Izračunaj položaj centra mase, homogenog diska mase M i radijusa R?

x

y

d

dr

r

cosrx sinry

Pravokutni sustav

Polarni sustav

222 yxr

x

yarctg

jdyidxrd

ˆˆ rdrdrrd

jdy

ˆrdidx

Definicija centra mase

dm

dmmrrcm

)(

jdm

dmmyi

dm

dmmxjyix cmcm

)()(

jyixr

Kako definirati dm ?

dx

)(xy

x

dadm dxxrdxyda 22

r

r

cm dxxrxM

x 221

2r

M

A

M

Im

Lx dx L m

L

L

2 2

2

2 1

12/

/

Drugi Newtonow zakon za rotaciju krutog tijela:

M I M F r

M L d Fk ( / )2

Steinterov teorem

I I mdcm 2

( / )

( )

L d F

L d m

21

12

1000

132 2

b)

t 1000

c)

F F2 5

35

.

.

Tanki homogneni štap mase M i duljine L poduprt je sa dva nosača na svojim krajevima. U jednom trenutku jedan od nosača se izmakne, Nađite silu F kojom štap pritišće na preostali nosač u trenutku nakon izmicanja drugog nosača

L/2

Mg

F

Akceleracija težišta štapa nakon izmicanja

Ma Mg F

Nakon izmicanja jednog nosača štap rotira oko

drugog:

M I LMg I

2

I l dm L M 2 21

3

Veza između linearne akceleracije i kutne akceleracije:

aL

2

F Mg1

4

Koliku će visinu tijelo mase m2 u sistemu prikazanom na slici proći između treće i sedme sekunde padanja?

Zadano je m1=20 kg, m2=10 kg, m=40 kg, koeficijent trenja je 0.25. Za koluturu pretpostavite da je disk.

m1

m2

r,m

Dijagrami sila za pojedina tijela:Ftr

T1m1 m a T m g1 1 1

T r T r I Ia

r2 1 T1

T2

m2

T2

mg m a m g T2 2 2

am m

m m mg

( )

/2 1

1 2 1 2

h a m 1

27 3 202 2( )

Pretpostavimo da imamo dva valjka jednakih dimenzija i jednakih masa. Jedan od njih je šupalj a drugi je pun. Napravljeni su od materijala različite gustoće. Kako bi otkrili iz njihovog gibanja koji je šupalj a koji je pun?

Oba valjka pustimo s kosine visine h da se kotrljaju bez klizanja. Puni valjak imat će veću

brzinu jer mu je moment inercije manji.

Zakon sačuvanja energije:

mgh mv Is s s 1

2

1

22 2

mgh mv Ip p p 1

2

1

22 2

Moment inercije šupljeg valjka:

I mrs 1

22

Moment inercije punog valjka:

I mrp 1

42

v ghs

v ghp 4

3

Valjak mase m polumjera r kotrlja se bez klizanja niz kosinu h. Kolika je brzina centra mase na dnu kosine ako je početna brzina nula? Problem riješite pomoću

a) Newonovih zakona i

b) zakona sačuvanja energije

mg

N

f

ma mg f sin

II Newtonov zakon

M I frcm

v

sa

2

2

I mrcm 1

22

translacija

rotacija

v s gh 4

32

4

3sin

mgh mv I 1

2

1

22 2

Zakon sačuvanja energije

v gh4

3

Homogeni valjak mase m polumjera b spušta se uzduž krivulje prikazane na slici. S koje najmanje visine h moramo pustiti tijelo da bi prešlo kružni dio puta?

Kolika bi ta visina bila kada bi valjak aproksimirali materijalnom točkom ?

R

h

mgh mv

I mg R 2 2

2 22

I mb1

22

v

b

Zakon sačuvanja energije:

Uvjet koji brzina centra mase u najvišoj točki

mora zadovoljiti da se valjak giba po kržnoj

putanji:

mv

Rmg

2

h R11

4

U sistemu prikazanom na slici odredite akceleraciju pada koluture i napetost niti. Koluture aproksimirajte diskom. Zadano je m1=5 kg, m2=5 kg.

m1,r1

m2,r2II Newtonov zakon

Tr I m ra

rm a r1 1 1 1 1

2 1

11 1 1

1

2

1

2

za prvu koluturu

Tr I m r2 2 2 2 2 2

1

2

m g T m a2 2 2

a a a2 1 2

Za drugu koluturu:

Odnos između akceleracija

a

mmmm

g g2

1

2

2

1

2

1

3 2

6

7

Tm g

m mN

2

2 13 214

/

Kuglica mase m giba se brzinom v. Na visini h iznad podloge udari o štap dužine L=4 h i mase M=3m. Štap se nalazi na savršeno glatkoj podlozi, a sudar je savršeno neelastičan. Koliki je gubitak kinetičke energije pri sudaru?

M

Lv

h

Pretpostavke:

vmv

m M

vcm

4

xML mh

M mh

/ 2 7

2

Na sustav kuglica štap prije sudara ne dijeluje

vanjska sila pa za centar mase vrijedi:

I m h h

ML

M L h

cm

( )

( )

7

41

121

2

7

4

2

2

2

Moment inercije sistema oko centra mase je

doprinos kuglice

doprinos štapa

preko Steinera

I mhcm 19

42

W mv M m v I mvk cm cm cm

1

2

1

2

1

2

6

192 2 2 2

Zakon sačuvanja kutne količine gibanja

I mv h hv

hcm cm cm ( )7

4

3

19

Izgubljena kinetička energija jednaka je

razlici energija prije i poslije

Izračunaj moment tromosti kružnog diska mase m i radijusa r za os koja vertikalno prolazi kroz njegov centar. Uzmimo da je debljina diska zenemarivo mala.

rdr

d

rd

dI dmr 2

dm da

m r/ 2

da dr rd

I dIm

rr drd

R

2

3

2

2

0

/

/

Imrdr d

R

/

/

2

2

0

Im

R mR

1

2

1

22 2