mec de matls u1 intro y esfzos

MC 402 Mecnica de Materiales

Unidad 1

1

Rubn Yez Rangel [email protected]

2

Sistemas de Unidades aplicados en la determinacin de los esfuerzos.

Aun y cuando se pretende lograr que sea uno solo, en la actualidad hay dos sistemas de unidades, que son de uso comn, el sistema Ingles y el sistema Internacional, ambos han establecido estndares de medicin, para cada variable, empezando por las as llamadas variables bsicas, que son: Longitud, Tiempo, Fuerza, Temperatura, Masa, Intensidad Luminosa e Intensidad de Corriente, a partir de las unidades de medida establecidas para estas variables bsicas, se definen las unidades derivadas las cuales se aplican a aquellas variables que se miden mediante combinaciones de las unidades primarias, entre las que se encuentra el esfuerzo, una tabla muy completa de factores de conversin de las unidades de esfuerzo, puede encontrarse en las paginas del NIST.

http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/appenB9.html

http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/appenB9.html#PRESSURE Copia de esta tabla se muestra a continuacin. Obsrvese que las unidades de esfuerzo y presin son equivalentes y por lo tanto los factores en la tabla aplican a ambas variables.

3

PRESSURE or STRESS (FORCE DIVIDED BY AREA)

To convert from to Multiply by atmosphere, standard (atm) pascal (Pa) 1.013 25 E+05 atmosphere, standard (atm) kilopascal (kPa) 1.013 25 E+02 atmosphere, technical (at) 8 pascal (Pa) 9.806 65 E+04 atmosphere, technical (at) 8 kilopascal (kPa) 9.806 65 E+01 bar (bar) pascal (Pa) 1.0 E+05 bar (bar) kilopascal (kPa) 1.0 E+02 centimeter of mercury (0 C) 12 pascal (Pa) 1.333 22 E+03 centimeter of mercury (0 C) 12 kilopascal (kPa) 1.333 22 E+00 centimeter of mercury, conventional (cmHg) 12 pascal (Pa) 1.333 224 E+03 centimeter of mercury, conventional (cmHg) 12 kilopascal (kPa) 1.333 224 E+00 centimeter of water (4 C) 12 pascal (Pa) 9.806 38 E+01 centimeter of water, conventional (cmH2O)

12 pascal (Pa) 9.806 65 E+01 dyne per square centimeter (dyn/cm2) pascal (Pa) 1.0 E-01 foot of mercury, conventional (ftHg) 12 pascal (Pa) 4.063 666 E+04 foot of mercury, conventional (ftHg) 12 kilopascal (kPa) 4.063 666 E+01 foot of water (39.2 F) 12 pascal (Pa) 2.988 98 E+03 foot of water (39.2 F) 12 kilopascal (kPa) 2.988 98 E+00 foot of water, conventional (ftH2O)

12 pascal (Pa) 2.989 067 E+03 foot of water, conventional (ftH2O)

12 kilopascal (kPa) 2.989 067 E+00 gram-force per square centimeter (gf/cm2) pascal (Pa) 9.806 65 E+01 inch of mercury (32 F) 12 pascal (Pa) 3.386 38 E+03 inch of mercury (32 F) 12 kilopascal (kPa) 3.386 38 E+00 inch of mercury (60 F) 12 pascal (Pa) 3.376 85 E+03 inch of mercury (60 F) 12 kilopascal (kPa) 3.376 85 E+00


4

PRESSURE or STRESS (FORCE DIVIDED BY AREA) To convert from to Multiply by

inch of mercury, conventional (inHg) 12 pascal (Pa) 3.386 389 E+03 inch of mercury, conventional (inHg) 12 kilopascal (kPa) 3.386 389 E+00 inch of water (39.2 F) 12 pascal (Pa) 2.490 82 E+02 inch of water (60 F) 12 pascal (Pa) 2.4884 E+02 inch of water, conventional (inH2O)

12 pascal (Pa) 2.490 889 E+02 kilogram-force per square centimeter (kgf/cm2) pascal (Pa) 9.806 65 E+04 kilogram-force per square centimeter (kgf/cm2) kilopascal (kPa) 9.806 65 E+01 kilogram-force per square meter (kgf/m2) pascal (Pa) 9.806 65 E+00 kilogram-force per square millimeter (kgf/mm2) pascal (Pa) 9.806 65 E+06 kilogram-force per square millimeter (kgf/mm2) megapascal (MPa) 9.806 65 E+00 kip per square inch (ksi) (kip/in2) pascal (Pa) 6.894 757 E+06 kip per square inch (ksi) (kip/in2) kilopascal (kPa) 6.894 757 E+03 millibar (mbar) pascal (Pa) 1.0 E+02 millibar (mbar) kilopascal (kPa) 1.0 E-01 millimeter of mercury, conventional (mmHg) 12 pascal (Pa) 1.333 224 E+02 millimeter of water, conventional (mmH2O)

12 pascal (Pa) 9.806 65 E+00 poundal per square foot pascal (Pa) 1.488 164 E+00 pound-force per square foot (lbf/ft2) pascal (Pa) 4.788 026 E+01 pound-force per square inch (psi) (lbf/in2) pascal (Pa) 6.894 757 E+03 pound-force per square inch (psi) (lbf/in2) kilopascal (kPa) 6.894 757 E+00 psi (pound-force per square inch) (lbf/in2) pascal (Pa) 6.894 757 E+03 psi (pound-force per square inch) (lbf/in2) kilopascal (kPa) 6.894 757 E+00 torr (Torr) pascal (Pa) 1.333 224 E+02


5

Sistema Ingles Sistema Internacional Libras por pulgada cuadrada (psi) = 1 lbf/in2 Kilogramos por centimetro cuadrado, (K/cm2) Libras por pie cuadrada (psf) = 1 lbf/ft2 Kilogramos por metro cuadrado, (K/m2) Tonelada corta por pie cuadrado (sh tn/ ft2) Toneladas por metro cuadrado, (Ton/m2)

