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MATEMÁTICAS 6

Diferenciales Integral indefinida Métodos de integración Integral definida y aplicaciones

Solucionario y videos

CONTENIDO

RECURSOS

Autor: Cuellar, Juan

Impreso: 9786071515179

VitalSource: Pendiente

Paquete BlinkLearning: 9781456286415

La tercera edición se apega a lo recién estipulado por la DGB; conserva el trabajo de temas transversales de manera interdisciplinar. Con los temas del libro se pretende que el alumno ponga en práctica y siga desarrollando su pensamiento lógico-matemático a partir de problemas planteados en los ejercicios. Dichos problemas han sido diseñados para que resulten significativos para los estudiantes.

Mate VI presenta gran cantidad de ejercicios nuevos. Estructuralmente, la obra se compone de dos secciones: una primera que es la parte teórica, y la segunda corresponde a la parte práctica (ejercicios). Esta última está diseñada para que el alumno aprenda con mayor autonomía y de forma colaborativa, mientras que la primera funciona como apoyo a la práctica guiada por el profesor y refuerza la teoría con múltiples ejemplos.

DESCRIPCIÓN GENERAL

Matemáticas 6Tercera edición

Ign. Juan Antonio Cuéllar CarvajalUniversidad Autónoma de Nuevo León

(uanl)

Revisión técnicaBlanca M. Borges Alonso

Universidad Autónoma de Nuevo León(UANL)

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • GUATEMALA • LONDRESMADRID • MILÁN • NUEVA DELHI • NUEVA YORK • SAN JUAN

SANTIAGO • SAO PAULO • SIDNEY • SINGAPUR • TORONTO

00_Cuellar_Mate_VI_00I-VI_1a_FOR.indd 3 9/24/20 2:28 AM

Índice de contenido

V

1. Diferenciales

Incremento de una función

Diferenciales

2. La integral indefinida

La función primitiva

Integrales inmediatas

Linealidad de la integral definida

Cómo hallar una antiderivada en particular

3. Métodos de integración

Integración por sustitución o por cambio de variable

Integración de las funciones trigonométricas

Cálculo de la integral indefinida ∫(tan x)dx

Cálculo de la integral indefinida ∫(cot x)dx

Cálculo de la integral indefinida ∫(sec x)dx

Cálculo de la integral indefinida ∫(csc x)dx

Cálculo de la integral indefinida ∫(sen2 x)dx

Cálculo de la integral indefinida ∫(cos2 x)dx

Cálculo de la integral indefinida ∫(tan2 x)dx

Integración por partes

Integración mediante fracciones parciales

Descomposición en fracciones parciales mediante división larga

Factores de primer grado

4. La integral definida y aplicaciones

Introducción

Notación sigma

Algunas propiedades de la notación sigma

Área bajo una curva

Definición del área de una región en el plano

Suma de Riemann

La integral definida

El teorema fundamental del cálculo

Aplicaciones de la integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo

Cuando f (x) toma valores negativos en [a, b]

Cuando f(x) cambia de signo


VI Índice de contenido

Área entre dos curvas

Volumen de un sólido de revolución

Método del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución

Método de las arandelas

Teorema del valor medio para integrales


Diferenciales

1Situación didácticaUna persona tiene un tumor de forma esférica y es necesario calcular el incremento aproximado de su volumen cuando su radio aumenta de 2 a 2.1 centímetros (cm). Como aprenderás en este bloque, la diferencial permite calcular de manera sencilla la aproximación del cambio de una función f (x) que corresponde a un cambio en x; en este caso, permite obtener el volumen del tumor en función del crecimiento de su radio.

Propósito del bloque:Utiliza de manera reflexiva la aplicación de diferenciales que contribuyan en la resolución de situaciones de su vida cotidiana, a través de métodos de aproximaciones.Al

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CG: 1.1, 4.1, 5.1CDEM: 1, 2

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Interdisciplinariedad

Ecología y Medio ambiente

Competencias genéricas y sus atributos (CG) Competencias disciplinares básicas extendidas (CDEM)

CG 1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.

CG 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

CG 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

Articulación de competencias para el logro de los aprendizajes esperados en este bloque

Eje Componentes Contenido central

Pensamiento y lenguaje variacional Cambio y acumulación: elementos del cálculo integral

Aproximación y cálculo del “área bajo la curva” por métodos elementales (de los rectángulos y de los trapecios)

Antiderivada de funciones elementales (algebraicas y trascendentes)

Tratamiento analítico de las integrales definida e indefinida

Uso intuitivo de los procesos infinitos y las situaciones límite aplicados a problemas de las ciencias naturales, exactas y sociales

Contenidos específicos

Conocimientos Habilidades Actitudes

Concepto de diferencial

· Analítico

· Geométrico

Incremento de una función

Aproximación de una raíz

· Interpreta la relación de la diferencial con la derivada de una función.

