matematika s statistiko univerzitetni Študij biokemijepavesic/pouk/biokemija... · primeri s...
TRANSCRIPT
-
MATEMATIKA S STATISTIKO
UNIVERZITETNI ŠTUDIJ BIOKEMIJE
1. LETNIK
-
ŠTEVILA IN FUNKCIJE
1.Računanje s pribliţki
2.Realna števila
3.Funkcije
-
Avogadrovo število je 6.023x1023 molekul/mol. Kaj to pomeni?
V enem molu snovi je natanko 602300000000000000000000 molekul?
Seveda ne, vse količine, ki jih dobimo z merjenjem so pribliţne.
6.02300
decimalna mesta
pravilna mesta
Število decimalnih mest je odvisno od zapisa:
203.55=2.0355x102=2035.5x10-1
število pravilnih mest pa je vedno enako.
Pribliţne količine
-
Pomemben dogovor:
v zapisu obdrţimo le značilna mesta, tj. če zapišemo N0=6.0230x10
23 pomeni, da je tudi zadnja ničla značilna.
Vsaka količina je rezultat zaokroţanja. Pri tem števke 0,1,2,3,4 zaokroţamo navzdol, 5,6,7,8,9 pa navzgor.
PRIMER
1.08462 = 1.085 zaokroţeno na tri decimalke
= 1.08 zaokroţeno na dve decimalki
Zato N0=6.0230x1023 pomeni
6.02295x1023 ≤ N0 < 6.02305x1023, oziroma (6.0230 ± 0.00005)x1023
medtem ko N0=6.023x1023 pomeni
6.0225x1023 ≤ N0 < 6.0235x1023 oziroma (6.023 ± 0.0005)x1023
-
Računanje s pribliţnimi količinami
praktična pravila:
(1.2846+21.72) / 13.14=? kalkulator: 1.750730594
Katere decimalke je smiselno obdrţati?
• natančnost rezultata ne more biti večja od natančnosti podatkov
• pri seštevanju in odštevanju naj bo število decimalnih mest rezultata enako najmanjšemu številu decimalnih mest faktorjev
(npr. 1.2846+21.72=23.00 in ne 23.0046)
• pri mnoţenju in deljenju naj bo število značilnih mest rezultata enako najmanjšemu številu značilnih mest faktorjev
(npr. 23.0046/13.14=1.751 in ne 1.75 ali 1.750730594)
-
PRIMERI
S titracijo smo 25 cm3 raztopine NaOH nevtralizirali z 12.21 cm3 raztopine
HCl. Izračunaj koncentracijo NaOH, če je koncentracija HCl 0.0942 mol/dm3.
c = (12.21 x 0.0942)/25.00 = 0.04600728
Upoštevamo tri značilna mesta ⇒ c = 0.0460 mol/dm3
Koliko ţeleza nastane, če se pri redukcijski reakciji
Fe2O3 + 3 CO 2 Fe + 3 CO2
porabi 503 g ogljikovega monoksida? (Fe 55.85 g/mol, CO 28.01 g/mol)
m = 503/28.01 x 2/3 x 55.85 = 668.634412
Števila molekul, ki nastopajo v reakciji (2 Fe, 3 CO) so cela, tj. točna, zato štejemo, da je število značilnih decimalk neskončno.
m = 669 g
(12.215 x 0.09425)/24.995=0.046059761
(12.205 x 0.09415)/25.005=0.045954839
-
Realna števila
Realna števila so vsa (končna in neskončna) decimalna števila.
Realna števila so teoretični konstrukt, ki nam omogoča, da točno izrazimo vse količine.
Ker ni mogoče napisati neskončnega zaporedja decimalk, sloni zapis in računanje z realnimi števili na pribliţkih.
Le nekatera realna števila (npr. koreni, število π ...) so podana implicitno in z njimi lahko računamo točno, brez zaokroţevanja (npr. √2 x√3 =√6).
Če na premici označimo enotsko dolţino, lahko točke premice enačimo z mnoţico realnih števil ℝ.
0 1
(pravimo, da smo na premici vpeljali koordinate)
-
Realno število lahko podamo z vedno boljšimi pribliţki, npr. 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, ... , π.
Sčasoma se je izkazalo, da je podajanje realnih števil z eksplicitnim navajanjem decimalk preveč okorno in da je boljše, če realno število podamo kot “največji” element neke (navzgor) omejene mnoţice realnih števil.
Pri računanju z realnimi števili si prav tako pomagamo s pribliţki:
če a,b ∈ ℝ nadomestimo pribliţno nadomestimo z a’,b’, potem soa’+b’, a’-b’, a’b’ in a’/b’ pribliţki za a+b, a-b, ab in a’/b’.
(vendar pozor, to niso vedno decimalni pribliţki!)
npr.2.56 x 3.17 = 8.1152, medtem ko je 2.5 x 3.1 = 7.75
-
Naj bo A, mnoţica naravnih števil, katerih kvadrat je manjši od 5:
2.2
2.23
2.236
2.2360
Vsaka navzgor omejena mnoţica realnih števil določa zaporedje decimalk in s tem neko realno število
PRIMER
5| 2xRxA
1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3
2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24
2.226 2.227 2.228 2.229 2.230 2.231 2.232 2.233 2.234 2.235 2.236 2.237
2.2350 2.2351 2.2352 2.2353 2.2354 2.2355 2.2356 2.2357 2.2358 2.2359 2.2360 2.2361
5
-
Tako določeno število a, presega vse elemente mnoţice A, kar ne velja za nobeno od a manjše število, zato pravimo, da je anatančna zgornja meja mnoţice A.
Vsaka navzgor omejena mnoţica realnih števil ima natančno zgornjo mejo
latinsko: a je supremum mnoţice A, pišemo a=sup A
Kadar je a=sup A ∈ A, pravimo, da je a maksimum mnoţice A in pišemo a=max A. Navzgor omejena mnoţica ima vedno supremum, lahko pa se zgodi, da nima maksimuma.
Vsaka navzdol omejena mnoţica realnih števil ima natančno spodnjo mejo, ki ji pravimo tudi infimum in pišemo a=inf A.
Kadar je a=inf A element mnoţice A, pravimo, da je a minimum mnoţice A in pišemo a=min A. Navzdol omejena mnoţica ima vedno infimum, lahko pa se zgodi, da nima minimuma.
-
PRIMERI
11|sup1|sup xQxxRx (maksimuma ni)
01|sup xZx max=0
24|sup 2xRx
nn aaxRx |sup
55|sup 2xRx
sup {ploščine krogu vrisanih mnogokotnikov}
= ploščina kroga =
inf {ploščine krogu orisanih mnogokotnikov}
dolţina krivulje = sup {dolţine „lomljenk‟ ob krivulji}
-
Angleška 1. liga 2005-2006
Topnost kisika v vodi
pri tlaku 760 mmHg
FUNKCIJE
7,04359,3717
7,13349,5616
7,22339,7615
7,32329,9814
7,423110,2013
7,533010,4312
7,642910,6711
7,752810,9210
7,862711,199
7,992611,478
8,112511,767
8,252412,066
8,382312,375
8,532212,704
8,682113,053
8,842013,402
9,011913,771
9,181814,160
Kisik (mg/L)Temperatura (oC)Kisik (mg/L)Temperatura (oC)Premier League Final table
Chelsea 95
Arsenal 83
Manchester United 77
Everton 61
Liverpool 58
Bolton Wanderers 58
Middlesbrough 55
Mancester City 52
Tottenham Hotspur 52
Aston Villa 47
Charlton Athletic 46
Birmingham City 45
Fulham 44
Newcastle United 44
Blackburn Rovers 42
Portsmouth 39
West Bromwich Albion 34
Crystal Palace 33
Norwich City 33
Southampton 32
-
x je argument,
f(x) je funkcijska vrednost.
f: x ↦ f(x)
))((: xfgxfg
Funkciji f in g lahko sestavimo, če sovrednosti f vsebovane med argumenti g.
Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost.
-
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Arsenal
Aston Villa
Birmingham City
Blackburn Rovers
Bolton Wanderers
Charlton Athletic
Chelsea
Crystal Palace
Everton
Fulham
Liverpool
Mancester City
Manchester United
Middlesbrough
Newcastle United
Norwich City
Portsmouth
Southampton
Tottenham Hotspur
West Bromwich Albion
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Grafična predstavitev funkcije
Grafična predstavitev je smiselna, če nam nekaj pove o zvezi med argumenti in funkcijskimi vrednostmi.
-
Podajanje s formulo
53)( xxf linearna funkcija
2
2gts pot pri prostem padcu
razdalja točke do izhodišča22),( vuvud
))()()((4
1cbacbacbacbaS Herenova formula
n
xxx n
1 povprečna vrednost
Formula je lahko odvisna od ene, dveh ali več spremenljivk.
Definicijsko območje formule tvorijo tisti nabori spremenljivk, za katere lahko izračunamo formulo.
-
Graf
RARAf ,:
Graf f je mnoţica točk v ravnini, ki so oblike (x, f (x)) za x∈A.
x
xxl
1
1)(
1
1
-
2,: RARAf
Graf f je mnoţica točk v prostoru, ki so oblike (x, y,f(x,y)) za (x,y)∈A.
221),( yxyxf
-
Odsekoma definirane funkcije
PVT-diagram idealnega plina
PVT-diagram realne snoviV
nRTP
-
Značilnosti grafa odraţajo naravo funkcijske zveze.
1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti
2. Naraščanje in padanje, ekstremi
3. Ukrivljenost
4. Trend na robu definicijskega območja
5. Periodičnost in simetrije
-
V posodo točimo vodo iz pipe. Kateri graf prikazuje spreminjanje gladine hvode v odvisnosti od časa t ?
PRIMERI
t
hA
t
hB
t
hC
t
hD
Ker so stene posode navpične, gladina narašča enakomerno - linearno.
-
Kateri graf ponazarja kinetično energijo E telesa, ki se giblje s hitrostjo v?
v
EA
v
EB
v
EC
v
ED
Kinetična energija je sorazmerna kvadratu hitrosti, E=mv2/2.
-
Kateri graf prikazuje spremembo prostornine V zraka v posodi ob spreminjanju pritiska p?
p
VB
p
VD
p
VA
p
VC
Boyle-Mariottov zakon: pV=konst., zato je V~1/p.
-
Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari?
t
yA
t
yC
t
yB
t
yD
Fizikalno: amplituda eksponentno pada, frekvenca se ne spreminja.
Matematično: y=e-at sin(bt), a je dušenje, b je frekvenca nihanja.
Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari?
Nihanje napete strune je primer dušenega nihanja:
moč zvoka hitro upade, višina pa ostane nespremenjena.
-
Kateri graf prikazuje spremembo temperature T ogrevane posode v odvisnosti od časa t, če je posoda prazna, in kateri, če je posoda polna vode?
Posoda se ogreje do temperature vira toplote. Hitrost segrevanja je sorazmerna razliki temperatur (Newtonov zakon), zato razlika temperatur eksponentno upada. Temperatura polne posode se ne povečuje dokler vsa voda ne povre.
t
TB
t
TC
t
TA
t
TD
prazna posodaposoda z vodo
-
Kateri graf ponazarja število sekund, ki ga kaţe sekundni kazalec na uri?
t
A
t
B
t
C
t
D
-
Definicijsko območje in zaloga vrednosti
x
xxf
1
1)(
Definicijsko območje Df je „senca‟ (tj. slika projekcije) grafa na osi x, zaloga vrednosti Zf pa je senca na osi y.
