u c m diferenciación e integración anexo: método de interpolación newton-gregory

UCM

Diferenciación e Integración

f xf x h f x

h' ( )

( ) ( )

f x dxh

f fx

x

i ii

i

( ) ( )

2

1

1

ANEXO: Método de interpolación Newton-Gregory

UCM

2

• La diferenciación y la integración son operaciones muy frecuentes en computación científica.

1. Obtener analíticamente la derivada o integral de una función puede ser muy complicado e incluso imposible, hay que recurrir entonces a las técnicas numéricas. 2. Si únicamente conocemos el valor de la función en un conjunto de puntos (xi, fi), su derivada e integral sólo se pueden obtener numéricamente.

• Los sistemas físicos generalmente se modelan por medio de ecuaciones diferenciales. Existen muchas ecuaciones diferenciales que carecen de solución analítica, siendo posible obtener únicamente soluciones numéricas.

Introducción

x f(x)x0 f0x1 f1x1 f2x3 f3

0

'( ) ( , ( )),

( )

y x f x y x

y x

La diferenciación e integración numérica consiste en aproximar la derivada en un punto o la integral de una función f(x) en un intervalo.

UCM

3Diferenciación

DIFERENCICIÓN: Consiste en aproximar la derivada de una función f(x) en un punto mediante la derivada en un punto de su polinomio de interpolación, bien porque:

a) Obtener analíticamente la f’(x) puede ser muy complicado. Si no fuera así MatLab diff evalúa la derivada en el punto deseado. Ver anexo polyder.

b) o porque, lo más usual, sólo se conozca f(x) discretamente en un conjunto de puntos {(xi,fi)}. Aquí las formulas de derivación son de gran utilidad, por ejemplo aplicando el desarrollo de Taylor y el teorema de valores intermedios.

Objetivo de la diferenciación: Sean {(xi,fi)}i=0,1,..n f’(x)? en k=0,1,…,nes decir, estimar el valor de la derivada de f(x) en alguno de los xi conocidos.

Consideraciones: La diferenciación numérica es un proceso muy inestable, es decir, sea En(x) el error cometido al aproximar f(x) con Pn(x), es decir, f(x)=Pn(x)+En(x) E’n(x) > En(x). Por ello es preferible que xk=xi para algún i=0,1,…,n.

UCM

4

• En general, existen dos modos de resolver el problema de la diferenciación numérica:1. Estimando la derivada como una fórmulas de diferencias

finitas obtenida a partir de la aproximación de Taylor.

2. Derivando el polinomio de interpolación obtenemos otro polinomio que aproxima la derivada de la función en toda la región de interpolación.

donde E’n(x) > En(x).

Por ello es preferible que xk=xi para algún i=0,1,…,n.

• El algoritmo de diferenciación numérica es inestable: no es útil cuando se desean conocer derivadas de orden alto. Los errores iniciales, experimentales de los datos o los de redondeo del computador, aumentan en el proceso de diferenciación. Por tanto no se pueden calcular derivadas de orden alto.

Diferenciación numérica

( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )n n n nf x P x E x f x P x E x

0

( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim

h

f x h f x f x h f xf x

h h

UCM

5Diferenciación: Polinomios de interpolación

• Basados en la derivación del polinomio de interpolación.• Diferenciación directa: Calculando de forma aproximada la

f’(x) usando diferencias finitas.• Otros (Extrapolación de Richardson,…).

• DIFERENCIACIÓN NÚMERICA BASADA en los POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN Pn(x)

Objetivo: Sea {(xi,fi)}i=0,1,..n f’(x)? en k=0,1,…,n

Método: Derivando el polinomio de interpolación obtenido por alguno de los métodos estudiados. Si se desea conocer f’(x), se deriva el polinomio Pr(x) construido con {xk} y los siguientes r puntos {xk+1, xk+2, …, xk+n} y se evalúa Pr(x).

Ejemplo sencillo: Sea {xi}i=0,1,..n un conjunto de datos equidistantes Método de Newton-Gregory (método de diferencias divididas cuando la distancia entre las xi’s es la misma) para determinar el polinomio de interpolación Pn(x) . Ya sabemos que es único y que no depende del método usado para hallarlo.

UCM

6Diferenciación: Polinomios de interpolación (Ver anexo)¿Cómo determinar f’(x) numéricamente con x equidistantes?

(1)Determinar Pn(x): partimos de {x0} y los siguientes puntos xi hasta el último, {xn}. (método de Newton-Cotes)

(2) Derivar Pn(x):

(3) Se evalúa P’n(x) en x0 y con ello la estimación de f’n(x): esta expresión es valida sólo para x equidistantes.

0

1100

22

100

00 !

... !2

)( fhn

xxxxxxf

h

xxxxf

h

xxfxP n

nn

n

1n

0k k

1n10n0

n

10202130

3

1020

20

n

xx

xxxxxx

hn

f

xxxxxxxxxxxxh3

fxxxx

h2

f

h

fxP

)(

)())((

!..........

...))(())(())((!

))((!

