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APLICACIN MATEMTICA FINANCIERATASA PORCENTUALTasa.- Es una o varias partes que se toman de una cantidad.Clases:Existen las tasas del tanto por uno, del tanto por ciento, del tanto por mil, etc.Tanto por uno.- para encontrar el tanto por uno dividimos el nmero dado para el totalTanto por cien.- para encontrar el tanto por cien multiplicamos el tanto por uno por cien, al tanto por cien, tambin se lo conoce con el nombre de porcentaje.Tanto por mil.- para encontrar el tanto por mil multiplicamos el tanto por uno por mil.Ejemplo.En una provincia x, se renen los alcaldes de 5 cantones para tratar sobre la desnutricin existente. Hallar el tanto por uno, cien y mil.CANTONEStotal#cocienteTanto x 1X 100X1000X10000

Pelucones8008080/8000.1101001000

Sube rpido500180500/1800.36363603600

Pitufos700300700/3000.4285434294285

Chavos1000150150/10000.5151501500

Mamita pega duro650425650/4250.6538656546538

Estas tasas sirven para indicar en qu porcin una cantidad se incrementa o se Toda tasa de increment, tiene una tasa de disminucin que nos permite regresar a la cifra original.FORMULAS:

De dondeTi = tasa de incrementoTd = tasa de disminucin(1 - td) ti = tdti td ti = td-td ti - td = -ti td ti + td = ti td (ti + 1) = ti

EjemploDe $ 2000 incrementar el 30%. Hallar la tasa de disminucin.

$2000 100%

X 30% X= $2000 X 30% td = 23,076923 100% X=$ 600 TOTAL = $ 26002600 100% X 23.0769% X = $ 600Total= $ 2600 - $ 600 = $ 2000 De $ 3500 disminuir el 15% hallar la tasa de incremento $ 3500 100% X 15% X= $525Total= $2975 DEBER 1. Realizar dos ejemplos encontrando la tasa de disminucin y dos ejemplos encontrando la tasa de incremento.2. En una ciudad x, se reunieron los rectores de 5 colegios para tratar sobre los alumnos perdidos el ao. Hallar el tanto por uno, cien, mil, diez mil.Colegiostotal#cocienteTanto x 1X 100X 1000X10.000

Olmedo53032

Nacional34215

Pedro 85045

Quito63037

Benjamn42026

3. En una ciudad x, se reunieron los alcaldes de 6 cantones a tratar sobre el analfabetismo. Hallar el tanto por uno, cien, mil, diez mil.cantonestotal#cocienteTanto x 1X 100X 1000X10.000

Pucara85685

Girn1180100

Paute97282

Oa2420185

Chardeleg1500105

4. De $ 1800 incrementar el 40%. Hallar la tasa de disminucin 5. De $ 6000 disminuir el 20%, hallar la tasa de disminucin 6. De $ 7200 disminuir el 35%, hallar la tasa de incrementoNota: Ponga 4 ejemplos de su creacin, 2 hallando la td y 2 la de ti.FORMULAS PARA ENCONTRAR EL IMPORTE DE VENTAa) Sabiendo el porcentaje sobre el costoV= C (1 + i)b) sabiendo el porcentaje sobre el importe de venta.

De donde V = Importe de ventaC = Costoi = (porcentaje) EJEMPLOS:1. Gabriela compra un abrigo cuyo costo fue de $ 700.a) Encontrar el importe de venta si se desea obtener una utilidad del 30%.b) Encontrar el importe de venta si se desea obtener una utilidad del 30% sobre el importe.

a) V= C (1+i) b)

V= $700(1+0.3)

V=$910 2. Se compra un artculo pagando $400 y la ganancia es un porcentaje del 30% sobre el costo, hallar el importe de venta.a) V= C (1+i) V= $400(1+0.3) V=$5203. Se tiene un articulo cuyo costo es $ 5850 se deseas venderlo ganando 35% del importe de venta hallar dicho importe de venta.

4. Se tiene un artculo que se vende en $6500, hallar el costo que se sabe que se est ganando 30% sobre el costo.

5. Un artculo se ha fijado un importe de venta de $8000, hallar el costo, si se sabe que se est ganando 22% de la venta C= V (1-i)C= $8000(1 - 0.22)C=$8000(0.78)C=$ 6240DEBER1. Se tiene un artculo que se vende en $7200, hallar el costo que se sabe que se est ganando el 20% sobre el costo. 2. Se vende un artculo cuyo costo es $ 12.500 hallar el costo, si se sabe que se est ganando 35% de la venta.3. A un artculo se lo ha fijado un importe de venta de $8600, hallar el costo, si se sabe que se est ganando 32% de la venta.4. Se tiene una refrigeradora que se vende en $ 750. Hallar el costo si se sabe que se est ganando 25% sobre el costo.5. A un artculo se lo ha fijado un importe de venta de $5200, hallar el costo, si se sabe que se est ganando 28% de la venta.DESCUENTOS MERCANTILES E IMPORTE DE VENTAEstos descuentos se realizan por a) Fechas especialesb) liquidacinc) Promocionesd) Pago en efectivoe) Compras al por mayor, etc.Para encontrar el importe de venta cuando se realizan una serie de descuentos aplicamos la siguiente formula.V= L (1 - d1) (1 - d2) (1 - d3).. (1 dn)De dondeV= importe de ventaL= Valor (importe de lista)D= Descuento

Ejemplo1. Si una empresa, entre otros artculos expende sillones para enanos este artculo esta en promocin por eso la fbrica los vende con el 5% de descuento, adems por la compra de 300 o ms unidades, otorga un descuento adicional de 10% Un Cliente, el Seor Tefilo Bonito compra 300 unidades. El importe de lista unitaria es $ 115 calcular el importe de venta total que realmente se cobrara.VentaVerificacin300 unidades x $ 115= $ 34500$3500100%V= L (1-d1) (1-d2)x5%V= $34500 (1-.0.05) (1-0.10) X= 34500V=$ 29497.50 -1725PRECIO 3277.5 -10%

32775100% X= $3277.5X10%X=$32775 - $3277.5X=$ 29497.402. La empresa amigos Sociedad Annima tiene un articulo al cual le ha fijado un importe mnimo de venta de $ 1131.60 El gerente de ventas desea calcular un importe de lista para asignar en su catalogo y poder ofrecer un descuento de 8% por promocin y otro descuento de 25% por volumen para quienes compren $50 o ms unidades calcular el valor de venta unitario-

L= $16403. En una empresa, entre otros artculos, expende televisores este articulo esta en promocin, por eso la fbrica lo vende con un 10% de descuento adems por la compra de 100 o ms unidades, otorga un descuento adicional del 15% La seora Mercedes Gonzales compra 180 unidades El importe de lista unitario es $ 235 calcular el importe de venta total que realmente se cobrara.

VentaVerificar por favor180 unidades x $ 235= $ 42300 $42300100%V= L (1-d1) (1-d2)x5%V= $42300 (1-.0.10) (1-0.15) X= 34230V=$ 32359.50 X=42300-4230

PRECIO $ 3807038070100% X= $5710.50X15%X=$38070 - $ 5710.50X=$ 32359.504. En una empresa, entre otros artculos expende licuadoras este articulo esta en promocin por eso la fabrica lo vende con un 8% de descuento adems por la compra de 450 o ms unidades, otorga un descuento adicional del 12%.El Seor seora Lus Martnez compra 500 unidades El importe de lista unitario es $75 calcular el importe de venta total que realmente se cobrara.VentaVerificacin500 unidades x $ 75= $ 37500 $37500100%V= L (1-d1) (1-d2)x8%V= $37500 (1-.0.08) (1-0.12) X= $3000V=$ 30360 X=37500-3000 X= $ 3450034500 100% X= $4140X12%X=$34500 - $ 4140X=$ 30360EJERCICIOS PROPUESTOSa. Hallar la td para ti de 18%b. De $5000 incrementar el 18%. Hallar la tasa de disminucin.c. De $5300 disminuir el 28%. Hallar la tasa de incremento.d. Se tiene un artculo cuyo costo es $ 900. Se desea venderlo ganando 40% del costo. Hallar el importe de venta.e. Se tiene un artculo cuyo costo es $ 1994. se desea venderlo ganando 17% del importe de venta. Hallar dicho importe de venta. f. Se tiene un artculo cuyo importe de venta es $ 1380. Con ese importe de venta, se est ganando 15% del costo. Calcular dicho costo.g. Se tiene un articulo cuyo importe de venta es $ 2400 Sabemos que est ganando 16% de dicho importe de venta. Calcular el costo.h. Un artculo se vende en $ 4680 ganando 30% sobre el importe de la compra. Hallar dicho importe de compra.i. Un artculo se vende en $11000 ganando 22% del importe de la venta. Hallar el importe de la compra.j. Un artculo costo $413.60 se desea venderlo ganando 15% del costo y otorgando un descuento de 20% sobre el importe de lista. k. Un articulo costo $ 1411.20la empresa desea venderlo ganando el 16% de la venta y otorgando un descuento del 30% sobre importe de lista hallar L.l. El importe de lista de un artculo es $ 1560 se vende otorgando dos descuentos sucesivos de 16% y 5% hallar el importe de venta.m. El importe de lista de un artculo es $ 150 se vende otorgando tres descuentos sucesivos del 10%,16% y 4% hallar el importe de venta.n. Un artculo costaba $ 25 y ahora cuesta $33 calcular el porcentaje de variacin.Respuesta. 32% Realizar la verificacin.TIEMPO ORDINARIO Y EXACTOTiempo Ordinario.- Para calculare el tiempo ordinario, se considera: El mes comercial igual 30 das, el ao comercial igual 360.Tiempo Exacto.- Le considera a cada mes los das que le corresponde.Ao bisiesto es el que tiene 366 das, es bisiesto cuando sus dos ltimas cifras son 00 o mltiplos de 4.Ejemplo de bisiesto 5124, 2000, 3940, etc.EJEMPLOCalcular el tiempo ordinario y exacto desde el 29 de mayo de 1983 al 01 de octubre el 2007.

Tiempo ordinarioAo 1983 29 de mayo = 1 d. Jun., jul., ag. sept., oct. nov. dic. = 210 dasAos

84, 85, 86, 87, 88, 89, 90 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,99 23 X 360= 8280 DIAS 200, 01, 02, 03, 04, 05, 06.Ao 2007 Ene, feb., mar, Abr, may, jun, 271DIAS. Jul, agosto, sept, oct = 1 d.TOTAL= 8762 DIAS.8762 / 360 = 29.3388889 aos

1ao comercial360diasX8762dias

1ao360dias0.3388889XX= 122.000004diasTotal 24 aos 4meses 2 das. TIEMPO ORDINARIO Y EXACTODesde 6 de julio de 1980 al 04 de octubre del 2007Tiempo ordinario

6 de julio 1980ag., sep, oct Nov. dic. =174 dias

81, 82, 83,84, 85, 86, 87, 88, 89, 90,91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,99 23 X 360= 8280dias 2000, 01, 02, 03, 04, 05, 06.

