méthode matricielle des déplacements – concepts de base
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Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base. l'analyse des structures. L'objectif de l'analyse des structures est de déterminer les deux champs inconnus : champ de déplacements et de contraintes pour une structure quelconque. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
M.E.F :
T.Tison 2004
1Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base
l'analyse des structures
L'objectif de l'analyse des structures est de déterminer les deux champs inconnus : champ de déplacements et de contraintes pour une structure quelconque.
On appelle structure, tout système mécanique en équilibre sous l'action de forces de surface ou de volume (en régime élastique).
Structure Mécanisme
Déformations Contraintes (création d'énergie de déformation)
La théorie de l'élasticité permet d'exprimer les relations qu'il existe entre les différents champs inconnus.
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2Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base
Classification des systèmes physiques
Un système physique est caractérisé par un ensemble de variables qui peuvent dépendre des coordonnées d'espace et du temps.
Certaines variables (d) sont connues, d'autres variables (u) sont inconnues
propriétés physiques dimensions du système sollicitations conditions aux limites …
Un modèle mathématique du système permet d'écrire des relations entre u et d en utilisant des lois physiques. Ces relations constituent un système d'équations en u qu'il s'agit de résoudre.
Le nombre de degrés de liberté (d.d.l) du système est le nombre de variables nécessaires pour définir u à un instant t donné.
? déplacements? vitesses? températures? contraintes? …
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T.Tison 2004
3Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base
Le système est dit :
discret si il possède un nombre fini de degrés de liberté,
continu si il possède un nombre infini de degrés de liberté.
L'analyse d'une structure (qu'il s'agisse d'un système discret ou continu) peut-être menée de la façon suivante :
1- Idéalisation du système pour le rendre analysable (discrétisation)
2- Formulation des équations constitutives (équations d'équilibre)
3- Résolution des équations
4- Interprétation des résultats
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4Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base
Pour certains problèmes, la première étape (idéalisation) est (presque) évidente.
Hangar construit à partir d’éléments préfabriqués
en béton armé pour l’aviation italienne, 1940
Centre Georges Pompidou à Paris, 1977
Théâtre national de Mannheim, 1953
Structure réelle Structure discrétisée
Le comportement du système discret est représenté par un système d'équations algébriques. Résolution exacte (au sens de la discrétisation)
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5Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base
Pour d'autres structures, l'idéalisation n'est pas aussi immédiate (assemblage de plaques ou de coques. On est alors amené à exploiter des techniques d'approximation appropriées. Dans le cas de la M.E.F, le modèle est basé sur une subdivision du domaine continu en sous domaines de formes géométriques simples appelés éléments. Les éléments sont interconnectés entre eux par des points appelés nœuds.
Structure réelle
Structure discrétisée
élémentnœud
Transformation des équations pour obtenir un système d'équations algébriques solution approchée
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6Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base
Démarche d'analyse d'un système discret (méth. matricielle des déplacements)
IdéalisationIdéalisation
Ecriture des équations d'équilibre pour chaque élément en fonction des
déplacements
Ecriture des équations d'équilibre pour chaque élément en fonction des
déplacements
Assemblage des caractéristiques
élémentaires
