medidas de posiÇÃo parte ii - moda e mediana professor: waldemar santa cruz oliveira jr...
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MEDIDAS DE POSIÇÃOParte II - Moda e Mediana
Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE Disciplina: ELEMENTOS DE
ESTATÍSTICA ET-301
Curso: SECRETARIADO
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MEDIDAS DE POSIÇÃO: são medidas cujo objetivo é estimar em torno de quais valores da amostra se concentram os dados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIDAS DE POSIÇÃO
SEPARATRIZES
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Estima se os dados estão agrupados em valores centrais.
MÉDIAMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTAL MODA
MEDIANA
Dentre elas destacamos três
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Moda=5, pois aparece três vezes na amostra
MODA:
O valor que mais se repete na amostra
Exemplo: {2,3,4,5,5,5,8}
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Dados Agrupados
Neste caso a Moda é o valor da amostra que tem maior frequência
EXEMPLO:
X f3 84 105 76 5
Total 30
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Dados Agrupados
Neste caso a Moda é o valor da amostra que tem maior frequência
EXEMPLO:
X f3 84 105 76 5
Total 30
Moda=4
O número 4 tem a maior frequência, ele aparece 10 vezes na amostra.
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Dados Agrupados em Classes
Quando os dados estão agrupados em classes temos três métodos para calcular a moda
BRUTAModa MÉTODO DE KING
MÉTODO DE CZUBER
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Moda Bruta: é definida como o ponto médio da classe de maior frequência. Sem dúvida é a maneira mais simples para calcular a moda, porém a menos utilizada.
Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3
Toatal 25
Exemplo
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Moda Bruta: é definida como o ponto médio da classe de maio frequência. Sem dúvida é a maneira mais simples para calcular a moda, porém a menos utilizada.
Classes fi Ponto Médio
2 |------ 4 3 3 4 |------ 6 6 5 6 |------ 8 9 7 8 |------ 10 4 910 |------ 12 3 11
Toatal 25
Exemplo
Classe Modal Maior Frequência
Moda Bruta
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Método de King: este método leva em consideração a frequência das classes adjacentes e é dado pela fórmula abaixo.
hff
flMo
postant
postiking
modal classe dainferior limite o é il
menterespectiva modal, classe à
posterior eanterior sfrequência as são e postant ff
modal classe da comprimeto o é h
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Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3
Toatal 25
Exemplo
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Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3
Toatal 25
Exemplo
Frequência anteriorLimite inferior da classe modal Frequência posterior
8,62*4,06246
46
kingMo
Observe que a moda fica mais próxima da classe que é anterior à classe modal, pois esta classe tem frequência maior do que a da classe que é posterior à classe modal
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Método de Czuber: este método leva em consideração a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência das classes adjacentes.Este método é dado pela fórmula abaixo.
hlMopostant
anticzuber
modal classe dainferior limite o é il
postalantalant ffff modpostmod e
modal classe da comprimeto o é h
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Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3
Toatal 25
Exemplo
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Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3
Toatal 25
Exemplo
Limite inferior da classe modal
75,62*375,06253
36
CzuberMo
Observe que podemos ter três valores diferente para a moda,
369 ant
549 post
75,6 e 8,6 ,7 czuberkingbruta MMoMo
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Exemplo: {4,8,9,10,15}, n=5
MEDIANA:
Considere que os dados estão ordenados, então mediana é o valor que é maior ou igual a metade dos dados e menor ou igual a outra metade dos dados. Ou seja, é o valor que divide os dados ao meio
Considere os dados não agrupados
1) N é ímpar
21 nXMd
},...,,{ 21 nXXXDados
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Exemplo: {4,8,9,10,15}, n=5
MEDIANA:
Considere que os dados estão ordenados, então mediana é o valor que é maior ou igual metade dos dados e menor ou igual a outra metade dos dados. Ou seja, é o valor que divide os dados ao meio
Considere os dados não agrupados
1) N é ímpar
21 nXMd
},...,,{ 21 nXXXDados
932
15 XXMd
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MEDIANA:
2) N é par: a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais
22
22
nn XXMd
},...,,,...,,{2
22
21 nnn XXXXXDados
Exemplo: {4,8,9,10,15,20}, n=6
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MEDIANA:
2) N é par: a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais
22
22
nn XXMd
},...,,,...,,{2
22
21 nnn XXXXXDados
Exemplo: {4,8,9,10,15,20}, n=6
5,92109
22432
22
XXXX
Mdnn
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MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.
X fi
5 510 815 620 2
Total 21
1) N é ímpar
Exemplo
112
121 XXMd
21 nXMd
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MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.
X fi Facum
5 5 510 8 1315 6 1920 2 21
Total 21
1) N é ímpar
Exemplo
112
121 XXMd
21 nXMd
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MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.
X fi Facum
5 5 510 8 1315 6 1920 2 21
Total 21
1) N é ímpar
Exemplo
112
121 XXMd
10Md
21 nXMd
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MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.
X fi
100 40200 55300 30400 25Total 150
2) N é par
Exemplo
2276752
21502
150 XXXX
Md
22
22
nn XXMd
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MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.
X fi Facum
100 40 40200 55 95300 30 125400 25 150Total 150
2) N é par
Exemplo
2276752
21502
150 XXXX
Md
2002
200200
Md
22
22
nn XXMd
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Exemplo
X fi
2 103 154 205 5
Total 50
2226252
2502
50 XXXX
Md
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Exemplo
X fi F2 10 103 15 254 20 455 5 50
Total 50
2226252
2502
50 XXXX
Md
5,32
43
Md
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MEDIANA:
Considere os dados agrupados em classes em uma distribuição de frequência. Então, a mediana é dada pela fórmula abaixo
hfFE
lMdMd
acumantMdi
_
mediana classe dainferior limite o é il
mediano elemento o é ,2nEMd
mediana classe à
anterior classe da acumulada frequência a é _ acumantF
mediana classe da frequência a é Mdf
mediana classe da ocompriment o é h
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MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência
Classes fi
0 |------ 2 102 |------ 4 254 |------ 6 406 |------ 8 158|------ 10 10Total
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MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência
Classes fi Facum
0 |------ 2 10 102 |------ 4 25 354 |------ 6 40 756 |------ 8 15 908|------ 10 10 100Total 100
75,4201542
4035504
Md
502
100MdE
Classe Mediana