)('

Δ

ΔΔΔ

1n0n

03

02

00n

1n02010n0

n

001020

20

0n

1n

f

3

f

2

ff

h

1xP

xxxxxxhn

fxxxx

h2

f

h

fxP

)()(

)())((!

...)()(!

)(

'

'

ΔΔΔΔ

ΔΔΔ

UCM

7Diferenciación basada en los polinomios de interpolación

• Ejemplo: Con tabla de diferencias obtener la derivada de la función en el punto x = 0.0. El polinomio de interpolación según Newton_Gregory

xi fi ∆fi ∆ 2fi ∆ 3fi ∆ 4fi0.0 0.000 0.203 0.017 0.024 0.0200.2 0.203 0.220 0.041 0.0440.4 0.423 0.261 0.0850.6 0.684 0.3460.8 1.030

• Un solo término:

• Dos términos:

• Tres términos:

P xf

hx x

f

hx x x x

f

n h

f

hh

f

hh n

f

n h hf

f f

n

n n

n

n

nn

n

nn

' ( ) ( ) ( ) ( )!

( )!!

( ( ) )

00

0 1

20

2 0 1 0 10

02

02

1 00

20 0 1

2

21

1

21

1

1'(0.0) '(0.0) (0.203) 0.1015

0.2f p

2

1 0.017'(0.0) '(0.0) (0.203 ) 0.09725

0.2 2f p

3

1 0.017 0.024'(0.0) '(0.0) (0.203 ) 0.1015

0.2 2 3f p

UCM

8Diferenciación: Diferencias finitas

• DIFERENCIACIÓN NÚMERICA BASADA en DIFERENCIAS FINITAS

Objetivo: Sea {(xi,fi)}i=0,1,..n f’(x)? en k=0,1,…,n

Método general: Desarrollo de Taylor para discretizar la derivada.

Ejemplo sencillo (derivada primera en un punto): f’(x)? en k=0,1,…,n.

Conforme el h disminuye, el error de truncamiento se hace más pequeño: )

El valor optimo de h es aquél tal que la combinación del error de truncación y de redondeo sea pequeña. Si h disminuye O(h) se hace más pequeño pero el error de redondeo se hace más grande.

h

hOh

xfhxf

h

xfhxfxf kkkk

hk

si

)(lim)(0

'Formula de diferenciación adelantada de 2 puntos

f x f x f x x xn

f x x xn

f z x xn n n n( ) ( ) ' ( )( )!

( )( )( )!

( )( )( ) ( )

0 0 0 0 0

10

11 1

1

UCM

9Errores de truncado y redondeo

• Recordemos que debido a la naturaleza discreta del computador los resultados numéricos no son exactos (acumulación de error de redondeo). Por ello, cuando calculamos derivadas numéricamente el error en la solución es la suma del error de trunado y el de redondeo.

( ) ( ) 1'( ) ;

f x h f xf x Ch D C D

h h

DOMINA ELERROR DE TRUNCADO

DOMINA ELERROR DE REDONDEO

error de truncado error de redondeo

h límite o valor óptimoh

ErrorTotal

Ejemplo: f(x)=atan(x) en x=sqrt(2) el valor óptimo de h es 1.5x10-8

Error truncamiento)D depende del epsEl error redondeo es muy influyente ya que h es pequeño y puede hacer que la diferenciación sea inestable

UCM

10

• La derivada se puede aproximar numéricamente por diferencias finitas:

• En el caso de una recta f(x)=ax+b, la expresión anterior es el valor exacto.

• En otros casos nos proporciona un valor cuyo error podemos estimar usando la aproximación de Taylor:

• Reordenando:

Diferenciación por Diferencias Finitas

f xf x h f x

h' ( )

( ) ( )

2

( ) ( ) '( ) ''( );2

;

hf x h f x hf x f z

x z x h

f xf x h f x

h

hf z

f x h f x

hO h' ( )

( ) ( )' ' ( )

( ) ( )( )

2

Diferencia Adelantada

• El error cometido al aproximar la derivada es función lineal de h (en este caso). Cuanto menor sea h, valores de f(x) más cercanos, la derivada es más precisa. Se denomina Error de Truncado o Discretización.

UCM

11

• Diferencia Centrada con dos puntos, reducimos el orden del error a O(h2).

• Si utilizamos los tres puntos, el error también es O(h2) pero con la mitad de valor.

