mef 3

8/3/2019 MEF 3

1/34

M et o d a e l e m e n t u l u i f i n i t

( M E F )

ElementeElementeintroductiveintroductive

8/3/2019 MEF 3

2/34

Matricele de rigiditate Matricele de rigiditate ale elementelor, n

coordonate globale rezult:

3

0 0 0 0

0 2 0 2E AK

0 0 0 0L

0 2 0 2

=

1 2

1 0 1 0

0 0 0 0E AK K

1 0 1 0L

0 0 0 0

= =

4

1 1 1 1

1 1 1 1E AK

1 1 1 1L

1 1 1 1

=

5

1 1 1 1

1 1 1 1E AK

1 1 1 1L

1 1 1 1

=

8/3/2019 MEF 3

3/34

Asamblarea matricei de rigiditate a

structurii Dac se izoleaz nodurile i elementele modelului discretizat

trebuie introduse forele interioare la nivelul fiecrui elementfinit i respectiv nod.

Se menioneaz c aceste fore apar perechi, au sensuri opusei sunt egale n modul dou cte dou.

8/3/2019 MEF 3

4/34

Asamblarea matricei de rigiditate a

structurii Echilibrul elementelor este asigurat de relaia DE ECHILIBRU

NODAL. Din echilibrul nodurilor se poate obine o relaie matriceal

general care include forele nodale exterioare i deplasrilenodale fr a ine seama de condiiile la limit particulare.

8/3/2019 MEF 3

5/34

Echilibru nodal1 4

X ,1 X ,1 X ,1

1 4Y ,1 Y ,1 Y ,1

1 2 3

X ,2 X ,2 X ,2 X ,2

1 2 3

Y ,2 Y ,2 Y ,2 Y ,2

3 5

X ,3 X ,3 X ,3

3 5

Y ,3 Y ,3 Y ,3

3 4 5

X ,4 X ,4 X ,4 X ,4

3 4 5

Y ,4 Y ,4 Y ,4 Y ,4

F F FNodul 1

F F F

F F F F Nodul 2

F F F F

F F FNodul 3

F F FF F F F

Nodul 4F F F F

= +

= +

= + +

= + + = +

= +

= + +

= + +

1

8/3/2019 MEF 3

6/34

Echilibrul nodal

X ,1

Y ,1

X ,2

Y ,2

X ,3

Y ,3

X ,4

Y ,4

F 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

F 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

F 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0F 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

F 0

=

1

X ,1

1

Y ,1

1

X ,2

1

Y ,2

2

X ,2

2

Y ,2

2

X ,3

2Y ,3

3

X ,2

3

Y ,2

3

X ,43

Y ,4

4

X ,1

4

Y ,14

X ,4

4

Y ,4

5

X ,3

5Y ,3

5

X ,4

5

Y ,4

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

FF

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 F

F

F

F

F

F

F

F

{ } { } { } { } { } { }

{ } { }

T T T T T 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

NE 5T

e e

e 1

F T F T F T F T F T F

F T F=

=

= + + + +

=

8/3/2019 MEF 3

7/34

Matricea de conectivitate Matrice de compatibilitate sau matrice de

localizare = fac legatura intre gradele delibertate ale elementului si gradele delibertate ale structurii, adica:

Din acest motiv aceste matrici contin doarvalori nule sau unitare

{ {e eU T U =

8/3/2019 MEF 3

8/34

Matricea de conectivitate Element e (NE), nodurile I si J (NN)

X ,1

Y ,1

X ,IX ,I

Y ,I

Y ,I

X ,J

X ,J

Y ,JY ,J

X ,NN

Y ,NN

U

U

...

UU 0 0 ... ... 1 0 ... ... 0 0 ... ... 0 0U

U 0 0 ... ... 0 1 ... ... 0 0 ... ... 0 0...

U 0 0 ... ... 0 0 ... ... 1 0 ... ... 0 0U

U 0 0 ... ... 0 0 ... ... 0 1 ... ... 0 0 U

...

