FRIEDRICH-SCHILLER-

UNIVERSITÄT JENA

JENAER SCHRIFTEN

ZUR

MATHEMATIK UND INFORMATIK

Eingang: 05.11.2014 Math/Inf/06/2014 Als Manuskript gedruckt

Papierfalten im Mathematikunterricht

Bericht zum Kolloquium vom 7.2.2014 an der FSU Jena Herausgegeben von Michael Schmitz

Friedrich-Schiller-Universität Jena

Fakultät für Mathematik und Informatik

Abteilung Didaktik

Ernst-Abbe-Platz 2

07743 Jena

michael.schmitz@uni-jena.de

Fakultät für Mathematik und InformatikAbteilung Didaktik

Didaktik-Kolloquium

Friedrich-Schiller-Universität JenaJena, Carl-Zeiß-Straße 3,

Hörsaal 9 & Seminarraum 113

Bewer-ten

Be-rechnen

Begrün-den

Anwen-den

Kons-truieren

Spie-len

Erfin-den

Ordnen

Papierfalten imMathematikunterricht

seit 1558

Freitag, 07.02.2014 14:00 - 18:00 Uhr

1

Das Falten von Papier bietet au h für den Mathematikunterri ht von der Grunds hule bis

zum Abitur eine Vielzahl interessanter Einsatzmögli hkeiten. So können si h S hüler ni ht

nur intensiv mit Geometrie befassen, sondern es werden au h Konzentration, räumli hes

Vorstellungsvermögen und Selbstvertrauen gestärkt. Darüber hinaus �nden diese Te hniken

Anwendungen in der Industrie, vom Stant in der Herz hirurgie, über den Airbag im Auto bis

hin zum Sonnensegel in der Raumfahrt.

Am 7.2.2014 organisierte die Abteilung für Didaktik der Mathematik und Informatik an der

Friedri h-S hiller-Universität Jena ein Kolloquium zum Thema Papierfalten im Mathematik-

unterri ht. Das Kolloquium war vom Thüringer Institut für Lehrerfortbildung, Lehrplanent-

wi klung und Medien (Thillm) als Fortbildungsveranstaltung für Thüringer Lehrerinnen und

Lehrer akkreditiert.

Na h einer kurzen Erö�nung des Kolloquiums gab die

Diplom-Designerin KristinaWiÿling (origami design &

illustration, Lennestadt) einen Einbli k in ihre Arbeit unter

dem Titel Origami - Te hnik - moderne Wissens haft und

Anwendungen in Design, Fors hung und Industrie. Sie be-

tonte, dass industriell angewandte Faltte hniken einzigarti-

ge und e�ziente Lösungen bringen und mehr Mögli hkeiten

als herkömmli he Te hniken bieten. Die faszinierenden ge-

falteten Strukturen basieren auf der Origami-Te hnik und

sind vielfältig und komplex. Beispiele aus der Raumfahrt-

industrie, der Unterhaltungselektronik, des Gesundheitswe-

sens und der Si herheitste hnik folgten. Dur h die Anwen-

dung sol her Faltte hniken entwi keln si h neuartige Verfah-

ren zur Minimierung bzw. Maximierung von Objekten bzw.

Ober�ä hen. Im Vortrag wurde sehr gut deutli h, dass die

Bes häftigung mit Origami für Te hnik und Wissens haft

neue Anregungen bietet. Dies ist au h ein Grund, dass das

Falten von Papier in der S hule sehr sinnvoll ist.

Na h diesem Vortrag gab es zwei parallele Sektionen: Eine für die Grunds hule und eine für

die Sekundarstufe.

Für die Grunds hule führte Prof. Dr. Bernd Wollring (Universität Kassel) einen dreistün-

digen Workshop Papierfalt-Geometrie in der Grunds hule dur h.

Für die Sekundarstufe spra hen Prof. Dr. Mi hael Kleine (Universität Bielefeld), Dr.

Hans Walser (Universität Basel) und Dipl.-Math. Rainer Caspary (Berlin).

Mehrere Faltplakate und Origamiarbeiten wurden ausgestellt.

2

Herr Kleine stellte in seinem Beitrag Mehr als

falten - Zugänge zur Mathematik erleben heraus,

dass das Falten von mathematis hen Figuren

und Körpern ni ht nur eine sehr traditionelle,

sondern au h moderne Auseinandersetzung mit

Mathematik ist. Dabei stehen Erfahrungen im

Mittelpunkt, die S hülerinnen und S hüler in ei-

ner aktiven Auseinandersetzung mit mathema-

tis hen Objekten und Zusammenhängen erleben

können. Mathematik wird ni ht nur begreifba-

rer, sondern s härft au h den Bli k dur h eine

�mathematis he Brille�, der über das unmittel-

bare Handeln hinausgehet. Dazu gab Herr Klei-

ne au h Anregungen, in denen es darum ging, Faltvorgänge für den Mathematikunterri ht in

der Sekundarstufe I dur hzuführen und hinsi htli h ihrer Einsetzbarkeit für eine mathemati-

s he Bildung zu diskutieren.

Herr Walser bes häftigte si h in seinem Beitrag mit dem

DIN-Format, das mehr als ein Stü k Papier und die Qua-

dratwurzel aus Zwei ist. Er zeigte uns Spiralen und Grenz-

punkte, ging auf Fragen der Abzählbarkeit, die glei htempe-

rierte 12-Ton-Stimmung, die Jakobs-Himmelsleiter, das Sil-

berne Re hte k, Faltprobleme und Legespiele na h Fried-

ri h Fröbel ein. Explizit wurden Faltaufgaben bespro hen,

die nur mit einem Papierblatt in einem DIN-Format mög-

li h sind. Insbesondere kamen das regelmäÿige A hte k so-

wie Kantenmodelle von Würfel und Tetraeder zur Spra he.

Au h eine Übertragung in den Raum zu den �DIN-Quadern�

wurde vorgestellt.

Herr Caspary zeigte uns in seinem Beitrag Flä hen- und un-

gerade Stre kenteilungen mit Origami-Mitteln, dass es beim

Papierfalten sowohl exakte Faltungen als au h Näherungslösungen gibt.

Zu der Untersu hung der vorgestellten Flä hen-

teilung, einer kompletten Falt�gur, brau hte

man Glei hungen von Geraden, den Abstand

von Punkten, die Normale. Zudem wurde eine

quadratis he Glei hung abgeleitet, deren Null-

stellen die Ri htigkeit der Faltung bestätigen.

Damit stellte si h heraus, dass dieses Verfah-

ren (im theoretis hen Sinn) exakt ist. Die vor-

gestellte Stre kenteilung ist dagegen ein appro-

ximatives Verfahren, das zu einer Näherungslö-

sung führt. Bei der Untersu hung dieses Verfah-

rens kommen analytis he Methoden zum Ein-

satz (Folgen, Reihen, Konvergenz, namentli h

die geometris he Reihe). Jedes Mal werden die mathematis hen Zusammenhänge zu den

Faltvorgängen bestimmt.

Herr Wollring führte mit interessierten Grunds hullehrern einen Workshop zur Papierfalt-

Geometrie in der Grunds hule dur h. Er wies darauf hin, dass in den Bildungsstandards zur

Mathematik für den Primarberei h ni ht nur auf Figuren, sondern au h auf Abbildungen ex-

plizit verwiesen wird. Dies meint die Prozesse, die man mit ebenen Figuren dur hführt, etwa

Drehen, Vers hieben und Spiegeln. Mit Papierfalt-Objekten ist dies besonders gut einzulösen.

