math u2 algebra

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Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incgnitas

Los mtodos que estudiaremos son cuatro:

1. Mtodo grfico

Mtodos analticos o algebraicos:

2. Reduccin o sumaresta

3. Sustitucin

4. Igualacin

Durante la resolucin de los ejercicios identifica las ventajas y desventajas de cada mtodo. Adems observa cmo, en cualquiera de los mtodos algebraicos , se elimina una de las incgnitas y slo hay que resolver una ecuacin de primer grado con una incgnita.

Independientemente del mtodo empleado, el valor de la incgnita que se obtie-ne primero, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obte-ner el valor de la segunda incgnita.

Resolucin de sistemas de 2x2.

Los mtodos de solucin.

Los sistemas de 2x2 pueden ser re-

sueltos por diferentes mtodos.

Con excepcin del mtodo grfico, en

todos los casos se trata de eliminar

una de las incgnitas y resolver una

ecuacin de primer grado con una

incgnita.

Dependiendo del artificio que se

emplea para eliminar una de las in-

cgnitas, es el nombre que recibe el

mtodo: reduccin, sustitucin o

igualacin.

Los sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas tambin surgen de problemas de razonamiento. Completa el siguiente problema desde su planteamiento hasta la solucin por el mtodo grfico.

El mtodo grfico.

Como su nombre lo indica, consiste en representar grficamente las ecuaciones y determinar, por observacin, las coordenadas del punto de interseccin. Estas coordenadas son la solucin del problema.

1. La fbrica de playeras Juana Watson tiene costos fijos de $17000 por mes y el costo unitario es de $100. El precio de venta de las playeras es de $120 la pieza. Encuentra las ecuaciones de costo y de ingreso para esta fbrica, determina las ganancias mensuales si se venden 1200 piezas y encuentra el punto de equilibrio, es decir, la cantidad de piezas que se deben fabricar y vender para que no haya prdidas ni ganancias.

* Para simplificar el modelo, se supondr que todas las piezas fabricadas, se venden

La ecuacin de costo o funcin de costo se determina sumando el costo fijo ms el costo va-riable, pero debemos tener en cuenta que el costo variable depende del nmero de piezas que se fabriquen, este nmero de piezas ser la incgnita equis (x). El costo total se puede representar como CT.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________



Vamos a utilizar la tabla que siempre hemos empleado para organizar la informacin.

Procedimiento de solucin de un sistema de 2x2 por el mtodo grfico.

Tabulacin de las ecuaciones ya despejadas. Tomar tres valores de equis para asegurar que

el trazo es correcto.

Cantidad desconocida Informacin que podemos

utilizar

Expresada en len-

guaje algebraico Argumentos o razones

Piezas producidas Incgnita x No tenemos informacin acerca del nme-

ro de piezas que se van a producir.

Piezas vendidas Se supone que se venden

todas las piezas fabricadas x

Cantidades iguales se representan con la

misma incgnita

Costo total Incgnita y Cantidades diferentes se representan

con distintas incgnitas

Ingresos En el punto de equilibrio, los ingre-

sos son iguales al costo total y

Se representa con la misma incgnita que

el costo total.

Conocimientos o informacin complementaria:

El costo total se calcula sumando los costos fijos y los varia-bles. Los costos variables se obtiene multiplicando el costo unitario por la cantidad de piezas producidas.

C Total = C Fijo + C Unitario x Nmero de piezas.

El ingreso se obtiene multiplicando nmero de piezas vendi-das por el precio de venta.

Obtencin de la ecuacin:

CT = CF + CU (NP)

Costo total: y = 17000 + 100 (x)

Ingreso: ______________________________

Resolucin del sistema de 2x2:

La solucin se lleva a cabo por separado, en este recuadro anota solamente las ecuaciones con la variable y despejada, y la solucin del sistema, es decir, los valores de x, y.

Ecuacin 1: y = _____________________________

Ecuacin 2: y = _____________________________

Valores de las incgnitas:

x = _______________

y = _______________

Solucin del problema:

Recta 1 Recta 2

x y = __________________ x y = ____________________



Trazo de las grficas de las dos rectas. Cada divisin de los ejes de coordenadas puede ser

igual a 1, 2, 500 lo que haga falta, slo es necesario que todas tengan el mismo valor.

