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F.I.M.E.E. Departamento de Ingeniería Mecánica Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos MECÁNICA DE FLUIDOS II 1. CAPA LÍMITE 1.1 Introducción El concepto de capa límite fue inicialmente introducido por el alemán Ludwing Prandtl en 1904. Aunque las ecuaciones que describen el movimiento de un fluido viscoso habían sido desarrolladas antes que Prandtl introdujera el concepto de capa límite (las ecuaciones de Navier–Stokes desarrolladas por Navier, 1827, e independientemente por Stokes, 1845), las dificultades matemáticas para la solución de estas ecuaciones (excepto en algunos casos simples) imposibilitaban el estudio teórico de los flujos viscosos. Prandtl demostró que muchos flujos viscosos pueden ser analizados dividiendo el flujo en dos regiones, una cercana a las fronteras sólidas y la otra comprendiendo el resto del flujo. Prandtl mostró que los efectos viscosos del fluido son considerables únicamente en la región delgada adyacente a la frontera sólida (capa límite). En la región fuera de la capa límite los efectos viscosos son despreciables y el flujo puede analizarse como no–viscoso, figura 1.1. Figura 1.1 Capa límite. Exterior de capa límite: flujo no–viscoso Interior de capa límite: flujo viscoso En un flujo de capa límite, tanto los efectos viscosos como los inerciales son importantes y como consecuencia el número de Reynolds, Re, es un parámetro adecuado para caracterizar los flujos de capa límite. La longitud característica usada en Re puede ser la longitud en la dirección del flujo sobre la cual la capa límite se desarrolla o alguna medida del espesor de la capa límite. De manera similar que en el flujo en un ducto, el flujo de capa límite puede ser laminar o turbulento. En el flujo de capa límite no existe un valor único en donde ocurre la transición de laminar a turbulento. Esta transición se ve influenciada por

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  • F.I.M.E.E. Departamento de Ingeniera Mecnica

    Dr. Armando Gallegos Muoz Mecnica de Fluidos

    MECNICA DE FLUIDOS II 1. CAPA LMITE 1.1 Introduccin El concepto de capa lmite fue inicialmente introducido por el alemn Ludwing Prandtl en 1904. Aunque las ecuaciones que describen el movimiento de un fluido viscoso haban sido desarrolladas antes que Prandtl introdujera el concepto de capa lmite (las ecuaciones de NavierStokes desarrolladas por Navier, 1827, e independientemente por Stokes, 1845), las dificultades matemticas para la solucin de estas ecuaciones (excepto en algunos casos simples) imposibilitaban el estudio terico de los flujos viscosos. Prandtl demostr que muchos flujos viscosos pueden ser analizados dividiendo el flujo en dos regiones, una cercana a las fronteras slidas y la otra comprendiendo el resto del flujo. Prandtl mostr que los efectos viscosos del fluido son considerables nicamente en la regin delgada adyacente a la frontera slida (capa lmite). En la regin fuera de la capa lmite los efectos viscosos son despreciables y el flujo puede analizarse como noviscoso, figura 1.1.

    Figura 1.1 Capa lmite.

    Exterior de capa lmite: flujo noviscoso

    Interior de capa lmite: flujo viscoso

    En un flujo de capa lmite, tanto los efectos viscosos como los inerciales son importantes y como consecuencia el nmero de Reynolds, Re, es un parmetro adecuado para caracterizar los flujos de capa lmite. La longitud caracterstica usada en Re puede ser la longitud en la direccin del flujo sobre la cual la capa lmite se desarrolla o alguna medida del espesor de la capa lmite. De manera similar que en el flujo en un ducto, el flujo de capa lmite puede ser laminar o turbulento. En el flujo de capa lmite no existe un valor nico en donde ocurre la transicin de laminar a turbulento. Esta transicin se ve influenciada por

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    diversos factores como son: la rugosidad de la superficie, el gradiente de presin, la transferencia de calor y perturbaciones de corriente libre.

