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Universidad Simón Bolívar

Mecánica de Materiales II:Relaciones constitutivas Esfuerzo – Deformación

Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar


• Conceptos• Conceptos

• Ley de Hooke• Ley de Hooke

• Módulo de Young• Módulo de Young

• Módulo de Poisson• Módulo de Poisson

• Relaciones• Esfuerzo – Deformación• Deformación - Esfuerzo

• Relaciones• Esfuerzo – Deformación• Deformación - Esfuerzo

• Estado plano• De Esfuerzos• De Deformaciones

• Estado plano• De Esfuerzos• De Deformaciones

ContenidoContenido


Material Homogéneo:Material que tiene propiedades iguales en cada uno de sus puntos

Material Elástico:Material que recupera completamente sus dimensiones originales alretirar las cargas que produjeron las deformaciones

Material Lineal:Material en el cual las deformaciones producidas por la acción de unestado de cargas son muy pequeñas (< 0,1%)

Isótropo:Material en el que las propiedades físicas son iguales en todas lasdirecciones

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano


Elástico

Lineal


Módulo de Young


plano


Para un material homogéneo, elástico, lineal e isotrópico,la matrizde deformaciones depende linealmente de la matriz de esfuerzos:

yzxzxyzyxyz

yzxzxyzyxxz

yzxzxyzyxxy

yzxzxyzyxz

yzxzxyzyxy

yzxzxyzyxx

ffffff

ffffff

ffffff

ffffff

ffffff

ffffff

τττσσσγτττσσσγτττσσσγ

τττσσσετττσσσε

τττσσσε

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

[ ]nmf = matriz de flexibilidad


Módulo de Young


plano


De manera similar, es posible expresar los valores de los esfuerzosen dependencia lineal de las deformaciones:

yzxzxyzyxyz

yzxzxyzyxxz

yzxzxyzyxxy

yzxzxyzyxz

yzxzxyzyxy

yzxzxyzyxx

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσ

γγγεεεσ

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

[ ]nmk = matriz de rigidez


Módulo de Young


plano


Supongamos una barra sometida a tracción:

y

z x

xx f σε ⋅= 11

xy f σε ⋅= 21

xz f σε ⋅= 31

Ley de Hooke(1678)

Robert Hooke (1635-1703): científicoinglés quien descubrió laproporcionalidad entre las cargas y losalargamientos experimentando conalambres y resortes.

ConceptosLey de Hooke

Módulo de Young


plano


A principios del siglo XVIII cuando elcientífico inglésThomas Young (1773-1829)introdujo el concepto de Módulo deElasticidad, como la constante deproporcionalidad entre los esfuerzos ydeformaciones

x

xEεσ=

El Módulo de Young, como también se leconoce, fue medido por primera vez por elcientífico francésLouis Navier (1785-1836)en 1826.


Módulo de Young


plano


En 1830 el científico francésSimeón Poisson(1781-1829) demostró que :

Ex

x

σε =

xzy ενεε ⋅−==

Concluyendo que:

Ef

111 =

Eff

ν−== 3121

Al coeficiente νννν se le conoce comoMódulo de Poisson y para el caso deesfuerzos uniaxial descrito lasexpresiones son:

xy Eσνε ⋅= xz E

σνε ⋅=


Módulo de Young

Módulo de Poisson

Relaciones Estado plano


De esta manera volvemos a las expresiones generales querelacionan las deformaciones:

yzxzxyzyxyz

yzxzxyzyxxz

yzxzxyzyxxy

yzxzxyzyxz

yzxzxyzyxy

yzxzxyzyxx

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσ

γγγεεεσ

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

[ ]nmk = matriz de rigidez

Los coeficienteskij son 36 propiedades elásticas del materialtotalmente imprácticas de medir experimentalmente.Por lo que para un material homogéneo, isótropo, elástico y lineal,es posible demostrar que con 2 propiedades es suficiente.


Módulo de Young


plano


Si un material es homogéneo, elástico, lineal e isótropo, entonceslos esfuerzos y deformaciones en cada punto están relacionados através de las siguientes ecuaciones:

( )zyxxx G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2

( )zyxyy G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2

( )zyxzz G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2

xyxy G γτ ⋅⋅= 2

xzxz G γτ ⋅⋅= 2

yzyz G γτ ⋅⋅= 2


Módulo de Young


plano

Teorema


Donde λ y G son las dos propiedadeselásticas del material conocidos comoconstantes de Lamé.En honor al ingeniero francés GabrielLamé (1795-1870), cuyas expresionesson:

( ) ( )νννλ

⋅−⋅+⋅=

211

E

( )v

EG

+⋅=

12

Al sustituir en las expresiones anteriores se tiene:


Módulo de Young


plano

Teorema


( )

++⋅⋅−

+⋅+

= zyxxx

E εεεν

νεν

σ211

( )

++⋅⋅−

+⋅+

= zyxyy

E εεεν

νεν

σ211

( )

++⋅⋅−

+⋅+

= zyxzz

E εεεν

νεν

σ211

xyxy

E γν

τ ⋅+

=1

xzxz

E γν

τ ⋅+

=1

yzyz

E γν

τ ⋅+

=1


Módulo de Young


plano

Esfuerzo - Deformación


( )zyx

x EEσσνσε +⋅−=

( )zxy

y EEσσνσ

ε +⋅−=

( )yxz

z EEσσνσε +⋅−=

xyxy Eτνγ ⋅+= 1

xzxz Eτνγ ⋅+= 1

yzyz Eτνγ ⋅+= 1


Módulo de Young


plano

Deformación - Esfuerzo


yx

x EEσνσε ⋅−=

xy

y EEσνσ

ε ⋅−=

( )yxz Eσσνε +⋅−=


0=xzγ

0=yzγ

[ ]yxx

E ενεν

σ ⋅+⋅−

=21

[ ]xyy

E ενεν

σ ⋅+⋅−

=21

0=zσ

xyxy

E γν

τ ⋅+

=1

0=xzτ

0=yzτ


Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones

Estado plano

Estado plano de esfuerzos


( ) ( ) ( )[ ]yxx

E ενεννν

σ ⋅+⋅−⋅⋅−⋅+

= 1211

xyxy

E γν

τ ⋅+

=1

0=xzτ

0=yzτ

( ) ( ) ( )[ ]xyy

E ενεννν

σ ⋅+⋅−⋅⋅−⋅+

= 1211

( ) ( ) [ ]yxz

E εενν

νσ +⋅⋅−⋅+

⋅=211

( )[ ]yxx Eσνσννε ⋅−⋅−⋅+= 1

1

0=zε


0=xzγ

0=yzγ

( )[ ]xyy Eσνσννε ⋅−⋅−⋅+= 1

1


Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones

Estado plano

Estado plano de deformaciones

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