aplikasi ekonomi dua macam pengertian integral, yaitu: integral taktentu (indefinite integral) dan...
TRANSCRIPT
INTEGRAL
APLIKASI EKONOMI
http://rosihan.web.id
Pengertian Integral
Integral merupakan operasi invers dari turunan.
Jika turunan dari F(x) adalah F’(x) = f(x), maka
F(x) = ∫ f(x) dx.
∫ adalah lambang untuk notasi integral,
dx adalah menyatakan fungsi bekerja dalam x.
INTEGRAL
Dua macam pengertian integral, yaitu: integral taktentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).
Integral taktentu adalah kebalikan dari diferensial,
sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area.
INTEGRAL
I. INTEGRAL TAK TENTU
II. INTEGRAL TETENTU
INTEGRAL TAK TENTU
notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
f(x) fungsi integran
dx adalah diferensial dari F(x), F(x) fungsi integral umum yang bersifat
F’(x) =f(x)
c konstanta pengintegralan
cxFdxxf
Beberapa Teorema
cxn
dxx nn
1
11
dxxfkdxxkf
1
2
3
4
dxxgdxxfdxxgxf
dxxgdxxfdxxgxf
Contoh – contoh
. .2
.1
4514
4.543
54
221
cxcxdxx
cxdxx
3.
PENERAPAN EKONOMI
Pendekatan integral tak tentu bisa digunakan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi pada persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Kita tahu bahwa fungsi marjinal adalah turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya –yakni integrasi—dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.
PENERAPAN EKONOMI
I. FUNGSI BIAYA
II. FUNGSI PENERIMAAN
III. FUNGSI UTILITAS
IV. FUNGSI PRODUKSI
V. FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN
FUNGSI BIAYA
Biaya total :
Biaya marjinal :
Biaya total adalah integrasi dari biaya marjinal
Kasus:
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 – 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.
Jawab
Konstanta k adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap
tersebut sebesar 4, maka: C = Q3 – 3Q2 AC = Q2 – 3Q4/Q
FUNGSI PENERIMAAN
Kasus:
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4 Q
Jawab:
FUNGSI UTILITAS
Kasus
Carilah persamaan utilitas total dari eorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10 Q.
Jawab
Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab tidak aka nada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.
FUNGSI PRODUKSI
Kasus
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP=18 X-3X^2. Carilah persamaan produk total dan produk rata-ratanya
Jawab
Dalam persamaan produk total juga konstanta k = 0,
sebab tidak akan ada barang ( P ) yang dihasilkan jika tak ada bahan ( X ) yang diolah atau digunakan.
FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN
Dalam ekonomi makro, konsumsi ( C ) dan tabungan ( S ) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional ( Y ).
C=f ( Y )=a+bY MPC=C^'= dC/dY=f^' ( Y )= b Karena Y=C+S, maka S=g( Y )= -a+( 1-b)Y MPS=S^'= dS/dY=g^' (Y)=( 1-b )
INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variable bebasnya memiliki batas-batas tertentu. Dalam integral tak tentu kita temukan bahwa
Jika kita ingin mengetahui hasil integrasi antara x = a dan x = b dimana amaka x dapat disubtitusi dengan nilai a dan b sehingga ruas kanan persamaannya menjadi :
F(b) – F(a) adalah hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b.Secara lengkap dapat dituliskan menjadi :
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva y = f(x) dengan sumbu horizontal – x dan menghitung luas area yang terletak di antara dua kurva.
Andaikan kita memiliki dua buah kurva y1 = f(x)
dan y2 = g(x), di mana F(x) Maka luas area antara kedua kurva ini
untuk rentang wilayah dari a ke b ( a adalah :
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
Untuk a < c < b, brlaku:
Penerapan Ekonomi
1.Surplus konsumen
2.Surplus produsen
Mencerminkan suatu keuntungan lebih atau
surplus yang dinikmati oleh konsumen
tertentu berkenaan dengan tingkat harga
pasar suatu barang
Surplus Konsumen
P = f(Q)
Qe
Pe
P
Q 0
• Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka
bagi konsumen tertentu yang sebenarnya
mampu dan bersedia membayar dengan
harga lebih tinggi dari Pe hal ini akan
merupakan keuntungan baginya, sebab ia
cukup membayar barang tadi dengan
harga Pe
• Keuntungan inilah yang disebut dengan
surplus konsumen
Aplikasi Ekonomi – Surplus Konsumen
Aplikasi Ekonomi – Surplus Konsumen
P
Ps
e
dPPfCˆ
)(
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk Q = f(P)
eQ
ees PQdQQfC0
)(
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f(Q)
P̂ Adalah nilai P untuk Q = 0
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q
= 48 – 0,03P2. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga
pasar adalah 30
Q = 48 – 0,03 (30)2 Pe = 30
Qe = 21
P
Ps
e
dPPfCˆ
)(
40
30
203,048 dPPCs 4030
301.048 PP = 110
0 = 48 – 0,03 P2 Q = 0
P = 40
Contoh – Surplus Konsumen
Mencerminkan suatu keuntungan lebih
atau surplus yang dinikmati oleh
produsen tertentu berkenaan dengan
tingkat harga pasar suatu barang
Surplus Produsen
P = f(Q)
Qe
Pe
P
Q 0
• Jika tingkat harga pasar adalah Pe
maka bagi produsen tertentu yang
sebenarnya bersedia menjual dengan
harga lebih rendah dari Pe hal ini
akan merupakan keuntungan baginya,
sebab ia cukup menjual barang tadi
dengan harga Pe
• euntungan inilah yang disebut dengan
surplus produsen
Surplus Produsen
eP
Ps dPPfP
ˆ
)(
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk Q = f(P)
eQ
ees dQQfPQP0
)(
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk P = f(Q)
P̂ Adalah nilai P untuk Q = 0
Contoh Kasus
Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat keseimbangan di pasar adalah 10? Jawab : P = 0,50Q + 3 Q = -6 + 2P P = 0 Q = -6 Q = 0 P = 3 = P^ Pe = 10 Qe = 14
.49091140
)0(3)0(25,0)14(3)14(25,0140
325,0140
)350,0()10)(14(
)(
22
14
02
14
0
0
dQQ
dQQfPQ Qeee
Trimakasih
http://rosihan.web.id
Referensi :