Assemblage des caractéristiques
élémentaires
Calcul de la solutionCalcul de la solution
Calcul élémentaire
Calcul global
Cette étape est menée en utilisant des conditions de continuité des déplacements et d'équilibre des forces aux nœuds des éléments
étape 1
étape 2
étape 3
étape 4
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7Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1
Analyse statique d'un système constitué de 3 chariots rigides
1 2 3
k1
k2
k3
k4
k5
P1 P2 P3
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8Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1
Etape 1 : idéalisation
k2
k3
k4
k5k1
P1 u1 P2 u2 P3 u3
1 2 3
Bilan : 3 nœuds 3 ddl : 1 ddl/nœud (u1,u2,u3) 5 éléments
Système de 3 équations à 3
inconnues
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9Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1
Etape 2 : Ecriture des équations d'équilibre pour chaque élément
Elément n°1
k1
F1(1) u1
(1)
1 k1u1(1)=F1
(1)
Ui(j), Fi
(j) n° élément
n° nœud
Elément n°2
k2
21
F2(2) u2
(2)F1(2) u1
(2)
/ u1 k2u1(2) - k2u2
(2) = F1(2)
/ u2 k2u2(2) - k2u1
(2) = F2(2)
ou sous forme matricielle :
)2(
2
)2(1
)2(2
)2(1
2 11
11
F
F
u
uk
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10Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1
Elément n°3
k3
21
F2(3) u2
(3)F1(3) u1
(3)
)3(
2
)3(1
)3(2
)3(1
3 11
11
F
F
u
uk
Elément n°4
k4
31
F3(4) u3
(4)F1(4) u1
(4)
Elément n°5
k5
32
F3(5) u3
(5)F2(5) u2
(5)
)4(
3
)4(1
)4(3
)4(1
4 11
11
F
F
u
uk
)5(
3
)5(2
)5(3
)5(2
5 11
11
F
F
u
uk
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11Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1
Etape 3 : Assemblage des caractéristiques élémentaires
k2
k3
k4
k5k1
P1 u1 P2 u2 P3 u3
1 2 3
F1(1) F1
(2)
F1(3) F1
(4)
F2(2) F2
(3)
F2(5)
F3(4) F3
(5)
1.Equilibre des forces aux nœuds(équilibre statique de l'ensemble)
3)5(
3)4(
3
2)5(
2)3(
2)2(
2
1)4(
1)3(
1)2(
1)1(
1
PFF
PFFF
PFFFF
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12Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1
En substituant les équations d'équilibre élémentaires
2.Continuité des déplacements :
3)5(
3)4(
3
2)5(
2)3(
2)2(
2
1)4(
1)3(
1)2(
1)1(
1
PFF
PFFF
PFFFF
3)5(
35)5(
25)4(
34)4(
14
2)5(
35)5(
25)3(
23)3(
13)2(
22)2(
12
1)4(
34)4(
14)3(
23)3(
13)2(
22)2(
12)1(
11
Pukukukuk
Pukukukukukuk
Pukukukukukukuk
3)5(
3)4(
3
2)5(
2)3(
2)2(
2
1)4(
1)3(
1)2(
1)1(
1
uuu
uuuu
uuuuu
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13Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1
On obtient donc le système d'équations recherché
3)5(
35)5(
25)4(
34)4(
14
2)5(
35)5(
25)3(
23)3(
13)2(
22)2(
12
1)4(
34)4(
14)3(
23)3(
13)2(
22)2(
12)1(
11
Pukukukuk
Pukukukukukuk
Pukukukukukukuk
33542514
2352532132
13423214321
Pukkukuk
Pukukkkukk
Pukukkukkkk
3
2
1
3
2
1
5454
553232
4324321
P
P
P
u
u
u
kkkk
kkkkkk
kkkkkkk
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14Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1
Autre solution : écriture des matrices élémentaires avec l'ensemble des ddl.
3
2
1
22
22
000
0
0
u
u
u
kk
kk
3
2
1
44
44
0
000
0
u
u
u
kk
kk
3
2
11
000
000
00
u
u
uk
élément 1élément 2
3
2
1
33
33
000
0
0
u
u
u
kk
kk
élément 3élément 4
3
2
1
55
55
0
0
000
u
u
u
kk
kk
élément 5
5454
553232
4324321
kkkk
kkkkkk
kkkkkkk
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15Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1
Dans ce cas, on obtient la matrice de rigidité globale à partir de l'expression :
5
1
)(
e
eG KK
matrice de rigidité élémentairetenant compte de la connectivité
Cette expression est valable quel que soit le problème et le nombre d'éléments (à condition de travailler avec des ddl compatibles au niveau des matrices de rigidité élémentaires)
Etape 4 : Résolution du problème
Les rigidités et les forces externes étant connues, il suffit de résoudre le système linéaire obtenu.Remarque : lorsque les déplacements sont connus, on peut éventuellement calculer les efforts internes à partir des équations d'équilibre élémentaires.