Coordenadas del punto de intersec-

cin, a simple vista.

x = ______________

y = ______________

Comprueba el resultado del sistema

sustituyendo en ambas ecuaciones.

Anota el resultado del problema. Recuerda que debes responder la pregunta o preguntas plantea-

das en el mismo.

El uso de dos incgnitas, facilita o dificulta el anlisis del

problema? Explica tu respuesta.

Qu opinas acerca del mtodo grfico?

Al trazar las rectas puede ocurrir que no se corten en nin-

gn punto. Cmo se determina la solucin en este caso?

Tambin puede suceder que las rectas queden una sobre

la otra. Cul es la solucin?

Anlisis del procedimiento

Comparacin del uso de una incgnita contra el uso de dos.

Nivel de dificultad para plantear

el problema con dos incgnitas.

Comentarios generales acerca del mtodo grfico.

Qu sucede si las rectas no se cortan en ningn punto? Cmo se encuentra la solucin

Qu sucede cuando las rectas se empalman una con otra? Es decir, coinciden en todos sus puntos.

Competencias bsicas.



(Continuacin) Resuelve los siguientes problemas empleando el

mtodo grfico (utiliza el formato F2).

1. En la fbrica de radiadores Bryan Sandoval se ha determinado que las ventas de radiado-

res sern de 900 unidades el prximo mes. El precio de venta por unidad es de $1,650. Los

costos fijos ascienden a $750,000 y los variables son de $990 por pieza. Habr prdidas o

ganancias el prximo mes? Cul es el nmero de piezas mnimo que se debe vender para

que no haya prdidas ni ganancias? Si las ventas aumentan 200 unidades por mes en cun-

tos meses la ganancia ser mayor o igual a $1000,000?

2. El gerente de ingeniera propone llevar a cabo una mejora en el proceso de fabricacin de

los radiadores Bryan Sandoval. Esta mejora reducir el costo variable a $900 por pieza,

pero a costa de elevar los costos fijos a $900,000 por mes. Resuelve nuevamente el proble-

ma considerando que los dems datos permanecen constantes y determina si la propuesta

del gerente es conveniente o no para la empresa. Argumenta claramente tu respuesta.


las playeras Juana Watson. Esta mejor reducir el costo variable a $85 por pieza, pero a

costa de elevar los costos fijos a $20,000 por mes. Resuelve nuevamente el problema de las

playeras considerando que los dems datos permanecen constantes y determina si la pro-

puesta del gerente es conveniente o no para el empresa. Argumenta claramente tu respues-

ta.

4. En la fabrica de impresoras Dariela Espinoza se ha determinado que las ventas de impre-

soras lser a color sern de 1700 unidades el prximo mes. El precio de venta por unidad es

de $3,970. Los costos fijos ascienden a $1860,000 y los variables son de $2,720 por pieza.

Habr prdidas o ganancias el prximo mes? Cul es el nmero de piezas mnimo que se

debe vender para que no haya prdidas ni ganancias? Si las ventas aumentan 200 unidades

por mes en cuntos meses la ganancia ser mayor o igual a $1500,000?


las impresoras lser a color Dariela Espinoza. Esta mejor reducir el costo variable a $2500

por pieza, pero a costa de elevar los costos fijos a $2000,000 por mes. Resuelve nuevamen-

te el problema de las impresoras lser a color considerando que los dems datos permane-

cen constantes y determina si la propuesta del gerente es conveniente o no para el empre-

sa. Argumenta claramente tu respuesta.

6. En la fabrica de impresoras Dariela Espinoza se ha estado comprando un componente cu-

yo costo unitario es de $1100 por pieza, ms costos de manejo y transporte de $200 por

pieza. Se est estudiando la posibilidad de fabricar el componente en la empresa, lo cual

requiere un costo fijo de $500,000 y un costo variable de 890 por pieza. Es conveniente

fabricar el componente o seguir comprndolo como hasta ahora?



Resuelve los siguientes ejercicios por el mtodo grfico.

1. Ecuacin uno: 2x - y = 4 Ecuacin dos: x + y = 5

Tabulacin de las ecuaciones ya despejadas. Tomar tres valores para asegurar que el trazo

es correcto.


igual a 1, 2, lo que haga falta, slo es necesario que todas tengan el mismo valor.