· Estima incrementos de una función relacionándolos con el concepto de diferencial.

· Estima el valor de raíces no exactas utilizando diferenciales.

· Reconoce sus fortalezas y áreas de oportunidad.

· Muestra disposición al trabajo metódico y organizado.

· Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria.

Aprendizajes esperados

· Resuelve, por medio de diferenciales, problemas reales o hipotéticos de su entorno utilizando el cálculo de raíces de manera metódica y organizada, reconociendo sus fortalezas y áreas de oportunidad.


difer

encia

les

3

Incremento de una funciónEn el curso anterior de matemáticas aprendiste que uno de los objetivos fundamenta-les del cálculo infinitesimal es estudiar cómo varía una función cuando el valor de su variable independiente cambia.

Si x es la variable independiente de la función de la ecuación y = f (x) y su valor cambia de x1 a x2, a la diferencia entre éstos se le llama incremento de x y se simboliza con ∆x (“delta equis”). Así, tenemos que:

∆x = x2 – x1

Cuando la variable independiente de y = f (x) experimenta un incremento ∆x, general-mente la función también sufre un aumento (o una disminución) de valor; ese cambio se denomina incremento del valor de la función y se representa con ∆y (“delta ye”). En este caso:

∆y = f (x2) – f (x1)

Como ∆x = x2 – x1, al despejar x2 obtenemos x2 = x1 + ∆x. Al sustituir este valor de x2 en la ecuación del párrafo anterior obtenemos:

∆y = f (x1 + ∆x) – f (x1)

Es muy importante precisar que aquí usamos la palabra incremento para referirnos tanto a un aumento como a una disminución. Veamos en ejemplos concretos cómo opera este incremento.

Evaluaciónde diagnóstico

1. Encuentra el incremento en el valor de la función f (x) = x2 – 1, cuando x varía de x1 = 2 a x2 = 2.5.

2. El volumen de una esfera de radio r se determina por medio de la ecuación V = 4

3 πr3. Halla dVdr .

3. El área de un círculo de radio r se obtiene con la ecuación A = 𝜋r2. Halla dAdr .

4. Determina la derivada de la función siguiente: f (x) = x3 – 5x2 + 4x – 5.

5. Determina la derivada de la función y = x +9.

A partir de la función f (x) = 2x2 – 5x + 3, determina lo que se indica en cada inciso.

a El incremento de x en el intervalo que va de x = –2 a x = 2

Solución En este caso, se indica que x2 = 2 y x1 = –2. Sustituyamos estos valores en las fórmulas que hemos aprendido hasta ahora.

∆x = x2 – x1

∆x = 2 – (–2)

∆x = 2 + 2

∆x = 4

Ejemplo 1


4 Diferenciales

b El incremento de la función y = f (x) en el intervalo que va de x = –2 a x = 2

Solución Tenemos la fórmula ya estudiada:

∆y = f (x2) – f (x1)

donde f (x2) = f (2) y f (x1) = f (–2). Determinemos primero f (2), luego f (–2) y, por último, el incremento de la función (∆y).

f (2) = 2(2)2 – 5(2) + 3 Se sustituyen valores en la función dada.

f (2) = 2(4) – 10 + 3 Se resuelven las operaciones.

f (2) = 1

f (–2) = 2(–2)2 – 5(–2) + 3 Se sustituyen valores en la función dada.

f (–2) = 2(4) + 10 + 3 Se resuelven las operaciones.

f (–2) = 21

De acuerdo con los valores obtenidos para f (2) y f (–2) resulta:

∆y = f (x2) – f (x1)

∆y = f (2) – f (–2) Se sustituyen valores en la fórmula estudiada.

∆y = 1 – 21

∆y = –20

Es decir, el incremento de la función en el intervalo indicado es de –20.

c El incremento de la función en el intervalo que va de x a x + ∆x

Solución Sea x2 = x + ∆x y x1 = x, entonces:

∆y = f (x2) – f (x1)∆y = f (x + ∆x) – f (x) Se sustituyen los valores anteriores en la expresión de arriba.