3

Neben diesem �mathematis hen Sinn� ist es aber bei Papierfalt-Objekten meist gut mögli h,

einen �Werksinn� vorzu�nden, mit dem Verbindungen zum Spra hunterri ht, zum Sa hun-

terri ht und zum Kunstunterri ht hergestellt werden können. Im ersten Teil des Workshops

wurden elementare Faltungen zu bekannten Objekten und bedeutenden Konstruktionen, etwa

zum regelmäÿigen Se hse k und zum Teilen gegebener Längen, betra htet. Im zweiten Teil

des Workshops wurden Mögli hkeiten, mit denen Faltprozesse dargestellt werden können,

erörtert. Eine besondere Rolle spielten dabei Falt-Poster, die von S hülern der Grunds hule

ni ht nur gelesen, sondern au h aktiv gestaltet werden können. Eine dokumentierte Beispiel-

sammlung (Mathe-Welt : In mathematik lehren, Heft 113, Friedri h Verlag, 2002) wurde den

Teilnehmenden zur Verfügung gestellt.

Neben den Vorträgen und dem Workshop fand ein reger Informationsaustaus h zwis hen

Vortragenden und Teilnehmern statt.

Mi hael S hmitz

Inhaltsverzei hnis

1 Mehr als falten � Zugänge zur Mathematik erleben 5

2 Faltgeometrie im DIN-Format 10

3 Origami und Mathematik 23

4 Faltplakate 28

4

1 Mehr als falten � Zugänge zur Mathematik erleben

Mi hael Kleine, Universität Bielefeld

Kurzfassung

Falten von mathematis hen Figuren und Körpern ist sowohl eine traditionelle, als au h mo-

derne Auseinandersetzung mit mathematis hen Inhalten. S hülerinnen und S hüler können

unmittelbar eine aktive Auseinandersetzung mit mathematis hen Objekten erleben und Zu-

sammenhänge entde ken. Am Beispiel der Figur �Windmühle� soll gezeigt werden, wie S hüle-

rinnen und S hüler einen Erfahrungshorizont aufbauen können, indem sie Objekte dur h eine

�mathematis he Brille� betra hten. Dabei kann das Vorgehen unabhängig vom unmittelbaren

Umgang mit dem Objekt au h auf andere Teile der Mathematik und des Mathematikerlebens

ausstrahlen.

Einführung

Das Lernen von Mathematik anhand von Faltungen und gefalteter Objekte hat eine lan-

ge Tradition in unserem Bildungswesen. Bereits in der Idee von Friedri h Fröbel aus dem

Jahre 1838 zum Kindergarten bildete das Papierfalten eine wi htige Lernumgebung, anhand

derer Kinder Fundamente der Euklidis hen Geometrie erfahren und glei hzeitig ihre Kreati-

vität entwi keln sollten. Leider ist dieser Grundgedanke im Laufe der Zeit zunehmend aus

dem Bli kfeld vers hwunden. Papierfalten im Mathematikunterri ht �ndet in Deuts hland

nur als eine Randers heinung statt � von systematis her Einbeziehung sind wir im Mathe-

matikunterri ht weit entfernt. Dabei bieten die Gestaltung von Lernumgebungen anhand

des Papierfaltens zahlrei he Mögli hkeiten, um gerade angesi hts der Diskussion um mathe-

matis he Kompetenzen (vgl. Kleine, 2012) mathematis he Inhalte zu entde ken und au h

miteinander zu verbinden. Im Folgenden soll anhand der �Windmühle�, si herli h eines der

am besten genutzten Papierformen, exemplaris h aufgezeigt werden, wie vielfältig die Akti-

vitäten von S hülerinnen und S hülern in der Auseinandersetzung mit dem Papierfalten sein

können. Darüber hinaus sollen die Verbindungen der Aktivitäten zu dem Kompetenzmodell

der Bildungsstandards (KMK, 2004) aufgezeigt werden.

Abbildung 1: Faltmuster der Windmühle

Der Faltvorgang

Ausgangspunkt der Windmühle ist das obliga-

toris he quadratis he Stü k Papier. Dabei fal-

tet man zunä hst die notwendigen Faltlinien vor

(Abbildung 1):

(1) Zuerst wird jede Diagonale gefaltet, das Pa-

pier na h jedem Faltvorgang wieder geö�net.

(2) Ebenso verfährt man mit den beiden Seiten-

mitten.

(3) Jede Quadrate ke wird bis zur Mitte gefal-

tet und ebenfalls wieder geö�net.

(4) S hlieÿli h wird jede Seite des Quadrats bis

zur parallel liegenden Mittellinie gefaltet und

ebenfalls na h jedem Faltvorgang wieder geö�-

net.

Nun geht es an das unmittelbare Vollenden der

Windmühle (Abbildung 2): Dazu hält man zwei

5

bena hbarte Seitenviertelungen zusammen, wobei die E ke jeweils am diagonalen Kni k zu-

sammengelegt und der so entstandene Flügel auf die Seite gelegt wird. Diesen Vorgang wie-

derholt man reihum und fertig ist die Mühle.

Abbildung 2: Fertigstellung der Windmühle (Kleine, M.; Ri hter, S., 2011, S. 12)

Exemplaris he Betra htungen an der Windmühle zur Leitidee �Messen�

Neben der eigentli hen Figur ist es vielmehr das Faltmuster, das für mathematis he Zusam-

menhänge hergenommen wird. Aus der S hulpraxis lässt si h festhalten, dass S hülerinnen

und S hüler ungern eine Falt�gur wieder entfalten. Darum bietet es si h an, jede Figur doppelt

falten zu lassen: für die Figur selber und für das Faltmuster. Betra htet man das Faltmuster

(Abbildung 3) genauer, dann ist die Parkettierung in glei hs henklig-re htwinklige Dreie ke

(�Grunddreie ke�) ein wesentli hes Kennzei hen.

Abbildung 3: Faltmuster der Windmühle

Bei fehlender Erfahrung fällt es anfangs S hüle-

rinnen und S hülern s hwer, in das Faltmuster

vers hiedene Figuren und Anordnungen �hinein-

zusehen�. Deshalb wird es am Anfang erst einer

S härfung des Bli kes und au h mehr Hinwei-

sen bedürfen. Mit der Zeit formen si h jedo h

aufgrund einer selektiven Wahrnehmung ma-

thematis he Figuren und Anordnungen in dem

Faltmuster. Beim näheren Hinbli ken stellt man

fest, dass es zahlrei he mathematis he Grund�-

guren in der Ebene gibt, die si h dur h Zusam-

mensetzungen der Grunddreie ke bilden lassen

(Quadrat, Re hte k, Parallelogramm, Trapez,

glei hs henkliges Trapez, Dreie k). Die Parket-

tierung der Figuren dur h die Grunddreie ke

kann dazu führen, dass man die Flä heninhal-

te der Figuren auf vers hiedene Weisen ineinan-

der überführen kann, die auf Ergänzungs- bzw.

Zerlegungsglei hheit beruhen. Abbildung 4 zeigt diesen Ansatz exemplaris h für Dreie ke.

