matematika - vedez.files. · pdf filematematika 5 številski izrazi z oklepaji: v...
TRANSCRIPT
Matematika
Strojni tehnik PTI
9.11.2008
Matematika
1
KAZALO
KAZALO ................................................................................................................................... 1 ŠTEVILSKE MNOŢICE ........................................................................................................... 3
MNOŢICA NARAVNIH ŠTEVIL .................................................................................... 4 DELJIVOST V NARAVNIH IN CELIH ŠTEVILIH ................................................................ 5 CELA ŠTEVILA ........................................................................................................................ 8 POTENCE S CELIMI EKSPONENTAMI ................................................................................ 9 POTENCIRANJE ..................................................................................................................... 10 RAZSTAVLJANJE (faktoriziranje)......................................................................................... 11
ULOMKI IN RACIONALNA ŠTEVILA ....................................................................... 13
RAČUNSKE OPERACIJE Z ULOMKI .................................................................................. 15 RAČUNANJE Z ALGEBERSKI ULOMKI ............................................................................ 17 DECIMALNA ŠTEVILA ........................................................................................................ 19 INTERVAL .............................................................................................................................. 23
ENAČBE .................................................................................................................................. 25 REŠLJIVOST ENAČB ............................................................................................................ 29 SISTEM DVEH ENAČB Z DVEMA NEZNANKAMA ........................................................ 31 SISTEM TREH LINEARNIH ENAČB Z TREMI NEZNANKAMI ...................................... 32 Linearna neenačba z eno neznanko .......................................................................................... 33 MNOŢICE TOČK V RAVNINI .............................................................................................. 34 PITAGOROV IZREK .............................................................................................................. 37 FUNKCIJA (odvisnost) ............................................................................................................ 40 LINEARNA FUNKCIJA ......................................................................................................... 41 Enačbe premice ........................................................................................................................ 47 Oblike enačb premic ................................................................................................................. 48 GEOMETRIJA V RAVNINI ................................................................................................... 49 Evklidska grometrija ................................................................................................................ 49 Dvojni koti ................................................................................................................................ 51
TRIKOTNIK ............................................................................................................................ 52 IZREK O SKLADNOSTI TRIKOTNIKA .............................................................................. 53 ZNAMENITE TOČKE TRIKOTNIKA ................................................................................... 53 PRAVOKOTEN TRIKOTNIK ................................................................................................ 54 PITAGOROV IZREK .............................................................................................................. 55 TALESOV IZREK ................................................................................................................... 55 ENAKOKRAKI TRIKOTNIK ................................................................................................ 56 ENAKOSTRANIČNI TRIKOTNIK ........................................................................................ 56 SIMETRALA DALJIC ............................................................................................................ 56 SIMENTRALA KOTA ............................................................................................................ 57
RISANJE KOTOV S ŠESTILOM ........................................................................................... 57 SKLADNOSTNI IZREKI ........................................................................................................ 60 Načrtovanje na osnovi skladnostih izrekov .............................................................................. 60
ŠTIRIKOTNIK ......................................................................................................................... 62 PARALELOGRAMI ................................................................................................................ 62
TRAPEZI ................................................................................................................................. 63 DELTOID ................................................................................................................................. 64 VEČKOTNIKI ......................................................................................................................... 64 PRAVILEN 6 KOTNIK ........................................................................................................... 64 KROG ....................................................................................................................................... 65 KONCENTRIČNA KROGA ................................................................................................... 65 SREDIŠČNI IN OBODNI KROG ........................................................................................... 66
TALESOV IZREK – kot v polkrogu ....................................................................................... 66
Matematika
2
TANGENTA NA KROŢNICO ................................................................................................ 66
KOTNE FUNKCIJE ................................................................................................................ 67 POTENCE IN KORENI ........................................................................................................... 73 KVADRATNI KOREN ........................................................................................................... 75 DELNO KORENJENJE ........................................................................................................... 76 RACIONALIZACIJA IMENOVALCA .................................................................................. 76 KORENI POLJUBNIH STOPENJ .......................................................................................... 77 POTENCE Z RACIONALNIMI EKSPONENTI .................................................................... 78 IRACIONALNA ENAČBA ..................................................................................................... 78 KVADRATNA ENAČBA ....................................................................................................... 79 KVADRATNA FUNKCIJA .................................................................................................... 81 EKSPONENTNA FUNKCIJA ................................................................................................ 86 EKSPONENTNA ENAČBA ................................................................................................... 88 POLINOMI ............................................................................................................................ 101 RAČUNANJE S POLINOMI ................................................................................................ 102
HORNERJEV ALGORITEM ................................................................................................ 103 NIČLE POLINOMA .............................................................................................................. 105 GRAF POLINOMA ............................................................................................................... 108 RACIONALNA FUNKCIJA ................................................................................................. 113 RACIONALNA ENAČBA IN NEENAČBA ........................................................................ 119 RACIONALNA ENAČBA .................................................................................................... 119 RACIONALNA NEENAČBA ............................................................................................... 119 KVADRATNA ENAČBA ..................................................................................................... 121 KOTNE FUNKCIJE .............................................................................................................. 122 ENOTSKA KROŢNICA ........................................................................................................ 123 ADICIJSKI IZREKI ............................................................................................................... 125 DVOJI KOTI .......................................................................................................................... 125 ZAPOREDJA ......................................................................................................................... 131 ARITMETIČNO ZAPOREDJE (AZ) ................................................................................... 133
GEOMETRIJSKO ZAPOREDJE (GZ) ................................................................................. 135 GEOMETRIJSKA TELESA .................................................................................................. 137 NAVADNO IN OBRESTNO OBRESOVANJE ................................................................... 148 NAVADNO OBRESTOVANJE ............................................................................................ 148 OBRESTNO OBRESTOVANJE ........................................................................................... 149 STATISTIKA ......................................................................................................................... 149 GRAFIČNO PRIKAZOVANJE PODATKOV ..................................................................... 151 SREDNJA VREDNOST ........................................................................................................ 152 ARITMETIČNA SREDINA .................................................................................................. 152 RAZPRŠENOST PODATKOV ............................................................................................. 153
Matematika
3
ŠTEVILSKE MNOŢICE
Naravna števila – so tista števila s katerimi štejemo. 1 je najmanjše naravno število. Največje
pa ne obstaja.
Mnoţica naravnih števil :
Osnovne računske operacije so: seštevanje, odštevanje, mnoţenje in deljenje. V mnoţici
naravnih števil sta notranji računski operaciji samo seštevanje in mnoţenje. Da bi postali
notranji operaciji tudi odštevanje in deljenje se pojavi potreba po razširitvi mnoţice naravnih
števil na druge številske mnoţice.
Slika
Mnoţica celih števil :
{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}
V mnoţicah celih števil postane tudi odštevanje notranja računska operacija
3:4 = 0,75 3
3: 44
števec
imenovalec
Slika
Mnoţice racionalnih števil :
Racionalna števila so tista števila, ki jih lahko zapišemo z ulomki. V mnoţici racionalnih
števil postane tudi deljenje notranja računska operacija.
0
{1,2,3,4,5,6,7,...}
{0,1,2,3,4,5,6,...}
Matematika
4
MNOŢICA NARAVNIH ŠTEVIL
Seštevanje
Za seštevanje veljata dva računska zakona:
_2 3 5
vsota
vrednost vsote
člena
Komutativnost seštevanja ( zakon o zdruţevanju členov )
a+b = b+a
Asociativnost seštevanja ( zakon o zdruţevanju členov )
(a+b)+c = a+(b+c)
Primer:
3+12+5+25+18+17 = (3+17)+(12+18)+(5+25) = 20+30+30 = 80
Mnoţenje
Tudi za mnoţenje veljata dva računska zakona
_6 5 30
produkt
vrednost produkta
faktorja
Komutativnost mnoţenja a*b = b*a
Asociativnost mnoţenja a*b*c = a*(b*c)
Primer:
250*50*4*125*6*8 = 250*4*(50*6)*(125*8) = 1000*300*1000 = 3 000 000 00
Računski operaciji seštevanje in mnoţenje pa povezuje zakon distributivnosti :
(a+b)*c = a*c + b*c
Primer:
(5+3)*7 = 5*7+3*7 = 35+21 = 56 ali (5+3)*7 = 8*7 = 56
Številski izrazi
Številski izrazi so računi z več seštevanji, odštevanji, mnoţenji in deljenji hkrati. Lahko so
prisotni tudi oklepaji.
Številski izrazi brez oklepajev:
Primer:
2+2*2 = 2+4 = 6
4+3+15:3-6*2 = 7+5-12 = 0
Najprej opravimo vsa mnoţenja in deljenja nato pa še seštevanje in odštevanje
Matematika
5
Številski izrazi z oklepaji:
V številskih izrazih z oklepaji najprej izračunamo vrednost oklepajev. Ko izračunamo
vrednost oklepaja, oklepaj izpustimo. Če je oklepajev več najprej izračunamo vrednost
notranjih oklepajev in gremo postopoma navzven.
Primer:
4+2*(5-2*2)*(4+7) = 4+2*(5-4)*11 = 4+2*1*11 =4+22 = 26
20-3((12-4*2)*5-4*5) = 20-3*((12-8)*5-20) = 20-3*(4*5-20) = 20-3*0 = 20
DELJIVOST V NARAVNIH IN CELIH ŠTEVILIH
Večkratniki
Če si izberemo poljubno naravno število in ga pomnoţimo z vsemi naravnimi števili, dobimo
večkratnike danega števila. Večkratnike danega števila lahko zdruţimo v mnoţico.
Večkratnik števila 7 : 7 {7,14,21,28,35,...}V
Delitelji
Če »a« deli »b« potem velja da je število »b« večkratnik števila »a«. tudi delitelje nekega
števila lahko zapišemo z mnoţico.
1 {1}D
2 {1,2}D
3 {1,3}D
4 {1,2,4}D
5 {1,5}D
6 {1,2,3,6}D
7 {1,7}D
8 {1,2,4,8}D
9 {1,3,9}D
10 {1,2,5,10}D
11 {1,11}D
12 {1,2,3,4,6,12}D
13 {1,13}D
14 {1,2,7,14}D
15 {1,3,5,15}D
16 {1,2,4,8,16}D
17 {1,17}D
18 {1,2,3,6,9,18}D
19 {1,19}D
20 {1,2,4,5,10,20}D
28 {1,2,4,7,14,28}D
36 {1,2,3,4,6,9,12,18,36}D
72 {1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}D
Praštevila -- 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
Praštevila so tista števila, ki imajo natanko dva delitelja število 1 in samo sebe. Najmanjše
praštevilo je 2 in je edino sodo praštevilo.
Matematika
6
Sestavljena števila -- 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,…
Sestavljena števila so tista števila, ki imajo več kot dva delitelja
Število »1« ni ne sestavljeno število niti praštevilo. Vsako sestavljeno število se da zapisati
kot produkt samih praštevil, pravimo da sestavljena števila razcepimo na prafaktorje.
Največji skupni delitelj D
Največji skupni delitelj dveh števil je največje naravno število, ki deli obe števili.
12 1,2,3{ 4,, 2}6,1D 18 1,2,3{ ,9,6 ,18}D (12,18) 6D
Primer:
(18,28) 2D
(15,60) 15D (16,40) 8D
(3,7) 1D - števili sta tuji, kadar je njun najvišji delitelj 1
90 2
45 3
15 3
5 5
1
1000000 2
500000 2
250000 2
125000 2
62500 2
31250 2
15625 5
3125 5
525 5
125 5
25 5
5 5
290 2 3 5
5 2288 2 3
6 61000000 2 5
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
324 2
162 2
81 3
27 3
9 3
3 3
1
(144,324) 2 2 3 3 36D
288 2
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
(288,360) 2 2 2 3 3 72D
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
720 2
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
150 2
75 3
25 5
5 5
1
(150,720) 2 3 5 30D
288 2
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
9 3
1
Matematika
7
Najmanjši skupni večkratnik
Najmanjši skupni večkratnik je najmanjše naravno število, ki je deljivo z obema številoma.
(6,15) 30v
6 {6,12,18,24, ,36,42,48,54, ,66,72,78,84,60 9 , .0 }03 ..v
15 60{15, ,45, ,75, .1053 0 }0 .9 ,..v
Primeri:
v(4,6) = 12 v(5,10,15) = 30 v(12,18) = 36 v(2,9) = 18
v(60,144) = 2*2*2*2*3*3*5 = 720 v(120,324) = 2*2*2*3*3*3*3*5 = 3240
D(54,60) = 2*3 = 6 v(54,60) = 2*2*3*3*3*5 = 540
Osnovni izrek o deljenju
Če dve naravni števili »a« in »b«, pri čemer je »a« večji od »b« nista v relaciji deljivosti, se
deljenje števila »a« s številom »b« ne izide. V tekem primeru dobimo pri deljenju nek
ostanek, ki je vedno manjši od delitelja.
45:9 = 5 45…deljenec 9…delitelj 5…vrednost količnika 0…ostanek
Primer:
Števila 15, 21 in 37 deli s številom 5 zapiši jih v obliki osnovnega izreka o deljenju.
15 = 3*5+0 21 = 4*5+1 37 = 5*7+2
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
324 2
162 2
81 3
27 3
9 3
3 3
1
54 2
27 3
9 3
3 3
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1
54 2
27 3
9 3
3 3
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Matematika
8
CELA ŠTEVILA
{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}
+a = a …pozitivno število -a …negativno število +a,-a…nasprotni števili
+(+a) = +a +(-a) = -a -(+a) = -a -(-a) = +a
Seštevanje
Če sta števili enako predznačeni, predznak prepišemo števili pa seštejemo.
(+a) + (+b) = +(a+b) (-a) + (-b) = -(a+b)
Če sta števili različno predznačeni ima vsota predznak po absolutno večjem številu, števili pa
odštejemo. a b
(+a) + (-b) = +(a-b) (-a) + (-b) = -(a-b)
Primer:
(+5) + (+8) = 5+8 = 13 (-3) + (-8) = -3-8 = -11 (+12) + (-5) = 12-5 = 7
Mnoţenje
Če sta števili enako predznačeni je produkt pozitiven, če pa sta števili različno predznačeni
produkt negativen.
(+a)*(+b) = +a*b (-a)*(-b) = +a*b (+a)*(-b) = -a*b (-a)*(+b) = -a*b
Primer:
(+3)*(+9) = 27 (-3)*(-7) = 21 (+8)*(-5) = -40 (-9)*(+6) = -54
Števili sta nasprotni kadar je njuna vsota 0 5,-5
Števili sta obratni kadar je njun produkt 1 5, 1
5
Vaje:
12 3 ( 8 3 ( 4) 8 5)
12 3 ( 8 12 40)
12 3 ( 36)
12 108 120
3 8 (( 12 3 4) ( 5 3)) (9 2 5)
24 (( 12 12) ( 8)) (9 10)
24 ( 24 ( 8)) ( 1)
24 24 8 ( 1)
24 192 216
35 3 ( 4 ( 2 3) ( 4 3 2)) 2 15
35 3 ( 4 ( 5) 2) 2 15
35 3 (20 2) 2 15
35 3 40 2 15
35 240 15 220
Matematika
9
POTENCE S CELIMI EKSPONENTAMI
82 2 2 2 2 2 2 2 2 256
...n
n
a a a a a a a
Potenca na je produkt "n" enakih faktorjev "a"
3 2 2 2 82 32 - potenca 2- osnova 3 - stopnja(exponent)
2 2 2 -produkt enakih faktorjev 8- vrednost potence
Seštevanje in odštevanje
Seštevamo in odštevamo lahko le tiste potence, ki imajo enake osnove in enake eksponente.