En, feb., mar,Abr, may, ju274dias. Jul, ag, sep, 4 dias octSUMA TOTAL= 9808 diasTiempo xacto6 de julio = 25 dias1980ag, sep, oct 178 Dias Nov.dic =150 +3 Dias ag, oct, dic

26 + 365 dias = 9440 Aos6 dias por los bisiesto, Total 9496 dias

9m X30 = 270 dias5dias de en, mr, my, jul, ago 273dias + 4 oct= 277 diasSUMA TOTAL= 9951Transformacin en aos, meses y dasOrdinario9808dias / 360dias = 27.2444444aosMeses1ao12meses0.244444XX= 9.933333328meses

2 mese + 0.93333328meses

Das1m30dias0.9333328XX= 28diasTotal 27 aos 2 meses 28 das Exacto9951dias / 365dias = 27.2630137 aos

Meses1ao 12meses0.27.2630737 XX= 3.1561644 meses3 meses + 0.1561644meses

Das1m30dias0.0.1561644 XX= 4.684932 das

Horas1dia24horas0.684932XX= 16.43836816 horas + 0.438368

Minutos1hora60minutos0.438368XX= 26.30208 Min.26 minutos + 0.30208Segundos1minuto60segundos0.30208XX= 18.1248 SEGUNDOTotal 27 aos 3 meses 4 das 16 horas 26 minutos 18 segundos.

Del 9 de mayo de 1986 hasta 04 de octubre del 2007Tiempo ordinario9 de mayo 21dias1986ag, sep, oct, nov, dic. 7x30=210+21= 231dias

87, 88, 89, 90,91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,99 20 X 360= 7200dias 2000, 01, 02, 03, 04, 05.

En, fb, mar,2007 Abr, may, ju270dias+4 = 274dias Jul, ag, sep, 4 dia oct

SUMA TOTAL= 7705 dias

Tiempo exacto9 de mayo = 22dias1986ag, sep, oct 236dias Nov.dic =210 +4 dias ag, oct, dic

20 + 365 dias = 7200Aos6 dias por los bisiesto, 7206 dias

9m X30 = 270 dias2007 5dias de em, mr, my, jul, ago 273dias + 4 oct= 277 diasSUMA TOTAL= 7713

Ordinario7705dias / 360dias = 21.0427778aos21 aos 0.40427778

Meses1ao12meses0.402778XX= 4.8333336meses4 meses + 0.83336 mesesDas1m30dias0.833336XX= 25.000008Total 21aos 4meses 25 das Exacto7819 das / 365 das = 21.42191781 aos21 aos 0.42191781Meses1ao12meses0.0.421917XX= 5.0630136 meses5 meses + 0.0630136 mesesDas1m30dias0.0630136XX= 1.8904109 dias1 dia + 0.89041095Horas1dia24horas0.8904109XX= 21.3698628521horas + 0.36986285Minutos1hora60minutos0.36986285XX= 28 Min.28 minutos + 0.19177088Segundos1minuto60segundos0.1917708XX= 11.506252 SEGUNDOSTotal 21 aos 5 meses 1 das 21 horas 28 minutos 11 segundos.Desde el 10 de Noviembre de 1978 hasta el 07 de Octubre del 2007ORDINARIO10 de noviembre=201978Dic= 1 x 30=30TOTAL=50 dasE F M R M J Jl A Sep. = 270 das 7 das277 dasSUMA TOTAL = 10.407EXACTO10 de Noviembre= 201978Dic= 31TOTAL= 51 dasAOS 28 x 365 das = 10220 + 8 (bis) = 102282007 9 x 30 = 270 + 5 das de E M M Jl A = 273 DAS + 7 Oct = 280 dasSUMA TOTAL = 10559 das

TRANSFORMACIN EN AOS MESESORDINARIOAOSDAS10.407 3601 mes 30 das = 28.908333330.90X28 aos 0.90833333x = 27das

MESES 1 ao 12 meses 0.90833333X10 meses 0.90 = 10.90Resultado Final 28 aos 10 meses 27 das

EXACTO7 aos10559 365 = 28. 92876712MESES1 ao 12 meses 0.92876712XX = 11. 1452054811 meses 0.14520548DIAS1 mes 30 das0.14520548XX = 4.35616444 das 0.3561644HORAS1 da 24 horas0.3561644XX = 8.54794568 horas 0.5479456MINUTOS1 hora60 minutos0.5479456XX = 32.87673632 minutos 0.876736SEGUNDOS 1 minuto 60 segundos 0.876736X X = 52.60416 53 segundos

Resultado Final = 28 aos 11 meses 4 das 8 horas 32 minutos 53 segundos

INTERES SIMPLEInters.- Es la ganancia o beneficio que recibe el prestador o ahorrista por el uso de su dinero.Capital.- Es el dinero que se presta o ahorraTiempo.- Es el lapso que dura la transaccin financiera.Tanto por ciento.- Es una o varias partes que se toma de cada cien. Por comodidad para encontrar el tanto por ciento se aplica la regla de tres simple directa.Ejemplo:1.- De $300 calcular el 15%Desarrollo100151001510015300$45 = el 15% de 300 es $45Aplicando la regla de tres directa, tenemos:$300100%X15%X = X = $45

2.- De $500 calcular el 20%1002010020100201002010020500 $100 = el 20% de 500 es $100

Aplicando la regla de tres directa.

$500100%X20%X = X = $100

Inters.- Es la ganancia o beneficio que se obtiene por el uso de dinero, en un tiempo determinado y a un tanto por ciento % fijado.Monto.- Es la suma del capital ms el inters que produce el dinero por su uso.FRMULAS

M = C + II = Cit

M = C (1 + it)De dondeI = IntersM = C + Cit C = Capitali = (tanto por ciento)t = tiempo dado / las partes del ao de acuerdo al tiempo dado

Ejemplo:t = 1 semestret = 5 trimestrest = 8 bimestres = = = t = 5 semestrest = 25 semanas = = t = 3 meses t = 7 quincenas = = t = 28 mesest = 5 cuatrimestres = = EJERCICIOSDeterminar el monto y el Inters simple de $ 750 durante DATOSPRIMERASEGUNDA FORMAM=?I = CitM = C (1 + it)I =?I = 750. M = 750 C =?I = 30.9375M = $ 780.9375M = C + I I = M - CM = $ 750 + $ 30.9375I = $ 780.9375 - $ 750M = $ 780.9375I = 30.9375Determinar el monto y el inters simple de $600 durante 5 meses al 6%DATOSPRIMERA FORMA

M =?I = Cit

I =?I = 600

C = $600I = $ 15

T = 5 M

t = 6%M = C + I

M = 600 + 15

M = $ 615

DEBERResolver aplicando las dos formas.1. Determinar el monto y el inters simple de $400 durante 7 meses al 8%2. Determinar el monto y el inters simple de $1550 durante 10meses al 5%3. Determinar el monto y el inters simple de $ 860 durante 5 trimestres al 10%4. Determinar el monto y el inters simple de $1600 durante 15 meses al 11%5. Determinar el monto y el inters simple de $2500 durante 18 meses al 7%6. Determinar el monto y el inters simple de $980 durante 6 meses al 6 %7. Determinar el monto y el inters simple de $1250 durante 11 meses al 5%8. Determinar el monto y el inters simple de $2670 durante 14 meses al 8%9. Determinar el monto y el inters simple de $3200 durante 18 meses al 7.5%10. Hallar la tasa de inters simple sabiendo que el monto $1650 es: al $1677.50 en 4 meses, b) $1705 en 10 meses.11. Qu capital produce en 8 meses a) $48 al 6%? B) $50 al 5%?12. Hallar la tasa de inters simple sabiendo que el monto de $1650 es $1705 en 10 meses.13. En qu tiempo un capital de $3000 a) produce $90 al 4% de inters simple? B) alcanza un monto de $3100 al 5% de inters simple?14. Hallar el inters simple ordinario y exacto de a) $900 durante 120 das al 5%15. Determinar la fecha de vencimiento y valor al vencimiento de cada uno de los siguientes pagars.Valor normalFechaPlazoTasa de inters

a)$200025 de Abril3 meses6 %

b)$30005 de Marzo8 meses5 %

c)$125010 de Junio4 meses5%

d)$25001 de Enero7 meses6%

e)$160010 de Febrero120 das4%

f)$320028 de Noviembre45 das7%

g)$150015 de Agosto60 das8%

h)$27505 de Julio135 das6%

Ejercicios de aplicacin sobre inters simple1. Fecha focal.- Es la fecha en la cual se va a cancelar una deuda o a su vez es la fecha del vencimiento.2. Si no existe fecha focal se elige cualquiera3. Si se cancela la deuda despus del vencimiento, calculamos el monto.C = 4. Si se cancela la deuda antes del vencimiento, calculamos el capital.C = 5. Si existen dos tanto por ciento se trabaja por separado teniendo presente los puntos 3 y 4 anotados anteriormenteC = EJERCICIOS16. Determinar el valor de un prstamo de $2500 con vencimiento dentro de 9 meses.a) El da de hoyb) Dentro de 3 mesesc) Dentro de 7 mesesd) Dentro de 1 ao, Suponiendo un rendimiento del 6%a)b)

C = C =

C = C =

C = $2398.34C = $2427.18

c)

d)

C = C =

C = C =

C = $2475.25C = $2537.50

17. X obtiene de Y un prstamo de $1200 a dos aos, con intereses al 6% Qu cantidad tendra que aceptar Y como liquidacin del prstamo 15 meses despus de efectuado suponiendo que desea un rendimiento del 5%.

S = 1200 C =

S = $1344C = $1295.42

18. El seor Prez debe $450 con vencimiento dentro de 4 meses y $600 con vencimiento dentro de 6 meses. Si desea saldar las deudas mediante un pago nico inmediato Cul ser el importe de dicho pago suponiendo un rendimiento del 5%? Utilizar como fecha focal el da de hoy.

C = C =

C = C =

C = $442.62C = $585.37

1 + C2 = 442.62 + 585.37Total = $ 1027.99

19. El problema 27 Cul deber ser el pago nico, a partir de hoy, a) despus de 3 meses b) despus de 5 meses c) despus de 9 meses, para saldar ambas deudas? Utilizar como fecha focal de cada caso la fecha del pago nico.a)

C1 = C2 =

C1 = C2 =

C1 = $448.1327801C2 = $592.5925926

TOTAL = $1040.72

b)S = C ( 1 + it)S = $4500 S = $451.875

c)S2 = $450

C = S1 = 459.375

C = S2 = $600

C = $597.5103734S2= $607.5

TOTAL = $1049.39TOTAL = $1066.88

20. Qu oferta ms conveniente para un comprador de una casa $4000 inciales y $6000 despus de 6 meses a $6000 inciales y $4000 despus de un ao? Supngase un inters del 6% y comprese en la fecha de compra, el valor de cada oferta.