1
1
)1,1[fD
),0[fZ
-
Naraščanje in padanje funkcije
Pri stalni temperaturi je tlak padajoča funkcija prostornine.
naraščajoča padajoča
-
Lokalno naraščanje in padanje funkcije
pri b je funkcija naraščajoča
pri a je funkcija padajoča
a b
-
Globalni ekstremi
(globalni) minimum
(globalni) maksimum
-
Lokalni ekstremi
lokalni minimum
lokalni maksimum
ravnovesne lege so tipični primeri
lokalnih ekstremov
-
Konveksnost in konkavnost
Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol.
konkavnost grafa ponazarja pojemanje procesa
konveksnost grafa ponazarja
pospeševanje procesa
konveksna
konkavna
-
Prevoji
Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno.
Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.
Prevoj je točka, pri kateri proces preide iz pospeševanja v zaviranje ali obratno.
-
Asimptote
npr. temperatura posode, ki se segreje le do temperature vira
npr. dušeno nihanje
Vodoravna asimptota
-
Linearna asimptota
Vsiljeno nihanje, asimptota je sinusoida
-
Periodičnost in simetrija
soda
liha
-
1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti
2. Naraščanje in padanje, ekstremi
3. Ukrivljenost
4. Trend na robu definicijskega območja
5. Periodičnost in simetrije
Predstavitev značilnosti funkcije na grafu
-
Elementarne funkcije
Kotne in
ločne funkcije
Polinomi
Racionalne funkcije
Algebrajske funkcije
Eksponentne in
logaritmske funkcije
17)( 23 xxxp
1
53)(
3
2
xx
xxxQ
5 2
3 2 11)(
xxx
xxxA
xx eexf 2)( 2
)1ln()( 2xxxg
)cos(3)12sin()(2
xxxu
x
xxv
1
1arcsin)( )1arctg()( 2xxw
-
Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij.
Osnovne funkcije:
potence Znxn ,
koreni Znxn ,
eksponentna ex
logaritemska ln x
sinus sin x
arkus sinus arcsin x
arkus tangens arctg x
-
Funkcija f:AB je predpis, ki vsakemu elementu domene A priredi en element kodomene B.
Krivulja v ravnini je graf neke funkciječe jo vsaka navpična premica seka največ enkrat.
Funkcije podane z grafom
-
Obratne funkcije
Praslika f -1(b)={a∈A| f(a)=b} (rešitve enačbe f(a)=b)
Predpis b ↦ f -1(b) določa funkcijo, če imajo mnoţice f -1(b) natanko en element za vse b∈B.
Tedaj pravimo, da je f bijektivna, predpis
f -1:BA, b ↦ f -1(b)
pa je obratna (inverzna) funkcija za f.
Funkcijo, ki ni bijektivna po potrebi popravimo s spremembo domene ali kodomene.
f je surjektivna, če imajo f -1(b) vsaj en element.
f je injektivna, če imajo f -1(b) največ en element.
f :AB
-
Eksponentna funkcija
injektivna
surjektivna
Zoţimo kodomeno na (0,+).
Obratna funkcija je
exp-1=ln: (0,+)
PRIMERI
exp: (0,+) je bijektivna.
-
Tangens
injektivna
surjektivna
Zoţitev
je bijektivna.
R)2
,2
(:tg
je strogo naraščajoča, ima
vodoravni asimptoti y= π/2
)2
,2
(:tgarctg 1 R
Obratna funkcija
-
je bijektivna.
]1,1[]2
,2
[:sin
]2
,2
[]1,1[:sinsinarc 1Obratna funkcija je
2
2
1 1
2 2
1
1
Ločne funkcije (ciklometrične funkcije)
arcsin(x) „arkus sinus‟
inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x)
definirana na intervalu [-1,1], zaloga vrednosti interval
[-π/2,π/2 ]
-
xexy
yeyx
xexxf )(
bijekcija je :f
Obratna funkcija
ni elementarna funkcija.
:1f
-
Funkcijske enačbe, implicitne funkcije
Za funkcijo f pravimo, da je podana implicitno.
F(x,y)=0
f : AB je rešitev funkcijske enačbe če je F(x,y)definirana za x ∈ A, y ∈ B in je F(x,f(x))=0 za vse x∈A.
322 yxyx
]2,2[:, 21 ff
2
312)(
2
1
xxxf
2
312)(
2
2
xxxf
PRIMER
-
133 4224 yyxx
6
3123)(
42
1
xxxf
6
3123)(
42
2
xxxf
6
3123)(
42
3
xxxf
6
3123)(
42
4
xxxf
1
2a 2b
3a 3b
4
Implicitna enačba določa funkcijo na odseku med dvema navpičnima tangentama
-
)arctg()( xxf
xxf )(1
3)(
3
2
xxxf
53)(
53
3
xxxxf
753)(
753
4
xxxxxf
Zaporedja funkcij
Taylorjevi pribliţki za funkcijo arctg(x)
-
)sin(19.1)(1 xxf
xxxxf 3sin29.02sin38.0sin19.1)(2
xx
xxxxf
5sin16.04sin20.0
3sin29.02sin38.0sin19.1)(3
xx
xx
xxxxf
7sin12.06sin13.0
5sin16.04sin20.0
3sin29.02sin38.0sin19.1)(4
)arctg()( xxf
Fourierjevi pribliţki za funkcijo arctg(x)
-
Limita zaporedja
Število L je limita zaporedja (xn), če so števila xn blizu L za vse dovolj velike n.
Bolj natančno, L je limita zaporedja (xn) če velja naslednje: za vsako pozitivno število ε obstaja tako naravno število N, da je xn∈(L-ε,L+ε), za vse n, ki so večji od N.
Pišemo . nn
x L lim
Število L je limita funkcije f pri točki a če velja naslednje: za vsako pozitivno
število ε obstaja interval I okoli točke a, da je f(x)∈(L-ε,L+ε) za vse x iz I.
LIMITE
Limita funkcije
f(x) Lax
limPišemo .
-
Zaporedja, podana s rekurzivnim pravilom
xn+1=xn+3 rekurzivno pravilo
x0=1 začetni člen
x1=1+3=4
x2=4+3=7
x3=7+3=10
. . . 1,4,7,10,… aritmetično zaporedje
xn+1=3xn rekurzivno pravilo
x0=1 začetni člen
x1=3
x2=9
x3=27. . .
1,3,9,27,… geometrično zaporedje
-
x0=0.1 xn+1=2xn(1-xn)
x1=2 · 0.1 · (1-0.1)=0.18
x2=2 · 0.18 · (1-0.18)=0.2952
x3=2 · 0.2952 · (1-0.2952)=0.41611392
0.1, 0.18, 0.2952, 0.41611392, ... ?
0.1
0.18
0.2952
0.4161
0.4859
0.4996
0.4999
0.5000
0.5000
0.5000
0.5000
. . . Limita je 0.5
-
x0=0.2 xn+1= 2.9 xn(1-xn)
0.2
0.464
0.7212
0.5830
0.7049
0.6031
0.6941
0.6156
0.6861
0.6244
0.6800
0.6309
0.6752
0.6359
0.6714
0.63970.6551724182
Limita je 19/29!
-
x0=0.2222 xn+1= 4 xn(1-xn)
0.2222
0.691308
0.853604
0.499856
0.999999
0.0835
0.3063
0.8500
0.5099
Zaporedje je kaotično – ni limite!
-
x0=0.2
xn+1= 4 xn(1-xn)
x0=0.21
Zaporedje je zelo občutljivo na začetno vrednost (in torej tudi na računske napake)!
-
Poskakujoča ţoga
višina ţoge
hitrost
pospešek
t
Višina se spreminja zvezno, hitrost pa nezvezno. Pospešek se prav tako spreminja nezvezno, vendar ga lahko dopolnimo do zvezne funkcije.
-
Vsako naraščajoče, navzgor omejeno zaporedje ima limito.
Naj bo ε pozitiven: potem je L-ε manj od L.
Zaradi lastnosti natančne zgornje meje obstaja tak N, da je xN>L-ε
(xn) je naraščajoče, zato za vsak n ≥ N velja L-ε < xn ≤ L.
Zaporedje (xn) je naraščajoče, če je xn≤xn+1.
Če je (xn) navzgor omejeno, ima natančno zgornjo mejo L.
Pokaţimo, da je nxL lim
Za poljuben ε so pozni členi zaporedja ε-blizu L, torej je L limita zaporedja.
-
Primer
x0=0.2 xn+1=2xn(1-xn)
xn+1-xn = 2xn(1-xn)-xn = xn(1-2xn)
Če je 0 ≤ xn ≤ 0.5, je xn ≤ xn+1.Povrhu, če je 0 ≤ xn ≤ 0.5,
je xn+1 = 2xn(1-xn) ≤ 0.5
0.5
0 1y =2x (1-x)
Zaporedje je naraščajoče in omejeno, torej ima limito.
-
Računska pravila za limite(za zaporedja in za funkcije)
2211 limlim LfLf ,
2121 )lim LLff(
2121 )lim LLff(
2121 )lim LLffA
(
2
1
2
1limL
L
f
f(če je L2≠0)
Pravila smemo uporabiti le kadar limite obstajajo!
-
Zvezne funkcije
Primeri: vse elementarne funkcije, večina funkcij, ki nastopajo pri modeliranju naravnih procesov.
Alternativna definicija:
Funkcija f je zvezna pri točki a, če je v tej točki definirana in če za vsak
pozitiven ε obstaja tak interval I okoli točke a, da je |f(a)-f(x)|
-
Vse osnovne funkcije so zvezne, računske operacije in sestavljanje funkcij pa ohranjajo zveznost.
Podobno sklepamo za ostale računske operacije.
Zveznost elementarnih funkcij
Vse elementarne funkcije so zvezne.
f,g: A → B zvezni funkciji
))(()()()(lim)(lim))((lim agfagafxgxfxgfaxaxax
f+g je zvezna.
f: A → B, g: B → C zvezni funkciji
))(())(lim())(((lim afgxfgxfgaxax
gof je zvezna.
-
Pomoţni rezultat:
Če se dolţine intervalov
[a1,b1] ⊇ [a2,b2] ⊇ [a3,b3] ⊇ ...
manjšajo proti 0 (tj. lim(bn-an)=0),
potem je v njihovem preseku natanko ena točka
a1 b1a2 b2a3 b3
Leva krajišča intervalov so naraščajoče omejeno zaporedje, zato imajo limito A. Desna krajišča so padajoče omejeno zaporedje in imajo limito B. Presek vseh intervalov je ravno interval [A,B].
Ne more biti A < B, ker v zaporedju obstaja interval krajši od B-A. Zato je A=B in v preseku je samo ena točka.
