matematika za 2. razred gimnazije

Click here to load reader

Post on 13-Aug-2015

2.848 views

Category:

Documents

94 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zbirka zadataka iz matematike za drugi razred gimnazija

TRANSCRIPT

,tWIC{1 77 t,-- '\\Adem Huskici ;

"

'-' v ' -

,,--

tfIIii'-

r",1 ,

')

C/;

(,"

", ('(,' ',I

/(

MATEMATIKAza (irugi razred gimnazije i drugih srednjih skala!

,i

,gIt

I 1

\

! !

Vi

/1 I

I

r\

/

\J\

o!

L'II

Ji

I

IP "SVJETLOSl1", d.d.ZAVOD ZA UDZBENIKE I NASTAVNA SREDSTVA

SARAJEVO, 2003.

Izdavac:

IP "SVJETLOST" d.d. Zavod za udibenike i nastavna sredstva Sarajevo Sefik ZUPCEVIC Abduselam RUSTEMPMacj\nte Barrie Prof. Dr. Scfket ARSLANAGIC; Sarajevo

IPREDGOVORUdzbcnik je pisan prema Nasta\'IlOm planu i programu za drugi razred gimnazije i tehnickih skola. Njime su obuhvaccne sve oblasti prcdvidcne Nastavnim programom U obimu koji je odreden nastavnim planol11. Nije ispustena nijedna ob!ast, nijedna tema, a u cilju potpunijeg uvida u tematsku gradu u pojedinom icmama uvedena su neznatna prosirenja koja nisu eksplicitno navedena u Programu predmeta. Sire oblasti navedene u Programu, u udzbcniku su podijeUene na manje tematskc cjeIine koje se mogu obraditi na jednom iIi dva nastavna sata. Svaka takva cjelina je obradena tako da se mogu uociti cetiri odvojena dijela ito: 1. Teorijska obrada materije uz odgovarajuce ilustracijc i komentare, 2. Pailjivo odabrani i rijeseni prakticni primjcri (zadaci). 3. Na poseban nacln formulirana pitanja za ponavljanje i 4. Zadaci za vjezbu i utvrdivanje (sa ljesenjima, uputama iii rezultatima na kraju knjige). DijeJovi se prekIapaju i dopllnjuju s teznjom da ponavljanje i utvrdivanje dopuni i osvjezi u teoretskom dijelu datu materiju. Cesto se informacija koja nijc ekspIicitno data u teorijskom dijelu, prezentira nenametljivo kroz primjcr(e), iIi podesno f'ormulirano pitanje iii kroz zadat?-k za vjezbu. Svi navcdcni dijelovi posmatrani zajcdno zaokruzuju tcmu j obuh-vatajll je u potpunosti. Sve cksplicitno navedene definicije i teoreme su napisane na poseban nacin (podebljano, ukoseno i 81.). To je uradeno i sa terminima koji su vczani za istaknute pojmove prilikom prvog pojavljivartia. NajvaZnije forrnule, definicije, teoreme su pored navedenog stavljene i II posebne okvire kako bi i vizuelno privukle painju ucenika. U dijelovima tematskih cjclina koji su ovdje nazvani "'odabrani zadaci i praktiCni primjeri" u Udzbeniku jc navcdcno oko 240 detaljno uradcnih zadataka koji ilusiriraju pray i!a, teoreme, osobine pojedinih pojmova i s1.. U Udzbenikuje preko 120 gratickih iIustracija (crteza, skica, slika) kojima se zorno prcdocavaju pojcdini pojmovi i njihovi uzajamni odnosi. To se posebno odnosi na poglavlje u kome se obraduje homotetija i slicnost. Graficke ilustracije su ubacivane tamo gdje je njihova didrikticka vrijednost nezamjenljiva i u tome se nije pre1jcrivalo. Slike u knjizi su posebno oznaccnc. Njihova.oznaka ukazuje na poglavlje i redni brqj slike u -njemu. Potpisi ispod stika (clteia), skoro uvijck, daju posebnu poruku kojom sc dopunjuje tekst koji prcthodi cliezu (iii se naIazi iza njega).3

Direktor:Za izdava6a:Ured.nik: Recenzenti:

Nura HLJSKIC, Sarajevo Vesna PAVlC'::, TuzlaL~ictor:

Zulejha TERZICAutar

Korektm:

Tehnicki urednik: Naslovna strana:DTP;

Vanda BABOVIC Mira GOCHCAutor

Stampa:

C.P.A. Tojsici

Tiraz:

1.000 primjeraka

elP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Basne i Hercegovine, Sarajevo51(075.3) Huskic, Adem Matematika za 2. razred gimnazije 1 drugih srednjih skala! Adem Huski6. - Sarajevo: Svjetlost, 2003-. - 356 str. : graf. prikazi ; 24. em ISBN 9958'10-5.82-9 COBISS.BH-lD.12079878

ISBN 9958-10-582-9

Federalno Ministarstvo obrazovanja, nauke, kulture i -sport~,'-ti,tosnovu- odobrenja Vijeca za odabir udzbenika od 12.03 .200 1. godine, RjdenJem broj'UP..:1-01c38-9-2517 III Qdbbrilo je ovaj udzbenik za upotrebu. . Strogo je zabranjeno svako kopiranje,._ u~n'~zav[mj~e i p-reStampav~nje.ovog-prirucnika u cjelini ilipojedinih njegovih diJelova, bez odobrenJa"lzgilvaca. . .

.

"'ifiP

...

Na mjestima u Udzbeniku gdje su informacije, podaci, veze izmedu podataka i slieno, mogle da se predstave u tabelarnolll obliku, to je i uradeno tako da je 8 tabela sastavni dio Udzbenika. U dijelovima koji slijede iza svake tematske oblasti pod nazlvom "Zadaci za vjezbu (i utvrdivanje)", u Udzbeniku je navedeno preko 1300 zadataka s ciljem da se ucenicima omoguei utvrdivanje gradiva izradom zadataka i bez posebnih zbirki zadataka, a profesorima matematike omoguci izbor dodatnih zadataka za vjezbu u skoli, kao j odabir 7...adataka koje ueenici mogu j trebaju rjesavati,u dlju uvjezbavanja i provjeravanja stepena usvojenosti grad iva, samostalno kod kuee (domaea zadaea). Na kraju Udzbenika naveden je spisak literature koja je,uz visegodlsnje iskustvo autora, kOrlstena prilikom izrade mkopisa 1 koja se preporucuje profesorima matematike i predavaeima, za daUu analizu i pripreme za nastavu za pojedine-teme, kao i za izbor tema za izradu maturskih radova ucenika. Uz obradu iogaritama i trigonometrijskih funkcija uobicajeno je da se koriste posebne tablice ("logaritamske tab lice"). U udzbeniku je djelimicno ukazano kako se koriste te tab lice, ali je poseban naglasak dat na upotrebu malih dzepnih kalkulatora (cija je nabavka dostupna i llcenicima, a ne bi bila veHki izdatak l1i skolama) koji efikasno zamjenjuju navedene tab lice i sto je jos vainije, osavremenjuju i dizu na vist 111VO nastavni proces U odgovarajueim oblastima matematike. Namjena Udzbenika je prvenstveno da bude sredstvo za realizaciju programa matematike za dr1.1gi razred gimnazije i tehniekih skola koje imaju i5ti program matematike kao i u gimnaziji. Udzbcnik je namijenjen ucenicima navedenih skola, a za profesore matematike i predavace je okvir u kome i oko koga ee se kretatl realizirajuCl program matematike u drugOtTl razredu. Za realizaciju pojedillih oblasti, Udzbenik mogu koristiti profesori i napredniji ucenici drugih srednjih skola (preostale tehnicke skole, tehnicke i srodne skole, sirucna skola). Na kraju izrazavarn veliku zahvalnost recenzentima koji su savjesno preglcd2.li rukopis i svojim sugestijama i konkretnim prijedlozima znatno doprinijeli podizanJu kvaliteta rukopisa. Autor

1.

S T E PEN I (POTENCIJE) I

K 0 RIJ ENI

1.1. Stcpcni (potencije) s prirodnim izlozioccm (cksponcntom)Proizyodjedna\dh faktora 555, aaaa, xxxxx, bbbb, cc materno krace pisati ovako:

Uopste,za rna koji rcalan bmj a j rna koji prirodan braj n (11)1), po dcfi11iciji,je

aa ... a

'-----~j iJ !ilklom

Ozna10).

(*)

11

c:' ,r

I

"JO = 0, "J! = 1, v-;; = a . . ..." I I 2: 0 DalJc, vnJcdl -va- = QI =kao i

{a, a

--a,a

("JA~r =(~AB

r

Posmatramo Ii gornju jednakost sa desna u lijevo uOClcemo pravilo mnozcnja korijena jednakih izlozilaca:

U opcem siucaju vrijedi:

.

[ra~"0=>

Proizvod korijcna jcpnalri"tt 'izlozilaca je korijen istng iziozioca c-jj~ je potlwrjena velicina jednaka proizvodu potkor.ienih velicina: faktora.

I jIj

!Prilikom racunanja sa korijenima rezultate operacija cemo uvljek ostavljati u takvom obtiku koji se ne !11ogu dalje skraclvati.

Kada treba pomnoziti korijene koji nemajujcdnake eksponente, tada se prosirivanjem korijena oni dovode na zajednicki eksponent i onda mnoze. Kako se to radi pokazimo na primjerima:

,

jII

Primjer 1: Pomnoziti korijenea)

1

.fi. J8

b)

vg.'j3

3/: f3 c) -va'va

12

113

Rjesenje:

a)

b)c)

J2Js ~ 128 ~ JiG ~4 V9 .Vi = Z!9-~'3 = 2./27 = 3~r;;H =V-:Z2.~Q =~laZa9 =V;;~ ==0 -va

=> ()!5Otuda zakljucujcmo da je korijen kolicnika jednak kolicniku korijena brojnika i nazivnika tog razlo111ka. i obrnuto, kolicnik dva korijena jednakih eksponenata je korijcn istog eksponcnta eija je potkorjena vc!icina jednaka kolicniku potkOljenih ve!icina datih korijena.

.

Posmalrajmo slijedeCi postupak racunanja sa korijenima:

a) ,,12='v'43 =,j4-.j3 =2,;3b),,) .....

=r.-~~

c:

'[;7 =~rxr,

X

='Jx(, ~r;=x2 ~r;

'~lal!)Jb2".j --"!~b:'i )b-"~b2U ....;a'b-a b 2 'Vc,>b ul};b_ \I _va a -va

Primjcr 2: a)c)

J" ~~155 ~ \/i I53~

r-:-::

r~

5- , -.13

sr;;- 31g :?4~( 24~!5 24rs=:5 24("-=7 5 3 ...,/a:....;a- ="';a~: -.,jl.,a) = va:a = -vau.~ = lia

U svakom od navedenih primjera korijen nije potpuno izracunat ali se moze reci da je izraCLlnat njegov dio. U rezu!tatLl svakog navedcnog primjera izracunati dio nalazi se ispred novog korijena lao faktor. Novi korijcn .Ie jednostavnij i od polaznog. Na ovaj nacin se vrsi pojednostav!jivanje izraza, a ova transforll1acija korijena se cesto koristi kao priprcma za neku drugu (na primjer, skracivanje izraza). Navedenu transforma;.;iju nrtzivamo djelimicno (pal'cijalno) korjenovanje.Obrnuta transfOrm[lcija ad navedenc jeste ta kada se faktor ispred korijena unosi pod korijcn. Kako se to radi uocilllo analizirajuc':i slijedece primjere:a)

1.4.2.4.

Slepenovallje i korjenovanje korijena

Korijen se moze i stepenovati. Korijcll se stepenujc tako sto sc stepenujc samo potkorjena veliCina. Dakle, vrijedi

b)

5.J3 = .JS2.J3 = ,,)5' 3 = ...}75 2V5 = V2ivs = ~ = V40Dokaz

r-(ifi). 1:-~-~ A ___J m-lL_~____[(:j;.),,]m__ n! --0

c) 2a" Va~~' = t/(2a 3 )4~2 x = ~116(~7~':i; = ;/1-6-a-;-;l2-ac;,~x = V16a l4 x .

k~r,;)"'l'

("r;-) n \a

~am}

=>~>

[('1;;)"']" ~(:j;)"("r::)n! -va"'. _ fir;;; 'Va

104.2.3. Korijcn kolicnika. Dijeljenje korijenaZa aritmcticki korijen vrijedi:

Primjer 3: a) (f5)3b)3

(va xt

r:z:. ')

~ Is] ~.J525 ~ 5 f5~v(a3~ 3 1'42 3 ,.-:; x) =va'x ~avax-

c)

(-2aifa'b-2)'

~(-2a)'V(~2b-2/=

4a 2'Ja 4 b-4

=

....;ab ;Jab' 4a 2 a b-13~b'l = 4 a 3b- 1. 3~b-1 .

~('VA\

)

r ('VBr\ I

=A:B

Ako su min prirodni brojevi i a~O, tada vrijedi:

Dokaz:

,'VA:B)'\

(

V'

.

=A:B

14

15

r

Gornjajednakost pokazuje da se korijen korjenuje tako 5tO se pomnoze eskponenti korijcna, a potkorjena velicina prepise. Dokaz ove relacije je anaJogan dokazu pravila za stcpenovanje korijena. Uvjczbajrno ovu operaciju na slijedccim primjerima:

3(1 + fi + J3)

lJ2

fi . fi

3(1 + fi + J3)J'2

3fi (1 + fi + J3)4

2fi.fi

a) b) c) Kako postupiti kada korijen nije "jedan do drugog"? U tom slucaju koristimo so ranije poznatom operacijom "uvlacenje" faktora ispred korijena pod korijen i nastavljamo kako je naprijed navedeno. Ovo je pokazano oa slijedecim primjerima:d) e)

[J2 ~1j2

VJ5 ='15

~~m =%

]aJ;; = 17;; a = Va'5 t;r:f-"-i,va~ va

=Ij\j a

5 r~~F(':"'3)6

-a

5

=

30

va

f!85-a

= va"'" .

30

rn

h)

'-fi - 1 '-fi - 1 '.i4 + '-fi + 2 'J4 + '-fi + 2 . '-fi -I - ('J4 + '-fi ~:-1-+-1-)(,"';=2---I)fl-1 fl-J (V4+'J2+1)(fl-1)+(V2-1) ~ (fl)'-::"ii'+'J"i-i fl-12-1+V2-1

1.4.3. Racionalisanje nazivllika (imenioca)Posmatrajmo slijedece razlornke:

fl-1 V4 2-V4 flV4~~

4

3'

../3 2 '

4 ../3'

11 ../3-1'

Prva tri razlomka lmaju u nazivniku raclonalne brojeve, a svi ostali navedeni razlomci imaju iracionalne nazivnike. PriJikom racunanja sa razlomcima, razlomke testo treba dovesti na zajedni;3ki nazivnik, a to je mnogo jednostavnije kada su im nazivnici racionalni. Zato se namece potrcba transformacije razlomka sa iracionalnim nazivnikom u jednak razlomak kod koga je nazlvnik racionaJan. Ova operacija se naziva racionalisanje naz1vnika. Slljedeci primjerl pokazuju kako se prakticno vrsi racionalisanje ne1dh nazlvnika:

Vidimo da se racionalisanje nazivnika postize prosmvanjem razlomka podesno odabranim izrazom s ciJjem da se u nazivniku pojavi kvadratni korijen iz kvadrata, tree] korijen 1z treceg stepena i slicno. U navedenim primjerima predstavljeni su samo neki tipicni slucajevi racionalisanja nazivnika. Kao 5tO se vrsi racionalisanje nazivnika, na anaJogan naCin, se moze racionalisatl brojnik razlomka.

fl53 5(-,/3-1)r

1.4.4. Dva posebna zadalkaPrimjer 1: Dokazatijednakost:

~8+2Fo+l.Js +~8-2~lO+2.Js ~fi(J5+1).= x.

