metodo de crosss nuevo

7/27/2019 Metodo de Crosss Nuevo

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REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO

SANTIAGO MARIO

42 SECCION V

EXTENSIN- MATURN

ESTRUCTURA II

PROFESOR:BACHILLER: ING. LORENZO MANTILLA SARASANGUINO C.I. 20.702.691


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MATURIN, FEBRERO DE 2013INTRODUCCION TEORICA DEL METODO ITERATIVO DE CROSS.

En el Mtodo de Distribucin de Momentos cada articulacin de la

estructura que se va a analizar, es fijada a fin de desarrollar los

momentos en los extremo a fijos. Despus de cada articulacin fija

es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fijo (el

cual al momento de ser liberado no esta en equilibrio) son

distribuidos a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es

alcanzado. El Mtodo de Distribucin de momentos desde el punto

de vista matemtico puede ser demostrado como el proceso de

resolver una series de sistemas de ecuaciones por iteraciones.

Para la aplicacin del Mtodo de Cross deben seguirse los

siguientes pasos:

1) Momentos de empotramientos en extremos fijos: sonlos momentos producidos al extremo del miembro por cargas

externas cuando las juntas estn fijas.

2) Rigidez a las Flexin: la rigidez a la flexin (EI/L) de unmiembro es representada como el producto del Modulo de

Elasticidad (E) y el segundo momento de rea, tambin

conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud

(L) del miembro, que es necesaria en el mtodo de

distribucin de momentos, no es el valor exacto pero es la

razn aritmtica de rigidez de todos los miembros.

3) Factores de Distribucin: pueden ser considerados comolas proporciones de los momentos no balanceados llevados

por cada uno de sus miembros.

4) Factores de Acarreo o Transporte: los momentos nobalanceados son llevados sobre el otro extremo del miembro

cuando la junta es liberada. La razn de momento acarreado

sobre el otro extremo, al momento del otro extremo fijo del

extremo inicial es el factor acarreo.


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5) Convencin de Signos: un momento actuando en sentidohorario es considerado positivo. Esto difiere de la convencin

de signos usual en ingeniera. La cual emplea un sistema decoordenadas cartesianos.

Ejemplo de clculo N 1:

Analizar la viga estticamente indeterminada mostrada en la

figura. Donde P=10.000 kg, q=1000 kg/m y L=10mts, Rigideces a

Flexin: AB= EI,BC=2EI, CD=EI

Solucin del ejemplo de clculos N 1:

Paso 1: se procede a realizar los clculos preliminares de los

momento en extremos fijos para cada caso tal y como se muestra.

Caso (a)

=P* /

=P* /

=P*bL


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=P*aL

Solucin del ejemplo de clculo N 1:

Caso (b)

=q* /12

= q* /12

=q*L2

=q*L2

Caso (c

=p*L/8


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= p*L/8

=p2

=p2

Solucin del ejemplo de clculo N 1:


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Paso II: se procede a la construccin de la tabla de calculo, una vez

determinados los Factores de Distribucin. Para el calculo de esos

factores de distribucin debe considerarse la Rigidez Rotacional aun Giro (k) en los casos en que sea la misma 4*E*I/L y tambin se

proceder a realizar lo aprendido en esttica sobre los diagramas

de Corte y Momento, los cuales nos servirn para el diseo de

elementos mas adelante en concreto armado.


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Diagrama de Corte y Momento.


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METODO PENDIENTE-DEFLEXION.

Ya vimos la forma general del mtodo de la rigidez aplicado amodelos con resortes los cuales resultaban ser simplificaciones delas estructuras reales. En los modelos con resortes expresbamoslas ecuaciones de relacin fuerza deformacin simplemente comoF=k* y como eran resortes estas deformaciones correspondan aalargamientos o acortamientos de los elementos.

Para aplicar este mtodo a cualquier tipo de estructura tenemosque hallar esas ecuaciones de relacin fuerza-desplazamiento enfuncin de cualquier tipo de desplazamiento que sufra un elementodado, ya sea giro, alargamiento o desplazamiento relativo en los

apoyos de tal manera que encontremos una relacin general F=k*donde k es la rigidez del elemento para cualquier desplazamiento.