6

Abbildung 4: Flä heninhalte dur h Umwandlungen in der Parkettierung (Kleine, M.; Ri hter,

S., 2011, S. 14)

Betra htet man entspre hend der Bildungsstandards (KMK, 2004) dieses Vorgehen vor dem

Hintergrund der Leitidee �Messen�, dann bedeutet das ni hts anderes, als dass man die Idee

der Parkettierung mit jeweils glei h groÿen Grundeinheiten (in diesem Fall dem Flä hen-

inhalt der Grunddreie ke) auf das Messen von Flä heninhalten überträgt und damit den

Rü ks hluss auf Zusammenhänge zwis hen Flä heninhalten vollzieht. Diese Idee der Leitidee

Messen wird oftmals im Unterri ht sehr s hnell vollzogen und in eine Standardisierung mit

Einheitsquadraten überführt. Darum ist das Vorgehen au h zunä hst ungewohnt, entspri ht

jedo h der mathematis hen Grundidee und fällt S hülerinnen und S hülern meiner Erfahrung

na h au h ni ht s hwer. Im Gegenteil: Der S hritt über die vorhandenen Parkettierungen er-

lei htert sogar oftmals den Eintritt in Argumentationen und Begründungsmuster, wie man

au h am folgenden Beispiel sehen kann. Diese Grundidee des Messens lässt si h beispiels-

weise au h für den Satz des Pythagoras nutzen (Abbildung 5). Dabei können ni ht nur die

übli hen Verans hauli hungen mit den Seitenquadraten gewählt werden. Insbesondere haben

(im Sinne einer Binnendi�erenzierung) S hülerinnen und S hüler die Mögli hkeit, den Satz

des Pythagoras in seiner allgemeinen Form zu erkennen, indem ähnli he Figuren über den

jeweiligen Dreie ksseiten erri htet werden � eine Erkenntnis, die sonst gerne auf der Stre ke

bleibt. Die Parkettierung mit den Grunddreie ken liefert dabei die wi htige Ausgangsbasis

für einen Flä henverglei h.

Abbildung 5: Verans hauli hungen zum Satz des Pythagoras mit vers hiedenen ähnli hen

Figuren (Kleine, M.; Zeyer, A., 2011, S. 42)

Die Idee der Parkettierung lässt si h au h in der Figur zum Strahlensatz oder den binomi-

s hen Formeln fortsetzen. Einzelheiten hierzu �ndet man bei Kleine et al. (2013, 2014). Die

7

bestehenden Argumentationss hritte können dabei � je na h Bildungsgang � als Ausgangs-

punkt für eine genauere Untersu hung gewonnen werden oder als Begründungsmuster im

Sinne einer ans hauli hen Argumentation na h Holland (1996) dienen.

Exemplaris he Betra htungen an der Windmühle zur Leitidee �Raum und Form�

Besonders augenfällig an der Falt�gur und an dem Faltmuster sind si herli h Betra htungen,

die einen Zusammenhang zwis hen geometris hen Objekten innerhalb der Leitidee �Raum

und Form� bes hreiben, insbesondere zur Symmetrie bzw. Kongruenz. Die Zusammensetzun-

gen zu geometris hen Figuren lassen geradezu die Idee aufkommen, wie denn eine Figur in

eine andere zu überführen ist. Neben den Betra htungen einfa her A hsenspiegelungen bietet

es si h in dem Faltmuster an, au h mehrfa he A hsenspiegelungen und ihre Zusammenhänge

zu den anderen Symmetrieabbildungen genauer in den Bli k zu nehmen (Abbildung 6). Dabei

kann sowohl für die Punktspiegelung als au h für die Vers hiebung ein Einbli k in strukturelle

Zusammenhänge der Symmetrieabbildungen ermögli ht werden. Dabei lassen si h entde kte

Zusammenhänge auÿerhalb der Falt�guren auf unters hiedli hem Niveau und Begründungs-

mustern vertiefen (und dieses ist au h notwendig). An dieser Stelle bietet si h si herli h der

Übergang zu einem dynamis hen Werkzeug an, um die Lagen der Doppela hsen genauer zu

veri�zieren.

Abbildung 6: Erprobung von Doppela hsenspiegelungen (Kleine, M.; Ri hter, S., 2011, S. 13)

Ausbli k

In diesem Beitrag sollten anhand der Falt�gur �Windmühle� exemplaris h aufgezeigt werden,

wie S hülerinnen und S hüler handelnd mathematis he Beziehungen und Zusammenhänge

erkennen können. Einige dieser Zusammenhänge werden ni ht mehr explizit dur h Lehrpläne

gefordert � implizit jedo h s hon, indem strukturelle Beziehungen mathematis her Objekte

für ein sinngebendes Verständnis unabdingbar sind. Die Kehrseite wäre dagegen unzusam-

menhängende Verinselungen von Wissen, die als Kompetenzorientierung si herli h ni ht zu

verstehen ist. Das Papierfalten bietet hier zahlrei he Mögli hkeiten, um an vers hiedenen

Stellen im Unterri ht Lernanlässe zu geben, die auf eine mathematis he Struktur hinweisen

oder die mathematis he Beziehungen näher in den Bli k nehmen. Für beide Aspekte lohnt

es si h, das Papierfalten im Sinne einer modernen Auseinandersetzung von S hülerinnen und

S hülern mit Mathematik in den Unterri ht zu implementieren.

Literatur

Holland, G. (1996). Geometrie in der Sekundarstufe. Berlin: Spektrum Verlag.

Kleine, M. (2012). Lernen fördern: Mathematik � Kompetenzorientierter Unterri ht in der

Sekundarstufe 1. Seelze: Klett-Kallmeyer.

8

Kleine, M.; Ludwig, M.; Skorsetz, B. (2013). Mathe.Logo 8 � Gymnasium Thüringen. Bam-

berg: C. C: Bu hners Verlag.

Kleine, M.; Ri hter, S. (2011). Mathe.Origami. Bamberg: C.C. Bu hners Verlag.

Kleine, M.; Skorsetz, B. (2014). Mathe.Logo 9 � Gymnasium Thüringen. Bamberg: C. C.

Bu hners Verlag.

Kleine, M.; Zeyer, A. (2011). Mathe-Welt: Faltmuster erkunden. Mathematik lehren, 166,

25-44.

9

2 Faltgeometrie im DIN-Format

Hans Walser, Universität Basel

Kurzfassung

Das DIN-Format ist mehr als ein Stü k Papier und die Quadratwurzel aus Zwei. Wir tre�en

auf Spiralen, Grenzpunkte, die glei htemperierte 12-Ton-Stimmung, das Silberne Re hte k,

Faltprobleme und Legespiele na h Friedri h Fröbel. Explizit werden Faltaufgaben bespro hen,

die nur mit einem Papierblatt in einem DIN-Format mögli h sind. Insbesondere kommen das

regelmäÿige A hte k sowie Kantenmodelle von Würfel und Tetraeder zur Spra he.

Wurzel aus Zwei

Wenn wir ein DIN A4 Papier längs der kurzen Mittellinie falten, ergibt si h ein doppellagiges

DIN A5 Papier (Abbildung 1). Dieses hat nun dieselbe Form (Ähnli hkeit), also dieselben

Seitenverhältnisse wie das DIN A4 Papier, wie dur h Anlegen an eine gemeinsame Diagonale

na hgeprüft werden kann.

Abbildung 1: DIN A4 und DIN A5

Mit der S hmalseite 1 und der Langseite x für das DIN A4 Re hte k erhalten wir aus der

Ähnli hkeit:

x1 = 1

x

2

⇒ x =√2.

Dieses Seitenverhältnis kann dur h Falten na hgeprüft werden (Abbildung 2). Dabei benützen

wir den Sa hverhalt, dass im Quadrat die Diagonalen-Länge das

√2-Fa he der Seitenlänge

ausma ht.

Abbildung 2: Kontrolle dur h Falten

10

Beim Abs hneiden eines Quadrates vom DIN-Re hte k (etwa beim Zus hneiden von Origami-

Papier) bleibt ein Re hte k mit dem Seitenverhältnis 1 : (√2 − 1) übrig. Dies ist das so

genannte Silberne Re hte k. Es hat ähnli he Eigens haften wie das Goldene Re hte k (vgl.

Walser 2013).