Conversin de Unidades de Esfuerzo Mecnico De a Multiplique x

Libras por pulgada cuadrada (psi) kilogramos por centmetro cuadrado (kg/cm2) 0.07031 Libras por pulgada cuadrada(psi) kilo pascales (kPa) 6.89476 Libras por pulgada cuadrada(psi) bares (bar) 0.06895 Libras por pie cuadrado (psf) Libras por pulgada cuadrada (psi) 0.006944 Libras por pie cuadrado (psf) kilogramos por centmetro cuadrado (kg/cm2) 0.0004882 Libras por pie cuadrado (psf) kilo pascales (kPa) 0.4788 Toneladas corta por pie cuadrado (sh tn/ ft2) Libras por pulgada cuadrada (psi) 13.89 Toneladas corta por pie cuadrado (sh tn/ ft2) kilogramos por centmetro cuadrado (kg/cm2) 0.9765 Toneladas corta por pie cuadrado (sh tn/ ft2) kilo pascales (kPa) 95.76 kilogramos por centmetro cuadrado (kg/cm2) Libras por pulgada cuadrada (psi) 14.22334 kilogramos por centmetro cuadrado (kg/cm2) Libras por pie cuadrado (psf) 2047.68 kilogramos por centmetro cuadrado (kg/cm2) bares (bar) 0.9804 kilogramos por centmetro cuadrado (kg/cm2) kilo pascales (kPa) 98,0665 pascales (Pa) milibares (mb) 0.01 kilo pascales (kPa) Libras por pulgada cuadrada (psi) 0.14504 kilo pascales (kPa) kilogramos por centmetro cuadrado (kg/cm2) 0.0102 kilo pascales (kPa) bares (bar) 0.01 bares (bar) Libras por pulgada cuadrada (psi) 14.5038 bares (bar) kilogramos por centmetro cuadrado (kg/cm2) 1,02 bares (bar) kilo pascales (kPa) 100 milibares (mbar) pascales (Pa) 100


6

Adems de los factores de conversin ya mencionados, es conveniente tener presente los siguientes: 1 Newton = Kilogramo-metro/segundo2

1 Kilogramo = 2.205 Libras 1 centmetro = 0.3937 pulgadas 1 pie = 12 pulgadas 1 Pascal = 1 Kilogramo -metro/ metro2 segundo2 = 1 Newton/ metro2

1 bar = 100,000 Pascales

Ejercicios: Convertir 15 pulgadas a: a) pies; b) metros Convertir 25 libras a Kilos Obtener la masa de 10 litros de mercurio (densidad del mercurio: 13.6 kg/dm3 Convertir 50 psi a N/m2


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Cifras signicativas. Las cifras signicativas de un nmero se determinan por su error. Son cifras signicativas aquellas que ocupan una posicin igual o superior al orden del error; Ejemplo, considrese una medida de longitud que arroja un valor de 5432.4764 m con un error de 0.8 m. El error es por ende del orden de dcimas de metro y por lo tanto, es evidente que todas las cifras del nmero que ocupan una posicin menor a las dcimas no dan una aportacin significativa, luego, qu sentido tiene dar el nmero con precisin de diezmilsimas si se establece que el error es de casi 1 metro?. Las cifras signicativas en el nmero son por lo tanto las que ocupan la posicin de las dcimas, unidades, decenas, etc, pero no as, las centsimas, milsimas o diezmilsimas. Al expresar un nmero debe evitar el uso de cifras no signicativas, ya que pueden generar confusin o mal interpretacin. Por ello, los nmeros deben redondearse de forma que contengan slo cifras signicativas. El redondeo es el proceso de eliminar cifras no signicativas de un nmero, al aplicar el redondeo observe las siguientes reglas:

Regla 1- Cuando se realiza una operacin matemtica, las cifras significativas del resultado debe ser igual al del numero o factor con menor numero de cifras significativas.

Regla 2- Al realizar el redondeo en la practica, realcelo a la cifra significativa que es posible medir con las herramientas de medicin disponibles.


8

Realice las siguientes conversiones, al hacerlo aplique las reglas de redondeo mencionadas en la diapositiva anterior. Ejercicios 14.69 psi a Pascales 25 metros a pies 1.750 Kilogramos a libras 1 Kilogramo = 2.205 Libras 1 centmetro = 0.3937 pulgadas 1 pie = 12 pulgadas 1 Pascal = 1 Kilogramo -metro/ metro2 segundo2 = 1 Newton/ metro2

1 bar = 100,000 Pascales

Ejercicios de redondeo

9

Esfuerzo.

A que se denomina esfuerzo?

En mecnica, el esfuerzo es una medida de las fuerzas que actan en el interior de un cuerpo. Cuantitativamente, es una medida de la fuerza promedio por unidad de rea, que se tiene en una superficie dentro de un cuerpo con cargas internas; las fuerzas internas, ocurren en reaccin a la accin de fuerzas externas aplicadas sobre el cuerpo y se distribuyen continuamente dentro del cuerpo, ocasionando la deformacin de su forma, si el esfuerzo excede los limites de resistencia del material, se produce una falla en la estructura del cuerpo que puede darse en forma de deformacin permanente o como una fractura.

10

Los esfuerzos se clasifican en funcin del tipo de carga externa que acta sobre el elemento en cuestin, pueden ser:

Tensin Normales

Compresin

Tipos de esfuerzos:

11

En funcin del tipo de carga Externa..

Tipos de esfuerzos:

12

En funcin de las fuerzas internas que se generan pueden ser

- Normales cuando el objeto de estudio, se somete a cargas axiales aplicadas a travs del centroide de su seccin transversal. El esfuerzo normal promedio se determina dividiendo la magnitud de la fuerza interna resultante P entre el rea A, de la seccin transversal, el esfuerzo normal se denota por la letra , (sigma)

En la definicin del esfuerzo normal se supone que el esfuerzo se distribuye uniforme-mente sobre el rea de la seccin transversal, a excepcin de la vecindad del punto de aplicacin de la carga, esta suposicin se conoce como principio de Saint Venant, la suposicin es valida solo si la carga se aplica a travs del centroide del rea.

Tipos de esfuerzos:

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En funcin de las fuerzas internas que se generan pueden ser

-Cortantes cuando las fuerzas actan paralelas a la superficie bajo anlisis, suponga que la viga mostrada en la figura esta sometida a la carga P aplicada como se muestra. Removiendo la seccin ABCD de la viga y construyendo un diagrama de cuerpo libre, se observara una fuerza interna resultante, diferente a la obtenida en un elemento cargado axialmente.

