o bien tambin podemos calcularlo en trminos dela variacin que experimentan las variables en estado estacionario.Tal y como podemos comprobar, la condicinde equilibriodinmica para el nivel de precios tenemos que dibujarla ms a laderecha, justo en aquel punto que corresponda al nuevo nivel deproduccin potencial de la economa. En efecto, al aumentar el nivelde produccin potencial esta ecuacin se hace negativa, por lo quepara que vuelva a ser cero tiene que aumentar el nivel de produccin.Por otra parte,el nivel de produccin potencial tambin tienesigno negativo en la condicin de equilibrio dinmica para el nivelde produccin, por lo que tambin se hace negativa esta ecuacin.Dado que el signo asociado al nivel de precios en esta ecuacin esnegativo, esto quiere decir que el nivel de precios tiene que disminuirpara que esta ecuacin vuelva a ser cero.Es decir, para cada nivelde produccin el nivel de precios tiene que ser inferior, por lo queahora tendramos que representarla hacia la izquierda.`jj``

` jt = 0` jt = 0110111 j jFigura 2.4: Efecto a largo plazo de un aumento del nivel deproduccin potencialOtra forma de calcular el nuevo estado estacionario consiste enanalizar cmo cambian el valor de las variables en estado estacionario2. Modelos dinmicos bsicos 43ante la perturbacin que se ha producido. Los valores de estadoestacionario del nivel de precios y del nivel de produccin son:jt = 0,0,1:tcjtjt = jtDerivando respecto al nivel de produccin potencial obtenemos:djtdjt = c < 0djtdjt = 1estoes, el nivel deproduccindeestadoestacionarioaumentaenlamismaproporcinque el nivel de produccinpotencial,mientras que el nivel de precios disminuye. Por tanto,el nuevoestado estacionario debera estar a la derecha y abajo repecto alestado estacionario inicial. Una vez represetado el nuevo estadoestacionario, describimos la dinmica de la economa, es decir, cmopasa la economa del punto 110 al nuevo estado estacionario 111.Como podemos observar, en primer lugar se produce una disminucintanto de los precios como del nivel de produccin, por lo que iramosdesplazndonos hacia abajo y hacia la izquierda, hasta alcanzar lacondicin de equilibrio dinmica parcial del nivel de produccin. Laexplicacin de que disminuyan los precios es que en esta situacinel nivel de produccin es inferior al potencial. La explicacin deque disminuya el nivel de produccin es que se ha producido unexceso de oferta, dado que con la nueva tecnologa los precios sonexcesivamente altos. A partir delmomento en que alcancemosla condicin de equilibrio parcial para el nivel de produccin, losprecios continuaran disminuyendo (infraproduccin), pero el nivelde produccin aumentara, ya que pasaramos a una situacin deexceso de demanda. Este aumento en el nivel de produccin nosllevara a alcanzar el nivel de produccin potencial, momento enel cual los precios seran constantes,pero el nivel de produccincontinuara aumentando, por lo que pasaramos a una situacinen la cual el nivel de produccin sera superior al potencial(sobreproduccin), lo que a su vez provocara aumentos en el nivelde precios, mientras se mantiene el exceso de demanda.44 2. Modelos dinmicos bsicosEstasituacinnos llevaraaalcanzar denuevolacondicinde equilibrio dinmica para el nivel de produccin (equilibrio enelmercado de bienes). Sin embargo,en esta situacin existirasobreproduccin, por lo que los precios aumentaran, pasando denuevo a una situacinde desequilibrio enla cual continuaraexistiendo sobreproduccin al tiempo que un exceso de oferta. Estoprovocara que mientras los precios estn aumentando la produccinest disminuyendo hasta que de nuevo alcanzamos la condicin deequilibrio dinmica para los precios. En este momento,el nivelde produccin vuelve a ser el potencial,pero como seguimos enuna situacin de exceso de oferta, la produccin disminuye, por loque volveramos a una situacin similar a la inicial (mismo tipo dedesequilibrio: infraproduccin con exceso de oferta), pero en la cualestamos ms cerca del nuevo estado estacionario. De nuevo volveraa comenzar todo el proceso descrito anteriormente.`jj``

` jt = 0` jt = 0110111 j j..``````

`````

Figura 2.5: Efectos dinmicos de un aumento en el nivel deproduccin potencialTal y como podemos comprobar, estaramos movindonosalrededor del nuevo estado estacionario, dado que las trayectoras delmodelo son estables, es decir, nos conducen al estado estacionario.La economa continuara pasando de un desequilibrio a otro, perocon desequilibrios cada vez ms pequeos.2. Modelos dinmicos bsicos 45EJERCICIO2.2: Considere el siguiente sistema deecuaciones:tjt = cjt0it(2.7)jot = ,0,1(it ` jct) (2.8)` jt = j(jtjt) ` :t(2.9)` jt = (jot jt) (2.10)donde:esel logaritmodelacantidaddedinero, jellogaritmodel nivel deprecios, j el logaritmodel niveldeproduccin, joel logaritmodel nivel dedemanda, jel logaritmo del nivel de produccin potencial e i el tipode inters nominal. Suponga que existe previsin perfecta.Resuelva el modelo, calculando las condiciones de equilibriodinmicas para las variables endgenas de referencia(salarios reales y nivel de produccin), estabilidaddelsistema, representacin grca y anlisis de cules son losefectos de un aumento en el nivel de produccin potencialde la economa.SOLUCIN:Como podemos