(../3 + J)(J3-1)d)

fi J7 -2 ~77 -23 e) 1-,/3 +fi

fi

J7 +2 fiU] +2) fi(J7 +2) J7 +2 ~ (J7 -2)(J7 +2) (J71' _223

fi(J7 +2)7-4

fi(J7 +2)3

'facia vrijedi

3(l+fi+J3) _3(1+-fi+J3L (1+12)-;;' (l +fi)+J3 ~ (J+-fi)' _(J3)2 -1+1fi +2-3(l+-fi)+J3

( ~8 + 2Ji 0 + 2J5 +

~ 0;- 2JS)' ~ x',

odak!e se, da1je, dobijc:

8+2JlIJ+2.Js +2~8+2J10+2J5.)8-zJlo+2is +8-1JIO+Z.Js

~x

2

16

17

Pitanja za pouavljanje:

"" 16+2y(8+2Jl0+2"5 }(S-2Jl0+2J5) ""

f(:--

r;:

1=X

2

16+2~82_(2JIO+2J5r16+2-!64-40--SJ5=

=X'

""

""

16 + 2.[24--8J5 =x=>

2 ""

16+4~6-2J5

-X'

=>

16+4kJ5 -I)' =x' 2(,/5+1)2=X'

16+4(,/5 -1)=x 2 x=12(,/5+1).

12+4J5=x' "" Qvim jc jednakost dokazana.

=>

l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Kako se definile n-ti korijen nenegatil'J'log braja a? Sta je aritmcticki korijen nenegativnog broja a? Kako se korijen pro.firuje? ~~ta :::naci skratiti korijen? Kako se korijeni mnoze? Objasni postupak dijeljenja korijena. IHogu Ii se korijeni stepenovati? Kako se racuna korijen korijena? Sta znaCi racionalisati nQzivnik? Objasni poslupak racionalisanja nekih nazivnika.

Zadaci za vjezbu i utvrdivanje

1.15. Izracunaj:

Rjcscnje: Prvi raz!omak maze se transformirati na sIiede6i naCin:

,.--

164 .16. Za koju vrijcdnost od aje izraz ....fa ~ 3a) b),jj2J c)

J16

d)

'm

c) ''11024

, aritmcticki korijen?d)d)

(/'--.Ja .Ja(a'/-;;-I) a -1- -,./a '1~'1 ~'" +-1-

--;;',:;-'j;;

.Ja=

.Ja +

a:1:+~'_-: +/;; = FaJ~2 (.Ja -I~;:~: -1)+(.Ja~.

-I

.Ja(a.Ja-I) a+l-,/a a + 1+ ~/;; ... ~ + 1- --..;r;

.Ja(a/i-I)(a+I-,Ja)_ (a + 1+ Ja )(a + 1- \lr;;-)

17. Iznijcti faktor ispred korijena:a)

175

b)

M8

c)

180

Ma 2 Fac::e) (a+b).Ja-b

18. Unijeti faktor pod korijcn:

a)

2JJb) 2'15

c) aV:;;;

.Ja(.Ja-I)(a'-..------ - -,Ja( -va +a+l) _ ' ~_I)- a \IIna . __a 2 +a+1

II

Izracunaj vrijednost datog izraza: 1.19.a) 3,/5 + sISc) 11.[i - 3 'fi + 4'fi 1.20_a)

b)

4,;3-"2+,J3-5,;2

r:

~

1-

817b) -1320 - 2'/40S + 3J125

j1Koriste6i rezuitate gornjih transformacija, sada se maze pisati: 2 r 2,--1 I r: I a --..;a -~--=--~+a+l=a-;/a-(a+"Va)+a+ =

J% + J150

- -1294

3 c) Jx yz - Jxyl; - Jxyzl1.21.a) ,/5. /3 b) 1.22. Pomnoziti korijene C::2 'h2 a ) .y"/v b) "r:; V);. vA- 50 1.23. Koliko je:

1

.ra;; ..r;;

a+Fa+1

a-.Ja+l

= a ,"-Fa -a,Ovimje jednakost dokazana.

Fa +a+ 1=a-2Fa +1=(-'/;; _1)2.

a) (IS + 1)(4-IS) a) 2-/3 b) 1.25. Podije!i korijene:b)

b)

1.24. Odrediti kvadrat datog izraza:

4-312~R"

d) ra+b+~

"r va ova

c)

,JO,48:~3

e) - -

18

Eo 12

19

Izracunati vrijednost izraza: 1.26.a) 'J4:..fi 1.27.a) ('./3)' b)

~2a3

1.36. Uprostiti izraze: c) C)

;/3a-;-

'H',{xYr x . xy:l/X

,la17b3c5.,!a8c5x d) 1J x'y' . Vb'y'd) (x..Jx)' . (3..Jx)2b)

b) ('Ja'b3 )2~~

[~b)2r

1.28. Karjenuj korijen:

(a+rabJ~

2ab

'+(~Fb'I"2ab /

a) VVaxa)

2

b)

JX2

'ix

3

c)

[V;:-J:5 d) - -

Dokazati date jednakosti: 1.37.*a)

1.29. Racionalisi nazivnik razlomka:

a>O) IX~--

a

.2.}2-J'Jx+vx'-I

1.33. Transformisati izraz:

a)

x- x -I (' I I) + - - - - ' , Ix> . x-~x2-1 x+)x 2 -1

~

.J~2-

1.40*

Uprostiti date izraze: 2 cr2 [,- - 2 ' (X'+YvXY+X'\)lx:r+y)("x+\,1.1") -\/.xy

-'-'..-'-_.!.C.-x-.~.y..c:.._--,-,-,-_.'..C. +

-..Jx-.-+JY-y .

2vY

,-

1.41. *a)

x-I x..Jx-1 r b ) - - - + 2 v x , (x>O). x+..Jx+l ..Jx+11.34. Odrediti brojnu vrijednast izraza (a+ I

(ll-aFa +FaJ.(I+ag -faII I-Fa 1+,0 /~-J3 -13~ 2,/2

r' + (b+ 1r'

aka je 1.42. *a)+

a=(2+13r'1.35. Uprostiti izraz:

b=(2-.J3r'.

l20

(_xE

r..Jl-x 3

+

~l_X.3. )-'X-vX

'r

21

1.45, * U prostiti izraz:

l H:.()rije-n maze napisa:ti :u obliku stepena sa 'racionaJnirn, el{SllQ'nentom i obrIiut0.::.:.....jI

Dakle, -stepeni sa racionalnim eksp()nento'm su-'korijeni. To zn.a~1 da s'e:'Sva'lQ:, ,

Primjeri: a)1.46, * Dati izraz dovesti na sto jednostavuiji obJik:

4'5

=.J4 =, 2=2

b) 8 3

=Vs' = V64 = 4

c) 32

----~",~.

2af:1 (J~ -~~ Jr'r

32 5,2-'-'I

2'

4

H -ff)+~1 +(~.~. -~~) If,

Koristeci definiciju stepena s racionalnim eksponcntom, dokazane opcracije s korijenima, kao i osobine stepena s cijelim eksponcntom, jednostavno se dokazuju slijede6a pravila:;"!

a -II>' a n,';:::;:' Ll',n",

m

E

!2+E.. 'n

1 "~" Stcpeni sa racionalnim i realnim eksponentom (izloZiocem)Izraz 24 svojim izgledom podsjc6a na stepen u kome bi baza bi!a 2, a eksponent 3 ,Mi, do sada, nismo poznavali ovakve stepene, ali pokusajmo da sa ovim izrazom 4 racun,arno kao sa stepenom i(S2t:,p)e4nUjll1~4ga sa 4: =24 =2 =8.3

I

I(ab)~m-, iii

m

=

a';; b"m

(TV)(V)

(fYDokazimo relacije (I) slijedeci racun:m

a I~,m

"

(IV). Krenirno od lijeve strane relacije (I) i provedimo

"l 03 To z,,"lcvi Raniie.smo Do b1 I smo L. ,~ daJ'e 24 bro]' ciJiJ'c cctvrtl stepenjcdnak 23. . , " nalleili da se broj fiji je cetvrti stepen jednak broju a naZlva cetvrtl kOriJen broJa a.3

p

Sada mozemo nas posmatrani izraz 24 definisati kao korijen ovako:3 _

a".a'J"",.vani.\/aP=-valll.aP=;.Ja Ovim jc relacija (I) dokazana.

-

-

n~

fir-;,

_

_

__

m ... p--~-

m

p

nr-;;--

til m+

P=a n =an n.

~+-

2' = 1../23U opcem slucaju, po definiciji, je::!Ldd - n .:..: Il I III _"\ja, a "

Pokalimo sada vazenje jednakosti (TV). Krenimo od lijeve strane relacije (rV) i stepenujmo je sa n:

,specijalno je

a

0

(ab) "

JlI( a l) .b)""

lil = ~ a llib

--;; = nG . n~bm = a b~l- . va V

m

III

a;

=

'1;; .

Dobili smo daje lijeva strana relacije (IV)jednaka desnoj strani sto znaci da relacija (lV) vrijedi.

22

23

Na analogan nacin utvrduje se tacnost preostalib relacija 0 operacijarna sa stepenima koji imaju racionalan eksponent.

1.52.a) a

-

]

4

,a ,a6

-

5

-

,

5

3

S

b) a 6 :a'

Primjeri:3

i

3 4 -+-

7

1.53. Uprostiti izraz: a)~ 10 ~ X 6 :X 4 =XI2:X!2

(a~ a~ a)i' y 2 -1 =a"(a-l). a>O. a-a 2 +IJa+a ~)"

i

10-9

~

d)

=x

11

=x12,

1.54. Broj 0,00000023 napisi U ob!iku proizvoda cijeJog broja i stcpena baze 10. 1,55. Dokazati da vrijedi jednakost:

(3.'I[~~J( la -I) +1 2

+a 2

a 2 _a 2

3

~

~

i+~+~fi

18+10+3

41

g) a 4 'a 6 ,as =a 4

8

=a

24

=a 24 , a>O.

liprostiti date izraze:

,

Pored svih navedenih stepena definisu se i stepeni sa realnim eksponentom i sa njima se racuna po istim pravilima kao i za stepenima sa racionalnim eksponentom.

x2 + 1~

. XU ~ 1

1.56. a) 1.57.a)

x + x 2 +1

b)

~(a-1)2

~

Pitanja za pOl1al'fjanje:m

,a' _ -=a_--=a_

a-2

,

, +-,-_._] + J2

1 - a-'

2

1. Ohjasni smisao izraza an, 2. Koje operacije se mogu vdili sa sfepenima ajjje eksponent racionalan bra}? 3. iVavedi OSI101'l1a svojstva stepena sa raeiona/l1im ekspOl1entom,

a2b)

-a

a 2 +a

2

a2I

V;;;2-J::-=i1- T1

Zadaci za vjezbu i utvrdivanje

(/;=1+1)' (.ja-I-l)-' 1,58. Izracunati vrijedllost izraza(a + hx)' + (a-bx)'4 1I '~

1.47. Napisati3

U

obliku korijena slijedece stepene:2

ako je x =

b)7 5 c) 1.48. Navedene korijene napisati LJ obliku stepena:

a) 54

x'

d) d)

a3

e) x 8

(a+bx)2 -(a-bx)'

2am b(l+m')

a) "4

3CC

b) "3'

4'5

c)

,a',]

13

7[;l1.60. * lIprostiti izraz:1 1 I 1

Izracunati vrijednost datog izraza:~52

1.49.a) 64 3, 3

b) 81

4

c)

2723

3

d) 0,008c)5

3

5

9

1.50.a)

5 2 .25 4

b) 49 7

64 2 16 25 5 .125.25- 0 2 .5-'2

1.51.a) }"281424

b)

2 33

5

r (a+x)-'(x+b)' +(a-x)-'(x-b)-' i ..... ~.. 1 i 1J I L~+~'(x+02_~_~2(X-0'

l-'

. - c. ,za x - "\; ab , a>o., b>O.

9] 27,,3

c)

25

tacke A od sredista kruznice rnanje od njcnog radijusa, tada se tacka A nalazi unutar kruznicc (S1.2.2).

2.1.2. Poloiaj prave prema J,;ruiniciPosmatrajmo kru;l,nicu k(O, r) i ma koju pravu a u ravni ove kruznice. Neka normala na pravu a koja prolazi sredistcm 0 date kruznice sijece pravu a u tacki A. Tada duzina duzl OA moze biti manja, jednaka iIi veca od duzinc radijusa date kruznice (SI.2.3.). B

2.

HOM 0 T E T I J A

I

SLICNOST

2.1. Kruznica i krugMDefinicija 1: Skup tacaka u rm-ni kaje Sll jednako udaUene od jedne ta(ke (0) Ie ravni nazil'a se kruZnica. Tacka () naziva se srediste (centar) kruinice, a dui cUije jedan kraj sredi/;te kruinice, a drugi pripada kruinici naziva se poluprecllik iii radijus kruznicc. Duz ciJi krajevi pripadaju kruinici nQzivQ se fetiva, l'/ajveca {etiva kruinice nQzivQ se precnik (promjer) kruinicc. Ravan U kojoj se nalazi jedna kruznica podijeljena je na tri oblasti ito: jcdnu oblast cine tacke ravni koje se na!aze ullutar kruznice , drugu obIast cine tacke kruznice i treca oblast je sastavljena od tacaka ravni izvan kruznicc. Dakte, svaka kruznica ima svoju unutrasnju i vanjsku oblast. Definicija 2: [Jnija unulrasnje oblasti kruznice ita[~aka

p

Sl.2,3. Pm\-a s jc sjecica. a prava t tangcnta kruznicc

S1.2.4. Ccnlralno rastojanjc tangente jcdnako je radij1l5u!

kruinice naziva se krug.

Teorema 1: Za svaku kruznicu k(O, r) i svaku pravu t vrijedi: aim jc ccntralno rastojanjc pl'ave t jcdnako radijusu r kruzllice k(O, r), ouda prava t ima samo jednu zajednicku tacku T sa kruznicom k(O, r). Dokaz: Neka je OT = r central no rastojanjc prave t od date kruznice k(O, r). Ovo znaci da ta6ka T pripada kruznici. Uzmimo rna koju ta6ku M (MtT) na pravoj t (SI.2.4.). Kaka je OT.1 t to je trougao Ll.OTM pravougli, pa je znaci da tacka M ne pripada kruznici.

ck A

o

01\11 > 01',

sto

SI.2_1. Vat_no je razlikovati pojll1ovc kruY.nice i kruga!

51.2.2. Tacka A je na kruznici, B je unutaL a C je izvan kruznice

Definicija 3: Prava koja sa kruznicom ima samo jednu zajednicku taL~ku naziva se tangeflta kruinice. Zajednicka tacka tallgente i kruZllice naziva se dodirna lacka langente. Radijus kruinice koji odg01.-'ara dodirnoj laCld naziva se dodirni radiju.\'. Prava koja sa kruznicom ima dvije zajedni(~ke lacke naziva se 5jecica kruZnice.