Tipos de esfuerzos:

Las fuerzas internas (F), se denominan fuerzas cortantes, la resultante de las fuerzas internas es igual a V, considerando el equilibrio en la direccin vertical, se tiene: Dividiendo la fuerza de corte resultante entre el rea de la seccin transversal, se obtiene el esfuerzo cortante promedio, este se denota por

la letra griega

2

020 PVPVFy

A

Vavg

Esfuerzos de Tensin y Compresin

El elemento sujeto a las cargas P mostrado en la figura, esta a tensin, es decir, tiene una fuerza interna de tensin, la fuerza causa un incremento en la longitud de la parte. Para determinar el esfuerzo producido, se hace un plano de corte normal al eje del elemento y sobre este se aplican las fuerzas de tensin internas, de igual magnitud pero de sentido opuesto, a la carga externa y uniformemente distribuidas sobre el rea de la seccin transversal. De manera que el esfuerzo

promedio s, o fuerza por unidad de rea de seccin transversal A, es entonces

P

P

igual a P dividido por A: (1)

El esfuerzo de compresin se determina de manera similar al de tensin la nica diferencia estriba en que las fuerzas internas tienden a disminuir la longitud del cuerpo, en la direccin de la fuerza. Ya que la suposicin de homogeneidad no se cumple exactamente, el esfuerzo no se distribuye uniformemente en la seccin transversal y esta sujeto a pequeas variaciones, sin embargo mediante la ecuacin 1, se determina el valor del esfuerzo promedio sobre toda la seccin transversal.

P

P A

Ps

14

15

Ejercicio

MURO

CONCRETO 70 cm

50 cm

30 cm

13000 Kg

SUELO

Se tiene un muro sometido a una carga de 13000 Kg por metro de longitud, este se apoya por una cimentacin de concreto que a su vez se soporta en el suelo. Determine los esfuerzos que actan en el muro, la cimentacin y el suelo y compararlos con los esfuerzos admisibles de los tres elementos que son los siguientes:

Esfuerzo admisible del muro 3920 Kpa = 3.92 MPa Esfuerzo admisible de la cimentacin = 4.83MPa Esfuerzo admisible del suelo 380KPa = 0.38MPa

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El anlisis de las deformaciones es muy til en la determinacin de los esfuerzos, ya que no siempre es posible determinar las cargas con la sola aplicacin de las ecuaciones de equilibrio esttico. Remover la consideracin de que un cuerpo es indeformable e integrar el anlisis de las deformaciones, permite determinar cargas que estticamente son indeterminadas. Es un hecho que los esfuerzos se distribuyen de manera indeterminada dentro de un cuerpo cargado, aun conociendo la aplicacin de y magnitud de la fuerza que en el actua.

Adems de los esfuerzos, las cargas sobre los cuerpos tambin generan deformaciones, o cambios dimensionales en los mismos. Las cargas de tensin alargan el cuerpo en direccin de la aplicacin de la carga y lo reducen en la direccin transversa a la misma. Debe cuidarse de que las deformaciones no sean tan grandes, que impidan que la parte pueda realizar la funcin para la cual fue diseado.

La deformacin debida a cargas axiales

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Las cargas axiales generan deformaciones axiales, estas pueden observarse claramente en el grafico Esfuerzo Deformacin que se obtiene de las pruebas de tensin.

Denominemos como a la deformacin por unidad de longitud, o deformacin unitaria, graficando el esfuerzo contra la deformacin, de una probeta sometida a tensin, podr observarse que conforme la carga se incrementa, el elemento se elonga, mediante el grafico es posible determinar algunas propiedades del material de que esta hecha la probeta, tales como su modulo de elasticidad, definir si el material es dctil o frgil, determinar la resistencia ultima del material y su resistencia a la fluencia.

y rotura real max

LP rotura nominal

ol

(2)

- Deformacin unitaria lo Longitud inicial - Deformacin producida E Modulo de Elasticidad ][ HookedeLey

d

dE

s

d

d Aplica solo si: - Carga Axial - Barra prismtica

- < y


Ley de Hooke y Modulo de Young

La deformacin es adimensional y se hace mencin a ella en trminos de milmetros por milmetro o pulgadas por pulgada. Para la mayora de los materiales en ingeniera, el esfuerzo y la deformacin son directamente proporcionales, cuando esta condicin se da, se dice que el materia sigue la Ley de Hooke. La relacin lineal entre esfuerzo y deformacin se representa matemticamente insertando la constante de proporcionalidad E, conocida como Modulo de elasticidad o de Young, como sigue:

o (3)

Las unidades de E son iguales a las del esfuerzo. E puede visualizarse como el esfuerzo de tensin que originaria que el cuerpo

duplicase su longitud, de manera que = 1, valores de E para materiales comunes, pueden encontrarse en los apndices de su texto.

Es E

s


18

Substituyendo las ecuaciones 1 y 3 en la 2 se llega a la siguiente relacin:

(4)

Las ecuaciones 1 a 4 son validas tanto para tensin como para compresin. Solo debe considerarse que: los esfuerzos de tensin y los aumentos de longitud se consideran de signo positivo, mientras que los esfuerzos de compresin y las disminuciones en longitud son considerados de signo negativo.

AE

Pl

Signo positivo + Signo Negativo -

19


20

Tarea 1 y diapositiva siguiente 1. Una varilla de acero de 5.5 ft de longitud se estira 0.04 in

cuando se le aplica una carga de tensin de 2 kip. Si se sabe que E = 29E6 psi, determine el dimetro mnimo de varilla que debera usarse y el esfuerzo normal correspondiente causado por la carga.

2. Un tubo de hierro colado se usa para soportar una carga de compresin. Se sabe que E = 69 GPa y el mximo cambio permisible en la longitud es de 0.025%, determine el esfuerzo normal mximo en la tubera y el espesor de pared mnimo para una carga de 7.2 kN si el dimetro exterior del tubo es de 50 mm.

3. La figura muestra varillas cilndricas unidas en B que se someten a la carga mostrada. La varilla AB es de acero, (E =29x106 psi) y la varilla BC de latn (E = 15x106 psi). Determine la deflexin en los puntos A y B.

