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Capítulo 3

Fuerzas Hidrostáticas y flotabilidad

Un fluido ejerce fuerza de presión en todas las direcciones (según el teorema 3 de la hidrostática, estudiado en el capítulo 2); por lo tanto también sobre cualquier superficie en contacto con él, sea plana, curva o cóncava.

Es de recordar que la presión se manifiesta en cualquier punto dentro del fluido y que esta presión es constante sobre un mismo plano horizontal pero varía verticalmente con la profundidad, de acuerdo con los teoremas 1 y 2 de la hidrostática.

El objetivo de esta unidad es determinar las características que definen esta fuerza hidrostática originada por la presión del fluido. Estas características son:

a) la magnitud de la fuerzab) su línea de acciónc) el momento de la fuerza desde un eje de articulación Para ello es necesario definir éstos y otros conceptos.

______________________________________________________3.1 Definición de conceptos

Fuerza hidrostática

Es la fuerza que proviene de la presión (P) del fluido; por lo tanto, esta fuerza hidrostática (F) incide de manera normal sobre la superficie (A) en contacto. Si la superficie es plana, todos los elementos de fuerza (dF) son vectores paralelos entre sí, lo que permite sumarlos o integrarlos para obtener un solo vector resultante o sea una sola fuerza resultante (F). A su vez todos los elementos de área (dA) puede también sumarse para obtener el área total (A). (Fig. 3.1).

P

F→

.⌠⌡

d

A→

.⌠⌡

d

=F

A=

Cap. 3 71 J.C. Toledo

D

F dF

dF

El área en contacto

El área de la superficie en contacto con el fluido puede estar definido simplemente por una fórmula geométrica o por una función matemática que obliga a un cálculo integral para su determinación. Esta superficie debe encontrarse sumergida y puede estar en tres diferentes posiciones:

a) horizontal b) vertical c) inclinada (como en la Fig.3.1que muestra el perfil de la superficie inclinada y también su forma rectangular).

Fig. 3.1

Centroide

Es el centro geométrico de una superficie. Sus coordenadas no dependen de alguna propiedad física del fluido. (Fig. 3.1).

Línea de acción

Es una línea imaginaria que muestra la dirección y sentido del vector fuerza hidrostática y que atraviesa perpendicularmente a la superficie en contancto en un punto llamado centro de presión.

Centro de Presión

Es el punto sobre la superficie donde pasa la línea de acción de la fuerza hidrostática resultante. Sus coordenadas dependen de la profundidad a la que se localiza, no de alguna propiedad física del fluido. (Fig. 3.1).

Momento de la Fuerza

Es el efecto de la fuerza sobre la superficie en contacto (en el centro de presión), tomando en cuenta la distancia desde el eje de giro, donde la superficie se encuentra articulada, hasta el centro de presión. Se calcula multiplicando la magnitud de la fuerza hidrostática (dF) por la distancia más corta (y) que se mide desde el eje de articulación hasta la línea de acción de la fuerza. O que vectorialmente se calcula como el producto cruz de dos vectores: el vector de posición (r) y el vector fuerza hidrostática (F).


γ⋅ ⋅=

Al igualar las ec. (3.2.1) y ec.(3.2.3) y despejar :

(3.2.3) p γ H⋅=

Si se considera que la presión sobre el espejo (nivel superior) del fluido es la atmosférica (po), su valor es entonces, cero manométricamente.

(3.2.2) p po γ H⋅+=

La presión hidrostática en cualquier punto depende del peso específico del fluido (γ) y de la profundidad (H) a la que se encuentra ese punto (Teorema 2 de la hidrostática) ec.(2.3.3). (Fig. 3.2).

(3.2.1) pdF

dA=

Como la superficie en contacto con el fluido se encuentra sumergida, en cada punto sobre la superficie se manifiesta una presión (p), que por definición es equivalente a un elemento de fuerza (dF normal) dividido entre el elemento de área (dA) en donde se impacta (definición de presión):

3.2.1 Magnitud de la Fuerza hidrostática

_____________________________________________________3.2 Fuerza hidrostática sobre superficie plana

Ay2

⌠⌡

dMomento de segundo orden:

Ay⌠⌡

d yc x A⋅=Momento de primer orden:

Momento de Area

Es el producto de la multiplicación del elemento de Area (dA) por la distancia más corta (y) medida desde el eje de articulación hasta en centroide de la figura:

Fy⌠⌡

d r→

F→

×=

posición (r) y el vector fuerza hidrostática (F).


En este método, la magnitud de la fuerza hidrostática (F) se calcula

Fuerza hidrostática (Método Geométrico)

Se puede observar que las ec. (3.2.8) y (3.2.10) son expresiones indeterminadas que requieren del cálculo integral; en comparación a las ec.(3.2.9) y (3.2.11) solo requieren de datos que pueden obtenerse de Tabla de figuras geométricas (Apéndice III).

Donde (yc) es la coordenada centroidal de la figura geométrica.

(3.2.11)F γ Sen⋅ θ yc⋅ A⋅=

(3.2.10)F.⌠⌡

d γ Sen⋅ θ Ay⌠⌡

d⋅=

Si D = 0, la ecuación se reduce:

(3.2.9) F γ D⋅ A⋅ γ Sen⋅ θ yc⋅ A⋅+=

3.2.8) F.⌠⌡

d γ D⋅ A.⌠⌡

d⋅ γ Sen⋅ θ Ay⌠⌡

d⋅+=

Como todos los elementos de fuerza (dF) que inciden sobre la superficie en contacto son vectores paralelos, se pueden sumar o sea integrar para obtener una fuerza única resultante, que es la fuerza hidrostática (F) sobre la superficie.

(3.2.7) dF γ Sen⋅ θ y⋅ dA⋅=

Si D = 0

(3.2.6) dF γ D⋅ dA⋅ γ Sen⋅ θ y⋅ dA⋅+=

Fig. 3.2

Sustituyendo en ec.(3.2.4) y multiplicando se obtiene la expresión para un elemento (dF) de estas fuerzas distribuidas:

(3.2.5) H D y Sen⋅ θ+=

Sustituyendo:

h y Sen⋅ θ=

H D h+=Según Fig. 3.2:

(3.2.4) dF γ H⋅ dA⋅=

D

dF

H

y

h

dA


Que invariablemente requieren de una función matemática, la que determina cómo

F.⌠⌡

d γ Sin⋅ θ Ay⌠⌡

d⋅=

F.⌠⌡

d γ D⋅ A.⌠⌡

d⋅ γ Sin⋅ θ Ay⌠⌡

d⋅+=

En este caso es necesario aplicar la ec. (3.2.8) o la (3.2.10) y efectuar las operaciones matemáticas sugeridas:

Fuerza hidrostática (Método por integración)

Se deduce que en las tres posiciones se aplica la misma ec. (3.2.12) y solo requiere conocer la profundidad centroidal (H) o sea, verticalmente, desde el espejo hasta el centroide de la figura.

sen 0( ) 0=θ 0 gr⋅=Posición horizontal:

sen 90( ) 1=θ 90 gr⋅=Posición vertical:

Compruebe que esta ec. (3.2.12) es igualmente aplicable para las posiciones vertical y horizontal en donde los ángulos de inclinación son:

(3.2.12)F γ H⋅ A⋅=

Como F γ D hc+( )⋅ A⋅=D hc+ H=

Sustituyendo en la ec.(3.2.9), factorizando y reduciendo:

Fig. 3.3

Senθ yc⋅ hc=

Donde

F γ D⋅ A⋅ γ Sen⋅ θ yc⋅ A⋅+=

Considerando la ec. (3.2.9) y laFig. 3.3.

D

F yc

hc

Y

H

fuerza hidrostática (F) se calcula usando las ec. (3.2.9) o (3.2.11) que no requieren del cálculo integral, sino solo con la ayuda de datos que se pueden obtener de la Tabla de figuras geométricas (Apéndice III).


Donde:(r) es el vector de posición

Los vectores de posición (r, rp) cuyas cooordenadas son (x,y) y (xp,yp)

(3.2.16)F→

r→

x⋅

⌠⌡

d rp→

F→

×=Fig. 3.4

Suma Momentos dF = Momento F

Condición de Equilibrio:

Considere una superficie sumergida, afectada por dos fuerzas en equilibrio o sea son de igual magnitud y de la misma línea de acción, pero de sentidos opuestos. Una de estas fuerzas es la hidrostática ocasionada por las fuerzas de presión distribuidas (dF) y la otra es una fuerza externa (F) ubicada justo para lograr el equilibrio (Ver. Fig. 3.4).

dF

rpc

r

F

Línea

acción

Se pretende determinar las coordenadas (xp, yp) del punto llamado centro de presión donde atraviesa la línea de acción de la fuerza hidrostática a la superficie en contacto.