2.1.1. P%iaj tacke prema kruZlliciAko jc data kruznica k(O, r) i tacka A koja pripada ravni krllznice, tada su rnoguca dya sJuc.ja: AEk(O, f) iii Agk(O, f). U pfYOm silicajuje raslojanje taeke A ad sredista kruznicejcdnako dllzini radijusa kruznice. U drugorn slucajuje rastojar~je tacke A od sredista kruznice manjc i!i veee od duzine radijusa, Ako jc rastojanje. Primjer 1: Data je kruznica k(O, r) koja sadrii tacku P. tatka P. Konstruisati tangentu date kruznicc

Analiza: Prctpostavimo daje prava PI trazena tangenta kruznice pri cemuje T njena dodirna ta6ka (SL2.5). Posmatrajmo pravougli trougao POT. Na duzi PO27

26

odredimo tacku S tako da bude x'-14x+33=O

++

oXj i Xl SU konjugovano~ komplcksni broicvi

14-J196-132 14-J64 = 148 ..- ....x=3, => 2 2 2 Tralena dui je x=3,Drugo ,jesenje (x=ll) dobijene kvadratne jednaCine no zadovoljava prirodu zadatka jcr bi se pojavile negativne vrijednosti duzine sto je nemoguce. Primjer 3: Terctni brod ployi rijekom krccu6i se brzinom v=20.

h

km

4.6.

Primjena kvadratnih jednacina

Rastojanjc izmedu dva mjcsta od 75 km bred pre!azi dva puta i to jcdnol11 uzvodno, a drugi puta nizvodno. Kada sc brad kretao uzvodno trcbalo mu je 2 sata vise vremena nego pri kretanju niz vodu. Odrcditi brzinu kretanja vode u ovoj rijcci.

Kvadralne jednacinc pojavljuju se pri rjesavanju velikog broja prakticnib problema u raznim oblastima djeJovanja, Ovdjc se navode neki problem! koji se rje.savaju primjenom kvadratnihjednacina. Primjer 1: ZbiI kvadrata tri uzastopna cije!a brejaje 770. Koji su to brojevi? Rjdcnjc: Ako najmanji od tri uzastopna cijela broja oznaC-imo sa X, tada Sll trazeni brojevi: x, x + 1 i x + 2. Prema uslov ima 7. .ad~tka vrijedi: x? +. (x + ! + (x + 2/

km . '1'1 ' , Rjcscnjc: Neka je brzina kretanja vode x - . Tada Je bro d pn 1

=> =>

=>

x 2+2x-255=0,--....M _ _

Xl -I-

x2+2x +1+x2+-4x+4=770

----2v-x2

75

75(20-x) = 75(20+x) - 2(20+x)(20-xJ x2+75x--400 = 0 - 75 85 =>

v+x

I

'

1500-75x= 1500+75x-800+2x~.

--,,------

-bvb--4ac =-2v'4+I020 =-1+16 ------,--.. 2a 2=

=>

- 75 + -J5625 + 1600

x=5.

2

Za trateni broj x dobili sma dvijc vrUednosti i to xl = 15 i x2 Trazcna trojka uzastopnih brojevaje: 15, 16, 17, odnosno,

-17.

km-17,-16,-15, Brzina kretanja vode je 5

h

. (Orugo rjcsenje dobijenc kvadratne jednacine -80 ne

zadovoljava prirodu zadatka.) Primjer 2: Ako se svaka od tri dul.i 3=9, b=11 i c=13 umanji za istu duzinu dobiju se duzi kojc mogu biti stranice pravouglog troug!a. Odredlti za koliko treba umanjitl syaku da,tu dul:.122Primjcr 4: Ako se u kolo struje II kome dada napon U=220V uk!juci otpor od 50, jacina struje se smanji za 22 amrera. Koliki jc pocetni olpor u strujnom ko!u?

123

Rje.sen,ie: lz fizike je poznato da su napon (U), jaCina stmje (I) i atpor (R) u kolu. . I .. U struJc vezam re aC1Jom 1 "'" - .

Ar. . .~

~

R

Neb je x pocetni otpor. Tada je jaCina strujc u kalu, prije ukijuCivanja otpora od 5 oma bila

4.7. K vadratni trinom. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lincarnc faktore ({'jnioce, cimbenike)lzraz oblika ax +bx+c, (a, b, c#-O) nazivamo k"adratni tdnom. Za svaku vrijednost vartiabIc x kvadratnom trinomu odgovara njegova brqjna vrijednost. Za one vrijednosti vartjable x za koje je vrijednost trinoma jednaka nuli kazemo da su nule trinoma.Trinom x2+4x-21 lma dvije realne nulc. To su brojevi x]=-7 i x2 = J. Znajuci nule kvadratnog trinoma,trinom se mo.z,e rastaviti na linearne faktore. Pokazimo to, prvo, na primjeru navedcnog trinorna, a onda i U opcem sJucaju:2

220xiznosi

. Nakon ukljucivanja atp'ora od 5 oma jacina struje je manja za 22 220

ampera

j

x+5

lato se moze formirati jednacina --=--+22, fije x x-+-5Q

220

220

rjesenje daje trazeni pocetni otpor x. 220 220-~----+22

x

x+5

220(x+5)

~

220x + 22x(x+5)

220x+ J 100 = 220x -+- 22x2+ 11 Ox

=>

XI_2

=

5'/25+200 2

-5+152

x'+ 4x - 21 ~ x'+ 7x-3x-21 ~ x(x+7)-3(x+ 7) ~ (x-3)(x+7).~>

x~

5, Krenimo, sada, od opceg kvadratnog trinorna axl+bx+c i pokaiimo kako se rastavlja na linearne faktore. Kvadratni trinom se moze napisati na slijcdeci nacin: .., 2 b c aX-+ bx + c~ a(x +-x +--). a a Ako su Xl Xl nu!e trinoma, prema Vieteovim formulamaje~

U strujnom kolu je pacctn] otpor bio 5 oma (drugo ljdcnje dobijcne kvadratnc jednaCine je negativilo i ne maze biti otpor).

Zadaci za vjezbu:4.66. Proizvod poJovinc i treeine nekog brqjaje 96. Odrcditi taj broj~ 4.67. Ako se ncki broj za 5 uveca i za S"umanji, tadajc zbir kvadrata tako dobUenih brojeva 178. Koji je to broj? 4.68. Zbir cifara dvocifrenog broja iznosi 4. Kada se on pomnozl b[(~jcm 1.;:oj1 je sastavljen od istih cifara u obrnutom redu dobijc se hf(~i 403. Koji je to broj? 4.69. Ako sc svaka stranica troug!a produzi za isti vrijednost, dobljaju se stranice pravouglog trougla. Za koliko treba produziti svaku stran1cU ako 5U one a=3, b~5 i c~7? 4.70. Pravougaonik ima dijagona!u d=26, a stranicc mu se razlikuju za 14. Odrcditi stranicc pravougaonika! 4.71. Polovinu bazcna napuni jcdna cijcY,a drugu p%vinu druga. Cijcvi su bile llkupno otvorene 25 sati. Ako se obje cijeyj otvorc istovrcmeno bazen se napuni za 12 sati. Za koiiko sati svaka cijev poscbno moze napuniti bazen? 4.72. Kada se ivica kocke smanji za 2, zaprcmina kocke smaqji se za 98. Za koliko se smanji!a povrsina kocke? 4.73. Kada bi bicik!ista vozio 4 km na sat brzc, put od 240 km bi presao za 3 sata manje. Kojom Drzinom se krcce biciklista? 4.74. PovrSina trougla c.ije su straniee tri uzastopn3 parna brojajc P=24. Odrediti stranicel 4.75. Zizna daljina sabirnog socivajc f=20 em, a rastojanjc predmcta od likajc d=81 em. Odrcditj-rastojanje Jika t. pr~dmeta pod sociva,124

b

a

=-

(x)

+ Xl), ....-

c a

= X)XI .

Koristenjem navedenih relacija daUe se moze pisati: ., b c 1 ax2 + bx + c = a(x" +- x +-) = a[x~-(x)+X2)X+(X1Xl)]

.

a

a

=

~ a[x2-x,X-X2X+X,X2] ~ a[x(x-x,)-X2(X-X,)] ~ a(x-x,)(x-x,),

Vidirno da vrijedi:l-

i

l2

JXu = ----4~~

I

Primjer 1: Rastaviti kvadratni trinom 2x +x-15 na !inearnc faktore

Rjescnjc: Prvo je potrebllo odrediti nule trinoma, a zatim ~rimjjcl.1iti izvedenu forrnulu. Nule trinoma odredt~jemo ~jeSa\"anjem kvadratne Jcdnacl11c:

2X2+ x-15 = 0 =>

-I -Jl + 120

-1 Ji2J4

-I 114125

........._---------'-------------_._---"-,

=>2

XI

=

-3,

X2

=-

5

Pitanja za ponavljanje:

2

2x + x-IS = 2(x-x I )(x-x2) = 2(x+3)(xPrimjer 2: Skratiti dati razlomak :

2 )= (x+3)(2x-S).

5

1. ~~ta znaCi rastaviti izraz nafakiore? 2. Kako se kvadratni irinom rastavlja na linearne faktore? 3. Gdje se prinifenjuje rastavljanje kvadratnog trinoma ?

a 2 +6a-91 a'+8a-105

Rjesenje: Kvadratne trinome u brojniku i nazivniku razlomka, prvo treba rastaviti na Iinearne faktore:

Zadaci za vjezbu:4.76. Dati kvadratni trinom rastavi na linearne faktore:

a' +6a--91=0 => au =

- 6 .J36+ 364 2

- 620 => 2

a,=-13,a2=7.

a) x'-5x+4

b) x'+IOx+21

c) x'--4x+13

d) x'-x-6

a 2 +6a-91 = (a+I3)(a-7).

a"

=------=

-8j64+420

-sn

? 2 a2 + 8a- 105 = (a+IS)(a-7).

=>

4.77.a) -3x'+1Ix+70 4.78.a) x'-2ax+a'-b'

Rastaviti na linearne faktore date izraze: b) IOx'+9x+2 c) 4x2 -8x+3

d) 2x'-1Ix+5~02

b) x' -ax--j)a2

c) abx'- (a'+b )x + ab

4.79. Skratiti date razlomke:a) c)

Sada se dati razlomak maze napisati na slijedeci naCin: 2 0 +6a-91 (0+13)(a-7) 0+13

x +x-12

2

X'

+ lOx + 25

a'+8a-105

= (a+1S)(a-7)12x + I 2x -7x + 5

=

~+15

x' -16 2x' +5x-3 + lOx + 3x+ 1 x

b)

x'+14x+45 2a' -11a-6 d) 2a 2 +3a+l

Primjcr 3: Rijesiti jednacinu:

4- --_.- -

3--

4.80. Oduzeti razlomke=

.

- 2 - ' - - - '-

2x - 5

X

--1

0.

4.81. * Izvrsiti naznacene operaClJe:

+x-2 ..

x'_I'

72a -5a - 32

+

----c;---:c-____::_

4

4a' + Sa + 3

Rjescnjc: Da bi se oslobodili razlqmaka u jednacini, potrebno je jednacinu pomnoziti sa najmanjim zajcdnickim sadrziocem svih nazivnika. Za odredivanje NZS nazivnika sve nazivnike morama rastaviti na linearne faktorc. Jedan nazivnikje kvadratni trinom. Rastavimo ga na faktore:2X2_7x+5=O

RijeSiti date jednaCine:

=>l11oZel110

xl=l, x 2

='2 ;3 x-I

5

2x 2 -7x+5 = (x-l)(2x--5).

4.82.* - - - -

a

nx-x

" 2 x 2 -2nx- +n-xI

a-I

~

I, (fiZl, a?2).c) (2x-3j2 ~12x - 31

Sada jednacinu

napisati ovako:

4.83*a) x'-6Ixl+8=0~O

b) (x+Ij2~ Ix+31 -x+4x-6=0.

12x+1

2x' - 7 X + 5:> - - - -........-

--- --- --- - - - -- ~

4 2x - 54

4.84.* 4.85.* 4.86*

12x+1 (x-I)(2x-5)

3

0

2x-5

x-I

:> :>

12x +1--4(x-l) - 3(2x-5) ~ 0 2x +20 ~ 0

12x +1- 4x +4-6x+15~0x~-IO.

x - 4x + 10 2x 13x -~+ ~6. 2x' -5x+3 2x' +x+3 3x 2x 8 2 x' + 1-4x x + 1 + x 3(x-l)x(x+I)(x+2) = 24.

2

21

4.87*

126

127

Dalje se vidi da je grafik funkcije y = funkcije y

2X2

uzi od grafika funkcije y

=

x

2 ,

a grafik

1 =2 x

2

je siri od grafika funkcije y ~ x'y

5.

KVADRATNE

FUNKCLJE

Funkciju sa skupa rcaJnih brojcva R u skup R definisana relacijom:

x H y=ax2 +bx+cgdje su a, b i c rna koji realni brojevi i a::;tO, naziYamo kvadratna funkcija. Osobine kvadratne funkcije proucavacerno prvo na specijalnim, a oa kraju i U opccm slucaju.

5.1. Kvadratna funkcija oblika y = ax"Kvad,ratna funkcija za cije koeficijente b i c vrijedi b=c=O ima oblik y=ax 2 gdje je a rna koji realan broj koji nije nula. Osobine ove kvadmtne funkcije upozoajmo prQucavajuci stijedece primjcrc:

Y=x-

"),

1 v=2x2 ' y=----x2 2J

Prvo cerno nacrtati grafike navedenih funkcija. Da bi to uradili odabracemo nekoliko tacaka koje imaju za prvu koordinatu neki fealan broj, a druga koordinata jc bro] koji funkcija pridruzuje prvoj. Odabrane prve i izracnnate druge koordinate predstavimo u slijedecoj tabeli:

SI.5.I.Svc parabole su okrenutc nagorc .(n>O) i ~to jc a veee to su "uze", a sto je a manje to

.

....~

-

Sll

"sire".

xf(x) = X f(x) = 2x" f(x) = ~ x 2'---

--3 918-

~2

4 8

-1 1

00

21 -

00

1 I 2

24

3

918-

4 16

8 2

328

Navedene osobine ima svaka od funkcija y=ax2, za a>O. Navedimo ih redom: _ grafik funkcije y=ax 2 je parabola simetricna 11 odnosu na y-osu -- tjeme parabole je tacka (0, 0), 2 _ za x=O, funkcija y=ax dostize najmanju vrijcdno~! y=O,.. " _ za a> 1 i x>O funkcija raste brze,a za OO, a ulijcvo aka je xo0 ,a prema d 0 I' aj. Vo (prcma gore akoJ"c v , 0) JC ,-0 JC Yo< , .

b) Ak~ je a>? par~?olaje otvorom okrenuta prcma gore (konkavna), a ala je aO: za xO funkcijaje konkavna, a za aO,a

=

Xl=-6,x2=2,

Kako je a=2>0 to posmatrana ].;:yadratna funkcija illla minimum i vrijedi Ymm = "~32 za x = -2 sto neposrcdno "Citamo" iz kallonskog oblika funkcije y = 2(x+2)" 32,

2. 3. 4. 5. 6. 7.

