math u2 algebra

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Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Los métodos que estudiaremos son cuatro:

1. Método gráfico

Métodos analíticos o algebraicos:

2. Reducción o suma—resta

3. Sustitución

4. Igualación

Durante la resolución de los ejercicios identifica las ventajas y desventajas de cada método. Además observa cómo, en cualquiera de los métodos algebraicos , se elimina una de las incógnitas y sólo hay que resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.

Independientemente del método empleado, el valor de la incógnita que se obtie-ne primero, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obte-ner el valor de la segunda incógnita.

Resolución de sistemas de 2x2.

Los métodos de solución.

Los sistemas de 2x2 pueden ser re-

sueltos por diferentes métodos.

Con excepción del método gráfico, en

todos los casos se trata de eliminar

una de las incógnitas y resolver una

ecuación de primer grado con una

incógnita.

Dependiendo del artificio que se

emplea para eliminar una de las in-

cógnitas, es el nombre que recibe el

método: reducción, sustitución o

igualación.

Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas también surgen de problemas de razonamiento. Completa el siguiente problema desde su planteamiento hasta la solución por el método gráfico.

El método gráfico.

Como su nombre lo indica, consiste en representar gráficamente las ecuaciones y determinar, por observación, las coordenadas del punto de intersección. Estas coordenadas son la solución del problema.

1. La fábrica de playeras “Juana Watson” tiene costos fijos de $17000 por mes y el costo unitario es de $100. El precio de venta de las playeras es de $120 la pieza. Encuentra las ecuaciones de costo y de ingreso para esta fábrica, determina las ganancias mensuales si se venden 1200 piezas y encuentra el punto de equilibrio, es decir, la cantidad de piezas que se deben fabricar y vender para que no haya pérdidas ni ganancias.

* Para simplificar el modelo, se supondrá que todas las piezas fabricadas, se venden

La ecuación de costo o función de costo se determina sumando el costo fijo más el costo va-riable, pero debemos tener en cuenta que el costo variable depende del número de piezas que se fabriquen, este número de piezas será la incógnita equis (x). El costo total se puede representar como CT.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________



Vamos a utilizar la tabla que siempre hemos empleado para organizar la información.

Procedimiento de solución de un sistema de 2x2 por el método gráfico.

Tabulación de las ecuaciones ya despejadas. Tomar tres valores de equis para asegurar que

el trazo es correcto.

Cantidad desconocida Información que podemos

utilizar

Expresada en len-

guaje algebraico Argumentos o razones

Piezas producidas Incógnita x No tenemos información acerca del núme-

ro de piezas que se van a producir.

Piezas vendidas Se supone que se venden

todas las piezas fabricadas x

Cantidades iguales se representan con la

misma incógnita

Costo total Incógnita y Cantidades diferentes se representan

con distintas incógnitas

Ingresos En el punto de equilibrio, los ingre-

sos son iguales al costo total y

Se representa con la misma incógnita que

el costo total.

Conocimientos o información complementaria:

El costo total se calcula sumando los costos fijos y los varia-bles. Los costos variables se obtiene multiplicando el costo unitario por la cantidad de piezas producidas.

C Total = C Fijo + C Unitario x Número de piezas.

El ingreso se obtiene multiplicando número de piezas vendi-das por el precio de venta.

Obtención de la ecuación:

CT = CF + CU (NP)

Costo total: y = 17000 + 100 (x)

Ingreso: ______________________________

Resolución del sistema de 2x2:

La solución se lleva a cabo por separado, en este recuadro anota solamente las ecuaciones con la variable ‘y’ despejada, y la solución del sistema, es decir, los valores de x, y.

Ecuación 1: y = _____________________________

Ecuación 2: y = _____________________________

Valores de las incógnitas:

x = _______________

y = _______________

Solución del problema:

Recta 1 Recta 2

x y = __________________ x y = ____________________



Trazo de las gráficas de las dos rectas. Cada división de los ejes de coordenadas puede ser

igual a 1, 2, 500 ó lo que haga falta, sólo es necesario que todas tengan el mismo valor.

Coordenadas del punto de intersec-

ción, a simple vista.

x = ______________

y = ______________

Comprueba el resultado del sistema

sustituyendo en ambas ecuaciones.