observar,el sistema de ecuaciones que denennuestra economa es muy similar al correspondiente al ejercicio 2.3.del manual AMA. Tal y como hemos visto en AMA, este es el modeloms simple que podemos utilizar para describir una economa. Eneste caso, hemos introducido un cambio respecto a la versin anterior.En la ecuacin de equilibrio del mercado de dinero, los saldos realesdependen positivamente delnivelde produccin potencialde laeconoma (cuando antes dependan del nivel de produccin). Por46 2. Modelos dinmicos bsicostanto,vamos a resolver este modelo para ver las diferencias quesupone la introduccin de este supuesto.Para solucionar este ejercicio hay que tener en cuenta que elenunciado nospideque se tomencomo variables endgenas dereferencia el nivel de produccin y los saldos reales. Para llegara los saldos reales debemos de partir de la siguiente expresin:|t = :tjtAntes de comenzar vamos a enumerar de nuevo los 10 pasos quedebemos aplicar para trabajar con este tipo de modelos y poderresponder a la pregunta planteada, esto es, cules son los efectosde un aumento en elnivelde produccin potencial. De formaesquemtica estos pasos son los siguientes:1. Variables endgenas y exgenas.2. Denir variables endgenas de referencia.3. Obtencin de las ecuaciones diferenciales.4. Modelo en notacin matricial.5. Valor de las variables en estado estacionario.6. Anlisis de estabilidad.7. Representacin grca de las condiciones de equilibriodinmicas.8. Diagrama de fases.9. Senda estable.10. Anlisis de perturbaciones.Paso 1: Variables endgenas y exgenas: En primer lugartenemos que clasicar a las variables en funcin de si se trata devariables endgenas o bien son exgenas. Este procedimiento esbastante sencillo. nicamente tenemos que pensar si en nuestraeconoma dicha variable se determina "dentro" de la economa obien se determina "fuera" de la economa.Las variables que aparecen en el modelo son las siguientes seis:2. Modelos dinmicos bsicos 471. Cantidad de dinero (exgena)2. Precios (endgenos)3. Nivel de produccin potencial (exgeno)4. Tipo de inters nominal (endgeno)5. Nivel de demanda (endgeno)6. Nivel de produccin (endgeno)Tal y como podemos observar, tenemos cuatro variables endgenasy dos variables exgenas (al margen del componente autnomo dela demanda agregada que representa el gasto pblico), por lo quepodemos resolver el sistema.Paso 2: Variables endgenas de referencia: En segundolugar, denimos nuestras variables endgenas de referencia, queson las nicas variables en trminos de las cuales vamos arepresentar nuestra economa. Podemos elegir como variableendgena cualquiera de las variables endgenas de nuestra economa,uotrasvariablesendgenasqueseanfuncindealgunadelasendgenas de nuestra economa. En este caso,el enunciado delproblema no nos especica que variables endgenas vamos a usarpara describir nuestra economa, por lo que escogemos directamentelas dos variables endgenas para las cuales tenemos una ecuacindinmica. Esto es:1. Nivel de precios2. Nivel de produccinPaso3: Ecuaciones diferenciales: Paraobtenerlasdosecuaciones dinmicas que vana representar nuestra economa,necesitamos comprimir la informacin de las cuatro ecuaciones denuestro sistema en slo dos. Para ello hemos de resolver para lasvariables endgenas que no van a ser de referencia, esto es, el tipode inters nominal y el nivel de demanda agregada. As, tenemosque calcular el valor de estas variables en funcin de las variables48 2. Modelos dinmicos bsicosendgenas de referencia y de las exgenas. Una vez que tenemos susvalores, sustituimos dichos valores en las ecuaciones (2.9) y (2.10).Despejamos el tipo de inters nominal de la ecuacin (2.7):it = 10(|tcjt) (2.11)Sustituimos (2.11) en (2.8):jot = ,0,1(c0 jt 10|t ` jct)Aplicamos previsin perfecta ( ` jt = ` jct):jot = ,0 ,1c0jt ,10 |t ,1 ` jtSustituyendo en la ecuacin dinmica delnivelde produccin(expresin 2.10):` jt = _,0 ,1c0jt ,10 |t ,1 ` jtjt_Sustituyendo en la expresin anterior la dinmica del nivel deprecios resulta:` jt = _,0 ,1c0jt ,10 |t ,1 [j(jtjt) ` :t[ jt_y reordenando trminos obtenemos que las dos ecuacionesdiferenciales del modelo son:` jt = _,0(,1j ,1c0)jt ,10 |t (,1j 1)jt ,1 ` :t_`|t = j(jtjt)Por tanto, ya tenemos nuestras dos ecuaciones diferenciales, yaque la correspondiente alnivelde precios, no necesita ningunatransformacin al ser una funcin de las variables endgenas dereferencia y de variable exgenas.Paso 4: Modelo ennotacinmatricial: Unavez quetenemos nuestra dos ecuaciones diferenciales, escribimos el modelo2. Modelos dinmicos bsicos 49en notacin matricial con el objetivo de identicar la matriz decoecientes asociados a las variables endgenas, ya que vamos a tenerque trabajar con esta matriz. Las dos ecuaciones diferenciales denuestro modelo son:`|t = j(jtjt)` jt = _,0(,1j ,1c0)jt ,10 |t (,1j 1)jt ,1 ` :t_Puestas en notacin matricial resultara:_`|t` jt_= _0 juo10(,1j 1)_ _|tjt__ 0 0 j ,1 (,1j o10)___ ,0` :tjt__Paso 5: Clculo de los valores de estado estacionario: Paracalcular el valor de las variables en Estado Estacionario, invertimosla matriz , la multiplicamos por -1, multiplicamos por la matriz 1y multiplicamos por el vector de variables exgenas, es decir:_|t jt_= 11.t = _0 juo10(,1j 1)_1_ 0 0 j ,1 (,1j o10)___ ,0` :t