mecanica de fuidos

F Í S I C A 2MECÁNICA

DE FLUIDOS

19/05/2012 10:13 a.m.

MECÁNICA DE FLUIDOS

FLUIDO. Es el estado de la materia que no tiene forma propia, adopta

la forma del recipiente que lo contiene

Tipos: líquidos, gases y plasma

Densidad. Es la relación entre la masa de una sustancia y el

volumen que ocupa. En cuerpos homogéneos la densidad se define

mediante la expresión:

Unidades:

Las densidades de diversas sustancias se encuentran en los textos de

física. En condiciones normales de temperatura (4°C) y presión (1 atm), la

densidad del agua es : o = 103 kg / m3 = 1 g / cm3

= m / V (1)

De donde: m = V (2)

Sistema. S. I : kg / m3 M.K.S gravitatorio : UTM / m3

C.G.S : g / cm3 Inglés gravitatorio : slug /pie3

Inglés : lb / pie3

19/05/2012 10:13 a.m. 2Segundo L. Gallardo Zamora

Densidad relativa o gravedad específica. Es la relación entre la

densidad de un fluido y la densidad del agua en condiciones

normales.


La densidad relativa es un número sin unidades y sólo expresa la

proporción en que un fluido es más o menos denso que el agua.

Peso específico. Es la relación entre el peso de una sustancia y el

volumen que ocupa. En cuerpos homogéneos el peso específico se

define mediante la expresión:

r = / o(3)

= mg / V(4)

Por ejemplo: Si la densidad del acero es = 7,8x103 kg/m3,

entonces su densidad relativa es: r = 7,8x103 / 103 = 7,8. Esto

significa que el acero es 7,8 veces más denso que el agua

Como la densidad es = m / V, entonces el peso específico se pue-

de expresar en la forma = g (5)



Los pesos específicos de diversas sustancias se encuentran en los

textos de física. Las unidades son:

Presión. Es la relación entre la fuerza normal a una superficie y el

área de la misma.

A

Figura 1

Normal

Fn

P = Fn / A (6)

Sistema. S. I : N / m3 M.K.S gravitatorio : kgf / m3

C.G.S : din / cm3 Inglés gravitatorio : lbf / pie3

Inglés : pd / pie3

De donde:

Fn = P A (7)

Normal

A

Figura 2

F Fn = F cos


Unidades:


Sistema. S. I : N / m2 = Pascal = Pa

C.G.S : din / cm2

Inglés : pd / pie2

M.K.S gravitatorio : kgf / m2

Inglés gravitatorio : lbf / pie2

Otras unidades:1 bar = 106 din/cm2

Po = 1 atmósfera = 1 atm = 1,013 x 105 Pa

= 1,013 x 106 din/cm2

Presión Atmosférica. Es la presión que ejerce el aire sobre los

cuerpos que están dentro de él.

A nivel del mar (0 m de altura) y en condiciones normales de tempera-

tura ( 4°C), la presión del aire es de una atmósfera .


Líquido Figura 3

Cuerpo

Presión en un fluido.


Todo cuerpo sumergido dentro de un fluido en reposo (líquido o gas)

está sometido a la presión que ejerce el peso del fluido que lo rodea

Esta presión produce fuerzas del tipo “Fi = P Ai” en todas direc-

ciones sobre cada área Ai del cuerpo donde actúan, tal como se

muestra en la Fig.3

Fi


Cálculo de la presión en un líquido


La presión dentro de un líquido homogéneo varia con la profundidad

respecto a la superficie libre del líquido.

Consideremos un volumen de líquido como el que se muestra en la

Fig.4, que está en equilibrio bajo las siguientes condiciones físicas:

Si en este líquido consideramos un

elemento cilíndrico de líquido con base de

área “A” y grosor dy , su volumen es:

d V = A dy.

Este elemento tiene una masa dm = d V =

A dy, y un peso d w = g A dy. Z

Y

X

Figura 4

d yA

ydw

Presión

atmosférica

P1 = PoSuperficie libre

Presión atmosférica (Po),

aceleración debido a la gravedad (g) y

densidad


La presión sobre la cara lateral del elemento es la misma en todas

direcciones, pero sobre las bases superior e inferior las presiones son

diferentes por estar a diferentes alturas.


Y denominando por (p + dp) a la presión

que ejerce el líquido sobre la superficie

supe-rior del elemento, la fuerza ejercidaes F´= -(p + dp) A, dirigida hacia abajo

Como el elemento de fluido está en

equilibrio la suma de estas fuerzas en la

dirección Y es igual a cero.

