matematika 9

1

HYRJE Libri që keni në dorë është botim i Shtëpisë botuese “UEGEN” për t’i ardhur në ndihmë mësuesve që japin lëndën e matematikës në klasat e nënta. Këtu do të gjeni planin mësimor të matematikës së klasës së nëntë. Në këtë libër për çdo temë mësimi do të gjeni objektivat e orës së mësimit, koncepet kryesore të temës, strukturën e orës së mësimit, metodën që mund të përdoret për të qënë të suksesshëm si dhe procedura se si mund të zhvillohet çdo temë mësimi. Mënyra se si e kemi konceptuar orën e mësimit është në përputhje me struktura e orës së mësimitt që përdoren sot, të provuara e të vlerësuara të suksesshme. Çdo temë mësimi mësimi ka lidhje të ngushtë me orën paraardhëse ndaj dhe në parashtrimet në vijim në këtë libër është parë si një e tërë zhvillimi i orëve të mësimit të matematikës. Në fazën e evokimit janë planifikuar kontrolli i detyrave të shtëpisë si dhe pyetje që përsërisin njohuritë e marra në temat paraardhëse. Gjatë fazave të tjera të orëve të mësimit janë planifikuar struktura e orës së mësimit ta ndryshme. Ajo që duhet mbajtur gjithnjë në konsideratë është që sado që të japësh receta të gatshme për organizimin e orës së mësimit ato asnjëherë nuk japin rezultatin e pritshëm nëse nuk merren parasysh edhe faktorë të tjerë që kanë lidhje me orën e mësimit si përshembull: gjendja e klasës, infrastruktura e shkollës, gjendja ekonomike e familjes nga vijnë nxënësit, e mbi të gjitha nga angazhimi i mësuesit. Padyshim që ajo ç’ka serviret në këtë libër nuk përjashton struktura e orës së mësimit të tjera që mund të jenë njëlloj të suksesshme. Këto që janë shkruar në këtë libër janë një nga modelet e mundshme të zhvillimit të orës së mësimit, por mësuesi i matematikës është autoriteti i vetëm dhe kryesor që vendos për orën e mësimit. Mësimi i matematikës në klasën e tetë do të zhvillohet në

35 javë mësimore me 4 orë/javë Gjithsej 35 javë x 4 orë/javë = 140 javë

Linjat Nënlinjat Sasia e orëve

Kuptimi i numrit 8 Numri Veprime me numra 8 Kuptimi dhe përdorimi i matjes

Matja Njëhsimi i gjatësisë, perimetrit, sipërfaqes dhe vëllimit

9

Gjeometria në plan 35 Gjeometria në hapësirë 5 Gjeometria Shndërrime gjeormetrike 16 Kuptimi i shprehjes shkronjore. Shndërrimi i tyre. 8 Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve, sistemeve 18 Algjebra dhe

funksioni Funksioni 7 Statistikë Mbledhja, organizimi

dhe përpunimii të dhënave. probabiliteti Probabilitet

6

Orë të lira 20 Shuma 140

2

Planet mësimore “Matematika 9”

Nr Kapitulli Orët Tema për çdo orë mësimi Mjete 1 1 Bashkësia. 2 2 Numrat real. 3 3 Nënbashkësi të veçanta të R-së.

4 4 Rrënja katrore, Rrënja me tregues n e një numri. 5 5 Fuqia me eksponent racional. 6 6 Vetitë e fuqive me eksponent racional. 7 7 Shkrimi shkencor i një numri real. 8

Kreu I

Kuptimi i numrit

8 orë

8 Ushtrime. 9 1 Veprime me numra racional. 10 2 Rrumbullakimi i numrave. 11 3 Vetitë e rrënjës katrore.

12 4 Nxjerrja e faktorëve nga shenja e rrënjës. Futja e faktorëve nën shenjën e rrënjës.

13 5 Mbledhja dhe zbritja e numrave real. 14 6 Veprime me numra real. 15 7 Ushtrime mbi rrënjët. 16

Kreu II

Veprime me numra

8 orë

8 Detyrë kontrolli. 17 1 Sipërfaqja e drejtëkëndëshit. 18 2 Sipërfaqja e paralelogramit. 19 3 Sipërfaqja e trekëndëshit. 20 4 Formula e Heronit. 21 5 Sipërfaqja e rombit. 22 6 Sipërfaqja e trapezit. 23 7 Sipërfaqja e shumëkëndëshit jashtëshkruar rrethit. 24 8 Sipërfaqja dhe vëllimi i sferës. 25

Kreu III

Matja

9 orë

9 Ushtrime dhe problema për kreun. 26 1 Katërkëndëshat. 27 2 Paralelogrami. Vetitë e tij. 28 3 Kushtet qe katërkëndëshi të jetë paralelogram. 29 4 Problema (ushtrime). 30 5 Drejtëkëndëshi. Vetitë e tij. 31 6 Rombi. Vetitë e tij. 32 7 Katrori. Vetitë e tij. 33 8 Trapezi. Vetitë e tij. 34 9 Trapezi. Llojet e tij. 35 10 Detyrë kontrolli. 36 11 Segmentë të përpjesshëm. Vetitë. 37 12 Teorema e Talesit. 38 13 Ngjashmëria e trekëndëshave. 39 14 Rasti i parë i ngjashmërisë së trekëndëshave. 40

Kreu IV

Gjeometria në plan

35 orë

15 Rasti i dytë i ngjashmërisë së trekëndëshave.

3

41 16 Rasti i tretë i ngjashmërisë së trekëndëshave. 42 17 Segmentë proporcionalë në trekëndësha të ngjashëm.. 43 18 Perimetri i shumëkëndëshave të ngjashëm. 44 19 Raporti i sipërfaqeve të shumëkëndëshave të ngjashëm. 45 20 Teoremat e Euklidit. 46 21 Teorema e Pitagorës.

47 22 Zbatime të teoremave të Euklidit dhe teoremës së Pitagorës.

48 23 Ushtrime. 49 24 Rrethi. Këndi me kulm në rreth.. 50 25 Zbatime për këndin me kulm në rreth. 51 26 Tangjetja e hequr mbi një rreth. 52 27 Trekëndëshi brendashkruar rrethit. 53 28 Trekëndëshi jashtëshkruar rrethit. 54 29 Ushtrime. 55 30 Matja e këndeve dhe harqeve. 56 31 Funksionet trigonometrikë në Δ kënddrejtë. 57 32 Formulat themelore e trigonometrisë. 58 33 Funksionet trigonometrikë për këndet 300, 450 dhe 600. 59 34 Ushtrime për funksionet trigonometrikë. 60 35 Detyrë kontrolli. 61 1 Drejtëza pingule me planin. 62 2 Plane pingulë. 63 3 Sfera. 64 4 Plani tangjent me sferën. 65

Kreu V

Gjeometria në hapsirë

5 orë 5 Problema. 66 1 Vektori. 67 2 Mbledhja e vektorëve. 68 3 Zbritja e vektorëve. 69 4 Mbledhja dhe zbritja e disa vektorëve. 70 5 Shumëzimi i vektorit me një numër real. 71 6 Zbatime të veprimeve me vektorë. 72 7 Koordinatat e pikës dhe vektorit në boshtin koordinativ. 73 8 Koordinatat e pikës dhe vektorit në planin kartezian. 74 9 Veprime me vektorë në planin kartezian. 75 10 Veprime me vektorë në planin kartezian (vazhdim). 76 11 Pasqyrimet gjeometrike. Izometria. 77 12 Simetria qendrore. 78 13 Simetria boshtore. 79 14 Zhvendosja paralele. 80 15 Rrotullimi. 81

Kreu VI Shndërrime gjeometrike

16 orë

16 Detyrë kontrolli. 82 1 Faktorizimi i polinomeve. 83 2 Faktorizimi i trinomit ax2 + bx + c. 84

Kreu VII Shprehjet

shkronjore. 3 Shprehjet racionale.

4

85 4 Thjeshtimi i shprehjeve racionale. 86 5 Shumëzimi ose pjestimi i shprehjeve racionale. 87 6 Mbledhja ose zbritja e shprehjeve racionale. 88 7 Shprehje racionale komplekse. 89

shndërrimi i tyre. 8 orë

8 Veprime me shprehje racionale.

90 1 Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. njëvlershmëria e tyre.

91 2 Mjedisi. Rrënjët e huaja të ekuacionit. 92 3 Ekuacione me ndryshore në emërues. 93 4 Modelime matematike (problema). 94 5 Zgjidhja e ekuacioneve shkronjorë. 95 6 Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së dytë.

96 7 Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore duke krijuar katror binomi.

97 8 Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore duke përdorur formulën me dallor.

98 9 Formulat e vietës. 99 10 Sistemi i ekuacioneve lineare me dy ndryshore. 100 11 Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve lineare. 101 12 Mosbarazimet numerike. 102 13 Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. 103 14 Studimi i shenjës së binomit.

104 15 Sisteme inekuacionesh të fuqisë së parë me një ndryshore.

105 16 Inekuacione në formë prodhimi, herësi. 106 17 Inekuacione të dyfishtë. 107

Kreu VIII Zgjidhja e

ekuacioneve, inekuacionev

e dhe sistemeve të ekuacioneve

18 orë

18 Detyrë kontrolli. 108 1 Prodhimi kartezian. 109 2 Relacioni, funksioni. 110 3 Bashkësia e përcaktimit të funksionit. 111 4 Funksioni kuadratik y = ax2 dhe y = ax2 + n. 112 5 Funksioni kuadratik y = ax2 dhe y = a(x – m)2 . 113 6 Funksioni kuadratik y = ax2 dhe y = ax2 + bx + c. 114

Kreu IX Funksioni

7 orë

7 Ushtrime. 115 1 Konceptet statistikore. 116 2 organizimi i të dhënave statistikore. 117 3 Moda. Mesatarja aritmetike. 118 4 Karakteristikat e shpërndarjes. 119 5 Probabiliteti statistikor.

120

Kreu X Statistikë dhe ptobabilitet

6 orë 6 Ngjarje e sigurt. Ngjarje e pamundur. Ngjarjet e

papajtueshme.

5

KREU I

KUPTIMI I NUMRIT

I.1. BASHKËSIA. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të shkruani bashkësitë duke përdorur simbolikën për bashkësitë. Të kryeni veprimet e prerjes dhe bashkimit të bashkësive. Të dalloni numrat natyror dhe numrat e plotë.

Mjetet: libri, tabelë me prerje dhe bashkim bashkësie. Metoda:

Evokim Realizim Reflektim Kujtoni Stuhi mendimesh

Shpjeguese Punë e drejtuar

Punë me grupe dyshe.

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Jepni një bashkësi. -Si shkruhet? –Trego ndonjë elementë? -Si shkruhet me emërtim? Po me përshkrim? RELIZIMI: Bashkësia e dhënë me përshkrim shkruhet dhe lexohet: {x/x ka vetinë P}.⇒“Bashkësia e të gjitjë elementëve x të tillë që kane vetinë P” -Sqarojmë shëmbujt e dy bashkësive që janë zbërthyer në libër. (dy shënjat qe janë përdorur ∧ dhe ∨ në libër lexohen: ∧⇒ dhe ∨ ⇒ ose. -Njëkohësisht lexojmë dhe shkruajmë figurat në tekst: Përforcojmë edhe një herë bashkësitë e numrave.

a) N = {1, 2, 3, 4……………} ⇒ bashkësia e numrave natyrorë. Kjo bashkësi ka edhe disa nënbashkësi. T = {1, 3, 5, 7……….} ⇒ numrat tek natyrorë. Ç ={2, 4, 6, 8………..} ⇒ numrat natyrorë çift P = {1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29….} ⇒ numrat natyrorë prim. Ka plot nënbashkësi të tjera,njëshifrorë,dyshifrorë etj.

b)Numrat e plotë: Z = {….-3, -2, -1, 0, 1, 2 …….} ⇒ bashkësi e numrave të plotë. N ⊂ 2; T ⊂ N; ç ⊂ N; ç ⊂ P etj.

REFLEKTIMI: : Punojmë ushtrimin (1) me bashkëbiseduar.Sejcili nga nxënësit japin mendin e tyre. -Të punojmënxënësit me grupe dyshe në mënyrë të pamvarur. Mësuesi shkon tek sejcili grup *bangë( dhe udhëzon, dhe ndihmon atje ku është e nevojshme. -Nxënësit bëjnë gati përgjigjen e pyetjes (2) dhe në momentin që ata do të deklarojnë mendimin e tyre ata të motivohen për të qënë gjallërisht në mësim. Të bëhet vlerësimi: Detyra shtëpie 3/ 4 (ushtrimet që janë tek rubrika “verifiko dijenitë tuaja”.

6

I.2. NUMRAT REAL. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të tregoni përkatësinë e çdo numri në bashkësitë numerike. Të tregoni vendndodhjen e numrave real në boshtin numerik. Të zgjidhni situata problemore.

Mjetet: libri, tabelë me bashkësinë e numrave. Metoda:

Evokim Realizim Reflektim Kujto. Stuhi mendimesh

Diskutimi Punë e drejtuar


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI:- Tregoni disa numra natyrorë? -Si e shënojmë bashkësinë e N? -Tregoni disa numra të plotë? -Si shënojmë bashkësinë e numrave të plotë? -Tregoni disa thyesa? REALIZIMI: Vizatoni një bosht numerik. -Hidhni në bosht numeric bashkësitë e mëposhtëme. -Sqaron mësuesi se çdo numër e kthejmë në thyesë në formën m

n ku

m ∈ Z dhe n ∈ N. -Të gjithë numrat që kthehen në thyesë bëjnë pjesë në bashkësinë e numrave racional.

-Simbolikisht shkruhet : | ;mQ m Z dhen Nn

⎧ ⎫= ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

-Punon disa ushtrime: Kthe në thyesë. 44

1= ;

353, 510

= ; 252,59

= ; 88

1−

− = etj.

-Numra jo periodikë, të pafundën quhen numra irracionalë (I), të tillë si

2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ;.......etj. -Tregojmë tabelën me bashkësitë e numrave. Kjo tabelë është e nevojshme të sqarohet fort që do të thotë se numri 7∈ N, por 7 ∈ Z ⇒ 7 ∈ Q; ⇒ 7 ∈ R, por 7 ∉ tek I. -9 ∈ Z ⇒ - 9 ∈ Q ⇒ - 9 ∈ R, por numri - 9 nuk bën pjesë tek bashkësitë N dhe I, pra - ∉ N dhe - 9∈ I. Punojmë shëmbujt e punuar në libër si dhe hedhim numrat R në boshtin numeric. REFLEKTIMI: Të punojmë ushtrimet 1;2 në grup dyshe.

Nxënësit në grupe të vogla diskutojnë, marrin dhe japin mendime rreth kërkesës së ushtrimeve dhe përgatisin mendimin përfundimtar të zgjidhjes së tyre. Mësuesi shikon grupet, udhëzon, ndihmon ku e sheh të arsyeshme. -Mendoj të punojnë në grupe dyshe (grupe të vogla), sepse këtu është mundësi më e madhe për të dhënë mendime e ide, ndërsa në grupe me më shumë nxënës, mund të hysh e të dalësh pa dhënë ide, e pa bërë punë fare.

7

Të bëhet vlerësimi: Detyra shtëpie ushtrimet 3/ 4 I.3. NËNBASHKËSI TË VEÇANTA TË R-së.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të zbatoni marrëdhëniet e perfshirjes bashkësive numerike. Të njihni, shkruani e lexoni simbolikën e nënbashkësive të veçanta të R. Të kryeni veprimet e prerjes, bashkimit, me segmentin, gjysmësegmentin, intervalin,

gjysëmintervalin. Mjetet: libri, tabelë ku tregon nënbashkësitë e boshtit R. Koncepte: Segmenti numeric,gjysëmsegmenti,intervalin,gjysëmintervalin. Metoda:


Shpjego Arsyeto Punë e drejtuar

Punë në grupe dyshe.

Zhvillimi i mësimit

EVOKIMI: - Tregoni disa nënbashkësi të numrave të numrave të plotë Z. Këtu nxënësit duhet të flasin çfarë dinë për këtë pyëtje, të tregojnë nënbashkësi të ndryshme, të lexojnë, të shkruajnë simbolikisht ato. REALIZIMI: -Punojmë pjesën e parë të mësimit se ç’tregojnë simbolikat e shkruara: Z - ; Z+ ; Z- ; Z+ - ; Z- + -Kemi disa nënbashkësi të tjera në bashkësinë R. a) a ≤ x ≤ b ⇒ Si lexohet? Si quhet? Si shkruhet ndryshe? Mësuesi tregon një tabelë, ku janë pasquruar grafikisht këto nënbashkësi.( ku a dhe b janë dy numra realë), që përfshin me bashkësinë. figura a ≤ x ≤ b ⇒ ]a ; b[ ⇒ quhet segment ⇒ A = {x ∈ R\ a < x < b}

b) Në rastin kur a < x < b ( ku a dhe b janë dy numra realë) që nuk përfshin në bashkësi. a < x < b ⇒ ] a ; b [ ⇒ quhet interval A = { x ∈ R \ a < x < b}

Në të njëjtin mënyrë trajtohen edhe gjysëm segmenti. c) a ≤ x < b

[ a ; b [ ⇒ A = {x∈ R \ a ≤x < b } ( gjysmësëgment) d) a < x ≤ b

] a ; b] ⇒ A = {x ∈ R\ a <x ≤ b} ( gjysmëinterval) Punojmë shëmbujt e ushtrimeve në të mësimit. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 / 2 duke punuar në grupe dyshe, dhe bëjmë gati deklarimin e përgjigjeve,nxënësit merren me diskutim.

8

Mësuesi për të parë se sa është kuptuar mësimi mund të organizojë një mini test në 5 minutat e fundit

MINITESTI. Përgatitet me fishe me gupe që sejcili tq mos ketë mundësi të shikojë tek shoku

praën. -Kërkesa mund të jetë e tillë: Jepen : A = ] – 5 ; 4] ; B = [ 0 ; 6[ dhe C = ] - ∞ ; 3[ Paraqit në boshtin numeric dhe gjej. a) A∩C ? b) A ∩B = ? c) B∪C = ?

Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie ushtrimet 3/ 5/ 7. I.4. RRËNJA KATRORE. RRËNJA ME TREGUES n E NJË NUMRI. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të njëhsoni rrënjën katrore dhe rrënjën me tregues n të një numri. Të njëhsoni rrënjën nëpërmjet zbatimit të kuptimit të fuqisë. Të argumentoni saktësinë e rrënjës katrori të një numri.

Mjetet: libri. Metoda:

Evokim Realizim Reflektim Kujto Stuhi mendimesh

Diskuto Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe.


EVOKIMI: - Sa është 32 ? 72? 52? -Cili është numri që katrori I tij është 36? 16? 81? REALIZIMI: 52 = 25 atëhere mund të themi se _____= 5. Pra 25 = 5 sepse 52 = 25 Në përgjithësi a = b sepse b2 = a. Duke u mbështetur te ky rregull, mund të themi se rrënja katrore e një numri negativ nuk ekziston sepse katrori I çdo numri jep numër pozitiv. n a = b ⇒ bn = a janë barazime të njëvlershme. 3 27 = 3 sepse 33 = 27; 3 8 2= sepse 23 = 8 5 1 1− = − sepse ( - 1 )5 = - 1 3 8 2− = − sepse ( -2)3 = - 8 Punojmë ushtrimet në fund të mësimit. REFLEKTIMI: Punojmë me grupe dyshe ushtrimet 1/ 2/ 3/ 4 të grupit të parë. Aktivizohen sa më shumë nxënës për të dhënë përgjigjet e duhura,është fazë që edhe mund të diskutohet midis tyre.

9

Shkruani rrënjën me tregues n të pesë numrave dhe argumentoni përfundimet e gjetura. Vlerësimi me notë. Detyra: Ushtrimet e grupit III dhe IV. I.5. FUQIA ME EKSPONENT RACIONAL. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të njëhsoni fuqitë me eksponent racional të një numri. Të ktheni fuqinë me eksponent racional në rrënjë dhe anasjelltas. Të gjeni vlerën e shprehjes duke zbatuar fuqinë me eksponent racional.

Mjetet: libri. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujtoni Stuhi mendimesh

Shpjegues Punë e drejtuar


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: Cili jep një fuqi? -Cila është baza e fuqisë? -Po eksponenti i fuqisë? Këto pyetje të bëra marrin përgjigje në mënyrë të njëpasnjëshme.(nxënësit japin mendimet e tyre). REALIZIMI: Nëse kemi fuqinë am → a → baza dhe m → eksponent. Mësuesi shpjegon, se (m) mund të paraqitet me këto tre raste:

1) m mund të jetë numër natyror (numër i plotë pozitiv) 2) m = 0 3) m → mund të jetë numër i plotë negativ. Të thonë nxënësit shembuj për çdo rast. 1) am = . . ..... ma a a a a

m= 35 = 3.3.3.3.3

2) a0 = 1 ⇒ (3, 5)0 = 1 ( )02 13− =

3) 1mma

a− = ⇒ 2

2

133

− = ( - 4,5)-3 = ( )3

14,5

Mësuesi duhet të sqarojë edhe rastin kur eksponenti është thyesë mn

1mn

maa

= ku m ∈ Z dhe n ∈ N

Punohen ushtrimet në fund të mësimit. REFLEKTIMI: Punoni me grupe dyshe ushtrimet në libër të grupit I dhe II.

10

-Mësuesi gjendet praën nxënësve, I ëmbël dhe komunikues me ta,shikon (vështron),diku udhëzon, e në vend tjetër ndihmon kur sheh se puna nuk ecën me ritmin e klasës. Pasi bëhen gati nxënësit për të deklaruar përgjigjen,motivohen të gjithë për të qënë të vëmendshëm në përgjigjen e shokëve. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie: Ushtrimet e grupit III dhe IV. TEMA 1.6 VETITË E FUQIVE ME EKSPONENT RACIONAL. I.6. VETITË E FUQIVE ME EKSPONENT RACIONAL. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të zbatoni vetitë e fuqive me eksponent racional. Të njihni varësinë ndërmjet rrënjëve dhe fuqive me eksponent racional. Të thjeshtoni shprehjet duke zbatuar vetitë e fuqive me eksponent racional.

Mjetet: libër i matematikës 9, tabelë me vetitë e fuqive. Metoda:


Diskutimit Punë e drejtuar



EVOKIMI: -Jepni dy fuqi me baza të njëjta. -Jepni dy fuqi me eksponent të njëjtë. -A ju kujtohet?

1) am . an = am + n ? am . bm = (ab)m m

m nn

a aa

−= ma b m

b a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Jepni shëmbuj për këto raste. REALIZIMI: Tregojmë para nxënësve tabelën ku janë të pasqyruara vetitë e fuqive me eksponent racional.

1) ar . as = ar + s Mësuesi ngre në dërrasë nxënës të zbatojnë këto veti: (të tilla si)

x2 . x3 = x5 a4 . a7 = a11 35 . 32 = 37 2 1 115 3 15m m m⋅ = etj.

-Përqëndrojmë vëmendjen tek vetia e dytë.

r

r ss

a aa

−= Ngrejmë një nxënës tjetër të kryejë ushtrimet.

7

34

3 33

= 2

2 5 35 3

5 15 55 5

− −= = = 4

04 1x x

x= =

Po kështu veprohet edhe për vetitë e tjera si:

(ar)s = ars (a . b)r = ar . br r b

r

a ab b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

r ra b

b a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11

Kujdes tregoni për vetinë e r ra b

b a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

të zbatohen:

Shëmbuj : 2 24 5

5 4

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 35 6

6 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2

2 177

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

REFLEKTIMI: Pasi kemi punuar ushtrimet në fund të mësimit, atëhere nxënësit të punojnë me grupe dyshe, grupin e ushtrimeve I 5 / 6, II/ 8/9 V/ 8/9

5/1 . 1

3 1 2 13 5 15

2 15 15

1a a aa a

−= = = 6/1

11 1 833 5 15

1 8155

1m m mmm

− −−

= = =

1 3 2 1 3 2 3 2 2 3 33 2

2 2 2

9 27 9 9 3 81 3 3381 81 81 3

n n n n n n nn

n n n n

− − − − − − −−

− − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

1 2 2 4 2 3

2 2 4 2 2 3

8 16 2 4 4 2 16 264 4 4 16

n n n n n n nn

n n n n

− − −

− − − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅

Të deklarojnë nxënësit përgjigjen dhe nxënësit të marrin pjesë në deklarim. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie Ushtrimet grupit I / 2/3/4

II /4/5/6 III / 3/4/7

I.7. SHKRIMI SHKENCOR I NJË NUMRI REAL. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të shkruani çdo numër real në trajtën shkencore. Të shkruani në trajtë standarte numrin real të shkruar në trajtë shkencore. Të kryeni veprime me shprehje të ndryshme.

Mjetet: libri i matematikës 9. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujtoni Stuhi mendimesh

Shpjegues Punë e drejtuar


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Kujto! -Si shkruhet në mënyrë shkencore një numër? A = n . 10m ku 1 ≤ N < 10 -Si shkruhet në mënyrë shkencore. 3000 = 3 . 103 45000 = 4,5 . 104

REALIZIMI: Mësuesi shpjegon përkufizimin e shkrimit shkencor të një numri. Kur 10 ka si fuqi një numër natyror i _____

105 = 100000 103 = 1000 107 = 10000000 Ka aq zero sa edhe eksponenti.

12

Kur 10 ka eksponent,numër negativ atëhere, shifrat 0 vihen para njishit aq zero plus vetë 1 sa është eksponenti I fuqisë.

10-2 = 0,01 10-5 = 0,00001 10-7 = 0,0000001 etj. -Një numër kthehet në trajtë shkencore duke e bërë prodhim e një numri 1≤ a < 10 me eksponent sa shifra ka pas presjes. 65000 = 6,15 . 104 3120000 = 3,12 . 106 etj. -Mësuesi shpjegon ushtrimet në fund të mësimit.

REFLEKTIMI: Të punojmë në grupe 1/ 2. Nxënësit të punojnë me grupe duke shkëmbyer mendime dhe ide për të shkruar numra me trajtë shkencore. 41,5 . 104 = 4,15 . 105 412,5 . 107 = 4,12 . 108 125 . 107 =1,25 . 109 0,0017 . 10 +8 = 1,7 . 105 Të deklarojnë përfundimet e ushtrimeve dhe të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie ushtrimi 3 / 5. I.8. USHTRIME. Kjo orë mësimi mund të bëhet në formë konkursi. Mësuesi që më parë ka përgatitur fishe me ushtrimet për çdo grup, ku shënohen koha e përgatitjes dhe sasia e pikave. Modeli: -Ndaj klasën në 4 grupe. -Cakto përgjegjësin e grupit.

Ushtrimi 1. Jepet bashkësia 13

⎧⎨⎩

; - 8 ; 14; 21; 49;− - 32; 3; 012 ; 18; -8; }306;5

Përgjigja e pyetjeve. Cakto numrat sipas përkatësisë së bashkësisë. Koha 3 minuta vlerësimi 3 pikë. Ushtrimi 2 Shkruani mosbarazimet me mënyrë tjetër si nënbashkësi. Grupi parë Grupi dytë Grupi tretë Grupi katërt a){x|- 2 ≤ x ≤ 4 {x |- 8 ≤ x < 4 {x| - 5 < x < - 3 {x| - 7 ≤ x < 7 b) { x | - 4 < x < 8 {x | 5 ≤ x < 7 x | 4 < x ≤ 7 x | 9 < x < 15 Koha 3 minuta Vlerësimi 3 pikë Ushtrimi 3. Jepen bashkësitë A = [ - 1 ; 3] B = [ 2; + ∞[ C = ] -∞; 0 [ Parqit këto bashkësi në boshtin numeric dhe gjeni:: a)A∩B b)A ∩V = ? c) A ∪ ( B ∩C) d) A ∩B ∪ C Koha 3 minuta vlerësimi 3 pikë Ushtrimi 4. Njehsoni fuqitë, (argumento përgjigjen).

33 3 3 33 5 3 464 1 8 8181; 121; 216; 343; 64; 125; 512; 1; ; ; ;81 32 27 16

− − − − − −

Koha 3 minuta vlerësimi 3 pikë Ushtrimi 5. Ktheni fuqitë në rrënjë.

13

2 432 1 2 11 4 2 33 3 3 52162 ; 49 ; 27 ; 36 ; ;8 ;8 ,32

49⎛ ⎞− − ⎜ ⎟⎝ ⎠

Koha 3 minuta, vlerësimi 3 pikë Ushtrimi 6. Thjeshto:

8 9 2 4 7 8 4 5 3 4

6 7 0 8 10 12 2 3 7 2 1 1

4 5 6 7 6 5 7 8; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;4 5 6 7 6 5 7 8

x y r yx y r y

−

Ushtrimi 7. Gjeni vlerën e shprehjes.

1 1 30 14 22 3

3

4 125 2 1 1 16 649 27 5 10 81 8136

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

Koha 5 minuta Vlerësimi 5 pikë Ushtrimi 8 . Shkruani në mënyrë shkencore. 401,5 . 104 = 0,401 . 106 = 0,0036 . 10-2 = 0,01 . 101 = 42,4 . 105 = 433,5 . 107 = 3 pikë 3 minuta Ky konkurs përveç se kontrollohen apo emonicionon nxënësit I mobilizon të gjitjë që të punojnë në mënyrë të pavarur. Mësuesi duke mbledhur pikët e sejcilit grup shpall grupin fitues dhe mbi bazën e këtij bën vlerësimin me notë në këtyë kapitull. Detyra shtëpie ushtrimet grupi X/ ushtrimi 1 / 2

KREU II

VEPRIMI ME NUMRA

II.1. VEPRIME ME NUMRA RACIONAL. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të ktheni në thyesë numrat racionalë. Të gjeni shumën, ndryshesën, prodhimin, herësin e dy numrave racional. Të zbatoni radhën e veprimeve në shprehje me numra racional.

Mjetet: libri i matematikës 9. Metoda: Diskutimit, punë e drejtuar, punë me grupe.

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Cili thotëdisa numra racional. -Si mund të shkruajmë në thyesa të plotë? Nxënësit e dinë këtë gjë,ngrejmë nxënës në dërrasë, të kthejnë në thyesa numrat. 33

1=

771

= 353, 510

= 70, 07

100=

434, 79

−

= 170,1799

−

= 7067,1399

−

= 713 71 642 2147,13

90 90 30

− −= = =

14

REALIZIMI: Si mblidhen dy numra racional. 2 5 2 15 2 135

3 1 3 3 3− +

− + = − + = = −

Në përgjithësi : a c ad bcb d bd

++ = ose

a c ad bcb d bd

−− =

Shumëzo: 2 4 2 4 83 5 3 5 15

⋅⋅ = =

⋅

Në përgjithësi: a c acb d bd⋅ =

Kujdes mësuesi duhet të kalojë nga e njohura (apo e thjeshta) tek më e vështira apo e përgjithshmja. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 / dhe 2.

Nxënësit punojnë me grupe dyshe, diskutojnë dhe veprojnë në mënyrë ta pamvarur,ndërsa mësuesit i krijohet mundësia të vrojtojë, të udhëzojë apo të ndihmojë nxënës që kanë nevojë për punë të diferencuar. Pasi u lëmë kohë të mjaftueshme që të përgatisin përgjigjen, sensibilizojmë nxënësit që të marrin pjesë active në diskutimin e zgjidhjes së ushtrimeve. Të Të Të bëhet vlerësimi. Detyra:shtëpie ushtrimet3 / 4. II. 2. RRUMBULLAKIMI I NUMRAVE.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të njihni vendvlerën e shifrave të një numri. Të rrumbullakosni numrat në një shifër të caktuar. Të përdorni rrumbullakimin e numrave për gjetjen e vlerës së një shprehje.

Mjetet: libri i matematikës . Metoda:


Diskutoni Punë e udhëhequr


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Tregoni vend vlerën e shifrave për numrat 413; 517; 42, 381 -çdo të thotë të rrumbullakosësh një numër? Realizimi: Rrumbullakosni numrin sipas rregullit. Shëmbulli në libër.

a) Të rrumbullakosni më të plota. b) Më afërsi 10 c) Me afërsi 100 d) Me afërsi 1000

15

e) Me të dhjetat f) Me të qindat.

Duke sqaruar se për të rrumbullakosur një numër me një shifër të caktuar duhet që atë shifër të nënvizojmë dhe të shohim se ç’farë shifre vjen pas. 1 – Nëse pas shifrës nënvizuar njëri një shifër më e vogël se 5, shifrat bëhen zero. 2-Nëse pas shifrës së nënvizuar vjen një shifër 5 e lart, shifra e nënvizuar rritet një njësi, shifrat pas bëhen zero. Të punohen ushtrimet e zgjidhura në libër duke marrë pjesë në diskutim edhe nxënësit. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1/ dhe 4. Tek ushtrimi 4, nxënësit duhet të përdorin makinën llogaritëse dhe rrumbullakimi deri me tri shifra pas ____. Shëmbull: 1 7 0, 5 , 9, 64575 0, 5 2, 646 3,146

2+ = + = + =

Të lëmë kohën e nevojshme qe nxënësit të përgatiten për të deklaruar përgjigjen dhe motivojmë nxënësit që të marrin pjesë në diskutim. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie Ushtrimi 6 . II.3. VETITË E RRËNJËS KATRORE. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zbatoni vetitë e rrënjëve në njëhsimin e rrënjës katrore të një numri. Të përdorni vetitë e rrënjëve në kryerje veprimesh me numra real. Të zgjidhni situata problemore.