Anota el resultado del problema. Recuerda que debes responder la pregunta o preguntas plantea-

das en el mismo.

El uso de dos incógnitas, ¿facilita o dificulta el análisis del

problema? Explica tu respuesta.

¿Qué opinas acerca del método gráfico?

Al trazar las rectas puede ocurrir que no se corten en nin-

gún punto. ¿Cómo se determina la solución en este caso?

También puede suceder que las rectas queden una sobre

la otra. ¿Cuál es la solución?

Análisis del procedimiento

Comparación del uso de una incógnita contra el uso de dos.

Nivel de dificultad para plantear

el problema con dos incógnitas.

Comentarios generales acerca del método gráfico.

¿Qué sucede si las rectas no se cortan en ningún punto? ¿Cómo se encuentra la solución

¿Qué sucede cuando las rectas se empalman una con otra? Es decir, coinciden en todos sus puntos.

Competencias básicas.



(Continuación) Resuelve los siguientes problemas empleando el

método gráfico (utiliza el formato F2).

1. En la fábrica de radiadores “Bryan Sandoval” se ha determinado que las ventas de radiado-

res serán de 900 unidades el próximo mes. El precio de venta por unidad es de $1,650. Los

costos fijos ascienden a $750,000 y los variables son de $990 por pieza. ¿Habrá pérdidas o

ganancias el próximo mes? ¿Cuál es el número de piezas mínimo que se debe vender para

que no haya pérdidas ni ganancias? Si las ventas aumentan 200 unidades por mes ¿en cuán-

tos meses la ganancia será mayor o igual a $1’000,000?

2. El gerente de ingeniería propone llevar a cabo una mejora en el proceso de fabricación de

los radiadores “Bryan Sandoval”. Esta mejora reducirá el costo variable a $900 por pieza,

pero a costa de elevar los costos fijos a $900,000 por mes. Resuelve nuevamente el proble-

ma considerando que los demás datos permanecen constantes y determina si la propuesta

del gerente es conveniente o no para la empresa. Argumenta claramente tu respuesta.


las playeras “Juana Watson”. Esta mejor reducirá el costo variable a $85 por pieza, pero a

costa de elevar los costos fijos a $20,000 por mes. Resuelve nuevamente el problema de las

playeras considerando que los demás datos permanecen constantes y determina si la pro-

puesta del gerente es conveniente o no para el empresa. Argumenta claramente tu respues-

ta.

4. En la fabrica de impresoras “Dariela Espinoza” se ha determinado que las ventas de impre-

soras láser a color serán de 1700 unidades el próximo mes. El precio de venta por unidad es

de $3,970. Los costos fijos ascienden a $1’860,000 y los variables son de $2,720 por pieza.

¿Habrá pérdidas o ganancias el próximo mes? ¿Cuál es el número de piezas mínimo que se

debe vender para que no haya pérdidas ni ganancias? Si las ventas aumentan 200 unidades

por mes ¿en cuántos meses la ganancia será mayor o igual a $1’500,000?


las impresoras láser a color “Dariela Espinoza”. Esta mejor reducirá el costo variable a $2500

por pieza, pero a costa de elevar los costos fijos a $2’000,000 por mes. Resuelve nuevamen-

te el problema de las impresoras láser a color considerando que los demás datos permane-

cen constantes y determina si la propuesta del gerente es conveniente o no para el empre-

sa. Argumenta claramente tu respuesta.

6. En la fabrica de impresoras “Dariela Espinoza” se ha estado comprando un componente cu-

yo costo unitario es de $1100 por pieza, más costos de manejo y transporte de $200 por

pieza. Se está estudiando la posibilidad de fabricar el componente en la empresa, lo cual

requiere un costo fijo de $500,000 y un costo variable de 890 por pieza. ¿Es conveniente

fabricar el componente o seguir comprándolo como hasta ahora?



Resuelve los siguientes ejercicios por el método gráfico.

1. Ecuación uno: 2x - y = 4 Ecuación dos: x + y = 5

Tabulación de las ecuaciones ya despejadas. Tomar tres valores para asegurar que el trazo

es correcto.


igual a 1, 2, ó lo que haga falta, sólo es necesario que todas tengan el mismo valor.

