matematİk ÖĞretmenlİĞİmuratbeken.com.tr/wp-content/uploads/2018/08/lineer-cebir-1998.pdf ·...

CebirLineer

Yazar:Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİNÖğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN

Editör: Prof.Dr. Orhan ÖZER

T.C. ANADOLU ÜN İVERS İTES İ YAYINLARI NO: 1074

AÇIKÖĞRET İM FAKÜLTES İ YAYINLARI NO: 589

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

www.matematikce.com

Bu kitabın basım, yayım ve satış haklarıAnadolu Üniversitesine aittir.

"Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır.

İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya dabölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt

veya başka şekillerde çoğaltılamaz,basılamaz ve dağıtılamaz.

Copyright © 1998 by Anadolu University

All rights reserved

No part of this book may be reproducedor stored in a retrieval system, or transmitted

in any form or by any means mechanical, electronic,photocopy, magnetic tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN

ISBN 975 - 492 - 829 - 0

www.matematikce.com

A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

BaşlarkenAnadolu Üniversitesi Açık Öğretim Fakültesi'nin öğretmenlere kazandırdığı önli-sans diplomasından sonra, onlara lisans diploması alma hakkının tanınması ve bu-na olanak sağlayacak şekilde lisans tamamlama programları açması taktirle karşıla-nabilecek bir hizmettir. Değerli öğretmenlerimizin bu fırsatı en iyi şekilde değerlen-direbileceklerinden hiç şüphe yoktur. Bu yolla hem alan bilgilerini arttıracaklar hemde yeni haklar kazanacaklardır. Bunun sonucu olarak da okullarında daha nitelikli,daha çağdaş hizmet sunabileceklerdir. Bu kitabın da bu hizmete küçük bir katkısı-nın olacağını umarım.

Kitap, İlköğretim Öğretmenliği Lisans Tamamlama Programı Matematik Yan Alanderslerinden Lineer Cebir dersinin içeriğini kapsayacak şekilde hazırlanmıştır. Onüniteden oluşan bu kitapta, matrisler ve determinantlar, doğrusal denklem sistem-leri ve vektör uzayı konuları ele alınmıştır. Bu konular sadece matematik alanındadeğil, istatistik, işletme, iktisat, mühendislik hatta sosyal bilimler alanlarında araçolarak kullanılabilecek kavramlar ve yöntemler içermektedir. Bu nedenle de temelsayılabilecek tanımlar ve kavramlar üzerinde durulmuştur. Ünitelerde teorik anla-tımdan kaçınılarak, kavramlar daha çok örneklerle anlatılmaya çalışılmıştır; konu-lar fazla önbilgiye gereksinim duyulmadan anlaşılabilecek, kendi içinde bütünlüğüolacak şekilde verilmeye çalışılmıştır. Okuyucunun çalışırken örnekleri dikkatliceincelemesi, benzer örnekler oluşturması, metin içinde ve sonunda bırakılan sorularıçözmesi konuları kavrayıp pekiştirmesine yardımcı olacaktır. Kaynak kitaplarabaşvurulması her zaman yararlı olmuştur ve olacaktır.

Böyle bir programın açılmasında, düzenlenmesinde, bu kitap dahil kitaplarının ha-zırlanmasında, yazımında, basımında tüm emeği geçenlere teşekkürlerimi suna-rım; öğretmenlerimize yararlı olmasını dilerim.

Prof.Dr. Orhan ÖZEREditör

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Matris kavramını öğrenecek,• İki matrisin toplamı, bir matrisin skaler ile çarpımı, iki matrisin

çarpımı işlemlerini ve bu işlemlerin özelliklerini kavrayacak,• Bazı özel tip matrisleri tanıyacak,• Bir matrisin rankı hakkında fikir edinecek,• Bir matrisin tersinin ne olduğunu öğreneceksiniz.

İçindekiler

• Matris Kavramı 3• Özel Tipte Matrisler 4• Bir Matrisin Transpozesi 8• Matris İşlemleri 8• İlkel Satır ve Sütun İşlemleri 18• Bir Matrisin Basamak Biçimi 21• Bir Matrisin Rankı 22• Blok Matrisler 23

ÜNİTE

1Matrisler

YazarYrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN

www.matematikce.com


• Bir Kare Matrisin Tersi 24• Değerlendirme Soruları 32

Çalışma Önerileri

• Bu üniteyi çalışırken tanımları iyice kavrayıp çözülmüş örnek-leri dikkatlice gözden geçiriniz.

• Okuyucuya bırakılan soruları çözünüz.

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1. Matris Kavramı

Günlük yaşantımızda, birden fazla veri aynı anda kullanılmak istenildiğinde bu ve-riler tablolar ile temsil edilir. Bu gösterim şekli pek çok alanda kullanılmaktadır. Ör-neğin, muhasebe işlemleri, okullardaki ders programlarının hazırlanması ve öğren-cilerin not durumlarının takibi, anket sonuçlarının değerlendirilmesi, bazı bilimdallarında yapılan deneylerin sonuçlarının değerlendirilmesi bunlardan bir kaç ta-nesidir. Aşağıda, tablo ile gösterime bir örnek verilmiştir.

1.1. Örnek

Bir mağazada satılan A, B, C ve D mallarının mağazaya giriş fiyatları, satış fiyatlarıve bu mallardan kaç adet alınıp, kaç adet satıldığını tablo ile gösterelim.

Tabloya göre, B malı 650.000 TL'ye alınıp, 975.000 TL'ye satılmış ve alınan 2500 adetmaldan 1500 tanesi satılmıştır.

Bu örnekler daha da çoğaltılabilir. İşte, elimizdeki verileri gösterdiğimiz, belli sayı-da satır ve belli sayıda sütundan oluşan tabloya, matris denir. Aşağıda matrisin ma-tematiksel tanımı verilmiştir.

1.2. Tanım

m x n tane sayının, m satır ve n sütuna yerleştirilmesiyle oluşturulan tabloya birmatris denir.

Genel olarak bir matris,

M A T R İ S L E R 3

Malın Alış Fiyatı Satış Fiyatı Alınan Miktar Satılan MiktarAdı (TL) (TL) (Adet) (Adet)A 500.000 750.000 1100 950

B 650.000 975.000 2500 1500

C 775.000 1.165.000 800 530

D 825.000 1.240.000 950 822

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

a i1 a i2 a ij a in

am1 am2 amj amn m x n

www.matematikce.com


şeklinde gösterilir ve A, B, C, ... gibi harfler ile temsil edilir. m satır ve n sütundan oluşanbir matrise m x n tipinde bir matris ve aij sayılarına da matrisin öğeleri denir. m x ntipindeki bir matris, kısaca A = (aij)mxn şeklinde yazılır. Bir aij öğesindeki i indisi öğe-nin i. satırda olduğunu, j indisi ise j. sütunda olduğunu gösterir. Bundan dolayı aijöğesi, matrisin i. satır ile j. sütununun kesiştiği yerdedir. Örneğin,

matrisinde a23 öğesi, 2. satır ile 3. sütunun kesiştiği yerde olan 5'tir.

1.3. Tanım

A = (aij)mxn ve B = (bij)mxn matrisleri verilsin. Eğer i = 1, 2, ... , m ve j = 1, 2,... , n için aij = bij ise A ve B matrislerine eşit matrisler denir ve bu matrisler A =B şeklinde gösterilir.

İki matrisin eşit olabilmesi için aynı tipten matrisler olması gerektiğine dikkat edi-niz.

1.4. Örnek

matrisleri eşit matrisler ise b11 = a11 = 1, b12 = a12 = -1, b21 = a21 = 2, b22 = a22 = 1,b31 = a31 = 3 ve b32 = a32 = 0'dır.

2. Özel Tipte MatrislerBazı matrisler tipine göre ya da öğelerinin taşıdıkları kısmi özelliklere göre özel ad-lar alabilmektedirler. Bu bölümde, bu tür özel adlandırılan matrisler tanımlanıp ör-nekler sunulacaktır.

2.1. Tanım

A, mxn tipinde bir matris olsun. Eğer m = 1 ise, yani A 1xn tipinde bir matris ise Amatrisine satır matrisi; n = 1 ise, yani A mx1 tipinde bir matris ise A matrisine sütunmatrisi denir.

M A T R İ S L E R4

A = 2 3 1 6 0 4 5 2 1 0 2 3

→2. satır

↓

3. sütun

A = 1 -1 2 1 3 0

ve B = b11 b12

b21 b22

b31 b32

152

0 4 2


2.2. Tanım

Bir matriste satır sayısı ile sütun sayısı eşit ise bu matrise kare matris denir.

bir kare matristir. Çünkü A matrisinin satır sayısı ve sütun sayısı 3'tür.

nxn tipindeki bir kare matrise, n. mertebeden kare matris denir. Buna göre yukarı-da kare matrise örnek verilen A matrisi 3. mertebeden bir kare matristir. Ayrıca, n.mertebeden bir kare matriste, i = 1, 2, ..., n için aii öğelerine matrisin köşegenöğeleri denir. Örneğin,

kare matrisinin köşegen öğeleri 1, 0, -1 ve 5'tir.

2.3. Tanım

Bir matrisin tüm öğeleri sıfır ise, bu matrise sıfır matris denir ve mxn tipindeki bir sı-fır matrisi Omxn şeklinde gösterilir.

Aşağıda sıfır matrisine iki örnek verilmiştir:

2.4. Tanım

A n. mertebeden bir kare matris olsun. Her i ≠ j için aij = 0 ise A matrisine kö-şegen matris denir.


A = (1 2 3 -5) matrisi satır matrisine, B = 0-1 5

matrisi de sütun matrisine bi-

rer örnektir.

A = 1 -1 1 0 1 2 2 1 3

A =

0 0 -1 0 2 3 1 2 4 2 3 4

1

0 -1

5

O2x3 = 0 0 00 0 0

, O4x4 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0


Örneğin,

matrisleri, sırasıyla 3. ve 4. mertebeden köşegen matrislerdir. Özel olarak, n. merte-beden bir sıfır matris de köşegen bir matristir.

2.5. Tanım

Bir köşegen matriste, köşegen üzerindeki öğelerin hepsi eşit ise bu matrise ska-ler matris denir.

2.6. Örnek

Çözüm

A matrisinde a11 = 2 dir. Diğer taraftan skaler matriste a11 = a22 = a33 olmasıgerektiğinden x = a22 = 2 ve y = a33 = 2 olmalıdır.

2.7. Tanım

Bir kare matrisin köşegeni üzerindeki tüm öğeleri 1 ve geriye kalan bütün öğeleri 0ise, bu matrise bir birim matris denir.

n. mertebeden birim matris In ile gösterilir ve

biçiminde de ifade edilir.

matrisleri sırasıyla 2. ve 5. mertebeden birim matrislerdir.

M A T R İ S L E R6

A = , B =

-2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4

0 0 0 0 0 0

12

-1

-20

34

A = 2 0 0 0 x 0 0 0 y

matrisinin skaler matris olması için x ve y ne olmalıdır?

In = δij nxn , δij = 1 , i = j ise 0 , i ≠ j ise

I2 = 1 00 1

ve I5 =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1


2.8. Tanım

Bir A = (aij)nxn kare matrisi verilsin. Eğer her i, j için aij = aji ise A matrisine simet-rik matris denir.

matrisinin simetrik olup olmadığını inceleyelim. A matrisinin simetrik olabilmesiiçin i, j = 1, 2, 3 ve i ≠ j için aij = aji olmalıdır. a12 = a21 = -1, a13 = a31 = 0, a23= a32 = 4 olduğundan A matrisi bir simetrik matristir.

2.9. Tanım

A = (aij)nxn kare matrisi verilsin. Eğer her i, j için aij = - aji ise A matrisine terssimetrik matris denir.

Bir ters simetrik matriste, i = j olması durumunda aii = -aii koşulunun ancak aii= 0 iken sağlandığına dikkat edersek, ters simetrik matrisin köşegen öğelerinin sıfırolması gerektiğini söyleyebiliriz.

2.10. Örnek

matrisi 4. mertebeden ters simetrik bir matristir.

2.11. Tanım

A = (aij) nxn kare matrisinde her i < j için aij = 0 ise A matrisine altüçgenselmatris, her i > j için aij = 0 ise A matrisine üstüçgensel matris denir.

Tanımdan anlaşılacağı gibi, altüçgensel matrisin köşegeninin üstünde kalan öğelerve üstüçgensel matrisin köşegeninin altında kalan öğeler sıfırdır. Aşağıda sırasıylaaltüçgensel ve üstüçgensel matrislere birer örnek verilmiştir:


A = 1 -1 0 -1 2 4 0 4 3

A =

0 -1 2 3 1 0 -4 5 -2 4 0 -1

-3 -5 1 0


n. mertebeden bir köşegen matrisin hem altüçgensel, hem de üstüçgensel olduğuaçıktır. Gerçekten de,

matrisinde, köşegenin üst kısmında kalan tüm öğeler sıfır olduğundan bu matris biraltüçgensel matris ve benzer şekilde köşegenin alt kısmında kalan tüm öğeler de sı-fır olduğundan bir üstüçgensel matristir.

3. Bir Matrisin Transpozesi

3.1. Tanım

Bir A matrisinin satırları ile sütunlarının yer değiştirilmesiyle elde edilen yeni mat-rise, A matrisinin transpozesi denir ve bu matris At ile gösterilir.

Tanımdan anlaşılacağı gibi, mxn tipindeki bir matrisin transpozesi nxm tipindedir.

3.2. Örnek

Bir A matrisi için (At)t = A olduğu açıktır.

4. Matris İşlemleriBu bölümde, matrisler arasında matris toplamı, matris farkı, matris çarpımı işlemle-rini ele alacağız. Önce bu işlemleri sırayla tanımlayıp, sonra özelliklerini sıralayıpörnekler vereceğiz.

M A T R İ S L E R8

, B = 00 0

A =

0 0 0 00 0 0

0 00

02

34

5

12 0

-4 1 11 -1 2 2

1-2

3

1 21

A =

a11 0 00 a22 0

0 0 ann

A = 1 2-3 4 5 6

matrisinin transpozesi At = 1 -3 52 4 6

matrisidir.


4.1. Tanım

A = (aij)mxn ve B = (bij)mxn aynı tipten iki matris olsun. Öğeleri,

cij = aij + bij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

şeklinde oluşturulan C = (cij)mxn matrisine A ve B matrislerinin toplamı denirve bu matris A + B şeklinde gösterilir.

Bu tanımın aşağıdaki gibi verilebileceği açıktır:

matrisleri için

dir.

İki matrisin toplanabilmesi için aynı tipten matrisler olduğuna dikkat ediniz.

4.2. Örnek

Aşağıda matris toplama işleminin özellikleri verilmiştir:

a) Aynı tipten matrisler (toplanabilir matrisler) arasında matris toplamının bir-leşme özelliği vardır. Gerçekten, A = (aij)mxn , B = (bij)mxn ve C = (cij)mxn

matrisleri için (A+B) + C matrisinin i. satır, j. sütunundaki


A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

, B =

b11 b12 b1n

b21 b22 b2n

bm1 bm2 bmn

A + B =

a11 + b11 a12 + b12 a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 a2n + b2n

am1 + bm1 am2 + bm2 amn + bmn

A = 2 -1 0 13 4 5 6

ve B = -1 0 7 1-2 1 1 2

matrisleri için

A + B = 2 + (-1) -1 + 0 0 + 7 1 + 13 + (-2) 4 + 1 5 + 1 6 + 2

= 1 -1 7 21 5 6 8

dir


(aij + bij) + cij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

öğesi, A + (B+C) nin aynı satır ve sütunundaki

aij + (bij + cij) (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n) öğesine eşittir. Çünkü sayılar arasında toplama işleminin birleşme özelliği

vardır. O halde

(A+B) + C = A + (B+C)

dir. Bu özelliğe parantez kaydırma özelliği de denir. Bu özelliğin sonucu ola-rak, ikiden fazla sayıda toplanabilir matrisin toplamını parantezsiz olarak ya-zabiliriz. A, B, C ve D toplanabilir matrisler ise, bunların toplamı A+B+C+D ola-rak yazılabilir.

b) Toplanabilir iki matris arasında matris toplamının değişme özelliği vardır.Yani A ve B toplanabilir iki matris ise A+B = B+A dır. Bu özelliğin kanıtını, bir-leşme özelliğinin kanıtına benzer şekilde kolaylıkla yapabilirsiniz.

c) A, mxn tipinde bir matris olmak üzere,

A + Omxn = Omxn + A = A

dır. Bu eşitliğin doğruluğunu göstermek oldukça kolaydır. A + Omxn matrisi-nin i. satır j. sütunundaki

aij + 0 (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

öğesi, sıfırın sayılardaki toplama işlemine göre etkisiz eleman olmasındandolayı,

aij , (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

öğesine eşittir. Bu da A + Omxn = A demektir. Omxn + A = A olduğu dabenzer şekilde gösterilir.

4.3. Tanım

A = (aij)mxn ve r ∈ R olsun. Öğeleri,

bij = r aij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

şeklinde oluşturulan B = (bij)mxn matrisine A matrisinin r sayısı ile çarpımı de-nir ve bu matris rA şeklinde gösterilir.

M A T R İ S L E R10


matrisi ve r gerçel sayısı için

dir. Örneğin,

Aşağıda bir sayı ile matris çarpımı işleminin özellikleri verilmiştir:

a) A bir matris ve r, s ∈ R olsun. Bu durumda,

(r + s) A = rA + sA

dır. Gerçekten de, (r + s) A matrisinin i. satır ve j. sütunundaki

(r + s) aij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

öğesi rA + sA matrisinin aynı konumdaki,

raij + saij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

öğesine eşittir. Çünkü sayılarda çarpma işleminin, toplama işlemi üzerinedağılma özelliği vardır. Her i, j için (r + s) aij = raij + saij olduğundan ve mat-rislerin eşitliği tanımından (r + s) A = rA + sA olur.

b) A ve B toplanabilir iki matris ve r ∈ R olsun. Bu durumda,

r (A + B) = rA + rB

dir.

c) A bir matris ve r, s ∈ R olsun. Bu durumda,

(rs) A = r (sA)

dır.


A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

A =

ra11 ra12 ra1n

ra21 ra22 ra2n

ram1 ram2 ramn

A =

2 -5 1 1 0 2 3 4 1 -2 6 2

ve r = 2 ise r A =

4 -10 2 2 0 4 6 8 2-4 12 4

dir.


(b) ve (c) özelliklerinin doğruluğunu, (a) şıkkına benzer şekilde gösterebilir-siniz.

d) mxn tipindeki bir A matrisi için,

1A = A ve 0A = Omxn

olduğu açıktır.

Bir A matrisi için (-1)A matrisi -A ile gösterilir ve bu matrise A matrisinintoplamsal tersi denir. Örneğin,

dir.

Açıktır ki, mxn tipindeki bir A matrisi için A + (-A) = 0mxn dir.

A = (aij)mxn , B = (bij)mxn ve r, s ∈ R olmak üzere, rA + sB matrisine Cmatrisi diyelim. C matrisinin öğeleri,

cij = raij + sbij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

şeklindedir. Burada özel olarak r = 1 ve s = 1 alınırsa, C matrisinin öğeleri,

cij = 1aij + (-1)bij = aij - bij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

dir. Bu şekilde elde edilen C matrisine, A ile B matrisinin farkı denir ve bumatris A - B şeklinde gösterilir. Bir başka ifadeyle A - B = A + (-B) dir.

4.4. Örnek

4.5. Tanım

A = (aij)mxp ve B = (bij)pxn olsun. Öğeleri,

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

şeklinde oluşturulan C = (cij)mxn matrisine A ile B matrisinin çarpımı denir ve bumatris AB şeklinde gösterilir.


A = 3 -2 10 1 - 2

matrisinin toplamsal tersi -A = -3 2 -1 0 -1 2

A = 5 7 -4 20 3 6 3

ve B = 8 4 2 1-2 3 5 0

ise A - B matrisi -3 3 -6 1 2 0 1 3

dir.

cij = a ik bkj∑k = 1

p


A = (aij)mxp ile B = (bij)pxn matrisinin çarpımı olan AB matrisinin satır sayısı, Amatrisinin satır sayısına, sütun sayısı ise B matrisinin sütun sayısına eşittir. Ayrıca,iki matrisin çarpılabilmesi için birinci çarpan matrisinin sütun sayısı ile ikinci çar-pan matrisinin satır sayısının eşit olması gerektiğine dikkat edilmelidir. Aşağıda ikimatrisin çarpımına bir örnek verilmiştir.

4.6. Örnek

AB matrisi,

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

olmak üzere, C = (cij)3x4 matrisidir. Bu durumda,

dir.

Şimdi de matris çarpımının bir uygulamasını vereceğiz:

4.7. Örnek

Kredili sistemde okuyan beş öğrencinin dönem sonu ortalamaları hesaplanmak is-tenmektedir. Öğrencilerin bu dönemdeki toplam dört dersten aldıkları harf notları,derslerin kredileri ve harf notlarının katsayıları aşağıdaki tablolarla verilmiş olsun.


A = 3 21 10 4

ve B = 2 -1 0 11 2 3 1

olsun.

cij = a ik bkj∑k = 1

p

C = AB = 3 2

1 1

0 4

2 -1 0 1

1 2 3 1

= 3.2 + 2.1 3.(-1) + 2.2 3.0 + 2.3 3.1 + 2.11.2 + 1.1 1.(-1) + 1.2 1.0 + 1.3 1.1 + 1.10.2 + 4.1 0.(-1) + 4.2 0.0 + 4.3 0.1 + 4.1

= 8 1 6 5 3 1 3 2 4 8 12 4


Bu tablolara göre III nolu öğrenci, dönem sonunda X1 dersinden B, X2, X3 veX4 derslerinden de C harf notu almıştır. Bu döneme ait toplam kredi 18 oldu-ğuna göre, bu öğrencinin dönem sonu ortalamasını hesaplamak için, aldığı herbirdersin kredisi ile harf notunun katsayısının çarpılıp, daha sonra bunlar toplanıp18'e bölünmesi gereklidir.

Yani, III nolu öğrencinin dönem sonu ortalaması,

dir. Şimdi bu beş öğrencinin ortalamalarını bir sütun matris olarak hesaplayalım.

ve


DERSÖĞRENCİ X1 X2 X3 X4

I A B B BII C C C DIII B C C CIV C D F DV A A B B

DERS KREDİX1 4X2 6X3 4

X4 4+

18

NOT KATSAYIA 4B 3C 2D 1F 0

Xi nin kredisi . Xi nin harf notunun katsayısı∑i=1

4

18

A =

4 3 3 3 2 2 2 1 3 2 2 2 2 1 0 1 4 4 3 3

↓ ↓ ↓ ↓

x1 x2 x3 x4

→ I. öğrencinin harf notları katsayıları→ II. " " " "→ III. " " " "→ IV. " " " "

→ V. " " " "

B =

4644

→ x1 in kredisi→ x2 nin kredisi→ x3 ün kredisi→ x4 ün kredisi


olmak üzere, matrisi öğrencilerin dönem sonu ortalamaları mat-

risi olacaktır. Buna göre,

olmak üzere,

4.7. Örnekte kısalık için öğrenci sayısı beş alınmıştır. Öğrenci sayısı ne olursa olsun(100, 1000, ..., n) matris çarpımı ile, bilgisayar kullanılarak öğrencilerin ortalamalarıhesaplanabilir.

Aşağıda matris çarpımı işleminin özellikleri verilmiştir:

a) A mxp tipinde, B pxq tipinde ve C qxn tipinde birer matris olsunlar. Budurumda,

(AB)C = A(BC)

dir. Bu özelliğe matris çarpma işleminin birleşme özelliği denir. Bu özelliğinkanıtı aşağıda verilmiştir.

Kanıt

AB = D ve BC = E diyelim. Bu durumda, iki matrisin çarpımı tanımından,

(i = 1, 2 , ..., m; k = 1, 2, ..., q)

olmak üzere D = (dik)mxq ve

(r = 1, 2 , ..., p; j = 1, 2, ..., n)

olmak üzere E = (erj)pxn dir.


C = 118

(AB)

AB =

4 3 3 32 2 2 13 2 2 22 1 0 14 4 3 3

4644

=

4.4 + 3.6 + 3.4 + 3.42.4 + 2.6 + 2.4 + 1.43.4 + 2.6 + 2.4 + 2.42.4 + 1.6 + 0.4 + 1.44.4 + 4.6 + 3.4 + 3.4

=

5832401864

C = 118

5832401864

=

3.221.772.22

13.55

→ I. öğrencinin dönem sonu ortalaması→ II. " " " "→ III. " " " "→ IV. " " " "→ V. " " " " dır.

dik = a ir brk∑r=1

p

erj = brk ckj∑k=1

q


Benzer şekilde, (AB)C = DC = F ve A(BC) = AE = G denilirse,

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

olmak üzere F = (fij)mxn ve

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

olmak üzere G = (gij)mxn dir. Böylece her i , j için fij = gij olduğugösterilirse F ile G matrisinin eşit olduğu, yani (AB)C = A(BC) eşitliği göste-rilmiş olur. fij = gij olduğunu görmek için her iki öğenin de eşitlerini yazalım:

(i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n)

ve

(i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n)

olur. Buradan da her i, j için fij = gij olduğu görülür. Dolayısıyla F = G dir.Yani (AB)C = A(BC) dir.

b) A mxp tipinde, B ve C de pxn tipinde matrisler olsunlar. Bu durumda,

A(B+C) = AB + AC

dir. Bu kural matris çarpımının matris toplamı üzerine dağılımı özelliği ola-rak adlandırılır.

c) A mxp tipinde ve B pxn tipinde iki matris ve r, s ∈ R olsun. Bu durumda,

(rA) (sB) = (rs) AB

dir.

(b) ve (c) özelliklerinin kanıtı okuyucuya bırakılıp bu özellikler ile ilgili bi-rer örnek verilmiştir.


fij = dik ckj∑k=1

q

gij = a ir erj∑r=1

p

fij = dik ckj∑k=1

q

= a ir brk∑r=1

p

ckj∑k=1

q

= ∑k=1

q

a ir brk ckj∑r=1

p

,

= ∑r=1

p

a ir brk ckj∑k=1

q

= ∑k=1

q

a ir brk ckj∑r=1

p

gij = a ir erj∑r=1

p

= a ir∑r=1

p

brk ckj∑k=1

q


4.8. Örnek

A(B+C) = AB + AC eşitliğinin doğru olduğunu gösteriniz.

Çözüm

4.9. Örnek

(rA) (sB) = (rs)AB eşitliğinin doğru olduğunu gösteriniz.

Çözüm


A = 1 2-1 1 0 1

, B = 1 02 1

ve C = 0 -11 3

ise

B + C = 1 -13 4

ise A(B + C) = 1 2-1 1 0 1

1 -13 4

= 7 72 53 4

dir.

AB = 1 2-1 1 0 1

1 02 1

= 5 21 12 1

ve AC = 1 2-1 1 0 1

0 -11 3

= 2 51 41 3

ise

AB + AC = 5 21 12 1

+ 2 51 41 3

= 7 72 53 4

dir. Buradan da

A(B + C) = AB + AC olduğu görülür.

A = 1 -1 32 1 4

, B = 0 1-1

ve r = 2 , s = -1 is

rA = 2 1 -1 32 1 4

= 2 -2 64 2 8

ve sB = (-1) 0 1 -1

= 0 -1 1

ise

rA sB = 2 -2 64 2 8

= 0 -1 1

= 86

dir. Diğer taraftan,


Buradan da (rA) (sB) = (rs)AB olduğu görülür.

d) A, n. mertebeden bir kare matris ise,

AIn = InA = A

dır. Gerçekten de, A = (aij)nxn ve In = (δij)nxn olmak üzere, AIn matrisinini. satır ve j. sütunundaki öğesi,

dir. Birim matrisin tanımından k ≠ j için sij = 0 ve k = j için sij = 1 oldu-ğundan,

olur. Bu eşitlik i, j = 1, 2, ..., n için doğru olduğundan AIn = A dır. InA =A olduğu da benzer şekilde görülebilir.

Not: A ve B matrisleri için hem AB hem de BA işlemleri tanımlı olsa bilegenel olarak AB ≠ BA dır. Örneğin,

O halde, çarpılabilir matrisler için matris çarpımının değişme özelliği yoktur,diyebiliriz.

5. İlkel Satır ve Sütun İşlemleri

5.1. Tanım

Bir A matrisi verilsin. A matrisinin satırları (veya sütunları) üzerinde yapılan aşa-ğıdaki üç tip işleme ilkel satır (veya sütun) işlemleri denir.


a ik δij∑k=1

n

a ik δij∑k=1

n = a ij

A = -1 2 1 0

ve B = 3 12 4

olsun.

AB = -1 2

1 0 3 1

2 4 = 1 7

3 1 ve BA = 3 1

2 4 -1 2

1 0 = -2 6

2 4 olduğundan AB ≠ BA dır.

AB = 1 -1 32 1 4

0 1 -1

= -4-3

ise (rs)AB = (-2) -4-3

= 86

bulunur


I) A matrisinin herhangi iki satırını (veya sütununu) kendi aralarında yer de-ğiştirmek.

II) A matrisinin herhangi bir satırını (veya sütununu) sıfırdan farklı bir sayı ileçarpmak.

III) A matrisinin herhangi bir satırını (veya sütununu) sıfırdan farklı bir sayı ileçarpıp başka bir satırına (veya sütununa) eklemek.

5.2. Örnek

A matrisinde 1. satır ile 3. satırın yerleri değiştirildiğinde,

A1 matrisinde 2. satır 1/2 sayısı ile çarpılırsa,

A2 matrisinde 3. satır -1 ile çarpılıp 2. satıra eklenirse,

Bu işlemlere devam edilerek farklı matrisler elde edilebilir. Bu yeni matrisler Amatrisine eşit değildir; fakat, A matrisi ile aralarında aşağıda tanımlayacağımız birilişki vardır.

5.3. Tanım

A ve B matrisleri aynı tipten iki matris olsun. B matrisi, A matrisi üzerinde yapıla-cak ilkel satır işlemleri sonucu elde edilebiliyor ise A ile B matrisine denk matrislerdenir. Bu durum A ∼ B şeklinde gösterilir.


A = 1 2 3 -12 4 6 -20 1 1 2

matrisine ilkel satır işlemlerini uygulayalım.

A1 = 0 1 1 22 4 6 -21 2 3 -1

matrisi elde edilir.

A2 = 0 1 1 21 2 3 -11 2 3 -1


A3 = 0 1 1 20 0 0 01 2 3 -1



Örneğin, 5.2. Örnekte verilen

matrisi A1, A2 ve A3 matrislerinin herbirine denktir. Şimdi de

matrisinin I3 'e denk olduğunu görelim. A matrisinin 1. satırını -1 ile çarpıp3. satıra ekleyelim.

Elde edilen bu matrisin 2. satırını 2 ile çarpıp 3. satıra ekleyelim.

Son matrisin 2. satırını (-1) ile çarpıp 2. satıra ekleyelim.

Bu matrisin 3. satırını (-1) ile çarpıp 1. satıra ekleyelim.

Son olarak bu matrisin 1. satırını 1/2 , 2. satırını (-1) ve 3. satırını 1/3 ile çarpalım.


2 -1 30 -1 02 1 6

~ 2 -1 30 -1 00 2 3

~ 2 -1 30 -1 00 0 3

~ 2 0 30 -1 00 0 3

~ 2 0 00 -1 00 0 3

~ 1 0 00 1 00 0 1

= I3 elde edilir. Bu nedenle A ~ I3 tür.

A = 2 -1 30 -1 02 1 6

A = 1 2 3 -1 2 4 6 -2 0 1 1 2


6. Bir Matrisin Basamak Biçimi

6.1. Tanım

Bir A matrisinin her bir satırında, sıfırdan farklı bir öğe, içinde bulunduğu satırdanönce gelen satırdaki sıfırdan farklı olan ilk öğenin daha sağında yer alıyorsa A mat-risine basamak matris denir.

matrisleri basamak matrislere birer örnektir.

Herhangi bir A matrisine ilkel satır işlemleri uygulanarak, A matrisine denk olanbasamak matris elde edilebilir. Bu şekilde elde edilen matrise A matrisinin ba-samak biçime dönüştürülmüş matrisi denir.

6.2. Örnek

A matrisinin 1. satırını -3 ile çarpıp 2. satırına ve yine 1. satırını -1 ile çarpıp 3. sa-tırına ekleyelim.

Elde edilen matrisin 2. satırını -1/2 ile çarpıp 3. satırına ekleyelim.


A = 1 -1 2 1 23 1 0 1 21 1 0 1 1

matrisini basamak biçime dönüştürelim.

A ~ 1 -1 3 4 4 0 4 -6 -2 -40 2 -2 0 -1

~ 1 -1 3 4 40 4 -6 -2 -40 0 1 1 1

matrisi A matrisinin basamak biçimidir.

A =

1 2 0 3 5 0 3 1 4 2 0 0 1 2 -1 0 0 0 3 0

ve B = 0 1 -1 10 0 0 20 0 0 0


7. Bir Matrisin Rankı

7.1. Tanım

Bir A matrisi verilsin. A matrisinin basamak biçime dönüştürülmüşü olan matri-sin, sıfırdan farklı satırları sayısına A matrisinin rankı denir ve r(A) ile gösterilir.

Özel olarak, herhangi bir sıfır matrisinin rankı 0 kabul edilir.

7.2. Örnek

A matrisinin 1. satırını 2 ile çarpıp 3. satırına ve 1. satırını -1 ile çarpıp 4. satırınaekleyelim.

Elde edilen matriste 3. satır ile 4. satırı yer değiştirelim.

Bu matriste 2. satırı 1/2 ile çarpıp 3. satıra ekleyelim.

matrisinde sıfırdan farklı en az bir eleman içeren satır sayısı 3 olduğundan r(A) = 3tür.

n. mertebeden bir köşegen matris basamak biçiminde bir matris olacağından, böylebir matrisin rankı, köşegen üzerindeki sıfıra eşit olan öğelerin sayısı k ise n-k dır.Örneğin,


A ~

1 2 -1 0 0 2 1 20 0 0 00 -1 2 1

~

1 2 -1 0 0 2 1 2

0 -1 2 10 0 0 0

~

1 2 -1 00 2 1 20 0 5/2 20 0 0 0

A =

1 2 -1 0 0 2 1 2 -2 -4 2 0 1 1 1 1

kare matrisinin rankını bulalım.


matrisi 5. mertebeden bir köşegen matristir ve n = 5 , k = 1 olduğundan

rank (A) = 5-1 = 4 tür.

Rank tanımından anlaşılacağı gibi, denk matrislerin rankları aynı sayıdır.

Bir matrisin rankı, vektör uzayları ve vektörlerin lineer bağımsızlığı konuları veril-dikten sonra tekrar incelenecektir.

8. Blok MatrislerBlok matrisi tanımlamadan önce, bu tanımda gerekli olan alt matris kavramınıverelim. Bir A = (aij)mxn matrisinde, k tane satır ve l tane sütun çıkarıldığın-da elde edilen (m - k) x (n - l) tipindeki yeni matrise A matrisinin alt matrisi denir.Örneğin,

matrisinde, 3. satır ve 2. ile 4. sütunlar çıkarıldığında elde edilen

matrisi A nın bir alt matrisidir.

8.1. Tanım

Bir

matrisini,


A =

-1 2 3 4 7 8 0 1 2 3 -4 -5

1610 1 0 1 2

B = 1 2 4 6 8 1 0 0 2

A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

A =

1 0 0 0 00 2 0 0 00 0 0 0 00 0 0 -1 00 0 0 0 3


r1 + r2 + ... + rp = m , s1 + s2 + ... + sq = n ve

(k = 1, 2, ..., p ; l = 1, 2, ..., q)

ler A nın alt matrisleri olmak üzere

şeklinde yazabiliriz. Bu yazım şekline A matrisinin bloklara ayrılması denir.

8.2. Örnek

olmak üzere

Burada, p = 2 , q = 3 , r1 = r2 = 2 , s1 = 2 , s2 = 3 , s3 = 1 dir.

9. Bir Kare Matrisin Tersi

9.1. Tanım

A, n. mertebeden bir kare matris olsun. Eğer,

AB = In ve BA = In

olacak şekilde n. mertebeden bir B kare matrisi var ise, B matrisine A matrisinin tersidenir.


A =

1 0 -1 3

3 6 0 6

2 2 2 1

-1

2

5

1

0 1 0 2

4

5

2

-3

matrisini

A11 = 1 23 5

, A12 = 0 -1 36 0 6

, A13 = 45

A21 = 2 1-1 0

, A22 = 2 2 11 0 2

, A23 = 2-3

A = A11 A12 A13

A21 A22 A23 şeklinde yazabiliriz.

Akl = (a ij)rkxsk

A11 A12 A1q

A21 A22 A2q

Ap1 Ap2 Apq


A kare matrisinin tersinin olabilmesi için AB = In ve BA = In koşullarındanyalnızca birinin sağlanması yeterlidir. Ayrıca, A nın tersi var ise bu tektir ve ters mat-ris A-1 ile gösterilir. Bir kare matrisin tersi var ise tek olduğunu aşağıdaki şekildegösterebiliriz:

A, n. mertebeden bir kare matris ve B ile C matrisleri de A matrisinin ters matrisiolsunlar. B ile C nin eşit matrisler olduğunu göstermeliyiz.

AB = In ve CA = In dir. (Ters matris tanımından)

Diğer taraftan,

(CA) B = C (AB) dir. (Çarpma işleminin birleşme özelliğinden)In B = CIn

B = C

elde edilir.

Aşağıda matris tersi ile ilgili iki örnek verilmiştir:

9.2. Örnek

olduğundan B = A-1 dir.

9.3. Örnek

Çözüm

AB = I2 olacak şekilde bir matrisinin olup olmadığını araştıracağız.


A = 3 21 1

matrisi verilsin. B = 1 -2-1 3

matrisinin, A'nın tersi olduğunu

gösterelim. Gerçekten,

AB = 3 21 1

1 -2-1 3

= 1 00 1

= I2

ve BA = 1 -2

-1 3 3 2

1 1 = 1 0

0 1 = I2

A = 1 -1-1 1

olsun. A matrisinin tersi var mıdır?

B = x yz t


İki matrisin eşitliği tanımından,

x-z = 1 y-t = 0-x+z = 0 -y+t = 1

olmalıdır. Fakat bu eşitlikleri sağlayan x, y, z ve t sayıları olmadığından AB = I2koşulunu sağlayacak B matrisi bulunamaz. Dolayısıyla A matrisinin tersi yoktur.

Not: Eğer A = (a) ise a ≠ 0 iken A-1 vardır ve

Aşağıda, bir kare matrisin tersini, ilkel satır işlemleri yardımıyla elde edebileceği-miz bir yöntem vereceğiz. Önce yöntemde kullanılacak olan ilkel matrisi kavramınıtanımlayalım.

9.4. Tanım

In birim matrisine, ilkel satır işlemlerinin herhangi bir tipi uygulandığında eldeedilen matrise bir ilkel matris denir.

n. mertebeden bir A kare matrisine birinci tip ilkel satır işlemi uygulandığında eldeedilen matrise A1 , In birim matrisine aynı ilkel satır işlemi uygulandığında eldeedilen ilkel matrise de E1 dersek A1 = E1 A dır.

Örneğin,

matrisinin 1. satırı ile 3. satırını yer değiştirelim.

Bu durumda

dir. Diğer taraftan I3'e aynı ilkel satır işlemini uygularsak


A-1 = 1a dir.

A = 1 2 -1 3 1 1 0 2 4

A1 = 0 2 4 3 1 1 1 2 -1

Eğer böyle bir B matrisi varsa, AB = I2 eşitliğinden, 1 -1-1 1

x yz t

= 1 00 1

ol-

malıdır. Çarpma işlemini yaparsak, x-z y-t

-x+z -y+t = 1 0

0 1 elde edilir.

ve


olur. Buradan,

olduğu görülür.

Benzer şekilde bir A kare matrisine ikinci tip ilkel satır işlemi uygulandığında eldeedilen matris A2 ve In'e aynı ilkel satır işlemi uygulandığında elde edilen mat-ris E2 ise E2 A = A2 dir. Yine A matrisine üçüncü tip ilkel satır işlemi uygulandı-ğında elde edilen matris A3 ve In'e aynı ilkel satır işlemi uygulandığında eldeedilen ilkel matris E3 ise E3 A = A3 dür.

Şimdi yöntemi verelim:

A, n. mertebeden bir kare matris olmak üzere, A matrisinin yanına In birim matri-sini ekleyerek nx2n tipinde bir B matrisi oluşturalım.

dir. B matrisine ilkel satır işlemleri uygulayarak, A matrisinin yerinde In birimmatrisini elde edelim. Bu işlemler sonucunda In nin yerinde oluşan yeni matris,A matrisinin tersidir. Aşağıda bu yöntem açıklanmıştır:

A matrisine, ard arda sonlu sayıda ilkel satır işlemlerini uygulayarak, In birim matri-sini elde edelim. Bu durumda,

Ei Ej Ek ... Ei Ej Ek A = In (1 ≤ i ≤ 3 , 1 ≤ j ≤ 3 , 1 ≤ k ≤ 3)

olur. Diğer taraftan In A = A olduğundan yukarıdaki eşitlikte A yerine In A yaza-lım.

Ei Ej Ek ... Ei Ej Ek In A = In

dir. Ei Ej Ek ... Ei Ej Ek In = C dersek,

CA = In


B =

a11 a12 a1n 1 0 0a21 a22 a2n 0 1 0

an1 an2 ann 0 0 1

E1 A = 0 0 10 1 01 0 0

1 2 -1 3 1 1 0 2 4

= 0 2 4 3 1 1 1 2 -1

= A1

E1 = 0 0 10 1 01 0 0


eşitliğinden A-1 = C olur. C matrisine dikkat edecek olursak, bu matris, In birimmatrisine, A matrisine uygulanan ilkel satır işlemlerinin aynı sırada uygulanmasıile elde edilen matristir. Dolayısıyla B = (A , In) matrisinde, A matrisine ilkel sa-tır işlemleri uygulayarak birim matrisi elde ettiğimizde, In 'e de aynı işlemleri uygu-layarak elde ettiğimiz matris, A nın tersi olan A-1 matrisidir.