jt__donde=_0 juo10(,1j 1)_1 = _ 0 0 j ,1 (,1j o10)_50 2. Modelos dinmicos bsicos.t =__ ,0` :t jt__Comenzamos invirtiendo la matriz .Para ello, en primer lugarcalculamos la adjunta de la matriz A, siendo:ad,()=_ (,1j 1)uo10j 0_Su traspuesta es:ad,()0=_ (,1j 1)juo100_siendo su determinante:[ [ = ,1j0por lo que el negativo de la inversa de es:1= 0,1j_ (,1j 1)juo100_o bien:1=_(o1j1)0o1j0uo11j0_Por tanto obtenemos que:_|tjt_= 11.t =_(o1j1)0o1j0uo11j0__ 0 0 j ,1 (,1j o10)___ ,0` :tjt__y multiplicando las matrices 11 se obtiene:_|tjt_ = 11.t =_0o10 ( 0o1 c)0 0 1___ ,0` :tjt__2. Modelos dinmicos bsicos 51Finalmente obtenemos los valores de las variables enestadoestacionario:|t = 0,0,10 ` :t( 0,1 c)jtjt = jtPaso 6: Anlisis de estabilidad: A continuacin analizamosla estabilidad del sistema, calculando el signo de los valores propiosasociados a la matriz de coecientes de las variables endgenas. Paraello tenemos que calcular el siguiente determinante:1ct_ 0 ` juo10(,1j 1) `_ = 0cuyo resultado es la siguiente ecuacin:`2`[(,1j 1)[ ,1j0= 0Resolviendo obtenemos que los valores propios son los siguientes:`1, `2 = (,1j 1) _[(,1j 1)[2 4uo1j02Tal y como podemos observar el signo dentro de la raiz cuadradaes negativo, por lo que al resolver esta raz cuadrada lo que quedaes menor que el primer trmino. Si (,1j 1)0 entonces tenemosque el primer trmino es positivo.Positivo ms algo ms pequeo,positivo.Positivo menos algo ms pequeo, positivo.Por tanto eneste caso ambas races seran positivas. Si (,1j 1) < 0 entoncestenemos que el primer trmino es negativo. Negativo ms algo mspequeo, negativo. Negativo menos algo ms pequeo, negativo. Portanto en este caso ambas races seran negativas.Por tanto, nicamenteseraposibleel segundocaso, loqueimplicara que ,1j < 1, por lo que existira estabilidad global, esdecir, todas las trayectorias nos conduciran al estado estacionarioPaso 7: Representacin grca: A continuacin,representamos grcamente las dos condiciones de equilibriodinmicas,o ms exactamente,aquella solucin para la cual las52 2. Modelos dinmicos bsicosecuaciones valen cero. Esto tambin nos va a permitir describir elcomportamiento de las variables endgenas fuera de su equilibriorespectivo. Dado que las ecuaciones diferenciales son lineales lonico que tenemos que hacer es calcular su pendiente. Para ellolo que hacemos es igualar a cero cada ecuacin (equilibrio dinmicoparcial) y despejar la variable que colocamos en el eje vertical enfuncin de la variable que colocamos en el eje horizontal.Vamos arepresentar al nivel de saldos reales en el eje vertical, mientras queen el eje horizontal vamos a representar al nivel de produccin. Portanto, despejaramos el nivel de saldos reales en trminos del nivel deproduccin en cada ecuacin. As por ejemplo, respecto a la primeraecuacin tenemos:|t = j(jtjt) = 0Despejando el nivel de saldos reales obtenemos:0|t = jjt jjto equivalentemente:|t = j0jt j0jtCon respecto a la segunda ecuacin tendramos:` jt = _,0 (,1j 1)jt ,10 |t(,1j ,1c0)jt ,1 ` :t_ = 0De nuevo, despejando el nivel de saldos reales obtenemos:,10|t = ,0 (,1j 1)jt(,1j ,1c0)jt ,1 ` :to equivalentemente:|t = 0,0,1 0(,1j 1),1jt 0(,1 o10),1jt0 ` :tPor tanto, nicamente tendramos que derivar el nivel de preciosrespecto al nivel de produccin en cada ecuacin,por lo que lapendiente en este caso sera igual al coeciente que multiplicaal nivelde produccin.2. Modelos dinmicos bsicos 53La pendiente de la ecuacin diferencial de la primera variableendgena (nivelde saldos reales), bajo la restriccin de que laderivada con respecto al tiempo de esta variable es cero, es innito:d|tdjt [_|t=0= j0 = La pendiente de la ecuacin diferencial de la segunda variableendgena (nivel de produccin), bajo la restriccin de que la derivadacon respecto al tiempo de esta variable es cero, sera:d|tdjt [_ jt=0= 0(,1j 1),1 0y dado que por el anlisis de estabilidad sablemos que el numeradorde esta expresin es negativo, la pendiente sera positiva.Por tanto, la presentacin grca de la condicin de equilibrioparcial para los saldos reales es una lnea vertical. Esto signica quepara que exista equilibrio parcial de los saldos reales, es decir, paraque stos sean constantes, lo nico que se requiere es que el nivel deproduccin sea igual a su nivel potencial, sin importar el nivel desaldos reales de la economa.A continuacin, representamos grcamente el comportamientode los saldos reales en situacin de desequilibrio (gura 2.6).Tal ycomo podemos observar a la derecha de esta condicin de equilibriodinmica,el nivel de produccin es superior al potencial,por loque esta ecuacin sera positiva, indicando que los precios aumentany, por tanto, los saldos reales disminuyen. Por el contrario, a laizquierda el nivel de produccin es inferior al potencial, por lo quelos precios disminuiran y los saldos reales aumentaran.En efecto, a la derecha de esta condicin de equilibrio dinmica elnivel de produccin de la economa es superior a su nivel potencial,por lo que las empresas estaran produciendo por encima de sucapacidad productiva, lo que se traducira en tensiones inacionistasque reduciran la liquidez. Por el contrario, a la izquierda de estacondicin de equilibrio dinmica, el nivel de produccin es inferior alpotencial, es decir, las