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16Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2
Analyse d'un élément de tuyauterie
L 2L
0.5L
La tuyauterie doit être capable de résister à une charge importante P lorsque celle-ci est appliquée accidentellement.
Analysez le problème
p
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17Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2
Etude simplifiée : on s'intéresse au calcul du déplacement transverse au point d'application de la force. Cette force est supposée quasi-statique.
modélisation par des éléments de type poutre / barre / ressort. analyse statique.
Etape 1 : idéalisation
L 2L
0.5L
e1 : E I e2 : 8E I e3 : kt
e4 : E S
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18Méthode matricielle des déplacements – Matrices élémentaires
Matrice de rigidité élémentaire d'une barre en traction - compression dans le plan
E:module d'Young (N/m2) – S:section (m2) – L:longueur(m)
Matrice de rigidité élémentaire d'une poutre en flexion dans le plan (type Bernoulli : pas de cisaillement transverse)
E:module d'Young (N/m2) – I:inertie de flexion (m4) – L:longueur(m)
11
11
L
ESK
j
i
u
uU
vii
vjjE, I
L x
y
22
22
3
4626
612612
2646
612612
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIK
j
j
i
i
v
v
U
ui ujE, S
L x
y
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T.Tison 2004
19Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2
Le modèle devient :
u1u2u3u4 u5u6
u7
1 2 3
4
Bilan :4 éléments : 2 poutres, 1 ressort de torsion, 1 barre4 nœuds7 ddl
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20Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2
Etape 2 : Ecriture des matrices de rigidité élémentaires pour chaque élément
Elément 1 : poutre – (EI,L)
22
22
3)1(
4626
612612
2646
612612
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIK
4
3
2
1
)1(
u
u
u
u
U
Elément 2 : poutre – (8EI,2L)
22
22
3)2(
1612812
12121212
8121612
12121212
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIK
6
5
4
3
)2(
u
u
u
u
U
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21Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2
Etape 2 : Ecriture des matrices de rigidité élémentaires pour chaque élément (suite)
Elément 3 : ressort de torsion – (kt)
tkK )3( 6)3( uU
Elément 4 : barre – (E,S,0.5L)
22
22)4( L
ESK
7
5)4( u
uU
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22Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2
Etape 3 : Assemblage des matrices élémentaires
L
ES
L
ES
kL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
ES
L
EI
L
ES
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
K
t
G
20
20000
01612812
00
212212121200
081220626
01212624612
0002646
000612612
22
2323
222
232223
22
2323
7654321 uuuuuuuU TG
4
1)(
eeG KK
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T.Tison 2004
23Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2
Etape 4 : Résolution du problème
La solution est obtenue en résolvant le système d'équations linéaires :
avec
après avoir appliqué les conditions aux limites (conditions de déplacements imposés) :
u1u2u3u4 u5u6
u7
1 2 3
4
GGG PUK
000000
7654321
PP
uuuuuuuUTG
TG
0721 uuu
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24Méthode matricielle des déplacements – Propriétés matrice K
On appelle matrice de rigidité d'une structure, la matrice K permettant d'exprimer l'énergie de déformation sous une forme quadratique des déplacements.
Les valeurs propres de la matrice de rigidité sont obtenues en résolvant le problème :
On peut écrire :
i : ième valeur proprei : ième vecteur propre
si i est tel que :
Les valeurs propres d'une matrice de rigidité représentent à un coefficient près l'énergie de déformation mise en jeu par les modes de déformation propres de la structure.
KUUE Tdef
2
1
iiiK
iTi
iTi
i
K
defiTii EK 2
1 iTi
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T.Tison 2004
25Méthode matricielle des déplacements – Propriétés matrice K
Cas des structures libres (ou avec mécanisme)
Dans ce cas, il existe un certain nombre (3 pour les problèmes 2D, 6 pour les problèmes 3D) de valeurs propres nulles. Elles correspondent à des modes de déplacement d'ensemble pour lesquels l'énergie de déformation est nulle.On les appelle des modes de corps rigide ou modes rigides.
