metódy numerickej matematiky ifyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska1.pdfnumerická...

Úvodná prednáška

Metódy numerickej matematiky I

Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207


OBSAH

1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie

2. Zdroje a typy chýb

3. Definície chýb

4. Zaokrúhľovanie, šírenie chýb pri výpočte

5. Reprezentácia čísel

6. Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov

7. Niečo z funkcionálnej analýzy

Sylabus

• Chyby a ich šírenie, reprezentácia čísel a presnosť výpočtu, algoritmy a konvergencia.

• Riešenie nelineárnych rovníc g(x)=0, separácia koreňov, metóda bisekcie, regula falsi, Newtonova metóda a metóda pevného bodu, Aitken a Steffensen metódy.

• Numerické metódy na riešenie sústav rovníc,nájdenie determinantu a inverznej matice,LU-rozklad matice, singulárny rozklad,Jacobiho, Gaussova-Jacobiho metóda, Choleského algoritmus, QR algoritmus,iteračné metódy, metóda najrýchlejšieho spádu.Vybrané algoritmy pre pásové matice,pre riedke matice a pre špeciálne blokové matice.

Sylabus

• Gradientné metódy riešenia lineárnych sústav (metódy Krylovových podpriestorov). Význam preconditioningu. Odhady chýb.

• Interpolácia a aproximácia, Lagrangeov, Newtonov a Chebyshevov interpolačný polynóm.

• Metóda najmenších štvorcov

• Interpolácia pomocou kubických splinov, Beziérove krivky a B-Spline krivky.

Úvod

Pri riešení reálnych problémov sa stretávame s potrebou popísať skutočnosť

pomocou vierohodného matematického modelu a ten potom uspokojivo vyriešiť.

V súčasnosti je prirodzené použiť na riešenie matematického modelu

výpočtovú techniku. Počítače pracujú veľmi rýchlo

s informáciami kódovanými pomocou čísel.

Numerická matematika je vedecká disciplína,ktorá vyvíja a analyzuje metódy,

ktorých podstatou je manipulácia s číslami.

Úvod

Numerická úloha

je jasný a jednoznačný opis funkčného vzťahu

medzi konečným počtom vstupných a výstupných údajov

Algoritmus numerickej úlohy

je jasná a jednoznačná špecifikácia konečnej postupnosti operácii,

prostredníctvom ktorej sa m-tici čísel z určitej množiny vstupných údajov

jednoznačne priraďuje n-tica výsledkov.

Pre- a post-processing


OBSAH



3. Definície chýb





Zdroje a typy chýb

Ľudské chyby

Chyba matematického modelu

rozdiel medzi riešením matematického (často idealizovaného) problému

a riešením reálneho problému

Príklad: Výpočet povrchu Zeme pomocou vzorca S= 4 π r 2

Chyby vstupných dát

spôsobené nepresnosťami pri meraní fyzikálnych veličín

Zdroje a typy chýb

Chyby numerickej metódy

Vznikajú pri náhrade pôvodnej matematickej úlohy

jednoduchšou úlohou numerickou. Odhad tejto chyby

je dôležitou súčasťou riešenia numerickej úlohy.

Zdroje a typy chýb





Príklad: Výpočet hodnoty funkcie sin x pre x=1 sčítaním konečného počtu členov Taylorovho rozvoja

3 5 7 9 2 1sin 1

3! 5! 7! 9! 2 1 !

nnx x x x xx x

n

Zdroje a typy chýb





Príklad: Výpočet hodnoty funkcie sin x pre x=1 sčítaním konečného počtu členov Taylorovho rozvoja

Je známe, že sčítaním prvých n členov postupnosti sa dopustíme chyby veľkosti najviac

3 5 7 9 2 1sin 1

3! 5! 7! 9! 2 1 !

nnx x x x xx x

n

1/ 2 1 !n

Zdroje a typy chýb

Zaokrúhľovacie chyby

Pri výpočtoch pracujeme s číslami zaokrúhlenými na určitý počet miest.

Tieto chyby sa môžu pri výpočte kumulovať alebo aj navzájom rušiť.

Príklad: Číslo π nevieme do počítača vložiť presne. Rovnako aj výsledok operácie 2/3 nebude v počítači

presný.

Pri riešení reálneho problému sa obvykle vyskytujú

všetky chyby súčasne.


OBSAH



3. Definície chýb





Definície chýb

Nech x je presná hodnota nejakého čísla a je jej aproximácia.

nazývame absolútna chyba aproximácie.

x x x∆

x

Definície chýb

Nech x je presná hodnota nejakého čísla a je jej aproximácia.

nazývame absolútna chyba aproximácie.