3 2a a ne gre
3 3x y ne gre 3 2m m ne gre
3 3 3 37 4 2 9y y y y
Mnoţenje
Potence z enakimi osnovami mnoţimo tako, da osnovo prepišemo eksponent pa seštejmo
m n m na a a
3 2 5a a a … a a a a a
Deljenje
:m
m n m n
n
aa a a
a
8
8 2 6
2:
aa a a a a a aa
a aa
aa
a
Matematika
10
POTENCIRANJE
Potence potenciramo tako, da osnovo prepišemo eksponente pa zmnoţimo
( )m n m na a 5 2 10( )a a
Potenciranje produkta
Produkt potenciramo tako, da potenciramo vsak faktor posebej
( )m m ma b a b 3 4 3 9 12( )a b a b
Potenciranje količnika
Ulomek potenciramo tako, da posebej potenciramo števec in posebej imenovalec
m m
m
a a
b m
42 8
3 12
a a
b b
1a a 0 1a
1 1a
a
1n
na
a
10.10 2007
Vaje:
2 3
4 3 3 8 6 9 3 17 9 17 91 9 13 2 9 1
8 8 8a b a b a b a b a b a b
2 2 2 23 7 3 2 3 7 7 9 42 49x x x x x
2 25 1 25 10 1a a a
3 3 2 3 24 5 64 3 16 5 3 4 25 125 64 240 300 125a a a a a a a
3 3 2 3 22 1 8 3 4 1 3 2 1 1 8 12 6 1x x x x x x x
1 1
55
2 1
636
07 1
Matematika
11
RAZSTAVLJANJE (faktoriziranje)
To pomeni da izraz zapišemo v obliki produkta
Izpostavljanje skupnega faktorja
ac bc c a b
Primer!
3 6 3 2a b a b 8 12 4 4 2 3 1x y x y 6 2 2 45 2 5 2x x x x
Razlika kvadratov
2 2a b a b a b
Primer!
22 5 3 5 9 15 15 25 9 25x x x x x x
225 4 5 2 5 2x x x
236 81 6 9 6 9a a a
2 16 4 4x x x
2 5 5 5x x x
16 8 8 8 4 4 8 4 2 2
8 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
x x x x x x x x x x
x x x x x
4 2 2 216 4 4 4 2 2x x x x x x
Vsota in razlika kubov
31 1
32 8 33 27
34 64 35 125
3 3 2 2a b a b a a b b
Primer!
3 227 3 3 9x x x x
3 2125 8 5 2 25 10 4a a a a
3 28 729 2 9 4 18 81a a a a
3 2125 27 5 3 25 15 9x x x x x
Matematika
12
Vaje:
Faktoriziraj!
2 28 4 4 2 1x x
225 49 5 7 5 7x x x
2 16 _a ne gre
3 2125 5 5 25x x x x
3 28 1 2 1 2 1 4 2 1 _____???????x x x x x
Razstavljanje tričlenika (Veitovo pravilo)
2x a b x a b x a x b
Primer!
2 1811 2 9x xx x
2 20 59 4xx x x
2 4 21 3 7x x x x
2 9 36 12 3x x x x
Vaje:
Skrči izraz in rezulta razstavi
2 2 2
2
2
2 22
2 2 3 3 2 1 4 4
2
2 9 2
4 4 18 5 14 22 7
x x x x x x x x x x
x x x x x x xx x
Matematika
13
ULOMKI IN RACIONALNA ŠTEVILA
So tista števila, ki jih lahko zapišemo z ulomkom.
Ulomek: _števec
ulomkova črtaimenovalec
Ulomek je število s katerim lahko zapišemo en ali več enakih delov celote. Imenovalec nam
pove na koliko enakih delov je razdeljena celota. Števec nam pove koliko enakih delov
vzamemo od celote.
:a
a bb
00
7
7_
0ne gre
Primer! Ponazori s kvadratom!
7
12
2
4
5 2
13 3
Enakost ulomkov
a ca d b c
b d
3 9.............3 15 9 5.............45 45
5 15
Razširjenje ulomkov
Razširiti ulomek pomeni da števec in imenovalec ulomka mnoţimo z istim od 0 različnim
številom številom. Prvotni in razširjeni ulomek sta enaka.
Primer! Dane ulomke razširi s 3.
6
9
32
3 3
3
3
4 12
9 27
3
3
7 21
15 45
Razširi na imenovalec 24
4
4
5 20
6 24
3
3
1 3
8 24
2
2
7 14
12 24
Matematika
14
Krajšanje ulomkov
Krajšati ulomek pomeni, da števec in imenovalec ulomka delimo z istim od 0 različnim
številom. Prvotni in razširjeni ulomek sta enaka.
Primer! Okrajšaj ulomke ! Okrajšaj pomeni da delimo kako daleč se da.
4 : 2
10 : 2 5
2
15: 3
20 :5 4
5
16 : 28 2: 1
48: 68 : 2 3
63: 213 7: 3
84 : 23 8: 7 4
Urejanje ulomkov po velikosti
Za urejanje ulomkov po velikosti velja natanko ena od relacij.
a c
b d
a c
b d
a c
b d
Primer! Uredi po velikosti od najmanjšega do največjega naslednje ulomke:
3 5 1; ;
8 8 8……….
1 3 5
8 8 8
7 7 7; ;
3 8 2………
7 7 7
8 3 2
5 11 7 3 2; ; ; ;
6 12 8 4 3..na skupni imenovalec..
20 22 21 18 16; ; ; ;
24 24 24 24 24……..
2 3 5 7 14
3 4 6 8 12
Matematika
15
RAČUNSKE OPERACIJE Z ULOMKI
Seštevanje in odštevanje
Seštevamo in odštevamo lahko le ulomke z enakimi imenovalci.
Če so imenovalci različni jih najprej razširimo na skupni imenovalec.
Ulomke z enakimi imenovalci seštevamo in odštevamo tako, da imenovalec prepišemo števce
pa seštejemo ali odštejemo.
Primer!
3 1 2 3 1 2 6 3
8 8 8 8 8 4
1 5 1 10 17 17 10 4 17 2 17 3 40 34 51 23 113 2 4 1
3 6 4 3 6 4 3 4 6 2 4 3 12 12 12
! Ulomek mora biti okrajšan in spremenjen v cele –VEDNO
1 2 1 5 21 8 3 35 21 6 8 10 3 15 35 54 2 1 5
5 3 2 6 5 3 2 6 30
126 80 45 175 76 16 82 2
30 30 30 15
Mnoţenje
Ulomek z ulomkom mnoţimo tako, da pomnoţimo števce posebej in imenovalce posebej.
Pred mnoţenjem pogledamo, če se da prej krajšat.!
Primeri!
3 7 3 7 21
4 8 4 8 32
1 15 1
5 2
2
6
6 1
5 6
27
2
1
27 25
5 5
1 7 1 3 2 3 1 103 2 1 2 2 3 1
3 5 17 8 19 4 2 5
31
17 1
5 1
18 9
17 1
19 1
8 1
40 5
19 1
15 3
4 2
3 1
2 1
675 1337
2 2
4
1
1
53
3
1
8
106 97
4
5
1 1 117
3 36
2
720
12
62 9 2025 1506
0
150
15
28
8 48
5
48
0
39 1
63
0254
Matematika
16
Deljenje ulomkov
Ulomek z ulomkom delimo tako, da ga z obratno vrednostjo pomnoţimo
Primeri!
1 2 17 8 51
2 : 2 :8 3 8 3
17 3
8 8 64
1 7 2 16 195 : 2 :1 1
3 9 3 3
9 3
2 15 55 2
2 5 4 1 3 3 82 1 1 1 : 3
3 6 11 2 8 4 3
11 1
6 2
15 5
111
3
krajšamo
1
2 1
8 4
3 1
15
4
8 5 4 15 32 30 48 45 65 55
3 2 1 4 12 12 12
krajšamo
Dvojni ulomki
Primer!
5
15
3 7
8 4 16
3 27
16 20
4
5 2 3 4 7 29
29 1183 2916 16 :81 1 1215 3 1183
9
2 16 9601
64 30
1
9
6
29
16
0 60603
1
960 60 1740 567
11183 1183 1183
Določitev skupnega imenovalca:
664 2
30 2 3 5
62 3 5 64 15 960
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
30 2
15 3
5 5
1
Matematika
17
RAČUNANJE Z ALGEBERSKI ULOMKI
Z njimi računamo kot z navadnimi ulomki
Primeri!
2 3 2 4 3 3 8 9 17 51
3 4 12 12 12 12
2 4 20 15 24 11
3 2 5 30 30
x x x x x x x
Zapiši z decimalnim številom!
77 :8 0,875
8
3 153 15: 4 3,75
4 4
7 271 27 : 20 1,35
20 20
Zapiši z ulomkom!
5 14,05 4 4
100 20
72,7 2
10
625 50,625
1000 8
45, 4 5
9
10 54, 4
5, 4
9 49
49
9
45
9
x
x
x
x
x
169
2,341 2495
1000 2341, 41
10 23, 41
990 2318
2318
990
1159
495
1692
495
x
x
x
x
x
x
Izračunaj!
2
2 2
2
22
2
2
2 1 16 2 2 1 2
3 1 10 4 1 2 5 2
2
3
5 2
5 2
1 2 1 12 2 2
1 2 5 2 1 2 5
1 1
2 2
3
1
2
a a aa
a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a aa a a
a a a a a a
a a
a
a
a
a
a a
a
2 2 2 23 4 2 64 6 3 2 212 1 3
2 3 6 6 6
2b a b a a ba b a b b a a b
a b ab ab ab
ab ab
Matematika
18
21
2 2
1
1
1
1 7
6 7
1
71 1
7
xx xx xx
x x x x
x
xx xx
2 4 3 2 22
2 2 2 4 3 232
5 65 30 8 5 30 2 48 5: 5
36 2 4
6
6 6
8
8 36 88
xx x x x x x x xx
x x x x x x x x
x
x x
x
x
x
2
2
2 1 1 4 17 2 1 1 4 17
5 2 7 10 5 2 2 5
2 1 2 1 5 4 17 1
5 2
52 2 5 4 17 2 3 10 5
5 2
2
2
4
5 5
5
2 5
z z z z z z
z z z z z z z z
z z z z z
z z
zz z z z z z zz z zz
z z z z zz z
2
2
22
12 2
2 3 2 2 4 7 2 13 2 4 7 2 2 2
2 2
6 7 22
2 2 2
2
4 2 2
42 23 2
2
4
a a a
a a a a a aa a a a a a
a a a a
a a aa
a a a
a a a
a
a
aa
a aa
Matematika
19
DECIMALNA ŠTEVILA
Seštevanje in odštevanje
3,2 4,54 7,74 13,5 7,945 5,555
Mnoţenje
Mnoţenje z 10 ------prestavlja se samo vejica------v desno
5,234 10 52,34 0,584 100 58,4 1,3 10000 13000
Klasično mnoţenje
8,23 1,568 12,90464
Deljenje
Deljenje z 10-------prestavlja se samo vejica---------v levo
42,8:10 4,28 23,45:1000 0,02345
Deljenje
13: 4 3,25 3:5 0,6 144,16:5 28,832
5,76:1,2 57,6:12 4,8 10,24:0, 10032 24000 32 3200
14:9 1,555 ...5 .... 8,33:9 0,2424 ..24 .....
Periodična decimalna števila so tista števila, kjer se ena ali več decimalk ponavlja.
1,55555..... 1, 5 0,242424..... 0, 24
Matematika
20
Primeri!
Zapiši z decimalnim številom!
4 91 9 :5 1,8
5 5
7 472 47 : 20 2,35
20 20
7 4575 457 :90 5,07
90 90
Zapiši z ulomkom! –na maturi!
5 14,5 4 4
10 2
4 12,04 2 2
100 25
375 30,375
1000 8
3, 8 3,8888...
.........................
10 38,8
3,8
9 35
35
9
83
9
x
x
x
x
x
1, 24 1, 2424....
..........................
100 124, 24
1.24
99 123
123
99
41 81
33 33
x
x
x
x
x
0,38 = 0,3888...
........................
100 38,8
10 3,8
90 35
35
90
7
18
x
x
x
x
x
1,526 1,52626...
.............................
1000 1526, 26
10 15, 26
990 1511
1511
990
5211
990
x
x
x
x
x
2,348 234888...
.............................
1000 2348.8
100 234,8
900 2114
2114
900
1057 1572
450 450
x
x
x
x
x
ZAOKROŢEVANJE ŠTEVIL
DESETICE STOTICE TISOČICE DESETTISOČICE
37 40 0 0 0
63 60 100 0 0
129 130 100 0 0
831 800 800 1000 0
5 488 5 490 5 500 5 000 10 000
34 712 34 710 34 700 35 000 30 000
DESETICE STOTICE TISOČICE NA TRI MESTA
25,48 25,5 25,48 25,48 25,5
7,5217 7,5 7,52 7,522 7,52
0,1263 0,1 0,13 0,126 0,13
15,6755 15,7 15,68 15,676 15,7
177,348 177,3 177,35 177,348 177
51,97362 52 51,97 51,974 52
Matematika
21
Primeri! Algebrski ulomek!
22 2
2 2
2 2 2
1 15 11 15 5 1:
5 5 1
5
0 25 15
315 2 15 3
55 5 5
5
5
x x xx x x
x x x x x x x
xx x x x x x
x
x
x
x
x
x x x
x
1. Izračunaj!
8 15 2 3 6 2 24 11 8 15 6 12 2 13 8 3 26 8 23 184
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 42 48 1 2 3 44 1 6 88 83
8 4 6 5 3 8 3 5 8 32 6 15 24 3 32 15 3 32 45 77
2. Potenciraj!
2 23 5 9 30 25x x x
2 2 2 2 a b a ab b
2 2 27 6 49 84 36a b a ab b
3 3 2 2 3 3 3 a b a a b ab b
3 3 2 3 25 3 5 3 25 125 15 75 125a a a a a a a
3 23 3 322
3 4 34 10833 48 3 48 23 4 74 1 4xx x x x x x
22 2 25 6 25 25 6 36 065 6a a aa a
2 28 7 64 122 49x x x
3. Razstavi!
5 5
525 5 5 1a ab a b
4 3
2 2312 4 14 3v v v v
2 49 7 7x x x
4 2 2 281 9 9 3 3 9a a a a a a
3 264 4 4 16y y y y
3 2125 27 5 3 25 15 9x x x
2 5 4 4 1x x x x
2 6 40 10 4y y y y
8 16
22 2
5 5
40 80 5 8 16 55 4a a a a a
Matematika
22
4. Skrči izraz, rezultat razstavi!
2 2 22
4
2 2 4 3 3 1 44 82 9 1 4 4
x
x xx x xx x x xx x
2
2 2 2
2
2
2 2
2
3 5 7 7 7 1 11 20 14
6 9 5 49 7 7 11 220 14
9 245 7 220 14
3 17 247 206
3 17 4
6
1
115 7
x x x x x x
x x
x x xx x
x x x
x x
x x
3 3
3
3 2 2 2
2
2 2
3 8 7 5 5 6 5
3 3 3 27 27 8 56 25 6 30
81 27 56 25 6 30
56
9
3
8
5 5
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x
x x xx
x
Matematika
23
INTERVAL
Interval je mnoţica vseh realnih števil, ki leţijo med številoma A in B. A in B sta robni točki
intervala. Interval je lahko zaprt (robni točki spadata k intervalu), lahko pa je odprt (robni
točki ne spadata k intervalu).
,a b
a b
Zaprt interval Odprt interval
,
a x b
a b
,
a x b
a b
Primeri!
Dane mnoţice zapiši z intervali in jih ponazori na številski premici!
;3 5
3,5
A x x
; 1 2
1,2
B x x
Absolutna vrednost
Matematika
24
Absolutna vrednost je razdalja od nič pa do izbranega števila. Razdalja je vedno ne negativno
število (o ali pozitivno število). Absolutno vrednost zapišemo tako, da damo število med dve
pokončni črti. Absolutna vrednost št. a a
Definicija ABS. vrednosti
; 0
; 0
a aa
a a
5 5 3 3 1 1
2 2 2,4 2,4
Primeri! Izračunaj!
7 5 2 4 7 5 2 4 0
4 2 8 2 17 20 6 6 3 6 6 3 3
Matematika
25
ENAČBE
Če imamo dva izraza s spremenljivko in jih enačimo, dobimo enačbo.
_
_
5 1 11
leva stran
desna stran
x
Enačbe po številu neznank:
Enačba z eno neznanko 3 5 7x
Enačba z dvema neznankama 4 2 12x y
Enačba s tremi neznankami 7 8 1x y z
Enačbe po stopnji neznank:
Enačba prve stopnje ali linearna enačba 4 5 8x
Enačba druge stopnje ali kvadratna enačba 2 10 25 0x x
Enačba tretje stopnje 4 33 7 2x x x
Linearna enačba z eno neznanko
Za neznanke ponavadi jemljemo črke z konca abecede (x,y,z…)
5 8 2 1x x
Rešit enačbo pomeni, da moramo poiskati takšno vrednost za neznanko x da bo leva stran
enačbe enaka desni. Enačbi sta ekvivalentni, kadar imata isto mnoţico rešitev.