Auss höpfen des A0-Re hte kes

Das DIN-Format ist �ä henmäÿig ans metris he System angebunden. Das DIN A0 Papier

hat einen Flä heninhalt von 1m2.

Die klassis he Art

Wir können mit einem Set von DIN-Re hte ken A1, A2, A3, ... ein A0-Re hte k auss höpfen

(Abbildung 3).

Abbildung 3: Auss höpfung des A0-Re hte kes

Wenn wir die Mitten aufeinanderfolgender Re hte ke verbinden, ergibt si h eine Zi kza k-

Linie, wel he in den Grenzpunkt re hts oben mündet.

Spiralförmige Anordnung

Wir können das Set von Re hte ken A1, A2, A3, ... aber au h spiralförmig gemäÿ Abbildung

4 anordnen.

Abbildung 4: Spiralförmige Anordnung

11

Der Grenzpunkt ist ein �Drittelpunkt�. Das kann wie folgt eingesehen werden: Wenn wir auf

der Höhe des Grenzpunktes von links her einfahren, tre�en wir nur Ho hformat-Re hte ke,

und zwar der Reihe na h A4, A8, A12, A16, ... . Diese haben im Verglei h zum Startre hte k

die Breiten

14 ,

116 ,

164 ,

1256 , ... . Für den Abstand vom linken Rand erhalten wir somit die

geometris he Reihe:

14 +

116 + 1

64 + 1256 + ... =

∞∑

n=0(14 )

n =1

4

1− 1

4

= 13 .

Wir können diesen Drittelpunkt aber au h dur h falten bestimmen (Abbildung 5).

Abbildung 5: Drittelpunkt dur h falten

Dazu müssen wir eine E ke auf die davon ausgehende Diagonale falten.

Weitere Teilverhältnisse

Abbildung 6: Falten eines A4-Papiers

Wenn wir längs einer Diagonalen falten, teilt der S hnittpunkt der beiden Längsseiten diese

im rationalen Verhältnis 1 : 3 (Mitteilung von Hans S hupp, Saarbrü ken, Abbildungen 6

und 7).

12

Abbildung 7: Falten und Au�alten

Denselben E�ekt erhalten wir, wenn wir das A4-Papier so falten, dass zwei diametrale E k-

punkte aufeinander fallen (Abbildung 8).

Abbildung 8: Diametrale E kpunkte

Dazu ein �Proof without words� (Abb. 9):

A4 A4

A5

A4

A5

Abbildung 9: Beweis

Dieses s höne Teilverhältnis gibt es nur beim DIN-Format. Die Abbildung 10 zeigt das Teil-

verhältnis, das si h mit demselben Faltprozess beim US Letter Format ergibt.

Abbildung 10: US Letter

13

Andere Figuren

Gibt es andere Figuren, die in zwei kongruente, zur Ausgangs�gur ähnli he Teil�guren zer-

legbar sind?

Das re htwinklig-glei hs henklige Dreie k

Das naheliegende Beispiel ist das re htwinklig-glei hs henklige Dreie k (Abbildung 11). Wir

erhalten es aus einem halben Origami-Papier. Bei fortlaufender Unterteilung ist der Grenz-

punkt die E ke re hts unten.

Abbildung 11: Das re htwinklig-glei hs henklige Dreie k

Es gibt im re htwinklig-glei hs henkligen Dreie k ebenfalls eine spiralförmige Anordnung

(Abbildung 12). Der Grenzpunkt führt zu Fünfteln.

Abbildung 12: Spiralförmige Anordnung

Die Thaleskreise der Teildreie ke verlaufen bei der spiralförmigen Anordnung alle dur h diesen

Grenzpunkt (Abbildung 13).

Abbildung 13: Thaleskreise

Die spiralförmige Anordnung kann au h mit falten errei ht werden. Die Abbildung 14 zeigt

die ersten Falts hritte, die Abbildung 15 ein Papiermodell.

14

Abbildung 14: Faltprozess

Abbildung 15: Papiermodell

Wir sehen, dass zwei Spiralen ineinandergreifen. Die weiÿe Spirale ist um den Längenfaktor√2 gröÿer als die blaue, �ä henmäÿig also doppelt so groÿ.

Abbildung 16: DIN-Quader und Einheits-

würfel

Der S hritt in den Raum

DIN-Quader: Wird ein Quader mit dem Kan-

tenverhältnis 2 : 3√4 : 3

√2 geeignet halbiert,

ergeben si h zwei Quader mit dem Kantenver-

hältnis

3√4 : 3

√2 : 1. Diese sind ähnli h zum

ursprüngli hen Quader. Die Abbildung 16 zeigt

einen �DIN-Quader� mit dem Kantenverhältnis

3√4 : 3

√2 : 1 im Verglei h zum Einheitswürfel.

Die Abbildung 17 zeigt eine Anordnung eines

DIN-Quader-Satzes analog zur klassis hen An-

ordnung eines Satzes von DIN-Re hte ken (Ab-

bildung 3).

15

Abbildung 17: Anordnung

Während bei Re hte ken nur zwis hen Querformat und Ho hformat unters hieden werden

kann, brau hen wir hier drei Formate. Dazu dient das beigefügte Koordinatensystem. Der

erste Quader hat seine längsten Kanten in der x-Ri htung, der zweite Quader hat seine

längsten Kanten in der y-Ri htung und der dritte Quader in der z-Ri htung. Der vierte

Quader hat seine längsten Kanten wiederum in der x-Ri htung. Der Grenzpunkt ist an einer

E ke (Abbildung 18).

Abbildung 18: Grenzpunkt und Spirale

Im Unters hied zum zweidimensionalen Beispiel kann dieser Grenzpunkt zudem als Zentrum

einer Spirale gesehen werden. Die Spirale ist aber räumli h, sie hat die Form einer Wasser-

s hne ke.

Die Abbildung 19 zeigt einen Satz von realen DIN-Kisten.

16

Abbildung 19: DIN-Kisten

DIN-Hyperquader: Im vierdimensionalen Raum ergeben si h dur h 2 : 4√8 : 4

√4 : 4

√2 und

4√8 : 4

√4 : 4

√2 : 1 die Kanten zweier aufeinanderfolgender 4d-DIN-Hyperquader. George

Pólya (1887-1985) hätte in dieser Situation allerdings von einer Verallgemeinerung dur h

Verwässerung gespro hen, da wir ni hts Neues mehr lernen.

Glei htemperierte 12-Ton-Stimmung: Wir verwässern weiter zum 12d-DIN-Hyperquader.

212

12 : 211

12 : 210

12 : 29

12 : 28

12 : 27

12 : 26

12 : 25

12 : 24

12 : 23

12 : 22

12 : 21

12.

Das haben wir zwar no h nie gesehen, aber s hon gehört. Es sind die Frequenzverhältnisse

der glei htemperierten 12-Ton-Stimmung.

Das Silberne Re hte k und das regelmäÿige A hte k

Das Silberne Re hte k ist die Rest�gur beim Abs hneiden eines Quadrates von einem DIN-

Papier.

Diagonalens hnittwinkel im Silbernen Re hte k

Die Abbildung 20 zeigt einen Beweis ohne Worte für den Diagonalens hnittwinkel 45◦ im

Silbernen Re hte k. Den Beweis verdanke i h Renato Pandi.

17

Abbildung 20: Diagonalens hnittwinkel im Silbernen Re hte k

Das regelmäÿige A hte k

Der 45◦-Winkel ist aber au h der Zentriwinkel im regelmäÿigen A hte k. Daher ers heint das

Silberne Re hte k im regelmäÿigen A hte k (Abbildung 21).