Coordenadas del punto de

intersección, a simple vista.

x = ______________

y = ______________

Comprueba el resultado del

sistema sustituyendo en am-

bas ecuaciones.

Recta 1 Recta 2

x y = __________________ x y = ____________________



2. Ecuación uno: 2x + y = -5 Ecuación dos: x + 3y = 6


es correcto.





x = ______________

y = ______________



bas ecuaciones.

Asegúrate de trazar las rectas con la mayor precisión posible, de otra forma la solución no es correcta y tendremos que estar “ajustando” el valor de las incógnitas para que la comprobación sea correcta.

Recta 1 Recta 2

x y = __________________ x y = ____________________



3. Ecuación uno: 2x + 3y = 3 Ecuación dos: 4x + 6y = 12


es correcto.





x = ______________

y = ______________



bas ecuaciones.

Si la solución del sistema es el punto de intersección de las rectas, ¿cómo podemos interpretar el hecho de que las rectas no se tocan en ningún punto?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Recta 1 Recta 2

x y = __________________ x y = ____________________



La solución de un sistema de ecuaciones por el método gráfico tiene la ventaja de mostrar visualmente el comportamiento de las ecuaciones.

Sólo es cuestión de interpretar la información visual y ponerla en términos matemáticos.

Cuando las rectas se cortan en un punto, las coordenadas de ese punto son la solución del sistema.

Cuando las rectas son paralelas, no se tocan en ningún punto, así que el sistema no tiene solución.

Cuando las rectas se empalman una con otra, se tocan en todos sus puntos, de modo que el sistema tiene infinidad de soluciones.

Soluciones de sistemas de 2x2.

Clasificación de sistemas de 2x2.

Los sistemas de ecuaciones se

clasifican de acuerdo con el

comportamiento de las solucio-

nes del mismo: Consistentes,

independientes, etc.

Consulta la clasificación de los sistemas de ecuaciones, resuelve los siguientes ejer-cicios y clasifícalos de acuerdo a la consulta realizada..

Resuelve los ejercicios obteniendo 10 fotocopias del Formato 2 y anota aquí solamente lo que se indica.

Ecuación 1 Ecuación 2 Solución Clasificación

1. 4x - 6y = 2 -6x + 9y = -3 x = _____ y = _____ ______________________________

2. 2x + 5y = – 6 – x + 3y = 3 x = _____ y = _____ ______________________________

3. 5x + 3y = 3 3x – y = 13 x = _____ y = _____ ______________________________

4. 4x – 6y = 8 – 6x + 9y = – 12 x = _____ y = _____ ______________________________

5. – 2x + y = 3 4x – 2y = – 5 x = _____ y = _____ ______________________________

6. 12x-10 y =5 -3x + 2.5y = 4 x = _____ y = _____ ______________________________

7. 4x + 3y = – 2 x + y = 1 x = _____ y = _____ ______________________________

8. – 2x + 7y = 1 4x – 14y = – 2 x = _____ y = _____ ______________________________

9. 3x – 2y = 1 – x + y = 2 x = _____ y = _____ ______________________________

10. 2x – 7y = – 2 – 2x + 9y = – 2 x = _____ y = _____ ______________________________



Anota tres desventajas del método gráfico:

1. _________________________________________________

2. _________________________________________________

3. _________________________________________________

Por estas y otras desventajas, vamos a estudiar tres métodos algebraicos para la solución de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Los tres métodos emplean algún artificio algebraico para eliminar una de las incógnitas y obtener una ecuación de primer grado con una incógnita, que se resuelve despejando.

Uno de los pasos del procedimiento en cada caso es el que le da nombre al mé-todo.

Soluciones algebraicas de sistemas de 2x2. Otros métodos de solución de

sistemas de 2x2.

El método gráfico tiene venta-

jas para resolver sistemas de

2x2, pero también presenta

algunas desventajas, por ello,

se recurre frecuentemente a

métodos analíticos o algebrai-

cos de solución.