C1 = C2 =

C1 = C2 =

C1 = $5825.242718C2 = $3773.584906

$ 5825.24 + 4003773.58 + 6000

TOTAL = $9825.24TOTAL = 9773.58 este es el ms conveniente

21. Una persona debe $2000, para pagar en un ao con inters al 6%. Conviene pagar $500 al final de 6 meses Qu cantidad tendr que pagar al final de 1 ao para liquidar el resto de la deuda suponiendo un rendimiento de 6%? Tomar como fecha focal la fecha despus de un ao.OTRA FORMA

S1 = 500 S1 = 2000S2 = 500

S1 = 515S1 = 2120S2 = $515

S2 =1500S1 S2 = 2120 515

S2 = $1590TOTAL = 1605

S1 + S2 = 515 +1590 = 2105 500 = $1605

22. Una persona debe $2000 con vencimiento en 2 meses, $1000 con vencimiento en 5 meses y $1800 con vencimiento en 9 meses. Desea liquidar sus dudas mediante dos pagos iguales con vencimiento en 6 meses y 12 meses respectivamente. Determinar el importe de cada pago suponiendo un rendimiento del 6% y tomando como fecha focal la fecha un ao despus.X [1 + 1.03 x + x = 2100 + 1035 + 1827 2.03 x = 4962 x = $2444.3323. Una Persona debe $500 con vencimiento en 3 meses e intereses al 5%, y $1500 con vencimiento en 9 meses al 4% Cul ser el importe de pago nico que tendr que hacerse dentro de 6 meses para liquidar las deudas suponiendo un rendimiento un rendimiento del 6%? Tomar como fecha focal la fecha a) al final de 6 meses, y b) al final de 9 meses.a)b)1ra deuda

S1 = C ( 1 + it)S2 = C ( 1 + it)S1 = C ( 1 + it)S2 = C ( 1 + it)

S1=500S2 = 1500S1=500S1 = 506

S1 = 506.25S2 = $1545S1 = 506.25S2 = $591.44

S2 =506.25C = 2da deudaC2 = 1522 17

S2 = $513.84C = $1522.17Importe C1 + C2513.73 + 1522.17

S1+ S2 = 513.84 + 1522.17 = 2036.01C = $ 513.73TOTAL = $2035.90

EJERCICIOS PROPUESTOS24. El seor Jimnez adquiere un terreno de $5000 mediante un pago de contado de $500. Conviene en pagar el 6% de inters sobre el resto. Si paga $2000 tres meses despus de la compra y $1500 6 meses ms tarde Cul ser el importe del pago que tendr que hacer 1 ao despus para liquidar totalmente el saldo? Tomar como fecha focal al final de 1 ao.25. Una hipoteca tiene un valor de $1200 al vencimiento. Determinar su valor 5 meses antes del vencimiento, suponiendo un rendimiento de 4 % de inters simple.Cul es el descuento racional?C=$1177.91 VERIFICAR26 .Recibir un dividendo de $750 el 14 de junio. Cul es su valor el 30 de abril suponiendo un rendimiento de 5% de inters simple? Cul es el descuento racional?C=$745.34 VERIFICAR26. Un documento por $600 establece 5% de inters simple por 120 das. Si B descuenta el documento 30 das antes del vencimiento para obtener 4% de inters simple. Cul es el descuento?

ADEMS DE LOS QUE CONSTAN EN ESTE MDULO, CONSULTAR AL PROFESOR SOBRE LOS EJERCICIOS A RESOLVERPAGOS PARCIALESEn ciertas ocasiones, el deudor realiza una serie de pagos parciales para liquidar una deuda, el asunto es encontrar el saldo insoluto cuando se realice esta serie de pagos. Para hallar el saldo insoluto, podemos aplicar dos reglas: la regla comercial y la regla americana (EE.UU).Regla comercialPara encontrar el saldo insoluto aplicando esta regla procedemos de la siguiente manera.1. Hallamos el monto de la deuda de vencimiento.2. Encontramos los montos de los pagos parciales, tomando como referencia el tiempo que falta para el vencimiento.3. Sumamos los montos de los pagos parciales.4. Restamos el monto de la deuda menos la suma.EjemploUna deuda de $2000 con inters de 5% vence en 1 ao. El deudor paga $600 en 5 meses y $800 en 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento.Monto de la deuda al vencimiento.Sd = 2000(1+ 5/100x1) ; Sd = $2100Pagos parcialesS1=600(1+5/100x7/12) = S1=$617.50S2=800(1+5/100x3/12) = S2=$810 Total $ 1427.50

2100-1427.50Saldo= $ 672.50Regla AmericanaPara encontrar un saldo insoluto aplicando esta regla procedemos de la siguiente manera.1. Encontramos el monto de la deuda tomando como referencia el tiempo que utiliza para realizar el o los pagos parciales.2. Restamos el monto obtenido menos el pago parcial realizado.3. Las operaciones anteriores, se van realizando hasta cubrir la fecha de vencimiento. EjemploUna deuda de $2000 con intereses de 55 vence en 1 ao. El deudor paga $600en 5 meses y $800 en 9 meses .Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento.S1=2000(1+5/100x5/12) = S1=$617.50S1=$2041.67 -600Saldo=1441.677m 4600 $800S2=1441.67(1+5/100x4/12) 9m 3m 1ao = S2=1465.70 -800 Saldo$665.70S=665.70(1+5/100x3/12)Saldo= $ 674.02EJERCICIOS PROPUESTOS1. Aplicando. a) La regla comercial, y b) la regla de los Estados Unidos. Hallar el saldo en la fecha de vencimiento de un documento de $7500 a 10 meses al 6% si es reducido mediante dos pagos iguales de $2500 cada uno, efectuados 4 meses y 7 meses antes de la fecha de vencimiento. 2. Una deuda de $3000 con intereses al 6%, vence en 9 meses. Si se pagan $1000 despus de 4 meses y $1200 tres meses ms tarde. Hallar el saldo insoluto en la fecha de vencimiento aplicando, a) la regla comercial y b) la regla de los EE.UU.3. El firmante de un documento a 180 das por $ 5000, con inters al 5% fechado el 10 de marzo de 1969, paga $1500 el 6 de mayo de 1969; $750 el 20 de junio de 1969 y $1000 el 19 de agosto de 1969. Hallar el saldo insoluto en la fecha de vencimiento, aplicando a) la regla comercial y b) la regla de EE.UU.4. M pide a un banco un prstamo de $8000 por 8 meses, al 5%. Al trmino de dos meses paga $ 4000 y al trmino de 6 meses desea pagar el saldo insoluto Cunto tendr que pagar de acuerdo con la regala de EE.UU.?5. Una persona da 3600 de cuota inicial por la compra de una casa cuyo precio es de $10.000.Posteriormente pagar $1000 al final de cada trimestre durante tres trimestres. Hallar el saldo insoluto al final del ao aplicando la regla de los Estados Unidos y suponiendo inters al 8%.TASAS DE INTERS APROXIMADASEstas, se calculan cuando el comprador se compromete a realizar o dar una cuota inicial y el saldo en cuotas fijas, semanales, quincenales, mensuales, etc.Para calcular la tasa de inters aproximada tenemos las siguientes frmulas:Frmula residual o comercial 2mIi = B(n+i)-I(n-i)

Frmula razn constante 2mIi = B(n+i)Frmula serie de pagos 2mIi = Rn (n+1)Frmula razn directa 6mIi = 3B (n+1) +I(n-1)

De donde:m = # de pagos en el aon = # de pagos a realizarseB = valor de contado - cuota inicialR = Pago peridico o anualidad.I = Rn - BEJEMPLOS1. Un radio marcado para su venta en $ 74.95 es vendido con abonos mediante $ 9.95 inciales y 10 pagos semanales de $6.75c/u.m = 52n = 10B=74.95 -9.95=$65R=$6.75I =I = 6.75(10)-65I=67.50-65I = $2.50 2mI 2mI i =i= B(n+1) B(n+i)-I(n-i) 2x52x2.50 i= 2(52)(2.50) i = 65(10+1)-2.50(10-19 65(10+1)i=0.375451263x100i=0.363636363x100i=37.5% i=36.4% 6mI 2mI i =i = 3B(n+1)+I(n-1) Rn(n+i) 6x52x2.50 i= 2(52)(2.50)I = 6.75x10(10+1) 3x65(10+1)+2.50(10-1)I = 0.35016835x100I = 0.359861591x100I = 35% I = 36%17.-Un congelador de $475 se ofrece mediante cuota inicia la de $175 y el saldo en 11 pagos mensuales de $30 cada uno.m = 12n = 11B = 300R = 30I= 302mI 2mI i =i = B(n+1) B(n+i)-I(n-i) i=2x12x30 I = 2(12)(30) 300(11+1)-30(11-1)300(11+1)i=0.218181818x100i=0.2x100i=21.8% i=20% 6mI 2mI I =i = 3B(n+1)+I(n-1) Rn(n+1) 6x12x30 I = 2(12)(30)I = 30x11(11+1) 3x300(11+1)+30(11-1)I = 0.181818181x100I = 0.194594594x100I = 18.2% I =19.5%

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS18.-Una lavadora cuyo precio de contado es $199.95, se vende con $19.95 de cuota inicial. El saldo se pagar mediante 10 pagos mensuales iguales calculamos con inters global de 6% anual.19.-Una compaa de ventas por catlogo carga 10% sobre el precio de contado cuando la venta se efecta a plazos. Se requiere una cuota inicial de una tercera parte y la diferencia en 12 mensualidades iguales. Supngase un precio de contado de $30020.-El valor de contado de una bicicleta es $3050. M deba pagar $750 de cuota inicial por la bicicleta usada pero pag $500. Acord pagar el saldo en 15 meses al 6% de inters global.21 Aplicar la frmula de razn constante, para obtener la tasa aproximada de inters pagada en cada una de las siguientes operaciones: Prestamos Interes Numero de pagos mensuales igualesa) $400 7% del prstamo 12b) $800 8% del prstamo 15c) $1000 10% del prstamo 18

22.-Aplicar la formula de razn directa para obtener la tasa de inters pagada sobre los prstamos del problema 21.INTERES COMPUESTOEs la capitalizacin de los intereses en cada perodo FRMULASS= C(1+it)S= C(1+i)ti= Tasa de inters por periodos de las partes del ao de acuerdo a tMonto = valor futuroEjemplo: si t es: Mens i = 5/1200 Anual i =5/100 Trimestral i =5/400Semestral i = 5/200 Semanalmente i = 5/5200EJERCICIOS21.- Un padre coloca $500 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo. Si la cuenta paga el 2 1/2% convertible semestralmente. Cunto habr, al cumplir 18 aos el hijo?S=500(1+2.5/200)36 semestrales 2.5S=$781.9723.- Una pliza dotal de $10000 cuyo vencimiento fue el 1 de mayo de 1962, fue dejada en la compaa de seguros al 3 1/2% convertible anualmente Cul fue su valor el 1 de mayo de1970?S=10000(1+3.5/100)8S=$13168.0934.- Cuntos aos se necesitaran para que $1500 aumenten al doble, al 6% convertible trimestralmente?t = log S log C1 ao 4 trimestres log(1+6/400)x 46.55 trimt = log3000-log1500 log(1+6/400)t = 11.64 aos17.- Hallar la tasa de inters i por periodo de conversin y el nmero n de periodos de conversin cuando se invierte un capital C:h) del 15 de marzo de 1947 al 15 de septiembre de 1962, al 3.5% convertible semestral.I = 3.5 1962 - 09 -15 200 1947 - 03 - 15i = 0.0175 15 - 06 30semt 1sem = 31 semestres10) Hallar el valor presente de $2000 pagaderos en 8.5 aos al 5% convertible semestralmente.

