Hidrostática.

La presión es la fuerza que se ejerce por unidad de superficie. Por lo

tanto, vendrá definida por su módulo o intensidad y por su dirección, siendo

evidente el sentido en que actúa (hacia el cuerpo considerado). A continuación

vamos a estudiar las dos propiedades que la definen.

1. Relativa a su dirección: En una masa líquida en equilibrio, la

presión hidrostática en cualquiera de sus puntos debe ser

normal (perpendicular) al elemento plano sobre el que actúa. Si

no fuera así, existiría una componente tangencial que rompería

el equilibrio.

siendo: F: Fuerza uniformemente repartida, o bien, fuerza media que

actúa sobre s

s: Superficie

Si s se hace infinitamente pequeña, entonces se define la presión:

2. Relativa a su intensidad: En un punto de una masa líquida

existe la misma presión hidrostática en todas las direcciones,

es decir, la presión es independiente de la inclinación de la

superficie sobre la que actúa. Consideremos un volumen

elemental de líquido en reposo en forma de tetraedro OABC.

Fuerzas másicas, es decir, las fuerzas exteriores que actúan sobre la

masa del elemento líquido. Se deben a la gravedad, dependen del peso del

elemento considerado, y por tanto son proporcionales al producto de las tres

dimensiones (dx × dy × dz), es decir, al volumen.

El empuje sobre cada una de las caras del tetraedro, debido a las

presiones ejercidas por el resto del líquido.

Presiones totales:

Estableciendo la ecuación de equilibrio de las fuerzas de presión

intervinientes y proyectándolas sobre el eje OX se obtiene:

Ecuación fundamental de la hidrostática

En el líquido en reposo, ver figura, se aísla un volumen infinitesimal, formado

por un prisma rectangular de base   y altura  .

Imaginemos un plano de referencia horizontal a partir del cual se miden las

alturas en el eje z.

La presión en la base inferior del prisma es  , la presión en la base superior

es  . La ecuación del equilibrio en la dirección del eje z será:

o sea:

integrando esta última ecuación entre 1 y 2, considerando que   se

tiene:

o sea:

Considerando que 1 y 2 son dos puntos cualesquiera en el seno del

líquido, se puede escribir la ecuación fundamental de la hidrostática del fluido

incompresible en las tres formas que se muestran a continuación.

Primera forma de la ecuación de la hidrostática

La ecuación arriba es válida para todo fluido ideal y real, con tal que

sea incompresible.

(Fluido ideal es aquel fluido cuya viscosidad es nula)

Segunda forma de la ecuación de la hidrostática

La constante y2 se llama 'altura piezométrica'

Tercera forma de la ecuación de la hidrostática

Donde:

 = densidad del fluido

 = presión

 = aceleración de la gravedad

 = cota del punto considerado

 = altura piezometrica

Empuje sobre superficies planas y curvas

Empujes sobre superficies planas sumergidas

Para analizar el empuje sobre una superficie plana sumergida vamos a

considerar:

Sea OX el nivel del agua

Sea S la superficie sumergida sobre la que se quiere calcular el empuje

La presión en el punto M situado sobre la superficie S resulta: p = γ·z

El empuje dE en el entorno del punto M, para una superficie dS es: dE =

p·dS = γ·z·dS

Teniendo en cuenta que

siendo zg la cota del c.d.g. de la superficie S respecto de OX. El empuje total

sobre la superficie S será:

Determinación del centro de empuje:

Tomando momentos de E respecto de la superficie libre del agua, OX

Aplicando el teorema de Steiner y sustituyendo en la ecuación (9)

Operando

que fija la localización del Centro de Empuje.

El centro de empuje queda siempre por debajo del c.d.g y ambos puntos

están tanto más separados cuanto más pequeño sea el valor de zg (cuanto

menos sumergida está la superficie)

Empuje hidrostático sobre una superficie plana situada en le plano OP,

que forma un ángulo β con el nivel del agua

El empuje dE en el entorno dS del punto M es: dE = p·dS ; p = γ·z = γ·x·sen β

Extendiendo el empuje a toda la superficie

2.2 Empuje sobre superficies curvas sumergidas

Se supone la superficie curva como una sucesión de superficies planas

elementales ΔS.

El empuje sobre cada superficie elemental ΔS puede reducirse a una

componente horizontal, a una componente vertical y a una componente axial.

La suma de todas estas componentes ΣX; ΣY; ΣZ dará lugar a tres

términos X, Y, Z que en general se cruzarán en el espacio, dando lugar a una

fuerza resultante y a un par (método de Poincare).

El problema se simplifica tratándose de superficies cilíndricas de

revolución, que por otra parte son las de mayor aplicación en la práctica, por lo

que a continuación se detiene a comentarlas.

Empujes sobre superficies curvas de revolución sumergidas

Sea la superficie de la figura, una cuarta parte de un cilindro de

revolución, y se descompone la superficie curva en una sucesión de superficies

planas elementales ΔS.

Cada una de estas superficies estará sometida a un empuje ΔE,

perpendicular a la misma, que se puede descomponer en una componente

horizontal ΔX y en una vertical

ΔZ, tal que verifiquen:

ΔX = ΔE·cos β ; ΔZ = ΔE·sen β

Geométricamente se comprueba:

La suma de todas las proyecciones, tanto horizontales como verticales, resulta:

Sz, es la proyección de la superficie cilíndrica sobre el plano vertical

(paralelo a las generatrices)

Sx, es la proyección de la superficie cilíndrica sobre el plano horizontal;

Z = V·γ (el peso de la columna líquida que carga sobre la superficie

curva, que se aplica en el c.d.g. de dicha columna.

El principio de Pascal y sus aplicaciones

La presión aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente

se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo.

Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por

el físico y matemático francés Blas Pascal (1623-1662), se conoce como

principio de Pascal.

El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de

la ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter incompresible de los

líquidos. En esta clase de fluidos la densidad es constante, de modo que de

acuerdo con la ecuación p = po + · g · h si se aumenta la presión en la

superficie libre, por ejemplo, la presión en el fondo ha de aumentar en la misma

medida, ya que · g · h no varía al no hacerlo h.

La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de

Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado.

Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre

sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o

aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en

cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido.

Cuando sobre el émbolo de menor sección S1 se ejerce una fuerza F1 la

presión p1 que se origina en el líquido en contacto con él se transmite

íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido; por tanto, será

igual a la presión p2 que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección

S2, es decir:

p1 = p2

con lo que:

y por tanto:

Si la sección S2 es veinte veces mayor que la S1, la fuerza F1 aplicada

sobre el émbolo pequeño se ve multiplicada por veinte en el émbolo grande.

 

La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de

Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el

fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos

hidráulicos de maquinaria industrial.

P1 = P2

P1, P2 = Presiones en 1 y en 2

F1, F2 = Fuerzas 1 y 2

S1, S2 = Superficies 1 y 2