Resuelve el siguiente problema de razonamiento empleando dos incógnitas. Des-pués trata de resolver el sistema resultante por el método gráfico y toma nota de las dificultades que encuentres.

1. La fábrica de artefactos UTT cuenta con dos plantas de producción. En la planta 1 los costos fijos son de $ 12000 por año y los costos variables son de $70 por pieza. En la planta 2 los cos-tos fijos son de $15000 por año y los variables de $60 por pieza producida. El año próximo se requiere producir un total de 1200 piezas. Si se desea que el costo total sea el mismo en las dos plantas, ¿cuántas piezas deben fabricarse en cada planta?

El planteamiento del problema ya lo conocemos, completa la tabla siguiente.

*No olvides considerar dos incógnitas.

Cantidad desconoci-

da

Información que podemos

utilizar

Expresada en len-


Piezas producidas en

la planta 1

Piezas fabricadas en

la planta 2

Costo total en la

planta 1

Costo total en la

planta 2



Ahora vamos a obtener las ecuaciones y resolver por el método gráfico.

Ahora vamos a resolver el sistema por el método gráfico.


es correcto.



La gráfica está a la vuelta.

Recta 1 Recta 2

x y = __________________ x y = ____________________


El costo total se calcula sumando los costos fijos y los varia-bles. Los costos variables se obtiene multiplicando el costo unitario por la cantidad de piezas producidas.

C Total = C Fijo + C Unitario x Número de piezas.

Deben obtenerse dos ecuaciones, una para cada planta.

Obtención de las ecuaciones:

CT = CF + CU (NP)

Planta 1: y =

Planta 2: y =



Ecuación 1: y = _____________________________

Ecuación 2: y = _____________________________


x = _______________

y = _______________




Gráfica del sistema:

Coordenadas del punto de intersección, a simple vista. Comprobación

x = ______________ y = ______________

Justamente esta es una de las desventajas del método gráfico; no siempre es sencillo determinar las coor-

denadas del punto de intersección. Tal vez podamos acertar en algunos casos probando valores y ajustan-

do hasta que la comprobación nos indique que la respuesta es correcta, pero es preferible emplear otros

métodos.



Cuando las coordenadas del punto de intersección de las rectas no son fáciles de estimar a simple vista, es

preferible recurrir a métodos algebraicos, veamos el procedimiento para el método de igualación.

Como ya dijimos, en los métodos algebraicos la estrategia consiste en tomar las dos ecuaciones con dos

incógnitas y obtener una ecuación de primer grado con una incógnita.

Despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita. En este caso ya está despejada la ‘y’, así que sim-

plemente escribimos las dos ecuaciones:

“Igualar” las dos ecuaciones,

aplicando la propiedad transiti-

va de la igualdad.

Resolver la ecuación de primer grado que se obtuvo en el paso anterior, obtener el valor de equis.

Sustituir el valor de equis en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas para obtener el valor de

ye.

Comprobar el resultado sustituyendo en ambas ecuaciones.

Ecuación

1

Ecuación

2

=

Valor de la

incógnita: ___ =

Valor de la

incógnita: ___ =



Resuelve los siguientes ejercicios por el método de igualación. Com-

prueba el resultado en todos los problemas. Utiliza el Formato 3 para

el planteamiento del problema y el 4 para la solución del sistema.

1. La máquina de Atwood consiste de una polea simple con dos masas suspendidas de ambos extremos de una cuerda (ver figura). Determina la tensión en la cuerda y la aceleración del sistema al ser liberado. Las ecuaciones se obtendrán por medio de conocimientos de física, específicamente del la segunda ley de Newton. En vista de que la finalidad es dar un ejemplo de aplicación, se proporcionan las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema para ambas masas:

T = m1 g + m1 a T = m2 g – m2 a

T = Tensión en la cuerda g = aceleración de la gravedad a = aceleración del sistema

2. Secundino, la tortuga, sale del punto de partida y mantiene una velocidad de 9 km/h. Cinco minutos más tarde, Vittorio, la liebre, sale del mismo lugar y hace el mismo recorrido con una velocidad de 12 km/h. ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo corredor al primero? ¿Qué distancia han recorrido cuando lo alcanza?