9.5. Örnek

matrisinde 1. satırın -1/2 katını 2. satıra ekleyelim.

dir. Bu matrisin 2. satırını -2/3 ile çarpalım.

olur. Elde edilen bu matriste 2. satırın 2 katını 3. satıra ekleyelim.

bulunur. Bu matriste 2. satırının -3 katını 1. satıra ekleyelim, 3. satırını -1/3 ile çarpa-lım.


B = 2 3 -4 1 0 01 0 1 0 1 00 -2 1 0 0 1

B ~

2

3

-4

1

0

0

0

-3/2

3

-1/2

1

0

0

-2

1

0

0

1

~ 2 3 -4 1 0 00 1 -2 1/3 -2/3 0

0 -2 1 0 0 1

~ 2 3 -4 1 0 00 1 -2 1/3 -2/3 00 0 -3 2/3 -4/3 1

A = 2 3 -4 1 0 1 0 -2 1

matrisinin tersini ilkel satır işlemleri ile bulalım.

~ 2 0 2 0 2 00 1 -2 1/3 -2/3 00 0 1 -2/9 4/9 -1/3


elde edilir. Son elde edilen matrisin 3. satırın -2 katını 1. satıra, 3. satırın 2 katını 2.satıra ekleyelim.

bulunur. Son olarak, 1. satırı 1/2 ile çarpalım.

olur. Bu son matriste A matrisinin yerinde I3 elde edilmiştir. Dolayısıyla I3 ün ye-rinde elde edilen

matrisi A nın ters matrisidir.

9.6. Örnek

Çözüm

dir. B matrisinde, 1. satır ile 2. satırı toplayıp 2. satıra, 1. satır ile 3. satırı toplayıp 3. sa-tıra, 1. satır ile 4. satırı toplayıp 4. satıra ekleyelim.


~ 1 0 0 2/9 5/9 1/30 1 0 -1/9 2/9 -2/30 0 1 -2/9 4/9 -1/3

2/9 5/9 1/3 -1/9 2/9 -2/3 -2/9 4/9 -1/3

A =

-1 1 1 1

1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

ise A-1 = ?

~ 2 0 0 4/9 10/9 2/3 0 1 0 -1/9 2/9 -2/30 0 1 -2/9 4/9 -1/3

B =

-1 1 1 1 1 0 0 0 1 -1 1 1 0 1 0 0 1 1 -1 1 0 0 1 0 1 1 1 -1 0 0 0 1


olur. Bu matrisin 2. satırı ile 3. satırını yer değiştirelim.

dir. Elde edilen bu matrisin 2. satırının -1 katını 4. satıra ekleyelim.

bulunur. Bu matrisin 3. satırının -1 katını 4. satıra ekleyelim.

elde edilir. Elde edilen bu son matriste 3. satırın -1/2 katını 1. satıra, 4. satırın 1/2katını 2. satıra ekleyelim.

bulunur. Bu matriste, 4. satırın 1/2 katını 3. satıra, 2. satırın -1/2 katını 1. satıra ekle-yelim.


~

-1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 2 -2 0 0 -1 1

~

-1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 -4 -1 -1 -1 1

~

-1 1 0 0 1/2 -1/2 0 0 0 2 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 -4 -1 -1 -1 1

B ~

-1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 2 2 2 1 0 0 1

~

-1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 2 2 2 1 0 0 1


dir. Son olarak 1. satırı -1 ile, 2. satırı 1/2 ile, 3. satırı 1/2 ile ve 4. satırı -1/4 ileçarpalım.

bulunur. O halde,

matrisidir.

9.7. Örnek

matrisinde 1. satırın -1/2 katını 2. satıra ekleyelim ve 1. satır ile 3. satırı toplayıp3. satıra yazalım.


A = 2 -1 2

1 1 1 -2 1 -2

matrisinin tersini bulmaya çalışalım.

B = 2 -1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 0 -2 1 -2 0 0 1

B ~ 2 -1 2 1 0 00 3/2 0 -1/2 1 00 0 0 1 0 1

~

-1 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 -1/4 0 2 0 0 1/2 -1/2 1/2 1/2 0 0 2 0 1/2 1/2 -1/2 1/2 0 0 0 -4 -1 -1 -1 1

~

1 0 0 0 -1/4 1/4 1/4 1/40 1 0 0 1/4 -1/4 1/4 1/40 0 1 0 1/4 1/4 -1/4 1/40 0 0 1 1/4 1/4 1/4 -1/4

A-1 = 14

-1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1


Bu matrise göre rank (A) = 2 dir. Diğer taraftan rank (I3) = 3 olduğuna göre, Amatrisinden hareketle ilkel satır işlemleri ile I3 matrisi elde edilemez. Çünkü Amatrisi ile I3 birim matrisinin rankları farklı olduğu için denk matrisler değiller-dir. Dolayısıyla A matrisinin tersi yoktur.

Değerlendirme SorularıAşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.

1.

A. -1 B. 1C. 2 D. 5E. 7

2.

A. x= -y B. x= yC. y= 1-x D. y= 1+xE. x≠ y

3.

A. B.

C. D.

E.


2 -2 1 3 2 1 0 1 0

- 3 1 0 2 -10 1 2 2

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

-1 2 12 1 2 3 8 6

-7 2 0 7 2 -3 -4 -6

-1 1 5 1 1 1 3 2

-1 2 12 1 2 3 7 6

-7 2 0 7 2 3 8 6

A =

-1 0 0 0 1 0 x+y 0 3 4 5 0

x-y 6 7 -5

A = -1 2 3 5 6 2 0 1 -1 2 1 5 7 -2 1

matrisi, x ve y nin hangi değerleri için altüç-gensel bir matristir?

matrisinin a23 öğesi aşağıdakilerdenhangisidir?


4.

A. (1) B. (0)

C. D.

E.

5. Aşağıdaki matrislerden hangisi transpozesine eşittir?

A. B.

C. D.

E.

6.

A. 0 B. 1C. 2 D. 3E. 4


A =

1 1 1 21 1 2 11 2 1 12 2 4 2

1 -1 2 0 2 -2 4 0 1 -1 2 0

-1 1 -2 0

1 0 0 -2 1 1 0 2 1

5 0 1 0 5 2 1 -2 5

1 2 3 -2 1 3 -3 -3 1

5 4 -6 4 0 1

-6 1 2

4 5 6 -5 2 4 6 4 4

1-1 2 0

1 2 1 -1 matrisi aşağıdaki lerden hangisidir?

1 2 1 -1 -1 -2 -1 1 2 4 2 -2 0 0 0 0

1 2 1 -1 -1 -2 -1 1 2 4 2 -2 -1 2 1 -1

matrisinin rankı aşağıdaki sayılardanhangisidir?


7. Aşağıdaki matrislerden hangisi I4'e denktir?

A. B.

C. D.

E.

8.

A. B.

C. D.

E.

9.

A. (6) B. (9)

C. D. (0 -2 8)

E.


0 2 4 3-1 2

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

0 0 0 6 -2 412 -4 8

0-2 8

A = 1 10 -1

matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?

-1 0-1 1

1 01 -1

-1 1 0 1

-1 -10 1

1 10 -1

1 2 1 20 1 1 12 4 2 41 0 0 0

1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 0 0

1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 0

-1 0 0 1 3 1 2 -3 1 1 1 -1 1 1 3 -1

1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1


10.

A. B.

C. D.

E.

11. A bir kare matris olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğ-rudur?

A. AAt simetrik bir matristir. B. A - At simetrik bir matristir.C. A + At ters simetrik bir matristir. D. A At skaler bir matristir.E. A - At alt üçgensel bir matristir.

12.

16

A. 12 B. 9C. 7 D. 5E. 2

13.

A. -2 B. -1C. 0 D. 1E. 2

14. A, 5x7 tipinde bir matris olmak üzere, AB - 2I5 işleminin yapılabilmesi için,B hangi tipte bir matris olmalıdır?

A. 5x5 B. 7x7C. 7x5 D. 5x7E. Hiçbiri


A =

3 1 -2 7 2 4 -1 3 0 0 2 -1

1 0 00 1+x 0

2-x 0 0

matrisinin köşegen matris olması için x ne olmalıdır?

A = 1 12 1

, B = 0 11 0

matrisleri veriliyor.

A = BX matris eşitliğini sağlayan X matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

0 11 0

1 00 1

1 12 1

1 -12 1

2 11 1

matrisinin öğeleri kullanılarak yapılan a12 - a13 +2a42 + 2a43 işleminin sonucu nedir?


15.

A. a = 1 B. a = -1b = -1 b = 1

C. D.

E.

16.

A. B.

C. D.

E. A matrisinin tersi yoktur.


A =

1 1 2 12 1 1 11 2 1 11 1 2 1

matrisinin tersi varsa, aşağıdakilerden hangisidir?

1 1 0 0 -1 -1 0 -3 0 -1 -2 0

1 0 2 3

1/2

1 1 0 0 -1 -1 0 -3 0 -1 -2 0 1 0 2 3

0 1 0 0 -2 -1 0 -3 2 -1 -2 0 -1 0 2 3

1/4

-1 -1 2 -1 2 -1 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 -1 2 -1

12

1 -2 0 4 6 1 6 8 0 0 0 1

-2

0 1 -1 2 1 1 3 0 a-b 2 a+b 0

=

1/2 -3 2-2 1 -3/2-3 4 0-4 2 1/2

ise

a ve b nin değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

a = -1/2 b = -1/2

a = 1/2 b = 1/2

a = -1/2 b = 1/2


17.

A. B.

C. D.

E. A matrisinin tersi yoktur.

Değerlendirme Sorularının Yanıtları

1. B 2. A 3. B 4. C 5. D 6. D 7. E 8. E 9. A 10. E11. A 12. D 13. E 14. C 15. C 16. E 17. B


2 1 -3 1 1 0 -1 2 1 2 0 0 1 2 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 2

matrisinin tersi varsa, aşağıdakilerden hangisidir?

1 1 1 -1 10 -2 4 -3/2 20 0 2 -1 10 0 0 1/2 -20 0 0 0 1

1/2

1 1 1 -1 10 -2 4 -3/2 20 0 2 -1 10 0 0 1/2 -20 0 0 0 1

1 0 0 0 01 -2 0 0 01 4 2 0 0-1 -3/2 -1 1/2 01 2 1 -2 1

1/2

1 0 0 0 01 -2 0 0 01 4 2 0 0-1 -3/2 -1 1/2 01 2 1 -2 1

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• determinant kavramını tanıyacak,• determinant ile ilgili bazı özellikleri öğrenip, bir kare matrisin

determinantını daha kolay hesaplayabilecek, • bir kare matrisin tersinin olup olmadığına karar verebilecek bir

kriter görecek,• bir kare matrisin tersinin determinantını ve ek matris yardı-

mıyla tersinin bulunmasını öğreneceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 41• Minör ve Kofaktör 41• Saruss Kuralı 46• Determinantın Özellikleri 48• Ek Matris ve Ters Matris 50• Değerlendirme Soruları 55

ÜNİTE

2Determinantlar

YazarYrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN



• Bu üniteyi çalışmadan önce Matrisler konusunu gözden geçiri-niz.

• Bu üniteyi çalışırken tanımlar ve özellikleri çok iyi kavrayınız.• Ünitede ki çözülmüş örnekleri, çözümlerine bakmadan kendi-

niz çözüp, sonuçları karşılaştırınız.• Ünite içinde size bırakılan soruları ve değerlendirme sorularını

çözünüz.


1. GirişHer kare matrise, adına o matrisin determinatı denilen bir gerçel sayı karşılık getiri-lir. Bir başka deyişle, kare matrislerin kümesinden gerçel sayılar kümesine determi-nat fonksiyonu denilen bir fonksiyon tanımlanabilir. Bu fonksiyon altında bir A karematrisinin görüntüsü, det(A) ya da |A| simgelerinden biriyle gösterilen bir sayıdır.Determinat fonksiyonunun nasıl tanımlandığı ayrıntı gerektiren bir konudur. Bunedenle, bu ayrıntıya girmeden, basit kurallar ile bir A kare matrisinin determinantıdenilen |A| sayısının nasıl bulunabileceği konusu üzerinde duracağız.

Eğer A = (a) ise, yani 1. mertebeden bir kare matris ise, det(A) = a dır.

Şimdi n ≥ 3 için n. mertebeden bir kare matrisin determinantının 2. mertebeden altmatrislerin determinantlarına indirgenerek nasıl hesaplanabileceğini görmek içingerekli olacak bazı kavramlar tanımlayacağız.

2. Minör ve Kofaktör

2.1. Tanım

A = (aij)nxn kare matrisinde, bir aij (1 ≤ i ≤ , 1 ≤ j ≤ n) öğesinin bulunduğu i. satırile j. sütunun çıkarılmasıyla elde edilen (n-1). mertebeden alt kare matrisin determi-nantına, A matrisinin aij öğesinin minörü denir ve aij öğesinin minörü Mij ile gös-terilir.

Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, aij öğesinin minörünüşöyle gösterebiliriz:

D E T E R M İ N A N T L A R 41

Eğer A = a bc d

ise, yani 2. mertebeden bir kare matris ise

det(A) = a b c d

+

- = ad - bc

olarak tanımlanır. Örneğin A= 3 2

-1 5 için det(A) = 3.5 - (-1) . 2 = 17 dir.


olmak üzere,

2.2. Örnek

2.3. Tanım

A = (aij)nxn matrisinde, bir aij öğesinin minörü olan Mij nin (-1)i+j ile çarpılmasıy-la elde edilen sayıya, aij öğesinin kofaktörü (eş çarpanı) denir ve aij nin kofaktörüAij ile gösterilir. Örneğin, yukarıda örnek olarak verilen A matrisinde,

a11 = 1 öğesinin kofaktörü A11 = (-1)1+1 . M11 = 1 . 4 = 5,a32 = -2 öğesinin kofaktörü A32 = (-1)3+2 . M32 = (-1) . 1 = -1 dir.

D E T E R M İ N A N T L A R42

A =

a11 a12 a1 j-1 a1j a1 j+1 a1n

a21 a22 a2 j-1 a2j a2 j+1 a2n

a i-1 1 a i-1 2 a i-1 j-1 a i-1 j a i-1 j+1 a i-1 n

a i1 a i2 a i j-1 a ij a i j+1 a in

a i+1 1 a i+1 2 a i+1 j-1 a i+1 j a i+1 j+1 a i+1 n

an1 an2 an j-1 anj an j+1 ann

→ i. satır

↓

j. sütun

Mij =

a11 a12 a1 j-1 a1 j+1 a1n

a21 a22 a2 j-1 a2 j+1 a2n

a i-1 1 a i-1 2 a i-1 j-1 a i-1 j+1 a i-1 n

a i+1 1 a i+1 2 a i+1 j-1 a i+1 j+1 a i+1 n

an1 an2 an j-1 an j+1 ann

dir.

matrisinde, a11 = 1 öğesinin minörü M11 = 2 1-2 1

= 2 . 1 - -2 . 1 = 4,

a32 = -2 öğesinin minörü M32 = 1 2

0 1 = 1 . 1 - 0 . 2 = 1 dir

A = 1 -1 20 2 14 -2 1

a i 1 a i 2 . . . a i (j-1)

a 1 j

a 2 j

a (i -1)j

a i ja (i +1)j

a nj

a i (j+1) . . . a i n


Şimdi herhangi bir kanıtlama yapmadan, n ≥ 2 için kofaktörler yardımıyla, n. merte-beden bir matrisin determinantının (n-1). mertebeden kare matrislerin determi-nantları türünden hesaplanışına ilişkin bir kuralı aşağıdaki gibi bir formülle verece-ğiz:

n ≥ 2, A = (aij)nxn matrisi için, 1 ≤ i≤ n olmak üzere, seçildikten sonra sabit kalanbir i için

olarak ifade edilir. Bu yazılışa A matrisinin determinantının i.yinci satıra göre açılı-mı denir. Benzer olarak, A nın determinantı bir sütunun kofaktörlerine göre de he-saplanabilir. 1 ≤ j ≤ n olmak üzere, j.yinci sütuna göre açılım

formülüyle verilir.

A matrisinin determinantı, bu matrisin herhangi bir satırındaki (veya sütunundaki)öğelerin kofaktörleriyle çarpılıp, toplanmasıyla elde edilmektedir. Bu yöntemi ardarda uygulayarak n. mertebeden bir kare matrisin determinantını 2. mertebeden ka-re matrislerin determinantlarına indirgeyebilmekteyiz.

2.4. Örnek

matrisinin determinantını kofaktörler yardımıyla hesaplayalım. A nın determinan-tını hesaplamak için herhangi bir satır veya sütunu seçebiliriz. Biz bu örnekte 2. sü-tunu seçelim. Bu durumda,

det(A) = a12 A12 + a22 A22 + a32 A32 dir.


A = 2 1 3 -1 0 2 3 5 1

105

A12 = -1 1+2 M12 = -1 -1 2 3 1

= 7

A22 = -1 2+2 M22 = 1 2 3

3 1 = -7

det A = a ijAij = a i1Ai1 + a12Ai2 + ... + a inAin∑j=1

n

det A = a ijAij = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj∑i

n


2.5. Örnek

Çözüm

A matrisinin determinantını 3. satıra göre açalım. Buna göre,

det(A) = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 + a34 A34 tür. Burada,

A31 = (-1)3+1 M31 , A32 = (-1)3+2 M32 , A33 = (-1)3+3 M33 ve A34 = (-1)3+4 M34

olduğundan dört tane 3. mertebeden kare matrisin determinantını hesaplamamızgerekmektedir. Bu determinantlar için de aynı yöntemi uygularsak, A matrisinindeterminantını 2. mertebeden kare matrislerin determinantlarına indirgemiş olu-ruz. O halde,

(1)

eşitliğinde, bu dört determinantın herbirini 1. satıra göre açalım. (Aslında herbir de-terminant farklı satır veya sütuna göre açılıp hesaplanabilir.)


A32 = -1 3+2 M32 = -1 2 3-1 2

= -7 ise

det(A) = 1 . 7 + 0 . (-7) + 5 . (-7) = -28 bulunur.

A =

1 2 3 4 4 3 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1

ise det A nedir?1 1 2 2

det A = 1 . -1 3+1 2 3 4 3 2 1 2 1 1

+ 1 . -1 3+2 1 3 4 4 2 1 2 1 1

+ 2 . -1 3+3 1 2 4 4 3 1 2 2 1

+ 2 . -1 3+4 1 2 3 4 3 2 2 2 1

2 3 4

3 2 1

2 1 1

= 2 . -1 1+1 2 1

1 1 + 3 . -1 1+2 3 1

2 1 + 4 . -1 1 +3 3 2

2 1 = - 5 ,


olduğundan, bulunan sonuçlar (1) eşitliğinde yazılarak

det(A) = 1 . (-5) + (-1) . (-5) + 2 . 5 + (-2) . 5 = 0 bulunur.

Not: Kofaktörler ile determinant hesaplarken, sıfır sayısının çok bulunduğu satırveya sütunlardan biri seçildiğinde, daha az işlem yaparak, determinantı hesaplaya-bileceğinize dikkat ediniz.

2.6. Örnek

Çözüm

A matrisinin 3. sütunundaki beş öğeden dördü sıfır olduğundan, determinantı 3.sütuna göre açarsak daha az işlem yapmış oluruz. Yani,


1 3 4 4 2 1 2 1 1

= 1 . -1 1+1 2 1 1 1

+ 3 . -1 1+2 4 1 2 1

+ 4 . -1 1 +3 4 2 2 1

= -5 ,

1 2 4 4 3 1 2 2 1

= 1 . -1 1+1 3 1 2 1

+ 2 . -1 1+2 4 1 2 1

+ 4 . -1 1 +3 4 3 2 2

= 5,

1 2 3 4 3 2 2 2 1

= 1 . -1 1+1 3 2 2 1

+ 2 . -1 1+2 4 2 2 1

+ 3 . 1 1 +3 4 3 2 2

= 5

A =

2 0 0 -1 0 0 1 1 0 -1 4 0 0 -2 0 1 5 0 1 0

0 1 0 5 -3

ise det A nedir?

01000

det(A) = -1 1+3 . 0 .

0 1 0 -1 4 0 -2 0

1 5 1 0

0 1 5 -3

+ -1 2+3 . 1 .

2 0 -1 0 4 0 -2 0

1 5 1 0

0 1 5 -3

+ -1 3+3 . 0 .

2 0 -1 0

0 1 0 -1

1 5 1 0

0 1 5 -3

+ -1 4+3 . 0 .

2 0 -1 0

0 1 0 -1

4 0 -2 0

0 1 5 -3

+ -1 5+3 . 0 .

2 0 -1 0

0 1 0 -1 4 0 -2 0

1 5 1 0


3. Saruss Kuralı3. mertebeden bir kare matrisin determinantını kofaktörler ile hesaplama formülü-nü kolay bir kurala dönüştürebiliriz. Bu kuralı bulmak için önce 3. mertebeden birkare matrisin 1. satıra göre determinant açılımını yazalım.

= a11 (a22 a33 - a32 a23) - a12 (a21 a33 - a31 a23) + a13 (a21 a32 - a31 a22)= (a11 a22 a33 + a12 a31 a23 + a13 a21 a32) - (a11 a32 a23 + a12 a21 a33 + a13 a31 a22)

elde edilir. Şimdi A matrisine aşağıdaki işlemleri uygulayalım. Önce matrisin 1. ve2. satırlarını sırasıyla 4. ve 5. satır olarak aşağıdaki şekilde yazalım.


= -1

2 0 -1 0

4 0 -2 0

1 5 1 0

0 1 5 -3

elde edilir. Bu determinantı hesaplamak

içinde 4. sütuna göre açarsak,

det(A) = -1 . -1 4+4 . -3 . 2 0 -1

4 0 -2

1 5 1

= 3 . 2 0 -1

4 0 -2

1 5 1

olur. Bu determinantı da 2. sütuna göre açarsak,

det(A) = 3 . -1 3+2 . 5 . 2 -1

4 -2 = 3 . -5 . 2 -1

4 -2

= -15 . 2 . -2 - 4 . -1 = -15 -4 + 4 = 0 bulunur.

000-3

005

A =

a 11 a

12 a13

a 21 a

22 a 23

a 31 a

32 a 33

ise,

,

det A = -1 1+1 a11

a 22 a

23

a 32 a

33

+ -1 1+2 a12 a

21 a 23

a 31 a

33

+ -1 1+3 a13

a 21 a

22

a 31 a

32

A = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12 a13 a21 a22 a23

-

+


Düz çizgili çarpımların toplamından, kesikli çizgili çarpımların toplamı çıkarılırsaaşağıdaki ifade elde edilir:

(a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23) - (a31 a22 a13 + a11 a32 a23 + a21 a12 a33)

Bu ifade ile det(A) karşılaştırıldığında eşit olduğu görülür. Yani, yukarıda verilenkural ile A matrisinin determinantı daha kolay bir şekilde hesaplanmış olur. İşte bukurala Saruss kuralı denir. Aynı kuralı, A matrisinin sütunları ile işlem yaparak daelde edebiliriz. A matrisinin 1. ve 2. sütunlarını sırasıyla 4. ve 5. sütun olarak yaza-lım.

Yine, düz çizgili çarpımların toplamından, kesikli çizgili çarpımların toplamı çıkarı-lırsa elde edilen,

(a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) - (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12)

ifadesinin det(A) 'ya eşit olduğu açıktır.

Not: Saruss kuralının yalnızca 3. mertebeden kare matrisler için geçerli olduğunuunutmayınız.

3.1. Örnek

Önce, A matrisinin 1. ve 2. satırlarını sırasıyla 4. ve 5. satır olarak yazalım.


A = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12a21 a22a31 a32

-

+

A = 1 -1 20 3 41 1 5

matrisinin determinantını hesaplayalım.

A = 1 -1 2 0 3 4 1 1 5

1 -1 2

0 3 4

-

+


det(A) = (1 . 3 . 5 + 0 . 1 . 2 + 1 . (-1) . 4) - (1 . 3 . 2 + 1 . 1 . 4 + 0 . (-1) . 5) = 1 bu-lunur.

Aynı matrisin determinantını sütunlar ile bulalım. Bunun için önce 1. ve 2. sütunlarısırasıyla 4. ve 5. sütun olarak yazalım.

det(A) = (1 . 3 . 5 + (-1) . 4 . 1 + 2 . 0 . 1) - (1 . 3 . 2 + 1 . 4 . 1 + 5 . 0 . (-1) ) = 1

bulunur.

4. Determinantın ÖzellikleriBu bölümde kare matrislerin determinantlarının hesaplanmasını kolaylaştıracakbazı özellikler verilecektir.

a) A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi iki satırı yerdeğiştirildiğinde elde edilen matris B ise det(B) = -det(A) dır.

b) A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi bir satırındakitüm öğeler bir r sayısıyla çarpıldığında elde edilen matris B ise det(B) = r det(A)dır.Bu özelliğin bir sonucu olarak, A = (aij)nxn olmak üzere, det(r A) = rn det(A)dır.

c) Bir A kare matrisinin herhangi iki satırı aynı ya da orantılı ise det(A) = 0 dır.d) Bir A kare matrisinin herhangi bir satırının tüm öğeleri sıfır ise det(A) = 0

dır.e) Bir A kare matrisinin herhangi bir satırı r gibi bir sayıyla çarpılıp, başka bir

satırına eklendiğinde elde edilen matris B ise det(B) = det(A) dır.f) Altüçgensel ya da üstüçgensel bir matrisin determinantı köşegen üzerindeki

öğelerin çarpımına eşittir.g) Bir A kare matrisinin transpozesi'nin determinantı, A matrisinin determi-

nantına eşittir. Yani det(A) = det(At) dir. Bu özellikten dolayı yukarıda verilen tüm özelliklerde satır yerine sütun ya-zıldığında sonuçlar yine doğru olur.

h) A ve B n. mertebeden iki matris ise det(AB) = det(A) det(B) dir.

Aşağıda determinantın özellikleriyle ilgili örnekler verilmiştir:


A = 1 -1 2 0 3 4 1 1 5

1 -1 0 3 1 1

-

+


4.1. Örnek

matrisinde, 2. satır 1. satırın (-3) katıdır. Yani 1. satır ile 2. satır orantılıdır. O haldedet(A) = 0 dır. Gerçekten,

det(A) = (1 . 3 . 4 + (-1) . (-3) . 2 + 1 . (-3) . 1) - (2 . 3 . 1 + 1 . (-3) . 1 + 4 . (-3) . (-1)) = 0 dır.

4.2. Örnek

eşitliğinin doğruluğunu gösteriniz.

Çözüm

dir.


A = 1 -1 1-3 3 -3 2 1 4

A = 1 -1 1 -3 3 -3 2 1 4

1 -1-3 3 2 1

olmak üzere,

A = 1 2-1 3

ve B = 0 21 -1

ise det(AB) = det(A) det(B)

AB = 1 2

-1 3 0 2

1 -1 = 2 0

3 -5 ise,

det(AB) = 2 0

3 -5 = 2. (-5) - 3 . 0 = -10 dur. Diğer taraftan

det(A) = 1 2

-1 3 = 3 - -1 . 2 = 5 ve

det(B) = 0 2

1 -1 = 0 . -1 -1 . 2 = -2 olduğundan

det(A) det(B) = 5 (-2) = -10 dur. Dolayısıyla det(AB) = det(A) det(B)


4.3. Örnek

2. satır ile 3. satır yer değiştirildiğinde elde edilen matris,

det(B) = (1 . (-1) . 2 + (-1) . 3 . 0 + 1 . 1 . 1) - (0 . (-1) . 1 + 1 . 3 . 1 + 2 . 1 . (-1) = -2dir.

Buradan da det(B) = -det(A) olduğu görülür.

5. Ek Matris ve Ters MatrisBu bölümde, bir kare matrisin ters matrisinin varlığı ile ilgili bir teorem ve ters mat-ris bulmak için yeni bir yöntem verilecektir.

5.1. Tanım

A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin öğelerinin kofaktörlerindenoluşan n. mertebeden kare matrisin transpozesine, A matrisinin ek matrisi denirve ek matris A* ile gösterilir.

n. mertebeden bir kare matrisin ek matrisini açık olarak gösterelim:


A = 1 -1 10 1 2 1 -1 3

olsun. A matrisinde

B = 1 -1 10 -1 30 1 2

ise det(B) = - det(A) olduğunu gösterelim.

A = 1 -1 10 1 21 -1 3

1 -1 0 1 1 -1

olmak üzere,

det(A) = (1 . 1 . 3 + (-1) . 2 . 1 + 1 . 0 . (-1) - (1 . 1 . 1 + (-1) . 2 . 1 + 3 . 0 . (-1)) = 2 ve

B = 1 -1 11 -1 30 1 2

1 -1 1 -1 0 1

olmak üzere,

A =

a 11 a

12 a 1n

a 21 a

22 a 2n

a n1 a

n2 a nn

ise, A matrisinin


kofaktörlerinden oluşan matris,

5.2. Örnek

Çözüm

A11 = (-1)2 M11 = 13 , A12 = (-1)3 M12 = -10 , A13 = (-1)4 M13 = -2 ,A21 = (-1)3 M21 = 12 , A22 = (-1)4 M22 = -3 , A23 = (-1)5 M23 = -6 ,A31 = (-1)4 M31 = -17 , A32 = (-1)5 M32 = 11 , ve A33 = (-1)6 M33 = 13 ise,

kofaktörlerden oluşan matris,

matrisidir. Bu matrisin transpozesini alırsak,

A matrisi ile bu matrisin ek matrisi olan A* ı çarpalım.


A11 A12 A1n

A21 A22 A2n

An1 An2 Ann

dir. Bu durumda A nın ek matrisi

A* =

A11 A21 An1

A12 A22 An2

A1n A2n Ann

dir.

A = 1 -2 3 4 5 1 2 2 3

matrisinin ek matrisini bulalım.

13 -10 -212 -3 -6-17 11 13

A* = 13 12 -17-10 -3 11-2 -6 13

bulunur.

AA* = 1 -2 34 5 12 2 3

13 12 -17-10 -3 11-2 -6 13

= 27 0 00 27 00 0 27


elde edilir. Görüldüğü gibi, AA* matrisi bir skaler matristir. Ayrıca, det(A) = 27 dir.Buradan,

elde edilir. Bu durumu n. mertebeden kare matrislere, aşağıdaki şekilde genelleye-biliriz.

5.3. Özellik

A n. mertebeden bir kare matris olsun. Bu durumda AA* = A*A= det(A)In dir.

Bu özellik yardımıyla, bir kare matrisin, varsa ters matrisini elde etmenin bir yönte-mini vereceğiz. Fakat daha önce, ters matrisin varlığı ile ilgili bir kriter sunalım.

5.4. Tanım

A, bir kare matris olsun. Eğer det (A) ≠ 0 ise A ya regüler matris, det (A) =0 ise A yasingüler matris denir.

5.5. Teorem

A, bir kare matris olsun. A nın tersinin olabilmesi için gerek ve yeter koşul regülermatris olmasıdır.

Kanıt: Bu kanıtı iki yönlü yapacağız. Önce, A nın n. mertebeden bir regüler matrisolduğunu kabul edelim. Bu durumda, AB = BA= In olacak şekilde n. mertebeden birB matrisinin varlığını göstermeliyiz. Ek matris özelliğinden,

AA* = det(A) In (1)

yazabiliriz. A regüler matris olduğundan det(A) ≠ 0 dır. O halde (1) eşitliğinden

eşitliği elde edilir. Buradan olur.

dersek AB = In olacak şekildeki B matrisi bulunmuş olur. Ben-


AA* = 27 0 00 27 00 0 27

= 27 1 0 00 1 00 0 1

= det(A) I3

1det(A)

AA* = In

A 1det(A)

A* = In

B = 1det(A)

A*


zer şekilde, A*A = det(A) In eşitliğinden BA = In koşulunu sağlayan B matrisinin

Şimdi, AB = BA = In olacak şekildeki B matrisinin varolduğunu kabul edelim. Bu du-rumda A nın regüler matris olduğunu göstermeliyiz.

AB = In ise det(AB) = det( In ) dir. Determinant özelliklerinden det(AB) = det(A) det(B) ve ayrıca det( In ) =1 olduğundandet(A) det(B) =1 olur.

Dolayısıyla det(A) ≠ 0 ve det(B) ≠ 0 dır. O halde A matrisi regüler matristir.

Aşağıda bu teoremden elde edilen bir sonuç verilmiştir.

5.6. Sonuç

A bir kare matris olsun. Eğer det(A) ≠ 0 ise A-1 vardır ve

5.7. Örnek

Çözüm

A altüçgensel bir matris olduğundan, determinantı köşegeni üzerindeki öğelerinçarpımına eşittir.

Bu durumda det(A) = 1 . 2 . 3 . 1= 6 ≠ 0 dır ve dolayısıyla A-1 vardır. Şimdi A-1

'i bulalım.

A11 = (-1)2. M11 = 6, A12 = (-1)3. M12 = -6, A13 = (-1)4. M13 = 2, A14 = (-1)5. M14 = 4, A21 = (-1)3. M21 = 0, A22 = (-1)4. M22 = 3, A23 = (-1)5. M23 = 0, A24 = (-1)6. M24 = -3, A31 = (-1)4. M31 = 0, A32 = (-1)5. M32 = 0, A33 = (-1)6. M33 = 2, A34 = (-1)7. M34 = -2,A41 = (-1)5. M41 = 0, A42 = (-1)6. M42 = 0, A43 = (-1)7. M43 = 0, A44 = (-1)8. M44 = 6,

olmak üzere,


1det(A)

A* olduğu görülür

A-1 = 1det(A)

A* dır.

A =

1 0 0 0 2 2 0 0-1 0 3 00 1 1 1

matrisinin varsa tersini bulunuz


dir. Böylece,

dir.

Sizde AA-1 = In olduğunu doğrulayınız.

5.8. Sonuç

A kare matrisinin tersi var ise, (A-1)-1 = A dır ve

Aşağıda ters matris ile ilgili bazı özellikler verilmiştir.

a) A bir kare matris olsun. A nın tersi var ise At nin de tersi vardır ve (At)-1 =(A-1)t dir.

Kanıt: At nin tersinin olabilmesi için det (At) ≠ 0 olduğunu göstermeliyiz. Deter-minant özelliklerinden, det(At) = det(A) dır. det(A) ≠ 0 olduğundan det(At) ≠ 0olur. O halde At nin tersi vardır.

Şimdi At nin tersinin, A nın tersinin transpozesi olduğunu gösterelim.

At (A-1)t = (A-1A)t (Transpoze özelliğinden)= (In)t

= Inise At nin tersi (A-1)t dir. Yani (At)-1 = (A-1)t dir.

b) A ve B n. mertebeden iki kare matris olsunlar. A ve B matrislerinin tersi varise AB nin de tersi vardır ve (AB)-1 = B-1 A-1 dir. Çünkü, A ve B nin tersi varise,det(A) ≠ 0 ve det(B) ≠ 0 dır. O halde det(A) det(B) ≠ 0 dır. Yani AB nin tersi vardır ve

(AB) (B-1A-1) = A (BB-1)A-1 = AInA-1 =AA-1 =In

dir. Bu nedenle (AB)-1 = B-1A-1 dir.


A* =

6 0 0 0 -6 3 0 0 2 0 2 0 4 -3 -2 6

A-1 = 1/6

6 0 0 0 -6 3 0 0 2 0 2 0 4 -3 -2 6

=

1 0 0 0-1 1/2 0 0

1/3 0 1/3 02/3 -1/2 -1/3 1

det A-1 = 1det(A)

dır.



1.

matrisi verilsin. M21 M13 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A. -36 B. -48C. 36 D. 48E. 64

2.

ise det(A) aşağıdakilerden hangisidir?

A. -10 B. -5C. -2 D. 0E. 10

3.

ise a44 ün kofaktörü A44 aşağıdakilerden hangisidir?

A. -2 B. -1C. 0 D. 1E. 2

4.

olması için x ne olmalıdır?

A. 1/2 B. 1C. 3/2 D. 2E. 5/2


A = 1 2 3 -1 1 0 2 4 2

A =

1 2 0 0 -2 1 0 0 1 0 1 0

-3 1 1 2

A =

1 2 1 0 2 4 2 1 -1 3 3 2 1 1 0 -2

det2 -2 30 x-2 10 0 -1

= 1


5.

ise det (A) aşağıdakilerden hangisidir?

A. -216 B. -12C. 12 D. 72E. 216

6.

matrisinin ek matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

7. Aşağıdaki matrislerden hangisinin ters matrisi yoktur?

8. A 5. dereceden bir kare matris ve det (A) =2 olduğuna göre det (2A) aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A. 8 B. 16C. 32 D. 64E. 128


A =

2 -1 0 -2 4 1 0 3 -1 -2 3 1 0 -3 0 5

A = 1 0 1 0 1 0 0 1 1

A. 1 0 0 0 1 1 1 0 1

C. 1 0 0 1 1 -1 -1 0 1

E. 1 0 0 -1 1 0 -1 0 1

B. 1 1 -1 0 1 0 0 -1 1

D. 1 -1 -1 0 1 0 0 1 1

A. 1 1-1 0

C. -2 2

2 -2 E. -1 1

1 1

B. 2 11 2

D. 0 1

1 0


9.

matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?

10.

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A. -24 B. -12C. 0 D. 12E. 24


1.D 2.E 3.C 4.C 5.E 6.B 7.C 8.D 9.B 10.E


A = 1 2 1 1 1 2 2 1 1

A. A-1 = -1 -1 3 3 -1 -1 -1 3 -1

C. A-1 = -1 -1 6 6 -1 -1 -1 6 -1

E. A-1 = 1 1 -6 -6 -1 -1

1 1 -6

B. A-1 = -1/4 -1/4 3/43/4 -1/4 -1/4-1/4 3/4 -1/4

D. A-1 = -1/4 -1/4 3/23/2 -1/4 -1/4-1/4 3/2 -1/4

1 2 3 4 5 0 3 1 2 6 0 0 -2 2 8 0 0 0 4 -5

0 0 0 0 -1

= 24 ise

0 3 1 2 6 1 2 3 4 5 0 0 0 4 -5 0 0 -2 2 8

0 0 0 0 -1

determinantının

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını

öğrenecek,• Lineer Denklem Sistemlerinin çözümlerinin varlığını tartışabi-

lecek,• Lineer Denklem Sistemlerinin çözüm yöntemlerini öğrenecek-

siniz.

İçindekiler

• Giriş 61• Lineer Denklem Sistemleri 62• Cramer Yöntemi 79• Değerlendirme Soruları 83

ÜNİTE

3Lineer Denklem SistemleriYazarYrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN



• Bu üniteyi çalışmadan önce, matris, rank ve determinant kav-ramlarını tekrarlayınız.

• Ünitedeki çözülmüş örnekleri kendiniz tekrar çözüp, sonuçlarıkarşılaştırınız.

• Değerlendirme sorularını çözünüz.


1. GirişDüzlemdeki bir d doğrusunun denkleminin ax + bx + c = 0 şeklinde olduğunu bili-yoruz. Bu denkleme aynı zamanda iki bilinmeyenli bir lineer denklem denir. ddoğrusu üzerindeki her (x, y) noktası bu denklemi sağlar. Tersine bu denklemi sağ-layan her (x, y) sıralı ikilisine karşılık gelen nokta da d doğrusu üzerindedir. Şimdi,düzlemde denklemleri, sırasıyla, a1x + b1y + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0 olan d1ve d2 doğrularını gözönüne alalım. Bu doğruların düzlemdeki konumlarına göreaşağıdaki üç durum söz konusu olabilir:

I. Durum: d1 ve d2 doğruları bir noktada kesişirler. Böyle bir durumda

a1x + b1y + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0

denklemini birlikte sağlayan tek bir (x, y) sıralı ikilisi vardır. Bu (x, y) sıralı ikilisinekarşılık gelen nokta d1 ve d2 doğrularının kesim noktasıdır. Başka bir deyişle, bu ikilineer denklemin bir tek çözümü vardır.

II. Durum: d1 ve d2 doğruları çakışıktır. Bu durumda d1 doğrusu üzerindeki hernokta d2 doğrusu üzerinde ve d2 doğrusu üzerindeki her nokta da d1 doğrusu üze-rindedir. Diğer taraftan d1 doğrusu üzerindeki her (x, y) noktası a1x + b1y + c1= 0 lineer denkleminin, dolayısıyla a2x + b2y + c2 = 0 lineer denkleminin bir çö-zümü olduğuna göre, bu iki lineer denklemin sonsuz sayıda ortak çözümü vardır.

III. Durum: d1 ve d2 doğruları paraleldir. Bu durumda bu iki doğrunun hiç bir ortaknoktası yoktur. Dolayısıyla bu iki doğruya karşılık gelen a1x + b1y + c1 = 0 vea2x + b2y + c2 = 0 lineer denklemlerinin ortak çözümleri yoktur.

Doğrular için yapılan bu tartışma, uzayda verilen üç düzlem için de yapılabilir.Uzayda verilen bir P düzleminin denklemi ax + by + cz + d = 0 şeklindedir. Bu denk-leme üç bilinmeyenli bir lineer denklem denir. P düzlemi üzerindeki her (x, y, z)noktası bu denklemi sağlar. Tersine bu denklemi sağlayan her (x, y, z) sıralı üçlüsü-ne karşılık gelen nokta da P düzlemi üzerindedir. Şimdi denklemleri sırasıyla

a1x + b1y + c1 z + d1 = 0, a2x + b2y + c2 z + d2 = 0, a3x + b3y + c3 z + d3 = 0

olan P1, P2 ve P3 düzlemlerini gözönüne alalım. P1, P2 ve P3 düzlemleri bir tek nokta-da kesişebilirler. Bu durumda yukarıda verilen lineer denklemlerin bir tek ortak çö-zümü vardır. Ya da P1, P2 ve P3 düzlemleri bir doğru boyunca kesişebilirler. Bu du-rumda da denklemlerin sonsuz sayıda ortak çözümleri vardır. En son olarak, P1,P2 ve P3 düzlemleri birbirlerine paralel ya da bu düzlemlerden ikisi birbirine pa-ralel, üçüncüsü de bunları paralel iki doğru boyunca kesiyor olabilir. Bu son durum-da ise sözkonusu lineer denklemlerin ortak çözümü yoktur.