Kako se odreduju l1ule kvadratnefunkcije y=m?+bx+c? Ima Ii kvadratnafimkcija uvUek realne nule? Kako se odreiluje graJikfunkcije y=a)?+bx+c? Za ko}u vrtjednost varijable xfunkc(ja y=ax 2 -+bx+c ima ekstrem? Kolikije ekstremfunkcije y=a).?+bx+c? Kadaje parabola y~"'ax +hx+c kr;mvcksna? 8. [] kojem intervalufunkcfia ),=ax-, bx~~c,a0 x-2 2x--J b) x'-2x+J >-3 c) 7_ x - 2 6.6.a) - - > - 2 x -4x+3 - x-I x-2 x+ 2 4x-) 3x 2 ~x+2 2 x+ 1 I-x 6.7.a)-2-----3 c) - - - 2 < - x - 2x + 3 x 1~ x x

7.1. Bikvadratna jednacina 'liednadiba)Je..dnacinu oblika ax 4 + bx2 + c '::::::.0 ~ gdje Sll a,b i c realni brojcvi i a;t:O, nazivamo bilwadratna jcdnacina Oednadzba). 2 Rjcsavanjc bikvadratnc jcdnacine sv.odi se srnjenom x =t, na ~jesa\'anje kvadratne jcdnaCine po promjcnljivoj t. Pokaiimo to na slijedccim primjerima. Primjer 1: Rijesiti jednacinu x _13x2 +36 = O. RjcSenjc: Uzmimo daje x =t. Tada se datajednacina transformise na sUedeCi nacin:x4_J3x2+36~0>4

>.:-=2

I 2 3 6.8. ---.- + - - > - - .

6.9. (x-I)(x+l)+.(3+x)'>(3-x)'+3x. 3 8 4 6.10. Za koje vrijednosti parametra m kvadratnajednacina ima realna i razlicita rjcScnja: aJ (2m+I)x'-2x+2-3m~O b) (m+l)x2-2(3m-l)x+2m+I~O c) (m+l)x2 -2(3m--2)x c- mTI~O d) (m+2)x'+5x+2--m - O? 6.11. Za kojc vrijednosti paramctra m kvad.ratnajcdnacina ima konjugovanokomp!eksna rjesenja: b) (m-2)x'- 2mx + 2m+3~0 a) (4m-9)x2+2mx+2m-15=D d) (m+3)x2+ 7x + 3 -m ~O c) (m+l)x'+(m+l)x+3m-2~0

x+1

x+3

x+2

2

(x)'-13x2+36~O

>

t'-13t+36~0,(x'oq).

Dobivcna kvadratna jcdnacina rjeSava se po poznatoj formuli:t -,1,2 --.-.--~-.

-b .Jb' - 4~~2a

- (3) + )(-13)' -- 4 136 13 .JJ 69 -144 --- - -----.:..:..:-'---'-'21 2135

6.12. Za koju vrijcdnost parametra mjc trinom (m-8)x -3x +~:::'., pozitivan za2

4

svako realno x? 6.13. Odrcditi vrijednost paramctra m pod uslovom da za svako x budc. 2 a) (m+I),," 4x + 2m > 0 b) _3x + 2mx-12 < O.

Otudaje t,~4, t2~9. 2 Dobili smo dvijc jednostavne kvadratne jednacine x 2=4 i x 2=9 Cija rjesenja su rjcSenja date bikvadratne jednacine:Xl). =

6.14. Za koje vrijednosti varijable xje definisana funkcija y6. J 5. Odrediti oblast definisanosti funkcije y = 6. J 6. * Odrediti do menu funkcije: y = Rijesiti nejednacinc: 6.1

=

.Js2 ~ 6x~+1 ?Primjcr 2: Rijesiti jednacinu

t2,

X3,4

= 3.

~ 1 vx 2 -x-2"m

I

.J- 3x

2

+ 6x +"9" .

Bikvadratna jednacina u skupu komp1eksnih brojeya uvijek ima cetiri rjesenja meau kojima moze biti ijednakih.X4

+ 5x2 - 36 = O.

pix' - 2x -- 31--2>0 ,

6.18.*

Ix- 41

x -+ 3 + 2 > O.

RjcSenjc: Nekaje x2 =t. Tada se datajcdnaCina moze transformisati na sUedeci nacin:

6.19. * Rijesiti nejednacII1lLax2-x-l>O za ~ve vrijednosti parametra a. 146

X4+ 5x'- 36 ~ 0

>

(x')' + 5x2_ 36 ~ 0

>

_ t'+5t-36

~ 0..

147

RjesenjajednaCine t'+5t--36 ~ 0 su t,~ 4, t, ~ ~9_

II[I\i

Zadaci za vjeZbu:Rijesiti bikvadratne jednacine:

RJesavar\icrn jednacina x2 =4 i x2= -9 dobije se

X!'2

= 2,

X3,4 =

3 i.

'I n

il',I

I

I -,J

Rjesenje: Uvedimo smjenu x 2 = t. Tada se datajednacina dobiva oblik:

sto je kvadratna jednacina po t. Potrazimo ~ieSenja Dve kvadratne jednaCioe:

tu

_~(~2a)J(~2a)2~4.1.(a2~b2)2-1

2a.J4a2~4a2+4b'2

I I 'I'I1 1

I

7.l.a) 7.2.a) 7.3_a) 7.4.a) 7.5.a)

x4~25x2~O b) x4+IOOX2~O x4~JOX2+9~O b) x4--25x2+144~O x4+7x2+IO~O b) x4+J30X2+I089~O 4x4~5x2+ I~O b) x'+9k' ~ k'x 2+9x' (x'+6x+9)'~5(x+3)'+4~O

c) c) c) c)

4x4--49x'~O x4~29x'+IOO~O 3x4_7xl +2=Ox4_25x2~k'x2~25k2

b) (x2--4x+3)'~8(X2--4X)~9~O

Rijesiti jcdnacine:

7.6.a)7.7.a)

x' + 3--~-

1X2

Xl

+11+

17 -

Xl

(x+a)4+(x~a)4~ 82a 4

+3

b) x'+13

b) (X~3)4+(x+3)4~648XI,l

'\

7.8. Koja bikvadratna jednacina ima ljesenja

= 2 iXi)

X3,4

= s.

2a

f4i12

2a2b ---=ab.2

Rjesavanjem jednacina x jednaCine

=

2 a-b i x2 = a+b dobiju se rjesenja date bikvadratne

7.9. Napisati bikvadratnu jednacinu cija su rjcsenja

= 3, xJ,4 = 2i.

7.10. Rijesitijcdnacinu 6x 4 ~ 5x 2 -I I ~ O.

Primjer 4: Rijcsiti jcdnacinu (X~3)4 ~ 29(x~3)' + 100 = 0 .

7.2.

Kulma jcdnaCina ax3 + bx' + ex + d

=

0

RjcScnje: Nekaje (X-3)2=t. Sad~ se dobije kvadratnajednacina po proIT'jcnljivoj t: C -- 29t + 100 = 0 . RJesavanjem pretliodne kvadratne jednacine dobije sc t 1=4 i t2=25.Zamjenom dobijeoth vrijednosti za t u (X-3)2=t dobiju sc dYlje kvadratne jednaCine ; to:(X~3)2~ 25,

lednacina u kojoj se nepoznata pojayljuje najvise na treci stepen naziva se jednaCina treccg stepcna iIi kubna jcdnacina. Svakajednacina trceeg stepena moze se dovesti na obllk:

A>2 + Bx2 + Cx + D = 0

(*)

odnosno,

x2--6x+5 = 0cijim~jeSavanjem

x'---6x~16 ~

O.

gdje su A, B, C i D realni brojcvi pri cemu je A;t:-O. Iv1i cemo posmatrati kubne jednacine ciji koeficijenti su eije!i brojcvi.

se dolazi do cetiri rjeserDa po!aznc jcdnaCine

Kuhns jednacina nije llvijek pogodna za ljda\'anje, kao sto je kyadratna. Mi cemo ovdje izvesti forll1ulu za ljcsavanje kubnejednacine u OpCClll obliku, ali prije toga cel110 pokazati kako se neke specijalne kubne jednacine l1logu rijesiti na drugi nacin, bez formule.Prirnjer 1: Rijesiti jednacinu 8x3 -

Pitanja za pOl1avljanje:1. KojujednaCinu naZiWlll70 bikFadralnajednaCina? 2. Kako s~ rje/;ai'D bikvadralna jednaCina?148

27

=

01

Rjesenje: Ovdje se radi 0 jednosta\'noj, binomnoj. kubnoj jednacini koja se rjesava na s1jedeci"'nacin:

149

t

JI:~

8x'-27~O (2x/-3 2x-3~O- 6x 2 .} =J36~~~~~~I 4~4

(2x-3)(4x2+6x+9)~O 3 4X2+6x+9~0 => xI~-

'III

odakle se, uporeduju6i odgovaraju6e koeficijente polinoma dolazi do jednakosti

2 '

6,/--I08 8

-66I~3

-- 3 3i,/3

8

8

4

Primjcr 2: Rijesiti jednacinu x 3_7x2+ 16x-12 "'" 0 !Rjescnje: Koris"ticemo metodu rastavljanja lijcvc stranejednacine na faktore. Naime,

PosUednja jednakost kazuje da jc slobodni Clan polilloma d djeljiv s njegovom nulom. Ovu cinjenicu mozemo koristiti prilikom rjcsavanja onih kubnih jednaCina koje imaju cjclobrojna Ijesenja. Pokaiimo to na sljede6em primjeru.

ako polinom x'-7x + 16x-12 rastavimo na faktorc, tada se maze koristiti osobina proizvoda: proizvod dva broja je jednak nuli ako je bar jcdan od faktora nula, iposmatrana kubna jednacina se moze zamijeniti sa dvije (iii tri) jednacine hizeg ~tepena. Jednacine Ilizeg stepcna su kvadratna i lincarna i obje znamo rijesiti bez Ikakvih ogranicenja.

2

Primjcr 3: Rijesiti jednacinu x3-3x2 +5x-6 = O. Rjesen.ie: Siobodni clan ove jednaCine je -6. Faktori slobodnog ciana su:~

I, 2, 3, 6

~

Rastavimo polinol11 x _,,7x + 16x--12 na faktore:

3

2

~ (X_2)(X2-5x+6)~

Ako jcdnacina x 3-3x 2 +5x-6=O ima cjeJobrojnih rjesenja, tada su to neki od navedenih osam brojeva. Neposrednom provjerom trazimo jcdno rjesenje jednacine. Pro\-jeru, obie-no, poe-injcmo od manjih brojeva. Lahko se provjerava da brojevi -1 i 1 nisu rjesenjajednacine,aii se uvrstavanjem b~oja 2 u jcdnacinu zakljucuje daje to jedno Ije.senje. Jedno rjescnje jednacine x'--3x="t-5x-6=O jc x)=2 sto je i nula po!inoma xJ -3x2 +5x-6. Sada koristimo teoremu: Ako je a nula polbwma j(x) tada je polinom j(x) djeljiv sa binomom x-a. Kako smo pronasli jednu nulu (xl=2) polinoma x 3 -3x2+5x-6, to je ovaj po\inom djeJjiv sa binomom x-2.

Kori~.teci ?obi\'~ni rastav po!inoma na Jijcvoj stranijednacinc,jcdnacina se rjesava na shJedecl nacm:(X~2)(X2-5x+6)~O x-2~O, x'-5x+6~O

x ~7I - , X 2 ,3

= --~.--- = 2~ =

5 I25 - 24

5 Ji~

5J 2-

Dobili smo tri IjcScnja xl=2, x2=2 ,x3=3. Dakle, ako po!inom na lijcvoj strani kubnc jednacine rastavil110 na faktorc tada se JjeSenja jednacinc dobivaju IjesavanjclTl lincarne i kvadratnc jednacine. '

Odrcdimo kolicnlk (x'-3x'+5x-~6):(x-2)~ 2 3 (x -3x'+5x-6):(x-2) = x -x+3x3 -2x?

--x?+5x-6

Mo~e !i se uvij~k polinom trecc? stcpena rastaviti na f'aktore? U skupu kompleksnih bro~eva rasta;' IJanJe svakog polll1oma teorijski je mogu6e, ali se kod velikog broja PO;1fl~:1~~. tI:ec~g st~~cna pos:~pak .faktorizacijc komplikuje, sto otezava ljesavanjeodJO\alaJuce Jcdnacll1c na naCln pnkazan u pethodnom primjcru. Ovdje na.Yodimo jO.5 jed.an nacin Ijdavanja nekih jednacina tre6eg stepena. ~)ozna:o JC da s\'akl p~!lnom n-Aog stcpena ima n !lula. Tako poJinom trc6cg stepena lln,a tn )nule (meau kOJll)1a moze biti i jednakih). Ako su XI_ XI i X3 nuJe poJinoma ax-'+bx-+cx-:-d tada se polinom moze napisati u obliku --

-x2+2xDakle, vrijedi:

x'-3x'+5x-6 ~ (x-2)(x'-x+3)~

oSada se nasa kubnajednacilla moze napisati ovako:

(x-2)(x2-x+3) ~ 0xj=2, x7..JJ

=>0:;;

x-2~O, x2-x+3~O- - - - -----

J -!=Ii I iF! ~ ~ 222 Taka smo do~l_i.. do Ijesenja posmatrane jednacine;

J1=I2

J

50

151

----

Primjer 4: Rijesiti jednacinu x3-2x2~17x-6

= O.

Rjesenje: PotraZimo jedno cjeJobrojno rjesenje medu faktorima slobodnog clana:

I, 2, 3, 6.

Nekaje f(x) ~ x 3-2x 2-17x-6. Tada vrijedi:f(-1)=8, f(1)=-24, f(-2)=12, f(2)=-40,f(-3)-0.

do ~ule polinoma f(x). To je broj -3. Polinomje djeJjiv sa x+3. Odredimo kOl1c01k: (x'-2x -17x-6): (x+3). (x' -2x'-1 7x--{)):(x+3) ~ x'-5x-2K'+3x 2

Sti.!??s~no

( a' '\ y ' + b--Iv+ (2a' - -ab c ) =0 -+3/ \,27 3

Ako uvedcmo smjcne P'"" b

ab3

.', c, onda cc:mo

-5x2-17x-6

dobi!i slijedecujcdnaCinu koju ccmo z\'a!i imnonski ohlikjednaCinc treceg stepcna:

-5x -15x-2x-6-2x--{)

2

x _2x

3

2

_

17x--{) = (X+3)(X2-5x-2).

i

+py+q=j}

(***)

Odredimo postllpak rjcsayanja kanonskc jednaCinc tl'eceg stupnja.

oRjcScnjc Ie jcdn

vl~-5,v2~

5(l+iJ3)

'V3~_5(_1~_i.f_3_)2

2

Vrijednosti \'arijabJe y "" u + v su:Yr=UI+VI ="4.

Zadad za vjezhu:

Y2=Uz+v1 =2+3ij3,Y3 = U3 + v J "'"

2- 31w

J3.

Rijditi datu jednacinu:7.I1.a) xl_I ~O b) x3_27~O 7,12.a) 8xJ+27~O b) 6'h3-1~() 7.13. Odrediti Hijcdnost korijena: a)c)x 3+1=O c) 125x 3+27=O

Konacno, koristc6i

VCZll

izmcdu x i y datu rclacijoIl1 >.:=y-1 dobiju sc rjescnja datcjcdnacine:

d) X3+g~O d) 27x)- J 25c~O d) J,f::] e) ~C8

Vi

b)

V8

c)

Vi?

Primjer 6: Primjcnom Kardanoyc f-ormulc rijesitijcdnacinu: >.:3-2x----2=0.

Rjdienje: Jcdnacinajc u kanonskom obliku iz koga citamo: p = -2, q odredimo \1, a zatim Y. pa onda izracunajmo x=u+v:

= ~2.