40kN

40kips 40kips


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Tarea #1: Investigue los siguientes conceptos:

1. Cul es la definicin de esfuerzo en ingeniera, da tu interpretacin de la misma?

2. En que unidades se da el esfuerzo en los diferentes sistemas de unidades, (Ingles. MKS, CGS y SI, obtenga sus equivalencias)?

3. Cuntos tipos de esfuerzo se manejan comnmente, de un ejemplo grafico de cada uno?

4. Cul es la diferencia entre esfuerzo normal y esfuerzo cortante?

5. Que es un esfuerzo de aplastamiento?

6. Cmo se relacionan la deformacin y el esfuerzo?

7. Como se determina la deformacin unitaria?

8. Que significa esfuerzo en el limite de fluencia?

9. Que significa esfuerzo ultimo?

10. En relacin a la figura, si el esfuerzo normal que acta en la

seccin AB, de 40x40, es de 48 KPa, Cuales el esfuerzo que

soporta la seccin BC, de 30x30.

Requisitos:

Suba su tarea al blackboard. El titulo del archivo debe incluir numero de tarea y matricula, no requiere portada, solo anote en la parte superior su nombre y matrcula. La tarea debe incluir conclusiones y las fuentes de donde se obtiene la informacin en formato APA. Recuerde que la tarea es individual, debe usar sus propias palabras, con lo cual implica que ha comprendido lo que escribe.

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La deformacin angular debida a cargas en cortante

De forma similar a la deformacin causada por cargas axiales, las cargas en cortante generan deformaciones angulares o distorsiones. La diferencia bsica es que mientras un elemento sometido a tensin experimenta un alargamiento, los elementos sometidos a carga cortante, sufren de un desplazamiento de sus fibras, causando una deformacin en la forma, del elemento infinitesimal pasando de un cuadrado a un rombo como se observa en la figura.

L

s

Ps

Ps

La suma de los desplazamientos infinitesimales producen el desplazamiento total s para una longitud L. As, la

deformacin angular media puede obtenerse de dividir s entre L, de modo que:

Para ser mas precisos, la distorsin es la variacin experimentada por el ngulo , entre dos caras perpendiculares de un elemento diferencial

Lcomo

Lss

tantan

Considerando la ley de Hooke aplicada al cortante, existe una constante entre la distorsin y el esfuerzo en cortante, a la que se denomina modulo de rigidez, tal que:

GA

VLquemaneradeG

s

s :

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Ejercicio. Un bloque rectangular cuyo material tiene un modulo de rigidez G = 90 Ksi se adhiere a dos placas horizontales. La placa inferior se fija, mientras la superior se sujeta a una carga horizontal P. Sabiendo que la placa superior se mueve a 0.04, por la accin de la carga, determine a) la deformacin en cortante promedio en el material. b) la carga P ejercida sobre la placa superior.


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a)Deformacin en cortante. Si se centra el eje de coordenadas en el punto medio C de la orilla AB, y se dirige como muestra la figura, tenemos que conforme a la

definicin de deformacin en cortante xy es el ngulo formado por la lnea vertical CF, que une los puntos medios de las orillas AB y DE. Observando que este es un ngulo muy pequeo, y expresado en radianes, se obtiene:

b) Luego la fuerza ejercida sobre la placa

superior, es:

Finalmente, la fuerza que se aplica sobre la placa superior es:

radL

sxyxy 020.0

2

04.0tan

psiG xyxy 1800)020.0(000,90

#000,36)5.2)(8(1800 AP xy


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Relacin de Poisson, (Deformacin en dos direcciones)

Imaginemos una barra que se deforma axialmente en x. La deformacin unitaria

en x se obtiene aplicando la ley de Hooke, x = x/E. Puede as mismo observarse un que existe decremento en la dimensin en y. La constante que relaciona ambas deformaciones se conoce como mdulo de Poisson. Esto deja a

y = -y /E. para los aceros se toma como 0.3, ( = 0.3). Si la aplicacin de la carga se da en la direccin de y, las ecuaciones son equivalentes, quedando de la forma:

y = y/E x = -x /E

Si el elemento bajo anlisis es cargado en x e y, se originara deformacin en las dos direcciones, al combinarse los efectos de ambas cargas, sus efectos se determinan mediante su superposicin o suma:

EEEExy

y

yxx

s

s

s

s

26

Ejercicio: Al aplicar carga en la direccin de y sobre la placa de acero (=0.3; E = 30x106 psi), la longitud en direccin y se incrementa por 0.01 in. Determine el cambio de longitud en la direccin x.


Fy = 120 Kips

x =? x=?

16 in

Espesor 12 in

27

Primero se determina y = Fy/Ay = 120 000/8 = 15 000psi. Ahora se calcula y = y/ly = 0.01 / 12.5 = 0.0008. A partir de la ecuacin de deformacin en dos dimensiones para y es posible darse cuenta que se puede calcular x.

Ahora, para x. es necesario calcular el valor de x, aplicando la formula de la deformacin unitaria. Finalmente:

#000,30

3./])0008[.000,000,3015000(/)(

x

yyx E

s

ss

00115.0000,000,30

)15000(3.0000,30

x

"0184.0)16(00115.0 ll

xxx

x


Solucin:

28

Ejercicio. Un esfuerzo normal distribuido, se aplica a los bordes de la placa de la figura en direccin x, generando una tensin o compresin uniforme en direccin y. Determine la magnitud de los esfuerzos, si las dimensiones de la placa deformada son 15.010 x 9.996 , el material de la misma tiene una E de 30E6 psi y el coeficiente de Poisson es 0.3.


y = y/E x = -x /E

0004.010

004.0

10666.615

01.0 4

y

y

y

x

xx

l

l

PsiE

PsiE

yy

xx

000,121041030

980,1910666.61030

46

46

s

s

29

Resolver los problemas del texto Nos.: 2.61 2.63 2.75 2.79 Tarea resolver los ejercicios pares entre:

2. 62 al 2.70 y 2.76 al 2.78

Tarea #2 Deformacin en dos direcciones)

Cuando las partes de las maquinas estn ensambladas de forma tal que, no es posible determinar las cargas axiales con la sola aplicacin de las ecuaciones de la esttica, se dice que el sistema es estticamente indeterminado. Estos sistemas se caracterizan por la presencia de mas apoyos o elementos que el mnimo requerido para el equilibrio esttico de la estructura. En esas situaciones deben considerarse las deformaciones de las partes, para obtener la informacin requerida. El ejemplo en la siguiente diapositiva ilustra un mtodo tpico para resolver este tipo de problemas.