Fy = p A – (p + dp) A – g A dy = 0

Z

Y

X

Figura 5

d y A

y

F´

dwF

Presión

atmosférica

P1 = Po

Superficie

libre

Si p es la presión que ejerce el líquido so-

bre la cara inferior del elemento, la fuerza

ejercida es F = p A, dirigida hacia arriba

Simplificando y dividiendo entre A obtenemos:dp

dy = – g (8)


La Ec. (8) nos indica que la presión varía en forma constante con a la

altura respecto a la base del recipiente del líquido, en forma tal que

su valor disminuye medida que aumenta la altura “y”.


Para calcular la diferencia de presión entre

dos puntos dentro del líquido tomamos la

sección transversal de la figura anterior y lo

ubicamos sobre los ejes (X,Y) como en la Fig.

6. En esta sección transversal consideramos

el punto 1 ubicado a la altura y1, y el punto 2

ubicado a la altura y2, donde las presiones

son P1 y P2, respectivamente.

X

Y

Presión atmosférica

Figura 6

h = -(y1-y2)

La diferencia de presión entre los dos pun-

tos del líquido se obtiene integrando la

Ec.(8).

d p = - g dyy2

y1

p2

p1

•

y1

P11

P2 = P0

y2

• 2


Obteniéndose:


p2 - p1 = - g (y2 – y1 ) (9)

Según la Fig.6, vemos que P2 = P0, es la presión atmosférica y ladiferencia de alturas es: h = -(y1– y2 ).

Por lo tanto, la presión absoluta en el punto 1, a una profundidad

“h” dentro de un fluido de densidad uniforme, es:

p = p0 + g h (10)

De esta ecuación obtenemos la presión manométrica ( pm = p – po ), o

presión debido solamente al líquido por encima del punto.

pm = g h (11)

Esta ecuación nos indica que la presión dentro de un líquido

depende solamente de la profundidad “h” y no del volumen de

líquido o la forma del recipiente en el cual se mide, tal como se

demuestra con el dispositivo denominado paradoja hidrostática que

se muestra en la Fig. 7 de la siguiente página.


Paradoja Hidrostática. Es un dispositivo formado por varios recipien-

tes de diversas formas conectados por su base al mismo nivel.


Según esta representación, la presión absoluta en el fondo de todos

los recipientes es la misma:

p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = po + g h

p1 p3p4

p5p2• • • • •

h

popo po po po

•• • • •

Figura 7


http://www.youtube.com/watch?v=xa4VHOL37HY&NR=1

Ley de Pascal


Esta ley indica que: “la presión aplicada a un fluido encerrado se

transmite sin variación por todo el fluido y a las paredes del

recipiente que lo contiene”.

Esto se demuestra con la prensa hidráulica de la Fig.8, cuando se

aplica una pequeña fuerza F1 en el émbolo de área menor y se

produce como efecto una fuerza mayor F2 en el émbolo de área

mayor.

Figura 8. Prensa hidráulica

A1 A 2

F1

F2P1

p2 = p1 = p


La fuerza F1 ejercida en A1 produce la presión p = F1 / A1 que se

trasmite por todo el líquido sin variación y actúa sobre el área A2

produciendo la fuerza F2 = p A2 .


F1 / A1 = F2 / A2

De donde: F2 = (A2 / A1 ) F1 (12)

Pero A2 > A1, entonces (A2 / A1 ) > 1

Como la presión es la misma tenemos que:

Por lo tanto: F2 > F1

Lo cual significa que la prensa hidráulica aumenta la fuerza, debido

al factor multiplicador (A2 / A1 ) >1.

2.- ¿Qué sucede si la fuerza externa se aplica en el émbolo de área mayor y el

efecto se mide en el émbolo de área menor? Ejemplo.

TRABAJO DOMICILIARIO 01.

1.- ¿Qué instrumentos se utilizan para medir la presión?


Ejemplos.


1.- El tubo en forma de U de la Fig.9 se llena parcialmente con agua.

Luego se agrega queroseno, de densidad 0,82 g/cm3, en el brazo

derecho del tubo formando una columna de 6 [cm] de altura.