Mjetet: libri i matematikës 9, makinë llogaritëse. Metoda:


Shpjego demostro


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Shkruaj në rrënjë katrore fuqinë:

124 4=

2 3 238 8= 9 5 455 5=

3 227 7= REALIZIMI:Për çdo numër real është i vërtetë barazimi:

m

n mna a= ku m ∈Z dhe n ∈ N. (3 . 4)2 = 32 . 42 Në përgjithësi: ( a . b)r = ar . br

3 3

3

3 34 4

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Në përgjithësi r r

r

a ab b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Kujdes duhet sqaruar me shëmbuj të ndryshëm.

16

r ra b

b a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ 3 32 5

5 2

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Veti të rrënjëve: 4 9 4 9⋅ = ⋅ sepse 4 9 36 6⋅ = = 4 9 2 3 6⋅ = ⋅ = Në përgjithësi : a b a b⋅ = ⋅ Të punohen ushtrimet në libër. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet ushtrimet 2. Njehsoni duke zbatuar vetitë e rrënjës katrore. Ndërsa nxënësit punojnë me grupe dyshe bëjjë njehsimet e duhura, mësuesi gjen hapësirë për të punuar në mënyrë të diferencuar me nxënësit që kanë nevojë për punë të diferencuar. Në momentin që bëhen gati përgjigjet e nxënësve, atëhere jemi të motivuar për të marrë pjesë aktivisht në diskutim. Të bëhet vlerësimi Detyra: shtëpie ushtrimet 3/ 4 II.4. NXJERRJA E FAKTORËVE NGA SHENJA E RRËNJËS.

FUTJA E FAKTORËVE NËN SHENJËN E RRËNJËS. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të zbatoni vetitë e rrënjëve për të nxjerrë faktorë nga shenja e rrënjës. Të përdorni vetitë e rrënjëve për të futur faktorë nën shenjën e rrënjës. Të thjeshtoni duke përdorur vetitë e rrënjëëve.

Mjetet: libri i matematikës 9. Metoda:


Diskutimi dhe punë e drejtuar


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI:- Cilët quhen faktorë të thjeshtë? -Jepni disa faktorë të thjeshtë? -Si paraqitet 20 si prodhim faktorësh të thjeshtë? -Zbërthe numrat 24 dhe 108 në faktorë të thjeshtë. REALIZIMI: Për të nxjerrë nga rrënja katrore numrat 24 dhe 108 veprohet kështu (shiko në libër).

24 4 2 3 4 2 3 2 6= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ 2108 4 2 3 4 6= ⋅ ⋅ = ⋅

Punojmë një shëmbull. 50 25 2 25 2 5 2= ⋅ = =

Për ta futur nën shenjën e rrënjës veprohet kështu:

17

24 5 4 5 16 5 80= ⋅ = ⋅ = ( )2 2 33 2 3 2 9 2 18x x x x x x x= ⋅ = ⟨ =

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 / 3. 48 16 3 4 3= ⋅ = 75 25 3 5 3= ⋅ = 288 144 2 12 2= ⋅ = 5 4 2216 36 6 6 6x x x x x= ⋅ =

Me nxënësit diskutojmë çdo rast se si veçohet faktori që do të ketë rrënjë katrore. Po kështu veprohet edhe për ushtrimin 3.

23 7 3 7 9 7 63= ⋅ = ⋅ = 25 6 5 6 25 6 150= ⋅ = ⋅ = etj.

Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie ushtrimet 2. II.5. MBLEDHJA DHE ZBRITJA E NUMRAVE REAL. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të paraqitni më thjeshtë shprehje që përmbajnë rrënjë duke zbatuar rregullat e

mbledhjes apo zbritjes. Të zbatoni nxjerrjen e faktorëve nga shenja e rrënjës për gjetjen e shumës apo

ndryshesës së numrave real. Të zgjidhni situata problemore me numra real.

Mjetet: libri i matematikës 9. Metoda:


Diskutimit. Punë e drejtuar


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Thjeshto shprehjet: ( )12 5 2 5 5 12 2 14 5+ = + = ( )7 3 5 3 3 7 5 2 3− = − = REALIZIMI: Shndrroni në shprehje më të thjeshtë: 5 24 54 5 4 6 9 6+ = ⋅ + ⋅ = 5 2 6 3 6⋅ + = 10 6 3 6= + = ( )6 10 3 13 6+ = Të ngrihen nxënës për të kryer shndrrime në shprehje si: 5 20 2 45 5 4 5 2 9 5+ = ⋅ + ⋅ ⋅

18

= 5 2 5 2 3 5⋅ + ⋅ =10 5 6 5 16 5+ = REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet ushtrimet 2. Punojmë me grupe dyshe ushtrime të tilla: 4 3 2 3 12 3 2 3 14 3

3 9 9 9+

+ = =

Kujdes me ushtrime të tilla.

50 2 3 5 23 8 5 2 89 8 2 2

⋅+ = = +

Nxënësit u lihet kohë e mjaftueshme për të gjetur përfundimin e duhur dhe bëhet deklarimi i përfundimeve me një mjedis diskutues. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie ushtrimet 2/ 4/ 6/ 8/ 10/12 II.6. VEPRIME ME NUMRA REAL. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të paraqitni më thjeshtë shprehje që përmbajnë rrënjë duke zbatuar rregullat e

shumëzimit të numrave real. Të zbatoni rregullat për zhdukjen e rrënjës nga emëruesi në zgjidhje ushtrimesh të

ndryshme. Të zbatoni vetinë e barazimit kur shumëzohen dy gjymtyrët e një thyese.

Mjetet: libri i matematikës 9. Metoda: Punë e drejtuar, problemore.

Zhvillimi i mësimit Pyesim: - Si shumëzohet 4 (3 – x ) = ? Çfarë ligji zbatohet në këtë rast. Po kështu veprohet edhe kur shumëzojmë dy shprehje që përmbajnë rrënjë. ( )3 6 2 3 6 3 2+ = +

Shumëzoni: a) ( )( ) ( ) ( )7 3 5 2 7 5 2 3 5 2 7 5 7 2 5 6+ + = + + + = + + +

Marrim një shëmbull tjetër dhe ngrejmë nxënës që dinë të kryejnë shumëzime të tjera. ( )( ) ( ) ( )10 3 10 3 10 10 3 3 10 3− + = + − + =

100 10 3 10 3 3= + − − = = 100 – 3 = 97 Të punojmë ushtrimet në libër. Kryeni veprimet në shprehjet:

19

( )6 3 2 3 6 12+ = + = 3 6 2 3 18 2 3 3 2 2 3+ = + = +

( )2 32 9 64 18 8 3 2− = − = + Të bëhet deklarimi i përgjigjeve. Rëndësi ka që të sqarohet se si bëhet zhdukja e rrënjës nga emëruesi. Punohen shëmbujt (duke ngritur nxënës që dinë të kryejnë veprimet. Zhduk nga emëruesi rrënjët: ( ) ( )( )

( )( )3 7 3 7 3 7 3 2 21 7 10 2 21 2 21 10

3 7 4 43 7 3 7 3 7

+ − + + + + += = = =

− −− − +

Të punohen ushtrimet 2 / 4/ 3. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie ushtrimet 7/ 9/ 11/ 13/ 15 II.7. USHTRIME MBI RRËNJËT. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të thjeshtoni shprehje që përmbajnë rrënjë. Të zbatoni vetitë e rrënjëve dhe vetitë e fuqive për njëhsimin e shprehjeve. Të zbatoni radhën e veprimeve në shprehje të ndryshme.

Mjete: libri i matematikës 9. Këtë orë mësuesi mund ta zhvillojë në formën e një bashkëbisedimi me nxënësit për të sqaruar bashkë me ta, mënyrën e zgjidhjes së ushtrimeve të ndryshme, por mund të zhvillohet në formën e një konkursi, apo punë të pamvarur. -Ne po mundohemi të organizojmë një orë mësimi në formën e bashkëbisedimit. -Mësuesi udhëzon:- Shikoni grupimin e ushtrimeve 1. Cfarë keni të paqartë? Si do që të përgjigjen nxënësit ne punojmë bashkë me ta ushtrimet 5 dhe 7 / 20.

Ushrimi 5. 16 16 2727 16 9 4 3 123 3 1⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Ushtrimi 7:.121 121 111, 21 1,1100 10100

= = = =

Ushtrimi 20. 45 9 5 9 3500 100 5 100 10

⋅= = =

⋅

Pas këtyre ushtrimeve të punuara, për ushtrimet e tjera janë krejtësisht të ngjashme. -Ndërhyn mësuesi, vrojtoni grupin e dytë. Punojmë ushtrimin 8.

( ) ( )6 4 7 3 6 2 7 3 36 2 42 12 42 56 18 10 42 56 10 42 36− ⋅ + = + − − = − − = − −

Njehsoni :

20

( )3 6 3 6 3 3 18 2 18

3 12 3 3 2 3 3 3 3 2 3+ −

+ = = = =− − −

( )( )

3 3 6 2 23 3 18 6 2 3 6 2 23 3 6 3 23 3 2

+ −+ − + −= = = =

− −−

=( )( )

( )( )3 6 2 2 3 2 3 6 3 2 6 2 3 12 4 2

3 43 2 3 2

+ − + + − + + −= = =

−− +

=15 8 3 2 6 4 2

1+ − −

−

Të vlerësohen nxënësit Detyra shtëpie ushtrimet V 6/ 8/ 10/ 12

VI 3/ 5.

KREU III

MATJA

III.1. SIPËRFAQJA E DREJTËKËNDËSHIT. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të tregoni çdo të thotë të matësh sipërfaqen e një figure. Të njehsoni sipërfaqen e drejtkëndëshit. Të zgjidhni situata problemore me sipërfaqen e drejtëkëndëshit.

Mjetet: libri, vizore, njësi katrore. Metoda:


Shpjegimi dhe punë e drejtuar


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Cili thotë disa njësi katrore? -Vizatoni 1 cm2, 1dm2 -çdo të thotë të matësh sipërfaqen e një figure? Nxënësit lihen të lirë të shprehin mendimet e tyre për pyetjet e mësipërme. REALIZIMI: Vizatoni një drejtëkëndësh me përmasa 4 cm dhe 3cm. -Sa njësi katrore (cm2) përmban ky drejtëkëndësh? -Vizatojeni?! –Sa u doli? -Si mund ta njehsojmë ndryshe jo me të vizatuar? Përfundimin nxënësit e nxjerrin vetë S = a . b ose S = b . l -U drejtohet pyetja: Si mund ta veçojmë b = ? ose l = ? Pra S = b . l ⇒ b = S

l ose l = S

b

-Punojmë situata problemore në libër. REFLEKTIMI: Të punoni problemin 5 me grupe dyshe.

21

Nxënësit duhet të ndjekin këtë radhë pune: -Të ndajnë figurat në drejtëkëndësh -Të njehsojnë sipërfaqen e sejcilit prej drejtëkëndeshave. -Të gjejnë sipërfaqen e figurës. Ndërsa nxënësit punojnë duke e diskutuar midis tyre, mësuesit I krijohet mundësia të vrojtojë, të këshillojë dhe të ndihmojë dikë që nuk ecën deri sa nxënësit bëhen të gatshëm të deklarojnë përgjigjen e duhur. -Deklarohet përgjigja (sipërfaqes së çdo figure). Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie ushtrimet 1/ 2/ 3. III.2. SIPËRFAQJA E PARALELOGRAMIT. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të vërtetoni formulën për sipërfaqen e paralelogramit. Të zgjidhni situata problemore me sipërfaqen e paralelogramit.

Mjetet: libri i matematikës 9., vizore,letër e milimetruar, gërshërë. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Stuhi mendimesh

Demostro Shpjego dhe punë e drejtuar


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Vizatoni një parallelogram me letrën e milimetruar. -Ç’veti dimë për paralelogramin? -Hiqni një lartësi nga kulmi I këndit gjërë. -Trekëndëshin e formuar priteni me gërshërë dhe zhvendoseni. -Ç’figurë u doli? -A ka ndryshuar baza? Po lartësia? REALIZIMI: Kjo gjë vërtetohet jo vetëm praktikisht, por edhe me vërtetim. Krahasoni trekëndëshin ADE (shiko figurën 1) me trekëndëshin BCF (Këto jane trekëndësha kënd drejtë). 1) AD≡ BC Δ ADE ≡ Δ BCF ⇒SΔADE = SΔBCF 2) DE ≡ CF Nga vërtetimi del SABCD = SDEFC = b . l.

Mësuesi duhet të theksojë se sipërfaqja e paralelogramit gjendet duke shumëzuar brinjën me lartësinë mbi atë brinjë. -Punohen problemat në libër. ReEFLEKTIMI: Të punohet problemi 2 dhe 5. Tek problemi 5 nxënësit duhet të ndjekin këtë rrugë: (bëhët një diskutim me ta). -Çfarë është dhënë? -Çfarë kërkohet? -A kanë lidhje ajo që jepet me atë që kërkohet?

22

-Nxënësit duhet të shënojnë me x brinjën dhe lartësinë . 1

4x S = b . l ⇒ 25 =

14

x . x ⇒ x2 = 100 x = 100 = 10

Brinja del 10 cm ( e mëtej) -Ndërsa mësuesit vazhdojnë të diskutojnë, konsultohen me njëri tjetrin, mësuesi

vëzhgon, udhëzon dhe diku ndihmon që të kryhet zgjidhja. -E rëndësishme që të bëhet deklarimi i përgjigjes prej nxënësve, ti nënshtrohet

diskutimit të të gjithë klasës. Të vlerësohen. Detyra shtëpie ; Problemi 1/ 3/ 4/ 7 III.3. SIPËRFAQJA E TREKËNDËSHIT. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të vërtetoni formulën për sipërfaqen e trekëndëshit. Të zgjidhni problema që kanë të bëjnë me sipërfaqen e trekëndëshit. Të nxirrni formulat që rrjedhin nga formula e sipërfaqes së trekëndëshit.

Mjetet: libri i matematikës, letër e milimetruar, vizore, gërshërë.. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Stuhi mendimesh

Demostro Vërteto dhe punë e drejtuar


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Në letrën e milimetruar vizatoni një trekëndësh çfardo. Hiqni paralelet , formohet edhe një trekëndësh tjetër. -Krahasoni dy trekëndëshat? –çfar doli? -Vendosnini dy trekëndëshat që të formohet një parallelogram. REALIZIMI: Paraqesim tabelën e trekëndëshave, ku janë hequr nga kulmet B e C paralelet në brinjët e përbashkëta. -Vërtetojmë që trekëndëshat e formuar Δ ABC dhe ΔBCD janë kongrurent. -Nxiten nxënësit që të gjejnë elementët kongruent te dy trekëndëshave. (Vështro figurën 1 në libër). -Dy trekëndëshat kongurent kanë sipërfaqe të barabartë. Kështu që sipërfaqja e paralelogramit përbëhet nga sipërfaqja e dy trekëndëshave kongruentë. Nga kjo rrjedh që

2 2ABC

AB CE b lS ⋅ ⋅= =

2Sbl

=

Kujdes duhet të tregojë mësuesi që të bëjë nxjerrjen e formulës rrjedhëse. -Punojmë ushtrimet në libër. REFLEKTIMI: Punojmë ushtrimet 6 në libër.

-Vëreni figurën 4. -Cilat janë të dhënat? -Për të gjetur SACFG = ? duhet parë çfarë është kjo figurë?

Baza e këtij paralelogrami është 14cm, lartësia 12, atëhere S = b . l = 14 . 12 =168cm2

23

Në mënyrë analoge nxënësit njehsojnë edhe sipërfaqen e 5 figurave të tjera të kërkuara. Ndërsa nxënësit vazhdojnë punojnë në punë grupi dyshe, mësuesi bën punë të diferencuar me nxënës që kanë prapambetje në mësime, për aq kohq sa nxënësit bëhen gati të japin përgjigjen e problemit. -Nxënësit përfshihen në diskutimin e këtyre zgjidhjeve. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie: Problema: 2/ 4/ 7/ 8 III.4. FORMULA E HERONIT. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të përdorni formulën e Heronit për gjetjen e sipërfaqes së trekëndëshit. Të zgjidhni problema që përdorin formulën e Heronit.

Mjetet: libri . Metoda: Shpjeguese,punë e drejtuar, punë me grupe dyshe.

Zhvillimi i mësimit -Vizatoni trekëndëshin ABC me përmasa 3cm, 3cm, 4cm. -Për të njehsuar sipërfaqen e trekëndëshit përdoret shpesh dhe formula e Heronit.

( )( )( )S p p a p b p c= − − − -Gjeni perimetrin e trekëndëshit dhe gjysmen e këtij perimetri, p = 3 + 4 + 3 = 10 5

2p=

Zbatoni këtë formulë: ( )( )( )5 5 3 5 3 5 1 5 2 2 1 20 2 5S = ⋅ − − − = ⋅ ⋅ ⋅ = = cm2

Kjo formulë nuk ka vërtetim. Punojmë problemin e zhvilluar në libër. Reflektimi: Të punojnë nxënësit me grupe dyshe problemin 2 dhe 7. -Problemi 2 ka vetëm zbatimin e formulës se Heronit, ndërsa problemi 7 duhet gjetur sipërfaqja e trekëndëshit në dy mënyra. Mënyra e parë: Gjejmë katetin K = 132 – 55 = 169 – 25 = 144 K = 144 = 12cm SΔ = 12 5 30

2 2b l⋅ ⋅

= = cm2

Mënyra e dytë: Gjejmë gjysmën e perimetrit 13 12 5 152

p + += =

( )( )( )15 15 12 15 13 15 5 15 3 2 10 900 30S = ⋅ − − − = ⋅ ⋅ ⋅ = = cm2

Ky problem i bën më të qartë se të dyja formulat të çojnë në një përfundim. - Në raport me kohën punohen edhe problema të tjera. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie:Problema: 1/ 3/ 8

24

III.5. SIPËRFAQJA E ROMBIT. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të vërtetoni se lartësitë e rombit janë konguente. Të njëhsoni sipërfaqen e rombit. Të zgjidhni situata problemore duke zbatuar sipërfaqen e rombit.

Mjetet: libër, letër e milimetruar, vizore. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Stuhi mendimesh

Diskutim Punë e drejtuar


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - C’quhet romb?

- A ju kujtohet figura e tij? - Cilat janë vetitë e rombit? - Cilat janë lartësitë e rombit? Si janë ato? - ____dy lartësi nga një kulm i rombit. - Si janë ato? - A mund ta vërtetojmë?

REALIZIMI:Krahasoni në figurën 1 (në libër) dy trekëndëshat ΔAED dhe CFD. Pasi nxënësit vërtetojnë se dy trekëndëshat janë congruent (meqë janë trekëndësha kënddrejtë dhe kanë hipotenuzën dhe një kënd të ngushtë kongruent) del që dy lartësitë janë kongruente. Drejtohet pyetja: -Si njehsohet Sipërfaqja e rombit? duke u nisur që rombi është paralelogram), atëhere S = b . l Por rombit mund ta gjejmë sipërfaqen edhe me një mënyrë tjetër (duke e marrë sipërfaqen e tij si shumë e dy sipërfaqeve të trekëndëshave Δ ABC dhe ΔADC). Shiko figurën a në libër. Me pjesëmarrjen e nxënësve hap pas hapi nxjerrim përfundimin se Sipërfaqja e rombit gjendet duke gjysmuar prodhimin e diagonaleve S = 1 2

2d d

Punohen shëmbujt e zgjidhur në libër. REFLEKTIMI: -Të punohen problemat 4.

Në zgjidhjen e problemit 4 duhet bërë kujdes që: a) në pikat a / b/ c janë thjesht zbatimi i formës së diagonaleve. Kërkesa d është 3x dhe 8x, atëhere 23 8 12

2x xS x⋅

= = .Sipërfaqja në këtë rast

është si funksioni x. Kërkesat e tjera f e c duhet zbatuar teorema e Pitagorës, me një nga trekëndëshat që formojnë diagonalen me brinjët e tij. -Nxënësit le të punojnë duke u konsultuar me njëri tjetrin dhe të gjejnë zgjidhjen e duhur.

25

Mësuesi vrojton punën e tyre, diku udhëzon, diku ndihmon që nxënësit të mos ngecin. -Në momentin që nxënësit deklarojnë përgjigjen e tyre është mirë që në disa raste, e pse jo në çdo rast krahas zgjidhjes së problemit ata duhet të përmendin çdo njohuri që shfrytëzuan për zgjidhjen e problemit. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie ushtrimi 3 dhe 5

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të vërtetoni formulën për sipërfaqen e trapezit. Të njëhsoni element të trapezit nga formula për sipërfaqen e trapezit. Të zgjidhni situata problemore që kanë të bëjnë me sipërfaqen e trapezit.

Mjetet: libri, vizore, tabelë për sipërfaqen e trapezit. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Stuhi mendimesh


Puno me grupe .

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Tregojmë tabelën diku në dërrasë dhe pyesim. -Ç’figurë është? -Ç’quajmë trapez? Vizato një trapez! -Cilët janë elementët e trapezit? -Sa lloje trapezash kemi? -Si mund ta gjejmë sipërfaqen e trapezit? -Cila është lartësia e trapezit? REALIZIMI: Në trapezin e vizatuar heqim njërën diagonale. -Sa trekëndësha formohen? (vëreni ehde figurën 1 në libër). -Si mund ta gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit ABC ⇒ 1 2

AB hS ⋅=

-Po sipërfaqen e trekëndëshit ADC ⇒ 2 2CD AFS ⋅

=

SΔ= S1 + S2 = ( )

2 2 2h AB CDAB h CD AF +⋅ ⋅

+ = ( )1 2

2b b h

S+ ⋅

=

Nxjerrim edhe formulat rrjedhëse. Punojmë problemat e zgjidhura në libër. REFLEKTIMI: Të punohet problemi 2/ 6. -Nxënësit punojnë me grupe dyshe për të bërë zgjidhjen e problemave, mësuesi ka mundësi të punojnë në mënyrë të diferencuar me nxënës të veçantë, diku udhëzon, diku ndihmon. Tek problemi 6 duhet të kemi kujdes se duhet gjetur brinjët në fillim.

26

Meqë brinjët jepen me raport do të thotë se njëra është 7 pjesë ose 7x, tjetra 3x, baza e vogël 5x dhe brinja 3x. duhet bërë kujdes se ato që jane nga 3 pjesë janë brinjët anësore të trapezit dybrinjënjëshëm. Më tej shtrohet ekuacioni 7x 3x + 5x + 3x = 90__ x = 5 Baza e madhe ?x = 35 baza e vogël 5x = 5 . 5 = 25 Brinjët anësore janë 3 . 5 .= 15 -Nxënësit duke punuar me grupe gjejmë lartësimë e trapezit duke zbatuar teoremën e Pitagorës. Deklarohet përgjigja nga nxënës të ndryshëm për zgjidhjen e problemit. Rëndësi ka të deklarojnë nxënësit pasi e ka bërë zgjidhjen e problemit se ç’njohuri iu deshën atyre për të zgjidhur problemin. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie ushtrimi: 3/ 7/ 8.

III.7. SIPËRFAQJA E SHUMËKËNDËSHIT JASHTËSHKRUAR RRETHIT. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të njëhsoni sipërfaqen e shumëkëndshave të çfarëdoshëm. Të njëhsoni sipërfaqen e shumëkëndëshit të rregullt jashtëshkruar rrethit. Të zgjidhni situata problemore.

Mjetet: kompas, vizore, tabelë. Metoda:


Diskutim Shpjego punë e drejtuar


Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Si njehsohet sipërfaqja e trekëndëshit? -Po e një shumëkëndëshi të çfardoshëm? -Vështroni figurën (1) në libër. -Kryeni matjet dhe njehsoni sipërfaqen e këtij katërkëndëshi (ndaje si në libër) -C’quhet shumëkëndësh i rregullt? REALIZIMI: -Theksojmë se shumëkëndëshi i rregullt duhet të plotësojë këto kushte: a)Brinjët kongruentë.

b) Këndet congruent. -Cili prej figurave plotëson kushtin për të qënë i rregullt. -Marrim tabelën në dërrasë dhe udhëzojmë. -Kryejmë vizatimet e duhura. Caktoni qëndrën e shumëkëndëshit dhe i bashkoni atë me kulmet e shumëkëndëshit. -Sa trekëndësha formohen te trekëndëshi? Tek katrori? –tek 5----------? (dalim në një përfundim: Formohen aq trekëndësha kongruent sa janë edhe brinjë). -Pse trekëndëshat janë kongruent? (figura 2). -Si njehsohet sipërfaqja e një trekëndëshi?

27

-Po (n) trekëndësha . 2

P RS ⋅= hap pas hapi vërtetojmë se sipërfaqja e

shumëkëndëshit gjendet duke shumëzuar perimetrin e tij me gjysmën e rrezes brendashkruar tij. Punojmë problemin e zgjidhur. REFLEKTIMI: Të punohet problemi 2. Këtu duhet bërë kujdes se duhet të ndërtohet figura trekëndëshi ABC barabrinjës. Caktojmë qëndrën dhe e bashkojmë me kulmet A, B, C. Është dhënë OE = 8cm.

Kërkohet SΔ = ? BC = ? P = ? Shqyrtojmë trekëndëshin BOE kënddrejtë. 090E = OE = 8 0

1 30B = sepse është sa ghysma e 060B = OE = 8 ⇒ OB = 8 . 2 = 16 ( si ____që është sa dyfishi i katetit që ndodhet dhe AE = 24 përballë këndit 300

Zbatoni teoremën e Pitagorës. BE2 = OB2 – OE2 = 162 – 82 = 256 – 64 = 192.

192 8 3BE = = 16 3BC = Nxënësit vazhdojnë të gjejnë perimetrin dhe sipërfaqen e trekëndëshit. (debatojnë, diskutojnë dhe deklarojnë përfundimin). Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie : Problema: 3/ 5. III.8. SIPËRFAQJA DHE VËLLIMI I SFERËS. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të argumentoni mënyrën e formimit të sferës. Të njëhsoni sipërfaqen dhe vëllimin e sferës duke zbatuar formulat e tyre. Të zbatoni formulat në situata problemore.

Mjetet: libri, vizore, trupa të ndsryshme sferike. Metoda: shpjeguese, punë e drejtuar, punë e pamvarur.

Zhvillimi i mësimit Paraqesim një trup sferik nxënësve. (top apo gjyle etj). -Ç’farë është ky trup? -Si mund të formohet sfera? -Tregoni objekte që kanë forma sferike. Shpjeguese: Pa vërtetim por që janë të vërteta është se sipërfaqja e sferës njehsohet me formulën: S = 4πR2 dhe 34

3V Rπ= .

Punojmë problemin e zgjidhur në libër. Të punojnë nxënësit problemin 1/ 3/ 6. Tek problemi (1) do zbatohen direct formulat e V. Problemi 3: Ka të dhënë S = 16πcm2

Të gjendet vëllimi? Para se të gjesh vëllimin duhet gjetur rrezja e rrethit.

28

S = 16π ⇒ 4πR2 = 16πR ⇒ 4R2 = 16 ⇒ R = 4 = 2 cm.

Dhe vazhdojnë nxënësit, gjejnë vëllimin m e formulën 343

V Rπ=

Nxënësit punojnë në mënyrë të pamvarur, mësuesi gjen mundësinë për të vëzhguar, dhe ndihmuar nxënës me prapambetje. Debatohet në rastet kur deklarohet përgjigja. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie : Problema: 2/ 4/ 7/ 8. III.9. USHTRIME DHE PROBLEMA PËR KREUN. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të zbatoni në mënyrë të kombinuar formulat për njëhsimin e sipërfaqeve të figurave

të ndryshme. Të njëhsoni sipërfaqen dhe vëllimin e sferës duke zbatuar formulat e tyre. Të zgjidhni situata problemore.

Zhvillimi i mësimit Kjo orë mësimi mund të zhvillohet në formë konkursi duke futur garën midis nxënësve, apo grup nxenësish. Megjithatë mësuesit janë të lirë të zgjedhin çfarëdo lloj mënyre, mjafton që nëpërmjet kësaj ore të arrijnë objektivin e orës së mësimit. Klasa ndahet në katër grupe.

Grupi 1 Grupi 2 Grupi 3 Grupi 4 Pyetja 1 me shkrim Problemi 1 Koha 3 minuta 4 pikë

Pyetja 1 me shkrim Problemi 1 Koha 3 minuta 4 pikë



Pyetja 2 Problemi 2 Koha 3 minuta 4 pikë












5) Pyetja enigmë: 7 pikë. Gjeni me 6 pyetje se ç’kemi menduar ne?

29

a) trekëndësh b) trapez c)sferë d)Formula e Heronit 6) Të gjeni sipërfaqen dhe vëllimin e sferës në figurat>

Grupi I. 1/a Grupi II 1/b Grupi III 1/c Grupi IV 1/d 3 pikë koha 2 minuta.

7) Grupi I Grupi II Grupi III Grupi IV figurën 2/b figura 2/d dhe 4 Figura 2/a dhe 2d Figura 2/c dhe 4 Vlerësimi 5 pikë dhe koha 5 minuta Vlerësohet puna e grupeve. Detyra: 6/ 7/ 8

KREU IV GJEOMETRIA NË PLAN

IV.1. KATËRKËNDËSHAT. PËRKUFIZIME. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të dalloni dhe të vizatoni shumëkëndëshat e mystë. Të zbatoni vetitë e këndeve në situata problemore. Të njëhsoni këndet e shumëkëndëshave të mystë.

Mjetet: teksti,vizore. Metoda:




Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Vizatoni një shumëkëndësh.(Vështro figurën 2 dhe 2 në libër). -Thoni elementët e tyre, brinjët, këndet, diagonalet. -Cili është ndryshimi midis shumëkëndëshit të mystë dhe jo të mystë? -Cili është perimetri i shumkëndëshave? REALIZIMI: Shuma e këndeve të brendshme të kateteve është me 3600. -Vizatoni një katërkëndësh ABCD. -Vizatoni diagonalen AC. -Sa trekëndësha formohen? Shkruaj shumën e këndeve te sejcilit trekëndësh. Në Δ ABC kemi $ $ 02 4 180B+ − = dhe

Në ΔADC kemi: $( ) $( ) 0

1 3 1801 2 3 4 360

DB D+ + =

+ + + + + =

$ $

$ $

0360A B C D+ + + =

Punojmë problemat e zgjidhura në libër.

30

REFLEKTIMI: Të punoni me grupe dyshe, problemat 3 dhe problemi 6, figura 5/c dhe 5/f. Problemi 3. Nxënësit sapo të bëjnë figurën se çlloj Figure është PELF.(paralelogram), atëhere njehsohen këndet e kësaj figure. Ndërsa nxënësit punojnë në mënyrë të diferencuar dhe grupe të vogla dyshe, mësuesi vrojton, udhëzon dhe ndihmon atje ku she të arsyeshme. Deklarohet zgjidhja e problemit (ku nxënësit duhet të marrin pjesë gjallërisht në të), ku krahas zgjidhjes duhet të theksojmë se ç’njohuri ka përdorur nga matematika për këtë zgjidhje. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Problema: 2/ 4/ 6 ___ 5a/ 5b/ 5f. IV.2. PARALELOGRAMI. VETITË E TIJ . Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të dalloni dhe të vizatoni paralelograme. Të vërtetoni vetitë e paralelogramit. Të zbatoni vetitë e paralelogramit në situata problemore.

Mjetet: teksti, vizore, raportor,kompas. Metoda:


Diskutim Problemore- analizë punë e drejtuar

Punë me grupe më shumë se dy.

Zhvillimi i mësimit EvVOKIMI:C’quajmë parallelogram? -Vizatoni një parallelogram ABCD? -Cilat janë disa nga vetitë e paralelogramit? REALIZIMI: Kemi ndarë klasën në 4 grupe dhe me fletë fishe dy grupeve u japim problemin:

a) Vërtetoni që brinjët e kundërta të paralelogramit janë kongruentë. Ndërsa dy grupeve të tjera:

b) Vërtetoni që këndet e kundërta të paralelogramit janë kongruent. Mësuesi u jep detyrën dhe ndjek nga afër pa ndërhyrë që nxënësit të krahasojnë dy trekëndësha Δ ABC dhe Δ ADC dhe sipas rasteve të kongruentës të trekëndëshave duhet të gjejmë tre elementët kongruent.

Për të parën : $

$

2 3

1 4AC AC≡≡

=

$

$ Δ ABC ≡ Δ ADC BC ≡ AD

AB ≡ CD Dy grupet plotësojnë njëra tjetrën dhe arrijmë në përfundimin se paralelogrami brinjët e kundërta i ka kongruent.