L İ N E E R D E N K L E M S İ S T E M L E R İ 61


P1, P2 ve P3 düzlemlerinden ikisi, diyelim ki P1, P2 nin birbirine göre konumlarıgözönüne alınacak olursa, bu iki düzlemin bir doğru boyunca kesişeceği ya da bir-birlerine paralel olacağı açıktır. Bu durumda, sırasıyla ya a1x + b1y + c1 z + d1 =0 ve a2x + b2y + c2 z + d2 = 0 lineer denklemlerinin sonsuz sayıda ortak çözü-mü vardır ya da hiç bir ortak çözümleri yoktur. Yani böyle bir durumda tek bir çö-züm mümkün olamaz. Bu durum denklem sayısının, bilinmeyen sayısından az olu-şundan kaynaklanabilir mi? Şimdi bu tartışmayı daha büyük boyutlara taşıyarak busorunun yanıtını arayalım ve n-tane bilinmeyen ve m-tane denklemden oluşan line-er denklem sistemini tanımlayıp çözümün varlığını tartışalım.

2. Lineer Denklem Sistemleri

2.1. Tanım

a1 , a2 , . . . , an∈ R ve x1 , x2 , . . . , xn bilinmeyenler olmak üzere,

a1x + a2x2 + . . . + anxn = b

denklemine n- bilinmeyenli bir lineer denklem denir.

Bir lineer denklemde a1, a2, . . . , an sayılarına denklemin katsayıları, b sayısınada denklemin sabiti denir. Örneğin 2x - y + z = 1 lineer denkleminde, 2, -1 ve 1denklemin katsayıları, 1 de denklemin sabitidir.

2.2. Tanım

a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2

(1)

am1x1 + am2x2 +. . . + amn xn = bm

şeklindeki n tane bilinmeyen ve m- tane lineer denklemden oluşan sisteme bir li-neer denklem sistemi denir.

(1) lineer denklem sisteminde a11, a12 , . . . , amn ∈ R sayılarına sistemin katsayıla-rı, b1, b2 , . . . , bm ∈ R sayılarına da sistemin sabitleri denir.

L İ N E E R D E N K L E M S İ S T E M L E R62

...


2.3. Örnek

x1 - 2x2 + x3 = 12x1 - x2 - 3x3 = 0

lineer denklem sistemi üç bilinmeyenli, iki denklemden oluşmuştur ve sırasıyla1, -2, 1, 2, 1, -3 sayıları sistemin katsayıları, 1, 0 sayıları da sistemin sabitleridir.

2.4. Tanım


am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm

lineer denklem sisteminde, (x1, x2, ..., xn ) = (s1, s2, ..., sn ) sıralı n-lisi tüm denk-lemleri aynı anda sağlar ise (s1, s2, ..., sn ) sıralı n-lisine lineer denklem sistemininbir çözümü ve sistemi sağlayan tüm sıralı n-lilerin kümesine de lineer denklem sis-teminin çözüm kümesi denir.

Bir lineer denklem sisteminde,

i) İki denklemin yerlerini değiştirmek,ii) Denklemlerden herhangi birini sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmakiii) Denklemlerden herhangi birisinin bir katını diğer bir denkleme eklemek

lineer denklem sisteminin çözümünü değiştirmez. Bu işlemlerden bir ya da bir kaçıarka arkaya uygulandıktan sonra elde edilen yeni sistem ile eski sisteme denk sis-temler denir.

Şimdi bunu bir örnek ile açıklayalım.

2.5. Örnek

x1 + x2 - x3 + x4 = 2 2x2 + x3 - x4 = 5

x1 - x3 + x4 = 0- x1 - x2 + x3 =- 4

lineer denklem sisteminin çözümünü yukarıda verilen (i), (ii) ve (iii) türündeki iş-lemler yardımıyla bulalım. Sistemde 1. denklemin -1 katını 3. denkleme ve yine 1.denklemi 4. denkleme ekleyelim.

L İ N E E R D E N K L E M S İ S T E M L E R 63

...


x1 + x2 - x3 + x4 = 22 x2 + x3 - x4 = 5- x2 =- 2

x4 = 2

bulunur. Burada 2. denklem ile 3. denklemin yerlerini değiştirelim.

x1 + x2 - x3 + x4 = 3- x2 =- 22 x2 + x3 - x4 = 5

x4 =- 2

olur. Son elde edilen denklem sisteminde 2. denklemin 2 katını 3. denkleme ekleye-lim.

x1 + x2 - x3 + x4 = 2- x2 =- 2

x3 - x4 = 1x4 =- 2

elde edilir. Bu son elde edilen lineer denklem sisteminin çözümü ile başlangıçtakisistemimizin çözümü aynıdır. O halde, son elde edilen denklem sisteminde,

x4 =-2 x3 = 1 + x4 = 1 - 2 = - 1,x2 = 2 vex1 = 2 - x2 + x3 - x4 = 2 - 2 - 1 + 2 = 1

dir. Öyleyse verilen denklem sistemin çözümü (1, 2, -1, -2) sıralı 4-lüsüdür.

Yukarıdaki 2.5. Örnekte olduğu gibi, bir lineer denklem sisteminin çözümünü (i),(ii) ve (iii) işlemlerini uygulayarak bulma yöntemine Gauss Yok etme Yöntemidenir.

2.6. Tanım


am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm

lineer denklem sisteminde, b1= b2 = ... = bm =0 ise bu sisteme homojen lineer denk-lem sistemi denir.


...


lineer denklem sistemleri birer homojen lineer denklem sistemidir.

Bilinmeyen sayısı n olan bir homojen lineer denklem sisteminde, (x1, x2, ..., xn ) = (0, 0, ...,0) her zaman bir çözümdür. Bu çözüme homojen siste-min aşikar çözümü veya sıfır çözümü denir. Ayrıca, homojen bir sistemin sıfır çö-zümünden farklı çözümleri de olabilir. Bu çözümler ikinci bölümde incelenecektir.

Bir lineer denklem sistemini matris yardımıyla da temsil edebiliriz. Yani,

a11x1 + a12x2 +. . . + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 +. . . + a2n xn = b2

am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm

lineer denklem sistemini,

olmak üzer AX = B şeklinde gösterebiliriz. Bu gösterim şekline, bir lineer denklemsisteminin matris ile gösterimi denir.

Bir lineer denklem sisteminin matris ile gösterimindeki A matrisine sistemin katsa-yılar matrisi, B matrisine sabitler matrisi ve X matrisine de bilinmeyenler matrisi de-nir. Burada A matrisinin satır sayısı olan m nin sistemin denklem sayısı, sütun sayısıolan n nin de sistemin bilinmeyen sayısı olduğuna dikkat ediniz.

2.7. Örnek

belirlediği lineer denklem sistemini yazalım. A, 4 x 3 tipinde matris olduğuna göresistem üç bilinmeyen ve dört denklemden oluşmaktadır. Böylece,


A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

, X =

x1

x2

xn

nx1

ve B =

b1

b2

bm

mx1

...

x1 + x2 - 3x3 = 04x1 - 2x2 + 5x3 = 0ve

Örneğin, 2x1 + x2 = 0x1 - x2 = 0

A =

-1 1 -2 2 1 0 1 -2 3 1 0 -2

ve B =

-1 0 1 2

matrislerinin


eşitliğinden, denklem sistemimiz,

- x1 + x2 - 2x3 = -12x1 + x2 = 0

x1 - 2x2 + 3x3 = 1 x1 - 2x3 = 2

şeklindeki lineer denklem sistemidir.

2.8. Tanım

olmak üzere, AX = B lineer denklem sisteminde, A katsayılar matrisine, (n + 1) incisütun olarak B sabitler matrisinin ilave edilmesiyle elde edilen m x (n + 1) tipindekiyeni matrise sistemin genişletilmiş matrisi denir ve genişletilmiş matris [A, B] şek-linde gösterilir.

Genel olarak, AX = B lineer denklem sisteminin genişletilmiş matrisi,

şeklindedir ve genişletilmiş matris verildiğinde, lineer denklem sistemi verilmişolur.

n tane bilinmeyen ve m tane denklemden oluşan AX = B lineer denklem sistemine,herhangi bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak, herhangi iki denklemi yerdeğiştirmek veya herhangi bir denklemin bir katını diğer bir denkleme ilave etmekişlemleri uygulandığında elde edilen sistem A'X = B' ise, ilk sistemin genişletilmişmatrisi [A, B] ile yeni sistemin genişletilmiş matrisi [A', B'] denk matrislerdir. Dola-yısıyla bir lineer denklem sistemi çözmek için, sistemin genişletilmiş matrisine ilkelsatır işlemleri uygulayarak basamak biçime getirip bu matrise karşılık gelen lineer


-1 1 -2 2 1 0 1 -2 3 1 0 -2

x1 x2 x3

=

-1 0 1 2

a11 a12 a1n a21 a22 a2n

am1 am2 amn

, X =

x1

x2

xn

ve B =

b1

b2

bm

A, B =

a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2

am1 am2 amn bm

mx (n+1)


denklem sisteminde, çözüm kolaylıkla bulunur. Aslında bu yöntem, Gauss yok et-me yönteminden başka bir şey değildir.

Aşağıda matrisler ile denklem sisteminin çözümüne bir örnek verilmiştir.

2.9. Örnek

x1 + x2 + x3 +x4 + x5 = 3x2 - x3 - 2x4 + 2x5 = -8

2x1 + 3x2 - 3x3 +x4 + x5 = 11 (1)x1 + 2x3 - x5 = 2

- x1 + 2x2 +3x4 +4x5 = 1

lineer denklem sistemini çözünüz.

Çözüm

Verilen sistemin genişletilmiş matrisi,

dir. Şimdi bu matrisi basamak biçime dönüştürelim. [A, B] matrisinde 1. satırın -2katını 3. satıra, 1. satırın -1 katını 4. satıra ve 1. satırı 5. satıra ekleyelim.

dir. Bu matriste 2. satırın -1 katını 3. satıra, 2. satırı 4. satıra ve 2. satırın -3 katını 5. satı-ra ekleyelim.


A, B =

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 2 3 -3 1 1 11 1 0 2 0 -1 2 -1 2 0 3 4 1

A, B ~

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 0 1 -5 -1 -1 5 0 -1 1 -1 -2 -1 0 3 1 4 5 4

~

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 0 0 -4 1 -3 13 0 0 0 -3 0 -9 0 0 4 10 -1 28


Elde edilen bu matrisin 3. satırını 5. satıra ekyelim.

Şimdi bu matriste 3. satırın katını 5. satıra ekyelim.

Son olarak bu matrisin 3. satırını ile, 4. satırını ile ve 5. satırını ile çarpalım.

elde edilir. Bu matrise karşılık gelen lineer denklem sistemi,

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 3 x2 - x3 - 2x4 + 2x5 = -8

(2)x4 = 3 x5 = -2

dir. (1) sistemi ile (2) sistemi denk sistemlerdir ve çözümleri aynıdır. O halde,

x5 = -2 , x4 = 3 ,

,

x2 = -8 + x3 + 2x4 - x5 = 1 ve x1 = 3 - x2 - x3 - x4 - x5 = 2


~

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 0 0 -4 1 -3 13 0 0 0 -3 0 -9 0 0 0 11 -4 41

11/3

~

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 0 0 -4 1 -3 13 0 0 0 -3 0 -9 0 0 0 0 -4 8

-1/4-1/4 -1/3

~

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 0 0 1 -1/4 3/4 -13/4 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 -2

x3 - 14

x4 + 34

x5 = - 134

x3 = - 134

+ 14

x4 - 34

x5 = - 1


dir. Bu durumda (1) sisteminin çözümü (x1, x2, x3, x4, x5) = (2, 1, -1, 3, -2) sıralı 5-lisidir.

Şimdi yeniden genel duruma dönelim ve n tane bilinmeyen, m tane denklemdenoluşan bir lineer denklem sisteminin çözümünün varlığını irdeleyelim:


am1x1 + am2x2 +. . . + amn xn = bm

lineer denklem sistemi verilsin. Bu sistemi matrisler ile temsil edecek olursak AX = Bşeklindedir ve sistemin genişletilmiş matrisi de [A, B] dir. m ve n sayıları için aşağı-daki durumlar sözkonusu olabilir:

I. Durum: m ≤ n, yani sistemin denklem sayısı bilinmeyen sayısından küçük ya daeşit olsun.

a) m = n ve rank (A) = rank ([A, B]) = n ise, genişletilmiş matris basamak biçiminegetirildiğinde, A bloku üst üçgensel matris durumuna dönüşmüş demektir. Ozaman bu basamak biçimindeki matrise karşılık gelen sistemde bütün bilinme-yenler hesaplanabileceğinden verilen sistemin bir tek çözümü vardır.

b) m ≤ n ve rank (A) = rank ([A, B]) = k < n ise, genişletilmiş matris basamakbiçime getirildiğinde, k tane satırın sıfırdan farklı olması demektir. O zaman n -k tane bilinmeyeni bilinen kabul edip, bunları parametre olarak ifade edersek,sistemimiz ( n - k) parametreye bağlı (a) durumundaki bir sisteme dönüşür. Ya-ni sistemin (n - k) parametreli bir çözümü var demektir. Parametrelerin alabile-ceği her bir değer başlangıçta verilen sistemin bir çözümü olacağından, verilensistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

c) m ≤ n ve rank (A) < rank ([A, B]) ise, genişletilmiş matrisin basamak biçi-minde, A blokunun en az bir satırı sıfır iken, bu satırın B blokundaki devamındasıfırdan farklı bir sayı olacaktır. Böyle bir duruma karşılık gelen sistem yazıla-cak olursa, sözkonusu satıra karşılık gelen denklemin bilinmeyenler tarafı sıfır,sabitler tarafı sıfırdan farklı bir sayı olur. Böyle bir şey olamayacağından siste-min çözümü yoktur.

II. Durum: m > n , yani sistemin denklem sayısı bilinmeyen sayısından büyük ol-sun. Bu durumda, bu denklemlerden keyfi n tanesi alınarak n bilinmeyenli, n denk-lemden oluşan sistemin çözümü incelenir. Eğer bu yeni sistemin çözümü varsa, buçözümün geri kalan (m - n) tane denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. Sağlı-yor ise verilen sistemin çözümü var, en az bir tanesi sağlamıyor ise sistemin çözümüyoktur.


...


Şimdi yukarıda ifade edilenleri birer örnek ile doğrulayalım.

2.10. Örnek

x1 - x2 + x3 = 3x1 + x2 - x3 = 5

-x1 + x2 + x3 = 1

lineer denklem sisteminin çözümünü inceleyelim. Verilen denklem sisteminin kat-sayılar matrisi ve genişletilmiş matrisi sırasıyla,

dir. [A, B] matrisi, A matrisine bir sütun matrisi ilave edilerek oluşturulduğundan,[A, B] matrisi basamak biçimine dönüştürüldüğünde, A matrisini de basamak biçi-mine dönüştürmüş oluruz ve dolayısıyla A matrisinin rankını da [A, B] yardımıylabulabiliriz. O halde, yalnızca [A, B] matrisini basamak biçimine dönüştürmek ye-terlidir. Şimdi, [A, B] matrisinde, 1. satırın -1 katını 2. satıra ve 1. satırı 3. satıra ekle-yelim.

elde edilir. Bu matriste 2. ve 3. satırları ile çarpalım.

dir. Buna göre, rank (A) = 3, rank ([A, B]) = 3 ve n = m = 3 olduğundan bu I. durumun(a) şıkkına uymaktadır. O halde sistemin bir tek çözümü vardır ve çözüm,

x3 = 2 ,x2 = 1 + x3 = 3 vex1 = 3 + x2 - x3 = 4

olmak üzere (x1, x2, x3) = (4, 3, 2) sıralı 3 - lüsüdür.


A = 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1

ve A, B = 1 -1 1 3 1 1 -1 5 -1 1 1 1

A, B ~ 1 -1 1 3 0 2 -2 2 0 0 2 4

1/2

~ 1 -1 1 3 0 1 -1 2 0 0 1 2


2.11. Örnek

x1 - x2 + x3 + 2x4 - 2x5 = 0 3x1 + 2x2 - x3 - x4 + 3x5 = 1 2x1 - 3x2 - 2x3 + x4 - x5 = -1

lineer denklem sisteminin çözümünün olup olmadığını araştırınız ve varsa çözümübulunuz.

Çözüm

Verilen lineer denklem sisteminin genişletilmiş matrisi,

dir. [A, B] matrisinde 1. satırın - 3 katını 2. satıra, 1. satırın -2 katını 3. satıra ekleye-lim.

Bu matriste 3. satırı 5 ile çarpalım.

bulunur. Son elde edilen matrisin 2. satırını 3. satıra ekleyelim.

bulunur. Buna göre rank (A) = rank ([A, B]) = 3 tür. n = 5 ve k = 3 olduğundan bu I.durumun (b) şıkkına uymaktadır ve sistemin 5 - 3 = 2 parametreye bağlı sonsuz çö-zümü vardır. O halde, x4 = s ve x5 = t olarak alırsak, son basamak biçimindekigenişletilmiş matrise karşılık gelen sistem,


A, B = 1 -1 1 2 -2 0 3 2 -1 -1 3 1 2 -3 -2 1 -1 -1

A, B ∼ 1 -1 1 2 -2 0 0 5 -4 -7 9 1 0 -1 -4 -3 3 -1

∼ 1 -1 1 2 -2 0 0 5 -4 -7 9 1 0 -5 -20 -15 15 -5

∼ 1 -1 1 2 -2 0 0 5 -4 -7 9 1 0 0 -24 -22 24 -4

elde edilir. En son olarak 2. satırı 1/5 , 3. satırı -1/24 ile çarpalım.

∼ 1 -1 1 2 -2 0 0 1 -4/5 -7/5 9/5 1/5 0 0 1 11/12 -1 1/6


dır. Buradan,

bulunur. Buradan çözüm kümesi,

dir.

2.12. Örnek

3x1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0x1 + x2 + 3x3 + x4 =-1

lineer denklem sisteminin çözümünü araştıralım. Verilen sistemin genişletilmişmatrisi,

elde edilir. Bu matrisin 2. ve 3. satırlarını 3 ile çarpalım.


x1 - x2 + x3 + 2s - 2t = 0

x2 - 45

x3 - 75

s + 95

t = 15

x3 + 1112

s - t = 16

x3 = 16

- 1112

s + t ,

x2 = 13

+ 23

s - t ve

x1 = 16

- 512

s

16

- 512

s , 13

+ 23

s - t , 16

- 1112

s + t , s, t | s, t ∈ R

A, B = 3 1 1 1 1 1 3 1 1 0 1 1 3 1 -1

dir. A, B matrisinde, 1. satırın -1/3 katını 2. ve 3. satırlara ekleyelim.

A, B ~ 3 1 1 1 1 0 8/3 2/3 2/3 1/3 0 2/3 8/3 2/3 -4/3


matrisi bulunur. Bu son elde ettiğimiz [A, B] nin basamak biçimi olan matrise göre,

rank (A) = rank ([A, B]) = 3 tür. n = 4 olduğuna göre sistemin 4 - 3 = 1parametreye bağlı sonsuz çözümü vardır. Şimdi, x4 = s dersek sistemimiz,

olduğuna göre,

bulunur. O halde sistemin çözüm kümesi,

dir.


~ 3 1 1 1 1 0 8 2 2 -1 0 2 8 2 -4

olur. Son elde edilen matrisin 2. satırının -1/4 katını, 3. satıra ekleyelim.

~ 3 1 1 1 1 0 8 2 2 -1 0 0 15/2 3/2 -15/4

dir. Son olarak bu matriste, 1. satırı 1/3 , 2. satırı 1/8 ve 3. satırı 2/15 ile çarpalım.

~ 1 1/3 1/3 1/3 1/3 0 1 1/4 1/4 -1/8 0 0 1 1/5 -1/2

x1 + 13

x2 + 13

x3 + 13

s = 13

x2 + 14

x3 + 14

s = - 18

x3 + 15

s = - 12

x3 = - 12

- 15

s ,

x2 = - 18

- 14

- 12

- 15

s - 14

s = - 15

s ve

x1 = 13

- 13

- 15

s - 13

- 12

- 15

s - 13

s = 12

- 15

s

12

- 15

s, - 15

s , - 12

- 15

s , s | s ∈ R


2.13. Örnek

2x1 + 3x2 - 3x3 = 1x1 - 2x2 + x3 = 2

4 x1 + 6x2 - 6x3 = 3

lineer denklem sisteminin çözümünü araştıralım. Sistemin genişletilmiş matrisi

bulunur.

m = 3, n = 3 ve rank (A) = 2 , rank ([A, B]) = 3 olduğundan, rank (A) < rank ([A, B])dir. Bu I. durumun (c) şıkkına uymaktadır. O halde sistemin çözümü yoktur. Ger-çekten de genişletilmiş matrise karşılık gelen lineer denklem sisteminde 3. denkle-mi yazarsak,

olur. Bu bir çelişkidir. Sistemin çözümü yoktur.

2.14. Örnek

2x1 - 4x2 = 4- x1 + 3x2 = -1x1 + 2x2 = 2

lineer denklem sisteminin çözümünü bulunuz.

Çözüm

Bu örnekte m = 3 ve n = 2 olduğundan burada II. Durum sözkonusudur. O haldedenklemlerden n tanesini, yani 2 tanesini seçip, bu sistemi çözelim. 1. ve 2. denk-lemleri seçelim.


A, B = 2 3 -3 1 1 -2 1 2 4 6 -6 3

dir. Bu matrisin 1. satırının -1/2 katını 2. satıra, 1. satırın -2 katını 3. satıraekleyelim.

A, B ~ 2 3 -3 1 0 -7/2 5/5 3/2

0 0 0 1

0 . x1 + 0 . x2 + 0 . x3 = 1

0 = 1


2x1 - 4x2 = 4-x1 + 3x2 = -1

sisteminin genişletilmiş matrisi,

olur. Bu matrise karşılık gelen sistem,

2x1 - 4x2 = 4x2 = 1

dir. Buna göre son sistemin çözümü (x1 , x2) = (4 , 1) sıralı 2- lisidir. Bu çözü-mü 3. denklemde yerine koyalım.

4 + 2 . 1 = 6 ≠ 2

olduğundan verilen sistemin çözümü yoktur.

Not: n tane bilinmeyen ve m tane denklemden oluşan homojen bir sistemde, sabit-ler matrisi sıfır olduğundan, katsayılar matrisinin rankı ile genişletilmiş matrisinrankı aynıdır. O halde homojen bir sistemin en az bir çözümü vardır ve bu çözüm sı-fır çözümüdür. Sıfır çözümü ile birlikte başka çözümlerin olup olmadığı, katsayılarmatrisinin rankına göre aşağıdaki gibidir:

I. Durum: rank (A) = n = m ise bir tek sıfır çözümü vardır. Bu durumda, A bir karematris olup det (A) ≠ 0 dır.

2.15. Örnek:

x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 0x1 + x2 - x3 + 2x4 = 0

x2 + x3 - x4 = 02x1 - x2 + x3 + x4 = 0

homojen lineer denklem sisteminin çözümlerini araştıralım.

Sistemin katsayılar matrisi,


A, B = 2 -4 4 -1 3 -1

dir. Bu matrisin 1. satırının 1/2 katını 2. satıra ekleyelim.

A, B ~ 2 -4 4 0 1 1


dir. Bu matrisin 1. satırının -1 katını 2. satıra ve 1. satırını -2 ile çarpıp 4. satıra ekle-yelim.

elde edilir. Bu son matrisin 2. satırı ile 3. satırını yer değiştirelim.

bulunur. Elde edilen bu matrisin 2. satırın 2 katını 3. satıra, 2. satırın 7 katını 4. satı-ra ekleyelim.

dir. Buna göre rank (A) = 4 ve n = 4 olduğundan sistemin bir tek sıfır çözümü var-dır.

II. Durum: m < n ise rank (A) = k < n olacağından (n - k) paremetreye bağlı sonsuzçözüm vardır.

2.16. Örnek

x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 - x2 - x3 = 0

2x1 + 4x2 + 6x3 = 0


~

1 3 4 -10 1 1 -10 -2 -5 30 -7 -7 3

~

1 3 4 -10 1 1 -10 0 -3 10 0 0 -4

olur. Son olarak bu matrisin 3. satırını - 1/3 ile, 4. satırını - 1/4 ile çarpalım.

~

1 3 4 -10 1 1 -10 0 1 1/30 0 0 1

A ~

1 3 4 -10 -2 -5 30 1 1 -10 -7 -7 3

A =

1 3 4 -11 1 -1 20 1 1 -12 -1 1 1


lineer denklem sisteminin çözümünü araştıralım. Sistemin katsayılar matrisi,

dir. A matrisinin 1. satırının -1 katını 2. satıra, 1. satırının -2 katını 3. satıra ekleye-lim.

elde edilir. rank (A) = 2 ve n = m = 3 olduğundan 3 - 2 = 1 parametreye bağlı son-suz çözüm vardır. Şimdi, çözümü bulalım. x3 = t dersek son bulduğumuz mat-risten,

denklem sistemi elde edilir. Bu sisteme göre,

2.17. Örnek

2x1 + 2x2 + 4 x3 + 2x4 + 2x5 = 0- x1 + 3x2 + x3 - x4 +x5 = 0

x2 - 2x3 + 2x4 + 2x5 = 0

homojen lineer denklem sistemini çözünüz.


A = 1 2 3 1 -1 -1 2 4 6

A ~ 1 2 3 0 -3 -4 0 0 0

bulunur. Bu matriste 2. satırı - 1/3 ile çarpalım.

~ 1 2 30 1 4/3

0 0 0

x1 + 2x2 + 3t = 0

x2 + 43

t = 0

x2 = - 43

t

x1 = -2x2 - 3t = - 13

t

ise, çözüm kümesi - 13

t , - 43

t , t | t ∈ R dir.


Çözüm

Verilen sistemin katsayılar matrisi,

elde edilir. Bu son matriste, 1. satırı ile, 2. satırı ile 3. satırı da ile çarpalım.

olur. Bu son elde ettiğimiz matrise göre rank (A) = 3 tür. n= 5 olduğuna 5 - 3= 2 para-metreye bağlı sonsuz çözüm vardır. x4 = s, x5 = t dersek, sistemimiz

x1 + x2 + 2x3 + s -t = 0

şekline dönüştüğüne göre,

dir. O halde aranan çözüm kümesi,

dir. s = 1 , t = 1 için, (5, -1, 2, 1, 1) sistemin bir çözümüdür.


bulunur. Bu matriste, 2. satırın 1/2 katını 3. satıra ekleyelim.

A = 2 2 -4 2 -2 -1 -3 1 -1 1 0 1 -2 2 3

matrisidir. A matrisinde, 1. satırın 1/2 katını 2. satıra ekleyelim.

A ~ 2 2 -4 2 -2 0 -2 -1 0 0 0 1 -2 2 3

~ 2 2 -4 2 -2 0 -2 -1 0 0 0 0 -5/2 2 3

1/2 -1/2 -2/5

~ 1 1 -2 1 -1 0 1 1/2 0 0 0 0 1 -4/5 -6/5

x2 + 12

x3 = 0

x3 - 45

s - 65

t = 0

x3 = 45

s + 65

t , x2 = - 1

2 x3 = - 2

5 s - 3

5 t ve

x1 = -x2 + 2x3 - s + t = s + 4t

s + 4 t , - 25

s - 35

t , 45

s + 65

t , s , t | s, t ∈ R


3. Cramer YöntemiCramer yöntemi, denklem sayısı ile bilinmeyen sayasının eşit olması durumunda,katsayılar matrisinin determinantı sıfırdan farklı ise uygulanır. Şimdi bu yöntemiaçıklayalım:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn

lineer denklem sistemini,

olmak üzere AX = B olarak ifade edebileceğimizi biliyoruz. Bu sistemde det (A) ≠ 0olsun. Bu takdirde A-1 vardır. Amacımız X matrisini bulmak olduğuna göre,

AX = B

eşitliğinin her iki tarafını A-1 ile çarpalım.

A-1 A X = A-1 B In X = A-1 B X = A-1 B

bulunur. Diğer taraftan Bunu X = A-1 B eşitliğinde yerineyazarsak,

olur. İki matrisin eşitliğinden,


A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

an1 an2 ann

, X =

x1

x2

xn

ve B =

b1

b2

bn

A-1 = 1det A

A* dir.

...

x1

x2

xi

xn

= 1det A

A11 A21 An1

A12 A22 An2

A1i A2i Ani

A1n A2n Ann

b1

b2

bi

bn

xi = 1det A

A1i b1 + A2i b2 + . . . + Aii bi + . . . + Ani bn ; i = 1 , 2 , . . . , n dir.


Şimdi, son eşitliğin sağ tarafındaki A1i b1 + A2i b2 + ... + Aii bi + ... + Ani bn ifadesi-ni inceleyelim. Bu ifade, A katsayılar matrisinde, i. sütun yerine B sütun vektörününyazılmasıyla elde edilen,

matrisinin, i. sütuna göre hesaplanan determinantından başka bir şey değildir. Ohalde bu matrisi Ai ile gösterecek olursak,

elde edilir. xi'leri açıkça yazacak olursak,

dir. Bu yönteme Cramer Yöntemi denir.


a11 a12 a1 i - 1 b1 a1 i - 1 a1n

a21 a22 a2 i - 1 b2 a2 i - 1 a2n

a i1 a i2 a i i - 1 bi a i i - 1 a in

an1 an2 an i - 1 bn an i - 1 ann

↓

i. sütun

b1

b2

bi

bn

xi = det Ai

det A , i = 1 , 2 , . . . , n

xn =

a11 a12 a13 b1

a21 a22 a23 b2

an1 an2 an3 ann

det A

x1 =

b1 a12 a13 a1n

b2 a22 a23 a2n

bn an2 an3 ann

det A ,

x2 =

a11 b1 a13 a1n

a21 b2 a23 a2n

an1 bn an3 ann

det A ,


Aşağıda bu yöntem kullanılarak çözülmüş örnekler verilmiştir.

3.1. Örnek

6x1 + 2x2 + x3 =-5- x1 - 3x2 + 2x3 = 1-2x1 + x2 - 3x3 =-5

lineer denklem sistemini çözelim. Verilen sistemin katsayılar matrisi ile sabitlermatrisi sırasıyla,

olduğundan sistemi Cramer yöntemi ile çözebiliriz. Şimdi det(A1), det (A2) vedet(A3) ü bulalım.

dir. Bu durumda,

bulunur. Yani sistemin çözümü (-3, 4, 5) sıralı 3-lüsüdür.


A = 6 2 1 -1 -3 2 -2 1 -3

ve B = -5 1 -5

dir. Bu durumda,

det A = 6 2 1 -1 -3 2 -2 1 -3

= 54 - 8 - 1 - 6 + 12 + 6 = 21 ≠ 0

det A1 = -5 2 1 1 -3 2 -5 1 -3

= - 45 - 20 + 1 - 15 - 10 - 6 = - 63 ,

det A2 = 6 -5 1 -1 1 2

-2 -5 -3

= - 18 + 20 + 5 - - 2 - 60 - 15 = 84 ve

det A3 = 6 2 -5 -1 -3 1 -2 1 -5

= 90 - 4 + 5 - - 30 + 6 + 10 = 105

x1 = det A1

det A = -63

21 = - 3 , x2 = det A2

det A = 84

21 = 4 ve x3 = det A3

det A = 5


3.2. Örnek

Denklemleri,

x - z = 0 ,x + y + z + 1 = 0 ,x + z - 1 = 0 ,

olan düzlemlerin varsa ortak noktalarını bulunuz.

Çözüm

Bu düzlemlerin ortak noktalarını bulmak için düzlemlerin denklemlerini aynı andasağlayan (x, y, z) sıralı 3-lüsü bulmalıyız. Bu da aslında, aşağıdaki şekilde düzenlen-miş lineer denklem sisteminin çözümünü bulmak demektir.O halde,

x - z = 0x + y + z =-1x + z = 1

lineer denklem sisteminin çözümünü bulalım.

Sistemin katsayılar matrisi,

dir.

olduğundan Cramer yöntemi ile çözümü bulabiliriz.

bulunur. Bu takdirde,


A = 1 0 -1 1 1 1 1 0 1

det A = 1 0 -1 1 1 1 1 0 1

= 1 + 0 + 0 - - 1 + 0 + 0 = 2 ≠ 0

det A1 = 0 0 -1 -1 1 1 1 0 1

= 0 + 0 + 0 - - 1 + 0 + 0 = 1 ,

det A2 = 1 0 -1 1 -1 1 1 1 1

= - 1 - 1 + 0 - 1 + 1 + 0 = -4 ve

det A3 = 1 0 0 1 1 -1 1 0 1

= 1 + 0 + 0 - 0 + 0 + 0 = 1


O halde düzlemlerin ortak noktası


1. Genişletilmiş matrisi,

olan lineer denklem sistemi aşağıdakilerden hangisidir?

A. x1 + 2x2 - x3 + x4 = 1 B. x1 + 2x2 - x3 + x4 = 13x1 + 2x4 =-1 3x3 + 2x4 =-1

x1 + x2 + 2x4 = 2 x1 + x2 + 2x4 = 2

C. x1 + 2x2 - x3 + x4 = 1 D. x1 + 2x2 - x3 + x4 = 13x1 + 2x3 = -1 3x3 + 2x4 =-1

x2 + x3 + 2x4 = 2 x2 + x3 + 2x4 = 2

E. x1 + x2 - x3 + x4 = 13x1 + 2x4 =-1x1 + x2 + 2x4 = 2

2. x + y - 2 z + 3w =-1y + 4 z - w = 2

x - y + 3z - 2w = 12x + 2y - 4z + 6w = 3-x + y + z + w = -5lineer denklem sisteminin çözümü için, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A. Sistemin bir tek çözümü vardır.B. Sistemin çözümü yoktur.C. Sistemin bir parametreye bağlı sonsuz çözümü vardır.D. Sistemin iki parametreye bağlı sonsuz çözümü vardır.E. Sistemin üç parametreye bağlı sonsuz çözümü vardır.


x = det A1

det A = 1

2 , y = det A2

det A = - 2 ve z = det A3

det A = 1

2 dir.

12

, - 2 , 12

noktasıdır.

1 2 -1 1 1 3 0 2 0 -1 1 1 0 2 2


3. x - 3y + z =- 22x + y - z = 6x + 2y + 2z = 2lineer denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

A. (0, 1, 1) B. (1, 4, 0)C. (2, 1, -1) D. (1, 0, 1/2)E. (2, 2, 0)

4. 2x1 + x2 + x3 = 6x1 - 2x2 + x3 = -13x1 - x2 + 2x3 = 4lineer denklem sisteminin çözümü varsa, aşağıdakilerden hangisidir?

A. (2, 1, 1) B. (1, 1, 0)C. (0, 2, 3) D. (1, 1, 1)E. Çözüm yok

5. y = 3x + 1 ve y = - 2 x - 4 doğrularının kesim noktası aşağıdakilerden hangisi-dir?

A. (1, 2) B. (2, 1)C. (- 2, -1) D. (- 1, - 2)E. (1, - 4)

6. 3x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0x1 + x2 + 3x3 + x4 = 0lineer denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

A. B.

C. D.

E.

7. x1 - 2x2 + x3 + 2x4 - x5 = 0x2 - 3x3 + 2x4 + 2x5 = 3

- x1 - x4 +2x5 = -1lineer denklem sisteminin çözümü aşğıdakilerden hangisidir?

A. {(1 + s, 1 + t, s + t, s, t) | s, t ∈ R }B. {(1 - s - t, 1 + s + t, s - t, s, t) | s, t ∈ R }C. {(2 s + t, 1 + s, 1 - t, s, t) | s, t ∈ R }D. {(1 - s + 2 t, s + t, -1 + s + t, s, t) | s, t ∈ R }E. {(2 - s + t, 1 + s + t, s - 2 t, s, t) | s, t ∈ R }


- 15

s , - 15

s , - 15

s , s | s ∈ R 16

s , 16

s , 16

s , s | s ∈ R

2 s , 3 s , 4 s , s | s ∈ R - 16

s , - 16

s , - 13

s , s | s ∈ R

16

s , 13

s , 16

s , s | s ∈ R


8. 2x - y + z - 1 = 0, x - 2y + z + 1 = 0 ve x + y - 2z - 2 = 0 düzlemlerinin varsa,kesim noktası aşağıdakilerden hangisidir?

A. (0, 1, 1) B. (1, 1, 0)C. (1, 0, 1) D. (1, -1, 0)E. Kesim noktaları yoktur.

9. 2x - 3y + z + 2w =- 4x + 2y - 5z + w = 14-x + 2y + 2z - w = 1x + y + z + w = 5lineer denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

A. (2, 1, 0, - 2) B. (1, 0, 3, - 1)C. (0, 1, 2, 3) D. (1, 2, 1, 1)E. (1, 3, - 1, 2)

10. x - y = 5y - z =-3

2x - z = 32y - 2z =- 6

lineer denklem sisteminin varsa, çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

A. (1, 4, 1) B. (4, - 1, 1)C. (1, - 4, -1) D. (1, - 1, - 4)E. Sistemin çözümü yoktur.

Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. A 2. B 3. C 4. E 5. D 6. A 7. D 8. B 9. E 10. C


Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel

yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını tanıyacak,• Bir vektör uzayının yapısını ve özelliklerini öğrenecek,• Çeşitli vektör uzayı örnekleri görecek,• Bir kümenin gerdiği (oluşturduğu) alt uzay kavramını anlaya-

cak,• Bir uzayı geren vektörlerin nasıl bulunduğunu öğreneceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 89• Vektör Uzayları 89• Alt Uzaylar 97• Bir Kümenin Gerdiği (Ürettiği) Alt Uzay 100• Değerlendirme Soruları 107

ÜNİTE

4Vektör Uzayları

YazarÖğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN



• Bu üniteyi çalışırken temel kavram ve tanımları iyice kavrayıpkonu ile ilgili çözülmüş örnekleri inceleyiniz.



1. GirişBu ünitede, uygulamalı matematiğin ve mühendislik matematiğinin önemli konu-larından biri olan vektör uzayları konusunu inceliyeceğiz.

2. Vektör UzaylarıV boş olmayan, üzerinde vektörel toplama diyeceğimiz bir toplama ve skalerle (ger-çel sayılarla) çarpım tanımlanmış bir küme olsun. Simgesel olarak, vektörel toplamave skalerle çarpım işlemleri,

x, y ∈V için x + y ∈Vr ∈ R , x ∈ V için r x ∈V

biçiminde tanımlı olsun; yani, V kümesi vektörel toplama ve skalerle çarpma işlem-lerine göre kapalı olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa V kümesine R (ger-çel sayılar kümesi) üzerinde bir vektör uzayı denir.

V1. Her x, y ∈ V için x+y = y+x olmalıdır. (Toplamanın değişme özelliği)

V2. Her x, y, z ∈ V için (x+y) +z = x + (y+z) olmalıdır. (Toplamanın birleş-me özelliği)

V3. Her x ∈ V için x + 0 = 0 + x = x olacak şekilde bir 0 ∈ V bulunmalıdır.(Toplama işlemine göre etkisiz öğe)

V4. Her x ∈ V için x+y = y+x = 0 olacak şekilde bir y ∈V bulunmalıdır.(Toplama işlemine göre ters öğe)

V5. Her x, y ∈V ve her c ∈R için c(x+y) = cx + cy olmalıdır. (skaler ile çarp-manın toplama üzerine dağılımı)

V6. Her x ∈V ve c1, c2 ∈ R için (c1 + c2) x = c1x + c2x olmalıdır.

V7. Her x ∈V ve c1, c2 ∈ R için (c1c2 ) x = c1 (c2x) olmalıdır.

V8. Her x ∈V için 1.x = x olmalıdır.

V, R üzerinde bir vektör uzayı ise V nin öğelerine vektörler R nin öğelerine deskalerler denir. Bu durumda V ye de bir gerçel vektör uzayı denir. Eğer skaler-ler R ile gösterdiğimiz gerçel sayılar kümesi yerine C ile gösterdiğimiz komplekssayılar kümesinden alınırsa, V ye kompleks vektör uzayı denir. Bundan böyle aksibelirtilmedikçe vektör uzaylarımızı gerçel vektör uzayı olarak ele alacağız.

V E K T Ö R U Z A Y L A R I 89


2.1. Önerme

V bir vektör uzayı olsun. V de vektörel toplama işleminin etkisiz öğesi tektir.

Kanıt

V vektör uzayının 0 ve 0' gibi iki etkisiz öğesi olsun. 0 bir etkisiz öğe olduğundan ∀x ∈V için x+0= 0+x= x olur, burada özel olarak x= 0' alınırsa

0' + 0= 0 + 0'= 0' (1)

bulunur. Aynı şekilde 0' bir etkisiz öğe olduğundan ∀ x ∈V için x+0'= 0'+x= x veözel olarak x= 0 alınırsa

0+0'= 0'+0= 0 (2)

bulunur. (1) ve (2) eşitlikleri karşılaştırılırsa

0= 0'

elde edilir. Böylece etkisiz öğenin tek olduğu gösterilmiş olur. Bundan böyle topla-ma işlemine göre etkisiz öğeye sıfır vektör diyeceğiz. Açıktır ki, 0x= 0 dır. Çünkü0.x= (0+0)x= 0.x + 0.x dır. Benzer olarak, r ∈ R ve 0 ∈V için r.0= 0 dır.

2.2. Önerme

V vektör uzayında her x vektörünün tersi tektir.

Kanıt

V vektör uzayının herhangi bir x vektörünün y1 ve y2 gibi iki tane tersi olsun. Budurumda

x + y1 = y1 + x = 0 ve x + y2 = y2 + x = 0

eşitlikleri sağlanır.

y1 = y1 + 0 = y1 + (x + y2) = (y1 + x) + y2 = 0 + y2 = y2

elde edilir. x vektörünün tersi tek olduğundan bu ters vektör (-x) ile gösterilir. Yanix + (-x) = (-x) + x = 0 dır. Kolayca görülür ki (-1).x = -x dır. Çünkü 0 = 0. x = (-1 + 1) x = (-1)x + 1.x = (-1) x + x dir. Ayrıca x + (-y) yerine x-y yazacağız ve x-y ye x ile y nin farkvektörü diyeceğiz.

Şimdi vektör uzaylarına örnekler verelim:

V E K T Ö R U Z A Y L A R I90


2.3. Örnek

R gerçel sayılar kümesi, bilinen toplama ve çarpma işlemleri altında bir gerçelvektör uzayıdır. Çünkü R nin öğeleri olan gerçel sayılar bilinen toplama ve çarp-ma işlemleriyle vektör uzayı için vermiş olduğumuz koşulları sağlarlar. Sizde bukoşulların sağlandığını tek tek inceleyiniz.

2.4. Örnek

V= { (x, y) | y= 3x, x∈ R }

kümesinin aşağıda verilen işlemlere göre bir vektör uzayı olup olmadığını gösteri-niz.