Ekvivalentno se ohranja:
Če levi in desni strani enačbe prištejemo (odštejemo) isto število.
Če levo in desno stran mnoţimo z istim od 0 različnim številom.
5 8 2 1
5 8 2 1
5 2 9
5 9
3 9
9 : 3
8
2 2
8
3
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
-enačaj mora biti v istem stolpcu
Matematika
26
Reševanje enačb:
Odpravimo ulomke.
Rešimo oklepaje.
Skrčimo levo in desno stran kolikor je mogoče.
Člene z neznanko prenesemo na eno stran enačbe (na levo stran) ostale člene pa na drugo
stran enačbe. Kadar nesemo člene preko enačaja se predznak spremeni!
Izračunamo vrednost neznanke.
Naredimo preizkus.
Preizkus:
Leva stran: Desna stran: Ali skupna rešitev:
5 8
5 3 8
15 8 7
x
2 1
2 3 1
6 71
x
5 8 2 1
5 3 8 2 3 1
15 6
7 7
8 1
x x
R= 3
Primeri! Reši enačbe in napravi preizkus!
Preizkus!
7 3 2 6 4 7 12
5 9 4 5
5 4 5 9
14
x x x
x x
x x
x
7 14 3 2 14 6 4 14 7 12
98 3 28 6 56 7
61 61
12
Rešitev: 14R
Preizkus!
4 2 5 2 3 5
8 4 10 15 5
8 4 10 20
4 10 20 8
x x
x x
x x
x x
:
2
14
x
4 2 5 2 3 5
4 2 2 5 2 2 3 5
4 0 5 4 3 5
0 5 1 5
0 5 5
0 0
x x
Rešitev: 2R
Matematika
27
Preizkus!
2 1 1
3 5 10 2
x x 30
10 12 3 15
2 3 15
2 15 3
2 12
x
x
x
x x
:
6
2
x
2 1 1
3 5 10 2
2 66 1 1
3 5 10 2
6 12 1 1
3 5 10 2
60 72 3 1
30 2
15
x x
:15
30:15
1
2
1 1
2 2
Rešitev: 6R
Preizkus!
3 4 12
2 5 5
15 2 4 20 2
10 10
y y
y y
15 2 4 20 2
15 2 8 20 2
13 28 2
13 2 28
13 26
10
y y
y y
y
y
y
:13
2y
3 4 12
2 5 5
3 2 2 4 2 1
2 5 1 5
6 6 2 1
2 5 1 5
30 12 20 1
10 5
2
y y
:2
10:2
1
1
5
1
5 5
Rešitev: 2R
Matematika
28
Preizkus:
2 5 11 3 5 1
3 4 6 4
4 2 5 3 11 3 10 3
12 12
x x x
x x x
4 2 5 3 11 3 10 3
8 20 33 9 10 3
17 53 10 3
17 10 3 53
7 5
1
6
2
x x x
x x x
x x
x x
x
: 7
8x
2 8 5 11 3 8 5 8 1
3 4 6 4
11 13 40 1
3 4 6 4
4 11 3 13 2 40 3
12 12
44 39 83
12 12
12
83 83
Rešitev: 7R
Preizkus:
3 5 2 1 1 3
15 3 2 2 1 3
5 17 1 3
5 3 1 17
8 16
x x x
x x x
x x
x x
x
:
2
8
x
3 5 2 2 2 1 1 3 2
15 6 4 2 1 6
7 7
Rešitev: 2R
Matematika
29
REŠLJIVOST ENAČB
Enačba ima natanko eno rešitev:
5 3 4 7
5 4 7 3
4
4
x x
x x
x
R
Enačba ni rešljiva:
2 4 2 15
2 8 2 15
2 2 15 8
0 23
x x
x x
x x
R
Enačba ima neskončno mnogo rešitev (IDENTITETA)
3 5 3 15
3 15 3 15
3 3 15 15
0 0
x x
x x
x x
R
Primeri!
2 2
2
5 3 2 2 7 0
3 5 15 4 7 0
x x x x
x x x x
x
22 15x x 4 7 0
2 4 0
2 0 4
x
x
:
2
2
2x
R
2
2
3 5 7 7 50x x x x
x
26 9 5x x x 49 50
9 1
1 9
x
x
8
8
: 1
x
R
Če sta x-a vsak na svoji strani enačaja in sta enako predznačena jih črtamo
Matematika
30
Razcepne enačbe
,a b 0 0
0a b
2
2 2
2 2
2 2
2
2 7 2 7 3 5 2 8 2 26
4 49 9 30 25 16 4 26
5 30 74 4 16 26
5 30 74 4 16 26 0
14 48 0
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x
2 14 48 0
6
1
8 0x
x x
x
6 0
0 6
6
x
x
x
8 0
0 8
8
x
x
x
Če se kvadrati ne uničijo damo vse na levo stran in enačimo z 0 !
Enačbe z neznanko v imenovalcu
Pogoj:
4 2
4 4
x x
x x
2 216 2 2
16 3 2
3 2 16
3 1
1 4
8
x x x x
x
x
x x
x
: 3
6
6
x
R
1
1
1 0
0 1
x
x
x
x
4
4
4 0
0 4
x
x
x
x
2 2 2
1 2 1
3 9 3
1 2 1
3 3 3 3
1 3 2 1 3
3 3 3 3
x x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x x x x
3 3
1 3 2 1 3
x x
x x x
x
x
3 2x x 3
2 3 3
2 6
x
x
2...........
: 2
..glej pogx oj
R
0
................
3 0
3
..........
3 0
3
:
x
x
x
x
Pogoj
x
Matematika
31
SISTEM DVEH ENAČB Z DVEMA NEZNANKAMA
, , ,
,
ax by c
dx ey f
a b d e koificienti
x y neznanki
5,-5 --------sta nasprotni si števili 5 + (-5) = 0
Metoda nasprotnih koeficientov
Na maturi !
Prvo izračunamo tistega ki je nasprotno predznačen!
2 3 13x y
3 2
2
13x y
4 6 26
9 6 39
13 65
3
x y
x y
x
:13
5x
2 3 13
2 5 3 13
10 3 13
3 13 10
3 3
x y
y
y
y
y
: 3
1y
3 5 6x y
2 3
3
23x y
9 18
10
5
15
1 115
1 133
5
9
y
y
x
x
x
:19
7x
2 3 23
2 7 3 23
14 3 23
3 23 14
3 9
x y
y
y
y
y
: 3
3y
3 12 33x y
9 10 31
36 99
10 31
2
3
9
9
6 130
x
x
x y
y
y
y
:
5
26
y
9 10 31
9 10 5 31
9 50 31
9 31 50
9 81
x y
x
x
x
x
:81
9x
2 5 17x y
3 2
2
3x y
5
10
1
4 34
15 15
19 19
1
0
y
y
x
x
x
x
2 5 17
2 1 5 17
2 5 17
5 17 2
5 15
3
x y
y
y
y
y
y
Matematika
32
SISTEM TREH LINEARNIH ENAČB Z TREMI NEZNANKAMI
) _ 2 3 4 24
) _ 3 4 5 35
) _ 5 2 3 39
a x y z
b x y z
c x y z
)a .............105 2015 120
)
zx y
b
.....................
4 20..... 12 16 1
....
4
........... 2 20
0x
y
y
x
z
)b 3.....9 12 5 105
)
1 zx y
c
..............
5....25
.
10 195
........34 22 300
15x x
x y
z
2 20x y
44 22 440
34
22
34 22 3
22 300
10 0
4
1
00
1
4
x y
x
x y
x
y
x
2 14 20
28 20
2 20
8
20 28
y
y
y
x y
y
2 3 4 24
2 14 3 8 4 24
28 24 4 24
4
5
4 24
4 24 4
4 20
x y z
z
z
z
z
z
z
) _ 36
) _ 2 21
) _ 2 2 13
a x y z
b x y z
c x y z
)....................... 36
)
a x y z
b
...........................
..... 2 21 1
2 15
x z
z
y
x
)b
............................
.........4 2 42
)....
......5
.............. 2
55
.................................... 11
2 1
2 2
3
x
x
c z
y z
x
x
y
11 2 15
2 15
2 15
11
26 : 2
13
z
z
x z
z
z
) _ 36
11 13 36
36 11 1
12
3
a x y z
y
y
y
Matematika
33
Linearna neenačba z eno neznanko
Linearno neenačbo rešujemo isto kot linearno enačbo. Če linearno neenačbo mnoţimo z
negativnim številom se znak neenakosti obrne.
3 8 15
4 23
23
4
35
4
x x
x
x
x
rešitev ponazori na številski premici zapiši z oklepaji 3
5 ,4
Vaje!
4 2 5 3 10 1
8 20 3 10 1
8 17 10 1
8 10 1 17
2 18
18 : 2
9
x x
x x
x x
x x
x
x
x
9,
Oče je kupil mami za rojstni dan šopek iz 12 tulipanov in 7 vrtnic ter zanj plačal 5.900sit.
Enak znesek bi plačal če bi kupil 17 tulipanov in 5 vrtnic. Izračunaj ceno tulipanov in ceno
vrtnic!
12 7 5900t v 5
17 5 5900t v
7
60 35 29500
119 35 41300
59 11800
11800
5
0
9
2 0
t v
t v
t
t
t sit
12 7 5900
12 200 7 5900
7 5900 2400
7 3500
3500
5
: 7
00
t v
v
v
v
v
v sit
Matematika
34
MNOŢICE TOČK V RAVNINI
Ravnina je neomejena ravna ploskev. Premica je neomejena ravna črta.
Matematika
35
V koordinatni sistem nariši naslednje točke!
V kordinatni sistem načrtaj naslednje točke!
Če je znak < ali > narišemo --------- črtkano
Matematika
36
Razdalja med točkama v ravnini
Matematika
37
PITAGOROV IZREK
2 2 2
2 1 2 1,d A B x x y y
2 2
2 1 2 1,d A B x x y y
V pravokotni koordinatni sistem vriši točki s koordinatama 1 1
3, 4
x y
A
2 2
1, 1
x y
B
jih poveţi in
izmeri njihovo razdaljo. Dobljeno razdaljo preveri še računsko!
2 2
2 1 2 1
2 2
2 2
,
, 1 3 1 4
, 4 3
, 16 9
, 25
, 5( )
d A B x x y y
d A B
d A B
d A B
d A B
d A noteB
Točke A(-2,-4) B(3,3) C(-1,2) določajo trikotnik A,B,C.
a) V kordinatni sistem natančno nariši trikotnik A,B,C in izračunaj dolţino njegove
najdaljše stranice na dve decimalni mesti natančno.
b) Zapiši enačbo nosilke A,B
c) Na minuto natančno izračunaj kot A,C,B
d) Izračunaj še obseg trikotnika ( o = d(A,B) + d(B,C) + d(C,A) )
Matematika
38
2 2
2 1 2 1
2 2
2 2
,
, 3 2 3 4
, 5 7
, 25 49
, 7
8,6
4
,
d A B x x y y
d A B
d A B
d A B
d A B
d A B
Ploščina in orientacija trikotnika
Determinanta
,
,
a ba d b c
c d
2 1 2 1
3 1 3 1
,2
,
x x y ySo
x x y y
Matematika
39
Vaje!
Izračunaj ploščino in orientacijo trikotnika!
1 1
2 2
3 3
2,1 ........
8,3 ........
5,7 ........
,
,
,
x y
x
A
x
B y
yC
2 1 2 1
3 1 3 1
,2
,
8 2,3 12
5 2,7 1
,6
3,
2
62
x x y ySo
x x y y
So
So
2 6 6 2 3
2 30
30
15
1
: 2
So
So
s
s
o
1 1
2 2
3 3
4,8 ........
3,2 ........
5, 1 .......
,
,.
,
A
B
C
x y
x y
x y
2 1 2 1
3 1 3 1
,2
,
3 4 ,2 82
5 4 , 1 8
,2
,
7
9
6
9
x x y ySo
x x y y
So
So
2 7 9 6 9
2 9
9 : 2
4,5
1
So
So
s
s
o
Izračunaj obseg in ploščino trikotnika!
4,1
5,5
1, 3
A
B
C
, , ,
9,8 +8
25,
, 6,4
1
9
o
o
d A B d B C d C Ao
4,1
5,5
A
B
1
2 2
2 2
2 1 2
, 5 4 5 1
, 81 16
, 97
,
, 9,8
d A B
d A B
d A
d A B x x y y
d A B
B
5,5
1, 3
B
C
1
2 2
2 2
2 1 2
, 1 5 3 5
, 16 46
, 80
,
, 8,9
d B C
d B C
d B
d B C x x y y
C
d B C
4,1
1, 3
A
C
1
2 2
2 2
2 1 2
, 4 1 1 3
, 25 16
, 41
, 6 4
,
,
d C A
d C A
d
d C
C A x x y y
A
d C A
2 1 2 1
3 1 3 1
,2
,
9
4
5 4,5 12
1 4, 3 1
, 4
52
,
x x y ySo
x x y y
So
So
2 9 4 5 4
2 56
2
:
8
6 2
1
5
So
So
s
s
o
Matematika
40
FUNKCIJA (odvisnost)
Obseg kvadrata je odvisen od dolţine stranice a. obseg je funkcija a-ja.
Matematika
41
Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu iz mnoţice A priredi natanko eden element iz
mnoţice A.
Ena slika pa lahko ima dva originala. Vsaka funkcija ima svoj graf. Graf funkcije imenujemo
mnoţica vseh urejenih parov x,y pri čemer velja da x pripada definicijskem območju Df , y pa
k zalogi funkcijskih vrednosti Zf.
LINEARNA FUNKCIJA
Matematika
42
Zapiši k in n!
2 3
5 7
12
5
7
y x
y x
xy
y x
y
y x
2
5
1
2
5
0
1
k
k
k
k
k
k
3
7
1
0
7
0
n
n
n
n
n
n
Nariši graf naslednjih funkcij!
2 1y x 2y x 2 4y x
x y
-1 -3
0 1
1 1
x y
-1 -2
0 0
1 2
x y
-1 2
0 4
1 6
Graf vsake linearne funkcije je premica. Grafi linearnih funkcij z enakim k so vzporedne
premice. Mnoţico vzporednih premic imenujemo snop.
Matematika
43
3y x 2 3y x 4 3y x
x y
-1 2
0 3
1 4
x y
-1 5
0 3
1 1
x y
-1 -1
0 3
1 7
Grafi linearnih funkcij z enakim n se sekajo v isti točki (če je n enako 0, je ta točka kordinatno
izhodišče). Mnoţica premic ki se sekajo v isti točki se imenuje šop premic.
Matematika
44
5 2y x 3
xy 4y
x y
-1 -7
0 -2
1 3
x y
-3 -1
0 0
3 1
Od vrednosti k je odvisna je odvisna strmina premice, čim večji je k po absolutni vrednosti,
tem bolj strma je premica. Zato k imenujemo smerni koificient.
2...........
1...2 .
0
0..
y x
y x
k
k
Če je k > 0 je funkcija naraščajoča,
Če je k < 0 je funkcija padajoča.
Matematika
45
V katerih točkah seka graf linearnih funkcij koordinatni osi?
2 6y x
x y
-1 8
0 6
1 4
Računsko:
: (3,0)
2 6
0 2 6
2 6
6 : 2
3
osx M
y x
x
x
x
x
: (0,6)
2 6
2 0 6
0 6
6
osy N
y x
y
y
y
Matematika
46
3 1
k n
y x 2 5y x
Matematika
47
Enačbe premice
1 1y y k x x y nkx
2
3,8
1
2
A
y x
k
1 1
8 2 3
2 6 8
2 14
y y
y x
y
x
y x
k x
x
Eksplicitna enačba premice
6, 1
3
3
1
A
y x
k
1 1
1 3 6
3 18 1
3 17
y x
y y k
y x
y x
x x
Zapiši enačbo premice, katere graf gre skozi točki:
1.
3,2
2,4
A
B
2 1
2 1
4 2
2 3
2
1
2
k
k
k
y yk
x x
1 1
3,2 2
2 2 3
2 2 6
2 6 2
2 8
A k
y x
y x
y x
y x
y y k x x
2.