C = S (1+i) tC=2000/(1+5/200)17C=$1314.3911.- Al nacer su hijo, un padre desea invertir una cantidad tal, que acumulada al 3.5% convertible semestralmente importe $6000 cuando el hijo tenga 21 aos Cunto tendr que invertir?C= S (1+i) tC=6000/ (1+3.5/200)42C=$2895.38

DEBER17. Hallar la tasa de inters I por periodo de conversin cuando se invierte un capital c:a) al 4 % anual durante 5 aosb) por 8 aos al 5%c) por 6 aos al 4.5% convertible semestralmented) por 10 aos al 3.5% convertible semestralmentee) por 5.5 aos al 4% convertible trimestralmentef) por 6 aos 9 meses al 6% convertible trimestralmente.g) del 1ro de enero de 1960 al 1 de julio de 1971 al 5% convertible semestralmente.i) del 18 de agosto de 1948 al 18 de febrero de 1957, al 6% convertible trimestralmenteTASAS FINANCIERASEn el sistema financiero nacional existen dos tasas financieras: La Tasa efectiva y la tasa nominal.Tasa efectiva. Es cuando el perodo de capitalizacin es el ao (se dice anual) Tasa nominal. Es cuando el perodo de capitalizacin es diferente al ao (semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral etc.)Tasas equivalentes. Se dice que dos tasas son equivalentes cuando producen el mismo inters en el ao.Para hallar tasas equivalentes, procedemos de la siguiente manera. Igualamos los factores de conversin correspondientes en el ao. (1 + i)n = ( 1 + i)n efec trim trim efect sem menEtctera Reemplazamos los valores dados Realizamos todas las operaciones posibles hasta encontrar la tasa buscada.ejemplo

Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 5% convertiblemente semestralmente. Trimsem (1 + i)n = ( 1 + i)n

T = 4.9691%Hallar la tasa nominal convertible semanalmente equivalente al 5%Trim sem(1 + i)n = ( 1 + i)n

T = 4.88%

Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual el 5 de $ 3500 es 5000 en 5 aos.S = C ( 1+ i)t

5200 = 3500

T = 400

T = 6,85%

Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 8% convertible cuatrimestralmente. Men. Cuat.(1 + i)n = ( 1 + i)n

T = 7.72.Una deuda de $ 250 vencida hace dos aos y otra de $750 pagaderos en 3 aos se va a liquidar en la fecha mediante un pago nico. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente.

S= 275.95

C=

EJERCICIOS PROPUESTOS:

Acumular $1500 por 71/2 aos al 5.2% convertible trimestralmenteMediante la regla prctica. Hallar el monto compuesto de:a) $ 1000 por 8 aos, 5 meses, al 4% convertible semestralmente.b) $ 1500 por aos, 10 meses, al 5% convertible trimestralmentec) Qu tasa convertible anualmente es equivalente al 6% convertible trimestralmente?d) Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 5 % convertible semestralmente. e) Hallar la tasa nominal convertible semestralmente a la cual el monto de $ 2500 es $ 3250 en 5 aos.f) Hallar la tasa nominal convertible mensualmente a la cual el monto de $ 3250 es $ 4000 en 8 aos?g) Un deudor puede liquidar una deuda pagando al $ 800 en la fecha o (b) $ 10000 dentro de cinco aos- Qu opcin debe aceptar suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente?h) Cul es el valor presente de un documento por $ 1200 con intereses al 5% convertible semestralmente por 10 aos si el rendimiento actual es del 4,5% efectivo?i) M debe $ 1000 pagaderos dentro de 3 aos. Se hace, el da de hoy, un pago de $ 400, Cul ser el importe del pago que tendr que hacer en 2 aos para liquidar su deuda suponiendo un rendimiento de 5% convertible semestralmente?j) El da de hoy, un comerciante compra artculos por valor de $ 1500. Paga $ 500 inciales y $ 500 Al trmino de 4 meses suponiendo un rendimiento de 6% convertible mensualmente, Cul ser el importe del pago final que tendr que hacer al trmino de 6 meses?k) M firm un documento por $ 1500 con intereses acumulados por 2 aos al 5% convertible trimestralmente, vencido el da de hoy. Paga $ 500 nicamente y acuerda a pagar el resto en 1 ao. Hallar el importe del pago requerido.l) Supngase, en el problema 19, que M acuerda pagar el resto en dos pagos con vencimiento en 6 meses y 1 ao a partir de hoy. Hallar el importe de los pagos requeridos.ll) Sustituir dos deudas de $ 400 y $ 800 con vencimiento en 3 y 5 aos respectivamente, por dos pagos iguales con vencimiento en 2 y 4 aos, suponiendo un rendimiento de 5 % convertible semestralmente.m) Un terreno es vendido por $ 500 en efectivo y $ 250 anuales por los prximos 4 aos. Suponiendo un rendimiento de 6% efectivo, hallar el precio de contado del terreno.n) Cul ser el importe de cada uno de los 4 pagos anuales que tendrn que hacerse para liquidar una deuda de $ 2000, con vencimiento el da de hoy, suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente, si a) el primer pago se hace de inmediato, b) el primer pago se hace al trmino de 1 ao.) El da de hoy, B contrae el compromiso de pagar $ 5000 en 10 aos, con inters al 4.2%. Cul es el valor de la obligacin dentro de 6 aos suponiendo para entonces un rendimiento de 3,8%.o) A qu tasa efectiva, un pago nico de $ 1500, hoy, es equivalente a dos pagos de $ 800 cada uno con vencimiento en 1 y 2 aos respectivamente?p) En qu tiempo un pago nico de $1.200 saldar las dos deudas del problema ll.q) Hallar el tiempo equivalente para el pago de dos deudas de $250 cada una, con vencimiento en 6 meses y 1 ao respectivamente, suponiendo un rendimiento de 6% convertible mensualmente.PERIODICIDADESSon depsitos que se realizan con el fin de constituir un capital o de extinguir una deuda.A las periodicidades con los cuales se trata de constituir un capital reciben el nombre de imposiciones y cuando se trata de extinguir una deuda reciben el nombre de amortizaciones.Las imposiciones, reciben el nombre de anualidades sin importar el periodo de capitalizacin.Las anualidades son de dos clases: Vencidas y Anticipadas, Estas a su vez se clasifica en ciertas o fijas y eventualesCiertas o fijas. Son aquellas que tienen tiempo determinado de duracin. Ejemplo. Contrato de arriendo, prstamos a largo y corto plazo, hipotecas, compras a crdito, etc. Anualidades eventuales: son aquellas que no tienen tiempo determinado de duracin. Ejemplo: seguro de vida, jubilaciones, montepo, arriendos sin contrato, etc.ANUALIDADESFORMULASVENCIDASANTICIPADAS

De dondea = anualidad (depsito)P = valor presente actual.Tambin

Para encontrar n

Log

EJERCICIOSM est pagando $ 22.50 al final de cada semestre por concepto de la prima de la pliza total, la cual le pagar $ 1.000 al trmino de 20 aos. Qu cantidad tendra si en su lugar depositara en una cuenta de ahorro que le produjera el 3% convertible semestralmente?

S= $ 1221.03

M ha depositado $25 al final de cada mes durante 20 aos en una cuenta paga el 3% convertible mensualmente. Cunto tena en la cuenta al final de dicho perodo.

S = $8207.54Cuanto debi depositarse el 1 de junio de 1940 en un fondo que pag el 4% convertible semestralmente, con el objeto de poder hacer retiros semestrales de $500 cada uno, desde el 1 de junio de 1955 hasta el 1 de diciembre de 1970.1970-12-011970-12-011954-12-011940-06-011955-06-011946-06-0130-06 1-06 14-06= 61 semestres=31 semestres

P1= $ 17529.84P 2= $ 11468.85P 3= $ 10922.19Valor Presente = P1 - P3= P1 - P3VP = $6607.65DEBERHallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias: a) $ 400 anuales durante 12 aos al 2.5%.b) $150 mensuales durante 6 aos 3 meses al 6% convertible mensualmentec) $ 500 trimestre durante 8 aos 9 meses al 6% convertible trimestralmented) A ahorra $ 600 cada medio ao y los invierte al 3% convertible semestralmente hallar el importe de sus ahorros despus de 10 aos. e) Hallar el valor efectivo equivalente a una anualidad de $100 al final de cada 3 meses durante 15 aos, suponiendo un inters de 5% convertible trimestralmentef) Que es ms conveniente, comprar un automvil en $2750 de contado a pagar $500 inciales y $200 al final de cada mes por los prximos 12 meses, suponiendo intereses calculados al 6% convertible mensualmente.g) Que cantidad debi ser depositada el 1 de junio de 1950 en un fondo que produjo el 5% convertible semestralmente con el fin de poderse hacer retiros semestralmente de $600 cada uno, a partir de 1 de Diciembre de 1950 y terminado el 1 de diciembre de 1967?h) Se estima que un terreno boscoso producir $15000 anuales por su explotacin en los prximos 10 aos y entonces la tierra podr venderse en $10.000. encontrar su valor actual suponiendo inters al 5%.i) Suponindose intereses al 5.2% convertible trimestralmente, Qu pago nico inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $ 100 cada uno, hacindose el primero al final de tres meses.J) M invierte $250 al final de cada 6 meses en un fondo que pago de 33/41 convertible semestralmente. Cul ser el importe del fondo al precisamente despus del 12 Deposito? B) antes del 12 deposito? C) precisamente del 15 deposito k) Al comprar M un coche nuevo de $3750, le reciben su coche usado en $1250. Cunto tendr que pagar en efectivo si el saldo lo liquidar mediante el pago de $125 al final de cada mes durante 18 meses, cargndole inters al 6% convertible mensualmente?l) Un contrato estipula pagos semestrales de $400 por los prximos 10 aos y un pago adicional de $2500 al trmino de dicho periodo. Hablar el valor efectivo equivalente del contrato al 7% convertible semestralmente.Ll) M acuerda liquidar una deuda mediante 12 pagos trimestrales de $300 cada uno si emite los tres primeros pagos, a) Qu pago tendr que hacer en el vencimiento del siguiente para al quedar al corriente en sus pagos? b) Saldar su deuda? Tomar intereses al 8% convertible trimestralmente.m) Con el objeto de reunir una cantidad que le ser entregada a su hijo al cumplir 24 aos, un padre deposita $200 cada seis meses en una cuenta de ahorro que paga el 3% convertible semestralmente. Hallar el monto de la entrega se el primer deposito se hizo el da del nacimiento del hijo y el ltimo cuando tena 20 aos.ANUALIDADES ANTICIPADASEJEMPLO:M acuerda pagar $250 al principio de cada ao durante 15 aos. Al 4.5% hallar el valor de los pagos restantes, a) justamente despus que haga el tercer pago b) justamente antes de hacer el sexto pago c) si despus de hacer el pago inicial M deja de hacer los 4 pagos siguientes, Cunto tendr que pagar al vencimiento del siguiente pago para ponerse al corriente?.a) p = a (1 + i)

p = 250 (H 4.5/100)p = $ 2529.65 - 250P = $ 2279.65

b) P = 250 P = $ 2067.20

c) S = a (1+i)

S = 250 (1+4.5/100)S = $ 1.117.68-250S = $ 1367.68

El valor de contado de un coche usado es $ 1750. B desea pagarlo en 15 abonos mensuales, venciendo el primero el da de la compra. Si se carga el 18% de inters convertible mensualmente. Halla el importe del pago mensual.

p = a (1 + i)

a =

a = a = $ 129.91

A = R .s n i = R

A = R. a n i = R

El 1 de junio de 1958 se compra un negocio con $ 10.000 de cuota inicial y 10 pagos trimestrales de $ 2500 cada uno, el primero con vencimiento el 1 de junio de 1961. Cul es el valor de contado del negocio suponiendo intereses al 6% convertible trimestralmente?

1961 06 011958 06 01 3 // //

P = 2500 p2 = 2500 P1 = $ 42921.60p2 = $ 23055.46

P = p1 + p2P = 19866.14 +10000 cuota inicial P = 29866.14

P1 = 2500 (1+6/400) p1 = 47250.34

P2 = 2500 (1+6/400) p2 = 27677.79

P = p1 - p2P = 19572.55 +10000 P = 29572.55

Qu cantidad es necesaria para patrocinar una serie de conferencias que cuestan $ 2500 al principio de cada ao, indefinidamente, suponiendo interese al 5% convertible trimestralmente?

P =

P = P = 49072.20 2500T. = 51.572.20

Suponiendo que una granja produzca $ 5000 anuales indefinidamente Cul es su valor real sobre la base de 5%?

