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TABLA DE CONTENIDO Pág

INTRODUCCION 3OBJETIVOS 4

CAPITULO I : TASAS DE INTERES

A. Definición de Interés 5B. Definición de Variables 6C. Tasas comúnmente utilizadas en el sector Financiero 7D. Diagramas Económicos 9E. Interés Simple 10F. Valor futuro y presente de una serie de cuotas iguales 13G. Interés Compuesto 15H. Interés Nominal 16I. Interés Efectivo 18J. Tasas Equivalentes 21K. Interés Multiple 24L. Rentabilidad Neta y Real 26Ejercicios Capitulo I 28

Matematica Financiera

CAPITULO II : EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 31A. Valor futuro de un monto inicia 32B. Valor presente de un monto futuro 34C. Cuota Uniforme 36D. Cuota Uniforme Anticipada 41

E. Rentas Perpetuas 44F. Capitalización Continua 49G. Anualidad Anticipada o Vencida con cuota al final 51H. Cuota Uniforme Diferida 52I. Gradientes 54J. La calculadora financiera 61Taller 1 67Ejercicios Capitulo ii 69

CAPITULO III : EVALUACION ECONOMICA 72A. Valor Presente Neto 73B. Costo Anual Uniforme Equivalente 76C. Tasa Interna de Retorno 78D. La calculadora Financiera 81Ejercicios Capitulo III 85

Juan Carlos Ruiz Sarmiento 2


El módulo de Matemática Financiera o Ingeniería Económica aplicadas al sector empresarial y financiero, tiene como fundamento consolidar los conocimientos en la materia y lograr destreza en el manejo de la calculadora financiera.

Los temas han sido preparados, teniendo como principal objetivo la comprensión, el análisis y la aplicación de técnicas cuantitativas y conceptos teóricos-financieros básicos para la evaluación de alternativas económicas-financieras que posibiliten la toma de decisiones en el campo laboral de los futuros especialistas en finanzas.

El estudio de la Matemática Financiera, sin lugar a dudas, es tratado con gran profundidad en textos universitarios, sin embargo, toman un enfoque más académico-teórico que práctico y aplicativo al sector empresarial y financiero.

Dada la estructura del programa, se pretende exponer los temas de una forma sencilla, evitando deducciones de fórmulas, de tal manera que se dé un enfoque netamente gerencial y con el apoyo de la calculadora financiera.


INTRODUCCION


JUAN CARLOS RUIZ SARMIENTO

Actualización de los temas relacionados con las Matemáticas Financieras de los profesionales de hoy independientemente de su formación.

Permitir a los participantes de la Especialización en Finanzas una mayor claridad y comprensión objetiva de los temas dándoles un énfasis gerencial.

Mediante la utilización de ejemplos y casos prácticos y de la calculadora financiera, lograr fortalecer sus habilidades sobre las cuales gira el manejo financiero de los negocios.

Estudiar las tasas de interés y las diferentes maneras de expresarlas y transformarlas, con el fin de comprender y aplicar las relaciones del valor del dinero y establecer las correspondientes equivalencias.

Conocer y aplicar criterios para la evaluación de proyectos de inversión, selección de alternativas y toma de decisiones en el sector empresarial y financiero haciendo especial énfasis en las entidades bancarias.


OBJETIVOS


TASAS DE INTERES

A. DEFINICION DE INTERES:

Lo que a uno le conviene.

Beneficio que se saca del dinero prestado.

Valor del dinero en el tiempo.

Utilidad o ganancia que genera un capital.

Rendimiento de una inversión.

Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo.

EJEMPLO # 1:

Pedro le presta a Luis la suma de $1’000.000 con la condición de que Luis le devuelva a

Pedro la suma de $1’200.000 dos meses después.



B. DEFINICION DE VARIABLES: P = Capital invertido o capital inicial o valor presente o valor actual del crédito.

F = Valor futuro o valor en el que se convierte una suma de dinero durante un tiempo determinado y a una tasa de interés acordada.

I = Interés devengado o diferencia entre el valor futuro y el valor presente.

n = Número de periodos (en días, meses, trimestres, semestres o años).

i = Tasa de interés (%) o relación entre el interés devengado y el valor presente.

A = Serie de cuotas iguales (en días, meses, trimestres, semestres o años).

ip = Interés periódico.

ipa = Interés periódico anticipado.

ipv = Interés periódico vencido.

in = Interés nominal.

ie = Interés efectivo.

im = Interés múltiple.



RN = Rentabilidad neta.

RR = Rentabilidad real.

t = Tasa de tributación o retención en la fuente.

ii= Tasa de inflación.

C. TASAS COMUNMENTE UTILIZADAS EN EL SECTOR FINANCIERO:

Tasas de mercado: - TCC - INTERBANCARIA - DTF - PRIMERATE

- TBS - LIBOR - CM - T.R.M

Tasas de control y regulación estatal: - Interés bancario Corriente - Interés de libre asignación

- Tasa máxima remuneratoria

- Tasa de rentabilidad mínima exigida por la superbancaria.



Tasas de intermediación financiera:

- Pasiva (captación). - Activa (colocación). - Margen financiero bruto y neto. - Tasa de descuento. - Tasa bruta y neta. - Tasa de interés real. - Tasa promedio ponderada. - Tasas fijas.

- Tasas variables.



D. DIAGRAMAS ECONOMICOS:

Consisten en la presentación gráfica de un problema financiero. Su importancia radica en que permiten visualizar el problema, facilitando así su definición y análisis correcto.

Un diagrama consta de lo siguiente:

Una línea horizontal en la cual se representan todos los períodos en los cuales se ha dividido el tiempo para efectos de la tasa de interés.

Flechas verticales hacia arriba que simbolizan ingresos producto de una ganancia o una

venta y hacia abajo que simbolizan egresos producto de una inversión de capital o salida de dinero.



.EJEMPLO # 2: Una persona invierte hoy $10’000.000 en una corporación que reconoce el 0,5% mensual. Si esta persona retira mensualmente los intereses y en el mes 24 retira el capital. Cúal es el diagrama económico?.

EJEMPLO # 3:

Una persona hizo un préstamo de $50’000.000 en una corporación que cobra el 6% trimestral si el crédito se liquidó a un año. Cuál es el diagrama económico?.

E. INTERES SIMPLE: Una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple cuando los intereses liquidados no se suman periódicamente al capital; es decir, los intereses no devengan interés.

Sus características son las siguientes:

El capital inicial no varía durante todo el tiempo de la operación financiera ya que los intereses no se suman al capital inicial.



En consecuencia de lo anterior, la tasa de interés siempre se aplicara sobre el mismo capital, es decir, sobre el capital inicial.

Por la misma razón puede decirse que los intereses serán siempre iguales en cada período.

FORMULAS:

I = P X i X n

I I I P= i = n = i X n P X n P X I



Para calcular el valor futuro a interés simple es necesario sumar los intereses más el valor presente.

FORMULA:

F= P(1+ i n)

EJEMPLO # 4:

El Banco Popular otorga un crédito de $20’000.000 a 4 meses y a una tasa del 20% anual:

Qué interés simple se paga mensualmente?.

Cuál será el valor total de los intereses?.

Cuál será el valor futuro al cabo de los 4 meses?.



F. VALOR FUTURO Y PRESENTE DE UNA SERIE DE CUOTAS IGUALES:

En forma vencida:

P=? F=?

i 0 1 2 3 n-2 n-1 n

A

FORMULAS:

2n + ni (n-1) 2n + ni (n-1)

F = A P = A 2 2(1+in)

EJEMPLO # 5:



Qué capital se tendrá al final de 6 meses si se deposita $1’000.000 mensuales en una corporación que reconoce el 0,4% mensual de interés simple vencido?. Cuál será su valor presente?.

En forma anticipada:

P=? F=? 0 1 2 3 n-2 n-1 n

A

FORMULAS:

2n +i n (n+1) 2n +i n (n+1) F = A P = A 2 2(1 + in)

EJEMPLO # 6:



Qué capital se tendrá al final de 6 meses si se deposita $1’000.000 mensuales en una corporación que reconoce el 1.2% mensual de interés simple anticipado?.Cuál será su valor presente?.

EJEMPLO # 7:

Un ciudadano necesita disponer de $2’000.000 dentro de 8 meses. Cuánto deberá ahorrar mensualmente en una corporación que le reconoce el 1.2% mensual de interés simple en forma vencida?. Cuánto sí los intereses fueran en forma anticipada?.

G. INTERES COMPUESTO:

Se define como aquel interés que se cobra sobre el interés ya causado, es decir, interés sobre interés. Aquí se suman periódicamente los intereses más el capital (Capitalización).