empresas estn produciendo por debajo de sucapacidad productiva, lo que se traducira en disminuciones en losprecios y, por tanto, aumentos en la liquidez.54 2. Modelos dinmicos bsicos`j|``|t = 0o|tojt [_|t=0= j0 = jFigura 2.6: Condicin de equilibrio dinmica parcial para los saldosrealesLa representacin grca de la condicin de equilibrio parcial parael nivel de produccin tiene pendiente positiva, indicando que paraque el nivel de produccin permanezca constante se requiere que silos saldos reales son muy bajos el nivel de produccin tambin tieneque ser muy bajo, mientras que si el nivel de saldos reales es alto, elnivel de produccin debera ser tambin alto (gura 2.7).Denuevo, calculamosel comportamientodeestavariableensituacin de desequilibrio. As, a la derecha de esta condicinde equilibrio dinmica, dado un nivelde produccin, los saldosreales son muy bajos. Dado que los saldos reales aparecen en estaecuacin con signo positivo, esto quiere decir que dicha ecuacinsera negativa, por lo que disminuira el nivel de produccin. Por elcontrario, a la izquierda, dado un nivel de produccin los saldos realesseran muy altos, por lo que aumentara el nivel de produccin. Entrminos de desequilibrio entre la oferta y la demanda agregada, lospuntos situados a la derecha de esta condicin de equilibrio dinmicose corresponden con situaciones de exceso de oferta, mientras quelos puntos situados a la izquierda reejan situaciones de exceso dedemanda.2. Modelos dinmicos bsicos 55`j|

` jt = 0o|tojt [_ jt=0= o1j1o10 0Figura 2.7: Condicin de equilibrio dinmica parcial para el nivelde produccinPaso8: Diagramade fases: El diagramadefaseshacereferencia a la representacin grca de nuestra economa, tal y comoviene descrita por nuestro sistema de ecuaciones diferenciales. Paraello lo que hacemos es representar ambas condiciones de equilibriodinmicas deformaconjunta, juntoconel comportamientodecada variable en situacin de desequilibro. De este modo tenemosrecogidaenunmismogrcotodalainformacinrelevantedenuestra economa. A partir de esta representacin grca podemosdeterminar el Estado Estacionario, es sera el punto de equilibriode nuestra economa en trminos de los saldos reales y de nivel deproduccin, as como los diferentes tipos de desequilibrios que puedenexistir en trminos de estas dos variables as como el comportamientode estas dos variables en desequilibrio.Taly como podemos observar en la representacin grca denuestra economa (segn elmodelo planteado) nos encontramoscon la existencia de cuatro diferentes situaciones de desequilibrioposibles: Exceso de demanda con sobreproduccin (los saldos realesdisminuyen y el nivel de produccin aumenta).56 2. Modelos dinmicos bsicos Exceso de oferta con sobreproduccin (los saldos realesdisminuyen y el nivel de produccin disminuye). Exceso de oferta e infraproduccin (los saldos reales aumentany el nivel de produccin disminuye). Exceso de demanda e infraproduccin (los saldos realesaumentan y el nivel de produccin aumenta).`j|``

` jt = 0`|t = 0 110 j|Figura 2.8: Diagrama de fases del modeloPaso 9: Senda Estable: La senda estable hace referencia aaquellas trayectorias que nos llevan al estado estacionario. En estecaso obtenemos que existe estabilidad global, por lo que todas lastrayectorias conducen al estado estacionario. Por tanto en este casono existira la senda estable, ya que como podemos comprobar, todaslas trayectorias del modelo nos llevan al estado estacionario.Paso 10: Anlisis de perturbaciones: Finalmente,procedemos a utilizar nuestro modelo para el anlisis deperturbaciones. En particular, vamos a analizar cules son los efectosa lo largo del tiempo de un aumento en el nivel de produccinpotencial. Estoequivale apreguntarnos por las implicacioneseconmicas de un aumento en la tecnologa,que es elelemento2. Modelos dinmicos bsicos 57determinante del nivel de produccin potencial de una economa (almargen de la disposicin de recursos productivos)Tal y como podemos comprobar, el nivel de produccinpotencial aparece en ambas ecuaciones diferenciales, por lo que surepresentacin grca va a cambiar, dado que se altera la constantede las mismas, indicando que ambas variables van a verse afectadasa largo plazo por esta perturbacin, por lo que la situacin actual yano la podemos considerar de equilibrio.Vamos a suponer que el punto de partida de nuestra economa esel reejado en la siguiente gura, representado por el punto 110.Al producirse la perturbacin, la economa sigue estando situada eneste punto ya que ambas variables son rgidas a corto plazo, si biendicho punto ya no es el estado estacionario de la economa.Elnuevo estado estacionario lo podemos calcular en trminosgrcos o bientambinpodemos calcularlo analticamente, entrminos de la variacin que experimentan las variables en estadoestacionario. No obstante, en este caso tenemos que calcularlo de lasdos formas, ya que como veremos ambas condiciones de equilibriodinmicas cambian en la misma direccin.En primer lugar, la condicin de equilibrio dinmica para el nivelde saldos reales tenemos que dibujarla ms a la derecha, justo enaquel punto que corresponda al nuevo nivel de produccin potencialde la economa. En efecto,alaumentar elnivelde produccinpotencial esta ecuacin se hace