Primjenom Kardanovc formu!e

7.14. Dokazati da slijedece jednacine ncmajll cjelohrojn-ih l~jcScnja: a) x'-3x3-x-l o=O b) 2Xl-X2-6x-5~O c) x 5-3x+3 ~ 0 d) 3X5-X+4c~O 7.15. Pro\jeriti da Ii Sll dati brojevi rjcsenja date jednacinc: a) x 3-19x+30=O ; [2,~-5,3} b) x3~3x1-33x+35=O ;{-5, 1, 7} Ako je dato jccino !jeSenjc kllbnc jcdnacine odrediti prcostala dva (jesenja: 7 3 7 7.16.a) xO-5x~-2x+24~O, xl~3 0) -2x +13x~-IGx+5~O, xl~5~

7.17.a) x 3_6x1 +21 x-26=O, x1=2+31=

b) 3x 3-23x2+132x-170=O,Xl=3-5i

\/1 + 1,13855

.----=

r-c--

\/2,13855

=

1,288J68

3.865104Xi

.~~-C-~

-2

0.517450

7.18. Ako je dato jedno ;jcscnjc kubnc jcdnacine odrcditi wijednost para metra m i preostala dl!a ljesenja: b) x3+ 3mx+'l=O,akojexj=-1. a) mx 3-+3x 2+1=O,akojex]=1. 1 d) 6x3-2mx2+x-l=O,akojcx1=1. c) x 3-+3x +m=O, akoje xl=--2. 7.19. Rastay]janjem na faktorc rijcsiti jednacinc: a) X3 +X 2 +X+J=O b) x3_x 2+x_l=O c) X3+ 2x2--x_2-=O d) 6xJ +7x 1--1=O

= U 1 -I- Vi =

1,288368 + 0.517450

=

L805818.

156

157

7.20. TragajuCi zajednim rjesenjem meau faktorima slobodnog Clana rijesiti jednacinu: a) x3-x2-5x-3=O b) x 3-5x2+x+7=O d) X4+X3_2x2-4x-8=0 c) x 3-8x2 +25x-26=O 7.21. RijeSiti date jednacine: 3 a) x -x2 :"'-8x+12=O b) x 3-9x'+27x-27=0 c) X3+X 2+X_3=O d) x'-9x'+16x---14=0 722. Dovesti na ka1"10115ki oblikjednaCinu: 3 3 a) x -3,,'-x+ 12=0 b) 2x -9x'+27x-I=0 Primjcno!1l Kardanovc tommie rijdi jednaClnu~ 7.23.a) x 3-3x-..2=0 b) x~+5x-6=O 7.24.a) 3x3-8x,8=C() b) x3-3x-3=0. Rijc.siti jednacine: 7.25.a) X3 + J 5x + 124 = D. b) x3 -12x+ 16=0. 3 2 c) x -3x -x+3=O. d) x3 - Sx- 8 = 0 . 7.26.a) x 3 +6x 2 +6x-13=O b) x3 +6x2 +9x+4=.o. 7.27.a) x3 -9x 2 +23x-15=O b) x3_3ax 2 +(2a 2 _3b 2 )x--2a? b+ 3ab 2 +2h 3 = O. 7.28.0drediti n, bEZ tako dajednacina x-'+ax?"-5x+b=O ima dva rjesenja: xl =2 i X2 = -I, a zatim odrediti i trcce Ijcsenje x3'

Prilikom Ijesavanja simetricne jednaCine uvijck 5e moze dobiti novajednacina S 01zi111 stepenom. Kako 5e to radi pokaza6emo odvojeno za simetricne jednacine s neparnim i s parnirn stepenom.

Rjcscnje: Navedena jednacina ima jednake simetricnc koeficijente i stepen neparan. Nije tcsko zakljuciti da svaka simetricna jednacina neparnog stepena ima jedno rjescnje xl= -1. To znaci da sc lijcva strana ovakve jednacine maze rastaviti n3 l'aktore pri cemu je jedan faktor (x+ 1). Drugi [aktor treba odrediti i on ima stepen 1,a jedan rnanji od stepena prvobitne jcdnacine. U nasem primjeru drugi faktor je stepena dva.(x+ I )(X2_X+ 1)-2x(x+ 1)=0 (x+1)(x2-x+I-2x)~0Q

(x+l)(x'-3x+l)=O

x+l~O, x2-3x+l=O

=>

xl~-I,x2.J

~ 3. .J9=422

Tako smo dosli do Jjesenja date simclricne, kubne jednacine.

Primjcr 2: Rijditj jcdnacinu 3x + 4x3 - 14x2 + 4x + 3 = O. Rjesenjc: Jednacinaje simclricna sa parnim stepenom. Podijelimo je sa x 2 (glavni dio srcdnjeg claIm):

4

7.3. JcdnaCina yiseg rcda sa simetricnim kocficijentimaPosmatrajmo k0e11cijente jednaCineO

>

3x2 +4x-14+'+ 3 =.0 x

3(X2 +_I_I+4(x+~1-14~Ox1 ) \.

O

Uvocl'enjcm smjene ToSU,

(x + ~1=X)

x)

1,2 3lx + ~ I +4 ( x+ !- I1-20 = 0 . x) x)f

t posljednjajednacina se transformiSe u kvadratnu

redom, brojevi 7,3,2,2,3,7.

Uocavamo da je prvi koeficijcnt jednak posljednjem, drugi je jednak predp05ljcdnjem, tred sa lijeve strane jednak je trecem sa desne strane (i tako redom ako je jednaeina \'iseg stepena). Ako zamislimo da sma sve koeficUcntc prcdstavili na brojnoj pravoj i ako uoeimo srednji koeficUent (ako je broj kaeficijenata neparan) iii srcdisnju tacku izmedu d\'aju srednjih kocficijenata (ako je braj koeficijenata paran), tada SLl simetricni koeficijenti U odnosu na srcdnji koefic~jent, odnosno zamisljenu tacku jednaki. lednacina Ucdnadzba) s jcdnakim simetricnim kociicijentima nazi\'a se simetricna jednacina (jednadzba). - ' 158

jcdnacinu po varijabli t, zbog x 2 + ~ = t 2 -1 : r

3(2 +4t-20=0 =>

{, ~ - 4 Jl6~:-240 ',6

--4 )256 6

- 4 166

Otudaje:

10 t,=2,{=-_. 2 3

Sada se dobiju clvDe jednacinc po x, koje se svode na kvadratne:

159

x 2+1 =2x

x2-2x+I=0Xj=x2=1.

=> (x_I)' =0Vratimo se uvedeooj smjeni gdje smo lIvelj varijablu t i odredimo vrijednosti varijable x:

(X+~)=-130=>XH

=> 3x2+3=-IOx6 6

=> 3x2+10x+3=O-10 8 6

(x+ ~)=-8=>X 2 ,3

=>

x'+1 =-8x - 8 J602-82'J'15~

=>

X

2

"i8x+I=O-4

loJiOO-=3ii _ -IOJ64

- 8 "'64 - 4 2 ( x+l!=5 X)

2

=

-../15.

=>X 4 ,5

- - 7 0 IJCSltI - nacmu ...x '+5 X4- I' 1--. 13 X2," +0 0 . _JX -,)X, ",= P rImJcr....,: R-- "- - JC d"Rjesenjc: Jednacina 1ma simetricnc koeficijente i neparnogje stepena, pajejedno ojena rjesenje XI = ~1. Polinom na Iljevoj strani jednacine djeljiv je sa x+ 1. Odredimo ovaj kolicnik: (2x'+5x4 "13x3-13x'+5x+2):(x+ I) = 2x4 +3x3-16x'+3x+22x5 +2x4 -----4-----::;?

2

2

Pitanja za ponGrfjanje:1. Kakvujednaanu nazivamo simctricnajedllaCina? 2. Kaje rjeCl~jc ima simcfricnajedl!aCina ,!cparnog sfcpcna? 3. Kako se smanjuje stcpen simetricnejcdno(inc s ncpamim slcpenom? 4, Kry'ije postupak 17'davaJ?ja simetricnejednaCinc sparnim stepcnom?

3x4"" 13,c"13x-+5x+2 3x +3x-'

- - - "-"---_._3x2+5x+2 3x2+3x

2x+2Preosta!a dcscnja datejednacine su i rjc.scnjajcdnacine cetvrtog stepena: " 2x4+3x3-16x2+3x+2=O, Ponovo smo dobi!i simetricnu jednacinu, sarno je stepeo jednacine za jedan nizi i paran broj. Podijciimo jcdnacinu sa x 2 , (vidi srednji clan jednaCine):

2x+2

Zadad za vjezhn:7.29, KOjl~ vrijednost mora lmati parametar a ) mx , , 1-.)X'j 1= 0 -.)X 4 3 2 c) 2x +5x +44x +mx+2=O0,

J1l

da bi data jednacina bila simetricna: I) .lX''+ mx~- . xt'_)= 0 '7" ) d) 6x4-xJ+5x2~mx+6=O0

2x+3x-16 T - + 2 x A

,

,3 2_ -O

q

(2 2x+-I) + zX

3( x + - '16-0 I) -x\

7.30. Rijesiti simetricnc jcdnacine: a) x3-3x'-3x+ I ~ 0'c) 3x 3-7x 2_7x-l-:) = 0

b) 2x3t_X2+X+2~O d) x1-4x'+4x-I~Ob) 2x 3";"7x2 +7x+2 c-;::Ob) 6X4_!'5:.\? .. x'+(6x)'-2[x(6-x);21~0

8.0!. Provjcriti da [i jc dati uredcni par (x, y) Jjesenje datog sistema: a) 2x+Sy-S ,(-1,2) b) x-3y~ 14,(3,2) xy+2~0 x'-SOy' ~ 200 RijeSiti dati sistem jedllaCina:

8.02.a)

x-2y-2~0

b)

xy 8.03.a)Kako jcy~-;:;;6

-12~0

x+y~ 3 3x'-2y' ~ 10

5x+3y-16~0

b)

x'~y ~ I

x 2 +x-5y+4;;;;:Ox to vrijedi:

x-y+5b)

~

0

6-2 ~ 4, ~ 6-X2 ~ 64 ~ 2. Rczultat: Postoje ch-a rjesenja sistema ito (2, 4) i (4, 2),~ 6-x,~

y, Y2

8.04.a) x'+y'-2S~O3x~y~15

x2+xy~IO2x+y+7~O

8.0S.a) 2x'-3xy-y'+2x-2y+I~0

b)

5xy+3x2-4y'~38

2x-3y+I=Ofrimjer 2: Rijesiti sistemjednacina x + Y ~ 12

x-y-2 b)x+y~4

x v -+-' J!. x

2

2

x3-----~.--

~18

+i

Cc

28

162

163

8.07.a) x 2+y'=5a 2 x-y=a

b)

x2-2a2~/=2

x+v=2a

Primjer 2: RijeSiti sistemjednacina . X3+y'~ 7 xy(x+y) ~ 2

8.2. Sistcmi (sustavi) kvadratnih jeduacina (jednad'zbi) sa dvijc ncpoznate u slucaju da su objc jcdnaCinc nclinearncAko su obje jednacine u sistemu kvadratne, kaZell10 daje dat sistcm kvadratnih jednacina. Pokazllno kako se r:jesavaju jednosta"\"lliji sistemi kvadratnih jednacina: Prirnjer 1: Rijesiti sistemjednacina

Rjesenjc: Transforrnirajmo drugu jednacinn sistema na sljedeci nacin: 3~ "~'3 ~~3!' X +y' = 7 x'+y~=7 x"+y =7 x'+3x"'y+. xy-+y"=J 2 xy(x+y) = -2 > x y+x/= -2 > 3x'Y+3x/= -6 > xy(x+y) = -2

>

(x+y)3=1 xy1 =2v~l-x

>

x+y=l xy=-2

y= l-xx( 1-x)=-2

x2+/= 68 xy= 16Rjesenje: Ako se pn:oj jednaCini dada druga prethodno pOlllllozena sa 2, dobije se kvadratnajednacina: x'+2xy+y'= 100. Ako se od prve jednacine oduzme druga prcthodno pomnozcna sa 2, dobije se kvadratna jednacina: 2 x _2xY+/=36. Sada mozemo pisati: 2 (x+y)2~IOO x +l=68 x 2+2xy+/=100 x+y=lO > (x-y)2~36 xy~16 > x2-2xY+l~ 36 .;. x--y =:t=6

>

;"_x2+2=O

y=1-x>

y= I-x

x2-x-2=0

Xj=

-J, x2=2

Yl=2 y, ~-I x]=-l, x2=2

Rezultat: (-I, 2), (2, -1).

Primjer 3: Rijesiti system jcdnacinaX2~. 5xy

+ 6v 2 "'" 0 'x' + = 10

y'

Rjesenje: Podijcjimo prvnjedn'aCinu sistema sa :/*O .. Tako se dobije

(~rPosmatrani sistem kvadratnih jednacina "raspao" se na s!jcdcCa cetiri sistema !inearnih jcdnacina tije nam je rjesavanjc poznato 17 pr\'og razreda:x+y~IO

-

5.

~ + 6 = 0 . Uvodenjem smjene ~ ~ t, posljednjajednacina set' - 5t + 6 ~ O. 2, t2 = 3,U

transformise u kvadratnu po t: Rjesenja ove jednaclne su t]=

x-y=6x+y~IOx-y~

>

2F16 2y= 42x=4 2y=16

x~8

>

y~2x~2

Prve Ijcsenjc je (8, 2).

-{i

)

>

y~8

Drugo rjescnjejc (2, 8).

Zamjenom dobijene vrijednosti za t x x

llvedenu smjcnu, dohije se: (*)II

x-y~

x+yeIO 6

>

2x=-4 2y=-162x~-16

>

x=-2 y = 8.

Treec rjcscnje je (-2, -8).

x+y= 10 x-y ~ .. 6

x=-8>

>

2y~

- 4

y

= -2. Cetvrto rjesenje 5e (-8, 2).

y y KoristeCi posljednjc vezc izmedu varijabli i uYfstavanjem sistema, dobije se: 5v2 = 10 4/+/= 10 > J(ly' =1 0 9y'+y'~10 >

-~2,-=3,odnosno,F2Y.F3y.

drugu jednacinuYI,2=

;J2

r;:

Y3.4 ~ 1

164

165

Zamjenolll dobijenih vrijcdnosti u (*) dobijcmo vrijednosli varijable x:Xl 2"

= 212,

Dobilismodaje y=4x i y=-"Sx.

4

(**)

XH0,

= 3.I), (-3, -1).

Rezultat: (2.[2,

Ii ),( - 2,/2, ",/2), (3,

Koristcnjc!ll ovih veza izmedu varijabli, iz drugc jednacinc sistema dobije se: 2x1 +8x2+ 16x2 = 26 ::> 26x2 = 26 ::> x2 = 1 => X!.2 = 1.2x-~---x-

Primjcr 4: Rijesiti sisternjednacina: x2+xv+2v2= 37 .., -' -' 2 2X~T2x);+y = 26

')

8")

5 25 Iz dobijenih vrijednosti za x j (**) dobijemo:

16 ? +-x- =26

::>

26x'=2625

2

:>

x-=25

")

=> X3,4=5.Y4 =

YI,2=

4, Y3 = -.4,

4.

RCZllltat: (1, 4), (,,1,-4), (5,-4),(5, 4). Rjdcnje 1: Sabiranjem, a zatim oduzimanjcm ad prvc drugejcdnacinc, dobijc se: 2 X +xy+ 2y 2=372X2+lxy -i-y~=26::>

3x2+3xy+3/""'63 1:3 _Xl-xy-l-/ = ! 1

;>

X2+xy+/~-= 21 -x'-xy+y' ~ 11

l'rimjcr 5: Naci rcalna tjesenja datog sistemajednacina:xy+24= -

x'y

I\Xy_6=y3.X

x~ ;-xY-~~l= 21

2V2~ 32

:>

x 2+xy=5

/=16

VI2 = 4 x'+4~"':5 ~ 0, x' -4x-5=O

Rjcscnjc: Mnozcnjem jednacina sistema dobije se:

(xy+24 )(xy-6) = x 2y'

(xy)' - 6xy + 24xy -- 144 = (xy)' 18xy= 144 => xy= 8.