3.2.2 Línea de acción de la Fuerza Hidrostática

Estas tres últimas expresiones son propiedades de la figura por lo tanto son independientes de la posición que tenga la figura sumergida en el medio líquido.

(3.2.15)Mx

Ayc=Coordenada centroidal:

También habiéndolos calculados se pueden ocupar para determinar la coordenada vertical del centroide (yc) de la figura sumergida, con la cual podemos conocer la profundidad centroidal que se requiere en el cálculo de la magnitud de la fuerza hidrostática ec.(3.3.12):

(3.2.14)Mx Ay⌠⌡

d=Momento de área:

(3.2.13)A A.⌠⌡

d=Área:

está delimitado el área entre los ejes cartesianos, para luego proceder al cálculo integral del área (A) y del momento de área (Mx):


Sustituyendo en la ec.(3.2.15) :

Fx i⋅ y j⋅−( )x⌠⌡

d k⋅ xp i⋅ yp j⋅−( )x F k⋅( )⋅= (3.2.21)

Desarrollando el producto cruz de dos vectores.

Fx−⌠⌡

d j⋅ Fy−⌠⌡

d i⋅+ xp− F⋅ j⋅ yp F⋅ i⋅−= (3.2.22)Fig. 3.5

Agrupando vectores que están en el mismo eje y multiplicando por (-1) ambos lados:

i

j

k

Eje j: Fx⌠⌡

d xp F⋅= (3.2.23)

Eje i: Fy⌠⌡

d yp Fi⋅= (3.2.24)

Fig. 3.6

Despejando coordenadas del centro de presión (xp,yp) :

cooordenadas son (x,y) y (xp,yp) están sobre el plano (X,Y) uno del lado líquido y el otro del lado atmósfera. Por lo tanto solo tienen dos vectores unitarios (i,,j) (Ver la superficie (Fig. 3.5) sobre el plano (X,Y) lado líquido).

(r) es el vector de posición lado líquido(rp) es el vector de posición lado atmósfera(dF) es el vector elemento de fuerza hidrostática distribuida(F) es el vector fuerza de equilibrio que incide en y el punto centro de presión

z k⋅ 0= r x i⋅ y j⋅−= (3.2.17)

zp k⋅ 0= rp xp i⋅ yp j⋅−= (3.2.18)

Los vectores fuerzas solo están sobre el eje "Z" por lo tanto solo tiene un vector unitario en (k). Vea Apendice VI (vectores tridimensionales).

Eje x

r

Eje y

y

x

dF i⋅ 0= dF j⋅ 0= dF dF k⋅= (3.2.19)

F i⋅ 0= F j⋅ 0=F F k⋅= (3.2.20)


Coordenadas de la línea de acción (Método geométrico)

Ix

Mxyp=

(3.2.30)

Sustituyendo sobre ec.(3.2.27) se obtiene la coordenada vertical (yp) del centro de presión de la figura sumergida.

(3.2.29)Ay2

⌠⌡

d Ix=

Momento de Inercia o momento de Área de 2o.orden, con respecto al eje "X":

(3.2.28)Mx yc A⋅=Integrando :

Ay⌠⌡

d Mx=

Momento de Área, con respecto al eje "X", ec. (3.2.14):

Las expresiones que componen la ec. (3.2.27) se conocen con los nombres siguientes:

(3.2.27)yp

Ay2

⌠⌡

d

Ay⌠⌡

d

=yp

Ay γ Sen⋅ θ⋅( )⋅ y⋅⌠⌡

d

γ Sen⋅ θ⋅( ) Ay⌠⌡

d⋅

=

Según se observa en la Fig. 3.4, el espejo del líquido está en (D = 0), por lo tanto las ecuaciones (3.2.7) y (3.2.11) son las apropiadas para (dF) y (F). Sustituyendo y reduciendo:

(3.2.26)yp

Fy⌠⌡

d

F=

(3.2.25)xp

Fx⌠⌡

d

F=


Por lo tanto por este método se hace necesario el cálculo de dos expresiones matemáticas y que son:

yp

Ay2

⌠⌡

d

Ay⌠⌡

d

=(3.2.27)

Se aplica también la ec. (3.2.27) debiéndose calcular previamente las ec.(3.2.14) y (3.2.29) para lo cual se requiere contar con la función matemática que determina la superficie. Ver Apendice VII.

Coordenadas de la línea de acción (Método integración)

(3.2.34)Xp xc=

La otra coordenada, o sea (xp) por simetría se muestra igual que la coordenada (xc):

L D Sen⋅ θ⋅=Yc yc L+=Donde:

Fig. 3.7(3.2.33)Yp

Ic

Yc A⋅Yc+=

Si (D) no vale cero, esta ecuación debe ser corregida y se transforma en: (Vea Fig. 3.7):

(3.2.32)ypIc

yc A⋅yc+=

Sustituyendo ec.(3.2.30) y reduciendo:

(3.2.31)Ix Ic yc2

A⋅+=

Por Traslación de ejes (del eje "X" al eje centroidal):

L

D

F yc

hc

yp

H

Yp

La ec. (3.2.30) se puede adecuar de tal manera que pueda hacer uso de los datos que pueden encontrarse en la Tabla de figuras geométricas (Apéndice III):

Coordenadas de la línea de acción (Método geométrico)


Momento de área de la superficie en contacto: ec. (3.2.14):

Ay⌠⌡

d Mx=

Momento de inercia de la superficie en contacto: ec. (3.2.29):

Ay2

⌠⌡

d Ix=

Sustituyendo sobre ec.(3.2.27) se obtiene la coordenada vertical (yp) del centro de presión de la figura sumergida.

Ix

Mxyp= (3.2.30)

___________________________________________________3.3 Fuerza hidrostática sobre superficies no-planas sumergidas

Se van a considerar tres casos de superficies no-planas en contacto con los fluidos:

a) Superficie cóncavab) Superficie curvac) Volumen sumergido

Los elementos de fuerzas hidrostáticas (dF) sobre estas superficies no planas, en ningún caso son vectores paralelos, sino son vectores concurrentes tridimensionales (Fig.3.8).

Se pretende para estos casos determinar también la magnitud de la fuerza hidrostática (F) y las coordenadas de su centro de presión (yp, xp).

3.3.1 Superficie Cóncava

De la Fig. 3.8 se observan las siguientes características:

1.- Todos los elementos de fuerzas hidrostáticas (dF) distribuidos sobre la superficie (dA) son ocasionadas por la presión (p) y por definición inciden perpendicularmente sobre la superficie (desde el espacio tridimensional (X,Y,Z)) en consecuencia no son vectores paralelos, sino concurrentes.

Según ec.(3.2.1) para un elemento (dF):


Los componentes (dFx) son paralelos entre sí e impactan sobre una superficie plana vertical imaginaria, solo así se pueden sumar y encontrar la fuerza resultante y su correspondiente línea de acción. Coincidentemente éste es el mismo caso de

Se procede a analizar cada uno de los componentes cartesianos:

a) Fuerzas en el eje "X" (horizontal)

Fz Fz1⌠⌡

d=

Fig. 3.9

Suma de vectores paralelos en el eje "Z":

Fy Fy1⌠⌡

d=

Suma de vectores paralelosen el eje "Y":

Fx Fx1⌠⌡

d=

Suma de vectores paralelos en el eje "X":

Ap

Atm.

x

z

dFx

H

3.- Estas fuerzas (dF) son vectores espaciales (o sea tridimensionales) por lo tanto solo descomponiéndolos en sus componentes cartesianos (X,Y,Z) se vuelven paralelos y se pueden sumar (integrando) todos los de un mismo eje.La Fig. 3.9 muestra los vectores componentes en el eje "X".

dF γ H⋅ dA⋅=Fig. 3.8

Sustituyendo sobre ec. (3.2.1) se obtiene la ec.(3.2.4):

p γ H⋅=

2.- Además como la presión hidrostática (teorema 2) considera el peso específico (γ) del fluido y la profundidad (H), según ec.(3.2.3) :

dF p dA⋅=pdF→

dA→=

A t m .

x

z

d F


Donde (V) es el volumen encima de toda la curvatura hasta tocar el espejo del

Fig. 3.10(3.3.2)Fy γ V⋅=

Integrando:

dV base x⋅ altura⋅=

Donde (dV) corresponde a un elemento de volumen, que se levanta desde la superficie curva hasta tocar el espejo del fluido:

Fy γ AH⌠⌡

d⋅= γ V.⌠⌡

d⋅=

Atm.

x

z

dFy

Observe que los componentes verticales son dos conjuntos de vectores paralelos y unos apuntan hacia abajo y otros hacia arriba. La fig. 3.10 muestra los vectores componentes en el eje "Y".

c) Fuerzas en el eje "Y" (Vertical):

Fz 0=

Las fuerzas que apuntan en un sentido, anulan a las del otro sentido, o sea son fuerzas opuestas y de la misma magnitud.

b) Fuerzas en el eje "Z" (también horizontal):

YpIc

Yc Ap⋅Yc+=yp

Ic

yc Ap⋅yc+=

Tomando en cuenta la coincidencia del caso, la línea de acción se deduce de la misma manera que en la sección 3.2.2. y se obtienen las ecuaciones (3.2.30) o (3.2.32):

El área de proyección (Ap) plana es el área o sombra proyectada sobre el plano (Z, Y) y Fx es la fuerza hidrostática componente en el eje "X".