positiva, por lo que para que vuelvaa ser cero tiene que aumentar el nivel de produccin.Por otra parte,el nivel de produccin potencial tambin tienesigno negativo en la condicin de equilibrio dinmica para el nivel deproduccin, por lo que tambin se hace negativa esta ecuacin. Dadoque el signo asociado al nivel de precios en esta ecuacin es negativo,esto quiere decir que el nivel de precios tiene que disminucir paraque esta ecuacin vuelva a ser cero. Es decir, para cada nivel deproduccin el nivel de precios tiene que ser inferior, por lo que ahoratendramos que representarla hacia la izquierda.Otra forma de calcular el nuevo estado estacionario consiste enanalizar cmo cambian el valor de las variables en estado estacionarioante la perturbacin que se ha producido. Los valores de estadoestacionario del nivel de precios y del nivel de produccin son:|t = 0,0,10 ` :t ( 0,1 c)jt58 2. Modelos dinmicos bsicosjt = jtDerivando respecto al nivel de produccin potencial obtenemos:d|tdjt = ( 0,1 c)0djtdjt = 1esto es, el nivel de produccin de estado estacionario aumenta enla misma proporcin que el nivel de produccin potencial. Por suparte, el nivel de saldos reales tambin aumenta ya que dependepositivamente del nivel de produccin potencial. Por tanto, el nuevoestado estacionario debera estar a la derecha y arriba repecto alestado estacionario inicial.`j| ``

` jt = 0`|t = 0110111 j|Figura 2.9: Efectos a largo plazo de un aumento en el nivel deproduccin potencialLa gura 2.9 representa los efectos de largo plazo del aumento en elnivel de produccin potencial. Una vez represetado el nuevo estadoestacionario, describimos la dinmica de la economa, es decir, cmopasa la economa del punto 110 al nuevo estado estacionario 111.2. Modelos dinmicos bsicos 59Como podemos observar, la economa se encuentra en unasituacin que est a la izquierda y hacia abajo del nuevo estadoestacionario. En esta zona el diagrama de fases nos indica que tantoel nivel de produccin como los saldos reales tienen que aumentar,como consecuencia del aumento en el nivel de produccin potencialde la economaEn primer lugar se produce un aumento tanto de los saldos realescomo del nivel de produccin, por lo que iramos desplazndonoshacia arriba y hacia la derecha, justo en la direccin hacia el nuevoestado estacionario. Por tanto, en ese caso podramos alcanzar elnuevo estado estacionario de forma directa,o bien,si los saldosreales aumentan mucho ms rapidamente de lo que hace el nivelde produccin entonces la convergencia sera asinttica.En el caso de que la trayectorias fuesen asintticas, tendramosque nos desplaramos hacia la derecha y hacia arriba, hasta alcanzarla condicin de equilibrio dinmica parcial de los saldos reales.Enesta situacin continuara existiendo exceso de demanda, por lo queel nivel de produccin continuara aumentando. La explicacin deque aumenten los saldos reales (disminuyan los precios) es que enesta situacin el nivel de produccin es inferior al potencial. Laexplicacin de que aumente el nivel de produccin es que se haproducido un exceso de demanda, dado que con la nueva tecnologala liquidez de la economa ha aumentado. Seguidamente pasamosa una situacin en la cual la produccin sigue aumentando perocomienza a disminuir el nivel de saldos reales, ya que pasamos a unasituacin de sobreproduccin. As, nos movemos hacia abajo y ala derecha, hasta alcanzar la condicin de equilibrio dinmica parael nivel de produccin. A partir del momento en que alcancemosla condicin de equilibrio parcial para el nivel de produccin, losprecios continuaran aumentando (sobreproduccin), pero el nivelde produccin comenzara a disminuir,ya que pasaramos a unasituacin de exceso de oferta. Esta disminucin en elniveldeproduccin nos llevara a alcanzar el nivel de produccin potencial,momento en el cual los saldos reales seran constantes, pero el nivel deproduccin continuara disminuyendo, por lo que pasaramos a unasituacin en la cual el nivel de produccin sera inferior al potencial(infraproduccin), lo que a su vez provocara disminucin en el nivelde precios y aumento en los saldos reales.60 2. Modelos dinmicos bsicosEstasituacinnos llevaraaalcanzar denuevolacondicinde equilibrio dinmica para el nivel de produccin (equilibrio enelmercado de bienes). Sin embargo,en esta situacin existirainfraproduccin, por lo que los saldos reales aumentaran, pasandode nuevoaunasituacinde desequilibrioenlacual existirainfraproduccinal tiempo que unexceso de demanda. Estoprovocara que mientras los precios estn disminuyendo (saldos realesaumentando) la produccin est aumentando hasta que de nuevoalcanzamos la condicin de equilibrio dinmica para los saldos reales.En este momento, el nivel de produccin vuelve a ser el potencial,pero como seguimos en una situacin de exceso de demanda,laproduccin aumenta y de nuevo volvera a comenzar todo el procesodescrito anteriormente.`j| ``

` jt = 0`|t = 0110111 j|

`

-

Figura 2.10: Efectos dinmicos de un aumento en el nivel deproduccin potencialTal y como podemos comprobar, estaramos movindonosalrededor del nuevo estado estacionario, dado que las trayectoras delmodelo son estables, es decir, nos conducen al estado estacionario.La economa continuara pasando de un desequilibrio a otro, perocon desequilibrios cada vez ms pequeos.2. Modelos dinmicos bsicos 61EJERCICIO 2.3: Considere una economa determinadapor las siguientes ecuaciones::tjt = cjt0it(2.12)jt = ,0 ,1(:tjt j