Coordenadas del punto de

interseccin, a simple vista.

x = ______________

y = ______________

Comprueba el resultado del

sistema sustituyendo en am-

bas ecuaciones.

Recta 1 Recta 2

x y = __________________ x y = ____________________



2. Ecuacin uno: 2x + y = -5 Ecuacin dos: x + 3y = 6


es correcto.





x = ______________

y = ______________



bas ecuaciones.

Asegrate de trazar las rectas con la mayor precisin posible, de otra forma la solucin no es correcta y tendremos que estar ajustando el valor de las incgnitas para que la comprobacin sea correcta.

Recta 1 Recta 2

x y = __________________ x y = ____________________



3. Ecuacin uno: 2x + 3y = 3 Ecuacin dos: 4x + 6y = 12


es correcto.





x = ______________

y = ______________



bas ecuaciones.

Si la solucin del sistema es el punto de interseccin de las rectas, cmo podemos interpretar el hecho de que las rectas no se tocan en ningn punto?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Recta 1 Recta 2

x y = __________________ x y = ____________________



La solucin de un sistema de ecuaciones por el mtodo grfico tiene la ventaja de mostrar visualmente el comportamiento de las ecuaciones.

Slo es cuestin de interpretar la informacin visual y ponerla en trminos matemticos.

Cuando las rectas se cortan en un punto, las coordenadas de ese punto son la solucin del sistema.

Cuando las rectas son paralelas, no se tocan en ningn punto, as que el sistema no tiene solucin.

Cuando las rectas se empalman una con otra, se tocan en todos sus puntos, de modo que el sistema tiene infinidad de soluciones.

Soluciones de sistemas de 2x2.

Clasificacin de sistemas de 2x2.

Los sistemas de ecuaciones se

clasifican de acuerdo con el

comportamiento de las solucio-

nes del mismo: Consistentes,

independientes, etc.

Consulta la clasificacin de los sistemas de ecuaciones, resuelve los siguientes ejer-cicios y clasifcalos de acuerdo a la consulta realizada..

Resuelve los ejercicios obteniendo 10 fotocopias del Formato 2 y anota aqu solamente lo que se indica.

Ecuacin 1 Ecuacin 2 Solucin Clasificacin

1. 4x - 6y = 2 -6x + 9y = -3 x = _____ y = _____ ______________________________

2. 2x + 5y = 6 x + 3y = 3 x = _____ y = _____ ______________________________

3. 5x + 3y = 3 3x y = 13 x = _____ y = _____ ______________________________

4. 4x 6y = 8 6x + 9y = 12 x = _____ y = _____ ______________________________

5. 2x + y = 3 4x 2y = 5 x = _____ y = _____ ______________________________

6. 12x-10 y =5 -3x + 2.5y = 4 x = _____ y = _____ ______________________________

7. 4x + 3y = 2 x + y = 1 x = _____ y = _____ ______________________________

8. 2x + 7y = 1 4x 14y = 2 x = _____ y = _____ ______________________________

9. 3x 2y = 1 x + y = 2 x = _____ y = _____ ______________________________

10. 2x 7y = 2 2x + 9y = 2 x = _____ y = _____ ______________________________



Anota tres desventajas del mtodo grfico:

1. _________________________________________________

2. _________________________________________________

3. _________________________________________________

Por estas y otras desventajas, vamos a estudiar tres mtodos algebraicos para la solucin de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incgnitas.

Los tres mtodos emplean algn artificio algebraico para eliminar una de las incgnitas y obtener una ecuacin de primer grado con una incgnita, que se resuelve despejando.

Uno de los pasos del procedimiento en cada caso es el que le da nombre al m-todo.

Soluciones algebraicas de sistemas de 2x2. Otros mtodos de solucin de

sistemas de 2x2.

El mtodo grfico tiene venta-

jas para resolver sistemas de

2x2, pero tambin presenta

algunas desventajas, por ello,

se recurre frecuentemente a

mtodos analticos o algebrai-

cos de solucin.

Resuelve el siguiente problema de razonamiento empleando dos incgnitas. Des-pus trata de resolver el sistema resultante por el mtodo grfico y toma nota de las dificultades que encuentres.