Her A, B ∈V, A = (x1 , 3x1) , B = (y1 , 3y1) için

A + B = (x1 , 3x1) + (y1 , 3y1) = (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) = (x1 + y1 , 3 (x1 + y1)) ∈ Vc ∈ R için cA = c (x1 , 3x1) = (cx1 , 3cx1) ∈ V

Çözüm

V kümesinin öğelerinin vektör uzayı koşullarını sağladığını göstermeliyiz.

V1. Her A, B ∈V, A= (x1 , 3x1) , B= (y1 , 3y1) için

A+B = (x1 , 3x1) + (y1 , 3y1)= (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) = (y1 + x1 , 3y1 + 3x1) = (y1 , 3y1) + (x1 , 3x1) = B+A

olduğundan toplamanın değişme özelliği sağlanır.

V2. A, B, C ∈V , A = (x1 , 3x1) , B = (y1 , 3y1) , C = (z1 , 3z1) için

A+ (B+C) = (x1 , 3x1) + ((y1 , 3y1) + (z1 , 3z1)) = (x1 + (y1 + z1) , 3x1 + (3y1 +3z1))

= ((x1 + y1) + z1 , (3x1 + 3y1) + 3z1)= (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) + (z1 , 3z1) = (A+B) + C

olduğundan toplamanın birleşme özelliği sağlanır.

V3. Her A ∈V, A= (x1 , 3x1) ve 0= (0, 0) için

A+0 = (x1 , 3x1) + (0, 0)= (x1 + 0, 3x1 + 0) = (x1 , 3x1) = A0 + A = (0, 0) + (x1 , 3x1) = (0 + x1 , 0 + 3x1) = (x1 , 3x1) = A

olduğundan 0 = (0, 0) vektörü toplama işleminin etkisiz öğesidir.



V4. Her A ∈V, A = (x1 , 3x1) ve -A = (-x1 , -3x1) için

(x1 , 3x1) + (-x1 ,-3x1) = (x1 - x1 , 3x1 - 3x1) = (0, 0)(-x1 , -3x1) + (x1 , 3x1) = (-x1 + x1 , -3x1 + 3x1) = (0, 0)

olduğundan A = (x1 , 3x1) vektörünün toplama işlemine göre tersi -A = (-x1 , -3x1) vektörüdür.

V5. Her A, B ∈ V A = (x1 , 3x1) , B = (y1 , 3y1) , c ∈ R için

c (A+B) = c [(x1, 3x1) + (y1 , 3y1)] = c (x1 + y1 , 3x1 + 3y1)= (c (x1 + y1) , c (3x1 + 3y1)) = (cx1 + cy1 , 3cx1 + 3cy1)= (cx1 , 3cx1) + (cy1 , 3cy1) = c (x1 , 3x1) + c (y1 , 3y1) = c A + c B

olur.

V6. Her A ∈V, her c1 , c2 R için

(c1 + c2) A = (c1 + c2) (x1 , 3x1) = [(c1 + c2) x1 , (c1 + c2) 3x1]= (c1 x1 + c2 x1 , 3c1 x1 + 3c2 x1) = (c1 x1 , 3c1 x1) + (c2 x1 , 3c2 x1)= c1 (x1 , 3x1) + c2 (x1 , 3x1) = c1 A + c2 A

olur.

V7. Her A ∈ V, A= (x1 , 3x1), her c1 , c2 ∈ R için

(c1 c2) A = c1 c2 (x1 , 3x1) = (c1 c2 x1 , 3c1 c2 x1) = [c1 (c2 x1) , c1 (3c2 x1)]= c1 (c2 x1 , 3c2 x1) = c1 (c2 (x1 , 3x1)) = c1 (c2 A)

olur.

V8. Her A ∈V, A = (x1 , 3x1), 1∈ R için

1. A= 1. (x1 , 3x1) = (1.x1 , 3.1 x1) = (x1 , 3x1) = A

olur. Böylece V kümesi R üzerinde bir vektör uzayıdır.

2.5. Örnek

R2 kümesinde vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemleri sırasıyla

A = (x1 , x2), B= (y1 , y2) ∈ R2 , c ∈ R için

A+B = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (x1 + y1 , x2 + y2)c A = c (x1 , x2) = (cx1 , cx2)



biçiminde verildiğine göre, R2 kümesinin R kümesi üzerinde bir vektör uzayı ol-duğunu gösterelim: Bunun için R2 nin öğelerinin, vektör uzayı koşullarını sağla-dığını göstermeliyiz.

V1. Her A, B ∈R2 , A = (x1 , x2) B = (y1 , y2) için

A+B = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (x1 + y1 , x2 + y2) = (y1 + x1 , y2 + x2)= (y1 , y2) + (x1 , x2) = B+A

olduğundan toplamanın değişme özelliği sağlanır.

V2. Her A, B, C ∈R2 , A = (x1 , x2), B = (y1 , y2), C = (z1 , z2) için

A+ (B+C) = (x1 , x2) + [(y1 , y2) + (z1 , z2)] = (x1 , x2) + (y1 + z1 , y2 + z2)= [x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2)]= [(x1 + y1) + z1 , (x2 + y2) + z2 ]= (x1 + y1 , x2 + y2) + (z1 , z2) = (A+B) + C

olduğundan toplamanın birleşme özelliği sağlanır.

V3. Her A= (x1 , x2) ∈ R2 ve 0= (0, 0) için

A+0 = (x1 , x2) + (0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1 , x2) = A0+A = (0, 0) + (x1 , x2) = (0 + x1 , 0 + x2) = (x1 , x2) = A

olduğundan 0= (0, 0) vektörü toplama işleminin etkisiz öğesidir.

V4. Her A = (x1 , x2) ∈ R2 ve -A= (-x1 , -x2) için

(x1 , x2) + (-x1 , -x2) = (x1 - x1 , x2 - x2) = (0, 0)(-x1 , -x2) + (x1 , x2) = (-x1 + x1 , -x2 + x2) = (0, 0)

olduğundan A = (x1 , x2 ) vektörünün toplama işlemine göre tersi -A = (-x1 , -x2) vektörüdür.

V5. Her A = (x1 , x2), B = (y1 , y2) ∈ R2, her c ∈ R için

c (A+B) = c [(x1 , x2) + (y1 , y2)] = c (x1 + y1 , x2 + y2)= [c (x1 + y1) , c (x2 + y2)] = (cx1 + cy1 , cx2 + cy2)= (cx1 , cx2) + (cy1 , cy2)= c (x1 , x2) + c (y1 , y2) = c A + c B

olur.



V6. Her A= (x1 , x2) ∈ R2, her c1 , c2 ∈ R için

(c1 + c2)A= (c1 + c2) (x1 , x2) = [(c1 + c2) x1 , (c1 + c2) x2]= (c1 x1 + c2 x1 , c1 x2 + c2 x2 ) = (c1 x1 , c1 x2) + (c2 x1 , c2 x2)= c1 (x1 , x2) + c2 (x1 , x2) = c1 A + c2 A

olur.

V7. Her A = (x1 , x2) ∈ R2, her c1 , c2 ∈ R için

(c1 c2) A = (c1 c2) (x1 , x2) = (c1 c2 x1 , c1 c2 x2)= [c1 (c2 x1), c1 (c2 x2)] = c1 (c2 x1 , c2 x2 ) = c1 [c2 (x1 , x2)]= c1 (c2 A)

V8. Her A = (x1 , x2) ∈ R2, 1 ∈ R için

1. A = 1. (x1 , x2) = (1.x1 , 1.x2) = (x1 , x2) = A

olur. Böylece R2 kümesi R üzerinde bir vektör uzayıdır.

Benzer şekilde, n≥1 tamsayı olmak üzeri Rn kümesi de yukarıda tanımlanan top-lama ve skalerle çarpma işlemlerine benzer olarak tanımlanan sıralı n-lilerin topla-mı ve bir skalerle bir sıralı-n linin çarpımı işlemlerine göre R üzerinde bir vektör uza-yıdır.

Verilen bir kümenin vektör uzayı olup olmadığını belirlemek için öncelikle, bu kü-menin öğeleri üzerinde vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemlerinin tanımlan-mış olması, daha sonra da verilen kümenin öğelerinin vektör uzayı koşullarını sağ-laması gerekir. Buna örnek olarak:

V = { (x, y) | y = 2x , x ∈ R }

kümesi bir vektör uzayı mıdır? şeklindeki bir soru anlamlı değildir. Çünkü, kümeüzerinde vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemleri belirtilmemiştir.

2.6. Örnek

V = { (x, y) | x, y ∈ R }

kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlansın:

( x1 , x2 ) , ( y1 , y2 ) ∈ V , c ∈ R için

( x1 , x2 ) + ( y1 , y2 ) = ( x1 + y1 , 0 )c ( x1 , x2 ) = ( c x1 , c x2 )



V kümesi bu işlemlere göre bir vektör uzayı mıdır?

Çözüm

Bunun için, V kümesinin öğelerinin, verilen işlemlere göre vektör uzayı koşullarınısağlayıp sağlamadığını araştırmalıyız:

V1 ve V2 özellikleri yani toplamanın değişme ve birleşme özelliklerinin varlığı ko-layca doğrulanır. V3 koşulu olan etkisiz öğenin varlığını araştıralım:

Her A ∈ V , A = ( x1 , x2 ) için

A + E = A

olacak şekilde bir E vektörü yani etkisiz (birim) vektör var mıdır?

E = (a , b) olsun. a , b ∈ RA + E = ( x1 , x2 ) + (a , b) = ( x1 , x2 )

( x1 + a , 0 ) = ( x1 , x2 )

iki vektörün eşitliğinden

x1 + a = x10 = x2

olur. Buradan daima x2 = 0 elde edilir. x2 ≠ 0 da olabileceğinden A + E = Aeşitliğini her zaman sağlayan bir E vektörü yoktur. Örneğin,

A = (1 , 2) için yukarıdaki eşitlik

(1 , 2) + (a , b) = (1 , 2)(1 + a , 0) = (1 , 2)

olur. Buradan 0 = 2 gibi doğru olmayan bir eşitlik elde edilir. Buna göre V üzerinde-ki toplama işleminin etkisiz öğesi yoktur yani, V verilen işlemlere göre bir vektöruzayı değildir.

Şimdiye kadar R (gerçel sayılar kümesi), R2 (düzlemin noktalarının kümesi),R3 (uzayın noktalarının kümesi) ..., Rn (n boyutlu uzayın noktalarının kümesi)üzerinde bilinen toplama ve skalerle çarpım işlemlerini tanımlayarak, gerçel sayılarkümesinin, düzlemin noktaları kümesinin, uzayın noktaları kümesinin,... birer ger-çel vektör uzayı olduklarını gösterdik. Bir vektör uzayının öğeleri polinomlar, mat-risler, bir homojen lineer denklem sisteminin tüm çözümleri, kompleks sayılar, bellibir aralıkta tanımlanmış sürekli fonksiyonlar da olabilir. Bütün bunlar, vektör uzay-larının ne kadar çeşitli örneklerinin olduğunu gösterir. Bu söylediklerimize bir ör-nek verelim:



V = { p(x) = ax3 + bx2 + cx + d | a , b , c , d ∈ R }

kümesi 3. dereceden bütün polinomların kümesi olsun.

V kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma daha önceden bildiğimiz polinomtoplamı ve bir skalerle polinomun çarpımı işlemleri olarak verilsin;

p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

q(x) = b3 x3 + b2 x2 + b1 x + b0 olmak üzere

p(x) + q(x) = ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + (a1 + b1 ) x + ( a0 + b0 )

c ∈ R için c.p(x) = c ( a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ) = c a3 x3 + c a2 x2 + c a1 x + c a0

Bu işlemlere göre, V kümesinin R üzerinde bir gerçel vektör uzayı olduğunu ko-layca gösterebilirsiniz.

Uyarılar

(i) V kümesinin etkisiz öğesi ile 0 sayısını birbiri ile karıştırmamak gerekir. Vnin etkisiz öğesi p(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + 0 şeklinde sıfır polinomudur.

(ii) Her p(x) ∈ V , p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 öğesinin ters öğesi ise -p(x) = -a3 x3 - a2 x2 - a1 x - a0 şeklindeki bir polinomdur.

(iii) Her p(x) ∈ V , p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ; a3 , a2 , a1 , a0 ∈ R

olduğundan p(x) öğesinde a3 , a2 , a1 , a0 katsayıları çeşitli durumlarda 0 de-ğerini alabilir. Bu yüzden

V = { p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 | a3 , a2 , a1 , a0 ∈ R }

kümesinin öğeleri, derecesi 3 veya 3 ten küçük bütün polinomlardan oluşur. Dere-cesi 3 veya 3 ten küçük bütün polinomların kümesi P3 (R) ile gösterilir. n ≥ 1tamsayı olmak üzere Pn (R) kümesi derecesi n veya n den küçük bütün poli-nomların kümesidir. Pn (R) kümesi de polinomların toplamı ve bir skalerle poli-nomun çarpımı işlemlerine göre vektör uzayı olduğu benzer şekilde gösterilir.

Vektör uzayı ile ilgili örneklerimizi biraz daha genişletelim: m x n tipinde matrisler,matris toplamı ve bir skalerle matrisin çarpımı işlemlerine göre bir vektör uzayıoluşturur. Bu vektör uzayı Mmn ile gösterilir.



2.7. Örnek

M23 kümesinin, matris toplamı ve bir skalerle matrisin çarpımı işlemlerine göreR üzerinde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz.

Çözüm

M23 (2 x 3 tipindeki bütün matrislerin kümesi) nin R üzerinde bir vektör uzayıolduğunu göstermek için M23 nin öğelerinin vektör uzayı koşullarını sağladığınıgöstermeliyiz:

Matris toplamının değişme ve birleşme özellikleri, sıfır matris (etkisiz öğe), bir mat-risin toplamaya göre tersi, bir skalerle matrisin çarpım işlemleri 1. ünitede geniş ola-rak verildi. Buna göre her A , B , C ∈ M23 öğeleri vektör uzayı koşullarını sağlar.

V1. A + B = B + A (Matris toplamının değişme özelliği)

V2. A + (B + C) = (A + B) + C (Matris toplamının birleşme özelliği)

V3. A + 0 = 0 + A = A (Etkisiz öğe)

V4. A + (-A) = -A + A = 0 (Ters öğe)

V5. c ∈ R , c (A + B) = c A + c B

V6. c1 , c2 ∈ R ( c1 + c2 ) A = c1 A + c2 A

V7. c1 , c2 ∈ R ( c1 c2 ) A = c1 (c2 A)

V8. 1. A = A

Böylece M23 kümesi verilen toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre Rüzerinde bir vektör uzayıdır. Bunu daha genel olarak ifade edersek; m x n tipindekimatrislerin kümesi Mmn , matris toplamı ve bir skalerle matrisin çarpımı işlemle-rine göre R üzerinde bir vektör uzayıdır.

3. Alt UzaylarBu bölümde vektör uzaylarının yapısını daha ayrıntılı bir şekilde inceleyeceğiz.



3.1. Tanım

V bir vektör uzayı ve W , V nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. W kümesi, V kü-mesinde tanımlanan toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre bir vektör uzayıoluşturuyorsa W ye V nin bir alt uzayı denir. Bu tanımdan aşağıdaki sonuçları eldeetmek oldukça kolaydır:

(i) Her vektör uzayı kendisinin bir alt uzayıdır.

(ii) { 0 } kümesinin oluşturduğu sıfır vektör uzayı o vektör uzayının bir alt uza-yıdır. Buna göre sıfır vektör uzayından farklı her vektör uzayının en az iki altuzayı vardır.

3.2. Örnek

R2 kümesinin sıralı ikililerin toplamı ve bir skalerle sıralı ikilinin çarpımı işlem-lerine göre bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz. Yukarıda ifade edilen sonuçlara gö-re { (0 , 0) } ve R2 kümeleri aynı zamanda birer alt uzaylardır.

• Siz de R2 nin başka alt uzaylarını belirtebilir misiniz?• Başlangıç noktasından geçen bütün doğrular aynı işlemlere göre R2 nin

alt uzayı olabilirler mi?

3.3. Örnek

W = { (x , y) | y = x + 1 , x ∈ R } kümesi R2 nin bir alt uzayı mıdır?

Çözüm

Alt uzay tanımına göre, W alt uzay ise R2 deki işlemlere göre bir vektör uzayı-dır. Dolayısıyla R2 nin sıfır vektörünü içermek zorundadır. Fakat,

0 = (0 , 0) ∉ W olduğundan ( x = 0 için y = 1 )

W = { (x , y) | y = x + 1 , x ∈ R } kümesi alt uzay değildir.

Şimdi bir vektör uzayının boş olmayan herhangi bir alt kümesinin hangi koşullardabir alt uzay olacağına ilişkin teoremi verelim:

3.4. Teorem

V bir vektör uzayı ve W, V nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. W nin V nin bir altuzayı olması için gerekli ve yeterli koşul


?


(i) x, y ∈ W iken x + y ∈ W (W , toplama işlemine göre kapalı)

(ii) x ∈ W , c ∈ R iken c x ∈ W (W , skalerle çarpma işlemine göre kapalı)

olmasıdır.

Kanıt

⇒ : W , V nin bir alt uzayı olsun. Bu durumda (i) ve (ii) koşullarının sağlandı-ğını gösterelim. W nin V nin bir alt uzayı olmasından dolayı, W nin kendisi debir vektör uzayıdır. Bu nedenle (i) ve (ii) koşullarını sağlar.

⇐ : Tersine olarak W kümesi (i) ve (ii) koşullarını sağlasın. (ii) den x ∈ W , c∈ R iken c x ∈ W olup, c = 0 ve c = -1 için 0 ∈ W ve -x ∈ W elde edi-lir. Buna göre etkisiz öğe ve W içindeki her x öğesinin tersi W içindedir. Bununyanında vektör uzayının diğer koşulları W için de sağlanır. Yani V nin W altkümesi , aynı zamanda bir vektör uzayıdır. Bu da bize W nin V nin alt uzayı ol-duğunu gösterir.

3.5. Örnek

W = { ( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 = 0 }

kümesi R3 ün bir alt uzayı mıdır?

Çözüm

W nin R3 ün bir alt uzayı olması için

x, y ∈ W iken x + y ∈ W

c ∈ R, x ∈ W iken c x ∈ W

olmalıdır.

x, y ∈ W ise x = ( 0 , x2 , x3 ) ve y = ( 0 , y2 , y3 ) olur. (W nin öğeleri 1. bile-şenleri 0 olan vektörlerdir.)

x + y = ( 0 , x2 , x3 ) + ( 0 , y2 , y3 ) = ( 0 , x2 + y2 , x3 + y3 ) ∈ W

c ∈ R ve x ∈ W iken c x = c ( 0 , x2 , x3 ) = ( 0 , c x2 , c x3 ) ∈ W

elde edilir. Böylece W kümesinin öğeleri alt uzay olma koşullarını sağlar. W, R3 ünbir alt uzayıdır. Bu alt uzayın yz - düzlemi olduğuna dikkat ediniz.



3.6. Örnek

W = { ( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 = 2 }

kümesi R3 ün bir alt uzayı mıdır?

Çözüm

A, B ∈ W için A + B ∈ W olmalıdır.

A = ( x1 , x2 , x3 ) , x1 + x2 = 2

B = ( y1 , y2 , y3 ) , y1 + y2 = 2

A + B = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) , x1 + y1 + x2 + y2 = x1 + x2 + y1 + y2= 2 + 2 = 4 ≠ 2

olduğundan A + B ∉ W dir. O halde W , R3 ün bir alt uzayı değildir.

3.7. Örnek

n ≤ m ise Pn (R) , Pm (R) nin bir alt uzayı mıdır?

Çözüm

Pm (R) derecesi m veya m den küçük bütün polinomların kümesidir. Bu kü-menin polinomların toplamı ve bir skalerle polinomun çarpımı işlemlerine göre birvektör uzayı olduğunu biliyoruz.

Pn (R) ⊆ Pm (R) ve p(t) , q(t) ∈ Pn (R) , r ∈ R için

derece ( p(t) + q(t)) = maksimum { derece p(t) , derece q(t) } ≤ nderece (r . p(t) ) = derece ( p(t) ) ≤ n

olduğundan, ( p(t) + q(t) ) ∈ Pn (R) ve (r p(t) ) ∈ Pn (R) dir. Yani Pn (R) kü-mesi polinom toplamı ve skalerle polinomun çarpımına göre kapalıdır. O halde Pn(R) kümesi Pm (R) vektör uzayının bir alt uzayıdır.

4. Bir Kümenin Gerdiği (Ürettiği) Alt Uzay

4.1. Tanım

Bir V vektör uzayının x1 , x2 , ... , xn vektörleri verilsin. c1 , c2 , ... , cn gerçelsayılar olmak üzere bir x ∈ V vektörü x = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn şeklinde



yazılabiliyorsa, yani, bu yazılışı sağlayacak şekilde, c1 , c2 , ... , cn gerçel sayılarıbulunabiliyorsa x vektörü x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin bir lineer bileşimidirdenir.

4.2. Örnek

R3 de x1 = (1 , 0 , 3) , x2 = (0 , 1 , 0) , x3 = (2 , 1 , 0) vektörleri verilsin. x = (3 , 1, 3) vektörünün verilen x1 , x2 , x3 vektörlerinin bir lineer bileşimi olduğunugösterelim:

x vektörünün, verilen 3 vektörün lineer bileşimi olması için

x = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3

şeklinde yazılması gerekir. Bir başka deyişle c1 , c2 , c3 gerçel sayılarının bulun-ması gerekir. Buna göre,

(3 , 1 , 3) = c1 (1 , 0 , 3) + c2 (0 , 1 , 0) + c3 (2 , 1 , 0)

(3 , 1 , 3) = (c1 + 2c3 , c2 + c3 , 3c1)

elde edilir. İki vektörün eşitliğinden

c1 + 2c3 = 3c2 + c3 = 1

3c1 = 3

çıkar ve bu üç eşitlikten c1 = 1 , c2 = 0 , c3 = 1 bulunur.

(3 , 1 , 3) = 1 . (1 , 0 , 3) + 0 . (0 , 1 , 0) + 1 . (2 , 1 , 0)

Buna göre (3 , 1 , 3) vektörü (1 , 0 , 3) , (0 , 1 , 0) , (2 , 1 , 0) vektörlerinin bir lineer bileşi-midir.

4.3. Örnek

R3 deki x = (2 , 0 , 6) vektörü x1 = (1 , 1 , 0) ve x2 = (1 , 0 , 2) vektörlerininbir lineer bileşimi midir?

Çözüm

x = (2 , 0 , 6) vektörünün verilen x1 = (1 , 1 , 0) ve x2 = (1 , 0 , 2) vektörlerininlineer bileşimi olması için

(2 , 0 , 6) = c1 (1 , 1 , 0) + c2 (1 , 0 , 2)



eşitliğindeki c1 ve c2 gerçel sayılarının bulunması gerekir.

Yukarıdaki eşitlikten

(2 , 0 , 6) = ( c1 + c2 , c1 , 2c2 )

olur. Buradan

c1 + c2 = 2c1 = 0

2c2 = 6

son iki eşitlikten c1 = 0 , c2 = 3 bulunur. Bu değerler c1 + c2 = 2 denklemindeyerine konursa 3 = 2 şeklinde doğru olmayan bir eşitlik bulunur. Bu sonuç x = (2 , 0 ,6) vektörünün x1 = (1 , 1 , 0) ve x2 = (1 , 0 , 2) vektörlerinin lineer bileşimi ol-madığını gösterir.

4.4. Tanım

Bir V vektör uzayının x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin bütün lineer bileşimlerin-den oluşan kümeye x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin lineer bileşimler kümesidenir ve L ( { x1 , x2 , ... , xn } ) şeklinde gösterilir.

4.5. Teorem

Bir V vektör uzayının x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin bütün lineer bileşimlerinin kümesiL ({x1 , x2 , ..., xn}) , V nin bir alt uzayıdır.

Kanıt

V nin x1 , x2 , ..., xn vektörlerinin kümesi S olsun. S = {x1, x2, ..., xn}. S nin öğele-rinin mümkün olan bütün lineer bileşenlerinin kümesi,

L(S) = L ({x1 , x2 , ..., xn } ) = { c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn | c1, c2, ..., cn ∈ R }

dir. L(S) nin V nin alt uzayı olduğunu göstereceğiz. L(S), alt uzay olma koşullarınısağlar. Çünkü, A, B ∈ L (S) için A + B ∈ L(S) dir. Yani L(S) deki herhangi iki li-neer bileşimin toplamı yine L(S) de bir lineer bileşimdir. Dolayısıyla L(S) toplama iş-lemine göre kapalıdır.

c ∈ R, A ∈ L (S) için c A ∈ L(S) dir. Yani L(S) deki bir lineer birleşimin birskalerle çarpımı yine L(S) 'deki bir lineer bileşimdir. Dolayısıyla L(S) skalerle çarp-ma işlemine göre de kapalıdır. O halde L(S), V nin bir alt uzayıdır.



4.6. Tanım

V bir vektör uzayı ve V nin x1 , x2 , ..., xn vektörlerinin kümesi S olsun. L (S) alt uza-yına, S kümesinin gerdiği alt uzay denir. Eğer V vektör uzayındaki her x vektörüS deki vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılabiliyorsa yani kısaca, x ∈ Viçin x ∈ L (S) ise S kümesi V vektör uzayını gerer veya doğurur denir ve

L (S) = V

şeklinde yazılır.

4.7. Örnek

R2 de (1, 0) vektörünün gerdiği alt uzayı bulunuz.

Çözüm

R2 de (1, 0) vektörünün gerdiği alt uzay (1, 0) vektörünün bütün lineer bile-şimlerinin kümesidir.

L ({1, 0}) = { c (1, 0) | c ∈ R } = { (c, 0) | c ∈ R }

Bu küme c ∈ R olmak üzere (c, 0) şeklindeki bütün noktaların kümesidir. Birazdikkat edersek bu kümenin noktaları y = 0 doğrusunu, bir başka deyişle, x - ekseninioluştururlar. O halde R2 nin (1, 0) vektörü tarafından gerilen alt uzayı x - ekse-nidir. Ayrıca x - ekseni üzerindeki her noktanın, (1, 0) vektörü cinsinden yazılabile-ceği de açıktır yani, x - ekseni üzerindeki herhangi bir nokta A = (a, 0) ise

(a, 0) = a (1, 0)

şeklinde yazılabilir.

4.8. Örnek

R2 de (1, 0) ve (1, 1) vektörlerinin gerdiği alt uzayı bulunuz.

Çözüm

(1, 0), (1,1) vektörlerinin gerdiği alt uzay, bu vektörlerin bütün lineer bileşimlerininkümesi



L ({ (1, 0), (1, 1) }) = {a (1, 0) + b (1, 1) | a, b ∈ R } = { (a + b, b) | a, b ∈ R }

dir.

Şimdi R2 nin herhangi bir vektörünün (1, 0) ve (1, 1) vektörlerinin lineer bileşi-mi olarak yazılıp yazılamayacağına bakalım:

(x, y) ∈ R2 olsun.

(x, y) = a (1, 0) + b (1, 1) (1)

(x, y) = (a + b, b)

iki vektörün eşitliğinden x = a + b, y = b buradan

a = x - y ve b = y bulunur. Bu değerleri (1) de yerine yazalım,

(x, y) = (x - y) (1 , 0) + y (1, 1)

olur. Böylece R2 nin herhangi bir (x, y) vektörü (1, 0), (1,1) vektörlerinin lineerbileşimi olarak yazılabiliyor. O halde {(1, 0), (1, 1)} kümesi R2 yi gerer yani,

L ({ (1, 0), (1, 1) }) = R2

olur. Örnek olarak (3, 7) ∈ R2 nin (1, 0), (1, 1) in lineer bileşimi olarak yazıldığı-nı görelim:

(3, 7) = (-4) (1, 0) + 7 (1, 1)

olur.

4.9. Örnek

P2 (R) de x, 1 + x vektörlerinin gerdiği alt uzayı bulalım:

P2 (R) derecesi 2 veya 2 den küçük bütün polinomların oluşturduğu bir vektöruzayıdır.

Uyarı

• Bir vektör uzayının öğelerine vektör denildiği için x ve 1 + x polinomlarınada vektör diyeceğiz.



{ x, 1 + x } kümesinin gerdiği P2 (R) nin alt uzayını arıyoruz. Bunun için x, 1+ x vektörlerinin bütün lineer bileşimlerini bulalım,

P(x) = L ({ x, 1 + x } )= { a x + b (1 + x) | a, b ∈ R }= { (a + b) x + b) | a, b ∈ R }

P (x) kümesi, p(x) = (a + b) x + b a, b ∈ R şeklindeki 1. dereceden polinomlarınkümesi olur ve

P(x) ⊆ P1 (x) (1)

yazılır.

Şimdi de P1 (R) nin herhangi bir vektörünün x, 1 + x vektörlerinin lineer bileşi-mi olarak yazılabileceğini gösterelim:

q(x) = α x + β ∈ P1 (R) α, β ∈ R alalım. α x + β = a x + b (1 + x)

= (a + b) x + b

iki polinomun eşitliğinden

α = a + b, β = b buradan a = α - β , b = β bulunur. α x + β = (α - β) x + β (1+ x) buradan

P1 (x) ⊆ P(x) (2)

olur.

(1) ve (2) eşitliklerinden P(x) = P1 (x) yazılır. Böylece x, 1 + x vektörlerinin oluştur-duğu alt uzay, L({ x, 1 + x } ) = P1 (R) olur.

Şimdiye değin verilen vektör kümesinin gerdiği alt uzayları bulmaya çalıştık. Şimdide verilen alt uzayları geren vektörleri bulmaya çalışalım.

4.10. Örnek

R2 nin 3x - y = 0 alt uzayını geren bir vektör bulunuz.

Çözüm

R2 nin 3x - y = 0 alt uzayı,

W = { (x , y) | y = 3x , x ∈ R }= { (x , 3x) | x ∈ R }



kümesidir. Buna göre 3x - y = 0 alt uzayının her öğesi, (x , 3x) = x (1 , 3) , x ∈ R şek-lindeki vektörlerdir, yani (1 , 3) vektörünün uygun bir gerçel sayı ile çarpımıdır. Ohalde (1 , 3) vektörü 3x - y = 0 alt uzayını gerer. Siz de, 3x - y = 0 alt uzayını gerenbaşka vektörler bulunuz; (2 , 6) veya (3 , 7) vektörleri 3x - y = 0 alt uzayını gerer mi?

4.11. Örnek

R3 ün x + y + z = 0 alt uzayını geren vektörlerin kümesini bulunuz.

Çözüm

R3 ün x + y + z = 0 alt uzayı,

W = { (x , y , z) | x + y + z = 0 , x , y , z ∈ R }= { (x , y , -x -y) | x , y ∈ R }

kümesidir. Buna göre x + y + z = 0 alt uzayının her öğesi, (x , y , -x -y) x , y ∈ R şek-linde yazılabilir. Burada x ve y nin keyfi her gerçel değeri için W kümesinin biröğesi elde edilir.

x = 0 , y = 1 için (0 , 1 , -1) ∈ W

x = 1 , y = 2 için (1 , 2 , -3) ∈ W

bulunur.

Buna göre A = (0 , 1 , -1) ve B = (1 , 2 , -3) vektörleri W kümesinin yani x + y + z = 0alt uzayının öğeleridir. İşte bu vektörler verilen alt uzayı gererler. Bunu görmek için,W kümesinden herhangi bir öğe alıp bu öğenin (0, 1, -1) ve (1 , 2 , -3) vektörlerininlineer bileşimi şeklinde yazılabileceğini görmeliyiz:

E ∈ W için E = (a , b , -a -b) alalım.

(a , b , -a -b) = c1 A + c2 B

olacak şekilde c1 ve c2 gerçel sayılarını bulmalıyız.

(a , b , -a -b) = c1 (0 , 1 , -1) + c2 (1 , 2 , -3)

(a , b , -a -b) = ( c2 , c1 + 2c2 , -c1 -3c2 )

iki vektörün eşitliğinden



a = c2 b = c1 + 2c2

-a -b = -c1 -3c2

elde edilir. Buradan c1 = b - 2a , c2 = a bulunur ve

(a , b , -a -b) = (b - 2a) (0 , 1 , -1) + a (1 , 2 , -3)

eşitliği elde edilir.

Buna göre W vektör uzayının her bir öğesi, (0 , 1 , -1) ve (1 , 2 , -3) vektörlerinin uy-gun bir lineer bileşimidir. O halde bu vektörler W alt uzayını gererler.

Sizde; W vektör uzayını geren başka iki vektör bulunuz,

(1 , 3 , -4) , (2 , 6 , -8) vektörlerinin W yi germediğini gösteriniz.

Değerlendirme Soruları1. Aşağıda verilen kümelerden hangisi tanımlanan işlemlere göre bir vektör

uzayıdır?

A. V= { (x, y) | x, y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma iş-lemleri(x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , 0)c (x, y) = (c x, 0)şeklinde veriliyor.

B. R gerçel sayılar kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemlerix + y = x - yc x = c xşeklinde veriliyor.

C. V= { (x, y) | y = 2x, x ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpmaişlemleri sıralı ikililerin toplamı ve bir skalerle sıralı ikilinin çarpımı şeklindeveriliyor.

D. V= { (x, y) | x , y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma iş-lemleri (x1 , y1) + (x2 , y2) = (1, x1 x2)c (x1 , y1) = (c x1, 0)

E. V= { (x, y) | x , y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma iş-lemleri (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 x2 , y1 y2)c (x1 , y1) = (c x1 , y1)



2. Aşağıda verilen kümelerden hangisi tanımlanan işlemlere göre bir vektöruzayıdır?

A. V= { (x, y) | y = x + 1, x ∈ R }(x1 , y1) + (x2 , y2) = (0, y1 + y2)c (x1 , y1) = (c1 x1 , 0) şeklinde veriliyor.

B. P2 (R) kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri sırasıylapolinomların toplamı ve skalerle bir polinomun çarpımı şeklinde veriliyor.

C. M22 kümesi üzerinde toplama ve skaler ile çarpma işlemleri sırasıylaA, B ∈ M22 , c ∈ R içinA + B = ABcAşeklinde veriliyor.

D. M35 kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri sırasıylaA + B = B , şeklinde veriliyor.

E. V= { (x, y, z) | x, y, z ∈ R } toplama ve skalerle çarpma işlemleri (x , y , z) + (a, b, c) = (1 , y + b , z + c)(x, y, z) = (cx , cy , cz) şeklinde veriliyor.

3. Aşağıdaki kümelerden hangisi R3 ün bir alt uzayıdır?

A. E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 | x1 = 1, x2 , x3 ∈ R}B. E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x1 ≥ 0, x2 + x3 = 5, x1 , x2 , x3 ∈ R}C. E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x1 + 2x2 + 3x3 = 0, x1 , x2 , x3 ∈ R}D. E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x1 + x2 = 2, x3 ≠ 0, x1 , x2 , x3 ∈ R }E. E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x2 ≠ 0, x1 , x2 , x3 ∈ R}

4. W kümesi R3 de x1 = (1, 2, 0), x2 = (2, 0, 1) vektörlerinin gerdiği bir alt uzayolduğuna göre aşağıdaki vektörlerden hangisi W nin bir öğesidir?

A. (1, 3, 5)B. (0, 1, 2)C. (-1, -2, -3)D. (1/2, 1, 6)E. (1, 2, 0)

5. R2 nin x + y = 0 alt uzayını geren vektör hangisidir?

A. (2 , 1)B. (0 , 0)C. (1 , -1)D. (-1 , -1)E. (-1 , 0)


cA = Ac


6. R3 ün x - y + z = 0 alt uzayını geren vektör kümesi hangisidir?

A. { (1 , 1 , 1) }B. { (1 , 0 , 1) , (0 , 0 , 0) }C. { (1 , 1 , 2) , (0 , 1 , 0) }D. { (1 , 1 , 0) , (0 , 1 , 1) }E. { (0 , 0 , 0) , (1 , 1 , 1) }

7. R de (1) vektörünün gerdiği alt uzay hangisidir?

A. 1B. RC. R2

D. R3

E. P1 (R)

8. R2 de { (1 , 1) (1 , 2) } kümesinin gerdiği alt uzay hangisidir?

A. { (1 , 1) }B. RC. R2

D. P2 (R)E. P3 (R)

9. Pn (R) de { 1 , x } kümesinin gerdiği alt uzay hangisidir?

A. RB. R2

C. R3

D. P1 (R)E. P2 (R)

10. R3 deki (1 , 1 , x) vektörü x ni hangi değeri için (1 , 0 , 3) , (2 , 1 , 0)vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılabilir?

A. -3B. -2C. 0D. 1E. 3

11. Aşağıdaki vektörlerden hangisi R3 ün L ( { (0 , 1 , 1) , (2 , 0 , 0) } ) alt uzayı-nın bir öğesidir?

A. (1 , 2 , 3)B. (4 , 1 , 1)C. (3 , 1 , 1)D. (0 , 0 , 1)E. (5, -1 , 0)



12. Aşağıdaki kümelerden hangisi R2 yi gerer?

A. { (1 , 1) , (2 , 2) }B. { (0 , 0) , (1 , 1) }C. { (1 , 2) , (3 , 4) }D. { (1 , 1) , (-1 , -1) }E. { (0 , 1) , (0 , 5) }

Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. C 2. B 3. C 4. E 5. C 6. D 7. B 8. C 9. D 10. A 11. B 12. C


Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak,• Bir vektör uzayındaki vektörlerin lineer bağımlı ve lineer ba-

ğımsız olmaları kavramlarını anlayacak,• Lineer bağımlı bir kümenin özelliklerini öğreneceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 113• Lineer Bağımlılık, Lineer Bağımsızlık 113• Değerlendirme Soruları 122

ÜNİTE

5Lineer Bağımlılık ve LineerBağımsızlık




• Bu üniteyi çalışırken, bundan önceki ünitelerde olduğu gibi te-mel kavram ve tanımları iyice kavradıktan sonra çözülmüş ör-nekleri inceleyiniz.



1. GirişBundan önceki ünitede vektör uzaylarını ve alt uzaylarını inceledik. Bu ünitedesonlu sayıdaki vektörlerin lineer bağımlılık ve lineer bağımsızlık özelliklerini ince-leyeceğiz. Ayrıca bir vektör uzayındaki lineer bağımsız vektörlerin önemini kavra-yacağız.

2. Lineer Bağımlılık, Lineer BağımsızlıkBir V vektör uzayındaki x1 , x2 , ... , xk vektörlerinin kümesi E= {x1 , x2, ... , x k }olsun.

c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk = 0

eşitliğini sağlayan, hepsi aynı anda sıfır olmayan c1 , c2 , ... , ck skalerleri varsa x1 , x2 , ... , xk vektörlerine lineer bağımlı vektörler, E kümesine de lineer bağım-lı küme denir. Aksi halde yani,

c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk = 0

eşitliği ancak c1 = c2 = ... = ck = 0 için sağlanıyorsa x1 , x2 , ... , xk vektörlerine li-neer bağımsız vektörler, E kümesine de lineer bağımsız küme denir. Burada şunoktaya dikkat etmeliyiz:

c1 = c2 = ... = ck = 0 için

c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk = 0

eşitliği her zaman sağlanır, önemli olan, c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk = 0 eşitliğininyalnız ve yalnız c1 = c2 = ... = ck = 0 için sağlanmasıdır.

2.1. Örnek

R2 deki A= (1, 1) , B= (2, -3) vektörlerinin lineer bağımsız olduklarını göstere-lim. Bunun için c1 ve c2 bilinmeyen sabitler olmak üzere,

c1 (1, 1) + c2 (2, -3) = 0

(c1 + 2c2 , c1 - 3c2) = 0

alalım.

L İ N E E R B A Ğ I M L I L I K V E L İ N E E R B A Ğ I M S I Z L I K 113


Buradan,

elde edilir. Bu denklem sisteminden c1 = c2 = 0 bulunur. O halde A ve B vektör-leri lineer bağımsızdır.

2.2. Örnek

R2 de A= (1, 3) , B= (2, 6) vektörlerinin lineer bağımlı olduğunu gösterelim:

c1 (1, 3) + c2 (2, 6) = (0, 0)

(c1 + 2c2 , 3c1 + 6c2) = (0, 0)

olur. Burada c1 = 2 , c2 = -1 sistemin bir çözümü olup A ve B vektörleri lineer bağım-lıdır.

2.3. Örnek

R3 deki A= (1, 1, 0) , B= (0, 1, 0) , C= (1, 0, 1) vektörlerinin lineer bağımsız ol-duklarını gösterelim; bunun için c1 , c2 , c3 bilinmeyen sabitler olmak üzere,

c1 (1, 1, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (1, 0, 1) = (0, 0, 0)

alalım.

(c1 + c3 , c1 + c2 , c3) = (0, 0, 0)

Buradan

sistemin çözümünden c1 = c2 = c3 = 0 bulunur. O halde A, B, C vektörleri lineer ba-ğımsızdır.

L İ N E E R B A Ğ I M L I L I K V E L İ N E E R B A Ğ I M S I Z L I K114

c1 + 2 c2 = 0

3 c1 + 6 c2 = 0

c1 + 2 c2 = 0

c1 - 3 c2 = 0

c1 + c3 = 0

c1 + c2 = 0

c3 = 0


2.4. Örnek

R3 te E= {(1, 0, 1) , (2, 1, 1) , (4, 3, 1)} kümesinin lineer bağımlı olup olmadığınıaraştıralım: c1 , c2 , c3 bilinmeyen sabitler olmak üzere

c1 (1, 0, 1) + c2 (2, 1, 1) + c3 (4, 3, 1) = (0, 0, 0)

olsun.

(c1 + 2c2 + 4c3 , c2 + 3c3 , c1 + c2 + c3) = (0, 0, 0)

olur.

Buradan,

homojen lineer denklem sistemi elde edilir. Sistemin sıfır çözümden başka çözümle-rinin olması için katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır, buna göre siste-min katsayılar matrisinin determinantını bulalım:

olduğundan, sıfır çözümden başka çözümleri de vardır. Buna göre E kümesi lineerbağımlıdır.

Uyarı

(i) E kümesinin lineer bağımlı veya bağımsız olduğunu anlamak için sistemiçözmemiz gerekmez. Sıfır olmayan bir çözümün varlığını bilmek yeterlidir.