El interés compuesto se conoce comúnmente con el nombre de “interés periódico” (ip) y este se presenta bajo dos modalidades: Anticipado y vencido.

Ejemplos:

1.3% mensual pagado en forma vencida. 4% trimestral capitalizado pagado por anticipado.



Características del i p:

- Un porcentaje.

- Un periodo de pago (día, mes, bimestre, trimestre, semestre, año).

- Una forma de pago (Anticipado o vencido).

H. INTERES NOMINAL:

Es aquel interés o tasa que utiliza en el sector financiero para nominar o referenciar una determinada operación financiera. Esta se conoce como (in) también se presenta bajo las modalidades de anticipada o vencida. Tiene cierta relación con el interés simple.

Características de i n:

- Un porcentaje. - Un periodo anual que acumula los pagos periódicos - Un periodo menor de pago - Una forma de pago

Ejemplos:

26% anual pagado trimestralmente en forma vencida.



12% anual capitalizado mensualmente por anticipado. FORMULAS:

in = ip x n Donde n es el número de veces que el periodo menor cabe en el mayor.

in in

ip = n = n ip

Las fórmulas son iguales para la forma de pago anticipada o vencida.

Cada interés nominal tiene un solo interés periódico.

Si el in es anticipado entonces el ip será también anticipado y viceversa. El mismo caso aplica para la forma vencida.

EJEMPLO # 8:



Encontrar el ip para un interés nominal del 24% anual pagado mensualmente por adelantado.

EJEMPLO # 9:

Encontrar el in anual para un interés periódico del 5% trimestral en forma vencida. EJEMPLO # 10: 20% anual pagado mes vencido Para un interés nominal del 10% semestral, encontrar los ip posibles.

I. INTERES EFECTIVO:

Es aquel que indica cuál es la rentabilidad de una inversión o cuál es el costo de un crédito.Este involucra el concepto de capitalización. Tiene cierta relación con el interés compuesto.Este se conoce como ie su modalidad es solo al vencimiento.

Ejemplos:

22% Efectivo anual. 12% Anual al vencimiento.

Características de i e:

- Un porcentaje.



- Un periodo anual que capitaliza los pagos periódicos. - Forma de pago solo al vencimiento.

FORMULAS:

Para ip vencido: ie = (1+ipv)n - 1

n

1 Para ip anticipado: ie = - - 1 1 - ipa

Para ip vencido: ipv = (1 + ie) 1/n - 1

1 Para ip anticipado: ipa = - (1 + ie)1/n

El interés efectivo generalmente se expresa en periodo de tiempo anual. Se asume que es a un año cuando se pide encontrar el interés efectivo. En caso contrario deberá especificarse si es efectivo (semestral, trimestral, mensual o diario).



EJEMPLO # 11:

Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual del 24% con capitalización mensual vencida y capitalización trimestral anticipada.

EJEMPLO # 12:

Hallar la tasa nominal anual equivalente a una tasa anual efectiva del 23% cuando la capitalización es trimestral vencida o diaria anticipada.

EJEMPLO # 13:

Encontrar la tasa periódica mensual y efectiva anual equivalente a una tasa periódica trimestral por anticipado del 6%.

Cuando la forma de pago de la tasa periódica es al vencimiento, esta se convertirá también en tasa efectiva.

Cuando el periodo de capitalización es igual a un año, la tasa nominal es igual a la tasa efectiva anual. En cualquier otro caso la tasa efectiva anual será mayor que la nominal anual.

J. TASAS EQUIVALENTES:



Son aquellas que nos permiten modificar el periodo y la forma de pago de una tasa de interés, conservando siempre la misma tasa efectiva.

Estas son utilizadas comúnmente en el sistema financiero con el fin de acomodar las cuotas de los créditos o el pago de los intereses, de acuerdo a la conveniencia de los clientes.

FORMULAS:

in

ipv Anticipado ipa = o vencido 1 + ipv

ie ip ipa

Anticipado o vencido ipv = 1 - ipa

El interés periódico es la herramienta de trabajo para encontrar la tasa equivalente.

Cuando la forma de pago en una tasa equivalente cambia, se deberá encontrar siempre la tasa efectiva.



Siempre que se quiera encontrar una tasa nominal a partir de una tasa efectiva y viceversa, deberá hallarse primero la tasa periódica.

CONVERSION DE TASAS:

TASA in ipa ipv ie

in in in

n n n ipa ipa x n ipa 1 1 - ipa 1 - ipa

ipv ipv x n ipv n 1 + ipv (1 + ipv) - 1 1 ie ( 1 + ie )1/n - 1 (1 + ie)1/n

EJEMPLO # 14:

Para una tasa del 24% anual capitalizada mensualmente en forma vencida, encontrar las correspondientes equivalencias en:



Anual capitalizado trimestralmente al vencimiento. Trimestral pagado diariamente por adelantado. Efectiva anual.

EJEMPLO # 15: Para una tasa del 20% anual pagado mensualmente por adelantado, encontrar las correspondientes equivalencias en: Anual capitalizado mensualmente en forma vencida anual pagado diariamente al vencimiento. Efectiva anual.

EJEMPLO # 16:

Confeccionar una tabla para el cálculo de tasas equivalentes. Esta se dejará como taller para trabajar fuera de clase. El ejercicio se entregará en una hoja adicional.

K. INTERES MULTIPLE – SISTEMA UVR :



Un ejemplo del uso de tasas de interés múltiple o en cadena (im), se puede observar en nuestro medio cuando se trabajan con UVR’S en las corporaciones de ahorro y vivienda.Se da interés por “corrección monetaria” más un interés adicional sobre saldo corregido.

Sistema UPAC / UVR:

El sistema de poder adquisitivo constante nace en el año de 1972, como una solución a la crisis que afrontaba en ese entonces la industria de la construcción. Este corrige la pérdida del poder adquisitivo que sufre nuestra moneda por efectos de la inflación.

La corrección monetaria es un aumento que se le hace a cada UPAC / UVR teniendo en cuenta el alza en el costo de la canasta familiar . Anteriormente se determinaba con basa en el DTF, siendo su valor de un 74% del promedio últimas cuatro semanas de la DTF. A medida que el costo de vida se incrementa, el poder adquisitivo del dinero disminuye. La corrección monetaria, entonces, se encarga de estabilizar el poder adquisitivo del dinero mediante la aplicación de un ajuste diario a un capital determinado.

La UVR permite que dicho capital represente cierto número de unidades que, en el momento de convertir a pesos, constituyen un mayor valor por efectos de la corrección monetaria, con la cual los pesos han conservado su poder adquisitivo.

FORMULA:

im = ( 1 + im1 ) ( 1 + im2 ) - 1



EJEMPLO # 17:

Supóngase que hoy se abre una cuenta de ahorros con cien UVR´S en una corporación que reconoce unidad de valor real más 2% anual de interés adicional pagado trimestralmente en forma vencida. Cuál será el valor acumulado al final del primer año si hoy una UVR vale $204

EJEMPLO # 18:

El Señor González abre una cuenta de ahorros en Colpatria. Su depósito inicial es de $5’000.000 el día 3 de enero de 2012. Efectúa un depósito de $2’000.000 el 17 de febrero y hace un retiro de $3’000.000 el 20 de marzo. Cuál será el saldo de la cuenta al final del primer trimestre si hoy una UVR vale $203

U.V.R = 0.8%. para enero. 0.5% para febrero. 1.2% para marzo i adicional = 2% anual pagado trimestralmente en forma vencida sobre saldo mínimo.

EJEMPLO # 19:

Confeccionar una tabla para el movimiento de una cuenta de ahorros en UVR’S. Esta se dejará como taller para trabajar fuera de clase. El ejercicio se entregará en una hoja adicional.

L. RENTABILIDAD NETA Y RENTABILIDAD REAL:



A toda persona le interesa saber cuánto le produce una inversión (rentabilidad) o cuánto paga por un préstamo (costo del crédito).

La tasa efectiva puede afectarse por factores como el estudio del crédito, comisiones, etc. Además de estos factores existen otros elementos que afectan notoriamente la rentabilidad; ellos son los impuestos y la inflación.

Rentabilidad Neta (RN):

Se define como aquella que queda después de descontar los impuestos de la rentabilidad efectiva.

FORMULA:

RN = ie x ( 1 - t )donde:

t : Impuestos.

Rentabilidad Real: Es aquella que queda después de descontar la tasa de inflación de la rentabilidad neta.

FORMULA:



donde: RR = 1 + RN ii : Inflación

1 + ii

EJEMPLO # 20:

Una corporación ofrece unidad de valor real más una tasa de interés adicional del 2% ATV para sus depósitos en CDT. Si la tasa de inflación está estimada en el 4% anual y la retención en la fuente es del 7%. Cuál será la rentabilidad real para esos depósitos?.