1. La fbrica de artefactos UTT cuenta con dos plantas de produccin. En la planta 1 los costos fijos son de $ 12000 por ao y los costos variables son de $70 por pieza. En la planta 2 los cos-tos fijos son de $15000 por ao y los variables de $60 por pieza producida. El ao prximo se requiere producir un total de 1200 piezas. Si se desea que el costo total sea el mismo en las dos plantas, cuntas piezas deben fabricarse en cada planta?

El planteamiento del problema ya lo conocemos, completa la tabla siguiente.

*No olvides considerar dos incgnitas.

Cantidad desconoci-

da

Informacin que podemos

utilizar

Expresada en len-


Piezas producidas en

la planta 1

Piezas fabricadas en

la planta 2

Costo total en la

planta 1

Costo total en la

planta 2



Ahora vamos a obtener las ecuaciones y resolver por el mtodo grfico.

Ahora vamos a resolver el sistema por el mtodo grfico.


es correcto.



La grfica est a la vuelta.

Recta 1 Recta 2

x y = __________________ x y = ____________________


El costo total se calcula sumando los costos fijos y los varia-bles. Los costos variables se obtiene multiplicando el costo unitario por la cantidad de piezas producidas.

C Total = C Fijo + C Unitario x Nmero de piezas.

Deben obtenerse dos ecuaciones, una para cada planta.

Obtencin de las ecuaciones:

CT = CF + CU (NP)

Planta 1: y =

Planta 2: y =



Ecuacin 1: y = _____________________________

Ecuacin 2: y = _____________________________


x = _______________

y = _______________




Grfica del sistema:

Coordenadas del punto de interseccin, a simple vista. Comprobacin

x = ______________ y = ______________

Justamente esta es una de las desventajas del mtodo grfico; no siempre es sencillo determinar las coor-

denadas del punto de interseccin. Tal vez podamos acertar en algunos casos probando valores y ajustan-

do hasta que la comprobacin nos indique que la respuesta es correcta, pero es preferible emplear otros

mtodos.



Cuando las coordenadas del punto de interseccin de las rectas no son fciles de estimar a simple vista, es

preferible recurrir a mtodos algebraicos, veamos el procedimiento para el mtodo de igualacin.

Como ya dijimos, en los mtodos algebraicos la estrategia consiste en tomar las dos ecuaciones con dos

incgnitas y obtener una ecuacin de primer grado con una incgnita.

Despejar en las dos ecuaciones la misma incgnita. En este caso ya est despejada la y, as que sim-

plemente escribimos las dos ecuaciones:

Igualar las dos ecuaciones,

aplicando la propiedad transiti-

va de la igualdad.

Resolver la ecuacin de primer grado que se obtuvo en el paso anterior, obtener el valor de equis.

Sustituir el valor de equis en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas para obtener el valor de

ye.

Comprobar el resultado sustituyendo en ambas ecuaciones.

Ecuacin

1

Ecuacin

2

=

Valor de la

incgnita: ___ =

Valor de la

incgnita: ___ =



Resuelve los siguientes ejercicios por el mtodo de igualacin. Com-

prueba el resultado en todos los problemas. Utiliza el Formato 3 para

el planteamiento del problema y el 4 para la solucin del sistema.

1. La mquina de Atwood consiste de una polea simple con dos masas suspendidas de ambos extremos de una cuerda (ver figura). Determina la tensin en la cuerda y la aceleracin del sistema al ser liberado. Las ecuaciones se obtendrn por medio de conocimientos de fsica, especficamente del la segunda ley de Newton. En vista de que la finalidad es dar un ejemplo de aplicacin, se proporcionan las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema para ambas masas:

T = m1 g + m1 a T = m2 g m2 a

T = Tensin en la cuerda g = aceleracin de la gravedad a = aceleracin del sistema

2. Secundino, la tortuga, sale del punto de partida y mantiene una velocidad de 9 km/h. Cinco minutos ms tarde, Vittorio, la liebre, sale del mismo lugar y hace el mismo recorrido con una velocidad de 12 km/h. En cunto tiempo alcanza el segundo corredor al primero? Qu distancia han recorrido cuando lo alcanza?

Los siguientes ejercicios solamente son sistemas de 2x2, resulvelos por igualacin en el formato 4.