La matrice de rigidité d'une structure libre est donc semi définie positive
Exemple : barre en traction - compression0det
L
ES
L
ESL
ES
L
ES
mode de corps rigide mode de compression pure
1
1 0
1-
1
2
L
ES
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26Méthode matricielle des déplacements – Conditions sur U
Prise en compte des conditions de déplacements imposés, 3 possibilités :
Méthode de pénalisationMéthode de pénalisation
Multiplicateurs de Lagrange
Multiplicateurs de Lagrange
Méthode de la partitionMéthode de la partition
application d'un "poids" numérique sur lescoefficients de la matrice de rigidité
Le système d'équation (KU=P) est complété par des équations de contrainte
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27Méthode matricielle des déplacements – Méthode de partition
Principe :
Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés. On obtient un système de la forme :
Le vecteur des déplacements est décomposé (partition) suivant :
On applique cette partition sur le vecteur chargement et la matrice de rigidité
: déplacements libres (inconnus)
: déplacements imposés (connus)
: forces correspondant aux déplacements libres (connues)
: forces correspondant aux déplacements imposés (inconnues) réactions
GGG FUK
b
aG U
UU
b
aG F
FF
bbba
abaaG KK
KKK
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28
En développant les équations d'équilibre, on obtient :
Le premier système d'équations permet d'obtenir les déplacements libres (Ua) :
Les déplacements libres étant connus, on obtient les réactions avec le second système d'équations :
Cas particulier : TOUS les déplacements imposés sont nuls (Ub=0)
Méthode matricielle des déplacements – Méthode de partition
ou
RUKUK
FUKUK
bbbaba
ababaaa
ou
RF
F
U
U
KK
KK
b
a
b
a
bbba
abaa
babaaaa UKFUK babaaaa UKFKU 1
bbbaba UKUKR
aaaa FUK aaaa FKU 1 abaUKR
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29Méthode matricielle des déplacements – Application partition
Illustration sur une structure de type "poutre en flexion"
Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés.
On utilise le modèle :
Bilan :
1 élément "poutre en flexion"2 nœuds avec 2 ddl/nœud4 ddl
L
E,I
P
1 2
1v1 v2
12
2
2
1
1
v
v
UG
2
2
1
1
M
F
M
F
FG
M.E.F :
T.Tison 2004
30Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1
12 6L -12 6L
6L 4L2 -6L 2L2
-12 -6L 12 -6L
6L 2L2 -6L 4L22
2
1
1
v
v
3L
EIKG
Assemblage de la matrice de rigidité globale : 1 élément immédiat
Partition entre déplacements libres (Ua) et déplacements imposés (Ub).
Partition du vecteur second membre en efforts appliqués et réactions.
v1 v2
1 2
P
2
2
v
U a
0
0
1
1
v
Ub
02
2 -P
M
FFa
1
1
M
FRFb
M.E.F :
T.Tison 2004
31Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1
Partition de la matrice de rigidité globale
12 6L -12 6L
6L 4L2 -6L 2L2
-12 -6L 12 -6L
6L 2L2 -6L 4L2
2v
1v
2
13L
EIKG
2v1v 21
Kaa Kab
Kba Kbb
KG
12 6L
6L 4L2
-12 6L
-6L 2L2
-12 -6L
6L 2L2
12 -6L
-6L 4L2
2v
1v
2
1
3L
EIKG
2v 1v2 1
M.E.F :
T.Tison 2004
32Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1
Calcul des déplacements libres (ici tous les déplacements imposés sont nuls)
aaaa FUK
12
-6L
-6L
4L2
0
-P
2
2
v
3L
EI
Calcul des réactions.
abaUKR
3L
EI
0126
64
12
1 2
2
3
2
2 -P
L
LL
LEI
Lv
EI
-PLEI
-PLv
2
32
3
2
2
EI
-PLEI
-PL
2
32
3
-12 6L
-6L 2L2
1
1
M
FR
PL
P
M
FL
LL
L
L
P
M
F
1
12
1
1
2
13
26
612
M.E.F :
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33Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1
Vérification des résultats
Visualisation des résultats
Efforts Moments
0 PP
action réaction
0 PLPL
action réaction
P
EI
PL
3
3
EI
PL
2
2
0
0
1
1
v
DéplacementsEffort tranchant
Moment fléchissant
-PP
0PL
M.E.F :
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34Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2
L
E,IM
LStructure de type "poutre en flexion"
1 2 3
1 2v1 v2 v3
1 2 3
Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés.