Adicionalmente se ha planteado que el mtodo parte de escribir lasecuaciones de equilibrio en los nudos en la direccin de los gradosde libertad libres. Estas ecuaciones implican que las fuerzas estnaplicadas en los nudos y no en las luces. Sera casi imposible decirque todas las estructuras que analicemos tendrn sus cargasaplicadas en los nudos, entonces la forma en que se analizan estasestructuras es considerar los elementos que la componentotalmente empotrados y encontrar los momentos de extremo

producido por las cargas actuantes en la luz. Una vez planteadosestos momentos se sueltan los grados de libertad que son libres yse determina la modificacin de estos momentos de extremo por elhecho de producirse los movimientos de estos grados de libertad. Eltrabajo a realizar es por superposicin, donde el momento total enun extremo es la suma de los efectos de rotacin y de losmomentos de empotramiento debidos a las cargas. Podemosexpresar estos momentos como unos valores de rigidez de loselementos por cada uno de los movimientos.

PLANTEAMIENTO DE LAS RIGIDECES DE LOS ELEMENTOS:

Partimos de un elemento tipo viga con todos sus grados de libertadrestringidos.


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Para plantear alguna ecuacin en

este tipo de viga tendramos que

tener algn grado de libertad libre y

aqu no lo hay, entonces que tal si liberamos un grado de libertad y

planteamos que sucede con las reacciones en los extremos.

- + =0

= * L

De donde = 2

Expresemos el en funcin de la rotacin del extremo A.


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y

Note que el hecho de liberar el extremo A produce un momento dereaccin en B.

Se aplica lo mismo para el extremo B

Lo que hemos encontrado aqu no es ms que la rigidez delelemento a un movimiento de extremo, o sea el valor de k.

En el caso de tener un desplazamiento en uno de los extremos, osea liberar el grado de libertad correspondiente a una reaccinvertical tendramos,


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Donde B corresponde a un desplazamiento perpendicular alelemento.

Podramos definir una ecuacin que contenga todos estosdesplazamientos para hallar el momento de extremo de unelemento:

+ -

Esta ecuacin me esta asociando cada uno de los movimientos de

extremo con el momento producido.

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO:

Para encontrar los momentos que se producen en los apoyoscuando tenemos un elemento totalmente empotrado aplicamos elmtodo de las fuerzas.

Con estos planteamos las ecuaciones de compatibilidad y podemosencontrar las reacciones. La solucin se presentar en clase.

* =


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Donde simplemente volvemos a expresar las rigideces de loselementos en forma matricial.

De aqu se pueden encontrar los momentos de empotramientoperfecto en funcin de los giros de extremo de los elementosestticos.

Estos momentos de empotramiento se denominan MEP y son

caractersticos para cada tipo de carga.

En el estado en que estamos tenemos ya unas ecuaciones derelacin fuerza desplazamiento resueltas en funcin de los giros deextremo de los elementos y unas ecuaciones de MEP.

Los pasos del mtodo de rigidez vistos contemplan plantear lasecuaciones de equilibrio en los nudos en la direccin de los gradosde libertad libres, plantear las ecuaciones de compatibilidad dondese expresan los desplazamientos de los elementos en funcin de losdesplazamientos de los grados de libertad libres de toda la

estructura y plantear las ecuaciones de relacin fuerzadesplazamiento.

Una vez tenidas estas ecuaciones se debe expresar la fuerzas de loselementos en funcin de de los desplazamientos de los grados delibertad libres y pasar a reemplazarlas en las de equilibrio.

Lo que vamos a hacer es considerar un elemento totalmenteempotrado, a este elemento le conocemos F=k y tambin los MEP.Podemos decir que los momentos totales de extremo estn dadospor:

+ - + MEP

Esta ecuacin se puede interpretar que se parte de elementostotalmente empotrados y se irn soltando sus grados de libertad de


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los extremos y se modifican sus momentos de extremos por estosdesplazamientos o giros.

Lo mismo se puede expresar en el extremo B.

Conocidos los momentos de extremo de los elementos procedemosa aplicar el equilibrio en los nudos

M= 0= Momentos de los elementos + Momentos aplicadosdirectamente en los nudos.