Los siguientes ejercicios solamente son sistemas de 2x2, resuélvelos por igualación en el formato 4.

3. Ecuación 1: x - 2y = 6 Ecuación 2: x + 3y = -9

4. Ecuación 1: 3x - y = 5 Ecuación 2: x + 7y = -4

5. Ecuación 1: 6x - 7y = 2 Ecuación 2: 4x + 8y = 11

6. Ecuación 1: -9x - 5y = 2 Ecuación 2: 4x - 7y = -12

7. Ecuación 1: 2x = 5y - 4 Ecuación 2: 5x = -7y -10

8. Ecuación 1: 2x = 5y - 3 Ecuación 2: 7y = -5x -10

9. Ecuación 1: 3y = 5x - 9 Ecuación 2: 6y = -4x -11

10. Ecuación 1: 7x = 5y + 6 Ecuación 2: 10y = 14x -12

Este último ejercicio (10) presenta características espe-ciales. Resuélvelo gráficamente en el formato 2 y podrás entender qué sucede. Traza la gráfica en el plano de coordenadas de la derecha.

Explica detalladamente qué sucede con este problema.

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________



El método de reducción emplea un artificio de suma algebraica para eliminar una de las incógnitas, por eso

recibe el nombre de suma-resta o de eliminación.

Independientemente del método que utilicemos para resolver el sistema de ecuaciones, estos provienen

del planteamiento de un problema.

Plantea el siguiente problema empleando un sistema de 2x2 , luego re-

suélvelo por el método de reducción.

1. ¿Qué cantidad de ácido clorhídrico al 22% se debe mezclar con 60 ml de ácido clorhídrico al 8% para obtener el ácido al 12% que se requiere en cierto experimento?

Para plantear el problema debes recordar que el porcentaje de

concentración indica el contenido de ácido por unidad de volumen,

es decir, de cada litro sólo un 22% es ácido (220 ml), el resto es di-

solvente.

Vamos a considerar dos cantidades desconocidas, ¿cuáles son?

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Además de estas dos cantidades desconocidas, será necesario emplear otras dos, relacionadas con la

concentración (contenido) del ácido en cuestión.

Obtención de las ecuaciones a la vuelta.

Cantidad desconoci-

da


utilizar

Expresada en len-




Completa la información faltante en la siguiente tabla.

Aplicación del método de reducción para determinar el valor de las incógnitas.

Ordenar las ecuaciones en forma general: Ax + By = C

Multiplicar cada ecuación por un número tal que, al sumarse algebraicamente, se elimine una de las

incógnitas.

Tercer paso a la vuelta.





Ecuación 1: y = _____________________________

Ecuación 2: y = _____________________________


x = _______________

y = _______________


Ecuación 1 Ecuación 2

Ecuación 1 Multiplicada

por _____

Ecuación 2 Multiplicada

por _____

Ecuación 3 Se obtiene sumando algebraicamente las dos ecuacio-

nes de la derecha.



Resolver la ecuación de primer grado que se obtuvo en el paso anterior

(Ecuación 3) para obtener el valor de una de las incógnitas (despejar).

Sustituir el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de las

otras dos ecuaciones para obtener el valor de la incógnita faltante.


Explica el procedimiento para elegir por cuánto debe multiplicarse cada ecuación para eliminar una de las

incógnitas.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Valor de la

incógnita: ___ =

Valor de la

incógnita: ___ =



Resuelve los siguientes ejercicios por el método de reducción. Com-

prueba el resultado en todos los problemas. Utiliza el Formato 3 para

el planteamiento del problema y el 5 para la solución del sistema.

1. Dos automóviles salen del mismo punto y viajan en direcciones opuestas. El auto ‘A’ viaja 15 km/h más rápido que el ‘B’. Después de tres horas se encuentran a una distancia de 465 km uno de otro. ¿A qué velocidad está viajando cada automóvil? ¿Y qué distancia recorrió cada automóvil?

2. Piolín Adame tiene $15,000 invertidos al 5.4% de interés. ¿Cuánto debe invertir al 12% para que su in-versión total le deje una ganancia del 6.6%?

Los siguientes ejercicios solamente son sistemas de 2x2, resuélvelos por reducción en el formato 5.