(3.3.1)Fx γ H⋅ Ap⋅=

su correspondiente línea de acción. Coincidentemente éste es el mismo caso de una superficie plana vertical analizado en la secc.3.2.1, con la diferencia de que el área a considerar ahora es el área de proyección (Ap) plana de la superficie cóncava.


El análisis de las fuerzas en el eje "X" (horizontal), conduce a los mismos resultados

Fz 0=Sumas de componentes en el eje Z:

Fy Fy.⌠⌡

d=Sumas de componentes en el eje Y:

Fig. 3.11

Fx Fx.⌠⌡

d=Sumas de componentes en el eje X:

dF

Atm .

x

z

Necesariamente se hacen las mismas consideraciones de descomponer los vectores espaciales, como en el caso de la superficie cóncava. Fig. 3.11. Estas fuerzas (dF) son vectores espaciales (bidimensionales) por lo tanto solo se pueden sumar descomponiéndolos en sus componentes cartesianos en el plano (X, Y): La Fig. 3.12 muestra los vectores componentes en el eje "X".

3.3.2. Superficie Curva

Esta fuerza vertical resultante hacia arriba se conoce con el nombre de empuje y es una propiedad natural de los fluidos.

Donde (Ven) es el volumen encerrado en la concavidad.

(3.3.3)Fy γ Ven⋅=

Fy γ V2⋅ γ V1⋅−=

Fy Fy2 Fy1−=

Fuerza resultante vertical:

Fy1 ΣdFy=Fuerza vertical hacia abajo:

Fy2 ΣdFy=Fuerza vertical hacia arriba:

Las fuerzas verticales son:

Donde (V) es el volumen encima de toda la curvatura hasta tocar el espejo del líquido.


El análisis de las fuerzas en el eje "Y" (Vertical):

Prevalece únicamente las fuerzas vectores componentes verticales:

Fz 0=Fx 0=

En este caso el cuerpo sumergido totalmente puede verse como 2 cuerpos cóncavos unidos, Fig. 3.13, por lo que las fuerzas componentes horizontales (las del eje "X" y las del eje "Y" ) se anulan entre sí:

3.3.3 Volumen sumergido

Esta fuerza vertical resultante hacia arriba se conoce con el nombre de empuje o fuerza de flotación y es una propiedad natural de los fluidos.

Donde (Ven) es el volumen encerrado dentro de la curva.

Fy γ Ven⋅=

Se obtiene la ec. (3.3.3):

Fy γ V2⋅ γ V1⋅−=

Fy Fy2 Fy1−=




Fig. 3.12

El análisis de las fuerzas en el eje "Y" (Vertical), conduce a los mismos resultados que en superficies cóncavas, es decir hay dos fuerzas de sentidos opuestos:

YpIc

Yc Ap⋅Yc+=yp

Ic

yc Ap⋅yc+=

La Línea de acción es la misma correspondiente a la ec. (3.2.30) y (3.2.32)

El área de proyección (Ap) es el área vertical o sombra proyectada sobre el plano (z,y).

Fx γ H⋅ Ap⋅=

dFx

Atm.

x

z

H

que en la superficie cóncava, ec. (3.3.1).


____________________________________________________3.4 Peso y Flotabilidad de un cuerpo sumergido

Esta fuerza vertical resultante hacia arriba se conoce con el nombre de empuje (E) o fuerza de flotación y es una propiedad natural de los fluidos. Esta propiedad se conoce como Principio de Arquímedes, que dice: "Un cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido es empujado hacia arriba por una fuerza de igual magnitud al peso del fluido (Fy) desplazado por el cuerpo (Ven)" .

Donde (Ven) es el volumen del cuerpo (la esfera).

Fy γ Ven⋅=Se obtiene la ec. (3.3.3)

Fy γ V2⋅ γ V1⋅−=

Fy Fy2 Fy1−=




Donde (V) es el volumen encima de la curvatura hasta el espejo del líquido.

Fy γ V⋅=Integrando se obtuvo la ec. (3.3.2):

dV base x⋅ altura⋅=

Fig. 3.13Donde (dV) corresponde a un elemento cilíndrico, que se levanta desde la superficie curva hasta tocar el espejo del fluido:

Fy γ AH⌠⌡

d⋅= γ V.⌠⌡

d⋅=

Conduce a encontrar resultados iguales a los dos casos analizados (cóncavas y curvas). Observe que los componentes verticales son paralelos y unos apuntan hacia abajo y otros hacia arriba. (Vea Fig. 3.13), De ec. (3.3.1)

dFy x

z

dFy

El análisis de las fuerzas en el eje "Y" (Vertical):


3.4 Peso y Flotabilidad de un cuerpo sumergido

Peso del Cuerpo

Si el cuerpo sumergido, además del peso de su envoltura (We) contuviera una sustancia, el peso total del cuerpo se calcularía tomando en cuenta también el volumen (Ven) y el peso específico (γ) de la sustancia que encierra.

W We γs Ven⋅+= 3.3.4( )

Flotabilidad y equilibrio

Para conocer si un cuerpo puede flotar sobre el espejo de un líquido o se hunde, tiene que hacerse la comparación de su peso (W) contra el empuje del líquido (E), de acuerdo con las siguientes condiciones:

SI:

W es menor que E, el cuerpo flotaW es igual que E, el cuerpo se suspendeW es mayor que E, el cuerpo se precipita

Cuando el peso (W) de un cuerpo es menor que el Empuje, el cuerpo flota sobre la superficie líquida.

W

Ede Eiz

W

E

L.Acción

L.Acción

Fig. 3.14.a) Fig. 3.14.b)

Si se deladea el cuerpo debido al efecto de una tercera fuerza, el vector peso y el vector empuje dejan de ser colineales. En esta condición se rompe la estabilidad, porque la forma del volumen del fluido desplazado cambia y por lo tanto su centro de flotación y su línea de acción también se desplaza a otro punto (a la izquierda o a la derecha) manifestándose un par de fuerzas que puede hacer que regrese a su posición de equilibrio o se recargue aún más, según la posición de la línea de


posición de equilibrio o se recargue aún más, según la posición de la línea de acción del empuje con respecto al centro gravedad del cuerpo (Fig.3.14.b) .

Si la línea de acción del empuje se desplaza a la izquierda (Eiz) del centro de gravedad del cuerpo, éste puede voltearse y si queda a la derecha (Ede) puede hacer que el cuerpo se estabilice.

Principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes resume las condiciones de flotabilidad al afirmar que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desplazado por dicho cuerpo. Esto explica por qué flota un barco muy cargado; el peso del agua desplazada por el barco equivale a la fuerza hacia arriba que mantiene el barco a flote.

El punto sobre el que puede considerarse que actúan todas las fuerzas que producen el efecto de flotación se llama centro de flotación, y corresponde al centro de gravedad del fluido desplazado. El centro de flotación de un cuerpo que flota está situado exactamente encima de su centro de gravedad. Cuanto mayor sea la distancia entre ambos, mayor es la estabilidad del cuerpo.

El principio de Arquímedes también permite determinar la densidad de un objeto cuya forma es tan irregular que su volumen no puede medirse directamente. Si el objeto se pesa primero en el aire y luego en el agua, la diferencia de peso será igual al peso del volumen de agua desplazado, y este volumen es igual al volumen del objeto, si éste está totalmente sumergido. Así puede determinarse fácilmente la densidad del objeto irregular (masa dividida entre volumen).

_____________________________________________3.5 Tensión sobre las paredes de un cilindro

(1)

T1

T2 e

r Fh

r

A Una tubería o un recipiente cilíndrico, bajo la acción de una presión interna (p) debido a un fluido, mantiene sus paredes sometidas a tensión.

Enseguida se analizan las tensiones y la fuerza hidrostática que están presentes sobre una sección de la tubería correspondiente a un anillo de una unidad (1) de ancho. Finalmente se determina el espesor de la tubería según el material metálico de que se trate.