1, 3
2,6
A
B
2 1
2 1
6 3
2 1
9
3
3
y y
k
kx
k
x
k
1 1
2,6 3
6 3 2
6 3 6
3 6 6
3
B k
y x
y x
y
y
y y
x
x
x
k x
Matematika
48
Oblike enačb premic
1. y kx n EKSPLECITNA oblika enačbe premice (razvita)
2. 0ax by c INPLICITNA oblika enačbe premice (nerazvita)
3. 1x y
m n SEGMENTNA oblika enačbe premice (odsekovna)
Zapiši enačbo premice v ostalih dveh oblikah!
3 6
eksplicitna
y x
3 6 0
inplicitna
x y
3 6 0
3 6 0
segmentna
x y
x y
: 6
31
6 6
12 6
x y
x y
6 2 8 0
inplicitna
x y 2 6 8
eksplicitna
y x : 2
3 4y x
6 2 8
6 2 8
segmentna
x y
x y
:8
6 21
8 8
31
4 4
x y
x y
71
10 2
segmentna
x
71
10 2
inplicitna
x 10
5 10
5 10 0
x y
x y
5 10
eksplicitna
y x : 5
25
xy
Matematika
49
GEOMETRIJA V RAVNINI
Snov 2. letnika
Evklidska grometrija
Osnovni geometrijski elementi so: točka, premica in ravnina.
Točka: nima nobene dimenzije.
Ponazoritev: označba : A, B, C
Premica: je ravna neomejena črta, ima eno razseţnost.
Ponazoritev : označba: a,b,c
Ravnina je neomejena ravna ploskev ima dve razseţnosti.
Ponazoritev:
Označba: , , ,A B
Poltrak: je na eni strani omejena omejena ravna črta
Daljica: je na obeh straneh omejena ravna črta
a b
a b
Matematika
50
Imejmo v ravnini dva poltraka s skupnim izhodiščem. Ta poltraka nam ravnino razdelita na
dva dela (kota). Poltraka imenujemo kraka kota, njuno skupno izhodišče pa vrh kota. Velikost
kotov označujemo z malimi grškimi črkami. , , ,
Velikost kotov merimo v stopinjah. 1 stopinja je 360 del kroga.
1 60 min
1 60
1 3600
ut
sekund
Radian
Matematika
51
Stopinje radiani
180 ............
15 ..............
180 15
15
x
x
x
180
12
180 ............
2..............
3
2180
3
180
x
x
x
2
3
60 2120
1x
180 ............
135 ..............
180 135
135
x
x
x
180
3
4x
180 ............
..............18
180
18
10
x
x
x
Dvojni koti
90 -----KOMPLIMENTARNA kota
180 ----SUPLIMENTARNA kota
Stopinje Radiani
15 12
120 2
3
135 3
4
10 18
Matematika
52
TRIKOTNIK
Trikotnik je geometrijski lik omejen s tremi daljicami. Daljicam pravimo stranice trikotnika.
Po dve in dve se stikata v točki, ki jo imenujemo oglišče trikotnika.
Oglišče so točke A,B,C
Trikotnik delimo glede na:
Stranice: Raznostraničen
Enakokrak
Enakostraničen
Kote:
Ostrokoten
Pravokoten
Topokoten
Koti v trikotniku:
1
1
1
180
180
180
1
1
1
1 1 1
180 ...
360 ...
notranji koti
zunanji koti
Matematika
53
Izračunaj neznane notranje in zunanje neznane kote, če poznaš!
1
72 33
107 25
1
1
1
1
180
180
179 60 72 33
107 27
1
1
180
180
179 60 107 25
72 35
1
1
1
1
72 33 72 35
144 68
155 08
1
1
180
180
179 60 145 08
34 52
Vsota vseh kotov je 540 stopinj.
IZREK O SKLADNOSTI TRIKOTNIKA
Lika sta skladna, če se natančno pokrijeta, če damo enega na drugega. Na podlagi skladnosti
teh izrekov lahko trikotnik načrtujemo.
1. Trikotnika sta skladna, kadar se ujemata v vseh treh stranicah. (SSS).
2. Trikotnika sta skladna, kadar se ujemata v dveh stranicah in kotu ki ga ti dve stranici
oklepata (SKS).
3. Trikotnika sta skladna, kadar se ujemata v stranici in dveh prileţnih kotih (KSK).
4. Trikotnika sta skladna, kadar se ujemata v dveh stranicah in kotu ki leţi daljši stranici
nasproti (SSK)
ZNAMENITE TOČKE TRIKOTNIKA
1. Središče trikotnika očrtane kroţnice
Središče trikotniku očrtane kroţnice je sečišče simetral stranic.
2. Središče trikotnika včrtane kroţnice
Je sečišče simetral kotov.
Matematika
54
3. Teţišče
Teţišče je točka, v kateri se sekajo teţiščnice
trikotnika. Teţiščnica je daljica, ki poteka iz oglišča v
razpolovišče
nasprotne stranice.
4. Višinska točka trikotnika
Višinska točka je sečišče višin trikotnika.
Višina je daljica ki poteka iz oglišča
pravokotno na nasprotno stranico.
PRAVOKOTEN TRIKOTNIK
Matematika
55
PITAGOROV IZREK
Vsote ploščin kvadratov med katetama je enaka
ploščini kvadrata ned hipotenuzo.
3,4,5
6,8,10
9,12,15
pitagorska štavila
a1 je pravokotna
projekcija katete a na hipotenuzo
b1 je pravokotna projekcija katete b na hipotenuzo
Višinski izrek: 2
1 1v a b Evklidova izreka:
2
1
2
1
:a c a
b c b
Obseg: o a b c Ploščina: 2
2
a bs
c vs
TALESOV IZREK
1. Narišeš poljubno daljico
2. Poiščeš središče daljice in v središče narišeš polkrog
3. Poiščeš poljubno točko C na polkrogu
4. Poveţeš vogale iz točke C
5. Na vodalu točke C moraš dobiti pravi kot
Matematika
56
ENAKOKRAKI TRIKOTNIK
2
2 2
2
,2 2 2
2
c a b
c
o a c
c v a v b vs
ca v
ENAKOSTRANIČNI TRIKOTNIK
2
60
3
3
4
3
2
o a
as
av
SIMETRALA DALJIC
Simetrala daljic je premica, ki daljice razpolovi in je pravokotna nanjo. Za vse točke, ki leţijo
na simetrali daljice velja, da so enako oddaljene od vseh krajišč daljice.
Matematika
57
SIMENTRALA KOTA
Je premica ki poteka skozi vrh kota in kot razpolovi. Za vse točke, ki leţijo na simetrali kota
velja, da so enako oddaljene od vseh kotov.
RISANJE KOTOV S ŠESTILOM
S pomočjo šestila lahko rišemo kote, ki so večkratniki kota 15 stopinj. Osnovni kot, ki ga
lahko narišemo s pomočjo šestila je 60 stopinj.
ZNAMENITE TOČKE V TRIKOTNIKU
- NAČRTOVANJE _
Matematika
58
1. Središče trikotniku očrtane kroţnice
1. Ostrokoten trikotnik je s v notranjosti
2. Topokotni trikotnik , s je v zunanjosti
3. Pravokotni trikotnik je s na hipotenuzi
2. Središče trikotniki včrtane kroţnice
3. Teţišče trikotnika
Matematika
59
4. Ostrokoten trikotnik ( vsi koti so manjši od 90stopinj)
5. Topokotni trikotnik ( vsi koti več kot 90)
Matematika
60
SKLADNOSTNI IZREKI
Načrtovanje na osnovi skladnostih izrekov
1. Stranica, stranica, stranica (SSS)
4
5
6
a cm
b cm
c cm
Postopek načrtovanja
-nosilka c
-stranica c
-a
-b
2. Stranica, kot, stranica (SKS)
4
5
45
a cm
b cm
-a
-
-b
Matematika
61
3. Kot, stranica, kot (KSK)
6
60
45
b cm
b
4. Stranica, stranica, kot (SSK)
4
6
45
a cm
b cm
a
b
Matematika
62
ŠTIRIKOTNIK
Vsota notranjih kotov v vsakem štirikotniku je 360 stopinj.
PARALELOGRAMI
Je štirikotnik, ki ima po dve in dve stranici vzporedni in enako dolgi.
1. PRAVOKOTNIK
Obseg: 2 2
2( )
o a b
o a b
Ploščina: S a b
Pitagorjev izrek: 2 2 2d a b
Diagonala je daljica ki povezuje dve sosednji ogljišči. Diagonali sta enako dolgi in se
razpolavljajo.
2. KVADRAT
Obseg: 4o a
Ploščina: 2
2
2
dS a
Pitagorjev izrek: 2d a
Diagonali se razpolavljata in se sekata pod pravim kotom,
sta enako dolgi. Ker se sekata pravokotno, razpolavljata
tudi kot.
3. ROMB
Obseg: 4o a
Ploščina: 2
e fS a v
Pitagorjev izrek:
2 2
2
2 2
l fa
Diagonali se razpolovijo in sekajo pravokotno. Nasprotna kota sta si enaka
, 180
Matematika
63
4. PARALELOGRAM (romboid)
Obseg: 2o a b
Ploščina: a
b
s a v
s b v
Diagonali se razpolovita, sosednja kota sta enaka.
TRAPEZI
Trapez je štirikotnik , ki ima en par vzporednih stranic. Vzporedni stranici se imenujeta
osnovnici, nevzporedni pa kraka.
Obseg: o a b c d
Ploščina:
2
S s v
a cS v
Srednjica: 2
a cs
Srednjica je daljica, ki povezuje
razpolovišče dveh krakov.
180
180
Enakokraki trapez
AED – enakokrak
b d
l f
Pitagorjev izrek:
2
2 2
2
a cb v
Matematika
64
DELTOID
Obseg: 2 2o a b
Ploščina: 2
e fS
Pitagorjev izrek:
2
2 2
2
2
2
2
ea x
eb y
f x y
VEČKOTNIKI
Trikotniki
Štirikotniki
Petkotniki
Pravilen 6 kotnik
Večkotnik je pravilen, kadar ima enako dolge stranice in enake kote. Enakostranični trikotnik
60, kvadrat 90, pravilen 6 kotnik
PRAVILEN 6 KOTNIK
Obseg: 6o a
Ploščina: 23 3
2
aS
n = št. Stranic večkotnika
Vsota notranjih kotov : 2 180n
Vsota zunanji kotov: 360
Število diagonal: 3
2
n n
Vaja:
Izračunaj št. diagonal, vsoto zunanjih in notranjih kotov v 20 kotniku.
n=20
Število diagonal: 3 20 20 3
1702 2
n n
Notranji koti: 2 180 20 2 180 3240n
Zunanji koti: vsota je 360
Matematika
65
KROG
Krog je del ravnine omejen z krivo črto, ki se imenuje kroţnica. Kroţnica je mnoţica točk za
katere velja, da so vse enako oddaljene od neke stalne točke , ki se imenuje središče kroga.
r = polmer kroga (radij)
d = premer kroga (diameter) d l r
l = kroţni lok
Obseg: 2 r
Ploščina: 2r
223,14
7
Koţni odsek: 2
sin2 180
rS
središčni kot
T – tetiva
Lok : 180
rl
Kroţni izsek: 2
360
rS
KONCENTRIČNA KROGA
Sta kroga ki imata skupno središče.
Ploščina:
2 2
2 2
S R r
S R r
Matematika
66
SREDIŠČNI IN OBODNI KROG
- središčni kot
- obodni kot
2
TALESOV IZREK – kot v polkrogu
TANGENTA NA KROŽNICO
A) V točki A, ki leţi na kroţnici
Tangenta je vedno pravokotna na kroţnico.
B) V točki B, ki ne leţi na kroţnici
Matematika
67
KOTNE FUNKCIJE
30,51
5,8
b
c
50,86
5,8
a
c
30,6
5
b
a
51,66
3
a
b
Razmerje med dvema stranicama v pravokotnem trikotniku je odvisno samo od velikosti
kotov. Razmerje med dvema stranicama je funkcija.
sin 30 0,5
cos30 0,86
tan 30 0,58
b
c
a
c
b
a
sin
cos
, tan
,cot
nasprotiležna katetaSINUS kota
hipotenuza
priležna katetaCOSINUS kota
hipotenuza
nasprotiležna katetaTANGENUS kota tg
priležna kateta
priležna katetaKOT TANGENS ctg
nasprotiležna kateta
Vaje:
Na 4 decimalna mesta napiši!
sin 36 0,5877
cos75 0,2588
tan16 0,2867
cot 48 0,9004
sin 45 22 22 : 60 sin 0,366 45 0,7116
cos35 17 17 : 60 cos 0,2834 35 0,8163
tan 77 44 44 : 60 tan 0,7334 77 4,5993
c 15 33 33: 60 0,55 15 3,5934tg ctg
Matematika
68
sin 0,3333........... 19 28
cos 0,5151.......... 58 59
1,4444............. 55 18
0,8888.......... 48 22
tg
ctg
20
22 30
? ?
?
90
c cm
a b
sina
c
sin
sin
20 sin 22 30
7,7
c
c a
a c
a
a cm
90
89 60 22 30
67 30
2 2 2
2 2 220 7,7
340,71
18,5
b c a
b
b
b cm
Razširi pravokotni trikotnik!
6
8
90
a cm
b cm
c
Znani so kateti – uporabiš tangens (tg)
60,75
8
36 52
atg
b
90
89 60 36 52
53 08
2 2 2
2 2 2
2
6 8
100
100
10
c a b
c
c
c
c cm
Matematika
69
Izračunaj notranje kote trikotnika s stranicami: ZA IZPIT
13
14
15
?
?
?
a cm
b cm
c cm
2 2 2
2 2 2
cos2
14 15 13cos
2 14 15
252cos 0,6
420
53 07
b c a
bc
2 2 2
2 2 2
cos2
13 15 14cos
2 13 15
189cos 0.50
390
59 29
a c b
ac
2 2 2
2 2 2
cos2
13 14 15cos
2 13 14
140cos 0,3846
364
67 22
a b c
ab
HERONOV OBRAZEC
Kadar so podane vse tri stranice trikotnika izračunamo njegovo ploščino po:
2
S s s a s b s c
a b cs
13 14 1521
2 2
a b cs
221 21 13 21 14 21 15 705 84S s s a s b s c cm
Pod kakšnim kotom se sekata diagonali pravokotnika s stranicami:
16
12
a cm
b cm
60,75
2 8
36 522
72 104
73 44
tg
Matematika
70
Za poljuben trikotnik veljata dva izreka:
KOSINOSUV IZREK
a. Uporabljamo kadar sta podani dve stranici in kot, ki ga ti dve stranici oklepata
b. Uporabljamo kadar so podane vse tri stranice
a. 2 2 2 2 cosa b c bc 2 2 2 2 cosb a c ac 2 2 2 2 cosc a b ab
b. 2 2 2
cos2
b c a
bc
2 2 2
cos2
a c a
ac
2 2 2
cos2
a b c
ab
Polmer trikotniku včrtane kroţnice: S
rs
Polmer trikotniku očrtane kroţnice: 4
a b cR
S
Višine:
Na a: 2
a
SV
a na b:
2b
SV
b na c:
2c
SV
c
Teţiščnice:
Na a: 2 2 22 2
4a
b c at
na b:
2 2 22 2
4b
a c bt
Na c: 2 2 22 2
4c
b a ct
Matematika
71
Vaje:
Izračunaj notranje kote trikotnika s stranicami:
12
35
37
a cm
b cm
c cm
1. 12 35 37 84o a b c cm
2. 12 35 37
422 2
a b cs
242 42 12 42 35 42 37 210
S s s a s b s c
S cm
3. 210
542
Sr cm
s
4. 12 35 37
18,54 4 210
a b cR cm
S
5. 2 2 2 1225 1369 144
cos 0,9 18 552 2590
b c a
bc
6. 2 2 2 144 1369 1225
cos 71 42 888
a c a
ac
7. 2 2 2 144 1225 1369
cos 902 840
a b c
ab
8. 2 2 210
3512
a
Sv cm
a
9. 288 2450 1369
18,54
ct cm
Matematika
72
SINOSOV IZREK
Ta izrek uporabljamo za razreševanje poljubnega trikotnika, kadar sta podani dve stranici in
kot, oziroma stranica in dva kota.
2sin sin sin
a b cR
Vaja: Razreši trikotnik!
7
5
75
a cm
b cm
7 5....
sin sin sin 75 sin
7sin 5sin 75
5 sin 75sin
7
5 0,9659sin
7
sin 0,6899
43 37
a b
Na računalniku: shift – sin – 0,6899 =43,62219352 – potem pa v stopinje
75 ...........?
