Booleova algebra

George Boole (1815. – 1864.)

Što je Booleova algebra?

• dio matematičke logike koji se bavi izjavama i sudovima

• izjavama se koristimo svakodnevno i one mogu biti istinite ili lažne:▪ Ljeti često pada snijeg. – lažna izjava▪ Vikendom se uglavnom odmaramo. – točna izjava

• u računalu se provjeravaju aritmetičko-logičke izjave▪ 2 > 3 – lažna izjava▪ 3 + 2 = 5 – točna izjava

• istinite izjave u računalu se prikazuju s vrijednosti 1 ili true (T)

• lažne izjave u računalu se prikazuju s vrijednosti 0 ili false (F)

Osnovne logičke operacije

• negacija – logičko ne (not)▪ simbol: ¬ ili –

• konjunkcija (logičko množenje) – logičko I

(and)▪ simbol: ˄ ili ·

• disjunkcija (logičko zbrajanje) – logičko ILI (or)▪ simbol: ˅ ili +

A ഥ𝐀

0 1

1 0

A B A · B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

A B A + B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Negacija

• logičko ne

• mijenja vrijednost s 0 na 1 ili obrnuto

• prikazuje se na nekoliko načina:• ¬A

• Ā

• not A

A ¬A

0 1

1 0

Konjunkcija

• logičko množenje

• prikazuje se na nekoliko načina:

• A ˄ B

• A • B

• A and B

• A && B

• da se dođe do zadovoljenoga stanja (1), potrebno je da uvjeti A i B budu zadovoljeni (1)

A B A · B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Konjunkcija

• npr. da bi mogao ići van s prijateljima, moraš očistiti sobu i napisati zadaću

• uvjet A – je li soba očišćena?

• uvjet B – je li zadaća napisana?

A B A · B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

soba je očišćena i zadaća je napisana, pa možeš ići van s prijateljima

soba je očišćena, ali zadaća nije napisana, pa ne možeš ići van s prijateljima

zadaća je napisana, ali soba nije očišćena, pa ne možeš ići van s prijateljima

soba nije očišćena i zadaća nije napisana te nikako ne možeš ići van s prijateljima

Disjunkcija

• logičko zbrajanje

• prikazuje se na nekoliko načina

• A v B

• A + B

• A or B

• A | B

• da se dođe do zadovoljenoga stanja (1), potrebno je da jedan od uvjeta (A ili B) budu zadovoljeni (1)

A B A + B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Disjunkcija

• npr. da bi mogao ići van s prijateljima, moraš ili očistiti sobu ili napisati zadaću

• uvjet A – je li soba očišćena?

• uvjet B – je li zadaća napisana? soba je očišćena i zadaća je napisana, pa možeš ići van s prijateljima

iako zadaća nije napisana, soba je očišćena pa možeš ići van s prijateljima

iako soba nije očišćena, zadaća je napisanapa možeš ići van s prijateljima

soba nije očišćena i zadaća nije napisana te nikako ne možeš ići van s prijateljima

A B A + B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Složene logičke izjave

• nastaju kombiniranjem osnovnih logičkih operacija (npr. prvo imamo konjunkciju vrijednosti te nakon toga disjunkciju)

• najviši je prioritet negacija (¬), zatim konjunkcija te disjunkcija• A = 0, B = 0, C = 0

• ഥ𝐀 + B • C → 1 + (0 • 0) → 1 + 0

→ 1

A B C ഥ𝐀 B·C ഥ𝐀+B·C

0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1

0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 1 1

Teoremi Booleove algebre

• logički izraz koji je istinit za sve interpretacije formule naziva se tautologija

A + ഥ𝐀 = 1 A + 1 = 1 A + 0 = A A · 1 = A

• logički izraz koji je lažan za sve interpretacije formule naziva se kontradikcija