Fig. 3.15


____________________________________________________3.6 Ejemplos resueltos

(3.3.6)σp r⋅

2e=

Y para la tapa cóncava de un recipiente cilíndrico:

(3.3.5)σp r⋅

e=Reduciendo:σ

p r⋅ a⋅

e a⋅=

Sustituyendo T1 :

(3.3.4)σT

e a⋅=

Por definición el esfuerzo de tensión (σ) en la pared de la tubería o recipiente cilíndrico presurizados, de espesor (e) es :

T1p 2 r⋅ a⋅( )

2= p r⋅ a⋅=Sustituyendo Fh:

T1Fh

2=Dividiendo entre 2r y despejando :

2r T1⋅ r Fh⋅− 0=

Suma de momentos desde el extremo inferior (línea de T2):

Fh T1 T2+=Fuerzas en equilibrio:

a ancho del⋅ anillo⋅= 1=

Fh p Ap⋅= p 2 r⋅ a⋅( )=

La Fig.3.15 representa la mitad del anillo dibujado como un diagrama de cuerpo libre mostrando las tensiones (T1, T2), la fuerza hidrostática (Fh) y el radio (r) de la tubería.

La fuerza hidrostática sobre el área de proyección (Ap), (un rectángulo de: 2r x ancho), es:

de que se trate.


A b a⋅=A

0

a

yx⌠⌡

d= x y⋅( )=3.1 Área:

3. CALCULOS

Ix

0

A

Ay2⌠

⌡

d=2.5 Momento de inercia:

Fig. 3.16

ycMx

A=2.4 Coordena centroidal:

Mx

0

A

Ay⌠⌡

d=2.3 Momento de Área:

A

0

A

A.⌠⌡

d=2.2 Área:

x b=donde:dA x dy⋅=

dy

y

dA

x

y

a

b

2.1 Elemento de área:Considerar el elemento de área (dA) el rectángulo resaltado:

2. FORMULARIO

Expresiones para: a) área, b) su centroide, c) su momento de área

1.2.- Requerimientos

a = altura del rectángulob = base del rectángulo

1.1.- Datos

1. INFORMACION

Solución

Del rectángulo de la Fig. 3.16 determine las expresiones geométricas para el cálculo del:

a) área b) su centroide c) su momento de área. Compare los resultados con la Tabla de figuras geométricas (Apéndice III).

Ejemplo 3-1


2. FORMULARIO



Fig. 3.17a = altura del triángulob = base del triángulo

1.1.- Datos

1. INFORMACION

Solución

De un triángulo equilátero con el vértice hacia abajo (Fig. 3.17 ). Determinar las expresiones geométricas para calcular:a) el área b) su centroide c) su momento de área. Compare con la Tabla de figuras geométricas (Apéndice III)

x

dA

a

b

y

dy

y

x

______________________________________________________

Ejemplo 3-2

¿Coinciden con la información de la Tabla?

Ixa3

b⋅

2=Ix

0

A

Ay2⌠

⌡

d=

0

a

yy2

x⋅⌠⌡

d=y3

3x⋅=

3.5 Momento de inercia:

yc1

2a⋅=yc

Mx

A=

a2

b⋅

2

b a⋅( )=3.4 Coordenada centroidal:

Mxa2

b⋅

2=Mx

0

A

Ay⌠⌡

d=

0

a

yy x⋅⌠⌡

d=y2

2x⋅=

3.2 Momento de Área:

0⌡


A1

2a⋅ b⋅=A b y⋅

b

a

y2

2⋅−=

A

0

a

yx⌠⌡

d=

0

a

ya y−( )

a( )

b⋅⌠⌡

d=

0

a

yb⌠⌡

d

0

a

yb

ay⋅

⌠⌡

d−=

3.1 Área:

3. CALCULOS

ycMx

A=2.5 Coordena centroidal:

Ix

0

A

Ay2⌠

⌡


Mx

0

A

Ay⌠⌡


A

0

A

A.⌠⌡

d=2.2 Área:

dA 21

2

a y−( )

a( )⋅

⋅ b⋅ dy⋅=Sustituir :

x1

2

a y−( )

a⋅ b⋅=Despejar:

x

b

2

a y−

a=

Por comparación de lados semejantes de dos triángulos isósceles visibles en la Fig. 3.17., se obtiene la expresión de x:

dA 2x dy⋅=

2.1 Elemento de área: Considerar el elemento de área (dA) rectangular resaltado:

2. FORMULARIO


1. INFORMACION

Solución

Determinar las expresiones geométricas para calcular:a) el área b) su centroide c) su momento de área. Compare los resultados con la Tabla de figuras geométricas (Apéndice III)

De un triángulo equilátero con el vértice hacia arriba (Fig. 3.18 ).

_____________________________________________________

Ejemplo 3-3


Ix1

12a3

⋅ b⋅=Ix1

ab⋅

1−

4y4

⋅1

3a⋅ y

3⋅+

⋅=

Ix

0

A

Ay2⌠

⌡

d=

0

a

yy2

2⋅ x⌠⌡

d=

0

a

yy2 a y−( )

ab⋅

⋅⌠⌡

d=


yc1

3a⋅=yc

Mx

A=

1

6a2

⋅ b⋅

1

2a⋅ b⋅

=3.3 Coordenada centroidal:

Mx1

6a2

⋅ b⋅=Mx by2

2⋅

b

a

y3

3⋅−=

3 b⋅ y3

⋅ 2 b⋅ y3

⋅−

6 a⋅=

Mx

0

A

Ay⌠⌡

d=

0

a

yy 2⋅ x⌠⌡

d=

0

a

yya y−( )

ab⋅

⋅⌠⌡

d=

0

a

yb y⋅⌠⌡

d

0

a

yb

ay2

⋅⌠⌡

d−=


2a 2


A1

2a⋅ b⋅=A

a

yy

a

b⋅⌠

d=1

2

y2

a⋅ b⋅=3.1 Área:

3. CALCULOS

ycMx

A=2.5 Coordenada centroidal:

Ix

0

A

Ay2⌠

⌡


Fig. 3.18

Mx

0

A

Ay⌠⌡


A

0

A

A.⌠⌡

d=2.2 Área:

Sustituir : dA 21

2

y

a⋅

⋅ b⋅ dy⋅=

x1

2

y( )

a⋅ b⋅=despejar:

dA

dy

y

x

y

a

b

x

b

2

y

a=

Donde por comparación de lados semejantes de dos triángulos isósceles visibles en la Fig. 3.18, se obtiene la expresión de "x".

dA 2x dy⋅=

2.1 Elemento de área: Considerar el elemento de área (dA) triangular resaltado:

2. FORMULARIO



a = altura del triángulob = base del triángulo

1.1.- Datos


y 4=Ecuación de la recta:

x y

1

2=y x

2=Ecuación de la curva:

1.1.- Datos

1. INFORMACION

Solución

__________________________________________________

Ejemplo 3.4 Calcule la coordenada del centroide de la figura encerrada entre la curva x=y1/2 y la línea y = 4. Además, a qué profundidad se localiza el centroide sabiendo que su posición es vertical y que el nivel del líquido está en el borde superior de la superficie, donde "y" es igual a 4.Fig. 3.19. Graficar: x Vs y(x), y x Vs y=4


Ix1

4a3

⋅ b⋅=Ix

0

A

Ay2⌠

⌡

d=

0

a

yy2

2⋅ x⌠⌡

d=

0

a

yy2 y

ab⋅

⋅⌠⌡

d=1

4

y4

a⋅ b⋅=


yc2

3a⋅=yc

Mx

A=

1

3a2

⋅ b⋅

1

2a⋅ b⋅

=

3.3 Coordenada centroidal:

Mx1

3a2

⋅ b⋅=Mx

0

A

Ay⌠⌡

d=

0

a

yy 2⋅ x⌠⌡

d=

0

a

yyy

ab⋅

⋅⌠⌡

d=1

3

y3

a⋅ b⋅=


A2

a b=A

0

ya

b⌡

d=2 a

b=



A 10.667 m2

⋅=A

0

4

y2 y

1

2

⌠⌡

d=4

3y

3

2⋅= 10.667=

3.1 Área encerrada:

3. CALCULOS

Mx

0

A

Ay⌠⌡


x y

1

2=dondedA 2x dy⋅=

2.3 Elemento de área: Considerar un elemento de área (dA) horizontal de la figura:

A

0

A

A.⌠⌡

d=2.2 Área encerrada:

ycMx


2. FORMULARIO

Coordenada y profundidad del centroide


Fig. 3.19

y x( )

4

2.25

1

0.25

0

0.25

1

2.25

4

=x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

=

2 0 2

2

4

x2

4

x

y x( ) x2

:=Función:x 2− 1.5−, 2..:=Graficar:


y x( ) =x =10

y x( )5

9x2

⋅:=Función:x 3− 2.−, 3..:=Graficar:

y 9=Ecuación de la recta (nivel del líquido):

x9

5y

1

2⋅=y

5

9x2

⋅=Ecuación de la curva:

1.1.- Datos de la placa (Sistema Internacional técnico)

1. INFORMACION

Solución

y5

9x2

⋅=

__________________________________________________

Ejemplo 3.5

Calcule el centroide de la figura encerrada entre la línea y=5 y la curva cuya fórmula aparece enseguida. Además, calcule la fuerza hidrostática sobre esta placa vertical sabiendo que el vértice se localiza a 9 m de profundidad y la sustancia es agua. Fig. 3.20.