(ii) Determinantın değeri sıfırdan farklı olduğunda sıfır çözüm tek çözümdür.Bu durumda vektörler lineer bağımsızdır.

2.5. Örnek

P2 (R) de E= {1, 1 + x, 1 - x, x2 } kümesinin lineer bağımlı olup olmadı-ğını araştıralım;

a 1 + b (1 + x) + c (1 - x) + dx2 = 0 alalım.


c1 + 2 c2 + 4 c3 = 0

c2 + 3 c3 = 0

c1 + c2 + c3 = 0

1 2 4 0 1 3 1 1 1

= 1 1 - 3 + 1 6 - 4 = 0


dx2 + (b - c) x + (a + b + c) = 0 olur.

Bir polinomun sıfır polinom olması için her teriminin katsayısının sıfır olması gere-kir. Buna göre,

denklem sistemi elde edilir. Sistemin sıfır çözümden (a = b = c = d = 0) başka çözüm-leri varsa, E kümesi lineer bağımlıdır. a = -2 , b = 1 , c = 1 , d= 0 sistemin bir çözümü-dür. Sıfır çözümden başka bir çözüm bulduğumuz için E kümesi lineer bağımlıdır.

Şimdi uygulamada oldukça yararlı olan bir teoremi verelim:

2.6. Teorem

E ve F, E ⊆ F olacak şekilde V vektör uzayının sonlu iki alt kümesi olsun.

(i) E lineer bağımlı ise F de lineer bağımlıdır.

(ii) F lineer bağımsız ise E de lineer bağımsızdır.

Kanıt

E ⊆ F olacak şekilde

E = {x1 , x2 , ... , xk) ve F = {x1 , x2 , ... , xk , xk+1 , ... , xn}

kümelerini alalım.

(i) E kümesi lineer bağımlı olduğundan c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk= 0 eşitliğinisağlayan hepsi aynı anda sıfır olmayan yani, en az biri sıfırdan farklı olan c1 ,c2 , ... , ck skalerleri vardır.

ck+1 = ck+2 = ... = cn = 0 olmak üzere

c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk + 0 xk+1 + 0 xk+2 + ... + 0 xn = 0 eşitliği sağla-nır ve c1 , c2, ... , ck skalerlerinden en az biri sıfırdan farklı olduğundan

x1 , x2 , ... , xk , xk+1 , ... , xn

vektörleri lineer bağımlıdır, yani F kümesi lineer bağımlıdır.


d = 0

b - c = 0a + b + c = 0


(ii) F kümesi lineer bağımsız olsun. E kümesi için iki durum vardır; ya lineer ba-ğımlıdır ya da lineer bağımsızdır. E kümesi lineer bağımlı olamaz. Çünkü bu du-rumda (i) den F nin de lineer bağımlı olması gerekirdi. O halde E lineer bağımsız-dır.

Sonuç

Bir V vektör uzayında {0} kümesi lineer bağımlıdır. Çünkü 1. 0= 0 olur. Burada a = 0 ∈V , c = 1 ∈R alınarak lineer bağımlılık sağlanır. O halde sıfır vektörü içe-ren her küme lineer bağımlıdır.

2.7. Teorem

Bir V vektör uzayında E= { x1 , x2 , ... , xk } kümesinin lineer bağımlı olması için gereklive yeterli koşul, E deki bir vektörün, diğer vektörlerin lineer bileşimi olmasıdır.

Kanıt

E= { x1 , x2 , ... , xk } kümesi lineer bağımlı olsun. c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk = 0 eşitli-ğini sağlayacak ve en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde c1 , c2 , ... , ck skalerlerivardır. Örneğin 1 ≤ j ≤ k için cj ≠ 0 olsun. Bu durumda

yazılır ve xj vektörü diğer vektörlerin bir lineer bileşimi olur.

Tersine olarak xj vektörü diğer vektörlerin lineer bileşimi olsun:

xj = c1 x1 + ... + cj-1 xj-1 + cj+1 xj+1 + ... + ck xk

bu eşitlikten

c1 x1 + ... + cj-1 xj-1 + (-1) xj + cj+1 xj+1 + ... + ck xk = 0

elde edilir. Bu eşitliği sağlayan katsayılardan en az biri sıfırdan farklı olduğu için (xjnin katsayısı (-1)) x1 , x2 , ... , xk vektörleri lineer bağımlıdır.

2.8. Örnek

E= { (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1), (1, 1, 1) }

kümesinin lineer bağımlı olduğunu gösteriniz.


xj = - c1c j

x1 - c2c j

x2 - . . . - ckc j

xk


Çözüm

E kümesinin lineer bağımlı olduğunu göstermek için 2.7. Teorem gereğince, vektör-lerden birinin diğerlerinin lineer bileşimi olduğu gösterilmelidir,

(1, 0, 0) = a (0, 1, 0) + b (0, 0, 1) + c (1, 1, 1)

alalım.

(1, 0, 0) = (c, a + c, b + c)

olup, buradan a= -1 , b= -1 , c= 1 bulunur. Bu şekilde E kümesindeki vektörlerden bi-ri diğerlerinin lineer bileşimi olarak yazıldı. E kümesi lineer bağımlıdır. Bu örneğigenelleştirelim:

2.9. Teorem

Rn de n+1 ya da daha fazla sayıda vektör lineer bağımlıdır.

Kanıt

Rn de m > n olmak üzere m, sayıda x1 , x2 ,... , xm vektörleri verilsin. α1 , α2 , ..., αm skalerler olmak üzere,

α1 x1 + α2 x2 + ... + αm xm = 0 (1)

olacak şekilde denklemin α bilinmeyenlerine göre çözümünü araştıralım. Rn dexi (i= 1, 2, ... , m) vektörünü bileşenleri türünden

xi = (xi1 , xi2 , ... , xin)

olarak yazalım. Şimdi (1) denkleminde her vektörü bileşenleri türünden yazarsak,

α1 (x11 , x12 , ... , x1n) + α2 (x21 , x22 , ... , x2n) + ... + αm (xm1 , xm2 , ... , xmn) = (0, 0, ... , 0)

veya

(α1 x11 + α2 x21 + ... + αm xm1 , α1 x12 + α2 x22 + ... + αm xm2 , α1 x1n + α2 x2n + ... + αm xmn) = (0, 0, ... , 0)

olur. Şimdi iki sıralı n-linin eşitliğini ve α1 , α2 , ... , αm lerin bilinmeyenler oldu-ğunu gözönüne alarak, aşağıdaki m bilinmiyenli n denklemden oluşan homojen li-neer denklem sistemini elde ederiz.



Burada m > n bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazla olduğundan sisteminkatsayılar matrisinin rankı bilinmeyen sayısından küçüktür. Bu nedenle daima sı-fırdan farklı bir çözümü vardır. O halde, verilen m sayıdaki x1 , x2 , ... , xm vek-törleri kümesi Rn de lineer bağımlı bir kümedir.

Bu teoreme göre örneğin, R3 deki 4 veya daha fazla, R4 deki 5 veya daha fazlavektör lineer bağımlıdır.

2.10. Örnek

R2 de e1 = (1, 0) , e2 = (0, 1) vektörlerine standart birim vektörler denir. R2 destandart birim vektörler lineer bağımsızdır. Gerçekten,

c1 e1 + c2 e2 = c1 (1, 0) + c2 (0, 1)= (c1 , c2) = (0, 0)

buradan

c1 = c2 = 0

olur.

Benzer şekilde, R3 de e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) vektörlerinestandart birim vektörler denir. R3 deki standart birim vektörler lineer bağımsız-dır. Gerçekten,

c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 = c1 (1, 0, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0) = (c1 , c2 , c3) = (0, 0, 0)

buradan

c1 = c2 = c3 = 0

olur.


x11 α1 + x21 α2 + . . . + xm1 αm = 0 x12 α1 + x22 α2 + . . . + xm2 αm = 0

x1n α1 + x2n α2 + . . . + xmn αm = 0


Benzer şekilde Rn deki,

vektörlerine standart birim vektörler denir. Rn deki e1 , e2 , ... , en standart birimvektörler lineer bağımsızdır.

c1 e1 + c2 e2 + ... + cn en = c1 (1, 0, ..., 0) + c2 (0, 1, ..., 0) + ... + cn (0, 0, ... , 1)= (c1 , c2 , ... , cn) = (0, 0, ... , 0)

buradan

c1 = c2 = ... = cn = 0

olur.

R2 , R3 , ... , Rn deki standart birim vektörlerinin oluşturduğu matrislerin

basamak biçiminde olduğu hemen görülür.

2.9. Teorem gereğince, R3 de E= {(1, 2, -1) , (3, 0, 0) , (1, -2, 1) , (4, 2, 1)} kümesi li-neer bağımlıdır. Satırları E kümesinin öğeleri olan A matrisini oluşturarak basamakbiçime indirgeyelim:


e1 = 1 , 0 , . . . , 0 e2 = 0 , 1 , . . . , 0

ei = 0 , 0 , . . . , 1 , . . . , 0 ,

en = 0 , 0 , . . . , 1

1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0

0 0 1

A =

1 2 -1 3 0 0 1 -2 1 4 2 1

~

1 2 -1 0 2 -1 0 0 0 0 0 2


elde edilir. Basamak matrisin sıfır olmayan satırları yani, (1, 2, -1) , (0, 2, -1) , (0, 0, 2)vektörleri R3 de lineer bağımsızdır.

Bu durum genelde de geçerlidir. Bununla ilgili teoremi verelim:

2.11. Teorem

Basamak biçimindeki bir matrisin sıfır olmayan satırları lineer bağımsızdır.

Kanıt

Basamak biçimindeki bir matrisin sıfır olmayan satırları ν1 , ν2 , ... , νn ol-sun. { ν1 , ν2 , ... , νn } kümesinin lineer bağımsız olduğunu göstereceğiz. Varsa-yalım ki, { ν1 , ν2 , ... , νn } kümesi lineer bağımlı olsun. Bu durumda vektörler-den biri diğerlerinin lineer bileşimi olarak, örneğin, ν1 kendinden sonra gelenle-rin bir lineer bileşimi olarak yazılır.

ν1 = c2 ν2 + c3 ν3 + ... + cn νn (1)

Burada v1 in i. bileşeninin sıfır olmayan ilk bileşen olduğunu kabul edelim. ν1 , ν2 , ... , vn vektörlerinin oluşturduğu matris, basamak biçiminde oldu-ğundan ν2 , ν3 , ... , νn vektörlerinin i. bileşenleri sıfırdır. Bu durum, (1) eşitliğin-de ν1 in i. bileşeninin sıfır olmaması ile çelişir. O halde { ν1 , ν2 , ... , νn } kü-mesi lineer bağımsızdır.

2.12. Örnek

R üzerinde 2x2 tipindeki matrisler kümesi M22 nin matris toplamı ve skaler ilematris çarpımına göre vektör uzayı olduğunu biliyoruz. A, B, C, ∈ M22

vektörlerinin lineer bağımlı olup olmadıklarını araştıralım.

c1 A + c2 B + c3 C = 0

olsun.


A = 1 1 0 1

, B = -1 0 1 1

, C = 1 3 2 0


İki matrisin eşitliğinden

homojen lineer denklem sistemi çözülürse;

c1 = c2 = c3 = 0

sıfır çözüm elde edilir. Böylece c1 A + c2 B + c3 C = 0 eşitliği yalnız c1 = c2 = c3 =0 için sağlanıyor. O halde A, B, C matrisleri lineer bağımsızdır.

Değerlendirme Soruları1. R3 te verilen aşağıdaki vektörlerden hangisi (1, 3, 0) , (0, 2, 1) vektörlerinin

lineer bileşimidir?

A. (1, 5, 2)B. (2, 12, 0)C. (-1, -5, 0)D. (0, 4, 2)E. (1, 0, 5)

2. P2 (R) de verilen aşağıdaki vektörlerden hangisi p(x)= x2 + 3x + 1 , q(x)= x2 -x vektörlerinin bir lineer bileşimidir?

A. x2 + 7x + 2B. x2 - 3xC. 2x + 1D. 2x2 + 4x + 5E. 4x2 + 5


c1 - c2 + c3 = 0

c1 + 3 c3 = 0

c2 + 2c3 = 0

c1 + c2 = 0

c1 1 1 0 1

+ c2 -1 0 1 1

+ c3 1 3 2 0

= 0 0 0 0

c1 c1

0 c1 +

-c2 0c2 c2

+ c3 3c3

2c3 0 = 0 0

0 0

c1 - c2 + c3 c1 + 3c3

c2 + 2c3 c1 + c2 = 0 0

0 0


3. M22 de verilen aşağıdaki vektörlerden hangisi

vektörlerinin lineer bileşimi değildir?

A.

B.

C.

D.

E.

4. Aşağıdaki kümelerden hangisi R2 yi germez?

A. {(1, 2) , (0, 1)}B. {(0, 0), (1, 1)}C. {(1, 2) , (3, 4)}D. {(1, 2), (1, 1), (0, 1)}E. {(1,1) , (2, 0)}

5. R3 de verilen aşağıdaki kümelerden hangisi lineer bağımsızdır?

A. {(1, 1, 1), (2, 0, 1), (3, -1, 0), (1, 0, 0)}B. {(0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, -1, 0)}C. {(0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}D. {(1, 2, 3), (0, 1, 2) , (0, 2, 4)}E. {(-1, 7, 1), (-3, 1, 5), (1, 3, -2)}

6. P2 (R) de verilen aşağıdaki kümelerden hangisi lineer bağımsızdır?

A. { x, x + 2, x2 + x + 1}B. { 1, 1 + x, 2 + 2x }C. { x2 + 1, x2, x2 + x , x2 + 2 }D. { 0, 1 + x, 1 + x + x2 }E. { 2, 5, x + 1}


1 1 0 1

, 3 -1 0 4

, 0 1 0 2

0 0 0 0

0 6 0 0

4 1 0 7

4 2 2 11

5 2 0 9


7. E = {(1, 2, 3) , (0, 1, 0) , (2, 4, x)} kümesinin lineer bağımlı olması için x ne ol-malıdır?

A. -1

B. 0

C.

D. 6

E.

8. P1 (R) de verilen {1 + x, 2 + t2 + 2x} kümesinin lineer bağımlı olması için tne olmalıdır?

A. 0B. 2C. 3D. 4E. 9

9. Aşağıdaki kümelerden hangisi P2 (R) yi gerer?

A. { 1, 1 + x, 3 + 5x }B. { 0, x, x2 }C. { 5, 1 + x, 1 + x + x2 }D. { 1, 2x2 }E. { x + x2, x - x2 }

10. x = (1, 2, 1, 3) , y = (1, -1, 2, 0) , z = (1, a, 2, b) vektörlerinin lineer bağımlıolması için a ve b ne olmalıdır?

A. a = 1b = 2

B. a = 0b = 1

C. a = -1b = 0

D. a = 2b = 0

E. a = 0b = 0


12

- 32


11. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A. E = { x1 , x2 , ... , xk } lineer bağımsız bir küme ise E nin herhangi bir vek-törü diğer vektörlerin lineer bileşimi olarak yazılabilir.

B. S1 ve S2 , S1 ⊆ S2 olacak şekilde V vektör uzayının sonlu iki alt kümesiolsun. S2 lineer bağımlı ise S1 lineer bağımsız olabilir.

C. ν1 ve ν2 vektörleri eşit ise (ν1 = ν2) bu vektörler lineer bağımsızdır.D. S1 ve S2 , V vektör uzayının sonlu iki alt kümesi olsun. S1 lineer bağım-

sız, S2 lineer bağımlı ise S1 ve S2 kümelerinin birleşim kümesi lineerbağımsız olabilir.

E. a ve b lineer bağımsız iki vektör ise a ve a + b lineer bağımlıdır.

Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. D 2. A 3. D 4. B 5. C 6. A 7. D 8. A 9. C 10. C 11. B



Yararlanılan ve Başvurulabilecek KaynaklarEdwards, C.H., Penney, E. David. Elementary Linear Algebra. Prentice Hall Inter-

national, Inc. New Jersey, 1988.

Göğüş, M., Koçak, Ş., Tayfur, C., Üreyen, M. Lineer Cebir Ders Notları, Eskişehir,1988.

Kolman, Bernard. Introductory Linear Algebra with Applications, MacmillanPublishing Company, New York, 1990.

Larry, Smith (Çev: Göğüş, M. vd.), Lineer Cebir, Anadolu Üniversitesi, 1993.

126

ANADOLU ÜNİVERSİTESİAÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİLİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI

Cebir

Ünite 6. 7. 8.9. 10

Lineer

CebirLineer

Yazar:Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN

Editör: Prof.Dr. Orhan ÖZER

T.C. ANADOLU ÜN İVERS İTES İ YAYINLARI NO: 1074

AÇIKÖĞRET İM FAKÜLTES İ YAYINLARI NO: 589

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

Bu kitabın basım, yayım ve satış haklarıAnadolu Üniversitesine aittir.

"Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır.

İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya dabölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt

veya başka şekillerde çoğaltılamaz,basılamaz ve dağıtılamaz.

Copyright © 1998 by Anadolu University

All rights reserved

No part of this book may be reproducedor stored in a retrieval system, or transmitted

in any form or by any means mechanical, electronic,photocopy, magnetic tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN

ISBN 975 - 492 - 829 - 0

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Bir vektör uzayının boyut kavramını anlayacak,• Çeşitli boyutlardaki vektör uzaylarını tanıyacak,• Bir vektör uzayının taban kavramını ve tabandaki vektörlerin

özelliklerini öğrenecek,• Sonlu boyutlu bir vektör uzayı için bir çok taban yazabilecek,• Bir matrisin satır ve sütun uzaylarını öğrenecek,• Bir matrisin rankı ile satır (sütun) uzayının boyutu arasındaki

ilişkiyi göreceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 129• Sonlu Boyutlu Vektör Uzayları 129• Bir Vektör Uzayının Tabanı 130• Bir Matrisin Satır ve Sütun Uzayları 138• Değerlendirme Soruları 143

ÜNİTE

6Vektör Uzaylarında Taban veBoyut

YazarÖğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN



• Bu üniteyi çalışmaya başlamadan önce 4. ve 5. üniteleri gözdengeçiriniz.

• Temel kavram ve tanımları iyice öğreniniz.• Okuyucuya bırakılan soruları çözünüz.


1. GirişBu ünitede sonlu boyutlu vektör uzaylarının yapısını daha ayrıntılı bir şekilde ince-leyeceğiz. Vektör uzayını bütünüyle tanımlayan sonlu sayıdaki vektörlerin özellik-lerini göreceğiz.

2. Sonlu Boyutlu Vektör UzaylarıBir V vektör uzayında sonlu bir E alt kümesi V uzayını geriyorsa, yani L(E) = V iseV'ye sonlu boyutlu bir vektör uzayı denir. Bir vektör uzayı sonlu boyutlu değilse,sonsuz boyutlu vektör uzayı denir. Şimdi sonlu boyutlu vektör uzaylarına örneklerverelim.

2.1. Örnek

R2 sonlu boyutludur:

E = { (1, 0), (0, 1) } ⊂ R2 kümesi R2 yi gerer. Daha önce gördüğümüz gibi, R2

nin herhangi bir A = (x, y) vektörü E kümesindeki vektörlerin lineer bileşimi olarakyazılabilir:

(x, y) = a (1, 0) + b (0, 1)

şeklinde yazdığımızda a = x, b = y bulunur.

(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1)

Örneğin A = (3, 4) vektörü

(3, 4) = 3 (1, 0) + 4 (0, 1)

olarak yazılır. Böylece R2 = L { (1, 0), (0, 1) } olur. E kümesi sonlu olduğundan R2

sonlu boyutludur.

2.2. Örnek

Rn sonlu boyutludur. Gerçekten,

e1 = (1, 0, ..., 0)e2 = (0, 1, ..., 0)...en = (0, 0, ..., 1)

V E K T Ö R U Z A Y L A R I N D A T A B A N V E B O Y U T 129


standart birim vektörlerinin oluşturduğu E = { e1, e2 , ... , en } kümesi Rn ni gerer,yani Rn nin her vektörü E deki vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılır:

Her A = (x1 , x2 , ..., xn) ∈ Rn için

(x1 , x2 , ..., xn) = x1e1 + x2e2 + ... + xnen

dir. E = { e1 , e2 , ..., en } kümesi sonlu olduğu için Rn de sonlu boyutludur.

2.3. Örnek

Derecesi n veya n den küçük olan bütün polinomların vektör uzayı Pn(R), son-lu boyutludur. Çünkü E = { 1, x , x2, ... , xn } kümesi Pn(R) vektör uzayını gerer ya-ni Pn(R) nin her vektörü, E deki vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılır:

p(x) ∈ Pn(R) ise c0 , c1 , c2 , ... , cn ∈ R olmak üzere

p(x) = c01 + c1x + c2x2 + ... + cnxn

dir. E = { 1, x , ... , xn } sonlu olduğundan Pn(R) de sonlu boyutludur.

Vektör uzayındaki bir alt kümenin hem lineer bağımsız olması hem de o vektör uza-yını germesi oldukça önemlidir. Şimdi bu kavramı biraz daha genişletelim:

3. Bir Vektör Uzayının TabanıV bir vektör uzayı ve E = { x1 , x2 , ... , xn } ⊂ V olsun. Eğer E kümesi aşağıdaki iki koşulusağlıyorsa E ye V nin bir tabanı veya bazı denir.

(i) E lineer bağımsız bir kümedir.(ii) L(E) = V yani E, V yi geren bir kümedir.

3.1. Örnek

E = { (1, 0), (0, 1) } kümesini alalım. Daha önce E kümesinin hem lineer bağımsız oldu-ğunu hem de R2 yi gerdiğini gösterdik. O halde E kümesi R2 için bir tabandır vebu tabana R2 nin standart tabanı denir.

{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } kümesi R3 ün standart tabanı,{ (1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) } kümesi R4 ün standart tabanı...{ (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) } kümesi de Rn in standart tabanıdır.

V E K T Ö R U Z A Y L A R I N D A T A B A N V E B O Y U T130


3.2. Örnek

F = { (1, 1), (-1, 0) } kümesi R2 için bir taban mıdır?

Çözüm

F kümesinin R2 nin bir tabanı olması için lineer bağımsız ve germe özelliklerinisağlaması gerekir.

(i) (1, 1), (-1, 0) vektörlerinin lineer bağımsızlığını araştıralım:

a (1, 1) + b (-1, 0) = (0, 0)(a - b, a) = (0, 0)

buradan a = b = 0 bulunur.

F kümesi lineer bağımsızdır.

(ii) (1, 1), (-1, 0) vektörlerinin R2 yi gerdiğini araştıralım: Bunun için (x, y) ∈ R2

olmak üzere,

(x, y) = a (1, 1) + b (-1, 0)

eşitliğindeki a, b sayılarını bulmalıyız.

(x, y) = (a - b, a)

buradan

a = y ve b = y - x bulunur,

böylece

(x, y) = y (1, 1) + (y - x) (-1, 0)

olup (x, y) ∈ L { (1, 1), (-1, 0) } dır. O halde L(F) = R2 dir. Böylece F = { (1, 1), (-1, 0) } kümesi de R2 için bir tabandır.

3.3. Örnek

{ 1, x, x2 } kümesi P2(R) vektör uzayı için bir taban mıdır?

Çözüm

Lineer bağımsızlık ve germe özelliklerini kontrol etmeliyiz:



{ 1, x, x2 } kümesi lineer bağımsızdır. Çünkü kümenin öğelerinden hiçbiri diğerleri-nin lineer bileşimi şeklinde yazılamaz (kontrol ediniz).

{ 1, x, x2 } kümesi P2(R) kümesini gerer. Gerçekten, p(x) ∈ P2(R) ise a0 , a1, a2 ∈ Riçin p(x) = a01 + a1x + a2x2 dir.

Böylece { 1, x, x2 } kümesi hem lineer bağımsız hem de P2(R) yi gerer. O haldePn(R) için bir tabandır. Bu tabana P2(R) nin standart tabanı denir.

{ 1, x, x2, x3 } kümesi P3(R) nin standart tabanı,{ 1, x, x2, x3, x4 } kümesi P4(R) nin standart tabanı...{ 1, x, x2, ..., xn } kümesi de Pn(R) nin standart tabanıdır (kontrol ediniz).

3.4. Teorem

E = { x1 , x2 , ... , xn } kümesi V vektör uzayı için bir taban olsun. F = { y1 , y2 , ... , yr} kümesi V'de lineer bağımsız bir küme ise r ≤ n dir. Dolayısıyla V içindeki n + 1 veyadaha fazla vektör lineer bağımlıdır.

Kanıt

Teoremin kanıtını Ünite 5'deki 2.9 Teoreminin kanıtına benzer şekilde yapabilirsi-niz.

Sonlu boyutlu bir vektör uzayının birden çok tabanı vardır. 3.1. Örnek ve 3.2. Örnek-te R2 nin iki farklı tabanı verildi. Bu farklı tabanlardaki vektörlerin sayısı aynıdır.Aslında bu sonuç herhangi bir vektör uzayı için de geçerlidir. Bu sonucu aşağıdakiteoremle kanıtlayalım.

3.5. Teorem

Sonlu boyutlu bir vektör uzayının herhangi iki tabanındaki vektörlerin sayısı aynı-dır.

Kanıt

E = { x1 , x2 , ... , xn } ve F = { y1 , y2 , ... , ym } kümeleri V nin farklı iki tabanı olsun. E ve Fkümeleri taban oldukları için lineer bağımsızdırlar. E kümesi bir taban ve F de lineerbağımsız olduğu için 3.4. Teorem gereğince m ≤ n dir.

Benzer şekilde, F taban ve E de lineer bağımsız olduğu için n ≤ m olur. Böylece m = nelde edilir. Sonuç olarak, sonlu boyutlu bir vektör uzayının bir çok tabanı vardır veher tabandaki vektörlerin sayısı aynıdır.



3.6. Tanım

Sonlu boyutlu bir V vektör uzayının herhangi bir tabanındaki vektörlerin sayısına Vnin boyutu denir ve boyV ile gösterilir.

Örneğin R2 deki e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) standart vektörlerin E = { e1 , e2 } kümesi R2

nin standart tabanıdır. Buna göre boy R2 = 2 dir.

V = { 0 } vektör uzayı 0 boyutlu olarak tanımlanır. Bundan başka;

boyR3 = 3 , boyR4 = 4 , ... , boyRn = n

dir.

Standart tabanlarını yazdığımız Pn(R) n≥ 1 vektör uzaylarının boyutları da,

boy P1(R) = 2 , boy P2(R) = 3 , ... , boy Pn(R) = n + 1

dir.

Siz de R2, R3, R4, P1(R), P2(R), P3(R) vektör uzayları için başka tabanlar yazı-nız, tabandaki vektörlerin sayısını belirtiniz.

3.7. Örnek

R üzerinde tanımlı 2x3 tipindeki matrislerin vektör uzayı M2x3 için

vektörleri bir taban oluşturur (kontrol ediniz).

Buradan boy M2x3 = 6 olduğu görülür.

Siz de M3x4 vektör uzayı için bir taban yazınız ve boy M3x4 ü belirtiniz.

Buraya kadar sonlu boyutlu vektör uzaylarını inceledik. Sonlu boyutlu olmayanvektör uzayları da vardır. Bu tür vektör uzayları sonlu kümeler tarafından gerile-mez. Örneğin, bütün polinomların oluşturduğu P(R) vektör uzayı, sonlu boyutludeğildir. Çünkü, hiçbir sonlu küme P(R) yi geremez.

Uyarı: P(R) vektör uzayı ile P1(R) vektör uzayını birbiri ile karıştırmayınız!


?

1 0 00 0 0

, 0 1 00 0 0

, 0 0 10 0 0

, 0 0 01 0 0

, 0 0 00 1 0

, 0 0 00 0 1

?


3.8. Teorem

V n-boyutlu bir vektör uzayı ve E = { x1 , x2 , ... , xn } kümesi de V nin bir tabanı olsun.Bu durumda V deki her x vektörü tabandaki vektörlerinin bir lineer bileşimi olaraktek türlü yazılır.

Kanıt

E kümesi V vektör uzayını gerdiği için V deki her x vektörü E deki vektörlerin birlineer bileşimi olarak yazılır. Bu yazılışın tek türlü olduğunu gösterelim. Varsaya-lım ki x vektörü

x = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn (1)x = d1x1 + d2x2 + ... + dnxn (2)

şeklinde iki türlü yazılsın. (1) ve (2) denklemlerini taraf tarafa çıkartalım.

0 = (c1 - d1) x1 + (c2 - d2) x2 + ... + (cn - dn) xn

elde edilir. E kümesi lineer bağımsız olduğundan

c1 - d1 = c2 - d2 = ... = cn - dn = 0

böylece c1 = d1 , c2 = d2 , ..., cn = dn olur.

x = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

yazılışındaki c1 , c2 , ... , cn katsayılarına x vektörünün { x1 , x2 , ... , xn } tabanına görekoordinatları denir ve (c1 , c2 , ... , cn) şeklinde gösterilir.

3.9. Örnek

R2 nin { (1 , 2), (1 , -1) } tabanına göre (2 , -5) vektörünün koordinatlarını bulalım.

(2 , -5) vektörü tabandaki vektörlerin lineer bileşimi olarak yazılabileceğinden

(2 , -5) = c1 (1, 2) + c2 (1, -1)

olacak şekilde c1 ve c2 skalerleri vardır.

(2 , -5) = (c1 + c2 , 2c1 - c2)

buradan c1 = -1, c2 = 3 bulunur. Böylece (2, -5) vektörünün verilen tabana görekoordinatları -1, 3 olur.



R2 nin standart tabanına göre (2, -5) vektörünün koordinatlarının 2, -5 olduğunugörünüz.

3.10. Örnek

R üzerinde tanımlı 2x2 tipindeki matrislerin vektör uzayı M2x2 olduğuna göre

(i)

(ii)

Çözüm

(i) nin çözümünü size bırakalım.

(ii) c1 , c2 , c3 , c4 skalerler olmak üzere,

lineer bileşimini yazalım.

iki matrisin eşitliğinden

c1 + c3 + c4 = 1c2 + c3 - c4 = 2

c1 = 3-c1 + 2c3 = 5

Şimdi sonlu boyutlu bir vektör uzayında verilen bir kümenin, taban olup olmadığı-nı kontrol etmek için kullanabileceğiniz yararlı bir teoremi kanıtsız olarak verelim.


E = 1 01 -1

, 0 10 0

, 1 10 2

, 1 -10 0

kümesinin M2x2 için bir taban oldu-

ğunu gösteriniz. A ∈ M2x2 , A = 1 2

3 5 vektörünün bu tabana göre koordinatlarını bulunuz.

bulunur. Buradan c1 = 3, c2 = -8, c3 = 4, c4 = -6 çıkar. O halde 1 23 5

vektörünün

verilen tabana göre koordinatları (3, -8, 4, -6) dır.

1 23 5

= c1 1 01 -1

+ c2 0 10 0

+ c3 1 10 2

+ c4 1 -10 0

1 23 5

= c1 + c3 + c4 c2 + c3 - c4

c1 -c1 + 2c3


3.11. Teorem

V n-boyutlu bir vektör uzayı ve E = { x1 , x2 , ..., xn } kümesi de V nin bir alt kümesiolsun.

(i) E kümesi lineer bağımsız ise V nin bir tabanıdır.(ii) E kümesi V yi gererse, V nin bir tabanıdır.

Şimdi yukarıdaki örneği tekrar dönelim ve (i) şıkkını bu teoremden yararlanarakçözelim:

boyM2x2 = 4 ve E kümesinin öğe sayısı da 4 olduğu için E nin sadece lineer ba-ğımsız olduğunu veya sadece M2x2 yi gerdiğini görmek yeterli olacaktır. E nin li-neer bağımsızlığına bakalım;

olsun.

iki matrisin eşitliğinden,

c1 + c3 + c4 = 0c2 + c3 - c4 = 0

c1 = 0-c1 + 2c3 = 0

bulunur. Buradan, c1 = c2 = c3 = c4 = 0 tek çözüm elde edilir. O halde E kümesi li-neer bağımsızdır. Bundan böyle, n-boyutlu bir vektör uzayında n tane vektörün ta-ban oluşturup oluşturmadığını kontrol etmek için bu vektörlerin sadece lineer ba-ğımsızlığını veya sadece vektör uzayını gerdiklerini aramak yeterlidir.

Şimdi yine bu teoremden yararlanarak vektör uzayları için taban bulalım.

3.12. Örnek

R2 için bir taban bulunuz.


E = 1 01 -1

, 0 10 0

, 1 10 2

, 1 -10 0

kümesinin M2x2 matrislerin vektör uza-

yı için bir taban olup olmadığını kontrol edelim.

c1 1 01 -1

+ c2 0 10 0

+ c3 1 10 2

+ c4 1 -10 0

= 0 00 0

c1 + c3 + c4 c2 + c3 - c4

c1 -c1 + 2c3 = 0 0

0 0


Çözüm

boy R2 = 2 olduğu için R2 deki lineer bağımsız herhangi iki vektör daima bir ta-ban oluşturur.

{ (1, 1), (1, 0) }, { (-1, 2), (1, 0) }, { (3, 5), (1, 2) }

kümelerinin herbiri R2 için bir tabandır.

3.13. Örnek

R3 için bir taban bulunuz.

Çözüm

boy R3 = 3 olduğu için R3 deki lineer bağımsız herhangi üç vektör daima bir ta-ban oluşturur, buna göre,

{ (1, 0, 3), (0, 2, 1), (1, 3, 0) } kümesi bir tabandır.

Siz de R3 için başka tabanlar yazınız.

3.14. Örnek

E = { x+1, x2, x2 +1 } kümesi P2 (R) için bir taban mıdır?

Çözüm

boy P2 (R) = 3 olduğundan verilen 3 vektörün lineer bağımsızlığını aramak yeter-li olacaktır.

c1 (x + 1) + c2 x2 + c3 (x2 + 1) = 0(c2 + c3) x2 + c1 x + (c1 + c3) = 0

bir polinomun sıfır polinom olması için her teriminin katsayısı sıfır olmalıdır,

c2 + c3 = 0c1 = 0

c1 + c3 = 0

eşitliğinden c1 = c2 = c3 = 0 bulunur. O halde E kümesi P2 (R) için bir tabandır.


?


4. Bir Matrisin Satır ve Sütun Uzayları

4.1. Tanım

şeklinde verilen A = (aij)mxn matrisinin satırları,

x1 = (a11 , a12 , ... , a1n) ,x2 = (a21 , a22 , ... , a2n) ,:xm = (am1 , am2 , ... , amn) ,

Rn vektör uzayındaki vektörler olarak düşünülürse, { x1 , x2 , ... , xm } kümesi,Rn nin bir alt uzayını gerer (üretir). Bu alt uzaya A = (aij)mxn matrisinin satır uzayı denir. A = (aij)mxn matrisinin sütunları,

Rm vektör uzayındaki vektörler olarak düşünülürse, { y1 , y2 , ... , yn } kümesi, Rm ninbir alt uzayını gerer. Bu alt uzaya da A = (aij)mxn matrisinin sütun uzayı denir.Aşağıdaki A matrisinde bunları görelim.

A matrisinin satır vektörleri

(1, 2, 0, -1) , (0, -1, 4, 2) , (3, 0, 1, 5)

dir. A nın satır uzayı R4 deki bu 3 vektörün gerdiği uzaydır. Daha önce gördüğü-müz gibi bu 3 vektörün gerdiği satır uzayı

L { (1, 2, 0, -1) , (0, -1, 4, 2) , (3, 0, 1, 5) }

dır. A nın sütun vektörleri


y1 =

a11

a21

am1

, y2 =

a12

a22

am2

, yn =

a1n

a2n

amn

,

A = 1 2 0 -1 0 -1 4 2 3 0 1 5

A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn mxn


dir. A nın sütun uzayı da R3 deki bu 4 vektörün gerdiği uzaydır. Bu sütun uzayı

L { (1, 0, 3) , (2, -1, 0) , (0, 4, 1) , (-1, 2, 5) }

dir.

4.1. Tanımda verilen A matrisine tekrar dönelim.

(i) A matrisinin herhangi iki satırını kendi aralarında değiştirdiğimizde A nınsatır uzayı değişmez.

(ii) A matrisinin herhangi bir satırını sıfırdan farklı bir sayı ile çarptığımızda Anın satır uzayı değişmez.

(iii) A matrisinin herhangi bir satırını sıfırdan farklı bir sayı ile çarpıp, diğer birsatırına eklediğimizde A nın satır uzayı değişmez.

O halde A matrisine sonlu sayıda ilkel satır işlemleri uygulandığında A nın satıruzayının değişmeyeceği açıktır. İlkel satır işlemleriyle A dan elde edilen basamakmatrisinin A nın bir denk matrisi olduğunu biliyoruz. Aşağıda vereceğimiz teore-min kanıtı bu nedenlerle açıktır.

4.2. Teorem

A = (aij)mxn , B = (bij)mxn matrisleri denk matrisler ise bunların satır uzayları bir-birine eşittir.

Bu teoremden şu sonuç elde edilir: Bir A = (aij)mxn matrisi verildiğinde bununbasamak biçimi B = (bij)mxn ise A ve B matrislerinin satır uzayları eşittir. Ayrıcabasamak matrisin sıfırdan farklı satırları, satır uzayı için bir taban oluşturur. Bu aynızamanda Rn de verilen vektörler tarafından gerilen (oluşturulan) alt uzay için ta-ban bulma yöntemidir. Şimdi buna bir örnek verelim:

4.3. Örnek

E = { (1, 2, -1, - 6) , (3, -1, 2, 11) , (2, 5, - 4, -20) } kümesinin gerdiği R4 ün V alt uza-yı için bir taban bulalım: (Neden R4?)


A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn mxn

103

, 2-1 0

, 041

, -1 2 5


E kümesinin gerdiği V alt uzayı, satırları E deki vektörler olan A = (aij)3x4 matri-sinin satır uzayıdır. Bu satır uzayı (V alt uzayı) için bir taban arıyoruz:

Bu tabanı bulmak için;

(i) Satırları verilen vektörler olan matris oluşturulur,(ii) Bu matris, ilkel satır işlemleri ile basamak biçime indirgenir,(iii) Basamak matrisin sıfırdan farklı olan satırları, V alt uzayı için bir tabandır.

Buna göre satırları verilen vektörler olan matris

olur. Bu matrise ilkel satır işlemlerini uygulayarak basamak biçime indirgeyelim(Ünite 1'e bakınız).

bulunur. A ve B matrislerinin satır uzayları aynı olduğundan B nin sıfırdan farklı sa-tırları, A matrisinin satır uzayı için bir taban oluşturur bir başka deyişle,

{ (1, 2, -1, -6) , (0, 1, -2, -8) , (0, 0, 1, 3) }

kümesi R4 ün V alt uzayı için bir tabandır. Ayrıca boyV = 3 (satır uzayının boyu-tu) tür.

4.4. Tanım

A = (aij)mxn matrisinin satır uzayının boyutuna A nın satır rankı, sütun uzayınınboyutuna da A nın sütun rankı denir.

4.3. Örnekteki A matrisinin satır rankı 3 tür (sıfırdan farklı satır sayısı).

4.5. Örnek


A = 1 2 -1 -63 -1 2 112 5 -4 -20

B = 1 2 -1 -6 0 1 -2 -8 0 0 1 3

R3 teki 132

, 2-1 5

, -1 2-4

, -6 11-20

vektörlerinin gerdiği V alt uzayı için bir

taban bulalım.


Bunun için satırları verilen vektörler olan matrisi oluşturalım:

İlkel satır işlemleri ile basamak biçime indirgeyelim:

C ve D matrislerinin satır uzayları aynıdır. D nin sıfırdan farklı satırları, C nin satıruzayı için bir taban oluşturur bir başka deyişle, { (1, 3, 2) , (0, 1, -1/7) , (0, 0, 1) } kümesiR3 ün V alt uzayı için bir tabandır. Ayrıca boyV = 3 (satır uzayının boyutu) tür.

4.5. Örnekteki C matrisinin 4.3. Örnekteki A matrisinin transpozesi olduğuna dik-kat edersek, A matrisinin satır rankının sütun rankına eşit olduğunu görürüz. Buherhangi bir matris için daima doğrudur. Genel durumu aşağıdaki teoremle ifadeedelim.

4.6. Teorem

Bir A = (aij) matrisinin satır rankı ve sütun rankı birbirine eşittir.

Kanıt

Lineer Cebir kitaplarında bulabileceğiniz bu kanıtı yapmanız için size bırakalım.

Burada, A = (aij)mxn matrisinin satır uzayının veya sütun uzayının boyutu Amatrisinin rankıdır. Bir vektör uzayının boyutunun, onun herhangi bir tabanındakivektörlerin sayısı olduğunu anımsarsak, A nın rankı, basamak biçimindeki matrisintüm lineer bağımsız vektörlerinin sayısıdır. Böylece bir matrisin satır veya sütunuzayının boyutu ile matrisin rankı arasındaki ilişkiyi görmüş olduk.

Şimdi Rn de v1 , v2 , ..., vn gibi verilen n tane vektörün lineer bağımsız olup olma-dıklarını belirlemeye yarayan bir yöntem verelim:


D =

1 3 2

0 1 - 17

0 0 1

0 0 0

C =

1 3 2 2 -1 5 -1 2 -4 -6 11 -20


Rn de v1 , v2 , ... , vn vektörlerinin kümesi E olsun.

E = { v1 , v2 , ... , vn } kümesinin lineer bağımsız olması için

c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0

eşitliğinin ancak c1 = c2 = ... = cn = 0 olmasıyla sağlandığını biliyoruz.

v1 , v2 , ..., vn ∈ Rn için

v1 = (a11 , a12 , ... , a1n)v2 = (a21 , a22 , ... , a2n):vn = (an1 , an2 , ... , ann)

olsun.

c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0

eşitliğinde her vektörü bileşenleri türünden yazarsak,

c1 (a11 , a12 , ..., a1n) + c2 (a21 , a22 , ..., a2n) + ... + cn (an1 , an2 , ..., ann) = (0, 0, ..., 0)

(c1a11 + c2a21 + ... + cnan1 , c1a12 + c2a22 + ... + cnan2 , ... , c1a1n + c2a2n + ... + cnann )= (0, 0, ..., 0)

burada c1 , c2 , ... , cn ler bilinmeyenler olduğuna göre,

a11c1 + a21c2 + ... + an1cn = 0a12c1 + a22c2 + ... + an2cn = 0:a1nc1 + a2nc2 + ... + anncn = 0

homojen lineer denklem sistemi elde edilir. Sistemin tek çözümünün sıfır çözüm ol-ması için katsayılar matrisinin determinantının sıfırdan farklı olması gerektiğini bi-liyoruz. O halde v1 , v2 , ..., vn vektörlerinin lineer bağımsız olmaları için

olmalıdır.