-
Lastnosti zveznih funkcij
f: [a,b] → ℝ zvezna f je omejena
[a,b] razpolovimo. Če bi bila f neomejena, bi morala biti neomejena vsaj na eni od polovic. To polovico razpolovimo naprej in sklepamo enako: vsaj na enem delu je f neomejena. Z nadaljevanjem postopka dobimo padajoče zaporedje intervalov na katerih je f neomejena in je vsak polovica prejšnjega. Naj bo p točka, ki je presek teh intervalov. Po konstrukciji je f neomejena na vsakem intervalu, ki vsebuje p. To je v nasprotju s privzetkom, da je f zvezna pri p, saj bi na nekem intervalu okoli p moralo veljati |f(p)-f(x)|
-
f: [a,b] → ℝ zvezna f zavzame maksimum in minimum
Ker je zaloga vrednosti funkcije f omejena, ima natančno zgornjo mejo M. Če M ne bi bila doseţena v nobeni točki domene [a,b] potem bi predpis g(x)=1/(M-f(x)) podal zvezno neomejeno funkcijo g:[a,b] → ℝ. To ni mogoče, zato sklepamo, da je f(x)=M za nek x∈[a,b], torej f zavzame maksimum M na [a,b].
Podobno sklepamo, da f zavzame tudi minimum na intervalu [a,b].
-
f: [a,b]ℝ zvezna f zavzame vse vrednosti med min f in max f
Privzemimo f(a)
-
Zvezna funkcija na zaprtem intervalu zavzame minimum, maksimum in vse vmesne vrednosti.
Njena zaloga vrednosti je zaprti interval
[min f, max f ].
-
3 6
Bisekcija - določanje ničel zveznih funkcij
55 23 xxxf )(
4.5
5.25
4.85
4.67
4.76
4.80
Ničla je ≈ 4.78
-
PRIMER
Enačbo x=e-x reši na dve decimalki natančno.
y=xy=e-x
y=x-e-x
Prevedemo na: x-e-x=0
-
Iščemo ničlo funkcije f(x)=x-e-x
f(0)=-1, f(0)=1-1/e≈0.63, torej ima f ničlo na intervalu [0,1]
f(0.5)=-0.106, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,1]
f(0.75)=0.277, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,0.75]
f(0.62)=0.082, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,0.62](ker iščemo rešitev na dve decimalki natančno, ni potrebno računati f(0.625))
f(0.56)=-0.011, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.62]
f(0.59)=0.035, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.59]
f(0.57)=0.004, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.57]
Prvi dve decimalki vseh števil na intervalu [0.56,0.57] se ujemata, zato lahko postopek bisekcije ustavimo in za pribliţno rešitev vzamemo x=0.56 .(natančnejša rešitev je x = 0.5671432986 – računanje z bisekcijo bi zahtevalo še dodatnih 25 korakov)
-
Ekstrem na polodprtem intervalu
Funkcija nima maksimuma, ima pa minimum.
-
Ekstrem na neomejenem intervalu
Funkcija nima maksimuma, ima pa minimum.
-
Ekstrem in asimptota
Funkcija, ki ima vodoravno asimptoto, zavzame vsaj enega izmed ekstremov.
-
Ekstremi funkcij več spremenljivk
je omejena, če so vse točke oddaljene od izhodišča za manj kot neko število M;
je zaprta, če vsebuje vse točke, ki so na njenem robu;
Točka a je na robu A če so v njeni bliţini tako točke, ki so v A, kot točke, ki niso v A.
A⊆ℝn
-
omejena
zaprta
omejena
zaprta
omejena
zaprta omejena
zaprta
-
Zvezna funkcija na omejeni in zaprti mnoţici zavzame maksimum in minimum.
Če je mnoţica povezana, potem funkcija
zavzame tudi vse vmesne vrednosti.
(Mnoţica je povezana, če lahko poljubni dve točki poveţemo s krivuljo, ki leţi v celoti znotraj mnoţice.)
-
Ekstrem funkcije več spremenljivk na neomejeni mnoţici:
Funkcija zavzame minimum.
Naj bo f: ℝ2→ℝzvezna
in naj velja y x yxf aliza),(
-
Asimptote
Pol pri b:
Vodoravna asimptota:
)(limali)(lim xf xfbxbx
kxfx
)(lim
-
Poševna asimptota
0)()(lim lkxxfx
kxxfl
x
xfk
x
x
)(lim
)(lim
8
9
2
353
4
95
2
353
4
9353
2
353
23
2
23
2343
23
xxxx
x
xxxx
xxxxxxxxxl
4x4
4
x
4
xlimlimlim
Primer
234 53 xxxf(x)
2
3
153
53
53
53
53
5353
4
3
23
3
23
4323
)
lim)(
lim)(
limlim
xx1
x
xxxx
x
xxxx
xxx
x
xxxk
x4x4
4
x
4
x
-
Rekurzivna zaporedja
(geometrično zaporedje)
(aritmetično zaporedje)
,...),( 32110 ,,n xfx ax nn
10 2511 nn xx x .
501 10 .nn xx x
61
6
176.0 110
nnn
xx xx
1
21
02
420
n
nn
x
xx x .
-
negibne točke
Naj bo f zvezna.
Če obstaja
,lim xa nn
potem za x velja:
)()lim()lim xfa faf( x nn
nn
11
Edine moţne limite so rešitve enačbe f(x)=x.
-
x
xy
2
42
Obstoj limite: grafično1
21
02
450
n
nn
x
xx x .
2422
422
2
x xx x
xx
xy
2
2.07 2.59 4.25
0.50
n xn
0 0.50
1 4.25
2
5
3
4
…
2.59
2.07
2.00
2.00…
-
Obstoj limite: analitično
Funkcija f je skrčitev na intervalu I, če za k
-
)( 11 1 nnn xaxx
))()(( xaxxf 1
axfa
ax 2
1)(
privlačni
odbojna4
922
a
a .,
-
Vrste
?...321 xxx
132
1
16
1
8
1
4
1
2
1...
-
...321 xxx
.....
.....
nn xxxs
xxxs
xxs
xs
...21
3213
212
11
zaporedje delnih vsot
nn
sxxx lim...321
Vsota vrste je, po definiciji, enaka limiti zaporedja delnih vsot.
-
(geometrijska vrsta)?...... 12 naqaqaqa
Primeri
q
qaaqaqaqas
nn
n1
112 ...
za obstaja ne
za
),(
lim
11
111
1
1
q
qq
a
q
qa
n
n
?...)(
...1
1
20
1
12
1
6
1
2
1
kk
1
11
1
1
kkkk )(
1
11
1
11
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11
nnnsn ...)()()(
11
11
nn lim
-
Harmonična vrsta
Vsota je neskončna!
?......k
1
4
1
3
1
2
11
n
kn
kns
1
11
4
1
3
1
2
11 ...
.........32
1
17
1
16
1
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
-
Primerjalni kriteriji za konvergenco vrst
Vrste s pozitivnimi členi: xn ≥ 0
Zaporedje delnih vsot je naraščajoče.
I.
II. (Vrsti sta primerljivi.)
Limito ima, ko je navzgor omejeno.
nn yx0
obstaja obstaja 11
nn xy
,0lim,,0 Cy
xyx
n
n
nnn
obstaja obstaja 11
nn xy
-
Geometrijska vrsta:
Harmonična vrsta:
Primer
1
11
rnr
za vsoto ima
1
1qqn za vsoto ima
1
33 11 ?- nn
2
3
1
11
1111
33
3333
nnn
nnnn z aprimerljiv -
)()(
vsota obstaja1
33 024311 .nn -
Vrsto lahko seštejemo, če splošni člen dovolj hitro konvergira proti 0.
Hitrost konvergence ocenimo tako, da poiščemo primerljivo geometrijsko ali harmonično vrsto.
-
Splošne vrste:
Alternirajoče vrste:
obstaja obstaja 11
nn xx ||
?...4
1
3
1
2
11 pa Kaj
0321 nn
xxxx lim...,
14321 nn xsSxxxxS ||... in obstaja
-
Odvod
Kako merimo hitrost spreminjanja funkcije glede na spremembo argumenta?
Diferenčni količnik01
01
xx
xfxf )()(
je povprečna hitrost spreminjanja funkcije f na intervalu med x0 in x1.
„Trenutna‟ hitrost je
0
00
0 xx
xfxfxDf
xx
)()(lim)(
-
Primer:
20xxxf ,)(
22
1
2
1
2
22
22 xx
xDf
xxlimlim)(
Alternativni zapis: vpeljemo novo spremenljivko h=x-x0
h
xfhxfxDf
h
)()(lim)( 00
00
-
x=x(t) pot v odvisnosti od časa t
01
01
tt
txtxx
)()(povprečna hitrost v času od t0 do t1
0
00
0 tt
txtxtDx
tt
)()(lim)( trenutna hitrost v t0
v(t) hitrost gibanja v času t
Dv(t0) pospešek
FIZIKALNI
POMEN
ODVODA
W(t) toplotna energija telesa v času t
DW(t0) toplotni tok
Q(t) električni naboj na prevodniku v času t
DQ(t0) električni tok
-
GEOMETRI J SKI
POMEN
ODVODA
T0
T1
x0 x1
01
01
xx
xfxf )()( smerni koeficient premice, ki seka graf funkcije f v točkah T0(x0, f(x0))in T1(x1, f(x1)).
Df(x0) je smerni koeficient tangente na graf funkcije f v točki T0.
Enačba tangente: ))(())(( 000 xxxDfxfy
-
ANALITIČNI
POMEN
ODVODA
f naraščajoča na intervalu I okoli točke x0
Ixxx
xfxf za 0
0
0)()(
00)(xDf
Opozorilo: obratno ni res!
00)(xDf f lokalno naraščajoča pri x0
xx
xxf
1
2
2 sin)( npr.
-
Računanje odvodov
I. korak: funkcija odvod
odvod funkcije f
Predpis x ↦ Df(x) določa funkcijo f ’: A → ℝ
točke, kjer je f odvedljiva
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
xxf )(
xxhx
xhxh
xhx
h
xhxxf
h
hh
2
11
0
00
lim
)(limlim)(
-
II. korak: računske operacije in sestavljanje
gfgf )(
gfgfgf )(
2g
gfgf
g
f
)())(())(( xgxgfxgf ggfgf )()(
-
III. korak: odvodi osnovnih funkcij
xx ee )(
1rr rxx )(
xx
1)(ln
xx cos)(sin
xx sin)(cosx
x2
1
cos)(tg
21
1
xx)(arcsin
21
1
xx)(arctg
2
11
xx xx
2
1)( aaa xx ln)(
In še...
-
Višji odvodi
ff
ff
)(
)(
0
6
6
23
42
4
2
3
)(
)(
)(
)(
)(
)( xf
xf
xxf
xxf
xxxfPrimeri
Vrednosti višjih odvodov v neki točki
f(x0), f '(x0), f ''(x0), f '''(x0), ...
določajo celotno funkcijo
xxx
xxxxxf
xxx
xxxxxf
xxxxf
xxxf
cossin3
cossinsin2)(
sincos2
sincoscos)(
cossin)(
sin)(
-
Parcialni odvodi
V
nRTP
i -ti parcialni odvod
2)(
V
nRTVP
:TP odvod po spremenljivki TV
nRTP )(
:VP odvod po spremenljivki V
),,,( 21 nxxxff funkcija n spremenljivk
h
xxxfxhxxfxxxf nini
hnxi
),,,,(),,,,(lim),,,( 11
021
-
Primer
z
yxzyxf sin),,(
z
yzyxf x sin),,(
z
y
z
x
zz
yxzyxf y cos
1cos),,(
z
y
z
xy
z
y
z
yxzyxf z coscos),,( 22
-
Zveznost in odvedljivost
)()()(
lim 00
0
0
xDfxx
xfxf
xx
000
00
00
0
00
)(lim)(
)()()(
lim))()((lim
xxxDf
xxxx
xfxfxfxf
xx
xxxx
)()(lim 00
xfxfxx
Kjer je f odvedljiva je tudi zvezna.