Esta ecuacin queda definida en funcin de los desplazamientos dela estructura los cuales constituyen las incgnitas a despejar en el

mtodo de la rigidez.

METODO DE RIGIDEZ DIRECTO.

Aunque tambin se le denomina el mtodo de los desplazamientos.Este mtodo est diseado para realizar anlisis computarizado decualquier estructura incluyendo a estructuras estticamente

indeterminadas. El mtodo matricial se basa en estimar loscomponentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas olos desplazamientos mediante un ordenador.

El mtodo de rigidez directa es la implementacin ms comn delmtodo de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez delmaterial son compilados en una nica ecuacin matricial quegobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Losdatos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y losdesplazamientos que pueden ser determinados resolviendo estaecuacin. El mtodo directo de la rigidez es el ms comn en losprogramas de clculo de estructuras (tanto comerciales como defuente libre).

El mtodo directo de la rigidez se origin en el campo de laaeronutica. Los investigadores consiguieron aproximar elcomportamiento estructura de las partes de un avin medianteecuaciones simples pero que requeran grandes tiempos de clculo.
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Aeron%C3%A1uticahttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Aeron%C3%A1utica


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Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empezaron aresolver de forma rpida y sencilla.

El mtodo consiste en asignar a la estructura de barras un objetomatemtico, llamado matriz de rigidez, que relaciona losdesplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura,llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicarpara lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matrizson fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientosgeneralizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodalesequivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura,mediante la siguiente ecuacin:

1)=

Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las

fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; son las

reacciones hiperestticas inicialmente desconocidas sobre la

estructura; los desplazamientos nodales incgnita de la estructuray n el nmero de grados de libertad de la estructura.

La energa de deformacin elstica tambin puede expresarse entrminos de la matriz de rigidez mediante la relacin:

* =

Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidezdebe ser simtrica y por tanto:

DESCRIPCION DEL METODO.
http://es.wikipedia.org/wiki/Grados_de_libertad_(ingenier%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_de_deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Maxwell-Bettihttp://es.wikipedia.org/wiki/Grados_de_libertad_(ingenier%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_de_deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Maxwell-Betti


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El mtodo matricial requiere asignar a cada barra elstica de laestructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez

elemental que depender de sus condiciones de enlace extremo(articulacin, nudo rgido), la forma de la barra (recta, curvada) ylas constantes elsticas del material de la barra (mdulo deelasticidad longitudinal y mdulo de elasticidad transversal). Apartir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmoconocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividadde unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global,que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzasequivalentes sobre los mismos.

Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra seconstruye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que

dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto conestas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reaccionessobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyosvalores son incgnitos).

Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para losdesplazamientos y las incgnitas. El nmero de reaccionesincgnita y desplazamientos incgnita depende del nmero denodos: es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6Npara un problema tridimensional. Este sistema siempre puede serdividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que

cumplen:

Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales delsistema original que slo contienen desplazamientosincgnita.

Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que unavez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en elsubsistema 2 permite encontrar los valores de las reaccionesincgnita.

Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, sesubstituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial deresolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodalesequivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en losnudos o uniones de las barras a partir de los cuales puedenconocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por
http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzos_internoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzos_internos


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tanto sus tensiones mximas, que permiten dimensionaradecuadamente todas las secciones de la estructura.

Matrices de rigidez elementalesPara construir la matriz de rigidez de la estructura es necesarioasignar previamente a cada barra individual (elemento) una matrizde rigidez elemental. Esta matriz depende exclusivamente de:

1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-articulada, barra biarticulada).

2. Las caractersticas de la seccin transversal de la barra: rea,momentos de rea (momentos de inercia de la seccin) y lascaractersticas geomtricas generales como la longitud de labarra, curvatura, etc.

3. El nmero de grados de libertad por nodo, que depende de sise trata de problemas bidimensionales (planos) otridimensionales.

La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes a lasfuerzas aplicadas sobre la barra con los desplazamientos y girossufridos por los extremos de la barra (lo cual a su vez determina ladeformada de la barra).