31

Po kështu diskutojnë edhe dy grupet e tjera për të nxjerrë që këndet e kundërta janë kongruent. Bëjmë përfundimin edhe për diagonalet që përgjysmojnë njëra tjetrën. REFLEKTIMI: Të zgjidhen problemat 1. Në rastin e parë është dhënë një kënd dhe të gjenden këndet e tjerë të paralelogramit. -Në rastin zbatohet vetia e diagonaleve. Nxënësit punojnë në grupe me më shume se dy nxënës dhe zgjidhin çdo rast të problemit 1, kurse mësuesi punon me një ose dy nxënës punë të diferencuar për të dhënë ndihmën e duhur. -Deklarohet zgjidhja e bërë nga grupet. Nxënësit duhet të marrin pjesë në zgjidhjen dhe përgjigjen e tyre. Rëndësi ka që nxënësit të thonë edhe njohuritë që kanë shfrytëzuar për të zgjidhur problemin. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie . Problemat: 4/ 5/ 6

IV.3. KUSHTET QE KATËRKËNDËSHI TË JETË PARALELOGRAM. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të arsyetoni kur një katërkëndësh është paralelogram. Të vërtetoni teoremat që katërkëndëshi të jetë paralelogram. Të zgjidhni situata problemore mbështetur në vetitë e paralelogramit.

Mjetet: teksti, vizore, tabelat. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Stuhi mendimesh

Diskutimit Problemore- Punë grupi

Puno me grupe.


EVOKIMI: Vizatoni një katërkëndësh me brinjët e këndet kongruentë. -Si mendoni se ky katërkëndësh është parallelogram apo jo? -Kur kqtërkëndëshi është parallelogram? -Si mund ta vërtetojmë? REALIZIMI: Vështroni figurën 1. -Cfar është hequr? (një diagonale) -Sa trekëndësha janë formuar? Si janë ato? Pse? Δ ABC dhe Δ ADC

1)2)3)

AB CDAD BCAC AC

≡ ⎫⎪≡ ⎬≡ ⎪⎭

Δ ABC ≡ Δ ADC 1 1

2 2

C AC A

≡≡ DC II AB

AD II BC ABCD paralelogram

32

Cili është përfundimi? Po me të njëjtën mënyrë vërtetojmë se kur katërkëndëshi I ka këndet e kundërt congruent, atëhere ai është parallelogram -Cila është dhënë: A C≡ ; B D≡ -Cila kërkohet ? AB II CD dhe AD II BC Me që A C≡ ; B D≡ A B C D+ ≡ +

0180A B+ = Kjo do të thotë AD II BC figurë paralelogram. Kështu në formë problemi mund të sqarohet hap pas hapi se kur katërkëndëshi është paralelogram. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet në libër 1 ose shpërndan nëpër grupe fletë (fishe) ku janë shkruar problema të ndryshëm. Nxënësit merren me përgjigjen e pyetjeve, mësuesi ndihmon ndonjë që ka mangësi në këto njohuri. Bëhet deklarimi i zgjidhjes dhe sasisë se njohurive që I duhen për të bërë këtë zgjidhje. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie Problemat: 2/ 3/ 4

IV.4. PROBLEMA (USHTRIME). Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zbatoni në situata problemore vetitë e paralelogramit. Mjetet: teksti, vizore. Metoda: problemore, analizë e sintezë.

Zhvillimi i mësimit Kjo orë mësimi mund të bëhet edhe si konkurs, por mund të organizohet si diskutim, analizë, sintezë. -U drejtohemi nxënësve. Vëreni figurat 1/a; 1/b; 1/c; 1/d. Argumentoni pse katërkëndëshat e figurës 1 janë paralelogra? U lëmë kohë atyre që të kristalojnë zgjidhjen e ushtrimeve në sejcilin rast. -Deklarojnë zgjidhjen e ushtrimeve tek figurat janë parallelogram sepse: 1/ a mbështetet tek vetia e brinjëve. 1/b tek vetia e këndev. 1/c vetia e këndeve. 1/d Vetinë e diagonaleve. Pasi zgjidhni ushtrimet 1 udhëzojmë të shikojnë problemat 2. Tek 2/a kemi: 5x – 3 = 2 x = 1 dhe y = 2x + 1 = 2 . 1 + 1 = 3 Tek 2/b kemi: x = 180 – 105 – 45 = 300; y = 1050 z = 180 – 105 – 30 = 450 Pasi diskutojnë, analizojnë dhe bëjnë përfundimin e çdo rasti kalohet tek problemi tjetër. Kështu do vazhdojë kjo orë mësimi. Vlerësimi me notë. Detyra: Problemat 5

33

IV.5. DREJTËKËNDËSHI. VETITË E TIJ. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të vërtetoni vetitë e drejtëkëndëshit. Të vërtetoni teoremat e anasjellta për vetitë e drejtëkëndëshit. Të zbatoni në situata problemore njohuritë mbi drejtëkëndëshin.

Mjetet: teksti, vizore, tabelë. Metoda:



Punë me grupe.

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Vizatoni një parallelogram që një kënd ta ketë 900 -Si quhet kjo figurë? -C’veti ka drejtkëndëshi? (ai gëzon vetitë e paralelogramit) -Cila veti e dallon nga paralelogrami? REALIZIMI: Si i ka këndet drejtkëndëshi? Vërteto që këndet i ka të drejta:

090A = 090A C≡ = ( si kënde të kundërta të paralelogramit) 0180A D+ = ( si kënde të njëpasnjëshme të paralelogramit)

090D = 090B =

Mësuesi, shtrojmë problemin, provoni që diagonalet e drejtkëndëshit janë kongruentë. -Krahasoni trekëndëshin Δ ABD dhe trekëndëshin ΔABC (figura 3) 090A B= = BC ≡ AD si brinjë të kundërta të paralelogramit. AC ≡ BD AB ≡ AB Bëjmë përfundimin e problemave të shtruara. Punojmë edhe problemat e tjera në libër. REFLEKTIMI: Të punohet problema 1/2. Nxënësit punojnë me grupe duke shkëmbyer ide dhe dhënë përgjigje problemave. Mësuesi në këtë kohë gjen mundësi për të ndihmuar nxënës që kanë nevojë për më tepër. Deklarohet përgjigja dhe nxënësit duhet të marrin pjesë gjallërisht. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Problemat: 3/ 7

34

IV.6. ROMBI. VETITË E TIJ. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të njihni vetitë e rombit. Të vërtetoni vetitë e rombit. Të zbatoni në situata problemore vetitë e rombit.

Mjetet: teksti, vizore, tabela. Metoda:




Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Motivojmë nxënësit për të qënë të gatshëm për mësim aktiv. -Paraqesim një tabelë ku është vizatuar një romb. -C’farë paraqet kjo figurë -C’farë vetish ka rombi? Nxiten nxënësit të kujtojnë vetitë për brinjët, diagonalet. REALIZIMI: Si mund të vërtetojmë që brinjët e rombit janë kongruent ? Vëreni figurën 1. Cili është kushti dhe përfundimi ?

Nisur nga kushti që figura është paralelogram AB ≡ AD e dhënë AB ≡ CD si brinjë të kundërta. AB ≡ AD ≡ CD ≡ BC AD ≡ BC si brinjë të ____parë Teoremat mbi vetitë e rombit janë të thjeshta dhe ato janë të njohura edhe në vetitë e mëparshme të shkollës, mjafton që mësuesi ti shtrojë në formë problemsh para tyre dhe të mbështetur kryesisht në rastet e kongruencës ë trekëndëshave bëhet vërtetimi i tyre. Të bëjmë të njëjtën punë edhe për teoremat që bëjnë fjalë për vetitë e diagonaleve. REFLEKTIMI: Të punoni problemat 2 dhe 5. Udhëzohen nxënësit që të lexojnë e të miqësohen me problemin, të nxjerrin ato që janë dhënë dhe ato që kërkohen. Gjeni lidhjen që ekziston midis tyre. Kujdes se formohet ekuacioni i fuqisë së dytë. Nxënësit vazhdojnë me grupe të vogla dyshe, për të patur mundësi që gjithkush të shprehi mendime, ndërsa mësuesit kanë mundësi të punojnë me mënyrë të diferencuar me nxënës të veçantë. Deklarohet përgjigja nga ana e nxënësve. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie .ushtrimi 3/ 6 IV.7. KATRORI. VETITË E TIJ. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

35

Të njihni vetitë e katrorit. Të arsyetoni mbi teoremat e vetive të anasjellta të katrorit. Të zbatoni në situata problemore njohuritë mbi katrorin.

Mjetet: teksti, vizore, katrorë, tabelë. Metoda: punë e diferencuar, punë me grupe të vogla.

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -C’dini ju për katrorin? -C’quajmë katror? -Pse brinjët e katrorit janë të kongruent ? -Pse diagonalet bien pingule? -Pse janë përgjysmore diagonalet? -Pse këndet janë nga 900 ? kjo figurë gëzon vetitë e të gjitha figurave të tjera, pra është si drejtkëndësh, por është edhe si katror? Të themi pëemblethtas vetitë e katrorit. Punojmë problemat 1. Tek 1/a zbatohen vetia se diagonalja është përgjysmore.

Nëse ( ) 0132m EBC = ( ) 0132 612

m EBD = =

Në kërkesën 1/b zbatohet po kjo veti. Nëse ( ) 032m BDC =

0 02 32 64mEDC = ⋅ =

Nxënësit vazhdojnë të zgjidhin situata problemore në grupe (duke diskutuar e shkruar në fletoren e tyre), mësuesit I krijohen hapësira të vëzhgojë se si punojnë nxënësit por edhe të ndihmojë nxënës me punë të diferencuar, që kanë nevojë. Po kështu punojnë edhe problemin 2/ 3 etj. Rëndësi ka që kur të deklarohet zgjidhja e problemave nxënësit nxiten të marrin pjesë në diskutimin e zgjidhjes duke i provokuar me pyetje. Pse kjo? Pse ajo? Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie. Problemat: 6/ 7 IV.8. TRAPEZI. VETITË E TIJ.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të njihni elementët e trapezit. Të vërtetoni vetinë e vijës së mesme të trapezit. Të zbatoni në situata problemore njohuritë mbi trapezin.

Mjetet: teksti, vizore. Metoda:

Evokim Realizim Reflektim Kujto Bisedë Punë me grupe.

36

Stuhi mendimesh Diskutim Punë e drejtuar


EVOKIMI: -Vrojtoni në libër dhe vizatoni një figurë trapez. -C’quhet trapez? -C’e dallon një katror çfardo nga një trapez? -Cilat janë elementët e trapezit? Nxënësit nxiten të kujtojnë gjithçka mbi trapezin. -Cila është vija e mesme e trapezit? -C’dini ju për vijën e mesme të trapezit? -Pse vija e mesme është paralele me bazat? (ta vërtetojmë së bashku) REALIZIMI: Vështroni figurën 1 në libër. EF është vijë e mesme se bashkon meset e dy brinjëve anësore të trapezit. Nga pika F heqim paralele me AD që prêt zgjatimin e DC në P dhe AB në K. E Vërtetojmë që Δ FCP dhe Δ FBK janë kongruentë. Që do të thotë se PF ≡ FK, pra pika F është mesi PK. Por figura AKPD është paralelogram dhe ecja hap pas hapi çon në atë që vija e mesme është paralele me bazat. Vërtetimi i mësipërm është e rëndësishme ta sqarojmë sepse ky është çelësi i atyre që do të kryejmë më tej. -Të punohen ushtrimet (vërtetimet e tjera). REFLEKTIMI: Të punohe ushtrimet 4 dhe 5 (3/c). Ndërsa nxënësit punojnë në mënyrë të pamvarur në grupe, mësuesi duhet të udhëzojë se tek problemi 5 për rastin e tretë (figura 3/c) duhet të shkruajnë një ekuacion të fuqisë së dytë.

2 10 482

xx += x2 = 5x + 24 x2 – 5x – 24 = 0

Duhet të gjejmë dallorin.

D = (- 5)2 + 96 = 121 2 15 121 5 11 8

2 2x ± += = =

10x = 10 . 8 = 80 cm. x2 = 82 = 64 cm. Deklarohet përgjigja e zgjidhjes se problemave (bëjmë kujdes që nxënësit të marrin pjesë në diskutimin e zgjidhjes. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Problemat: 3/ 4/ 5 (3a dhe 3b) IV.9. TRAPEZI. LLOJET E TIJ.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të vizatoni lloje të ndryshme trapezash.

37

Të vërtetoni se këndet e bazës së trapezit dybrinjënjëshëm janë konguentë. Të zbatoni në situata problemore njohuritë mbi llojet e trapezit.

Mjetet: teksti, vizore, tabelë me lloje të ndryshme trapezash. Metoda:


Diskuto Vërteto Punë e drejtuar

Pun0 me grupe dyshe.

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Vizatoni një trapez çfardo. -Vizatoni një trapez kënd drejtë? -Vizatoni një trapez dybrinjënjëshëm. -c’dini për trapezin dy brinjënjëshëm? (këtu dimë që dy bazat janë paralele, brinjët anësore të _____. REALIZIMI: Vështroni tabelën dhe figurën 1 në libër. Si mund të vërtetojmë se dy këndet e bazës janë kongruent.. -C’farë mund të bëjmë? (Nga pikat D dhe C heqim pingulen). -C’farë formohet? (Formohen dy trekëndësha :Δ ADE dhe Δ BCF). -Si janë këta dy trekëndësha ? (kongruentë) -Argumentoni këtë gjë!

DE CFAD BCE F

⎫≡ ⎪≡ ⎬⎪≡ ⎭

Δ ADE ≡ Δ BCF A B=

Bëjmë përfundimin e këtij vërtetimi. Të punojmë edhe probkemin në libër. REFLEKTIMI: Të punohen problemta 3/ 6.

Për problemin 3 nxënësit mund të punojnë në mënyrë të pamvarur në grupe dyshe, ndërsa për problemin 6 duhet dhënë ndonjë orientim që të krahasojnë trekëndëshin Δ ABC dhe trekëndëshin Δ ABD, nëse trapezi është ABCD. Nga krahasimi del që trekëndëshat janë kongruentë dhe prej këtij rrjedh se diagonalet AC ≡ BD. Të deklarojnë nxënësit përgjigjen e problemit 3 dhe 6 (duke kaluar nëpërmjet diskutimit të çdo çështje). Të bëhet vlerësimi. Me notë. Detyra shtëpie. Problemi 5. IV.11. SEGMENTË TË PËRPJESSHËM. VETITË.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të dalloni segmentët e përpjesshëm. Të njihni vetitë e segmentëve të përpjesshëm. Të zbatoni vetitë e segmentëve të përpjeshëm në situata problemore.

38

Mjetet: teksti ,vizore. Metoda:


Diskuto Zbato Punë e drejtuar

Punë me grupedyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Thoni një përpjestim. -C’quajmë përpjestim? -C’veti ka përpjestimi?

-Raportet 34

dhe 68 a janë të barabarta?

3 64 8= 3 . 8 = 24 24 = 24 (PO)

REALIZIMI : Segmentet a dhe b janë përpjestimore me segmented c dhe d nëse a cb d= .

-Më thoni disa veti të përpjestimeve? Punojmë shëmbullin: 3 64 8= ⇒

3 61 14 8+ = + ⇒

3 4 6 84 8+ +

= 7 . 8 = 4 . 14

Në mënyrë të dukshme mund të themi a cb d= ⇒

a b c db d+ +

=

Në të njëjtën mënyrë mund të veprohet edhe a b c db d− −

=

E rëndësishme është edhe vetia e shumës së numrit. Është e vërtetë edhe barazimi. a c a cb d b d

+= =

+ Kjo është e vërtetë po ta provojmë me shëmbuj:

3 6 3 64 8 4 8

+= =

+ ⇒ 3 6 94 8 12= = ⇒ 6 . 12 = 8 . 9 72 = 72

Të punojmë ushtrime të ndryshme për të bindur se barazimi i mësipërm është i vërtetë. Të punojmë problemat në libër. REFLSKTIMI: Të punojmë ushtrimet.

Jepet përpjestimi 4 125 15=

Zbato sa më shumë veti që gëzon përpjestimi duke formuar përpjestime të ndryshme.

a) 4 125 15= ⇒

5 154 12= ⇒

15 125 4= ⇒

4 512 15

=

4 12 165 15 20= =

4 12 12 45 15 15 5

−= =

− etj.

Të punojmë ushtrime 2 (duke ndjekur rrugën).

39

a c a b c db d b d

+ += = = a = a b = 7 c + d = 48

9 7 48

7 d+

= 16 487 d= d = 21 c = 48 – 21 =27

Të deklarojnë përgjigjen duke bërë argumentimin. Tëvlerësojmë. Detyra: shtëpie. Problemi: 3/ 4/ 5

IV.12. TEOREMA E TALESIT.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të njihni Teoremën e Talesit. Të ndani një segment në një numar pjesësh të barabarta. Të zbatoni Teoremën e Talesit në situata të ndryshme problemore.

Mjetet: teksti, vizore, kompas, raportor. Metoda: problemore, analizë-sintezaë


-Vizatoni dy drejtëza d1 dhe d2 çfardo në fletore. -Ndërprisni këto dy drejtëza me disa drejtëza paralele. -C’ju kujton kjo figurë? Ku keni dëgjuar për këtë gjë? -C’thotë teorema e Talesit? Duhet theksuar se drejtëzat paralele caktojnë mbi drejtëzat prerëse segmente përpjestimore. Të punojmë shëmbujt e zgjidhur në libër. Bashkërisht shtrojmë problemin: -Vizatoni një segment me gjatësi 9 cm. Si mund ta ndajmë atë në 4 pjesë të barabarta. Zbatojmë këtë radhë pune: -Në njërin skaj të segmentit vizatojmë një drejtëz me një kënd çfardo. -Caktojmë mbi këtë gjysmëdrejtëz 4 segmente kongruent me ndihmën e kompasit. -Skaji i fundit i pjesës së 4 e bashkojmë me skajin tjetër të sëgmentit prej 9cm. Nga pikat e tjera mbi gjysmëdrejtëzën heqim paralele me këtë segment (vështro edhe në figurë). -Kështu segmentin e kemi ndarë në 4 pjesë të barabarta. ReEFLEKTIMI: Të punojmë problemin 5. Nxënësit punojnë me grupe për të e dhënë përgjigje çdo rasti, ndërsa mësuesi gjen momentin për të ndihmuar në mënyrë të diferencuar nxënësit që kanë nevojë. Deklarohet përgjigja nga nxënësit me një atmosferë kritike nga masa e nxënësve të tjerë. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie ushtrimi 3/ 4

40

IV.13. NGJASHMËRIA E TREKËNDËSHAVE.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të dalloni trekëndëshat e ngjashëm. Të njihni vetinë e drejtëzës paralele me një brinjë të trekëndëshit.. Të zbatoni vetinë e drejtëzës paralele me një brinjë të trekëndëshit në situata

problemore. Mjetet: teksti, vizore, tabelë. Metoda:



Punë me grupe.


EVOKIMI: -Cilat janë trekëndësha të ngjashëm? -C’kusht duhet të plotësojnë dy trekëndësha që të jenë të ngjashëm? a)Këndet congruent. b) Brinjët homologe përpjestimore. REALIZIMI: Vizatoni një trekëndësh ABC (figura 2). -Hiqni DE II BC, formohen dy trekëndësha. -Si i kanë këndet ΔABC dhe ΔADE? Këtu tentojmë që këtë gjë (kënde kongruente) ta gjejnë vet nxënësit (si kënde përgjegjës) -Po brinjët si i kanë? (Kujtoni teoremën e Talesit). E rëndësishme është të përgjithësojmë se kur një drejtëz hiqet paralele me një brinjë të trekëndëshit, atëhere me dy brinjë e tjera formon dy trekëndësha të ngjashëm. REFLEKTIMI: Të punojmë problemin 1/2. Problemi i dytë sqaron se cilët quhen brinjë homologe,dmth brinjët përballë këndeve kongruente (Plotëso raportet). Nxënësit vazhdojnë të punojnë me shokun e bangës, me grupe të vogla, mësuesi gjen mundësi që të punojnë më mënyrë të diferencuar me nxënës që kanë nevojë. Deklarohet përgjigja nga ana e nxënësve, duke marrë sygjerime nga shokët fqinjë. Të bëhet vlerësimi. Të jepen detyra problemi 3/ 4/ 5.

41

IV.14. RASTI I PARË I NGJASHMËRISË SË TREKËNDËSHAVE.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të vërtetoni rastin e parë të ngjashmërisë së trekëndëshave. Të tregoni ngjashmërinë e trekëndëshave bazuar në rastin e parë. Të zbatoni rastin e parë të ngjashmërisë së trekëndëshave në situata problemore.





Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Vizatoni dy trekëndësha që të kenë nga dy kënde kongruente A ≡ D dhe B ≡ E -Si mendoni a janë të ngjashëm këta trekëndësha? -Si janë këndet e treat të këtyre trekëndëshave? -A plotësohet kushti i parë i ngjashmërisë së trekëndëshave? REALIZIMI: Bëjmë një ndërtim plotësues. -Matni DE dhe vendoseni mbi AB. -Në pikën P heqim një paralele me BC (Vështro figurën 1). Δ ABC Δ APQ Pse? (Nxënësit të përmendin kushtet që dy trekëndësha janë të ngjashëm). Tashmë krahasoni)) ΔAPQ me ΔDEF. A D≡ n nga kushti P B E≡ ≡ nga kushti ΔAPQ ≡ ΔDEF ΔABC ΔAEF DE ≡ AP nga ndërtimi -Të përgjithësojmë se kur dy trekëndësha kanë nga dy kënde kongruent ,atëhere ato trekëndësha janë të ngjashme që na lejon të shkruajmë raportin e brinjëve homologe. -Punojmë problemat e zgjidhura , ku lihen të theksojmë se brinjët homologe quhen ato brinjë që janë përballë këndeve kongruentë. REFLEKTIMI: Të punojmë problemat 1 dhe 4. Në problemin 1 duhet të shkruajmë këndet kongruent. B E≡ C F≡ dhe A D≡ Shkruajmë raportin e brinjëve homologe. B E≡

AC DF AC AB BCDF DE EF

= =

Po kështu veprohet edhe për dy rastet e tjera. Në problemin 4 duhet pasi të vërtetojmë se dy trekëndësha ΔABD ΔAHC sepse

0

01

02

906030

B HD AA C

≡ =≡ =≡ =

42

Shkruajmë raportin e brinjëve homologe. AD AB BDAC HC AH

= = ( Përdorim ato raporte që na nevojiten).

-Nxënësit duhet të bëjnë njehsimet e nevojshme dhe të deklarojnë përgjigjen. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie Problemat: 2/ 5/6 IV.15. RASTI I DYTË I NGJASHMËRISË SË TREKËNDËSHAVE.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të vërtetoni rastin e dytë të ngjashmërisë së trekëndëshave. Të tregoni ngjashmërinë e trekëndëshave bazuar në rastin e dytë. Të zbatoni rastin e dytë të ngjashmërisë së trekëndëshave në situata problemore.

Mjetet: teksti, vizore,tabelë. Metoda:



Puno me grupe .

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -A janë përpjestimor segmented 4cm; 3cm me segmented 3,2cm dhe 2,4cm? -Vizatoni dy trekëndësha me këto brinjë e këndi midis brinjëve 500. -Si janë këto trekëndësha? (tregoni figurën 1). Pra keni: 050A D≡ =

AB = 4cm AC = 3cm AB ACDE DF

=

DE = 3,2 DF = 2,4 REALIZIMI: Për të vërtetuar se trekëndëshat e ndërtuar janë të ngjashëm bëjmë një plotësim: Matim DE duke filluar nga A matim AP = DE = 3,2 dhe AQ ≡ DF. Bashkojmë pikat P dhe Q. Na u formuan ΔAPQ ∼ Δ ABC Të provojmë se ΔAPQ ≡ ΔDEF Kjo vërtetohet nga vetë nxënësit duke u nisur edhe nga ndërtimi. 1) A D≡ nga ndërtimi 2) AP ≡ DE nga ndërtimi 3) AQ ≡ e përbashkët sjell që ΔAPQ ≡ Δ DEF Përgjithësojmë se dy trekëndëshat janë të ngjashëm nëse kanë nga një kënd congruent, të përfshirë midis dy brinjëve përpjestimorë. -Të punojmë edhe shëmbujt e zgjidhur.

43

REFLEKTIMI: Të punohen problema ½. Nxënësit punojnë në grupe dyshe duke zbatuar këtë radhë pune:

a) Të tregojmë se trekëndëshat janë ngjashëm> (të gjejmë kënde të barabarta). b) Të shkruajmë raportin e brinjëve të trekëndëshave. c) Zëvendësimet e duhura dhe gjejmë të panjohurat e kërkuara. Mësuesit gjejnë kohën e përshtatshme për të punuar me nxënësit që kanë nevojë

për punë të diferencuar. Delarohet përgjigja. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie Problemi 4 dhe 5. IV.16. RASTI I TRETË I NGJASHMËRISË SË TREKËNDËSHAVE.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të vërtetoni rastin e tretë të ngjashmërisë së trekëndëshave. Të tregoni ngjashmërinë e trekëndëshave bazuar në rastin e tretë. Të zbatoni rastin e tretë të ngjashmërisë së trekëndëshave në situata problemore.




Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Trekëndëshat që kanë brinjët përkatësisht të përpjesshëm, a janë të ngjashëm? -Vështroni figurën 1 (në libër). REALIZIMI: Për të vërtetuar që kur trekëndëshat i kanë brinjët përkatësisht të përpjesshme janë të ngjashëm, bëjmë një ndërtim plotësues. DE e vendosim mbi brinjën AB dike filluar nga kulmi A të tillë DE ≡ AP. Nga pika P heqim pingulen PQ me BC. U formuan ΔAPQ dhe ΔABC. Si janë këta trekëndësha? Pse? -Tani mbetet që të vërtetojmë se ΔADE ≡ ΔAPQ.

Shkruani raportin e brinjëve homologe AB AC BCAQ AQ PQ

= =

Zëvendësojmë AP ≡ DE dhe kemi: AB ACDE AQ

= AQ ≡ DF

Po kështu AB BCDE PQ

= PQ ≡ EF

Përgjithësojmë se Δ DEF ≡ ΔABC dhe se kur trekëndëshat kanë brinjë të pjesshme janë të ngjashëm. Të punohen ushtrimet në fund të mësimit. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 / 2.

44

Për ushtrimin do të emërtoni trekëndëshat dhe të provoni se trekëndëshat janë të ngjashëm. Shkruani raportet e brinjëve, dhe nëse raporti del i njëjtë në çdo rast, atëhere themi s etrekëndëshat janë të ngjashëm. (në rast të kundërt trekëndëshat nuk janë të ngjashëm). Nxënësit punojnë në grupe dyshe, mësuesi ka mundësi që të vrojtojë grupet, të sygjerojë ndonjë gjë dhe të ndihmojë dikë që ka nevojë për punë të diferencuar. Nxënësit bëjnë deklarimin e përgjigjes në syrin vëzhgues dhe kritik të çdo njërit prej tyre. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie Problemi 3 dhe 4.

IV.17. SEGMENTË PROPORCIONALË NE TREKËNDËSHA TË NGJASHËM.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të vërtetoni që në tekëndësha të ngjashëm elementët korespodues janë proporcionalë. Të njëhsoni lartsitë, përgjysmoret dhe mesoret në trekëndësha të ngjashëm nëse jepen

disa të dhëna të përshtatshme. Të zgjidhni situata problemore



Shpjego Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Përmendni disa segmente të veçantë të trekëndëshit. -C’është lartësia? -C’është përgjysmorja? –Po mesorja? -Si mendoni: dy trekëndësha të ngjashëm a i kanë segmentet propocionalë?. REALIZIMI: Referohuni figurës 1. Kemi dy trekëndësha të ngjashëm .(u heqim lartësitë DK e AH). -Cili është kushti dhe përfundimi? -Pse ΔABC ∼ ΔDEK? (kanë dy kënde kongurentë).

-Shkruajmë raportin e brinjëve homologe dhe del se AH kDK

=

Po në të njëjtën mënyrë provojmë (bashkë me nxënësit ) se kur trekëndëshat jantë të ngjashëm, atëhere edhe përgjysmoret apo mesoret janë propocionalë. Të punojna teoremat e librit.. REFLEKTIMI: Të punojmë ushtrimet 1 / 2.

Në problemin 1, trekëndëshat janë të ngjashëm, i emërtojmë, shkruajmë raportin e lartësive homologe dhe gjejmë ndryshoren x.

Në rastin e parë kemi: DF DKPR PH

= 93 2

x= x = 6

45

Për problemin (2) ,shkruajmë raportin e brinjëve dhe segmenteve propocionalë dhe njehsojmë segmented e kërkuara.

Nxënësit punojnë me grupe, mësuesit u krijohet mundësia që të punojë në mënyrë të diferencuar me nxënës që kanë nevojë për këtë ndihmë. Deklarohet përgjigja e çdo rasti të problemit në situatën kritike në klasë. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Problemat 3 dhe 4. IV.18. PERIMETRI I SHUMËKËNDËSHAVE TË NGJASHËM.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të vërtetoni që në perimetri i shumëkëndëshave të ngjashëm janë proporcionalë. Të zbatoni ngjashmërinë e shumëkëndëshave në situatë problemore. Të zbatoni vetinë e raportit të perimetrave të shumëkëndëshave të ngjashëm në

zgjidhje problemash. Mjetet: teksti, vizore. Metoda:



Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Kur dy shumëkëndësha janë të ngjashëm? -Si mendoni kur trekëndësha janë të ngjashëm, a kanë edhe perimetrat propocionalë. -Vështroni figurën 1. REALIZIMI: ‘thotë teorema? -Cili është kushti dhe përfundimi? -Shkruani raportin e brinjëve homologe me që trekëndëshat janë të ngjashëm.

AB BC AC kDE EF DF

= = =

Sipas vetisë së vargut të raporteve mund të shkruajmë: 1

2

PAB BC AC kDE EF DF P

+ += =

+ +

Duhet theksuar se kjo teoremë është e vërtetë edhe për shumëkëndësha me më shumë se tre brinjë. Të punojmë ushtrimet e zgjidhura në libër. REFLEKTIMI: Të punohen problemi 1 / 3. Në problemin 1 shkruhet raporti i brinjëve dhe i perimetrave, bëhet zëvendësimi dhe gjendet x. Për problemin 3 është e nevojshme të bëhet figura.

46

PABCD = 36 36 1212 2 6

ABCD

EFDA

P kP x

= = =+

PEFDA = 12 + 2x 36 . 6 = 12 (12 + 2x)

12 26

k = = 2x = 18 – 12

x = 3 Të punohen ushtrimet dhe të deklarohet përgjigja për nxënësit. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie 4 dhe 5. IV.19. RAPORTI I SIPËRFAQEVE TË SHUMËKËNDËSHAVE TË NGJASHËM.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të zbatoni vetinë e raportit të sipërfaqeve të shumëkëndëshave të ngjashëm në

zgjidhje problemash. Të zbatoni ngjashmërinë e shumëkëndëshave në situatë problemore.



Diskutimit Punë e udhëhequr

Puno me grupe .

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Kur dy trekëndësha janë të ngjashëm?

-Si janë segmented e dy trekëndëshave të ngjashëm? -Vështroni figurën 1 (në libër). -Cfarë thotë teorema?.

REALIZIMI: Cili është kushti? (e dhëna) –Po përfundimi? -Si njëhsohet sipërfaqja e trekëndëshit ABC? – Po e trekëndëshit DEF? -Bëjmë raportin e sipërfaqeve? -Nga përllogaritjet del se raporti i sipërfaqeve është (k2), (me katrorin e koefiçentit të ngjashmërisë). -Po kështu edhe sikur të jenë dy shumëkëndësha të ngjashëm, raporti i tyre është I barabartë me k2. -Të punohen ushtrimet e zgjidhura. REFLEKTIMI: . Të punohet problemi 1 / 5. Problemi 1 është zbatimi i mësimit dhe nxënësit me grupe dyshe punojnë në mënyrë të organizuar, ndërsa problemi 5 duhet të bëjmë kujdes që të shkruajmë:

43

k = 21

2

S kS

= 1

2

169

SS

= 1 2

2

259

S SS+

=

S1 + S2 =75, atëhere kemi:

2

75 259S

= S2 =75 9 2725⋅

= cm2 S1 = 75 – 27 = 48 cm2

Nxënësit punojnë, ndërsa mësuesit i krijohet mundësia që të proganizojë punë të diferencuar me nxënës të veçantë.

47

Bëhet deklarimi i pergjigjes së problemit në një atmosferë kritike. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie Problemat 3 / 4/ 6. IV.20. TEOREMAT E EUKLIDIT.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të njihni dhe formuloni teoremat e Euklidit. Të zbatoni teoremat e Euklidit në situata problemore.

Mjetet: teksti, vizore,trekëndësha kënd drejtë (vizatime). Metoda:



Puno me grupe.

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Vizatoni një trekëndësh kënddrejtë ABC ( 90C = ). -Hiqni lartësinë CH (nga kulmi i këndit të drejtë). -Cilat janë projeksionet e kateteve mbi hipotenuzë? -Krahasoni ΔACH me ΔBHC? (Vështro figurën 1).

-Pse janë të ngjashëm? (Sa elementë duhen? ) a) 090AHC BHC= = b)

090A B= −

c) 090BCH B= −

A BCH≡ . Cilat janë brinjët homologe? Shkruani raportin e brinjëve homologe. REALIZIMI: -Shikoni teoremën. -Cili është kushti? –Po përfundimi? -Vërtetimin e trekëndëshave të ngjashëm (sapo i bëmë më lartë).

-Cili është raporti i brinjëve homologe?