-
Odvedljivost in lokalni ekstremi
f ima lokalni maksimum pri x0(tj. f(x0) je maksimum f na intervalu I okoli x0)
00
0 0 xxxx
xfxf za
)()(0
0
0 0 xxxx
xfxf za
)()(in
Če je f odvedljiva pri x0
000
0
0
0
00 xx
xfxf
xx
xfxf
xxxx
)()(lim
)()(lim in
Df(x0) =0
Če je funkcija v lokalnem ekstremu odvedljiva, je tam njen odvod enak 0.
(stacionarna točka)
Lokalni ekstremi odvedljive funkcije so v stacionarnih točkah.
-
Lokalni ekstrem NI nujno tudi globalni ekstrem.
Stacionarne točke so lahko lokalni ekstremi ali pa prevoji.
lok. minimum
lok. maksimum
prevoj
Vsi lokalni ekstremi so v stacionarnih točkah.
globalni minimum(globalnega maksimuma ni)
-
Lokalni ekstremi funkcij več spremenljivk
f ima lokalni maksimum pri (x1,...,xn)
f ima lokalni maksimum pri (x1,...,xn)
za vsako spremenljivko posebej
vsi parcialni odvodi so enaki 0
kandidati za lokalne ekstreme so rešitve sistema enačb
00021 nxxx
fff ,...,,
-
sedlolokalni maksimum
Stacionarne točke funkcije več spremenljivk
-
vrednosti odvoda (predznak, ničle)
Ali lahko s pomočjo odvoda izrazimo
točno vrednost diferenčnega količnika?
..........
lastnosti funkcije (naraščanje, padanje, lokalni ekstremi)
?
)()()(
00
00 xDf
xx
xfxfxx
-
Za vsako sekanto lahko najdemo vzporedno tangento,
oziroma
povprečna hitrost na časovnem intervalu je enaka hitrosti v nekem vmesnem trenutku.
Če je f odvedljiva, potem med poljubnima x0,x1 lahko najdemo tak t, da je
01
01
xx
xfxftf
)()()(
-
Pomoţna funkcija:
Privzemimo, da je f odvedljiva na intervalu I in izberimo x0,x1∊I.
)()()(
)()( 001
01 xxxx
xfxfxfxg
g je odvedljiva,
g(x0)=g(x1)g je zvezna
g zavzame minimum in maksimum na [x0,x1]
max > min max = min
vsaj en ekstrem
g je v t∊(x0,x1)f je linearna
0)(tg
01
01
xx
xfxfxfxg
)()()()(
01
01
xx
xfxftf
)()()(
-
Lagrangev izrek:
f odvedljiva na intervalu I
za poljubni točki x0,x1∊I obstaja tak t med x0 in x1 , da je 01
01
xx
xfxftf
)()()(
alternativni opisi:
xxttfxxxfxf in med nek za 000 )()()()(
),()()()( 10000 thtxfhxfhxf nek za
-
Posledice:
Primer
],[],[ bafbaf na konstantna je na 0
))()()()(],[ aftfaxafbax velja (za
CCgfbagf konstanto neko za na ],[
x
xxf
1
1arctg)(
222 1
1
1
11
1
11
1
xx
xx
x
xxf
)(
))(()()(
Cxx
xarctgarctg
1
1
4010 CCx arctgarctg
41
1x
x
xarctgarctg
-
)()) velja za
na
0010110
0
xftfxxxfxfxx
baf
()()((
],[
f narašča na [a,b]
na
na
If
If
0
0 f je naraščajoča na I
f je padajoča na I
-
)()) velja za
na
0010110
0
xftfxxxfxfxx
baf
()()((
],[
f strogo narašča na [a,b]
Podobno: f ’
-
V nadaljevanju bomo praviloma obravnavali zvezno odvedljive funkcije.
00 0 xfxf pri zvezna in )(
00 xf okoli intervalu nekem na
⇒ f strogo narašča pri x0
(nasprotno: za je
f ’(0)=1/2, vendar f ni naraščajoča pri 0.)x
xx
xf1
2
2 sin)(
-
Posredno odvajanje funkcij več spremenljivk
f=f(u,v) +u=u(x) v=v(x)
Kako bi odvajali f(u(x),v(x))?
h
xvhxvtvxuf
h
xuhxuhxvtuf
h
xvxufhxvxuf
h
hxvxufhxvhxuf
h
xvxufhxvhxuf
vu ))()(())(),(())()(())(),((
))(),(())(),(())(),(())(),((
))(),(())(),((
21
)())(),(()())(),(())(),(())(),((
lim xvxvxufxuxvxufh
xvxufhxvhxufxvxu
h 0
Če je funkcija f=f(u1,...,un) zvezno odvedljiva in če so vsi ui odvedljive funkcije spremenljivke x, potem velja
xnuxux ufuff n )(...)( 11
-
Primer: posredni odvod
2
1 xxxf )()(
xxu 1)(
vuvug ),(
2xxv )( ))(),(()( xvxugxf
uug
vug
vv
vu
ln
1
xv
u
x
x
2
1
)ln()()( xxxxxvgugf xxxvxux 112122 12
-
Primer: batni motor
zapleten račun
(kotna hitrost)
cm R cm, 1040Lobr./min 200
Kolikšna je hitrost bata pri =75o ?
cosRxxRL 2222 x(t) x ’(t)
tt RxxRx sin)cos( 2220
posredni odvod na t
75201040 222 cosxx
R=10 cm, 75o
x=42.75 cm
rad/s 942060
2200.t
cm/s 48212.tx
-
Implicitne funkcije
Privzemimo:
)(),(?
xfyyxF 0
0
0
00
00
),(
),(
yxF
F
yxF
y
odvedljiva zvezno je
pozitiven na nekem pravokotnikuyF
),( yxFy 0 strogo narašča
00 00 ),(),( dxFcxF in
),(],[ yxFybax je za
zvezna
strogo naraščajoča
spremeni predznak
za vsak x∊[a,b] obstaja natanko določen y, da je F(x,y)=0
-
Rešitev okoli T(0,1) lahko podaljšamo do točk v kateri je tangenta navpična.
Dobimo jih iz pogoja F ’y=0
Iz enačbe F(x,y)=0 lahko izrazimo y kot funkcijo x, če so v neki točki (x0,y0) izpolnjeni naslednji pogoji:
• F(x0,y0)=0
• F je zvezno odvedljiva okoli (x0,y0) in F ’y(x0,y0) ≠ 0
S temi podatki je na nekem intervalu okoli x0 natanko določena funkcija f,za katero je f(x0)=y0 in F(x, f(x))=0.
Primer
12 22 yxyx(0,1)
02102
010
12 22
),(,
),(
),(
yy FyxF
F
yxyxyxF
02
12 22
yx
yxyx
7
2x
-
Odvod: povzetek
Odvod je limita diferenčnega količnika.
Odvod meri spreminjanje funkcije, hitrost, smerni koeficient...
Funkcijo odvod računamo z uporabo računskih pravil (odvodi osnovnih funkcij, odvajanje računskih operacij, posredno odvajanje).
Odvedljivost ima za posledico zveznost.
Lokalni ekstremi so v stacionarnih točkah.
Lagrangev izrek.
Če je odvod funkcije na intervalu negativen/nič/pozitiven, potem je funkcija padajoča/konstantna/naraščajoča.
Posredno odvajanje funkcij več spremenljivk.
Implicitno podane funkcije.
-
Uporaba odvoda:
Računanje limit
Natančno risanje grafov
Ekstremi funkcij ene in več spremenljivk
Vezani ekstremi
Izravnananje numeričnih podatkov
Newtonova metoda za reševanje enačb
Numerično odvajanje
-
Računanje limit
Velja:
L‟Hospitalovo pravilo
ax
avxvax
auxu
avxv
auxu
xv
xu
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
Računamo pri pogoju)(
)(lim
xv
xu
ax0)()( avau
(Nedoločena oblika )0
0
)(
)(lim
)(
)(lim
xv
xu
xv
xu
axax
-
Primeri:
2
1
22
1
0020
x
x
x
x
x
xxx
coslim
sinlim
coslim
01
2
1
22
x
x
x
xx
coslim
sinlim
L‟Hospitalovo pravilo uporabimo tudi za
in ko je )(
)(lim
xv
xu
x, )(
)(lim
xv
xu
ax )(lim)(lim xvxu
axax
12
2
111
1
12
2 2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxxxxlimlimlim
)arctg(lim)arctg(lim
01
1
1 02
000)(limlim
lnlimlnlim x
x
x
x
xxx
xxxx
-
Risanje grafov
1. Definicijsko območje: določimo na podlagi lastnosti osnovnih funkcij.
2. Rob definicijskega območja: obnašanje funkcije (pole, asimptote) izrazimo s pomočjo limit; pri računanju si pomagamo z L‟Hospitalovim pravilom.
(Območje definicije, obnašanje na robu, ničle, območja naraščanja in padanja, stacionarne točke, ukrivljenost, prevoji, simetrije.)
3. Ničle: določimo s pomočjo raznih, tudi pribliţnih, metod za reševanje enačb.
-
Če vrednosti odvoda pri prehodu čez ničlo spremenijo predznak, je v stacionarni točki lokalni ekstrem. Če se predznak ne spremeni, je
v stacionarni točki prevoj.
funkcija
odvod
4. Naraščanje in padanje, ekstremi: funkcijo odvajamo; kjer je odvod pozitiven, funkcijske vrednosti naraščajo, kjer je negativen padajo. V ničlah odvoda so lokalni ekstremi ali prevoji.
-
5. Ukrivljenost: kjer je drugi odvod pozitiven, je graf konveksen, kjer je negativen, je graf konkaven. Prevoji so točke, kjer graf spremeni ukrivljenost, torej ničle drugega odvoda, pri katerih drugi odvod spremeni predznak.
6. Periodičnost in simetrije: odvod periodične funkcije je periodičen; odvod sode funkcije je lih, odvod lihe pa sod.
)(xf
)(xf
)(xf
konveksnakonkavna
prevoj
-
Definicijsko območje:
Nariši graf
Ničle funkcije, 1. in 2. odvoda:
x
xxf
2ln)(
),(0
x
x
x
2
0
lnlim navpična asimptota (pol) x=0
01
12
2
1
122
xx
xxx
x
x
xxxxlim
lnlim
lnlim
lnlim vodoravna asimptota y=0
10 xxf )(
2
2
x
xxxf
)ln(ln)( 38710
2 .)( exxxf ali
3
2 262
x
xxxf
lnln)( 7013461
2
530 ..ln)( xxxxf ali
-
Globalni ekstremi
Globalni ekstrem
v notranjosti območja na robu območja
(če je funkcija odvedljiva)
v stacionarni točki
Vedno premislimo, ali funkcija sploh zavzame ekstrem.
funkcija odvisna od manj spremenljivk
(rob tvorijo točke/krivulje/ploskve/...)