Barra recta bidimensional de nudos rgidos

Un nudo donde se unen dos barras se llama rgido o empotrado si elngulo formado por las dos barras despus de la deformacin nocambia respecto al ngulo que formaban antes de la deformacin.An estando imposibilitado para cambiar el ngulo entre barras lasdos barras en conjunto, pueden girar respecto al nodo, peromanteniendo el ngulo que forman en su extremo. En la realidadlas uniones rgidas soldadas o atornilladas rgidamente se puedentratar como nudos rgidos. Para barra unida rgidamente en sus dosextremos la matriz de rigidez elemental que representaadecuadamente su comportamiento viene dada por:
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1rea


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Donde:L, A, I son las magnitudes geomtricas (longitud, rea y momentode inercia).E, la constante de elasticidad longitudinal (mdulo de Young).

Alternativamente la matriz de rigidez de una barra biempotradarecta puede escribirse ms abreviadamente, introduciendo laesbeltez mecnica caracterstica:

Donde: es la es esbeltez mecnicacaracterstica.

METODO DE RIGIDEZ, ENFOQUE DEL METODO APLICADOS AMODELOS CONRESORTES.

Podemos determinar la constante de un resorte suspendiendo en l

diferentes masas (que pesan F), y midiendo despus losalargamientos que se producen en cada caso Dx. Para calcular k

aplicamos la ley de Hooke:
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Younghttp://es.wikipedia.org/wiki/Esbeltez_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Younghttp://es.wikipedia.org/wiki/Esbeltez_mec%C3%A1nica


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Al colgar una masa el resorte se estira y despus de una ligeraoscilacin se para.

En estas condiciones estticas se realiza la medida delalargamiento: a la longitud del resorte estirado (l) se le resta la


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longitud inicial (lo). Ambas medidas se realizan desde el punto deamarre del resorte hasta su extremo.

Medimos la longitud inicial del resorte, lo.

Colgamos distintas masas conocidas. Podemos empezar, porejemplo, con 100 g e ir aadiendo masas de 20 en 20g. Medimos encada caso la longitud del resorte estirado, l.

Calculamos el peso de cada masa, (mg) y tenemos en cuenta elpeso del portapesas.

Calculamos en cada caso.

Hallamos K en cada caso aplicando

Tratamiento de datos

1.- Tratamiento analtico

Calcula la K del resorte en cada medida (colgando masasdiferentes).

Una vez obtenidas las dos primeras K, halla el % de la dispersinrespecto a una de ellas. Esto te permite conocer el n de medidasque debes realizar. Los valores de las medidas muy desviadas sedesprecian.

Calcula la media aritmtica de las constantes ("k") halladas.

Calcula las desviaciones absolutas, , as como la desviacin

absoluta media, .
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/medidas_directas.htmhttp://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/medidas_directas.htmhttp://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/medidas_directas.htmhttp://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/medidas_directas.htm


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Expresa el resultado de la medida como:

Recuerda que la imprecisin se da con una sola cifra significativa yesta condiciona el nmero de cifras del valor de la medida. Siquieres repasar el concepto de error pulsa aqu

Halla el error relativo y exprsalo en %: Er % = ( / ) 100

2.- Tratamiento grfico

Lee el ejemplo que va a continuacin y despus realiza laexperiencia con tu resorte haciendo tus propias medidas.

Supongamos que los alargamientos de un resorte, de longitudinicial lo = 70 cm, cuando colgamos distintas masas (2, 6, 10, 15,20gramos), son los siguientes:

(Tomamos g =10 )

medidas m (kg) Fuerzapeso (N)

l ( m) x = l lo

1 0,002 0,02 0,072 0,002

2 0,006 0,06 0,0761 0,0061

3 0,010 0,1 0,0799 0,0099

4 0,015 0,15 0,0849 0,0149

5 0,020 0,20 0,0921 0,0221
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/medidas_indice.htmhttp://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/medidas_indice.htm


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Como puedes saber cuntas masas diferentes debes colocar paraobtener k con el menor error posible?

Ver el nmero de medidas a realizar

Representamos los datos en una grfica con la Fuerza peso en

ordenadas y los alargamientos, , en abscisas

Tericamente los puntos que resultan deberan estar sobre unarecta de pendiente k segn predice la Ley de Hooke, pero loserrores experimentales hacen que queden fuera de ella. Debemos

encontrar una recta que pase por unos puntos que se separen lomenos posible de todos los medidos, que quede lo mas equidistanteposible de todos ellos. Esto es lo que se llama "ajuste de la rectapor el mtodo de mnimos cuadrados".