Relatívna chyba

x x x∆

x x xx x

∆

x

Definície chýb

Odhad chýb

Každé nezáporné číslo , pre ktoré platí

t.j.

nazývame odhad absolútnej chyby.

x ε∆

x x xε ε

ε

Definície chýb

Odhad chýb


t.j.



nazývame odhad relatívnej chyby.

x ε∆

x x xε ε

xx

δ∆

ε

δ

Definície chýb

Odhad chýb


t.j.



nazývame odhad relatívnej chyby.

Často používame zápisy

x ε∆

x x ε

x x xε ε

xx

δ∆

1x x δ

ε

δ

Definície chýb

Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie ,

keď presné hodnoty nahradíme približnými hodnotami .

1 2, ,..., nf x x x fix

i i ix x x∆

Definície chýb



1 2, ,..., nf x x x fix

i i ix x x∆

2

1 , 1

x x1x .2

n n

i i ji i ji i j

f ff x f x x x

x x x∆ ∆ ∆

Definície chýb



1 2, ,..., nf x x x fix

i i ix x x∆

2

1 , 1

x x1x .2

n n

i i ji i ji i j

f ff x f x x x

x x x∆ ∆ ∆

Ak považujeme súčiny chýb za maléi jx x∆ ∆

Definície chýb



1 2, ,..., nf x x x fix

i i ix x x∆

1

xx

n

iii

ff x f x

x∆

Ak považujeme súčiny chýb za maléi jx x∆ ∆

Definície chýb



1 2, ,..., nf x x x fix

i i ix x x∆

Ak považujeme súčiny chýb za malé, máme pre absolútnu chybui jx x∆ ∆

1

xx : x x

n

iii

ff f f x

x∆ ∆

1

xx

n

iii

ff x f x

x∆

Definície chýb



1 2, ,..., nf x x x fix

i i ix x x∆

Ak považujeme súčiny chýb za malé, máme pre absolútnu chybui jx x∆ ∆

1 1

x xx : x x

n n

i ii ii i

f ff f f x x

x x∆ ∆ ∆

(1)

1

xx

n

iii

ff x f x

x∆

Definície chýb

A pre relatívnu chybu

1

x xx x

ni i

i ii

f fx xf f x x∆ ∆

Definície chýb

A pre relatívnu chybu

1 1

x x x.

x x x

n ni i i i

i i i ii i

f f fx x x xf f x x f x x∆ ∆ ∆

Pri praktických odhadoch sa hodnota funkcie a hodnoty deriváciípočítajú v bode .x

(2)

Chyby základných aritmetických operácií

Nech . ,f x y x y


Nech .

Potom pomocou vzťahov (1) a (2) dostaneme absolútnu a relatívnu chybu súčtu a rozdielu

,f x y x y

x y x y∆ ∆ ∆ x y x x y yx y x y x x y y

∆ ∆ ∆


Nech .

Potom pomocou vzťahov (1) a (2) dostaneme absolútnu a relatívnu chybu súčtu a rozdielu

,f x y x y

x y x y∆ ∆ ∆ x y x x y yx y x y x x y y

∆ ∆ ∆

Relatívna chyba súčtu alebo rozdielu môže byť výrazne väčšia než relatívne chyby operandov v prípade, keď

je podstatne menšie než alebo .x y x y


Nech .

Potom absolútna a relatívna chyba podielu

, /f x y x y

21x xx y

y y y∆ ∆ ∆

//

x y x yx y x y

∆ ∆ ∆

Nech .

Potom absolútna a relatívna chyba súčinu

,f x y xy

xy y x x y∆ ∆ ∆ xy x yxy x y

∆ ∆ ∆


OBSAH



3. Definície chýb





Zaokrúhľovanie

Nech je aproximácia čísla , ktorú zapíšeme v dekadickom vyjadreníx

1 11 2 110 10 10 , 0.

e e e kkx d d d d

x

Zaokrúhľovanie

Nech je aproximácia čísla , ktorú zapíšeme v dekadickom vyjadrení

Hovoríme, že k-tá dekadická cifra je platná ak

t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu príslušného nasledujúcej cifre.

x

1 11 2 110 10 10 , 0.

e e e kkx d d d d

kd10,5 10e kx x

x

x x

(3)

Zaokrúhľovanie

Nech je aproximácia čísla , ktorú zapíšeme v dekadickom vyjadrení

Hovoríme, že k-tá dekadická cifra je platná ak

t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu príslušného nasledujúcej cifre.