Mas aun, debe tenerse cuidado al analizar una estructura indeterminada ya que en ellas, la distribucin de cargas es sensible a variaciones en las dimensiones, un error en el maquinado de una dimensin o un cambio de temperatura, pueden causar un gran cambio en la distribucin de las cargas. En la solucin de estructuras indeterminadas es usual asumir que ciertos elementos o apoyos sean rgidos; pero, como no puede lograrse una rigidez total, cualquier deformacin en los elementos, supuestos rgidos causara cambios en las magnitudes de las fuerzas calculadas, el diseador debe considerar tales variaciones en sus clculos.

0

0

0

M

Fy

Fx

+ AE

Pl

30

La deformacin en los problemas estticamente indeterminados

5000 #

Acero Bronce Acero A= 0.2 in2 A= 0.3 in2 A= 0.2 in2 36

3 10 10 3

Ejercicio: Encuentre la fuerza en cada barra vertical de la figura, suponga que el peso es lo suficientemente rgido para mantener conectadas las tres barras verticales en una lnea recta y suponga que el soporte superior tambin es rgido.

31


32


Solucin Se asume que el cuerpo de la carga es rgido, de manera que las conexiones de las tres barras se mantienen verticales y en lnea recta; de igual modo se supone que la estructura que soporta las barras en la parte superior es rgida. Con estas suposiciones puede visualizarse que tanto la geometra como las cargas son simtricas, y ya que las barras externas son del mismo material, entonces la carga en las mismas tiene el mismo valor. Con lo anterior, al aplicar la ecuacin de equilibrio esttico, puede escribirse la siguiente ecuacin (1):

000,52 21 FF

22

22

11

1121

EA

LF

EA

LFo

Ya que se tienen dos variables desconocidas es necesario generar otra ecuacin para obtener una solucin. Ello se puede hacer al analizar la deformacin en las barras, con las suposiciones hechas, se observa que las tres barras tendrn la misma deformacin, por lo tanto se puede escribir: Introduciendo los valores conocidos se obtiene: Resolviendo para (1) y (2) se obtiene la solucin

(1)

2121 43

)000,000,15(3.0

)36(

)000,000,30(2.0

)36(FF

FF (2)

lbsFlbsF 364,1818,1 21

33

El propsito bsico de estudiar mecnica de materiales, es el de proporcionar al estudiante de ingeniera de las herramientas para el anlisis y diseo de maquinas y estructuras de soporte. Para que tanto anlisis como diseo sean efectivos, deben saberse aplicar los mtodos aprendidos en esttica. Al estudiar esttica, se consideran las fuerzas y los momentos necesarios para mantener los cuerpos en equilibrio, para ello se recurri a la construccin de diagramas de cuerpo libre. Un diagrama de cuerpo libre es un dibujo sencillo en el que se muestran magnitud y direccin de las fuerzas que actan sobre un elemento particular, en una condicin dada. A manera de recordatorio, practiquemos realizando los diagramas de cuerpo libre en las situaciones descritas a continuacin: 1. Un libro colocado sobre una tabla inclinada, a un ngulo de 45. 2. Un columpio en reposo sobre el que se sienta un nio. 3. Una pelota cayendo verticalmente, desprecie la resistencia del viento. 4. Un trineo que se arrastra sobre la nieve, con una aceleracin constante hacia la derecha

El diagrama de cuerpo libre

Para resolver un problema en mecnica de materiales, debe procederse igual que en una situacin de ingeniera real. Hacer un dibujo del elemento a analizar, basndose en la experiencia y sentido comn, el dibujo ayuda a comprender y definir el problema, una vez que el problema se define claramente puede procederse a su solucin aplicando los principios de la esttica y los que aqu aprenderemos. Cuando se tiene una respuesta, esta debe verificarse revisando la formulacin de la solucin, la validez de los mtodos usados y la exactitud de los clculos efectuados.

34

Con el diagrama de cuerpo libre se aplican las ecuaciones de equilibrio esttico, para determinar las reacciones en los puntos de apoyo y de este modo determinar las fuerzas internas que actan en un plano cualquiera a travs del cuerpo.

Al hacer el corte en el plano deseado, se observa que, para mantener el equilibrio esttico, se generan dos fuerzas internas (N y V) y un momento flexionante (M).

V

M

N

FA

senFBA

Y

X

cos2


Considere la barra sometida a la carga indicadas

DCL

35

Las fuerzas internas se determinan aplicando las ecuaciones de equilibrio esttico en cualquiera de los diagramas de cuerpo libre que se use.. Para el diagrama I se escribiran como sigue:

Para el diagrama II serian:

Diagrama de cuerpo libre I

Diagrama de cuerpo libre II


Una vez se determinan N, V y M, podrn calcularse los esfuerzos internos

36


La estructura mostrada, se compone de una barra redonda BC y una barra rectangular AB, Si la carga P es de 75 Newtons, determine las fuerzas internas en ambos elementos, y especifique si son de tensin o compresin.

El uso de pernos en las uniones no permite la transmisin de momentos, generando carga a lo largo de cada elemento, luego, la reaccin en el perno en C se transmite a lo largo del la barra BC y su componente vertical es de la misma magnitud que la carga y la reaccin en el perno en A es puramente horizontal, de este modo y considerando la geometra de la estructura, las cargas son:

Reaccin en C Fuerza interna en elemento BC

Fuerza interna en elemento AB

NP

FiFi

PAB

AB

1003

4

4

3

NFiBC 1257510022

Fuerza de compresin interna en elemento AB

Fuerza de tensin interna en elemento BC

37

Tarea 3 Ejercicios impares del 1.1 al 1.15

del libro de texto, 5 edicin

Requisitos: Suba su tarea al blackboard. El titulo del archivo debe incluir numero de tarea y matricula,

no requiere portada, solo anote en la parte superior su nombre y matrcula. La tarea debe incluir conclusiones y las fuentes de donde se obtiene la informacin en formato APA. Recuerde que la tarea es individual, debe usar sus propias palabras, con lo cual implica que ha comprendido lo que escribe.