Diferenciación Diferencias Finitas

21 10

2

'( ) ( );2

(́ )6

f ff x O h

h

hError f z

222 1 0

0

4 3'( ) ( ); (́ )

2 3

f f f hf x O h Error f z

h

UCM

12

Fórmulas primera derivada Fórmulas segunda derivada

Fórmulas tercera derivada Fórmulas cuarta derivada

Fórmulas de Derivadas Diferencias Finitas

f xf f

hO h

f xf f

hO h

f xf f f

hO h

f xf f f f

hO h

' ( ) ( )

' ( ) ( )

' ( ) ( )

' ( ) ( )

01 0

01 1 2

02 1 0 2

02 1 1 2 4

24 3

28 8

12

2 1 00 2

1 0 10 2

23 2 1 00 2

42 1 0 1 20 2

2''( ) ( )

2''( ) ( )

4 5 2''( ) ( )

16 30 16''( ) ( )

12

f f ff x O h

hf f f

f x O hh

f f f ff x O h

hf f f f f

f x O hh

f xf f f f

hO h

f xf f f f

hO h

' ' ' ( ) ( )

' ' ' ( ) ( )

03 2 1 0

3

02 1 1 2

32

3 3

2 2

2

f xf f f f f

hO h

f xf f f f f

hO h

IV

IV

( ) ( )

( ) ( )

04 3 2 1 0

4

02 1 0 1 2

42

4 6 4

4 6 4

UCM

13Determinar el error al calcular la derivada del ln(2)

x0= 2 ln(x0)= 0,693147181 f'(x0)= 0,5

h f(x0+h) ( f(x0+h) - f(x0) ) /h |Error absoluto|0,1 0,741937345 0,487901642 -0,012098358

0,01 0,698134722 0,498754151 -0,0012458490,001 0,693647056 0,499875042 -0,000124958

0,0001 0,693197179 0,4999875 -1,24996E-05

Considerando diferencias adelantadas

UCM

14

Ejercicio propuesto sencillo

Determinar las derivadas primeras de f(x) en el punto 0.5 por los métodos:

1. Usando el polinomio de interpolación2. Diferencias finitas adelantada en dos puntos3. D.F. retrasada con dos puntos4. D.F. centrada con dos puntosConsiderando los valores de h=0.5, toma los pares

de datos (0,f(0)), (0.5,f(0.5)) y (1,f(1))

¿Qué ocurre si tomas h=0.25 y h=0.75?

2.125.05.016.01.0)( 234 xxxxxf

UCM

15

f(x) = -0.1x^4-0.16x^3-0.5x^2-0.25x+1.2

x i-2 0.00 1.20000000

x i-1 0.25 1.10351563

x i 0.50 0.92500000

x i+1 0.75 0.63632813

x i+2 1.00 0.20000000

Valor real f'(xi)= -0.91250000

Diferencias divididas error

Hacia adelante -0.859375 5.82%

Hacia atrás -0.878125 3.77%

Hacia centrada -0.912500 0.00%

Ejercicio propuesto sencillo (algunas soluciones con diferencias finitas y su error real)

UCM

16Ejemplo en una dimensión: Diferencias finitas retrasadas

Queremos calcular la temperatura (T) de un cuerpo puntual a lo largo del tiempo (t) dentro de un ambiente a temperatura constante (A=20ºC), sabiendo que sigue la ley indicada con un coeficiente temporal de transmisión (k=0.001 s-1).

)( TAkdt

dT

Necesitamos: (1) Elegir método de diferencias finitas (p.e.Retrasada con 2 puntos respecto

al estado i)(2) Elegir paso temporal (∆t=250 s) en el que queremos saber la temperatura

del cuerpo(3) La temperatura inicial a los 0 segundos (75ºC)

)(1i

ii TAkt

TT

Donde i indica el índice asociado al tiempo o al estado

P.e. i=1, corresponde a 250 segundos, donde T1 depende de Ti-1=T0.

525.1 1 ii TT

Considerando los datos

i tiempo Ti-1

(ºC)Ti (ºC)

Soluciones

i=1 250 s 75 64.00

i=2 500 s 64 55.20

i=3 750 s 55.2 48.16

i=4 1000 s 48.16 42.53

AeATT kto ).(Se puede comparar estos datos con

los dados por la solución analítica de la ley de transferencia:

UCM

17Ejemplo en una dimensión: Diferencias finitas centradas

1V elige se V, paraun valor Considerar *

0.1x por tanto 0.9. ...., 0.2, 0.1, nodos losen u de valor el Establecer*

:debe Se

1u(1)

0u(0)

:contorno

02

2

descondicioneCondx

duV

dx

ud

U(0)=u0 =0 U(1)=u 10 =1

NODOS: 0 1 2 3 4 ……….. 8 9 10 u0 u1 u2 u3 ……………. u9 u1 0

PROBLEMA DE UNA DIMENSION EN X.

UCM

18

02

2

dx

duV

dx

ud

0

.2

2

:9...,2,1

112

11

x

uuV

x

uuu

icentradassdiferencia

iiiii

gamma beta. alfa

21221

0.2

12

.2

1

x

V

xu

xu

x

V

xu iii

:1i Nodo 02

u .1

u . 0

u . gammabetaalfa

03

u .2

u .1

u . :2i Nodo gammabetaalfa

09

u .8

u .7

u . :8i Nodo gammabetaalfa…………………….