Hallar la distancia h entre las superficies libres de los líquidos. ( h

= 1,1 cm)

h6 cm

agua

k

Figura 9

2.- Hallar la fuerza vertical F que debe aplicarse en la parte izquierda

de la prensa hidráulica de la Fig.10, para que el sistema se

mantenga en equilibrio. Considere que los émbolos no pesan. (F =

809,2 N)

2,5 [cm]

1 [m] 8,75 [cm]

1 [Tn]

F

Figura 10

agua



Las fuerzas ejercidas por el agua embalsada a una altura H en un

dique o presa varía linealmente con la profundidad, como se muestra

en la Fig.11. Cada fuerza dFi ejercida sobre un elemento de área dAi

de la pared vertical del dique es dFi = Pi dAi

Fuerzas contra un dique.

La resultante F de

estas fuerzas tien-

de a deslizar la pa-

red a lo largo de su

base (Fig.11. a) y

en cierto instante

tiende a volcarlo

alrededor del punto

O, mediante el

torque que gene-

ra, (Fig.11. b)

O

HdFi

hi

Figura 11.

Fuerzas

sobre un

dique

(a)F

(b)

O

HdFi

hi

F


Para calcular la fuerza normal resultante y el torque o momento sobre la

pared vertical del dique que da frente al agua, alineamos la pared con el

plano (X;Y) como se muestra en la (Fig.12)


En esta cara consideramos una

franja de longitud L, ancho “dy”,

ubicada a una altura “y” sobre la

base del dique (Eje X).

Figura 12

L

X

Y

Z

H

(H – y) = h

y

dyLa fuerza normal sobre la franja

de área dA = L dy es:

dF = P dA = P L dy

dF = g (H - y) L dy

No se toma en cuenta la presión atmosférica porque actúa sobre

ambas caras del dique. Por lo tanto, la fuerza normal a la franja es:

donde la presión ejercida por el

agua es:P = g h = g (H - y)

dF



El torque o momento de la fuerza dF respecto al eje X es:

d = y d F = g (H - y) L y dy

Por lo tanto, el torque total es:

Para hallar la fuerza resultante sobre la pared vertical integramos el

diferencial anterior.

F = ½ g L H2 (13)

= g L H31

6 (14)

0 dF = 0 g (H - y) L dyHF

0 d = 0 g L (H - y) y dyH

Este torque también se puede definir como el producto vectorial:

donde H´ es el vector posición de la línea de acción de la fuerza

resultante F, respecto al eje de rotación (eje X).

= H´ x F


Entonces igualando torques.


F H´ = = g L H31

6

Reordenando y simplificando obtenemos:

H´ = H1

3 (15)

F H´ = g L H3 = ( ½ g L H2 ) H1

6

1

3

Este resultado nos indica que la altura

H´ de la línea de acción de la fuerza

resultante F, está ubicada a 1/3 de la

altura H del agua, respecto a la base

del dique, o a 2/3 por debajo de la

superficie libre, como se muestra en la

Fig.13.

O

F

2H/3

H/3

Figura 13. Ubicación de la línea de ac-

ción de la fuerza neta sobre un dique.

F H´ = F H1

3



Para determinar la dirección del torque usamos la Fig. 14, donde vemos

que: H´= H´ j y F = - F k.

= (H´ j ) x (-F k )

H´ F

Figura 15

Por lo tanto, el torque es:

Según la Fig.5, el torque es un vector paralelo al eje –X.

= - H´ F i


k

j

i

+X

Y

+Z

H´

F

Figura 14

2H/3

H/3 = - (H/3) F i (16)

Ejemplos

3. La presa de Gallito Ciego sobre el río Jequetepeque mostrada en la

Fig.16, tiene una capacidad máxima de almacenamiento de 6x108 [m3]

de agua, con una cortina de longitud promedio de 700 [m] y altura de

104 [m]*. Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre la cortina y la

posición de su línea de acción cuando está llena a su máxima capaci-

dad.


Fig.16

Cortina de

agua

*Datos iniciales del proyecto,

los cuales están cambiando

debido a la colmatación de

tierra que arrastra el agua

turbia.


Solución. La fuerza resultante normal a la sección transversal verti-

cal de la presa (Fig.17) se obtiene usando la Ec.13. Esto significa re-petir la integral de la fuerza dF que actúa sobre la franja de área dA, desde y = 0 hasta y = H.


F = ½ (103)(9,81)(700)(104)2

F = 3,71 x1010 N

La posición de la línea de ac-

ción de esta fuerza, respecto a

la base de la presa, se obtiene

usando la Ec,(15)H´ = (104)1

3

F = ½ g L H2

H´= 34,67 m

Usando valores.