2 2 2sin2 cos
sin sin sin
a c ac c a b ab
2 2 2
2 2 2
2
2 cos
7 5 2 7 5 cos 43 37
74 50,68.....?
c a b ab
c
c
Matematika
73
POTENCE IN KORENI
1. Potence s celimi eksponenti
3 2a a a
3 2
ne gre
m m
3 3 3
1
0
1
2 2 12 2
2
1 0
1
1
;
n
n
n nn n
a a a
a a
a a
aa
aa
a a a a
:
m n m n
mm n m n
n
n n n
n n
n
a a a
aa a a
a
a b a b
a a
b b
Vaje:
Izračunaj!
0
2
1
2 2
5 1
17
49
3 4 11
4 3 3
1 5 42
2 2 25
3
2
3
4
2
6
4 64
5 25
5 125
5 625
5 25
1 1
2
2
5 25
5 25
9
2
2
2 512
4 16
3 9
3
3
2
3
2
6 16
1 2
1
6 16
5 1 5 25
minusa se znebimo v potenci, da obrnemo ulomek
Reši !
Matematika
74
2
1 0 1 2 12 2 5 2 2
2
1 12 1 5 4
2 4
3 5 1
1 2 4
12 10 1 3
4 4
Izračunaj oziroma skrči izraze
2 2
2 2 2
a b a b a b
a b a ab b
2 2 2 2 2
2 22 2
2 2 11 1 12 2 2 4 2 1 2 2
2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3
2 2 : 4 2 2 : 2 2 : 2
12 2 2
8
n n n nn n n nn n n n n n n
n n n n n n n n
Pri mnoţenju osnovo prepišemo eksponente pa seštejemo.
Pri deljenju osnovo prepišemo eksponente pa odštejemo.
6 2
6 12 6 2a a
6 4 2 2 4 2 0 2 4 2........ 1x x x x x x x x x x
Okrajšaj ulomek!
3 12 22 5 2 3 2 2
2 2 2 2
2 2
2
0
2
3 3 5 3 6 33 5 3 6 3
4 3 4 3
3 27 5 3 6 1 36
4 3
xx x x
x x
x
x
92 23
4
x
2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 22 2
2 42 4 2 2 2 4 2 2 6
2 2
3 3 3
3 33
33 3 3 729
3
x x
x xx
xx x x x
x
Izračunaj vrednost izraza!
13 3 4 74a
a a a a
1
1 116
1
16 116
1
6
16
x
xx
napaka
x
x
Matematika
75
1 1 2 2
1 2
2
2
22
2
2 2
16 2 2 16 22
1 45 4 1 1
16 2 2
2 16 1 2 2 2
5 1 41 5 1
1
x x x x x x x
x x x x
x x
x x
x xx xx x x x
x
x
2 2
2 2
2
2
4
2 4 2 216 2 2 2 16
5 1 4 5 4
416 2 8 2 2
5 4
x
x xx x x
x x x x
xx x x
x x
4
5
x
12
10
x
2
4x
2
2 4x
x
Nadaljuj zaporedje!
2 2 2 2 2 2 22 2 22 3 5 6 7 8 9 102 4 111
1, 4 , 9 ,16,25,36,49,64,81,100,121
to so popolni koreni
Kvadriranje:
2
2
2
6 36
60 3600
600 360000
2
2
0,6 0,36
0,06 0,0036
Ničle in decimalna mesta se pri kvadriranju podvojijo.
KVADRATNI KOREN
27 49
49 7
kvadriranje
korenjsta obr
enat
jni funk
eciji
Vrednost korena je vedno nenegativno število.
2
2
7 49
7 49
Če pri korenu nič ne piše je koren iz dva:
2
Če je na ena, pomeni da ga ni:
1 a a
324 18
32400 180
3,24 1,8
Matematika
76
DELNO KORENJENJE
Pri delnem korenjenju število razcepimo na produkt dveh faktorjevm, od katerih je en faktor
popoln kvadrat. Ker lahko ta faktor korenimo, drugega pa ne, pravimo temu delno korenjenje.
12 1
3 4 4 3 2 3
12
12 2 6
12 4
12
3
poiščemo popoln kvadrat
18 9 2 3 2
72 8 9 3 8 3 4 2 3 2 2 6 2
48 16 3 4 3
108 36 3 6 3
980 .....................
Najpogosteje razstavljaš z števili: 2,3,5
RACIONALIZACIJA IMENOVALCA
Je postopek pri katerem odpravimo koren iz imenovalca ulomka. a
b b - imenovalec
5 5 25 5
8 8 64 8
2
a a a
a a
Matematika
77
Vaja!
3 3 2 3 2
122 2 2
6 3 6 32 3
33 3
3 5 10 3 10 50 3 10 25 2 3 10 5 2
10 10 1010 10
KORENI POLJUBNIH STOPENJ
n ma n – korenska stopnja a – korenjenec m – potenčni eksponent
33 8 2 2 8
44 265 4 4 256
1. Seštevanje in odštevanje
Seštevamo in odštevamo lahko le tiste korene, ki imajo enake korene in korenske eksponente
3 3 3 33a a a a 5 3x x ne gre 8 74 4 n rx ex e g
2. Mnoţenje in deljenje
Mnoţimo in delimo lahko korene z enakimi korenskimi eksponenti. Če so korenski
eksponenti različni jih najprej razširimo na skupni korenski eksponent. Korene z enakimi
korenskimi eksponenti mnoţimo tako, da korenski eksponent prepišemo korenjence pa
zmnoţimo.
5 5 5 53 4 3 4 7a a a a a 3 64 3 13 16 9 26 35 114 12 12 12 12 4a a a a a a a a
3 84 5 4 4 7 5 32 40 12 48 21 15 1 2324 24a b a b a b a b a b a b a b
3. Potenciranje korenov
Koren potenciramo tako da potenciramo korenjenec.
5 5
3 34 4 203a a a
Matematika
78
4. Korenjenje korenov
Korene korenimo tako da korenjenec prepišemo korenske eksponente pa zmnoţimo.
3 4 5 604 4 15a a a
5
4 2 3 5 6 73 4 20 20 3 5 6 23 4 2
3 4 3 25 20 3 23 5
80 40 9 15 107 67 535 3356012 12443 32760
23 823 2 23 215 15
x y x y x y x y x y x y
x x y x x y
x y x y x y x yx y
x yx y x y
12 8 33 2 3 9 84 66 4 2412 224
20 2 1 2 24 012 2410 1 1 212 2
x y xx y x x yx y
x y x y x yx y x y
POTENCE Z RACIONALNIMI EKSPONENTI
1
2 12
1 12 12 2
4 4 4 2
4 2 2 2
m
n mna a
ali
2
3 23
223
4
3
3
4
27 27 9
3 3 9
16 2
3
4 32 8
3
344
333
22 2
2
16 16 8
4 10,04
100 25
1 1
16525 25
IRACIONALNA ENAČBA
Enačba je iracionalna, če je neznanka v enačbi pod korenom. Pri teh enačbah naredimo
preizkus.
Matematika
79
2 8x 2
2 64
64 2
62
2 8
62 2 8
64 8
8 8
x
x
x
Preizkus
x
4 3 2 0
3 2 0 4
x
x
2
3 2 16
3 18
6
4 3 2 0
4 3 6 2 0
4 16
8
0
0
x
x
x
Preiz
ni reš
us
e
k
tv
x
i
1 7
1 7
x x
x x
2
2
2
2
49 14 .....1
1 49 14 0
15 50 0
x x je dvočlenikx
x x x
x x
2 15 50 0
0
1
10 5x x
x x
10 0
10
1 7
10 10 1 7
10
13 7 ...
3 7
Preizkus
x
x
x x
ni rešitve
5 0
5
7
1 7
5 5 1 7
5 2 7
7
Preizkus
x
x
x x
KVADRATNA ENAČBA
a, b,c – koeficienti a – vodilni koeficient 0a 2 0ax bx c
Reševanje:
1. Z razcepom: (Veitovo pravilo)
2
1 2
214 0
7 0
3
3
7
x x
x x
x x
2
1 2
3 0
3 0
0 3
x x
x x
x x
2. Z uporabo formule:
O rešljivosti kvadratne enačbe odloča število, ki se imenuje diskriminanta (D).
a) D > 0 – enačba ima dve različni rešitvi
b) D = 0 – enačba ima dve enaki rešitvi (ali eno dvojno rešitev)
c) D < 0 – enačba nima realne rešitve
Matematika
80
2 0ax bx c 1,22
b Dx
a
2 4D b ac
Vaja: ( z razcepom – vietovo pravilo)
2 7 12 0
3 4 0
x x
x x
0
3
3
0 3x
x
x
0
4
4
0 4x
x
x
Vaja: ( z uporabo formule )
2 4 21 0
1
4
21
ba c
x x
c
a
b
2
2
4
4 4 1 21
16 84
100
D 0 – dve razli ni re itvi
D
D
D
č
cab
š
D
1,2
1,2
1,2
2
1
2
4 100
2 1
4
4 10
10 147
63
2 2
4
2
10
2
2
Dx
a
x
x
b
x
x
Reši kvadratno enačbo!
22 7 3 0
2
7
3
x x
a
b
c
2
2
4
7 4 2 3
49 24
25
D 0 – dve razli ni re itvi
D b ac
D
D
D
č š
1
1,2
1,2
1 2
2
,
2
7 25
2 2
7 5
4
7 5
7 5 123
4 4
2 1
4 4 2
b
x
x
x
x
x
D
a
Matematika
81
22 8 8 0
2
8
8
x x
a
b
c
2
2
4
8 4 2 8
64 64
0
D 0 – dve enaki re itvi
D b ac
D
D
D
š
1,2
1,2
1,
1
2
2
2
8 0
2 2
8 0
8 0 82
4
4
8 02
4 4
4
8
x
b Dx
a
x
x
x
2 2 3 0
1
2
3
x x
a
b
c
2
2
4
2 4 1 2
4 12
8
D 0 – ena ba nima realne re itve
D b ac
D
D
D
č š
Ni rešitve v
BIKVADRATNA ENAČBA
4 2
2 5
5 36 0
36 0
4 9 0
t t
t t
x x
1
4 0
4
t
t
2
9 0
9
t
t
2
2
1
2
1
2
2
2
2
4
2
2
9
x t
x t
x
x
x
x t
x
ni rešitve v
KVADRATNA FUNKCIJA
Vedno na maturi!
xf kx n
2
xf ax bx c - kvadratna funkcija 0a
Zapisi kvadratne funkcije:
1. Splošni zapis:
2
xf ax bx c
2. Temenski zapis:
Matematika
82
2
xf a x p q
3. Ničelni zapis:
1 2xf a x x x x
GRAF KVADRATNE FUNKCIJE ( parabola )
2
bp
a
4
Dq
a
2
xf ax - teme je vedno v točki 0
(0,0)
p q
T (T – teme)
2
xf ax bx c (0, )T c
2
xf ax bx c ( , )T p q
Nariši naslednje grafe!
23
(0,0)
y x
T
21
2
(0,0)
y x
T
x f(x)
0 0
1/4 1/16
1/2 1/4
3/4 9/16
1 1
3/2 9/4
2 4
3 9
Matematika
83
22 3
(0,3)
y x
T
24 5
(0, 5)
y x
T
2 6 5
1
6
5
xf x x
a
b
c
2
6
2 1
3
bp
a
p
p
2
2
4
6 4 1 5
36 20
16
D b ac
D
D
D
4
16
4 1
4
Dq
a
q
q
T(p,q)
Matematika
84
T(-3,-4)
Ničle:
2
2
1
2
6 5
6 1 0
1 5 0
1
5
x x
x x
x x
x
x
ali
2
2
1,2
6 5
6 1 0
2
x x
b
a
x
x
x
D
1,2
1
2
1
,2
6
6 16
2 1
6 4
2
4 21
6 4 0
2 2
2
15
2x
x
x
x
Začetna vrednost:
0
20 6 0 5
0 0 5
5
5
x
x
f
ničle vstavimo v enačbo
f
f
2
2
4 4
( , )0
1
4
4
xf x x
T
a
b
c
Matematika
85
4
2 1
2
2
bp
a
p
p
2
2
4
4 4 1 4
16 16
0
D b ac
D
D
D
0
4 1
0
4
Dq
a
q
q
2
1
2
4 4 0
2 2 0
2
2
x x
x x
x
x
2
1
2 4 1
( , )3
2
4
1
xf x x
T
a
b
c
4
2 2
1
2
bp
a
p
p
2
2
4
4 4 2 1
16 8
24
D b ac
D
D
D
4
24
4
3
2
Dq
a
q
q
1,2
1,2
1,2
2
1
4 4
2
4 24
2 2
4 4,9
4 4,9 8,92,2
,9 0,90,2
4 4
4
4
4
b Dx
a
x
x
x
x
VLOGA D IN a PRI RISANJU GRAFOV
Matematika
86
Zapiši dano funkcijo v ostalih dveh oblikah!
22 2 4
2
2
4
xf x x
a
b
c
2
2
2 2
1
2
bp
a
p
p
2
2
4
2 4 2 4
4 32
36
D b ac
D
D
D
4
36
4 2
9
2
Dq
a
q
q
1,2
1,2
1,2
1
2
2 6 41
4
2
2 36
2 2
2 6
4
6 82
4 4
4
2
b Dx
a
x
x
x
x
Splošni zapis: 2
xf ax bx c =
22 2 4
xf x x
Temenski zapis: 2
xf a x p q =
21 1
2 42 2
xf x
Ničelni zapis: 1 2xf a x x x x = 2 1 2
xf x x
VAJE: mat 012 ----------mat 018 (izpuščeno)
EKSPONENTNA FUNKCIJA
Matematika
87
Snov 3. letnika
n
xf x - potenčna funkcija
2
xf x - kvadratna funkcija
x
xf x - eksponentna funkcija
0a
1. 1a
2. 0 1a
3
3
2
2
1
2
2
2
x
x
x
x
f a
a
f
f
f
Graf …
Asimptota je premica, h kateri se graf neke funkcije poljubno pribliţa vendar se je ne dotakne.
Za funkcijo
x
xf a je asimptota os x ali abcisna os.
(0,1)
(1, )
x
xf a
A
B a
(0,1)
3
3(1, )
x
xf
A
B
(0,1)
3
3(1, )
x
xf
A
B
Grafa 020
4 3x
xf
x f(x)
-3 1/8
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
Matematika
88
EKSPONENTNA ENAČBA
m
nna m f x g x
a a x xf g
2
5 25
5 5
2
x
x
x
2 1
2 2 1 3
2 2 1 3
14 2
8
2 2 2
2 2
2 2 1 3
2 6
x
x
x
x
x
: 2
3x
4 4x
ne gre
1 12
1
12
11
3 22
2 1
27 9
27 9
3 3
33 3
2
32 1
2
x
x
x
x
x
2
3 4 1
3 4 4
4 1
1
4
x
x
x
x
0
2
2 0
3 3 90
3 3 3 90
3 9 1 90
3 10 90
x x
x
x
x
2
:10
3 9
3 3
2
x
x
x
3 1 1,5
23 1 3
3
1,5 1
2 3 2 0
3 2
3 2
5 125 25 495
5 5 5 495
5 5 5 5
5 125 25 1 4
495
9
5 99 495
5
x x x
x
x x x
x
x
3 2 1
: 99
5 5
3 2 1
x
x
Izpostavi skupni faktor (vsota – razlika)
Matematika
89
Če sta osnovi različni in eksponenta enaka potem moramo eksponent enačit z 0
0
xf
x
x
a bf
f
3 5x x
1
0 1
2 2 2 3
2 2 2 2 3
2 1 2 2 3
2 3 2 3
x x x
x x
x x
x x
Izpostavi skupni faktor
1 1
1 1
: 6
1 12 3
2 3
1 12 3
2 3
2 2 3 3
2
1 0
3
1
x x
x x
x x
x x
x
x
Rešljiva z logaritmom:
0
5 7
5 1
5 5
0
x
x
x
x
INVERZNE FUNKCIJE (obratne linearne funkcije)
1
x
x
f funkcija
f obratna funkcija
Matematika
90
Poišči inverzne funkcije!
Spremenljivke med sabo zamenjamo in na novo y
izrazimo.
Funk
ciji sta
obratni.