38

Esfuerzos de corte en pernos pasadores

Aplica a Pernos, tornillos, remaches y todo tipo de pasadores

A

F

A

Pavg

A

F

A

F

A

Pavg

22

39

Esfuerzos de apoyo en las uniones

Pernos, tornillos y remaches, crean esfuerzos en los elementos que unen, a lo largo de las superficies de apoyo o superficie de contacto. Por ejemplo, considere dos placas A y B, unidas por un perno CD, el perno ejercer sobre la placa A una fuerza P igual y opuesta a la fuerza F ejercida por la placa sobre el perno.

La fuerza P representa la resultante de las fuerzas elementales distribuidas dentro de la superficie de un semicilindro de dimetro d y longitud t, (igual al espesor de la placa). Como la distribucin de fuerzas y esfuerzos relacionada es muy complicada, en la practica se determina un valor promedio del

esfuerzo, denominado esfuerzo de apoyo, b; que se determina dividiendo la carga P por el rea proyectada del perno sobre la placa

td

P

A

Pb s

40

Aplicacin al anlisis y diseo de estructuras simples

Ahora podemos calcular los esfuerzos en elementos y uniones de estructuras bidimensionales sencillas.

Ejercicio: considere la estructura de la figura mostrada, puede verse, que el tirante BC tiene aplanados los extremos, con una seccin transversal de 20 x 40 mm, mientras que la seccin transversal de la barra AB es de 30 x 50 mm. Ambos elementos se unen en B con un perno del cual se suspende una carga de 30 kN, por medio de una solera en U. La barra AB se apoya en A mediante un perno pasado ensamblado a una mnsula doble, y el tirante BC esta conectado en C con una mnsula simple. Todos los pernos son de 25 mm de dimetro. Determine los esfuerzos en el tirante, la barra y los pernos de conexin.

Ejercicio resuelto en el texto

41

Ejercicio: (P1.11). Una barra rgida EFG, se soporta con el sistema estructural mostrado. Si el elemento CG es una barra circular solida de 18 mm de dimetro, Determine el esfuerzo normal en CG.


42

Solucin, tomando la porcin EFGCB como cuerpo libre, y aplicando las ecuaciones de equilibrio se obtiene:

kNF

FF

AE

AEy

25

0155.1

9.0

Tomando la barra EFG como un cuerpo libre, se tiene:

kNFF

FFM

CGAE

CGAEE

25

02.1

9.02.12.1

9.02.10

2622 104.254)018.0(44 mxdACG

MPaxA

F

CG

CGCG 3.98104.254

256 s

Finalmente:


Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se determina :

43

Tarea 4 Ejercicios del 1.23 a 1.27 del libro de texto, 5 edicin



44

PRCTICA OBJETIVO

1.Determinar la resistencia

a la tensin con probetas

de aluminio y el acero.

Obtener los valores de la resistencia ultima a la tensin en

probetas de aluminio y acero, con la finalidad de comparar

contra valores reportados en tablas estandarizadas de

propiedades de materiales.

2. Determinar la resistencia

al corte en uniones

atornilladas simples y

dobles.

Obtener los valores de la resistencia al corte de los tornillos.

Comparar la resistencia entre conexiones atornilladas en

cortante simple y en cortante doble.

3. Determinar la relacin

Esfuerzo Deformacin

en probetas de acero

Obtener la grfica Esfuerzo vs. Deformacin unitaria para el

acero utilizando la prueba de tensin, y determinar el modulo

de rigidez del material.

4. Modos de Falla en los

distintos materiales,

(frgiles/dctiles).

Realizar la prueba de tensin para visualizar distintos modos

de falla en materiales diversos. (Aceros, Plsticos, Cermicos)

Practicas de taller de mecnica de materiales

45

Equipo Horario Fechas, (semanas)

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

5 Lun 5-7 2/241 3/32 3/171 3/242 4/71

4/14 -18

4/212 5/51 5/122

6 Mar 5-7 2/251 3/42 3/181 3/252 4/81 4/222 5/61 5/132

7 Mie 5-7 2/261 3/52 3/191 3/262 4/91 4/232 5/71 5/142

8 Jue 5-7 2/271 3/62 3/201 3/272 4/101 4/242 5/81 5/152

9 Lun 5-7 3/31 3/102 3/241 3/312 4/211 4/282 5/121 5/192 1 Elaborar probetas, (Instructor: Miguel Herrera, Dos probetas de cada material) 2 Realizar Practica, (Instructor: Juan Gonzlez, laboratorio de Metalurgia)

Formar equipos de 4 estudiantes mximo, mnimo tres. Fechas y horarios de las practicas de Lunes a Jueves de 5 a 7 pm Cada equipo adquirir su material para la elaboracin de las probetas, (con el propsito de economizar, comprando piezas completas, se esta cotizando el material a travs de Miguel Herrera, quien nos definir cuanto debe aportar cada equipo).

Practicas de taller de mecnica de materiales

46

Consideraciones de diseo, carga ltima y resistencia ltima del material.

Se ha aprendido a determinar los esfuerzos en barras, pernos y rotulas, bajo la accin de cargas simples. En las siguientes unidades aprenderemos a determinar los esfuerzos en situaciones mas complejas. La determinacin del esfuerzo, tiene como objetivo, ayudarnos a seleccionar los materiales y definir las dimensiones de los elementos y componentes de estructuras y maquinas para operen de la manera mas segura y econmica que sea posible.

Un elemento importante a considerar en el diseo de elementos de maquinas, es saber como se comportara el material seleccionado, al aplicarle una carga. Para ello se han desarrollado pruebas estndares que nos ayudan a determinar las propiedades mecnicas de los materiales, los cuales se definen en base su composicin qumica y tratamientos, trmicos o fsicos, que se le apliquen.

47

Consideraciones de diseo, carga ltima y resistencia ltima del material.