    Para flujos incompresibles sobre superficies planas de rugosidad insignificante (gradiente de presin cero), en la ausencia de transferencia de calor, la transicin de flujo laminar a turbulento puede ser retrasado hasta valores de Rex = Ux/ entre 3 y 4 millones si las perturbaciones externas son minimizadas. Sin embargo, bajo condiciones de flujo tpicas la transicin generalmente ocurre cuando Re = 5 105.

    La figura 1.2 presenta esquemticamente el crecimiento de una capa lmite

    sobre una placa plana. Inicialmente se presenta una regin laminar a lo largo de una distancia corta a partir de el extremo frontal de la placa. Posteriormente aparece una regin de transicin para que finalmente ocurra el desarrollo de la regin turbulenta.

    Laminar Transicin

    Turbulento

    Figura 1.2 Capa lmite sobre una placa plana. 1.2 Espesor de Capa Lmite La capa lmite es la regin adyacente a una superficie slida donde las fuerzas viscosas son importantes. El espesor de capa lmite, , se define como la distancia perpendicular a la superficie, desde sta hasta el punto donde la velocidad del flujo es igual al 99 % de la velocidad de corriente libre (0.99U). Si las fuerzas viscosas no existieran en el flujo sobre una placa plana, la velocidad en cualquier punto sera U. Sin embargo, debido a las fuerzas viscosas existentes en el flujo, ste se ve retrasado dentro de la capa lmite de forma que el flujo msico adyacente a la superficie slida es menor que aquel que pasara a travs de la misma regin en ausencia de superficies slidas. El decremento del flujo msico debido a la influencia de las fuerzas viscosas es:

    0 (Uu )dy

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    Por otro lado, definiendo el espesor de desplazamiento, * (figura 1.3), como la distancia que, en ausencia de fuerzas viscosas, la superficie slida tendra que desplazarse, para tener un dficit de masa igual al que ocurre debido a la existencia de la capa lmite, se tiene:

    0 (Uu )dy U* = Dado que para flujos incompresibles = constante, entonces:

    * = ( 1 u/U) dy (1 u/U) dy 0

    0 ya que u U y el integrando es esencialmente cero para y .

    y

    0.99U

    U

    * rea = (U u) dy

    0

    rea = u(U u) dy

    0

    Figura 1.3 Definicin de los espesores de capa lmite

    El efecto de retardo del flujo dentro de la capa lmite produce tambin una

    reduccin en el momentum (cantidad de movimiento) al comparar el flujo dentro de la capa limite con un flujo noviscoso. Entonces, el momentum en el flujo queda definido como:

    donde es el espesor de momentum y est definido como el espesor de una capa de fluido con velocidad U para la cual el momentum es igual a la prdida de momentum a travs de la capa limite. Los espesores de desplazamiento e integral son denominados espesores integrales.

    0 u(Uu )dy U2 =

    = u/U ( 1 u/U) dy u/U (1 u/U) dy 0

    0

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    Capa Lmite Sobre una Placa Plana en Rgimen Laminar: Solucin Exacta

    La solucin para la capa lmite laminar sobre una placa plana fue obtenida por H. Blasius en 1908. Para un flujo bidimensional en estado estable con gradiente de presin despreciable, las ecuaciones de gobierno se reducen a:

    u/ x + v/ y = 0 u u/x + v u/ y = 2u/ y2

    con las condiciones de frontera:

    u = 0 en y = 0 u = U en y =

    Blasius propuso una solucin de similaridad de tipo:

    u/U = g() donde y/

    donde es el espesor de la capa lmite y es funcin de x, y, U y tal que:

    = y[U/( x)]1/2

    Introduciendo la funcin de corriente,, donde

    xv

    yu

    =

    =

    La cual satisface la ecuacin de continuidad. Sustituyendo u y v dentro de las

    ecuaciones de gobierno, el resultado es una sola ecuacin con una variable dependiente . Definiendo la funcin de corriente adimensional como:

    xUf

    =)(

    Se obtiene el sistema con una variable dependiente f() mientras que es la variable independiente. Aplicando las sustituciones anteriores, se obtiene:

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    =

    +

    =

    +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    fddf

    xUv

    fxU

    xfxU

    fxU

    xfxU

    xv

    fUx

    UfxUyy

    u

    21

    211

    21

    21

    Al diferenciar las componentes de la velocidad se tiene:

    3

    32

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    dfd

    xU

    yu

    dfd

    xUU

    yu

    dfd

    xU

    xu

    =

    =

    =

    De forma que la ecuacin de cantidad de movimiento en la direccin x se transforma en:

    ==

    ===

    =+

    en1y

    0en0con

    02 22

    3

    3

    ddf

    ddff

    dfdf

    dfd

    De esta forma, la ecuacin diferencial parcial de segundo orden que gobierna el crecimiento de la capa lmite bajo rgimen laminar se transforma en una ecuacin diferencial ordinaria no lineal de tercer orden con las condiciones de frontera adecuadas. Blasius resolvi esta ecuacin empleando una expansin en series de potencias. La misma ecuacin fue ms tarde resuelta en forma ms precisa por Howarth [1]. Los valores de f, df/d y d2f/d2 se muestran en la tabla 1.1. El perfil de velocidad se obtiene de forma adimensional al graficar u/U contra empleando los valores obtenidos de la tabla mostrada.

    De la tabla se observa que en =5.0, u/U = 0.992. Definiendo el espesor de capa lmite, , como el valor de y para el cual u/U = 0.99, entonces:

    x

    xxU Re

    0.5/0.5

    =

    El esfuerzo cortante en la pared puede expresarse como:

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    02

    2

    0

    /==

    =

    =

    d

    fdxUUyu

    yw

    As

    xUUw /332.0 =

    y el coeficiente de esfuerzo cortante en la pared, Cf, es:

    x

    wf

    UC

    Re664.0

    21 2

    ==

    Tabla 1.1 Valores obtenidos de la solucin exacta Uyvx =

    f f = u/U f

    0.0 0 0 0.33206 0.2 0.00664 0.6641 0.33199 0.4 0.02656 0.13277 0.33147 0.6 0.05974 0.19894 0.33008 0.8 0.10611 0.26471 0.32739 1.0 0.16557 0.32979 0.32301 1.2 0.23795 0.39378 0.31659 1.4 0.32298 0.45627 0.30787 1.6 0.42032 0.51676 0.29667 1.8 0.52952 0.57477 0.28293 2.0 0.65003 0.62977 0.26675 2.2 0.78120 0.67132 0.24835 2.4 0.92230 0.72899 0.22809 2.6 1.07252 0.77246 0.20646 2.8 1.23099 0.81152 0.18401 3.0 1.39682 0.84605 0.16136 3.2 1.56911 0.87609 0.13913 3.4 1.74696 0.90199 0.11788 3.6 1.92954 0.92333 0.09809 3.8 2.11605 0.94112 0.08013 4.0 2.30576 0.95552 0.06424 4.2 2.49806 0.96696 0.05052 4.4 2.69238 0.97587 0.03897 4.6 2.88826 0.98269 0.02948 4.8 3.08534 0.98779 0.02187 5.0 3.28329 0.99155 0.01591 5.2 3.48189 0.99425 0.01134 5.4 3.68094 0.99616 0.00793

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    5.6 3.88031 0.99748 0.00543 5.8 4.07990 0.99838 0.00365 6.0 4.27964 0.99898 0.00240 6.2 4.47948 0.99937 0.00155 6.4 4.67938 0.99961 0.00098 6.6 4.87931 0.99977 0.00061 6.8 5.07928 0.99987 0.00037 7.0 5.27926 0.99992 0.00022 7.2 5.47925 0.99996 0.00013 7.4 5.67924 0.99998 0.00007 7.6 5.87924 0.99999 0.00004 7.8 6.07923 1.00000 0.00002 8.0 6.27923 1.0000 0.00001

    8.2

    6.47923 1.00000 0.00001

    8.4 6.67923 1.00000 0.00000 8.6 6.87923 1.00000 0.00000 8.8 7.07923 1.00000 0.00000

    1. Howarth L.,On the solution of the laminar boundary layer equations, Proceedings of the Royal Society of London, A164, 1938, pp. 547 579.