Abbildung 21: Silbernes Re hte k im regelmäÿigen A hte k

Flä henmäÿig ma ht das Silberne Re hte k genau die Hälfte des A hte ks aus. Dies kann mit

einem Zerlegungsbeweis eingesehen werden (Abbildung 22).

Abbildung 22: Zerlegungsbeweis

Der Zerlegungsbeweis kann no h subtiler gema ht werden, sodass ein Stern mit a htteiliger

Symmetrie ers heint (Abbildung 23). Das erinnert an die Legespiele na h Fröbel (Abbildung

24).

18

Abbildung 23: Zerlegungsbeweis mit Stern

Abbildung 24: Fröbel-Stern

Wenn wir beim Stern zusätzli h zwei re htwinklig glei hs henklige Dreie ke ansetzen, passt

die Figur in ein DIN-Re hte k (Abbildung 25).

Abbildung 25: Einpassen ins DIN-Re hte k

Auf Grund dieser Figur kann aus einem DIN-Re hte k ein regelmäÿiges A hte k dur h Falten

hergestellt werden. Die Abbildung 26 illustriert den Faltprozess.

Abbildung 26: Falten eines A hte ks

19

Die Abbildung 27 zeigt das Faltmodell.

Abbildung 27: Faltmodell

Natürli h können wir au h mit einem anderen Papier-Re hte k das Faltprozedere gemäÿ Ab-

bildung 26 dur hführen. Wir erhalten dann ein zwar glei hwinkliges, aber ni ht glei hseitiges

A hte k. Die Abbildung 28 zeigt die Situation für US Letter.

Abbildung 28: US Letter

Würfel und Tetraeder

Kantenmodell des Würfels

Als Baumaterial dient Papier im DIN A6-Format. Geeignet ist Papier der Stärke 80 g

m2 . Es

geht au h mit dünnen Karteikarten. Für jede Kante brau ht es ein Papier.

Für den Faltprozess verwenden wir eine etwas festere A6-Karte als Faltlehre. Wir legen die-

se Faltlehre diagonal auf ein A6-Papier und falten die vorstehenden E ken des darunter-

liegenden Papiers na h vorne über die Faltlehre (Abbildungen 29a, 29b). Dann entfernen

wir die Faltlehre. Der Umriss des Papiers ist nun ein Rhombus mit dem spitzen Winkel

ε = arccos(13 ) ≈ 70, 5288◦ (Abbildung 29 ).

20

Abbildung 29: Faltvorgang

Nun falten wir die untere Spitze des Rhombus na h hinten unter die obere Spitze (Abbildung

29d). Diese letzte Faltlinie wird zu einer Kante des Würfels. Was an dieser Kante no h

vorsteht, kann zurü kgebogen oder abges hnitten werden. Damit haben wir unser Bauteil.

Es hat die Form eines doppellagigen glei hs henkligen Dreie ks mit zwei Verbindungslas hen

zum Eins hieben in die Na hbarteile.

Die Abbildung 30 zeigt ein geö�netes Bauteil von innen. Die Spitzen der beiden Rhomben-

Hälften müssen vor dem Zusammenbau des Modells no h aufeinander gelegt werden. Diese

Spitzen kommen alle in den Mittelpunkt des Würfels zu liegen. Die Seiten der Rhomben

werden zu halben Raumdiagonalen des Würfels.

Wir benötigen 12 Bauteile. Beginnend mit drei vers hiedenfarbigen A4-Papieren, die wir zu

A6-Papieren vierteln, erhalten wir drei Sätze von je vier glei hfarbigen Bauteilen. Damit

können wir den jeweils vier parallelen Würfelkanten dieselbe Farbe zuordnen.

Abbildung 30: Bauteil Abbildung 31: Kantenmodell des Würfels

Und nun kommt das Interessante, der Zusammenbau. Wir s hieben jeweils eine Verbindungs-

las he zwis hen die beiden glei hs henkligen Dreie ke des Na hbarbauteils. Dabei a hten wir

darauf, dass an jeder halben Raumdiagonale des Würfels drei Bauteile in den drei vers hie-

denen Farben zusammen kommen. Parallele Würfelkanten haben dieselbe Farbe.

Es emp�ehlt si h, den Zusammenbau s hrittweise mit Büroklammern zu �xieren. An jeder

E ke des Würfels ergeben si h s hlieÿli h drei Büroklammern. Wenn alles sitzt, können die

Büroklammern s hrittweise entfernt und dur h eine Heftklammer mit dem Ta ker ersetzt

werden. Dabei hat man den Ehrgeiz, dass die Klammern symmetris h eingebra ht werden.

Für das Modell der Abbildung 31 wurden drei Farben verwendet und die Bauteile so ange-

ordnet, dass parallele Kanten dieselbe Farbe haben. Wir können aber au h mit vier Farben

arbeiten und die zugehörigen Kanten paarweise winds hief einbauen. Dann sehen wir in jeder

Seiten�ä he des Würfels in eine Pyramide mit jeweils einer anderen zyklis hen Anordnung

21

der vier Farben. Dabei kommen genau die se hs mögli hen zyklis hen Anordnungen vor.

Abbildung 32: Kantenmodell des Tetra-

eders

Kantenmodell des Tetraeders

Beim regelmäÿigen Tetraeder haben wir den Er-

gänzungswinkel von ε auf 180◦, also 109, 4712◦ ,als Winkel zwis hen den vom Zentrum aus zu

den E ken verlaufenden Stre ken. Daher kann

analog zum Kantenmodell des Würfels ein Kan-

tenmodell des Tetraeders gebaut werden (Abbil-

dung 32). Dazu müssen wir im Faltvorgang der

Abbildung 29d längs der langen Rhombendia-

gonalen falten. Wir benötigen se hs Bauteile.

Literatur

Walser, Hans (6. Au�age). (2013): Der Goldene S hnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wuÿing

über populärwissens haftli he Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: Edition am Guten-

bergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Re hte k � Goldenes Trapez �

DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.

22

3 Origami und Mathematik

Rainer Caspary, Berlin

Kurzfassung

In diesem Auszug einer Sammlung von Untersu hungen werden Seitenteilungen und ein Flä-

henproblem aus der Papierfaltkunst behandelt. Ungerade Unterteilungen des Papiers sind

ni ht trivial erzeugbar. Dritteln, Fünfteln usw. sind lästige Probleme des Origamisten.

Einführung

Teilungsverfahren werden in Origamibü hern in der Regel ohne Beweis ihrer Ri htigkeit an-

geboten, au h weiÿ man im Allgemeinen ni ht, ob sie genau oder nur Näherungen sind. Es

stellt si h heraus, dass das hier behandelte Tato (zur De�nition siehe unten) eine genaue

Faltung ist. Sie führt auf ein Flä henproblem von Koji Fushimi aus Japan mit genau einem

Drittel der Flä he des Ausgangsquadrates. Bei der Untersu hung dieser Faltung zeigt si h,

dass man dem Problem eine quadratis he Glei hung zuordnen kann, deren Wurzeln Lösungen

des Verfahrens darstellen. So ist Origami mit Algebra verknüpft. Im Laufe der Untersu hun-

gen stellt si h weiter heraus, dass die Form des Quadrates gar ni ht essentiell ist, man kann

au h Re hte ke nehmen.

Das vorgestellte Approximationsverfahren ist per se eine Annäherung an die gewüns hte

Stre kenteilung.

Die angewandten Methoden übersteigen ni ht S hulniveau, soweit i h das beurteilen kann

(Satz von Pythagoras, ähnli he Dreie ke, algebrais he Umformungen, binomis he Formeln,

Formeln der ebenen Trigonometrie, quadratis he Glei hungen, Injektivität einer Abbildung).