h 1.6 m⋅=h 4.0 2.4−= 1.6 m⋅=

3.4 Profundidad centroidal (desde el espejo del líquido):

y 2.4 m⋅=ycMx

A=

25.6

10.667=


Mx 25.6 m3

⋅=Mx

0

4

y2 y

3

2

⋅

⌠⌡

d=4

5y( )

5

2⋅= 25.6=



Mx

0

A

Ay⌠⌡

d=2.6 Momento de área:

ycMx


h 9 yc−=

2.4 Profundidad centroidal (desde el espejo del líquido)

x9

5y

1

2⋅=dondedA 2x dy⋅=

2.3 Elemento de área: Considerar un elemento de área rectangular (dA) horizontal en la figura:

A

0

A

A.⌠⌡

d=2.2 Área encerrada:

(h) es la profundidad centroidalF γ h⋅ A⋅=

2.1 Fuerza hidrostática (modo geométrico):

2. FORMULARIO

Fuerza hidrostática, coordenadas del centroide


Fig. 3.20y 5=

Ecuación de la recta horizontal(que delimita el área):

5

2.222

0.556

0

0.556

2.222

5

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 2 0 2 40

5

10

9

5

y x( )

x


1. INFORMACION

Solución

____________________________________________________

Ejemplo 3.6

La compuerta triangular Ar-B de la Fig. 3.21 tiene 0.5 m de ancho y 1 m de alto. Se encuentra articulada en (Ar) y detenida en (B) por un tope. ¿Calcular fuerza horizontal en el tope (B) si h=3m.

F 1.2 105× kgf⋅=F 1000

kgf

m3

⋅ 6 m⋅( )⋅ 20 m2

⋅( )⋅=

3.5 Fuerza hidrostática:

h 6 m⋅=h 9 3−= 6 m⋅=

3.4 Profundidad centroidal (desde el espejo del líquido):

yc 3 m⋅=ycMx

A=

60

20=


Mx 60 m3

⋅=Mx

0

5

y29

5y⋅

1

2y⋅

⌠⌡

d=12

25y

5

2⋅ 5⋅=


A 20 m2

⋅=A

0

5

y29

5y⋅

1

2

⌠⌡

d=4

55⋅ y

3

2⋅=

3.1 Área encerrada:

3. CALCULOS


A1( ) 0.5( )[ ]

2= 0.25 m

2⋅=3.1 Área de la compuerta:

3. CALCULOS

Ic a3 b

36⋅=Momento de Inercia del triángulo:

Yc H=YpIc

Yc A⋅Yc+=

Profundidad a línea de acción:

br Yp Yc−( )2a

3+=2.2.2 Brazo de palanca desde (Ar):

Aa b⋅

2= Área del triángulo:

H ha

3−= Profundidad centroidal (del triángulo):

F γ H⋅ A⋅= 2.2.1 Fuerza hidrostática:

M F br( )=2.2.- Momento de Fuerza hidrostática desde (Ar):

FeM

a=M Fe a( )⋅− 0=

Fig. 3.212.1. Fuerza en el tope (B):

2. FORMULARIO

1.4.- Requerimiento

Fuerza en el tope (B)

b 0.5 m⋅=a 1 m⋅=

1.3.- Datos de la compuerta

ρW 1000kg

m3

⋅=h 3 m⋅=

Ar

B

Agua

3m

0.5m

1.1.- Datos lado agua


____________________________________________________

Hacia la derechaFe 445.389 kgf⋅=Fe445.389 kgf⋅ m⋅

1 m⋅=

M Fe 1.m( )⋅− 0=

3.8 Fuerza requerida de equilibrio, aplicada en (B):

Cuerpo en equilibrio:

M 445.389 kgf⋅ m⋅=M 666 75 0.688( )⋅=

M F br( )=3.7 Momento de Fuerza desde (Ar):

br 0.688 m⋅=br 2.688 2.667−( )2 1( )⋅

3+=

3. 6 Brazo de palanca desde el punto de articulación (Ar):

Yp0.014

2.667 0.25( )⋅2.667+= 2.688 m⋅=

Yc H=YpIc

Yc A⋅Yc+=3.5 Profundidad a línea de acción:

Ic1( )

3 0.5⋅

36= 0.014 m

4⋅=

Ic a3 b

36⋅=3.4 Momento de Inercia del triángulo:

F 666 75⋅ kgf=F 1000kgf

m3

⋅ 2.667 m⋅( )⋅ 0.25⋅ m2

⋅=

F γ H⋅ A⋅=3.3 Fuerza hidrostática: 1000kgf

m3

⋅ 2.667 m⋅( )⋅ 0.25⋅ m2

⋅ 666.75 kgf=

H 3 m⋅1 m⋅

3

−= 2.667 m⋅=3.2 Profundidad centroidal:


Mx

C

yx⌠ d=2.3.2 Momentos de área:

A

B

C

yx⌠⌡

d=2.3.1 Área del triángulo:

ycMx

A=2. 3. Profundidad centroidal desde el origen de los ejes:

my2 y1−

x2 x1−=2.2.2 Ecuación de la pendiente de la línea recta:

xy yo−( )

m=2.2.1 Ecuación de la línea recta:

2.2 Líneas que delimitan el área (yo es la ordenada en el origen):

dA x dy⋅=2.1.1 Elementos de áreas:

F γW D⋅

0

B

A.⌠⌡

d⋅ γW

C

B

Ay⌠⌡

d⋅+=2.1 Fuerza hidrostática total:

2. FORMULARIO

Fig. 3.22

1.2.- Requerimiento

La magnitud de la fuerza hidrostática (F), las coordenadas del centro de presión (Yp, Xp).

γW 1000kgf

m3

⋅=

b 2 m⋅=a 3 m⋅=D 1 m⋅=

1.1.- Datos: (Sistema Internacional Técnico).

1. INFORMACION

3m

2m

1m

A

C

B

x

dy

dA

Solución:

Ejemplo 3.7

Calcule la fuerza hidrostática y el centro de presión de la placa donde incide el efecto del agua. Ver Fig. 3.22.


Mx 3 m3

⋅=Mx

0

3−( )

yy2

3y 3+( )⋅

⋅⌠⌡

d=2

9y3

⋅ y2

+= 3 m3

⋅=

3.3 Momento de área con respecto al eje "X":

A 3− m2

⋅=A

0

3−( )

y2

3y 3+( )⋅

⌠⌡

d=1

3y2

⋅ 2 y⋅+= 3− m2

⋅=

3.2. Área del triángulo:

x2

3y 3+( )⋅=x

y 3−( )−

3

2

=b 3−=Línea AC:

xy b−( )

m=3.1.2 Ecuacion de la línea recta:

m3

2=m

3− 0−

0 2−=Línea AC:

3.1.1 Pendiente de la línea recta:

Conociendo las coordenadas de dos puntos se puede obtener la expresión de la línea.

3.1 Ecuaciones de las líneas rectas:

3. CALCULOS

Yp yp D+=2.6. Profundidad al Centro de presión, desde el espejo:

Ix

B

C

Ay2⌠

⌡

d=

2.5.1 Momentos de inercia (con respecto al eje x):

ypIx

Mx=2.5 Profundidad al Centro de presión, desde el origen ejes:

Yc yc D+=2.4 Profundidad centroidal desde el espejo:

Mx

B

yx⌡

d=2.3.2 Momentos de área:


⋅2

+⋅

2γ⋅ ⋅( )⋅=

Sustituyendo "x" y como Sen θ=1 :

x dF⋅ x γ Sen⋅ θ y⋅ dA⋅( )⋅= x γ Sen⋅ θ y⋅ x dy⋅( )⋅ ⋅= x2

γ Sen⋅ θ y⋅ dy⋅( )⋅=Donde:

xp

Fx⌠⌡

d

F=Coordenada horizontal centroidal, desde eje "Y":

3.10 Coordenadas del centro de presión

F 1000 1( ) 3( ) 1000 3( )+= 6000kgf=

F γW D⋅ A⋅ γW Mx⋅+=

3.9 Fuerza hidrostática total:

Yp 2.5 m⋅=Yp yp D+=

3.8 Profundidad al centro de presión, desde el espejo:

yp 1.5 m⋅=ypIx

Mx=

3.7 Profundidad al centro de presión, desde el origen de los ejes:

Yc 2 m⋅=Yc yc D+=

3.6 Profundidad centroidal desde el espejo:

yc 1− m⋅=ycMx

A=

3.5 Profundidad centroidal desde el origen de los ejes:

Ix 4.5− m4

⋅=Ix

0

3−( )

yy2 2

3y 3+( )⋅

⋅⌠⌡

d=1

6y4

⋅2

3y3

⋅+= 4.5− m4

⋅=

3.4. Momentos de inercia (con respecto al eje "X"):


x dF⋅2

3y 3+( )⋅

y γ⋅ dy⋅( )⋅=

Integrando:

xp

γ

0

3−

y2

3y 3+( )⋅

2y( )⋅

⌠⌡

d⋅

F=

γ1

9y4

⋅8

9y3

⋅+ 2 y2

⋅+⋅

F=

γ 3( )⋅

F=

xp1000 3( )⋅

6000= 0.5 m⋅= xp 0.5 m⋅= yp 1.5 m⋅=

__________________________________________________________Ejemplo 3.8

La compuerta Ar-B de la figura tiene 1.2 m de ancho y está articulada en (Ar). La lectura manométrica en (G) es -0.15 kg/cm2 encima del nivel del agua y el aceite que ocupa el depósito de la derecha tiene una densidad relativa (ρR) de 0.75¿Que fuerza horizontal debe aplicarse en (B) para que la compuerta se mantenga en equilibrio y cuál es su sentido?