P = 100.000PROBLEMAS PROPUESTOS Un televisor es comprado con $ 50 de cuota inicial y $ 50 mensuales durante 14 meses. Si se cargan intereses de 21% convertible mensualmente. cul es el valor de contado del televisor? B. alquila un edificio en $ 10.000 cada 3 meses pagados por adelantado. Invierte en forma inmediata $ 7.500 de cada pago en un fondo que paga el 5% convertible trimestralmente. Cul ser el importe del fondo al trmino de 6 aos?

La prima anual por adelantado de un pliza de seguro temporal a 10 aos es $ 178.40 Cul es el equivalente de contado al 3.5%? La renta por un edificio es $ 1500 anuales por adelantado. Cul es la renta mensual por adelanto equivalente al 6% convertible mensualmente? Un granjero compr un tractor el 1 de marzo, comprendiendo que hara pagos mensuales de $ 200 durante 24 meses, el primero con vencimiento el 1 de octubre. Si el inters es al 12% convertible mensualmente, hallar el valor de contado equivalente. En esta fecha B adquiere un prstamo de $ 2500 para adquirir un planto de frutas ctricas. Piensa liquidar el prstamo con intereses de 5.5% en 10 pagos anuales iguales haciendo el primero en 8 aos. Hallar el pago anual. Al nacimiento de su hijo. M desea depositar en una fiduciaria una cantidad tal que le proporcione a su hijo pagos de $ 1250 cada 6 mese durante 4 aos, venciendo el primero cuando cumpla 18 aos. Si la fiduciaria paga el 3% convertible semestralmente- Cundo tendr que depositar M? Si esta fecha, M contrae una deuda con intereses al 5% convertible trimestralmente, la cual ser pagada mediante desembolsos de $ 250 al final de cada 3 meses por los prximos 5 aos, seguido de pagos de $ 400 trimestrales por los siguientes 4 aos. Hallar el importe de la deuda.

AMORTIZACIN Y FONDO DE AMORTIZACINAmortizacinSe dice que un documento que causa intereses esta amortizado cuando todas las obligaciones contradas (tanto capital como intereses) son liquidas mediante una serie de pagos (generalmente iguales) hechos en intervalos de tiempos iguales.Amorticemos una deuda A amparada con un documento que causa intereses, mediante una serie de n pagos de R cada uno. Cada pago R se aplica en primer lugar para el pago del inters vencido en la fecha del pago; la diferencia se utiliza para disminuir la deuda. En consecuencia, la cantidad disponible para disminuir la deuda aumenta con el transcurso del tiempo.La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o capital insoluto en la fecha. El capital insoluto al inicio del plazo es la deuda original. El capital insoluto al final del plazo es 0 en teora, sin embargo, debido a la prctica de redondear al centavo ms prximo, puede variar ligeramente de 0. El capital insoluto justamente despus de que se ha efectuado un pago es el valor presente de todos los pagos que an faltan por hacerse.Tabla de AmortizacinPara efectos contables es conveniente preparar una tabla que muestre la distribucin de cada pago de la amortizacin respecto a los intereses que cubre y a la reduccin de la deuda.

PERIODO(a)Capital insoluto al principio del periodo(b)inters vencido al final del periodo(c)

Pago(d)Capital pagado al final del periodo

12345650004217,253414,932592,551749,61885,60125105,4385,3764,8143,7422,14907,75907,75907,75907,75907,75907,75782,75802,32822,38842,94864,01885,61

TOTALES446,495446,505000,01

Inters en el Valor de un bien Adquirido

Cuando se compra un bien mediante una serie de pagos parciales, el inters del comprador del bien, en cualquier tiempo, es aquella parte del precio del bien que ha pagado. Al mismo tiempo, el inters del vendedor del bien, es aquel que queda por pagarse, esto es, el capital insoluto en la fecha, Claramente vemos que:

INTERES DEL COMPRADOR + INTERES DEL VENDEDOR = PRECIO DE VENTA

Extincin de Deudas Consolidadas

Cuando una deuda contrada mediante la emisin de bonos con intereses es amortizada, cada pago se aplica para cubrir los intereses correspondientes vencidos y para redimir un cierto nmero de bonos. Los pagos peridicos no pueden permanecer iguales, sin embargo tiene que ser lo ms similares que sea posible.

Fondo de AmortizacinEn el mtodo de fondo de amortizacin para liquidar una deuda, el acreedor recibe el inters pactado en su vencimiento y el valor nominal de la deuda al trmino del plazo. Con el objeto de poder hacer el ltimo pago, el deudor crea un fondo por separado en el cual hace depsitos peridicos iguales durante el plazo, de tal forma que justamente despus del ltimo deposito, el fondo importa el valor de la deuda original. Es de suponerse que el fondo gana intereses, pero no necesariamente a la misma tasa que carga el acreedor.Tabla del Fondo de AmortizacinPERIODO(a)Aumento de inters(b)Deposito(c)Incremento al fondo(d)Importe del fondo al final del periodo

1234567808,8917,9227,0836,3845,8255,4065,13592,92592,92592,92592,92592,92592,92592,92592,92592,92601,81610,84620629,30638,74648,32658,05592,921194,731805,572425,573054,873693,614341,934999,98

TOTALES256,624743,364999,98

DepreciacinLa primera objecin est relacionada con el hecho de que la ms fuerte depreciacin de la mayora de los activos ocurre durante el primer ao de uso y posteriormente la depreciacin decrece ao tras ao, mientras que por el mtodo lineal se supone que es la misma para cada ao. Esta objecin fue refutada mediante el mtodo de porcentaje-constante.La segunda objecin proviene del hecho de que aun cuando el fondo de depreciacin es normalmente utilizado como capital de trabajo por la compaa, no se acredita inters al fondo en ningn mtodo. Esta objecin se refuta con el mtodo de fondo de amortizacin. Designemos con C el costo original, S el valor de salvamento y n (aos) la vida til del activo. Si i es la tasa efectiva ganada por el fondo de depreciacin, el depsito anual R en el fondo estar dado por R = (C - S)1 / niEn esta forma, el incremento anual al fondo ser ahora la suma del cargo por depreciacin anual R y del inters ganado por el fondo durante el ao. Excepto por la columna que nos da el valor en libros del activo, la tabla es la misma que para el fondo de amortizacin ordinario.

AntigedadCargo por depreciacininters sobre el fondoIncremento al fondoImporte del fondoValor en libros

01234560556,55556,55556,55556,55556,55556,550016,7033,8951,6169,8588,640556,55573,25590,44608,16626,40645,190556,551129,801720,242328,402954,803599,9940003443,452870,202279,761671,601045,20400,01

Debe notarse que mientras que el mtodo de fondo de amortizacin acredita inters al fondo de depreciacin, aumentan las otras caractersticas objetables del mtodo lineal, ya que ahora el fondo de depreciacin se incrementa con cantidades crecientes cada ao.AgotamientoLa prdida de valor de una misma o de un pozo petrolero por la extraccin a gradual de metal o petrleo, de los cuales depende su valor, se conoce como agotamiento. El comprador de uno de estos activos espera recibir:1. inters a una cierta tasa por su inversin, y2. El reembolso eventual de su inversin original.

En consecuencia, el producto anual del activo debe alcanzar tanto para el inters requerido como para el fondo de amortizacin (fondo de reembolso), el cual alcanzara el valor de la inversin original menos cualquier valor de salvamento del activo en la fecha en que este agotado.Bonos"Bono es una obligacin o documento de crdito, emitido por un gobierno o una entidad particular a un plazo perfectamente determinado, que devenga intereses pagaderos en perodos regulares de tiempo."

"Un bono es una promesa escrita de:a) Una suma fija, llamada valor de redencin, en una fecha dada, llamada fecha de redencin.b) Pagos peridicos conocidos como pagos de intereses hasta la fecha de redencin."

Segn estas definiciones, el bono es un documento financiero que se utiliza para obtener dinero actual (liquidez), con la obligacin de reconocer el respectivo inters peridico con los cupones como su valor original (nominal) en la fecha de vencimiento.

CaractersticasEn todo bono se pueden destacar los siguientes elementos:

El valor nominal que consta en el documento generalmente es un mltiplo de 10. Ejemplo: 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, etctera. Generalmente se expresan las letras maysculas inciales del mes que inicia y el mes que termina cada pago de cupn.

Ejemplo: un bono al 12% pagadero en abril y octubre se puede expresar: 12% AO.

La tasa de inters que se debe pagar puede ser anual con capitalizacin semestral, trimestral, etc.; la ms comn es la semestral.

La fecha de redencin es el plazo de terminacin o fecha en la cual debe pagarse el valor nominal del bono. Casi siempre coincide con la fecha de pago de intereses.

El valor de redencin es el valor del bono a la fecha de finalizacin o redencin. Este valor puede ser: Redimible a la par. Cuando el valor nominal y el valor de redencin soniguales. Por ejemplo, un bono de $ 1 .000 redimible a la par = (1 .000)0 ) =$ 1.000. Redimible con premio: Cuando el valor de redencin es mayor que el valornominal. Por ejemplo, un bono de $ 1.000 redimible a 102: 1000(1,02) = $ 1.020. Redimible con descuento: Cuando el valor de redencin es menor que elvalor nominal. Por ejemplo, un bono de $ 1 .000 redimible a 98: 1 .000(0,98) =$ 980.

Cupn: Es la parte desprendible del bono que contiene el valor de los intereses por perodo de pago. Por ejemplo, un bono de $ 10.000 al 12% FA, emitido el 1 de febrero de 1 990 y redimible a la par el 1 de febrero del ao 2020, establece los siguientes pagos: el pago de $ 10.000 el 1 de febrero de ao 2020, valor de redencin = (10.000)(1) = $ 10.000; sesenta cupones o pagos semestrales de (10.000X0,12/2) = $ 600 desde el 1 de agosto de 1 990.

Cupn = 10.000 (0, 12) = $ 600,00

Precio: Es el valor que tiene un bono cuando se negocia; puede ser a la par, con premio o con castigo. A la par, cuando la tasa nominal del bono coincide con la tasa denegociacin. Con premio, cuando la tasa de negociacin es menor que la tasa nominaldel bono. Con castigo, cuando la tasa de negociacin es mayor que la tasa nominaldel bono.EjemploEl 1 de junio de 2006 una persona compra un bono de $ 1.000 al 7% JD (junio-diciembre), redimible a 101 el 1 de junio de ao 2023. Cul ser: a) su valor de redencin, b) el nmero de cupones y c) el valor de cada cupn?a) $ 100.000(1,01) = $ 101.000 el 1 de junio de 2023b) 40 cuponesc) (1.000)(0,0035) = $ 35,00; el primero de ellos el 1 de diciembre del 2006

Frmula para calcular el precio de un bonoEl bono, por ser un documento financiero, es perfectamente negociable y se compra o vende considerando una tasa de inters del inversionista, que es diferente de la del bono. Para calcular su precio en una fecha de pago de inters, se puede utilizar la siguiente frmula, que combina el valor actual del bono con el valor actual de los cupones hasta el vencimiento del mismo.

Precio de un bono = Valor actual del bono + Valor actual de los cupones.P= C(1+i)-n + cupn

Clculo del precio de un bono donde:P = precio del bono en la fecha de pago de intereses.C = valor de redencin del bono.i = tasa de inters por perodo, del inversionista o de negociacin.n - nmero de cupones.Cupn = valor de cada cupn.

EjemploCul ser el precio de venta de un bono de $ 10.000 al 9% FA, el 1 de febrero de 2003, redimible a la par el 1 de febrero de 2018, si se desea un rendimiento del 8% anual con capitalizacin semestral?