Figura 17

H

L y

dydF

Y

X

Z

0 dF = 0 g (H - y) L dyHF

H


4.- El agua de una presa está a nivel del borde superior de la compuerta

cuyas dimensiones son 2,00 [m] de alto, 4,00 [m] de alto, y pivota

sobre una línea horizontal que pasa por su centro, como se indica en

la Fig.18. Calcular el torque, respecto al pivote, causado por el agua y

ubique la línea de acción de la fuerza neta sobre la compuerta.

(Sugerencia: Utilice un procedimiento similar al que se aplicó para

obtener la Ec. 14).


Figura 18

Pivote

Agua

Compuerta

= - g L H31

12

Donde ubica a la

línea de acc19/05/2012 10:13 a.m. 22Segundo L. Gallardo Zamora

Principio de Arquímedes


Según este principio: “todo cuerpo sumergido total o parcialmente

en un fluido sufre la acción de una fuerza de empuje de abajo hacia

arriba que es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo”. La

“fuerza de empuje” también se denomina “fuerza de flotación”

Vc

Figura 19

c

Bloque

Volumen de liquido desalojadoVolumen de cuerpo sumergido =

Vc V´

Vc = V´

El proceso de desalojo de fluido por el cuerpo sumergido se muestra

en la Fig.19


Entonces, según el principio de Arquímedes:


El punto donde actúa el empuje se denomina

Centro de Carena (C.C), el cual a su vez es el C.G

del volumen de fluido desalojado.

Figura 20

V´

EE = g V ' (16)

Posiciones de flotación

Figura 21

c

C.G

mg

C.C

E

Y

X

Caso 1. Si el cuerpo flota en equilibrio

con su volumen parcial o totalmente

sumergido, es porque el empuje y el

peso del cuerpo están en equilibrio.

Fy = E – m g = 0 E = m g

C.C

Peso de liquido

desalojado

Fuerza de empuje sobre

el cuerpo sumergido =


Caso 2.- Si el cuerpo se hunde es

porque su peso es mayor que el

empuje.


Figura 22

Fy = E – m g = - m a

E = m ( g – a )

C.G

mg

C.C

E

a

X

Y

Caso 3.- Si el cuerpo sale a flote

en el líquido, es porque el

empuje es mayor que el peso

del cuerpo.

Figura 23 X

Y

C.G

mg

aC.C

E

Fy = E – m g = m a

E = m ( g + a )


Preguntas conceptuales. 1.- Explicar ¿por qué los submarinos pueden

flotar entre dos aguas?

2.- ¿Qué sucede con la línea de flotación de un barco cuando ingresa

del océano atlántico al río amazonas ?


Figura 24

W´

E

W

Fy = W´ + E – W = 0

W - W´ = E (17)

En la escala de la balanza de la Fig. 24,

se lee el peso aparente W´ del cuerpo.

Por lo tanto, la aparente pérdida depeso se expresa como: (W – W´) y se

obtiene de la ecuación de equilibrio:

Pérdida aparente de peso.

Todo cuerpo sumergido en un fluido sufre una aparente pérdida de

peso debido al empuje del fluido.

Escala

Tarea de lectura: Presentar un resumen de lectura sobre tensión

superficial y capilaridad


Ejemplos.


Figura 25

o

c

Dinamómetro

5- El bloque metálico de la Fig.25, tiene una

masa de 12 [kg], aristas 20 [cm], 24 [cm] y

30[cm], con la arista mayor en dirección

vertical. El bloque se suspende de un

dinamómetro y se introduce en agua de

forma tal que la cara superior del bloque

sobresale del agua en 8 [cm]. Calcular la

lectura en la escala del dinamómetro.

6.- Un bloque cúbico de madera de 10 cm de

arista flota en la interfaz de aceite y agua con

su cara inferior a 2 cm por debajo del agua,

como se indica en la Fig.26. Si la densidad

del aceite es 0,750 g/cm3, calcular a) la masa

del bloque, b) la presión en la cara superior e

inferior del bloque.

Aceite

Agua

10 cm

10 cm

Figura 26

a

o

c


Flujo de un fluido


Flujo de fluido incompresible. Es aquel donde la variación de densi-

dad dentro del flujo es insignificante, es decir que = constante. Si

la densidad del fluido cambia decimos que tenemos un Flujo de

fluido compresible

Los líquidos en general son incompresibles y en el caso de los

gases también se pueden considerar como incompresibles si las

velocidades del flujo son pequeñas comparadas con la velocidad del

sonido en tal fluido.