On utilise le modèle :
Bilan :
2 éléments "poutre en flexion"3 nœuds avec 2 ddl/nœud6 ddl
3
3
2
2
1
1
v
v
v
UG
3
3
2
2
1
1
M
F
M
F
M
F
FG
M.E.F :
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35Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2
Assemblage de la matrice de rigidité globale :
1 2 3
1 2v1 v2 v3
1 2 3
12 6L -12 6L
6L 4L2 -6L 2L2
-12 -6L 24 0
6L 2L2 0 8L2
0 0 -12 -6L
0 0 6L 2L2
0 0
0 0
-12 6L
-6L 2L2
12 -6L
-6L 4L23
3
2
2
1
1
v
v
v
3L
EIKG
12 6L -12 6L
6L 4L2 -6L 2L2
-12 -6L 12 -6L
6L 2L2 -6L 4L22
2
1
1
v
v
3L
EIK (1)
12 6L -12 6L
6L 4L2 -6L 2L2
-12 -6L 12 -6L
6L 2L2 -6L 4L23
3
2
2
v
v
3L
EIK (2)
M.E.F :
T.Tison 2004
36Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2
Partition entre déplacements libres (Ua) et déplacements imposés (Ub).
v1 v2 v3
1 2 3
3
2
aU
0
0
0
0
3
2
1
1
v
v
v
Ub
Partition du vecteur second membre en efforts appliqués et réactions.
3
3
2
2
1
1
v
v
v
UG
3
3
2
2
1
1
M
F
M
F
M
F
FG
MM
MFa
0
3
2
3
2
1
1
F
F
M
F
RFb
M.E.F :
T.Tison 2004
37Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2
Et finalement, partition de la matrice de rigidité globale.
Kaa Kab
Kba Kbb
KG
0 0 -12
12 6L -12
6L 4L2 -6L
-12 -6L 24
0
0
-12
12
6L
2L2
0
-6L
0
0
6L
-6L
6L 2L2 0
0 0 6L
-6L
-6L
8L2
2L2
2L2
4L2
32
3v2v
1v
1
32 3v2v1v 1
12 6L -12 6L
6L 4L2 -6L 2L2
-12 -6L 24 0
6L 2L2 0 8L2
0 0 -12 -6L
0 0 6L 2L2
0 0
0 0
-12 6L
-6L 2L2
12 -6L
-6L 4L2
3v
2v
1v
3
2
1
3v2v1v 321
3L
EIKG
3L
EIKG
M.E.F :
T.Tison 2004
38Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2
Calcul des déplacements libres (tous les déplacements imposés sont nuls).
aaaa FUK
8L2
2L2
2L2
4L2
4
1
1
2
M
0
3
2
3L
EI
L
2EI
M
0
3
2
4
1
143
2
EI
ML
Calcul des réactions.
6L
2L2
0
-6L
0
0
6L
-6L
abaUKR
3L
EI
3
2
1
1
F
F
M
F
R
4
1
14EI
ML
9
12
3
7
3
2
1
1
L
L
M
F
F
M
F
M.E.F :
T.Tison 2004
39Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2
07
18
7
12
72 321
MMMM
MLFLFM
Réactions Action
F3
Visualisation des résultats (déplacements)
Vérification des résultats
9
12
3
7
3
2
1
1
L
L
M
F
F
M
F
On peut vérifier, pour les forces et les moments que :
RéactionsAction
00321 FFF
4
1
143
2
EI
ML
-M7
F1
F2
M
M
7EI
2ML
14EI
-ML
M.E.F :
T.Tison 2004
40Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2
Visualisation des résultats (diagrammes)
Effort Tranchant
Moment Fléchissant
F1
F2
F39M7L
-3M7L
M-M7
F1
F2
F3
2M7
-M
9
12
3
7
3
2
1
1
L
L
M
F
F
M
F
M.E.F :
T.Tison 2004
41Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices
L'objectif est d'établir la matrice de rigidité élémentaire d'un élément lorsque son orientation est différente de celle définie dans le repère de référence. La démarche est illustrée sur un élément de type barre.