P= C(1+i)-n + cupn

Valor de redencin: 10.000(1) = $ 10.000Nmero de cupones: 30Valor de cada cupn: 10.000 = $ 450

Tasa de rendimiento o de negociacin =

P= 10.000 (1+0.04i)-30 + 450

P = 3.083,19 + 450(17,29) P = $ 10.864,60

sta es una negociacin con premio para el vendedor pues vende el bono en $ 10.864,60.

EjemploCul es el precio de compra de un bono de $ 1.000 al 1 1% JD, redimible a 101 el 1 de diciembre del ao 2014, si se vende el 1 de diciembre de 2003 con. un rendimiento del 11 ,5% anual capitalizable semestralmente?

Valor de redencin: 1 .000(1 ,01) = $ 1 .010 Nmero de cupones: 22

Valor del cupn: 1.000 = $ 55

Tasa de rendimiento: = 0,0575

P = 1.010(1 + 0,0575)-22 + 55

P = 295,225+ 676,93 P = $ 972,155

Esta negociacin es con castigo para el vendedor pues vende el bono en $ 972,155.

Precio de un bono comprado o negociado entre fechas de pago de interesesFrecuentemente la negociacin de un bono se realiza en fechas diferentes de la de pago, de intereses o pago de cupones. Para calcular el valor del bono en esas fechas, se realiza el siguiente procedimiento:a) Se halla el valor del bono en la ltima fecha de pago de intereses,inmediatamente antes de la fecha de compra-venta.b) Se calcula el inters simple del referido valor, tomando en consideracinlos das exactos a partir de la ltima fecha de pago de intereses. Comoprocedimiento alternativo, se calcula el inters tomando el nmero de dascomprendidos entre la fecha de negociacin y la fecha futura de pago deintereses.Ejemplo:Cul es el precio de compra de un bono de $ 3.000 al 7% AO, redimible a la par el 1 de abril de 2009, si se compra el 1 de julio de 2003 y se espera obtener un rendimiento del 6 3/4 %, capitalizable semestral mente?

Valor de redencin: 3.000(1) = $ 3.000 Nmero de cupones: 12

Valor de cada cupn: 3.000 = $ 105Tasa de negociacin = = 0,03375

P= C(1+i)-n + cupn

P = 3.000 (1 + 0,03375)-12 + 105

P = 2. 014,35 + 1.022,16 P = $ 3.036,51

Este valor se acumula del 1 de abril al 1 de julio de 2003, que es la fecha de negociacin del bono, al 63/4 % anual, capitalizable semestralmente, utilizando la frmula del monto a inters simple:

M =C (1 + it)

M =3.036,51 = $ 3.088,32

El precio del bono es de $ 3.088,32 que es el denominado "bono sucio"; es decir, al valor que todava no se le resta el inters redituable.

Inters redituable de un bonoEl inters redituable de un bono es una parte fraccionaria del pago de intereses en una fecha diferente del pago de cupones. Se obtiene as: el nmero de das (contados desde la ltima fecha de pago de un cupn hasta la fecha de compra, se divide por el nmero de das del perodo de capitalizacin de intereses, y luego este valor resultante se multiplica por los intereses del perodo completo.

El inters redituable se utiliza para obtener el denominado "bono limpio"; es decir, el bono al que se le ha restado el inters redituable. En el ejemplo anterior:

P = $ 3.036,51 en la fecha de pago del cupn. P1= $ 3.088,32 precio del bono sucio.Nmero de das desde la fecha de pago de inters: 91. Capitalizacin semestral: 180 das.Intereses: (3.000)(0,07) (Valor del cupn) Inters redituable =(105) = $ 53.08

El inters redituable sirve para calcular:a)El precio del bono limpio: Precio del bono sucio - Inters redituable3.088,32 - 53,08 = $ 3.035,24b)El precio neto o precio con inters: Precio del bono sucio + Inters redituable3.088,32 + 53,08 = $ 3.141,40

El ms utilizado es el precio del bono limpio.

Rendimiento de un bonoComo ya se dijo antes, al explicar el precio de un bono en forma conceptual, el rendimiento de un bono est dado en funcin de la tasa de negociacin que acuerden las partes: vendedor y comprador. Por lo tanto, existe un rendimiento con premio cuando se negocia un bono a una tasa menor que la nominal del bono; existe un rendimiento a la par cuando se negocia un bono con una tasa igual a la nominal del bono, y existe un rendimiento con castigo cuando se negocia un bono con una tasa mayor que la nominal del bono.EjemploUn bono de $ 5.000 al 9% MN, redimible a la par el 15 de noviembre del ao 2015, se: vende el 15 de mayo de 2006 con las siguientes opciones de rendimiento:

a) Con una tasa de rendimiento del 8% anual, capitalizare semestralmente.b) Con una tasa de rendimiento del 9% anual, capitalizable semestralmente.c) Con una tasa de rendimiento del 10% anual, capitalizable semestralmente.

Cul es el precio para cada opcin, as como el respectivo tipo de negociacin (si es a i la par, con premio o con castigo)?

Valor de redencin: 5.000(1) = $ 5.000Nmero de cupones: 19

Valor de cada cupn: 5.000 = $ 225.500

a) Con i = 8%P = 3.000 (1 + 0,04)-19 + 225

P = 2.373,21 +2.955,14 = $5.328,35

sta es una negociacin con premio, pues su precio es mayor que el valor nominal.

b) Con i = 9%

P = 5.000 (1 + 0,045)-19 + 225

P = 2.166,51 + 2.833,49 = $ 5.000

sta es una negociacin a la par, pues su precio es igual al valor nominal del bono.

c) Con i = 10%

P = 5.000 (1 + 0,05)-19 + 225

P = 1.978,67+ 2.719,20 = $4.697,87.sta es una negociacin con castigo, pues su precio es menor que el valor nominal del bono.Bonos cupn ceroSon aquellos bonos que no tienen cupones. Su valor actual o precio se calcula tomando slo como referencia su valor nominal y la tasa de negociacin.Ejemplo.Cul ser el precio de un bono cupn cero de $ 9.000 al 7% JD, redimible a la par el 10 de junio del ao 2018, se negocia el 10 de diciembre de 2006 a una tasa de rendimiento del 8% anual, capitalizable semestralmente?Precio = Valor actualPrecio = 9.000 (1 + 0,035)-23 = $ 4.079,57Otras clases de bonosAdems de los enunciados, existen diversas clases de bonos que, por razones de espacio, no desarrollaremos en este libro. Entre ellos se destacan: Bonos seriados. Bonos de anualidad. Bonos de estabilidad monetaria (Bems). Bonos del Estado (a largo plazo). Bonos dlares. Bonos con fecha opcional de redencin. Bonos de valor constante (para enfrentar la inflacin). Bonos municipales.CLASIFICACION DE BONOSClases de bonosLos bonos son susceptibles de ser emitidos, por igual valor al nominal, por encima del valor nominal, o por debajo del valor nominal del ttulo: A la par: cuando el valor de venta es igual al valor nominal del ttulo. Con descuento cuando el valor de venta es menor al valor nominal. Con prima cuando el valor de venta es mayor al valor nominal.La tasa de inters DTF, es el referente para analizar la clase de bonos, sobre la cual los representantes de los tenedores ofrecen a los inversionistas.Tasa de oferta del emisor de bonos: consiste en ofrecer una tasa equivalente a la de mercado, o sea igual a la tasa que ofrecen los colocadores de bonos, y depende de las condiciones de mercado, que ofrezcan unos puntos de ms o unos puntos de menos con el fin de hacerla atractiva, esto hace que las colocaciones sean por igual valor nominal, con prima o con descuento.Tasa de oportunidad: es la tasa de rentabilidad que espera el inversionista obtener de sus valores invertidos en la emisin y si se presenta igual a la del mercado de los ttulos valores sera indiferente en tomar la decisin, sin embargo el punto de referencia es la tasa de los colocadores de bonos, entonces si el emisor ofrece uno o dos puntos ms por encima del mercado se vuelve aparentemente atractiva la inversin, sin embargo es un gancho a la hora de emitir: Quien paga prima sobre bonos, es porque le han ofrecido unos puntos de ms, y el mayor valor pagado lo recupera en la calidad de tasa de inters que cobra por estar por encima del mercado. Quien paga igual al valor nominal su tasa de inters tambin es normal a la del mercado. Quien paga menos del valor nominal, recupera ese descuento al momento de redimir el bono, porque su tasa de inters est por debajo de la tasa de mercado. En conclusin el inversionista en cualquiera de los tres casos anteriores tienen la misma tasa de inters, esto es, la del mercado.Quin determina la clase: la clase de emisin de bonos, solamente la determina el tipo de inters o tasa del mercado financiero de bonos, frente al tipo de inters que ofrece la emisora de bonos. Bonos a la parSi la tasa de oferta del mercado de bonos es la DTF de 10% EA, mas 3% EA., se obtendra una tasa del 13,30% EA., que convertida a tasa nominal pagadera semestre vencido sera del 12,88% SV y la peridica semestre es de 6,44%, que es la referencia del mercado de bonos, y la misma que optar la empresa representante de bonos. Bajo estos parmetros la empresa hace el emprstito porque puede ofrecer la misma tasa y emitir bonos a la par. El siguiente cuadro muestra la emisin de 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 con una tasa peridica semestre vencido del 6,44% durante tres aos, al cabo de los cuales redimir la emisin.PrstamoIntereses semestrales (miles)

30.000.0001.932.7421.932.7421.932.7421.932.7421.932.7421.932.742

Redencin30.000.000

Los intereses semestrales del orden de $1.932.742 se pagan por los seis meses de vida del prospecto de emisin, al cabo del cual se paga o redime los ttulos devolviendo el valor inicial del emprstito.Para analizar el valor de los intereses y la recuperacin de la inversin, se lleva a una lnea de tiempo equivalente que muestre los valores, se presentara as:Redencin 30.000 Inters 1.932.742 1.932.742 1.932.742 1.932.742 1.932.742 1.932.742Prstamo30.000.000Ahora se descuenta cada valor pagado semestralmente por concepto de intereses, a la tasa semestral del 6.44% que es la de mercado de bonos, y el ltimo perodo sumados los intereses y la redencin, esto dar el valor presente que la empresa recibir hoy.ClculosIntereses semestrales (miles)

Inters y prstamo1.932.742/(1,0644)11.932.742/(1,0644)21.932.742/(1,0644)31.932.742/(1,0644)41.932.742/(1,0644)531.932.742/(1,0644)6

Valores1.815.7621.705.8621.602.6141.505.6151.414.48721.955.659

VP30.000.000

En este caso la empresa vender 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 a un precio de (VP/ n = $30.000.000/ 30.000) $1.000 cada uno.Otra forma de calcular los intereses semestrales y el valor de recuperacin de la inversin en el ltimo perodo, es utilizando la frmula de anualidades. 1 [1 + i]-nP = R + R (1+ i)-n iR = Intereses pagados durante todos los perodo en forma constante.i = Tasa de Inters de descuento representativa del mercado de bonos.n = Nmero de perodos de pago.La primera frmula obedece a la anualidad y la segunda, a la frmula convencional de traer el ltimo valor de recuperacin de la inversin inicial a valores presentes. 1 [1 + 0.0644]-6P = 2.310 + 30.000 (1+ 0.0644)-6 0.0644P = 3.000.000 * 4.849699 + 30.000.000* 0.687559P = 9.373.216 + 20.626.784 = 30.000.000La tasa del mercado de bonos comparada con la tasa de oferta de la empresa emisora, es lo que determina si la emisin es a la par, con descuento o con prima.Bonos con primaSi la tasa de oferta del mercado es del 13.30% EA, la empresa puede ofrecer dos puntos ms efectivos anuales a los inversionistas, para una tasa del 15,67% EA por el emprstito, pagadero semestralmente durante tres aos, al cabo de los cuales redimir la emisin. Como la tasa de oferta anual de mercado es del 12.88% SV y la nueva tasa de oferta es del 15.0% SV, los bonos tendrn que emitirse con prima:PrstamoIntereses semestrales (miles)