El comportamiento de un fluido que fluye o esta en movimiento pue-

de ser muy complicado, salvo que consideremos un fluido ideal. Es

decir un fluido que sea incompresible, no viscoso y estacionario

Viscosidad. Es la dificultad que presentan los fluidos para moverse,

debido al pequeño rozamiento existente entre las capas adyacentes

del mismo, cuando son sometidos a fuerzas tangenciales de corte

como se indica en la Fig.24.



El flujo es laminar si el fluido se mueve a bajas velocidades y sus

capas están perfectamente ordenadas y estratificadas, de manera que

las moléculas adyacentes del fluido se deslizan suavemente sobre

líneas de corriente paralelas, sin entremezclarse como en la Fg. 28(a)

Teniendo en cuenta la viscosidad el flujo del fluido puede ser de tipo

laminar o de tipo turbulento.

Figura 28. Forma de las

líneas de corriente en un

flujo laminar y en un flujo

turbulento(a). Flujo laminar (b) Flujo Turbulento

F

Figura 27. Desplazamiento de las

capas adyacentes de un fluido en

movimiento


Un fluido no viscoso es un modelo de fluido ideal donde no existen las

fuerzas de rozamiento entre capas adyacentes.

Líneas de

corriente

El flujo es turbulento si la rapidez del fluido es alta y a través de obs-

táculos que causan cambios abruptos de la velocidad, dando lugar a

un flujo irregular y caótico. Las líneas de corriente se entremezclan,

como se muestra en la Fig.28.


El flujo de los ríos de la sierra o el flujo del aire alrededor de las alas

de un avión que se desplaza a velocidades es de tipo turbulento

alrededor de sus alas, como se muestran en la Fig.29.

Figura 29. Flujo de aire alrededor de un ala de avión para diferentes ángulos

de ataque. Los flujos en los gráficos 1,2,3 son de tipo laminar y en los

gráficos 4,5 y 6 son de tipo turbulento.


Flujo estacionario. El flujo es estacionario si la distribución global

del flujo no cambia con el tiempo. En este tipo de flujo las líneas de

corriente no se intersectan y la velocidad de la partícula en cada pun-

to es independiente del tiempo.


Ecuación de continuidad. Esta ecuación expresa el principio de

conservación de la masa de un fluido en movimiento.

Esto significa que en el tubo

de flujo de la Fig. 30, la masa

de fluido que ingresa por

unidad de tiempo por la

sección transversal A1 es

igual a la que sale por la

sección transversal A2 del

tubo.

Figura 30 Líneas de

corriente en un tubo

de flujo estacionario

v1A1

v2

A2


Líneas de

corriente

En la Fig.30, vemos que en un tiempo dt muy corto, el fluido que pasa

por A1, con velocidad v1 se mueve una distancia S1 = v1 dt, llenando

un cilindro de volumen dV1 = A1v1 dt.


Como el flujo es incompresible, la masa dm1 que fluye al interior del

tubo de base A1 en el tiempo dt es:

dm1 = A1 v1 dt

De igual forma, la masa de fluido dm2 que sale del tubo de base A2 en

el tiempo dt es:dm2 = A2 v2 dt

Como el flujo es estable: dm1 = dm2

A1 v1 dt = A2 v2 dt

A1 v1 = A2 v2

Durante el mismo tiempo, el fluido pasará por A2 con velocidad v2 lle-

nando el cilindro de volumen dV2 = A2v2 dt


Como la densidad del fluido en la misma, podemos simplificar y tener:


A1 v1 = A2 v2 (18)

Esta ecuación indica que la cantidad de fluido que pasa por

cualquiera sección del tubo es constante.

El producto A v = Q, es la constante denominada caudal y expresa la

rapidez con que un volumen del fluido pasa a través de una sección

transversal del tubo de flujo.

E caudal se mide en: m3/s, cm3/s, lt/s, pie3/s.

Principio de Bernoulli.

Este principio es una aplicación del teorema “trabajo-energía” al flujo

de un fluido ideal. Una forma simple de enunciar este principio es

como sigue:

Donde la rapidez de un fluido aumenta, su presión interna

disminuye


Este enunciado explica el aumento de rapidez de un fluido en la sec-

ción transversal angosta de un tubo de flujo donde las líneas de

corriente se juntan, y la presión interna disminuye.