2592

Kg

Kg

6480

Kg 1458

Kg

0.99

m

1.2

m

B

Ar

1.8

m

Solución

5.4

m

B

Aceite

Ar

Agua

1.8

m

G

Fig. 3.23.a) Fig. 3.23.b)

Se trata de una superficie rectangular (1.2 x 1.8) en posición vertical, que recibe efectos hidrostáticos en ambas caras (lado izquierdo (agua), lado derecho (aceite)). Fig. 3.23.a).

Los resultados esperados a obtener se muestran sobre el diagrama de cuerpo Cap. 3 104 J.C. Toledo

3 b⋅=2.8.- Momento de Inercia del rectángulo:

Yc h=YpIc

Yc A⋅Yc+=

2.7.- Profundidad a línea de acción:

A a b⋅=2.6.- Área del rectángulo:

Hw hw C−=

2.5 Profundidad ficticia centroidal (considerando la presión negativa):

hw aWa

2−=2.4 Profundidad centroidal (lado agua):

CP−

γW=2.3.- Columna hidrostática equivalente :

γ ρR γW⋅=2.2.- Peso específico:

F γ H⋅ A⋅=2.1.- Fuerza hidrostática:

2. FORMULARIO

1.4.- Requerimiento

Fuerza de equilibrio necesaria en el punto (B) y su sentido.

b 1.2 m⋅=a 1.8 m⋅=

1.3.- Datos de la compuerta

aA 1.8 m⋅=

1.2.- Datos lado aceite

aW 5.4 m⋅=ρW 1000kg

m3

⋅=p 0.15−kgf

cm2

⋅= 1500kgf

m2

⋅=

1.1.- Datos lado agua

1. INFORMACION

Destaca la magnitud de las fuerzas hidrostáticas y sus brazos de palanca desde el punto de articulación (Ar), con los cuales se calculan los momentos. La diferencia de momentos permite deducir hacia que sentido debe aplicarse la fuerza de equilibrio en el punto (B).

Los resultados esperados a obtener se muestran sobre el diagrama de cuerpo libre mostrado Fig 3.23.b).


Mw Fw brw( )=3.9 Momento de Fuerza desde (Ar):

brw 0.99 m⋅=brwa

2Ypw Ycw−( )+=


Ypw0.583

3.0 2.16⋅3.0+= 3.09=

Ycw Hw=YpwIc

Ycw A⋅Ycw+=3.7 Profundidad a línea de acción:

Fw 6480 kgf⋅=Fw 1000 3( )⋅ 2.16⋅=

Fw γW Hw⋅ A⋅=3.6 Fuerza hidrostática:

Hw hw C−= 3.0m=

3.5 Profundidad ficticia centroidal (considerando la presión negativa):

hw 5.4 m⋅1.8 m⋅

2

−= 4.5 m⋅=3.4 Profundidad centroidal:

C

1500−kgf

m2

⋅

1000kgf

m3

⋅

= 1.5− m⋅=3.3 Columna hidrostática:

Lado Agua

Ic1.8( )

3 1.2⋅

12= 0.583 m

4⋅=Ic a

3 b

12⋅=3.2 Momento de Inercia del rectángulo:

A 1.8( ) 1.2( )= 2.16 m2

⋅=3.1 Área de la placa:

3. CALCULOS

Σmomentos 0=2.10.- Equilibrio

M F br( )=2.9.- Momento de Fuerza desde (Ar):

Ic a3 b

12⋅=2.8.- Momento de Inercia del rectángulo:


_______________________________________________________

Ejemplo 3.9Un recipiente de 2.5 m de ancho, abierto a la atmóstera, contiene dos líquidos inmiscibles: 3 m de aceite, 2 m de agua y 1.5 m de mercurio, como se muestra en la Fig. 3.24. Calcular la fuerza hidrostática total sobre la pared del recipiente y las coordenas del centro de presión.

Hacia la IzquierdaFe 2592 kgf⋅=Fe6415 1750−

1.8=

Mw Ma− Fe 1.8 m⋅( )⋅− 0=

3.16 Fuerza requerida de equilibrio aplicada en (B):

Cuerpo en equilibrio:

Ma 1750 Kgf⋅ m⋅=Ma 1458 1.2( )⋅=

Ma Fa bra( )=3.15 Momento de Fuerza desde (Ar):

brw 1.2 m⋅=brw Ypa=


Ypa0.583

0.9( ) 2.16⋅0.9+= 1.2m=

Yca Ha=YpaIc

Yca A⋅Yca+=3.13 Profundidad a línea de acción:

Fa 1458 kgf⋅=Fa γa Ha⋅ A⋅=3.12 Fuerza hidrostática:

Ha1.8 m⋅

2= 0.9 m⋅=3.11 Profundidad centroidal:

3.10 Peso específico: γa 0.75 1000⋅= 750kgf

m3

⋅=

Lado Aceite

Mw 6415 Kgf⋅ m⋅=Mw 6480 0.99( )⋅=


2.5.- Profundidad centroidal:

ypIc

yc A⋅yc+=2.4.- Profundidad a la línea de acción:

Pw γA hA⋅ γWhW

2⋅+=agua

Pa γAhA

2⋅=aceite2.3.- Presión centroidal:

Fw Pw Aw⋅=agua

Fa Pa Aa⋅=aceite

F P A⋅=2.2.- Fuerza centroidal:

F Fa Fw+=2.1.- Fuerza hidrostática total:

2. FORMULARIO


Fuerza hidrostática total y las coordenadas del centro de presión.

hW 2 m⋅=Fig. 3.24

Aw 2.5 2( )⋅= 5 m2

⋅=γW 1000kgf

m3

⋅=

1.2.- Datos sección agua y área de contacto:

hA 3 m⋅=

Aa 2.5 m⋅ 3 m⋅( )⋅= 7.5 m2

⋅=γA 880kgf

m3

⋅=

3

2

A ceite

A gua

2 .5

1.1.- Datos sección aceite y área de contacto:

1. INFORMACION

Solución

coordenas del centro de presión.


IcA3( )

3 2.5⋅

12= 5.625 m

4⋅=aceite

Ic a3 b

12⋅=

3.4 Momento de Inercia de cada rectángulo:

Ft 2.81 104× kgf⋅=

Ft 9.9 103× kgf⋅ 1.82 104

× kgf⋅+=

3.3.- Fuerza hidrostática total

Fw 3.64 103× 5( )⋅= 1.82 104

× kgf⋅=agua

Fa 1.32 103×

kgf

m2

⋅ 7.5 m2

⋅( )⋅= 9.9 103× kgf⋅=aceite

F P A⋅=3.2.- Fuerzas hidrostáticas:

Pw 3.64 103×

kgf

m2

⋅=

Pw γA hA⋅ γWhW

2⋅+= 880

kgf

m3

⋅ 3 m⋅( )⋅ 1000kgf

m3

⋅2 m⋅

2

⋅+=agua

Pa γAhA

2⋅= 880

kgf

m3

⋅3 m⋅

2

⋅= 1.32 103×

kgf

m2

⋅=aceite

3.1 Presión centroidal:

3. CALCULOS

2.8.- Equilibrio: Suma de Momentos = ypxF:

M F yp( )=2.7.- Momento de Fuerza desde (Ar):

Ic a3 b

12⋅=2.6.- Momento de Inercia de los rectángulos:

ycWhW

2hA+=aguaycA

hA

2=aceite


____________________________________________________

Ejemplo 3.10

xp2.5

2= 1.75 m⋅=La otra coordenada, por simetría:

yp 3.349 m⋅=ypMo

Ft=

9.411 104× kgf⋅ m⋅

2.81 104× kgf⋅

=

3.8.- Brazo de palanca desde (Ar):

Mo 1.98 104× 7.431 104

×+= 9.411 104×=Momento total:

Mw 1.82 104× kgf⋅ 4.083 m⋅( )⋅= 7.431 104

× kgf⋅ m⋅=agua

Ma 9.9 103× kgf⋅ 2 m⋅( )⋅= 1.98 104

× kgf⋅ m⋅=aceite

M F yp( )=3.7.- Momentos de Fuerzas desde (Ar):

ypW1.667 m

4⋅

4 m⋅ 5 m2

⋅( )⋅

4 m⋅+= 4.083 m⋅=agua

ypA5.625 m

4⋅

1.5 m⋅ 7.5 m2

⋅( )⋅

1.5 m⋅+= 2 m⋅=aceite

ypIc

yc A⋅yc+=3.6.- Profundidades a la línea de acción:

ycWhW

2hA+=

2

23+= 4 m⋅=agua

ycAhA

2=

3

2= 1.5 m⋅=aceite

3.5.- Profundidad centroidal:

IcW2( )

3 2.5⋅

12= 1.667 m

4⋅=

agua


Fy γ Ven⋅=

(Ven) es el volumen que hay encima de la curvatura

2.3 Fuerza hidrostática vertical:

Ic a3 b

12⋅=2.2.1 Momento de Inercia del rectángulo:

445.389 h=YpIc

Yc A⋅Yc+=

2.2 Profundidad a línea de acción:

ha

2=2.1.2 Profundidad centroidal del rectángulo:

b L=a D=A a b⋅=2.1.1 Área del rectángulo de proyección:

Fh γ h⋅ Ap⋅=2.1 Fuerza hidrostática horizontal:

2. FORMULARIO


Fuerza horizontal y vertical sobre el cilindro. Fuerza con la que se precipita el cilindro.

L 1.5m=D 2 m⋅=

Fig. 3.25

γ 0.8 1000( )= 800kgf

m3

⋅=

γW 1000kgf

m3

=

W 2500kgf=ρR 0.8=

1.1.- Datos (Sistema Internacional Técnico).

1. INFORMACION

B

ρr=0.8

A C

D

2 m

Solución

El cilindro de la Fig.3.25 es de 2 m de diámetro, pesa 2500 kgf y tiene una longitud de 1.5 m. Calcule: a) la fuerza hidrostática horizontal y su centro de presión. b) la fuerza vertical que ejerce el aceite sobre el cilindro. c) la fuerza con la que precipita el cuerpo. Desprecie el efecto del rozamiento.


3.7 Fuerza vertical con la que precipita:

<--- Hacia arriba sobre el cuerpoFv 1885 kgf⋅=Fv 800 2.356( )⋅=

Fy γ V⋅=3.6.2 Componente hidrostático vertical:

VVc

2=Vc b

π a2

⋅( )4

⋅= 4.712 m3

⋅=

3.6.1 Volumen del cilindro y semicilindro:

V2 es el volumen que hay encima de la curvatura BC hasta tocar el espejoV1 es el volumen que hay encima de la curvatura CD hasta tocar el espejoV es la diferencia entre los dos volúmenes o sea la mitad del volumen que encierra el cilindro (Vc) (Volumen lado DBC).

Fv γ V2⋅ γ V1⋅−= γ V⋅=

Fv Fy2 Fy1−=

Se tienen fuerzas hacia arriba (Fy2) y fuerzas hacia abajo (Fy1), debido al volumen (V2 y V1) que hay encima de las curvaturas.

3.6 Componente hidrostático vertical:

Yp 1.33m=Yp1

1 3⋅1+=Yp

Ic

Yc A⋅Yc+=

Yc h=3.5 Profundidad a línea de acción:

Ic 2( )3 1.5

12⋅= 1m

4=3.4 Momento de Inercia del rectángulo:

Fh 2400kgf=Fh 800 1( )⋅ 3( )⋅=

3.3 Fuerza hidrostática horizontal:

h2

2= 1m=3.2 Profundidad centroidal del rectángulo:

A 2 1.5( )⋅= 3m3

=3.1 Área del rectángulo de proyección:

3. CALCULOS

Fy Ven=


2.2 Volumen encima de la curvatura hasta tocar el espejo del líquido:

(γ)es el peso específico del fluido.F γ V⋅=

2.1 Fuerza hidrostática vertical sobre la curva:

2. FORMULARIO

Fuerza hidrostática (por fórmula geométrica)


y x( ) 4 x⋅:=Función:

x 0 1.4..:=

xy2

4=Ecuación de la curva:γ peso específico=

1.1.- Datos

1. INFORMACION

Fig. 3.26Solución

Grafique la función en el rango: x =0 hasta 1.4 y simule cambiando estos datos.

xy2

4=

Compruebe que la fuerza hidrostática sobre una superficie curva (cuya ecuación se indica enseguida) se puede determinar calculando el volumen (V) encima de la curvatura de la Fig. 3.26 y usando la fórmula: F = γ .V

H

y

dy

dA

F

__________________________________________________

Ejemplo 3.11

<--- Hacia abajo (se precipita)Fv 615 kgf⋅=

Fy W Fv−=


__________________________________________________

Ejemplo 3.12

Fig. 3.26

0 10

2

trace 1

grafica de la función

variable

fun

ció

n

y x( )

x

y x( ) 4x:=VSx 0 0.2, 1.4..:=

3. 4 Graficar Fig.3.26 con la ayuda de "Mathcad"

F γ1

12H

3⋅ a⋅

⋅=F γ V⋅=3.3 Fuerza hidrostática vertical sobre la curva:

V1

12H

3⋅ a⋅=V A a⋅=

3.2. Volumen encima de la curvatura hasta tocar el espejo del líquido:

A1

12H

3⋅=A

0

H

yy2

4

⌠⌡

d1

12y3

⋅==1

12H

3⋅=

3.1. Área lateral:

3. CALCULOS

xy2

4=Donde

dA x dy⋅=2.4 Elemento de área lateral:

A

0

A

A.⌠⌡

d=2.3. Área lateral del volumen encima de la curvatura:

(a) ancho del volumen encima de la curvaturaV A a⋅=

hasta tocar el espejo del líquido:


3. CALCULOS

h H 4x−=y 4x=h H y−=

2.3 Profundidad centroidal (según figura):

(a) es el ancho del volumen encima de la curvatura

dondedA a dx⋅=

2.2 Elemento de área superficial:

dF Aγh⌠⌡

d=


2. FORMULARIO

Fuerza hidrostática (por integración)

1.2.- RequerimientosFig. 3.28

y 4x=xy2

4=

Ecuaciónes de la curva:

γ peso específico=

1.1.- Datos

1. INFORMACION

Solución

d F

y d x

H

h

y

x

xy2

4=

dF Aγh⌠⌡

d=

Ejemplo 3.12

Compruebe que la fuerza hidrostática sobre una superficie curva (Fig. 3.28), cuya ecuación aprece abajo, se puede determinar usando la fórmula (por integración) es:


Análisis: Se observa en la Fig. 3.29 que las fuerzas componentes horizontales en el eje "Z" se anulan entre sí; por lo que solo hay fuerzas componentes en el eje horizontal "X". En el eje vertical "Y" solo hay fuerzas componentes hacia arriba.

L2 3m=L1 1.5m=γW 1000kgf

m3

=D 2m=

1.1.- Datos: (Sistema Internacional Técnico) (Ver Fig. 3.29)

1. INFORMACION

Solución

La base semicónica ABE que se muestra en la Fig.3.29 se utiliza para soportar la torre semicilíndrica ABCD, de 2 m de diámetro. Calcular los componentes horizontal y vertical debidos a la fuerza que produce la acción del agua sobre el cuerpo desde el nivel CD.

___________________________________________________

Ejemplo 3.13

Compare este resultado con el resultado del ejemplo anterior y saque sus conclusiones.

F γ a⋅1

12H

3⋅

⋅=

Simplificando:

F γ a⋅

0

H2

4

xH 4 x⋅−( )

⌠⌡

d⋅= γ a⋅1

4H

3⋅

1

6H

2( )

3

2

⋅−⋅= γ a⋅1

4H

3⋅

1

6H

3⋅−⋅=


xy2

4=

H2

4=De cero hasta x, donde :

3.1 Rango de integración:

3. CALCULOS


h2a2

3=

2.2 Profundidad a línea de acción:

YpIc

Yc A⋅Yc+= Yc h=

2.2.1 Momento de Inercia del rectángulo: Ic a3 b

12⋅=

2.2.2 Momento de Inercia del triángulo: Ica3

b⋅

36=

2.3 Fuerza hidrostática vertical: (Ven) es el volumen que hay encima de la curvatura

Fy γ Ven⋅=

3. CALCULOS

3.1 Área del rectángulo de proyección: Ap1 1.5 2( )⋅= 3m3

=

3.2. Profundidad centroidal del rectángulo: h11.5

2= 0.75m=

3.3 Fuerza hidrostática horizontal sobre el rectángulo, proyección del Semicilindro (CBAD):

2. FORMULARIO

A

C D

B

E

1m

1.5m

3.0m

A

2.1 Fuerza hidrostática horizontal:

Fh γ h⋅ Ap⋅=

El cuerpo muestra dos áreas no planas: una semicilíndrica y una semicónica, la primera proyecta una superficie rectangular y la segunda una superficie triangular.