Dans le repère local R1, la matrice de rigidité de l'élément est donnée par :
x*
ui* uj
*
On souhaite formuler la matrice de rigidité de cet élément dans le cas où la barre à une orientation quelconque dans le plan (repère global R2)
x*
x
y
ui*
ui
vi
uj*
uj
vj
11
111 L
ESKR
j
i
u
uU *
?2
RK
j
j
i
i
v
uv
u
U
M.E.F :
T.Tison 2004
42Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices
On peut écrire les relations entre les déplacements dans les 2 systèmes d'axes par :
ou encore sous forme matricielle :
x*
x
y
ui*
ui
vi
uj*
uj
vj
U* = T U
Dans le repère local, l'énergie de déformation est donnée par :
Dans le repère global, l'énergie (identique) est donnée par :
sincos
sincos*
*
jjj
iii
vuu
vuu
j
j
i
i
j
i
v
u
v
u
u
u
sincos00
00sincos*
*
**
12
1UKUE R
tp
UKUE Rt
p 22
1
M.E.F :
T.Tison 2004
43Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices
En substituant l'expression de U* en fonction de U dans
Expression que l'on compare à
On en déduit TKTK Rt
R 12
ttt TUU * TUU *
**
12
1UKUE R
tp
TUKTUE Rtt
p 12
1
UKUE Rt
p 22
1
M.E.F :
T.Tison 2004
44Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices
Pour l'élément barre, on obtient :
ou encore :
avec
x
y
ui
vi
uj
vj
Attention : pas de ddl de rotation donc liaison pivot aux nœuds implicite
11
111 L
ESKR
sincos00
00sincosT
22
22
22
22
sinsincossinsincos
sincoscossincoscos
sinsincossinsincos
sincoscossincoscos
L
ESK
j
j
i
i
v
uv
u
U
AA
AA
L
ESK
2
2
sinsincos
sincoscosA
M.E.F :
T.Tison 2004
45Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
On considère le treillis plan représenté ci-dessous. Il est modélisé par des éléments de type "barre". Les caractéristiques matérielles sont identiques pour toutes les barres (E, S). Les nœuds 1 et 2 sont encastrés.
1. Établir la matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements sans tenir compte de la barre n°4
2. Calculer le déterminant de cette matrice, conclusions.3. Calculer et représenter la déformée de la structure complète (barre
4 prise en compte).4. Calculer et représenter les réactions aux encastrements.5. Calculer les contraintes dans chaque élément.
45°
1 4
2 3
barre 1
barre 4
barre 3
barre 2
X
Y
04
33
302
001
L
LL
L
YXNoeuds
M.E.F :
T.Tison 2004
46Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
Calcul des matrices de rigidité élémentaires
4
4
1
1
)1()1(
0000
0101
0000
0101
v
u
v
u
UL
ESK
4
4
3
3
)2()2(
3030
0000
3030
0000
v
u
v
u
UL
ESK
Élément 1 : L,S,E,0 Élément 2 : 3L,S,E,90
3
3
2
2
)3()3(
0000
0101
0000
0101
v
u
v
u
UL
ESK
Élément 3 : L,S,E,0
3
3
1
1
)4()4(
3333
333333
3333
333333
8
v
u
v
u
UL
ESK
Élément 4 : 3L2,S,E,30
1 4
2 3
1
4
3
2
M.E.F :
T.Tison 2004
47Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
Matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements (SANS barre n°4)
4
4
3
3
v
u
v
u
U a
0
0
0
0
2
2
1
1
v
u
v
u
Ubddl imposés : ddl libres :
3030
0100
3030
0001
L
ESKaa
003
103
30
013det
L
ESKaa