EJEMPLO # 21:

El Señor Pérez hizo una inversión de US$10.000, al momento de ésta el dólar tenía un valor de $1.800. Sobre esta inversión se reconoce una tasa de interés del 4% (por lo general es prime rate o libor). La tasa anual de devaluación se estima en 5% y la de inflación en un 4%. Si la retención en la fuente para el cambio de divisa es del 10%. Cuál será la rentabilidad real para esta inversión?.

EJERCICIOS CAPITULO I



1. Cuánto se necesita depositar hoy en una corporación que reconoce el 0,7% mensual para poder disponer de $5’000.000 al cabo de dos años?.

a). Resolver el problema a interés simple y a interés compuesto.b). Sacar conclusiones.

2. Si ciertos depósitos suman $7’000.000 al final de 3 años. Cuánto deposito mensualmente en una corporación que reconoce el 0,5% mensual de interés simple?. Resolver el problema considerando los depósitos en forma vencida y en forma anticipada.

3. En cuánto tiempo se triplicará un capital si la tasa de interés es del 2% trimestral?. Resolver el problema para interés simple?.

4. El Banco Popular presta $5’000.000 a una tasa de interés nominal del 20% con capitalización semestral vencida; otra entidad le ofrece el 21% anual con capitalización mensual anticipada. Dónde debe hacer la inversión?.

5. Hallar las tasas efectivas anuales equivalentes a una tasa del 25% anual con capitalización anticipada y vencida:a). Diaria. b). Mensual.c). Bimestral.d). Trimestral.e). Semestral. Sacar conclusiones.

6. Hallar la tasa de interés efectiva para 20 días equivalente a una tasa de interés nominal del 20% con capitalización mensual anticipada.



7. Hallar la tasa de interés efectiva para 2 años equivalente a una tasa de interés del 6% trimestral pagado diariamente en forma vencida.

8. Para una tasa del 26% anual con capitalización mensual por adelantado, encontrar las siguientes tasas equivalentes:

a). Interés anual con capitalización mensual al vencimiento.b). Interés semestral por adelantado.c). Interés trimestral con capitalización quincenal al vencimiento.d). Interés diario al vencimiento.

9. Pedro Pérez abre una cuenta de ahorros bajo el sistema de valor real UVR en DAVIVIENDA. La apertura se hace el 8 de enero de 2012 por un valor de $15’000.000. El valor de la UVR en esta fecha es de $203. El día 17 de febrero se retiran de la cuenta $4’000.000. El 13 de marzo se hace un depósito por $3’000.000. Encontrar el saldo de la cuenta a marzo 31. Teniendo en cuenta una corrección del valor real del 0.6% para enero de 1999, del 1% para febrero y del 0.8% para marzo; al igual que un interés adicional del 2.5% anual con capitalización trimestral vencida sobre saldo mínimo.

10. Una corporación ofrece una tasa de interés adicional del 3% anual pagado trimestralmente al vencimiento, más DTF . Si la tasa de inflación es estimada en un 4% y la retención en la fuente es del 7% efectivo anual. Cuál será la rentabilidad real para esa inversión. Justificar la respuesta.

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.



Razonamiento:

Qué es preferible recibir $1’300.000 dentro de un año o recibir $1.000.000 hoy?.

Esto depende de:

- La inflación, puesto que dentro de un año el poder adquisitivo de ese dinero será menor, es decir, que se desvaloriza.

- La oportunidad que se tendría de invertirlos en alguna actividad, haciendo que no solamente se protejan de la inflación, sino también que generen una utilidad adicional.

- El riesgo de quien se los debe entregar ya no esté en condiciones de hacerlo.

Por lo tanto si la opción fuera recibirlos dentro de un año, esta se aceptaría solamente si se entregara una cantidad adicional que compensara los tres factores mencionados. El dinero tiene la capacidad de generar más dinero, es decir, de generar riqueza.

Lo anterior quiere decir, que lo reclamado por un inversionista como cantidad diferencial, a causa de no disponer del dinero ahora, sino dentro de un período determinado, se llama INTERES, cuyo monto variará de acuerdo con las expectativas y el riesgo que se esté asumiendo al comprometer los fondos.

A. VALOR FUTURO DE UN MONTO INICIAL:



Es hallar una cantidad F producto de acumular una cantidad inicial P, a la tasa de interés i, durante n periodos. Esto quiere decir “encontrar F dado P” y se simboliza así: ( F / P ; i ; n )

F = ? 1 2 3 i n-2 n-1 n 0 P

P 1 2 3 i n-2 n-1 0 n

F = ?

El primer gráfico supone que se invierte una cantidad P en el momento 0 (cero) con el fin de retirar una cantidad F en el momento n, esta sería la situación de un inversionista.

El segundo gráfico es para quien recibe el dinero, o sea una cantidad P en el momento 0 (cero) con el fin de devolver una cantidad F en el momento n, este sería el caso de un préstamo.

FORMULAS:



n F = P ( 1 + i ) Donde i siempre será interés periódico vencido (ipv).

F 1/n log ( F / P ) i = n = P log ( 1 + i )

El periodo de liquidación (n) de los intereses SIEMPRE deberá estar en la misma unidad o condición que la tasa de interés periódica.

EJEMPLO # 1:

Se depositan $3’000.000 en una corporación que reconoce el 5% anual con capitalización trimestral vencida. Cuál será el valor acumulado al final de 2 años?.

EJEMPLO # 2: Un deudor tiene a su cargo los siguientes pagarés: $100.000 a 4 años de plazo, $250.000 a 3 años de plazo, $200.000 a un año de plazo y $250.000 exigibles de inmediato. El ofrece cancelar de contado $150.000 y el saldo a 2 años de plazo. Hallar este valor si el tipo de interés es del 24% anual pagado trimestralmente.



B. VALOR PRESENTE DE UN MONTO FUTURO: Consiste en hallar una cantidad P, que a la tasa de interés i equivale a otra cantidad F ubicada un determinado número de periodos más adelante. La seguiremos denominando “encontrar P dado F” y la simbolizaremos ( P / F ; i ; n ).

Gráficamente se ilustra así:

F 1 2 3 i n-2 n-1 0 n

P = ?

FORMULA:

F P = ( 1 + i )n



EJEMPLO # 3:

Un padre de familia necesita disponer de $1’500.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 6% anual con capitalización mensual. Cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?.

EJEMPLO # 4:

Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad?. $90’000.000 de contado o $40’000.000 de contado y el saldo en tres pagarés iguales de $20’000.000 cada uno a 1, 2 y 3 años de plazo, si el rendimiento del dinero es del 10% anual con capitalización semestral.

C. CUOTA UNIFORME:

También se conoce con el nombre de anualidades. Son cuotas de dinero periódicas e iguales que se entregan o se reciben al comienzo o al final de cada periodo. Trabajaremos inicialmente los casos en que la cuota es vencida:



Acumulación de una serie de pagos:

Se entiende como hallar una cantidad F, que a la tasa de interés i equivale o se paga con con una serie de n cuotas. Llamaremos a esta alternativa “encontrar F dado A”, se simbolizará ( F / A, i ; n ) y se ilustra así:

F = ? i 0 1 2 3 n-2 n-1 n

A

FORMULA: n ( 1 + i ) - 1 F = A x

i

Serie de cuotas que pagan un valor futuro:

Es encontrar el valor de una serie de n cuotas A que colocadas a la tasa de interés i equivalen o pagan un valor futuro.



Lo denominaremos “encontrar A dado F”, se simbolizará (A / F ; i ; n). El gráfico es similar al anterior, sólo cambia la incógnita:

FORMULA:

i A = F x n ( 1 + i ) - 1

EJEMPLO # 5: El Señor González ahorra $1.000.000 semestrales en una corporación que le reconoce el 7 % anual con capitalización trimestral. Cuánto tendrá acumulado al final del quinto año?.

EJEMPLO # 6:

Si hoy se depositan $2’000.000 en una corporación que le reconoce el 8% anual con capitalización mensual vencida. Cuánto podrá retirarse desde el mes 12 hasta el final del mes 20 para dejar el saldo en cero?

Serie de cuotas que pagan un valor actual:

Consiste en hallar el valor de una serie de n cuotas A, que a la tasa de interés i, equivalen o pagan un valor presente P, ubicado al principio del primer periodo. Se denominará “encontrar A dado P” y la identificaremos como ( A / P; i; n ).