Para deducir la ecuación de Bernoulli,

consideramos, un elemento de fluido

que en un tiempo inicial está entre los

puntos y del tubo de flujo, Fig.31.1 2

En un tiempo corto dt el fluido avanza

una distancia d S1 = v1 dt en la parte

inferior y una distancia d S2 = v2 dt en

la parte superior.

Como el fluido es incompresible, el vo-

lumen que pasa por cualquier sección

transversal durante el tiempo dt es:

dV = A1 v1 dt = A2 v2 dt


v1A1

A2

Figura 31

y1

v2

1

2

y2

El trabajo neto efectuado sobre el elemento por el fluido circundante

durante un desplazamiento ds es


Donde F1 es la fuerza ejercida por la

presión P1 sobre A1

F1 = P1 A1

dW = F1 ds1 – F2 ds2

Por lo tanto el trabajo neto es:

dW = P1 A1 ds1 – P2 A2 ds2

= (P1 – P2 ) dV (19)


v1A1

A2

Figura 32

y1

v2

1

2

y2

P1A1

y F2 es la fuerza ejercida por la presión

P2 sobre A2

F2 = P2 A2

Esta fuerza es negativa porque se

opone al desplazamiento del fluido.

Este trabajo sirve para variar la energía potencial gravitatoria y la

energía cinética del elemento de masa “dm “ del fluido


La variación de energía potencial gravitatoria del elemento de masa

dm del fluido es:

dU = dm g y2 - dm g y1

dU = dV g (y2 – y1 ) (20)

y la variación de energía cinética del elemento de masa dm es:

d K = ½ d m (v2)2 – ½ dm (v1)

2

d K = ½ d V (v22 – v1

2 ) (21)

Por lo tanto, el trabajo efectuado es:

dW = dU + dK

(P1 – P2 ) d V = d V g (y2 – y1 ) + ½ d V (v22 – v1

2 )


Simplificando “dV” obtenemos la ecuación de Bernoulli en términos de

presiones


P1 – P2 = g (y2 – y1 ) + ½ (v22 – v1

2 )

En esta es la ecuación se tiene que:

P1 – P2 , es la diferencia de presión interna entre dos puntos del

fluido,

g (y2 – y1 ), es la diferencia de presión debido al peso del fluido y

la diferencia de altitud entre dos puntos del fluido.

½ (v22 – v1

2 ), es la diferencia de presión debido al cambio de

rapidez del fluido.

La ecuación anterior puede también expresarse en la siguiente forma:

O en forma general:

P1 + g y1 + ½ v12 = P2 + g y2 + ½ v2

2 (22)

P + g y + ½ v2 = constante (23)


TRABAJO DOMICILIARIO 02.

Explicar qué es y luego deducir la ecuación relacionada con las

siguientes aplicaciones de la mecánica de fluidos.


Teorema de Torricelli.

El contador de Venturi

Tubo de Pitot

Ejemplos.

7. Por una tubería horizontal estrecha fluye agua. La presión es de

5,4x104 [Pa] en un punto donde la rapidez es de 2 [m/s] y el área

es A. Hallar la rapidez y la presión en otro punto de la tubería

donde el área es A / 4.


8. El tubo horizontal de la Fig.33 tiene un área de 40,0 [cm2 ] en las por-

ciones más anchas y de 10,0 [cm2 ] en la constricción. Si la descarga

de agua por el tubo es de 5,00x10-3 [m3/s], calcular: a) la rapidez del

flujo en las porciones ancha y angosta, b) la diferencia de presión

entre estas porciones y c) la diferencia de altura entre las columnas

de mercurio en el tubo en forma de U.


h

Figura 33 Figura 34

1

2

h

h'

h2

h1

m

o

9. En la Fig.35 se tiene un medidor de Venturi inclinado. a) calcular la di-

ferencia de presiones entre los puntos 1 y 2 de la tubería gruesa por

la cual circula agua, sabiendo que el líquido en el tubo de Venturi tie-

ne una gravedad específica de 3,6 y además: h = 0,6 [m], y h´ = 0,45

[m]. b) Hallar la velocidad del agua en los puntos 1 y 2, sabiendo que


los diámetros interiores del tubo son 50 [cm] y 10 [cm] respectiva-

mente. c) Para la misma diferencia de presiones entre los puntos 1

y 2 obtenida en (a), ¿cuál es el desnivel entre las ramas del tubo de

Venturi, si hubiésemos usado un líquido de gravedad específica de

1,95?