Zgjedhim raportet CH AHBH CH

= CH2 = BH . AH

Në të njëjtën mënyrë vërtetojmë edhe teoremën tjetër të Euklidit. -Bëjmë përgjithësimin e teoremave të Euklidit. Të zgjidhen problemat ku zbatohen teoremat e Euklidit. REFLEKTIMI: Të punohenproblemat 1/ 3 dhe 1 / 5. Nxënësit të vërejnë me kujdes figurat 1/ 3 dhe 1/5. Të përcaktojnë katetet, hipotenuzën, projeksionete kateve mbi hipotenuzën. Zbatoni teoremat e Euklidit. 42 = ( x – 3 ) (x + 3) x2 – 9 = 16 x2 = 25 x = 5

tek figurat 1/5. 12 . x = 82 12x = 64 x = 163

48

Ndërsa nxënësit bëhen gati për të deklaruar përgjigjen e problemave, mësuesi punon me nxënës të veçantë me mënyrë të diferencuar. -Bëhet deklarimi i zgjidhjeve në atmosferë kritike ku nxënësit japin mendimet e tyre. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie Problemat 3 / 4/ 5 IV.21. TEOREMA E PITAGORËS.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të njihni dhe formuloni teoremën e Pitagorës. Të zbatoni teoremën e Pitagorës në situata problemore.

Mjetet: teksti, vizore, tabelë. Metoda:



Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -C’quajmë trekëndësh kënddrejtë? -Cilët janë elementët e tij? -C’dini për teoremën e Pitagorës? -A e kemi vërtetuar ndonjëherë? REALIZIMI: Vizatoni një trekëndësh kënddrejtë (si në figurën 1) dhe tregojmë tabelën ku është treguar kjo teoremë por më e zmadhuar. -Cili është kushti? – Po përfundimi? Pas çdo pyetje ne kemi kohën e nevojshme për të marrë përgjigje nga nxënësit. -Zbatoni teoremën e dytë të Euklidit për sejcilin katet . AC2 = AB . AH BC2 = AB . HB Mblidhni anë për anë dhe del AC2 = BC2 = AB . (AH = HB) ⇒ AC2 + BC2 = AB2 Rëndësi ka të përforcohet edhe mendimi se edhe teorema e anasjelltë është e vërtetë. -Të punohen problemat e zgjidhura në libër. REFLEKTIMI: Problemi 2/ 6. Për problemi 2 ka rëndësi figura dhe AH = HB = 12. Gjithçka tjetër ka të bëjë më teoremën e Pitagorës, zbatimi i saj. Kërkesa b) ka nevojë të gjendet sipërfaqja e ΔABH, pastaj lartësia. Problemi 6 ka shumë raste, por thjeshtë do zbatohet teorema e Pitagorës. Nxënësit punojnë me grupe dyshe, ndërsa mësuesi kontrollon, udhëzon, dhe ndihmon nxënës që kanë nevojë për punë të diferencuar. Para se nxënësit të deklarojnë përgjigjen, këshillohen apo motivohen që të marrin pjesë gjallërisht në zgjidhjen e problemave. Të bëhet vlerësimi. Detyra: shtëpie 3 /4/ 5

49

IV.22. ZBATIME TË TEOREMAVE TË EUKLIDIT E PITAGORËS.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të zbatoni teoremat e Euklidit në situata problemore. Të zbatoni teoremën e Pitagorës në situata problemore.




Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Kujto çfarë thonë teoremat e Euklidit? -Po ajo e Pitagorës? -Vështro figurën 1. -Cfarë trekëndëshi është ABC? -C’është CD = ? Po BC = ? AC = ? -A ju kujtohet si mund ta gjejmë CD = ? (Cila teoremë do zbatohet në këtë rast?) REALIZIMI: Gjeni CD duke zbatuar teoremën e Euklidit. CD2 = 16 . 9 ⇒ CD = 12 -Tani për të gjetur AC dhe BC duhet të zbatojmë prap teoremën e Euklidit për katetet, por nxënësit mund të zbatojnë teoremën e Pitagorës. -Punojmë edhe problemin e dytë në libër, duke diskutuar hap pas hapi çdo detaj të problëemit. REFLEKTIMI: Të punohen problemat 1/ 2/7. Për problemin 1 në fillim e emërtojmë figurën (sipas dëshirës). Për figurën 3/a duhet gjetur y. (sipas teoremës së Euklidit), pastaj gjendet x (sipas teoremës së Pitagorës). -Gjendet kateti tjetër. Për të gjetur ( 2) duhet të shkruhet raporti i brinjëve për dy trekëndëshat e ngjashëm. Në të njëjtën mënyrë duhet vepruar edhe për figurat 3/b dhe 3/c. Për problemin 2 duhet të skicohet figura dhe brinja anësore bie pingule me njërën diagonale. -Në fillim njehsohet baza e madhe (sipas teoremës së Pitagorës). -Gjejmë lartësinë e trapezit.

Lartësia e trapezit gjendet nga formula 2SlAB

= , pra e nevojshme të gjendet

sipërfaqja e trekëndëshit kënd drejtë që formohet nga diagonalja, brinja anësore dhe baza e madhe. Pasi gjendet lartësia gjenden segmented që cakton këmba e pingules mbi bazën e madhe (me teoremën e Pitagorës). Po kështu veprohet edhe për problemin 7. Nxënësit pasi u tregohet rruga, punojnë për të bërë njehsimet e nevojshme. Deklarohet përgjigja nga nxënësit.

50

Të bëhet lerësimi. Detyra shtëpie Problemat 4/ 5/6 IV.23. USHTRIME.

Objektivat: -Të rikujtojmë e zbatojmë njohuritë mbi vijën e mesme të trekëndëshit. Mjetet: teksti, vizore. Metoda: ERR, punë e pamvarur, diskutime.

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Kujtojmë! Drejtojmë disa pyetje nxënësve. -C’quajmë trekëndësh? Cilat janë elementët e tij? -C’është vija e mesme e trekëndëshit? -C’dini për të? -Vështroni figurën 1 (në libër). REALIZIMI: Cili është kushti? Po përfundimi?

-Si vërtetohet që EF II BC dhe EF = 2

BC ?

-Vizatojmë një trekëndësh ABC. -Caktoni E pikën që është mesi i brinjës AB. -Hiqni paralele me brinjën BC. -Shënoni F pikën ku kjo paralele prêt brinjën AC. -Sipas Teoremës së Talesit nëse E mesi i brinjës AB atëhere kjo paralele pres brinjën AC në mesin e saj.Pika F është mesi i brinjës AC ⇒ EF vijë e mesme. Nga pika F heqim paralele me AB, prêt BC në pikën D. -Cfarë figure është katërkëndëshi BEFD? -Si iI ka brinjët e kundërta paralelogrami?

BD ≡ EF brinjët CD ≡ EF, po kështu CD ≡ EF ⇒ EF = 2

BC

Të punojmë problemat e zgjidhura në libër. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 / 5.

Nxënësit punojnë me grupe dyshe për të bërë zgjidhjet e duhura n ndërsa mësuesi punon në mënyrë të diferencuar me nxënës që kanë nevojë për pak ndihmë. Deklarohet duke argumentuar përgjigjet e problemit nga ana e nxënësve. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie Problemat 4/ 5/ 6 IV.24. RRETHI. KËNDI ME KULM NË RRETH.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

51

Të dalloni këndët qendror dhe ata rrethor. Të vërtetoni teoremën për masën e këndit rrethor. Të zbatoni vetitë e këndeve rrethor në situata problemore.

Mjetetteksti, vizore, kompas, raportor. Metoda:



Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Vizatoni një rreth me kompas. -Në këtë rreth vizatoni një reze,korde, diametër. -C’quajmë rreth? -C’quajmë reze? Kordë? diametër?_______ -Vizatoni një kënd qëndror ,rrethor. REALIZIMI: Vështroni figurën 4 ( në libër). -Cili është këndi qëndror? Po këndi rrethor? -C’thotë teorema? -Cili është kushti? Po përfundimi? -C’dini për këndin e jashëm të trekëndëshit? -Cili është këndi i jashtëm e trekëndëshit KOP? -C’farë lloji trekëndëshi është ΔKOP? Pse? Cili është përfundimi? Është e rëndësishmë që të theksojmë së këndi rrethor është sa gjysma e këndit qëndror që mbështeten mbi të njëjin hark. Punojmë shëmbujt që janë të zgjidhur në libër. REFLEKTIMI: Të punohet problemi 1/3. Ndërsa nxënësit punojnë me grupe dyshe dhe që zbatojnë njohuritë që i shpjeguam,mësuesi kujdeset që të shikojë, udhëzojë dhe të ndihmojë nxënës që kanë prapambetje. Pas kohës së nevojshme për të kryer zgjidhjen e problemave, motivohen nxënësit që të përfshihen në diskutimin e zgjidhjes. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Jepen problemat 2/4 IV.25. ZBATIME PËR KËNDIN ME KULM NË RRETH.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të vërtetoni pohime për këndet rrethor. Të zbatoni vetitë e këndeve rrethor në situata problemore.

Mjetet: teksti,vizore, kompas. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Stuhi mendimesh

Diskuto Analizo Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe


52

EVOKIMI: -Kujto çfar di mbi rrethin? -Vizatoni një rreth dhe dy korda paralele. -Cila është e dhënë? –Cila kërkohet? -Vëreni figurën 1 (në libër). REALIZIMI: Si janë këndet C dhe B ?

Duhet të theksohet se këndet B dhe C janë: a) Kënde ndërrues të AB II CD dhe si të tillë A B≡ b) Këndet B dhe C janë kënde rrethore dhe sa gjysma e harqeve AC dhe

BD që do të thotë: AC BD≡ Cili është përfundimi? Harqet midis kordave paralele janë kongruent.

E njëjta ecuri është edhe për dy shëmbujt e tjerë. Për shëmbullin e dytë diskutojmë këtë çështje: -Cfarë është dhënë? Cfarë kërkohet? -Cii është kushti dhe cili perfundimi? -Vështroni figurën 2 (në libër). -Krahasonitrekëndëshin AOE dhe trekëndëshin BOE. -Pse këto dy trekëndësha janë kongruentë? Nxënësit gjatë këtij diskutimi do të provojnë AO ≡BO (si rreze të rrethit) OE ≡ OE. Janë trekëndësha kënd drejtë. Kjo do të thotë se: Δ AOE ≡ Δ BOE AE ≡ EB dhe këndet qëndrore AOD BOD≡ AD BD≡ Po kështu edhe për shëmbullin e tretë. REFLEKTIMI: Të punohen problemat 1/ 4. Për problemin (1)nxënësit duhet të kenë parasysh se :

a) RO ≡TO = SO (se janë rreze të një rrethi). b) $1 2=$ se trekëndëshi ROT është dybrinjëshëm ( RO = OT)., po kështu edhe

$3 4=$ se Δ OST është dybrinjëshëm TO = OS.

c) $1 4+$ janë dy këndet e ngushtë të trekëndëshit RTS →kënd drejtë se mbështetet mbi diametër, pra $ 01 4 90+ =$ dhe $ 02 3 90+ =$ .

Për problemin 4 .Vështroni figurën 8. Bashkohen pikat T dhe O. Formohen dy trekëndësha Δ POT dhe Δ PNH. Këta

janë të ngjashëm, shkruajmë raportin e ngjashmërisë. OT OPNH ON

= 8 16

8NH= NH = 4.

Për të gjetur PH2 = PN2 – NH2 ⇒ PH2 = 82 – 42 = 48⇒ PH = 4 3 Nxënësit punojnë me grupe dyshe, Deklarojnë zgjidhjen e problemave dhe argumentave.

Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Problemat 2/ 5/ 6

53

IV.26. TANGJETJA E HEQUR MBI NJË RRETH.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të ndërtoni tangjenten nga një pikë ndaj një rrethi. Të vërtetoni vetinë e tangjentes së hequr nga një pikë mbi një rreth. Të zbatoni vetinë e tangjentes në situata problemore.

Mjetet: teksti, vizore, kompas. Metoda:



Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Vizatoni një rreth me reze të çfardoshme. -Nga një pikë P jashtë rrethit hiqni dy tangjente. -C’quhet tangjente mbi një rreth> -Si mendoni,gjatësitë e këtyre tangjenteve a janë kongruentë?- Si janë tangjentja e rrezja? REALIZIMI: Vështroni figurën 1. -Cila është teorema” -Cila është kushti/ Po përfundimi? -Krahasoni trekëndëshin OAP dhe trekëndëshin OBP. Nxënësit duhet të diskutojnë e të vinë në përfundimin se ΔOAP dhe ΔOBP janë kënd drejtë ( A B d≡ = ) dhe: 1) OA ≡ OB ( si rreze) 2) OP ≡ OP (hipotenuza). Kjo bën që Δ OAP ≡ ΔOBP AP = BP Në të njëjtën mënyrë punohet shëmbulli (prpblemi i zgjidhur në mësime) REFLEKTIMI: Punohet problema 2 dhe 4. Për problemin 2 veprohet kështu: Me që Ad dhe AE janë tangjente të hequra nga pika A do të thotë:

AD ≡ AE ⇒ 2x – 1 = 7 ⇒ x = 4 BD = 3x – 5 = 3 . 4 – 5 = 7 FC = x + 2 = 4 + 2 = 6, e kështu me radhë gjenden

brinjët e trekëndëshit ABC. Për problemin 4 shkruhet në çdo rast raporti i brinjëve të trekëndëshit të

ngjashëm.

2 54 x= 2x = 20 x = 10 e të tjerat po kështu zgjidhini.

Nxënësit punojnë në mënyrë të pamvarur me grupe ndërsa mësuesi bën punë të diferencuar me nxënës të vacant. Deklarohet përgjigja e nxënësve. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Problemat 3 / 5/ 7.

54

IV.27. TREKËNDËSHI BRENDASHKRUAR RRETHIT.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të ndërtoni rrethin që i jashtëshkruhet trekëndëshit të dhënë. Të njihni lidhjen midis rrezes së rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit barabrinjës dhe

brinjës së këtij trekëndëshi. Të zbatoni njohuritë mbi trekëndëshin e brendashkruar rrethit në situata problemore.



diskutim Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Drejtojmë këtë pyetje për diskutim: -Vizatoni një rreth. Merrni tri pika A, B, D. Bashkohini. -Si quhet trekëndëshi ABC në këtë rast? Cfarë janë për rrethin brinjët e trekëndëshit ABC? -Si ndërtohet rrethi jashtëshkruar trekëndëshit? REALIZIMI: Vizatoni një segment dhe gjeni qëndrën e rrethit që kalon nga skajet e tij ? –Sa qëndra të tilla janë? -Marrim si segmente tre brinjët e trekëndëshit. -Ndërtoni përmesoret e brinjëve. -Në sa pika priten këto përmesore? -Provoni të ndërtoni një rreth me qëndër pikën e prerjes së përmesores dhe reze sa OA = OB = OC. -A kanë lidhje gjatësia e brinjës në atë të mesore për trekëndëshin barabrinjës? Po kënd drejtë?

Duke ecur hap pas hapi, të provojmë dhe vërtetojmë R. Gjendet 33

aR = dhe

3a R= Të zgjidhen shëmbujt që janë në libër. REFLEKTIMI: Të punojmë problemta 1/3. Për problemin 1 e dhënë është brinja e trekëndëshit; a = 8 duhet R = ? Këtu kemi të bëjmë më lidhjen direkte që ka brinja me rrezen:

3 8 3 8 1, 4 11, 2 3,73 3 3 3

aR ⋅= = ≈ = = cm

Për problemin 3 janë dhënë R = 30cm. Gjeni : a) brinjën b) sipërfaqen e trekëndëshit; c) Sipërfaqen e rrethit; d) sipërfaqen e jashtëshkruar të trekëndëshit, brendashkruar rrethit.

3 30 3 30 1, 4 42a R= = = ⋅ = cm a) Për sipërfaqen e trekëndëshit përdoret formula e Heronit. b) Për sipërfaqen e rrethit zbatohet formula S = πR2. c) S__-= S0 – SΔ ( nga sipërfaqa e rrethit heqim sipërfaqen e trekëndëshit).

55

Nxënësit bëjnë llogaritket e duhura dhe më pas deklarojmë përgjigjen me një atmosferë kritike të nxënësve. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Problemat 2/ 4/ 5 IV.28. TREKËNDËSHI JASHTËSHKRUAR RRETHIT.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të ndërtoni rrethin që i brendashkruhet trekëndëshit të dhënë. Të njihni lidhjen midis rrezes së rrethit të brendashkruar trekëndëshit barabrinjës dhe

brinjës së këtij trekëndëshi. Të zbatoni njohuritë mbi trekëndëshin e jashtëshkruar rrethit në situata problemore.

Mjetet: teksti, vizore, kompas, raportor. Metoda:



Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Vështroni figurën 1. -Si quhet Trekëndëshi ABC në këtë rast> Po rrethi” -Cfarë janë brinjët e trekëndëshit për rrethin? -Si ndërtohet rrethi brendashkruar trekëndëshit>- -Cili është këndi gjeometrik i brinjëve të këndit? -Ndërtoni një trekëndësh ABC. REALIZIMI: Vizatoni vendin gjeometrik të një këndi. (kjo është përgjysmorja e këndit). -Vizatoni përgjysmoret e dy këndeve. -Pika e prerjes së tyre është qëndra e rrethit të brendashkruar trekëndëshit. -Lidhja që ekziston ndërmjet brinjës (a) të trekëndëshit barabrinjës është kjo:

2 3a r= 3

6ar =

-Këtë gjduhet ta vërtetojmë sipas shëmbullit në libër. E rëndësishme është se rrëzja e rrethit të brendashkruar trekëndëshit kënd drejtë gjendet

me formulën: 2

a b cr + −= , ku a, b katete dhe c është hiponuza.

REFLEKTIMI: Të punohen problemi 2 dhe 6. Në problemin (2) vështroni problemin dhe figurën.. Shqyrtoni trekëndëshin BOE

ku BO = 5 dhe OE = 2,5. Duke zbatuar teoremën e Pitagorës njehsojmë : BE2 = BO2 – OE2.

Gjëja e dytë që duhet provuar është se trekëndëshi ABC është barabrinjës. Në problemin 6 (veshtroni figurën 8).

56

Në fillim duke krahasuar BM = BE (si tangente të hequra nga pika B). Kjo do të thotë se BE = BM ⇒ 2x – 1 = 9 ⇒ x = 5

Pas kësaj gjenden gjatësitë e brinjëve të tjera. Nxënësit punojnë që të bëjnë njehsimet e duhura, me grupe dyshe, mësuesi

ndihmon duke punuar në mënyrë të diferencuar për nxënës të veçantë. Bëhet deklarimi i përfundimeve nga ana e nxënësve dhe vlerësimet.

Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie 4, 5/ 9 IV.29. USHTRIME.

Objektivat: -Të zbatoni njohuritë mbi masën e këndit qëndror dhe atij rrethor në situata problemore. Mjetet: teksti, vizore, kompas. Metoda: Problemore-diskutimit –njehsimeve.

Zhvillimi i mësimit Të zgjidhet shëmbulli i librit duke i dhënë përgjigje pyetjeve: -C’quhet kënd rrethor? -Sa është masa e këndit rrethor? -Këndi rrethor dhe qëndror me çfarë kanë lidhje? -Cila është lidhja midis këndit rrethor dhe harkut përkatës?

Të punohet problemi 1 (Diskutojmë së bashku). -Vështroni figurën 1 (në libër). -Cilat janë të dhënat? -Për të gjetur AB çfarë nevojitet? (këndi AMB ). -Sa është këndi 0 0 0180 40 140AMB = − =

0140AB = Harku ECA gjendet duke zbritur nga rrethi i plotë harkun 040AE = që do të thotë: 0 0 0360 40 320ECA = − = Harku BAE është gjysma e rrethit. 0180BAE = Në këtë mënyrë ne u japim përgjigje çdo kërkese të peoblemit 1 (duke shfrytëzuar masën e këndit qëndror, është e barabartë me masën e harkut përkatës). Problemi 2 është njëlloi si problemi 1. (I zhvilluar më lart). Të punohet problemi 3. Në problemin 3 duhet që të shtrojmë ekuacionin për të gjetur ndryshoren (x). Këndet: ( ) 180m BCQ DCP+ = . 2x + 4x + 15 + 2x + 5 = 180 x =20

Pasi gjen ndryshoren x gjen këndet BCQ = 2x + 4 = 2 . 20 + 4 = 440 e kështu këndet e tjera. Në këtë mënyrë u japim përgjigje dhe harqeve që kërkohen. Në problemin 4 shfrytëzohen njohuritë mbi masën e këndit rrethor dhe shuma e këndeve tëkatërkëndëshit. Pasi gjenndryshoren x gjendet masa e këndeve dhe harqeve që kërkohen. Vlerësimi. Detyra: Problemat 7/ 8/ 9

57

IV.30. MATJA E KËNDEVE DHE HARQEVE.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të njihni masat e këndeve (harqeve) në gradë dhe në njësinë radian. Të kryeni veprime me kënde duke kaluar nga gradë në njësinë radian. Të zgjidhni situata problemore.



Shpjegimi Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Me se matet masa e harkut? -Sa gradë është masa e rrethit , të shprehura në gradë? -Cilat janë njësitë të tjera të masës së harkut? -Si gjendet gjatësia e harkut? -Si mendoni: dy trekëndësha të ngjashëm a i kanë segmentet propocionalë?. REALIZIMI: Këndet maten dhe me radian. Harku me gjatësi sa rrezja quhet 1 radian. Sa radian është rrethi i plotë?

2 2l RbR R

π π= = =

Kjo do të thotë së rrethi i plotë është 2π radian. Gjysma e rrethit është π.

Për të kaluar nga gradë në radian shërben formula: 360 2

a bπ

= ose 180a b

π=

Të punojmë shëmbujt e zgjidhura në fund të mësimit. REFLEKTIMI: Të punojmë problemin 2. Për të gjetur masën e këndit me radian kur jepen l = 6cm dhe R = 5cm..

Në fillim gjejmë (n) nga formula 180

Rnl π= .

180 180 6 180 1, 25

lnRπ π π

⋅ ⋅= = =

⋅ 180a b

π= b = 1,5 rad.

Ndërsa nxënësit merren zgjidhjene problemit, mësuesi punon më nxënës të vëçant që kanë nevojë për punë të diferencuar. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie 4/5..

58

IV.31. FUNKSIONET TRIGONOMETRIKË NË Δ KËNDDREJTË.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të njihni përkufizimet e funksioneve trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë

çfarëdo. Të gjeni llidhjen midis këndeve dhe brinjëve në trekëndëshin kënddrejtë. Të zgjidhni situata problemore.



Shpjegojmë Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Vizatoni një trekëndësh ABC kënd drejtë në C. -Cili është kateti? Sa katete janë? -Cila është hipotenuza? -Cili katet ndodhet përballë këndit A? -Kateti anash këndit A ? REALIZIMI: Raporti i katetit përballë këndit A me hipotenuzë quhet

Sin A = sin Kateti pwrballwhipotenuza

α =

-Si mendoni se ky raport është e madhe apo më e vogël se 1?

-Raporti i katetit anash dhe hipotenuzës quhet: kateti anashkruarcosahiptenuza

=

Raporti i katetit përballë me katein anash quhet tangent α dhe raporti i anasjelltë quhet kotangent α. Përgjithësisht sinα, cosα, tgα, cotgα quhen funksione trigonometrike dhe tregojnë raportin midis brinjëve të trekëndëshit kënd drejtë. Funksionet trigonometrike nuk varen nga gjatësitë e brinjëve, por nga masa e këndeve. -Te vërtetohet teorema për këtë qëllim. Të zgjidhen problemat e zgjidhura në libër. REFLEKTIMI: Të punojmë problemat ¼. Në problemin 1 duhet bërë kujdes se në fillim duhet gjetur njëri katet (me teoremën e Pitagorës). Vizatohet figura dhe shkruhen të dhënat; BC2 = 412 – 92 = 1600 ⇒ BC = 1600 =40

Sin a = 4041

BCAB

= etj

Në problemin 4 janë edhe dy katetet. Në fillim duhet të gjejmë hipotenuzën e trekëndëshit kënd drejtë. Gjeni funksionet trigonometrike të këndit A, pastaj këndit B. Ndërsa nxënësit me grupe dyshe diskutojnë dhe nxjerrin përfundimet e duhura, mësuesi ka hapsirë të punojë në mënyrë të diferencuar me nxënës të veçantë.

59

Deklarohet përgjigja për sejcilin rast. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Problemat 2/ 3/ 6

IV.32. FORMULAT THEMELORE E TRIGONOMETRISË.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të përdorni përkufizimet e funksioneve trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë

çfarëdo. Të nxirrni formulat themelore të trigonometrisë. Të zgjidhni situate problemore.

Mjetet:teksti, vizore. Metoda:


Shpjegimit Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Vizatoni figurën (1) në fletore.

-Zbatoni teoremën e Pitagorës: (c2 = a2 + b2).

-Shkruani SinA = ac Sin2

A = 2

2

ac

-Po kështu Cosa = bc Cos2

A = 2

2

ac

REALIZIMI: Mbledhim anë për anë: Sin2A + Cos2A = 2 2 2 2 2

2 2 2 2 1a b a b cc c c c

++ = = =

Pra formula e parë kryesore është: Sin2A + Cos2A = 1 Të punohen shëmbulli në libër.

Nëse jepet sinA = 22 dhe cosA =

22

Sin2A + cos2

A = 12 2 2

2 2 12 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 = 1

Kjo është e vërtetë. Punojmë një rast që nuk është i vërtetë.

TgA = ab A

A

aSinc

b Cosc

= tgA = A

A

SinCos

60

CotA = ba Cot = A

A

bCosc

b Sinc

= Cot = A

A

CosSin

Të punohen ushtrimet në fund të librit. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 dhe 5. Problemi i është zbatimi i drejtpërdrejtë të formulës kryesore, ndërsa problemi 5:

Gjendet : Cos2x = 23 25 9 161

5 25 25−⎛ ⎞− = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ Cosx =

45

tgx = 3 3 5 354cos 5 4 45

Sinxx= = ⋅ =

Cot x = cos 4 3 4 5 4: 3sin 5 5 5 3

x

x

= − ⋅ =

Ndërsa nxënësit punojnë për të dhënë përgjigje problemit, mësuesit ikrijohen hapësirat e nevojshme për të punuar me nxënësit në mënyrë të diferencuar. Deklarohet përgjigja e problemit. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie 3/ 4/ 6/ 7 IV.33. FUNKSIONET TRIGONOMETRIKË TË KËNDEVE

300, 450 dhe 600. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të njihni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 300, 450, 600. Të përdorni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 300, 450, 600 për

zgjidhje problemash gjeometrike. Mjetet: teksti, vizore. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Stuhi mendimesh

Shpjegim Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Vizatoni një trekëndësh ABC barabrinjës (me brinja a). -Sa janë këndet e trekëndëshit barabrinjës? -C’dini ju për këndin 300 në trekëndëshin kënd drejtë? -Hiqni një lartësi AH. -Analizoni trekëndëshin kënd drejtë ABH (me libër). AB = a BH = 2

a 030A =

61

-C’dini për katetin përballë këndit 300 ⇒ Sin300 = 12

REALIZIMI: Sin 600 është AH përmbi AB.

Sin 600 = AHAB AH2 = AB2 – BH2

2 2

2 2 34 4a aAH a= − =

32

aAH = Sin 602 =

332

2

a

a=

Cotg 300 = 3 3 2 3

5 2AH aAB a

= = ⋅ =

-Vështro tabelën ku jepet vlera e funksioneve trigonometrike. -Të punohen ushtrimet në fund të mësimit. E rëndësishmë është që të sqarohet se:

sina = ac a = c . sina cosa =

bc b = c . cosa etj.

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet: 1 / 3. Në ushtrimin 1:

Sin 300 + cos 600 = 1 1 2 12 2 2+ = =

Sin 450 + cos 300 = 2 3 2 3

2 2 2+

+ =

Ndërsa nxënësit punojnë për të nxjerrë përfundimet e ushtrimeve, mësuesi punon në mënyrë të diferencuar me nxënës të veçantë. Deklarimi i përgjigjes. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie 2/ 4 IV.34. USHTRIME PËR FUNKSIONET TRIGONOMETRIKË. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të përdorni përkufizimet e funksioneve trigonometrike në ushtrime. Të gjeni formula që lidhin funksionet trigonometrike. Të zgjidhni situata problemore.



Zgjidhje Punë e orjentuar.

Puno me grupe dyshe


62

EVOKIMI: -Cilat janë formulat kryesore të funksioneve trigonometrike. sin2a + cos2a = 1 sina = 21 cos a−

Jepet sina = 23

. Gjeni vlerën e shprehjes.

Sina . cotga + cosa = ?

Gjej cosa = cos 5 2 5 3 5:5sin 3 3 3 2 2

aa= = ⋅ =

Vlera e shprehjes

Sina . cotga + cosa = 2 5 5 5 5 2 53 2 3 3 3 3⋅ + = + =

REALIZIMI: Gjeni vlerat e shprehjes:

0 0

0 0

14 34sin 30 60 122 6 230 cos 45 123 2

3 2

tgtg

⋅⋅= = =

⋅⋅

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 14 dhe 15. Për ushtrimin 14.

Sinusi i një këndi mund të ketë vlerën: 0, 1, 3 2 5, ,5 4 3

Kurse tga mund të marrë

të gjitha vlerat e dhëna. Ndërsa në problemin 14 provohet me formulën kryesore.

a) sina = 0,3cosa = 410 sin2a + cos2a = 10,32 + 0,42 = 1 0,32 + 0,42 = 1 (jo)

b)sina = 2

2 cosa = 3

2 2 2

2 3 2 3 12 2 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 14= jo num është e vërtetë.

c)sina = 35 dhe cosa =

45

2 23 4 15 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 16 125 25

+ = 1 = 1 (PO)

Të vlerësohen nxënësit. Të jepen detyra 6/ 16/ 18

KREU V

GJEOMETRIA NË HAPËSIRË

63

V.1. DREJTËZA PINGULE ME PLANIN. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të vizatoni një plan dhe një drejtëz pingule me të. Të tregoni se kur një drejtëz është pingule me një plan. Të zbatoni vititë e drejtëzës pingule më një plan në situata problemore.

Mjetet: teksti, vizore,trekëndësha kënd drejtë. Koncepte: pingulen pjerrta, këmba e të pjerrta, projeksion. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Stuhi mendimesh


Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: -Organizojmë me formë bisede. -Si e vizatojmë një plan (P) ? Vizato. -Cila është gjendja e një plani dhe një drejtëzë? -Vizatoni çdo rast! -Sa drejtëza ka një plan? REALIZIMI: Kur një drejtëz do ta quajmë pingule me një plan? -Si lexohet shënimi a ⊂ P ? b ⊂ P ? d ⊥ a ? d ⊥b ? -Vizatoni një plan (P),merrni një pikë A jashtë P. -Hiqni nga pika A një pingule dhe një të pjerrta në P. -Vështroni figurën 3 (në libër). -Si quhet AO? (pingule) –Po AC dhe AB ? (të pjerrta) -Si quhet O? (këmba e pingules) – Po c ? (këmba e pjerrtë). -OC quhet projeksioni I AC, ndërsa OB quhet projeksioni I AB. -Ta punohe problema 2 dhe 5. REFLEKTIMI: Të punojmë problema 2 dhe 5 . Problemi 2: E rëndësishme është të bësh figurën. Figura në plan është katror me P = 40 ⇒ a = 40

4 = 10cm.

Nga kulmi D ngrihet pingulja DE = 10cm. Gjeni: EA = ? EB = ? EC = ? Për të gjetur AE dhe EC (njëlloi) zbatohet teorema e Pitagorës për trekëndëshin kënd drejtë ΔEDA dhe ΔEDC. AE2 = DE2 + DA2 ⇒ AE2 = 102 + 102 = 200 ⇒

AE = 10 2 . Për të gjetur EB duhet gjetur diagonalja e katrorit

BD ⇒ BD2 =AB2 +AD2 ⇒ BD2 = 102 +102 = 200 ⇒ BD = 10 2 BE2 =BD2 +DE2 ⇒ BE2 = (102___) +102 = 300 ⇒ BE = 10 3 .

64

Për problemin 5 përveç se duhet zbatuar teorema e Pitagorës, duhet më parë të zbatohet vetia e katetit përballë këndit 300 dhe nga këndet (duke shfrytëzuar funksionet trigonometrike), gjendet katetet.

Nxënësit punojnë për të nxjerrë rezultatet e duhura, ndërsa mësuesi punon në mënyrë të diferencuar me nxënës që kanë nevojë. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie ushtrimet 1/ 3/ 4 V.2. PLANE PINGULË. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të vizatoni dy plane në vartësi të gjendjes së ndërsjelltë të tyre. Të dalloni nëse dy plane janë apo jo pingulë. Të zbatoni disa veti për planet pingulë në situata problemore.

Mjetet: teksti, vizore, mjete planesh (karton). Metoda:

Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep mendime


Puno me grupe dyshe

Koncepte : Kënd dy faqësh Zhvillimi i mësimit

EVOKIMI: -Bisedojmë! -Cili thotë dy plane nga objektet përreth? -Dy plane që pritet? -Dy plane paralele? -Vizatoni dy plane paralele! (shiko figurat 1, 2 në libër). -Vizatoni dy plane që priten (figura 2 në libër). ReEALIZIMI: Vështroni figurën 4 në libër. -Vizatoni figurën 4 në dërrasë duke përdorur shkumësa me ngjyrë. -Në cilën plane shtrihet drejtëza (d) ? –Po AB? –CD ?