Su representación gráfica es:

P = ? 0 1 2 3 i n-2 n-1 n

A

FORMULA:

n ( 1 + i ) . i A = P n ( 1 + i ) - 1

Valor presente de una serie:

Es la última alternativa. Encontrar un valor P ubicado al principio del primer período, que equivale o se paga con una serie de n cuotas A, a la tasa de interés i. Se denomina “encontrar P dado A” y su símbolo es ( P / A ; i; n ) el gráfico es similar al anterior, sólo cambia la incógnita:



FORMULA:

n ( 1 + i ) -1 P = A x n ( 1 + i ) i

EJEMPLO # 7:

Una persona que viaja fuera de su localidad dejando una propiedad en alquiler por 5 años, con la condición de que paguen $900.000 por trimestre vencido. Esta cantidad se consignará en una cuenta de ahorros que paga el 6% anual. Hallar el valor presente del contrato de alquiler?.

EJEMPLO # 8:

Compré un carro con una cuota inicial de $10’000.000 y 36 cuotas mensuales iguales de $500.000. La agencia me cobra el 0,8% mensual sobre saldos. Cuánto debo?. Si pago toda la deuda al final del primer año. Cuánto debo pagar?.



EJEMPLO # 9:

Una persona debe $2’000.000 pagaderos dentro de 3 años y $4’000.000 pagaderos dentro de 5 años. Hallar el valor de tres pagos iguales a 2, 4 y 6 años, que sustituyan las deudas con el tipo de interés del 18% anual con capitalización mensual vencida.

D. CUOTA UNIFORME ANTICIPADA:

En algunas ocasiones se cancelan obligaciones con cuotas iguales y anticipadas; esto mismo ocurre cuando se ahorran sumas periódicas e iguales. Aquí sólo se manejará un concepto: “cuota igual anticipada”, independientemente de que sea para ahorrar o pagar,para recibir o para entregar.

Su representación gráfica sería:

P 1 2 3 i n-2 n-1 0 n



A

El número de cuotas en una anualidad anticipada es igual al número de cuotas en una anualidad vencida. La diferencia radica en que en la anualidad anticipada las cuotas se desplazan un periodo hacia la izquierda, esto es, la primera cuota está en el punto cero y por tanto el nuevo valor presente es igual a P - A, y el número de periodos que restan es n - 1.

FORMULAS:

n - 1

( 1 + i ) - 1 P P = A 1 + A = n - 1

n-1 ( 1 + i ) - 1 i ( 1 + i ) 1+ n - 1

i ( 1 + i )

Ahora se calcula el valor de la cuota uniforme en función del valor futuro. Por estar el valor futuro en el extremo opuesto del valor presente, entonces ocurre lo contrario con el valor futuro y con el número de periodos. Es decir, cada cuota se desplaza hacia la izquierda enun periodo con respecto a las cuotas vencidas y, por tanto, hay que desplazarlas a la derecha un periodo.

F1 F = ?



1 2 3 n-2 n-1 0 n

A

FORMULAS:

n + 1 ( 1 + i ) - 1 F F = A A = i n + 1

( 1 + i ) - 1 i

EJEMPLO # 10:

Davivienda le presta a la Señora Gloria la suma de $30’000.000 a 5 años y a una tasa del 16% anual con capitalización mensual. Cuál será el valor de la cuota si ésta debe entregarse en forma anticipada?.



EJEMPLO # 11:

El Señor Díaz ahorra $3’000.000 cada 2 años en una corporación que le reconoce el 3% semestral de interés compuesto. Cuánto tendrá ahorrado dentro de diez años si hace su primer depósito hoy?.

EJEMPLO # 12:

El dueño de una propiedad cobra por su alquiler $500.000 por mes anticipado. Hallar la pérdida que le significa en 2 años, si el arrendatario le paga por mes vencido. Tasa nominal 24% con capitalización mensual.

E. RENTAS PERPETUAS:

En los negocios, es frecuente que ciertas rentas, salvo sucesos imprevistos, se paguen indefinidamente. Entre muchas otras, las rentas que se paguen a perpetuidad son la renta de un terreno, las herencias para instituciones de beneficencia, los dividendos sobre acciones preferentes, las provisiones etc. Una renta perpetua es entonces una cuota uniforme cuyo plazo no tiene fin.

Valor futuro de una renta perpetua:



Puesto que nunca cesarán los pagos de una renta perpetua, resulta imposible calcular su valor futuro.

Valor presente de una renta perpetua con cuota vencida:

Sea la renta perpetua de $A, pagadera al final de cada periodo, a la tasa i por periodo.

P

0 1 2 3 4 periodos

A A A A

Se deduce que el valor presente de la renta perpetua es aquella cantidad P que, en un periodo, produce como intereses la suma A.

FORMULAS:

A = P x i



A A P = i = i P

EJEMPLO # 13:

En el testamento de una persona se establece que parte de sus bienes se invertirán de modo que el hospital de ancianos reciba, a perpetuidad, una renta de $2’000.000 cada fin de año. Si en la localidad la tasa de interés es del 0.5% mensual. Hallar el valor actual de la donación.

EJEMPLO # 14:

Un hospital recibió como legado una renta perpetua mensual de $500.000. Si la tasa de interés para las inversiones es del 8% anual pagado trimestralmente. Hallar el valor por el cual puede ceder sus derechos a la renta perpetua.

Valor presente de una renta con cuota anticipada:



Cuando el pago de la renta perpetua es de inmediato, al trazar el gráfico se observa que el valor actual es equivalente al de una renta perpetua vencida, aumentada en el primer pago que debe efectuarse de inmediato.

P

0 1 2 3 4 periodos

A A A A A

Se deduce que el valor presente de la renta perpetua anticipada es aquella cantidad P que, disminuida en la primera cuota A, produce como intereses la suma A.

FORMULAS: A

P = A + i



Pi A A = i = 1+ i P-A

Si el pago que debe efectuarse de inmediato es distinto de A (W), se tiene, para el valor actual:

FORMULA:

A P = W + i

EJEMPLO # 15:

Hallar el pago a perpetuidad por semestre, con un primer pago inmediato, que puede comprarse con $2’000.000, si la tasa de interés es del 0,7% mensual.

EJEMPLO # 16:



Al fallecer una persona deja un legado a un sanatorio, estipulado así: $6’000.000 para la adquisición de ciertos equipos y $8’000.000 anuales para su mantenimiento. Hallar el valor actual del legado, si la tasa es del 3% trimestral pagado en forma vencida.

EJEMPLO # 17:

Una persona quiere constituir un fondo para otorgar un premio anual de $2’000.000 en forma indefinida para ello deposita hoy la suma de $5’000.000 en una corporación que le reconoce el 28% anual con pagos mensuales. Cuánto tiempo debe dejar en depósito el dinero antes de empezar a retirar los $2’000.000 indefinidamente en forma anticipada?.

F. CAPITALIZACION CONTINUA:

En este caso, se efectúa un número finito de pagos por año, en tanto que el interés se capitaliza en forma continua.

FORMULAS:

ie = er - 1 donde r = tasa nominal (in)



F = Per n er n - 1 F = A er - 1

1 - e –r n

P = A r e - 1

EJEMPLO # 18:

Si hoy se depositan $500.000 en una corporación que reconoce el 10% anual con capitalización continua. Cuánto se tendrá acumulado al final del quinto año?.

EJEMPLO # 19:



Si una corporación reconoce el 9% anual con capitalización continua y al final del quinto año los ahorros ascienden a $500.000. Cuál fue el depósito anual?.

EJEMPLO # 20:

Cuánto debe depositarse hoy, en vez de depositar anualmente y durante 5 años la suma de $50.000 en una corporación el 8% anual con capitalización continua?.

G. ANUALIDAD ANTICIPADA O VENCIDA CON CUOTA AL FINAL:

En algunas ocasiones no se está en condiciones de pagar una determinada suma de dinero en forma periódica e igual. Ante esta situación se presenta la alternativa de fijar el valor de la cuota uniforme (anualidad) y ofrecer el pago del resto del dinero al finalizar el plazo acordado tiempo durante el cual se tendrá la oportunidad de percibir otros ingresos, como primas, vacaciones, etc., con los cuales se cubriría la cuota final.

FORMULAS:

n-1 ( 1 + i ) - 1 CUOTA P = A + n-1 ANTICIPADA i ( 1 + i )



n n ( 1 + i ) - 1 CUOTA F = P ( 1 + i ) P = A n VENCIDA ( 1 + i ) i

EJEMPLO # 21:

El Señor Gutiérrez compró un vehículo por $10’000.000 para cancelar en 2 años a una tasa del 1.5% mensual. La cuota fijada para este negocio fue de $520.000 en forma anticipada o vencida, el cliente escoge. El Señor Gutiérrez no puede atender el pago de dichas cuotas porque están por encima de sus ingresos mensuales y propone pagar la suma de $300.000 cada mes, ya sea en forma anticipada o vencida, y al final de la obligación cancelar el resto de la deuda. Cuál será el valor de la cuota final?.