∆y = [2(x + ∆x)2 – 5(x + ∆x) + 3] – (2x2 – 5x + 3) Ahora se sustituyen valores en la función dada originalmente.Si, para simplificar, hacemos h = ∆x, tenemos:

∆y = [2(x + h)2 – 5(x + h) + 3] – (2x2 – 5x + 3)∆y = [2(x2 + 2xh + h2) – 5x – 5h + 3] – 2x2 + 5x – 3 Se desarrollan las operaciones.

∆y = [2x2 + 4xh + 2h2 – 5x – 5h + 3] – 2x2 + 5x – 3∆y = 2x2 + 4xh + 2h2 – 5x – 5h + 3 – 2x2 + 5x – 3 Se eliminan paréntesis.

∆y = 4xh + 2h2 – 5h Se agrupan términos semejantes.

Sustituyendo ahora, de vuelta, h por ∆x, tenemos:

∆y = 4x∆x + 2∆x2 – 5∆x

d El incremento de la función si x = 4 y ∆x = 2

Solución De acuerdo con la expresión obtenida en el inciso anterior, tenemos:

∆y = 4x∆x + 2∆x2 – 5∆x

∆y = 4(4)(2) + 2(2)2 – 5(2) Se sustituyen valores.

∆y = 32 + 8 – 10

∆y = 30

La función original se incrementa 30 unidades cuando x = 4 y ∆x = 2.


difer

encia

les

5

DiferencialesEn cálculo diferencial se define la derivada de una función y = f (x) respecto a x como la expresión:

f´ x( ) = dy

dx= lím

∆x→0

∆y∆x

Hasta ahora hemos utilizado la expresión dydx como un símbolo para representar la

derivada de y respecto a x. Ahora definiremos el concepto de diferencial de manera que dx y dy tengan significados por separado. Ello nos permitirá considerar la expre-sión dy

dx como la razón de dy a dx.

DiferencialSea y = f (x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x y a x + ∆x; decimos que f es diferenciable en x si existe un número real A de modo que el incremento ∆y de f se pueda escribir de la forma ∆y = f (x + ∆x) – f (x) =

A∆x + ε(∆x), donde lím∆x→0

ε(∆x)∆x = 0. En ese caso, se llama diferencial de f en x al

valor dy = Adx, siendo la diferencial de x (simbolizada con dx) un número real distinto de cero que coincide con el incremento de x, es decir:

dx = ∆x

Si dividimos ∆y por ∆x y calculamos el límite cuando ∆x tiende a cero, teniendo en cuenta que la derivada de f en x es el límite correspondiente del cociente incremen-tal, obtenemos:

f´ x( ) = lím∆x→0

∆y∆x

= lím∆x→0

f (x + ∆x) – f (x)∆x

= lím∆x→0

A∆x + ε

ε

(∆x)∆x

= lím∆x→0

A∆x∆x

+ lím∆x→0

(∆x)∆x

= A +0 = A

Entonces, podemos concluir que la diferencial de y, representada con dy, se define en términos de dx por medio de la ecuación:

dy = f´(x)dx

Así, la diferencial dy es la variable dependiente, cuyo valor depende de dx y de f´(x). Si a la diferencial dx se le da un valor específico y x toma un valor real dentro del dominio de f, entonces queda determinado el valor numérico de dy.

En la definición de la diferencial dy, la diferencial de x (es decir, dx) puede tomar cualquier valor diferente de cero, siempre que x + dx esté en el dominio de f. Sin em-bargo, en la mayoría de las aplicaciones de las diferenciales se escoge un valor dx pe-queño y se simboliza tal elección mediante dx = ∆x.

El significado geométrico de las diferenciales se muestra en la figura 1; observa que el cambio correspondiente en y es:

∆y = f (x + ∆x) – f (x)


6 Diferenciales

Por otra parte, sabemos que:

f´ x( ) = lím

∆x→0

f (x + ∆x) – f (x)∆x

por lo que, considerando que dx = ∆x, podemos interpretar que:

dy = f´ x( )∆x = lím∆x→0

f (x +∆x) – f (x)( )

Como se advierte en la figura 1, la pendiente de la recta tangente PR es la deriva-da f´(x). Así, la distancia dirigida del punto S al punto R es f´(x)dx = dy. Por consi-guiente, dy representa la cantidad que se eleva o desciende la recta tangente, en tanto que ∆y representa la cantidad en que la curva y = f (x) se eleva o disminuye cuando x cambia en una cantidad dx. Así, la diferencial dy es una aproximación del incremento de la función que depende del incremento de x.

x + Δx

Δy

x

RQ

P

x

y = f(x)

dx = Δx

y

0

dy

S

Figura 1. Significado geométrico de las diferenciales.