010

u .9

u .8

u . :9i Nodo gammabetaalfa

Sistema de ecuaciones11 incógnitas11 ecuacionesYa que hay que incorporar u0=0 y u10=1

UCM

19

1

0

1.0

1

0

10

0

2

2

u

u

x

Vdx

duV

dx

ud

95.2

1

2002

1051.0*2

1

1.0

1

.2

1

2

2

22

x

V

xgamma

xbeta

x

V

xalfa

10000000000

9520010500000000

0952001050000000

0095200105000000

0009520010500000

0000952001050000

0000095200105000

0000009520010500

0000000952001050

0000000095200105

00000000001

. =

Soluciones: 0.0000 0.0612 0.1288 0.2035 0.2861 0.3774 0.4784 0.5899 0.7132 0.8494 1.0000

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0COMPARA ESTA SOLUCIÓN CON LA EXACTA:

1

1)(

e

exu

x

UCM

20

Soluciones con V=1: 0.0000 0.0612 0.1288 0.2035 0.2861 0.3774 0.4784 0.5899 0.7132 0.8494 1.0000

1

1)(

25

25

e

exu

x

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X

Sol

ucio

nes

U

Con V=1

Soluciones con Dif. Finitas

Valores exactos

Compara gráficamente las soluciones obtenidas con V=25con las exactas dadas por la ecuación:

Haz lo mismo con V=100

Diferencias finitas (Ejercicios propuestos)

UCM

21

Diferencias finitas (Ejercicio propuesto)

Queremos calcular la distribución longitudinal estabilizada de temperatura (T) de una barra larga y delgada de longitud L=10 m, considerando una temperatura ambiente constante (A=20ºC), un coeficiente espacial de transmisión (k=0.01 º/cm2), las temperaturas de los extremos son constantes y valen 40ºC y 600ºC

0)(2

2

TAkdx

Td

Necesitamos: (1) Elegir el método de diferencias finitas (Centrada con 3 puntos en el punto

i)(2) Elegir paso espacial (∆x=2 m) en el que queremos saber la temperatura

del cuerpo(3) Las temperaturas en los extremos (T0m =40ºC y T10m = 600ºC)

Longitud (m)

Temperaturas (ºC)

0 402 1354 2346 3418 462

10 600

Soluciones aproximadas:

Se ha de resolver un sistema de ecuaciones

UCM

22Integración Numérica

• La integración numérica consiste en estimar el valor de la integral de una función f(x) en un intervalo.

Método: Los métodos numéricos de integración aproximan la integral I(f) a una combinación lineal de valores de f(x) en un conjunto discreto de puntos {xi} dentro del intervalo a-b.

donde los coeficientes Ai se determinan sustituyendo f(x) por su polinomio de interpolación Pn(x) dentro de la integral. Por ejemplo, considerando la fórmula de Lagrange (no explicado en el tema de ajustes) para determinar P(x):

b

a

nniii xxbadxxffIfx ,, / ? )()(, Sea 0,...,1,0

b

a

n

iii fAdxxffI

0

)()(

b

a

ii

b

a

b

a

b

a

n

iiin dxxlAdxxlfdxxPdxxffI )()()()()(

0

UCM

23Integración numérica

• Es posible integrar un gran conjunto de funciones empleando técnicas que nos proporcionan la primitiva F(x) de modo que F'(x) = f(x):

• Existen muchas funciones cuya integral se desconoce.• Además, en algunos casos se desconoce la fórmula explícita de la

función f(x) y solo conocemos una tabla de valores (xi , fi). En este caso se aproxima la integral a una combinación lineal de valores de la función f(x) en un conjunto discreto de puntos xi en el intervalo [a,b].

• Para aproximar la integral utilizaremos una formula de cuadratura:

Los coeficientes de esta fórmula se pueden deducir:1. Mediante una interpretación gráfica del área que abarca la función.

2. A partir de los polinomios de interpolación

I f f x dx F x F b F aa

b

a

b( ) ( ) ( ) ( ) ( )

I f f x dx A f xi

i i

n

a

b( ) ( ) ( )

0

f x dx P x dxa

b

na

b( ) ( )

UCM

24

Calculan la integral de una función matemática o de pares de

datos observados en un intervalo.

Es una de las metodologías más aplicadas en la

determinación numérica de una integral. Se basan en la

interpolación de Newton-Gregory (Ver anexo)

• Fórmula del Trapecio

• Fórmulas de Simpson Simpson 1/3

Simpson 3/8

• Fórmula del Trapecio para n subintervalos

• Fórmulas de Simpson para n subintervalos

Integración: Fórmulas de Newton-Cotes

UCM

25Integración: Fórmulas de Newton-Cotes

• Integrando el polinomio de interpolación Pn(x) tal que [a,b]=[x0, xn].

Ejemplo: Consideremos el caso sencillo de puntos {(xi,fi)}i=0,1,..n ; usando el método de Newton-Gregory para determinar el polinomio de interpolación:

Si n=1 partimos de 2 puntos, o sea, Pn(x) es una recta Formula del Trapecio

Si n=2 partimos de 3 puntos, o sea, Pn(x) es una Parábola Formulas de Simpson

Si n=3 partimos de 4 puntos Formulas de SimpsonSi n>3 NO suelen utilizarse porque normalmente dan soluciones menos exactas (errores de redondeo e irregularidades locales)Donde n representa el número de intervalos

Referencia para ver cómo determinar el error: Rao, Sankara (2007). «7.6 Newton-Cotes integration formulae» (en inglés). Numerical Methods For Scientists And Engineers (3ª edición). New Delhi (India): Prentice-Hall of India Learning Private. pp. 151-159. ISBN 8120332172.

b

a

b

a

nn

n fhn

xxxxf

h

xxxxf

h

xxfdxxffI 0

100

22

100

00 !