Vsota inverznih funkcij sta zrcalna glede na premico y x
2 4
2
2 4
4
x y
y x
y x
: 2
22
xy
Matematika
91
2
2
2
y x
x y
y x
y x
Matematika
92
LOGARITEMSKA FUNKCIJA
Logaritemska funkcija je inverzna eksponentni funkciji xy a
xy a
yx a ya x logay x
y – logaritem števila x pri osnovi a
2xy 2logy x - rdeče ne more biti negativno število
5xy 5logy x
10xy 10logy x = logy x - če nič ne piše je osnova 10
xy l logly x = ln x - za strojništvo
0,1
1,
xy a
A
B a
2
0,1
1, 2
xy
A
B
log
0,1
,1
a
A
y
B a
x
2log
1,0
2,1
y x
A
B
Matematika
93
Primer pri maturi!
5
5 7
log 7
log 7
log5
1,209061955
x
x
x
x
log
loglog
ba
a
b
PRAVILA ZA LOGARITMIRANJE
,a b log log loga b a b log log loga
a bb
log logn nn a a
LOGARITEMSKE ENAČBE
Pri reševanju logaritemskih enačb uporabljamo pravila za računanje z logaritmi. Lahko jih
rešujemo tudi po definiciji. Pri logaritemskih enačbah je obvezen preizkus!
VAJE: Reši enačbe!
Matematika
94
3
2log
2
8
8
3
osnova
eksponent
x
x
x
x
Preizkus:
2
3
log 8 3
2 8
8 8
4
1,5
3
2
32 2
log 1,5
4
4
2
x
x
x
x
-1,5 v ulomek 15 3
10 2 prizkus:
32
1
8
x
x
3
log 8 3
8
x
x
1
3
1
3
3
8
1
8
1
2
x
x
x
2
4
log 16
2 16
2 2
log 3 1 2
x
x
x
x
210 3 1
10
100 3 1
3 1 100
3 99
x
osnova je
x
x
x
: 3
33x
2
1
2
log log 1 log 6
log 1 log 6
1 6
6 0
2 3 0
2
3
x x
x x
x x
x x
x x
x je
x ni
3lo
log
g10
log8 3 log
log8 log
8 1000
x aritmiraj
x anti aritmiraj
x
:8
125x
3 3
3
log 4 log 2
4log log 9
4 9
1
4 9
9 4
8 4
x x
x
x
x
x
x x
x x
x
: 8
1
2x
Matematika
95
2
2
2
2
2
log 1 2 log log 6
log 1 log log 6
log 1log 6
log
1 6
1
6 1
6 1 0
xx
x x
x
x
xkrižno
x
x x
x x
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
1
2
log 3 log 2 1 log
log 3 log 2 log
2 3
log 2
log 3 2 log
3 2
0
2
3
6 2
6 0
x
x x x
x
x x
x x x
x x
x x
x
x je
x
x x
ni
26 1 0
6
1
1
x x
a
b
c
2
21 4 6 1
1 24
25
4
D
D
D
D b ac
1
1,2
1,2
1 2
2
,
2
1 25
2 6
1 5
12
1 5 4 1
12
1 5 6 1
12 1 2
12 3
2x
b Dx
x
x
a
x
2
2
log 2log 3
2 0
0
1
2
3
3
x x
A
b
A
a
c
2
22 4 1 3
4 12
16
4
D
D
D
D b ac
1,2
1
2
2 4
l
2
2 43
2
2
o
2
g
41
A
x A
A
A
1
3
log
log 3
10
00
l g
1
o
x A
x
x
x
x A
2
1
log
log 1
10
1
10
log
x A
x
x
x
x A
log 2 3 log 1 log 5
2 3log log 5
1
x x x
xx
x
2
2
1
2
2 3 5
1 1
1 5 2 3
5 5 2 3 0
2 8 0
2
4
x x
x
x x x
x x x x
x x
x je
x ni
x ni enak 1
Matematika
96
VAJE: ------NA TESTU
Zapiši enačbo premice ki gre skozi točko A(3,-2) in je vzporedna premici:
a)
1 1
2
(3, 2)
,
x
A x
A
y
f x
y kx n k = -1 ker je vzporedna
1 1
2 1 3
2 1 3
1 3 2
1
y y k x x
EKSPLICI
y x
y x
y x
y
TNA
x
1 0
IMPLIC TNA
x y
I
1x y :1
11 1
SEGME NA
x y
NT
b) 1 1
2 2
( , )
( ,
( 4.12)
( 6, 4)
)
A x y
b x y
A
B
2 1
2 1
4 12
6 4
8
y y
x
k
kx
k
1 1
12 8 4
12 8 32
8 32 12
8 44
y y k x x
y x
y x
y x
y
EKSPLICITNA
x
8 44 0
IMPLI
x
CITNA
y
8 44x y : 44
81
44 44
144 44
8
111 44
2
x y
SEGMEN
x
T
y
y
NA
x
Reši sistem! ------NA TESTU
Preizkus:
3 2 11x y 3
4 3 26x y
2
9 6 33
8 6 52
17 85
5
x y
x y
x
x
4 3 26
4 5 3 26
20 3 26
3 26 20
3 6
2
x y
y
y
y
y
y
Matematika
97
Romb! ------NA TESTU
Ploščina romba (S) meri 24m2 njegova diagonala l=8m. Izračunaj obseg (o) in kot !
24
8
S m
l m
o
Skica:
2
2
2
2
S l f
l
l fS
Sf
l
f S
2 24
8
6
2
f
f
Sf
l
m
2 2
2
2 2 2
2
:
2 2
4 3
25
25
5
Pitagorov izrek
l fa
a
a
a
a m
4
4 5
20
o a
o
o m
2
2
sin
sin
24sin 0,96
25
73,7 73 44
S a
S
a
Dan je trikotnik s stranicami a,b,c. Izračunaj ploščino, notranje kote, višino na a in teţiščnico
na b.
Skica:
8
29
35
a cm
b cm
c cm
2
8 29 35
2
36
a b cs
s
s cm
2
36 36 8 36 29 36 35
7056
84
Hero
S s s
nov obrazec
s
s
b
s
s c
cm
a s
2 2
2 2
2
2
29 35 8cos
2 29 35
2002cos 0,9862
2030
9 31
cos2
b c b
ac
2 2 2
cos2
448cos 0,8
560
36 52
a c b
ac
2 2 2
320cos 0,6896
4
co
64
133
2
3
s
5
a b c
ac
2
2 84
8
21
a
a
a
Sv
a
v
v cm
2 2 22 2
4
2 64 2 1225 841
4
434,25
20,8
b
b
b
b
a c bt
t
t
t cm
Matematika
98
36 52 9 31 45 83 46 23 ............... 179 60 46 23 133 37
Ali koreni ali potence! ------NA TESTU
3 2 3 2
3 2
3 2 3
2 3
3 2 3 2
2 3
3 2 3 2
6 4 9
3
6
4 9
2 5
2
6 6
3
2
4 39 8 6 3
2 4 3 2
4 36 32 18 9
8 16 3 9 6
4 18 23
3 17 22
1 1 1
3
3
3
3
3
3
3
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b
a b
a b
Reši enačbe! ------NA TESTU
23 5 2 0
3
5
2
x x
a
b
c
2
2
5 3
9
4
4 2
4
D
D b ac
D
1 6 2x x
2
2
2
1
2
2
2 1 6 2 0
1
4 5 0
1 5 0
2
5
1 6 2x x
x x x
x x
x x
x
x
x
1
1,2
2
5 7 2 1
6 6 3
2
5 7 122
6 6x
bx
a
x
D
1 6 2x x
1
2
2
2
2
2
2 1 6 2
2
1
1 6 2
5 0
1 5 0
5
0
4
x x x
x x
x
x x x
ni
x
rešitev
x
x
Pr :
1 1 6 2 1
2 4
2 2
eizkus
Pr :
5 1 6 2 5
4 16
4 4
eizkus
Matematika
99
4 7 2
2 4 7 1 2
8 14 2
100 0,1
10 10
10 10
8 14 2
9 12
x x
x x
x x
x x
x
: 9
12 4 11
9 3 3x
1
0,110
2
2 3
2
2
log 2 5
2 25
2 3 0
3x x
x x
x x
2
2
2 1
6
4
4 3
1
D
D b ac
D
1
1,2
2
2
2
4 63
2 2
2
2 2
2
41
bx
x
x
D
a
1 0
1
7 32,4 1 1,5 5
11 5
22 18 15 31
9 11 10 5
4 10 3
1 15 5
10 94
5
14
15
1
10 24,
2,4 2,44
4
4...
2
2
9
9 2
2
2,4
x
x
x
x
1000 3485,5
10
3,485 3,48
0 348
555...
,5
900 3137
3137
900
x
x
x
x
Matematika
100
Dana je funkcija!
1
2
3 1
3 1 0
3
1
xf x x
določi ničle
x x
x
x
2
2
2
3 3
2 3
1
2
3
x
x
x
V splošnoobliko
f x x x
f x x
a
b
x
c
f a bx c
2
2
2 1
6
4
4 3
1
D
D b ac
D
2
21
2 1
b
a
p
p
16
4 1
4
4
q
a
q
Dq
( , )
( 1, 4)
Teme
T
T p q
2
2
0
0
2 3
0 2 0 3
3
xf x x
f
f
vedno na osi y
2
2
2
()
1 1 4
1 4
x
x
Temenska
f x
f x
Matematika
101
POLINOMI
Veččleniki ali mnogočleniki
Enočlenik (nionom) 23 ,8,
5
xx
Dvočlenik (binom) 24 5,8 7x y a Polinomi
Veččlenik (trinom) 25 3 7x x
2
5 3
8
0
1
2
3 ........................ :0
5..................... :1
5 8................ :2
4 7 .......... :5
7 6 7.......... :8
y x STOPNJA
y x STOPNJA
y x STOPNJA
y x x x STOPNJA
y x x STOPNJA
Splošen zapis:
1 2 2 1
1 2 2 1 0...n n
n nX
n
np x a x a x x a aa a x
a - vodilni koificient n - stopnja polinoma n
na x - vodilni člen
45 23 57 2
Xp x x x x
7 - vodilni koificient 5 -stopnja polinoma 57x - vodilni člen 5 - prosti člen
Dva polinoma sta enaka samo v premeru, če imata enake koeficiente pri spremenljivkah iste
stopnje.
VAJA
Določi koeficienta a in b tako da bosta polinoma X X
p in q enaka.
4 3 2
4 2
3 4 7
3 4
0
7
X
X
p x Ax x
q x x B
A
B
Izračunaj vrednost polinoma!
3 2
0
3 2
1
3 2
4
0 2 0 3 0 4 4
1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4 1 2 3 4 0
4 2 4 3 4 4 64 2 16 12 4 64 32 16 80
p
p
p
Matematika
102
RAČUNANJE S POLINOMI
Seštevanje in odštevanje
4 3
4 2
3 2 7
6 2 7 8
p x x x x
q x x x x
4 3 4
4 4 42 2
2
3 3
3 2 7 6 2
3 6 97 8
7 8
2 27 82 2 15
p x q x x x x x x x
xx x xx x xx xx
4 3 4
4 4 4
2
3 2 23
3 2 7 6 2
3 67 8
7 8
72 23 12 62
p x q x x x x x x x
xx x xx xxx x x
Mnoţenje
4 4
4 3 4 2
7 6 3
8 7 6 5 4 3
2 2
2
58 5 5 5 442 14
3 2 7 6 2 7 8
12 6 16 8
18 12 6 29 80 16 21 8
6 4 2 218
112
56
m
1
i
1 244 7
n
56
p x q x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
naprej i razumljiv
xx x x x
o
xxx xx
Deljenje
3 24 2 25 2 22 1 : 5 3 5 2x x x x xxx x
Matematika
103
36x 2 2
36
11 5 13 3 3: 2 4x x x xx
x
2
29
2x
x
2
5 13
2
x
x
2
3x
x
2
13
x
1
12
23 4
1
k x x x
r x
3x
3
2 24 6 7 : 3 3x x x x x
x
2
23
x
x
2
6 7
x
x
3
3x
x
3
7
x
9
2
2 3
2
x x
r x
HORNERJEV ALGORITEM
Je postopek za deljenje poljubnega polinoma z linearnim polinomom
23 2:74 36 3x x xx x x
1 -4 6 -7
3 Prvi se prepiše (3*1) 3 (3*-1) -3 (3*3) 9
1 (x2) -1 (x1) 3 (x0) 2 - ostanek
Količnik: 2 3x x
Matematika
104
4 3 2( ) 3 2 7 8 1
(3) 299
p x x x x x
p
4 3 23 3 2 3 7 3 8 3 1 3 81 2 27 7 9 24 1 243 54 63 24 1 229
S pomočjo Hornerjevega algoritma lahko izračunamo vrednost polinoma za vrednost
določenega x-a.
3 -2 7 -8 1
3 9 21 184 228
3 7 28 176 229
4 3 2 2 28 5 13 2 7: 12x x x x x x x x
4 3 2
3 2
3 2
2
2
7 8 13 2
7 7 14
2
2
0
x x x
x x x
x x x
x x
x x
Če je ostanek 0 je polinom 4 3 2x x x deljiv s polinomom
2 2x x
2 2x x po Vietu razstavljeno 2 1x x
ali
2 2 0
1
1
2
x x
a
b
c
2
2
4
1 4 1 2
1 8
9
D b ac
D
D
D
1,2
1,2
1 2
2
1 9
2 1
21
b Dx
a
x
x x
1 8 6 -13 -2
1 1 9 15 2
1 9 15 2 0
-2 -2 -14 -2
1 7 1 0
Ker je ostanek 0 sta 1 in -2 ničle polinoma
Matematika
105
NIČLE POLINOMA
Ničla polinoma je tisto število, ki ga vstavimo namesto x, da dobi polinom vrednost 0.
Polinom n-te stopnje ima lahko največ n ničel. ( če je 8x ima lahko 8 ničel , če je
4x ima
lahko 4 ničle…). Ni pa nujno da so vse realne.
Zapiši vse ničle polinoma! 2. Naloga v testu
2 9 20p x x x - polinom 2. Stopnje
2
1
2
9 20 0
4
5
L
L
liha ali eno
x x
x
x
jna ničla
2
2
4
9 4 1 20
81 80
1
D b ac
D
D
D
1,2
1,2
1 2
2
9 1
2 1
45
b Dx
a
x
x x
ali 45
Viet
x x
2 009 2x x
Najprej določimo moţne ničle. Moţne ničle so delitelji svobodnega člena.
Moţne ničle: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Poišči z Hornerjem!
1 -9 20
1 1 8
1 8 12
1 -9 20
4 4 -20
1 -5 0
1 -9 20
-2 -2 22
1 -11 42
1 -9 20
5 5 -20
1 -4 0
Matematika
106
Določi ničle polinoma!
3 23 9 5p x x x x
1. Enači z nič: 3 23 9 5 0x x x
2. Moţne ničle:
1, 5 3 23 9 5 0x x x
2 4 5 0
1 5
x x
x x
1,2
3
1
5
S sod
l
x a
x L iha
1
2
3
1
1
5
x
x
x
3. Horner
1 -3 -9 -5
1 1 -2 -11
1 -2 -11 -16
Zapiši vse moţne ničle polinoma!
3 23 4 7 2p x x x x
Ni le prostega lena : 1, 2
Ni le vodilnega lena : 1, 3
č č
č č
vsakega z vsakim
1 21, , 2,
3 3
4 25 3 6p x x x
Ničle: 1, 5
1, 2, 3, 6
1 1 1 5 5 51, , , , 5, , ,
2 3 6 2 3 6
38 12p x x
Ničle: 1, 2, 4, 8
1, 2, 3, 4, 6, 12
1 1 1 1 1 2 4 81, , , , , , 2, , 4, , 8,
2 3 4 6 12 3 3 3
Kar se ponavlja ne pišemo!
1 -3 -9 -5
-1 -1 4 5
1 -4 -5 0
4x 3x
2x x Št.
5 0 3 0 6
Matematika
107
Poišči vse ničle polinoma!
3 7 6p x x x
1. Enačimo z nič: 3 7 6 0x x
2. Ničle:
1, 2, 3, 6
1
2
3
1
2
3
x
x
x
2 6 0
2 3
x x
x x
3. Horner:
1 0 -7 6
1 1 1 -6
1 1 -6 0
Matematika
108
GRAF POLINOMA
Graf polinoma p x je neprekinjena krivulja. Graf bomo lahko vsaj pribliţno narisali, če
bomo preučili:
1. Kje se sekata abcisna in koordinatna os
2. Kako se obnaša daleč proč od koordinatnega izhodišča
3. Kako se obnaša v okolici ničle
Načrtaj graf polinoma!