Dada la función f (x) = x3, compara los valores de ∆y y dy cuando

a x varía de 2 a 2.05, y cuando b x varía de 2 a 2.01

Solución

a Cuando x varía de 2 a 2.05, el cambio de la función ∆y está dada por:

∆y = f (x2) – f (x1)

∆y = f (2.05) – f (2)

∆y = (2.05)3 – (2)3

∆y = 8.6151 – 8

∆y = 0.6151

Calculemos ahora la diferencial dy.

dy = f´(x)dx

dy = f´(x)∆x, donde:

f´ x( ) = ddx

x3 = 3x2, luego:

dy = 3x2∆x

dy = 3(2)2(2.05 – 2)

dy = 12(0.05)

dy = 0.6

Para la diferencia ∆y – dy se observa que:

∆y – dy = 0.6151 – 0.6 = 0.0151

b Comparemos ahora ∆y y dy cuando x varía de 2 a 2.01

∆y = f (2.01) – f (2)

∆y = (2.01)3 – (2)3

∆y = 8.1206 – 8

∆y = 0.1206

Ejemplo 2


difer

encia

les

7

En el ejemplo anterior se observa que la aproximación ∆y ≈ dy (recuerda que el sím-bolo ≈ significa “aproximadamente igual”) mejora cuando el valor de ∆x se reduce. También se advierte que es más fácil calcular dy que ∆y.

Como consecuencia de esta interpretación geométrica, un uso de las diferencia-les radica en la aproximación del cambio de f (x) que corresponde a un cambio en x.

dy = f´(x)dx

dy = f´(x)∆x

dy = 3x2∆x

dy = 3(2)2(2.01 – 2)

dy = 0.12

Para la diferencia ∆y – dy, se observa que:

∆y – dy = 0.1206 – 0.12 = 0.0006

lo que muestra que, al reducir el incremento ∆y, se reduce también la diferencia ∆y – dy, lo cual mejora la aproximación.

Calcula el valor aproximado del cambio de la función f (x) = x2 + 4x para x = 2 y ∆x = 0.001.

Solución ∆y = f (x + ∆x) – f (x) ≈ f´(x)∆x

f´ x( ) = d

dxx2 +4x( ) = 2x +4

∆y ≈ (2x + 4)(∆x)

∆y ≈ [2(2) + 4](0.001)

∆y ≈ 0.008

Ejemplo 3

Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo cuyos lados miden 3 cm y aumentan 0.002 cm cada uno.

Solución En este caso:

∆V ≈ dV

donde:

V = f (L)

V = L3

∆V ≈ f´(L)dL

f´ L( ) = d

dLL3 = 3L2

∆V ≈ 3L2dL

Ejemplo 4


8 Diferenciales

dr = espesor delcascarón esférico

r = radiointerior

Con L = 3 cm y dL = 0.002 obtenemos:

∆V ≈ 3(3 cm)2(0.002 cm)

∆V ≈ 0.054 cm3

El incremento aproximado del volumen del cubo es de 0.054 cm3.

Se considera que el volumen de un cascarón esférico que recubre una esfera, como se muestra en la figura, constituye un incremento en el volumen de ésta. Calcula el volu-men aproximado de un cascarón esférico que tiene un radio interior de 8 cm y cuyo espesor es de 0.12 cm.

Solución En este caso:

∆V ≈ dV

donde:

V = f (r)

V = 4πr3

3

∆V ≈ f´(r)dr

f´ r( ) = 4

3π d

drr3 = 4

3π 3r 2( )

∆V ≈ 4

3π 3r 2( )dr

∆V ≈ 4𝜋r2dr

Con r = 8 cm y ∆r = 0.12 cm obtenemos:

∆V = 4𝜋(8 cm)2(0.12 cm)

∆V = 30.72𝜋 cm3

∆V = 96.51 cm3

Ejemplo 5

En la notación de diferenciales tenemos que el valor aproximado de f (x + ∆x) se calcula con la expresión:

f (x + ∆x) ≈ f (x1) + dy

≈ f (x1) + f´(x1)∆x

En el ejemplo 6 se muestra cómo emplearla.

Calcula el valor aproximado de 16.4.