Bei Folgen, Reihen und Konvergenz bin i h mir ni ht mehr so si her.

0 1

1

xa

14

1

1

2

2

j

y

x0

Abbildung 1:

Das Fushimitato (Fushimi, K. 1979)

Ein Tato ist ein Behältnis für einzelne Seiden-

fäden eines Kimonos. Es gibt traditionelle und

neue, moderne.

Man faltet den Punkt (12 , 0) auf die Viertelli-

nie und die untere Kante zuglei h auf den Mit-

telpunkt (12 ,12) des Quadrates. Das ergibt die

Punkte (a, 14) und (x0, 0) mit unbekannten a

und x0. Diese Faltung wiederholt man mit jeder

Seite und vers hränkt die na h innen geklapp-

ten Teile.

Man bemerkt, dass diese Faltanleitung insofern

ni ht präzise ist, als sie auf zwei Arten ausführ-

bar ist. Tatsä hli h bedeutet die Vorgabe, einen

festen Punkt auf eine Gerade und zuglei h ei-

ne Gerade auf einen Punkt zu falten, die Wur-

zeln einer quadratis hen Glei hung zu bestim-

men. Viellei ht sieht man, dass die beiden Punk-

te auf der Viertellinie symmetris h zur Vertika-

len x = 12 liegen, was an die beiden Wurzeln eines Polynoms zweiten Grades erinnert.

Fushimi behauptet, dass das Tato

13 der Flä he des Ausgangsquadrates hat.

23

Der Beweis

Dazu werden die Glei hungen der beiden roten Geraden und ein quadratis hes Polynom in a

bestimmt, quasi das adjungierte Problem. Die Geraden werden mit der Zwei-Punkte-Formel

y−y1x−x1

= y2−y1x2−x1

ermittelt.

Für die Gerade g1 dur h (a, 14) und (12 , 0) erhält man: y = 2x−18a−4

Für die Gerade g2 dur h (12 ,12) und (x, 0) erhält man: y = x−x0

1−2x0.

Wegen der Faltung sind die Geraden parallel, da sie senkre ht auf der Faltlinie stehen. Damit

sind aber die Steigungen glei h. Na h Umstellungen folgt:

2x0 − 1 = 2− 4a, alsox0 =

3−4a2 . (*)

Aber au h die Abstände der Punktepaare (12 , 0) und (x0, 0) sowie (a,14) und (12 ,

12) sind wegen

der Faltung glei h. D. h., x0 − 12 =

√

(12 − 14)

2 + (12 − a)2. Na h dem Quadrieren ergibt si h

(x0− 12)

2 = 116+(12−a)2, woraus mit (*) die gesu hte quadratis he Glei hung 3a2−3a+ 11

16 = 0folgt.

Diese quadratis he Glei hung hat die beiden Lösungen a1,2 = 12± 1

12

√3. Weil a zwis hen 0

und

12 liegt (Abbildung 1), kommt nur die Lösung a2 in Frage. Man hat also: a = 1

2 − 112

√3

und x0 =12 +

16

√3.

Die Flä he des Tatos ist lei ht ermittelt. Seine Seitenlänge s ist der Abstand der Punkte

(x0, 0) und (12 ,12). Der Mittelpunkt des Papiers ist au h der Mittelpunkt des Tatos. Dur h

die 90◦-Drehung baut man ein Quadrat auf, und die halbe Seite ist das Lot vom Mittelpunkt

auf die Seite. Daher ist s =√

(12 − x0)2 +14 =

√

336 + 1

4 =√

3+936 =

√

1236 =

√

13 und folgli h

ist der Flä heninhalt des Tatos glei h

13 . Dies war aber zu zeigen.

Zum S hluss lassen si h no h die Winkel der konstruierten Geraden, blau und rot in Abbil-

dung 1, ermitteln, und zwar aus den Werten für x0 oder a. Nimmt man die Gerade g2 , so ist ih-

re Steigung m = 11−2x0

. Obiger x0-Wert eingesetzt, folgt: m = 1

1−2( 12+

√3

6)= 1

1−1−√

3

3

= −√3.

Der Winkel ϕ bestimmt si h aus tan(ϕ) = m, hier also −60◦. Der Winkel der blauen Geraden

ist somit 30◦, denn die Normale auf g2 hat die Steigung − 1m

= 1√3=

√33 .

Abbildung 2: Abbildung 3: Abbildung 4:

Abbildung 2 zeigt die zweite Faltmögli hkeit und Abbildung 3 beide zusammen.

Abbildung 4 gibt das Faltmuster der Figur wieder, das gekippte Quadrat ist die Grund�ä he

des Tatos. Die roten Geraden sind eigentli h keine Falten und ni ht si htbar, sie deuten nur

die Faltung an.

24

Plausibilitätsbetra htung der Flä hen oder �Beweis� mit der S here

Die Drittelung des Ausgangsquadrates lässt si h mit der S here na hvollziehen. Dazu werden

die si h überlagernden Flä henteile bestimmt. Tatsä hli h lassen si h die Stü ke so anordnen,

dass die fragli he Flä he genau dreimal überde kt wird.

In Abbildung 5 sind einige Faltlinien dazugekommen, nur die vier kleinen Falten a sind neu.

Sie ergeben si h aus der fertigen Figur. Das Papier liegt auf der 60◦-Geraden, an der entlang

man die Falte erhält.

a

Abbildung 5: Abbildung 6:

Abbildung 7:

In Abbildung 6 sieht man die si h entspre henden Flä hen. Die roten sind gespiegelt, also

�ä henglei h. Das ergibt si h aus der Faltung. Die vier Teile überde ken das Quadrat genau.

Es bleiben die vier blauen Flä henstü ke. Sie passen in die 60◦-E ke. S hneidet man das

überstehende Dreie k ab und spiegelt es auf den gelben Berei h, wird die rote Flä he genau

überde kt, das ist der �Beweis� mit der S here, die blauen und roten Stü ke haben die glei he

Flä he. Das kleine Quadrat wird ein drittes Mal überde kt, wie behauptet.

1

2

0

y

x

Abbildung 8:

Verallgemeinerung auf Re hte ke

Der aufmerksame Leser hat viellei ht bemerkt, dass der

grundlegende Zusammenhang zwis hen a und x0 aus Stei-

gungen von Geraden gewonnen wurde. Aus der Zwei-

Punkte-Form der Geradenglei hung ergibt si h, dass eine

Stre kung des Papiers in x- oder y-Ri htung an dem Zu-

sammenhang ni hts ändert. Grundsätzli h kann die Faltung

au h mit einem Re hte k gema ht werden, die Verhältnisse

und Winkel bleiben alle glei h.

Nun betra htet man eine Stre kung in y-Ri htung um den

Faktor w ≥ 1. Die Punkte sind dann (a, w4 ) und

12(1, w).

Man faltet also die kurze Seite na h oben. Die quadratis he

Glei hung in a sieht dann so aus:

(a− 12)

2 + w2

16 = (1− 2a)2. Daraus erhält man a2 − a+ (14 −w2

48 ) = 0. Diese quadratis he Glei hung hat die Lösungen

a1,2 =12 ± w

4√3. Au h hier ist nur a2 interessant, also

a2 =12 − w

4√3.

Für w =√3 sind a = 1

4 und x0 = 1! Der E kpunkt gelangt genau in die Mitte und berührt

dort den von oben kommenden E kpunkt. Ist w no h gröÿer, berühren sie si h ni ht mehr, das

S hlussobjekt hat dann keine re hte kige Form mehr. Gut ausführbar ist der Fall w =√2,

das DIN-A-Format, womit eine Brie�altung entsteht (Abbildung 8).