Si lexohen shënimet AB ⊂ P dhe AB ⊥ P ? CD ⊂ Q dhe CD ⊥ d ? -Këndet CEA ; CEB quhet kënd dyfaqësh. A ka në figurë kënde dyfaqësh të tjetë? -Kur dy plane janë pingule? -Vështroni figurën 5 dhe të vërtetohet teorema. REFLEKTIMI: Të punohen problemta 1 dhe 3.

Problemi 3 duhet vështrua figura 8. Në fillim gjejmë AF (duke zbatuar teoremën e Pitagorës). Më pasgjejmë AB duke

shfrytëzuar teoremën e Pitagorës, për ΔABF ⇒ AB2 = BF2 + AF2. Nxënësit bëjnë vlerësimet dhe njehsimet e duhura, mësuesi ka hapësirën për të

vrojtuar, udhëzuar dhe ndihmuar nxënës që kanë më shumë nevojë. Deklarohet përgjigja (zgjidhja e ushtrimeve) në një situatë kritike.

Të bëhet vlerësimi. Detyra: shtëpie ushtrimi 2/ 4/ 5

65

V.3. SFERA. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të gjykoni mbi marrëdhëniet midis sferës dhe planeve. Të zgjidhni situata të thjeshta problemore.

Mjetet: libri i matematikës, vizore, kompas Metoda:

Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Përmendim disa objekte që kanë formë sferike. -Përmendim disa elementë të sferës. -Cila quhet rreze. -C’është korda? përmend korda te figura 2. -C’është diametric i sferës? -C’është tangjente e sferës? REALIZIMI: Cila është gjendja e ndërsjelltë ndërmjet një sfere e plani. -Vështroni figurat në libër; (2) dhe (3). Sfera dhe plani kanë një qark të përbashkët. Cila është largësia e qëndrës së sferës me planin? Të vërtetohet pohimi: -Segmenti që bashkon qëndrën e sferës më qëndrën ë rrëthit është pingule me planin e rrethit. Referohuni figurës 6 në libër. -C’është pika ( O)? – Po pika D? -C’është AB? (diametri i rrethit të planit). Trekëndëshi ΔDABështë dybrinjëshëm ( AD ≡ BD si rreze). DO është mesore e trekëndëshit dybrinjëshë. Ajo është edhe mesore edhe lartësi, pra DO → lartësi në pikën O. Të punohet shëmbulli i zgjidhur në libër. REFLEKTIMI: Të punohet problemi 1 dhe 4. Për problemi (1) nxënësit duhet të lexojnë me kujdes dhe të thonë se është e vërtetë apo i rremë. Pika (a) dhe (c) të vërteta, ndërsa pikat (b) dhe (d) të rrema. Problemi 4. E rëndësishme është që të konceptohet figura që në rastin e problemit (4) është e njëjtë me figurën (7).

66

Është dhënë OB = 41cm (rreze e sferës) dhe AB = 40 (rreze e rrethit). Duhet gjetur: OA = ? (Zbatoni teoremën e Pitagorës për trekëndëshin OAB dhe gjeni OA = ?). Nxënësit marrin kohën e mjaftueshme për të dhënë përgjigje problemave, ndërsa mësuesi ka kohën e duhur për të bërë punën e diferencuar me nxënës të ve

Nxënësit punojnë për të nxjerrë rezultatet e duhura, ndërsa mësuesi punon në mënyrë të diferencuar me nxënës ëë vecant.

Në momentin që duhet deklaruar përgjigja e problemeve të motivohen nxënësit që të jenë “kritikë” në përgjigjet. Të bëhet vlerësimi me notë. Detyra shtëpie Problema : 2; 5 dhe 7. V.4. PLANI TANGJENT ME SFERËN. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zbatoni vetinë e planit që është tangjent me sferën. Të zgjidhni situata problemore.

Mjetet: libri i matematikës, vizore,kompas. Metoda:



Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Le të bisedojmë. -Si mendoni se plani është tangjent me planin? -Sa pika të përbashkëta mund të kenë? -Sa është largësia e planit me qëndrën e sferës? REALIZIMI: Të vërtetojmë teoremën. “Plani pingul me rrezen në skajin e saj që gjendet në sipërfaen sferike është tangjent me sferën”. -Vështroni figurën 2 në libër. -Vizatojmë figurën 2 në dërrasë të zezë me shkumsa me ngjyra (të bëhet e dallueshme). -Cila pikë është e përbashkët për sferën dhe planin? -A është e vetme pika )A) e përbashkët e plani e sferës? -OA është pingule me planin P. Trekëndëshi OAE është trekëndësh kënd drejtë me katete OA dhe AE. Kështu që OE mbetet hipotenuzë. Dimë që OE > OA, mbetet që E është jashtë sipërfaqes sferike. Për rrjedhojë e vetmja pikë e përbashkët për planin e sferës është A. Të thuhet dhe teorema e anasjelltë (s’ka nevojë të vërtetohet dhe të zgjidhim problemat. Shëmbujt në libër).

67

REFLEKTIMI: Të punohen problemta 1 dhe 3. Për problemin (1) e rëndësishme është të konceptohet figura që në rastin konkret është si figura (3) në libër ku është dhënë: OB = 13 dhe OA = 5. Të gjendet AB = ? Për të gjetur AB zbatohet teorema e Pitagorës në trekëndëshin OAB. Për problemin 3, të kryhet figura. d1 || d2 OC = 10cm OB = 13cm OA = R = 5 BC = ? Plani i zgjidhjes është ky:

Në ΔOAC me 0A 90

∧

= , sipas teoremës së Pitagorës gjejmë: AC2 = OC2 – OA2 5 3AC =

Në ΔOAB me A∧

= 900, zbatojmë teoremën e Pitagorës : AB2 = OB2 – OA2 AB = 12 BC = AB + AC = 12 + 5 3

Ndërsa nxënësit bëjnë me grupe dyshe zgjidhjen e problemit, mësuesi diku vrojton, diku udhëzon apo nxit diku, ndihmon, atje ku e sheh të arsyeshme.

Deklarohet përgjigja nën vëzhgimin tërësor të klasës, diskutohet çdo detajë. Të bëhët vlerësimi me notë. Detyra shtëpie. Problemi 2/ 4/ 5. V.5. PROBLEMA. Mjetet: libri i matematikës, vizore,kompas. Metoda: Diskutimit, analizës, sintezës, punë me grupe dyshe.

Zhvillimi i mësimit Problemi 1: Në problemin (1) nxënësit duhet të lexojnë me kujdes dhe të japin përgjigjen e vërtetë apo e rremë. Pikat (a) dhe (c) janë të vërteta, ndërsa (b) dhe (c) të rrema. Problemi 2. Të lëxojnë problemin me kujdes dhe të vizatojnë figurën e duhur për këtë problem. figura AB → e pjerrët AC → pingule

0B 60∧

= 0C 90

∧

= BC ⇒ projeksioni i të pjerrtit BC = 6.

Gjeni : gjatësinë e të pjerrtës AB = ? PABC = ? Plani i zgjidhjes është ky : (këtë e diskutojmë).

-C’duhet të gjejmë në fillim? (këndin 0A 30∧

= ) -Tregoni natyrën e trekëndëshit ABC ?

68

-C’dini për trekëndëshin kënd drejtë? (kateti përballë këndit 300) ( BC = 6 ⇒ AB = 12) -Si gjendet AC = ? ( AC2 = AB2 – BC2) -A mund ta gjejmë PABC = ? pasi vendosim për planin e zgjidhjes, nxënësit marrin kohën e duhur për të kryer zgjidhjen e kërkesave të problemit. E rëndësishme është se bashkë me zgjidhjen e problemit, nxënësit duhet të përmendin njohuritë që shfrytëzuan për të kryer zgjidhjen. (të debatojnë, të plotësojnë edhe nxënësit e klasës). Të zgjidhësh një problem nuk është një gjë e thjeshtë. Kontakti i parë i nxënësit me problemin është i vështirë, i pakapshëm, i ftohtë. Gjëja që duhet të bëjë një mësues është që ta theksojë se problemi nuk është i vështirë, nuk është aq i ashpër, por familjarizohen me të, lexoje një herë, dy herë, e më shumë me kujdes. Bëje figurën, kjo është gjysma e problemit. Nxirr të dhënat, po e theksoj të gjitha të dhënat, ato nuk janë vetëm numra, janë edhe kushte. Nxirr ato që duhen apo kërkohen nga problemi. Kujto ndonjë shëmbull, apo problem që ke zgjidhur edhe më parë e që ngjason me problemin tonë. Cilat janë lidhjet direkte, apo shpesh edhe indirekte të atyre që janë dhënë me ato që kërkohen. Të punohen problemta 6/ 8. Të vlerësohen me notë. Detyra: 5/ 7/ 11

KREU VI

SHNDËRRIMET GJEOMETRIKE

VI.1. VEKTORI. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të dalloni vektorin nga segmenti. Të dalloni vektorë të barabartë, vektorë të kundërt dhe vektorë paralelë. Të zgjidhni situata problemore.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Jep mendimin tënd!

69

-Vizatoni një segment CD = 3cm. -A ju kujtohet se ç/është vektori? -Nga se ndryshon segmenti nga vektori? -Si e shënojmë një vector? REALIZIMI: Vështroni figurat 1/b; 1/b; 1/c. -Cfarë shikoni aty? -Në figurën 1/b dhe 1/c – Cila është origjina dhe ekstremiteti? -Si shënohet simbolikisht një vektorë? -Në vektorin MN

uuuur, cila është origjina? –po ekstremiteti?

-A ndryshojnë vektorët MNuuuur

me NMuuuur

? Pse? -Vështroni figurën 2/a dhe 2/b. -Tregoni vektorët e të dy figurave. -Cilat janë elementët e vektorit? -Vështroni figurën 3. Marrim mendimin edhe të nxënësve. -Vektorët AB

uuur dhe DC

uuur-ç’kanë të përbashkët? (drejtimin) –Nga se ndryshojne?

(gjatësia, kahu). -Kur vektorët kanë kahe të njëjtë? Po të kundërt? REFLEKTIMI: Të punohet problemat 1 dhe 6. Për problemin (1) nxënësit duhet të vizatojnë vektorë:

a) me drejtim të njëjtë (vektorë paralel apo me një drejtëz) b) me kahe të kundërta . c) të barabartë. d) Të kundërt

Këto vizatime nxënësit i bëjnë dyke shfrytëzuar figurat në libër. Për problemin 6: Të vizatoni vektorët me gjatësi: ar

= 3cm br

= 4cm Cur

= 2cm

a) orgjinë të ndryshme ekst______. të ndryshme b) orgjinë të njëjtë ekstre ______të ndryshme. c) Orgjinë të ndryshme ekstre___-të njëjtë. Mësuesi të vëzhgojë. urdhërojë, të ndihmojë nxënës me punë të diferencuar.

Të bëhet vlerësimi . Të jepen detyra: Problemi 3/ 4/ 7. VI.2. MBLEDHJA E VEKTORËVE. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të mbledhin dy vektorë me rregullin e trekëndëshit. Të mbledhin vektorët me rregullin e paralelogramit. Të zgjidhni situata problemore me mbledhje vektorësh.

Mjetet: teksti, vizore e shkallëzuar.

70

Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep edhe ti mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Kujto! Jep edhe ti mendimin tënd! -Vizatoni dy vektorë në fletore si në figurën 1. Ndërsa mësuesi vizaton dy vektorë, mundësisht me ngjyra të ndryshme. -Kur dy vektorë janë të barabartë? -Si mblidhen dy vektorë? REALIZIMI: Shpjegojmë se për të mbledhur dy vektorë, ka dy rregulla:

a) Rregulli i trekëndëshit (veproni edhe ju në fletore). -Merrni një pikë E. Zhvendosni vektorin a

r me orgjinë në pikën E.

–Me orgjinë në ekstremitetin e vektorit ar

zhvendosni vektorin br

(vështro rregullin e trekëndëshit)

-Vizatoni vektorin me orgjinë në E dhe me ekstremitet me ekstremitetin e vektorit br

. Shkruajmë vektorin shumë a a b= +

r r r.

b) Dy vektorë mblidhen edhe sipas rregullit të paralelogramit. (Vështro rregullin e paralelogramit).

Zhvendosni dy vektorët ar

dhe br

me orgjinë pikën E. Nga ekstremitetet e dy vektorëve heqim paralele , formojmë paralelogram. Diagonalja me orgjinë pikën E quhet vektori shumë.

Shuma e dy vektorëve gëzon vetinë ndërrimit. ar

+ b b a= +r r r

REFLEKTIMI: Të punohet problemi 1 dhe 3. Për problemin 1 plotësoni vendet bosh. AE ED AD+ =

uuur uuur uuur AO OC AC+ =

uuur uuur uuur AF FD AC CD+ = +

uuur uuur uuuruuur etj.

Për problemin 3 : Vështroni figurën7. AB BC AC+ =

uuur uuur uuur AD DB AB+ =

uuur uuur uuur OC CD OD+ =

uuur uuur uuur etj.

Ndërsa nxënësit përgatitin përgjigjet e problemave, mësuesi punon në mënyrë të diferencuar ne nxënës të veçantë. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie: Problemi 2/ 4/ 6

VI.3. ZBRITJA E VEKTORËVE. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zbresni dy vektorë duke shfrytëzuar mbledhjen e vektorëve. Të nxirrni dhe të zbatoni rregulla për zbritjen e vektorëve.

71

Të zgjidhni situata problemore. Mjetet: teksti, vizore e shkallëzuar. Metoda:


shpjeguese Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe


EVOKIMI-Bisedojmë. Jep edhe ti mendimin tënd.! -Si zbriten dy numra me shenjë? -Zbrit duke mbledhur të parin me të kundërtin e dytë. 7 – 9 = 7 + (-9) = - 2 -Cili është i kundërti i vektorit b

r? ( )b−

r

-Vizatoni dy vektorët ar

dhe br

(figura 1). *Si vizatohet vektori b−

r?

REALIZIMI: Shpjegojmë. Për të zbritur dy vektorët ar

dhe br

, bëjmë mbledhjen e vektorit a

r me të kundërtin e vektorit b

r. d.m.th. ( )a b a b− = + −

r r r r

-Vështroni figurën 2 dhe 3 në libër. -Përgjithësisht për të zbritur dy vektorë janë dy rregulla:

a)Në se dy vektorët kanë eksteremitet të njëjtë, atëhere vektori diferencë ka orgjinë, orgjinën e vektorit të parë dhe ekstremitet në orgjinën e vektorit të dytë.

–Punojmë shëmbuj : KL PL KP− =uuur uuur uuur

MQ KQ MK− =uuuur uuur uuuur

b)Në se dy vektorët kanë orgjinë të njëjtë, atëhere vektori diferencë ka ekstremitet

të ekstremitetit i vektorit parë dhe orgjinë në ekstremitet e vektorit të dytë. Shëmbuj: KL KM ML− =

uuur uuuur uuur PQ PM MQ− =

uuur uuuur uuuur

Të punojmë ushtrimet në libër. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 dhe 3. Në ushtrimin 1 kemi: AE DE AD− =uuur uuur uuur

AO AC CO− =uuur uuur uuur

AF DF AD− =uuur uuur uuur

BD ED BE− =uuur uuur uuur

Në këto ushtrime duhet theksuar për çdo rast dy vektorët kanë orgjinë të njëjtë,

apo ekstrmitet të njëjtë dhe zbatohen rregullat respektive. Në problemin 3 .Vështroni figurën 6. AB AD DB− =

uuur uuur uuur ( të dy vektorët kanë orgjinë të njëjtë) etj.

Nxënësit duke ecur sipas kësaj mënyre duhet të japin përgjigje ushtrimeve rast pas rasti. Deklarohet përgjigja në një atmosfera kritike.

Mësuesi të vëzhgojë. urdhërojë, të ndihmojë nxënës me punë të diferencuar. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie. Ushtrimet 2/ 4/ 5.

72

VI.4. MBLEDHJA DHE ZBRITJA E DISA VEKTORËVE. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të kthejnë diferencën e vektorëve në shumë vektorësh. Të kryejnë veprime me më shumë se dy vektorë. Të zgjidhin situata të thjeshta problemore.


Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep edhe ti mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Jep mendimin tënd! -Si mblidhen dy vektorë sipas rregullit të trekëndëshit? -Si do të mblidhen tre vektorë? (Le ta thonë mendimin e tyre nxënës të ndryshëm). -Vizatoni në fletore tre vektorë , ,a b c

r r r sipas dëshirës. (mundësisht me ngjyra të

ndryshme). Vizaton edhe mësuesi në dërrasë tre vektorë. REALIZIMI: Shpjegojmë se për të mbledhur kët vektorë ndiqet kjo radhë pune: -Merrni një pikë D në fletore (dërrasë) të çfardoshme. -Cili zhvendos vektorin a

r në pikën D ? (sipas rregullit të trekëndëshit).

-Zhvendosni edhe vektorin br

me orgjinë në ekstremitetin e vektorit DE a=uuur r

pra EF b=uuur r

-Në ekstrmitetin e EF

uuur zhvendosim c FP=

r uuur

Vektori shumë është vektori DP a b c= + +uuur r r r

(me orgjinë në orgjinën e vektorit parë dhe ekstremitet në ekstrmitetin e vektorit c

r

Shpesh jepet disa vektorë që ka edhe zbritje. Për të mbledhur zbritjet i kthejmë me vektorë shumë dhe i rendisim.

Shëmbull: DE FK PK FEDE EF FK KP DP

+ − − =+ + + =

uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur

REFLEKTIMI: Punojmë shëmbujt dhe ushtrimet 1 dhe 4. Në ushtrimin 1 duhet bërë renditja e duhur. AB BC CA CD AD+ + + =uuur uuur uuur uuur uuur

(këtu renditja është dhënë në ushtrim) 0CA BC AB AB BC CA+ + = + + =

uuur uuur uuur uuur uuur uuur (duhet kryer renditja)

( ) 0AC CD BA DB AC CD DB BA AD DB BA+ + + = + + + = + + =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Në ushtrimin 4 zbritja duhet kthyer në mbledhje me të kundërtin e vektorit. AD CD EC AD DC CE AE− − = + + =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

73

0DA FA DE FE DA AF FE ED− − + = + + + =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Të deklarohet përgjigja e ushtrimeve nga ana e nxënësve. ar

Këtu marrin pjesë gjallërisht të gjithë nxënësit. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie 2 dhe problemi 3.

VI.5. SHUMËZIMI I VEKTORIT ME NJË NUMËR REAL. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të kryeni veprimin e shumëzimit të vektorit me një numër real. Të pjestoni dy vektorë me drejtim të njëjtë. Të zbatoni shumëzimin e vektorit me një numër real në situata problemore.

Mjetet: teksti, vizore. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Jep mendimin tënd! -Vizatoni në fletore vektorin a

r (të çfardoshëm).

Mësuesi e vizaton vektorin ar

në dërrasë të zezë. -Si mendoni se duhet vizatuar vektori 2 a⋅

r?

-Vizatoni vektorin 2 a⋅r

-Me orgjinë në pikën E vizatojmë në atë drejtëz vektorin 2 a⋅

r dhe kemi EF a=

uuur r

dhe FD a=uuur r

2ED a=uuur r

REALIZIMI: Prodhimi i një vektori ( )ar

me një numër real (K) quhet vektori br

i tillë

që të plotësojë kushtet: 1) Vektori a

r dhe b

rkanë drejtim të njëjtë.

2) Vektori ar

dhe br

kanë kahe të njëjtë nëse k > 0 dhe kahe të kundërta nëse k < 0.

3) Gjatësia e vektorëve ar

dhe br

plotësojnë b k a= ⋅r r

Vështroni figurat 1 dhe 2 në libër. ar

Punojmë shëmbullin e dhënë në libër. Duhet të themi se shenja e koeficinetit k varet nga kahet e vektorëve a

r dhe b

r

k > 0 vektorët kanë kahe të njëjtë dhe k < 0 vektorët kanë kahe të kundërt.

74

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 2 dhe 5. Për ushtrimi 2 duhet të bëjnë vizatimin e vektorit a

r me gjatësi 3cm (me kahe e

drejtim sipas dëshirës). Pas kësaj të vizatojnë vektorët 2b a=

r r ⇒ 6b cm=

r etj.

Në problemin 5 duhet që çdo nxënës të vizatojë vektorët ; ;a br ur

cr

të çfardoshëm. Vizato shumat 1) 2 3a b c+ +

r r r apo 3 2a b c− +

r r r

Mësuesi vrojton, udhëzon dhe diku ndihmon për të bërë vizatimet e duhura. Të bëhet vlerësimi . Të jepen detyra: 3/ dhe problemi 7. VI.6. ZBATIME TË VEPRIMEVE ME VEKTORË. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zbatoni veprimet me vektorë në situata problemore. Mjetet: lteksti, vizore. Metoda:



Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Jep mendimin tënd! C’dini për vijën e mesme të trekëndëshit? -Vizatoni një trekëndësh ΔABC. (si në figurën 1). Mësuesi e vizaton këtë figurë në dërrasë. Cila është e dhënë? (Pika E dhe F mesi respektivë i brinjëve AB dhe AC). REALIZIMI: Shkruani si gjendet EF EA AF= +

uuur uuur

12

EA BA=uuur uuur

dhe 12

AF BC=uuur uuur

Zëvendësoni! Dhe kemi 1 1 12 2 2

EF BA AC BC= + =uuur uuur uuur uuur

Çdo të thotë që 12

EF BC=uuur uuur

a) Vija e mesme është sa gjysma e brinjës BC dhe b) Vektorët EF

uuur dhe BC

uuur janë bashkëvijorë që do të thotë EF II BC

Të punohen shëmbulli në fund të mësimit. REFLEKTIMI: Të punohet problemi 1 .

Pikat E dhe F janë meset e brinjëve EF ED DC CF= − +uuur uuur uuur uuur

75

12

ED AD=uuur uuur

12

CF CB=uuur uuur

1 1 1 22 2 2 2

EF AD DL DC AL D= + + = + =uuur uuur uuur uuur uuur ur

= ( )1 1 1 12 2 2 2

AL DC LB DC AB+ + = +uuur uuur uuur uuur uuur

Bën sqarimet

Nxënësit punojnë me grupe dyshe për të dhënë përgjigjë problemit, mësuesit i krijohet hapësirë e nevojshme për të bërë punë të diferencuar me nxënës të veçantë.. Bëhet deklarata e zgjidhjes së ushtrimeve. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie . Problema 3/ 4 VI.7. KOORDINATAT E PIKËS DHE VEKTORIT NË BOSHTIN

KOORDINATIV. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të dalloni koordinatat e pikës nga ato të vektorit. Të gjeni koordinatat e pikës nga ato të vektorit në boshtin koordinativ. Të zgjidhni situata të thjeshta problemore.

Mjetet: teksti, vizore, tabelë. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EvVOKIMI: -E bisedojmë. -Vektori me gjatësi 1 njësi quhet vektori njësi. -Si e shënojmë vektorin një njësi? -Vizatojmë një drejtëz (d) dhe një vektor një njësi. -Vizatoni një vektor 4OM c= ⋅

uuuur r (në boshtin numerik)

REALIZIMI: Kordinata e pikës A(3) ⇒ 3OM c=uuuur r

(kjo është djathtas) Kordinata e pikës B(-4) ⇒ 4OB c= −

uuur r (ky vektor ka kahe majtas)

Gjeni shumën OA AB OB+ =uuur uuur uuur

⇒ AB OB OA= −uuur uuur

uuur ( )2 1 2 iAB x i x i x x i= − = −

uuur r r r

Të punohet shëmbulli: Jepen pikat A(3) B(-2) C(-5) Gjeni kordinatat e vektorëve AB

uuur dhe BC

uuur.

( ) ( )2 3 5B AAB x x− = − − = −uuur

( )5 5AB i= − = −uuur r

( ) ( )5 2 3C BBC x x= − = − − − = −

uuur ( )3 3BC i− = −

uuur r

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 dhe 3. Ushtrimi (1) është krejt i ngjashëm me shëmbullin e zgjidhur më lart. Për ushtrimin (3) duhet të ecet në këtë rrugë: a) Gjejmë kordinatat e vektorëve.

76

b) Ti shprehni më anën e vektorit njësi. c) Të gjendet raporti i vektorëve.

Si shëmbull: ( ) ( )5 10 5B AAB x x= − = − = −uuur

5AB i= −uuur r

( ) ( )4 5 9C BBC x x= − = − − = −uuur

9bc i= −uur

5: 5 : 99

AB BC i i i= − − =uuur uuur r

Ndërsa nxënësit punojnë me grupe dyshe për të dhënë përgjigje pyetjeve të ushtrimeve, mësuesit ka hapsirën e duhur për të bërë punë të difërëncuar me nxënës që kanë nevojë. Deklarohet përgjigja. Të bëhet vlerësimi . Të jepen detyra: Problemat 2 dhe 4/ 5

VI.8. KOORDINATAT E PIKËS DHE VEKTORIT NË PLANIN KARTEZIAN. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të dalloni koordinatat e pikës nga ato të vektorit. Të gjeni koordinatat e pikës nga ato të vektorit në planin kartezian. Të zgjidhni situata të thjeshhta problemore.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Thuaje mendimin tënd! -Vizatoni dy boshte kordinativ. Mësuesi vizaton në dërrasë një plan kortezian).

-Vizatoni një rrezevektor si OMuuuur

(figura 2) xOMy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

uuuur

Sa janë kordinatat e pikës orgjinë ? 0 (0:0) Sa janë kordinatat e pikës në boshtin e abshisave? (x : 0) Kordinatat e pikës në boshtin e ordinatave? (0 : y) REALIZIMI: Për të gjetur kordinatat e një vektori në planin kordinativ, veprohet kështu: Jepen dy pikat A(x1 : y1) B (x2 : y2)

2 1

2 1

x xAB y y−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

uuur

xABy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

uuur ku x = x2 – x1 dhe y = y2 – y1

Të punojmë ushtrimet:

77

Jepet pikat M (- 2 : - 3) N (- 4; 5) . Gjeni MNuuuur

= ?

( ) ( ) ( )4 2 4 2 25 3 5 3 8

N M

N M

x xMN y y− − − − − + −⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠

uuuur ( )2

8MN −=uuuur

REFLEKTIMI: Të punojmë ushtrimet 2.

2 3OA i j= +uuur r

⇒ A (2 : 3) 2 4OB i j= − +uuur r r

B (- 2 : 4) 5OC i j= −

uuur r r C ( 1: - 5) 3OD i j− +

uuur r r D ( - 3: 1)

Ndërsa nxënësit punojnë për të dhënë përgjigjë ushtrimeve me grupe dyshe, mësuesi vrojton, udhëzon, ndihmon nxënës me punë të diferencuar. Deklarohet përgjigje nga nxënës nën atmosferën kritike. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie . Problema 1 dhe 3 VI.9. VEPRIME ME VEKTORË NË PLANIN KARTEZIAN. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të dalloni vektorët e barabartë. Të mbledhni apo zbritni vektorë me ndihmën e koordinatave. Të shumëzoni vektorë me numër me ndihmën e koordinatave.




Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: C’mendime keni” Kur dy vektorë janë të barabartë? Jepni dy vektorë me kordinata të barabarta? A janë vektorë të barabartë AB

uuurdhe BC

uuur? Nëse

A ( - 2: 5) b ( 3: - 1) C ( 8 : - 7) Gjeni kordinatat e vektorëve AB

uuur dhe BC

uuur.

REALIZIMI: ( ) ( )3 2 51 5 6

B A

B A

x xAB y y− +⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

uuur ( )5

6AB = −uuur

AB BC=uuur uuur

( ) ( )8 3 57 1 6

C B

C B

x xBC y y− −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− − + −⎝ ⎠

uuur ( )5

6BC = −uuur

Të sqarojmë rastin kur jepen kordinatat e vektorit dhe pikës ekstremitet. Si gjenden kordinatat e pikës orgjinë? E sqarojmë me shëmbullin e librit:

Jepen ( )32CD =

uuur dhe D ( 5 ; -3) ; të gjenden kordinatat e pikës C?

78

Shkruajmë: C Dx x x= − 5 3 2Cx − = 2cx = C Dy y y= − 3 2 5Cy = − − = − 5cY = − C = ( 2 : - 5) Për të mbledhur dy vektorë në planin kordinativ veprohet kështu:

( )23C −=

ur ( )4

5d −= −ur

( ) ( ) ( )2 4 63 5 2C d − − −+ = = =− −

ur ur

Përgjithësisht: c d

c D

x xc d y y+⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

r ur c d

c D

x cc d y y−⎛ ⎞− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

r ur

Në rastet kur kemi për të shumëzuar një vektor me një numër: k = 2 dhe

( ) ( ) ( )x x kxCD k CD ky y xy= = ⋅ = ⋅ =uuur uuur

Të punojmë ushtrimet (shëmbujt e librit). REFLEKTIMI: Të punohet problemi 1 dhe 4. Problemi 1: Jepen pikat u ( 4 : 7) n (7 : 9) p (1 ; 5) Si janë vektorët MN

uuuur dhe PM

uuuur

Gjejmë vektorët ( ) ( )7 4 39 7 2

N m

N m

x xMN y y− −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

uuuur ( )3

2MM =uuuur

( ) ( )4 1 37 5 2

M P

M p

x xPM y y−⎛ ⎞ −= = =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

uuuur ( )3

2PM =uuuur

Kjo tregon se MN PM=uuuur uuuur

(bashkëvizoje). Për problemi 4:

Jepet ( )05EF = −

uuur dhe E ( 3: 7). Gjeni kordinatat e F (_______).

XF = X + XE = 0 + 3 = 3 YF =Y + YE = - 5 + 2 = 2 F ( 3; 2) Nxënësit pasi punojnë me grupe dyshe bëhen gati për të deklaruar përgjigjen (nën një atmosferë kritike). Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie. Problemi 3/ 6/ 7.

VI.10. VEPRIME ME VEKTORË NË PLANIN KARTEZIAN (vazhdim). Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të dalloni vektorët e barabartë. Të mbledhni apo zbritni vektorë me ndihmën e koordinatave. Të shumëzoni vektorë me numër me ndihmën e koordinatave.

79

Mjetet: teksti, vizore e shkallëzuar. Metoda:

Evokim Realizim Reflektim Kujto Thuaje mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Thuaje mendimin . -Kur dy vektorë janë bashkëvijorë? -Nëse dy vektorë a

r dhe B

ur janë bashkëvijorë atëhere a është e vërtetë që b ka=

r r?

bka

=r

rr ?

Kjo do të thotë se kur kordinatat janë përpjestimore ato, vektorët janë bashkëvijorë. Të punojmë shëmbullin e dhënë. Jepen katër pika dhe gjenden kordinatat e vektorëve AB

uuur dhe CD

uuur ( shiko në libër)

( ) ( )3 1 26 4 5

B

B A

x xAAB y y− −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

uuur

( ) ( )6 2 46 4 10

D c

D c

x xCD y y− −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

uuur ⇒

4 22

CD

AB

xx

= = dhe 10 25

CD

AB

YY

−= =

−

Kjo tregon se vektorët janë bashkëvijorë. Për te gjetur gjatësinë e segmentit me planin kortezian përdoret formula:

( ) ( )2 22 1 2 1AB x x y y− − + −

uuur, ndërsa për të gjetur mesin e një segmenti kordinatat e tij

përdoren formulat 2

B AM

X XX −= 2

B AM

Y YY −=

Të punohen ushtrimet që janë zhvilluar edhe në libër. REFLEKTIMI: Të punojmë problemin 3 dhe 8. Problemi 3: Janë dhënë kordinatat e pikave, gjeni largësinë midis pikave. Për të zgjidhur problemin ndiqqet rruga: Zbatohet formula:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 9 25 34E D E ADE x x Y Y= − + − = − − + + = + = Kështu veprohet edhe për segmented e tjera. Për të zgjidhur problemin 8, zbatohen formulat për gjetjen e mesit të segmenteve.

P1 ( 3 : - 4) P2 ( 5 ; 4) 1 2 3 5 42 2

P PM

X XX

+ += = =

4 4 02MY − +

= =

atëhere pika u1 (mesi i segmentit P1P2) ka kordinata M (4 : 0). Mësuesit gjatë kohës që nxënësit bëjnë gati deklarimin e përgjigjes (duke i

diskutuar me grupe dyshe) , ndihmon dhe punon me mënyrë të diferencuar me nxënës të veçantë.

Deklarohet përgjigja. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie. Problemi 3/ 5/ 7/ 11.

80

VI.11. PASQYRIMET GJEOMETRIKE. IZOMETRIA. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të vlerësoni pasqyrimet gjeometrike. Të dalloni pasqyrimet gjeometrike izometrike nga ato jo izometrike. Të zgjidhni situata të thjeshta problemore.

Mjetet: teksti, vizore . Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Thuaje mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Thuaje mendimin tënd . -Vështroni (figurën 1) në libër. Ç’farë shihni në këtë figurë? Ç’janë pikat A dhe A1 ? (A1 është këmba e pingules)

Ç’është pasqyrimi? Veproni edhe për pikat e tjera.