H. CUOTA UNIFORME DIFERIDA:

En los negocios es frecuente que algunas circunstancias obliguen a que el primer periodo de pago comience en una fecha futura, hasta después de transcurrido cierto tiempo desde el momento inicial o de convenio; este se conoce comúnmente con el nombre de periodo de gracia en el que se genera unos intereses que al mismo tiempo se suman al capital. Por lo general las cuotas diferidas son en forma vencida.



A A A Periodo de gracia (m)

0 m 1 2 3 1 n-1 n

P = ? P1

FORMULAS:

n n ( 1 + i ) - 1 1 ( 1 + i ) - 1 P = A n m F = A i ( 1 + i ) ( 1 + i ) i

EJEMPLO # 22:

Una corporación ofrece un crédito para pagarlo en 3 años con cuotas trimestrales de$300.000. Si cobra el 22% anual capitalizable mensualmente y otorga un semestre de periodo de gracia. Cuál será el valor del crédito?.

EJEMPLO # 23:



Al cumplir un joven 12 años, su padre deposita $3’000.000 en un fondo universitario que abona el 1% mensual al fin de que al cumplir 18 años comience a recibir una renta anual suficiente para costear sus estudios universitarios durante 5 años. Cuál será el costo anual de los estudios?.

I. GRADIENTES:

Es aquella serie de ingresos o egresos en el que las cuotas son periódicas pero desiguales o variables, los incrementos o decrementos varían en función de los números naturales.

En los pagos periódicos de las anualidades variables, la primera cantidad del flujo de caja recibe el nombre de “base” y la cantidad de variación recibe el nombre de “gradiente”. Las variaciones más comunes son los gradientes aritméticos o lineales y los gradientes geométricos. A continuación se examinarán estos dos tipos de variaciones.

Gradiente aritmético:

Son aquellas cuotas variables, cuyos pagos periódicos aumentan o disminuyen en una cantidad uniforme o constante y se consideran cuotas de variación lineal.



La cantidad en que aumenta y disminuye la serie se llama gradiente uniforme y se denomina “g”. El primer valor de la serie se conoce como base de la serie y se denota con la letra “k”. al graficar la serie de gradiente se obtiene:

P

0 1 2 3 4 (n-1) n

k k + g k + 2g k + 3g k + (n-2)g k + (n-1)g

Es muy importante el hecho de que el primer gradiente siempre aparece al final del segundo periodo, lo cual permite saber con precisión cuál es el punto cero en un momento determinado y establecer allí el valor presente de la serie.

FORMULAS:

n n



( 1 + i ) - 1 - g ( 1 + i ) - 1 n P = K + -

n i n n i ( 1 + i ) i ( 1 + i ) ( 1 + i )

n i ( 1 + i ) + g ni At = P n - - n + ( t - 1 ) g ( 1 + i ) - 1 i ( 1 + i ) - 1

donde : t = número de cuota a encontrar

At = A1 + ( t - 1 ) g g ni A2 = - n i ( 1 + i ) - 1

EJEMPLO # 23:

Una persona contrae la obligación de pagar $200.000 cada final de mes, durante un año, aumentando sus pagos sucesivos en $10.000 cada mes, hallar a la tasa efectiva del 24% el valor presente de su obligación, igualmente encontrar el equivalente con la misma tasa, para pagos mensuales iguales. Cuánto deberá pagar mensualmente ?.



EJEMPLO # 24:

Un crédito se otorga en las siguientes condiciones:

P = $10’000.000 Unidad de Valor Real = 6% g = 500 sobre cada cuotan = 180 meses Interés adicional = 6%

Calcular la primera, última cuota y cuota uniforme.

EJEMPLO # 25:

Las ventas promedio de un almacén son de $4’000.000 mensuales, el dueño inicia una ampliación y estima que sus ventas, a partir del quinto mes, se incrementarán con un gradiente de $500.000 mensuales, estabilizándose al cabo de un año. Hallar el valor actual de sus ventas durante el primer año. Tasa de interés 0,5% mensual.

Gradiente geométrica :

Se trata de aquellas cuotas variables cuyos pagos periódicos varían formando una progresión geométrica, o sea, que se caracterizan porque el cociente entre dos términos sucesivos es constante.

Al graficar la serie de gradiente se obtiene:



P

0 1 2 3 4 (n - 1) n

K K (1+ g) 2 K(1+g) 3 K(1+g) n-2 K(1+g) n-1 K(1+g)

Aquí también el primer gradiente aparece al final del segundo periodo, con el fin de determinar el punto cero y establecer el valor presente de la serie.

FORMULAS:

Si “g” es creciente:



n t-1 1 + g P ( g - i ) ( 1 + g ) - 1 At = n

1 + i 1 + g P = K 1 + i - g - i

t - 1 At = A1 ( 1 + g )

Si “g” es decreciente:

n t - 1 1 - g P ( g + i ) ( 1 - g ) P = K At = n 1+ i 1 - g



g + i 1 + i

t - 1 At = A1 ( 1 - g )

EJEMPLO # 26:

Una deuda debe cancelarse en 5 años con cuotas de $1’000.000 cada final de año a una tasa de interés del 18% anual pagados mensualmente en forma vencida. Estos pagos se incrementan, después del primero, en un 10% anual cada uno. Hallar el valor presente de la deuda. Si se replanteara el pago de la deuda para pagar en 5 cuotas iguales. De cuánto deberá ser cada una?.

EJEMPLO # 27:

Un empleado decide empezar un ahorro anual a partir del primero de enero de 1998 de $2’000.000, lo que corresponde a un porcentaje de su sueldo. Estima que anualmente su sueldo se incrementará un 25% sobre el del año anterior, aumentando así su ahorro anual en la misma proporción. Hallar la suma que habrá ahorrado al final del décimo año en un banco que le abona el 6% anual sobre cuentas de ahorro. Cuánto será el valor a ahorrar en el cuarto y octavo año?.



J. LA CALCULADORA FINANCIERA:

Los avances tecnológicos no han sido ajenos a las Matemáticas Financieras y es así como muchos fabricantes de calculadoras electrónicas han diseñado modelos exclusivamente con ampliaciones financieras entre las cuales están las relacionadas con los capítulos 2 y 4 de este material de apoyo.

Con ellas ya no se requiere el uso de fórmulas o tablas financieras, pero para poder aprovechar al máximo, el usuario debe conocer muy bien todos los elementos teóricos involucrados en las operaciones. Por ello para resolver un problema es indispensable la elaboración del gráfico y el planteamiento de la ecuación para introducir luego los datos en la calculadora que es de muy fácil manejo.

Las secuencias a seguir no siempre son las mismas para todas las calculadoras. Dependiendo de la marca y el modelo hay pequeñas diferencias. Para el desarrollo de este seminario utilizaremos los modelos de la marca CASIO, específicamente la FC-100 y FC-200

Las operaciones básicas para el desarrollo de los temas en este capítulo, se harán utilizando seis teclas. Ellas son:



COMP n i% PV PMT FV

Donde: COMP = Calcular, computar; por la abreviatura en inglés de COMPUTE. n = Número de periodos o términos. i = Tasa de interés del periodo o periódica. PV = Valor presente (P), por sus iniciales en inglés (present value). PMT = Pago a cuota (A), por sus iniciales en inglés (payment). FV = Valor futuro (F), por sus iniciales en inglés (future value).

Notas sobre cálculos financieros:

- Utilizar solamente el modo FIN ( MODE 4 ) para los cálculos financieros. - Previo al inicio de los cálculos financieros, es necesario presionar SHIFT AC EXE para

borrar las memorias financieras. Presionando solamente AC las memorias financieras no se borran.



- La tecla i% ( tasa de interés periódica ) funciona usando porcentajes.

- Asegúrese que exista una correspondencia directa entre las tasa de interés y los términos. Si el término se expresa en meses, use una tasa de interés mensual, y así sucesivamente.

Ingreso de valores:

Ingrese la salida de efectivo (créditos) como valores negativos y la entrada de efectivo (débitos) como valores positivos. Los resultados de cálculos también se visualizan usando el mismo formato.

Diagrama de circulación de efectivo:

Este representa el tiempo mediante el eje horizontal, de izquierda a derecha. En el extremo izquierdo a menudo tenemos una línea vertical marcada (PV) para el valor presente, mientras en el extremo derecho encontramos el valor futuro (FV).