... !2

)()(

Taylor de Desarrollo

, z ,)!1(

)( )( 0

1

0

n

b

a

b

a

n

nn xxdxn

zfxxxxdxxEError

http://es.wikipedia.org/wiki/ISBN

http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8120332172

UCM

26Fórmulas de integración de Newton-Cotes

• Si el dominio de integración es (x0, xn) se obtienen las fórmulas de Newton-Cotes: conjunto de fórmulas de integración para diferentes grados del polinomio de interpolación. Encerrados en círculos se indica el error de la aproximación– Intervalos n=1:Nº puntos minimos 2 (=n+1)

Regla Trapecio– Intervalos n = 2:Regla de Simpson 1/3– Intervalos n = 3:Regla de 3/8 Simpsondonde h corresponde a la distancia entre dos puntos x consecutivos y necesariamente igual en

todo el intervalo [a,b]. Los superíndices encerrados entre paréntesis indican el grado de la derivada: f(4) derivada cuarta

f x dxh

f f h f z x z xx

x

n( ) ( ) ( );( )

0

1

2

1

120 13 2

0

f x dxh

f f f h f z x z xx

x

n( ) ( ) ( );( )

0

2

34

1

900 1 25 4

0

f x dx f f f f h f z x z xx

x

n( ) ( ) ( );( )

0

3 3h

83 3

3

800 1 2 35 4

0

• Grados superiores suelen producir soluciones menos exactas debido a los errores de redondeo y a las irregularidades locales.

UCM

27ERRORES DE APROXIMACIÓN en las Fórmulas Newton-Cotes

Si n es un entero, el error también se puede expresar en términos del número de intervalos (n) como:Si n es PAR:

Si n es IMPAR:

f x dxh

f f h f z x z xx

x

n( ) ( ) ( );( )

0

1

2

1

120 13 2

0

f x dxh

f f f h f z x z xx

x

n( ) ( ) ( );( )

0

2

34

1

900 1 25 4

0

f x dx f f f f h f z x z xx

x

n( ) ( ) ( );( )

0

3 3h

83 3

3

800 1 2 35 4

0

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟=⌊h𝑛+3 . 𝑓 (𝑛+2 )(𝑧 )

(𝑛+2 )! 0

𝑛

𝑡 . 𝑡 . (𝑡−1 )…. (𝑡−𝑛) .𝑑𝑡 ⌋

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟=⌊h𝑛+2 . 𝑓 (𝑛+1)(𝑧 )

(𝑛+1 ) ! 0

𝑛

𝑡 . (𝑡−1 ) .(𝑡−2)…. (𝑡−𝑛) .𝑑𝑡 ⌋

, z ,)!1(

)( )( 0

1

0 n

b

a

b

a

n

nn xxdxn

zfxxxxdxxEError

UCM

28Fórmulas del Trapecio (Newton-Cotes de grado 1)

Es decir, se parte de sólo 2 puntos, por tanto, [a, b]=[x0, x1]

Fórmula del Trapecio:

b

a

b

a

nn xPdxxPdxxffI 1 grado de es )( que tal?, )()()(

f1

f0

x0 x1

10

200

000

01

2)(

2)()(

1

0

1

0

1

0

ffh

fI

xx

h

fxfdxf

h

xxfdxxPfI

x

x

x

x

x

x

Fórmula del área de un trapecio

f de segunda derivada la (2)

f siendo

10)2(

3

10

),(12

2)(

1

0

xxfh

Error

ffh

dxxfx

x

Depende de h3 , es decir, O(h3) Cuanto menor sea h, menor será el error. Sin embargo, el error por redondeo es inversamente proporcional a h, como sucedia con la diferenciación.

¿Cuánto vale h?h=(b-a) donde b=x1 y a=x0

h

UCM

29Fórmula extendida (o compuesta) del trapecio

Aplicar la Fórmula del trapecio en un único intervalo [a, b] puede suponer un “error” en la integración numérica muy grande conviene subdividir [a, b] en pequeños intervalos (h pequeño) y aplicar en cada uno de ellos la Fórmula del trapecio.

Fórmula extendida del Trapecio:

nn

b

a

b

a

x

x

n

i

x

x

n

iii

fffffh

dxxf

ffh

dxxfdxxfdxxfn i

i

1210

1

0

1

01

2222

)(

2)()()(

0

1

A partir de {(xi, fi)}i=0,1,…,n

x0=a y xn=b

)(

)(12

3

0)2(

3

hOtotruncamienporerrorunEs

xxconfh

Error nerrores

f2

f0

x0 x1 x2 x3

f1

f3

h¿Cuánto vale h?h=(b-a)/nSiendo n el número de intervalos equidistantes entre sí.

