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Mecánica de Materiales II:Relaciones constitutivas Esfuerzo – Deformación
Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar
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• Conceptos• Conceptos
• Ley de Hooke• Ley de Hooke
• Módulo de Young• Módulo de Young
• Módulo de Poisson• Módulo de Poisson
• Relaciones• Esfuerzo – Deformación• Deformación - Esfuerzo
• Relaciones• Esfuerzo – Deformación• Deformación - Esfuerzo
• Estado plano• De Esfuerzos• De Deformaciones
• Estado plano• De Esfuerzos• De Deformaciones
ContenidoContenido
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Material Homogéneo:Material que tiene propiedades iguales en cada uno de sus puntos
Material Elástico:Material que recupera completamente sus dimensiones originales alretirar las cargas que produjeron las deformaciones
Material Lineal:Material en el cual las deformaciones producidas por la acción de unestado de cargas son muy pequeñas (< 0,1%)
Isótropo:Material en el que las propiedades físicas son iguales en todas lasdirecciones
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
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Elástico
Lineal
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
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Para un material homogéneo, elástico, lineal e isotrópico,la matrizde deformaciones depende linealmente de la matriz de esfuerzos:
yzxzxyzyxyz
yzxzxyzyxxz
yzxzxyzyxxy
yzxzxyzyxz
yzxzxyzyxy
yzxzxyzyxx
ffffff
ffffff
ffffff
ffffff
ffffff
ffffff
τττσσσγτττσσσγτττσσσγ
τττσσσετττσσσε
τττσσσε
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
[ ]nmf = matriz de flexibilidad
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
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De manera similar, es posible expresar los valores de los esfuerzosen dependencia lineal de las deformaciones:
yzxzxyzyxyz
yzxzxyzyxxz
yzxzxyzyxxy
yzxzxyzyxz
yzxzxyzyxy
yzxzxyzyxx
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσ
γγγεεεσ
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
[ ]nmk = matriz de rigidez
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
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Supongamos una barra sometida a tracción:
y
z x
xx f σε ⋅= 11
xy f σε ⋅= 21
xz f σε ⋅= 31
Ley de Hooke(1678)
Robert Hooke (1635-1703): científicoinglés quien descubrió laproporcionalidad entre las cargas y losalargamientos experimentando conalambres y resortes.
ConceptosLey de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
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A principios del siglo XVIII cuando elcientífico inglésThomas Young (1773-1829)introdujo el concepto de Módulo deElasticidad, como la constante deproporcionalidad entre los esfuerzos ydeformaciones
x
xEεσ=
El Módulo de Young, como también se leconoce, fue medido por primera vez por elcientífico francésLouis Navier (1785-1836)en 1826.
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
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En 1830 el científico francésSimeón Poisson(1781-1829) demostró que :
Ex
x
σε =
xzy ενεε ⋅−==
Concluyendo que:
Ef
111 =
Eff
ν−== 3121
Al coeficiente νννν se le conoce comoMódulo de Poisson y para el caso deesfuerzos uniaxial descrito lasexpresiones son:
xy Eσνε ⋅= xz E
σνε ⋅=
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson
Relaciones Estado plano
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De esta manera volvemos a las expresiones generales querelacionan las deformaciones:
yzxzxyzyxyz
yzxzxyzyxxz
yzxzxyzyxxy
yzxzxyzyxz
yzxzxyzyxy
yzxzxyzyxx
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσ
γγγεεεσ
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
[ ]nmk = matriz de rigidez
Los coeficienteskij son 36 propiedades elásticas del materialtotalmente imprácticas de medir experimentalmente.Por lo que para un material homogéneo, isótropo, elástico y lineal,es posible demostrar que con 2 propiedades es suficiente.
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
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Si un material es homogéneo, elástico, lineal e isótropo, entonceslos esfuerzos y deformaciones en cada punto están relacionados através de las siguientes ecuaciones:
( )zyxxx G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2
( )zyxyy G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2
( )zyxzz G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2
xyxy G γτ ⋅⋅= 2
xzxz G γτ ⋅⋅= 2
yzyz G γτ ⋅⋅= 2
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Teorema
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Donde λ y G son las dos propiedadeselásticas del material conocidos comoconstantes de Lamé.En honor al ingeniero francés GabrielLamé (1795-1870), cuyas expresionesson:
( ) ( )νννλ
⋅−⋅+⋅=
211
E
( )v
EG
+⋅=
12
Al sustituir en las expresiones anteriores se tiene:
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Teorema
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( )
++⋅⋅−
+⋅+
= zyxxx
E εεεν
νεν
σ211
( )
++⋅⋅−
+⋅+
= zyxyy
E εεεν
νεν
σ211
( )
++⋅⋅−
+⋅+
= zyxzz
E εεεν
νεν
σ211
xyxy
E γν
τ ⋅+
=1
xzxz
E γν
τ ⋅+
=1
yzyz
E γν
τ ⋅+
=1
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Esfuerzo - Deformación
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( )zyx
x EEσσνσε +⋅−=
( )zxy
y EEσσνσ
ε +⋅−=
( )yxz
z EEσσνσε +⋅−=
xyxy Eτνγ ⋅+= 1
xzxz Eτνγ ⋅+= 1
yzyz Eτνγ ⋅+= 1
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Deformación - Esfuerzo
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yx
x EEσνσε ⋅−=
xy
y EEσνσ
ε ⋅−=
( )yxz Eσσνε +⋅−=
xyxy Eτνγ ⋅+= 1
0=xzγ
0=yzγ
[ ]yxx
E ενεν
σ ⋅+⋅−
=21
[ ]xyy
E ενεν
σ ⋅+⋅−
=21
0=zσ
xyxy
E γν
τ ⋅+
=1
0=xzτ
0=yzτ
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones
Estado plano
Estado plano de esfuerzos
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( ) ( ) ( )[ ]yxx
E ενεννν
σ ⋅+⋅−⋅⋅−⋅+
= 1211
xyxy
E γν
τ ⋅+
=1
0=xzτ
0=yzτ
( ) ( ) ( )[ ]xyy
E ενεννν
σ ⋅+⋅−⋅⋅−⋅+
= 1211
( ) ( ) [ ]yxz
E εενν
νσ +⋅⋅−⋅+
⋅=211
( )[ ]yxx Eσνσννε ⋅−⋅−⋅+= 1
1
0=zε
xyxy Eτνγ ⋅+= 1
0=xzγ
0=yzγ
( )[ ]xyy Eσνσννε ⋅−⋅−⋅+= 1
1
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones
Estado plano
Estado plano de deformaciones