3. Ecuacin 1: x - 2y = 6 Ecuacin 2: x + 3y = -9

4. Ecuacin 1: 3x - y = 5 Ecuacin 2: x + 7y = -4

5. Ecuacin 1: 6x - 7y = 2 Ecuacin 2: 4x + 8y = 11

6. Ecuacin 1: -9x - 5y = 2 Ecuacin 2: 4x - 7y = -12

7. Ecuacin 1: 2x = 5y - 4 Ecuacin 2: 5x = -7y -10

8. Ecuacin 1: 2x = 5y - 3 Ecuacin 2: 7y = -5x -10

9. Ecuacin 1: 3y = 5x - 9 Ecuacin 2: 6y = -4x -11

10. Ecuacin 1: 7x = 5y + 6 Ecuacin 2: 10y = 14x -12

Este ltimo ejercicio (10) presenta caractersticas espe-ciales. Resulvelo grficamente en el formato 2 y podrs entender qu sucede. Traza la grfica en el plano de coordenadas de la derecha.

Explica detalladamente qu sucede con este problema.

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________



El mtodo de reduccin emplea un artificio de suma algebraica para eliminar una de las incgnitas, por eso

recibe el nombre de suma-resta o de eliminacin.

Independientemente del mtodo que utilicemos para resolver el sistema de ecuaciones, estos provienen

del planteamiento de un problema.

Plantea el siguiente problema empleando un sistema de 2x2 , luego re-

sulvelo por el mtodo de reduccin.

1. Qu cantidad de cido clorhdrico al 22% se debe mezclar con 60 ml de cido clorhdrico al 8% para obtener el cido al 12% que se requiere en cierto experimento?

Para plantear el problema debes recordar que el porcentaje de

concentracin indica el contenido de cido por unidad de volumen,

es decir, de cada litro slo un 22% es cido (220 ml), el resto es di-

solvente.

Vamos a considerar dos cantidades desconocidas, cules son?

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Adems de estas dos cantidades desconocidas, ser necesario emplear otras dos, relacionadas con la

concentracin (contenido) del cido en cuestin.

Obtencin de las ecuaciones a la vuelta.

Cantidad desconoci-

da


utilizar

Expresada en len-




Completa la informacin faltante en la siguiente tabla.

Aplicacin del mtodo de reduccin para determinar el valor de las incgnitas.

Ordenar las ecuaciones en forma general: Ax + By = C

Multiplicar cada ecuacin por un nmero tal que, al sumarse algebraicamente, se elimine una de las

incgnitas.

Tercer paso a la vuelta.





Ecuacin 1: y = _____________________________

Ecuacin 2: y = _____________________________


x = _______________

y = _______________


Ecuacin 1 Ecuacin 2

Ecuacin 1 Multiplicada

por _____

Ecuacin 2 Multiplicada

por _____

Ecuacin 3 Se obtiene sumando algebraicamente las dos ecuacio-

nes de la derecha.



Resolver la ecuacin de primer grado que se obtuvo en el paso anterior

(Ecuacin 3) para obtener el valor de una de las incgnitas (despejar).

Sustituir el valor de la incgnita encontrada en cualquiera de las

otras dos ecuaciones para obtener el valor de la incgnita faltante.


Explica el procedimiento para elegir por cunto debe multiplicarse cada ecuacin para eliminar una de las

incgnitas.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Valor de la

incgnita: ___ =

Valor de la

incgnita: ___ =



Resuelve los siguientes ejercicios por el mtodo de reduccin. Com-

prueba el resultado en todos los problemas. Utiliza el Formato 3 para

el planteamiento del problema y el 5 para la solucin del sistema.

1. Dos automviles salen del mismo punto y viajan en direcciones opuestas. El auto A viaja 15 km/h ms rpido que el B. Despus de tres horas se encuentran a una distancia de 465 km uno de otro. A qu velocidad est viajando cada automvil? Y qu distancia recorri cada automvil?

2. Pioln Adame tiene $15,000 invertidos al 5.4% de inters. Cunto debe invertir al 12% para que su in-versin total le deje una ganancia del 6.6%?

Los siguientes ejercicios solamente son sistemas de 2x2, resulvelos por reduccin en el formato 5.