3. Ecuación 1: 3x + 4y = -1 Ecuación 2: 2x - 2y = 11

4. Ecuación 1: 3x + 2y = 2 Ecuación 2: 4x - 5y = -28

5. Ecuación 1: x - y = 2 Ecuación 2: -5x + 5y = -10

¿Qué sucedió en este último ejercicio? _______________________________________________________

¿Cómo vamos a despejar ? _________________________________________________________________

Seguramente tienes una idea de lo que está sucediendo. Explícalo:

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Resuelve el ejercicio gráficamente en el formato 2 para entender qué suce-de. Traza la gráfica en el plano de coordenadas de la derecha.

Explica detalladamente qué sucede con este problema.

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________



Al igual que en los otros métodos analíticos, la estrategia consiste en obtener una ecuación con una sola

incógnita. El procedimiento se basa en despejar una de las incógnitas y sustituir el resultado en la otra

ecuación.

Plantea el siguiente problema con un sistema de 2x2, luego resuélvelo

por el método de sustitución.

1. Los boletos para el concierto de Mago de Oz se vendieron a $550 los de VIP y a

$375 los numerados. Si la venta total de 520 boletos fue de $244,875 ¿cuántos

boletos de cada clase se vendieron?

¿Cuáles son las cantidades desconocidas?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Completa las tablas siguientes.

Cantidad desconoci-

da


utilizar

Expresada en len-






Completa la tabla siguiente después de resolver el sistema de ecuaciones.

Aplicación del método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.

Despejar en cualquiera de las dos ecuaciones una de las incógnitas, puede ser equis o ye.

Sustituir en la otra ecuación.

Resolver la ecuación de primer grado que se obtuvo en el paso anterior para obtener el valor de una

de las incógnitas (despejar).

Sustituir el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas para ob-

tener el valor de la incógnita faltante.



Ecuación 1: y = _____________________________

Ecuación 2: y = _____________________________


x = _______________

y = _______________


Ecuación

número ___

Despejar incóg-

nita _____

Ecuación

número ___ Sustituyendo

Valor de la

incógnita: ___ =

Valor de la

incógnita: ___ =




Plantea los siguiente problemas de razonamiento empleando dos in-

cógnitas (Formato 3), luego resuelve el sistema por el método de sus-

titución (Formato 6).

1. Leonorildo Daniel compró un automóvil que, según la publicidad, ofrecía un rendi-

miento de 12 km por litro de gasolina en la ciudad y 18 km/l en la carretera. En un

viaje de negocios utilizó 51 litros de gasolina ara recorrer 840 km. Si suponemos que

el rendimiento anunciado es correcto, ¿cuántos kilómetros recorrió en la ciudad y

cuántos en carretera?

2. Abigail Ford y Alejandro Chevrolet tienen radiotransmisores con un alcance máximo de 4.5

km. Abigail comienza a caminar hacia el oeste a las 2:00 de la tarde con una velocidad de 4

km/h. Alejandro sale del mismo lugar 18 minutos más tarde y camina hacia el este con una

velocidad de 5 km/h. ¿A qué hora los radios van a estar fuera de alcance?

3. Ecuación 1: x - 2y = 6 Ecuación 2: x + 3y = -9

4. Ecuación 1: 3x - y = 5 Ecuación 2: x + 7y = -4

5. Ecuación 1: 6x - 7y = 2 Ecuación 2: 4x + 8y = 11

6. Ecuación 1: -9x - 5y = 2 Ecuación 2: 4x - 7y = -12

7. Ecuación 1: 2x = 5y - 4 Ecuación 2: 5x = -7y -10

8. Ecuación 1: 2x = 5y - 3 Ecuación 2: 7y = -5x -10

9. Ecuación 1: 3y = 5x - 9 Ecuación 2: 6y = -4x -11

10. Ecuación 1: 7x = 5y + 6 Ecuación 2: 10y = 14x -12

En los ejercicios del 3 al 10 sólo resuélve-

los por el método de sustitución.

Si se presenta algún sistema que no tenga

solución, o tenga infinidad de ellas, resuél-

velo también por método gráfico (Formato

2) para observar que sucede.

