Profesora: Bachiller:

Carlena Astudillo Jose Javier Maita

(26.033.184)

Junio, 2016

1º ¿Que es la diferenciación numérica?

Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una

estimación del derivado de a función matemática o función subprograma usando

valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función.

Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de un próximo línea

secante a través de los puntos (x,f (x)) y (x+h,f (x+h)). Elegir un número pequeño h, h

representa un cambio pequeño adentro x, y puede ser positivo o negativa.

La cuesta de esta línea secante diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por

una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h. Como h los acercamientos

ponen a cero, la cuesta de la línea secante acercamientos la cuesta de la línea de la

tangente. Por lo tanto, el verdad derivado de f en x es el límite del valor del cociente de

la diferencia mientras que las líneas secantes consiguen cada vez más cerca de ser una

línea de la tangente:

Desde inmediatamente el sustituir 0 para h resultados adentro división por cero.

Una valoración simple del tres-punto es computar la cuesta de una línea secante

próxima a través de los puntos (x-h,f (x-h)) y (x+h,f (x+h)).

La cuesta de esta línea es más generalmente, la valoración del tres-punto utiliza la

línea secante a través de los puntos (x − h1,f(x − h1)) y(x + h2,f(x + h2)).

La cuesta de estas líneas secantes diferencia de la cuesta de la línea de la tangente

por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h2 de modo que la

valoración del tres-punto sea una aproximación más exacta a la línea de la tangente que

la valoración del dos-punto cuando h es pequeño.

A la ecuación se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le

llama diferencias divididas finitas

Se puede representar generalmente como:

O

Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se

le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la

aproximación.

Se le llama diferencia "hacia adelante" ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar

la derivada.

Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera

diferencia dividida finita.

Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden

desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.

2º Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia atrás.

La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior

sobre el valor actual, dada por:

Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se

obtiene:

Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida hacia

atrás.

3º Aproximaciones a la primer derivada con diferencias centrales

Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la

expansión en serie de Taylor hacia adelante:

Para obtener

La cual se puede resolver para

O

La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas )de la

primera derivada.

Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias

divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.

Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información practica de

que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada.

4º Aproximaciones a derivadas de orden mas alto usando diferencias finitas

Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para

una estimación numérica de las derivadas de orden superior.

Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en

términos de la siguiente forma:

La ecuación se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación para obtener:

La cual se puede resolver para

A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo

orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y

centrales.

Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia

atrás y centrales también pueden obtenerse ( véase en fórmulas mas adelante ). En

todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.

5º Formula de diferencia progresiva y regresiva

º Diferencias finitas.

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite

h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores.

º Relación con las derivadas

La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite

Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la

derecha es

Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h

es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor.

Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es

La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error

es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente

diferenciable).

º Cálculo de diferencias finitas

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace

corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder f con su derivada.

Formalmente, invirtiendo la exponencial

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el

mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas,

las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una

serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más

precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

º Derivadas de órdenes mayores

De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para

derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de

la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de h / 2 para:

Aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de en x, obtenemos la

aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:

6º Métodos de diferencias finitas

Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes

diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas

para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico,

especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en

diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el

nombre de métodos de diferencias finitas.

Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos

de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de

fluidos.

7º Formula de tres puntos

Supongamos que solo tenemos tres datos igualmente espaciados, es decir,

con . Aplicando la fórmula anterior con tres puntos, para respectivamente,

obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres puntos")

8º Formula de cinco puntos

De manera análoga, si tenemos cinco datos igualmente espaciados, se puede

obtener la fórmula de cinco puntos.

Fórmula para la segunda derivada.

Con las mismas hipótesis, se puede deducir una fórmula de tres puntos para la

segunda derivada

9º Integración numérica.

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de

algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el

término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones

diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es

más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales

de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral

múltiple) también se utiliza.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una

solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para

una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

10º Razones para la integración numérica

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede

ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales

que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser

resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen

funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración

numérica de vital importancia.

La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras

que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la

aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar

a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en

las primeras cifras decimales.