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    1.3 Ecuacin Integral de Momento Al considerar un volumen de control dentro de la capa lmite, es posible obtener una expresin de la ecuacin de cantidad de movimiento que sea funcin de la distancia a lo largo de la superficie slida. Esta expresin puede aplicarse tanto al flujo laminar como turbulento. Partiendo de la segunda ley de Newton, se tiene: - Ecuacin de cantidad de movimiento (Momento)

    +

    +

    +

    =

    ===

    zuw

    yuv

    xuu

    tum

    DtDUm

    dtdvmamF r

    r

    Forma Integral

    dAnuuudvt

    FFSVys

    )( rrrr

    +

    =+ - Ecuacin de continuidad

    0)( = dAnuSrr ; =

    Ent Salmm..

    Para flujo permanente en estado permanente

    0=V udvt

    dAnuuFFSys

    )( rrrr

    =+ Para el anlisis del campo de flujo en la capa lmite, se considera el elemento diferencial definido en el esquema por a-b-c-d

    Figura 1.4 Volumen de control diferencial en la regin de capa lmite

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    Ecuacin de continuidad

    Flujo de entrada (a-b): ==

    0

    .

    abx mudydzm

    Flujo de salida (c-d): dxx

    mmm xxdxx

    +=+

    ...

    +=

    00

    .udydzdx

    xudydzmcd

    Flujo en la frontera (b-c):

    ==

    0

    ...udydzdx

    xmmm salentbc

    Ecuacin de momento

    -Entrada (a-b): =

    0

    )( dzudyufab

    -Salida (c-d):

    +=

    00

    )()( dzdxudyux

    dzudyufcd

    -Salida (b-c):

    =

    0

    )( dzdxudyUx

    fbc

    Fuerzas de superficie ( ): sxF -Entrada (a-b): dzPFab = ; P=presin

    -Salida (c-d): ( )

    +

    += dzdxxPPFcd

    Para la frontera (b-c), se considera una fuerza definida por:

    dzddxxPPFbc

    +=21

    -Superficie, frontera (a-d): )(dxdzF wad = Considerando que: dxdxd

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    Aplicando la ecuacin de Bernoulli en la regin de flujo no-viscoso se obtiene que:

    dxdUU

    dxdP =

    Introduciendo la integral , la ecuacin de cantidad de movimiento en forma integral,

    para la capa lmite, se expresa como:

    =

    0

    dy

    +

    +=

    000

    )()( dyudxdUudy

    xUdyuu

    dxd

    w

    Para simplificar esta ecuacin, se aplica la siguiente derivada:

    +

    =

    000

    )()()( dyudxdUdyu

    xUdyuU

    x

    Al sustituir el trmino correspondiente en la ecuacin de cantidad de cantidad de movimiento, se obtiene:

    +

    =

    00

    )()( dyuUdxdUdyuUu

    xw

    Definiendo una nueva variable:

    y

    =

    Se obtiene: ddy = Entonces para esta nueva variable se define la ecuacin:

    +

    =1

    0

    1

    0

    )()( duUdxdUduUu

    xw

    Para U = constante; los gradientes de presin

    dxdP

    son despreciables. Por lo tanto

    =1

    0

    )( duUuxw

    =1

    0

    2 )1()( dUu

    Uu

    xUw

    Esta ecuacin se obtiene al considerar: - Flujo en estado permanente - Flujo incompresible - Despreciando fuerzas de cuerpo (gravedad)

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    - la ecuacin se puede aplicar al flujo laminar o turbulento - Es necesario tener una expresin que relaciona el esfuerzo cortante, con el perfil de velocidad o espesor de capa lmite

    =1

    0

    2 )1()( dUu

    Uu

    xUw

    Ejemplo: Para un flujo laminar el perfil de velocidad se define como:

    2cybyau ++= donde la condiciones de frontera aplicadas son:

    ==

    ====

    ydydu

    yUuyu

    ;0

    ;0;0

    22 =Uu

    y

    =

    Para flujo laminar se puede aplicar:

    0=

    =

    yw dy

    du

    Para aplicar la ecuacin de cantidad de movimiento, se representa el esfuerzo cortante en funcin de la nueva variable , esto es:

    0=

    =

    dUud

    Uw = ( )

    0

    22

    =

    ddU

    Uw

    2=

    Sustituyendo en la ecuacin de cantidad de movimiento, se obtiene:

    =1

    0

    2 )1()(2 d

    Uu

    Uu

    xUU

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    Para obtener una expresin del espesor de capa lmite, , se integra y se hace una separacin de variables, esto es:

    dxdUU

    =152)(2 2

    -Separando variables:

    dxU

    d 15=

    Integrando ambos lados de la ecuacin y aplicando la condicin x=0; 0= se obtiene:

    Ux

    30= =5.48

    Ux

    Tambin puede expresarse como:

    Ux

    x 30

    = =xRe

    48.5

    Para el esfuerzo cortante, se puede obtener una expresin del coeficiente de esfuerzo cortante en la pared, , esto es: xCf

    2

    21 U

    C wxf

    =

    Donde:0=

    =

    yw dy

    du = 0

    2

    2

    =

    dtfd

    vUU

    x

    xUU

    xUUw

    == 332.0332.0

    Sustituyendo en , se obtiene xCf

    2

    21

    332.0

    U

    xUU

    Cf x

    = =xU

    U

    664.0

    xx Ux

    CfRe664.0664.0 ==

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    Para diferentes perfiles de velocidad en la capa lmite se obtienen soluciones con la ecuacin integral de la cantidad de movimiento

    Distribucin de velocidad xx

    Re xxCf Re

    y

    3

    23

    23

    yy

    y2

    sin

    3.46

    4.64

    4.80

    0.578

    0.646

    0.654

    Solucin exacta 5.0 0.664 1.4 Gradientes de presin en capa lmite Cuando los gradientes de presin en la capa lmite no son despreciables y tienen un efecto sobre el comportamiento del flujo dentro de la regin de capa lmite.

    cteU

    Por ejemplo, considerando un ducto donde se desarrolla la capa lmite y se tienen gradientes de presin, el efecto de estos se muestra en el siguiente esquema:

    Figura 1.5 Flujo en capa lmite con gradientes de presin.

    El punto de separacin sobre la frontera slida (superficie) se identifica con: 0=

    xu

    . Entonces

    se establece que para 0=dxdP

    , el flujo no se separa de la superficie.

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    Un gradiente de presin adverso: 0>dxdP

    , es una condicin necesaria para la separacin de la

    capa lmite. Comparando los perfiles de velocidad y momento, figura 1.6, se puede observar que se necesita mayor gradiente de presin adverso en el rgimen de flujo turbulento para provocar la separacin de la capa lmite.

    Figura 1.6 Perfiles adimensionales sobre una placa plana.

    1.5 Fuerza de arrastre Cuando un cuerpo se encuentra inmerso en un fluido experimenta una fuerza, F, debido a la accin del movimiento del fluido. Generalmente se establecen fuerzas de superficie debido al esfuerzo cortante y a la presin, esto es,

    +== s Pss dFdFFdF )()( rr

    donde la componente paralela en la direccin del flujo se identifica como la fuerza de arrastre y se divide en las fuerzas debido al esfuerzo cortante y de presin, que se representan como:

    =A

    wdAF =A

    p pdAF

    Para entender el efecto de la fuerza de arrastre, se considera el caso de una placa plana expuesta a un flujo con una velocidad uniforme, U.

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    Flujo paralelo sobre una placa plana: arrastre por friccin Considerando un gradiente de presin cero, el arrastre total sobre una placa plana es igual a la friccin, entonces:

    AUF

    AU

    dAC

    wD 22

    21

    21

    ==

    Para flujo laminar, se tiene de la solucin exacta:

    x

    wx

    UCf

    Re664.0

    21 2

    ==

    Entonces,

    =A

    xD dACfAC 1 = bdxbL x

    21

    )(Re664.01 ; para A=b*L

    Integrando se obtiene:

    ;Re328.1

    LDC = donde

    ULL =Re

    Tambin se pueden obtener otras expresiones, como:

    sx

    wx

    UCf 12 )(Re

    0577.0

    21

    ==

    ; flujo turbulento sobre toda la placa plana

    donde: 5

    1)(Re

    072.0

    L

    DC =

    De acuerdo a datos experimentales: 5

    1)(Re

    074.0

    L

    DC = ; vlida para 710Re

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    Flujo normal sobre una placa plana: arrastre por presin Si se tiene un flujo normal sobre una placa plana, se desarrolla un fuerza de arrastre relacionada con la presin que se ejerce sobre la placa. Esta fuerza se define como:

    =A

    p pdAF

    donde el flujo se separa en los extremos de la placa, generndose un retroceso de flujo (reflujo), figura 1.7. El coeficiente de arrastre por presin se determina, principalmente, por experimentacin donde la relacin de aspecto (ancho/alto) de la placa es el parmetro importante junto con el nmero de Reynolds. Este nmero se evala en funcin de la altura de la placa, Reh, donde a valores mayores de 1000, el coeficiente de arrastre es independiente del nmero de Reynolds.

    Figura 1.7 Flujo normal sobre una placa plana.

    Para el caso de la placa plana expuesta a un flujo normal, se tiene una grfica que relaciona el coeficiente de arrastre con la relacin de aspecto teniendo Reh >1000, figura 1.8.

    Figura 1.8 Coeficiente de arrastre sobre una placa plana expuesta a un flujo normal.

    donde el nmero de Reynolds se define como:

    Uhh =Re

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    Para otros objetos tambin existen valores del coeficiente de arrastre, tabla 1.2.

    Tabla 1.2 Coeficiente de arrastre para otros objetos, Reh > 1000.

    Flujo normal sobre una esfera o cilindro: arrastre por friccin y presin En el caso de una esfera o cilindro en flujo cruzado, tanto la friccin como la presin contribuyen al arrastre total y tambin est relacionado con el nmero de Reynolds, el cual se define como:

    dRe Ud =

    Para no hay separacin de capa limite sobre la esfera y la estela es laminar dominando el arrastre por friccin, figura 1.9. Para este caso, Stokes, demostr analticamente que las fuerzas inerciales son despreciables y defini la fuerza arrastre como.

    1Re d

    UdFD 3=

    y coeficiente de arrastre como

    UA

    FC DD

    21

    =

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    Cuando se incrementa hasta 1000, el coeficiente disminuye debido a la separacin de cada lmite y el arrastre es una combinacin de friccin y presin. Cuando

    el arrastre por friccin contribuye con el 5% del arrastre total:

    dRe

    1000Re d Para el rango el coeficiente tiene poca variacin. Sin embargo,

    cuando el coeficiente reduce abruptamente.

    33 102Re10 xd

    Figura 1.9 Coeficiente de arrastre sobre una esfera. -Para esferas lisas, la transicin ocurre a 5104Re xd =-Para esferas rugosas la transicin ocurre 5101Re xd = Para un cilindro en flujo cruzado el comportamiento es similar, pero con distintos valores para el coeficiente de arrastre, figura 1.10.

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    Figura 1.10 Coeficiente de arrastre para un cilindro en flujo cruzado Perfil aerodinmico La extensin de la regin donde existe la separacin de flujo, atrs de los cuerpos en flujo normal, se puede reducir o eliminar al disear objetos con forma aerodinmica, figura 1.11. Esta modificacin al objeto reduce el gradiente de presin adverso.

    Figura 1.11 Coeficiente de arrastre total en un perfil aerodinmico.

    Para un el coeficiente de arrastre es de 5104Re xd = 06.0=DC , donde 25.0ct

    lo

    cual representa un 20% menos del valor que se obtiene para un cilindro en flujo cruzado. En 1930 la NACA (Nacional Advisor Comittee for Aeronautics) desarroll perfiles aerodinmicos de flujo laminar donde la transicin en la capa lmite se presenta entre el 60% 63% de la longitud de la cuerda desde el borde de ataque (nariz) de perfil. Para dos perfiles simtricos de un 15 % de relacin de espesor, t/c, figura 1.12, la transicin en el perfil NACA0015 se lleva a cabo en x/c = 0.13 cerca del punto de mximo espesor. Por lo tanto, la mayor parte del perfil tiene una capa lmite turbulenta con un coeficiente de arrastre de . 0061.0=DC

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    Figura 1.12 Coeficiente de arrastre por presin en dos perfiles simtricos.

