Metode Statistika (STK211)

Pertemuan IVKonsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution)

Konsep Peubah Acak

Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi).

Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam.

Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan setiap kejadian dengan tepat ke satu bilangan riil.setiap kejadian dengan tepat ke satu bilangan riil.

Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. bersisi enam yang seimbang. Ruang kejadiannya dapat Ruang kejadiannya dapat disenaraikan sebagai berikut:disenaraikan sebagai berikut:R = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}R = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:X = munculnya sisi dadu yang bermata genapX = munculnya sisi dadu yang bermata genap = {0, 1}= {0, 1}

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:sebagai berikut:

Daerah fungsiDaerah fungsi Wilayah fungsiWilayah fungsi

S1 .S2 .S3 .S4 .S5 .S6.

X(ei)

. 0

. 1

Sebaran Peluang Peubah Acak Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.peluang kejadiannya.

Sehingga sebaran peubah Sehingga sebaran peubah acak X dapat dijabarkan acak X dapat dijabarkan sebagai berikut: sebagai berikut: p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) = 1/6 +1/6 +1/6= 3/6= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Sisi yang munculSisi yang muncul

Kejadian SS11 SS22 SS33 SS44 SS55 SS66

Peluang Peluang kejadiankejadian

1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6

XX 00 11 00 11 00 11

LatihanLatihanDua buah mata uang dilempar bersama-Dua buah mata uang dilempar bersama-sama. Jika masing-masing memiliki sisi sama. Jika masing-masing memiliki sisi yang seimbang, senaraikanlah ruang yang seimbang, senaraikanlah ruang kejadiannya. Jika kita ingin melihat kejadiannya. Jika kita ingin melihat munculnya sisi muka pada kedua mata uang, munculnya sisi muka pada kedua mata uang, maka definisikan peubah acak tersebut. maka definisikan peubah acak tersebut. Lengkapi dengan sebaran peluang dari Lengkapi dengan sebaran peluang dari peubah acak tersebut.peubah acak tersebut.

Nilai Harapan Peubah AcakNilai Harapan Peubah Acak

Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.

Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:sebagai berikut:

kontinu p.a X jika ,)(

diskret p.a X jika ),(

)(1

dxxfx

xpx

X

ii

n

iix

Ε

Sifat-sifat nilai harapan:Sifat-sifat nilai harapan: Jika c konstanta maka E(c ) = cJika c konstanta maka E(c ) = c Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c

maka E(cX) = c E(X)maka E(cX) = c E(X) Jika X dan Y peubah acak maka E(XJika X dan Y peubah acak maka E(XY) = Y) =

E(X) E(X) E(Y) E(Y)

Contoh:Contoh: Jika diketahui distribusi Jika diketahui distribusi

peluang dari peubah acak X peluang dari peubah acak X seperti tabel disampingseperti tabel disamping

Dengan demikian nilai Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:harapan p.a X adalah:E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 4/6 + 5/6 = 15/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6E(3X) = 3 E(X) = 45/6

Nilai peubah Acak XNilai peubah Acak X

XX 00 11 22 33 44 55

P(X=xP(X=xII)) 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6

XXiip(xp(xii)) 00 1/61/6 2/62/6 3/63/6 4/64/6 5/65/6

Ragam Peubah AcakRagam Peubah Acak

Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:V(X) = E(X-E(X))V(X) = E(X-E(X))22

= E(X= E(X22) - E) - E22(X) tunjukkan !(X) tunjukkan ! Sifat-sifat dari ragamSifat-sifat dari ragam

– Jika c konstanta maka V(c ) = 0Jika c konstanta maka V(c ) = 0– Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = cJika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c22 V(X) V(X)– Jika X dan Y peubah acak maka, Jika X dan Y peubah acak maka,

V(XV(XY) = V(X) + V(Y) Y) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y) Cov(X,Y)Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0bebas maka Cov(X,Y) = 0

Contoh (Gunakan contoh sebelumnya)Contoh (Gunakan contoh sebelumnya)V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)22

= 55/6 - 225/36 = 105/36= 55/6 - 225/36 = 105/36

Sebaran Peluang Populasi

Sebaran Peluang Diskret– Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak

yang nilai-nilainya diperoleh dengan cara mencacah (counting)

– Beberapa sebaran peluang diskret, antara lain: Bernoulli Binomial Poisson

Sebaran peluang kontinu– Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak

yang nilai-nilainya diperoleh dengan menggunakan alat ukur

– Beberapa sebaran yang tergolong dalam sebaran peubah acak kontinu antara lain:

Normal Weibull Gamma Betha

Sebaran Peluang Diskret

Bernoulli– Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner

yaitu sukses atau gagal– Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian

sukses dan 0 jika kejadian gagal– Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi

peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:P(x,p)=pxq(1-x), x=0,1

Binomial– Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas– Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari

kejadian sukses, X=0,1,2,….,n– Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat

dituliskan sebagai:

P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n

dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!

Contoh: Peluang turun hujan per hari diketahui p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?

b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?

Sebaran Peluang Kontinu

Sebaran Normal– Bentuk sebaran simetrik– Mean, median dan modus berada

dalam satu titik– Fungsi kepekatan peluang dapat

dituliskan sebagai berikut: P ( - < x < + ) = 0.683 P ( - 2 < x < + 2 ) = 0.954

– Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan normal:

– Peubah acak (X) dengan mean () dan ragam (2) menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N (, 2)

2

2

12

2

1),,(

x

exf

b

a

aFbFdxxfbxap )()()()(

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

X

Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang berbeda-bedayang berbeda-beda perhitungan peluang akan perhitungan peluang akan sulitsulit

Lakukan transformasi dari X Lakukan transformasi dari X N( N( , , 22) menjadi ) menjadi peubah acak normal baku Z peubah acak normal baku Z N(0 , 1) dengan N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasimenggunakan fungsi transformasi

Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z peubah acak normal baku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal bakupeluang normal baku

X

Z

Cara penggunaan tabel normal baku

– Nilai z, disajikan pada kolom pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)

– Nilai peluang didalam tabel normal baku adalah peluang peubah acak Z kurang dari nilai k (P(Z<k)).

Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03

-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004

-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006

-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008

P(Z<-2.44)=0.008

Contoh: Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 5 mm2. Hitunglah,

1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai

20 mm?3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?