En la determinacin de la resistencia ultima de un material, se emplea la prueba de tensin, en ella muestras debidamente preparadas de los materiales, (maquinadas a dimetros y longitudes especificas segn el estndar, ver estndares ASTM en laboratorio), se someten a una carga uniaxial, centrada y creciente. Conforme la magnitud de la carga se incrementa, la muestra sufre cambios en su longitud y dimetro, los cuales son debidamente registrados, cuando la carga es tal que la muestra se fractura o se deforma reduciendo su capacidad de resistencia a la carga, se dice que ha alcanzado el limite de carga ultima. Como la carga ha sido aplicada de manera uniaxial y centrada, puede obtenerse el esfuerzo normal ultimo en tensin o resistencia ultima del material a la tensin, dividiendo la carga ultima entre el rea de la seccin transversal del dimetro original de la muestra.

A

Puu s

Base fija

Mordazas de

sujecin

Probeta

Celda de carga

Ro

sca

1

1

2.7

L0=120

226

48

Consideraciones de diseo, carga ultima y resistencia ultima del material.

Esta es copia de parte de la tabla

del apndice B del libro de texto, en ella se muestran algunas de las propiedades

mecnicas tpicas de materiales

comunes usados en ingeniera.

49

Consideraciones de diseo: Esfuerzo cortante ltimo.

Existen diversos mtodos para determinar el esfuerzo cortante ultimo, o resistencia ultima al corte de un material, el mas comn, es mediante la aplicacin de un par torsor a un probeta tubular circular; un mtodo mas directo, pero menos preciso consiste en sujetar una barra rectangular o redonda sobre un troquel de corte y aplicarle una carga que se va incrementando hasta alcanzar la carga de falla o carga ultima Pu, La resistencia ultima se obtiene dividiendo la carga ultima entre el rea sujeta a corte.

A

Puu

J

cTuu

L

max

50

Consideraciones de diseo: Carga permisible, Esfuerzo permisible, y Factor de Seguridad

La carga mxima que se permite aplicar a un elemento estructural o elemento de maquina, en condiciones de operacin normal, es relativamente menor que la carga ultima, a esta carga mas pequea, se le denomina carga permisible, carga de trabajo o carga de diseo. Es decir, en el diseo de elementos estructurales o de maquinas, solo se considera la aplicacin de una fraccin de la capacidad ultima del material seleccionado para el elemento en cuestin y la capacidad remanente se reserva para garantizar la seguridad en su operacin. La relacin de carga ultima a carga permisible se define como factor de seguridad. Entonces: Una definicin alternativa del factor de seguridad se basa en el uso de los esfuerzos: Las dos expresiones son idnticas cuando la relacin Esfuerzo Carga es lineal, sin embargo en la mayora de las aplicaciones de ingeniera la relacin deja de ser lineal conforme la carga se aproxima al valor ltimo, de manera que la ecuacin de los esfuerzos no provee de una evaluacin real del factor de seguridad, no obstante es la mas utilizada.

permisibleCarga

ltimaCarganSFseguridaddeFactor s ..

permisibleEsfuerzo

ltimoEsfuerzonSFseguridaddeFactor s ..

51

Consideraciones de diseo: Seleccin del Factor de Seguridad

En Ingeniera, la seleccin del factor de seguridad a aplicar, es una tarea muy importante. Ya que si el factor de seguridad seleccionado es muy pequeo, entonces la posibilidad de falla ser inaceptablemente grande. Y, si el factor de seguridad seleccionado es innecesariamente grande, el diseo ser inadecuadamente costoso o bien no ser funcional. La eleccin de un factor de seguridad apropiado, para una aplicacin dada, requiere de un juicio ingenieril que considere factores tales como: 1. Variaciones que pueden darse en las propiedades del elemento. Ya que la integracin,

resistencia y dimensiones, del elemento estn sujetas a variaciones durante su manufactura, en adicin, las propiedades del material pueden cambiar si se introducen esfuerzos residuales debido a calentamientos o deformaciones que puedan suceder en la manufactura, almacenamiento, transporte o ensamble.

2. El numero de cargas que pueden esperarse durante la vida de la estructura o maquina. En la mayora de los materiales, la resistencia ltima disminuye conforme el numero de aplicaciones de carga se incrementa. Este fenmeno se conoce como fatiga, y si se ignora puede ocurrir una falla inesperada.

3. El tipo de cargas consideradas en el diseo o que pueden darse en la operacin. Pocas cargas se conocen con exactitud, la mayora de las cargas de diseo, son estimaciones ingenieriles, adems, en la operacin real, pueden ocurrir alteraciones o modificaciones en la aplicacin que cambien las cargas esperadas. Se requerirn factores de seguridad mas grandes, si se presentan cargas dinmicas, cclicas o de impacto.

52


4. El tipo de falla que puede ocurrir. - Los materiales frgiles fallan de manera repentina, sin mostrar indicios de un colapso inminente. - Los materiales dctiles sufren de deformacin substancial denominada fluencia, antes de fallar, proveyendo as de un aviso de que se tiene una sobrecarga. Sin embargo, la mayora de las fallas de pandeo o inestabilidad, son repentinas independientemente del tipo material. Por regla, si hay la posibilidad de una falla repentina, debe aplicarse un factor de seguridad mas grande que cuando la falla es precedida por signos de sobrecarga.

5. Incertidumbre en el mtodo de anlisis. Todos los mtodos de diseo, se fundamenta en suposiciones simplificadoras, debido a ello, los esfuerzos calculados son en realidad aproximaciones de los esfuerzos reales.

6. Deterioros debidos a un mantenimiento pobre o por causas naturales imprevistas. Se requieren mayores factores de seguridad, en lugares donde condiciones tales como la corrosin o el deterioro sean difciles de controlar o de detectar.

7. La importancia de un elemento, para la integridad de toda la estructura. Refuerzos y elementos secundarios pueden en muchos casos ser diseados con un factor de seguridad menor al aplicado a los elementos primarios.

Adicional a lo anterior, deben considerarse los riesgos a la vida y a la propiedad que una falla puede generar. Cuando la falla no genera riesgos a la vida y solo causara riesgos mnimos a la propiedad, pueden considerarse el uso de factores de seguridad mas pequeos. Finalmente deben tomarse en cuenta las consideraciones practicas para la correcta funcin del elemento.