2.1.1 Área del rectángulo de proyección:

Ap1 a1 b⋅= a1 L1= b D=

2.1.2 Área del triángulo de proyección:Fig. 3.29

Ap2a2 b⋅( )

2= a2 L2= b D=

2.1.3 Profundidad centroidal del rectángulo: h1a1

2=

2.1.4 Profundidad centroidal del triángulo:


3.14 Coordenada centro de Presión de la fuerza resultante horizontal:

Mo2 20250kgf m⋅=Mo2 Fx2 Yp2⋅=

Fh1 7500kgf=3.13 Momento de la fuerza horizontal :

Yp 2.7m=Yp21.5

2.5 3( )⋅2.5+=Yp

Ic2

Yc Ap2⋅Yc+=

Yc h2= 2.5=3.12 Profundidad a línea de acción (con respecto al nivel superior CD del líquido):

Ic2 3( )3 2

36⋅= 1.5m

4=3.11 Momento de Inercia del triángulo:

Mo1 2250 kgf⋅ m⋅=Mo1 Fh1 yp1⋅=

Fh1 2250kgf=

3.10 Momento de la fuerza horizontal :

Fh1 1000 0.75( )⋅ 3⋅= 2250kgf=

3.4 Área del triángulo de proyección: Ap23 2( )⋅

2= 3m

3=

3.5. Profundidad centroidal del triángulo: h2 1.53

3+= 2.5m=

3.6 Fuerza hidrostática horizontal sobre el triángulo, proyección del Semicono (BAE):

Fh1 1000 2.5( )⋅ 3⋅= 7500kgf=

3.7 Fuerza resultante horizontal:

Fh Fh1 Fh2+= Fh 9750 kgf⋅=

3.8 Momento de Inercia del rectángulo: Ic1 1.5( )3 2

12⋅= 0.563m

4=

3.9 Profundidad a línea de acción (con respecto al nivel superior CD del líquido):

Yc h1=

YpIc1

Yc Ap1⋅Yc+= Yp1

0.563

0.75 3( )0.75+= Yp 1.m=


2. FORMULARIO

Presión en el interior del tubo

1.2.- Requerimiento:

r 50 mm⋅=e 6 mm⋅=σ 70 106⋅ pascal⋅=1.1.- Datos:

1. INFORMACION

Solución

__________________________________________________

Ejemplo 3.14

Calcular la presión que puede resistir una tubería de acero de 100 mm de diámetro interno, cuyo espesor de pared es de 6 mm. Si el esfuerzo de tensión permisible de la tubería es de 70 Megapascal.

Hacia arribaFy 3928 kgf⋅=

Fy 1000 3.928( )⋅=

γ 1000kgf

m3

⋅=Ven 2.356 1.572 m

3⋅+=

Venπ r

2⋅ a1⋅( )

2

π r2

⋅a2

3⋅

2+=

a2 3=a1 1.5 m⋅=r

b

2=

Ven = Vol. Semicilindro + Vol. Semicono

(Ven) es el volumen que hay encima de la curvatura BE. Fy γ Ven⋅=

3.15 Fuerza vertical (Único componente hacia arriba: en la superficie semicónica BE).

<--- Desde el nivel superior del líquidoYp 2.3 m⋅=YpMo

Fh=

22500

9750=

Mo Mo1 Mo2+= 22500=

3.14 Coordenada centro de Presión de la fuerza resultante horizontal:


Fig. 3.31...................................................................

Fe 881 Nw⋅=Solución:

Problema 3.2p

Sobre un soporte en forma de ele, se aplica una fuerza de 800 Nw. Su peso se considera de 500 Nw. Calcular la fuerza necesaria para que se mantenga en equilibrio el soporte. El eje de articulación está en (B) y los puntos de aplicación de las fuerzas se muestran en la Fig. 3.31.

F=800N

Fe W=500N

160

mm

60o

60o 200

mm

R1

(-0.2, 0.16, 0)

B R2

R3

..........................................................................................................................................

Fig. 3.30

d 1.414 m⋅=Solución

Problema 3.1p

Calcule la distancia requerida para equilibrar las fuerzas mostradas en la Fig. 3.30, tomando en cuenta que el eje de articulación está en Artic y que Fh= 5 Nw y Fe=2 Nw.

Fe

Fh

??

5m

Artic

45o

________________________________________________________3.7 Problemas propuestos

p 70 106⋅ pa⋅

6 mm⋅

50 mm⋅

⋅= 8.4 106× pascal⋅=

3. CALCULO

p σe

r⋅=

2. FORMULARIO


...............................................................................Fig. 3.33

5740 kgf⋅ m⋅3800 kgf⋅Solución

1 m

1 m

X

Y 2m

2.7m

C

O

30o Aceite

Problema 3.5p

Una placa plana de 2 m de alto con eje de articulación en (C) tiene un contorno exterior definida por la ecuación:

x2 0.5 y⋅+ 1=

Calcule la fuerza hidrostática del aceite (ρR=0.8) sobre la placa y el momento de fuerza con respecto a (C) del efecto del aceite. El ángulo de inclinación es de 30o. Ver Fig. 3.33.

............................................................................................................................................

F 1.2 105× kgf⋅=Solución

Problema 3.4p

Calcule la fuerza hidrostática sobre la figura encerrada entre la curva f(y) y la línea y=5. Conociendo que el vértice está a 9 m de profundidad y la sustancia es agua. Grafique la figura.

............................................................................................................................................

Fig. 3.32W 1.2 104

× kgf⋅=Solución

Problema 3.3p

Una compuerta plana de 2 m de ancho, articulado en el eje (Ar) evita con su propio cuerpo la salida del agua. Fig.3.32. ¿Que peso mínimo debe tener la compuerta para que se logre el propósito?

Ar

45o

3m


Problema 3.8p

..................................................................

Fig. 3.35

5.2 104× kgf⋅156000kgfSolución

a) la magnitud de la fuerza hidrostática (F)b) las coordenadas del centro de presión (Yp, Xp).c) la fuerza (Fe) para abrir la compuerta

C(0,0)

y

B(0,10)

A(6,5)

E(0,5)

8`´

x

D

B

z

θ

El líquido es aceite de densidad relativa 0.8, teniéndose aire atmosférico debajo de la compuerta. Despreciando el peso de la compuerta, calcular:

La compuerta triangular (ABC) de la Fig. 3.35, se encuentra sumergida con una inclinación de 30o con respecto a la horizontal y está articulada a lo largo de (CB). Se puede abrir mediante una fuerza (Fe) aplicada en el vértice (A).

Problema 3.7p

............................................................................................................................................

xp 3.5 ft⋅=yp 13.667 ft⋅=Ft 1.088 105× lbf⋅=

Solución

Fig. 3.34

Problema 3.6p

Un recipiente de 7 pies de ancho, abierto a la atmóstera, contiene tres líquidos inmiscibles: 8 pies de aceite, 6 pies de agua y 4 pies de mercurio, como se muestra en la Fig. 3.34. Calcular la fuerza hidrostática total sobre la pared del recipiente y las coordenas del centro de presión.

8

6

4

A c e i t e

A g u a

M e r c u r i o

7


Problema 3.8p

La presa de la Fig. 3.36 tiene la forma de un cuarto de círculo y 50 m de ancho. Calcule los componentes vertical y horizontal de la fuerza hidrostática y el punto donde queda aplicado el efecto del agua.

20m

Solución

Fig. 3.36

..........................................................................

Problema 3.9p

Una superficie curva está formada como un arco circular con R=0.750 m como se ve en la Fig. 3.37. El ancho de la superficie es 3.55 m. A la izquierda de la superficie curva se tiene agua a una profundidad (H) de 0.65 m. Calcule:a) la fuerza hidrostática vertical y horizontal sobre la superficie curva.b) la línea de acción de estas fuerzas

R H Agua

Solución Fv 2.48 kNw⋅= Fh 7.35 kNw⋅=

x 0.642 m⋅= y 0.217 m⋅=

Fig. 3.37

..........................................................................

Problema 3.10p

Una tubería de acero de 300 mm de diámetro, conduce un fluido a una presión manométrica de 14 bar. Calcule:

a) la fuerza hidrostática, b) la fuerza de tensión y


b) la fuerza de tensión y c) el esfuerzo de tensión en la pared del tubo cuyo espesor es de 8 mm. Fig. 3.38 Considere el ancho del anillo de 1 cm.

(a)

T

T e

r Fh

r

A

p

Solución 4200 Nw⋅ 2100 Nw⋅ 2625Nw

cm2

⋅

Fig. 3.38

.......................................................................................


mathcad - mf1u3toledocursos.com/mecflu1/mf1u3.pdf · capítulo 3 fuerzas hidrostáticas y...

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