30.000.0002.250.4882.250.4882.250.4882.250.4882.250.4882.250.488

Redencin30.000.000

Observe que se liquido el inters con una tasa de 7,50% y ahora se descuenta cada valor pagado semestralmente por concepto de intereses a la tasa de mercado 6.44% y en el ltimo perodo por concepto de redencin por valor de $30.000.000, esto dar el valor presente que la empresa recibir hoy. Aplicando la frmula dar el siguiente resultado. 1 [ 1 + 0.0644 ]-6P = 2.250.488 + 30.000.000 ( 1+ 0.0644)-6 0.10P = 2.250.488 * 4,849699 + 30.000.000* 0.687559P = 10.914.191+ 20.626.784 = 31.540.975En este caso la empresa vender 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 a un precio de mercado ($31.540.975/ 30.000) de $1.051 cada uno, y el excedente sobre el valor nominal constituye prima en emisin de bonos.Bono con descuentoSi la tasa de oferta del mercado es del 12,88% SV., la empresa que hace el emprstito, puede ofrecer por debajo de esa tasa dos puntos, para un total de 10,75% pagadero semestralmente durante tres aos, al cabo de los cuales redimir la emisin:PrstamoIntereses semestrales (miles)

30.000.0001.611.8021.611.8021.611.8021.611.8021.611.8021.611.802

Redencin30.000.000

Ahora se descuenta cada valor pagado semestralmente por concepto de intereses a la tasa del mercado de 6,64% y en el ltimo perodo se le suma a los intereses el valor de la redencin. 1 [ 1 + 0.664 ]-6P = 1.611.802 + 30.000.000 ( 1+ 0.664)-6 0.664P = 1.611.802 * 4.849699 + 30.000.000* 0.687559P = 7.816.752 +20.626.784 = 28.443.537En este caso la empresa vender 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 a un precio de mercado de ($28.443.537/30.000) $948 la diferencia con respecto al valor nominal constituir descuento en la emisin de bonos.En conclusin, siempre se le reconoce al prestamista la tasa de oferta de mercado, y la tasa de oferta es simple juego financiero para mostrar mayores expectativas.BonoEl Bono es un documento a largo plazo emitido por una empresa privada o el gobierno. Particularmente, el prestatario recibe hoy dinero a cambio de una promesa de pago despus, con inters pagado entre el perodo de efectuado el prstamo y el instante del reembolso. Por lo general, la tasa de inters de los bonos recibe el nombre de cupn. Existe una amplia gama y formas de bonos. Para nuestro caso, consideramos cuatro clasificaciones generales: 1. Ttulosvalores. Emitidos y respaldados por el gobierno. Son considerados ttulos-valores de menor riesgo en el mercado. Los intereses generados casi siempre estn exonerados del impuesto a la renta estatal y local. Existen tres tipos de ttulos-valores: Certificados mayores o igual a un ao; Pagars de 2 a 10 aos y Bonos de 10 a 30 aos. 2. Bono hipotecario. Respaldados por hipotecas o por activos determinados de la empresa que emite los bonos. Existen hasta tres tipos de bonos hipotecarios: de Primera hipoteca, de Segunda Hipoteca y Fideicomiso de equipo. Los bonos de primera hipoteca tienen primera prioridad en el caso de liquidacin. Son de ms riesgo y consecuentemente, la tasa que pagan es menor. Son referenciados como bonos colaterales los respaldados por una garanta colateral. Un bono de fideicomiso de equipo es aquel en el que el bien comprado a travs del bono es usado como una garanta colateral. 3. Bonos amortizables. No estn respaldados por ningn tipo de garanta colateral. Por lo general estos bonos pagan las tasas ms altas de inters debido a su mayor riesgo. Existen hasta tres tipos de bonos amortizables: a) Bono convertible. Es un bono cuyas clusulas permiten que ste sea convertido en accin de la empresa que lo emiti a un precio prefijado. A cambio, tienen un cupn inferior al que tendra sin la opcin de convertibilidad, lo cual el inversor acepta previendo una posible subida del precio de la accin. b) Bono subordinado. Representa la deuda ubicada una detrs de otra deuda en el caso de reorganizacin o liquidacin de la empresa. c) Bono especulativo, bono basura o junk bonds. En la jerga financiera de EE.UU., ttulo de renta fija y alto rendimiento emitido por compaas cuya solvencia no es de primera clase; sin que a pesar de ello existan expectativas de posible insolvencia. 4. Bonos municipales. Emitidos por los gobiernos locales. Generalmente estos bonos estn exentos del impuesto a la renta. La tasa de inters pagada por estos bonos por lo general es muy baja. Estos bonos pueden ser: a. Bonos de obligacin general. Son emitidos contra los impuestos recibidos por el gobierno local. Es decir estos bonos estn respaldados por todo el poder impositivo del emisor. b. Bonos de ingresos. Son emitidos contra el ingreso generado por el proyecto financiado (planta de tratamiento de agua, energa elctrica, puente etc.). Lo que no puede hacerse es crear impuestos para el reembolso de los bonos de ingresos. c. Bonos de cupn cero. Emitido sin cupn de renta (no hay pagos de intereses peridicos). Son negociables con descuento sobre su valor nominal, el cual es redimido a su vencimiento. La TIR surge del diferencial entre el valor nominal y el precio. d. Bonos de tasa variable. Son aquellos cuyas tasas de los cupones son ajustados a puntos determinados en el tiempo (semanalmente, mensualmente, anualmente, etc.). e. Bonos de venta. Los bonos de venta brindan al tenedor la oportunidad de hacer efectivo el bono en fechas determinadas (una o ms) con anterioridad a su vencimiento. Las empresas o sociedades agentes de bolsa con el fin de ayudar a los inversionistas califican los bonos de acuerdo con la cuanta de su riesgo asociado con su compra (Calidad AAA de la ms alta calidad) hasta DDD (bonos de la peor calidad). Procesos de Bonos e Intereses Como vimos, un bono no es ms que un prstamo. Es un prstamo otorgado a una empresa o gobierno con el dinero de uno o varios prestamistas. El emisor del bono (la empresa o gobierno que recibe el prstamo) adquiere el compromiso de pagar a sus inversores una tasa de inters por prestarle el dinero (compensacin por posponer la posibilidad de un consumo presente) y a rembolsar el valor nominal del bono a su vencimiento. En trminos generales, cada prstamo o emisin de un bono tiene ciertas y particulares condiciones detalladas en el momento de la emisin. Estas condiciones son: el valor nominal del bono, su tasa de inters o cupn, el perodo de pago de intereses del bono y su fecha de vencimiento. El valor nominal. El principal o capital que hace referencia a su denominacin; los valores ms utilizados son los bonos de: UM 100, 500, 1,000, 10,000 y 50,000. El valor nominal es importante por dos razones: 1. El valor nominal representa la suma global que ser pagada al tenedor del bono a la fecha de su vencimiento. 2. El importe del inters I pagado por perodo con anterioridad a la fecha de vencimiento del bono, es calculado multiplicando el valor nominal del bono (VN) por su tasa de inters (ib) divido entre el perodo (nb), con la siguiente frmula: Generalmente un bono es comprado con descuento (menor que el valor nominal) o con una prima (mayor que el valor nominal). Para el clculo del inters I del bono solamente utilizamos el valor nominal y no el precio de compra. Ver ejemplo anterior (Recibiendo intereses por la compra de bonos) Calcular el monto de inters que Jorge recibir por perodo si compra un bono de UM 10,000 al 4%, el cual vence dentro de 10 aos con intereses pagaderos bimestralmente. Solucin: VN = 10,000; ib = 0.04; nb = (12/2) = 6; I =? Respuesta: Jorge recibir por concepto de intereses UM 80 cada 2 meses adicionales a los UM 10,000 que recibir al vencimiento del bono. Ver ejemplo anterior (Recibiendo pagos por invertir en un bono) Una empresa fabricante de cocinas y hornos industriales tiene proyectado expandirse y para financiarse recurre a la emisin de bonos de UM 1,000 al 6% para financiar el proyecto. Los bonos vencern dentro de 10 aos con pagos semestrales de inters. El Gerente de la empresa compr uno de los bonos a travs de su Agente de Bolsa por UM 900. Cunto recibir por concepto de pagos? Solucin: VN = 1,000; ib = 0.06; nb = (12/6) = 2; I =? Respuesta: El empresario recibir UM 1,000 en la fecha de vencimiento del bono, dentro de 10 aos; adems recibir cada seis meses el importe de UM 30 por concepto de intereses, conforme el compromiso de la empresa a pagar al momento de la emisin. Factores de riesgo de los bonos Cada uno de los determinantes del flujo final de fondos de la inversin en un bono son los distintos factores de riesgo de los instrumentos de renta fija, donde los principales son: 1. Riesgo de default, el riesgo de incumplimiento del emisor; 2. Riesgo moneda o riesgo de recibir los pagos de amortizacin y renta en la moneda pactada o el tipo de cambio que afecte la rentabilidad de la inversin; 3. Riesgo de liquidez, o riesgo de que las posibilidades de vender el bono (o transferir a un tercero los derechos sobre la amortizacin y renta del bono antes de su vencimiento) sean limitadas; 4. Riesgo de inflacin o riesgo de que la inflacin erosione el rendimiento final de la inversin; 5. Riesgo de reinversin o el riesgo de variacin de la tasa de inters a la cual podremos reinvertir el dinero que cobremos por renta o por amortizacin durante la vigencia del bono; 6. Riesgo tasa de inters, o riesgo de que cambios en las condiciones generales de la economa impacten en el precio del bono en el mercado. Bono Cupn Cero Es aquel que no paga intereses durante la vida de la emisin, sino que, los perciben ntegros con la amortizacin del principal, es vendido con un fuerte descuento sobre el nominal, siendo su precio muy sensible a las variaciones de los tipos de inters. Con frecuencia estos bonos son vendidos con descuentos mayores al 75% de su valor nominal, para hacerlos ms atractivos ante los inversionistas. El bono cortado es un bono convencional cuyo cupn de intereses es vendido en forma separada de su valor nominal. El comportamiento de ste bono es el de un bono cupn cero. Precio / Tasa. Tasa / Precio Entender por qu y cmo interrelacionamos estas variables es funcin de la tasa de Inters. La tasa de inters es la que genera la dinmica de un bono, lo que le da vida. EJEMPLO 216 (Prstamo o inversin en un bono) a) Csar propone a Jorge que le preste UM 1,000 por un ao, con la promesa de devolverle UM 1,120 al final de este perodo. Este caso es lo mismo que invertir en un bono que vale UM 1,000 (valor nominal) con un rendimiento anual del 12%. b) Jorge tiene otra propuesta similar en monto y plazo que el anterior, pero la oferta de devolucin al final del ao no es UM 1,120 sino UM 1,300. Este segundo caso (bono) vale tambin UM 1,000, pero con un rendimiento anual del 30%. Frente a esta segunda oferta, Csar necesitado de dinero y la seguridad de rembolsar UM 1,120 al final del ao, decide mejorar la segunda oferta y propone que adems de devolverle al final del ao la suma indicada, le dice- en lugar de prestarme hoy los UM 1,000, me arreglo con slo UM 862 que es lo que realmente requiero para el apuro que tengo. Para calcular el valor del bono que debe ofertar Csar a Jorge aplicamos la frmula: VF = 1,120; ib= 0.30; n = 1; VA =? Lo que Csar hizo es bajar el precio del bono a UM 862 y automticamente le subi la tasa de inters a 30%. Calculamos la tasa (ib), aplicando la frmula conocida: VF = 1,120; VA = 861.5385; n = 1; ib=? Relacin del precio con la tasa de inters La relacin del precio con la tasa de inters es muy importante, como pasamos a demostrarlo: 1) El comportamiento del precio de un bono es contrario a la tasa de inters: si el precio baja la tasa sube y si el precio sube la tasa baja. Si el plazo del bono aumenta, para una misma tasa de rendimiento anual le corresponde un precio del bono menor, o bien, para que el precio sea invariable cuando el bono estira su plazo, la tasa debe bajar. Para una misma tasa de inters, el precio baja si el plazo sube. 2) El movimiento del precio de un bono es al revs que el plazo para una misma tasa. El movimiento del precio de un bono se comporta de manera inversa a la tasa y al plazo. Esto ltimo es as porque el impacto de la misma tasa anual se potencia por la simple acumulacin de aos: duplica en dos aos, triplica en tres aos, etc. 3) La sensibilidad del precio del bono frente a cambios en la tasa es creciente a medida que aumenta el plazo del bono. Sensibilidad y plazo guardan una relacin directa. Valor actual de los bonos Cada vez que nos referimos al precio del bono hacemos mencin al valor actual del monto del vencimiento, o dicho de otra manera, al monto del vencimiento actualizado a la fecha de hoy. El precio del bono es siempre el monto que, aplicndole la tasa de inters, iguala el importe del vencimiento. Si al valor del vencimiento le descontamos el inters, obtenemos su precio. El precio es equivalente al valor actual del importe del vencimiento descontado a la tasa de inters del bono. Luego, el precio de un bono es el valor actual de su flujo de fondos esperado descontado a su tasa de rendimiento. EJEMPLO (Cunto pagara hoy por un bono...) Una persona requiere tener un 10% anual nominal compuesto semestralmente sobre una inversin en bonos, cunto pagara hoy por un bono de UM 5,000 al 7% que vencer dentro de 10 aos y paga intereses semestrales? Solucin: VN = 5,000; ib = 0.07; nb = (12/6) = 2; I =? 1 Calculamos el valor del pago de los intereses (cupn) del bono: 2 Utilizando la tasa de inters por perodo que la persona prev recibir: 10% anual compuesto semestralmente, es decir 10%/2 = 5% semestral. La tasa de inters del bono (ib) slo es utilizada para el clculo del importe del pago de los intereses del bono. I es simplemente un valor C. VA = [FORMULA] + [FORMULA] I(C) = 175; i = 0.05; n = 20; VF = 5,000; VA =? Respuesta: La persona debe pagar por el bono UM 4,065.33 el da de hoy para asegurarse un 10% anual nominal compuesto semestralmente sobre su inversin. Pagar una cantidad mayor que la indicada significara una tasa de retorno menor al 10% esperado. SEGURO DE VIDA