(1, 2, 0) , (0, 1, 4) , (3, 1, 2) vektörlerinin lineer bağımsız olup olmadığını araştıralım:


a11 a21 an1

a12 a22 an2

a1n a2n ann

≠ 0


olduğundan verilen vektörler lineer bağımsızdır.

Değerlendirme Soruları1. Aşağıdaki kümelerden hangisi R2 için bir tabandır?

A. { (0, 0) , (1, 5) } B. { (1, 2), (2, 3), (2, 4) }C. { (2, 4), (-4, -8) } D. { (1, 5), (3, 1) }E. { (1, 1) , (-1, -1) }

2. Aşağıdaki kümelerden hangisi R3 için bir tabandır?

A. { (1, 1, 0) , (0, 1, 1) } B. { (1, 2, 3) }C. { (1, 2, 3) , (1, 0, 1) , (0, 1, 0) } D. { (1, 1, 1) , (2, 2, 2) , (3, 3, 3) }E. { (1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (0, 1, 1) , (0, 0, 0) }

3. Aşağıdaki kümelerden hangisi P2(R) için bir tabandır?

A. { 1, x+1, x-2 } B. { 0, x+2, x2+3 }C. { x+1, x2+1, x2-1 } D. { 3, 9, x2+x+1 }E. { x2+x, x+3 }

4. R3 de (1, 2, 5) vektörünün { (1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 1) } tabanına göre koordi-natları aşağıdakilerden hangisidir?

A. (1, 2, 5) B. (1, 0, 3)C. (2, 4, 6) D. (0, 1, 2)E. (6, -4, -1)

5. p(x) ∈ P2(R) , p(x) = 3x2 + x - 5 vektörünün { 1, x-1, x2+1 } tabanına göre ko-ordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A. (1, 3, -2) B. (2, 3, 5)C. (-7, 1, 3) D. (-4, 3, 5)E. (3, 1, -5)


1 2 0 0 1 4 3 1 2

= 22 ≠ 0


6.

A. (1, 2, 3, 4) B. (2, 3, 4, 5)C. (1, 1, 1, 1) D. (0, 0, 0, 0)E. (-1, 0, 1)


A. Bir vektör uzayının boyutu bir tabanındaki vektörlerin sayısından büyükolabilir.

B. Bir vektör uzayının tabanındaki vektörler lineer bağımlıdır.C. Bir vektör uzayının bir çok tabanı vardır.D. Bir vektör uzayındaki her vektör tabandaki vektörlerin bir lineer bileşimi

olarak yazılamaz.E. Bir vektör uzayını geren küme o vektör uzayı için bir tabandır.

8. R3 de { (1, 1, 0) , (1, 0, 0) } vektörlerinin gerdiği alt uzayın bir tabanı aşağıda-kilerden hangisidir?

A. { (1, 1, 1) , (0, 1, 1) } B. { (0, 0, 0) , (1, 1, 1) }C. { (1, 1, 1) , (2, 2, 2) } D. { (1, 0, 0) , (3, 1, 0) }E. { (0, 1, 1) , (0, 3, 3) }

9. R2 de { (1, 2) } vektörünün gerdiği alt uzay aşağıdakilerden hangisidir?

A. R B. x-ekseniC. y = 2x doğrusu D. y-ekseniE. R2

10. R3 de { (1, 0, 0) , (0, 1, 0) } vektörlerinin gerdiği alt uzayın boyutu aşağıdaki-lerden hangisidir?

A. 0 B. 1C. 2 D. 3E. Sonsuz

11. R4 de (1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1) vektörlerinin gerdiği alt uzay için bir taban aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A. (0, 0, 0, 0) , (1, 0, 1, 0) B. (1, 1, 1, 1) , (2, 5, 0, 2)C. (0, 0, 0, 1) , (0, 0, 0, 2) D. (1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1)E. (1, 1, 0, 0)


A = 2 34 5

vektörünün M2x2 vektör uzayının standart tabanına göre koordi-

natları aşağıdakilerden hangisidir?



A. V sonlu boyutlu bir vektör uzayı W, V nin bir alt uzayı ise boyW ≥boyV dir.

B. V, n-boyutlu bir vektör uzayı ise V deki n-1 tane lineer bağımsızvektör V yi gerer.

C. V, n-boyutlu bir vektör uzayı ise V deki n+1 tane lineer bağımsızvektör V yi gerer.

D. { x1 , x2 , ... , xn } kümesi V vektör uzayı için bir taban ise her c∈ R için { cx1 , cx2 , ... , cxn } kümesi de V nin bir tabanıdır.

E. V sonlu boyutlu bir vektör uzayı W bunun bir alt uzayı olsun. boyV =boyW ise V = W dir.

13. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A. Bir A matrisi basamak biçime indirgendiğinde sıfırdan farklı satırları, sa-tır uzayını gerer.

B. Bir A matrisinin herhangi bir satırı diğer bir satıra eklenirse A nın satıruzayı değişir.

C. A = (aij)nxn matrisinin satırlarının lineer bağımsız olması için A nın satırvektörlerinin Rn ni germesi gerekir.

D. Bir A matrisinin rankı satır uzayının boyutuna eşittir.E. A = (aij)5x3 tipinde bir matrisin lineer bağımsız satırlarının sayısı en çok 3

tür.


1. D 2. C 3. C 4. E 5. C 6. B 7. C 8. D 9. C 10. C11. D 12. E 13. B


Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıya-

cak, özelliklerini öğrenecek,• Bir dönüşümün, Lineer dönüşüm olması için gereken koşulları

öğrenecek,• Bir lineer dönüşümün çekirdek ve görüntü uzaylarını bulacak,• Lineer dönüşümler arasında bazı cebirsel işlemleri öğreneceksi-

niz.

İçindekiler

• Giriş 149• Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü 153• Lineer Dönüşümlerle İşlemler 160• Değerlendirme Soruları 164

ÜNİTE

7Lineer Dönüşümler

YazarÖğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN



• Bu üniteyi çalışmadan önce fonksiyon ve vektör uzayı kavramla-rını yeniden dikkatlice gözden geçiriniz.

• Ünite içindeki kavram ve tanımları iyice öğrendikten sonra so-ruları çözünüz.


1. GirişBu ünitede vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları inceleyeceğiz.Lineer dönüşüm olarak isimlendireceğimiz bu fonksiyonlar matematiğin birçokalanında olduğu gibi ekonomi ve sosyal bilimlerde de önemli bir yer alır.

1.1. Tanım

V, W iki gerçel vektör uzayı olsun. V den W ye tanımlanan T fonksiyonu, aşağıdakiiki koşulu sağlıyorsa bu fonksiyona lineer dönüşüm denir.

T : V → W

i) Her x, y ∈ V için T (x+y) = T (x) + T(y)ii) Her x ∈ V , c ∈ R için T (cx) = c T (x)

Bir başka deyişle T : V → W dönüşümü vektörel toplama ve skalerle çarpmaişlemlerini koruyorsa bu dönüşüme lineer dönüşüm denir.

Bu iki koşul birleştirilerek aşağıdaki şekilde bir tek denk koşula indirgenebilir.

Her c1, c2 ∈ R, x1, x2, ∈ V için

T (c1 x1 + c2 x2) = c1 T(x1) + c2 T (x2)

olmalıdır.

T : V → W

bir lineer dönüşüm ise c1 , c2 , ..., cn ∈ R skalerleri ve x1 , x2 , ... , xn ∈ V vektörleri için

T (c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn) = c1 T(x1) + c2 T(x2) + ... + cn T(xn)

olacağı açıktır.

Şimdi lineer dönüşümlere örnekler verelim:

1.2. Örnek

T : R2 → R3

T (x, y) = (x, y, x + y)

T 'nin lineer olup olmadığını gösteriniz.

L İ N E E R D Ö N Ü Ş Ü M L E R 149


Çözüm

x, y ∈ R2 için x = (x1 , x2) , y = (y1 , y2) olsun.

T (x +y) = T ( (x1, x2) + (y1, y2) ) = T (x1 + y1 , x2 + y2)= (x1 + y1 , x2 + y2 , x1 + y1 + x2 +y2)= (x1 , x2 , x1 + x2 ) + (y1 , y2 , y1 + y2)= T(x) + T(y)

bulunur.

∀ x ∈ R2 , ∀ c ∈ R içinT (c (x1 , x2 ) ) = T (cx1 , cx2 )

= (cx1 , cx2 , cx1 + cx2)= c (x1 , x2 , x1 + x2)= c T(x)

bulunur. Lineer dönüşüm koşulları sağlandığı için T bir lineer dönüşümdür.

1.3. Örnek

T : R2 → R2

T (x, y) = (y, x + 3)

dönüşümün lineer dönüşüm olup olmadığını gösteriniz.

Çözüm

x, y ∈ R2 için x = (x1 , x2) , y = (y1 , y2) olsun.

T (x + y) = T(x) + T(y) T (x1 + y1 , x2 + y2) = T (x1 , x2) + T (y1 , y2)

(x2 + y2 , x1 + y1 + 3) = (x2 , x1 + 3) + (y2 , y1 + 3)

(x2 + y2 , x1 + y1 + 3) ≠ (x2 + y2 , x1 + y1 + 6)

olduğundan T bir lineer dönüşüm değildir.

1.4. Teorem

T : V → W bir lineer dönüşüm olsun.

T (0) = 0

dir. Yani her lineer dönüşümde 0 vektörünün görüntüsü sıfırdır.

L İ N E E R D Ö N Ü Ş Ü M L E R150

?

?

?


Kanıt

x ∈ V için,

T(x + 0) = T(x) + T(0) T lineerT(x) = T(x) + T(0)

buradan T(0) = 0 olur.

1.5. Örnek

T : R2 → R2

T (x, y) = (x2 , y2)

dönüşümünün lineer olup olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Bu dönüşümün lineer olmadığını gösterelim: Bunun için uygun iki vektör alarak li-neer dönüşüm koşullarından birinin sağlanmadığını göstermek yeterlidir.

x = (1, 1) , y = (2 , 2) ∈ R2 alalım.

T (x + y) = T [(1, 1) + (2, 2) ] = T (3, 3) = (9, 9)T (x) + T(y) = T (1, 1) + T (2, 2) = (1, 1) + (4, 4) = (5, 5)T (x + y) = (9, 9) ≠ (5, 5) = T (x) + T (y)

dir. O halde T bir lineer dönüşüm değildir.

1.6. Örnek

T : R3 → R3

T (x, y, z) = (1 , 2, x + y + z)

olsun. Bu dönüşümün lineer olup olmadığını kontrol edelim. Eğer T lineer dönü-şüm ise

T(0) = 0 olmalıdır.T(0, 0, 0) = (1, 2, 0) ≠ (0, 0, 0)

olduğundan T dönüşümü lineer değildir.



1.7. Teorem

T : V → W bir lineer dönüşüm olsun.

E = { x1 , x2 , ... , xn } kümesi V için bir taban ve x, V deki herhangi bir vektör ise

T(x) ∈ L ( { T(x1), T(x2), ..., T(xn) } )

Kanıt

x ∈ V olsun. E = { x1 , x2 , ... , xn } kümesi V nin bir tabanı olduğundan c1 , c2 , ..., cn ∈ R olmak üzere,

x = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn

dir.

T(x) = T(c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn) T lineer olduğundanT(x) = c1 T(x1) + c2 T(x2) + ... + cn T(xn) ∈ L ( { T(x1), T(x2), ..., T(xn) } )

O halde, T : V → W lineer dönüşüm ise V nin her x vektörünün T(x) görüntü-sü V nin bir tabanındaki vektörlerin görüntülerinin bir lineer bileşimidir. Bu nedenle,bir lineer dönüşüm için bir tabandaki vektörlerin görüntülerinin verilmesi yeterlidir.

1.8. Örnek

T : R2 → R2 lineer dönüşüm olsunT(1, 0) = (1, 2) , T(1, 1) = (3, -1) ise T(x, y) = ? , T(4, 5) = ?

Çözüm

{ (1, 0), (1, 1) } kümesinin R2 için bir taban olduğunu kontrol ediniz.

(x, y) vektörü bu tabandaki vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılır

(x, y) = a (1, 0) + b (1,1)(x, y) = (a + b, b)

(x, y) = (x - y) (1, 0) + y (1, 1) T lineer olduğundan T (x, y) = (x - y) T (1, 0) + y T (1, 1)T (x, y) = (x - y) (1, 2) + y (3, -1)T (x, y) = (x - y , 2x - 2y) + (3y , -y)T (x, y) = (x + 2y, 2x - 3y) bulunur. Buradan;

Atom


a + b = x b = y

bulunur. Buradan a = x - y, b = y olur.


T(4 , 5) = (4 + 2.5 , 2.4 - 3.5) = (14 , -7)

olur.

2. Bir Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü

2.1. Tanım

T : V → W bir lineer dönüşüm olsun. V nin T altındaki görüntüsü olan T ( V ) = { T( x ) | x ∈ V } kümesine T lineer dönüşümünün görüntü uzayı denir. W nin sı-fır vektörünün öngörüntüsüne de T nin çekirdeği denir ve Çek T ile gösterilir;

Çek T = { x ∈ V | T(x) = 0 }

dir.

2.2. Örnek

T : R3 → R2

T(x, y, z) = (2x, x + y) veriliyor.

(i) T 'nin bir lineer dönüşüm olduğunu gösteriniz.(ii) Çek T ve Gör T'yi bulunuz.

Çözüm

(i) T 'nin lineer dönüşüm olduğunu siz gösteriniz.


V

•

••••

•

•

•

WT

•••• T(V) = Gör T

V

•

WT

••••

Çek T

0

••••

•

•

•• •

•

••

••

•

••

•

•

•

••


(ii) Çek T ve Gör T yi bulalım:

Çek T = { (x, y, z) ∈ R3 | T (x, y, z) = (0, 0) }

olan vektörlerin kümesidir.

(x, y, z) ∈ Çek T ise T (x, y, z) = (0, 0) diğer taraftan,T (x, y, z) = (2x, x + y) T nin tanımıburadan (2x, x + y) = (0, 0)

sistemin çözümünden x= 0 , y= 0 bulunur. Burada z bileşeni için hiçbir sınırlamasöz konusu olmadığına göre,

Çek T = { ( 0, 0, z ) ∈ R3 | z ∈ R } dir. Çek T , R3 teki (0, 0, z) şeklindeki bütünvektörlerden oluşur. Bu vektörlerin kümesi ise z-eksenidir. z-ekseni R3 ün bir altuzayıdır ve { (0, 0, 1) } kümesi bu alt uzayın bir tabanıdır. O halde, T lineer dönüşü-münün çekirdeği R3 ün 1-boyutlu alt uzayıdır.

Şimdi Gör T yi bulalım:

Gör T = T( R3 ) = { T (x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3 } = { ( 2x , x + y ) | x , y ∈ R }

( 2x , x + y ) = x ( 2 , 1 ) + y ( 0, 1 ) şeklinde yazabiliriz.O halde, Gör T = { x ( 2, 1 ) + y ( 0, 1 ) | x, y ∈ R } dir.

Gör T, (2 , 1) , (0 , 1) vektörlerinin tüm lineer bileşimlerinin kümesidir. { (2 , 1) , (0 , 1) } kü-mesi R2 nin bir tabanı olduğundan bu küme R2 yi gerer. Böylece Gör T = R2 olur.

2.3. Teorem

T : V → W bir lineer dönüşüm ise Çek T, V nin bir alt uzayıdır.

Kanıt

Çek T nin V nin bir alt uzayı olması için, daha önce gördüğümüz alt uzay olma ko-şullarını sağlamalıdır yani

x, y ∈ Çek T için x + y ∈ Çek Tx ∈ Çek T, c ∈ R için c x ∈ Çek T

olmalıdır.


2x = 0

x + y = 0


x, y ∈ Çek T olsun. T bir lineer dönüşüm olduğundan

T (x + y) = T (x) + T (y) = 0 + 0 = 0x + y ∈ Çek T

c ∈ R , T (c x) = c T (x) = c.0 = 0c x ∈ Çek T

Böylece Çek T, V nin bir alt uzayıdır.

2.4. Teorem

T : V → W lineer dönüşüm ise Gör T = T (V) , W nin bir alt uzayıdır.

Kanıt

Gör T nin W nin alt uzayı olması için alt uzay olma koşulları sağlanmalıdır.

(i) y1 , y2 ∈ Gör T iken y1 + y2 ∈ Gör T

(ii) c ∈ R iken c y1 ∈ Gör T

olmalıdır.

T bir lineer dönüşüm olduğu için T (0) = 0, 0 ∈ Gör T, Gör T ≠ Ø olur.

y1 , y2 ∈ Gör T ise T (x1) = y1 ve T (x2) = y2 olacak şekilde x1 , x2 ∈ V vardır.

y1 + y2 = T (x1) + T(x2) = T (x1 + x2) yani y1 + y2 ∈ Gör T.

c ∈ R için c y1 = c T (x1) = T (c x1) yani c y1 ∈ Gör T, böylece Gör T, W ninbir alt uzayı olur.

Her mertebeden türevi olan fonksiyonların kümesi V olsun. V kümesi

f, g ∈ V , c ∈ R için(f + g) (x) = f(x) + g(x) c f (x) = c f (x)

işlemlerine göre R üzerinde bir vektör uzayıdır. (Siz V kümesinin vektör uzayıolma koşullarını sağladığını gösteriniz.)

D : V → V



Dönüşümü her fonksiyonu türevine gönderen bir dönüşüm olsun. Örneğin; f (x) = x3 + 6x2 - 4x + 5 ise D f(x) = D (x3 + 6x2 - 4x + 5) = 3x2 + 12x - 4

D : V → VD f = f '

dönüşümü bir lineer dönüşümdür. Gerçekten bir toplamın türevi, türevlerinin top-lamına eşit olduğundan f, g ∈V için

D (f + g) = (f + g)' = f ' + g' = Df + Dg

olur.

Bir fonksiyonun sabit ile çarpımının türevi, türevin bu sabitle çarpımına eşit oldu-ğundan,

c ∈ R , f ∈ V içinD (c f) = (c f)' = c f ' = c Df

O halde D türev dönüşümü bir lineer dönüşümdür. Şimdi bununla ilgili bir örnekverelim:

2.5. Örnek

D : P3 (R) → P2 (R)

(i) Çek D ve Gör D yi bulunuz.

(ii) Çek D ve Gör D için birer taban yazınız.

Çözüm

Çek D = { p(x) ∈ P3 (R) | D (p(x) = 0 }= { p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ P3 (R) | a1 + 2a2 x + 3a3 x2 = 0 }

a1 + 2a2 x + 3 a3 x2 = 0 Polinom özdeşliğindena1 = 0 , a2 = 0 , a3 = 0Çek D = { p(x) = a0 | a0 ∈ R }

sabit polinomların kümesidir. Çek D, P3 (R) nin bir alt uzayıdır ve boy Çek D= 1 olduğu kolayca görülür. Çünkü (1) vektörü sabit polinomların kümesi olan ÇekD yi gerer.


D p x = ddx

p x = p x ' lineer dönüşümü verilsin


Gör D ⊆ P2 (R) dir.

Gör D = { p(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 ∈ P2 (R) | a1 , a2 , a3 ∈ R } dir.

Gör D kümesi P2 (R) nin bir alt uzayıdır. Aslında Gör D = P2 (R) dir, dolayısıy-la bir tabanı {1, x, x2} kümesidir. Buradan boy Gör D = 3 tür.

2.6. Teorem

T : V → W lineer dönüşümünün bire - bir olması için gerekli ve yeterli ko-şul Çek T = { 0 } olmasıdır.

Kanıt

T lineer dönüşümü bire-bir ise Çek T = { 0 } olduğunu gösterelim.

x ∈ Çek T olsun. T (x) = 0 olur. Çek T nin tanımıT (0) = 0 T lineer. BuradanT (x) = T (0)

olur. T bire-bir olduğundan x = 0 ve Çek T = { 0 } bulunur.

Tersine olarak, Çek T = { 0 } ise T nin bire-bir olduğunu gösterelim:

x1 , x2 ∈ V için T (x1) = T (x2) olsun.

T (x1) - T (x2) = 0T (x1 - x2) = 0 , x1 - x2 ∈ Çek T. Böylece x1 - x2 = 0 ve x1 = x2 olup T bire-birdir.

2.7. Örnek

T: R2 → R3

T (x, y) = (x , x + y , x - y)

lineer dönüşümünün bire-bir olduğunu gösterelim: Bunun için Çek T yi bulalım,

Çek T = { (x, y) ∈ R2 | T (x, y) = 0 }

T (x , y) = (x , x + y , x - y) = (0 , 0 , 0)x = 0 , y = 0 olur.

Çek T = { 0 } bulunur. O halde dönüşümü bire-bir dir.



2.8. Örnek

T : R3 → R2

T (x , y , z) = (x + y , x + z)

lineer dönüşümün bire-bir olup olmadığını araştıralım:

Çek T = { (x , y , z) ∈ R3 | T (x , y , z) = 0 }T (x , y , z) = (x + y , x + z) = 0

sistemin sonsuz çözümü vardır. x = 1 , y = -1 , z = -1 için (1 , -1 , -1) ∈ Çek T dir.Buna göre T dönüşümü bire-bir değildir. Yani farklı iki elemanın görüntüleri aynıolabilir: Örneğin

(1 , 2 , 3) ≠ (2 , 1 , 2)

olmasına karşın,

T (1 , 2 , 3) = T (2 , 1 , 2) = (3 , 4)

bu da T nin bire-bir olmadığını gösterir.

2.9. Teorem

T : V → W bir lineer dönüşüm olsun. Eğer V sonlu boyutlu ise,

boy V = boy Çek T + boy Gör T

dir. Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz.

Teoremi bir örnekle doğrulayalım:

2.10. Örnek

T : R3 → RT (x , y , z) = x + 2y + 3z verilsin.

(i) T nin bir lineer dönüşüm olduğunu gösteriniz.(ii) Çek T, Gör T için birer taban yazınız.(iii) boy Çek T, boy Gör T yi belirtiniz.

Çözüm

(i) T nin lineer dönüşüm olduğu kolayca görülür.


x + y = 0x + z = 0


(ii) Çek T = { ( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | T ( x1 , x2 , x3 ) = 0 }Çek T = { ( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + 2x2 + 3x3 = 0 }

bulunur. Çek T için bir taban bulalım.

ve çekirdeğin herhangi bir öğesi

yazılabildiğinden,

kümesi Çek T yi germektedir. Bu kümenin lineer bağımsız olduğunu da siz

gösteriniz. Böylece kümesi Çek T için bir tabandır. Bura-

dan da boy Çek T = 2 olur.

∅ ≠ T ( R3 ) ⊆ R olduğundan boy T ( R3 ) = 1 dir. Böylece

boy R3 = boy Çek T + boy Gör T 3 = 2 + 1

eşitliği doğrulanmış olur.

2.11. Örnek

T : R4 → R3

T (x , y , z , u) = (x + y , z + u , x + z)

lineer dönüşümü verilsin.

(i) Gör T, Çek T yi bularak birer taban yazınız.(ii) boy Gör T, boy Çek T yi belirtiniz.

Çözüm

(i) Gör T = T ( R4 ) = { T (x , y , z , u) | (x , y , z , u) ∈ R4 }= { (x + y , z + u , x + z) | x , y , z , u ∈ R }

dir.


Çek T = x1 , x2 , - x1 + 2x23

∈ R3 | x1 , x2 ∈ R

x1 = 1 , x2 = 0 için x3 = - 13

ve 1 , 0 , - 13

∈ Çek T

x1 = 0 , x2 = 1 için x3 = - 23

ve 0 , 1 , - 23

∈ Çek T

x1 , x2, - x1 + 2x23

= x1 1 , 0 , - 13

+ x2 0 , 1 , - 23

1 , 0 , - 13

, 0 , 1 , - 23

1 , 0 , - 13

, 0 , 1 , - 23


(x + y , z + u , x + z) ∈ Gör T vektörünü

(x + y , z + u , x + z) = x ( 1 , 0 , 1) + y (1 , 0 , 0) + z (0 , 1 , 1) + u (0 , 1 , 0) şeklinde yazabiliriz.

(1 , 0 , 1) , (1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 1) , (0 , 1 , 0) vektörlerinin kümesi lineer bağımlıdır (R3 teki 4 vektör). Satırları bu vektör-ler olan matrisi yazarak basamak biçime indirgeyelim. Böylece Gör T yi geren line-er bağımsız kümeyi, yani Gör T nin bir tabanını bulmuş oluruz:

bulunur. O halde { (1 , 0 , 1) , (0 , 1 , 1) , (0 , 0 , 1 } kümesi Gör T yi geren lineer bağımsızkümedir. Bir başka deyişle Gör T nin tabanıdır. Buradan Gör T = R3 olur (ne-denini açıklayınız) ve boy Gör T = 3 tür.

Çek T = { (x , y , z , u) ∈ R4 | T (x , y , z , u) = 0 }T (x , y , z , u) = (x + y , z + u , x + z) = (0 , 0 , 0)

sistemin katsayılar matrisinin rankı 3, bilinmeyen sayısı 4 olduğundan 1 bağımsızdeğişkene bağlı çözümleri vardır. Bağımsız değişken u alınırsa u ya bağlı çözümlerx = u , y = -u , z = -u olur.

Çek T = { (u , -u , -u , u) | u ∈ R } = { u (1 , -1 , -1 , 1) | u ∈ R } bulunur. Bu-na göre { (1 , -1 , -1 , 1) } kümesi Çek T nin bir tabanıdır. Buradan boyÇek T = 1 dir. Böylece

boy R4 = boy Gör T + boy Çek T4 = 3 + 1

eşitliği doğrulanmış olur.

3. Lineer Dönüşümlerle işlemlerLineer dönüşümler arasında toplama, çıkarma, skalerle çarpma, bileşke gibi çeşitliişlemler tanımlanabilir.


1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

→

1 0 1 0 0 -1 0 1 1 0 0 -1

→

1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0

x + y = 0z + u = 0x + z = 0


3.1. Tanım

T , S : V → W birer lineer dönüşüm olsun.

(i) T ve S dönüşümlerinin toplam ve farkı

T , S : V → W(T ± S) (x) = T (x) ± S (x)

şeklinde tanımlanır.

(ii) c ∈ R skaleri ile T nin çarpımı,

c T : V → W(c T) (x) = c T (x)

şeklinde tanımlanır.

Yukarıda tanımlanan T ± S ve c T nin lineer dönüşüm olduklarını gösterelim:

∀ x , y ∈ V için(T + S) (x + y) = T (x + y) + S (x + y) Tanımdan

= T (x) + T (y) + S (x) + S (y) T , S lineer olduğundan= T (x) + S (x) + T (y) + S (y)= (T + S) (x) + (T + S) (y)

olur. c ∈ R için

(T + S) (c x) = T (c x) + S (c x) Tanımdanc T (x) + c S (x) = c (T (x) + S (x) ) = c (T + S) (x) T , S lineer olduğundan

böylece iki lineer dönüşümün toplamının bir lineer dönüşüm olduğunu göstermişolduk.

Şimdi de c T nin bir lineer dönüşüm olduğunu gösterelim:

x , y ∈ V için

(cT) (x + y) = (cT (x + y) ) = c ( T (x) + T (y) )= c T (x) + c T (y)

k ∈ R için

(c T) (k x) = c (T (k x) ) = c (k T (x) ) = k (c T (x) )

böylece c T bir lineer dönüşüm olur.



3.2. Tanım

T : V → WS : W → U birer lineer dönüşüm olsunlar.

T ile S nin bileşke fonksiyonu

S o T : V → U(S o T) (x) = S (T (x) )

biçiminde tanımlanır.

Sizde S o T nin bir lineer dönüşüm olduğunu gösteriniz.

3.3. Örnek

T : R2 → R3 , S : R2 → R3

T (x, y) = (2x, x + y , y) , S (x, y) = (x - y, 3y , x)

lineer dönüşümleri verilsin.

(i) ( 3T + S ) (1, 2) değerini hesaplayınız.

(ii) ( T - 4S ) (1, 1) değerini hesaplayınız.

Çözüm

(i) ( 3T + S ) (1, 2) = 3 T (1, 2) + S (1, 2)= 3 (2, 3, 2) + (-1, 6, 1)= (6, 9, 6) + (-1, 6, 1)= (5, 15, 7)

olur.

(ii) ( T - 4S ) (1, 1) = T (1, 1) - 4 S (1, 1)= (2, 2, 1) - 4 (0, 3, 1)= (2, -10, -3)

bulunur.


V

TW

SU


3.4. Örnek

T : R3 → R3 , S : R3 → R3

T (x, y, z) = (z, x, 0) , S (x, y, z) = (0, x, y)

lineer dönüşümleri veriliyor.

(i) T o T = T2 olmak üzere, Çek T2 ve Gör T2 yi bularak birer taban yazınız.(ii) (S o T) (1, 2, 3) değerini bulunuz.

Çözüm

(i) T : R3 → R3

T (x, y, z) = (z, x, 0)

olduğuna göre önce T2 (x, y, z) yi bulalım:

T2 (x, y, z) = T(T (x, y, z)) = T (z, x, 0) = (0, z, 0) olur.

T2 (x, y, z) = (0, z, 0) bulunur.

Çek T2 = { (x, y, z) | T2 (x, y, z) = 0 }

T2 (x, y, z) = (0, z, 0) = (0, 0, 0)

buradan z = 0 bulunur. O halde

Çek T2 = { (x, y, 0) ∈ R3 | x, y ∈ R } kümesi olur.

Bu kümede xy- düzlemidir.

Çek T2 için bir taban bulalım:

(x, y, 0) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) yazılırsa { (1, 0, 0), (0, 1, 0) } kümesi Çek T2

için bir taban olur.

Buradan boy Çek T2 = 2 olur.

Gör T2 yi bulalım:

Gör T2 = T2 ( R3 ) yazabiliriz.



Gör T2 = { (0, z, 0) | z ∈ R } olup, y-eksenidir. { (0, 1, 0) } kümesi Gör T2 içinbir tabandır.

(ii) ( S o T ) (1, 2, 3) = S ( T (1, 2, 3) )= S (3, 1, 0) = (0, 3, 1)

bulunur.

Değerlendirme Soruları1. Aşağıdaki dönüşümlerden hangisi lineerdir?

A. T : R2 → R3 B. T : R3→ R2

T(x,y) = (x + y , y, z + 3) T(x,y, z) = (x + y , z - y)C. T : R → R D. T : R2→ R2

T(x) = x2 T(x,y) = (1, 1)E. T : R → R2

T(x) = (x, x2 )

2. T : R2→ R3 lineer dönüşümünde

T(1, 1) = (0, 1, 0) , T(0, 1) = (1, 0, -1) olduğuna göre T(2, 3) aşağıdakilerdenhangisidir?A. (0, 1, 0) B. (1, -2, -1) C. (1, 1, -1) D. (0, 1, -2) E. (1, 2, -1)

3. T : P2 (R) → P3 (R) bir lineer dönüşüm olsun.T(1) = 1 , T (x) = x2 , T (x2) = x3 + 1 olduğuna göre T(2x2 + 3x - 7) değeri aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A. p(x) = x3 + x2 + x + 1 B. p(x) = 2x2 - x - 5C. p(x) = 2x3 + 3x2 - 5 D. p(x) = 2x2 - x - 5 E. p(x) = x2 - x + 5

4. T : R2 → R2

T(x, y) = (x, 0) lineer dönüşümü veriliyor.Aşağıdakilerden hangisi Çek T nin bir öğesidir?

A. (2, 0) B. (3, 2) C. (1, 2) D. (0,2) E. (-1, 0)



5. T : R2 → R3

T(x, y) = (x, x + y, x - y) lineer dönüşümü veriliyor.Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A. (1, 1, 1) ∈ Çek T B. T dönüşümü 1-1 dir.C. T(1, 2, 3) = (1, 2, 3) D. (2, 3, 5) ∈ Gör TE. T örtendir.

6. T : P2 (R) → P2 (R) T(a + bx + cx2 ) = ax2 + blineer dönüşümü veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A. p(x) = x2 ∈ Çek T B. p(x) = x2 + 2x - 5 ∈ Çek TC. p(x) = x2 + 3 ∈ Çek T D. p(x) = x + 7 ∈ Çek TE. p(x) =10 ∈ Çek T

7. T : R3 → R5 bir lineer dönüşüm veriliyor. Boy Çek T = 1 ise boy Gör T nedir?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

8. T: V → R4 lineer dönüşümünde Çek T = { 0 } ve T örten ise boy V nedir?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

9. T : R3 → W lineer dönüşümünde T örten bir dönüşüm ise boy W en çok kaçolabilir?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4


A. Bir lineer dönüşümün çekirdeği tanım kümesinin alt uzayıdır.B. Bir dönüşümde T(0) = 0 ise dönüşüm lineerdir.C. T: V → W

boy V = boy Çek T + boy Gör TD. Bir lineer dönüşümde Çek T = { 0 } ise dönüşüm 1-1 dir.E. T: R4→ R2

örten bir dönüşüm olduğunda boy Çek T = 2 dir.




A. T : V → W lineer dönüşümünde Çek T = { 0 } ise boy V = boy Gör T ≤ boy W

B. T : V → W lineer dönüşümünde Çek T = { 0 } iseA, B ∈ V ve C ∈ W içinT(A) = T(B) = C

C. T : R7→ R3

örten bir dönüşüm ise boy Çek T = 4 tür.D. T : R5→ R3

lineer dönüşümünde ÇekT = { 0 } olamaz.E. T : R3→ R5

örten bir lineer dönüşüm değildir.

12. T : R3→ R3

T(x, y, z) = (x, y, x + y) bir lineer dönüşüm ise T2 (1, 3, 5) aşağıdakilerden hangisi-dir?

A. (1, 9, 25) B. (1, 3, 9) C. (5, 3, 1) D. (1, 3, 4) E. (3, 1, 5)

13. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A. T : R2→ R2

T (x, y) = (x, 0) ise T2 = T dir.B. T : R2→ R2 T(x, y) = (0, x)

S : R2→ R3 S(x, y) = (0, x, y)ise (S o T) (x, y) = (0, 0, x)

C. T : R2→ R , T(x, y) = x lineer dönüşümde Çek T = { 0 } dır.D. T : R2→ R3 T(x, y) = (x, 0, 0) bir lineer dönüşüm olduğuna göre

3 T (3, 5) = (9, 0, 0) dır.E. T, S : R2→ R2 lineer dönüşüm olsun.

T (x, y) = (0, x) , S (x, y) = (y, 0) ise(S o T) (1, 5) = (1, 0) dır.



14. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A. T : R2→ R2

T (1, 0) = (1, -2), T(0, 1) = (4, 3) ise T (x, y) = (x + 4y, -2x + 3y) dir.B. T : R2→ R3

T (1, 0) = (1, 2, 1), T(0, 1) = (2, 0, 1) ise T (x, y) = (x + 2y, 4x) C. T : R → R3

T (x) = (x, 2x, 3x) ise T (5) = (1, 2, 3)D. T : R2→ R

T (x, y) = x +y ise T (1, 1) = 1E. T : R → R

T (x) = 10x ise Çek T = 10 dur.


1. B 2. E 3. C 4. D 5. B 6. A 7. C 8. E 9. D 10. B11. B 12. D 13. C 14. A


Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Bir lineer dönüşümü temsil eden matrisin bulunuşunu öğrene-

cek,• Bir dönüşüm matrisi verildiğinde görüntü kümesini bulabile-

cek,• Taban değişim matrisini öğrenecek,• Bir lineer dönüşümün farklı tabanlara göre hesaplanmış iki

matrisi arasındaki ilişkiyi öğrenecek,• Aynı boyutlu iki matris verilirse bunların hangi koşullarda aynı

dönüşümü temsil ettiğini öğrenecek,• Dönüşüm matrislerinin, lineer dönüşümlerin cebirsel işlemle-

rinde sağladığı kolaylıkları göreceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 171• Taban Değişim Matrisi 177• Değerlendirme Soruları 185

ÜNİTE

8Bir Lineer Dönüşümün Matrislerle Gösterilmesi

YazarÖğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN



• Bu üniteyi çalışmadan önce Ünite 7' yi yeniden dikkatlice göz-den geçiriniz.


1. GirişBu bölümde lineer dönüşümlerle matrisler arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. T : V → W lineer dönüşümünü temsil eden dönüşüm matrisini bulacağız. Dö-nüşüm matrisi, lineer dönüşümü açıkça belirlemek için uygun bir model olup, line-er dönüşümlerle ilgili cebirsel işlemlerde kolaylık sağlar. Bunun yanında, bir matri-sin özelliklerini incelemek için o matrisin temsil ettiği lineer dönüşümden yararlan-mak da mümkündür.

1.1. Bir Lineer Dönüşümün Matrisi

T : V → W lineer dönüşümü verilsin.

E = { x1 , x2 , ... , xn } ve F = { y1 , y2 , ... , ym } kümeleri sırasıyla V ve W vektör uzaylarınınbirer tabanı olsun. Burada boy V= n, boy W= m olduğuna dikkat ediniz. V nin E dekitaban vektörlerinin T altındaki görüntüleri, T ( x1 ) , T( x2 ) , ... , T( xn) ∈ Wdir. Bu vektörler, W nin taban vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak yazılabilir.

T ( x1 ) = a11 y1+ a21 y2+ ... + am1 ym T ( x2 ) = a12 y1+ a22 y2+ ... + am2 ym...T ( xn ) = a1n y1+ a2n y2+ ... + amn ym

eşitliklerini sağlayan tek türlü yij ∈ R (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ... , n) sayıları vardır.

Yukarıdaki eşitliklerdeki yi lerin katsayılarının oluşturduğu matrisin transpozesiolan mxn boyutlu A = (aij ) matrisine T lineer dönüşümünün E ve F tabanlarına gö-re matrisi denir ve

ile gösterilir.

Buna göre, T : V → W lineer dönüşümünün tanım kümesi n-boyutlu, değer kü-mesi m-boyutlu ise dönüşümü temsil eden matris mxn boyutludur.

Şimdi çeşitli lineer dönüşümlerin dönüşüm matrislerini bulalım:

B İ R L İ N E E R D Ö N Ü Ş Ü M Ü N M A T R İ S L E R L E G Ö S T E R İ L M E S İ 171

A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn mxn


1.2. Örnek

T: R3 → R2

T (x, y, z) = (x + y , y - z)

lineer dönüşümünün

S = { s1 = (1, 0, 1), s2 = (0, 1, 1), s3 = (1, 1, 1) } ve F = { f1 = (1,2) , f2 = (-1, 1) } tabanlarına göre dönüşüm matrisini bulunuz.

Çözüm

Dönüşüm matrisi 2x3 boyutludur. Bu matrisin sütunları T (sJ ) vektörlerinin F taba-nına göre koordinatlarından oluşur. (Bir vektörün bir tabana göre koordinatlarını 6.Ünitede bulmuştuk)

T(s1 ) = T (1, 0, 1) = (1 + 0, 0 -1) = (1, -1)(1, -1) = a f1 + b f2 = a (1, 2) + b (-1, 1)(1, -1) = ( a - b, 2a + b)a - b = 12a + b = -1 olur. Buradan a = 0 , b = -1 bulunur.

T(s1 ) = 0 f1 + (-1) f2

olup, dönüşüm matrisinin 1. sütunu

olur.

T(s2) = T (0, 1, 1) = (0 +1, 1-1) = (1, 0)(1, 0) = a f1 + b f2 = a (1, 2) + b (-1, 1)

eşitliğinden

olup matrisin 2. sütunu

T(s3 ) = T (1, 1, 1) = (1 +1, 1-1) = (2, 0)(2, 0) = a f1 + b f2 = a (1, 2) + b (-1, 1)

eşitliğinden

B İ R L İ N E E R D Ö N Ü Ş Ü M Ü N M A T R İ S L E R L E G Ö S T E R İ L M E S İ172

0-1

a = 13

, b = - 23

, bulunur

T s2 = 13

f1 - 23

f2

13

- 23

olur

a = 23

, b = - 43

, bulunur


olup matrisin 3. sütunu

olur. Böylece T lineer dönüşümünün matrisi

elde edilir.

1.3. Örnek

T: R3 → R3

T(x, y, z) = (x + y + z , 2x + y , 3x + z)

lineer dönüşümünün standart tabana göre matrisini bulunuz.

Çözüm

R3 de standart tabanın

E = { e1 = (1, 0, 0) , e2 = ( 0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) } olduğunu biliyoruz. T: R3 →R3 dönüşümünde T (e1 ) = T (1, 0, 0) = ( 1 + 0 + 0, 2.1 + 0, 3.1 + 0) = (1, 2, 3)

Bir vektörün standart tabana göre bileşenleri kendi bileşenleri olduğundan

T (e1 ) = (1, 2, 3) = 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 T (e2 ) = (1, 1, 0) = 1 e1 + 1 e2 + 0 e3 T (e3 ) = (1, 0, 1) = 1 e1 + 0 e2 + 1 e3

olur. Buna göre T dönüşüm matrisi

olarak elde edilir.


T s3 = 23

f1 - 43

f2

23

- 43

A = 0 1/3 2/3 -1 -2/3 -4/3 2x3

A = 1 1 1 2 1 0 3 0 1

3x3


1.4. Örnek

T: P2 (R) → P3 (R)T( p(x)) = x p(x)

lineer dönüşümünün P2 (R) nin ve P3 (R) nin standart tabanlarına göre matrisinibulunuz.

Çözüm

Dönüşüm matrisi 4x3 boyutundadır. (Nedenini açıklayınız.)

P2 (R) nin standart tabanı { 1, x, x2 }P3 (R) nin standart tabanı { 1, x, x2, x3 } dür.

T (1) = x.1 = 01 + 1 x + 0 x2 + 0 x3

T (x) = x.x = x2 = 0 1 + 0 x + 1 x2 + 0 x3

T (x2 ) = x.x2 = x3 = 0 1 + 0 x + 0 x2 + 1 x3

olur. Buradan T dönüşüm matrisi

bulunur.