-
Primeri
Funkcija l je zvezna in ima vodoravno asimptoto, zato zavzame oba globalna ekstrema.
max
min
Nihanje je podano z Določi največji odmik od ravnovesne lege.
)sin()( . tettl t 410
10
1010 ttttetl tsin)(
cos)( .
Enačbo
rešimo numerično in izračunamo ustrezne funkcijske vrednosti:
010
10 tttt
sin)(cos
l(x)
-
Poišči ekstreme funkcije f(x,y)=2x2+xy-y2-2x+4y na trikotniku z oglišči A(0,1), B(3,4), C(-1,4).
042
024
yx
yx
42
24
yxf
yxf
y
x
2
0
y
x stacionarna točka T1(0,2); f(0,2)=4.
A
BC
4
21 240
3
20169
],[
,:
30
1
x
xyAB
],[ 30014
32 2
xfxf
xxf
za
],[
,:
31
4
x
yBC
21
21
21
2
2
4424
22
),(),,( fTxf
xxf
],[
,:
01
13
x
xyCA
20169
2041
207
2041
207
3
2
720
3710
),(),,( fTxf
xxf
310 ),(: fA 2443 ),(: fB 041 ),(: fC
min
max
-
Vezani ekstremi
Iščemo ekstreme funkcije f(x,y) med vsemi (x,y), ki zadoščajo pogoju G(x,y)=0.
Poišči točko na elipsi, določeni z enačbo
(x-2)2+2(y-3)2=1, ki je najbolj oddaljena od izhodišča.
Drugače povedano: poišči maksimum funkcije
f(x,y) =x2+y2
pri pogoju
G(x,y)=(x-2)2+2(y-3)2-1=0
Primer
-
Običajni postopek: iz enačbe G(x,y)=0 izrazimo yin ga vstavimo v funkcijo f(x,y), ki jo potem odvajamo na x.
brezupno!
2
21301322
222 )()()(
xyyx
22
2
2
213
)()(
xxxh
2
21
2
2
21322
2
2
)(
)()(
x
xxxxh
.....)( 0xh
-
Drugačen pristop:
Vzdolţ G(x,y)=0 je y=y(x);
f(x,y(x)) odvajamo na x: odvod je xyx yff
izračunamo s posrednim odvajanjem G(x,y)=0;xy
y
xxxyx
G
GyyGG 0
V stacionarni točki (x0,y0) velja
),(
),(),(),()(),(),(
00
000000000000
yxG
yxGyxfyxfxyyxfyxf
y
xyxxyx
),(
),(
),(
),(
00
00
00
00
yxG
yxf
yxG
yxf
y
y
x
x (=-t)
-
Vpeljemo novo funkcijo
),(),(),,( yxGtyxftyxF Lagrangeva funkcija
Pogoj za lokalni ekstrem f(x,y), vzdolţ G(x,y)=0:
0
0
0
t
y
x
F
F
F
)),(( 0yxG
tj., kandidati za lokalne ekstreme f(x,y), vzdolţ G(x,y)=0 so stacionarne točke Lagrangeve funkcije F=f+tG
-
Primer
))()((),,( 1322 2222 yxtyxtyxF
1322
12122342
412222
22 )()(
)()(
)()(
yxF
ttyytyF
ttxxtxF
t
y
x
V stacionarni točki je
12
6
1
2
t
ty
t
tx
1312
622
1
222
t
t
t
t
Enačba je 4. stopnje, rešujemo jo numerično:
maksimum
minimum
5919471374623523
877447237717171
1
1
.).,.(.
.).,.(.
ft
ft
-
Geometrični premislek: v ekstremih se
krivulja G(x,y)=0 dotika nivojnic funkcije f(x,y).
V teh točkah je normala na krivuljo G(x,y)=0
vzporedna z normalo na nivojnico f(x,y)=konst.
)),(),,(( 0000 yxGyxG yx
)),(),,(( 0000 yxfyxf yx
)),(),,(()),(),,(( 00000000 yxGyxGtyxfyxf yxyx
-
Splošno pravilo:
Če iščemo ekstreme funkcije f(x1,...,xn)pri pogojih Gi(x1,...,xn) =0 za i=1,...,m
vpeljemo Lagrangevo funkcijo
)...(
),...,(...),...,(),...,(),...,,,...,(
mm
nmmnnmn
GtGtfF
xxGtxxGtxxfttxxF
11
1111111
Vezani ekstremi f so v stacionarnih točkah Lagrangeve funkcije F.
-
Izravnavanje numeričnih podatkov
Naloga: iz tabele numeričnih podatkov (xi,yi)določi funkcijsko zvezo y=f(x), ki se s temi podatki najbolje ujema.
Primer:
v tabeli so podane vrednosti količine y v odvisnosti od x. Določi ustrezno funkcijsko zvezo y=f(x).
Oceni vrednost y pri x =1.5 (interpolacija)in pri x=2 (ekstrapolacija).
x y
1,07 3,35
1,11 3,50
1,23 3,69
1,24 3,70
1,24 3,77
1,26 3,80
1,30 3,98
1,35 4,01
1,41 4,12
1,42 4,12
1,44 4,20
1,48 4,28
1,57 4,41
1,57 4,44
1,61 4,60
1,63 4,58
1,69 4,70
1,75 4,78
1,75 4,83
1,79 4,90
-
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80
y
Podatke predstavimo v koordinatnem sistemu:
Zveza med x in y je pribliţno linearna. Kako bi dobili enačbo premice, ki se tem podatkom najbolje prilega?
-
Enačba premice y=A+Bx je odvisna od parametrov A in B. Ustreznost parametrov preskusimo na mnoţici podatkov (xi,yi), i=1,2,...,n, s pomočjo testne funkcije
n
iii
nn
yBxA
yBxAyBxAyBxABAF
1
2
2222
211
)(
)(...)()(),(
Če leţijo vsi podatki na premici y=A+Bx je F(A,B)=0, kar je najboljši moţni rezultat. V splošnem primeru iščemo vrednosti A in B, pri katerih testna funkcija zavzame minimum.
Lastnosti funkcije F:
F je zvezna in odvedljiva za vse (A,B)∊ℝ2
Ko gre A,B → ∞ narašča F čez vsako mejo, zato F zavzame minimum na ℝ2
Ker ℝ2 nima robnih točk, je minimum F v stacionarni točki.
-
Testna funkcija po kriteriju najmanjših kvadratov
Sistem dveh linearnih enačb in dveh neznank: ima natanko eno rešitev, ki ustreza globalnemu minimumu testne funkcije.
n
iii yBxABAF
1
2)(),(
n
iiiA yBxABAF
1
2 )(),(
i
n
iiiB xyBxABAF
1
2 )(),(
02
02
1
1
i
n
iii
n
iii
xyBxA
yBxA
)(
)(
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yxBxAx
yBxAn
11
2
1
11
-
x y
1,07 3,35
1,11 3,50
1,23 3,69
1,24 3,70
1,24 3,77
1,26 3,80
1,30 3,98
1,35 4,01
1,41 4,12
1,42 4,12
1,44 4,20
1,48 4,28
1,57 4,41
1,57 4,44
1,61 4,60
1,63 4,58
1,69 4,70
1,75 4,78
1,75 4,83
1,79 4,90
i xi yi xi2
xiyi
1 1,07 3,35 1,1890 3,5845
2 1,11 3,50 1,2321 3,8850
3 1,23 3,69 1,5129 4,5387
4 1,24 3,70 1,5376 4,5880
5 1,24 3,77 1,5376 4,6748
6 1,26 3,80 1,5876 4,7880
7 1,30 3,98 1,6900 5,1740
8 1,35 4,01 1,8225 5,4135
9 1,41 4,12 1,9881 5,8092
10 1,42 4,12 2,0164 5,8504
11 1,44 4,20 2,0736 6,0480
12 1,48 4,28 2,1904 6,3344
13 1,57 4,41 2,4649 6,9237
14 1,57 4,44 2,4649 6,9708
15 1,61 4,60 2,5921 7,4060
16 1,63 4,58 2,6569 7,4654
17 1,69 4,70 2,8561 7,9430
18 1,75 4,78 3,0625 8,3650
19 1,75 4,83 3,0625 8,4525
20 1,79 4,90 3,2041 8,7710
28,91 83,76 42,6977 122,9859
i xi yi xi2
xiyi
1 1,07 3,35 1,1890 3,5845
2 1,11 3,50 1,2321 3,8850
3 1,23 3,69 1,5129 4,5387
4 1,24 3,70 1,5376 4,5880
5 1,24 3,77 1,5376 4,6748
6 1,26 3,80 1,5876 4,7880
7 1,30 3,98 1,6900 5,1740
8 1,35 4,01 1,8225 5,4135
9 1,41 4,12 1,9881 5,8092
10 1,42 4,12 2,0164 5,8504
11 1,44 4,20 2,0736 6,0480
12 1,48 4,28 2,1904 6,3344
13 1,57 4,41 2,4649 6,9237
14 1,57 4,44 2,4649 6,9708
15 1,61 4,60 2,5921 7,4060
16 1,63 4,58 2,6569 7,4654
17 1,69 4,70 2,8561 7,9430
18 1,75 4,78 3,0625 8,3650
19 1,75 4,83 3,0625 8,4525
20 1,79 4,90 3,2041 8,7710
28,91 83,76 42,6977 122,9859
i xi yi xi2
xiyi
1 1,07 3,35 1,1890 3,5845
2 1,11 3,50 1,2321 3,8850
3 1,23 3,69 1,5129 4,5387
4 1,24 3,70 1,5376 4,5880
5 1,24 3,77 1,5376 4,6748
6 1,26 3,80 1,5876 4,7880
7 1,30 3,98 1,6900 5,1740
8 1,35 4,01 1,8225 5,4135
9 1,41 4,12 1,9881 5,8092
10 1,42 4,12 2,0164 5,8504
11 1,44 4,20 2,0736 6,0480
12 1,48 4,28 2,1904 6,3344
13 1,57 4,41 2,4649 6,9237
14 1,57 4,44 2,4649 6,9708
15 1,61 4,60 2,5921 7,4060
16 1,63 4,58 2,6569 7,4654
17 1,69 4,70 2,8561 7,9430
18 1,75 4,78 3,0625 8,3650
19 1,75 4,83 3,0625 8,4525
20 1,79 4,90 3,2041 8,7710
28,91 83,76 42,6977 122,9859
i xi yi xi2
xiyi
1 1,07 3,35 1,1890 3,5845
2 1,11 3,50 1,2321 3,8850
3 1,23 3,69 1,5129 4,5387
4 1,24 3,70 1,5376 4,5880
5 1,24 3,77 1,5376 4,6748
6 1,26 3,80 1,5876 4,7880
7 1,30 3,98 1,6900 5,1740
8 1,35 4,01 1,8225 5,4135
9 1,41 4,12 1,9881 5,8092
10 1,42 4,12 2,0164 5,8504
11 1,44 4,20 2,0736 6,0480
12 1,48 4,28 2,1904 6,3344
13 1,57 4,41 2,4649 6,9237
14 1,57 4,44 2,4649 6,9708
15 1,61 4,60 2,5921 7,4060
16 1,63 4,58 2,6569 7,4654
17 1,69 4,70 2,8561 7,9430
18 1,75 4,78 3,0625 8,3650
19 1,75 4,83 3,0625 8,4525
20 1,79 4,90 3,2041 8,7710
28,91 83,76 42,6977 122,9859
i xi yi xi2
xiyi
1 1,07 3,35 1,1890 3,5845
2 1,11 3,50 1,2321 3,8850
3 1,23 3,69 1,5129 4,5387
4 1,24 3,70 1,5376 4,5880
5 1,24 3,77 1,5376 4,6748
6 1,26 3,80 1,5876 4,7880
7 1,30 3,98 1,6900 5,1740
8 1,35 4,01 1,8225 5,4135
9 1,41 4,12 1,9881 5,8092
10 1,42 4,12 2,0164 5,8504
11 1,44 4,20 2,0736 6,0480
12 1,48 4,28 2,1904 6,3344
13 1,57 4,41 2,4649 6,9237
14 1,57 4,44 2,4649 6,9708
15 1,61 4,60 2,5921 7,4060
16 1,63 4,58 2,6569 7,4654
17 1,69 4,70 2,8561 7,9430
18 1,75 4,78 3,0625 8,3650
19 1,75 4,83 3,0625 8,4525
20 1,79 4,90 3,2041 8,7710
28,91 83,76 42,6977 122,9859
9912270429128
7683912820
...