Rao, Sankara (2007). «7.6 Newton-Cotes integration formulae» (en inglés). Numerical Methods For Scientists And Engineers (3ª edición). New Delhi (India): Prentice-Hall of India Learning Private. pp. 151-159. ISBN 8120332172.

http://es.wikipedia.org/wiki/ISBN

http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8120332172

UCM

),(

)(''max.12

)()(''max

12)(''

12

)()(2)(2

)(

2

33

int

3

1

10

badonde

fn

abfn

hf

hE

xfxfxfh

dxxf

ervaloadaerroresenciT

n

kNk

b

a

30Fórmula extendida (o compuesta) del trapecio

nn

b

a

b

a

x

x

n

i

x

x

n

iii

fffffh

dxxf

ffh

dxxfdxxfdxxfn i

i

1210

1

0

1

01

2222

)(

2)()()(

0

1

A partir de {(xi, fi)}i=0,1,…,n

x0=a y xn=b

f2

f0

x0 x1 x2 x3

f1

f3

h¿Cuánto vale h?h=(b-a)/nSiendo n el número de intervalos equidistantes entre sí.

siendo h=(b-a)/n,

xk=a+kh

k=0,1,2,...,n

UCM

Determinar por la regla del trapecio:

Sea: a=x0=0 y b=x1=1 (2 puntos)Número de intervalos: n=1 h=1

f(xo)=1 f(x1)=e

0

1

𝑒𝑥2

=h2

( 𝑓 (𝑥𝑜 )+ 𝑓 (𝑥1))=1.85914

0

1

𝑒𝑥2

=1.4626

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3f(x)=exp(x2)

>> f=inline('exp(x.^2)');y=feval(f,[0 1])

>>y_plot=feval(f,linspace(0,1));>>area(linspace(0,1),y_plot);>>title('f(x)=exp(x^2)')

Otra opción >> trapz(y) %en Matlabans = 1.859140914229523

Otra opción : : Con números aleatoriosOtra opción : : En Matlab con cálculo simbólico

Ejemplos Regla del trapecio

UCM

Determinar por la regla del trapecio:

Sea: Número de intervalos: n=5 siendo h=0.2

a=x0=0 y b=x5=1

f(xo)=1 f(x1)=e

0

1

𝑒𝑥2

=h2 ( 𝑓 (𝑥𝑜)+ 𝑓 (𝑥5)+2.∑

𝑖=1

4

𝑓 (𝑥𝑖)¿)=1.4806546

0

1

𝑒𝑥2

>> x=([0:0.2:1]); y=feval(f,[0:0.2:1]);trapz(x,y)ans =1.480654570655803

>>f=inline('exp(x.^2)');y=feval(f,[0:0.2:1])

y = 1.0000 1.0408 1.1735 1.4333 1.8965 2.7183>> a=h=0.2;sum(2*y)-y(1)-y(6);solucion=a*h/2

A medida que se incremente el número de intervalos, el método del trapecio dará mejores resultados.


UCM

33

= 2.958

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

>> x=[0 2]; y=feval(f,x); trapz(x,y)% 1 intervaloans = 3.236067977499790 Segunda derivada

>> x=linspace(0,2);d2f=1./((1+x.^2).^(3/2));plot(x,d2f); max(d2f)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

La Cota máxima del error_aprox. lógicamente es mayor que el Error real

>> f=inline('sqrt(1+x.^2)');x=[0:0.2:2],y=feval(f,x);> trapz(x,y) %10 intervalosans = 2.960867376984531

32

3

intervalos

3

107.6)(''max10.12

)()(''

12

xf

abf

htotruncamienError

n


Sólo podemos estimar la cota máxima del error, si se conoce la función matemática es posible estimar el error real

UCM

34Fórmulas de Simpson (Newton-Cotes de grado 2 y 3)

Fórmula de Simpson:

Es decir, se parte de

b

a

nn

b

a

xPdxxPdxxffI 3 o 2 grado de es)( que tal? )()()(

f1

f0

x0

ax1 x2

b

f3

P2(x)

f1

f0

x0

ax1 x3

b

f3 P3(x)

x2

f2

],[],[)( puntos 4

],[],[)( puntos 3

303

202

xxbaxP

xxbaxP

UCM


Fórmula de Simpson:

b

a

nn

b

a

xPdxxPdxxffI 3 o 2 grado de es)( que tal? )()()(

f1

f0

x0

ax1 x2

b

f3

P2(x)

f1

f0

x0

ax1 x3

b

f3 P3(x)

x2

f2

¿Cuánto vale h?h=(b-a)/2 Es la semianchura del intervalo (a=xo,b=x2)

¿Cuánto vale h?h=(b-a)/3 Es la tercera parte del intervalo (a,b)

Si no dispongo de 3 o de 4 puntos no puedo aplicar Simpson 1/3 o Simpson 3/8Si deseo integrar numéricamente una función matemática f(x) debo saber su valor en los 3 o 4 puntos para poder usar las metodologías de Simpson. Todos ellos equidistantes.Si tengo pares de datos experimentales (x,f)i , i debe ser como mínimo igual a 3 o a 4 donde las distancias entre los valores de x’s deben ser las mismas.