10. Por una tubería oblicua de sección

variable como la de la figura ad-

junta fluye agua en forma

estacionaria Hallar la velocidad con

que fluye el agua en el punto (2)

donde el diámetro de la sección

transversal es la mitad de la que

tiene en el punto (1) y la diferencia

de presiones entre estos puntos es

(P1 – P2) = 2 [atm]. Recuerde que: 1

atm = 1,013x105 [Pa].

1

2

5,30 [m]

1

2

5,30 m

10,50 m

Figura 47


Energía del viento.


Como la mayoría de las fuentes de energía terrestre, la energía del

viento o energía eólica proviene en última instancia del sol. El sol

irradia 1,74x1014 kilovatios/hora de energía a la tierra. De esta

energía aproximadamente entre el 1 y el 2 por ciento se convierte en

viento.

La energía solar genera diferencias de temperatura que hacen

circular el aire desde zonas de alta presión (zonas frías) en los polos

hacia zonas de baja presión (zonas calientes) en el ecuador.

Las regiones alrededor de ecuador, de latitud 0°, son calentadas, por

el sol, más que el resto del planeta. Como el aire caliente es más

ligero que el aire frío, se eleva hasta alcanzar aproximadamente 10

kilómetros de altitud y se separa en dos corrientes una que se dirige

hacia el norte y otra hacia el sur. Si el globo no rotara, el aire simple-

mente llegaría al Polo Norte y al polo sur, luego bajaría, y volvería al

ecuador.


La energía eólica ha sido aprovechada por el ser humano desde hace

siglos, utilizando velas para mover sus barcos, molinos de viento para

moler granos o extraer agua de pozos y actualmente para obtener

energía eléctrica.


Existen diversos tipos de molinos de viento, algunos de los cuales se

muestran en la Fig. 36

Figura 36. Molinos de viento con rotor de aspas: (a), (b) , (c) y rotor de Darrieus: (d).

(a) (b) (d)(c)


Cálculo de la energía eólica

La energía eólica es la energía cinética de las partículas de aire que se

mueven con velocidad v.


Esta energía se aprovecha básicamente

mediante un rotor que gira al paso del

viento, describiendo una superficie circu-

lar de diámetro D perpendicular a la

dirección del viento. (Fig. 37)

Figura 37.

D

La animación muestra la porción cilín-

drica de aire que pasa a través del rotor de

un aerogenerador típico en un tiempo t.

La energía del viento depende de:

: Densidad del viento (Aire)

A = D2/4: Área de barrido del rotor

por donde para el viento

V : velocidad del viento


En un tiempo t pasa a través de esta superficie una masa de aire:


m = V = A v t = ¼ D2 v t

Por lo tanto, la energía cinética del viento es

Ek = ½ m v2 = 1/8 D2 v3 t

Según esta ecuación la potencia eólica depende del cubo de la veloci-

dad del aire. Por lo tanto, la velocidad es el factor más importante a la

hora de calcular la energía eólica.

La energía eólica se mide en Kilowatios hora (KWh) o Megavatios

hora (MWh), junto con la unidad de tiempo durante la que se ha

hecho la medida (hora, día, mes, ...)

En la industria eólica esta potencia se calcula utilizando el aire seco

de densidad promedio = 1,225 kg/m3, a la presión de 1 atmósfera y

temperatura de 15° C.

Y la potencia es P = 1/8 D2 v3 (24)


Generalmente es más útil considerar la Intensidad del viento que se

define como la potencia por unidad de área.


I = P A

La unidades SI de la intensidad son: [ W / m2 ]

Se demuestra que la máxima intensidad eólica de un generador ideal

de viento es:

I = ½ v3 (25)

I = 8 / 27 v3 (26)

Ejemplo.

11.- Calcular la potencia de salida de un molino de viento que tiene

aspas de 10 [m] de diámetro y que es montado en un lugar

donde la rapidez del viento es de 28,9 [km/h]. Suponga que la

eficiencia del sistema sea del 20%.


TRABAJO DOMICILIARIO 03


1. a) Hallar la presión absoluta en el fondo de un lago de 48 [m] de profun-

didad. b) ¿A qué profundidad la presión absoluta es tres veces la

presión atmosférica?