La circulación de efectivo se representa en el diagrama mediante líneas verticales sobre el eje del tiempo para las entradas (débitos) y debajo del eje del tiempo para las salidas (créditos).

FV ( + ) Circulación de efectivo



( - ) TIEMPO PV

En este caso el monto principal (PV) es remitido a un banco, pagado desde su bolsillo, de modo que se representa como una salida por una línea vertical en el eje del tiempo. Posteriormente el banco retribuirá a su monto principal con algún, interés, de modo que este pago se traza sobre el eje del tiempo como FV. La configuración del diagrama de circulación de efectivo difiere de acuerdo a si el pago se realiza al fin del término o al inicio del término.

FORMULAS: Se puede seleccionar que fórmula usar especificando S(SIMPLE) o C(COMPUESTO) en el modo de interés Simple/Compuesto ( MODE 0 ). Cuando “C” se indica en la pantalla, se estará utilizando la fórmula de interés Simple.

Ingreso de datos: Presionando las teclas n , i% , PMT , PV , o FV se ingresa el valor visualizado corrientemente. El ingreso puede realizarse en cualquier secuencia deseada.El dato ingresado puede cambiarse o corregirse ingresando simplemente el nuevo dato.

Cambio entre pago al inicio/fin del término:



Cada vez que se presiona SHIFT BGN la calculadora cambia entre el pago al inicio del término y fin del término. El símbolo “BGN” se visualiza en la pantalla cuando se especifica el pago al inicio del término. El cambio puede realizarse en cualquier momento, pero este solamente afectará los cálculos de pago ( PMT ).

Visualización de los resultados de cálculo: Los resultados de cálculos efectuados pueden obtenerse realizando la operación de tecla correspondiente:

COMP n EXE --------------------------- Número de términos COMP PMT EXE --------------------------- Monto de pago o cuota COMP PV EXE --------------------------- Valor presente COMP FV EXE ---------------------------- Valor futuro COMP i% EXE ---------------------------- Interés periódico

Verificación de los datos ingresados:

Los valores corrientemente almacenados pueden verificarse presionando la tecla COMP, seguido de la variable n , i% , PMT, PV o FV y seguido de EXE.



TALLER # 1

1. Cuánto se tendrá acumulado al final de 5 años en una corporación que reconoce el 0,7% mensual si al principio se deposita la suma de $500.000?. Tener en cuenta el interés en forma compuesta.



2. Cuánto debe depositarse hoy en una corporación que reconoce el 0,5% mensual para poder retirar $3’000.000 dentro de un año?. Tener en cuenta el interés en forma compuesta.

3. Durante cuánto tiempo debe dejarse un deposito de $10’000.000 en una corporación que reconoce el 0,5% mensual para que esté se convierta en $19.964.950?. Tener en cuenta el interés en forma compuesta.

4. Hace un año se hizo un deposito de $500.000 en una corporación y hoy el saldo en dicha cuenta es de $712.880,44. Cuál es la tasa de interés mensual anticipada y vencida que reconoce la corporación?.

5. Cuánto se tendrá acumulado al final de un año en una corporación que reconoce el 0,7% mensual si se hacen depósitos mensuales de $50.000?. Tener en cuenta el interés anticipado y vencido y los depósitos mensuales en forma anticipada y vencida.

6. Cuánto debe depositarse mensualmente en forma anticipada y vencida en una corporación que reconoce el 0,6% mensual, para tener acumulado al final de 2 años la suma de 5.000.000?. Tener en cuenta el interés en forma compuesta.

7. Cuánto debe depositarse hoy en vez de depositar mensualmente $300.000 en una

corporación que reconoce el 1% mensual durante 3 años?. Tener en cuenta el interés en forma compuesto y los depósitos mensuales en forma anticipada o vencida.

8. Una corporación otorga un crédito de $5’000.000 a dos años a una tasa simple y compuesta del 0,5% mensual. Cuál será el valor de la cuota mensual si esta es vencida o anticipada.



9. Si se compra un artículo por $1.000.000 y debe pagarse en 6 cuotas semestrales en forma anticipada o vencida de $323.390. Cuál es el interés efectivo semestral compuesto?.

10.Una casa comprada hace 5 años ha sido avaluada hoy en $50.000.000, la tasa de interés acordada fue del 17% E.A. y el plazo de 15 años. Se tiene una deuda pendiente en la actualidad de $12.000.000. la cuota inicial para la compra fue del 30%. El pago de la cuota es mensual. Se desea saber el precio de la casa, el valor de la cuota inicial y la tasa promedio anual de valorización de la casa.

EJERCICIOS CAPITULO II

1. Una propiedad adquirida hace tres años vale hoy $25’000.000; si la tasa de valorización anual ha sido del 28% durante los últimos tres años. Cuál era el precio de la propiedad en esa época?.

2. Se desea abrir una cuenta de ahorros con $20.000.000 en una entidad que reconoce el 8% anual efectivo de interés. Igualmente se espera hacer un depósito de $4.000.000 al final de cada año durante los primeros 6 años y hacer un ahorro extra de $1.600.000 al principio del



año 3 y al final del año quinto. Todo lo anterior con la finalidad de comprar al terminar el año 9 un lote de terreno por $100’000.000. Cuánto dinero se tendrá al final del año sexto?.

Se podrá hacer la inversión planeada al final del año noveno?.

3. Se puede alquilar una máquina por $6’000.000 anuales, durante 12 años, pagaderos al inicio de cada año. Si al cabo de 5 años le pedimos al dueño que nos acepte un único pago para cancelar el resto del contrato. Cuánto deberemos pagarle si su tasa mínima esperada de rendimiento es del 18% anual?.

4. Cuánto debe depositar un padre cada tres meses en forma anticipada al 2% trimestral para lograr una suma global de $50’000.000 al cabo de 15 años con el fin de pagar la educación universitaria de su hijo?. Al cabo de 10 años cuanto habrá avanzado hacia su meta?. Si al final del año 12 hereda cierta cantidad de dinero. Cuánto debería depositar como única suma global en lugar de los pagos restantes?.

5. Hace 2 años se compró un apartamento. En la actualidad se pagan cuotas mensuales de $900.000 a una corporación que financió el 70% a 15 años de plazo con una tasa de interés del 18% anual pagado diariamente por anticipado. Cuál fue el precio de compra del apartamento.

6. Hallar el valor actual de una renta perpetua de $840.000 pagaderos:a). Al final de cada año.b). Por año anticipado.

Si la tasa de interés es del 14%. 7. Cuanto debe depositarse hoy, en vez de depositar anualmente y durante 8 años la suma de



$1’000.000, en una corporación que reconoce el 0,5 mensual con capitalización continua?. 8. DAVIVIENDA le otorgó al Señor Contreras un crédito en las siguientes condiciones: Plazo = 2 años i = 1% mensual Periodo de gracia = 4 meses A = $200.000 mensuales Cuál será el valor del crédito?.

9. Fernando ahorrará $100.000 mensuales durante 12 mese en una corporación que le reconoce el 0,6% mensual. Su primer ahorro lo hará dentro de 3 meses. Cada ahorro que haga Fernando lo aumentará en $20.000. Cuál será el valor presente y cuál el ahorro uniforme mensual?.

10. Un crédito se otorga en las siguientes condiciones: Préstamo = $5’000.000 i = 2% mensual Plazo = 50 meses incremento = 15% sobre cuota anterior Calcular el valor de la octava cuota y de la cuota uniforme para los 50 meses.

EVALUACION ECONOMICA.

A diario se presenta la necesidad de evaluar económica y financieramente diferentes alternativas de inversión y tomar las decisiones del caso, con el fin de elegir una de ellas.

Métodos para evaluar alternativas:



Antes de entrar a estudiar estos métodos es necesario hacer claridad sobre dos conceptos que por lo general se confunden bastante:

Tasa de rendimiento: Es aquella con la cual se miden las ganancias que da una inversión.

Tasa mínima de rendimiento:

Es aquella que sirve como marco de referencia para medir en todo momento la rentabilidad. Debajo de esta tasa no pueden hacerse inversiones. Generalmente se utilizan los depósitos a término fijo.

A. VALOR PRESENTE NETO: Consiste en tomar todos los valores de cada alternativa en el punto cero; es decir, se calculan los valores presentes de los ingresos netos ( Ingresos - Egresos ) con base en la tasa mínima de rendimiento o tasa de interés de oportunidad, que no es más que la tasa atractiva para el inversionista.

Si el valor presente neto calculado con la tasa de interés de oportunidad es mayor que cero, indica que los ingresos son mayores que los egresos; es decir, el capital invertido en el proyecto produce una rentabilidad mayor que la obtenida con la tasa de oportunidad.