    La solucin para reducir el arrastre sobre el perfil, es mover el punto de mximo espesor, perfil NACA662-015, para tener flujo laminar con un gradiente de presin

    favorable, esto es, para 63.0=cx

    , para este perfil: 0035.0DC . Estos perfiles

    aerodinmicos se usan en el diseo de aviones subsnicos. Para estos perfiles, el flujo laminar se mantiene hasta . 61030Re xd = Fuerza de levante (sustentacin) Esta fuerza es la componente perpendicular al rea de la superficie debido a la accin del flujo sobre la superficie. Para evaluar la fuerza se define un coeficiente de levante:

    p

    LL

    AUF

    C2

    21

    =

    Donde es el rea de proyeccin (mxima) del perfil. Entonces para un perfil aerodinmico los coeficientes de arrastre y levante dependen del nmero de Reynolds

    pA

    Uc

    c =Re , definido en funcin de la longitud de cuerda del perfil, y del ngulo de ataque

    . Este ngulo de ataque se establece entre la cuerda del perfil y el vector velocidad de la corriente libre, U. Los coeficientes de arrastre y levante para perfiles de flujo laminar se presentan en la figura 1.13, considerando un nmero de Reynolds de 9x106.

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    Figura 1.13 Coeficientes de arrastre y levante en funcin del ngulo de ataque.

    Si el ngulo de ataque se incrementa, el coeficiente de levante incrementa hasta alcanzar un valor mximo. Sin embargo, si sigue aumentando el ngulo de ataque se produce un decremento sbito en el coeficiente de levante. En las pruebas sobre estos perfiles, se identifica la separacin del flujo sobre la superficie superior. Si el ngulo de ataque se incrementa el punto de estancamiento se mueve hacia atrs a lo largo de la superficie inferior del perfil. En el perfil aerodinmico, el flujo se acelera en la superficie superior y la presin se reduce, propiciando el gradiente de presin adverso que provoca la separacin del flujo. Esta condicin de flujo provoca un cambio sbito en el coeficiente de arrastre y representa la transicin del flujo en la parte superior del perfil.

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    Para las alas del avin de longitud finita (envergadura), el coeficiente de levante se reduce y el coeficiente de arrastre se aumenta. El efecto de la envergadura finita se representa a travs de una razn de aspecto, ar, definida como:

    pAbar

    2=

    donde b es la longitud de la envergadura y es el rea de la plataforma (rea de proyeccin). Este efecto se muestra en las figuras 1.14 y 1.15.

    pA

    Figura 1.14 Vrtices formados para una envergadura finita.

    Figura 1.15 Efecto de la envergadura finita sobre los coeficientes de arrastre y levante.

    La teora de alas de envergadura o alargamiento finito predice que el ngulo de ataque aumenta de acuerdo a la cantidad,

    arCL

    =

    provocando un un aumento en el coeficiente de arrastre,

    arCCC LLD

    2

    ==

    este trmino se conoce como arrastre inducido.

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    Entonces para un ala de envergadura finita se tiene que:

    arCCCCC LDDiDD

    2

    ,, +=+=

    donde CD, es el coeficiente de arrastre para una envergadura infinita. Finalmente se puede establecer que el arrastre sobre perfiles aerodinmicos surge de fuerzas viscosas y de presin, donde el arrastre viscoso cambia con el nmero de Reynolds, pero el ngulo de ataque tiene poca influencia, figura 1.16.

    Figura 1.16 Arrastre sobre cuerpos con y sin levante. Para el caso de una ala de avin o el avin completo, una aproximacin til de la relacin sustentacin-resistencia se obtiene al considerar el arrastre inducido donde el coeficiente de arrastre se representa como:

    arCCCCC LDiDDD

    2

    0,,0, +=+=

    donde CD, 0 es el coeficiente de arrastre para sustentacin (levante) cero. Para condiciones de vuelo en estado permanente, la sustentacin o levante es igual al peso del avin, por lo tanto,

    )21( 2 AUCFW LL ==

    y la velocidad mnima de vuelo se obtiene al considerar

    maxLLCC = . Entonces:

    ACWUL

    mnmax

    2

    =

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