Ak platí nerovnosť (3) pre , ale pre už neplatí,hovoríme, že má p platných cifier

a je správne zaokrúhlenou hodnotou čísla na p platných cifier.

x

1 11 2 110 10 10 , 0.

e e e kkx d d d d

kd10,5 10e kx x

x

x x

(3)

k p 1k p x

x

Zaokrúhľovanie

Hovoríme, že k-té desatinné miesto je platné ak

t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu nasledujúceho desatinného miesta.

0,5 10 kx x

x x

(4)

Zaokrúhľovanie

Hovoríme, že k-té desatinné miesto je platné ak

t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu nasledujúceho desatinného miesta.

Ak platí nerovnosť (4) pre , ale pre už neplatí,hovoríme, že má p platných desatinných miest.

0,5 10 kx x

x x

(4)

k p 1k p x

Zaokrúhľovanie

Niekoľko príkladov

platné cifry platné desatinné miesta

374 380

-27,6473 -27,598

100,002 99,9973

99,9973 100,002

-0,003728 -0,0041

1,841.10-6 2,5.10-6

xx

Zaokrúhľovanie



374 380 1 -

-27,6473 -27,598

100,002 99,9973

99,9973 100,002

-0,003728 -0,0041

1,841.10-6 2,5.10-6

xx

Zaokrúhľovanie



374 380 1 -

-27,6473 -27,598 3 1

100,002 99,9973

99,9973 100,002

-0,003728 -0,0041

1,841.10-6 2,5.10-6

xx

Zaokrúhľovanie



374 380 1 -

-27,6473 -27,598 3 1

100,002 99,9973 4 2

99,9973 100,002

-0,003728 -0,0041

1,841.10-6 2,5.10-6

xx

Zaokrúhľovanie



374 380 1 -

-27,6473 -27,598 3 1

100,002 99,9973 4 2

99,9973 100,002 5 2

-0,003728 -0,0041

1,841.10-6 2,5.10-6

xx

Zaokrúhľovanie



374 380 1 -

-27,6473 -27,598 3 1

100,002 99,9973 4 2

99,9973 100,002 5 2

-0,003728 -0,0041 1 3

1,841.10-6 2,5.10-6

xx

Zaokrúhľovanie



374 380 1 -

-27,6473 -27,598 3 1

100,002 99,9973 4 2

99,9973 100,002 5 2

-0,003728 -0,0041 1 3

1,841.10-6 2,5.10-6 0 5

xx

Šírenie chýb pri výpočte

Pri odčítaní dvoch blízkych čísel dochádza k strate platných cifier



Príklad:

1 1 4 5

1 1 4 5

4.998949 10 , 4.999 10 , 5.10 10 , 1.020 10 ,

5.001848 10 , 5.002 10 , 1.52 10 , 3.039 10

xx x xxyy y y

y

∆∆

∆∆



Príklad:

1 1 4 5

1 1 4 5

4.998949 10 , 4.999 10 , 5.10 10 , 1.020 10 ,

5.001848 10 , 5.002 10 , 1.52 10 , 3.039 10

xx x xxyy y y

y

∆∆

∆∆

potom pre rozdiely dostávame,z y x z y x

2 2 3 22.899 10 , 3 10 , 1.01 10 , 3.484 10zz z zz∆

∆



Príklad:

1 1 4 5

1 1 4 5

4.998949 10 , 4.999 10 , 5.10 10 , 1.020 10 ,

5.001848 10 , 5.002 10 , 1.52 10 , 3.039 10

xx x xxyy y y

y

∆∆

∆∆

potom pre rozdiely dostávame,z y x z y x

2 2 3 22.899 10 , 3 10 , 1.01 10 , 3.484 10zz z zz∆

∆

takže má jednu platnú cifru, zatiaľ čo aj majú štyri platné cifry. z x y


Príklad:

5 5 41.3262 5 10 , 6.5347 5 10 , 13.235 5 10x y z

Určte aproximáciu funkcie

absolútnu a relatívnu chybu apočet platných cifier výsledku.

/ ,f xy z


OBSAH



3. Definície chýb





Reprezentácia čísel v počítači

Reálne čísla sú v počítačoch reprezentované v systéme čísel s pohyblivou rádovou čiarkou.