2. Un tubo cilíndrico como de la Fig.38 contiene tres líquidos no miscibles

de diferentes densidades y volúmenes, tales que: 1 < 2 < 3. En la

figura, ordenar los líquidos según sus densidades y correspondientes

alturas, y luego hallar la fuerza total ejercida sobre el fondo del reci-

piente cuyo radio es R.

3. ¿Cuál es la presión PA del aire atrapado en la parte superior del depósito

de la Fig.39. La densidad relativa del aceite es 0,8 y del mercurio 13,6.

Figura 39Figura 38

h

h

h

aire PA

aceite

agua

3,0 m4,5 m

12 cm

mercúrio


4. Un hombre de peso 72 [kgf] está parado sobre un émbolo que tiene 1200

[cm2] de área, el mismo que está sobre un fuelle con agua, como se indica en la Fig.40. Hallar: a) La altura h que subirá el agua en el tubo vertical y b) ¿qué altura subirá el agua si el área del émbolo se redujera a la mitad?


Figur

a

Figura 40

5. En la Fig.41 se muestra una esfera de 4,5 [kg] pegada a un resorte en

equilibrio que soporta un empuje constante de 34 [N] debido a una

deformación de 2 [cm]. Si todo el sistema acelera hacia arriba a razón de

18 [m/s2], manteniendo constante el empuje. Determinar la nueva

deformación del resorte.

6. En la Fig.42 se muestra una cuerda rodeando la quinta parte de la super-

Figura 41

Agua

h Agua

Figura 42

líquido

R


ficie de una esfera compacta de peso específico 4,2 [gf/cm3] y radio 2 [m].

Si la esfera se halla sumergida hasta la mitad, calcular la tensión en la

cuerda, si el líquido tiene un peso específico de 13,6 [gf/cm3].


7. Una esfera hueca de acero con diámetro exterior 10,0 [cm], flota en agua

sumergida a ras. Si la densidad relativa del acero es 7,86, ¿cuál es el es-

pesor de la esfera?8. El doble del peso aparente de un cuerpo sumergido en un líquido de den-

sidad 0,30 [g/cm3], excede a su pérdida aparente de peso en aceite, en 5

veces el peso aparente del mismo sumergido en agua. Si la densidad del

aceite es 0,8 [g/cm3], ¿cuál es la densidad del cuerpo?

9. Una barra uniforme de 5 [m] de longitud y peso 40

[kgf] está suspendida mediante una cuerda en el

extremo A, como se indica en la Fig.43. Si en el

extremo B se coloca un lastre de 5 [kgf] la barra

flota con la mitad sumergida. Despreciando el

empuje sobre el lastre, cal-cular el empuje sobre

la barra y la tensión de la cuerda.

L/2

Lastreagua

A

B

Figura 43


10. En el punto O del recipiente delgado de la Fig.44 se abre un orificio pe-

queño. ¿Qué altura máxima respecto al nivel del punto O alcanzará el chorro de agua?


Figura 44

H

30°

agua

11. El sifón de la Fig.45 es usado para transferir agua del depósito A hacia el

depósito B que está a un nivel más bajo. El diámetro interior del sifón es

1,50x10-2 [m] y la elevación del punto 1 es de 0,930 [m] arriba del punto

2. Calcular: a) la presión en el punto 1, b) la rapidez del agua en los

puntos 1 y 2 y c) el caudal del flujo de agua.

Figura 45

A

B

1

2

12. El agua en la presa de la Fig. 46 está a nivel del borde superior de la

com-puerta que tiene las dimensiones siguientes: altura H = 2,80 [m]

y largo L = 5,60 [m]. La compuerta puede pivotar alrededor de un eje


ubicad a una profundidad “3H/5” por debajo del espejo de agua, tal como

se indica en la figura. Calcular el torque respecto del pivote causado por el

agua e indique con una flecha el sentido en que girará la compuerta al

pasar el agua.


Figura 46

3H/4

Compuerta

Pivote

agua

3H/5

13. Calcular la potencia de salida de un molino de viento que tiene aspas de

10 [m] de diámetro y la rapidez del viento es de 8 [m/s]. Suponga que la

eficiencia del sistema sea del 20%.

14. Calcular la potencia de salida de un generador de viento con aspas de

60 [m] de diámetro. Suponer que la velocidad del viento es de 10 [m/s]

y una eficiencia del 15% en el generador.FIN


mecanica de fuidos

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