3. Ecuacin 1: 3x + 4y = -1 Ecuacin 2: 2x - 2y = 11

4. Ecuacin 1: 3x + 2y = 2 Ecuacin 2: 4x - 5y = -28

5. Ecuacin 1: x - y = 2 Ecuacin 2: -5x + 5y = -10

Qu sucedi en este ltimo ejercicio? _______________________________________________________

Cmo vamos a despejar ? _________________________________________________________________

Seguramente tienes una idea de lo que est sucediendo. Explcalo:

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Resuelve el ejercicio grficamente en el formato 2 para entender qu suce-de. Traza la grfica en el plano de coordenadas de la derecha.

Explica detalladamente qu sucede con este problema.

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________



Al igual que en los otros mtodos analticos, la estrategia consiste en obtener una ecuacin con una sola

incgnita. El procedimiento se basa en despejar una de las incgnitas y sustituir el resultado en la otra

ecuacin.

Plantea el siguiente problema con un sistema de 2x2, luego resulvelo

por el mtodo de sustitucin.

1. Los boletos para el concierto de Mago de Oz se vendieron a $550 los de VIP y a

$375 los numerados. Si la venta total de 520 boletos fue de $244,875 cuntos

boletos de cada clase se vendieron?

Cules son las cantidades desconocidas?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Completa las tablas siguientes.

Cantidad desconoci-

da


utilizar

Expresada en len-






Completa la tabla siguiente despus de resolver el sistema de ecuaciones.

Aplicacin del mtodo de sustitucin para resolver el sistema de ecuaciones.

Despejar en cualquiera de las dos ecuaciones una de las incgnitas, puede ser equis o ye.

Sustituir en la otra ecuacin.

Resolver la ecuacin de primer grado que se obtuvo en el paso anterior para obtener el valor de una

de las incgnitas (despejar).

Sustituir el valor de la incgnita encontrada en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas para ob-

tener el valor de la incgnita faltante.



Ecuacin 1: y = _____________________________

Ecuacin 2: y = _____________________________


x = _______________

y = _______________


Ecuacin

nmero ___

Despejar incg-

nita _____

Ecuacin

nmero ___ Sustituyendo

Valor de la

incgnita: ___ =

Valor de la

incgnita: ___ =




Plantea los siguiente problemas de razonamiento empleando dos in-

cgnitas (Formato 3), luego resuelve el sistema por el mtodo de sus-

titucin (Formato 6).

1. Leonorildo Daniel compr un automvil que, segn la publicidad, ofreca un rendi-

miento de 12 km por litro de gasolina en la ciudad y 18 km/l en la carretera. En un

viaje de negocios utiliz 51 litros de gasolina ara recorrer 840 km. Si suponemos que

el rendimiento anunciado es correcto, cuntos kilmetros recorri en la ciudad y

cuntos en carretera?

2. Abigail Ford y Alejandro Chevrolet tienen radiotransmisores con un alcance mximo de 4.5

km. Abigail comienza a caminar hacia el oeste a las 2:00 de la tarde con una velocidad de 4

km/h. Alejandro sale del mismo lugar 18 minutos ms tarde y camina hacia el este con una

velocidad de 5 km/h. A qu hora los radios van a estar fuera de alcance?

3. Ecuacin 1: x - 2y = 6 Ecuacin 2: x + 3y = -9

4. Ecuacin 1: 3x - y = 5 Ecuacin 2: x + 7y = -4

5. Ecuacin 1: 6x - 7y = 2 Ecuacin 2: 4x + 8y = 11

6. Ecuacin 1: -9x - 5y = 2 Ecuacin 2: 4x - 7y = -12

7. Ecuacin 1: 2x = 5y - 4 Ecuacin 2: 5x = -7y -10

8. Ecuacin 1: 2x = 5y - 3 Ecuacin 2: 7y = -5x -10

9. Ecuacin 1: 3y = 5x - 9 Ecuacin 2: 6y = -4x -11

10. Ecuacin 1: 7x = 5y + 6 Ecuacin 2: 10y = 14x -12

En los ejercicios del 3 al 10 slo resulve-

los por el mtodo de sustitucin.

Si se presenta algn sistema que no tenga

solucin, o tenga infinidad de ellas, resul-

velo tambin por mtodo grfico (Formato

2) para observar que sucede.