3 24 2 8p x x x x (+) pove nam na kateri strani naj začnemo risati graf
0 8p
Ničle:
3 24 2 8 0x x x
Moţne ničle:
1, 2, 4, 8
1
2
3
4
2
2
x
x
x
nastavi kvadratno enačbo:
2 2 0x
2
1
2 0
2 2
x
x x
-1 -4 2 8
1 -1 -5 -3
-1 -5 -3 5
-1 -4 2 8
2 -2 -6 -4
-1 -6 -4 4
-1 -4 2 8
-4 4 0 -8
-1 0 2 0
Matematika
109
3 252 6p x x xx
Ničle: 22 7 6 0x x
Delitelji: 1, 2, 3, 6
1, 2
Kandidati:
1 31, , 2, 3, , 6
2 2
Horner:
1
2
3
1
3
2
2
x
x
x
Nastavit kvadratno enačbo: 22 7 6x x
2
7
6
a
b
c
2
2
4
7 4 2 6
49 48
1
D b ac
D
D
D
2,3
2,3
2 3
2
7 1
2 2
3
22
b Dx
a
x
x x
0 6p
Kje začneš risati graf določiš tako, da vodilnemu členu namesto vrednosti x vstaviš -1.
3
2 1
2 5 -1 -6
1 2 6 -3
2 7 6 0
Matematika
110
3 2 5 3p x x x x Predznak: 31
Ničle: 3 2 5 3 0x x x Delitelji: 1,, 3
1
2
3
1
1
3
x S
x
x L
Nastavim kvadratno enačbo: 2 2 3x x
Veitovo pravilo: 3 1x x
0 3p
1 1 -5 3
1 1 2 -3
1 2 -3 0
Matematika
111
4 3 23 3 3 4p x x x x x Predznak: 41
Ničle: 4 3 23 3 3 4 0x x x x Kandidati: 1,, 2 4
Horner:
1 3 -3 3 -4
1 1 4 1 4
1 4 1 4 0
-4 -4 0 -4
1 0 1 0
Kvadratna enačba:
2 1 0x ni rešitve v
0 4p
Matematika
112
4 3 29 24 20p x x x x x +
Ničle: 4 3 29 24 20 0x x x x Kandidati: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Izpostavi x : 3 29 24 20 0x x x x
Horner:
Nastavim kvadratno enačbo: 2 4 4 0x x
Veitovo pravilo: 2 2x x
Ničle:
1
2
3,4
0
5
2
x
x
x
ker je polinom 4 stopnje so 4 ničle!
0 0p
1 -9 24 -20
5 5 -20 20
1 -4 4 0
Matematika
113
RACIONALNA FUNKCIJA
3
4
števec
imenovalec
00
5
7
0neobstaja preizkus mora biti točen 6:3=2
p xf x
q x
0 0p x NIČLE če je števec
0q x POLI imanavpičnoasimptoto
Racionalno funkcijo razdelimo v tri skupine.
1. Stopnja števca je niţja od stopnje imenovalca:
2
3
7 5
x
xf x
x
5
8q x
x
2. Stopnja števca je enaka stopnji imenovalca:
3 6
8xx
xf
2
2
7
3 8q x
x
x
3. Stopnja števca je višja od stopnje imenovalca
2 9
3 4xx
xf
4 3
2 9
xq x
x
x
Matematika
114
Postopek reševanja racionalne funkcije 1. skupine
Stopnja števca je niţja od stopnje imenovalca:
2
3
16
x
xf x
Ničle: 1
3 0
3
x
x
Poli:
2
2
3
16 0
4 4 0
4
4
x
x x
x
x
Asimptote: 4
4
x
x
Presečišče z y osjo: y = 0 - pri prvi skupini je vedno 0
Asimptota je premica h kateri graf neke funkcije pride poljubno blizu, vendar
se je ne dotakne.
3
016
f
Predznak:
2
1 1
11
- vstavi -1 v vodilne
Graf:
Matematika
115
2
3
2 1
xf x
x x
Ničle: 1
3 0
3
x
x
Poli:
2
2,3
2 1 0
1 1 0
1
x x
x x
x S
Asimptote: 1x y = 0 0 3p Predznak:
3
2f x
x
Ničle: Nima ker ni x Poli: 2 0
2
x
x
Asimptote: 1x y = 0 3
0 1,52
p
Predznak:
Matematika
116
Postopek reševanja racionalne funkcije 2. skupine
Stopnja števca je enaka stopnji imenovalca:
3 6
1 4
xf x
x
Predznak :
3 1
1 1
Ničle:
3 6 0
3 6
2
x
x
x
Ploli: 4 0
4
x
x
Asimptota: - deliš vodilna člena 3
31 y = 3
6 30 1,5
4 2f
Matematika
117
2
2
4
1
xf x
x
Predznak :2
2
1
1
Ničle:
2
1
2
4 0
2 2
2
2
x
x x
x
x
Ploli:
2
1
2
1 0
1 1
1
1
x
x x
x
x
Asimptota: 1 21 1x x y = 1 4
0 41
f
Matematika
118
Postopek reševanja racionalne funkcije 3. skupine
Stopnja števca je višja od stopnje imenovalca
2 25
4
xf x
x
Predznak: -
Ničle:
2
1
2
25 0
5 5
5
5
x
x x
x
x
Ploli: 1
4 0
4
x
x
Asimptote: y = x + 4
2
2
4
9
25 : 4
4
4 25
4 16
x x
x x
x
x
x
25
0 6,254
f
x y
-1 3
0 4
1 5
Matematika
119
RACIONALNA ENAČBA IN NEENAČBA
RACIONALNA ENAČBA
3 1
2 3
x x
x x
3 1
2 3
x x
x x
2
2 3
3 3 1 2x
x
x x
x x x
29 x 2 2
9 2
2 9
7
x x
x
x
x
Pogoji: 2 0
2
3 0
2
3
3
x
x
x
x
x
x
RACIONALNA NEENAČBA
21
3 2
2 10
3 2 1
2 2 2 3 10
3 2
2
3 2
x
x x
x
x x
x x x x x
x
x
x
24 x 3x 2x 3x 2x
60
3 2
100
3 2
x x
x x
Ničle: Ni Poli: 1
2
3
2
x
x
Matematika
120
2
2
40
1
xf
x
NA MATURI!
a) Določi ničle, pole, vodoravno asimptoto in presečišče grafa z ordinatno sojo.
b) Nariši graf
c) Neriši neenačbo
X – Abscisna os
Y – Ordinatna os
Ničle:
2
1
2
4 0
2 2 0
2
2
x
x x
x
x
Poli:
2
1
2
1 0
1 1 0
1
1
x
x x
x
x
Asimptote: 1
2
1
1
x
x
0 4f Predznak:
2, 1 1,2ali
Matematika
121
KVADRATNA ENAČBA
2
2
7 12
7 12 0
x x
x x
Ničle:
2
1
2
7 12 0
4 3 0
4
3
x x
x x
x
x
Matematika
122
KOTNE FUNKCIJE
Kotna funkcija je razmerje med dvema stranicama v pravokotnem trikotniku.
sin cos tan
tg
cot g
ctg
0 0 1 0 ∞
306
1
2 3
2
3
3
3
454
2
2
2
2
1 1
603
3
2
1
2 3 3
3
902
1 0 ∞ 0
1 2 2sin 45
22 2 2
a
a
45 1a
tga
2sin 35
1
aa
a 1
2 a
1
2
33 1 32cos30
2 2
1
aa
a a
2 1 3 32302 33 3 3 3
2
aa
tga a
33 2230 3
2
2
aa
ctga a
sinnasprotiležna kateta
hipotenuza cos
priležna kateta
hipotenuza
nasprotiležna katetatg
priležna kateta
priležna katetactg
nasprotiležna kateta
Matematika
123
ENOTSKA KROŽNICA
sin1
sin
y
y
cos
1
cos
x
x
sin330 sin30
Kotni funkciji sin in cos sta periodični funkciji s periodo 2 360ali
sin 750 sin30 0,5
Tangenus in ctg sta tudi periodični funkciji s periodo 180ali
sin 360 sink k
2
cos 360 cosk
180
180
sin 180 sin
tg k tg
Lihectg k ctg
funkcije
k
cos 180 cosSoda
kfunkcija
Matematika
124
2
2
2
3 3 9
3 3 9
Soda funkcija
f x f x
f x x
f
f
3
3
3
4 4 64
4 4 64
Liha funkcija
f x f x
f x x
f
f
Povezave med kotnimi funkcijami:
2 2 21y x 2 2sin cos 1
2
22sin
in
sin
s nepravile
a i
apis
l
n z
1sin 30 1 2 1 3 32
cos30 2 33 3 3 3
2
sin
cos
cos
sin
tg
ctg
Tangenus je racionalna funkcija
2
2
2
2
11
cos
11
sin
1
tg
ctg
tg ctg
cos810 cos 2 360 90 cos90 0
1350 7 180 90 90 0ctg ctg ctg 1350 : 180 = 7 ------ostanek 90
29sin sin 5 sin sin sin 0,5
6 6 6 6 6
5 14 5
6 6
29 5 294
6 6 6
3712 3
3 3 3tg tg tg
Matematika
125
ADICIJSKI IZREKI
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
1
tg tgtg
tg tg
Natančno izračunaj cos105 !
cos105 cos 60 45
cos cos cos sin sin
cos 60 45 cos60 cos 45 sin 60 sin 45
1 2 3 2 2 6 2 6cos 60 45
2 2 2 2 4 4 4
DVOJI KOTI
2 2
2
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin
22
1
tgtg
tg
Matematika
126
GRAFI KOTNIH FUNKCIJ
sinf x x
Kjer seka graf os x so ničle. Perioda je 2 in je liha funkcija.
Ničle: x k k
Max: 22
x k
k
Min: 3
22
x k
k
Definicijsko območje: :Df x
Zaloga def. Funkcij: : 1,1Zf y
Liha funkcija, perioda 2
Matematika
127
cosf x x
:2
: 2
in : 2
:
: 1,1
Ničle x k k
Max x k k
M x k k
Df x
Zf y
Soda funkcija, perioda 2
Matematika
128
sin
cos
xf x tgx
x tg – je racionana funkcija
Ničle: sinx 0 x k k
Poli: cos 0x 2
x k
k
Ničle ima tam kjer ima sin ničle
:Df x brez 2
x k
k
Zf :y =
Liha funkcija, perioda (vsak pi se začne ponavljat)
Matematika
129
cos
sin
xf x ctgx
x
Ničle: cos x 0 2
x k
k
Poli: sin 0x x k k
:Df x brez x k k
Zf : y =
Liha funkcija, perioda je
Matematika
130
Matematika
131
ZAPOREDJA
Nadaljuj zaporedje!
2,4,6,8,10,12,14,16 3,9,27,81,243,729
1,4,9,16,25,36 2,5,9,14,20,27,35
Zaporedje je funkcija ki vsak n periodi doda eden na
: n
n
f n a
f n a
n
n
a
Df
Zf
Zaporedje je funkcija, ki mnoţico naravnih števil preslika v mnoţico realnih števil.
1
2
3
4
1
2
3
4
n
n
f n a
a index
a
a
a
n a
2 31 4, , ,
r
,
P
na a a
Členi zaporedja
a
Sploš
a
vi člen
ni člen
Zaporedje je ponavadi podano s splošnom členom.
1. Zapiši prvih pet členov zaporedja!
2 4na n
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
1 4 1 4 3
2 4 4 4 0
3 4 9 4 5
4 4 16 4 12
5 4 25 4 21
a
a
a
a
a
3,0,5,12,21,...
To je nara ajo e zaporedje.šč č
2.
Matematika
132
2na
n
1
2
3
4
5
22
1
21
2
2
3
2 1
4 2
2
5
a
a
a
a
a
2 1 22,1, , ,
3 2 5
To je padajo e zaporedje.č
Zaporedje je naraščajoče, če je razlika med sosednjima členoma pozitivna.
Zaporedje je padajoče, če je razlika med dvema sosednjima členoma negativna.
Dokaţi ali je zaporedje naraščajoče ali padajoče!
1 3 4 12, , , ,..., , ...nna aa a a a
1
1
0
0
n n
n n
a a Naraščajoče
a a Padajoče
4
1n
na
n
1
4 1
1 1
4 4
2n
n
na
n
n
2
1
4 4 24 4 1 44
2
4
1 12n n
n nna a
n n
n nn
n n
n
4n 4n 244 n 8n
4
02 1 2 1n n n n
Zaporedje je naraščajoče, ker:
40 ..............
2 1n n
Naravno število (n) je vedno pozitivno!
21
n
na
n
Matematika
133
22 2
1
1 1
1
1 2 1 2
1 1n
n n n
na
nn
n n
3 2 22 2
23 2 3 2
1
2
2 1 12 1
1 1
1 12 1 10
1 1 1
n n
n n n nn n n
n n n n
n nn n n n n n n
n
a a
Padajoč
n n n n
e
n
ARITMETIČNO ZAPOREDJE (AZ)
Zaporedje je aritmetično, kadar je razlika med dvema sosednjima členoma stalna.
1,5,9,13,… (…4…) 17,25,33,41,… (…8…)
1 2 3, , ...a a a 2 1 3 2a a a a - LASTNOST AZ
1a 1.člen d = razlika (diferenca)
1
2 1
3 1 1
4 1
5 1
2
3
4
a
a a d
a a d d a d
a a d
a a d
Splošni člen AZ: 1 1na a n d
nS -Vsota prvih n členov zaporedja: 12 12
n
nS a n d
Primeri:
Kakšna je vsota členov zaporedja!
Matematika
134
1 6
6
16
AZ
a
d
n
1
16
16
16
162 6 16 1 6
2
2
8 12 90
8 6
2
1
1n
nS a
S
S
S
n d
Izračunaj vsoto prvih 100 naravnih števil!
1 1
1
100
AZ
a
d
n
1
100
100
100
1002 1 1
2
00 1 12
50 2 99
2
5050
1n
S
S
S
nS a n d
Izračunaj x tako da bodo 2x-1, 3x+2 in 6x+1 prvi trije členi AZ. Izračunaj še 12 člen in vsoto
prvih 20 členov.
1
2
3
1
2 1 2 2 1 3
3 2 3 2 2 8
6 1 6 2 1 13
3
5
AZ
a x
a x
a x
a
d
2 1 3 2
3 2 2 1 6 1 3 2
3 3 3 1
3 1 3
2 4
2
a a a a
x x x x
x
x x
x
x
12 člen:
12 1
12
12
1
3 12 1 5
59
a a n d
a
a
Vsota prvih 20:
120
20
20
20
202 3 20 1 5
2
10 101
10
2 1
10
2
na
S
S
nS
S
d
Poišči 7 in 12 člen zaporedja:
7
12
1
3,8,13
?
?
3
5
a
a
a
d
7 1
12 1
1 3 7 1 5 33
1 3 12 1 5 59
a a n d
a a n d
Kakšna je vsota vseh 8-kratnikov naravnih števil manjših od 1000.
Matematika
135
1 8
8
1000 :8 125
a
d
n
1125
125
125
125
1252 8 125 1 8
2
62,5 1008
6300
22
0
1S
S
S
S
na n d
GEOMETRIJSKO ZAPOREDJE (GZ)
Zaporedje je geometrijsko, kadar je količnik med dvema sosednjima členoma stalen.
1 2 3 4, , , ...
q q
na a a a a q – količnik lastnost GZ: 32
1 2
aa
a a
1
2 1
2
3 2 1 1
2 3
4 3 1 1
4
5 1
a
a a q
a a q a q q a q
a a q a q q a q
a a q
1
1
n
na a q
Vsota n členov GZ
1 1
1
n
n
a qS
q
1
8
10
2
3
?
?
a
q
a
S
7 7
8 1 2 3 4374a a q
10
1
10
1 2 3 159047
1 3 1
na qS
q
Matematika
136
Za kateri x je zaporedje geometrijsko. X+5 25-x 30+2x
1
2
3
5
25
30 2
a x
a x
a x
32
1 2
2 2
2 2
2
25 30 2
5 25
5 30 2 25 25
30 2 150 10 625 25 25
2 40 150 50 524 0
90 475 0
aa
a a
x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
2 4D b ac 290 4 1 475 10000D
2 0ax bx c
1,22
b Dx
a
1,2
1
2
9 100
2
5
95
x
x
x
2. Rešitvi
1.