Sistem ima cetiri ljescnja: (-5, 4), (1,4), (5, -4), (-1, ~--4).

Zamjenom xy=8

U

objc jednacine sistema dobUc se novi sistem:x3

8+24=~Y;>

J

= 32y1

;>

=2xJx=:2y YI=:

~

:>

x =

2y ')' y3 = 4y

1)'2

x[7=4, X~4>'"

=+4l(

-2,

=

2. J

Y1 = ~2, Y2 = 2

J

lx' 16,-1

(

\2

\y)

+16--5~O

x

Rezllital: (-4,2), (4, -2), (4, 2), (-4, 2).

y

koja sc u\"odcnjem smjene .::. = f transformise u kyadratnu po t: y 16t'+ 16t-5=0. Rjescnja ove jcdnacine -Sll t]

Primjcr 6: Izracunati drugi korijcn kOlllplcksnog broja

8~6i.

=-

1

-4

J t2

= - -.4

5

Rjdcnjc: Trcba odrcditi kompleksan broj z=x+yi za koji vrijedi (x + yi)' ~ 8- 6i.

166

167

Koristeci operaclje sa komplcksnim brojcvima i dcfinicijujednakosti dva kompieksna broja dobije se:

8.10.a)x +2xyi--/x~ ,

xy-x-y=29

;

f

1

=

8--6i

(x2-y') + 2xyi ~ 8 - 6i

x' + y2 - (x + y) = 72, 8.1I.a), 2x- +xy- y 2 = 0

b)

- y 2 = 8}

x' ~ y' ~ 8}.XY= -3

1

2X2 +xv-2x- .:v=5 I 0.0 I~ 2 2 3.x "- -;g~

x2: 2.

Daklc. ako data iracionalna jednacina ima tjesenja, svako od tih rjeser\ja mora biti veee ili jcdnako broju dva.

9.9.1.

IRACIONALNE JEDNACINE (JEDNADZBE)Pojam iracionalnc jcdll3cine Uednadzbc)

U iracionalnoj jednacini sa Vise korijena, svaka potkorjcna velicina korijena sa parnil1l eksponentol11 mora biti ncnegativna.Oblast deiiniranosti (domena) iraciona!nc jcdnacine, obicno, se odredi prije r~jenog Ijesavanju, a kasnijc kada se odl'ede vrijcdnosti varijab!e koje bi magic biti rjesenjc, prO\jcri se da Ii pripadaju domenL

lednaCine II kojima se nepoznata (varijabla) nalazi pod znakol11 korijena naziva se iracionalna jcunaCina. Na primjcr, prve tri medu slijcdecim jcdnacina su iracionatne, a cetvrta nije iraciona!na.

Primjer 1: RijcSiti jednacinu

x .. 3-2=0,Ako je eksponcnt korijena u iracionalnoj jednacini paran broj, smatramo da se radl o aritmetickolll korijenu, sto znaci da njegovu potkorjcna veiicina mora biLi ncnegati\'un broj (po ziti van iii jcdnak nuli). Ako je u iraciollalnoj jednacini pojavljl1jc korijen sa ncparnim cksponcntom, njegova potkol:jena velicina moze bitt i poziti\'na i ncgativna i jednaka nuli. Proubl\-ajuci iracionalne jcdllucinc llIi ccmo sc, ug!avllom, ograniciti na one iracionalnc jednacinc u kojima imamo samo kvadraLnc korijene, U isto vrijeme yodice sc raCllna da se pri !jesavanju iracionalnih jednacina nailazi samo na one tipovejednacina cije ljdu\'anje smo upoznuli (linearne, kvadratne i neke specijalne jednacillc viseg stepcna). Za razliku od svih do sad a upoznatih jednacina, kod iracionalnih jcdnacina llaglascllo se mora voditi racuna 0 tome pod koj 1m uvjetima je jedllacina (jednadzba) dcfi!lirana, Rjdcnjc: Jednacinajc definirana ako je korijen koji se pojavljujc u n.1oj aril!l:lcticki. To znaci oa njcgova potkoljcna vclicinu kao i njegova \']'ijcdnost l1loraju biti ncncgativni bro.1evi: I T 3x ~ 0 I - x ~ o. Rjcsa\'ajuci gornji sistem nejednacina, dobije se:I

+3X~O}

q

l-x~O

x2:-3x:S; 1

I

K.vadriranjem obje strane date iral.:ionalne jednacine dobija se no\'a jednad:l.ba (koja, po pravilu, nijc ekvivaJentna pocetnoj i cija ljcSenja ne ITIOr;;\ju biti i rjescnja prvobitnejednadzbc, ali svako tjesenje prvobilnejednadzbeje i ljesenje dobijcnc):

Iracionalna jednacina

.Jx-3 -2~Ojc dcfinirana ako jc x-3:2: 0 , odnosllo ako je x2:3. Jrac iOllalna jednacina

=>

(JI+3xJ' ~(I_X)2

1+3x=! 2x+x2Xl ~

-=>

x2-5x==0

0,

X2~5.

+ +2=0 ddlniran3 jc za s\'c vrijcdnosti varijable x za koje jc x+22:0, odnosno ako je x:2:-2,lednacina dcfil1irana jeako Sll ispunjeni uyjeti x+3~0 ! x;,,"22:.0.To mac! da njena rjesenja trcba trazlti meau JjeScnj ima sisteiiia jcdnacina:170

Dobijcnl brojevi i 5 su "kandidati" za ljesenja date iracionalne jcdnacine. Da Ii Sll oba broja Ijesenje, jedan od njih iii cak ni jedan, to ccmo saznati ako prmjerimo da Ii pripadaju njcnoj domeni. Pry i braj (Xj=O) nalazi se izmeou minus jcdnc lreeine i broja jedan, pa je on Ijesenjc posmatrane jcdnacine, Drugi braj (x2=5) nijc rjesenjc nase jednacinc, Rjcscnjc jednacine je x=O.

171

Medutirn, sarno prvi od ovih brQjeva pripada i domeni jednacine (2). Jednacina 1ma jedno rjesenje x=6.

9.2.

Iradonalne jednaCine (jednadzbe) u kojima so pojavljuje gdje je f(x) funkcija prvog iii drugog stepena(stupnja)

fiW,

Ponckad je jednostavnlje (i hrzc) odrediti brojevc koji bi mog!i biti tjcscnja pocetne iracionalnc jednacine (ne odreaujuCi njcnu dornenu), a zatirn neposrednim uvrstavanjem tih brojeva t1 polaznu jednacinu ustanoviti da Ii je neki od njih l:jesenje Hi nije.

Ovdje cerna Jjcsavati iradonalnc jcdnaCinc u kojima sc pojavljuje kvadratni korijen iz f(x), pri cemu cemo dozvoliti da f(x) bude polinom prvog iii drugog stepena.

Navedcni zadatak llkaznje !lam da je potreban oprez pri odredivanju domenc iraejonalne jednac.ine i pri odrcolvanju njenih !jdcnja. Isto\Tcmeno nam se ukazujc nacin na koji mozerno odreditl Ijesenja iracionalne jcdnacinc bez prethodnog odredivanja njcne domene. Da hi to uradi]i potrehno jc c]iminiranjcm korijena docido brojeva koji bi mog!i biti ljesenja jednaClne, a za1im proYjcriti za syaki (waj bn~j posebno cia Jije rjesenje iii nijc. Primjer 2: Rijditi jednacinu: 2,/1 _. x1

Primjer 1: Rijesitijednacinu

3.Jx+'3-~ ~7,

( I)

Rjesenjc: Odredimo domenu jednaCine: x+3::::0 X2~J x-2~O => x~ 2~-.--".

= X _. 2.

=>

x;, 2.

Rjesenje: Kvadriranjemjcdnacine dobije se

RjeScnje jednacine mora biti vece iii jednako broju dva. Da bi se oslobodili korijena, prebacirno jcdan korijen sa lijevc strane na desnu i zatim kvadrirajmo jednacinu: 3Fx+3 ~ 7+~=;> 9(x+3)=49+14~x-2+x-2~

4(I-x') ~ (x-2)' 5X2.~ 4x = 0

4'~X2

= x 2 -- ilx +~

4

x(5x,,4)

0

~>

(3Jx+3)2 ~(7 + Jx-2)'8x-20~ 14Jx-2=;>Sll dobijcni brojcvi ljcscrua datc jcdnacine. U\Tstavanjem nijcdnosti x=O n3 lijevoj strani jednaCine, dobija se hroj 2, a n3 desnoj ~2. Znaci da broj 0 !1ijc rjesenje jednacinc. Ako u datn jcdnaCinu uvrstimo drugi broj =0,8) ponoyo ce sc lla raz111m stranama jednacine naci dva Sllprotna broja. Ni O\'~~ broj nije Ije.senje jednacine. Daklc, posmatranajednaCina ncma ljdenja,

Provjcrimo cia Ii

=>

(2)

ex

Dobijena jednacina (2) nije ekvivalentna pocetnoj jednacini (l}. Kako korijen u jednaCini (2) mora biti aritmeticki, to je domena jednacine (2) rjesenje slijedeceg sistema nejednacina: x,,-2 ;, 0 x~2 x2:2 x>2,5. x~2,5 4x-IO;'0 2xc 5Da bi dosti do trazenog rjeSenjajednacine (1), nastaYljamo rjes3v3nje jednaCinc (2). Kvadriranjem ovejednacine dohije se:

~---2-

Primjcr 3: Rijesiti jednac-inu:

.,.j 4 - 6x - x = x ' 4

Rjcscnje: Datajcdnacinaje ckyiv3Jc.ntna slijcdecem sistcmu: x+4 ;> 0 4-6x-x' ~ (x+4)' ,cijim rjesavanjem dolazimo do l:jesenjajednacine:

(4x-IO) =(7 x-2)16x2,-80x+ I 00 ~ 49x-98

,

J~-

2

=> =>32

16x'-80x+100 ~ 49(x-,2) 16x2-129x+198 = 0

x-H l::::0~-6k'X'cc

x;'

-4..">

x

~

---4:....0:>

(x+4)'

4-6x-x' ~ ,,",8x+ 16

x'!+7x+6:::cO

x=

.

1,

x l ,2

129 .)129' - 4 16198::::: ... ~.- .. -.. ---~-

32

129 63

RjcSenje jednacine jc x = -1.

Da Ii su dobijeni brojevi ljesenja date jeanacine?"Na prvi poglcd.ril0g1i bi zakljllciti da jesu jer su oba broja veea od dva j pripadaju domeni jednatine (1).172

Pdmjcr 4: RijeSiti jcdnatillu; ,jx...;, 5.;.

+8

7

173

Rjcsenje: Datajednacinaje definisana aka vrijedi: x+5;,0 2x +8 ~ () x;'-5 x:2:--4

:::::>

=>

x ~ --4,

Rjesenje: Domena date jednacine je skup fjesenja sistema nejednacina: 3 x;?:-~ IIX+3;'0] II 2- x;?: () x~29x+7;>0

Pod us!ovom da je x?--4 jednacil1u se kvadrira i dobijc se: x + 5 + 2.Jx + 5 -J2x ;'-8 -+ 2x + 8:::: 49 ,2,/x+512x+8;:::. 36-3x

r

~>

x-2~OJ(*)

x>--9

7

x;,2Iz datih uslova se vidi da samo broj 2 moze biti rjesenjc jednacine. Sadajc naj lakse provjeriti da Ii je ovaj broj Ijesenje iii nije. UHstavanjcm x=2 u jednacinu dobije se:

Ponovnim kvadriranjem,

liZ

novi

USIOV

daje i x:S:;12, dobije se:

4(x+5 )(2x+8) ~ (36-3x)2 8(x2+9x+20) ~ 1296-216x+9x' 9x'-288x+ IU6 ~ 0~>

=>Xl~

5=5.

4, x2

~

284.

Dakle, x=2 jeste rjeSenje date iracionalne jednacine.

Drugi broj ne pripada domeni jednacine (*), pajednacina ima sarno Jedno ljesenjc F4. Primjcr 5: Rijesili jednacinu: ,/-; -i-

llrimjer 7: Rijesiti jednacinu x -

Fx -

6 = O.

to -,}x + 3 = .J 4x - 23 .

Rjesenjc: Uvodenjem smjene x = t 2 , t2.0, datajednacina postaje kvadratna po t:2 2 Negati\'na nijednost \'arijable t ne odgovara posiavljenom uslovu, paje x=9 jedino Ijesenjc date jednacine.

Rjeselljc: Domena date jednacine jc sLup ljdcnja sistema:

t' - t - 6

=0

11,2

1Ji+2"4::::::

15

:-::+10 2: () x+3 ? 0 4x-23;' 0

x ;'10 x ;?:-3 x :

x2>23/4.

K vadriranjcm date jcdnacinc i srcdi'var~elll, dobije sc: x+ !O-2.J;-~~-lO--Jx+3+x+3 = 4x~23'"1"

10 . ../x+J = 2x-36

I: (2)

Rjcscnjc: Uvodenjcm smjene x 2-x+9 =t2, t:::::O, datajednacina postaje kvadratna po t, pa se dobije:t2+t-12~O

.[t+TO--/;-=i-3 = 18-x(x+ I0)(x+3) ~ (18x)' x?+13x+30 = 324-36x-t-x2=>

,,249x= 294

-I J: 7

;0::> x=6.l:ieSe!~e

!\cposrcdnom prO\jcrom dobijcne nijednosti za x uV'jeravamo sc da je x=6 date jednaCine.

2 U\Tstavanjcm dobijenc vrijednosti za t (t=3) dobije se nova Izvadratnajednacina i njcnim rjesavanjem nalazimo: x 2--x+9 = 9 => Xl -x = 0 =>U\Tstavanjem dobijcnih \'rijcdnosti za x broja ljescnja.II

polaznu jcdnacinu utvratycmo da su oba Rezul1"at: xc {O, i}.

Prim.ler 6: RijeSiti jcdi13cinu: '\iTl.\'

T

3 - ,/2 - x

::::c

\;'~

-

2

174

175

Pitanja za ponavljanje:1. 2. 3. 4. 5. 6. KakvujednaCinu nazivamo iracionalnajednafina? Staje domena iracionalnejednaCinc? Kako odredl(jemo domenu iracionalne jednaCine? Kako se oslobaaamo korUena u iracionalnoj jednaCini? Da Ii se In'adriranjemjednaCine dohija ekl'ivalentnajednaCina? Sta freba uraditi u iracionalnoj jcdnaCini prije njenog In'adriranja?

9.16. 9.18.

2~ - -Jx+2 --J5x-IO ~ 0

9.17 .

..[3;+4 - -J5x+ 5 ~ 3-J2x+ I

..r;:;I + -J 4x+ 13 ~ ..)7;;-;;;' + &:"2-x+2

9.19. -Jllx+3-~~-J9x+7-l";=2 9.20. ,!lx' -I +)x' -3x-2~)2x2 +2x+3+

Rijesiti datujednacinu:

9.21. F+x)x' +24Zadaci za vjcihu:9.1. Odrcditi oblast definisanosti date iracionalnc jednacine:a) -Jx-3~4 c) -!-;'-;Sx-6=2 9.2. U kojoj oblasti je deflnirana data jednadzba: a)

~x+1

9.22. j;+3-4-Jx-19.24.

+.J8+x-6~ ~ I

9.2S.