S hon ein 2 : 1 Re hte k bietet kein befriedigendes Ergebnis mehr. Das

√3-Re hte k ist der

Grenzfall, bei dem man die Figur ni ht mehr s hlieÿen kann.

25

Fujimotos Approximationsverfahren

Shuzo Fujimoto hat einen Teilungsalgorithmus vorges hlagen (Fujimoto, S. 1982), der sehr

s hnell zum Ziel führen kann. Das Verfahren ist eine Approximation an das benötigte Ergeb-

nis. Im Gegensatz zu den sonst hier behandelten Verfahren ist dieses also prinzipiell ni ht

genau. Für die Faltpraxis ist es völlig ausrei hend und hat den Vorteil, dass nur Faltmar-

ken gesetzt werden, also keine dur hgehenden Falten. I h benutze es sehr gerne, meist zum

Dritteln. Höhere Teilungsversu he werden allerdings bald unübersi htli h.

1. Schritt

2. Schritt

3. Schritt

4. Schritt

xx

x

x

x

x

x

x’

x’

x’

x’

01

1

2

3

2

3

0

1

2

3

0 1

Abbildung 9:

Der Wert x0 ist die erste grobe S hätzung, hier zum Dritteln, wie man sieht. Genau genommen

ist x0 eine S hätzung für23 , gere hnet ab der linken Kante, für den Falter ist es natürli h

13 ab

der re hten Seite. Die Stre ke vom Anfang bis x0 wird halbiert, was den Wert x′0 liefert. Nun

wird die re hte Seite halbiert, und man bekommt den neuen S hätzwert x1. Dieses Verfahren

setzt man fort mit dem neuen Wert x1. Im zweiten Dur hgang erhält man x2, mit x2 im

dritten S hritt x3 . Damit und dem neuen x′3 ergeben si h s hon keine Verbesserungen mehr.

Diese erste S hätzung habe i h absi htli h etwas grob gewählt (Abbildung 9). Trotzdem

s heint man na h vier S hritten ein gutes Resultat zu haben.

Die si h stellende Frage ist o�ensi htli h: Führt die Methode immer zu einem Ergebnis und

wenn ja, wie s hnell? Mathematis h gespro hen ist das die Frage na h der Konvergenz der

Folge (xn) und im positiven Fall na h der Konvergenzges hwindigkeit.

Die Stre ke, die zu dritteln ist, habe die Länge 1. Ausgehend von einer beliebigen S hätzung

x0 ist x′0 =

x0

2 .

Die neue S hätzung ist dann x1 = x′0 +1−x′

0

2 =1+x′

0

2 = 12 +

x0

4 .

Na h Halbierung ist x′1 =x1

2 .

Es ergibt si h weiter

x2 = x′1 +1−x′

1

2 = 12 + x1

4 = 12 +

18 + x0

16 und x′2 =x2

2 , sowie

x3 =12 +

x2

4 = 12 +

18 + 1

32 + x0

64 .

Nun erkennt man das Bildungsgesetz:

26

(*) xn = 12

n−1∑

i=0(14)

i + x0

4n für n ≥ 1.

Das kann man z. B. mittels vollständiger Induktion beweisen, oder man glaubt es.

Die Konvergenz der geometris hen Reihe kennt man aus einer allgemeinen Ableitung. Zu-

nä hst die Fehlerabs hätzung:

|xn+1−xn| = 12 | 1

4n + x0

4n+1 − x0

4n | = 12·4n |1+

x0

4 −x0| < 234

−n, da ja x0 ≤ 1 ist (Dreie ksunglei-

hung). Unabhängig vom konkreten Anfangswert x0 strebt der Fehler gegen Null für n → ∞,

sogar sehr ras h.

Die geometris he Reihe mit dem allgemeinen Glied qn (|q| < 1) strebt gegen 11−q

, hier mit

q = 14 also gegen

43 . Für unser xn bedeutet das, dass xn → 2

3 für n → ∞ strebt, da für

wa hsende n x0

4n → 0 gilt. Das war aber die Behauptung!

Oder man sieht es so ein: Wegen xn+1 = 2+xn

4 ist die unendli he Punktmenge der xn be-

s hränkt und hat daher einen Häufungspunkt a. Dieser erfüllt dann a = 2+a4 und somit ist

a = 23 . Wegen der Fehlerabs hätzung gibt es keinen weiteren.

Für das Fünfteln und Siebteln gebe i h die Rekursionsformeln an. Die erste S hätzung ma ht

man beim Fünfteln für

45 , dann halbiert man zweimal links und die neue Stre ke re hts wieder

zweimal und hat die neue S hätzung für

45 . Das ergibt die Formel:

xn+1 =12 +

14 +

xn

16 .

Die Summenformel ist ähnli h wie (*): (12 +14)(1 +

116 +

1162 + 1

163 + . . . → (12 + 14)

1615 = 4

5 .

Beim Siebteln s hätzt man

47 , halbiert zweimal na h links, dann einmal re hts. Es folgt daher:

xn+1 =12 +

xn

8 mit dem Grenzwert a = 12 + a

8 woraus

78a = 1

2 , also a = 47 , wie es sein muss.

Literatur

Fushimi, Koji; Fushimi, Mitsue (1979): Origami no Kikagaku (The geometry of Origami).

Nihon Hyoron-sha, 1. Au�age, 1979. (Zitiert na h �Origami Omnibus� von Kunihiko Kasa-

hara, Japan Publi ations, In ., 1988.)

Fujimoto, Shuzo (1982): Creative Invitation to Origami Play, japanis h, Selbstdru k 1982.

(Zitiert na h Brilliant Origami von David Brill, Japan Publi ations, In ., 1996.)

27

4 Faltplakate

Mi hael S hmitz, Friedri h-S hiller-Universität Jena

Eine Diagonale in ein Rechteck falten

www.mathegami.deDr. Michael SchmitzJanuar, 2014

In ein rechteckiges Papier kann man eine Diagonale falten.

Dabei treten kleine technische Schwierigkeiten auf: Man

muss etwas probieren, so dass die Faltlinie gut durch die

gegenüberliegenden Ecken des Rechtecks geht.

Nehmen wir an, die Diagonale BD ist im Rechteck ABCD

eingezeichnet. Dann betrachten wir die Mittelsenkrechte

dieser Diagonalen, die diese in M und AB bzw. CD in E bzw.

F schneidet.

A B

CD

Weil |BM|=|DM| ist, folgt EBM = FDM. (wsw)

Folglich ist |EM|=|FM|.

Diese Eigenschaft nutzen wir nun beim Falten der Diagonale BD.

~

Wir falten B auf D, wobei die

Faltlinie EF entsteht.

Wir falten E auf F.

Dabei wird die Mittelsenkrechte

von EF gefaltet, die durch B und D

geht.

Dieses Problem kann man umgehen, wenn wir uns vor dem Falten mit der Aufgabenstellung

geometrisch befassen.

A B

CD

M

F

E

28

Der Satz des Pythagoras

Mithilfe des Faltens von Papier können wir den

Satz des Pythagoras entdecken und auch gleich

dessen Richtigkeit überprüfen.

Wir falten die Figur wieder auseinander und markieren die Faltlinien mitAusnahme der Quadratdiagonalen. Wir erkennen zwei Quadrate und vierkongruente rechtwinklige Dreiecke.

Die beiden Quadrate sind Kathetenquadrate der rechtwinkligen Dreiecke. Wirschneiden die vier Dreiecke aus. Dabei fallen auch die beiden Quadrateauseinander.

www.mathegami.deDr. Michael SchmitzJanuar, 2014

Die zwei kleinen roten Quadrate werden auf das gelbeQuadrat geklebt und die vier roten Dreiecke auf dasblaue Quadrat (siehe rechts).