..
BA
BA
1032
1481
.
.
B
A
-
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80
interpolirana vrednost: f(1.5)=4.303
ekstrapolirana vrednost: f(2)=5.354
xy 10321481 ..
-
Obe enačbi delimo z n in vpeljemo oznake:
V praksi sistem rešujemo takole:
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yxBxAx
yBxAn
11
2
1
11
n
iix
nx
1
1 povprečje argumentov
n
iiy
ny
1
1 povprečje funkcijskih vrednosti
n
iix
nx
1
22 1 povprečje kvadratov argumentov
n
iiiyx
nxy
1
1 povprečje produktov
xyBxAx
yBxA
2
xByA
xxx
yxxyB
2
-
Nelinearne zvezet(s) c (mol/l) t(s) c (mol/l)
100 2,19 1600 0,85
200 2,05 1700 0,80
300 1,92 1800 0,75
400 1,81 1900 0,70
500 1,70 2000 0,66
600 1,59 2100 0,62
700 1,50 2200 0,58
800 1,41 2300 0,54
900 1,33 2400 0,51
1000 1,25 2500 0,48
1100 1,17 2600 0,46
1200 1,10 2700 0,43
1300 1,03 2800 0,41
1400 0,97 2900 0,39
1500 0,91 3000 0,37
V tabeli je predstavljena kinetika razpada N2O5 v raztopini CCl4. c je koncentracija N2O5 po preteku t sekund.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
-
(zveza med logaritmom koncentracije in časom je linearna)
Dobimo:
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Funkcijska zveza ni linearna, temveč eksponentna: BtAec
Računanje s testno funkcijo
je zamudno, zato raje lineariziramo.
n
ii
Bt yAeBAF i
1
2),(
BtAc lnln
Vpeljemo novo količino in uporabimo prejšnje formule.cc ln
tec 000603152 ..
tc 0006094751 ..
-
Numerično reševanje enačb
Spomnimo se:
x je negibna točka funkcije f, če velja f(x)=x.
Če je f zvezno odvedljiva in če za negibno točko velja f ’(x)
-
Ideja:
Newtonova iteracijska
metoda
Enačbo g(x)=0 rešimo tako, da jo preoblikujemo v ekvivalentno enačbo oblike f(x)=x, kjer ima f čim bolj privlačne negibne točke.
)(xg)(
)()(
xg
xgxxf
xxfxg )()( 0
221
))((
)()(
))((
)()()()()(
xg
xgxg
xg
xgxgxgxgxf
00 )()( xfxg
-
Primeri:
Računanje korenov:
1, 5.5, 3.659090, 3.196005, 3.162455, 3.162277
1, 5, 3.784, 2.916439, 2.358658, 2.092880, 2.033273, 2.030548, 2.030543
2, 2.03125, 2.030543
Dober začetek je zlata vreden!
a je rešitev enačbe x2=a
axxg 2)(x
ax
x
axxxf
22
22
)(
Npr. a=10. Iteracijo začnemo z x0=1:x
axx
2
2
(3.1622772=9.99999582)
n a je rešitev enačbe xn=a
axxg n)(1
1n
n
nx
axnxf
)()(
:4 17
3
4
4
173
x
xxf )(
(2.0305432=16.99999380)
-
2, 1.9605, 1.9600
3, 1.6459, 2.0235, 1.9612, 1.9600
4, 5.4917, 4.783, 4.8197, 4.8194
5, 4.8233, 4.8194
6, 4.1469, 5.1394, 4.8262, 4.8194
7, 8.4857, 7.8431, 7.8810, 7.8808
8, 7.8820, 7.8808
9, 7.2832, 8.0366, 7.8825, 7.8808
10, 11.8023, 10.8227, 10.9906, 10.9865
11, 10.9866, 10.9865
12, 10.5722, 11.0315, 10.9867, 10.9865
........
Ekstremi )sin()( . tettl t 410
Enačba:
010
10 tttt
sin)(cos
Rekurzija:
tttt
ttttttf
sin)(cos)(
sin)(cos)()(
11020
11010 2
l(x)
-
Določi prostornino enega mola CO2 pri temperaturi 50oC in pritisku 20 atmosfer.
Pri teh pogojih se CO2 ne obnaša kot idealni plin, zato uporabimo Van der Waalsovo enačbo:
0.0013254, 0.0012274, 0.0012266 Prostornina je 1.23 litra.
nRTnbVV
nap
2
2
a ∼ interakcija med molekulami
b ∼ velikost molekule
Nova spremenljivka: RTbxx
ap
n
Vx
2
p=20 • 1.013 • 105 Pa = 2 026 000 Pa
T=323 K
aCO2=0.3643 Jm3/mol2
bCO2=4.269 • 10 -5 m3/mol
R=8.314 J/mol K
323314800004269036430
20260002
...
)( xx
xg
11336430002026000000
6654728602771911943
2
.
).()(
xx
xxxxf
Kot začetni pribliţek vzamemo prostornino po enačbi idealnega plina:p
RT
n
V
001325402026000
32331480 ..
x
-
Numerično odvajanje
Kako bi iz izmerjenih vrednosti funkcije (xi ,yi ) določili točke prevoja?
Koncentracijo c merimo v odvisnosti od temperature T. Prevojna točka ustreza temperaturi, pri kateri pride do reakcije.
c
T
Prevoji so točke, v katerih drugi odvod spremeni predznak, zato potrebujemo neko oceno za odvod.
-
Če poznamo obliko funkcije, jo določimo s pomočjo metode najmanjših kvadratov in dobljeno funkcijo odvajamo analitično.
Odsekoma linearna
Odsekoma kvadratična
V splošnem poiščemo polinom, ki gre skozi nekaj zaporednih točk in ga potem odvajamo. Vrednosti odvoda lahko izračunamo neposredno iz podatkov.
-
Formule se poenostavijo, če so točke na enakomernih razdaljah (npr. h).
Za dve zaporedni točki:
Za tri zaporedne točke:
Za pet zaporednih točk:
Numerično odvajanje je zelo občutljivo na napake v podatkih.
h
yyy 010
h
yyy
2
021
h
yyyyy
12
88 43102
-
Primer:
T y
1 0.145
1.5 0.150
2 0.160
2.5 0.175
3 0.190
3.5 0.210
4 0.232
4.5 0.276
5 0.342
5.5 0.502
6 1.217
6.5 2.405
7 2.990
7.5 3.400
8 3.664
8.5 3.856
9 3.990
9.5 4.110
10 4.200
10.5 4.270
11 4.330
0.015
0.015
0.030
0.035
0.042
0.066
0.110
0.226
0.875
1.903
1.773
0.995
0.674
0.456
0.326
0.244
0.210
0.160
0.130
h
yyy iii
2
11
0.015
0.020
0.012
0.031
0.068
0.160
0.765
1.677
0.898
-0.908
-1.099
-0.539
-0.348
-0.212
-0.116
-0.084
-0.080
h
yyy iii
2
11
-
Elementarni študij funkcije: enačbe, neenačbe, lastnosti osnovnih funkcij in računskih operacij.
Lokalne lastnosti funkcije: zveznost, odvedljivost.
(lokalne lastnosti se lahko zelo spremenijo ţe ob majhni spremembi funkcijskih vrednosti)
zvezna nezvezna
-
majhna razlika pri funkcijskih vrednostih
velika razlika pri vrednostih odvoda
Katere lastnosti funkcije so neobčutljive za majhne spremembe?
-
Povprečna vrednost funkcije je primer globalne lastnosti.
10.9166
10.9195
povprečna vrednost osnovne funkcije:
povprečna vrednost „zanihane‟ funkcije
-
p je povprečna vrednost funkcije f na intervalu [a,b], če je ploščina pod grafom enaka ploščini pravokotnika.
p = (ploščina pod grafom funkcije f ) : (b-a)
p
a b
-
a ba bx
y
x
y
1x 2x 3x 4x 1x 2x 3x 4x
Ploščino pod grafom funkcije ocenimo s pomočjo pravokotnikov:
4m1m2m
3m5m 4M
2M3M
5M1M
Vsota ploščin včrtanih pravokotnikov je manjša od ploščine pod grafom.
Vsota ploščin očrtanih pravokotnikov je večja od ploščine pod grafom.
Intuitivno, z delitvijo [a,b] na dovolj drobne podintervale je razlika med včrtano in očrtano ploščino poljubno majhna, zato dobimo poljubno dobro oceno za ploščino pod grafom.
-
Formalizem:
Pri vseh delitvah D je S( f,D) ≤ ploščina pod grafom f ≤ Z( f,D).
Privzemimo f:[a,b]→ℝ omejena ( m ≤ f(x) ≤ M za vse x∈[a,b] ).
bxxxxaD nn 110 ...: delitev intervala [a,b]
mi: natančna spodnja meja
f na intervalu [xi-1, xi]
Mi: natančna zgornja meja
f na intervalu [xi-1, xi]
a bx
y
1x 2x 3x 4x
4m1m2m
3m5m
a bx
y
1x 2x 3x 4x
4M2M
3M5M1
M
n
iiii xxmDfS
1
1)(),(spodnja integralska vsotafunkcije f pri delitvi D
n
iiii xxMDfZ
1
1)(),(zgornja integralska vsotafunkcije f pri delitvi D
(vsota ploščin včrtanih pravokotnikov)
(vsota ploščin očrtanih pravokotnikov)
-
Mnoţica spodnjih integralskih vsot je navzgor omejena, zato ima natančno zgornjo mejo (supremum), ki jo označimo S(f ) in imenujemo spodnji integral funkcije f
Mnoţica zgornjih integralskih vsot pa je navzdol omejena, zato ima natančno zgornjo mejo (infimum), ki jo
označimo Z( f ) in imenujemo zgornji integral funkcije f
Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f).