Böylece

T : V → W

lineer dönüşümüne V nin bir E = { x1 , x2 , ... , xn } ve W nin { y1 , y2 , ... , ym } ta-banları yardımı ile bir A = ( aij )mxn matrisinin nasıl karşılık getirildiğini gördük. Şim-di de dönüşüm matrisi yardımı ile V deki vektörlerin görüntülerinin nasıl bulunaca-ğını görelim:

T : Rn → Rm

lineer dönüşümün standart tabanlara göre matrisi A olsun.


A =

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4x3

A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn mxn


x ∈ Rn olmak üzere vektörünün görüntüsü,

y = T (x) = Ax

şeklinde bulunur.

1.5. Örnek

T: R3 → R2

lineer dönüşümünün R3 ve R2 nin standart tabanlarına göre matrisi

olsun. T nin kuralını ve (1, 2, 3) vektörünün T altındaki görüntüsünü bulunuz.

Çözüm

x = (a, b, c) ∈ R3 vektörünün T altındaki görüntüsü T (a, b, c) yi bulalım.

Yukarıda ifade edildiği şekilde,

T (a, b, c) = ( a + c, 2a + 3b - c)

olur. Buradan,

T (1, 2, 3) = (4, 5)

bulunur.


x =

x1

x2

xn

T (x) = y=

y1

y2

ym

y1

y2

ym

=

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

a1m am2 amn

x1

x2

xn

1 0 1 2 3 -1 2x3

T (x) = Ax , T (x) = T (a, b, c) = 1 0 1 2 3 -1

abc


1.6. Örnek

T: P2 (R) → P2 (R)

T( ax2 + bx + c) = (a + c) x2 + ( a - b) x + (b - c)

lineer dönüşümü veriliyor.

E = { 1, x, x2} ve F = {x, x-1, x2 - 1}

tabanlarına göre T nin dönüşüm matrisini bulunuz. Dönüşüm matrisinden yararla-narak p (x) = 3 x2 + 2x + 1 vektörünün görüntüsünü bulunuz.

Çözüm

Dönüşüm matrisini şimdiye değin gördüğümüz yöntemle bulalım. Yani E küme-sindeki her bir vektörün T altındaki görüntüsünün, F tabanına göre koordinatları,dönüşüm matrisinin sütunlarını oluşturur. Dönüşüm matrisi 3x3 boyutundadır.

T (1) =T (0 x2 + 0 x + 1) = (0 + 1) x2 + (0 - 0) x + (0 - 1) = x2 - 1

T (1) in F tabanına göre yazılışı,

T (1) = x2 - 1 = 0 x + 0 (x -1) + 1 (x2 - 1)

dir. Benzer şekilde,

T (x) = T (0 x2 + 1 x +0 1) = (0 + 0) x2 + (0 - 1) x + (1 - 0) = - x +1

dir. T (x) in F tabanına göre yazılışı

T (x) = - x + 1 = 0 x + (-1) (x -1) + 0 (x2 -1)

olur. Benzer şekilde,

T (x2 ) = T(1 x2 + 0 x +0 1) = (1 + 0) x2 + (1 - 0) x + (0 - 0) = x2 + x

T (x2 ) in F tabanına göre yazılışı

T (x2 ) = x2 + x = 2 x + (-1) (x -1) + 1 (x2 -1)

olur. Buna göre dönüşüm matrisi

olarak bulunur.


A = 0 0 2 0 -1 -1 1 0 1


Bu dönüşüm matrisinden yararlanarak p (x) = 3x2 + 2x + 1 vektörünün görün-tüsünü bulalım:

A matrisinin sütünları sırasıyla T ( 1 ), T ( x ), T ( x2 ) nin { x, x -1, x2 -1 } tabanına görekoordinatları;

olmak üzere

T (1) = 0 x + 0 (x - 1) + 1 (x2 - 1) = x2 - 1T (x) = 0 x + (- 1) (x - 1) + 1 (x2 - 1) = - x + 1T (x2 ) = 2 x + (- 1) (x - 1) + 1 (x2 - 1) = x2 + x

dir. Buradan

T (3 x2 + 2x + 1) = 3 T (x2 ) + 2 T (x) + T (1)= 3 (x2 + x) + 2 (-x + 1) + x2 -1= 4 x2 + x + 1

elde edilir.

2. Taban Değişim MatrisiT : V → W lineer dönüşümünün matrisi, V ve W nin tabanlarının seçimine bağ-lıdır. Bunu bir örnekte görelim:

T : R2 → R3

T (x, y) = (x , y , x + y )

lineer dönüşümünün

a) R2 ve R3 ün standart tabanlarına göre matrisini,

b) {(1, 1), (1, 0) } ve { (1, 0, 0), (0, -1, 1), (-1, 0, 2)} tabanlarına göre matrisini bulalım:

(a) şıkkı için dönüşüm matrisini bulalım:

{ ( 1, 0), (0, 1) } ve { (1, 0, 0), (0, -1, 1, 0) , (0, 0, 1) } standart tabanlarını alalım,

T (1, 0) = (1, 0, 1 + 0) = (1, 0, 1) = 1 (1, 0, 0) + 0 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1)T (0, 1) = (0, 1, 0 + 1) = (0, 1, 1) = 0 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1)

dönüşüm matrisi bulunur.


T 1 = 001

T x = 0 -1 1

T x2 = 2 -1 1

A = 1 0 0 1 1 1 3x2


(b) şıkkı için dönüşüm matrisini bulalım:

T (1, 1) = (1, 1, 1 + 1) = (1, 1, 2) = a (1, 0, 0) + b (0, -1, 1) + c (-1, 0, 2)(1, 1, 2) = (a - c, - b, b + 2c)

bulunur.

T (1, 0) = (1, 0, 1) = a (1, 0, 0) + b (0, -1, 1) + c (-1, 0, 2)(1, 0, 1 ) = ( a - c, - b, b + 2c)

bulunur.

olur. A ve B matrisleri aynı bir T dönüşümünün farklı tabanlara göre matrisleridir.Böylece, dönüşüm matrisinin, tabanlarının seçimine bağlı olduğu görülür.

Şimdiye değin önce, T : V → W lineer dönüşümünü temsil eden matrisin bulu-nuşunu sonrada dönüşüm matrisinden yararlanarak V nin herhangi bir vektörü-nün görüntüsünün nasıl bulunacağını belirttik. Ayrıca T dönüşüm matrisinin seçi-len tabanlara bağlı olduğunu gördük. Dönüşüm matrislerini, lineer dönüşümlerarasındaki toplama, çıkarma, skalerle çarpma, bileşke gibi cebirsel işlemlerimizi ko-laylaştırmak için kullanabiliriz. Bu nedenle, matrisin mümkün olan en yalın biçim-de olması istenir. Acaba böyle bir matris elde etmek için tabanlar nasıl seçilmelidir?Bu soruyu ilerde yanıtlayacağız. Şimdi şu sorulara yanıt arayalım:

(i) V n-boyutlu W m-boyutlu vektör uzayları olmak üzere, T : V → W lineer dönüşümünün V nin E, W nin F tabanlarına göre dönüşüm matrisi A = (aij)mxn Vnin E', W nin F' tabanlarına göre dönüşüm matrisi B = (bij)mxn ise A ve B mat-risleri arasında nasıl bir ilişki vardır?

(ii) mxn boyutlu farklı iki A ve B matrisleri verildiğinde bunlar ne zaman aynı bir T : V → W dönüşümünü temsil eder?

Bir lineer dönüşümün farklı tabanlara göre dönüşüm matrisleri A ve B ise bu matris-ler arasındaki ilişkiyi belirlemek için önce taban değişim matrisini tanımlayalım:


a = 52

, b = -1 , c = 32

T 1, 1 = 52

(1, 0, 0) - 1 0, -1 + 32

-1, 0, 2

a = 32

, b = 0 , c = 12

T 1, 0 = 32

1, 0, 0 + 0 0, -1, 1 + 12

-1, 0, 2

B = 5/2 3/2

-1 0

3/2 1/2 3x2


2.1. Tanım

V vektör uzayının

E = { x1, x2 , ..., xn } ve E' = { y1, y2 , ..., yn } farklı iki tabanı olsun.

y1 = p11 x1 + p21 x2 + ... + pn1 xn y2 = p12 x1 + p22 x2 + ... + pn2 xn ...yn= p1n x1 + p2n x2 + ... + pnn xn

yazabiliriz. Buradaki pij i, j = 1, 2, ... , n katsayılarıyla oluşturulan matrisin transpo-zesine E den E' ye geçiş matrisi veya E den E' ye taban değişimi matrisi denir ve

biçiminde yazılır. y1 , y2 , ... , yn taban vektörleri lineer bağımsız olduğu için P matrisibir tersinir matristir. P nin ters matrisi P-1 de E' den E ye taban değişim matrisidir.

2.2. Örnek

R2 nin

E = { (1, 1), (1, 0) } ve E' = { (-1, 0), (2, -1) }

iki tabanı olduğuna göre:

(i) E den E' ye taban değişim matrisini,(ii) E' den E ye taban değişim matrisini bulunuz.

Çözüm

(i) (-1, 0) = p11 (1, 1) + p21 (1, 0) = ( p11 + p21 , p11) buradan p11 = 0 , p21 = -1(-1, 0) = 0 (1, 1) + (-1) (1, 0)

bulunur. Benzer olarak,

(2, -1) = p12 (1, 1) + p22 (1, 0) = ( p12 + p22 , p12 ) buradan p12 = -1, p22 = 3bulunur.(2, -1) = (-1) (1, 1) + 3 (1, 0)


P =

p11 p12 p1n

p21 p22 p2n

pn1 pn2 pnn nxn


yazılır. Böylece

E den E' ye taban değişim matrisidir.

(ii) E' den E ye taban değişim matrisini bulalım:

(1, 1) = p11 (-1, 0) + p21 (2, -1) = ( -p11 + 2p21 , -p21) buradan p11 = - 3, p21 = -1 bulunur.(1, 1) = (-3) (-1, 0) + (-1) (2, -1)

yazılır. Benzer olarak

(1, 0) = p12 (-1, 0) + p22 (2, -1) = ( -p12 + 2p22 , -p22) buradan p12 =-1, p22 = 0 bulunur.(1, 0) = -1 (-1, 0) + 0 (2, 1)

yazılır.

E' den E ye taban değişim matrisidir. Ayrıca

olduğundan P' = P-1 dir.

2.3. Teorem

A = (aij)mxn , B = (bij)mxn matrisleri ve Vn , Wm vektör uzayları verilsin. A = (aij)mxn , B = (bij)mxn matrislerinin farklı taban çiftine göre aynı

T : V → W

lineer dönüşümünü temsil etmeleri için gerekli ve yeterli koşul

A = P B Q-1

eşitliğini sağlayan P = (pij)mxm Q = (qij)nxn taban değişim matrislerinin var ol-masıdır.

Teoremin kanıtını lineer cebir kitaplarında bulabilirsiniz.

Bu teorem ile 178. sayfadaki soruların yanıtlarını da vermiş olduk.


P' = p11 p12 p21 p22

= -3 -1 -1 0

P.P' = 0 -1

-1 3 -3 -1

-1 0 = 1 0

0 1 = I2

P = p11 p12 p21 p22

= 0 -1 -1 3


2.4 Örnek

T: R3 → R3,

T(x, y, z) = (y + z , x + z , y + z )

lineer dönüşümü ve R3 ün

E= { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } ve F = { (1, 1, 1), (1, -1, 0), (0, 1, -1) } tabanları verilsin.

(i) T nin E tabanına göre A matrisini(ii) T nin E den F ye P taban değişim matrisini(iii) T nin F tabanına göre B matrisini bulunuz.

Çözüm

(i) T nin E tabanına göre matrisini bulmak için; E deki vektörlerin T altındakigörüntülerin yine E tabanına göre koordinatları bulunur. Bu koordinatlar A nınsütun vektörlerini oluşturur:

T (1, 0, 0) = (0, 1, 0) = 0 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0) + 0 (0, 0, 1)T (0, 1, 0) = (1, 0, 1) = 1 (1, 0, 0) + 0 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1)T (0, 0, 1) = (1, 1, 1) = 1 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1)

olur.

(ii) T nin E den F ye P taban değişim matrisini bulalım:

Bir vektörün standart tabana göre koordinatlarının kendi bileşenleri olduğugöz önüne alınarak,

(1, 1, 1) = 1 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1)(1, -1, 0) = 1 (1, 0, 0) + (-1) (0, 1, 0) + 0 (0, 0, 1)(0, 1, -1) = 0 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0) + (-1) (0, 0, 1)

bulunur.


A = 0 1 1 1 0 1 0 1 1

P = 1 1 0 1 -1 1 1 0 -1


(iii) T nin F tabanına göre B matrisini bulalım:

(i) şıkkında olduğu gibi burada da F tabanını iki kez kullanacağız.

T (1, 1, 1) = (2, 2, 2) = a (1, 1, 1) + b (1, -1, 0) + c (0, 1, -1)= (2, 2, 2) = ( a + b, a - b + c, a - c)

buradan a = 2, b = 0, c = 0 bulunur. Bu değerler B matrisinin 1. sütunudur.

T (1, -1, 0) = (-1, 1, -1) = a (1, 1, 1) + b (1, -1, 0) + c (0, 1, -1)

bulunur. Bu değerler B matrisinin 2. sütunudur.

T (0, 1, -1) = (0, -1, 0) = a (1, 1, 1) + b (1, -1, 0) + c (0, 1, -1)

bulunur. Bu değerler B matrisinin 3. sütunudur.

Böylece

elde edilir.

Aslında B matrisini A = P B P-1 den B = P-1 A P şeklinde yazarak da bulabiliriz. Önce P-1 matrisini bulalım:

P-1 , P nin ters matrisi olup aynı zamanda F den E ye taban değişim matrisidir. P-

1 i bu yolla bulalım:

(1, 0, 0) = a (1, 1, 1) + b (1, -1, 0) + c (0, 1, -1)(1, 0, 0) = ( a + b , a - b + c , a - c)

buradan bulunur. Bu değerler aynı zamanda P-1 matrisinin 1. sütunudur.

(0, 1, 0) = a (1, 1, 1) + b (1, -1, 0) + c (0, 1, -1)

buradan bulunur. Bu değerler P-1 matrisinin 2. sütunudur.


a = - 13

, b = - 23

, c = 23

a = - 13

, b = 13

, c = - 13

B =

2 - 13

- 13

0 - 23

13

0 23

- 13

a = 13

, b = 23

, c = 13

a = 13

, b = - 13

, c = 13


(0, 0, 1) = a (1, 1, 1) + b (1, -1, 0) + c (0, 1, -1)

buradan bulunur. Bu değerler P-1 matrisinin 3. sütunudur.

taban değişim matrisi bulunur. Şimdi P-1 , A, P matrislerini

B = P-1 A P

eşitliğinde yerine koyarak B matrisini bir de bu yolla elde edelim:

bu çarpma işlemleri yapılarak B matrisi bulunur. B matrisinin T lineer dönüşümü-nün bir matrisi olduğunu anımsarsak dönüşüm matrisleriyle ilgili sayfa 178 deki so-rulara yanıt vermiş oluruz. Sonuç olarak; A = (aij)mxn , B = (bij)mxn matrislerininaynı bir T : Vn → Wm dönüşümünün matrisi olmaları için P ve Q taban değişimmatrisleri olmak üzere A = P B Q-1 eşitliğinin sağlanmasıdır.

• Uyarı boy V = boy W ise P = Q olup Q-1 = P-1 dir.

Lineer dönüşümleri matrislerle temsil etmemizin nedenlerinden biri, lineer dönü-şümler arasındaki cebirsel işlemlerin, bu dönüşüm matrisleri arasında daha kolayyapılmasıdır. Şimdi bununla ilgili örnekler verelim:

2.5 Örnek

T, S : R3 → R3

T (x, y, z) = (3x + y - 2z , x + 7y + z , x - 3y + 5z )S (x, y, z) = (5x - y - z , 2x - 3z , x - 4y)

lineer dönüşümleri verilsin.

S o T : R3 → R3

(S o T) (x, y, z) = S ( T (x , y ,z ))

dönüşümünü bulunuz.


P-1 =

13

13

13

23

- 13

- 13

13

13

- 23

= 13

1

1

1

2

-1

-1

1

1

-2

B = 13

1 1 1 2 -1 -1 1 1 -2

0 1 1 1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 -1 1 1 0 -1

a = 13

, b = - 13

, c = - 23


Çözüm

(S o T) (x, y, z) = S ( T (x , y ,z ))= S (3x + y - 2z , x + 7y + z , x - 3y + 5z)

buna göre,

(S o T) (x, y, z) = ( 5a - b - c , 2a - 3c, a - 4b)= ( 5 (3x + y - 2z) - (x + 7y + z) - (x - 3y + 5z) , 2 (3x + y -2z) - 3 (x -

3y + 5z),3x + y - 2z - 4 (x + 7y + z))

(S o T) (x, y, z) = (13x + y - 16z , 3x + 11y - 19z , - x - 27y - 6z)

olarak bulunur. Aynı işlemi dönüşüm matrisleriyle yapalım. T nin standart tabanagöre dönüşüm matrisi;

S nin standart tabana göre dönüşüm matrisi;

ise

(S o T) ⇔ B. A matris çarpımdır:

şeklinde bulunur. Buradan dönüşümü yazarsak,

(S o T) (x, y, z) = (13x + y - 16z , 3x + 11y - 19z , - x - 27y - 6z)

elde edilir.

Şimdi de bir matrisin özelliklerini incelemek için matrisin temsil ettiği lineer dönü-şümden yararlanalım:

matrisi verilsin. A3 = 0 olduğunu gösterelim. Şüphesiz A3 = A2. A çarpma işlemi-ni yaparak sonucu bulabiliriz.


S o T ⇔ B. A = 5 -1 -1 2 0 -3 1 -4 0

3 1 -2 1 7 1 1 -3 5

= 13 1 -16 3 11 -19

-1 -27 -6

A = 0 0 0a 0 0

0 b 0

a b c

A = 3 1 -21 7 11 -3 5

B = 5 -1 -12 0 -31 -4 0


Burada standart tabanlara göre dönüşüm matrisi A olan

T : R3 → R3

lineer dönüşümü kullanalım. Bu lineer dönüşüm

T (a, b, c) = (0, a, b)

olur. (1.5 Örneğe tekrar bakınız.)

T3 (a, b, c) = T2 ( T (a, b, c)) =T ( T (T (a, b, c)) )

= T (T(0, a, b)) = T (0, 0, a) = (0, 0, 0)

Buradan A3 = 0 olduğu bulunur.

Değerlendirme Soruları1. T : R3 → R3

T (x, y, z) = (x - y , y - z , x + y)lineer dönüşümünün standart tabana göre matrisi aşağıdakilerden hangisi-dir?

A. B. C.

D. E.

2. T : R → R2

T (x) = (x, 3x)lineer dönüşümünün standart tabana göre matrisi aşağıdakilerden hangisi-dir?

A. B. C.

D. E.


1 -11 -11 1

1 -1 1-1 0 11 1 -1

1 0 00 1 00 0 1

1 -1 00 1 -11 1 0

1 1 10 1 00 0 1

1 3

1 3 1 0

1 1

1 21 3


3. T : R2 → R2

T (x, y) = (x + y, x - y)lineer dönüşümünün R2 nin { (1, 1), (1, 0) } tabanına göre dönüşüm matrisiaşağıdakilerden hangisidir?

A. B. C.

D. E.

4. T : R2 → R3

T (x, y) = (0, x , y)lineer dönüşümünün R2 ve R3 ün sırasıyla; { (1, 1), (1, 0) }, { (0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 0) } tabanlarına göre dönüşüm matrisiaşağıdakilerden hangisidir?

A. B. C.

D. E.

5. T : R3 → R3 lineer dönüşümünün standart tabana göre matrisi

olduğuna göre T (x, y, z) aşağıdakilerden hangisidir?

A. (x, y, z) B. (x + y, 2x - 1, -1 + x - y)C. (x + 2y, 2x +3y + z, - x + y) D. (x + 2x - y , 2x + 3y + z , y)E. (x , x + 3y + 2z , -x + 2y - 5z)

6. T : R3 → R2 lineer dönüşümünün standart tabanlara göre dönüşüm matrisi

veriliyor. T (1, 0, 1) aşağıdakilerden hangisidir?

A. (2, 5) B. (5, 2) C. (1, 1)D. (3, 5) E. (-1, -1)


1 32 4

0 12 0

1 1-1 1

0 0 0 1

0 1 3 0

1 2 3 0 1 0

1 21 0

1 0 0 00 1

0 0 11 0 0

1 2 01 0 1

1 2 02 3 1-1 1 0

A = 1 -1 2

2 0 3


7. R2 nin E = { (1, 0), (0, 1)} , E' = { (1, 1), (0, 1) } tabanları veriliyor. E den E' yetaban değişim matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

A. B. C.

D. E.

8. R3 ün E = { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) } , E' = { (1, 0, 0), (0, -1, 1), (-1, 0, 1) } ta-banları veriliyor. E den E' ye taban değişim matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

A. B. C.

D. E.

9. T, S : R2 → R2

T (x, y) = (x + y , x)S (x, y) = (y , x + y)lineer dönüşümünün (S o T) (x, y) dönüşümü aşağıdakilerden hangisidir?

A. (x + y, x - y) B. (x, 2x + y)C. (x - y , 2x + y ) D. (x - y + 1 , y - z)E. (x - 1 , y - 1)

10. 9. uncu sorudaki (2T + 5S) (x, y) = ? dönüşümü aşağıdakilerden hangisidir?

A. (x + y , 2x + 5y) B. (2x + 7y , 7x + 5y)C. (x - y + 1 , y + 1 ) D. (x - y + 3 , x - y)E. (0 , x + y + 3)


1. D 2. A 3. B 4. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. B 10. B


1 21 0

1 11 1

1 01 1

-1 0 1 -1

0 00 1

1 1 10 1 2-1 0 0

0 1 10 -2 -11 1 -1

0 1 -1 3

1 0 23 1 -1-1 0 1

1 0 10 1 01 0 1

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kav-

ramlarını anlayacak,• bir dönüşüm matrisinin karakteristik polinom, özdeğer ve öz-

vektörlerinin nasıl bulunduğunu öğrenecek,• bir dönüşüm matrisinin ne zaman köşegen matris biçiminde

yazılabileceğini öğrenecek,• simetrik matrisin daima bir köşegen matris biçiminde yazılabile-

ceğini öğreneceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 191• Karakteristik Polinom 193• Bir Matrisin Köşegenleştirilmesi 199• Değerlendirme Soruları 212

ÜNİTE

9Özdeğer ve Özvektörler


www.matematikce.com



• Bu üniteyi çalışmaya başlamadan önce 7. ve 8. Üniteleri tekrargözden geçiriniz.


1. GirişÜnite 8 de sonlu boyutlu V ve W vektör uzayları için bir T : V → W lineerdönüşümünün V ve W nin verilen tabanlarına göre matris temsilini gördük. Ta-banlar değiştiğinde dönüşüm matrisinin de değiştiğini biliyoruz. Dönüşüm matri-si lineer dönüşümlerde yapılan ispatları, işlemleri kolaylaştırmak için kullanılabi-leceğinden, matrisin basit olması, yani matriste sıfır öğelerinin çok sayıda olması,özellikle bir köşegen matris olması önemlidir. Bu bölümde, V sonlu boyutlu birvektör uzayı olmak üzere T : V → V şeklindeki bir lineer dönüşümün matrisinin,köşegen matris olması için gerekli koşulları inceleyeceğiz.

T : V → V

lineer dönüşümünün, V nin { x1 , x2 , ... , xn } tabanına göre dönüşüm matrisiköşegen matris olsun.

Bu matrisin nasıl bulunduğunu biliyoruz: Matrisin sütunları T(x1) , T(x2) , ... ,T(xn) vektörlerinin { x1 , x2 , ... , xn } tabanına göre koordinatları olduğundan

veya

olduğu görülür. Buna göre, dönüşüm matrisi bir köşegen matris ise taban vektör-lerinin görüntüleri, kendilerinin bir katıdır. Tersine olarak bir lineer dönüşümde,taban vektörlerinin görüntüleri kendilerinin bir katı oluyorsa dönüşüm matrisiköşegen matris olur. O halde bir lineer dönüşümün matrisinin köşegen matris ol-ması için öğelerinin herbirini kendi katlarına gönderen bir taban bulmalıyız.

Ö Z D E Ğ E R V E Ö Z V E K T Ö R L E R 191

A =

λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λn

T x1 = λ1 x1 + 0 . x2 + ... + 0 . xn

T x2 = 0 . x1 + λ2 x2 + ... + 0 . xn

T xn = 0 . x1 + 0 . x2 + ... + λn xn

T x1 = λ1 x1

T x2 = λ2 x2

T xn = λn xn


1.1. Tanım

T : V → V lineer dönüşümü verilsin.

x ∈ V , olan sıfırdan farklı bir x vektörü için T (x) = λ x eşitliğini sağlayan bir λsayısı varsa, λ sayısına T dönüşümünün özdeğeri, x vektörüne de λ özde-ğerine karşılık gelen özvektörü denir.

Bu tanımın ardından aşağıdaki önemli teoremi ifade edelim:

1.2. Teorem

V sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve T : V → V bir lineer dönüşüm olsun. Tnin dönüşüm matrisinin bir köşegen matris olması için gerekli ve yeterli koşul Tnin özdeğerlerine karşı gelen özvektörlerin V için bir taban oluşturmasıdır.

Kanıt

{ x1 , x2 , ... , xn } tabanına göre T nin matrisinin nasıl bulunduğunu anımsaya-rak teoremin kanıtını yapınız.

Bir kare matris bir lineer dönüşüm olarak düşünüldüğünde, bu lineer dönüşümünözdeğer ve özvektörlerine o matrisin özdeğerleri ve özvektörleri denir. Daha açıkolarak, A = (aij)nxn matrisinin Rn in standart tabanına göre belirlediği T line-er dönüşümünü göz önüne alırsak, T nin özdeğer ve özvektörlerine A nın özdeğerve özvektörleri denir. Bir λ sayısının A matrisinin özdeğeri olması

Ax = λ x

koşulunu sağlayan x ≠ 0 olacak şekilde bir x vektörünün var olmasıdır. Bu x vek-törüne A matrisinin λ özdeğerine karşı gelen özvektörü denir.

λ , T : V → V lineer dönüşümünün bir özdeğeri ise, her c ∈ R için

T ( cx ) = c T ( x ) = c ( λ x ) = λ ( cx )

yazabiliriz. Buna göre, x vektörünün her c skaleriyle çarpımı λ özdeğerine karşı-lık gelen bir özvektördür. Bu vektörlerin kümesi V nin bir alt uzayını oluştururlar.Bu alt uzaya λ özdeğerine karşı gelen T nin özuzayı denir.

Ö Z D E Ğ E R V E Ö Z V E K T Ö R L E R192


1.3. Örnek

I : V → V birim dönüşüm olsun. Her x ∈ V için

I (x) = x = 1 . x

Böylece λ = 1 , I nın bir özdeğeri ve V içindeki her vektörde 1 özdeğerinekarşılık gelen özvektördür.

1.4. Örnek

V türevlenebilen fonksiyonların vektör uzayı ve D türev dönüşümü olsun.

D : V → VD ( e3t ) = 3 e3t

yazılabilir.

Burada λ = 3 özdeğer, x = e3t , bu özdeğere karşılık gelen özvektördür.

Özdeğer ve özvektör yerine karakteristik değer ve karakteristik vektör deyimleride kullanılır.

2. Karakteristik Polinom

2.1. Tanım

T : V → V

lineer dönüşümünün, V nin { x1 , x2 , ... , xn } tabanına göre matrisi

olsun. In , birim matris ve λ bilinmeyen bir sayı olmak üzere, A - λ In matrisi-ne karakteristik matrisi denir. Bu matrisin determinantı


A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

an1 an2 ann

A - λ In =

a11 - λ a12 a1n

a21 a22 - λ a2n

an1 an2 ann - λ


λ nın bir polinomu olup, bu polinoma T nin karakteristik polinomu denir.

T ( λ ) = | A - λ In | = 0

denklemine de karakteristik denklem denir.

Şimdi karakteristik polinomun, T nin matris gösteriminin bulunmasında seçilentabana bağlı olmadığını gösterelim:

T : V → V lineer dönüşümü verilsin.

V nin { x1 , x2 , ... , xn } tabanına göre T nin matrisi A , V nin { y1 , y2 , ... , yn } ta-banına göre T nin matrisi B ise A ve B matrislerinin karakteristik polinomları aynıdır:

A ve B aynı bir lineer dönüşümü temsil ettiklerine göre bu iki matris arasında

A = P B P-1

ilişkisi vardır (Ünite 8, 2.3 Teorem). Buradan,

bulunur. Buna göre bir lineer dönüşümün karakteristik polinomu dönüşüm mat-risinin hesaplandığı tabana bağlı değildir. Bir başka ifadeyle, benzer matrislerinkarakteristik polinomları aynıdır.

2.2. Teorem

A = ( aij )nxn matrisinin özdeğerleri karakteristik polinomun gerçel kökleridir.

Kanıt

λ , A nın bir özdeğeri ve bu özdeğere karşı gelen bir vektörde x olsun.

A x = λ xA x = ( λ In ) x( A - λ In ) x = 0


A - λI = P B P-1 - λI = P B P-1 - λ P I P-1 = P (B - λI ) P-1 = P B - λI P-1 = B - λI P P-1

A - λI = B - λI


Bu sistem n bilinmeyenli n denklemden oluşan homojen lineer denklem sistemi-dir. Sistemin sıfır çözümden başka çözümlerinin olması için gerekli ve yeterli ko-şul

| A - λ In | = 0

olmasıdır. Böylece A nın özdeğerleri

T ( λ ) = | A - λ In |

karakteristik polinomunun kökleridir.

O halde bir lineer dönüşüm verildiğinde özdeğerlerini bulmak için, herhangi birtabana göre yazılan dönüşüm matrisinin karakteristik polinomunun kökleri bulu-nur.

2.3. Örnek

matrisinin özdeğerlerini ve bunlara karşı gelen özvektörleri bulunuz.

Çözüm

A nın karakteristik polinomu,

olup λ 3 - 3 λ 2 - 4 λ + 12 = 0 denkleminin kökleri özdeğerlerdir. Bu denkle-min kökleri 12 nin çarpanlarını denklemde deneyerek λ = 2 , λ = 3 , λ = -2bulunur. Şimdi bu özdeğerlere karşı gelen özvektörleri bulalım:

λ özdeğerine karşı gelen x özvektörü

x = ( x1 , x2 , x3 )

ise

( A - λ I3 ) x = 0


A = 1 -1 -1 1 3 1 -3 1 -1

A - λ I3 = 1 - λ -1 -1

1 3 - λ 1

-3 1 -1 - λ

= - λ3 + 3λ2 + 4λ - 12 = 0


olur.

λ = 2 için

homojen denklem sistemi elde edilir. Burada 1. denklem, 2. denklemin -1 katıdır,bu durumda

üç bilinmeyenli iki denklemden oluşan sistemin çözümü için x1 bilinmeyeninibilinen kabul edersek, sistemin çözümü

x3 = -x1 ve x2 = 0

bulunur.

x1 = k için x3 = -k , x2 = 0


1 - λ -1 -1 1 3 - λ 1 -3 1 -1 - λ

x1 x2

x3

= 0 0 0

(1)

-1 -1 -1 1 1 1 -3 1 -3

x1 x2

x3

= 0 0 0

x = k0-k

bulunur. Böylece, λ = 2 özdeğerine karşılık gelen özvektörler k ≠ 0 olmak üzere

k0-k

biçimindedir. Buna göre λ = 2 özdeğerinin özuzayı k 0-k

k ≠ 0 , k ∈ R =

= k 10-1

k ≠ 0 , k ∈ R kümesidir. Böylece λ = 2 özdeğerine karşılık gelen

özuzay 1 boyutludur. Bu özuzay için v = 1 , 0 , -1 kümesi bir taban oluşturur.

-x1 - x2 - x3 = 0

x1 + x2 + x3 = 0

-3x1 + x2 - 3x3 = 0

x1 + x2 + x3 = 0

-3x1 + x2 - 3x3 = 0


Şimdi de λ 2 = 3 özdeğerine karşılık gelen x özvektörlerini bulalım:

(1) denkleminde λ = 3 yazılarak işlem yapılırsa;

denklem sistemi bulunur. Sistemin katsayılar matrisinin rankı 2 olduğundan x1bilinmeyenini bilinen kabul edersek, sistemin çözümü

x2 = - x1 ve x3 = - x1

bulunur.

x1 = k , x2 = - k , x3 = - k olur.

Böylece λ = 3 özdeğerine karşılık gelen özvektörler, k ≠ 0 olmak üzere

λ = - 2 özdeğerine karşılık gelen özvektörleri bulalım:

Benzer şekilde (1) denkleminde λ = - 2 yazılarak işlem yapılırsa;

sistemin çözümünden x2 = - x1 , x3 = 4 x1 bulunur.

x1 = k için x2 = - k , x3 = 4 k olur.

Böylece λ = 2 ; 3 ; - 2 özdeğerlerine karşılık gelen özvektörler sırasıyla


x= k-k-k

,

biçimindedir. Buna göre λ = 3 özdeğerinin özuzayı k 1-1-1

k ∈ R kümesidir.

λ = - 2 özdeğerine karşılık gelen özvektörler x = k-k4 k

biçimindedir.

k0-k

, k-k-k

, k-k4 k

k ≠ 0 , k ∈ R dir. ( Neden k ≠ 0 )

-2 x1 - x2 - x3 = 0

x1 + x3 = 0

-3x1 + x2 - 4 x3 = 0

3 x1 - x2 - x3 = 0

x1 + 5 x2 + x3 = 0

-3x1 + x2 + x3 = 0


olur. Bu üç vektör basamak matrisin sıfır olmayan satırları olup lineer bağımsız-dırlar. Şimdi bununla ilgili teoremi ifade edelim:

2.4. Teorem

T : Vn → Vn lineer dönüşümünün farklı λ1 , λ2 , ... , λn özdeğerlerine karşı-lık gelen v1 , v2 , ... , vn özvektörleri lineer bağımsızdır.

Kanıt

n üzerinde tüme varımla yapalım:

n = 1 için v1 ≠ 0 olduğundan v1 lineer bağımsızdır.n = 2 için v1 , v2 özvektörleri lineer bağımsız mı?

c1 v1 + c2 v2 = 0

olsun. T ( c1 v1 + c2 v2 ) = T (0) veya c1 T( v1 ) + c2 T( v2 ) = 0

T ( v1 ) = λ1 v1 , T ( v2 ) = λ2 v2 olduğundan

c1 λ1 v1 + c2 λ2 v2 = 0

olur. Şimdi c1 v1 + c2 v2 = 0 denklemini λ2 ile çarpıp bu denklemden çıkar-talım, ikinci terimler aynı olacağından

c1 ( λ1 - λ2 ) v1 = 0

olur. λ1 ≠ λ2 ve v1 ≠ 0 olduğundan c1 = 0 olur. c1 ın bu değeri c1 v1 + c2v2 = 0 denkleminde yazılınca, v2 ≠ 0 olduğundan c2 = 0 elde edilir.


k = 1 için bu vektörler 1 0-1

, 1-1-1

, 1-1 4

olur. Bu vektörlerin oluşturduğu

matrisi yazarak basamak biçime indirgeyelim:

1 1 1 0 -1 -1

-1 -1 4

1 1 1 0 1 1 0 0 1


Şimdi iddianın n - 1 vektör için doğruluğunu kabul edip n vektör için kanıtlaya-lım. v1 , v2 , ... , vn özvektörlerinden ilk (n - 1) tanesinin lineer bağımsız ve

c1 v1 + c2 v2 + ... + cn-1 vn-1 + cn vn = 0

olsun.

c1 T ( v1 ) + c2 T ( v2 ) + ... + cn-1 T ( vn-1 ) + cn T ( vn ) = 0

ve i = 1 , 2 , ... , n için T ( vi ) = λi vi olduğundan

c1 λ1 v1 + c2 λ2 v2 + ... + cn-1 λn-1 vn-1 + cn λn vn = 0

olur. Şimdi (1) denklemini λn ile çarpıp (2) denkleminden çıkartalım, son te-rimler aynı olacağından,

c1 ( λ1 - λn ) v1 + c2 ( λ2 - λn ) v2 + ... + cn-1 ( λn-1 - λn ) vn-1 = 0

elde edilir. v1 , v2 , ... , vn-1 vektörleri lineer bağımsız olduğundan bütün kat-sayılar sıfır, yani

c1 ( λ1 - λn ) = c2 ( λ2 - λn ) = ... = cn-1 ( λn-1 - λn ) = 0

olur. Diğer taraftan λi (i = 1 ... n) ler farklı olduklarından

c1 = c2 = ... = cn-1 = 0

çıkar. ci (i = 1 , 2 , ... , n-1) ler (1) de yerine yazılınca

cn vn = 0

elde edilir. vn ≠ 0 olduğundan cn = 0 bulunur ve tüme varım tamamlanır.Sonuç olarak, farklı λ1 , λ2 , ... λn özdeğerlerine karşılık gelen v1 , v2 , ... , vnözvektörleri lineer bağımsız olurlar.

3. Bir Matrisin Köşegenleştirilmesi

3.1. Tanım

V sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve T : V → V bir lineer dönüşüm olsun. Vnin öyle bir tabanı olsun ki, T nin bu tabana göre A matrisi köşegen matris olsun.Bu durumda T ye köşegenleştirilebilir denir.


(1)

(2)


T nin köşegenleştirilebilmesi demek, özvektörlerden oluşan V nin bir tabanınıbulmak ve bu tabana göre dönüşüm matrisini oluşturmaktır. Bu köşegen matris,

B = P-1 A P

ile verilir. Buradaki P matrisi, standart tabandan özvektörlerin oluşturduğu taba-na geçiş matrisidir. Bu durumda P matrisi kısaca, sütunları lineer bağımsız özvek-törler olan matristir. P nin sütunları lineer bağımsız olduğu için P matrisi bir regü-ler matristir. Böylece V n-boyutlu bir vektör uzayı olmak üzere

T : V → V

lineer dönüşümünün (A matrisinin) köşegenleştirilebilmesi için aşağıda işlemleruygulanır:

(i) T lineer dönüşümün matris gösterimi A nın karakteristik polinomu yazılır.

T( λ ) = |A - λ In|

(ii) T (λ) = | A - λ In | = 0

karakteristik polinomun kökleri bulunur. Bu kökler A nın özdeğerleridir.Bulunan özdeğerler gerçel değilse, A matrisi köşegenleştirilemez.

(iii) A nın her bir λ özdeğerine karşı gelen özvektörleri bulunur.

( A - λ In ) x = 0

(iv) Bu özvektörler n-boyutlu bir vektör uzayı için taban oluşturuyorsa A mat-risi köşegenleştirilebilir.

(v) Köşegen matris aşağıdaki şekillerden biri ile bulunur.

a) Lineer dönüşüm A matrisi ile verilmişse, standart tabana göre dönüşümmatrisi A olan lineer dönüşüm yazılır. Bu dönüşümün, özvektörlerin oluş-turduğu tabana göre matrisi aranan köşegen matristir.

b) Sütunları özvektörler olan matris P olmak üzere

B = P-1 A P

matrisi köşegen matristir. B nin köşegen elemanlarına özdeğerler karşı-lık gelir.



Şimdi 2.3 Örneğe tekrar dönelim:

matrisinin bir köşegen matrise benzer olup olmadığını veya köşegenleştirilip kö-şegenleştirilemeyeceğini araştıralım.

Bu matrisin köşegenleştirilebilmesi için e1 , e2 , e3 standart tabanına göre temsilettiği T lineer dönüşümünün özvektörlerinden oluşan bir tabanının bulunması-dır. 2.3 Örnekte bu matrisin özdeğerleri λ1 = 2 , λ2 = 3 , λ3 = - 2 bulun-muştu. Bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler de k ≠ 0 için x1 = (k, 0, -k) , x2 =(k, -k, -k) , x3 = (k, -k, 4k) biçimindeydi.

Burada k = 1 için,

λ = 2 özdeğerine karşılık x1 = (1, 0, -1) özvektörüλ = 3 özdeğerine karşılık x2 = (1, -1, -1) özvektörüλ = -2 özdeğerine karşılık x3 = (1, -1, 4) özvektörü

bulunur. E = { x1 = (1, 0, -1) , x2 = (1, -1, -1) , x3 = (1, -1, 4) } kümesi R3

için bir taban teşkil eder. Kontrol ediniz!... Şimdi, standart tabana göre matris gös-terimi A olan T lineer dönüşümünün E = { (1, 0, -1) , (1, -1, -1) , (1, -1, 4) } tabanına gö-re matrisini bulalım:

T : R3 → R3

T (x , y , z) = (x - y - z , x + 3y + z , - 3x + y - z)

olur (Bu dönüşümün nasıl elde edildiğini hatırlayınız).

T (1, 0, -1) = (1 - 0 + 1 , 1 + 3.0 + (-1) , -3.1 + 0 - (-1) ) = (2, 0, -2)

(2, 0, -2) = a (1, 0, -1) + b (1, -1, -1) + c (1, -1, 4)(2, 0, -2) = (a + b + c , - b - c , - a - b + 4c)

a = 2 , b = 0 , c = 0

Bu değerler aranan matrisin 1. sütunudur.


A = 1 -1 -1 1 3 1 -3 1 -1


Benzer şekilde;

T (1, -1, -1) = (3, -3, -3) = a (1, 0, -1) + b(1, -1, -1) + c(1, -1, 4)

(3, -3, -3) = (a + b + c , - b - c , - a - b + 4)

a = 0 , b = 3 , c = 0

bulunur. Bu değerler matrisin 2. sütunudur. Benzer şekilde;

T (1, -1, 4) = (1 + 1 - 4 , 1 - 3 + 4 , - 3 - 1 - 4) = (-2, 2, -8)

(-2, 2, -8) = a (1, 0, -1) + b(1, -1, -1) + c(1, -1, 4)

a = 0 , b = 0 , c = -2

bulunur. Bu değerler de matrisin 3. sütunudur. Bulunan değerlerle matrisi oluştu-rursak,

köşegen matrisi elde edilir. Sonuç olarak, verilen A matrisi köşegenleştirilebilir birmatristir.

Köşegenleştirilebilmenin diğer bir yolu da, özvektörleri sütun vektörü olarak alanmatris P olmak üzere,

B = P-1 A P

matrislerinin çarpımıdır.

olur. P-1 ters matrisi ise

şeklinde bulunur. Kontrol ediniz.