t) ,2jt,3it(2.13)` jt = j(jtjt) (2.14)` :c= iti

t(2.15)donde:esel logaritmodelacantidaddedinero, jellogaritmo del nivel de precios, j el logaritmo del nivel deproduccin, j el logaritmo del nivel de produccin potencial,: el tipo de cambio nominal, i el tipo de inters nominalnacional e i

el tipo de inters nominal del exterior.Resuelva el modelo y analice cules son los efectos de unaumento en la cantidad de dinero. En qu se diferencianlos resultados de la versin resuelta en el ejercicio 2.4 deAMA (endicho modelo el nivel de produccin relevante enla demanda de dinero era el potencial, mientras que en estecaso es el nivel de produccin efectivo en cada momento deltiempo y es el nivel de demanda el que es siempre igual alnivel de produccin).SOLUCIN:Tal y como podemos observar se trata de un modelo de economaabierta muy similar al ya resuelto en el ejercicio 2.4 de AMA. En estecaso el supuesto que hemos introducido es que el nivel de demandaagregada es siempre igual al nivel de produccin de la economa.Vamos a resolver este ejercicio para ver las implicaciones que tienedicho supuesto.62 2. Modelos dinmicos bsicosPaso 1: Variables endgenas y exgenas:En primer lugardeterminamos elnmero de variables endgenas y exgenas delmodelo. Las variables que componen el modelo son:1. Cantidad de dinero (exgena)2. Nivel de precios nacionales (endgeno)3. Nivel de produccin (endgeno)4. Tipo de inters nominal (endgeno)5. Tipo de cambio nominal (endgeno)6. Nivel de precios del exterior (exgeno)7. Nivel de produccin potencial (exgeno)8. Tipo de inters del exterior (exgeno)Tal y como podemos observar tenemos 4 variables endgenas y4 ecuaciones,por lo que podemos resolver el anterior sistema yreducirlo a un sistema de dos ecuaciones diferenciales. Este sistemade dos ecuaciones diferenciales contiene la misma informacin quelas cuatro ecuaciones iniciales y tiene la ventaja de que podemosrepresentarlo grcamente. En este caso, estamos representando auna economa en la cual el nivel de produccin es siempre igualal nivel de demanda agregada. Esto supone que en este caso nopueden producirse desequilibrios en el mercado de bienes y serviciosen trminos de demanda y oferta agregada.Paso 2: Variables endgenas de referencia: A continuacinprocedemos a identicar nuestras dos variables endgenas dereferencias, en trminos de las cuales vamos a representar a nuestraeconoma. Dado que el enunciado no nos indica las variables dereferencia, seleccionamos aquellas para las cuales disponemos de sudinmica, esto es, el nivel de precios y el tipo de cambio nominal.Paso3: Ecuaciones diferenciales: Paraobtenerlasdosecuaciones diferenciales procedemos como sigue. En primer lugar,despejamos el tipo de inters nominal de la ecuacin (2.12):it = 10(:tjtcjt) (2.16)2. Modelos dinmicos bsicos 63Sustituimos (2.16) en (2.13):jt = ,0 ,1(:tjt j

t) ,2jt ,30 (:tjtcjt)jt ,3c0jt = ,0 ,1(:tjt j

t) ,2jt ,30 (:tjt)por lo que el nivel de produccin de la economa es:jt =00 ,3c_,0 ,1(:tjt j

t) ,2jt ,30 (:tjt)_Podemos simplicar las variables exgenas: Por ejemplo podemosnormalizar a 1 el nivel de precios del exterior. Por tanto j

t = 0. Eneste caso tendramos:jt =00 ,3c_,0 ,1(:tjt) ,2jt ,30 (:tjt)_jt =00 ,3c_,0 ,1:t ,2jt ,30 :t(,1 ,30 )jt_(2.17)Tambin podemos hacer lo mismo con el gasto pblico (,0), ycon el nivel de produccin potencial (jt),pero ya no podramosutilizarlas para hacer anlisis sobre los efectos de una alternacinen estas variables. La nica exgena que no podemos simplicares la cantidad de dinero,ya que lo que pretendemos es analizarlos efectos dinmicos de una perturbacin monetaria. Por tanto,para que las expresiones no queden tan grandes vamos a realizaruna simplicacin adicional,por ejemplo,eliminamos el nivel deproduccin potencial (jt = 0).Una vez que hemos obtenido el nivel de produccin (expresin2.17) sustituimos ste en la ecuacin (2.14):` jt = j_00 ,3c_,0 ,1:t ,30 :t(,1 ,30 )jt__` jt = j_00 ,3c_,0 ,1:t ,30 :t(,1 ,30 )jt__64 2. Modelos dinmicos bsicospor lo que ya tenemos nuestra primera ecuacin dinmica que nosindica el comportamiento del nivel de precios. Ahora procedemos dela misma forma con objeto de obtener la ecuacin dinmica para eltipo de cambio. Para ello, sustituimos el tipo de inters nominal enla ecuacin (2.15), obteniendo:` :t = 10(:tjtcjt) i

t(2.18)Ahora tenemos que sustituir el nivel de produccin (expresion2.17) en la expresin (2.18), por lo que tendramos:` :t = 10_(:tjtc_00 ,3c_,0 ,1:t ,30 :t(,1 ,30 )jt___i

tOperando obtenemos la ecuacin dinmica correspondiente al tipode cambio nominal:` :t =c0 ,3c,010 ,3c:t c,10 ,3c:t 1 c,10 ,3cjti

t(2.19)Otra forma alternativa es,una vez que hemos calculado el nivelde produccin (2.17), podemos sustituir dicho valor en la (2.16) yobtenemos el tipo de inters:it = 10_:tjtc_00 ,3c_,0 ,1:t ,30 :t(,1 ,30 )jt__jt_(2.20)Sustituyendolaexpresin(2.20) directamenteenlaecuacin(2.15), obtenemos:` :t = 10_(:tjtc_00 ,3c_,0 ,1:t ,30 :t(,1 ,30 )jt___i

ty operando resulta:` :t =c0 ,3c,010 ,3c:t c,10 ,3c:t 1 c,10 ,3cjti