Základná myšlienka je podobnásemilogaritmickému zápisu

(napr. 2,457.105 )

Formálne je možné systém Fnormalizovaných čísel pohyblivej rádovej čiarky

charakterizovať štyrmi celými číslami:


základ číselnej sústavypresnosťrozsah exponentu

βp

,L U

2β 1p

0L U



βp

,L U

2β 1p

0L U

Každé číslo F má tvarkde

x 32

1 2 1,pe

p

dddx m m dββ β β



βp

,L U

2β 1p

0L U


x 32

1 2 1,pe

p


m je normalizovaná mantisa, sú cifry mantisy,

p je počet cifier mantisy aje celočíselný exponent.

0,1,..., 1 , 1, 2,...,id i pβ

,e L U



βp

,L U

2β 1p

0L U


x 32

1 2 1,pe

p


m je normalizovaná mantisa, sú cifry mantisy,

p je počet cifier mantisy aje celočíselný exponent.

Normalizácia mantisy znamená, že pre je

0,1,..., 1 , 1, 2,...,id i pβ

,e L U

10 1.x d


binárna sústavahexadecimálna sústavaosmičková sústavadekadická sústava

2β 16β 8β 10β



2β 16β 8β 10β

Množina F čísel pohyblivej rádovej čiarky je konečná,počet čísel v nej je



2β 16β 8β 10β


12 1 1 1p U Lβ β

pretože môžeme mať dve znamienka,



2β 16β 8β 10β


12 1 1 1p U Lβ β

pretože môžeme mať dve znamienka,možností pre prvú cifru mantisy,1β



2β 16β 8β 10β


12 1 1 1p U Lβ β

pretože môžeme mať dve znamienka,možností pre prvú cifru mantisy,

možností pre ostaných cifier mantisy,1β

β 1p



2β 16β 8β 10β


12 1 1 1p U Lβ β


možností pre ostaných cifier mantisy,možných hodnôt exponentu

1ββ 1p

1U L



2β 16β 8β 10β


12 1 1 1p U Lβ β


možností pre ostaných cifier mantisy,možných hodnôt exponentu a

jednu nulu

1ββ 1p

1U L


Najmenšie kladné číslo v F je číslo UFL (UnderFlow Level)

ktoré má prvú cifru mantisy rovnú jednej, ostatné nulové aexponent je najmenší možný.

,LUFL β

Najväčšie kladné číslo v F je číslo OFL (OverFlow Level)

ktoré má všetky cifry mantisy rovné aexponent je najväčší možný.

1 ,p UOFL β β β 1β


Reálne čísla presne zobraziteľné v systéme F nazývame strojové čísla .


Reálne čísla presne zobraziteľné v systéme F nazývame strojové čísla .

Ostatné čísla musíme aproximovať (zaokrúhliť)„blízkym“ strojovým číslom . fl x


Číslo sa nazýva strojové epsilon alebo tiež strojová presnosť.

1 pmε β



Vlastnosti strojového epsilon

1 pmε β

a) v intervale sú strojové čísla rozmiestnené rovnomerne s krokom ;

1,e eβ β e

mε β




1 pmε β


b) najväčšia možná relatívna chyba,

ktorá vznikne pri aproximácii reálneho čísla v systéme Fnepresiahne ;

1,e eβ β e

mε β

12 mε




1 pmε β


b) najväčšia možná relatívna chyba,

ktorá vznikne pri aproximácii reálneho čísla v systéme Fnepresiahne ;

c) je najväčšie z kladných čísel , pre ktoré

1,e eβ β e

mε β

12 mε

mε ε 121 1.fl ε


Príklad

Preskúmajte, aké čísla môžeme zobraziť

v modelovom binárnom systéme F v prípade,že mantisa má p=4 cifry a exponent e je obmedzený zdola

číslom L=-3 a zhora číslom U=2, t.j.

3 2e

Štandard IEEE

V počítačoch vyvinutých po roku 1985 sa reálne čísla zobrazujú výhradne podľa štandardu IEEE

a to spravidla v týchto presnostiach:

a) Jednoduchá presnosť. Použijú sa 4 bajty, t.j. 32 bitov, z toho 23 bitov pre mantisu, 8 bitov pre exponent a 1 bit pre znamienko manitsy. Pretože mantisa je normalizovaná, pre je . Táto cifra sa neukladá, takže počet cifier manitsy je . Rozsah exponentu je . Strojová presnosť je .Hovoríme, že mantisa má približne 7 dekadických cifier presnosti.