REALIZIMI: Vizatoni një rreth dhe një diametër të tij. Merrni një pikë çfardo të rrethit. Vizatoni këmbën e pingules të kësaj pike mbi diametrin. Si shkruhet simbolikisht pasqyrimi i një pike? ( )1

PM M⎯⎯→ -C’është fytyra? –ç’është pasqyrimi? Kur pasqyrimi ruan përmasat sa ato të fytyrës, atëhere pasqyrimi quhet izometri. Izometria ka këto veti: -Segmenti pasqyrohet në segment kongruent. -Drejtëza pasqyrohet ne drejtëz. -Këndi pasqyrohet në kënd kongruent. Rrethi pasqyrohet në rreth në po atë rreze. REFLEKTIMI: Të punohet problemi 2.. Për të zgjidhur këtë problem, vizatoni figurën. Çdo pikë e katrorit të pasqyrohet tek pika, këmba e pingules mbi diagonalen AC. Merrni një pikë E mbi brinjët e katrorit. Nga pika E hiqni pingulen mbi AC. Kështu veproni edhe për pikat K; M; L

Nxënësit punojnë me grupe dyshe. Deklarohet përgjigja. Të bëhet vlerësohet .

Detyra shtëpie Problemat 3/ 4/ 8/ .

81

VI.12. SIMETRIA QENDRORE. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas simetrisë qendrore. Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas simetrisë qendrore në planin kartezian. Të zbatoni simetrinë qendrore në zgjidhjen e situatave problemore.

Mjetet: teksti,vizore . Metoda:



Puno me grupe dyshe


EVOKIMI-Thuaje mendimin tënd . -Merrni një pikë u dhe një pikë O. Bashkoni pikat u dhe O, zgjatni përtej O deri në pikën M1 që MO ≡ OM1. Ç’quhet pika M? Po pika M1 ? –Si shkruhet simbolikisht? A është izometri ky shndrrim? REALIZIMI: Vizatoni një segment AB dhe një pikë O. Vështro figurën 1 në libër. Gjeni simetrikun e pikave A dhe të pikës B në lidhje me O. Krahasoni ΔABO dhe ΔA1B1O. Nxënësit të përcaktojnë segmentet kongruentë. AO ≡ OA1 BO ≡ OB1 1 2O O= Δ ABO ≡ Δ A1B1O1 Kjo do të thotë që shndrrimi është izometri. Duhet theksuar se si shkruhen simbolikisht këto shndrrime. 1

OSA A⎯⎯→ 1OSB B⎯⎯→ 1 1

oSAB A B⎯⎯→ Të thuhen përfundimet dhe të bëhen edhe shndrrimet me planin kortezian. Të punohen ushtrimet në libër. REFLEKTIMI: Të punohen problemi 2 dhe 5. Për zgjidhjen e problemit 2, përgatitet vizatimi i të dhënave.

Vërteto që M1M2 I I AB dhe AB = 1 2

2M M

Meqë 1AM M⎯⎯→ AM1 = AM

M2 →M2 BM2 = BM Pikat A dhe B janë meset e segmenteve MM1 dhe MM2. Pra AB është vijë e mesme e ΔMM1M2. Vija e mesme e trekëndëshit është paralel me bazën AB II M1M2.dhe sa gjysma e M1M2

⇒ AB = 1 2

2M M

Të punojmë problemin 5. Ndërsa nxënësit punojnë me grupe dyshe për të zgjidhur problemat,mësuesi

punon në mënyrë të diferencuar me nxënës të vecant.

82

Deklarohet përgjigja e problemave. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie. Problemat 1/ 4/ 5/ .

VI.13. SIMETRIA BOSHTORE. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas simetrisë boshtore. Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas boshteve koordinativ. Të zbatoni simetrinë boshtore në zgjidhjen e situatave problemore.

Mjetet: teksti,vizore , tabelë. Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Thuaje mendimin tënd.

Shpjego Diskuto Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -Shprehu edhe ti! -Vizatoni një segment AB dhe boshtin e simetrisë? Merrni një pikë (A) dhe një drejtëz (d) në fletore. (Mësuesi vizaton figurën në dërrasë). Nga pika A heqim pingulen me drejtëz (d) dhe e zgjatim për tej (d). Matim AO = OA. Pika A1 është simetrike e pikës A ne lidhje me d. Shkruhet A 1

d A⎯⎯→ REALIZIMI: Të vërtetojmë që simetria boshtore është izometri. Vizatojmë trekëndëshin ABC dhe drejtëzën (d). (si në figurën 1) Ndërtojmë simetrikun e çdo kulmi të trekëndëshit. 1

dA A⎯⎯→ 1dB B⎯⎯→ 1

dC C⎯⎯→ Krahasoni Δ ABC dhe Δ A1B1C1→ trekëndësha kënd drejtë. AE ≡ EA1 BD ≡ DB1 BC = B1D dhe AC ≡ A1D Δ ABC ≡ Δ A1B1D AB ≡ A1B1 Të theksojmë vetitë që ka simetria boshtore dhe simetria ne lidhje me boshtet kordinative. REFLEKTIMI: Të punohet problema 2. Për të ndërtuar figurën simetrike të figurës 6/a; 6/b dhe 6/c, mjafton që të ndëetojmë simetrikun e çdo kulmi në lidhje me drejtëzën dhe bashkimin e pikave në mënyrë të njëpasnjëshme. Nxënësit punojnë me grupe dyshe për përgatitjen e përgjigjes së problemit, ndërsa mësuesi ndihmon, udhëzon me mënyrë të diferencuar nxënës të veçantt.

Deklarohet përgjigja nënsituatë kritike klasa . Të bëhet vlerësimi .

83

Detyra shtëpie. Problemi 4/ 7/ 8 .

VI.14. ZHVENDOSJA PARALELE. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas zhvendosjes paralele. Të tregoni që zhvendosja paralele është izometri. Të zbatoni zhvendosjen paralele në zgjidhjen e situatave problemore.

Mjetet: teksti, vizore . Metoda:



Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -A ju kujtohet? Ç’është zhvendosja paralele? Ç’është vektori? Si shkruhet në mënyrë simbolike? ( )1

u

u u⎯⎯→⎯⎯⎯→

Si lexohet shënimi ? m

A B⎯⎯→⎯⎯⎯→ REALIZIMI: Zhvendosja paralele është izometri. Merrni dy pika A dhe B në fletore (figura 1) dhe vektorin u

r

E vizatojmë figurën edhe në dërrasë. Marrim pikën A1 të tillë 1AA u=

uuur r dhe 1BB u=

uuur

Katërkëndëshi AA1B1B është parallelogram AA1≡ BB1 dhe AA1 II BB1 Nga kjo rrjedh se AB = A1B1 (pra zhvendosja është izometri) Të punojmë problemin që ka të bëjë me zhvendosjen e trapezit ABCD dhe vektorit u

r.

Për të gjetur shembullimin e një shumëkëndëshi çfardo, mjafton të gjejmë shembullimin e çdo kulmi të shumëkëndëshit dhe i bashkojmë kulmet e përftuar.

Në rastin kur zhvendosim në planin kortezian sipas vektorit ( )au b⋅r

.

Zhvendosim çdo pikë të kulmit të shumëkëndëshit duke gjetur në fillim kordinatat e shembëllimit. Të punojmë shembullin e zgjidhur ne libër. REFLEKTIMI: Punojmë problemin 2. Ndjekim këtë rrugë:

a) Vizatojmë rombin ABCD dhe vektorin ur

. Ndërsa nxënësit vizatojnë zhvendosjen paralele të rombit sipas vektorit u

r, mësuesi

shikon, udhëzon, ndihmon në mënyrë të diferencuar nxënës të vecant. Deklarohet përgjigja në një atmosferë kritike.

84

Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie. Problemat 5/ 9/ 10/ .

VI.15. RROTULLIMI.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas një rrotullimi të dhënë. Të tregoni që rrotullimi është izometri. Të zbatoni rrotullimin në zgjidhjen e situatave problemore.

Mjetet: teksti, raportor, kompas, mjete kartoni ku demostrohet rrotullimi i figurës. (F). Metoda:



Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: C’është këndi? Po këndi i orjentuar? Vështroni figurën 1/ a dhe 1/b. Cila është brinja fillestare? Po brinja sekondare? Për të bërë rrotullimin e një figurë duhen tri koncepte:

a) Pika (O) qëndra e rrotullimit. b) Këndi i rrotullimit (pozitiv, me drejtim kundër orar dhe negativ në drejtimin

orar). c) Kahu i rrotullimit.

REALIZIMI: Merrni një pikë (M) çfardo dhe një pikë (O). Rrotullo pikën M rreth pikës O me kënd (-60o). a) Bashkojmë qëndrën O me pikën M. b) Në pikën O ndërtojmë këndin me kahun orar 60o. c) Në brinjën e këndit matim OM1 ≡ OM.

00; 60

1M M−⎯⎯⎯→ Të vërtetojmë se rrotullimi është izometri. Për këtë vështrojmë figurën 2 dhe krahasojmë trekëndëshat, Δ ABO dhe Δ A1B1O. Këta dy trekëndësha janë kongruentë sepse OA ≡ OA1; OB ≡ OB1 dhe 1AOB A OB≡ . Kjo sjell AB ≡ A1B1. Kjo do të thotë se rrotullimi është izometri. Punojmë shëmbujt në libër. REFLEKTIMI: Të punojmë problemin 2 dhe 6.

Problemi 3 është i ngjashëm me shëmbujt në libër. Problemi 6, Në një plan kortezian ndërton pikat A(- 1; 2) B(1 ; 2) c (2; -3) Rrotullo pikat R ( 0; + 180)

85

A ( - 1 ; 2) ( )0;180R⎯⎯⎯⎯→ A1(- 1 ; - 2)

B ( 1 ; 2) ( )00;180R

⎯⎯⎯⎯→ B1 ( 1’ – 2)

C ( 2 ; - 3) ( )00;180R

⎯⎯⎯⎯→ C1 ( 2 ; 3) Të deklarohet përgjigja e zgjidhjes së problemit me një atmosferë kritike.

Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie. Problemat 5/ 7/ 8/ .

KREU VII

SHPREHJET SHKRONJORE. SHNDËRRIMI I TYRE.

VII.1. FAKTORIZIMI I POLINOMEVE. Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të kryeni faktorizime duke nxjerrë në dukje faktorin e përbashkët. Të kryeni faktorizime duke grupuar kufizat. Të faktorizoni shprehje duke zbatuar formula të algjebrës.

Mjetet: libri i matematikës 9 . Metoda:

Evokim Realizim Reflektim Kujto Thuaj mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: -C’kuptojmë me faktorizim? Faktorizo 3a – 3b = ? Sa faktorë ka 3 . (a – b) ? Cilët janë faktorët? ( 3 dhe (a - b)) . Faktorizo ose nxirr në dukje faktorin e përbashkët: 8x2y2 – 12xy2 = 4xy2(2x – 3y) Cilët janë koefiçentët e kufizave? Cila pjesë shkronjore është e njëjtë në të dy kufizat? REALIZIMI: Ka shumë mënyra të tjera që një shprehje ta kthejmë në prodhim faktorësh. (shprehja me kllapa quhet një faktor). Faktorizojmë grupe. 2ab2 – 8b2 +a – 4 = (2ab2 – 8b2) + (a – 4) =2b2(a – 4) + ( a –4)

86

= (a – 4) (2b2 + 1) Të faktorizosh një shprehje duhet ta kthesh në prodhim faktorësh. –Cilët janë faktorët në rastin e mësipërm. Faktorizo: a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) Provo që kjo formulë është e vërtetë (duke shndrruar anën e djathtë). Po kështu mund të provosh që a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b3) Punojmë shëmbullin e zgjidhur në libër. REFLEKTIMI: Punojmë nga grupi I/ 4 / 14; grupi II 7 / 11 dhe grupi III 9. Për grupin e parë është si nxjerrja në dukje e faktorit_________. 36x – 18x2 = 18x (2 – x) 2y2 – 10 = 2(y2 – 5) = ( )( )2 5 5y y− +

Grupi II. 100 c2 – 49d2 = (10c – 7d) (10c + 7d). 8n2 – 18 = 2 (4n2 – 9) = 2 (2n – 3) (2n + 3). Për grupin III, x3 – 4x + x2y – 4y = x ( x2 – 4) + y ( x2 – 4) = ( x2 – 4) ( x + y) = ( x – 2) ( x + 2) (x + y) Mësuesi punon me mënyrë të diferencuar me nxënës të caktuar. Deklarohet përgjigja duke krijuar atmosferë diskutuese. Të bëhet vlerësimi, Detyra shtëpie: Ushtrimet: Grupi I 1/ 2/ 4/ 6/ 8/ 10 Grupi II 3/ 5/ 7/ 9 Grupi III 3/ 4/ 5/ 6 VII.2. FAKTORIZIMI I TRINOMIT ax2 + bx + c.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të faktorizoni trinome të formës x2 + bx + c. Të faktorizoni trinome të formës ax2 + bx + c.


Evokim Realizim Reflektim Kujto Thuaj mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: - Kujto! Sa kufiza ka trinomi x2 + bx + c ? Çdo të thotë ta faktorizosh këtë trinom? Që ta Faktorizosh do të thotë ta kthesh në formën e shprehjes apo prodhimit

(x + m) (x + n), atëhere: (x + m) (x + n) = x2 + mx +nx + mn = x2 + (m + n)x +mn Kjo do të thotë se b = m + n dhe c = m . n

REALIZIMI: Për të bërë faktorizim e kësaj forme duhet të ndjekim këtë ecuri: -Nxirret faktori i përbashkët në se ka.

87

-Gjendet faktorët që m + n = b dhe m . n = c -Ndahet kufiza e mesit d.m.th bx = ( m + n)x. Faktorizo me grupe. Shëmbull : Faktorizo trinomin x2 - 10x + 16 b = - 10 C = 16

m . n m + n - 1 ;- 16 16 - 2; -8 16 - 4 ; - 4 -8

Atëhere : x2 - 10x + 16 = x2 – 2x – 8x + 16= = (x2 – 2x) – ( 8x – 16) = x(x – 2) – 8 (x – 2) = (x – 2) (x – 8)

Po kështu edhe trinomi ax2 + bx + c duhet që të plotësohet kushti: M . n = ac dhe m + n = b Punojmë shëmbullin e zgjidhur në libër. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet e grupit dytë 2x2 + 7x + 5. 2x2 + 7x + 5= 2x2 + 2x + 5x + 5

= (2x2 + 2x) + (5x + 5) = 2x (x + 1) + 5 (x + 1) = (x + 1) (2x + 5)

Z2 – 18Z – 40 ⇒ a = 1 b = -18 c = - 40

m · n = - 40 m + n = - 182; - 20 40

Z2 – 18Z – 40 = Z2 + 2Z – 20Z – 40= =(Z2 + 2Z) – (20Z + 40)= =Z (Z + Z) – 20 ( 2 + 2)= =(Z + 2) (2 – 20) Mësuesi gjatë kohës që nxënësit punojnë ushtrime të grupit 2 dhe 3, ndihmon nxënës me punë të diferencuar që të krijojnë zbërthime të nevojshme.

Deklarohet përgjigja. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie: Ushtrimet: Grupi II 2/ 4/ 5/ 8/ 10 Grupi III 3/ 4/ 5/ 6 VII.3. SHPREHJET RACIONALE.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të dalloni shprehjet racionale dhe të gjeni vlerat e tyre. Të gjeni vlerat e palejueshme të shprehjeve shkronjore.

88

Të thjeshtoni shprehjet.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: - Përmendim disa thyesa algjebrike. Ç’far kushti duhet të plotësojë një thyesë?

Si mendoni a është thyesë? 23

0x Pse?

Pra elementët e bashkësisë \,PQ

⎧⎨⎩

p dhe Q polinome, Q ≠ 0

Si lexohet kjo simbolikë? REALIZIMI: Gjeni vlerën e shprehjes 2 4

2x

x−+ për x = 3; x = 0; x = -2.

Ngrejmë nxënës që të gjejnë vlerën e shprehjes. Për x = 3 2 4 2 3 4 6 4 2

2 3 2 5 5x

x− ⋅ − −

= = =+ +

Për x = 0 2 0 4 4 2

0 2 2⋅ −

= − = −+

Për x = - 2 ( )2 2 4 4 4 82 2 0 0

⋅ − − − − −= =

− + Thyesa 8

0−

nuk ka kuptim.

E rëndësishme është se thyesa 2 42

xx−+

nuk ka kuptim për x = -2 (kjo quhet vlerë e

palejushme). Si gjendet vlera e palejushme? (emëruesi = me zero dhe zgjidhet ekuacioni) REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet e grupit parë.

2

2

2 156 5

x xx x+ −+ + për x ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 }

Për x = - 3 ( ) ( )( ) ( )

2

2

3 2 3 15 9 6 15 12 39 18 5 43 6 2 5

− + ⋅ − − − − −= = =

− + −− + ⋅ +

Për x = -2 ( ) ( )( ) ( )

2

2

2 2 2 15 4 4 15 15 54 12 5 32 6 2 5

− + ⋅ − − − −= = =+ − + −− + ⋅ − +

Përx = - 1 ( ) ( )( ) ( )

2

2

1 2 1 15 1 2 15 161 6 5 01 6 1 5

− + ⋅ − − − − −= =

− +− + ⋅ − + nuk ka kuptim.

Vlerë e palejushme e shprehjes 2

2

2 156 5

x xx x+ −+ + është x = -1 etj.

Deklarohet përgjigja nga ana e nxënësve. Të bëhet vlerësimi.

89

Detyra shtëpie: Ushtrimet: Grupi I / 3 Grupi II / 4/ 5/

Grupi III /9/ 10/ 17. VII.4. THJESHTIMI I SHPREHJEVE RACIONALE.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të faktorizoni dhe të zbatoni formula në shprehje të ndryshme. Të thjeshtoni shprehjet racionale. Të zbatoni thjeshtimet në ushtrime të ndryshme.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: - Thuaje mendimin tënd! Thjeshto shprehjen 4

6?

Çfar bëre? (Pjestova të dy gjymtyrët e thyesës me 2). Cilat janë disa veti të thyesave? Jep shëmbuj ku zbatohen vetitë.

REALIZIMI: ( )5 1 110 2x x− −

= (Thjeshtojmë me 2).

Thjeshto : ( )2 3 23 2 3 23 3 3

x xx x xx x

−− −= =

⋅ (Thjeshto me x ).

Kur thjeshtojmë me shprehje shkronjore atëhere është e nevojshme që të vendosim kushtin që shprehja nuk duhet të marri vlerën 0. Në rastin e mësipërm thjeshtuam me x prandaj x ≠ 0. Të punohen shëmbujt në libër.

( )( )( )

2 2 24 24 2 2 2

x xx xx x

− − +− += =

− − me kusht që x – 2 ≠ 0 x ≠ 2

Të punohet shënimi për shenjën e thyesës b b ba a a−

= = −−

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet.

Thjeshto: ( )( )( )( )

2 7 1 12 3 2 7 2 3

x x xx x x+ − −

=+ + +

me kusht : 2x + 7 ≠ 0 x = - 3,5

( )3 23 6 2

3 3xx x

x x x−− −

= = s’ka nevojë të vendosim kusht.

( )2 33

3 3x xx x x

x x−−

= =− − kushti x – 3 ≠ 0 x = 3.

90

( )

( )( )

22

2

2 14 4 1 2 14 1 2 1 2 1 2 1

xx x xx x x x

−− + −= =

− − + + kushti 2x – 1 ≠ 0 x ≠ 0,5

Nxënësit punojnë duke u konsultuar me grupe të vogla dyshe dhe bëhen gati për deklarimin e përgjigjes. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Ushtrimet: Grupi I / 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18 Grupi II/ 2/ 5/ 8/ 11 VII.5. SHUMËZIMI OSE PJESTIMI I SHPREHJEVE RACIONALE.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të shumëzoni dy a më shumë shprehje racionale. Të pjestoni dy a më shumë shprehje racionale. Të shndërroni shprehje racionale të ndryshme.




Puno me grupe dyshe


Evokimi: - A ju kujtohet si veprojmë për të shumëzuar ose pjestuar thyesa? 3 3 2 6

5 5 2 10⋅

= =⋅

3 3 4 125 5 4 20

⋅= =

⋅ 3 6 125 10 20= =

Po kështu: 24 24 : 3 836 36 : 3 12

= = 24 24 : 6 436 36 : 6 6

= = 24 8 4 236 12 6 3

= = = etj.

Njëlloj veprohet edhe kur shumëzojmë apo pjestojmë me shprehje thyesore të ndryshme nga zero. Realizimi: Sqarojmë me një shëmbull.

( )( )( )

52 2 5

x xxx x x

+=

− − + me kusht x + 5 ≠ 0 x ≠ -5

( )

( )( )5 3 5

3 4 4x

x x x+

=+ − −

me kusht x + 3 ≠0 x ≠ -3

Për të shumëzuar dy thyesa racionale veprojmë sikur shumëzojmë dy thyesa: ( Po kështu edhe kur pjestojmë dy thyesa) . 4 2 4 2 8

5 3 5 3 15⋅

⋅ = =⋅

4 2 4 3 12:5 3 5 2 10

= ⋅ =

Sqarojmë shëmbujt e zgjidhur në libër.

91

( )( )( )

( )22 3 32 2 242 4 2 2 2

x x x xx x xx x x x

− + +−⋅ = ⋅ =

− − me kusht x ≠ 0 x – 2 ≠0

Reflektimi: Të punojmë ushtrimet :

a) 3 2

23

9 33x y yy x⋅ = me kusht y ≠0 x ≠ 0

b) 2

45

42

2 3

25 55

bba ab

b a⋅ = me kusht a ≠ 0 b ≠ 0

Të punohen ushtrimet 15/ 17/ 19 tek grupi i parë dhe grupi i dytë 3/ 4/ 6/ 8 U lihet koha e nevojshme nxënësve për të kryer veprimet e duhura dhe të bëjnë deklarimet e përfundimeve. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Ushtrimet: Grupi II / 8/ 9/ 10 deri 14 VII.6. MBLEDHJA OSE ZBRITJA E SHPREHJEVE RACIONALE.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të mblidhni (zbrisni) dy a më shumë shprehje me emërues të njëjtë. Të mblidhni (zbrisni) dy a më shumë shprehje me emërues të ndryshëm. Të zbatoni mbledhjen (zbritjen) në zgjidhje ushtrimesh.


Evokim Realizim Reflektim Kujto Jepe mendimin tënd.

Diskutoni Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jep mendimin tënd! Si mblidhen apo zbriten dy thyesa me emërues të njëjtë? Zbato: 4 1 2 4 1 2 5

9 9 9 9 9+ −

+ − = =

Si mblidhen apo zbriten dy thyesa me emërues të ndryshëm? Zbato: 3 1 3 12 10 15 17

5 2 4 20 20− +

− + = =

REALIZIMI: Po në të njëjtën mënyrë bëhet edhe për të kryer mbledhjen a[p zbritjen e dy shprehjeve racionale. Punojmë shëmbullin e librit.

3 35 5 5y x y x+= = ; apo

( )( )( )2 2 2 2 2 2

1m pm p m pm p m p m p m p m p m p

+++ = = =

− − − + − −

Kushti në këtë rast është m + p ≠ 0 ⇒ m ≠ - p Më e vështirë është kur shprehjet racionale kanë emëruesa të ndryshëm. Në këtë rast ndiqet kjo rrugë: -Gjendet emëruesi i përbashkët (faktorët e njëjtë e jo të njëjtë me fuqi më të madhe).

92

-Gjenden faktorët plotësues (pjestimi i emëruesit përbashkët me emëruesin e çdo thyese)

-Kryej shumëzimet e faktorëve tek numëruesi, reduktohen dhe thjeshtohet (në se ka)

Punojmë shëmbullin e fundit në libër sipas etapave në libër. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet : 8/ 11 grupi i parë. (te shikohet ushtrimi 2) 5 4 1 5 4 1 6 5 16 5 6 5 6 5 6 5

x x x x xx x x x+ + + + + +

+ = = =+ + + + kushti 6x + 5 ≠ 0 x ≠ 5

6−

( )( )( )2 2 2 2

5 203 7 8 13 3 7 8 13 5 20 57 12 7 12 7 12 7 12 4 3 3

pp p p p pp p p p p p p p p p p

+− + + − + + + ++ = = = =

+ + + + + + + + + + +

Kushti : p + 4 ≠ 0 p ≠ - 4 Të punohen ushtrimet: 8/ 9/ 16/ 18 (grupi II).

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

3 4 4 53 4 3 12 4 20 7 85 4 5 4 5 4 5 4

x x x x xx x x x x x x x

− + + − + + ++ = = =

+ − + − + − + −

Të punohen ushtrimet e grupit të katërt 4/ 5. Të deklarohet përgjigja e ushtrimeve të punuar dhe të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. Ushtrimet: Grupi I 4/ 6/ 10 Grupi II 10/ 13/ 14 VII.7. SHPREHJE RACIONALE KOMPLEKSE.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të zbatoni radhën e kryerjes së veprimeve në shprehje të ndryshme. Të thjeshtoni shprehje racionale komplekse. Të shndërroni shprehje racionale komplekse.




Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Jep mendimin tënd!

Cila është radha e veprimeve në një shprehje racionale komplekse? (Veprimet brënda kllapave nëse ka). (Shumëzimet , pjestimet sipas radhës në shprehje). Mbledhja, zbritje sipas radhës në shprehje.

93

Si shkruhet ndryshe : 3547

? 3 4 3 2:5 7 5 4

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Kështu veprohet edhe në shprehje racionale komplekse. REALIZIMI: Punojmë ushtrimet në libër.

( )

( )( )( )( )( )( )

2 2

152 1515 3 12 :

3 1 2 1 2 3

3 52 15 1 15 2 52 3 2 3 2 3 2

x x xx xxx x x

x xx x x x xx x x x x x x

− ⎛ ⎞− −+⎛ ⎞− = − = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ −− − − − −

= ⋅ = = =− + − + − + −

Kushti : x ≠ -3 Sqarojmë edhe metodën e dytë dhe pyesim nxënësit se cila I duket më e lehtë, atë rrugë të ndjekin. REFLEKTIMI: Punojmë disa ushtrime me nxënësit (duke ngritur nxënës që kemi besim se e kryejnë ushtrimin).

23

2 3 3 2 2

1:

aa a a bb

a b b b a abb

= = ⋅ = kushti : a ≠ 0 b ≠ 0

( )( )( )( )( )

2

22

2

11 11 1 13 4

1 3 4 1 1 4 1 4

yy yyy y

y y y y y y y y

−− +−+ − = ⋅ = =

+ + − + − + + + kushti y ≠ 1 y ≠ -1

Po kështu të punohen ushtrimet 6/ 9/ 12 grupi i dytë.

Të punohet:

( )( )

44 4 4 4:4 4

4 4 4 4:

44

ym n

m n m nm n

n m n mmn mn

n m mn n mm m n n m

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −= ⋅ =

⋅ + +

Kushti : m ≠ 0 n ≠ 0 Të punohen ushtrimet 5/ 6/ 7 Të bëhet deklarimii përgjigjeve. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie . Ushtrimet: Grupi I 2/ 8/ 7 Grupi II 3/ 5/ 6/ 10/ 11

94

VII.8. VEPRIME ME SHPREHJE RACIONALE.

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të kryeni veprime shprehje racionale komplekse. Të gjeni vlerën e shprehjes racionale komplekse. Të kryeni shndërrime të njëvlershme në shprehje racionale.



Shpjeguar Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: - Cila është radha e veprimeve në një shprehje? Nxënësit duhet të përgjigjen. -Shumëzim e pjestim sipas radhës në shprehje (thjeshto). -Gjendet emëruesi I përbashkët. -Gjenden faktorët plotësues. -Kryhen shumëzimet tek numëruesi. -Reduktohen kufizat e ngjashme tek numëruesi. -Zbërthehen në faktorë numëruesi (në se ka mundësi) -Thjeshtohen (në se ka mundësi) REALIZIMI: Zbato këtë radhë pune në shprehjet.

21 9 23

x xx x

−⋅ − =

+ a) Kryejmë shumëzimin

( )( )3 31 23 1

x x xx x

− +⋅ − =

+ 2 9 3

3x x x

x x x− −

⋅ =+

3 21

x xx−

− = b) Gjejmë emëruesin e përbashkët x 3 2x x x

x− − ⋅

= c) Kryejmë shumëzimet tek _____ 23 2x x

x− −

d) S’ka kufiza të ngjashme dhe s’ka thjeshtime.

Të punohet shëmbulli në libër. .REFLEKTIMI: Kryeni veprimet grupi dytë.

( )( ) ( )2 2

22

5 525 5 3: 3 5 3 153 5

x xx x x x x x xx x x x

− +− −= ⋅ = + =

− Kushti : x ≠ 5 dhe x 0 3 2 6 6 6 630 20 10 60 60 10

x x x x x x x x− +− + = = =

Cila është radha e punës në këtë shprehje të mëposhtëme: 3 4 2

2 3 1a a

a a− +

− =− + a)Emëruesi i përbashkët (a – 2) (3° + 1)

( )( ) ( )( )( )( )

3 4 3 1 2 22 3 1

a a a aa a

− + − + −=

− + b) Faktor plotësues për thyesën e parë është

(3° + 1) për thyesën e dytë (a -2)

95

( )( )2 29 3 12 4 2 2 4

2 3 1a a a a a a

a a+ − − − + − +

=− +

c) Kryem shumëzimet tek ______

( )( )28 9

2 3 1a a

a a−

− + d) Reduktuam kufizat e ngjashme

Të punohen ushtrimet 8/ 9/ 10 Deklarohet përgjigja e ushtrimeve. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie. ushtrimet Grupi II 3/ 4/ 5/ 6 Grupi III 2/ 4/ 6/ 8

KREU VIII ZGJIDHJA E EKUACIONEVE, INEKUACIONEVE

DHE SISTEMEVE TË EKUACIONEVE

VIII.1. EKUACIONI I FUQISË SË PARË ME NJË NDRYSHORE. NJËVLERSHMËRIA E TYRE.

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të zbatoni teoremat mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve. Të zgjidhni ekuacionit duke zbatuar teoremat e njëvlershmërisë. Të kryeni provën e zgjidhjes së zgjidhjes së ekuacionit.

Mjetet: libri i matematikës 9 . Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: - Jep mendimin tënd. Cili quhet ekuacion i fuqisë së parë me një ndryshore? Jep një shëmbull. Cila quhet rrënjë e ekuacionionit? Çdo të thotëtë zgjidhësh një ekuacion? Kur dy ekuacione quhen të njëvlershëm? Kemi barazimin a = b A prishet barazimi në se shtojmë ose u heqim të dy anëve ( c ) a = b ⇒ a + c = b + c apo a – c = b – c Jep një shëmbull. Nëse kemi a = b, a është e vërtetë a · c = b · c (c ≠ 0) ? Jep një shëmbull. Tregoni hapat e ekuacionit.

REALIZIMI: Teoremat e njëvlershmërisë së ekuacioneve.

96

Nëse a = b dhe c ≠ 0, atëhere ⇒ a · c = b · c ose a : c = b : c Të punojmë shëmbujt në libër,

34x= ⇒ 3·4 = 4

4x⋅ ⇒ x = 12 ose -2y = 6 ⇒ y = 6

2−

Të punojmë shëmbujt e zgjidhur në libër. Cili zgjidh ekuacionin: (trego hapat e zgjidhjes).

1 2 2 53 9 6

x x− +− = a) Shumëzojmë dy anët me 18.

1 2 2 518 183 9 6

x x− +⎛ ⎞− = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

6 (1 – 2x) – 2 (x + 2) = 3 . 5 b) Thjeshtojmë emëruesat e thyesave. 6 – 12x – 2x – 4 = 15 c) Zbatojmë ligjin e përdasimit.

-12x- 2x = 15 – 6 + 4 d) Veçojmë kufizat me ndryshore nga ato pa ndryshore. - 14x = 13 e)Reduktojmë kufizat e ngjashme.

1314

x =−

Rrënja e ekuacionit

MINITEST 5 MINUTA Ndajmë klasën në dy grupe dhe japim nga një ushtrim.

a) 5 2 2 110 15 3

x x x+ − −− =

b) 3 1 18 6 12x x x− ++ =

Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie, ushtrimet 5/ 9 Grupi i I, 7/ 8 , grupi i II dhe 3/ 4 Grupi i III VIII.2. MJEDISI. RRËNJËT E HUAJA TË EKUACIONIT. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zbatoni teoremat mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve. Të përcaktoni rrënjët e ekuacionit dhe rrënjët e huaja të tij. Të gjeni rrënjët e ekuacioneve të ndryshme.