La structure n'est pas statiquement stable (présence de pivots implicites aux nœuds). La représentation devrait être :
1 4
2 3
1
3
2
M.E.F :
T.Tison 2004
48Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
Matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements (AVEC barre n°4)
4
4
3
3
a
v
u
v
u
U
0
0
0
0
v
u
v
u
U
2
2
1
1
bddl imposés : ddl libres :
1 4
2 3
1
4
3
2
45°
0
0
707.0
707.0
0
02
22
2
PPFa
73.1073.10
0100
73.1095.138.0
0038.065.1
3030
0100
308
33
8
3
008
3
8
331
L
ES
L
ESKaa
M.E.F :
T.Tison 2004
49Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
La résolution du système linéaire donne les déplacements recherchés
33
3
34
4
04.8
52.0
0
uvES
PLu
vv
u
0
0
707.0
707.0
73.1073.10
0100
73.1095.138.0
0038.065.1
4
4
3
3
P
v
u
v
u
L
ES
aaaa FUK
16.4
0
16.4
52.0
3
4
3
3
ES
PL
v
u
v
u
M.E.F :
T.Tison 2004
50Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
nœuds 1- 4
nœuds 2- 3
nœuds 1- 3
0000
0101
0000
0101
)1(
L
ESK
0000
0101
0000
0101
)3(
L
ESK
3333
333333
3333
333333
8)4(
L
ESK
0000
0001
008
3
8
3
018
3
8
33
L
ESKba
Calcul des réactions aux encastrements
abaUKR
4v4u3v3u
2v
2u
1v
1u
M.E.F :
T.Tison 2004
51Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
La résolution R=KbaUa donne :
0
52.0
71.0
22.1
16.4
0
16.4
52.0
0000
0001
0022.038.0
0138.065.0
2
2
1
1
PES
PL
L
ES
R
R
R
R
R
y
x
y
x
02
252.022.1 PPP forces suivant x
02
271.0 PP forces suivant y
(aux erreurs d'arrondi près)
Vérification
M.E.F :
T.Tison 2004
52Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
Calcul des contraintes
D'après la théorie de l'élasticité, on sait que et D31;31
2
1
jii
j
j
iij x
U
x
U
Dans le cas de la barre, on a : D=E et x
xUxx
La déformation locale étant identique sur toute la longueur de la barre, on peut l'assimiler à la déformation moyenne soit :
L
uu ijxx
** Dans le repère local : où sous forme matricielle :
*
*
111
j
ixx u
u
L
Dans le repère global :
j
j
i
i
j
i
v
u
v
u
u
u
sincos00
00sincos*
*
j
j
i
i
v
u
v
u
sincossincos1
xx L
M.E.F :
T.Tison 2004
53Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
Élément 1 :
ES
PLvuvuLSE
16.4000,,,,0 4411
0
16.4
0
0
0
01011
ES
P
Élément 2 :
ES
PLvu
ES
PLv
ES
PLuLSE
16.40
16.452.0,
3,,,90 4433
0
16.4
0
16.4
52.0
10102
ES
P
01
02
M.E.F :
T.Tison 2004
54Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
Élément 3 :
Élément 4 :
ES
PLv
ES
PLuvuLSE
16.452.000,,,,0 3322
52.0
16.4
52.0
0
0
01013
ES
P
ES
P
ES
PLv
ES
PLuvuLSE
16.452.000,
32,,,30 3311
63.1
16.4
52.0
0
0
2
1
2
3
2
1
2
34
ES
P
ES
P
S
52.03 P
63.14
S
P
M.E.F :
T.Tison 2004
55Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
Visualisation des résultats : déformée et réactions
-4.16
-4.16
0.52
1.22
0.71
-0.52
1
2
4
3
16.4
0
16.4
52.0
4
4
3
3
ES
PL
v
u
v
u
0
52.0
71.0
22.1
2
2
1
1
P
R
R
R
R
y
x
y
x
M.E.F :
T.Tison 2004
56Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse
Visualisation des résultats : contraintes
63.1
52.0
0
0
4
3
2
1
S
P
1
2
3
4