0x 1 1d 24p

126 127e 23 72 1.2 10mε

126 38

23 127 38

2 1.2 10

2 2 2 3.4 10

UFL

OFL

Štandard IEEE

b) Dvojnásobná presnosť. Použije sa 8 bajtov, t.j. 64 bitov, z toho 52 bitov pre mantisu, 11 bitov pre exponent a 1 bit pre znamienko manitsy. Pretože mantisa je normalizovaná, pre je . Táto cifra sa neukladá, takže počet cifier manitsy je . Rozsah exponentu je . Strojová presnosť je .Hovoríme, že mantisa má približne 16 dekadických cifier presnosti.

0x 1 1d 53p

1022 1023e 52 162 2.2 10mε

1022 308

52 1023 308

2 2.2 10

2 2 2 1.8 10

UFL

OFL

Štandard IEEE

Ďalšie binárne reprezentácie v IEEE štandarde:

• INF pre výraz typu +∞ (napr. výsledok operácie 1/0 )

• -INF pre výraz typu -∞ (napr. výsledok operácie -1/0 )

• NAN not a number (napr. výsledok operácie 0/0 )

• UFLs subnormálne čísla, nenulové nenormalizované číslas najmenším možným exponentom

s mUFL UFLε e L

Štandard IEEE

Počítačová aritmetika podľa štandardu IEEE:Výsledok aritmetickej operácie vykonanej v počítači

je rovnaký ako keď operáciu vykonáme presne

a potom získaný výsledok vložíme do počítača

Ak je absolútna hodnota výsledku aritmetickej operácie väčšia ako OFL dochádza k tzv.

pretečeniu (overflow).

Ak je absolútna hodnota výsledku aritmetickej operácie menšia ako UFL (resp. UFLs) dochádza k tzv.

podtečeniu (underflow).


OBSAH



3. Definície chýb





Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov

Pri numerickom riešení rôznych úloh musíme skúmať,aký vplyv na výsledok majú

malé zmeny vo vstupných hodnotácha zaokrúhľovanie počas výpočtu.




Matematickú úlohu je možné chápať ako zobrazenie ,ktoré ku každému vstupnému údaju z množiny vstupných dát

priradí výsledok z množiny výstupných dát.

y f xx D

y R




Matematickú úlohu je možné chápať ako zobrazenie ,ktoré ku každému vstupnému údaju z množiny vstupných dát

priradí výsledok z množiny výstupných dát.

Hovoríme, že matematická úloha

je korektná, keď

y f xx D

y R

, , ,y f x x D y R

1. ku každému vstupu existuje jediné riešenie ,2. toto riešenie závisí spojito na vstupných dátach,

t.j. keď , potom .

x D y R

x a f x f a


Hovoríme, že korektná úloha je dobre podmienená, akmalá zmena vo vstupných dátach

vyvolá malú zmenu riešenia.




Číslo podmienenosti úlohy definujeme akorelatívna chyba na výstuperelatívna chyba na vstupep

C




Číslo podmienenosti úlohy definujeme ako

Ak , je úloha dobre podmienená.

Pre veľké (>100) je úloha zle podmienená.

relatívna chyba na výstuperelatívna chyba na vstupep

C

1pC

pC


Hovoríme, že algoritmus je dobre podmienený, ak je málo citlivý na poruchy vo vstupných dátach.

Ak je vplyv zaokrúhľovacích chýb na výsledok malý, hovoríme o numericky stabilnom algoritme.

Dobre podmienený a numericky stabilný algoritmussa nazýva stabilný.


Príklad:

Odhadnite číslo podmienenosti úlohy:

určiť funkčnú hodnotu (diferencovateľnej) funkcie

ukážte na príklade funkcie

y f x

tanf x x


Príklady:

1. Korene kvadratickej rovnice

2. Výpočet integrálu

2 2 0x bx c

11

0

1,2,...n xnE x e dx n

Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30Slide Number 31Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36Slide Number 37Slide Number 38Slide Number 39Slide Number 40Slide Number 41Slide Number 42Slide Number 43Slide Number 44Slide Number 45Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Slide Number 49Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52Slide Number 53Slide Number 54Slide Number 55Slide Number 56Slide Number 57Slide Number 58Slide Number 59Slide Number 60Slide Number 61Slide Number 62Slide Number 63Slide Number 64Slide Number 65Slide Number 66Slide Number 67Slide Number 68Slide Number 69Slide Number 70Slide Number 71Slide Number 72Slide Number 73Slide Number 74Slide Number 75Slide Number 76Slide Number 77Slide Number 78Slide Number 79Slide Number 80Slide Number 81Slide Number 82Slide Number 83

metódy numerickej matematiky ifyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska1.pdfnumerická...

Documents