U

U

=

1 I J NE

I

J

8/3/2019 MEF 3

9/34

Matricea de conectivitate 3 si 4X ,1

Y ,1

X ,2 X ,2

Y ,2 Y ,2

X ,4 X ,3

Y ,4 Y ,3

X ,4

Y ,4

U

U

U U0 0 1 0 0 0 0 0

U U0 0 0 1 0 0 0 0

U U0 0 0 0 0 0 1 0

U U0 0 0 0 0 0 0 1U

U

=

X ,1

Y ,1

X ,1 X ,2

Y ,1 Y ,2

X ,4 X ,3

Y ,4 Y ,3

X ,4

Y ,4

U

U

U U1 0 0 0 0 0 0 0

U U0 1 0 0 0 0 0 0

U U0 0 0 0 0 0 1 0

U U0 0 0 0 0 0 0 1U

U

=

8/3/2019 MEF 3

10/34

Matricea de rigiditate{ { {

e

Te e e e e e e

K

F T k T U K U

= =

{ } {e eU T U =

{ } { } { } { } [ ]{ }e

NE 5 NE 5 NE 5T T Te e e e e e e e

e 1 e 1 e 1

K

Te e e e

F T F T K U T K T U K U

K T K T

= = =

= = =

= = = =

=

[ ] NE 5

e

e 1

K K=

=

=

8/3/2019 MEF 3

11/34

Maticele de rigiditate expandate Matricele de rigiditate ale elemetelor in

sistemul de referinta global se expandeazain vederea asamblarii, pentru aceasta sefoloseste relatia de transformare:

Matrice de localizare

Te e e eK T K T =

8/3/2019 MEF 3

12/34

Matricea de rigiditate a structurii Se observa ca matricea de rigiditate a

structurii se obtine prin simpla insumare a:

[ ] NE 5

e

e 1

K K=

=

=

8/3/2019 MEF 3

13/34

Matricea de rigiditate expandata Elementul 1

1

T1 e 1 e

1 0 1 00 0 0 0E A

K1 0 1 0L

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0E A

K T K T 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0L

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

=

= =

8/3/2019 MEF 3

14/34

Matricea de rigiditate expandata

1

1 2 3 4

1 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0 2

EAK 0 0 0 0 0 0 0 0l

0 0 0 0 0 0 0 0 3

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 4

0 0 0 0 0 0 0 0

=

8/3/2019 MEF 3

15/34


2

1 2 3 4

0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 2

EAK 0 0 0 0 0 0 0 0l

0 0 1 0 1 0 0 0 3

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 4

0 0 0 0 0 0 0 0

=

8/3/2019 MEF 3

16/34


3

1 2 3 4

0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 2

EAK 0 0 0 2 0 0 0 2l

0 0 0 0 0 0 0 0 3

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 4

0 0 0 2 0 0 0 2

=

8/3/2019 MEF 3

17/34


4

1 2 3 4

1 1 0 0 0 0 1 1 11 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 2EA

K 0 0 0 0 0 0 0 0l0 0 0 0 0 0 0 0 3

0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 1 1 4

1 1 0 0 0 0 1 1

=

8/3/2019 MEF 3

18/34


5

1 2 3 4

0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 2EA

K 0 0 0 0 0 0 0 0l0 0 0 0 1 1 1 1 3

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 4

0 0 0 0 1 1 1 1

=

8/3/2019 MEF 3

19/34

Matricea de rigiditate expandata Se observ c matricele de rigiditate expandate ale

elementelor se pot obine direct din matricele de

rigiditate globale ale elementelor prin plasareaelementelor corespunztoare gradelor de libertate naceleai poziii (zonele marcate cu gri) n matriceaexpandat care conine toate gradele de libertate ale

structurii. Dac un element de afl ntre nodurile Ii J, atunci

poziia pe orizontali vertical din matricea derigiditate a elementului se regsete la poziiile Ii J

n matricea de rigiditate expandat. Din acest motiv, practic asamblarea decurge prin

adunarea elementelor din matricele de rigiditate nmatricea de rigiditate global.