UCM


Fórmula de Simpson 1/3:


210

02

210

00

02

43

)(

!2)()(

2

0

2

0

fffh

fI

dxfh

xxxxf

h

xxfdxxPfI

x

x

x

x

3210

03

3210

02

210

00

03

338

3)(

!3!2)()(

3

0

3

0

ffffh

fI

dxfh

xxxxxxf

h

xxxxf

h

xxfdxxPfI

x

x

x

x

Newton-Gregory

)(80

3 5

ivfh

Error

)(90

5

ivfh

Error

UCM


Si [a, b] es grande: Aplicar alguna de las formulas de Simpson en sólo dos o tres subintervalos de longitud h no muy pequeño, cubriendo todo el intervalo [a, b] un error en la integración numérica grande conviene subdividir [a, b] en n subintervalos pequeños (es decir, h pequeño) y aplicar las fórmulas de Simpson cada 2 y/o 3 subintervalos.

Fórmula de Simpson 1/3 extendida (cada 2 subintervalos):

Fórmula de Simpson 3/8 extendida (cada 3 subintervalos):

nnn

a

n

ii

iii

a

x

x

ffffffffh

dxxf

fffh

dxxfdxxf

b

b

1243210

2

20

21

42...24243

)(

43

)()(2

0

nnnn

a

n

ii

x

x

n

ii

iiii

a

x

x

fffffffffffh

dxxf

ffffh

dxxfdxxfdxxf

b

i

i

b n

1236543210

3

30

3

30

321

332...2332338

3)(

338

3)()()(

3

0

UCM

38Fórmula de Simpson (Newton-Cotes de grado 2 o grado par)


210 43

)( fffh

fI )(90

5

ivfh

Error

Otra forma generalizada de expresarla en n intervalos cuando n sea par sería:

𝐼 ( 𝑓 )=𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 ) .𝑑𝑥=∑𝑗=1

𝑛 / 2

𝑥2 𝑗− 2

𝑥2 𝑗

𝑓 (𝑥 ) .𝑑𝑥=¿∑𝑗=1

𝑛 / 2 {h3 [ 𝑓 (𝑥2 𝑗 −2 )+4 𝑓 (𝑥2 𝑗− 1 )+(𝑥2 𝑗)]− h5

90𝑓 ( 4 )(𝜉 𝑗)}¿

𝐼 ( 𝑓 )=𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 ) .𝑑𝑥=h3

¿

Por el Teorema del Valor Intermedio, el error queda como:

)(max.180

)()()(

180)(

290 4

545

iviviv fn

abfab

hf

nhError

Hazlo para cuando n es impar

UCM

3939

= 2.9580 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

>> x=[0 1 2]; h=1; y=feval(f,x); %Simpson 1/3 >> Q1 = (h/3)*(y(1) + 4*f(2) + f(3))

Q1 = 2.96431Cuarta derivada>> x=linspace(0,2);

Determinar por el método de Simpson 1/3 el valor de la integral con 10 intervalos

La cota de error máxima bajo esta aproximación es:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1Derivada cuarta de f

DerivadaQ

uinta=0 obtenemos el punto del máximo= sqrt(3)/2

Y(sqrt(3)/2) = 0.8463

f4=inline('(12*x.^2-3)./((1+x.^2).^(7/2))'); x=linspace(0,2,1000);y=feval(f4,x);plot(x,y);title('Derivada cuarta de f');aprox_max=max(y)

35

5

2/)(

5

104.9)(max2.90

)()(

90

xfab

fh

Error iv

abh

iv

54

5

105.1)(max10.180

)(

xfab

Error ivotrucamient

Ejemplos Fórmulas de Simpson

UCM

4040

= 2.9580 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Determinar por el método de Simpson 3/8 con 3 intervalos:• el valor de la integral • la cota de error

Determinar por el método de Simpson 3/8 con 9 intervalos:• el valor de la integral • la cota de error

Ejercicios con Fórmulas de Simpson

UCM

4141

Ejercicio propuesto para realizar con diferentes métodos

t min 1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10

V m/s 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5

Determinar la distancia recorrida para los siguientes pares de datos experimentales:

UCM

42Comparación métodos para varias funciones

f(x) x 2̂ x 4̂ 1/(x + 1) sqrt(1 + x2) sen x exp(x)Solución 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389Trapecio 4,000 16,000 1,333 3,236 0,909 8,389De Simpson 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421

Comparación entre el valor exacto, la regla del trapecio y la regla de Simpson 1/3 para diferentes funciones en el intervalo [0 , 2].

UCM

43Anexo: Fórmulas de integración de Newton-Cotes

Grados superiores suelen producir soluciones menos exactas debido a:1. Los errores de redondeo que son inversamente proporcionales a h.2. Las irregularidades locales del polinomio por tener un orden excesivo

UCM

44Integración numérica con MatLab

QUAD Resuelve numéricamente la integral por combinación de las reglas de Simpson con 3 y 5 puntos y otra metodología. Haz edit quad.m para ver cómo lo hace. Q = QUAD(FUN,A,B) aproxima la integral de una función en un intervalo hasta un error de 1.e-6.