11º Método del trapecio.

La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de

Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer

grado:

Una línea recta se puede representar como:

El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre los

limites ɑ y b:

El resultado de la integración es:

Que se denomina regla del trapecio.

12º Método del Simpson

Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación mas fina, otra forma de

obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado

superior para unir los puntos. Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre ƒ (ɑ) y ƒ

(b), los tres puntos se pueden unir con una parábola. Si hay dos puntos igualmente

espaciados entre ƒ (ɑ) y ƒ (b), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio

de tercer grado. Las formulas que resultan de tomar las integrales bajo esos polinomios

se conocen como reglas de Simpson.

º Regla de Simpson.

La regla se Simpson ⅓ resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo

grado se sustituye en la ecuación:

Si se designan ɑ y b como xₒ y x₂ , y ƒ₂ (x) se representan por un polinomio de

Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en:

Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas se obtiene la

siguiente formula:

Donde, en este caso, h=(b - ɑ)/2. Esta ecuación se conoce como regla de Simpson

1/3, y es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación

“1/3” se origina del hecho de que h está dividida en 3 en la ecuación.

13º Integración de Romberg

La integración de Romberg es una técnica diseñada para obtener integrales

numéricas de funciones de manera eficiente, que se basa en aplicaciones sucesivas de la

regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulaciones matemáticas, se

alcanzan mejores resultados con menos trabajo.

El algoritmo, observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de

extrapolación suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación que,

conforme aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor estimación

de la integral. Estas formulaciones se expresan en una forma general muy adecuada

para la implementación en computadora:

Donde 1ʲ+1k-1 eIjk-1 = las integrales más y menos exactas, respectivamente; e

Ijk=Ia integral mejorada. El subíndice k significa el nivel de la integración donde k=1

corresponde a la estimación original con la regla del trapecio, k=2corresponde a 0(h⁴),k=3 a 0(h⁶) y así sucesivamente. El subíndice j se usa para distinguir entre las

estimaciones mas (j+1) i meno (j) exactas. Por ejemplo, con k=2 y j =1, la ecuación

(22.8) se convierte en

14º Método de cuadratura gaussiana.

En las formulas de integración pasadas considerando que los espaciamientos son

iguales, es decir que la variable independiente x esta dividida en intervalos

equiespaciados. Gauss observo que a falta de exigir la condición de conocimiento de la

función f(x) en valores predeterminados, una formula de tres términos requeriría seis

parámetros (en vez de tres como el caso de Simpson) y correspondería a una formula de

integración poli nómica de grado cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarse

cuando la función f(x) se conoce explícitamente si por el contrario, se conocen valores

equiespaciados de la función ya que estas han sido evaluadas experimentalmente, se

deben usar las formulas de integración numérica.

Las formulas de integración de Gauss tienen la forma:

Donde, wi son las funciones de peso y f(x) son las n+1 evaluaciones de la función

f(x)-

15º Integración múltiple.

Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo, una

ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional puede

escribirse como sigue:

Al numerador se le llama integral doble.

Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar

integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble de una función

sobre un área rectangular.

Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales.

Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta

primera integración se incorpora en la segunda integración.

Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se aplican

métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos múltiples, a la

primera dimensión manteniendo constante los valores de la segunda dimensión.

16º Aplicaciones.

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como

solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos"

(manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de

integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos

de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la

necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe

recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino

intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que

no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente

iguales.

Integre la función mediante la regla del trapecio, son n= 1, 2, 3 y 4. Calcule los

errores relativos porcentuales con respecto al valor verdadero 4.8333 para evaluar la

exactitud de las aproximaciones de la regla del trapecio.

Con n=1:

Con n=2:

Con n=3:

Con n=4:

En los ejercicios 1 a 3, use (a) la Regla del Trapecio y (b) la Regla de Simpson, con

el valor de n indicado para estimar las integrales definidas. Aplique valores

aproximados de f (xk) que tengan una precisión de cuatro decimales y redondee las

respuestas a dos decimales.

Merci