Una vez hallada la recta se eligen dos puntos bastante separadospara hallar su pendiente. No deben coincidir con los puntos medidosexperimentalmente para que sean puntos de la recta que mas seajusta a todos los medidos.

Pendiente=F

Al trazar la recta por el medio de los puntos obtenidos

experimentalmente lo que haces es promediar los valores (hallar sumedia, pasar lo mas equidistante posible de todos los puntos).

La pendiente de esta recta es m, y en este caso la constante delresorte, k = 9,07 N/m. Redondeando: K= 9 N/m


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En la representacin debes observar si algn valor obtenido sedesva de la media. Si el valor que se desva est cerca del lmite

del alargamiento, puede ser debido a que sobrepasaste el lmite deelasticidad del resorte. En este caso debes despreciar este valor.Los valores que se desvan mucho, deben ser despreciados.

METODO DE LA DISTRIBUCION DE MOMENTOS.

El profesor de estructuras Hardy Cross invent un mtodo iterativopara resolver las ecuaciones de equilibrio en funcin de losdesplazamientos y rotaciones de las ecuaciones pendiente deflexiny facilitar el anlisis de estructuras con varios grados de libertad.

Debido a que este mtodo es una solucin a las ecuaciones delmtodo de pendiente deflexin, tiene las mismas limitaciones deeste:

Se desprecian las deformaciones axiales de los elementos.

Se desprecian las deformaciones por cortante.

Estructuras construidas con materiales elsticos y que no salgan deeste rango.

Deformaciones pequeas.

Adicionalmente el mtodo tiene sus propias limitaciones:

Solo trabaja con las ecuaciones de equilibrio rotacional en los nudos

No da una solucin directa cuando estn involucrados grados delibertad traslacionales.

Se limita a determinar como es la distribucin de los momentos enlos elementos que llegan a un nudo.

No plantea ecuaciones de compatibilidad de deformaciones paragrados de libertad traslacionales.

Sin embargo todas estas limitaciones el mtodo revolucion elanlisis de estructuras en el ao 1930.


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Repasemos un poco los pasos a seguir en el mtodo de la rigidezutilizando las ecuaciones pendiente deflexin:

1. Planteamiento de ecuaciones de equilibrio en los grados delibertad libres

2. Planteamiento de las ecuaciones pendiente deflexin:corresponden a expresar los momentos de extremo de loselementos en funcin de unos momentos de empotramientoperfecto y de los giros y desplazamientos de cada extremodel elemento. La formulacin de estas ecuaciones se hacepartiendo de asumir el elemento empotrado en sus dosextremos y de ir soltando cada grado de libertad y corrigiendoestos momentos por estos posibles movimientos.

3. Se reemplazan las ecuaciones de pendiente deflexin en lasecuaciones de equilibrio y se resuelve para los giros ydesplazamientos.

4. Se encuentran los momentos de extremo en funcin de losgiros y desplazamientos hallados.

Repasemos el mtodo de solucin iterativa de un sistema deecuaciones: se asume que todas las incgnitas menos una soniguales a cero, entonces se encuentra el valor de esta incgnita enuna de las ecuaciones. Este valor se reemplaza en las otras

ecuaciones y se encuentra el valor de las otras incgnitas cuandotodas menos ella y la primera son iguales a cero. Los valoresencontrados representan una primera solucin al sistema deecuaciones planteado. Estos valores vuelven a reemplazarse en laprimera ecuacin para encontrar un nuevo valor de la primeraincgnita, con el cual se vuelven a encontrar las otras incgnitas.En este proceso iterativo los resultados cada vez van difiriendo enmenor cantidad lo que nos indica que nos acercamos a la respuestaque satisface todas las ecuaciones.

Teniendo presente este mtodo iterativo podemos observar que lparte de asumir que todas las incgnitas son cero menos una, ennuestro sistema esto indica que partiendo de elementosempotrados en sus extremos, liberamos un solo grado de libertadde toda la estructura, por ejemplo para una viga de dos luces sinconsiderar posibles desplazamientos relativos, podramos liberar el

giro en b, , y encontramos el valor de ese giro necesario para que


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se cumpla que la suma de momentos en B es cero, esto es, quemomento adicional debo agregar en b para que se produzca un giro

que equilibre el nudo, siempre que y sean iguales a cero

(empotramiento a ese lado).