No olvides clasificar los sistemas con base

en el número de soluciones que tiene: Con-

sistentes, dependientes, etc.

Inventa un problema de razonamiento que se pueda resolver con un sistema de

dos ecuaciones con dos incógnitas.

Elabora el planteamiento en el formato 3, y resuélvelo por todos los métodos em-

pleando los formatos 2,4,5 y 6.

Compara los procedimientos y resultados obtenidos destacando los puntos más

difíciles del proceso de solución.

Trata de ser original, no solamente cambies los datos.

Capacidad de síntesis

Observa atentamente las carac-terísticas de los problemas de razonamiento.

Identifica qué datos se necesita

proporcionar




Espacio para el problema inventado por el alumno.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

¿Cómo afecta el uso de dos incógnitas al planteamiento de cualquier problema?

¿Qué ventajas presenta el método gráfico contra los métodos algebraicos?

¿Qué desventajas presenta el método gráfico contra los métodos algebraicos?

¿Cuál es la estrategia fundamental de los métodos algebraicos?

¿Qué sucede en cada método cuando el sistema no tiene solución?

M. de igualación: _____________________________________________________

M. de reducción: _____________________________________________________

M. de sustitución: ____________________________________________________

¿Qué sucede en cada método cuando el sistema tiene infinidad de soluciones?

M. de igualación: _____________________________________________________

M. de reducción: _____________________________________________________

M. de sustitución: ____________________________________________________

Comentarios generales:

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Análisis de los métodos

Análisis de la solución de proble-mas con una y dos incógnitas.

Comparación entre el método

gráfico y los métodos algebrai-

cos.

Análisis de los métodos algebrai-

cos

Comparación entre los diversos

métodos algebraicos.

Sistemas con una solución, infini-

dad de soluciones y sin solución

en cada método

Clasificación de los sistemas con

base en sus soluciones.

Una solución:

___________________________

Infinidad de Soluciones:

___________________________

Ninguna solución:

___________________________




Proyecto integrador: Elabora una hoja de cálculo en Excel que resuelva sistemas de

dos ecuaciones con dos incógnitas por el método que se te indique.

Características del proyecto, lista de verificación.

1. Entregar a tiempo, valor total del trabajo = 100 puntos

2. Entregar un día después, valor total = 50 puntos

3. Enviar por email 10 puntos

4. Funciona con un ejemplo 10 puntos

5. Funciona con diferentes ejemplos 20 puntos

6. No indica errores al faltar datos 15 puntos

7. Contiene explicaciones acerca del método 10 puntos

8. Contiene explicaciones acerca del uso 10 puntos

9. Incluye las gráficas de las rectas 15 puntos

10.Muestra claramente todos los pasos 10 puntos

En todos los métodos debe aparecer la gráfica para mostrar visualmente cuando el sistema no tiene

solución, cuando tiene una solución y cuando tiene infinidad de soluciones.

Utiliza la herramienta de Excel “Insertar comentario” para incluir explicaciones más detalladas cuando sea

pertinente.

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Resolver el sistema por el método gráfico.

Sistema de ecuaciones que se va a resolver.

+ 1 x + 3 y = - 5

+ 5 x - 5 y = + 15

Tabulación:

x y x y

- 8 1.00 - 8 -11.00

- 2 -1.00 - 2 -5.00

- 1 -1.33 - 1 -4.00

0 -1.67 0 -3.00

+ 1 -2.00 + 1 -2.00

+ 2 -2.33 + 2 -1.00

+ 8 -4.33 + 8 5.00

La solución se encuentra en el punto

de intersección de las rectas:

x = + 1.0

y = - 2.0

Recta 1 Recta 2

Comprobación:

En la ecuación 1

+ 1 x + 3 y = - 5

+ 1 ( 1 ) + 3 ( -2 ) = - 5+ 1.0 - 6.0 = - 5

- 5.0 = - 5

Exacto

En la ecuación 2

+ 5 x - 5 y = + 15

+ 5 ( 1 ) - 5 ( -2 ) = + 15

+ 5.0 + 10.0 = + 15

+ 15.0 = + 15

Exacto

math u2 algebra

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