Si el valor presente neto calculado con la tasa de interés de oportunidad es menor que cero, indica ingresos son menores que los egresos; es decir, el capital invertido en el proyecto produce una rentabilidad menor que la obtenida con la tasa de oportunidad.

EJEMPLO # 1:

El Señor Ramírez, empleado de la empresa Pilsen Cervunión, decide retirarse de esta recibiendo la suma de $6’000.000 por concepto de liquidación. El desea invertir su dinero lo mejor posible, ya que no tiene otra fuente de empleo. Una corporación ofrece pagarle el 10% anual, siempre y cuando él deje el dinero durante cinco años, al final de los cuales le entregarán el capital. Un amigo le sugiere que organice una pequeña industria. Después de hacer varias cuentas, concluye que esa industria les darán los siguientes ingresos netos anuales:

Año Ingreso Neto 1 2’000.000 2 3’000.000 3 3’000.000 4 2’000.000 5 1’500.000

Estiman también que al final de los cinco años el Señor Ramírez puede recibir $3’000.000 por concepto de la venta de la maquinaria. Además, cree que puede trabajar su dinero y en cualquier momento le produciría el 8% anual. Qué decisión debe tomar el Señor Ramírez?.



EJEMPLO # 2: Pedro Pérez tiene sus ahorros en Colpatria, la cual le reconoce el 9% efectivo anual; desea retirar sus depósitos y comprar un taxi en las siguientes condiciones: cuota inicial de $3’000.000 y 36 cuotas mensuales vencidas de $250.000. El Señor Pérez espera que el taxi le produzca $300.000 mensuales y venderlo al final del tercer año en $900.000. Será esto un buen negocio?.

El método de valor presente neto tiene dos modalidades:

Alternativas con vidas útiles iguales: El problema se resuelve común y corriente.

EJEMPLO # 3:

Una empresa necesita comprar una máquina. Al buscar en el mercado se encuentran las siguientes alternativas:

Máquina 1 Máquina 2 Costo inicial $10’000.000 $15’000.000



Costo de operación anual $300.000 $100.000 Valor de salvamento $100.000 $4’500.000 Vida útil 5 años 5 años

La tasa de interés atractiva para la empresa es del 22% anual. Cuál alternativa se debe elegir?.

Alternativas con vidas útiles diferentes:

Como las comparaciones deben hacerse sobre el mismo periodo de vida útil, debe tomarse el mínimo común múltiplo de las vidas útiles y suponer que hay reinversiones con el fin de establecer el mismo tiempo para la comparación.

EJEMPLO # 4:

Se tienen las siguientes alternativas:

Alternativa 1 Alternativa 2 Costo inicial $5’000.000 $7’000.000 Costo de operación anual $200.000 $100.000 Valor de salvamento $100.000 $1’000.000



Vida útil 2 años 3 años

Tasa de interés: 30% anual. M.C.M = (2) (3) = 6.

B. COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE ( C.A.U.E ): Como su nombre lo indica, consiste en la conversión de todos los ingresos y egresos en cuotas uniformes para cada año. En esta forma se calcula el C.A.U.E para cada una de las alternativas a evaluar y luego se comparan los C.A.U.E para tomar la determinación del caso.Las tres formas diferentes para calcular el C.A.U.E son las siguientes:

Fondo de amortización de salvamento:

El costo inicial de la inversión se convierte en un costo anual uniforme equivalente al utilizar la fórmula “dado P, hallar A”. El valor de salvamento se convierte en una costo anual uniforme equivalente mediante la fórmula “dado F, hallar A”. Este valor se resta al primero y se suma a los demás costos anuales.

Valor presente de salvamento:



Consiste en hallar el valor presente de salvamento mediante la fórmula “dado F, hallar P”. Este valor se resta del valor inicial de la inversión. El resultado se anualiza mediante la fórmula “dado P, hallar A”. Se suman los demás costos anuales.

Recuperación de capital más intereses:

Se resta el valor de salvamento del valor inicial de la inversión. Este resultado se analiza mediante la fórmula “dado P, hallar A”. Se multiplica el valor de salvamento por la tasa de interés. Este resultado se suma al anterior y se suman los demás costos anuales.

EJEMPLO # 5:

Calcule el C.A.U.E por los tres métodos de un equipo cuyo valor inicial es de $5’000.000, el valor de salvamento es de $500.000 y tiene una vida útil de 7 años. Los costos anuales de operación se estiman en $1’000.000. Considere una tasa del 16% anual.

EJEMPLO # 6: Para la compra de un equipo se tienen las siguientes alternativas:

Alternativa 1 Alternativa 2

Costo inicial $8’000.000 $9’000.000 Costo de mantenimiento anual $500.000 $300.000 Costo de mano de obra anual $2’000.000 $1’500.000



Otros costos anuales 0 $500.000 Valor de salvamento $1’000.000 $1’400.000

Vida útil 4 años 7 años Tasa de interés: 29% anual Utilizar cualquiera de los dos métodos.

C. TASA INTERNA DE RETORNO:

Toda persona que desee hacer una inversión espera obtener una utilidad, la cual, expresada en porcentaje, se denomina “tasa de retorno razonable sobre la inversión”.Esta tasa de retorno razonable se conoce como tasa mínima atractiva de retorno y debe ser mayor que cualquier otra tasa de retorno previamente establecida.

La tasa de retorno es aquella mediante la cual una suma presente es igual a la suma de los valores presentes de unas sumas futuras equivalentes, y tiene la característica de que la produce el capital que aún permanece dentro del proyecto y no los capitales que el proyecto ha devuelto.

La TIR entonces será aquella que haga que los valores presentes de unas sumas futuras sean igual a cero, esto es, VPN = 0.

Si la TIR es mayor que la tasa de interés de oportunidad del inversionista, la inversión es buena .



Si la TIR es menor que la tasa de interés de oportunidad del inversionista, la inversión es mala.

Si la TIR es igual a la tasa de interés de oportunidad del inversionista, es diferente hacer la inversión o seguir trabajando el capital a la tasa de oportunidad.

Interpolación:

No siempre los factores o datos se despejan de las fórmulas o se encuentran en las tablas con exactitud, ante lo cual es necesario recurrir a la interpolación. La interpolación lineal es aceptable cuando los valores de i o de n no están muy distantes el uno del otro. Para la interpolación se dispone de los valores (conocidos) y el que se busca, en la siguiente forma:

conocido valor valor conocido a c c a b deseado x d d x deseado b conocido valor valor conocido

Se establece una proporción a = c y se resuelve para C = a x d.



b d b

X = deseado + C.

EJEMPLO # 7:

El Señor Rico compra hoy un negocio por $20.000.000 para ponerlo en funcionamiento debe invertir $2’000.000 dentro de un mes. El espera que su negocio le produzca $1’000.000 mensuales a partir del primer mes y durante II meses más, al final de los cuales vende el negocio por $21’000.000. Calcular la tasa de retorno.

EJEMPLO # 8:

Un ciudadano compró un apartamento por $21’226.866 y lo vende por $30’000.000 al año siguiente. Si por impuesto predial pagó $250.000 trimestrales durante ese año y se ahorro $100.000 mensuales por concepto de vivienda. Cuál fue la tasa de retorno de su inversión?.

EJEMPLO # 9:

El Banco Cafetero le hizo un préstamo al Señor Méndez en las siguientes condiciones:



Valor del crédito = $1’200.000.Estudio del crédito, timbres, comisiones = $92.000.Plazo = 12 meses. Pago de cuotas bimestrales y vencidas:

Valor de la primera cuota = $260.000.Valor de la segunda cuota = $248.000 y así sucesivamente.Calcular el costo del crédito.

D. LA CALCULADORA FINANCIERA:

Las calculadoras Casio FC-100 y FC-200 aplican el método DCF (circulación de efectivo de descuento) que le permite realizar dos tipos de evaluación de inversiones. La evaluación de inversiones relaciona totalizando la circulación de efectivo para periodos fijos de tiempo, permitiendo analizar la efectividad de una inversión. Se disponen de los siguientes dos tipos de evaluación de inversiones:

Valor presente neto ( NPV ). Tasa interna de rentabilidad ( IRR ).

Nuevamente, un diagrama de circulación de efectivo como el ilustrado a continuación permite visualizar gráficamente los movimientos de los fondos:

CF3 CF5 CF7



CF1 CF2 CF4 CF6

CF0 Con este gráfico, el momento de inversión inicial se presenta por Cfo. La circulación de efectivo para el año siguiente se representa por CF1 para dos años después CF2, etc.