2 0 0 0 3 0 0 0 -2

P = 1 1 1 0 -1 -1 -1 -1 4

P-1 = - 15

-5 -5 0 1 5 1 -1 0 -1


köşegen matris elde edilir; yani B = P-1 A P dir.

Sonuç olarak, T nin dönüşüm matrisinin köşegenleştirilebilmesi için özdeğerlerekarşılık bulunan özvektörlerin bir taban oluşturmasıdır. Buradan aşağıdaki teore-mi ifade edebiliriz.

3.2. Teorem

Bir A = ( aij ) n x n kare matrisinin karakteristik polinomunun n tane kökü farklı vegerçel ise A matrisi köşegenleştirilebilir.

Teoremin kanıtı verilmeyecek bir örnekle açıklanacaktır.

matrisinin köşegenleştirilemeyeceğini gösterelim:

A matrisinin karakteristik polinomu,

olup, (1 - λ)2 = 0 , λ 1 = λ 2 = 1 özdeğeri bulunur. Bu özdeğere karşılıkgelen özvektörü bulalım:

( A - λ I2 ) x = 0

buradan,


B = - 15

-5 -5 0 1 5 1 -1 0 -1

1 -1 -1 1 3 1 -3 1 -1

1 1 1 0 -1 -1 -1 -1 4

B = - 15

-10 -10 0 3 15 3 2 0 2

1 1 1 0 -1 -1 -1 -1 4

B = - 15

-10 0 0 0 -15 0 0 0 10

= 2 0 0 0 3 0 0 0 -2

A = 1 5

0 1

1 - λ 5

0 1 - λ = 0


λ = 1 özdeğerine karşı gelen özvektör x1 ≠ 0 , x2 = 0 olmak üzere (x1 , 0)şeklindedir. Buna göre, R2 nin özvektörlerden oluşan bir tabanı bulunamaz. Ohalde verilen A matrisi köşegenleştirilemez.

3.3. Örnek

matrisinin özdeğer ve özvektörlerini bulunuz mümkünse köşegenleştiriniz.

Parantezler açılıp işlem yapılırsa

(1 - λ) (λ + 1) (λ - 4) = 0

bulunur. Buradan;

λ1 = 1 , λ2 = -1 , λ3 = 4

özdeğerleri bulunur. Bu özdeğerlere karşı gelen özvektörleri bulalım:

sistemini x1 e göre çözersek ; x2 = - 6x1 , x3 = 4x1 bulunur. Buna göre x = ( x1 , - 6 x1 , 4 x1 ) ; x1 = 1 için x = (1, - 6, 4) olur. λ = - 1 için özde-ğerine karşı gelen özvektör:


A = 1 2 3 0 1 0 2 1 2

A - λI3 = 1 - λ 2 3

0 1 - λ 0 2 1 2 - λ

= 1 - λ 1 - λ 2 - λ - 0 + 2 0 - 3 1 - λ = 0

0 5 0 0

x1

x2 = 0

5 x2 = 0 , x2 = 0

λ1 = 1 için A - λI3 x = 0

A - λI3 x = 0 2 3 0 0 0 2 1 1

x1 x2

x3

= 0 0 0

2x2 + 3x3 = 0

2x1 + x2 + x3 = 0


x1 = 3 için x = (3, 0, -2) bulunur.

λ = 4 özdeğerine karşı gelen özvektör;

sisteminin x3 'e göre çözümü x1 = x3 , x2 = 0 olur.

x1 = 1 için x = (1, 0, 1) bulunur. Böylece özvektörler

(1, - 6, 4) , (3, 0, - 2) , (1, 0, 1)

olarak bulunur. Bu vektörler lineer bağımsızdır ve R3 için bir taban teşkilederler. 1.2. teorem gereğince A matrisi köşegenleştirilebilir. A matrisinin stan-dart tabana göre temsil ettiği lineer dönüşüm

T: R3 → R3

T (x, y, z) = (x + 2y + 3z , y , 2x + y + 2z)

dir.

T nin { (1, -6, 4) , (3, 0, -2) , (1, 0, 1) } tabanına göre dönüşüm matrisini bulalım: Bununiçin tabandaki her vektörün T altındaki görüntüsünün yine tabana göre koordinat-larını bulmalıyız.

T (1, -6, 4) = (1 + 2 . (-6) + 3 . 4 , -6 , 2 . 1 -6 + 2 . 4) = (1, -6, 4)(1, -6, 4) = a (1, -6, 4) + b (3, 0, -2) + c (1, 0, 1)


A - λI3 x = 2 2 3 0 2 0 2 1 3

x1 x2

x3

= 0 0 0

sisteminin x1'e göre çözümü, x2 = 0 , x3 = - 23

x1 olur.

-3 2 3 0 -3 0 2 1 -2

x1

x2

x3

= 0 0 0

- 3x1 + 2x2 + 3x3 = 0

- 3x2 = 0

2x1 + x2 - 2x3 = 0

2x1 + 2x2 + 3x3 = 0

2x2 = 0

2x1 + x2 + 3x3 = 0


buradan açık olarak a=1 , b=0 , c=0 bulunur. Bu değerler matrisin 1. sütunudur.

T (3, 0, -2) = (3 + 2 . 0 + 3 (-2) , 0 , 2 . 3 + 0 + 2 . (-2) ) = (-3, 0, 2)(-3, 0, 2) = a (1, -6, 4) + b (3, 0, -2) + c (1, 0, 1)

burada a=0 , b=-1 , c=0 olduğu hemen görülür. Bu değerler matrisin 2. sütunudur.

T (1, 0, 1) = (1 + 2 . 0 + 3 . 1 , 0 , 2 . 1 + 0 + 2 . 1) = (4, 0, 4)(4, 0, 4) = a (1, -6, 4) + b (3, 0, 2) + c (1, 0, 1)

burada a=0 , b=0 , c=4 olduğu açıktır. Bu değerlerde matrisin 3. sütunudur. Bunagöre,

bulunur. Bu köşegen matrisin köşegen üzerindeki öğelerinin özdeğerler olduğu-na dikkat edelim.

Şimdi ikinci bir yol olarak,

T nin özvektörlerinden oluşan { (1, -6, 4) , (-3, 0, 2) , (1, 0, 1) } tabanına göre köşegenmatrisini daha kısa yoldan bulalım:

(Özvektörler sütunları oluşturuyor)

olmak üzere

B = P-1 A P

köşegen matristir. P-1 ters matrisi bulunarak çarpma işlemi yapılırsa

elde edilir.


A = 1 0 0 0 -1 0 0 0 4

P = 1 3 1 -6 0 0 4 -2 1

B = 130

0 -5 0 6 -3 -6 12 14 18

1 2 3 0 1 0 2 1 2

1 3 1 -6 0 0 4 -2 1

= 130

30 0 0 0 -30 0 0 0 120

= 1 0 0 0 -1 0 0 0 4


3.4. Örnek

T : R3 → R3

T (x, y, z) = (x + 2y + 3z , -y + 2z , 2z)

lineer dönüşümünün özdeğer ve özvektörlerini bulunuz. Mümkünse dönüşümmatrisini köşegenleştiriniz.

Çözüm

T (x, y, z) = λ (x, y, z)(x + 2y + 3z , -y + 2z , 2z) = (λx , λy , λz)[ (1 - λ) x + 2y + 3z , (-1 - λ) y + 2z , (2 - λ) z] = (0, 0, 0)

(1 - λ) x + 2y + 3z = 0(-1 - λ) y + 2z = 0 (1)

(2 - λ) z = 0

T nin karakteristik polinomu,

olup, λ = 1 , λ = -1 , λ = 2 özdeğerleri bulunur.

Şimdi bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri bulalım:

λ = 1 için (1) den,

buradan,

z = 0 , y = 0 , x ≠ 0 , x ∈ R olur. Buna göre x = 1 için (1, 0, 0) özvektörü eldeedilir.

λ = -1 için (1) den,


1 - λ 2 3 0 -1 - λ 2 0 0 2 - 7

= (1 - λ) (-1 - λ) (2 - λ) = 0

2y + 3z = 0

-2y + 2z = 0

2z = 0

2x + 2y + 3z = 0

2z = 0

3z = 0


buradan,

z = 0 , x , y ∈ R olmak üzere, x = y = 1 için (1, 1, 0) özvektörü elde edilir.

λ = 2 için (1) den,

sistemin z ye göre çözümü z = 3 için çözümlerindenbiri (13, 2, 3) özvektörüdür.

Buradan, (1, 0, 0) (1, 1, 0) (13, 2, 3) özvektörleri lineer bağımsız olduğu için R3 içinbir taban teşkil eder. Bu nedenle dönüşüm matrisi köşegenleştirilebilir. Bu köşe-gen matris

B = P-1 A P

dir.

olmak üzere P-1 i bularak

B = P-1 A P

çarpımından

olduğunu görünüz.

3.5. Örnek

T : R2 → R2

T (x, y) = (x, -2x + y)

lineer dönüşüm matrisini mümkünse köşegenleştiriniz.


-x + 2y + 3z = 0

-3y + 2z = 0

0 . z = 0

x = 133

z , y = 23

z olur

P = 1 1 13 0 1 2 0 0 3

, A = 1 2 3 0 -1 2 0 0 2

B = 1 0 0 0 -1 0 0 0 2


Çözüm

T (x, y) = λ (x, y)(x , -2x + y) = (λx , λy)[ (1 - λ) x , -2x + (1 - λ) y ] = (0, 0)

(1 - λ) x = 0-2x + (1 - λ) y = 0 (1)

Karakteristik polinom,

(1 - λ)2 = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1.

λ = 1 değerine karşılık gelen özvektör (1) den

sistemin çözümünden x = 0 bulunur. Özvektörler (0, y) , y ≠ 0 şeklindedir. Bura-dan, R2 nin bir tabanı oluşturulamaz. Dolayısıyla dönüşüm matrisi köşegenleş-tirilemez.

Simetrik matrislerin (A = AT) köşegenleştirilmede özelliği vardır. Bununla ilgiliteoremi kanıtsız vererek uygulamasını yapalım.

3.6. Teorem

A = (aij)nxn bir simetrik matris ise köşegenleştirilebilir.

Teoremin kanıtını vermeyeceğiz. Lineer Cebir kitaplarında bulabilirsiniz. Aşağı-daki ifadeler bu teoremin sonuçlarıdır.

• Simetrik bir matrisin karakteristik polinomunun bütün kökleri gerçeldir.• Simetrik matrisin farklı özdeğerlerine karşılık gelen özvektörleri ortogonal-

dir (diktir).• Bir P matrisi vardır ki

P-1 A P

matrisi köşegen matristir. A matrisinin özdeğerleri köşegen matrisin esasköşegeninin öğeleridir.


1 - λ 0 -2 1 - λ

= (1 - λ)2 = 0 ,

0 . x = 0

-2x + 0 . y = 0


3.7. Örnek

matrisini köşegenleştiriniz.

Çözüm

A nın karakteristik polinomu,

λ1 = 0 ve λ2 = λ3 = 6 özdeğerleri bulunur.

Şimdi bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri belirleyelim;

(A - λI) (x) = 0

λ = 0 için;

buradan,

y = 0 , x = -z bulunur. Buna göre z = -1 için λ = 0 özdeğerine karşılık ge-len özvektör (1, 0, -1) olur.

λ2 = 6 için

( A - λI3 ) ( x ) = 0


A = 3 0 3 0 6 0 3 0 3

A - λI3 = 3 - λ 0 3

0 6 - λ 0 3 0 3 - λ

= - λ (6 - λ)2 = 0

3 0 3 0 6 0 3 0 3

x

y

z

= 000

3x + 3z = 0

6y = 0

3x + 3z = 0

3x + 3z = 0

3x + 3z = 0


buradan x = z bulunur. Buna göre, z = 1 ve z = 3 için sırasıyla (1, 0, 1) ve (3, 1, 3)vektörleri λ = 6 özdeğerine karşılık gelen özvektörler olarak alınabilir.

Uyarı

λ = 6 özdeğeri karakteristik polinomun iki katlı köküdür. Bu nedenle iki tanelineer bağımsız özvektör elde edilir. Genel olarak λ , k katlı kök ise k tane lineer ba-ğımsız özvektör bulunur. Şimdi

P-1 A P

köşegen matrisini bulalım.

olmak üzere

bulunur.

Özdeğer ve özvektörlerin birçok önemli özellikleri kanıtsız olarak verilebilir:

• A bir üst üçgen (alt üçgen) matris ise A nın özdeğerleri esas köşegen üze-rindeki elemanlardır.

• A ve AT matrisleri aynı özdeğerlere sahiptir.• Bir A kare matris için Aq = 0 olacak şekilde bir q tamsayısı bulunabiliyorsa

A ya nilpotent matris denir. A nilpotent matris ise bu durumda bir tek özdeğe-ri vardır bu da 0 dır.

• A nın determinantının değeri, karakteristik polinonunun bütün köklerininçarpımına eşittir.


P = 1 1 3 0 0 1

-1 1 3

P-1 = -12

-1 0 1 -1 6 -1 0 -2 0

P-1A P = -12

-1 0 1 -1 6 -1 0 -2 0

3 0 3 0 6 0 3 0 3

1 1 3 0 0 1 -1 1 3

= 0 0 0

0 6 0 0 0 6


• A matrisinin regüler olmaması için gerekli ve yeterli koşul λ = 0 ın A nınbir özdeğeri olmasıdır.

• A bir köşegenleştirilebilen matris ise AT ve An matrisleri de köşegenleştiri-lebilir (n ∈ N).

Değerlendirme Soruları1.

matrisinin özdeğerleri aşağıdakilerden hangisidir?

A. λ1 = 2 B. λ1 = λ2 = 2λ2 = 3

C. λ1 = 3 D. λ1 = -2λ2 = -2 λ2 = -3

E. λ1 = 0λ2 = 3

2.

matrisinin özvektörleri aşağıdakilerden hangisidir?

A. (2, 3) B. (0, 1)(3, 2) (1, 1)

C. (1, 1) D. (5, 1)(3, 2) (0, 0)

E. (1, 1)(5, 5)

3.

matrisinin köşegenleştirilmiş matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

A. B.

C. D.

E.


4 -2 1 1

4 -3 2 -1

5 -4 2 -1

5 0 0 -1

0 -4 2 -1

1 0 0 1

1 0

0 3

1 1 0 0


4.


A. λ1 = 1 B. λ1 = 1λ2 = 2 λ2 = 1λ3 = 3 λ3 = 3

C. λ1 = 3 D. λ1 = 0λ2 = 3 λ2 = 1λ3 = 1 λ3 = 2

E. λ1 = 1λ2 = 0λ3 = 2

5.


A. λ1 = 1 B. λ1 = 2λ2 = 2 λ2 = -2λ3 = 3 λ3 = 1

C. λ1 = 0 D. λ1 = -1λ2 = 1 λ2 = 1λ3 = 3 λ3 = 3

E. λ1 = -1λ2 = 2λ3 = 5

Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. A 2. C 3. E 4. B 5. D


3 6 -2 0 1 0 0 0 1

2 2 -1 1 3 -1 1 4 -2

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Rn, Pn (R), Mnxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıya-

cak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.• Rn, Pn (R), Mnxn uzaylarında bir vektörün uzunluğu ve iki vek-

tör arasındaki açı kavramlarını öğreneceksiniz.• İki vektörün ortogonal olmasını,• Bir kümenin ortogonal ve ortonormal olmasını,• Sonlu boyutlu bir vektör uzayının Gram-Schmidt yöntemi ile

daima bir ortonormal tabanının bulunabileceğini öğreneceksi-niz.

İçindekiler

• Giriş 217• Vektörlerin Ortogonalliği, Ortonormal Vektör Kümeleri 227• Değerlendirme Soruları 233

ÜNİTE

10İç-Çarpım Uzayları

YazarÖğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

www.matematikce.com



• Vektör uzayları ünitesini yeniden gözden geçiriniz.


1. GirişR2 ve R3 vektör uzaylarında bir vektörün uzunluğu, iki vektör arasındaki açıkavramlarını ve bu kavramların bu uzaylara kazandırdığı kimi önemli özellikleriAnalitik Geometri derslerinden biliyorsunuz. Eğer sadece R2 ve R3 uzayındakivektörleri incelemiş olsaydık orada verilen uzunluk ve açı tanımları yeterli olurdu.Fakat daha önce gördüğümüz Pn(R) vektör uzayındaki iki polinom arasındakiaçıdan veya Mmxn vektör uzayındaki bir matrisin uzunluğundan söz edilebilirmi? Daha genel olarak, herhangi bir vektör uzayına bu kavramlar genelleştirilebi-lir mi? Bu tür sorulara yanıt verebilmek için bir vektör uzayı içinde iç çarpım kavra-mını tanımlıyacağız.

1.1. İç Çarpım Uzayları

V bir vektör uzayı olsun. x, y ∈V için < x, y > ile gösterilen ve aşağıdaki ko-şulları sağlayan < , > : V x V → R , (x, y) → < x, y > fonksiyonuna V üzerinde biriç çarpım V ye de iç çarpım uzayı denir. Bu iç çarpım uzayı (V, < , >) ile gösterilir.

(i) Her x, y ∈V için < x, y > = < y, x >(ii) Her x, y, z ∈V için < x, y + z> = < x, y > + < x, z >(iii) Her x, y ∈V , c∈ R için

< cx, y > = c< x, y > = < x, cy >iv) Her x ∈V için < x, x > ≥ 0 ; < x, x > = 0 ⇔ x = 0

1.2. Örnek

Rn de iç çarpım:x, y ∈ R için x = (x1 , x2 , ..., xn) , y = (y1 , y2 , ..., yn)

olsun.x ve y vektörlerinin iç çarpımı< x, y > = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn

biçiminde tanımlanır.

Bu tanımın iç çarpımın tüm koşullarını sağladığı kolayca doğrulanabilir. Aşağıda-ki teorem ile n = 3 için kanıt verilmektedir. Rn ne bu iç çarpımla öklid uzayı adıverilir.

1.3. Teorem

R3 içindeki x = ( x1 , x2 , x3 ) , y = ( y1 , y2 , y3 ) vektörleri için

< x, y > = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

bir iç çarpımdır.

İ Ç - Ç A R P I M U Z A Y L A R I 217 www.matematikce.com


Kanıt

< x, y > nin bir iç çarpım olduğunu göstermek için iç çarpım tanımındaki i-iv koşul-larının sağlandığını göstermeliyiz.

(i) < x, y > = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = y1 x1 + y2 x2 + y3 x3 = < y, x >

(ii) < x, y + z > = < ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 + z1 , y2 + z2 , y3 + z3 ) >= x1 ( y1 + z1 ) + x2 ( y2 + z2 ) + x3 ( y3 + z3 )= x1 y1 + x1 z1 + x2 y2 + x2 z2 + x3 y3 + x3 z3= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x1 z1 + x2 z2 + x3 z3= < x, y > + < x, z >

iii) < cx, y > = < ( cx1 , cx2 , cx3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) >= cx1 y1 + cx2 y2 + cx3 y3= c( x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 )= c < x, y >

iv) < x, x > = < ( x1 , x2 , x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) >= x12 + x22 x32 ≥ 0

Böyle bir toplamın sıfır olması her terimin ayrı ayrı sıfır olmasıyla sağlanacağın-dan

x1 = x2 = x3 = 0

dır. < x, x > = 0 ⇔ x = 0

Böylece R3 de

< x, y > = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

bir iç çarpım olduğu kanıtlanmış olur.

1.4. Örnek

R3 teki x = (2, -3, 1), y = (1, 5, -6) vektörlerinin iç çarpımını hesaplayınız.

Çözüm

< x, y > = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3= 2.1 + (-3).5 + (1.(-6)= 2 - 15 - 6= -19

İ Ç - Ç A R P I M U Z A Y L A R I218


1.5. Örnek

Pn(R) de iç çarpım:

Pn(R), derecesi n veya n den küçük olan polinomların uzayında iç çarpım;

p(x), q(x) ∈ Pn(R) için

biçiminde tanımlanır. Bu tanımın iç çarpım koşullarını sağladığını kolayca doğru-layabilirsiniz.

1.6. Örnek

P2 (R) de p(x) = 3x2 + 2x + 5 , q(x) = x + 1 vektörlerinin iç çarpımlarını he-saplayınız.

Çözüm

1.7. Örnek

Mnxn uzayında iç çarpım:

A, B ∈ Mnxn , A = (aij)nxn , B = (bij)nxn olmak üzere

biçiminde tanımlanır. Bu tanımın iç çarpım koşullarını sağladığının gösterilmesi-ni alıştırma olarak bırakıyoruz.

İ Ç - Ç A R P I M U Z A Y L A R I 219

< p(x), q(x) > = 0

1p(x) . q(x) dx

< p(x), q(x) > = < 3x2 + 2x + 5 , x + 1 > = 0

1(3x2 + 2x + 5) . (x + 1) dx

=

0

1(3x3 + 5x2 + 7x + 5) dx

= 3

4 x4 + 5

3 x3 + 7

2 x2 + 5x

1 0

= 3

4 + 5

3 + 7

2 + 5

= 131

12

< A, B > = ∑i = 1

na ij bij∑

j = 1

n


1.8. Örnek

buna göre,= 1.2 + 2.0 + 3.1 + 4(-3)= -7

bulunur.

1.9. Tanım

A = (aij)nxn matrisi verilsin.

A matrisinin köşegeni üzerindeki sayıların toplamı olan

a11 + a22 + ... + annsayısına A matrisinin izi denir

biçiminde gösterilir.

Mnxn vektör uzayındaki A, B ∈ Mnxn için iç çarpım

dir. Çünkü ABt çarpımında köşegen üzerindeki elemanların toplamı

dir. Buradan,


< A, B > = ∑i = 1

2a ij bij∑

j = 1

2

= ∑

i = 1

2a i1 bi1 + a i2 bi2

= a11 b11 + a12 b12 + a11 b11 + a12 b22

M2x2 de A = 1 2

3 4 , B = 2 0

1 -3 vektörlerinin iç çarpımlarını hesaplayınız.

A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

an1 an2 ann

iz (A) = a11 + a22 + ... + ann = a ii∑i = 1

n

< A, B > = iz ( ABt ) = ∑i

na ij bij∑

j

n

iz (A Bt) = ∑i

na ij bij

t∑j = 1

n


elde edilir.

bulunur.

1.10. Tanım

V bir iç çarpım uzayı, x∈ V olsun. x vektörünün uzunluğu

biçiminde tanımlanan bir sayıdır.

1.11. Örnek

R3 deki x = (1, 3, 5) vektörünün uzunluğunu hesaplayınız.

1.12. Örnek

P2(R) deki p(x) = x2 + 1 vektörünün uzunluğunu hesaplayınız.


iz ( ABt ) = ∑i

na ij bij

t∑j

n = ∑

i

na ij bij∑

j

n = < A, B >

1.8 Örnekteki A = 1 2 3 4

, B = 2 0 1 -3

matrislerinin iz iç çarpımını

hesaplayalım.

< A, B > = iz ( ABt )

ABt = 1 2 3 4

2 1 0 -3

= 2 -5 6 -9

iz ( ABt ) = 2 - 9 = -7 = < A, B >

x = < x , x >

x = < (1, 3, 5) , (1, 3, 5) > = 1 + 9 + 25 = 35

x = < (x2 + 1) , (x2 + 1) > = 0

1(x2 + 1)2 dx

= 0

1(x4 + 2x2 + 1) dx

= 15

x5 + 23

x3 + x) 1 0

= 15

+ 23

+ 1

= 2815


1.13. Teorem

Cauchy - Schwarz Eşitsizliği

V bir iç çarpım uzayı, x, y ∈ V olsun.

|< x, y >| ≤ || x|| || y||

dir.

Burada sol taraf bir gerçel sayının salt değerini, sağ taraf ise vektörlerin uzunlukla-rı çarpımını verir.

Kanıt

x = 0 olması durumunda

|< x, y >| = 0|| x|| || y|| = 0

olduğundan eşitsizlik sağlanır.x ≠ 0 olsun. Keyfi bir r ∈ R, r ≠ 0 için

< rx + y , rx + y > değerini alalım. 0 ≤ < rx + y , rx + y >

= < rx , rx + y > + < y , rx + y > tanımdan= < rx , rx > + < rx, y > + < y , rx > + < y, y >= r2 < x , x > + r < x , y > + r < x , y > + < y , y > = r2 < x , x > + 2r < x , y > + < y , y >

olur. Burada a = < x , x >, b = 2 < x, y > , c = < y , y > ile gösterirsek

p (r) = ar2 + br + c ≥ 0

r ye göre ikinci dereceden polinom elde edilir. Bu polinomun bir parabol denklemiolduğuna dikkat ediniz.

p (r) = ar2 + br + c

polinomunun r nin her değeri için

ar2 + br + c ≥ 0

olması için aşağıdaki iki koşuldan birinin sağlanması gerekir.

(i) ar2 + br + c = 0 ın gerçel köklerinin olmaması yani

b2 - 4ac < 0

olması,



(ii) ar2 + br + c = 0 ın iki katlı gerçel kökünün olmasıdır.

Uyarı: Eğer ar2 + br + c = 0 ın r1 ve r2 gibi farklı iki kökü olsaydı, a > 0 ol-duğu için r1 ve r2 kökleri arasında p(r) < 0 olurdu.

O halde

b2 - 4ac ≤ 0

olmalıdır. Buradan

b2 - 4ac ≤ 0 4 < x , y >2 ≤ 4 < x , x > < y , y >

< x , y >2 ≤ < x , x > < y , y >

ve böylece

|< x , y >| ≤ || x|| || y||

eşitsizliği elde edilir.

1.14. Örnek

Pn (R) de p(x) ve q(x) vektörleri için Cauch-Schwarz eşitsizliği

dir. Bu eşitsizliği


r

y

r

y

< p(x) , q(x) > 2 = 0

1 p(x) , q(x) dx

2

≤

0

1 p2(x) dx

0

1 q2(x) dx

= p(x) 2 q(x) 2


p(x) = x + 1 ve q(x) = x2 - x - 1 vektörleri için doğrulayalım:

işlemler yapılırsa,

eşitsizliğin doğruluğu sağlanır.

1.15. Teorem Üçgen Eşitsizliği

V bir iç çarpım uzayı, x, y ∈ V olsun.

|| x + y|| ≤ || x|| + || y||

dir.

Kanıt

|| x + y|| 2 = < x + y , x + y >= < x , x + y > + < y , x + y >= < x , x > + < x, y > + < y , x > + < y, y >= < x , x > + 2 < x , y > + < y , y >≤ || x|| 2 + 2 || x|| || y|| + || y|| 2 = ( || x|| + || y|| )2

|| x + y|| 2 ≤ ( || x|| + || y||)2

olur. Her iki tarafın pozitif karekökü alınırsa

|| x + y|| ≤ || x|| + || y||

bulunur.

Bu eşitsizlik adını bir üçgenin bir kenarının uzunluğunun diğer iki kenarın uzun-lukları toplamından küçük oluşundan almaktadır. Çünkü düzlemde kenarları x, y, x + y vektörleri olan bir üçgende x + y nin uzunluğu x ve y nin uzunluklarıtoplamından küçüktür.


0

1 (x + 1) (x2 - x - 1) 2 dx ≤

0

1 x + 1 2 dx

0

1 x2 - x - 1 2 dx

0

1 x6 - 4x4 - 2x3 + 4x2 + 4x + 1 dx ≤

0

1 x2 2x + 1 dx

0

1 x4 - 2x3 - x2 + 2x + 1 dx

667210

≤ 28790

x

yx +

y


1.16. Tanım

V bir iç çarpım uzayı olsun.

x, y ∈ V , x, y ≠ 0 olmak üzere bu iki vektör arasındaki açı

eşitliği ile tanımlanır.

Cauchy - Schwarz eşitsizliğinden

| < x , y > | ≤ || x|| || y||

buradan

böylece

-1 ≤ cos θ ≤ 1

olur. Buna göre herhangi bir çarpım uzayında sıfır olmayan iki vektör arasında yu-karıdaki biçimde tanımlanan θ açısı anlamlıdır.

(1) eşitliğinden

< x , y > = || x|| || y|| cos θ

yazabiliriz. Bu eşitlik R2 ve R3 deki x ve y vektörlerinin iç çarpımıdır. Böylece

şeklinde ifade ettiğimiz açı kavramını herhangi bir iç çarpım uzayına genişletmişolduk.

1.17. Örnek

R3 deki x = (1, 0, 0) , y = (1, 1, 1) vektörleri arasındaki açıyı bulunuz.

Çözüm


cos θ = < x, y > x y 0 ≤ θ ≤ π

< x, y > x y ≤ 1

-1 ≤ < x, y > x y ≤ 1

cos θ = < x, y > x y

cos θ = < (1, 0, 0) , (1, 1, 0) >

12 + 02 + 02 . 12 + 12 + 02 = 1

2

cos θ = 1

2


bulunur.

1.18. Örnek

R2 (R) deki p(x) = 1 + x , q(x) = x vektörleri arasındaki açıyı bulunuz.

Çözüm

olur.

1.19. Örnek

Çözüm

olarak bulunur.


buradan θ = π4

= 45°

cos θ = < p(x) , q(x) > p(x) q(x)

cos θ = < 1 + x , x >< 1 + x , 1 + x > < x , x >

cos θ = 0

1x 1 + x dx

0

1 1 + x 2 dx

0

1x2dx

= 56

73

. 13

= 5673

cos θ = 5

2 7

M 2x2 vektör uzayındaki A = 1 2 0 -1

, B = -1 0 2 3

vektörleri

arasındaki açıyı bulunuz.

AB t = 1 2 0 -1

-1 2 0 3

= -1 8 0 -3

i z AB t = - 1 - 3 = - 4 i z AAt = i z 1 2

0 -1 1 0

2 -1 = 6

i z BB t = i z -1 0

2 3 -1 2

0 3 = 14

cos θ = -4

6 14 = - 2

21


2. Vektörlerin Ortogonalliği, Ortonormal VektörKümeleri

(Gram-Schmidt ortonormalleştirme yöntemi)

2.1. Tanım

V iç çarpım ve x, y ∈V olsun. Eğer < x, y > = 0 ise x ve y ye ortogonal (dik)vektörler denir.

İki vektör arasındaki açı,

ifadesinde

cos θ = 0 ise x , y ortogonal vektörler,

cos θ = ± 1 yani < x, y > = ± || x|| || y|| ise x ve y vektörleri paralel vektör-lerdir.

2.2. Örnek

R2 de x = (1, 3) , y = (- 3, 1) vektörleri için

< x, y > = < (1, 3) , (- 3, 1) > = 1. (- 3) + 3.1 = 0

olduğundan vektörler ortogonaldir.

2.3. Tanım

V bir iç çarpım uzayı. E ⊂ V olsun. E içindeki farklı her vektör çifti ortogonal ise Eye ortogonal vektör kümesi denir. Ayrıca ortogonal E kümesindeki her vektörünuzunluğu 1 ise E ye ortonormal bir küme denir.

2.4. Örnek

R3 teki x1 = (1, 0, 3) , x2 = (0, 2, 0) , x3 = (- 3, 0, 1) vektörlerinin ortogonal ol-duğunu gösteriniz. Ayrıca ortonormal kümeyi bulunuz.


cos θ = < x , y > x y


Çözüm

< x1 , x2 > = < (1, 0, 3) , (0, 2, 0) > = 0< x1, x3 > = < (1, 0, 3) , (- 3, 0, 1) > = 0< x2 , x3 > = < (0, 2, 0) , (- 3, 0, 1) > = 0

O halde x1 , x2 , x3 vektörleri ortogonal vektörlerdir.

{ (x1 = (1, 0, 3) , x2 = (0, 2, 0) , x3 = (- 3, 0, 1) } kümesi de ortogonal kümedir.

x1 , x2 , x3 vektörlerinin birim vektörlerini bulalım.

Benzer şekilde,

birim vektörlerdir.

2.5. Teorem

V n boyutlu iç çarpım uzayı olsun. V de sıfırdan farklı ortogonal vektörlerin E = { x1 , x2 , ... , xn } kümesi lineer bağımsızdır.

Kanıt

E = { x1 , x2 , ... , xn } V içinde ortogonal bir küme olsun.

< xi , xj > = 0 i ≠ j i , j = 1 , 2 , ... , n

dır. Şimdi

c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn = 0 ise , 1 ≤ i ≤ n için< xi , 0 >

olduğundan


x1 = < x1 , x1 > = < 1 , 0 , 3 , 1, 0, 3 > = 1 + 0 + 9 = 10 x1 = 1

10 1 , 0 , 3 = 1

10 , 0 , 3

10 x1 ni birim vektörüdür.

x2 = 12

0 , 2 , 0 = 0 , 1 , 0 , x3' = 1

10 - 3 , 0 , 1 = - 3

10 , 0 , 1

10

110

, 0 , 310

, 0 , 1 , 0 , - 310

, 0 , 110

kümesi ortonormal bir kümedir


0 = < xi , c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn > = c1 < xi , x1 > + c2 < xi , x2 >... + ci < xi , xi > + cn < xi , xn >,

0 = c1 . 0 + c2 . 0 + ... + ci < xi , xi > + ... + cn.0 0 = ci < xi , xi >

elde edilir.

xi ≠ 0 olduğu için ci = 0 , i = 1 , 2 , ... , n . Buna göre E kümesi lineer ba-ğımsızdır.

Sonuç

Sonlu boyutlu V iç çarpım uzayında ortonormal bir küme lineer bağımsızdır.

2.6. Tanım

V , n boyutlu bir vektör uzayı olsun. V de sıfırdan farklı x1 , x2 , ... , xnvektörleri ortogonal ise bu vektörlerin kümesi V için bir ortogonal tabandır.Eğer x1 , x2 , ... , xn vektörleri ortonormal ise bu vektörlerin kümesi V için birortonormal tabandır.

2.7. Örnek

E = { (0 , 2 , 5) , (-2 , 1 , 0) , (1 , 0 , 1) } vektör kümesi R3 ün ortogonal bir taba-nı mıdır?

Çözüm

Bir vektör uzayı için ortogonal taban olması demek tabandaki vektörlerin ortogo-nal olması demektir.

E = { (0 , 2 , 5) , (-2 , 1 , 0) , (1 , 0 , 1) }

kümesi R3 için bir tabandır (R3 te lineer bağımsız üç vektör). Bu tabanın or-togonal olup olmadığını araştıralım:

< (0 , 2 , 5) , (-2 , 1 , 0) > = 0 . (-2) + 2 . 1 + 5 . 0 = 2 ≠ 0

olduğu için E kümesi R3 ün bir ortogonal tabanı değildir.

2.8. Örnek

E = { x , 1 + x } kümesi P1 (R) nin ortogonal bir tabanı mıdır?



E kümesi P1 (R) için bir tabandır. Ortogonal taban olması için E nin orto-gonal bir küme olması gerekir yani

< x , 1 + x > = 0

olmalıdır.

olduğundan E kümesi P1 (R) nin ortogonal bir tabanı değildir.

2.9. Teorem

V , n boyutlu bir iç çarpım uzayı olsun. V nin bir E = { x1 , x2 , ... , xn } ta-banı ortonormal bir tabana dönüştürülebilir.

Kanıt

Teoremin kanıtını vermeyeceğiz. Uygulamasını yapacağız.

Sonlu boyutlu V vektör uzayının, herhangi bir tabanından yararlanarak bir orto-normal tabanını bulmak için izlenen yönteme Gram - Schmidt ortonormalleştirmeyöntemi denir. E = { x1 , x2 , ... , xn } kümesi V nin herhangi bir tabanı ise Ekümesini, Gram - Schmidt ortonormalleştirme yöntemini kullanarak V için orto-normal bir taban bulalım:

E = { x1 , x2 , ... , xn } V nin bir tabanı olmak üzere

i) y1 = x1 alalım.

ii)

formülünden sırasıyla y2 , y3 , ... , yn vektörleri bulunur.

{ y1 , y2 , ... , yn }

kümesi V nin ortogonal bir tabanıdır.

iii) y1 , y2 , ... , yn vektörlerinin birim vektörleri sırasıyla

z1 , z2 , ... , zn ise

S = { z1 , z2 , ... , zn } kümesi V nin bir ortonormal tabanıdır.


< x , 1 + x > = 0

1x 1 + x dx =

0

1x + x2 dx

= 1

2 x2 + 1

3 x3

0

1= 5

6 ≠ 0

yn = xn - < xn , y1 >< y1 , y1 > y1 - < xn , y2 >

< y2 , y2 > y2 - ... - < xn , yn - 1 >< yn - 1 , yn - 1 > yn - 1


2.10. Örnek

Gram-Schmidt ortonormalleştirme yöntemiyle R3 için bir ortonormal taban bu-lunuz.

Çözüm

R3 ün herhangi bir tabanını alalım:

E = { (1, 1, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 3) } kümesi R3 için bir tabandır (Kontrol ediniz).

y1 = x1 = (1, 1, 1) alalım.

Böylece,

kümesi R3 için ortogonal bir tabandır. Bu taba-

nın bir ortonormal taban olması için her vektörün birim vektörü bulunur.

kümesi R3 için bir ortonormal tabandır.


y2 = x2 - < x2 , y1 >< y1 , y1 > y1 = (1, 0, 2) - < (1, 0, 2) , (1, 1, 1) >

< (1, 1, 1) , (1, 1, 1) > (1, 1, 1)

y2 = (1, 0, 2) - 3

3 (1, 1, 1) = (0, -1, 1)

y3 = x3 - < x3 , y1 >

< y1 , y1 > y1 - < x3 , y2 >< y2 , y2 > y2

= (1, 2, 3) - < (1, 2, 3) , (1, 1, 1) >

< (1, 1, 1) , (1, 1, 1) > (1, 1, 1) - < (1, 2, 3) , (0, -1, 1) >

< (0, -1, 1) , (0, -1, 1) > (0, -1, 1)

= (1, 2, 3) - 6

3 (1, 1, 1) - 1

2 (0, -1, 1)

= (1, 2, 3) - (2, 2, 2) - 0, -1

2 , 1

2 = 1 - 2 , 2 - 2 + 1

2 , 3 - 2 - 1

2 = -1 , 1

2 , 1

2

(1, 1, 1) , (0, -1, 1) , -1 , 12

, 12

13

(1, 1, 1) , 12

(0, -1, 1) , 26

-1, 12

, 12

vektörleri sırasıyla (1, 1, 1) , (0, -1, 1) , -1, 1

2 , 1

2 vektörlerinin birim vektörleridir. Dolayısıyla

13

, 13

, 13

, 0, -12

, 12

, -26

, 16

, 16


Siz de Gram-Schmidt ortonormalleştirme yöntemi ile P2 (R) için bir ortonormaltaban bulunuz.

2.11. Örnek

P1 (R) nin {1, 2 + x} tabanını kullanarak P1 (R) için bir ortonormal taban bulu-nuz.

Çözüm

{1, 2 + x} kümesi P1 (R) nin bir tabanı olduğuna göre

y1 = x1 = 1 alalım.


y2 = x2 - < x2 , y1 >< y1 , y1 > y1

= 2 + x - < 2 + x , 1 >

< 1 , 1 > 1

= 2 + x - 0

1(2 + x) dx

0

1dx

= 2 + x - 52

1 = 2 + x - 5

2 = - 1

2 + x

1, - 12

+ x kümesi ortogonal bir tabandır.

- 12

+ x vektörünün birim vektörünü bulalım.

- 12

+ x = < - 12

+ x , - 12

+ x > = 0

1- 1

2 + x

2dx = 1

12 = 1

12

- 12

+ x

112

= - 3 + 2 3x

1, - 3 + 2 3x kümesi ortonormal bir tabandır.


Değerlendirme Soruları1. R4 deki (1, 4, 5, -3) vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

A. B. C.

D. 7 E.

2. P2 (R) de tanımlı iç çarpıma göre p(x) = x2 + 3x vektörünün uzunluğuaşağıdakilerden hangisidir?

A. B. C.

D. E.

3. M2x2 de tanımlı iç çarpımına göre vektörünün uzunluğu aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A. 10 B. 20 C.

D. E.

4. R3 deki (1, 3, 5) (-1, 4, 7) vektörleri arasındaki açının kosinüsü aşağıdaki-lerden hangisidir?

A. B. C.

D. E.

5. P2 (R) de tanımlı iç çarpıma göre p(x) = 2, q(x) = 1 + x2 vektörleri arasın-daki açının kosünüsü aşağıdakilerden hangisidir?

A. B. C.

D. E.


7 60

20

51

4710

3

7

47

14

1 2 3 4

30

40 17

4035 66

135 66

4635 66

4635

4666

2 153 7

157

153 7

3 715

2 157


6. Aşağıdaki kümelerden hangisi ortogonaldir?

A. { (1, 2, 1), (1, -1, 1), (1, 0, -1) } B. { (1, 2, 1), (3, 4, 5), (1, 0, 0)}

C. { (2, 2, -1), (2, -1, 2), (1, 0, 0) } D. { (1, 1, 3), (0, 1, 3), (2, 0, 1)}

E. { (1, 0, 0), (0, 1,0), (0, 0, 1) (1, 1, 1) }

7. P2 (R) de aşağıdaki kümelerden hangisi ortogonaldir?

A. { 1, 3, 1 + x + x2 } B. { 1, x, x2, 2x2 + n }

C. D.

E. { 1, x }

8. R3 nin V = { (x, y, z) | x + y + z = 0, x, y, z ∈ R } alt uzayının ortogonaltabanı aşağıdakilerden hangisidir?

A. B. { (1, 1, -2) , (1, -1, 0) }

C. { ( 1, 1, 1) , (0, 0, 1) } D. { ( 1, 0, 1) , (0, 1, 0 ) }

E.

9. R2 için aşağıdakilerden hangisi bir ortonormal tabandır?

A. { (1, 0), (1, 1) } B. { (1, 0), (0, 1) }

C. { (1, 1), (2, 2) } D. { (0, 0), (1, 3) }

E. { (-4, 5), (1, 1), (-1, 0) }

Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. C 2. A 3. C 4. E 5. A 6. A 7. D 8. B 9. B


{ 1, 12

- x, 13

- x2 } { 1, x - 12

, x2 - x + 16

12

, -1, 12

, -2, 1, 1

12

, 13

, 14

, (1, 1, 1)

www.matematikce.com

matematİk ÖĞretmenlİĞİmuratbeken.com.tr/wp-content/uploads/2018/08/lineer-cebir-1998.pdf ·...

Documents