~+~-J2+x--J2-x

2

b) -J2x+8=6d) -p2

x

9.26.

9.27. ) x' + 4x + 8 + -J x' .+ 4x + 4 = ~2(X2 + 4x + 6) 9.28. -Jllx+12-Vllx+12-2=0j~

-J5.HI~x-1 b) -Jx+2+-J3-x~3 c) )-8+6xr

9.29. vy-2+-J2y-5 +;/y+2+3-v2y-S::::: X

Ir---=,

==-

~7..j2

C"

-I?

9.30.9.3. Doka7ati cia datajednacina nema rcalnih ljesenja:a)

+7+-J3-4x+x' +2~O

b)

vx-6+v3-x=4x-3x-+lRijesiti date jednacine: 9.31.*~ + Vx-=-I ~ I.;,)76

r-:-;

~

')

9.32.*

Rijditi date iracionalne jednacine:9.4.a) 9.5.a)9.6.3)-Jx~-8 0::::2-x

9.33.*

+..r; + ;,)76 - FxI

~ 8.

b) 7E-2x+15~0

x+.r::=jx' -4x=

=3,.-~-~---~~~

b) 3x-10J~+j +6=04x+20-IO b) x' .,.b) -Ji2-=~

9.34.* Koliko cjelobrojnih (pozitivnih) ,jesenja imajednacina:-+-~---

-3x+11 =,3x+4

Fx fY

I

I

.JIOOO .

?

9.7.a) 9.8.a)

-./7 x +

1

=2-Jx+4

=x

+5-};-3=2

b) -Jx!3 ~1-J3~~=7 ~-'~""'-'--~'2 _, ') b) \. 4 + ~:7i - ): ,--- x - _ b)

9.10.a) 9.ll.a) -Jx' +x-3 =3 9.12. +5 +-J~=f4x+9-~3 ~2E

-./2x-4~--

b) V3x'-20x+16~x-~49.13. E+-Jx-5=

..-.-.-----

+5 ~1

-x1-

9.14. -Jlx+~l,176

9.15. \(5'~~'-~~:-7 -

3~

,/3x -1- 4177

f(x) > 0 } g(x) > f(x) , a nejednaCina "'i/f(x) < ''''i/g(x), n E N,

je ekvivalentna nejednaCini

j(x) < g(x).

10.10.1.

IRACIONALNE NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE)Pojam iracionalne nejednaCine (nejednadzbe)

Primjer 1: Rijesiti nejednaCinu:

J~x' +5x~6 ~x'+5x--6~x'+5x--6;o. 0 5x'+7x+17>O.

NcjcdnaCina u kojoj se nepoznata pojavljuje u potkorjenoj velicini (radikandu) nekog korijena naziva se iracionalna ncjednaCina.

~>

Sljedece ncjednacine

Sll

iracionalne:

)x~1>5 Jx2~4 3 , J3~x2+1x+2.Posmatrajmo ncjednacinu:

Kako je diskriminanta kvadratnog trinoma 5x2+7x+17 negativna (D=-291) , a koeficijent kvadratnog clana a=5 pozitivan, to je polinom 5x2 +7x+ 17 pozitivan za svaki reaIan broj x. Zato je rjeScnje posljednjeg sistema, rjesenje njegove prve nejednacine. Nule polinoma -x +5x-6 su xl=22

x2=3, pa parabola y

=

-x2 +5x-6 ima oblik

Izraz 2x~5 koji se pojavljuje pod korijenom mora biti ncnegativan. Pod tim uvjetom ncjednadzba se maze kvadrirati i pri tome se dobija sistem

x

2x-5:? 0 2x~5 > 9kojije ekvivalentan polaznoj iracionainoj nejednadzbi. Rjescnje sistemaje:2x~5

S1.1 0.1.odaklc chama rjesenja prve nejednacine sistema: 2 ;:;; x;:;; 3. Rjesenje date iracionalne nejednaCineje simp {xER 12:'5: x:'5: 3}.

>0>9 =>2x~5

2x~5

> 9 => 2x>14

=>

x>7.

NejednaCina oblika

Dakle, posmatranu nejednadzbu zadovoljavaju svi realni brojevi koji su veci od 7.

2~f(x) 0 J' g(x 0 f(x)< [g)f"

,

'V

E

N,+ .,'.

2n1f(x) 0 f(x) > [g(x)J2n ,

Rjesenje: Data nejednacinaje ekvivalentna sistemu nejednacina2X2~3x~5;o:x~1o

>0

iii

2x~~3x--5

< (x--I) '__

dok jc nejcdnacina ohlikaRjesavanjem gornjeg sistema dolazimo do rjesenja date iracionalne nejednaCine:2X2~3x~5 ;>

'''17(x) > g(x), n E' N,ekvivalcntna ncjednaCini f(x) > [g(x)]2n+I,

0

x--I >0 2X2~3x~5 x~ll'

2x'~3x~5 ;> 0 x~1 >0 => 2x2 -3x-5 1 => x?-x-6 < 0

2(XII+~%);>0=>

x5-1=>

x> 1(x+2)(x~3) 1\ -2 8-2x .

2

5 - -s;x< 3.2

Rjesenje: Nejednacinaje ekvivalentna sisternu8 ~ 2x < 0 --x2+6x 5 > 08 - 2x;::: 0

,Rjesenje posmatrane nejednacine je skup svih realnih brojeva x E

[%' 3) ,

iii

-x'+6x--5 > (8 2X)2.

Rjcsavanjel1l navedcnih sistema dobijamo ljesenje date, irac.iona!ne nejednaCine

~2x ~8

.

x 2--6x+5 -s; 0

iii

-x2 +6x-5 > 64-32x-+4x2 x:S;:4

Primjer 3: Rijesiti nejednacinu

Vx3~4x2 +18x~16 < x~2,

x>4 l"x,,5iIi

5,,2+3 8x+69 > 0

Rjesenjc: Kako je eksponent korijena neparan, to je data nejednaCina ekvivalentna sa nejednacinom00

x' ~ 4x2+ 18x~16 < (x~2)'cijim rjesavanjem dobijamo i njena rjesenja. 2x2+3,,--4 < 0;>

4x+4 b) b)b)10.!3.

Kako je izraz -16~7x negativan za svaku vrijednost varijable x koja pripada intervaJu [0, SJ, a pri tome je i proizvod faktora na lijevoj strani uvijek nenegativan, to jc rjesenje nejednacine skup svih brojeva iz intervala [0, 5].

10.9.a) ,,-.- - < 3 .2x-S 10.10.a) 10.I1.a)

[Ex

I3x -I V-> I 2-x+3 >.Jx 2 -8x+12

rx+1 >~)1=-; 0.

x>.Jx'-x-12 .J2 -.)3 + x -

Primjcr 6: Rijditi nejedoaCinu

10.12.

rx+4 < o.

10.14.a) .J3-x+.Jx-5 ;:>-10Rjcs.enje: Odredi!TIo domenu (oblast definisanosti) nejednacine:

b) 3.[;-)x+3 >1

10.IS . .J2x-3-.J~-5 110.18.

3--x >-: x-5>-:O -_._._--- =>

-x >-:-3

x:S::3=> =>XEel.