UNA PLIZA DE SEGURO DE VIDA es un contrato entre una compaa de seguros y una persona (el asegurado). En este contrato:(a) el asegurado acuerda hacer uno o ms pagos (pagos de primas) a la compaa, (b) la compaa promete pagar, al recibo de pruebas de la muerte del asegurado, una suma fija, a una o ms personas (beneficiarios) designados por el asegurado.

Los principales tipos de seguro de vida son:(i) Seguro de vida entera en el cual, la compaa promete pagar el valor nominal de la pliza al beneficiario a la muerte del asegurado, cuando sea que sta ocurra.(ii) Seguro temporal a n-aos en el cual, la compaa promete pagar el valor nominal de la pliza al beneficiario, a la muerte del asegurado, nicamente si el asegurado muere dentro de los n aos siguientes a la emisin de la pliza.(iii) Seguro dotal a n-aos en el cual la compaa promete pagar el valor nominal de la pliza al beneficiario, a la muerte del asegurado, si el asegurado muere dentro de los n aos siguientes a la emisin de la pliza y pagar el valor nominal de la poli/a al asegurado al trmino de n aos, si sobrevive el perodo.

En la prctica los beneficios se pagan tan pronto se demuestre la muerte del asegurado, sin embargo, para simplificar los clculos necesarios supondremos que los beneficios de cualquier pliza sern pagados al final del ao pliza en el que el asegurado muere. Como en el caso de las anualidades contingentes, nicamente consideraremos aqu primas netas.

SEGURO DE VIDA ENTERA. Designemos con Ax la prima neta nica de una pliza de seguro de vida entera de 1, emitida para una persona de edad x. El problema de hallar Ax puede reducirse al problema de hallar la cantidad con la que cada una de las /x personas, todas de edad x, deben contribuir para constituir un fondo suficiente que permita a la compaa pagar al beneficiario, de cada asegurado, la cantidad de 1 al final del ao en que el asegurado muere. La contribucin total al fondo es lxAx. Durante el primer ao. dx de los asegurados morirn de acuerdo con la tabla de mortalidad y debe pagarse dx de beneficio al final del ao. El valor presente de estos beneficios es (1+i)-1dx = dx. Durante el segundo ao, dx + 1 personas morirn y el valor presente de los beneficios pagaderos al final del ao es 2dx+1, y as sucesivamente. Por tanto

lxAx = dx + 2dx+1 + 3dx+1 + hasta el final de la tabla

Ax = dx + 2dx+1 + 3dx+1 + hasta el final de la tabla lx

Multiplicando numerador y denominador por x, tenemosAx = x+1dx + x-2 dx+1 + x+3dx+2 + hasta el final de la tabla x lx

En trminos de los valores conmutativosDx = x lx Cx = x-1 dx Mx = Cx + Cx-1 + Cx-2 + +C99

TenemosAx = Cx + Cx-1 + Cx-2 + +C99 Dx

y finalmenteAx =

Los valores de Mx al 2 % se encuentran en la ltima columna de la tabla XV.

Ejemplo 1.

Hallar la primera neta nica de una pliza de seguro de vida entera de $1000, expedida para una persona de 22 aos de edad.Utilizando (1), 1000 A22 = 100 = 1000

Rara vez se venden plizas de seguro a prima nica. En su lugar, se pagan primas iguales al principio de cada ao, ya sea, (a) durante toda la duracin de la pliza, o (b) durante los primeros m aos de vida de la pliza. Para el seguro de vida entera estos tipos de pagos anuales de primas se indican con la denominacin de, (a) seguro ordinario de vida, o (b) seguro de vida pagos limitados a m aos.

Designemos con P, la prima neta anual de una pliza de seguro ordinario de vida de 1 emitida para una persona de edad x. Puesto que los pagos de primas forman una anualidad vitalicia anticipada de P, por ao, tenemos (vase la frmula (2), captulo 16)

PX X = AXpor lo cual

Ejemplo 2.Hallar la prima neta anual de una pliza de seguro ordinario de vida de S1000 para una persona de 22 aos de edad.Utilizando (2), Designemos con mPx la prima neta anual de una pliza de seguro de vida pagos limitados a m aos de 1, para una persona de edad x. Puesto que los pagos de primas forman una anualidad contingente temporal anticipada a m aos, tenemos (vase la frmula (J), captulo anterior.

Por lo cual

Ejemplo 3.Hallar la prima neta de una pliza de seguros de vida pagos limitados a 10 aos de $1000 para una persona de 22 aos.

Utilizando (3), 1000 10P22 = 1000

SEGURO TEMPORAL. Designemos con A1x:n la prima neta nica de una pliza de seguros temporal a n aos de 1, para una persona de edad x. procedimiento en la misma forma que para el caso de Ax, encontramos que

Ya que el ltimo beneficio se paga al trmino de n aos.Por tanto

y

Ejemplo 4.Hallar la prima neta nica de una pliza de seguro temporal a 10 aos, de $ 1000, para una persona de 30 aos.

Utilizando (5),

Designamos con P 1 x:n la prima neta anual para una pliza de seguro temporal a n aos de 1, para una persona de edad x. puesto que las primeras anuales forman una anualidad contingente temporal anticipada a n aos, tenemos

v

Ejemplo 5.Hallar la prima neta de una pliza de seguro temporal a 10 aos de $1000, para una persona de 30 aos.

Utilizando (5)

Designemos con mP1x:n la prima neta de una pliza de seguro temporal a n aos de l, para una persona de edad x, para ser pagada durante un periodo de m< n aos, esto es, una pliza temporal a n pagos limitados a m aos de 1, para una persona de edad x. Es decir

Ejemplo 6.Hallar la prima neta anual de una pliza de seguro temporal a 20 aos, con pagos limitados a 15 aos, de $1000, para una persona de 30 aos de edad

Utilizando (6) con m = 15 yn = 20

SEGURO DOTAL. Una pliza de seguros dotal a n aos combina los beneficios de un seguro temporal a n aos y un dotal puro al trmino de n aos. Designemos con Ax:n la prima neta nica de una pliza de seguro dotal a n aos de 1, para una persona de edad x. tenemos que

y

Ejemplo 7. Hallar la prima neta nica de una pliza de seguros dotal a 25 aos, por $ 1000 para una persona de 40 aos de edad.Utilizando (7).

Designemos con Px:n la prima neta anual de una pliza de seguros dotal da n aos de 1 con pagos limitados a m aos, para una persona de edad x. tenemos que:

Ejemplo 8.Hallas la prima neta anual de una pliza de seguros dotal a 25 aos por $ 1000, para una persona de 40 aos de edad.

Utilizando (8)

Designemos con mP1x:n la prima neta anual a una pliza dotal a n aos con pagos limitados a m aos, para una persona de edad x. tenemos que:

Ejemplo 9. Hallar la prima neta anual de una pliza de seguro dotal a 25 aos con pagos limitados a 20 aos, por $ 1000 para una persona de 40 aos de edad.

Utilizando (9), con m = 20 y n = 25

PRIMA NATURAL. La prima neta nica de un seguro temporal a 1 ao, a la edad x, se conoce como prima natural a dicha edad. De (5) tenemos que la prima natural para una pliza de 1, a la edad x es.

Ejemplo 10.Hallar la prima natural de una pliza de $ 1000 a los, (a) 22 aos de edad, (b) 23, (c) 75.

RESERVAS: Considrese una pliza de seguro ordinario de vida de $1000 para una persona de 22 aos de edad. En la tabla que sigue se compara la prima neta anual de esta pliza (vase el ejemplo 2) con la prima natural a diferentes edades del seguro (vase el ejemplo 10).

Prima neta anualPrima

Edada los 22 aos de edadnatural

2223405152758513,2813,2813,2813,2813,2813,2813,282,532,616,0312,9513,9586,95189,38

Vemos que en los primeros aos de la pliza el asegurado paga a la compaa ms que el costo anual del seguro, 13,28 2,53 = $10,75 el primer ao y 13,28 2,61 = $10,67 el segundo ao. Cada sobrante de la prima anual sobre el costo del seguro en el ao es colocada por la compaa en un fondo de reserva, el cual gana intereses a la misma tasa que se utiliz al calcular la prima. A los 52 aos de edad, el costo de un ao de seguro por primera vez excede el pago anual de prima. Principiando a los 52 aos de edad y continuando cada ao en adelante mientras la pliza se encuentre en vigor, la compaa toma del fondo de reserva la cantidad