No olvides clasificar los sistemas con base

en el nmero de soluciones que tiene: Con-

sistentes, dependientes, etc.

Inventa un problema de razonamiento que se pueda resolver con un sistema de

dos ecuaciones con dos incgnitas.

Elabora el planteamiento en el formato 3, y resulvelo por todos los mtodos em-

pleando los formatos 2,4,5 y 6.

Compara los procedimientos y resultados obtenidos destacando los puntos ms

difciles del proceso de solucin.

Trata de ser original, no solamente cambies los datos.

Capacidad de sntesis

Observa atentamente las carac-tersticas de los problemas de razonamiento.

Identifica qu datos se necesita

proporcionar




Espacio para el problema inventado por el alumno.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Cmo afecta el uso de dos incgnitas al planteamiento de cualquier problema?

Qu ventajas presenta el mtodo grfico contra los mtodos algebraicos?

Qu desventajas presenta el mtodo grfico contra los mtodos algebraicos?

Cul es la estrategia fundamental de los mtodos algebraicos?

Qu sucede en cada mtodo cuando el sistema no tiene solucin?

M. de igualacin: _____________________________________________________

M. de reduccin: _____________________________________________________

M. de sustitucin: ____________________________________________________

Qu sucede en cada mtodo cuando el sistema tiene infinidad de soluciones?

M. de igualacin: _____________________________________________________

M. de reduccin: _____________________________________________________

M. de sustitucin: ____________________________________________________

Comentarios generales:

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Anlisis de los mtodos

Anlisis de la solucin de proble-mas con una y dos incgnitas.

Comparacin entre el mtodo

grfico y los mtodos algebrai-

cos.

Anlisis de los mtodos algebrai-

cos

Comparacin entre los diversos

mtodos algebraicos.

Sistemas con una solucin, infini-

dad de soluciones y sin solucin

en cada mtodo

Clasificacin de los sistemas con

base en sus soluciones.

Una solucin:

___________________________

Infinidad de Soluciones:

___________________________

Ninguna solucin:

___________________________




Proyecto integrador: Elabora una hoja de clculo en Excel que resuelva sistemas de

dos ecuaciones con dos incgnitas por el mtodo que se te indique.

Caractersticas del proyecto, lista de verificacin.

1. Entregar a tiempo, valor total del trabajo = 100 puntos

2. Entregar un da despus, valor total = 50 puntos

3. Enviar por email 10 puntos

4. Funciona con un ejemplo 10 puntos

5. Funciona con diferentes ejemplos 20 puntos

6. No indica errores al faltar datos 15 puntos

7. Contiene explicaciones acerca del mtodo 10 puntos

8. Contiene explicaciones acerca del uso 10 puntos

9. Incluye las grficas de las rectas 15 puntos

10.Muestra claramente todos los pasos 10 puntos

En todos los mtodos debe aparecer la grfica para mostrar visualmente cuando el sistema no tiene

solucin, cuando tiene una solucin y cuando tiene infinidad de soluciones.

Utiliza la herramienta de Excel Insertar comentario para incluir explicaciones ms detalladas cuando sea

pertinente.

Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas.

Resolver el sistema por el mtodo grfico.

Sistema de ecuaciones que se va a resolver.

+ 1 x + 3 y = - 5

+ 5 x - 5 y = + 15

Tabulacin:

x y x y

- 8 1.00 - 8 -11.00

- 2 -1.00 - 2 -5.00

- 1 -1.33 - 1 -4.00

0 -1.67 0 -3.00+ 1 -2.00 + 1 -2.00

+ 2 -2.33 + 2 -1.00

+ 8 -4.33 + 8 5.00

La solucin se encuentra en el punto

de interseccin de las rectas:

x = + 1.0

y = - 2.0

Recta 1 Recta 2

Comprobacin:

En la ecuacin 1

+ 1 x + 3 y = - 5

+ 1 ( 1 ) + 3 ( -2 ) = - 5+ 1.0 - 6.0 = - 5

- 5.0 = - 5

Exacto

En la ecuacin 2

+ 5 x - 5 y = + 15

+ 5 ( 1 ) - 5 ( -2 ) = + 15

+ 5.0 + 10.0 = + 15

+ 15.0 = + 15

Exacto

math u2 algebra

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