. Mjetet: teksti . Metoda:



Puno me grupe dyshe


97

EVOKIMI: - Jep mendimin tënd. Ç’është mjedimi I ekuacionit? (atje ku kërkohen rrënjët). Jepet ekuacioni 4x + 9 = 5. Gjeni rrënjët në mjedisin A = { -2; -1; 0; 1} Ngrejmë nxënës për të gjetur rrënjën nga ky mjedis. x = - 2 4 . (-2) + 9 = 5 x = -1 4 . (-1) + 9 = 5

-8 + 9 = 5 - 4 + 9 = 5 1 = 5 (jo) 5 = 5 (po)

Provojmë edhe vlerat e tjera. x= - 1 është rrënjë e ekuacionit simbolikisht shkruhet S = { - 1} REALIZIMI: Ngrejmë nxënës tjetër. Jepet ekuacioni 4x + 3 = 2 (3x + 2)

Gjej rrënjët në mjedisin: B = 1 5; 1;0; ;32 4

⎧ ⎫− −⎨ ⎬⎩ ⎭

Zgjidhje : 1 1 14 3 2 3 22 2 2

x ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ ⋅ − + = ⋅− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

-2 + 3 = 2[- 1,5 + 2} 1 = - 3 + 4 1 = 1

x = - 1 ⇒ 4 . (- 1) + 3 = 2[3 . (- 1) + 2)] -4 + 3 = 2[- 3 + 2] -1 = 2 ( - 1) -1 = - 2 Jo

Vazhdojmë provën edhe për vlerat e tjera dhe nxjerrim përfundimin se rrënja e ekuacionit është S = {-1/2} Punojmë ushtrimet e dhëna në libër. REFLEKTIMI: Të zgjidhni ekuacionin: 1/ 2/ 7. Ushtrimi 1: 3 (2x – 4) – 2 (2x – 5) = 4 (x – 5) Në Z: R: A = {-2; 0.5} 6x – 12 – 4x + 10 = 4x – 20

- 2x = - 18 Në N x = {9} X = 9 Në Z x = {9} Në R x = {9} Në A nuk ka zgjidhje.

Nxënësit punojnë me grupe dyshe, të gjejnë rrënjët e ekuacioneve në N, në Z; në R.

Mësuesi punon në mënyrë të diferencuar me nxënës të vacant. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie, ushtrimet 5/ 6/ 7/ 8

98

VIII.3. EKUACIONE ME NDRYSHORE NË EMËRUES. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të gjeni vlerat e palejueshme të ekuacioneve me ndryshore në emërues. Të zbatoni hapat e zgjidhjes së ekkuacionit. Të zgjidhni ekuacione me ndryshore në emërues.

Mjetet: teksti . Metoda: Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: - Jep mendimin tënd.

Shkruani ekuacione me ndryshore në emërues. Cila do të jetë rruga për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve? Vështroni në libër rrugën e zgjidhjes së ekuacioneve. Të punohet shëmbulli i zgjidhur në libër.

E rëndësishme në këto rëste është vlera e palejushme e ndryshores.. Ka një shëmbull që rrënja e ekuacionit nuk pranohet, pasi për x = 5 emëryesi i shprehjes bëhet 0. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet grupi i I 1/ 2/ 3/ 4. Cili do ngrihet për të kryer ushtrimin.

3 2 5 0 55

x x xx−

⇒ + ≠ ⇒ ≠ −+

3 72 4

xx−−

2x – 4 = 0

x = 42

x = 2 Ushtrimet e grupit të dytë. 3 2 7

33 23 3 7

3 3

x x

x xx x

− =

⎛ ⎞ − = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Shumëzojmë dy anët me 3x për x ≠ 0

9 – 2 = 21x b) Heqim kllapat dhe emëruesat 7 = 21x c) Reduktojmë kufizat e ngjashme.

7 121 3

x = = d) Gjejmë vlerën e ndryshores.

Rrënja 13

x = pranohet sepse është e ndryshme nga (0)

Të punojmë ushtrimet e grupit të tretë 1/ 3/ 5/ 7. Të jepet koha e mjaftueshme për të bërë zgjidhjen. Të deklarohet përgjigja. Të bëhet vlerësimi.

99

Detyra shtëpie, ushtrimet 7/ 8/ 9 grupi i dytë dhe 4/ 6/ 8/ 10/12 të grupit të III. VIII.4. MODELIME MATEMATIKE (PROBLEMA). Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të përktheni në simbole matematike një problem çfarëdo. Të përcaktoni të dhënat, tëkërkuarat dhe lidhjen midis tyre. Të zgjidhni probleme me ndihmën e ekuacioneve me një ndryshore.

Mjetet: teksti . Metoda: analizë – sintezë.


Për të zgjidhur një problem duhet ndjekur pak a shumë ashtu si është përshkruar në libër. Lexoni hapat në libër. I diskutojmë ato hap pas hapi. Zgjidhni problemin që është i zgjidhur. Hapi I parë: Lexojeni problemin. Bani figurën. Çfarë është dhënë? (Perimetri). Si përkthehet “gjatësia është 1 cm më e madhe se dyfishi i gjerësisë”. Cili është “kyçi” i problemit? Shënoni me x gjerësinë. Gjatësia shënohet 2x + 1. A ka lidhje ndërmjet brinjëve dhe perimetrit të drejtkëndëshit? P = 2a + 2b. 2(2x + 1) + 2x = 110 x = 18 Gjerësia është 18cm dhe gjatësia 2 · 18 + 1 = 37cm. Të punojmë edhe problemin e dytë. (ndjekim të njëjtën ecuri) REFLEKTIMI: Problemi 2: -Lexoje me kujdes problemin. Çfar është dhënë? Shënojmë me x numrin. Si përkthehet “Prodhimit të numrit me - 4 i zbritet numri, rezultati del __më i madh se vetë numri”

- 4x – x = 9 + x x = 1,5 Problemi 4. Bashkëbisedojmë. Lexojeni probkemin 4. Ç’quhen kënde të bashkëmbështetur? Cili është “kyçi” i problemit? Më e panjohur është këndi më i madh. Shënojmë me x këndin e madh. Këndi i vogël është x – 460. Shtrojmë ekuacionin. x + x – 46 = 180 x = 113

100

Këndi i vogël 113 – 46 = 670 Të punohen problemat 5/ 6/ 8. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie, ushtrimet 9/ 10/ 11 VIII.5. ZGJIDHJA E EKUACIONEVE SHKRONJORË. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zgjidhni ekuacione në lidhje me një ndryshore të paracaktuar. Të zbatoni hapat e zgjidhjes së ekuacioneve. Të përdorni formula për zgjidhjen e ekuacioneve.

Mjetet: teksti . Metoda.



Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Thuaje mendimin tënd. Jepni një ekuacion me më shumë se një ndryshore ( 3x – 2y = 5) etj. Si mendoni për ta zgjidhur kundrejt y? REALIZIMI: Për të zgjidhur një ekuacion me më shumë se një ndryshore kundrejt njërës prej tyre si për gjithë ekuacionet e tjera, me kusht që veçohen ato kufizat të deklaruar dhe ndryshoret e tjera trajtohen si të njohura. Ndryshe thuhet se bëjmë veçimin e shkronjës. Punojmë shënbujt e librit. Të zgjidhet ekuacioni 2x – 5y = 6 në lidhje me ndryshoren y.

2x – 5y = 6 ⇒ - 5y = 6 – 2x ⇒ y = 6 2 2 65 5

x x− −=

−

Shëmbujt të zgjidhen prej nxënësve. Shëmbulli 2: 2m – n = 3xy + 5 në lidhje me ndryshoren (m) .

2m = 3xy + 5 + n ⇒ 3 52

xy nm + +=

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet: Nxënësit punojnë në grupe dyshe, ndërsa mësuesi ka kohën e duhur për të vrojtuar, udhëzuar dhe ndihmuar grupe të ndryshme nxënësish. Deklarohet përgjigja nga ana e grupeve në një atmosferë kritike. Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie: ushtrimet 4/ 2/ 3/ 4

101

VIII.6. ZGJIDHJA E EKUACIONIT TË FUQISË SË DYTË. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zgjidhni ekuacione në formë [f(x)⋅g(x)] = 0. Të zbatoni vetitë e rrënjës katrore në zgjidhje ekuacionesh të fuqisë së dytë me një

ndryshore. Të zgjidhni ekuacione duke përdorur metoda të ndryshme.



shpjeguese Punë e drejtuar

Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jepe mendimin tënd. Jepni një ekuacion çfardo? Sa ndryshore ka? I ç’fuqie është? –Cila është trajta standartë e tij? REALIZIMI: Vëreni ekuacionin 2x2 – 3x + 5 = 0. Sa ndryshore ka? Cila është fuqia më e lartë e ndryshores? Cila do të ishte forma standarte e përgjithshme? Fama e përgjithshme e ekuacionit të fuqisë dytë me një ndryshore është : ax2 + bx + c = 0 sa është a = ? b = ? c = ? te ekuacioni i mësipërm. Kur prodhimi I dy numrave është zero? (Të paktën njëri prej tyre është zero). a . b = 0 ⇒ a = 0 ose b = 0 Të zgjidhim ekuacione të formës f(x) . g (x) = 0. (3x – 2) (8x + 16) = 0 3x – 2 = 0 ⇒ 3x = 2 ⇒ x = 2

3 ose 8x + 16 = 0 ⇒ x = - 2

Nëse ekuacionet kuadratik nuk janë zbërthyer, por që mund të zbërthehen, ato rishkruhen në formë prodhimi dhe zgjidhet si më sipër, 3x2 + ax = 0 ⇒ x . (3x + 9) = 0 ⇒ x = 0 ose 3x + 9 = 0 ⇒ x = - 3 x2 = 10 ⇒ x = 16± ⇒ x1 = 4 dhe x2 = - 4 A = { - 4; 4} të punohen shëmbujt e zgjidhur në libër. REFLEKTIMI: Të zgjidhen ekuacionet e grupit të dytë: ( x – 6) (x + 2) = 0 x . (3x – 7) = 0 (3x + 1) (2x + 7) = 0 Këto janë ushtrime që kanë zgjidhje të njëjtë me ato të librit. Ndërsa ushtrimet e grupit të tretë kanë nevojë për zbërthim. 3x2 + 24x + 48 = 0

102

x2 + 8x + 16 = 0 ⇒ (x + 4)2 = 0 ⇒ x = - 4 7x2 – 70x + 173 = 63 ⇒ 7x2 – 70x + 112 = 0 ⇒ x2 – 10x + 10 = 0 ⇒ ( x – 8) (x – 2) = 0 ⇒ e vazhdueshme si më lart. Nxënësit vazhdojnë me grupe dyshe, mësuesi vrojton, udhëzon dhe diku ndihmon për të kryer zgjidhjen. Deklarohet zgjidhja e ushtrimeve në atmosferë, vëmendje dhe kritike.. Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie: ushtrimet e grupit të dytë 4/ 5/ 6/ 7 dhe të grupit të tretë 4/ 5/ 7/ 9 VIII.7. ZGJIDHJA E EKUACIONIT TË FUQISË SË DYTË ME NJË

NDRYSHORE DUKE KRIJUAR KATROR BINOMI. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të përdorni formula të ndryshme për zgjidhje ekuacionesh. Të zgjidhni ekuacione të fuqisë së dytë me një ndryshore duke krijuar në njërën

anë të barazimit katror binomi.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jep edhe ti mendimin tënd. A ju kujtohen formulat e rëndësishme? Si zbërthehet ( a + b)2 = ? ( a - b)2 = ? a2 + b2 = ? Si shkruhet në formë prodhimi: x2 – 2x + 1 = ? x2 + 4x + 4 = ? x2 + 10 x + 25 = ? etj.

X2 – 4 = ? 9x2 – 1 = ? 21 ?4

x− =

REALIZIMI: Si shndrrohet trinomi x2 – bx + c në katror binomi? Vëreni me kujdes hapat që bëhen për të shndrruar shprehjen ax2 + bx (ax2 – bx) në katror binomi. Zbatoje tek shëmbulli x2 + 18x + 20 = - 25 x2 + 18x = -2 5 – 20 Veçojmë kufizat në ndryshore. x2 + 18x = - 45 x2 + 18x + 81 = - 45 + 81 Shtojmë të dy anëve katrir binomi. (x + 9)2 = 36 Ana e majtë shkruhet katror binomi. x + 9 = 36±

103

x + 9 = ± 6 x1 = - 9 + 6 = - 3; x2 = - 9 – 6 = - 15 A = {-3; -15} të punohen shëmbuj të tjera në libër. E rëndësishme është që kufizat me ndryshore të shkruhen me katror binomi. Nëse ekuacioni është i formës ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)

3x2 - 8x + 4 = 0 3x2 - 8x = - 4 Veçojmë kufizat me ndryshore

23 8 43 3 3x x

− = − Pjestojmë kufizat me ______

2 8 43 3

x − = −

2 8 16 4 163 9 3 9

x x− + = − + Shtojmë dy anëve 2

2b⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

_____24 16

3 9⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

24 43

xa

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

ana e majtë shkruhet katror binomi.

4 43 9

x − = ± ⇒ 4 23 3

x − = ⇒ 6 23

x = = ⇒ x = 2

4 23 3

x − = − ⇒ 2 4 23 3 3

x = − + = x = 23

A = 2 ;23

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet e grupit të parë 1/ 2/ 3/ 16 dhe të grupit të dytë 3/ 6/ 9 Ushtrimet zgjidhen njëlloi si ato në libër. Shëmbulli 3 i grupit të dytë. x2 + 4x – 12 = 0 ⇒ x2 + 4x = 12 ⇒ x2 + 4 + 4 = 12 + 4 (x + 2)2 = 16 ⇒ x + 2 = 16 x1 = 4 – 2 = 2 x2 = - 4 – 2 = - 6 A = { - 6; 2} Ndërsa nxënësit punojnë me grupe dyshe, mësuesi vëzhgon, udhëzpn, ndihmon nxënësit që kanë nevojë për punë të diferencuar. Bëhet deklarimi i zgjidhjeve e ushtrimeve në një atmosferë kritike. Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie:

Ushtrimet e grupit të parë 11/ 12/ 15/ 17 dhe të grupit të dytë 2/ 5/ 8/ 11 VIII.8. ZGJIDHJA E EKUACIONIT TË FUQISË SË DYTË ME NJË

NDRYSHORE DUKE PËRDORUR FORMULËN ME DALLOR. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

104

Të gjeni dallorin e ekuacionit të fuqisë së dytë më një drnyshore. Të zgjidhni ekuacionin e fuqisë së dytë me një ndryshore duke zbatuar formulën e

dallorit.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jep edhe ti kontributin tënd. A ju kujtohet se për ekuacionin e fuqisë dytë me një ndryshore kemi gjetur dallorin? Çështë dallori? Cila është formula që jep rrënjët e ekuacionit? Nxënësit me diskutime duhet të shkojmë tek formulat e duhura që:

D = b2 – 4ac dhe 2x1 = 2

b Da

− ±

REALIZIMI: Të zgjidhet ekuacioni : 3x2 – 8x + 4 = 0 Gjeni dallorin: D = b2 – 4ac = ) – 8) – 4 . 3 . 4 = 64 + 48 = 16

Gjeni rrënjët: 2 18 16 8 4

2 3 6x ± ±= =

⋅

18 4 2

6 3x −= = dhe 2

8 4 26

x −= = Pra A = 2 ;2

3⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

E rëndësishme është këtu të theksojmë se nëse: a) D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. b) D < 0 ekuacioni nuk ka rrënjë c) D = 0 ekuacioni ka dy rrënjë dyfishë.

REFLEKTIMI: Të zgjidhen ekuacionet me dallor. Shiko ushtrimet e grupit të parë dhe të dytë. Shikoni ushtrimet e grupit të tretë. Zgjidhni ekuacionet e grupit të katërt. a) 7/ 9/ 13/ 15 Ndërsa nxënësit vazhdojnë të punojnë me grupe dyshe për zgjidhjen e ekuacioneve të fuqisë së dytë, mësuesi ka kohën e duhur për të punuër më punë të diferencuar me nxënës të caktuar. Bëhet deklarimi i përgjigjeve. Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie: Ushtrimet e grupit të tretë 6/ 8/ 12/ 16/ 24. VIII.9. FORMULAT E VIETËS. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

105

Të njëhsoni shumën ose prodhimin e rrënjëve të ekuacioneve të fuqisë së dytë me një ndryshore.

Të formoni ekuacione të fuqisë së dytë me një ndryshore.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jep mendimin tënd. Cila është forma standarte e ekuacionit të fuqisë së dytë? Cilat janë formulat e zgjidhjes së tij? Gjeni shumën e rrënjëve në mënyrë të përgjithshme. (Ngrihet një nxënës që të kryejë shumën e x1 +x2 REALIZIMI: Hap pas hapi gjejmë shumën e tyre.

12

2 2 2 2b D b D b D b D b bx

a a a a a− + − − − + − − −

= + = = = −

Në mënyrë të përgjithshme x1 + x2 = ba

−

Gjejmë edhe prodhimin x1 .x = ?

2 2 2

1 2 2 2 2

4 42 2 4 4 4

b D b D b D b b ac ac cx xa a a a a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − − − += ⋅ = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2cx xa

⋅ =

Të punohen shëmbujt e zgjidhur në libër. 3x2 + 4x + 1 = 0 Gjeni shumën e rrënjëve dhe prodhimin e tyre.

S = x1 + x2 = 43

ba

−− = Prodhimi: P = x1 . x2 = 1

3ca=

E rëndësishme është që jepen rrënjët dhe të gjendet trajta kryesore e ekuacionit. ax2 + bx + c = 0

2

0ax b ca a a

+ + = ⇒ 2 0b cx xa a

+ + = ⇒ x2 – Sx + P =0

Jepen rrënjët – 2 dhe 5. Shkruani ekuacionin: S = x1 + x2 = 3 P [ ( - 2 ) .(5) = - 10 atëhere: ekuacioni është i formës x2 – 3x – 10 = 0 REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet: a) x2 + 6x – 12 = 0 Gjeni shumën x1 + x2 = ? x1 . x2 = ? b) 2x2 – 3x + 4 = 0 dhe x1 = 2 Gjeni x2 = ? c) Jepen x1 = 2 x2 = 5 shkruani ax2 + bx + c = 0

Ndërsa nxënësit punojnë për të dhënë përgjigje ushtrimeve, mësuesi gjen momentin qe ë të bëjë punë të diferencuar me nxënës të vacant.. Bëhet deklarimi i zgjidhjeve duke marrë mendimin e shumicës së klasës, Të bëhet vlerësimi

106

Detyra shtëpie: Ushtrimet e grupit të parë 4/5, të grupit të dytë 3, të grupit të tretë 3/ 4/ 5 dhe të grupit të katërt 2/ 4. VIII.10. SISTEMI I EKUACIONEVE LINEARE ME DY NDRYSHORE. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zgjidhni sisteme të ekuacioneve lineare me metodën e mbledhjes. Të zgjidhni sisteme të ekuacioneve lineare me metodën e zëvëndësimit. Të zgjidhni sisteme të ekuacioneve lineare me dy metoda.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jepe edhe ti mendimin tënd. Jepni ekuacione të fuqisë parë me dy ndryshore. Sa zgjidhje ka një ekuacion i formës ax + by = c. Dy ekuacione të formës ax + by = c formojnë një system dy ekuacionesh të fuqisë parë me një ndryshore. REALIZIMI: Të jepet një system dy ekuacionesh.

2 3 43 4 1

x yx y− = −⎧

⎨ + =⎩

për ta zgjidhur sistemin me Mblidhen anë për anë të dy ekuacionet (ku njëra nga ndryshoret zhduket).Gjendet vlera e tjetrës. Vëzhgo mënyrën e zgjidhjes së sistemit .në libër. Për mënyrën e zëvendësimit ndiqet kjo rrugë: -Në njërën nga ekuacionet veçohet njëra nga ndryshoret. -Bëjmë zëvendësimin e shkronjës ( me ekuacionin tjetër) me shprehjen identike (që e kthen ekuacionin me një ndryshore) . `Më tej zgjidhet ekuacioni. Gjejmë vlerën e njërës ndryshore, pastaj edhe vlerën e tjetrës ndryshore. -Vëreni zgjidhjen e sistemit me mënyrë e zëvendësimit. REFLEKTIMI: Tek ushtrimi 1 kush ka gabuar? E diskutojmë me nxënësit, hap pas hapi të gjejmë se cili ka gabuar. Të zgjidhen sistemet: Grupi i II 4/ 11 dhe grupi i III 8/ 12 Bëhet deklarimi i përgjigjeve të zgjidhjes së sistemeve nën një atmosferë kritike., Të bëhet vlerësimi

107

Detyra shtëpie: Ushtrimet e grupit të dytë 3/ 5/ 12 dhe të grupit të tretë 3/ 6/ 5.

VIII.11. ZGJIDHJA GRAFIKE E SISTEMEVE TË EKUACIONEVE LINEARE. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zgjidhni sisteme të ekuacioneve lineare me dy ndryshore me metodën grafike. Të zgjidhni problema duke zbatuar zgjidhjen e sistemeve.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jep edhe ti mendimin tënd. Si zgjidhen grafikisht një ekuacion 2x + y = 3 ? Zgjidhni grafikisht këtë ekuacion. Cila është rruga që ndjekim në këtë rast? REALIZIMI: Për të zgjidhur grafikisht një system ndiqet rruga e pasqyruar në libër.

Të zgjidhet sistemi: 2 3

3 5x y

x y− =⎧

⎨ + =⎩

a) Ndërtojmë drejtëzën që tregon zgjidhjet e ekuacionit parë. b) Po kështu edhe për ekuacionin e dytë. c) Pika e prerjes së dy drejtëzave është zgjidhja për sistemin. Vështroni zgjidhjen e sistemeve në libër.

E rëndësishme është që të theksojmë se numri i rrënjëve të sistemit varet nga pozicioni i dy drejtëzave. Nëse ato: a) priten në një pikë sistemi i zgjedhje b) janë paralele atëhere sistemi nuk ka zgjidhje. c) mbivendosen njëra mbi tjetrën, sistemi ka pafundësi rrënjësh. Të punohen problemat e shtjelluara në libër. Këtu dy kërkesat shënohen me dy ndryshore, bëhet përkthimi i fjalive të problemit në dy ekuacione që formojnë një system. Zgjidhim sistemin me një nga mënyrat e shtjelluara më lart. REFLEKTIMI: Të punohen sistemet 8/ 9 dhe problemat 5/ 6. Ndërsa nxënësit punojnë sipas modeleve të zgjidhura në klasë dhe në libër, mësuesi ka kohë që të punojë në mënyrë të diferencuar më nxënës të vacant. Bëhet deklarimi i zgjidhjesve në një atmosferë diskutimi. Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie: Ushtrimet e Grupi i e parë 6/ 8 dhe grupi i dytë 8/ 9

108

VIII.12. MOSBARAZIMET NUMERIKE. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të krahasoni dy a më shumë se dy numra real. Të vërtetoni mosbarazime numerike. Të zbatoni vetitë e mosbarazimeve në zgjidhje ushtrimesh.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jep mendimin tënd. Si lexohen shënimet >; ≥; < ; ≤ = ? Kur një numër a është > se b? Kur një numër a është < se b? Kur dy mosbarazime janë të njëvlershme? REALIZIMI: Kur a > b a – b > 0 dhe a < b ⇒ a1 – b < 0 Po ashtu: a ≥ b ⇒ a – b ≥ 0 dhe a ≤ b ⇒ a – b ≤ 0 Vetitë e mosbarazimit. Diskutojmë me nxënësit ky ushtrim: Çfarë ndodh me mosbarazimin 4 < 10 nëse të dy anëve, a) u shtojmë nga 2; 6 < 10 ⇒ mosbarazimi nuk ndryshon. b) u zbresim nga 2 ; 2 < 8 ⇒ mosbarazimi nuk ndryshon.

c)u shtojmë me - 2; 2 < 8 ⇒ mosbarazimi nuk ndryshon. d) u zbresim nga – 2 ; 6 < 12 ⇒ mosbarzimi nuk ndryshon. e) shumëzojë më - 2; -8 > - 20 ⇒ mosbarazimi ndryshon.

f) pjestojmë me – 2; ⇒ - 2 > - 5 ⇒ mosbarazimi ndryshon.

Vërteto që nëse a < b ⇒ 2

a b+ < b

Vërteimi : a < b a – b < 0 Përfundimi 2

a b+ < b

22 2 2

a b a b b a bb+ + − −− = = nga a . b < 0 ndërsa 2 > 0

2a b− < 0

2a b+ < b

Të zgjidhen inekuacionet , ato të librit. REFLEKTIMI: Të punojmë ushtrimet e grupit parë dhe të grupit tretë. Ushtrimet e grupit të parë vendos shenjën: >; ≥; < ; ≤ 5a < 3a a ka shenjën (-)

1a

< 2a

a është numër (-)

2x + 7 > 2x – 3 ⇒ 0x > - 10 e vërtetë.

109

x2 + 2x ≥ - 1 ⇒ x2 + 2x + 1 ≥ 0 ( x + 1)2 ≥ 0

1 01 0

xx+ ≥⎧

⎨ + ≤⎩ ⇒ x ≥ - 1 mund të jetë numër çfardo

x ≤ - 1 Deklarohet përgjigja me një kritikë. Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie: Grupi i tretë 3/ 4 / 5

Grupi i katërt 8/ 9/ 10 Grupi u gjashtë 2/ 3

VIII.13. INEKUACIONI I FUQISË SË PARË ME NJË NDRYSHORE. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të dalloni inekuacionet e njëvlershme. Të zbatoni rregullat për të përftuar inekuacione të njëvlershme. Të zgjidhni inekuacione të fuqisë së parë me nje ndryshore.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jep mendimin tënd. Ç’janë inekuacionetPo rrënjët e inekuacionit? Cilat janë vetitë e mosbarazimeve? Vetia e mbledhjes (zbritjes) të inekuacioneve? Po vetia e shumëzimit (pjestimit)? REALIZIMI: Zbatoni vetitë e moabarazimit të inekuacionit. Hapat e zgjidhjes së inekuacionit janë: -Shumëzojmë të dy anët e inekuacionit me emëruesin e përbashkët. -Zbatojmë ligjin e përdasimit për të hequr kllapat. -Kalojmë kufizat me ndryshore në një anë dhe të njohurat në anën tjetër. -Reduktojmë kufizat e ngjashme. -Gjejmë vlerën e ndryshores. Kujdes duhet bërë që kur shumëzojmë apo pjestojmë me numra negativë duhet ndërruar shenja e mosbarazimit.

Të zgjidhet shembulli: 2 56 3

x xx−− < .

Shënojmë dhe lexojmë ushtrimet e zgjidhura në libër.

2 56 66 3

x xx−⎛ ⎞⋅ − < ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(Trego ç’far kemi bërë në çdo hap).

2x – 5 – 6x < 2x

110

2x – 6x – 2x < 5 ⇒ - 6x < 5 ⇒ - 6x < 5 ⇒ x > 56

−

REFLEKTIMI: Të punojmë ushtrimi 3 i grupit 2 grupi i dytë 12 i grupit tretë

Nxënësit punojnë për të zgjidhur ushtrimet, ndërsa mësuesi ka kohën që të punojë në mënyrë të diferencuar me nxënës të vecant. Deklarohet përgjigja nga ana e nxënësve në atmosferë entuziaste e kritike duke argumentuar çdo hap të zgjidhjes së inekuacionit. Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie: Ushtrimet Grupi i 2

Grupi i dytë 1 dhe Grupi tretë 10 VIII.14. STUDIMI I SHENJËS SË BINOMIT. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të gjeni vlerën e binomit për vlera të ndryshme të ndryshores. Të studioni shenjën e binomit. Të zbatoni studimin e shenjës së binomit në ushtrime.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jep mendimin tënd. Çështë binomi? –Cila është trajta e përgjithshme e binomit? Jepni shëmbuj binomi të formës f(x) = ax + b. REALIZIMI: f(x) = 3x - 9. I jepni ndryshores vlera {-1; 0; 2; 7} Aktivizojmë nxënësit për të gjetur f (- 1); f (0); f (2). f (- 1) = 3 . (-1)-9 = -3 –9 = -12; f (0) = 3 . 0 – 9 = - 9 f (2) = 3 . 2 – 9 = 6 – 9 = - 3 f (7) = 3 .7 – 9 = 21 – 9 = 12 Gjejmë f (3) = 3 . . – 9 = 0 Shiko ushtrimet e librit. Bëjmë një tabelën:

Vlerat e x -6 - 5 - 4 - 2 - 1 0 1 f (x) = 2x + 4 - 8 - 6 - 4 0 2 4 6

Nisur nga shëmbujt e librit bëjmë një tabelë. figura

A = ] -∞ ; 2[ vlera negative B = ] 2 : + ∞ [ vlera positive Tregojmë shëmbujt e zgjidhur në libër. REFLEKTIMI: Studjoni shenjën ë shprehjes.

3 2 1 10 2 6 2 1 40 10 354 3,55 10 10 10

x x x x x xx x− − − + + − − −− + − = = = −

figurë x – 3,5 = 0 x = 3,5

111

A = ]- ∞ ; 3,5 [ shenjë pozitive B = ] 3,5; + ∞ [ shenjë negative Të punohen ushtrimet e grupit të tretë; 1/ 3/ 5/ 7/ 9/ 11 Të diskutojmë përfundimet e zgjidhjes së ushtrimeve dhe në çdo hap të

argumentohet. Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie: Ushtrimet grupi i tretë 2/ 4/ 6/ 8/ 10/ 12 VIII.15. SISTEME INEKUACIONESH TË FUQISË SË PARË ME NJË

NDRYSHORE. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të zbatoni studimin e shenjës së biomit për zgjidhje inekuacioensh të fuqisë së parë

me një ndryshore. Të gjeni zgjidhjen e sistemit të inekuacioneve të fuqisë së parë. Të zgjidhni situata të ndryshme me anë të zgjidhjes së sistemeve.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Formoni një system dy inekuacionesh. Çdo të thotë të zgjidhësh një system? Cilat janë hapat e zgjidhjes së një sistemi?

REALIZIMI: Të zgjidhet sistemi: 8 9 54 1 6 1x xx x+ >⎧ ⎫

⎨ ⎬+ > −⎩ ⎭

Zgjidhni inekuacionin e parë. 8x + 9 > 5x 3x > - 9 x > - 3 Zgjidhni ekuacionin e dytë: 4x + 1 > 6x – 1

-2x > - 2 x < 1 Zgjidhja e sistemit është: A= ] – 3; 1[

Të trajtohet zgjidhja e shëmbullit të dytë.

1 1 22 4

x x− +− ≤

1 14 4 4 22 4

x x− +⋅ − ⋅ ≤ ⋅ Shumëzojmë dy anët me 4.

112

2 ( x – 1) – 1 (x + 1) ≤ 8 Zbatojmë ligjin e përdasimit. 2x – 2 – x – 1 ≤ 8 2x – x ≤ 8 + 2 + 1 x ≤ 11 Bashkësia e zgjidhjeve A = ] -∞ ; 11] ose A = { x ∈R/ x ≤ 11} REFLEKTIMI: Të punohet ushtrimi 1 të grupit të dytë 3 dhe 8. Nxënësit punojne me grupe dyshe për të gjetur bashkësinë e zgjidhjeve, mësuesi punon në mënyrë të diferencuar me nxënës të vecant. Bëhet deklarimi I përgjigjeve duke e diskutuar apo argumentuar çdo hap të zgjidhjes së inekuacionit. Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie: Ushtrimet grupi i dyta 10/ 12/ 15.

VIII.16. INEKUACIONE NË FORMË PRODHIMI, HERËSI. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

Të zgjidhni inekuacionet në formë prodhimi. Të zgjidhni inekuacionet në formë herësi. Të studioni shenjën dhe të gjeni zgjidhjen inekuacionit.

Mjetet: teksti . Metoda. Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jep mendimin tënd. Jepni inekuacione në formën f(x) g. (x) ≤ 0 Cila do të ishte rruga e zgjidhjes? REALIZIMI: Të zgjidhet inekuacioni: ( 2x – 6) (3x + 18) ≤ 0 Hapi I. Binomi i parë është 2x – 6 dhe i dyti ( 3x + 18). Zgjidhni apo gjeni rrënjët ë binomit të parë kur atë e barazojmë me 0. 2x – 6 = 0 ⇒ x = 3 dhe po kështu 3x + 18 = 0 ⇒ x = -6 Përpilojmë një tabelë. (ndiq hap pas hapi në libër). Për 2x – 6 a > 0 x = 3 Tabelë Për 3x + 18 a > 0 x = - 6 Ne na intereson ajo pjesë e tabelës që për çdo x funksioni merr vlera negative. S = [ - 6; 3] ose A = { x ∈ R/ - 6 ≤ x ≤ 3}.

113

Në rastin e dytë 5 10 09 3

xx

⋅ −≥

− inekuacioni është dhënë në formë herësi, tabela do të ketë

ndryshim se vlera e x që bën 0 emëruesin nuk pranohet në bashkësinë e zgjidhjes së sistemit. Praktikisht: 5x – 10 = 0 x = 2 dhe 9 – 3x = 0 x = 3 Përpilojmë tabelën: ( Vështro edhe në libër). Tabela Për 5x – 10 a > 0 x = 2 Për 9 – 3x a < 0 x = 3

Ne na intereson ajo ojesë e tabelës ku ka vlera ≥ 0 Bashkësia e zgjidhjeve A = [2 ; 3[ ose A = {x ∈R/ 2 ≤ x < 3} REFLEKTIMI: Të punohet ushtrimet grupi parë 5/ 7 dhe grupi I tretë 4/ 7. Ndërsa nxënësit punojne me grupe dyshe, mësuesi udhëzon, ndihmon në mënyrë të diferencuar nxënës që kanë nevojë. Deklarohet përgjigja e ushtrimeve duke bërë argumentimin në çdo hap të zgjidhjes së inekuacioneve.. Të bëhet vlerësimi Detyra shtëpie: Ushtrimet grupi i parë 4/ 6/ 8 dhe grupi I tretë 2/ 5/ 8 VIII.17. INEKUACIONE TË DYFISHTË. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: Të zgjidhni inekuacionet e dyfishta duke zbatuar vetitë e inekuacioneve. Të zgjidhni inekuacionin e dyfishtë duke e kthyer në sistem inekuacionesh.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Cili quhet mosbarazim i dyfishtë? Si lexohet c < ax + b < d ? Si mund ta shkruajmë si system?

ax b cax b d

+ >⎧ ⎫⎨ ⎬+ <⎩ ⎭

REALIZIMI: Të zgjidhet sistemi 3 21 44

x −< <

Të sqarohen dy mënyrat e zgjidhjes së tij.