tque es exactamente igual que la expresin (2.19).2. Modelos dinmicos bsicos 65Paso4: Modeloennotacinmatricial: Una vez hemosobtenido nuestras dos ecuaciones diferenciales a continuacinrepresentamos nuestro modelo en notacin matricial, quedado comosigue:_` jt` :t_=10 ,3c_ j(0,1 ,3) 0j,11 c,1c,1_ _jt:t_10 ,3c_ 0j j,30c 1 1___ ,0:ti

t__Tal y como podemos comprobar, no conocemos todos los signos dela matriz de coecientes asociados a las variables endgenas, , porlo que en ese caso necesitamos la informacin que obtengamos delanlisis de estabilidad para representar grcamente nuestro modelo.Paso5: Valordelasvariablesenestadoestacionario:La inversa de la matriz de coecientes asociados a las variablesendgenas es:1=_j01o1jo10o1+o3o1_Por tanto tenemos que:_jt:t_ = _j01o1jo10o1+o3o1_10 ,3c_ 0j j,30c 1 1___ ,0:ti

t__Operando resulta que:_jt:t_ =10 ,3c_0 0 c,300+o3o10 c,30o1+o3o1___ ,0:ti

t__Taly como podemos comprobar, elcoecienteasociado a lacantidad de dinero en la denicin delvalor estacionario de losprecios y del tipo de cambio nominal es 1, por lo que se cumpleel principio de neutralidad monetaria, es decir, una alteracin en66 2. Modelos dinmicos bsicosla cantidad de dinero provoca una variacin (en la misma cuanta)tanto en el nivel de precios como en el tipo de cambio nominal en ellargo plazo.Paso 6: Anlisis de estabilidad. A continuacin realizamoselanlisis de estabilidad con elobjetivo de conocer eltipo desolucin de nuestro sistema de ecuaciones y de determinar el signode los coecientes indeterminados en la matriz de coecientes de lasvariables endgenas.Como elcoeciente que multiplica a la matriz de coecientesasociados a las variables endgenas tiene signo denido (es positivo)podemos prescindir de l. Para analizar la estabilidad del sistema,calculamos el determinantedelamatrizdecoecientes delasvariables endgenas menos la matriz identidad y lo igualamos a cero.Resolviendo obtenemos una ecuacin de segundo grado, por lo queal resolverla obtenemos los signos de los valores propios asociados ala matriz de coecientes de las variables endgenas. Por tanto,1ct_ j(0,1 ,3) ` 0j,11 c,1c,1`_ = 0`2`[j(0,1 ,3) c,1[ j,1(0 c,3) = 0(j(0,1 ,3) c,1) _[(j(0,1 ,3) c,1[2 4j,1(0 c,3)2Tal y como podemos observar, el signo dentro de la raz cuadradaes positivo, por lo que al resolver nos va a quedar un nmero mayor(algo ms grande) que el coeciente asociado a `. El coecienteasociado a ` puede ser positivo o negativo.Si j(0,1 ,3)c,1,entonces este trmino es negativo (dado que va multiplicado por unsigno menos). En este caso tenemos que negativo ms algo msgrande es positivo. Negativo menos algo ms grande, negativo. Portanto obtenemos que `1 < 0, `20. Es decir, la solucin de estesistema es un punto de silla. Por el contrario si j(0,1 ,3) < c,1entonces el primer trmino es positivo. Positivo ms algo ms grandepositivo. Positivo menos algo ms grande negativo. Por tanto, denuevo obtenemos que `1 < 0, `20, esto es, una raiz es positiva yla otra negativa, por lo que de nuevo tenemos punto de silla.2. Modelos dinmicos bsicos 67En este caso obtenemos que la solucin del modelo esindependiente delsigno delcoeciente asociado a `. Es decir,pueden existir situaciones en las cuales dicho coeciente sea positivoo situaciones en las cuales sea negativo y ambas tienen signicadoeconmico.Sin embargo, el signo de este coeciente no nos aportainformacin acerca de como es el signo del coeciente asociado a losprecios en la ecuacin diferencial para el tipo de cambio. Esto nosindica que dicho coeciente puede ser tanto positivo como negativo,por lo que tendramos que elegir dicho valor para la economa queestamos analizando.Este resultado est provocado por el supuestoque hemos realizado de que el nivel de demanda agregada es siempreigual al nivel de produccin de la economa y, por tanto, no puedenexistir desequilibrios en el mercado de bienes y servicios.Paso 7:Representacin grca:A continuacin procedemosa la representacin grca de nuestro modelo. Para ello en primerlugar,tenemos que calcular las pendientes de las condiciones deequilibrio particial para nuestras variables endgenas.La pendiente de la ecuacin diferencial de la primera variableendgena (nivel de precios), bajo la restriccin de que la derivadacon respecto al tiempo de esta variable es cero, sera:d:tdjt [_ jt=0= j(0,1 ,3)0j,1= 1 ,30j,11es decir, la pendiente sera positiva y muy vertical, ya que el valor dela pendiente es superior a 1, que es el que corresponde a una rectade 45 grados.La pendiente de la ecuacin diferencial de la segunda variableendgena (tipo de cambio nominal), bajo la restriccin de que laderivada con respecto al tiempo de esta variable es cero, sera:d:tdjt [_ ct=0= 1 c,1c,1= 1 1c,1Vemos que en este caso la pendiente es indeterminada, ya quepuede ser tanto positiva como negativa. Si suponemos que 1c,1 0 entonces la pendiente anterior es positiva. Por el contrario, sisuponemos que 1 c,1 < 0, entonces la pendiente sera negativa.Dado que el anlisis de estabilidad no nos ha resuelto cual es elsigno de este coeciente, esto signica que puede ser tanto positivocomo negativo. Como en este caso podemos elegir, y dado que la68 2. Modelos dinmicos bsicospendiente de la condicin de equilibrio dinmica para el nivel deprecios es positiva, vamos a suponer que la correspondiente al tipode cambio nomial es negativa.La representacin grca de la condicin de equilibrio dinmicapara el nivel de precios es una lnea con pendiente positiva y muyvertical.Como podemos comprobar a la derecha de esta condicinde equilibrio parcial el nivel de precios disminuye (esta ecuacin sehace negativa si el tipo de cambio es muy bajo o si el nivel de precioses muy elevado), mientras que en los puntos situados a la izquierda,el nivel de precios aumenta.`j:

` jt = 0octojt [_ jt=0= j(co1+o3)cjo1 1Figura 2.11: Condicin de equilibrio dinmica para el nivel depreciosLa representacin grca de la condicin de equilibrio dinmicapara el tipo de cambio nominal sera una lnea con pendiente negativay muy horizontal. En este caso hemos supuesto que la pendientees negativa, pero tambin es posible que la pendiente sea positiva.Comopodemos comprobar, aladerechade estacondicindeequilibrio dinmica el tipo de cambio nominal aumenta (la ecuacines positiva si el nivel de precios o el tipo de cambio nominal es muyelevado), mientras que disminuye en aquellos puntos situados a laizquierda de esta condicin de equilibrio dinmica.2. Modelos dinmicos bsicos 69`j:`

` :t = 0octojt [_ ct=0= 1 1o1 < 0Figura 2.12: Condicin de equilibrio dinmica para el tipo decambio nominalPaso8: Diagramadefases: La representacin grca denuestra economa es la que aparece en la gura 2.13. Como yahemos calculado anteriormente, la pendiente de la condicin deequilibrio dinmica para los precios es positiva,mientras que lapendiente de la condicin de equilibrio dinmica del tipo de cambionominal la hemos supuesto negativa. Por otra parte, tenemos quela solucin del sistema es de punto de silla, es decir, tenemos tantotrayectorias estables como trayectorias inestables, por lo que se hacenecesario disponer de otro elemento adicional, la senda estable, paraque la representacin de nuestra economa sea completa y podamosutilizarlo para la realizacin de anlisis de perturbaciones. Comopodemos comprobar, la senda estable tiene en este caso pendientenegativa, siendo ms horizontal que la pendiente de la condicin deequilibrio dinmica para el tipo de cambio nominal.70 2. Modelos dinmicos bsicos`j: ``

-

-o10` jt = 0` :t = 0 110 j :Figura 2.13: Diagrama de fasesPaso 9: Senda Estable: La senda estable hace referencia aaquellas trayectorias que nos llevan al estado estacionario. En estecaso obtenemos una solucin de tipo punto de silla, por lo que existentrayectorias tanto estables como inestables. Para poder trabajar coneste tipo de modelo necesitamos considerar un elemento adicional,que es precisamente lo que denominamos la senda estable. La sendaestable nos va a indicar la trayectoria estable ms rpida hacia elestado estacionario que es la senda que va a seguir la economacuando est en desequilibrio.Este nuevo instrumento lo vamos a estudiar nicamente entrminos grcos. Para representar la senda estable analizamos eldiagrama de fases y estudiamos por que zonas pasan trayectoriasconvergentes hacia el estado estacionario. Observando la gura 2.13vemos que las trayectorias estables slo existen en las reas situadasa la derecha y a la izquierda, minetras que en las reas situadasarriba y abajo todas las trayectorias son divergentes respecto alestado estacionario. Por otra parte, en la zona de la izquierda, slo siestamos lo suciente arriba podemos alcanzar el estado estacionarioya que el diagrama de fases nos indica que los precios aumentan y eltipo de cambio disminuye. Por el contrario, en la zona de la derecha,slo si estamos lo sucientemente abajo podemos alcanzar el estado2. Modelos dinmicos bsicos 71estacionario ya que en este caso el diagrama de fases nos indica queel nivel de precios tiene que disminuir y el tipo de cambio nominalaumentar. Por tanto, vamos a sealar en el diagrama de fases estsreas por la que pasa la trayectoria estable. Esta senda la vamos adibujar como una lnea recta con echas que indican la direccin enla que se mueven las variables endgenas de referencia, tal y comoaparece en la gura 2.13.Paso10: Anlisis deperturbaciones: Vamos a analizarlosefectosacorto, medioylargoplazodeunaumentoenlacantidad de dinero. Esta perturbacin van a provocar un fenmenoconocido como la sobrerreaccin del tipo de cambio (overshooting),que consiste en que el tipo de cambio va a aumentar en el corto plazopor encima de su valor de largo plazo. Es decir, a corto plazo el tipode cambio se va a depreciar ms que proporcionalmente respecto asu depreciacin en el largo plazo como consecuencia del aumento enla cantidad de dinero. Como vamos a comprobar, los efectos quevamos a obtener son similares a los que obtendramos en el caso deque la demanda agregada pudiese ser diferente de la oferta agregada.En primer lugar, vamos a calcular los efectos a largo plazo, usandopara ello el valor de las variables en estado estacionario calculadoanteriormente:jt = :t 00 c,3i

t:t = :t ,0,1 0,1 ,3,1(0 c,3)i

tCalculando la derivada respecto a la cantidad de dinero obtenemos:djtd:t = 1;d:td:t = 1es decir, se cumple el principio de neutralidad monetaria y a largoplazo el aumento en la cantidad de dinero se traslada, en la mismaproporcin, tanto al nivel de precios como al tipo de cambio nominal.Por tanto, ambas variab