1
2
3
5 5 10
25 5 20
30 2 5 40
a
a
a
2.
1
2
3
5 95 90
25 95 120
30 2 95 160
a
a
a
VAJA!
Dano je zaporedje 6, 18, 54, 162 … zapiši 9 člen in vsoto prvih 10 členov.
9
10
1
?
?
6
3
GZ
a
S
a
q
Matematika
137
1
1
n
na a q 1 1
1
n
n
a qS
q
9 1
9 6 3 39366a 10
10
6 3 1177144
3 1S
GEOMETRIJSKA TELESA
Geometrijsko telo je omejen prostor z ravnimi ali krivimi ploskvami.
Geometrijsko telo je oglato, kadar je omejeno s samimi ravnimi ploskvami in okroglo, kadar
je vsaj ena mejna ploskev kriva.
OGLATA geometrijska telesa: OKROGLA geometrijska telesa:
Prizme Valji
Piramide Stoţci
Krogle
Vsako geometrijsko telo ima poleg svoje značilne geometrijske oblike še svojo velikost. To
velikost imenujemo prostornina ali volumen. V (3 3 3, ,mm cm dm )
Če seštejemo ploščine vseh mejnih ploskev dobimo površino geometrijskega telesa.
P ( 2 2 2 2 2, , , , , ,mm cm dm m a ha km )
Vsakemu geometrijskemu telesu lahko izračunamo tudi njegovo maso.
m V gostota (ro) V – volumen
PRIZME
Matematika
138
Prizma je oglato geometrijsko telo. Omejena je z dvema vzporednima skladnima
večkotnikoma ( osnovni ploskvi O ) in z paralelogrami, ki tvorijo plašč ( pl ). Stranice
osnovne ploskve so osnovni robovi, vsi drugi robovi pa so stranski. Vsi stranski robovi so
vzporedni in so enaki višini prizme, če je prizma pokončna. Prizma je pravilna, če je
pokončna in je osnovna ploskev pravilen večkotnik. Prizma je enakoroba, če so osnovni
robovi enaki stranskima.
2
Površina
P O pl
Volumen
V O v
KOCKA
Pravilna štiristrana, enakoroba je omejena s samimi kvadrati
2
3
Ploskovna diagonala
d a
Telesna diagonala
D a
2 2
2
2
2 4
6
Površina kocke
P O pl
P a a
P a
2
3
Volumen kocke
V o v
V a a
V a
KVADER
Kvader je omejen s samimi pravokotniki
Matematika
139
2 2 2
1
2 2 2
2
2 2 2
3
Ploskovne diagonale kvadra
d a b
b a c
d b c
2 2 2
1
2 2 2 2
2 2 2
Telesna diagonala
D d c
D a b c
D a b c
2
2 2 2
2
Površina
P O pl
P ab ac bc
p ab ac bc
Volumen
V O v
V abc
TRISTRANE PRIZME
Pravilna 3-strana prizma (enakostraničen trikotnik)
2
2
33
2
Ploščina
P O pl
aP av
2 3
4
Osnovna ploskev
aO
Plašč
pl o v
2 3
4
Volumen
V O v
a vV
3-strana prizma (pravokoten trikotnik)
2
Ploščina
P O pl
P a b a b c v
2
Osnovna ploskev
a bO
2
Volumen
V O v
a b vV
3-strana prizma (enakokraki trikotnik)
2
2c
Ploščina
P O pl
P c v a c v
2
c
Osnovna ploskev
c vO
2
c
Volumen
V O v
c v vV
raznostrana prizma (raznostranični trikotnik)
Matematika
140
2
2
Ploščina
P O pl
P s s a s b s c a b c v
Osnovna ploskev
O s s a s b s c
Volumen
V O v
2
a b cs
4-strana prizma (kocka kvader)
2
2
4
Ploščina
P O pl
P a a v
2
Volumen
V O v
V a v
Pravilna 6-strana prizma
2
2
3 3 6
Ploščina
P O pl
P a a v
23 3
2
Volumen
V O v
a vV
PIRAMIDE
Je oglato geometrijsko telo. Omejeno je z poljubnim večkotnikom (osnovna ploskev),
plašč pa tvorijo enakokraki trikotniki.
Površina
P O pl
2
Volumen
O vV
VIŠINA (V) piramide je razdalja med vrhom in ravnino osnovne ploskve.
STRANSKE VIŠINE ali VIŠINE STRANSKIH PLOSKEV (v1) so višine trikotnikov plašča
in potekajo iz vrha pravokotno na osnovni rob po stranskih ploskvah.
Matematika
141
OSNOVNI ROBOVI obdajajo osnovno ploskev. To so stranice n-kotnika v osnovni ploskvi.
Stranske ploskve se stikajo v STRANSKIH ROBOVIH. Ti veţejo oglišča osnovne ploskve z
vrhom piramide.
Pravilna 3-strana piramida( ima za osnovno ploskev enakostranični trikotnik)
ploščina osnovne ploskve
obseg osnovne ploskve
o = 3a
Uporaba Pitagorovega izreka v pravilni 3-strani piramidi
Značilni pravokotni trikotniki:
Matematika
142
3
2
3 1...
6 3
3 2...
3 3
av
ax je v
ay je v
2 2 2
2 2 2
2
2 2
2
a
a
v v x
s v y
as v
2 33
4 2
a
Ploščina
p O pl
a vaP
2
3
3
12
Volumen
O vV
a vV
Če je pravilna 3-strana piramida enakoroba jo imenujemo oktaeder
2 3P a 3 2
13
aV
22 2
3
av
Pravilna 4- strana piramida (ima za osnovno ploskev kvadrat)
ploščina osnovne ploskve O = a2
obseg osnovne ploskve o = 4.a
Uporaba Pitagorovega izreka v pravilni 4-strani piramidi
Značilni pravokotni trikotniki:
Matematika
143
2 2 a
P O pl
P a a v
2
3
3
O vV
a vV
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
a
a
av v
as v
as v
Pravilna 6-strana piramida (osnovna ploskev pravilni šestkotnik)
ploščina osnovne ploskve
obseg osnovne ploskve o = 6.a
Uporaba Pitagorovega izreka v pravilni 6-strani piramidi
Značilni pravokotni trikotniki:
Matematika
144
s2 = a
2 + v
2
23 33
2a
P O pl
aP a v
2
3
3
2
O vV
a vV
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
3
2
c
a
s a v
as v
v v x
ax
Oktaeder
To telo omejuje osem enakostraničnih trikotnikov. Sestavljen je iz dveh enakorobih
štiristranih piramid z enakima osnovnima ploskvama.
Matematika
145
22 3P a
2
3
1
3
2
3
a vV
aV
2
2
av
Valj
VALJ je okroglo geometrijsko telo, omejeno z dvema skladnima in vzporednima krogoma in
eno krivo ploskvijo. Kroga imenujemo OSNOVNI PLOSKVI, krivo ploskev pa PLAŠČ
valja. Razdaljo med ravninama osnovnih ploskev imenujemo višina valja.
Mreţo valja sestavljajo PLAŠČ (pl) in dve osnovni ploskvi. Osnovni ploskvi sta dva skladna
kroga. Če plašč pokončnega valja razgrnemo v ravnino, dobimo pravokotnik.
Najlepše si to predstavljamo, če valj zakotalimo enkrat po ravnini.
2
2
P O pl
P r r v
2
V O v
V r v
Enakostranični valj (2r = )
2
2
6
P O pl
P r
32
V O v
V r
Stoţec
STOŢEC je okroglo geometrijsko telo, omejeno s krogom kot OSNOVNO
PLOSKVIJO in krivo ploskvijo, ki je njegov PLAŠČ
Matematika
146
v - višina stoţca
r - polmer osnovne ploskve
V - vrh stoţca
s - stranica stoţca
POKONČNI STOŢEC
POŠEVNI ŠTOŢEC
P o pl
P r r s
pl rs
2
3
3
O vV
r vV
ENAKOSTRANIČNI STOŽEC (Osni presek tega stožca je enakostranični trikotnik)
23P r 3v r
3 3
3
rV
Krogla
Krogla je okroglo geometrijsko telo, omejeno s krivo ploskvijo, ki ji rečemo SFERA ali
OBLA.
Matematika
147
24P R
34
3
RV
Vaje:
Izračunaj površino in volumen 10 cm visoke pravilne 3-strane piramide z osnovnim robom
12cm.
12
10
?
?
!
a cm
v cm
P
V
Skica obavezna
2 33
4 2
aaaP
v
2 3
12
a vV
2 2 2
3
6
2 3
av v x
ax
x
2 2 2
22 2
2
10 2 3
100 4 3
112
10,6
a
a
a
a
a
v v x
v
v
v
v cm
2
2
2
33
4 2
12 3 3 10,12
4 2
25 1
6
3,
aaaP
P
c
v
P m
2
2
3
3
12
12 3 10
12
207,8
a vV
V
v cm
Izračunaj površino in volumen 6cm visoke pravilne 4-strane piramide z osnovnim robom
16cm.
Matematika
148
16
6
?
?
a cm
v cm
P
v
skica
2 2 aa vP a 2
3
a vV
2
2 2
2
2 2
2
166
2
10
a
a
a
av v
v
v cm
2
2
2
2
16 2 1 06 1
576
aP a a
P
P cm
v
2
2
3
3
16 6
3
512
a vV
V
V cm
NAVADNO IN OBRESTNO OBRESOVANJE
Obresti so nadomestilo za uporabo določenega zneska denarja, ki ga posojilodajalec za
določen čas pusti posojilojemalcu. Znesek obresti je odvisen od teh spremenljivk:
- Izposojenega zneska (glavnice) G
- Časa obrestovanja (v dneh, mesecih, letih) nmd
- Obrestne mere p
Pri običajnih posojilnih poslih ločimo predvsem dva načina obrestovanja:
- Navadno obrestovanje
- Obrestno obrestovanje
NAVADNO OBRESTOVANJE
Pri navadnem obrestovanju se ves čas obrestuje le glavnica.
- Po n letih 100
G p nO
- Po m mesecih 100 12
G p nO
- Po dnevih 100 365
G p nO
Vaje:
Matematika
149
Koliko je treba vrniti čez 45 dni, če smo si izposodili 90 000€ pri 8% letni obrestni meri?
90000€
8%
45
?
G
p
d dni
O
90000 8 45
887,67€100 365 100 365
G p no
1 90887,67€G G o
Janja je 1. februarja 2002 vloţila v hranilnico 500€. Znesek je dvignla 1. Julija 2002. Kolikšne
so bile obresti, če je letna obrestna mera 6%?
Vsa prestopna leta so deljiva s 4. 2002:4 = 500 ostanek 2 NI PRESTOPNO
500€
150
6%
?
G
d
p
o
28 31 30 31 30 150
JF M A M
dni 500 6 150
12,32€100 365 100 365
G p nO
OBRESTNO OBRESTOVANJE
Pri obrestnem obrestovanju obresti prištevamo glavnici, ter najprej obrestujemo glavnico s
prištetimi obrestmi. Tako se pri obrestnem obrestovanju obrestujejo tudi obresti.
- Po n letih n
nG Gr obrestovalni faktor: 1100
pr
Vaje:
Na kakšno vrednost naraste vloga 400€ po pretih letih pri 7% obrestni meri pri obrestnem
obrestovanju?
5
400€
7%
n
G
p
1100
71 1,07
100
pr 5400 1,07 561,02€n
nG Gr
STATISTIKA
Matematika
150
Osnovni pojmi:
- Populacija: je mnoţica ki jo statistično preučujemo
- Statistična enota: je element te mnoţice, ki jo preučujemo
- Statistični znak: je značilnost posameznega elementa (numeričen, atributen)
- Vzorec: je podmnoţica populacije, katere elementi predstavljajo
značilnost celotne mnoţice. Na podlagi tega vzorca naredijo
strokovnjaki oceno, ki velja za celotno populacijo. Ta ocena ni
čisto natančna, je bolj ali manj vrjetna.
- Urejanje podatkov: podatki pridobljeni v raziskavi so neurejeni, zato jih moramo
urediti. Če je podatkov veliko, jih uredimo po velikosti, lahko pa
jih zdruţujemo tudi v skupine, ki jih imenujemo razredi.
Vaje:
Luka je na petnajstih tekmovanjih v košarki prejel naslednje število točk: 15, 8, 7, 11, 9, 5, 9,
6, 12, 7, 8, 9, 11, 13,11.
1, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 13, 15
Na neki fakulteti so študentje pri izpitih dosegli naslednje uspehe. Grupirajte naslednje
podatke v 10 oz. 5 frekvenčnih razredov.
5, 4, 10, 7, 2, 8, 5, 7, ,6 ,6, 6, 10, 7, 2, 4,6, 10, 8, 5, 9, 7, 1, 9, 6, 10, 5, 4, 10, 4, 10,
5, 5, 6, 4, 8, 7, 9, 6, 7, 7 8, 2, 9, 5, 1, 6, 4, 9, 5, 6, 4, 10, 5, 9, 6, 9, 5, 8, 6, 7, 9, 6, 9,
2, 10, 6, 5, 10, 7, 5, 6, 8, 6, 10, 6, 7, 5, 6, 8, 6, 10, 6, 7, 5, 6, 8, 8, 7, 4, 9, 9
x f
1 2
2 4
3 0
4 8
5 13
6 17
7 11
8 8
9 11
10 10
84
f V % ali relativna frekvenca
1-2 6 7,1484
f n
3-4 8 8 100
84
5-6 30 30 100
84
7-8 19 19 100
84
9-10 21 21 100
84
Matematika
151
Učenci 7. Razreda so pisali test iz biologije. Dosegli so naslednje število točk. Grupirajte jih v
razrede, določi frekvenco, relativno frekvenco, kumulativno frekvenco.
Podatki so: 54, 71, 46, 75, 69, 78, 70, 72, 62, 83, 88, 84, 74, 58, 68, 85, 65, 74, 54, 92, 63, 69,
65, 74, 66, 63, 90, 79, 85, 96.
Frekvenčni razred f f % F
40 – 49 1 1100%
30
o
50 – 59 4 4100%
30
1
60 – 69 8 8100%
30
5
70 – 79 9 9100%
30
13
80 – 89 5 5100%
30
22
90 - 99 3 3100%
30
27
30 30
f – frekvenca je št. posameznih statističnih enot istih vrednosti
f % - relativna frekvenca v % nam pove, kakšen deleţ celote pomeni posamezena
vrednost
F - komulativna frekvenca nam pove, koliko podatkov je doseglo manjšo vrednost
od zgornje meje frekvenčnega razreda.
GRAFIČNO PRIKAZOVANJE PODATKOV
Kroţni diagram: Stolpičen diagram: Histogram:
0
50
100
1. čet. 2. čet. 3. čet. 4. čet.
0
20
40
60
80
100
1. čet. 2. čet. 3. čet. 4. čet.
Matematika
152
SREDNJA VREDNOST
ARITMETIČNA SREDINA
Povprečje ali aritmetična sredina je količnik vsote vseh vrednosti statistične spremenljivke s
številom vseh vrednosti.
1 2 3 ... nx x x xx
n
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
n n
n
k x k x k x k xx
k k k k
Mediana ali središčnica
Je vrednost, od katere je polovica vrednosti večjih, druga polovica pa manjših.
Modus ali gostiščnica
Je vrednost podatka, ki se najpogostje ponavlja.
Vaja:
Določi vse tri srednje vrednosti za naslednje podatke: 12, 14, 47, 42, 7, 9, 85, 79, 47
Uredi po velikosti: 7, 9, 12, 14, 42, 47, 79, 85
n = 9 (števil)
Aritmetična sredina: 1 2 3 ... 7 9 12 14 42 47 47 79 8538
9
nx x x xx
n
Mediana: 42 (srednje število)
Modus: 47 (št. ki se največkrat ponavlja)
Matematika
153
RAZPRŠENOST PODATKOV
Variacijski razmik
Je razmik med maksimalno in minimalno vrednostjo.
max minR x x
Varianca
Je povprečje kvadratov odmikov od srednje vrednosti.
2 2 2
1 22... nx x x x x x
n
Standardni odklon
2 2 2
1 2 ... nx x x x x x
n
Vaja:
max min
85 7 78
R x x
R
2 2 2 2 2 2 2
27 38 9 38 12 38 14 38 42 38 2 47 38 79 38 85 38
791,339
791,33 28,1