A · ഥ𝐀= 0 A · 0 = 0

• dvostruka negacija

ഥ𝐀 = A

Teoremi Booleove algebre

• jednaka važnost

A · A = A A + A = A

• De Morganov zakon

A + A = ഥ𝐀 · ഥ𝐀 A · A = ഥ𝐀 + ഥ𝐀

• apsorpcija

A + ഥ𝐀 · B = A + B

Teoremi Booleove algebre

• asocijativnost

(A + B) + C = A + (B + C) (A · B) · C = A · (B · C)

• distributivnost

A · (B + C) = (A · B) + (A · C) A + (B · C) = (A + B) · (A + C)

Dokazivanje teorema tablicama istinitosti

• dokaži da je A + B = ഥ𝐀 · ഥ𝐁

A B A + B A + B

1 1 1 0

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

A B ഥ𝐀 ഥ𝐁 ഥ𝐀 · ഥ𝐁

1 1 0 0 0

1 0 0 1 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 1

Konjuktivna i disjunktivna norma

• konjuktivnom se normom koristimo kad u rezultatima za ulazne vrijednosti imamo manje nula

• uzmemo retke u kojima je krajnji rezultat nula

• negiramo varijablu koja ima vrijednost 1te je zbrojimo s drugom varijablom

• na kraju obije vrijednosti pomnožimo tedobivamo jednadžbu

jednadžba

A BY=f(A, B)rezultat

(A + ഥ𝐁 ) ·(ഥ𝐀 + ഥ𝐁 )

0 0 1

1 0 1

0 1 0 A + ഥ𝐁

1 1 0 ഥ𝐀 + ഥ𝐁

Konjuktivna i disjunktivna norma

• disjunktivnom se normom koristimo kad u rezultatima za ulazne vrijednosti imamo manje jedinica

• uzmemo retke u kojima je krajnji rezultat jedan

• negiramo varijablu koja ima vrijednost 0te je pomnožimo s drugom varijablom

• na kraju obije vrijednosti zbrojimo tedobivamo jednadžbu

jednadžba

A BY=f(A, B)rezultat

(A · ഥ𝐁 ) + (ഥ𝐀·B)

1 1 0

1 0 1 A · ഥ𝐁

0 0 0

0 1 1 ഥ𝐀· B

Logički sklopovi

• elektronički elementi koji su namijenjeni izvođenju određenih funkcija

• primjenjuju se u računalima, regulacijskim krugovima i uređajima za daljinsko mjerenje

• signal koji ulazi u sklopove može imati jedno od dva diskretna stanja (0 i 1)

Osnovni logički sklopovi

ne (not)

ili (or)

i (and)A

B

AB

A ഥ𝐀

A + B

A · B

Izvedeni logički sklopovi

ULAZ IZLAZ

A B A NI B

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

(A · B)

(A + B)

A ⊕ B

(A ⊕ B)

NI (NAND)

NILI (NOR)

XILI (XOR)

XNILI (XNOR)

A

A

A

A

B

B

B

B

ULAZ IZLAZ

A B A NILI B

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

ULAZ IZLAZ

A B A XILI B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

ULAZ IZLAZ

A B A XNILI B

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Primjeri:

• Simulacije: https://informatickeigre.com/2r/logicki-sklopovi/

• logički sklop za A · B

• logički sklop za ഥA + B · C

A · BA

BA · B

ili

AB

A · B

B

C

A ഥA

B · C

ഥA + B · C

Primjeri:

• ഥ𝐀 · B + A · ഥB

A

B

ഥ𝐀

ഥB

ഥ𝐀 · B

A A · ഥB

B

ഥ𝐀 · B + A · ഥB

Zadatci:

• logičke operacije: https://www.e-u.hr/info-struk/dok/lekcija/zadatci-7-logicke-operacije_843_2032.pdf

• teoremi: https://www.e-u.hr/info-struk/dok/lekcija/zadatci-8-teoremi-booleove-algebre_844_2033.pdf

• logički sklopovi: https://www.e-u.hr/info-struk/dok/lekcija/zadatci-9-logicki-sklopovi_845_2035.pdf