Mënyra e parë: 3 24 1 4 4 44

x −⋅ < ⋅ < ⋅ Shumëzo me 4.

4 < 3x – 2 < 16 Kryejmë shumëzimet.

114

4 + 2 < 3x < 16 + 2 2 e kalojmë në anën e ndryshme. 6 < 3x < 18 2 < x < 6 S = ]2 ; 6[ Mënyra e dytë: Formojmë system dy inekuacionesh. Nuk e bëj dot REFLEKTIMI: Të punohet ushtrimet 10/ 12 grupi parë .

-1 < 2 1 4 42

x −− <

Mënyra e parë: -2 < 2x – 1 – 8 < 8 -2 + 9 < 2x < 8 + 9 7 < 2x < 17 7 172 2

x< < A = 7 17;2 2⎡ ⎡⎢ ⎢⎣ ⎣

ose A = { x ∈R/ 1772 2

x< <

Deklarimi i përgjigjes së ushtrimit do të kryhet duke argumentuar në çdo hap: çfar bëmë? Ku u mbështetëm? Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie: Ushtrimet 5/ 7/ 9

KREU IX

FUNKSIONI

IX.1. PRODHIMI KARTEZIAN. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

• Të dalloni relacionet që janë funksione • Të përpiloni diagrama të ndryshme për funksionet.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Thuaje mendimin tënd. Ç’është çifti i radhitur? Jepni një çift të radhitur. Ç’kuptim ka çifti ( 3 : m)? REALIZIMI: Elementët 3 dhe (m) formojnë çiftet ( 3 : m) dhe (m : 3). Elementi i parë brënda kllapave emërtohet kordinata e parë dhe elementi i dytë quhet kordinata e dytë. Në çiftin e radhitur ( 3 : m)kordinata e parë është 3, kordinata e dytë n. Përkufizim: Çiftet ( 3 : m) dhe ( m : 3) nuk është njëlloi. Çiftet e radhitura ( m : n ) dhe ( p : q) janë ë barabarta nëse : m = p dhe n = q. Punoni ushtrimin e librit për të dalluar se çiftet nuk janë të barabarta. Prodhim kartezian AxB = {( x : y)} x ∈ A dhe y ∈ B.

115

Kujdes! AxB ≠ BxA Nëse: A = { 2; m; n; } dhe B = { 3 ; m ) AxB = {( 2 ; 3) (2 ; m ) ( m : 3) ( m : m) (n ; 3) (n; m)} Vështroni se si paraqitet me mënyra të tjera AxB = ? në libër. a)diagramë karteziane, diagramë shigjetore, diagramë tabelore. Të punohen shëmbujt e zgjidhur në libër. REFLEKTIMI: Të punohet ushtrimet 1/a, 2/ c dhe 3/a. Për ushtrimin 1/a.

(3x – 2y; x) (x + 3y ; 6) 3 2 3

6x y x y

x− = +⎧

⎨ −⎩

2 5 0

6x y

x− =⎧

⎨ −⎩

2 6 56

yx⋅ =⎧

⎨ −⎩

2, 46

yx==

( 6 : 2,4)

Për ushtrimin 2/c. AxB = {(x ; 2) (x ; 3) (y ; 2) (y; y) (x ; y )(y : 3)} Gjeni A∩B. A = {x : y) B = { 2 ; 3 ;y ) ⇒ A∩B = { y} Ndërsa nxënësit gjejnë zgjidhjrt e duhura, mësuesi punon me nxënësit punë të diferencuar. Nxënësit deklarojnë përgjigjet duke bërë argumentin hap pas hapi. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie: Ushtrimet 1/ b/ c Ushtrimi 2 / d/ e dhe 3/ c IX.2. RELACIONI, FUNKSIONI. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

• Të dalloni relacionet që janë funksione. • Të përpiloni diagrama të ndryshme për funksionet. • Të zgjidhni situata të thjeshta problemore.




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Janë dhënë dy bashkësi A = {2; 3} dhe B = { 4; 8; 9}. Sa element ka bashkësia A ? Po bashkësia B = ? Gjej AxB = {(2; 4) (2 ; 8) (2 ; 9) (3 ; 4) (3 ; 8) (3 ; 9)}. Gjej BxA = {(4 ; 2) (4 ; 3) (8 ; 2) (8 ; 3) (9 ; 2) ( 9; 3). Cila është bashkësia e fillimit në rastin AxB ? Cila është bashkësia e mbarimit (shëmbullit)? ose REALIZIMI: Cdo nënbashkësi e prodhimit AxB është relacion nga A në B. Japim disa relacione (shiko edhe në libër)

116

R1 = {( x; y) / y është pjestimi i y} ku A = {2 ; 3) B = {4; 8; 9} R1 = {(2 ; 4) (2; 8) (3 ; 9)} Duhet theksuar se një relacion është funksion vetëm nëse plotëson kushtet: -Të gjithë elementët e bashkësisë së fillimit janë të çiftuar. -Nuk gjenden çifte të radhitura që të kenë njëherazi koedinatat e para të përsëritura e kordinatat e dyta të ndryshme. Relacionet mund të jepen në shumë mënyra. F = {(4; 5) (3 ; 5) (2 ; 6) (1 ; 7)} ⇒ x = {4 ; 3 ; 2 ; 1} y = {5 ; 6; 7} Vëreni figurat të funksioneve f, g, h. Argumentoni pse f është funksion? Pse g(x) është relacion dhe jo funksion, po ashtu edhe h. REFLEKTIMI: Të punohet ushtrimet : Në çdo rast tek ushtrimi 1 duhet të vizatoni diagramën shigjetore dhe të hidhet 2 me 5 etj.. Në rastet e ushtrimeve 2 /R5: R5 = {(x ;y)/ y = 2x – 1 dhe x ∈ A; y ∈ B} Marrim elementin e x ∈ A ⇒ x = 1 dhe zëvendësojmë tek: Y = 2x – 1 dhe kemi y = 2 . 1 – 1 = 5 çifti ( 3 ; 5)., e kështu me radhë. Nxënësve u jepet kohë e mjaftueshme që të japin përgjigje të argumentuar hap pas hapi. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie: Ushtrimet 1/ c /d / e Ushtrimi 2 / R3 / R4 dhe 4 IX.3. BASHKËSIA E PËRCAKTIMIT TË FUNKSIONIT. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

• Të gjeni vlerën e funksionit për çdo vlerë të ndryshores së pavarur. • Të gjeni bashkësinë e përcaktimit. • Të paraqitni bashkësinë e përcaktimit në boshtin numerik.

Mjetet: teksti . Metoda. Evokim Realizim Reflektim Kujto Thuaje mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Jep mendimin tënd. Shpesh në matematikë funksioni jepet në mënyrë analitike. Me anë të formulave që tregon se si çiftohet x ∈ X me një y ∈ Y. Kemi funksionin y = -2x + 1, me fillim në X = { - 1 ; 0; 2}. Gjeni : f ( -1) = ? f (0) = ? f ( 2) = ? Cila është bashkësia e shembullimeve?

117

REALIZIMI: Nëse nuk jepet bashkësia e fillimit, si e tillë merret bashkësia e numrave realë ku ka kuptim shprehja.

Shëmbull: f (x) = 23

xx −

Gjeni f(3) = 2 3 63 3 0⋅

=−

nuk ka kuptim.

Në këtë rast thuhet se për x = 3 shembullimi nuk ekziston, pra, për këtë x = 3 nuk I përket bashkësisë së përcaktimit. E rëndësishme është edhe në rastet kur kemi funksione fx = 2 8x − . f (4) = 2 4 8 0 0⋅ − = = f (1) = 2 1 8 6⋅ − = − nuk ekziston. f (5) = 2 5 8 2⋅ − = f (-3) = ( )2 3 8 14⋅ − − = − nuk ekziston Pra, përfundimisht bashkësia e përcaktimit gjendet kështu: 2x – 8 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 8 ⇒ x ≥ 4 A = [4 ; + ∞ [

Të shikojmë shëmbullimin: f (x) = 2 2 103 6

x xx

+ −+

.

Në këtë rast duhet që emëruesi i thyesës 3x + 6 ≠ 0 dhe pjesa e rrënjës katrore duhet më e madhe se 0 . 2x – 10 ≥ 0.

Shtrojmë sistemin: 3 6 02 10 0xx+ ≠⎧

⎨ − ≥⎩ x ≠ -2

x ≥ 5 REFLEKTIMI: Të punojmë me nxënësit ushtrimet 1 dhe 2 / p. Për ushtrimi 1 /1. Jepet bashkësia fillim x = {- 3; -2 ; -1; 0; 1; 2}

f (x) =x2 – 3 Për x = - 3 ⇒ f (- 3) = (- 3)2 – 3 = 6 Për x = - 2 ⇒ f (- 2) = (- 2)2 – 3 = 1 Për x = - 1 ⇒ f (- ) = (- 1)2 – 3 = -2

Për x = 0 ⇒ f (-0) = 02 – 3 = -3 Për x = 1 ⇒ f (1) = 12 – 3 = - 2 Për x = 2 ⇒ f (2) = 22 – 3 = 1 Për x = 3 ⇒ f ( 3) = 32 – 3 = 6 Bashkësia e shëmbullimeve: Y = {6; 1; -2; -3; -1; 6} Jepe me tabelë: ____________________ Për ta ndërtuar me grafik ndërto planin kortezian dhe vendos pikat me kordinata sa çiftet e renditura.

Për ushtrimin 2/ p: f (x) = 3 23

xx+−

duhet arsyetuar.

Kështu: Shprehja 3x + 2 ≥ 0 ndërsa shprehja x – 3 > 0,

Shtrojmë sistemin: 3 2 0

3 0x

x+ ≥⎧

⎨ − >⎩ { 2

33

x

x

≥ −

> ?

Ndërtojmë boshtin numeric ________________________. Zgjidhja A = ] 3 ; +∞ [. Nxënësit punojnë ushtrimet 1 / 2 dhe 2 / 9. Deklarojnë përgjigjen nxënësit, pasi u lihet koha e mjaftueshme, ajo duhet të bëhet e argumentuar. Të bëhet vlerësimi.

118

Detyra shtëpie: Ushtrimet 1/ III Ushtrimi 2 / b/ d /n IX.4. FUNKSIONI KUADRATIK y = ax2 dhe y = ax2 + n. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: • Të përpiloni tabelën me vlerat e lejueshme të funksionit. • Të ndërtoni grafikun y = ax2 + n mbështetur në grafikun e y=ax2. • Të zgjidhni detyra duke shfrytëzuar funksionet y = ax2 apo y=ax2+ n.

Mjetet: teksti , vizore, tabelë. Metoda.



Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: C’dini ju për ndërtimin e grafikëve të funksioneve? Ç’rrugë ndiqet në përgjithësi? Pyetje këto që do ta çojnë nxënësin tek mendimi se në përgjithësi i jepen vlera të lejueshme njërës nga ndryshoret dhe gjejmë vlerat përkatëse. Kështu do veprojmë edhe më poshtë: Jepen funksionet a) y – 2x2 b) y = 22 + 3 c)y = 2x2 – 2. Ndërtoni grafikët me të njëjtën plan kortezian. REALIZIMI: I japim vlerat x nga bashkësia { -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 } dhe gjeni vlerat e y. Me çiftet e renditura gjeni pikat. Vihet re së për të ndërtuar grafikun e funksionit y = ax2 + n mjafton të ndërtojmë grafikun e funksionit y = ax2 dhe pastaj i zhvendosni lart ose poshtë sa është vlera e (n). E rëndësishme është që të caktojmë një radhë pune për ndërtimin e grafikut të funksioneve y = ax2 + n

Studjoni radhën e punës në libër, Shiko edhe shëmbujt e tjerë mëposhtë. . REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1/ c dhe 4 / c. Nxënësit punojnë për të dhënë zgjidhje ushtrimeve, mësuesi i vëzhgon, i udhëzon, apo ndihmon nxënës të vacant për të dhënë zgjidhjen e duhur. Bëhet deklarimi I përgjigjeve, duke bërë edhe argumentimin e duhur hap pas hapi, duke përfshirë sa më shumë nxënës. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie: Ushtrimet 1/ d 2/ c 4/ d dhe 5 /b Ushtrimi 2 / b/ d /n

119

IX.5. FUNKSIONI KUADRATIK y = ax2 dhe y = a(x – m)2 .

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: • Të përpiloni tabelën e vlerave dhe të skiconi grafikun e funksionit. • Të ndërtoni grafikun e y = a(x – m)2 mbështetur në grafikun e y = ax2. • Të zgjidhni detyra duke shfrytëzuar funksionet y = ax2 apo y = a(x – m)2




Puno me grupe dyshe


EVOKIMI: Cila është rruga e përgjithshme për të ndërtuar një grafik? a)Të japimvlera të lejueshme nhërës ndryshore. b)Të gjejmë vlerat përkatëse, ndyshores tjetër. c)Në planin kordinativ gjejmë pikat për ♪5do çift të radhitur, bashkojmë pikat në mënyrë të njëpas njëshme. REALIZIMI:.Jepet funksioni y = 2x2 y = 2 ( x – 1)2 dhe y = 2 (x + 4)2. A ka vlera të palejueshme për funksionin y = 2 ( x – 1)2 ? Jepni vlerat e ndryshores x = { -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Në një plan kordinativ ndërtoni pikat për çdo çift të radhitur. Vështroni ehde në tabelë, por edhe në libër ndryshimi që ka grafiku i funksionit y = 2x2 me atë të y = 2 ( x – 1)2 ?

Në rastin konkret m > 0 del se është spostuar një njësi djathtas grafiku i funksionit y = 2 ( x – 1)2 . Në të njëjtën mënyrë veprohet edhe për grafikun e funksionit y = 2 (x + 4)2 , për m = - 4 m < 0. Vështroni grafikun dhe kur m < 0 atëhere grafiku zhvendoset 4 njësi majtas. Të punohen shëmbujt në libër me nxënësit dhe pëe çdo hap le të bëjmë argumentimin.

REFLEKTIMI: Të ndërtohen grafikun e funksionit y = ( )22 13

x −

Për x = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Udhëzojmë që të ndjekin pak a shumë këtë ecuri: a)Gjejmë vlerën e y për vlerat e x = {{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. b)Për çdo çift të radhitu gjendet pika respektive. c)Të bashkojmë pikat njëra pas tjetrës. Nxënësit punojnë për të dhënë përgjigjet e duhura duke u shoqëruar me argument çdo hap që hedhin. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie: Ushtrimi 4

120

IX.6. FUNKSIONI KUADRATIK y = ax2 dhe y = ax2 + bx + c Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: • Të gjeni koordinatat (m, n) e kulmit të parabolës y = ax2 + bx + c. • Të ndërtoni grafikun e y = ax2 + bx + c mbështetur në grafikun e y = ax2. • Të shfrytëzoni funksionet y = ax2 apo y = ax2 + bx + c në zgjidhje detyrash




Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: Për të ndërtuar grafikun e funksionit y = a(x – m)2 + n, në fillim duhet ndërtuar grafiku i funksionit y = ax2. Shndrrojmë funksionin y = ax2 + bx + c2 në formën e mësipërme. Gjejmë D e ekuacionit.

Gjejmë 2bma

= − dhe 4Dna

= − ( Kulmin e grafikut)

REALIZIMI:. y = 2x2 - 8x + 11 kthehet në formën y = a (x – m)2 + m D = b2 – 4ac = 64 – 88 = -24

Gjejmë : 8 22 4bma

= − = = dhe 24 34 8Dna

−= = = ,

atëhere funksioni y = 2x2 – 8x + 11 ⇒ y = 2 (x – 2)2 + 3 Ndërtohet grafiku i funksionit y = ax2.

Me që m = 2 > 0 dhe n > 0 , atëhere grafiku zhvendoset dy njësi djathtas dhe 3 njësi lart. E thënë ndryshe plani kortezian shndrrohet 2 njësi majtas dhe 3 njësi posht. Në se duam të gjejmë pikat ku grafiku prêt boshtin x’x atëhere 2x2 – 8x + 11 = 0 D = - 24 Grafiku nuk e prêt boshtin x’y. Ndërsa boshtin e x’y e prêt në pikën ku x = 0 del y = 11.

Skiconi grafikun e y = 2x2 – 8x + 11 . REFLEKTIMI: Të ndërtojmë grafikun e funksionit y = - 2x2 + 16x - 11 Udhëzojmë që nxënësit të ndjekin rrugën: a)Funksionin y = - 2x2 + 16x - 11 shndrrojmë në formën y = a(x – m)2 + n. b)Gjeni dallorin dhe m dhe n. c) Ndërtoni grafikun e funksionit y = ax2. d) Zhvendosni grafikun sipër vlerave m dhe n.

Nxënësit të punojnë për të bërë ndërtimin e grafikut duke bërë argumentim në çdo hap . Të bëhet vlerësimi.

121

Detyra shtëpie: Të punohen ushtrimet: 6/ a / b / d IX.7. USHTRIME. Kujtoni: Jepen bashkësitë A = { a; b; c} dhe B = { 1, 6}. Gjeni : AxB = ? BxA = ? Nxënës të diskutojnë dhe të argumentojnë për prodhim kortezian të formës:

AxB = {(a : 1) (a : b) (b : 1)……} Ushtrimi 2. Jepen: AxB ={(a:1); (0:5) (b:4) (b:b) (a : b) ( b : 5)}

Gjeni A∩B = ? Shkruani bashkësinë e fillimit dhe mbarimit. A = {a , b} dhe B = { 4, 5, 6}

A∩B = {b}. Ushtrimi 3. Jepen A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} dhe B = { 1,3,5,7,9} R1 = {( x,y)/ x > y dhe x ∈ A ; y ∈ B} R1 = {(2;1) (3:1) (4;1) (4;3) (5;1) (5;3) (6;1) (6;3) (6;5) (7;1) (7;3) (7;5) (8;1) (8;3) (8;5) (8;7). Për çdo çift të radhitur le të ndërtohet pika respective me planin kortezian. (Nxënësit në mënyrë të pamvarur).

Ushtrimi 4. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit f (x) = 3 13 12

xx+−

Ku funksion

mund të marrë çdo vlerë të ndryshores me bashkësinë e numrave realë përveç vlerës të x që bën 3x – 12 = 0 x = 4. Bashkësia e zgjidhjes ose përcaktimit të funksionit mund të shkruhet: A = { x ∈ R)/ x ≠ 4} ose A = ]-∞ ; 4[∪ ]4 ; + ∞ [

Ushtrimi 5. f (x) = 3 64

xx+−

Që të ketë vlerë të funksionit duhet që: 3x + 6 ≥ 0 dhe

x – 4 > 0 3 6 0

4 0x

x+ ≥⎧

⎨ − >⎩

24

xx≥ −⎧

⎨ >⎩

Figura Bashkësia e përcaktimi është: A = {{ x ∈ R)/ x > 4 ose A = ]4; +∞ [ Ushtrimi 6. Të ndërtohet grafiku i funksionit y = 4x2 – x + 12. a)Shndrrojmë këtë funksion në formën y = a(x – m)2 + n. b)Gjejmë dallorin D = 12 – 192 = - 191

c)Gjejmë m dhe n : 12 8

bma−

= = 1964 16Dna

−= = ,

atëhere 2

2 1 1964 12 48 16

y x x x⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

d)Ndërtoni grafikun y = 4x2.

Bëni zhvendosjen e grafikëve 18

njësi djathtas dhe 19116

lart.

122

Nxënësit të punojnë ushtrime 12. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie: ushtrime 5 / c / d 6 / e /k /n dhe 8 / a/ b

KREU X STATISTIKË DHE PROBABILITET

X.1. KONCEPTET STATISTIKORE. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

• Të dalloni konceptet popullim, individ, tipar i vrojtuar. • Të organizoni të dhëna statistikore në tabela për të treguar denduritë dhe denduritë

relative. • Të interpretoni të dhënat statistikore në situata problemore.

Mjetet: teksti . Koncepte: popullim, individ, tipari i vrojtuar, sasior e diskrit. Metoda.



Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: Për të sqaruar konceptet mund të marrim një shëmbull. Në detyrën e kontrollit në lëndën e matematikës janë marrë këto nota: 7, 8, 4,10, 9, 8, 8, 9, 5, 8, 9.. Popullimi është bashkësia që merret në shqyrtim. (bashkësia e nxënësve). Individi është çdo element i këtij popullimi. (nxënësit) Tipari i vrojtuar është nota e marrë. “Tipari është sasiorë). REALIZIMI:. Shikoni shëmbujt 1 dhe 2, dhe për x135do rast të diskutojmë se cilët janë popullimin, individët, tipari i vrojtuar. E rëndësishme është që të dallojmë tiparin sasior diskret dhe sasior të vazhdueshëm. Ka edhe tipare cilësore kur ka të bëjë me ngjyrën, besimin fetar, vend banimi, preferenca muziokore, preferenca në sport. Të punojmë shëmbullin 3. “analizoni setencën”, për të vrojtuar zanoret e kësaj fjalie. Popullimi është bashkësia e fjalëve të fjalisë. Individi janë zanoret e gjyhës shqipe. Tipari është shpejtësia e përdasimit. Tipari është cilësor, janë zanoret a, e, ë, u, i, y, o.studjojmë edhe tabelat ku janë të shënuara zanoret, denduria dhe denduria relative, REFLEKTIMI: Të punoni problemin 3. Nxënësit duke pëqrpiluar një tabelë të përcaktojnë popullimin, individet, tiparin e vrojtuar, dendurinë. Mësuesi ka kohën e mjaftueshtme për të bërë punën e diferencuar me nxënës të vacant. Deklarohet përgjigja nga ana e nxënësve. Të bëhet vlerësimi. Detyra shtëpie: problemi 4 dhe 5.

123

X.2. ORGANIZIMI I TË DHËNAVE STATISTIKORE. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: • Të organizoni të dhënat statistikore në tabela, diagrama, histograme. • Të përpunoni të dhënat statistikore duke kaluar nga një formë në një tjetër. • Të interpretoni të dhënat statistikore në situata problemore. Mjetet: teksti , vizore, kompas, raportot. Metoda. Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: Disa të dhëna statistikore si mund të paraqiten? Duke diskutuar në klasë, nxënësit duhet të afrohen apo të gjejnë se ato jepen me çift, me tabelë, me diagramë shigjetare, diagrama me shtylla etj. REALIZIMI:.Shikoni ushtrimin (shëmbullin në libër). Vështroni të dhënat dhe përgjigjuni. Cila është nota më e ulët? – Po më e lartë? Sa nota 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 janë marrë? Cili është popullimi? Cili është tipari i vrojtuar? Paraqiti me çifte të renditura? (4 : 4) (5:7) (6:9)……. Paraqiti të dhënat me disgramë në shtylla, ku në boshtin horizontal vendosen notat dhe në atë vertical vendosen denduria e 4, 5 , etj. Sa nxënës kanë marrë pjesë në detyrën e kontrollit?

Sa gradë i takon çdo individi? 0

0360 940

= .

Sa gradë i takon notave 4? 4 . 9 = 360. Sa gradë i takon notave 5? 7 . 9 = 630 Sa gradë i takon notave 6? 6 . 9 = 540. Sa gradë i takon notave 7? 6 . 9 = 540 Sa gradë i takon notave 8? 3 . 9 = 270 Sa gradë i takon notave 9? 9 . 9 = 540 Sa gradë i takon notave 10? 5 . 9 = 450 Në një rreth ndëetojmë sektorë rrethorë me masë sa më sipër. Për të organizuar praqitjen e tiparit sasor të vazhduar, vështrojmë të dhënat e shtatlartësisë të 20 punonjësve njëvjeçarë të një çerdher fëmijësh. Të dhënat në këtë rast i grupojmë në klasa me gjatësi 4cm. Vështroni tabelën dhe diagramat e ndërtuara. REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 / 2. Ta diskutojmë të dhënat dhe të bëjmë kalimin e të dhënave nga tabela në diagrama me shtylla. Të bëhet vlerësimi me nota. Detyra shtëpie ushtrimet: 4 / 6

124

X.3. MODA. MESATARJA ARITMETIKE. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

• Të gjeni modën e një vargu statistikor. • Të llogaritni mesataren aritmetike të një tipari sasior diskret. • Të interpretoni të dhënat statistikore në situata problemore.




Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: Ç’është moda? Moda është vlera e tiparit të vrojtuar me denduri më të madhe. Shënohet Mo. Ç’është mesatarja e aritmetikës?

Mesatarja gjendet me formulën : 1 2 ....a a anmn

+ += .

Ndërmjet a1 , a2……an mund të ketë edhe vlera të ndryshme. REALIZIMI:.Të punojmë shëmbullin e zgjidhur. Të dhënat janë notat e provimit të 20 nxënësve në lëndën e matematikës. Sa nota 4 janë marrë? Sa nota 5 , 6, 7, 8, 9, 10 janë? Përpiloni tabelën ku të shënohen notat. Shënohën edhe dënduria e tiparit të vrojtuar. Cila notë përsëritet më pak? – po më shumë” Ajo që përsëritet më shumë është nota 7 ( 5 herë). Kjo quhet moda. Mo = ?. Për të gjetur notën mesatare mblidhen të gjitha notat dhe pjestohen me numrin e nxënësve (20).

4 2 5 4 6 3 7 5 8 2 9 3 10 1 28 18 35 16 77 134 6,720 20 20

m ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = = =

nëse tipari i vrojtuar është cilësor, atëhere nuk flitet për mesatare. REFLEKTIMI: Të punohen problemat 2. Vrojtoni të dhënat dhe përpiloni një tabelë. Sa familje kanë 0 fëmijë? 1 fëmijë? 2 fëmijë/ 3 fëmijë?. Gjeni modën e këtij tipari të vrojtuar? Gjeni mesataren aritmetike të këtij vargu statistikor? Nxënësit përgjigjen duke bërë argumentimin për çdo koncept duke u përfshirë edhe nxënësit e klasës. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie problema 3 / 4: 4 / 6

125

X.4. KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

• Të gjeni mesoren e një vargu statistikor. • Të gjeni kuartilet (të majtë, të djathtë) të një vargu statistikor. • Të interpretoni të dhënat statistikore në situata problemore.

Mjetet: teksti . Koncepte: mesoren kuartilet. Metoda.



Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit EVOKIMI: Në ç’mënyrë paraqiten të dhënat? A mësojmë diçka nga sistemi i të dhënave? Ç far mësojmë? Argumento ç’far mëson nga moda në një varg statistikor? Po mesatarja? REALIZIMI:.Shikoni dhe shënoni të dhënat e dy grupeve notat e marra në provim. Gjeni mesataren e çdo grupi.

18 10 13 18 20 69 6,9

10 10m + + + +

= = =

Mesatarja e çdo grupi është e njëjtë 6,9. Të dhënat e grupit të dytë janë më të përmbledhuar, ndërsa të dhënat e grupit të parë janë më të shpërndarë. Ç’është karakteristika e shpërndarjes? Të sqarojmë se këtu hyn mesorja. Mesorja është vlera që i ndan të gjitha të dhënat e gjetura “më dysh” kur ato radhiten nga më e vogla tek më e madhja. Paraqiten dy raste: a)Vargu ka numër tek vlerash, mesorja është vlera e mesit (shiko me vargun e dhënë në libër). b)Vargu ka numër çift vlerash, mesorja është mesatarja e dy vlerave të mesit (shiko shëmbullin në libër). E rëndësishme është edhe koncepti amplituda. Diferenca e vlerës më të madhe me atë më të vogël. Shikoni edhe vlerën e dy kuartileve të majtë e djathtë. REFLEKTIMI: Të punohet problemi 5 Kemi 3 grupe nxënësish. Për çdo grup të gjejmë: a)modën, mesataren, mesoren, kuartile e majtë, kuartile e djathtë. b)Komentoni rezultatet e gjetura. Ndërsa nxënësit përgatisin dhënien e përgjigjes për çdo grup, mësuesi punon me mënyrë të diferencuar me nxënës të vacant. Deklarohet përgjigja duke argumentuar çdo koncept dhe ku përfshihen edhe nxënësit e tjerë. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie problemi 2/ 4/ 6.

126

X.5. PROBABILITETI STATISTIKOR. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

• Të gjeni gjeni probabilitetin teorik. • Të gjeni probabilitetin statistikor. • Të zbatoni probabilitetin teorik dhe atë statistikor në situata problemore.

Mjetet: teksti . Metoda. Evokim Realizim Reflektim Kujto Jep mendimin tënd.


Puno me grupe dyshe

KONCEPTI: probabilitet statistikor, probabilitet teorik. Zhvillimi i mësimit

Studjoni problemin e tre nxënësve. Si e gjejmë probabilitetin e rënies lekë për monedhën e hedhur?

Nga 50 herë të hedhura është : 18 0,3650

=

REALIZIMI:.Njëlloi e gjejmë edhe probabilitetin tek nxënësi i dytë.

Nga 2000 herë; 990 herë ra lekë. ( )990 0,4952000Ap = = .

Rëndësi ka mënyra se si arsyetoi nxënësi i tretë për të gjetur probabilitetin pa hedhur fare monedhën.

Nga dy herë njëherë bie lek 1 0,52

p = = .

Dy ratet e para janë probabiliteti statistikore, kurse i treti probabiliteti teorik. Punojmë edhe shëmbujt e tjerë të zgjidhura. Këto dy probabilitete statistikore dhe teorike kanë lidhje me zgjidhjen e situatave problemore. REFLEKTIMI: Ja një shëmbull. Problemi 1. Kubi hidhet 1200 herë. Sa është numri i pritshëm që të bjerë numri 6? Për të zgjidhur këtë problem, arsyetojmë kështu: Gjejmë probabilitetin teorik: H = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, }. n(H) = 6 “Të bjerë 6” A = {6} n(A) = 1

( )( )( )

16t

n Ap

n H= = Ky është probabiliteti teorik.

Nëse me e hedhim 1200 herë , atëhere të bjerë numri 6 është : 1 1200 2006⋅ = herë do

bjerë 6. Po kështu zgjidhem edhe rastet e tjera. Nxënësit punojnë për të zgjidhur problemin 2, ndërsa mësuesi ndihmon me punë të diferencuar nxënës të veçant. Deklarohet përgjigja duke arsyetuar. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie problema 3 / 5

127

X.6. NGJARJE E SIGURT. NGJARJE E PAMUNDUR. NGJARJET E PAPAJTUESHME. Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë:

• Të dalloni ngjarjen e sigurt dhe të gjeni probabilitetin e tyre. • Të dalloni ngjarjen e pamundur dhe të gjeni probabilitetin e tyre. • Të dalloni ngjarjet e papajueshme.

Mjetet: teksti . Koncepti: ngjarja e sigurt, ngjarja e pamundur, ngjarja e papajtueshme. Metoda.



Puno me grupe dyshe

Zhvillimi i mësimit Këto koncepte do ti sqarojmë me anën e një shëmbulli. Kemi provën hedhjen e kubit me faqet e shënuara numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sa është probabiliteti i ngjarjes, “numri i rënë është 7”. Gjeni hapsirën, numrin e hapsirave, ngjarjen numrin e ngjarjeve. Nxënësit shikojnë te kjo zgjidhje:

H = { 1,2,3,4,5,6} n(H) = 6 ( )( )( )

6 16A

n Ap

n H= = =

A = {1,2,3,4,5,6” n(A) = 6 Në rastin kur probabiliteti del 1, ngjarja quhet e sigurtë. REALIZIMI: Për ngjarjen “numri I rënë të jetë tetë”.

n(H) = 6 ( )( )( )

0 06A

n Ap

n H= = =

n(A) = 0 në këtë rast themi se ngjarja quhet e pamundur. Ajo që do të theksojmë për herë të parë është ajo e ngjarjes e papajtueshme. Shtjellojmë ngjarjen C dhe D. Ngjarja C : “Të bjerë numër tek” Ngjarja D “Të bjerë numër më i > se 5” H = {1,2,3,4,5,6} n(H) = 6 C = {1,3,5} n© = 3 D – {6} n(D) = 1 Vihet re se dy ngjarjet C dhe D nuk mund të ndodhin të dyja njëherësh. Pra nëse ndodh ngjarja C, atëhere nuk mund të ndodh ngjarja D dhe anasjelltas. Në këtë rast thuhet se ngjarjet janë të papajtueshme. REFLEKTIMI: Të punohet problemi 3. Rruga e zgjidhjes është kjo: Gjejmë: a)hapsirën. b)numrin e hapsirave c)ngjarjen d)numrin e ngjarjes

128

e)Gjej probabilitetin e ngjarjes. Nxënësit punojnë në grupe dyshe për të bërë njehsimet e duhura,mësuesi ka hapsirën e nevojshme për të sqaruar, ndihmuar nxënës të veçant. Bëhen deklarimet e zgjidhjes duke i u nënshtruar një diskutimi me masën e nxënësve për çdo etap.. Të bëhet vlerësimi . Detyra shtëpie problema 1/4/5

matematika 9

Documents