mera.i integral
TRANSCRIPT
DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS
MERA I INTEGRAL( pismeni deo ispita,23. januar 2015)
1. (a) Dokazati da je algebra A σ − algebra ako i samo ako iz {Aj : j ∈ N} ⊆ A i A1 ⊆A2 ⊆ A3 ⊆ · · · ⊆ An ⊆ . . . sledi
∞⋃i=1
Ai ∈ A. 10
(b) Neka je (X,M, µ) merljiv prostor konacne mere µ.Tada je za svako A,B iz M:
(b1) µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B)− µ(A ∩B) 5 .
(b2) Ako je µ(A∆B) = 0 tada je µ(A) = µ(B) 5Dokazati.
2. (a) Neka je dat niz funkcija (fn)n∈N, fn(x) =n
94x
1 + n6x3.Dokazati da niz (fn)n∈N,ne kon-
vergira uniformno na [0, 1], ali da je ipak
limn→∞
1∫0
fn(x) dx =
1∫0
( limn→∞
fn(x)) dx
10
(b) Izracunatiπ∫
0
(∞∑k=1
sin kx
5k) dx
10
3. Neka je 0 < λ < 1 i
fn(x) =
0, 0 < x <
1
n+ 1
x−λ−1,1
n+ 1≤ x ≤ 1
n
0,1
n< x ≤ 1
, x ∈ (0, 1]
Dokazati da za niz (fn)n∈N ne postoji integrabilna dominanta i proveriti da li je ipak
limn→∞
1∫o
fn(x) dx =1∫0
( limn→∞
fn(x) dx. 15
4. (a) Dokazati da je Borelova σ − algebra naR,BR,generisana intervalima oblika (−∞, a],a ∈ R. 10
(b) Dokazati da je funkcija f : (X,M) 7−→ R merljiva ako i samo ako su svi skupovi{x ∈ R : f(x) ≤ c} merljivi za svako c ∈ R. 10
5. (a)Dokazati da je1∫0
xλ
1 + xdx =
∞∑n=0
(−1)n
λ+ 1 + n10
(b)Izracunati: limn→∞
1∫0
nαxn
1 + x+ x2 + . . . xndx ,gde je 0 < α < 1. 15
∑100
bodovanje 55 do 64 ocena 6 65 do 74 ocena 775 do 84 ocena 8 85 do 94 ocena 9 95 do 100 ocena 10