Wir sehen:

1. Vom gelben Quadrat werden vier kongruenterechtwinklige Dreiecke weggenommen. Es bleiben diebeiden kleinen roten Quadrate übrig.

2. Vom blauen Quadrat werden die selben vier rechtwinkligen Dreiecke weggenom-men. Es bleibtein kleines, blaues Quadrat übrig. Dieses ist das Hypotenusenquadrat der rechtwinkligen Dreiecke.

Folglich sind die Flächen der beiden (kleine rote Quadrate) zusammen genau sogroß wie das (blaue) Hypotenusenquadrat eines rechtwinkligen Dreiecks.

Kathetenquadrate

Damit haben wir den Satz des Pythagoras gefunden und bewiesen.

Nun falten wir die EckeB senkrecht nach oben.

Die Lage der Faltlinie EFist dabei beliebig, siemuss nur senkrecht zuBC sein.

Wir falten vom QuadratABCD die Ecke A auf C.

Dabei entsteht eingleichschenkliges,rechtwinkliges Dreieck.

Jetzt falten wir D aufdie Kante EB’. DieFaltlinie EG istsenkrecht zu CD.

EFCG ist ein Rechteck.

Zum Abschlusswenden wir dieFigur und faltenim Rechteck FEGCdie Diagonale FG.

Wir benötigen drei gleichgroße quadratische Faltblätter mitdrei unterschiedlichen Farben. (Wir benutzen rot, gelb, blau.)Beginnen wir mit dem roten Quadrat:

Bilder ausW.Lietzmann: Der Pythagoreische Lehrsatz. B.G.Teubner, 1966.

29

Ein DIN-A4 Blatt dritteln

www.mathegami.deDr. Michael SchmitzJanuar, 2014

Manchmal muss man ein DIN-A4 Blatt dritteln, z.B.,

wenn man einen Brief in einen “langen” Briefumschlag

stecken möchte. Dies geht zwar einfach durch

Probieren, wir wollen es aber “mathematisch” tun!

Diagonale BD falten.

D auf diese Diagonale sofalten, dass die Faltliniedurch A geht.

W ist der Schnittpunkt.

Damit bestimmt W das Dritteln des DIN-A Blattessowohl parallel zur x- als auch zur y-Achse.

Durch W die Senkrechte zuAB falten. Die Punkte E undF entstehen auf AB und CD.Nun BC an EF falten. Diebeiden Faltlinien dritteln dasBlatt.

Durch W die Senkrechte zuAD falten. Die Punkte U und Ventstehen auf AD und BC. NunAB an UV falten. Auch diesebeiden Faltlinien dritteln dasBlatt.

Wir falten wie folgt:

A B

CD

A B

CDa

O

y

y

xx

W

a 2

W

W

s

d

Hinweis:Überprüfe das Vorgehen für ein beliebiges Rechteck!

Zur Überprüfung der Richtigkeit der Faltung legen wir das Blatt in ein Koordinatensystem. DaABCD ein DIN A-Blatt ist, setzen wir die Länge der kurzen Rechteckseite mit a fest. Dann hatdie lange Seite die Länge a 2.

Wir beschreiben die Diagonale d und die Senkrechte s zu d durch A mit Hilfe linearerFunktionen. Dann berechnen wir die Koordinaten des Schnittpunktes W und ziehen daraus unsereSchlüsse.

3 3

a

1 2

a

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Es ist d: y=- x+a

y=- x+a

y=- x+a

Damit folgt für s: y= x.

Für W(x ;y ) gilt dann - x +a= xw w w w

x = a und y = a.w w

30

Einen Kreis dritteln

www.mathegami.deDr. Michael SchmitzJanuar, 2014

Durch Falten eines Papierkreises soll dieser in drei

kongruente Kreissektoren eingeteilt werden.

Wie ist das möglich?

Diagonale AB zeichnen.

M ist Kreismittelpunkt.

A auf M falten, EF ist die

Faltlinie.

Die entscheidende Überlegung ist:

so , dass

ein regelmäßiges Sechseck entsteht, welches dem Kreis

einbeschrieben ist.

Verbinden wir die Ecken mit M, so entsteht eine Einteilung des

Kreises in sechs kongruente Kreissektoren. Jeweils zwei davon

ergänzen sich zu den gesuchten Kreissektoren.

Verbinden wir nun die zwei mit A benachbarten Ecken des Sechsecks, so ist diese

Verbindungslinie die Mittelsenkrechte von AM. Dies nutzen wir nun zum Falten aus.

Auf dem Rand eines Kreises

mit dem Radius r kann man r genau sechs mal abtragen

Kreis so halbieren, dass die

Faltlinie durch F geht.

Zweiter Schnittpunkt mit

dem Kreisrand ist G.

E auf F falten. Dabei nur die

Strecke AM falten und ME

in eine Bergfalte umwandeln.

Entlang MG die Figur flach

drücken.

Bevor wir mit dem Falten beginnen, denken wir über die

Geometrie der zu faltenden Figur nach.

120 0

AM

F

E

M

31

Eine Goldenes Rechteck falten

www.mathegami.deDr. Michael SchmitzJanuar, 2014

Eine Strecke AB wird durcheinen inneren Punkt im

Goldenen Schnitt geteilt

lange Teilstreckekurze Teilstrecke

gesamte Streckelange Teilstrecke

= =

Ein Rechteck ABCD wirdGoldenes Rechteck

genannt

langeRechteckseite

kurzeRechteckseite

Summe auslanger und kurzer Seite

langeRechteckseite

Das Quadrat wirdparallel zu AD halbiertund wieder aufgefaltet

Im Rechteck AMNDwird die Diagonale ANgefaltet.

Nun wird dieSenkrechte zu BC durchU gefaltet. V entstehtals Schnittpunkt mit AD.ABUV ist ein GoldenesRechteck.

B wird so auf ANgefaltet, dass dieFaltlinie durch A geht.Aus BC entsteht derPunkt U.

xa-x

ax= x =a(a-x), also x +ax-a =0 x =2 2 2

1/2

Weil x>0 ist, ist x=a

AT

Bx

a

a2

a2 5- +-

ax

12

5+1

5-15+1

5-1 5-1

5-1

5-1 ~~ 1,618...2

22

4 2

2=

Zum Beweis, dass ABUV ein Goldenes Rechteck ist, zeichnen wir in das Quadrat ABCD noch dieParallele durch U zu AN. Außerdem bezeichnen wir noch einige Punkte, wie es im Bild zu sehen ist.Weiterhin gehen wir davon aus, dass die Länge der Quadratseite 1 ist.

Nun berechnen wir:

Damit ist ABUV ein Goldenes Rechteck.

|AB||BU|

|AV||VS|

1

|AB||AV|

= = 1 = 2 =

Aus AVS ADN folgt auch = , also |AV|=2|VS|.~ Wir erhalten: |AV|=2 =

.

.

Es ist WU||AS AWUS ist ein Parallelogrammund WBU = SVA, also |VS|=|WB|.~

AU ist die Faltlinie der Faltung von B nach B’, folglich ist AU dieWinkelhalbierende von B’AB.

AWUS ist ein Rhombus und |AS|=|AW|.

Also |AW|=1-|WB| und damit auch |AS|=1-|VS|.

55-1 5- 55 4 4

|VS|1-|VS|

1*Mit folgt: , also |VS|= und |AS|= .=

5+12

|AB||BU|

= .Wir zeigen: 22Es ist |AN|= 1 +( ) = 5 .2 21 1

*|VS||AS|

|DN||AN|

= =Es ist AVS ~ ADN (ww) 1 15 5= 5.

32