Ejemplo 6


difer

encia

les

9

Solución Sea:

f x( ) = x

x1 = 16

x2 = 16.4

por consiguiente, ∆x = 0.4. Entonces:

16.4 = f x + ∆x( ) ≈ f´ x1( )+ f´ x( )∆x, donde:

f´ x( ) = ddx

x = ddx

x1 2 = 12

x–1 2, luego:

16.4 = f 16( )+ 12

x–12 0.4( )

16.4 = 16 + 12 x

0.4( )

16.4 = 16 + 12 16

0.4( )

16.4 = 4 +0.05 = 4.05

16.4 = 4.05

Calcula el valor aproximado de 124.93 .

Solución Sea:

f (x + ∆x) = 124.93

f (x) = x3

Sean x1 = 125 y x2 = 124.9, entonces:

∆x = 124.9 – 125 = –0.1

124.93 ≈ f x + ∆x( ) ≈ f x1( )+ f´ x

1( )∆x

f´ x( ) = ddx

x3 = ddx

x1 3 = 13

x–2 3

≈ f 125( )+13

x–2 3 –0.1( )

≈ f 125( )+ 13x

1–2 3 –0.1( )

≈ 5 + 13 125( )–2 3 –0.1( )

≈ 5 – 0.175

≈ 4.9986

124.93 ≈ 4.9986

124.93 ≈ f x + ∆x( ) ≈ f x1( )+ f´ x

1( )∆x

f´ x( ) = ddx

x3 = ddx

x1 3 = 13

x–2 3

≈ f 125( )+13

x–2 3 –0.1( )

≈ f 125( )+ 13x

1–2 3 –0.1( )

≈ 5 + 13 125( )–2 3 –0.1( )

≈ 5 – 0.175

≈ 4.9986

124.93 ≈ 4.9986

Ejemplo 7

Al medir el radio de una esfera se obtuvo como resultado 8 cm. Consideremos que la medida es correcta con un margen de error de 0.01 cm. Calcula el error máximo po-sible en el volumen de dicha esfera.

Ejemplo 8

En el ejemplo siguiente se muestra el uso de las diferenciales al estimar los errores debidos a las medidas aproximadas.


10 Diferenciales

Solución La fórmula para calcular el volumen (V) de una esfera de radio r es:

V = 4

3πr3

Tenemos los datos siguientes.

Radio: r = 8 cmError posible: –0.01 cm ≤ ∆r ≤ 0.01 cm

Si se representa el error en el valor medido de r como dr = ∆r, entonces el error correspondiente en el valor calculado del volumen V (error propagado en el volumen) es ∆V, donde:

∆V = v́ dr

∆V = ddr

43

πr3( )dr

∆V = 4𝜋r2dr

por tanto:

∆V = 4𝜋(8 cm)2(±0.01 cm)

∆V ≈ ±8.0384 cm3

Es decir, el error propagado en el volumen de la esfera es de alrededor de ±8.0384 cm3.

I. �En�parEjas Pongan en práctica sus habilidades de comunicación escrita y oral con los ejercicios si-guientes.

1. Escribir�para�aprEndEr A partir de la función f (x)= x3, escribe una síntesis en la que expliques cómo calcular el valor aproximado del cambio en y (es decir, ∆y) cuando x varía de 2 a 2.01. Lee tu texto a un compañero y escucha el suyo. Obtengan conclusiones.

2. Escribir�para�aprEndEr Escriban resumidamente una conclusión sobre la relación del cálculo de la diferencial dy la derivada. También calculen el valor aproximado de 9.8 empleando diferenciales. Presenten sus resultados ante el resto de los equipos y, en caso de haber diferencias, discutan razonadamente (es decir, con razones) sobre quién está en lo correcto y por qué. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones generales.

3.comunicar�para�aprEndEr Al medir el radio de una esfera se obtuvo como resultado 20 cm, con un margen de error de 0.05 cm. Explica a uno de tus compañeros cómo estimar el error propagado al calcular el volumen de la esfera. Escucha también la explicación de tu compañero. Obtengan conclusiones y preséntenlas al grupo.

Resuelvo ejercicios por medio de diferenciales.Actividades de aprendizaje I

Continúa con las actividades de este tema en la segunda sección del libro.

A partir de la función dada f (x) = x2, explica cómo comparar ∆y con dy cuando x varía de 4 a 4.05. Si quisieras mejorar la aproximación, ¿qué harías? Escucha la expli-cación de tu compañero, obtengan conclusiones y preséntenlas al grupo. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones generales.

Túdecides


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