Al aplicar el momento adicional en B se puede encontrar por medio

de la ecuacin de equilibrio en B, el valor de . Con este valor

puedo encontrar los momentos que se generan en los extremosopuestos de los elementos manteniendo sus giros iguales a cero.En este paso se ha hecho cumplir una de las ecuaciones de

equilibrio ( =0) pero las otras dos ecuaciones no se satisfacen.

Se procede a soltar otro grado de libertad, por ejemplo amanteniendo los otros dos valores iguales a cero. Para satisfacer suecuacin de equilibrio se debe aplicar un momento externo igual yde sentido contrario al momento desequilibrado en ese nudo. Seencuentra el valor del giro debido a este momento y se halla elmomento del elemento en el extremo contrario B. Otra vez sedesequilibr el nudo B. Si analizamos de nuevo la estructura peroesta vez soltando el nudo B sometido al momento contrario algenerado en la segunda iteracin estaramos equilibrando el nudoB.

Este proceso contina hasta que los momentos que tenemos queequilibrar en cada paso se van haciendo menores.

Note que en este proceso cada iteracin es independiente de laanterior y corresponde a una correccin de los momentos finales enlos extremos, por eso y por superposicin los momentos finales


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corresponden a la suma de los momentos generados en cadaiteracin.

Cuando tenemos una estructura con un nudo al cual le llegan variosmiembros el proceso de equilibrio en ese nudo nos lleva a repartirese momento en todos los elementos, esa reparticin se hace deacuerdo con la rigidez a rotacin de cada elemento. Mostraremoscon el siguiente ejemplo la forma en que se reparten los momentosen un nudo.

COEFICIENTE DE RIGIDEZ.

En ingeniera, la rigidez es la capacidad de un objeto ortopdico,slido o elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirirgrandes deformaciones o desplazamientos.

Los coeficientes de rigidez son magnitudes fsicas que cuantifican larigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones decarga. Normalmente las rigideces se calculan como la razn entreuna fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicacinde esa fuerza.

Para barras o vigas se habla as de rigidez axial, rigidez flexional,rigidez torsional o rigidez frente a esfuerzos cortantes, etc.

El comportamiento elstico de una barra o prisma mecnicosometido a pequeas deformaciones est determinado por ocho
http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_internohttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vigahttp://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_internohttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vigahttp://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nico


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coeficientes elsticos. Estos coeficientes elsticos o rigidecesdepende de:

1. La seccin transversal, cuanto ms gruesa sea la seccin msfuerza ser necesaria para deformarla. Eso se refleja en lanecesidad de usar cables ms gruesos para arriostrardebidamente los mstiles de los barcos que son ms largos, oque para hacer vigas ms rgidas se necesiten vigas conmayor seccin y ms grandes.

2. El material del que est fabricada la barra, si se fabrican dosbarras de idnticas dimensiones geomtricas, pero siendouna de acero y la otra de plstico la primera es ms rgidaporque el material tiene mayor mdulo de Young (E).

3. La longitud de la barra elstica (L), fijadas las fuerzas sobreuna barra estas producen deformaciones proporcionales a lasfuerzas y a las dimensiones geomtricas. Como losdesplazamientos, acortamientos o alargamientos sonproporcionales al producto de deformaciones por la longitudde la barra entre dos barras de la misma seccin transversal yfabricada del mismo material, la barra ms larga sufrirmayores desplazamientos y alargamientos, y por tantomostrar menor resistencia absoluta a los cambios en lasdimensiones.

Funcionalmente las rigideces genricamente tienen la forma:

Donde: Si es una magnitud puramente geomtrica dependiente deltamao y forma de la seccin transversal, E es el mdulo de Young,L es la longitud de la barra y i y i son coeficientes adimensionalesdependientes del tipo de rigidez que se est examinando.

Todas estas rigideces intervienen en la matriz de rigidez elementalque representa el comportamiento elstico dentro de unaestructura.
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Younghttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidezhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Younghttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez

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