53

El diseador debe definir un valor razonable para el factor de seguridad, a menudo basado en estndares de la asociacin correspondiente o en cdigos de la empresa, cuando no se tienen, debe aplicar su juicio para especificar el factor de seguridad, estas son guas para definirlo.

Para materiales Dctiles. Budynas/Nisbett/Shigley's: Mechanical Engineering Design 1. En estructuras con carga esttica y alto nivel de confianza en todos los datos de diseo; 1.25

Nfs 2.0 2. En elementos de maquina con carga dinmica y un nivel de confianza aceptable en todos los

datos de diseo; 2.0 Nfs 2.5 3. En estructuras estticas o elementos de maquina bajo cargas estticas, con incertidumbre

en: las cargas, las propiedades del material, el anlisis de esfuerzos, o medio ambiente de operacin; 2.5 Nfs 4.0

4. Si el componente es critico, esta sometido a cargas dinmicas y hay incertidumbre en los datos de diseo, combinaciones de carga, propiedades del material, anlisis de esfuerzos, o medio ambiente de operacin; 4.0 Nfs.

Para Materiales Frgiles 1. En estructuras con carga esttica y alto nivel de confianza en todos los datos de diseo; 3.0

Nfs 4.0 2. En estructuras estticas o elementos de maquina bajo carga dinmica con incertidumbre

sobre las cargas, propiedades del material, anlisis de esfuerzos, o medio ambiente de operacin; 4.0 Nfs 8.0


54

Dos fuerzas se aplican a la barra BCD, como se muestra. a) Si sabemos que la barra de control AB, es de

acero con una resistencia a la tensin ultima

de U = 600 Mpa, determine el dimetro de la barra, para el cual el factor de seguridad con respecto a la falla ser de 3.3.

b) El perno en C es de acero con resistencia

ultima al cortante de U=350 Mpa. Determine el dimetro del perno C para el que el factor de seguridad ser tambin 3.3.

c) Cual es el espesor requerido de la oreja soporte en C si el esfuerzo permisible en el

apoyo del acero utilizado es de B = 300MPa


55

Ejercicio: La viga rgida BCD, se sujeta con pernos a una barra de control en B, a un cilindro hidrulico en C y a una oreja fija en D. Los dimetros de los pernos usados son dB = dD =

3/8 dC = . En cada perno, acta un cortante doble y son de acero de resistencia ultima de U = 40 Kpsi. La barra de control AB tiene un dimetro de dAB =

7/16 y es de acero de U = 60 Kpsi. Si el factor de seguridad mnimo debe ser de 3.0, para toda la unidad, determine que fuerza hacia arriba mas grande puede aplicarse en C por el cilindro hidrulico.

Consideraciones de diseo: Seleccin del Factor de Seguridad, Ejercicio

Ejercicio resuelto en el texto DCCDB

BCCBD

FFFF

FFFF

333.26140

75.18140

+ +

Para la barra AB, el esfuerzo permisible es KpsiFS

UABall 20

3

60/

Por ende la carga mxima permisible, en la barra AB, es KipsAP ABallABABall 006.3)20(

16

7

4

2

//

56

Consideraciones de diseo: Seleccin del Factor de Seguridad, Ejercicio

KipsAP

KpsiFS

BallBBall

UBall

94.233.14

375.2

33.133

40

2

//

/

En el perno en B, el esfuerzo permisible es

Luego: La carga que puede soportarse en B es

El esfuerzo permisible en el perno D, es igual al esfuerzo permisible de B, D= 2.94 Kips Por ende su carga permisible es la misma. Pall/D= 2.94 Kips

En el perno en C, la carga permisible ser:

KipsAP CallCCall 23.533.134

5.2

2

//

KipsFF

KipsFF

DC

BC

86.694.2333.2333.2

145.594.275.175.1

Las fuerzas que es posible transmitir con esas cargas permisibles en C son

Como puede observarse, la carga permisible en la barra AB, es mayor que la del perno B, luego, considerando ahora los pernos en D y en C, vemos que las cargas permisibles en ambos tambin son mayores que la permisible por B, por ende la mayor carga que puede soportarse por todo el sistema es la que permite el perno en B, as, la respuesta es: FC = 5.145 Kips

57

Diseo por carga y factor de resistencia, como se ha observado, el mtodo de esfuerzo permisible, requiere que todas las incertidumbres asociadas con el diseo sean agrupadas en un solo factor de seguridad. Un mtodo de diseo alternativo, denominado Diseo por Carga y Factor de Resistencia, (LRFD, por sus siglas en ingles), permite al diseador distinguir entre las incertidumbres asociadas con la carga viva, PL, (la carga que soportara la estructura), y la carga muerta, PD, (la parte del peso de la estructura que contribuye a la carga total). Cuando se usa este mtodo de diseo, la carga ultima, PU de la estructura, (la carga a la cual la estructura deja de ser til), debe determinarse primero. De este modo el diseo propuesto es aceptable si se satisface la siguiente desigualdad: Donde el coeficiente es el factor de resistencia y considera las incertidumbres asociadas con la estructura misma, normalmente ser menor que 1. los coeficientes D y L son los factores de carga estos consideran las incertidumbres asociadas con las cargas respectivas, y normalmente sern mayores que 1, con L generalmente mayor que D.

ULLDD PPP

Diseo por carga y factor de resistencia

58

Tarea 5 Ejercicios del 1.39 a 1.42 y

Ejercicios 1.57 -1.58 del libro de texto, 5 edicin



59

Usando las ecuaciones bsicas de esfuerzo-deformacin, y en funcin de los valores para los materiales mostrados en la tabla, abajo, resuelva los siguientes problemas: a) Un cable de acero de 20 pies de longitud, se utiliza para levantar una carga de 8000 lbf, calcule el dimetro que deber tener el cable si se desea que una vez que levante el peso, la longitud del cable no se incremente ms de de pulgada. b) Una barra de aluminio de 1 pulgada de dimetro y 2.5 pies de longitud, se utiliza para colocar sobre ella, una placa de acero inoxidable de 6000 lbf. de peso. Determine la disminucin en longitud que experimentar la barra de aluminio por efecto del peso del acero que sostendr.

Tarea #3: Resuelva el ejercicio siguiente:

mec de matls u1 intro y esfzos

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