Ejemplo:

%-------------------% function y = myfun(x) y = 1./(x.^3-2*x-5);%-------------------%

>> Q = quad('myfun',0,2)

Q = -0.4605

4605.052

12

03

x

x

dxxx

UCM

45Integración numérica con MatLab

TRAPZ Integración por la regla del trapecio.

Ejemplo:

>> X = 0:pi/100:pi; >> Y = sin(X);>> Z = trapz(X,Y)

Z = 1.9998

2)sin(0

dxx

UCM

4646INTEGRACIÓN CON CÁLCULO SIMBÓLICO (Ver anexo)

El comando int lleva a cabo la integración simbólica.

Ejemplos de integral indefinida>> syms x >> S=2*cos(x)-6*x;>> int(S) ans =2*sin(x) - 3*x^2

>> syms x; int(exp(x)*cos(4*x),x)ans=1/17*exp(x)*cos(4*x)+4/17*exp(x)*sin(4*x)

Ejemplos de integral definida>> syms y>> int(sin(y)-5*y^2,0,pi) ans =2 - (5*pi^3)/3

>> syms x; int(exp(x)*cos(4*x),x,0,pi)ans=1/17*exp(pi)-1/17>> double(ans)ans = 1.3024

Se puede integrar utilizando los extremos de integración “0” y “pi”.

Double para pasar de simbólico a numérico

Recordad: también por el método Montecarlo (aleatorios). Hecho en prácticas

UCM

47

ANEXO:Desarrollo de TaylorDeterminación de un

polinomio de interpolación por el método de Newton-

Gregory

UCM

4848

Si suponemos que la función f(x) es suficientemente diferenciable su aproximación de Taylor cerca de un punto x0 es:

donde z es un punto situado ente x y x0.

Si eliminamos el último término, la función f(x) se puede aproximar por un polinomio p(x) de orden n de la forma:

El error al representar una función por un polinomio de Taylor viene dado por el término (ERROR DE TRUNCAMIENTO):

Luego el error aumenta con x y disminuye con n, esto es, cuanto mayor es el orden del polinomio p(x) el error es menor y cuanto mayor es x el error es mayor. Además, cuanto más suave sea la función (derivadas más pequeñas) la aproximación es mejor.

Anexo: Series de Taylor

f x f x f x x xn

f x x xn

f z x xn n n n( ) ( ) ' ( )( )!

( )( )( )!

( )( )( ) ( )

0 0 0 0 0

10

11 1

1

f x p x f x f x x xn

f x x xn n( ) ( ) ( ) ' ( )( )!

( )( )( ) 0 0 0 0 0

1

f x p xn

f z x xn n( ) ( )( )!

( )( )( )

1

11

01

UCM

49Anexo: Newton-Gregory

• El método de diferencias divididas se simplifica si los datos están ordenados y a igual distancia. En este caso las diferencias de fi son:

Las diferencias de orden superior se obtienen recursivamente:

Una diferencia de orden n se puede expresar del siguiente modo:

• Estas diferencias se han de dividir por (x-x0)n=hn, donde n es el orden de la diferencia, para convertirlas en diferencias divididas. El polinomio de interpolación tiene la forma:

Podemos comprobar como pn(xi)=fi. • Vemos que el polinomio pn(x) es análogo a tomar los n+1 primeros términos de

la expansión de Taylor de f(x) en el punto x0. Luego aplicar el algoritmo de Newton-Gregory es equivalente a realizar la discretización de la expansión de Taylor de la función. Al añadir un dato más lo que hacemos es añadir un término más a la serie de Taylor.

f f f f f f f f fi i i0 1 0 1 2 1 1 , , ,

20 0 1 0 2 1 1 0 2 1 02f f f f f f f f f f f ( ) ( ) ( ) ( )

nn n n

nf fn

fn

f fn

in n n i

i0 1 2 01 21

1 1

( ) ,

( ) ( )

!

p x fx x

hf

x x x x

hf

x x x x x x

n hfn

nn

n( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

!

0

00

0 12

20

0 1 102

UCM

5050

Anexo. Newton-Gregory• En este caso la tabla de diferencias se construye muy fácilmente ya que una

columna se obtiene restando elementos de la columna de su izquierda. Por ejemplo:

• Estamos en condiciones de escribir el algoritmo de las diferencias o de Newton. Primero veamos como se obtienen las diferencias

• Una vez obtenidos estos coeficientes ya podemos evaluar el polinomio en un punto para interpolar o extrapolar un valor.

diferenciasfor i=0,...,n do

dfi = fiendfor j=1,2,...,n do

for i=i,j+1,...,n doend

for i=i,j+1,...,n dofi = dfi

endend

xi fi fi fi fi fi

0.0 0.000 0.203 0.017 0.024 0.0200.2 0.203 0.220 0.041 0.0440.4 0.423 0.261 0.0850.6 0.684 0.3460.8 1.030

u c m diferenciación e integración anexo: método de interpolación newton-gregory

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