Skupno vrednost imenujemo integral funkcije f na
intervalu [a,b] in označimo z
b
a
f
Vedno je S( f) ≤ Z( f).
-
Kaktere funkcije so integrabilne?
Za vsako delitev D velja
S( f,D) ≤ S( f) ≤ Z( f) ≤ Z( f,D),
zato je dovolj, če pokaţemo, da vedno lahko
izberemo delitev D, da bo razlika
majhna kolikor ţelimo.
n
iiiii xxmMDfSDfZ
1
1)()(),(),(
-
Monotone funkcije so integrabilne.
Privzamemo f:[a,b]→ℝ naraščajoča, predpišemo ɛ>0:
bxxxxaD nn 110 ...:
Vzamemo delitev
)()( afbfxx ii 1pri kateri je
)()(
))()(()()(
)())()((),(),(
afbf
n
iii
n
iiiii xfxf
afbfxxxfxfDfSDfZ
1
1
1
11
Privzamemo f:[a,b]→ℝ zvezna, predpišemo ɛ>0:
Zaradi zveznosti obstaja tak d, da je kakor hitro je ab
xfxf )()( dxx
bxxxxaD nn 110 ...:
Vzamemo delitev
dxx ii 1pri kateri je
ab
n
iii
n
iiiii xx
abxxmMDfSDfZ
1
1
1
1 )()()(),(),(
Zvezne funkcije so integrabilne.
-
Ali obstajajo funkcije, ki niso integrabilne?
Primer
f:[0,1]→ℝ je dana s predpisom
x
xxf
eiracionaln za
racionalne za
1
0)(
Za vsako delitev D je S( f,D)=0 in Z( f,D)=1
S( f)=0 in Z( f)=1, torej f ni integrabilna
Velja:
f:[a,b]→ℝ je integrabilna če ima največ števno mnogo točk nezveznosti.
?
-
Lastnosti integrala
a bx
y
f pozitivna na [a,b]
je enak ploščini lika pod grafom funkcije f
b
a
f
b
a
fpl
b
a
b
a
fkkf (k∈ℝ)
b
a
b
a
b
a
gfgf )(
c
a
c
b
b
a
fffb
a
fc
b
f
a b c
Dogovor:
b
a
a
b
ffOb upoštevanju tega dogovora veljajo vse zgornje formule tudi takrat, ko je spodnja meja integrala večja od zgornje.
-
M,m: natančna zgornja in spodnja meja f na [a,b]
)()( abMfabmb
a
a b
M
m
Povprečna vrednost leţi na intervalu [m,M].
b
aab
f1
Če je f zvezna, zavzame vse vrednosti med m in M.
)()( tfabfb
a
Tedaj je za nek
t∈[a,b].
f zvezna ⇒ f zavzame svojo povprečno vrednost
a b
-
1. Po definiciji
f integrabilna
Predpis je neroden za računanje: običajno je teţko določiti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na delilnih intervalih.
Pomagamo si takole: na vsakem intervalu delitve izberemo po eno točko ti∈[xi-1,xi].
f integrabilna
),(lim),(lim),(),(
DfZDfSfbaba
b
aDD
Na podlagi delilnih točk D:x0,...,xn in vmesnih točk T:t1,...,tn tvorimo Riemannovo vsoto
n
iiii xxtfTDfR
1
1)()(),,(
Za vse delitve D velja: S( f,D) ≤ R( f,D,T) ≤ Z( f,D)
),,(lim),(
TDfRfba
b
aD a b
x
y
1x 2x 1nx1t 2t nt
Računanjeb
a
f
...
-
Primeri
f(x)=x na [a,b]
D poljubna, za T izberemo:2
1iii
xxt
222
1
22
2
2
3
2
1
2
2
2
0
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
abxxxxxxxx
xxxx
TDfR
nn
n
iii
ii
...
)(),,(
2
22 abx
b
a
Podobno dobimo:1
11
n
abx
nnb
a
n
a b
-
f(x)=ex na [0,1]
Podobno dobimo:
D : n enakih delov, ; T : leva krajišča, n
ixi
n
iti
1
)(
)(...),,(
1
1
1
11111111
1121
0
nn
n
en
e
e
e
nne
ne
ne
neTDfR
nn
n
nn
11
11
10e
en
eTDfR
nn )(lim),,(lim
),(D1
11
0
1
x
een
x
xn
n)(
lim)(lim
1
1
0
eex
abb
a
x eee
-
2. Analitično
Ali je F zvezna?
f omejena
f omejena ⇒ F zvezna
Računanjeb
a
f
Tvorimo novo funkcijo
x
a
fxF )(
Primeri: za
za
2
22 axxFxxf )()( je
axx eexFexf )()( je
x
x
x
a
x
a
fffxFxF )()(
0
x
xxx
flim )()(lim xFxFxx
-
f zvezna F odvedljiva in F ’=f
hx
f zvezna
osnovni izrek analize
Ali je F odvedljiva?
a xx
y
)(tf
hx
x
x
a
hx
a
fffxFhxF )()(
)(tfhfhx
x
za nek t med x in x+h.
)()(lim)(
lim)()(
lim xftfh
tfh
h
xFhxF
hhh 000
-
Newton-Leibnizova formula
Primitivna funkcija ni enolično določena, vsaki dve primitivni funkciji dane funkcije se razlikujeta za neko konstanto.
F je primitivna funkcija za f
Obratno, če je F ’=f dobimo
0)()()( xFxfxFfx
a
CxFfx
a
)(
CaFfa
a
)( )()( aFxFfx
a
)()( aFbFffFb
a
-
Primeri
„uganemo‟ primitivno funkcijo FRačunanje :b
a
f
izračunamo )()( aFbFfb
a
xexf )( xexF )( abb
a
x eee
xxf sin)( xxF cos)( 200
)cos()cos(sin x
2xxf )(3
33
23 xxFxx )(,)( 3
26
3
1
3
273
1
2x
xxf
1)( )ln()( xxF 3
xxx
13
3
13 ))(ln(
2361
2
1
lnlnlnx
-
3. Numerično
Numerično računamo, če ne znamo določiti primitivne funkcije ali če je integrand znan le v posameznih točkah.
Integrand f nadomestimo s pribliţkom g, ki ga znamo dovolj preprosto integrirati.
Pribliţek izračunamo iz vrednosti integranda v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov).
napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk
pribliţna vrednost integrala
Računanjeb
a
f
Rgfb
a
b
a
-
Metoda trapezov: integrand nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo.
[a,b] razdelimo na n enakih delov:
g je odsekoma linearna funkcija, določena s točkami (xk ,yk), k=0,1,...,n
trapezna formulanapaka trapezne metode
),...,, nkn
abkaxk 10(
)( kk xfy
2
11
kk
x
x
yy
n
abg
k
k
)(...)()( nn
b
a
yyyyyyn
abg 12110
2
nnn
b
a
Ryyyyyn
abf 1210 222
2...
)(max)(
],[xf
n
abR
baxn 2
3
12
-
Simpsonova metoda: integrand nadomestimo z odsekoma kvadratično funkcijo.
[a,b] razdelimo na n enakih delov; vsakega razpolovimo in čez tako dobljene tri točke potegnemo parabolo.
Simpsonova formula
),...,, nkn
abkaxk 210
2(
)( kk xfy
3
4
2
2212222
2
kkk
x
x
yyy
n
abg
k
k
...)()( 432210 446
yyyyyyn
abg
b
a
nnnn
b
a
Ryyyyyyyyn
abf 2122243210 422424
6...
)(max)(
],[xf
n
abR
baxn
4
4
5
2880
-
Primer
Trapezna metoda:
Simpsonova metoda:
n=2 (4 delilne točke)
dejanska napaka 0.0025
dejanska napaka 0.0001
Izračunaj z napako < 0.01.1
01
1
x
1
0
693102121
1
1
11 .lnlnln)ln(
xxx
1. Iz pogoja določimo primeren n:01012 2
3
.)(max)(
],[xf
n
ab
bax
501012
22
1
22310
nnxx
.,)(
max],[
2. Določimo delilne točke in izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti:
xk 0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
yk 1.0000 0.8333 0.7143 0.6250 0.5555 0.5000
3. Vstavimo v trapezno formulo:1
0
6956050000555502625002714302833302000110
1
1
1.)......(
x
1
0
6932050000571404666602800004000112
1
1
1.).....(
x
-
http://math.fullerton.edu/mathews/a2001/Animations/Animations.html
183 2 )sin()( xexf x
-
Primer
Oceni ploščino kosa pločevine:
24900125045525146212
100cm )(P
-
Računanje primitivnih funkcij
xx
xx
xx
xx
ee
xx
r
xx
xFxf
xx
r
rr
arctg
arcsin
sincos
cossin
ln
)()(
)(
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
F primitivna funkcija za f
F primitivna funkcija za f,
G primitivna funkcija za g
kF primitivna funkcija za kf
F+G primitivna funkcija za f+g
Primer2
1
xxxf )(
221
2 xxx
xx
xxF
14
22
12
)(
-
funkcije diferenciali
d
)()( xfdxxf
Primitivne funkcije produkta, kvocienta ali kompozituma dveh funkcij v splošnem ni mogoče izraziti s pomočjo primitivnih funkcij faktorjev.
Primitivna funkcija elementarne funkcije pogosto ni elementarna.
xxxx
extg,sin,
2(Npr. integrali niso elementarne funkcije.)
Diferenciranjef(x) f ’(x)dx diferencial
Obratno operacijo imenujemo nedoločeni integral.
Cxfxdf )()( C neko število
(odvajanje ni injektivno, zato obrat ni enoličen)
-
delna integracija(per partes)
uvedba nove spremenljivke(substitucija)
duvvudvu
dttxtxfdxxf )())(()(
dxxuxvxvxudxxvxu )()()()()()(
dxxukdxxku )()(
dxxvdxxudxxvxu )()())()((
rx edxe
xdxx cossin
xdxx sincos
1
11
1
rx
rr
xdxx
r
r
ln
xdxx
arcsin 1
21
xdxx
arctg 1
21
dvvuvud
dvuduvvud
dukkud
dvduv)d(u
)())((
)(
)(
dxxvxvuxvud
dxxvxudxxvxuxvud
dxxukxkud
dxxvdxxuxvxud
)())(())(((
)()()()())((
)())((
)()())()((
Pravila za diferenciranje:
Pravila za integriranje:
-
Primeri
dxexx
xvdxdv
dxx
duxu
1
ln
xev
dxdu
xxxx eexdxeex
Podobno za ,...,cos,sin dxexdxxxdxxx xn
dxx ln
dxedv
xu
x
xxxdxxxdxx lnlnln
Podobno za dxxxn ln
dxx )sin( 12 )cos(cossin 122
1
2
1
2xt
dtt
dtdx
xt
2
1
12
Splošno pravilo: )()()()( baxFa
dxbaxfxFdxxf1
-
dxxx 123
dxxxx 122
dxxdt
xt
2
12
dttt )( 121 2
3
2
5
2
3
2
5
11 2312
51
31
51 )()( xxtt
dxx tg dxx
x
cos
sinxt
t
dtcoslnln
dxxdt
xt
sin
cos
Uspešna je tudi substitucija t2=x2+1.
dxx 214
2
22
211 22
ttdt
tdttdttt
sincoscoscossin
dttdx
tx
cos
sin
-
Integriranje racionalnih funkcij
1.korak Če je potrebno, z deljenjemprevedemo na primer, ko je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca.