8/3/2019 MEF 3

20/34

Matricea de rigiditate globala

[ ] NE 5

e

e 1

1 2 3 4

2 1 1 0 0 0 1 1 11 1 0 0 0 0 1 1

1 0 2 0 1 0 0 0 2

EAK K 0 0 0 2 0 0 0 2l

0 0 1 0 2 1 1 1 3

0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 2 0 4

1 1 0 2 1 1 0 4

=

=

= =

8/3/2019 MEF 3

21/34

Matricea de rigiditate globala Proprieti

matricea [K] este simetric; este singular, det([K])=0 i n

plus rangul matricei este n-3,n care neste numrul total algradelor de libertate (n= 8pentru aplicaia de fa), iar 3reprezint numrul micrilorde corp rigid n 2D;

elementele de pe diagonala

principal sunt pozitive; suma elementelor pe

linii/coloane este zero.

2 1 1 0 0 0 1 1

1 1 0 0 0 0 1 1

1 0 2 0 1 0 0 0EA

0 0 0 2 0 0 0 2l

0 0 1 0 2 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 2 0

1 1 0 2 1 1 0 4

8/3/2019 MEF 3

22/34

Impunerea condiiilor la

limiti rezolvarea Ecuaiile de echilibru

global incluzndcondiiile la limit ndeplasri (condiiile demargine):

i condiiile la limitpentru fore (echilibru -

ncrcri):

,1 ,1 ,3 X Y X U U U= =

,2 ,2 ,3

,4 ,4

0 2 0

0

X Y X

X Y

F F F F

F F F

= = =

= =

8/3/2019 MEF 3

23/34

Recapitulare (curs 1) a: deplasri cunoscute (de cele mai multe

ori nule) i fore exterioare reaciuninecunoscute i b: deplasri necunoscute i fore exterioare

aplicate cunoscute, ecuaiile se potpartiiona (rearanja) n raport cu acesteaastfel:

[ ] [ ][ ] [ ]

{{ }

{{ }

a aaa ab

b bba bb

U FK K

U FK K

=

{ { {F K U=

8/3/2019 MEF 3

24/34

Recapitulare (curs 1) Din a doua ecuaie matriceal rezult

deplasrile necunoscute

iar apoi din prima ecuaie rezult forelenecunoscute (reaciuni)

{ } [ ] { } [ ] { }( )1

b b abb baU K F K U = +

{ } [ ] { } [ ] { }a a baa abF K U K U = +

8/3/2019 MEF 3

25/34

Impunerea condiiilor la limiti

rezolvarea{ [ ]{

X ,1

Y ,1

X ,2

Y ,2

X ,3

Y ,3

X ,4

Y ,4

F K U

1 2 3 4

02 1 1 0 0 0 1 1 1 F

01 1 0 0 0 0 1 1 F

U1 0 2 0 1 0 0 0 2 0

EA U0 0 0 2 0 0 0 2 2F l

U0 0 1 0 2 1 1 1 3 0

00 0 0 0 1 1 1 1 F

U1 1 0 0 1 1 2 0 4 F U1 1 0 2 1 1 0 4 0

=

= =

8/3/2019 MEF 3

26/34

Se observ c n nodurile n care se cunosc

deplasrile nu se cunosc reaciunile i acolounde se cunosc ncrcrile nu se cunoscdeplasrile.

Considernd ecuaiile corespunztoareliniilor albe (liniile i coloanelecorespunztoare deplasrilor nule liniile

nnegrite se "taie" sau se elimin) rezultun sistem redus de cinci ecuaii, cu cincinecunoscute

8/3/2019 MEF 3

27/34

Sistemul redus[ ]r r r

X ,2

Y ,2

X ,3

X ,4

Y ,4

K U F

U2 0 1 0 0 0

U0 2 0 0 2 2F EAU1 0 2 1 1 0

l

U0 0 1 2 0 F U0 2 1 0 4 0

=

=

8/3/2019 MEF 3

28/34

Se observ, c matricea [Kr] este nesingular. ngeneral, aceast matrice rezult nesingular, dac

micrile de corp rigid sunt nlturateprintr-o fixareadecvat a structurii

Pentru aceast aplicaie cele trei deplasri nule impuse(uneori denumite blocaje), asigur mpiedicarea micriide corp rigid.