La evaluación de inversión se utiliza para mostrar claramente si la inversión está produciendo o no las ganancias originalmente planificadas.

Ingreso de datos:

a) Antes de ingresar los datos, es necesario borrar las memorias i%, CFj y Nj. Para borrarlas presione SHIFT AC EXE .

b) Utilice las teclas i%, CFj y Nj para ingresar los datos correspondientes. El monto de la inversión inicial CFo se ingresa como un monto negativo, presionando la tecla ( - ).



c) Cada vez que se presione la tecla CFj, el valor visualizado corrientemente se ingresa como CFo a CF19. Esto significa que pueden ingresarse hasta 20 valores de circulación de efectivo.

d) Pueden realizarse múltiples ingresos de la misma circulación de efectivo presionando repetidamente la tecla CFj, o realizando una operación de multiplicación con la tecla NJ.

- Para ingresar dos entradas de $3200 3200 CFj CFj. - Para ingresar cuatro entradas de $3500 3500 CFj 4 CFj.

Cálculo del valor presente neto ( NPV ):

Presione NPV EXE para visualizar el resultado del cálculo NPV.- Si el resultado es positivo, se ha excedido el ingreso esperado.- Si el resultado es cero, se ha obtenido el ingreso esperado exacto.- Si el resultado es negativo, no se ha obtenido el ingreso esperado.

Cálculo de la tasa interna de rentabilidad ( IRR ):

Presione IRR EXE para visualizar el resultado del cálculo de IRR. Este se almacena automáticamente en la memoria i% para poder ser recuperado en cualquier momento mediante la operación RCL i% EXE.

Cálculo de la IRR ingresando un valor estimado:

Como los cálculos son bastantes complejos, la calculadora puede no estar posibilitada para producir un resultado. Para el dato ingresado (en este caso se producirá un error), o se



obtendrán múltiples resultados. En tal caso, ingrese un valor estimado y calcule la IRR. (Valor estimado) STO IRR EXE.Realizando esta operación ocasiona que la calculadora inicie los cálculos usando el valor estimado ingresado, produciendo un resultado en un valor cercano al ingresado.

Verificación de los datos ingresados:

Presione RCL y CFj, ingrese el número de la circulación de efectivo a recuperar, y presione EXE.

Cambio de datos:

(Dato de CFj nuevo) STO CFj (número de circulación de efectivo) EXE.

EJERCICIOS CAPITULO III

1. Para un proceso determinado se requiere comprar una máquina. Después de consultar en el mercado, se elaboraron las siguientes alternativas:

Alternativa 1 Alternativa 2



Costo inicial $50’000.000 $60’000.000 Costo de mantenimiento anual $300.000 $500.000 Valor de salvamento $5’000.000 $18’000.000 Vida útil 10 años 10 años

La tasa de interés es del 28% anual.

a). Cuál alternativa debe elegirse?.b). Cuál alternativa elegir si la vida útil de la primera alternativa es de tres años y la de la segunda es de cuatro años?.

2. Usted es el gerente de la empresa “CAVAHUECOS LTDA” y ha sido favorecido con un contrato de apertura de zanjas. El contrato establece que usted recibirá dos millones al iniciar el contrato y tres millones de pesos al finalizar y entregar la obra (1 año).

El contrato parece atractivo y usted considera entonces la posibilidad de realizar la labor mensualmente para lo cual requerirá 3 obreros con un salario mensual de $70.000 cada uno. Por supuesto, usted tendrá que reconocer las correspondientes primas de servicios (medio salario cada semestre al finalizar); al finalizar el año reconocerá las vacaciones de cada trabajador en dinero (medio salario); además las cesantías (1 salario) y los intereses sobre cesantías (12% del valor de las cesantías).

Usted sabe también que existe en el mercado una máquina excavadora con la cual usted podría realizar el mismo trabajo, requiriendo para ello un operario para manejar la máquina;



el operario con las mismas condiciones laborales enunciadas anteriormente. La máquina tiene un costo de 2 millones de pesos.

Dadas sus actuales condiciones de liquidez, usted debe financiar el 70% del valor de la máquina (entrega 30% como cuota inicial), plazo: 12 meses, cuotas iguales, interés de financiación: 42.58%E.A.

Los gastos de mantenimiento de la máquina serán de $120.000 / mes. Usted considera que podría vender la máquina excavadora al finalizar el año en un 20% del costo original (valor de rescate o mercado).

Usted como gerente, debe tomar rápidamente una decisión al respecto. Su tasa atractiva mínima es de 4% mensual.

3. Una compañía manda fabricar uno de los componentes de sus productos; el costo de este componente es de $330/ unidad. La compañía con el propósito de ahorrarse la gran cantidad de dinero que gasta anualmente en la compra de este componente, está analizando la posibilidad de comprar el equipo necesario para su producción.

Investigaciones preliminares del equipo requerido indican el costo inicial es de $10’000.000 y su valor de rescate o de mercado después de 5 años de uso es de $2’000.000. Además, si el equipo es adquirido, los costos FIJOS trimestrales serían de $400.000 y los gastos variables serían de $120 unidad. Si la demanda actual de este componente es de 5.000 unidades trimestrales y la tasa de interés de oportunidad es equivalente a 33,03% anual T.A.



Recomendaría usted este negocio a la compañía?. 4. La junta directiva de una fabrica de zapatos prepara un pequeño plan de inversiones. La

empresa dispone de $15’000.000 que en el momento están invertidos en una corporación de ahorro y vivienda que paga 22.64% de corrección monetaria y 6% de intereses anuales.

Se han explorado 3 oportunidades de inversión que apuntan a la solución de problemas prioritarios:

a) Sustitución de 4 máquinas de guarnición que se utilizan actualmente, las cuales generan un gran número de unidades defectuosas.

b) Instalar una máquina de terminado con lo cual se sustituyen 3 operarios que hacen esta labor manualmente.

c). Apertura de un almacén para ventas directas de producción defectuosa.

Los resultados tentativos obtenidos a través de fuentes secundarias de información son:

Concepto Maquina Maquinaria Almacén terminado guarnición imperfectos Inversión inicial $10’000.000 $12’000.000 $8’000.000 Vida útil 7 años 7 años 7 años Costo anual de operación $1’000.000 $1’500.000 Costo anual de mantenimiento $500.000 $800.000 Costo anual de administración $6’000.000



Información adicional:

- El salario de los tres operarios: $2’500.000/ año.- La producción anual es de 80.000 unidades.- En la actualidad la producción defectuosa es el 10%.- El precio por par de zapatos defectuosos es de $2.000.- El precio de las unidades no defectuosas es de $3.800.- Si se monta el almacén de imperfectos, se estima que la unidad defectuosa puede venderse a $3.100.- Con la adquisición de las guarnecedoras, la producción de las unidades defectuosas se

reducirá a la mitad.- Los activos que serán sustituidos tienen un valor de salvamento tan bajo que puede ignorarse.

a). Cuál inversión recomendaría?. Analice los resultados. b). Determine la TIR de cada inversión y compleméntela con los resultados del literal a.

5. ASIGNACION:

La compañía “Z.Z.” S.A. está planeando abrir un negocio Temporal, para aprovechar la temporada de fin de año, con los siguientes requisitos (Miles $):

- Inversión inicial (comienzo de agosto): $( N+A )* 35.000



- Ventas Estimadas:

Agosto $ A x 20.000 Septiembre $ A x 25.000 Octubre $ A x 40.000 Noviembre $ A x 55.000 Diciembre $ A x 66.000 Enero $ A x 60.000 Febrero $ A x 40.000

Se estima además que:

- La mitad de las ventas de cada mes serán al contado y la otra mitad a crédito; las ventas a crédito se cobran en el mes siguiente a las ventas.

- Los gastos en efectivo relacionados con las ventas, equivalen al 65% de las ventas; se pagan en el mes de la venta.

- Otros gastos en efectivo se estiman en $20.000/ mes. - La depreciación será de $( N + A ) x 35.000/ 5 mensual. - Impuestos 30% pagaderos en febrero. - Se comprará un equipo por valor de $N x 2.000 al contado en diciembre. Valor de Salvamento: cero. - En octubre se emitirán acciones por $ A x 6.000, recibidos al mismo mes. - En enero la empresa venderá los equipos por un valor de: $20.000.

PREPARAR:

a). Un flujo de efectivo para el periodo considerado.



b). Un estado de pérdidas y ganancia (para calcular impuestos).c). Utilizando los criterios de VPN y TIR estime la conveniencia del proyecto.

Suponga que la tasa de interés de oportunidad de la compañía Z.Z. es de 36%e.a.

N : Número de letras de Su primer Nombre. A : Número de letras de Su primer Apellido.


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