x

10.20.* ~2 10.22.*

-Ixl < x-I2Ix--11>21 10.27. ',-;I "x-4 J " x= -.pri cemu su J{x) i g(x) polinomi iii racionalne funkcije najvise drugog stepena. Siozenije cksponencijalne jednacine ljesavaju se metodama kaje prevazilaze ok:vire drugog razreda srednje skole. Koristeci osobinu stcpena 5 poztitivnom bazom koja nijejcdnakajedinici:2Primjcr 4: Rijcsitijednacinu 5 X'-5x+6=1.RjcSenje: Desna stranajednacinc se moze napisati kao 1=5, pa vrijedi:m = n, Oa f(x)=a g(x)rex)=g(x), (Ox=~.Prfmjcr 1: RijeSifijcdnacinu gX=4! -3 2186187Primjer 6: Rijesiti jednacinu: 152 x+ 1+ 152 2- x ~ 135.Rjdenje: Ova eksponencijalnajednaclna moze se dovcsti na oblik kvadratne jednaCine na sljedeCi nacin: 15.2 x+! +15.2 2_x =135 5X (5-25)-~w-202x > --205 x2' 0 w 2" (1+2') > 5'~1 (5-1)2 2x + 22x+2 >52x _ S2x.......1Primjer 1: Rijesiti nejednacinu 16< 8!al(x)2"(1+45'd 4Rjesenje: Nejednacina 5e moze napisati u oblikunaCin:< ag(r) na sIijedeCi22-'< 5 2x - 1 ->---221:5-416.3 , _ ( 5 511.22.a) 2x > 8 11.23.a)b). _"7(9)"d) 27x > 9d) (~j""5 > ,.5 381 O posljednja nejednacina prelazi u kvadratnu:12 + 2t - 80 < 0 . Nule kvadralnog trinoma 12 +21 - 80 su II ~ -10 I 1[8, pa nejednacinu zadovo!javaju one vrijednosti varijable t koje ispunjavaju uslove: -IO =>x=12, x=5,b) 10gx=log 15-10g3 = log 1~3Rjesenje: a) log(25) ~ log2 + log5 b) log(32990) = log3 + log29 + log90 c) log[12(x+2)] ~ log12 + log(x+2) d) log[23(xL y 2)] = log23 + log(x L y2) = = log23+1og(x-y)+log(x+y) ;Primjcr 2: Logaritmirati date izraze uzimajuci za baz,u a:,cJ logx = 21ogS+logS -logS2+1og5 - log25+10g5 = log255 =logl25 => x=125. Iyl)d)'Ia) 4 5RjdclljC: a)b) 127 300c) 2xb 423xijI1Pitanja za ponavljanje:I. 2. 3. 4. Koja prcl1-'ila za /ogaritmiranje poznajes? lskaii rijeCima cemu jejednak logarifam proizvoda. Kako bi sc rijeCimaformulisalo pravilo za /ogaritam korijena? Kada se logariLamska baza nc pise 11 o::naci logaritma?6bc127 b). loga ~-. =- toga 1"7-- Ioga 30 0 i.L 300 . ,i t2022031j1IlogaM=x .Tada, oa OS110VU definicije logaritrna, vrijedi: odnosno,alog~MaXZadaci za vjczbu:12.16. Logaritmiraj dati izraz koriste6i proizvoljnu bazu: a) 56 b) 523-43 c) 7-87b 12.17. Logaritmiraj dati izraz koristeCi proizvoljnu bazu:.1d) 3490xd)33 xy 5a) ~.?_ b) 2x 127 19 12.18. Logaritmirati izraz x koristeci bazu 10:a)x=~4c) 7x'2b4c'J37n-;;/42c b)x=V --a.,j 7 5x 4if2c) x= /)3 + av'zV Vil7I ! I IIJI!I=M ,=MOdaberimo novi broj za iogaritamsku bazu. Nekaje to broj b (Ologx=logC43'~'17\433)- log65S,244b) 2,89461c) 1,44077d) 3,22557=> logx = => logx ~ 1,63548+2,244 J 1-2,8 J640655,244 log43,2+1og175,433 - log655,244~>logx= U)6319 '=> x=ll ,566. 213IVrijednost izrazaje:43,2 175,433 ~ 11.566 . 655,244 .12.42.a) 35,42 VO,96782b) 823,8' :~(3,641b)c) .J2,34.3Vl,~8 . . " 63,060,055' P rtIDJer 4 : P" nmJcnom Iogantama IzracunatI. x = --'c-~ 0,009744 Rjdenje: Logaritmiranjern izraza dobije se:12.43.a) - - - - - .332,15 V16,79' 87,457,27 ..JI7,94 5 3,846 ljS,09873J46,43. VOJ,%0,097 0,3453c)2,15 V6,87'.J98,15c)12.44.a)b).!J2,005.0,169'.~5,24' J7,31._ 63,060,055' logx - log ............~. => logx ~ log(63,06'0,055 3 ) -logO,009744 0,009744 ~> logx = log63,06+3Iog0,055 -logO,009744=>~>0,09I:'5fg,46312.45.*a) 63,06.0,055logx = 1,79975 + 3 2 ,74036 - 3 ,98874 logx= 1,79975 + 4 ,22108 - 3 ,98874 logx = 0,03209 => x=1,076688. 12. 46 .*) a0,0097442,4539b)V8,09~i .0,973I",IS '\16,98322'("-c)V9+V4=>V8'~~.22- 0,2 2 V65,3719,69 34 . . . " . 84,35-'JO,5477 P TlmJer 5 : P" fll1lJenom Iogantarna IzracunatJ : -_~_.".m~C':":7' 63,7' . 2,213 5 Rjescnjc: Aka se izraz oznaci sa x i izvrsi njcgovo logaritmiranje dobije se:c)..[i2:i 3'0988,34'" .~6,73logx = log 84,35.;J0:5477 = log(84,35 VO,541'1 ) -logj63,7'2,213 5 ) 63,7 2 -2,213 5== log84,35 + L logO,5477 -log63,72 - log2,213 5 =312.7. Logaritamske jcdnacine oblika log"f(x) = log"g(x), pri cemu su f(x) i g(x) polinomi iii racionalne funkcije najvise drugog stepenalednacine U kojima se nepoznata nalazi u sa$tavu logaritmanda nekog logaritma naziva se logaritamska jednacina.I = 1,92609+ --(-026146)-2180414-50,344983' , ~= 1,926090,08715- 3,60828 -1,72490 =-3,49424 = 4,50576.Odredivanjcm antilogaritma dobivenog broja dobije se trazena vrijcdnost izrazalednacinc:x = 84,35VciT477log(x-l)=3,Slllogx + 2x = log(x-3), logkx2+7x-2)~1=0.000320463,7' .2,213 5logaritamske.Zadaci za vjezbu:Primjenom logaritama izracunati vrijcdnost datog izraza: 12.39.a) 6534 b) 4529721 c) 3,9829,466 d) 7,9063,0972 12.40.a)-.~;-45,873 11,34)b) 4,5 2 --, 34,)b) :;,/765,3c). c)8,6.13,5 2 4),683d)41,232Znamo da su logaritmi definirani samo za pozitivne brojeve, pa logaritmandi koji se pojavljuju U \ogaritamskoj jednaCini moraju biti pozitivni. Zato se prilikom Ijesavanja logaritamskih jednacina prvo odredi njena damena, a kada se odrede brojevi koji bi magli biti JjeScnje, pro\jeri se da Ii pripadaju domeni. U slucaju da ti brojeYl ne pripadaju domeni jednacine, ne mogu biti ni njena rjesenja. Ovdje cemo rjesavati, uglavnom, lagaritamske jednacine koje se mogu dovesti na oblik \ log" f(x) = loga g(x), a odavde f(x) - g(x),pri cemu su f(x) i g(x) po!inomi ili racionalne funkcije najvise drugog stepena. Pokazimo, na slijcde:eim_ primjerima, kako_ se !jesav~ju neke Jogaritamske jednaCine:6,777,11212.4l.a)214%IiV8,954215Primjer 1: Rijesiti logaritamskujednacinu logx = 3 -log4. Rjescnje: Data iogaritamskajednacinaje dcfinirana aka je x>O.Transformirajmo jednacinu na slijedeCi nacin: logx~ 3~-log4;>uslovima jednaCina se maze pomnoziti sa ekvivalentnu jednaCinu: 1 4 3(5-4logx)(I+logx) prj cemu prelazi ulogx+log4 = 3;>log4x~>~3;>log4x~logl 000=> 4x = 1000 Rjesenje date jednacine je x = 250.x = 250.1 + logx+20-16Iogx = 3(5+5Iogx-4logx--4log'x) 21-151ogx = 3(5+logx-4!og'x) 21 ~- 15logx = 15+3logx-12log2x ;> I210g'x + 6 - 1810gx = 0Zlog'x - 31Mx + I~Primjer 2: Rijcsitijednacinu IOg2(X2-9x+28) = 3.Rjescnje: Kako je diskriminanta kvadratnog trinoma x 2-9x+28, o = 81-112= ,-31 negativna, a kocficijent kvadratnog clana a= 1 pozitivan, to je trinom pozitivan za sve vrijednosti varijabJe x, pa je domena date jednaCine skup svih rcalnih brojeva. PotraZimo rjesenje jednaCinc: log,(X2-9x+28) ,0 3;>=0=>~logx )i1,2= ----- = --H,!9-8 4HI 4=?=>logx =-12,logx = 1XI=>Jednacina ima d\'a rjeScnja:=.JiOX2= 10x'-9x+28=23;>~>x 2- 9x + 28 ~ 8xPrimjer 5: Rijeslti jednacinu loglx + !Og,lX + ioggx = 11 .9 I'.'=22Datajednacina irna dva rjescnja ito: x1=4, X2= 5.Primjer 3: Rijesitijednacinu lag3(x-2) + log3x = iog3~L Rjeseuje: Data jednacina ckvivaJcntnaje sistemu:RjeSenje: lednacina je definirana za sve pozlt1vne vrijednosti varijabJc x. Kako sc u jednacini pojadjuju razlicite logaritamske baze, polrcbno je sve iogaritl1le transfonnirati u !ogaritme po istoj bazi. Neka to bude baza 2: Jog2x +Jo~x+ loggx = 11c:>log2 X log,x + - - - +=rx - 2 >02!.og2 x3=Ji / 6~o1x> 0llog, (xx> 2 { Jog (x - 2)x = log] 8 3;>Illo2x ~ 661:66-2)+ log, 8= 0x=log, 8 Primjer 6: Rijesitl jednacinu log(24x -- 13) . .:;: x - xIogS. RjesenJe: U oblasti u kojoj je definirana jednacina sc maze transform irati na sljedeCi naCin: log(2X+x-J3) = x-xlog5 2 { x'~~~2xfX>2._ _x=4.2Rjesenje date logaritamske jednaCine je x = 4..Primjcr 4: RljesitijednaCinulx1,'= 2"'4+32log(2X+x-J3) = x -log5 X !og[(2x+x-13)5 X ] = xlog(2X-L-x-13)+iog5 X=xlog[(2x+x-13)5 X ] = iogl0X 2 x 5x+(x-13)5 X = lOx(x~-13)5X =_ _m1 4 + =3. 5-41ogx l+logx_ _ _;>0=>lOx lox+(x--13)5X~ lOX => ,,=13.~J3)5 XRJdcnjc: Jednacinaje definirana za x>O i 5--4Ic;gxO, l+logx:;t-O. Pod ovimZa dobivenu vrijednost varijable x po!aznajcdll3cina je jednacll1e.d~finirana,paje x=13 ljdcnjc216217Primjer 7: Rijesiti jednacinu 4 = 0.5 . Rjesenje: lednacinu mozemo transformirati na sljedeci nacio:!og, 3--1,12,58.a) log[3-210g(1 +x)]=O 12.59.a) log2x+loggF81b) log3(1og,2x-310g,x+5)=2b) log3x+log,x=24log~~I'3= 0542-;>4'Jog, :--1,,=42;>4'4log,-~--=4,212.60.a) log3x + 10g)3 x + log, x = 6b) log x , 4 + log x 4=51-434' 3Ilog ,-,=,12.6I.a) log" 25" log," 125 = 0 12.62.a) log, 2 log x 2 = log, 216 64I I log - = '3 21~=Xb) log, 16 + log, 64 x _x=32 Jog -I = log x " x 3 xb) log] 8'" . Jog 2 27 = x + 7, 5 b) (loa x) + Joa , , = I 1:05 D5x X--=x3' ,9x='- .912,63.a) (log, 10)3 ,,(log, 10)2-610gxl0=0 12.64.a) log9X + Jog, 3 = I .,b) 210gx 3 + log 3 + 310g9x 3 = 0 OJx b) log3x+log27x = 4 b) 2log2x+4log 16 x = 3Iog 16xPitanja za ponavljanje:), KojujednaCinu nazivamo logaritamska? 2. Kako se odreiluje domena logaritamske jednaCinc? 3. Kakve logarilamske jednaCine smo naucili rjdavati?12.65.a)log,8 X -I .log,125 = x+712.66.a) logx+2(2x+3) = 2 12.67.a) log(2x+x--4) = x(l-log5) 12.68.a) log2(9-2 X ) = 3-x 12.69.a) xl-logx=O,OI 12.70.a) 12.71.IOg lb) log(3 x +x-17) = xlog3 b) ]og2(2"--3)+x" 2 b) xl+logx= 100 b)X 1og ,3xZadaci za vjezbu:Rijesiti datu logaritamsku jednacinu: _ 12.47.a) logx-log48~logI6=O b) 210gx+log6=logI50a> Ilx' -5x+6 < 2JCx-2)(x-3) > 0W I < x < 2 iiix' -5x+4 < 0l-Jlog I (x L Sx+6) > log I 2,22022!:>I['I "X> I(x _I)'rx> 1~2xIt(l+t)t+t2t2 +t-25:>-2llOg] 2x _ 5 > log] 35ll(x-I)' -->3 2x-5Zamijcnimo t:-Z < t < I:>-2 < logZ(2"-Z) < I:>log,z-2 < log2 (Z"-Z) < log,2:>:>jX>2Lx ~ 2x -+- I > 6x - 15- < x < 4, x> 4. 2:>2-2 < ZX-2 < 2~ 0 i 2x+ I - 4 > 0 .Pitllnja za ponavljanje: 1. KaA'Ta nejedna(~iJ1a se naziva logaritamska? 2. Kakve logaritamske nejednacine sma naucili rjesavati?Rjesavanjem sistema navedenih cksponcncijalnih nejcdnacina dobije se: 2X - 2 > 0 2x-+-1_4>O~>x>1 x+ I >22 2=>x> 1,Zadaci za vjezbu:Rijesiti date logaritamske nejednaCine: b) log,x3 b) log(x+3) I data nejednacina se transformira na sljedeCi nacin:12.74.a) log,x>2 log2(2 X - 2) log I (2x+ I 4) >2 log2(2 Ld) logx>Od) logs(2-x)-2 log 22N112.75.a) log,(x-I212.76 . ) IOg2(2x+4log,(5x+3) b) logo.,(x+3)-l i x _+ 1x-?-I:> :>>-2log2(2 X - 2) log,2~" - 2) < 2b) log I~-.:;x-4 4 180 90n IT x= - - = b) x:90 = n:180 => 180 2c) x:210 = n:180 d) x:80 = 7t: 180Zadaci za vjezbu:=> =>x = - - =7" , 6 180 411: 80n x=-' 180 9210n13.1. Koliko radijana ima ugao od 150? 13.2. Ugao od 50 izrazi 1I radijanima. 13.3. Ugao ad 3n radijana izrazl u stepenima, 13.4. Koliko stepeni irna lIgao od 2nlS radijana? 13.5. Dati ugao izrazen II radijanima 1zrazi u stepenima: a) 5 b) 10 c) -20 d) 0,180) 0,08522622713.2.Definicije trigonometrijskih funkcija ostrog ugla u pravonglom trouglu~---------,~=-:------:-----:c~=-::--:--=ctga :::::: -aPrilikorn rjesavanja raznih zadataka, kaka u matematici, tako i u predmetima fizii6~.a~ BC. b = AC su katetec = AD JC hlpotenuza a i f3 su ostri uglovi i vrljedi:Navedene funkcije nazivaju se trigonomctrijskc funlicije (prema grckom: trigonon = trougao = trokut, metrein = mjcriti).~ ~CPonekada se spominju i trigonometrijske funkcije sekans i kosekans. One sedefinisu na slijcdcci na611:Za duzine stranica pravouglogtrougla vrijedi Pitagoflna teorema:I 1 seca = - - - , coseca::::::: ----:--~.cosaSinO:[z navcdcllib dcfinicija vidimo da trigonol11ctr\jskc funkcijc sinus i kosinus svakoll1Navedene veze izmeau llglova pravouglog trougla omogucavaju izr3cunavanje velicine ostrih uglova ako je poznata velicina jednog. Veza izmeau stranica pravoug!og trougla omogucava nam cia iz poznate velicinc njegovlh dviju stranica (ma kojih) odrcdimo velicinll trcce stranicc.ug1 U. . t C)'Y3 1 i( 0, !Z!11 a\,TI' 2/_. j pnd rtlZlqU rca 1 an.brOJ.U Inler\'3 1 (0 ,I), a f un k . U "ClJe.( r:: \[ tangcns i kOlangens svakom uglu iz intcrvala : 0, - I pridruzuju reaJan broj u\ 2)Prirnjer 1 : Poznate su stranice a katetu b i ugao 13 ..=5c = 13 pravouglog trougla. Odrcdltiintervalu (0, -h::Q). Navcdcnc definicije trigono!1lctrijskih funkcUa ostrog ugla 1110zcmo formulisati i 0\'31 h~ 12. Kako izrabmati vclicinu ug!a ~ ?Prakticne Dotrebe izracunavanja velicine uglova u (pravoug!om) trouglu dovele su do uvo'c1enja noyih funkc.ija. Posmatrajmo pravougli trougao ABC na slid 132. Ako uocimo ostar ugao a i katetc a i b, vidimo da se katcta a nalazi nasuprot ovom ug!n , pa nju nazivamo suprotna kateta. Druga kateta, katetn b, je naicgia katcta za llgao a.. 1 ugao pima svoju naleglu i suprotnu katetu. Uvedimo sada de-finiciju funkcija:rSinus ostrog ugYa -u pravougi~m trougiu'jed~;ak ,jc odJwsu s~protne-J-.-c.l n Ponckada ~c za oznaku m'c funkcijc koristi \311(;{. '0\ 0 sCJ1Osc:hno odnosi nil' oznakc funkc:ije un:17:nim progmn15kimjt:zitima i kod kall;uialO:'a _.22822913.3. Trigonometrijske funkcijc komplementnih uglova (kutova)Za dva ugla kazcmo da su komplemcntni ako je njihov zbir 90 iii n 2 Ostri ug!ovi u svakol11 pravouglom trouglu su komplementni. Neka su ex i f3 ostri ugJovi pravouglog trougla ABC. Tada vrijedi ex + 13 ~ 90, odnosno, a ~ 90" - 13, 13 ~ 90 - ex, (SI.I3.3.)BI III'I13.4. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova 30 0 ( ':'..),45 06(':'..)4i 60 (':'..) 3 Neka je 6ABC jednakostranlcnl trougao (SL 13.4.). Stranleu ovog trauglaoznacimo sa a. Svaki njegov ugao je po 60.Iz vrha C povucimo visinu CC'=htrangla. Tako sc doblju dva pravougla traugla 6ACC' 1 6BCC'. Trougao Ace je pravougli S ostrim uglovima od 60 i 30. Prema definiciji sinusa i kosin usa, iz ovog trougla dobijcmo:sin60=--CC'AC ,cos60= --AC' ACaVisillu CC' moremo, pomocu Pitagorino toorcme, izraziti preko stranicc jednakostranicnog trougla na slijedeci nacin:CC'~h~--aal2a.J32AASU3.3. Ostri ugJo\i pravouglog trong,JaSliC'S!.I3.4. VisinajcdnakosLranicnog troug!a dijeli taj trougao na d\'a pravouglaBcljom zan~enom u maze za sinus i kosinus dobijcl1lo:kompkmentni.a~3Prema dcfini.ciji trigonol11ctrijskih funkcija vrijedi:cosB-=.5:cSIt1a=~f'tga=~,sln600= _2a~ a.J3. =.J32a2a cos600 = ~=3:.=> sina=cosfl~> sin(900-13)=cosfl;cos(900-a)~sillex.a2a2Za tg60ctg60, prerna dcfiniciji, iz trougla ACC', dobijemo:a'r; to-60 = CC' _.-,,~=2a'Y3 C ACt a 2a2 ctg60 ~ - - ~ --2..a.J3=J3bbctgf3 = ~AC'CC'-a2aa.J3 - 2a.J32 Koristeci isti pravougli trougao (.6.ACC') uz pomoc defillicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ostrog ugla u pravouglom trouglu, dobije se:AC' sin30 = - ACa----a-J3aa2a2, cos30=---~CC'AC=----a013 132a22302311 sin 30 J.f3 cos 30 tg30 ~ - - - ~~ ~-oo - - ctg300~ cos 30 .f3 .f3 3' sin 30o.f3~.f3.Pitanja za pOl1avljanje:r ,~!aje sinus as/rag ltg/a u pravouglom trouglu?, Kako se de/iniJe kosinus ostrog ugla u pravoug[om trouglu? 3. Kako se d(!jinise-tangens, a kako kOlangens o.2x = 2n+2kn:x = n+kn(k+ 1)", keZ.Uzmimo mitlirnum u.tacki x=O. Tacka (0, ~"2) je t~clm minimuma.26626713.14.Adicione teoreme (formnle)Kada kaicmo da za funkciju y = f(x) vrijcdi adiciona formula? Aka se za svake dvije vrijednosti argumenta x, x=a i x=b, maze izracunati vrijednost f(a+b) pomoou vrijednosti f(a) i feb), kaiemo da za funkciju y~f(x) vrijedi adiciona formula. Drugim rijeCima, kazemo da za funkciju y=f(x) vrijedi adiciona formula ako se vrijcdoost funkcije zbira dva argumenta, maie izraziti pomocu vrijednosti funkcije ciji su argumenti sabirci: f(a+b)~Svaki od centra!nih ugJova MON i AOP jednak je razlici a~j3, pa su i njlma pripadajucc tetive l'v1N i AP jednakc. 1z prvog razreda !lam je poznato kako se izracunava udaljenost izmedu dviju tacaka ako su date njihove koordinate. Koristeci tu formuJu j koordinate tacaka A, P, MiN dobije sc.MN~J\P=>=>Ccosa - cosP), + (sina - sinfl)' ~ [cos(a-p)- 1]'+[sin (a-I)) - 0]'F(f(a), feb)).Nas ovdje zanimaju trigonometrijske funkcije. Zanima nas kako se svaka trigonometrijska funkcija zbira (razlike) moze izraziti pomocu trigonometrijskih funkcij a sabiraka. Znaci, aka su nam paznate vrijednosti trigonometrijskih fu"nkcija ugloya (brojcva) a i P trazima naciD da izracunamo slijedece: sin(a+I3), sin(a-I3), cos(a+I3), cos(a-I3), tg(a+I3), tg(a--i3), ctg(a+I3), ctg(a-I3)_ DokaZimo da vrijedi: cos (a - 13) ~ cosacos13 + sinasinl3.2C05~ cos'(a-fl)2cos (a-D) + 1 + sin\a-f_1)~ cos 2(a13) + sin2(a-13) -~)2cos( a-I3)+ 11 - 1.cosacosf3 + 1 - 2sinasinp = 1- 2eas (a (a -~)= 2cosacos~+1+ 2sinasin/3(* )Dokaz: Posmatrajmo trigonomctrijsku kruznicu (Sl.13.26.). Odaberimo dva ma koja realna broja, odnosno dva ma koja ugla a i ~. Pretpostavimo da smo sa a oznacili veci od ova dva ugJa. Ncka uglu ~