Primer
2.korak Imenovalec razcepimo na faktorje, potem pa integrand razcepimo na delne ulomke oblike
in
3.korak Integriramo dobljeni izraz.
dxxQ
xP )(
)(P(x),Q(x) polinoma dx
x
x
1
22
3
1
2
1
222
3
x
xx
x
x
nax
A
)( nbaxx
BAx
)( 2
))(( 1112 xxx
1111
2
x
B
x
A
xx
x
))((
)()( 112 xBxAx
2
3
2
1BA ,
1
1
2
3
1
1
2
1
1
22
3
xxx
x
x
)ln()ln( 12
31
2
1
21
2 2
2
3
xxx
dxx
x
-
Izlimitirani integrali
Primer
integrand je neomejen, ne ustreza zahtevam za integrabilnost
Formalno uporabimo Newton-Leibnizovo formulo:
Kako bi razširili pojem integrabilnosti na tovrstne primere?
dxx
1
0
1
221 1
0
1
0
xdxx
-
Osnovna primera:
f zvezna na [a,b), pri b ima pol
f zvezna na
[a,+∞)
t
a
f obstaja za vse t∈[a,b)
b
a
t
abt
ff lim
t
a
f obstaja za vse t∈[a,+∞)
a
t
at
ff lim
-
Primeri
limita ne obstaja
2
1
2
1
2
1
2
2
0
2)(lim
)( tdx
x t
2
1
2
12 x
dxx
)(
110
1
0
)ln(limln tttdxxt
xxxdxx lnln
-
limita ne obstaja
)cos(sinsin xxe
dxxex
x 2225
2
dxxe x
0
2sin
5
2
5
2222
5))cos(sin(lim tt
e t
t
1
0
)cos(limsin tdxxt
-
Ocenjevanje konvergence: obstoj limite pri izlimitiranem integralu lahko ugotovimo na podlagi primerjave z znanimi integrali.
Primeri
1
11
1
rx
rdxx r
xr
r
ln
dxx
a
r
0
1 obstaja za r1
ne obstaja za r ≤ 1
dxxx
x
13 1
1Za x → ∞ je primerljiva z
1
1
3xx
x
2
3
1
xintegral obstaja
dxx
2
13 1
1Za x → 1 je primerljiva z ,
1
1
3x 1
1
x
ki je primerljiva z pri x → 0x
1 integral obstaja
-
Uporaba integrala
Ploščine likov
b
a
fgploščina
-
Ploščina v polarnih koordinatah
ploščina=n
i
iiitr
0
1
2
2
))((
To je Riemannova vsota
za funkcijo 2
2 )(r
2
2
1rploščina
-
Dolţina krivulje
Vsaka delitev intervala določa neko lomljenko. Dolţina krivulje je natančna zgornja meja dolţin lomljenk.
(če je f zvezno odvedljiva)
dolţina lomljenken
iiiii xfxfxx
0
21
21 ))()(()(
n
iiixx
xfxfxx
ii
ii
0
121
2
11 )()(
))()((
n
iiii xxtf
0
121 )())((
Riemannova vsota za funkcijo 21 )( f
b
a
f 21 )(dolţina krivulje
-
Prostornina telesa
Riemannova vsota za funkcijo P
(če je P zvezna)
ploščina prereza na nivoju x)(xP
n
iiii xxtP
0
1))((
Prostornina telesa = b
a
P
-
VrtenineVrtenina je telo, ki ga zaobjamemo z vrtenjem krivulje okoli neke osi.
Prerez na nivoju x je krog s ploščino P(x)=f(x)2 π.
Prostornina vrtenine = b
a
f 2
-
Nekatere fizikalne količine, ki se izraţajo z integralom
(Integriramo funkcije ene spremenljivke, zato se zaenkrat omejimo na primere, ki so „enodimenzionalni‟.)
Dolţina poti, ki jo točka, ki se giblje premočrtno s hitrostjo v=v(t) prepotuje v času od t1 do t2 je
2
1
t
t
dttvs )(
Masa krivulje, dane z enačbo y=f(x) na [a,b]in z dolţinsko gostoto r=r(x) je dxxfxm
b
a
21 ))(()(
Teţišče krivulje, dane z enačbo y=f(x) na[a,b] in z dolţinsko gostoto r=r(x) je
dxxfxxfm
y
dxxfxxm
x
b
a
T
b
a
T
2
2
11
11
))(()()(
))(()(
Delo, ki ga sila F=F(x) opravi vzdolţ osi x dxxFAb
a
)(
Teţišče n točk, katerih mase so mi, koordinate
pa (xi,yi) jen
iiiT
n
iiiT
mym
y
mxm
x
1
1
1
1
-
Funkcije definirane z integralom
Vsaka integrabilna funkcija f :[a,b]→ℝ določa zvezno funkcijo F :[a,b]→ℝ:
Lastnosti F lahko razberemo iz lastnosti f, npr:
če je f zvezna je F odvedljiva in velja F ’=f;
če je f pozitivna, je F naraščajoča...
x
a
fxF )(
-
Primer
je zvezna l je odvedljiva
je > 0 je strogo naraščajoča
x↦l(x) je alternativna definicija funkcije ln(x).
Za vsak x>0 je definirana funkcija x
dtt
xl1
1)(
tt
1
x xy
x
xy
t
dt
t
dt
t
dtxyl
11
)(
duxdt
xut
yy
u
du
xu
dux
11
)()( ylxl
0)1(l )()( xlnxln )1(lim
0l
x)1(lim l
x
x↦l -1(x) pa je alternativna definicija funkcije ex
-
Nove funkcije dobimo tudi z integriranjem funkcij več spremenljivk:
Primer
Kdaj je tako definirana funkcija zvezna, odvedljiva, integrabilna?Kaj je njen odvod, integral?
integral s parametrom
Pravilo določa funkcijo F :[a,b]→ℝ.
d
c
dyyxfxF ),()(
f :[a,b]ⅹ[c,d]→ℝ:
11
0
1
0
xy
y
xyxy eedyxe
-
Zveznostd
c
dyyxfxF ),()(
Izberimo natančnost in privzemimo, da je f zvezna:
,),(),(cd
yxfyxf 01če je x1 dovolj blizu x0 , je
d
c
d
c
d
c
dyyxfyxfdyyxfdyyxfxFxF ),(),( ),( ),()()( 010101
zato je dycd
dyyxfyxfd
c
d
c
),(),( 11
f zvezna zvezna
d
c
dyyxfxF ),()(
-
odvajanje integrala po parametru
Odvedljivostd
c
dyyxfxF ),()(
d
c
dyh
yxfyhxf
h
xFhxF ),(),()()(
Lagrange: ),(),(),(
xtfh
yxfyhxfx
zvezna za dovolj majhen h jecd
yxfytf xx ),(),(xf
za vse y∈[c,d]
d
c
x
d
c
dyyxfdyh
yxfyhxf ),(
),(),(
f(x,y) zvezno odvedljiva na x odvedljiva
d
c
dyyxfxF ),()(
d
c
x dyyxfxF ),()(
-
Primer
3
1
3
)1(
3
)(3
31
0
3
xxxxyx
y
y
1
0
2 )()( dyyxxF
1
0
2
1)(2)( dy
xyxxF
xx
yydy
x
yy
y2
11
2 1
1
0
21
0
xxx
2
11
3
1
-
Integrabilnost
f zvezna integrabilna
Primerjajmo funkciji
in
posebej: G1(b)=G2(b)
zamenjava vrstnega reda integriranja
zvezna
d
c
dyyxfxF ),()(
t
a
d
c
dxdyyxftG ),()(1
d
c
t
a
dydxyxftG ),()(2
d
c
dyytftG ),()(1
d
c
dyytftG ),()(2
0)(1 aG 0)(2 aGG1=G2
d
c
b
a
b
a
d
c
dydxyxfdxdyyxf ),( ),(
-
Primer
6
25
323
3
1 )(
2
1
232
1
2
2
1
1
0
2
x
x
xxxdxxxdxdyyx
6
25
3
7
2
3
3
3
73
3
1
0
23
1
0
2
1
0
2
1
31
0
2
1
2
y
y
x
x
yyy
dxyydxyx
dydxyx (
)
)(
-
Formula o zamenjavi vrstnega reda integriranja velja tudi za funkcije f(x,y), ki so nezvezne v nekaj točkah ali celo vzdolţ neke gladke krivulje.
Primer
nezvezna vzdolţ premice y=x
yx
yxxyxf
za 0
za ),(
1
0
1
0
32
1
0
0
1
0 0
1
0
1
03
1
3 ),(
xdxxdxxydxdyxdxdyyxf
xy
y
x
1
0
1
0
321
0
121
0
11
0
1
03
1
62
2
1
2 ),(
yydy
ydy
xdydxxdydxyxf
x
yxy
-
Dvojni integral
Prostornino pod ploskvijo ocenimo s pomočjo kvadrov. Pravokotnik[a,b]x[c,d] razdelimo na mreţo manjših pravokotnikov. Vsota prostornin včrtanih kvadrov je manjša, vsota prostornin očrtanih kvadrov pa večja od prostornine pod ploskvijo.
-
f(x,y) omejena na pravokotniku [a,b] [c,d]
delitev:
dyyyyc
bxxxxaD
mm
nn
110
110
...
...:
mij,Mij natančna spodnja in zgornja meja na pravokotniku [xi-1,xi] [yi-1,yi]
Δxi= xi – xi-1, Δyj= yj – yj-1
n
i
m
jjiij yxmDfS
1 1
),( spodnja integralska vsotafunkcije f pri delitvi D
zgornja integralska vsotafunkcije f pri delitvi D
n
i
m
jjiij yxMDfZ
1 1
),(
a b
c
d
x
y
Δxi
Δyj
-
spodnji integral funkcije f
zgornji integral funkcije f
Zvezne funkcije so integrabilne.
(Integrabilne so tudi funkcije, pri katerih je mnoţica točk nezveznosti majhna,npr. če so nezvezne le v nekaj točkah, ali pa vzdolţ neke gladke krivulje.)
),(sup)( DfSfSD
),(inf)( DfZfZD
Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f).
Skupno limito imenujemo dvojni integral funkcije f na
območju [a,b] [c,d] in označimo z],[],[ dcba
f
Vedno je S( f) ≤ Z( f).
-
Dvojni integral je enak dvakratnemu.
Prostornina pod grafom z=f(x,y) je , kjer je P(x)ploščina prereza na nivoju x.
b
a
dxxP )(
d
c
dyyxfxP ),()(
b
a
d
c
dxdyyxffdcba
),(],[],[
P(x) je ploščina pod grafom funkcije y↦f(x,y):
-
Primer
ali pa
],[],[ 1031
21 y
yx
214
1
24
21
1
1
1
0
2
1
0
1
0
2
1
0