Stuctura analizat este static determinat, impunerea

unor blocaje suplimentare nu face dect s reduci maimult dimensiunea matricei [Kr] i deci s conduc lareducerea efortului de calcul pentru rezolvareasistemului de ecuaii algebrice.

8/3/2019 MEF 3

29/34

Rezolvarea aflarea deplasarilor Rezolvarea sistemului de ecuaii de mai sus conduce la

soluiile

,2 ,2 ,3

,4 ,4

1.5 3.5 3

2 2.5

X Y X

X Y

Fl Fl FlU U U

EA EA EA

Fl FlU U

EA EA

= = =

= =

8/3/2019 MEF 3

30/34

Rezolvarea aflarea reactiunilor Pentru a obine reaciunile, se consider doar ecuaiile

corespunztoare liniilor negrite din ecuaia global,

deoarece o parte din termenii ecuaiilor se nmulesc cudeplasri nule (se consider termenii ncadrai i negriimai accentuat), adic

X ,2

Y ,2X ,1

X ,3Y ,1

X ,4Y ,3

Y ,4

U ( 1.5 Fl / EA )

U ( 3.5 Fl / EA )F 1 0 0 1 1 F EA

U ( 3 Fl / EA )F 0 0 0 1 1 0.5F l U ( 2 Fl / EA )F 0 0 1 1 1 1.5F

U ( 2.5 Fl / EA )

= =

8/3/2019 MEF 3

31/34

Rezolvarea aflarea eforturilor Pentru calculul eforturilor n bare se reconsider ecuaiile

de echilibru ale elementului finit (ex. Elementul 4)

{ } { } { }e e e e e e

4

4

f k u k T U

2 20 0

0 22 2 F1 0 1 0N 22 2 0

0 00 0 0 0 00 EA 2 2 Fl2 21 0 1 0lN 2 2 2EA

0 0 F0 0 0 0 Fl0 2 2 22.5

0EA2 20 0

2 2

= =

= =

8/3/2019 MEF 3

32/34

Rezolvarea aflarea eforturilor Calculul decurge similar pentru toate barele

Dac se doresc tensiunile din bare se folosete relaia

1

2

3

4

5

1.5

1.5

2

2

2

3 2

2

N F

N F

N F

N F

N F

=

=

=

=

=

ee

e

N =

S f f l l

8/3/2019 MEF 3

33/34

Semnificaia fizic a elementelor

matricei de rigiditatee 2 2

X ,I X ,I

e 2 2Y ,I Y ,I

e 2 2e X ,J X ,J

e 2 2

Y ,J Y ,J

e

11 12 13 14X ,I

e

21 22 23 24Y ,Ie

31 32 33 34X ,J

e

Y ,J

F Uc cs c cs

F Ucs s cs sEA

F L Uc cs c cs

F Ucs s cs s

K K K K F

K K K K FK K K K F

KF

=

=

X ,I

Y ,I

X ,J

41 42 43 44 Y ,J

U

UU

K K K U

S ifi i fi i l t l

8/3/2019 MEF 3

34/34

Semnificaia fizic a elementelor

matricei de rigiditatee

11 12 13 14 11X ,I

e

21 22 23 24 21Y ,I

e

31 32 33 34 31X ,J

e

41 42 43 44 41Y ,J

K K K K K 1F

K K K K K 0F

K K K K K 0F

K K K K K 0F

= =

X ,I

Y ,I

X ,J

Y ,J

1U

0U

0U

0U

=

mef 3

Documents