matematika 9

99

Matematika

Matematikagoogol

A googol a 10100 szm neve, ami az 1-es szmjegybl s az azt kvet szz darab 0-bl ll. A szm nevt egy kilencves fi, Milton Sirotta Edward Kasner amerikai matematikus unokaccse adta 1938-ban. Kasner arra hasznlta a szmot, hogy bemutassa a klnbsget a vgtelen s egy elkpzelhetetlenl nagy szm kztt, lvn a googol nagyobb, mint az ismert univerzum rszecskinek szma. A googolplex egy mg nagyobb szm, amelyben az els 1-es szm-jegy utn googol darab nulla ll.

M S o d i K K t E t

K S R L E T IT A N K N Y V

Raktri szm: FI-503010902ISBN 978-963-682-775-5

A tanknyv megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet:3. sz. mellklet: Kerettanterv a gimnziumok 912. vfolyama szmra 3.2.04 Matematika6. sz. mellklet: Kerettanterv a szakkzpiskolk 912. vfolyama szmra 6.2.03 Matematika megnevezs kerettantervek elrsainak.

Tananyagfejleszt: Barcza Istvn, Basa Istvn, Tamsn Kollr Magdolna

Alkotszerkeszt: Barcza Istvn

Vezetszerkeszt: Tthn Szalontay Anna

Tudomnyos szakmai lektor: Plfalvi Jzsefn

Pedaggiai lektor: Bnky Judit

Olvasszerkeszt: Fleki Lszln, Mikes Vivien

Fedl: Korda gnes terve alapjn ksztette Orosz Adl

Ltvny- s tipogrfi ai terv: Gados Lszl, Orosz Adl

Illusztrci: Szab Amanda, Szrdy Istvn dn

Szakbra: Szalki Dezs, Szalkin Tth Annamria

Fotk:PIXABAY: 149.FLICKR: 4., 18., 35., 37., 38., 67., 75., 76., 77., 78., 83., 87., 89., 106., 108., 11., 113., 118., 124., 125., 134., 135., 137., 141., 146., 155., 156., 161., 175.WIKIPEDIA: 83., 88., 108., 142., 165.123RF: 110.SK: 24., 42., 47., 99., 158., 176.

A tanknyv szerkeszti ezton is ksznetet mondanak mindazoknak a tuds s tanr szerzknek, akik az elmlt vtizedek sorn olyan mdszertani kultrt teremtettek, amely a ksrleti tanknyvek ksztinek is sztnzst s pldt adott. Ugyancsak ksznetet mondunk azoknak az rknak, kltknek, kpzmvszeknek, akiknek alkotsai tanknyveinket gazdagtjk.

ISBN 978-963-682-775-5 Oktatskutat s Fejleszt IntzetFelels kiad: dr. Kaposi Jzsef, figazgatRaktri szm: FI-503010902

Mszaki szerkeszt: Orosz AdlGrafi kai szerkeszt: Kovts BorblaNyomdai elkszts: Gados Lszl, Hontvri JuditTerjedelem: 22,66 (A/5 v), tmeg: 515 gramm

A knyvben felhasznlsra kerlt a Matematika 9. Kzel a mindennapokhoz cm m,Konsept-H Knyvkiad, Nemzeti Tanknyvkiad Zrt., 2013, Szerzk: dr. Kornyi Erzsbet, dr. Marosvri Pter s Dmel Andrs. Alkotszerkeszt: Krnyei Lszl. Felels szerkeszt: Bognr Edit. Lektor: Somfai Zsuzsa.

1. kiads, 2014

Nyomtatta s kttte az Alfldi Nyomda Zrt., DebrecenFelels vezet: Gyrgy Gza vezrigazgatA nyomdai megrendels trzsszma: 0000.49.01

Az Arany csald

Hogy vltozik a ngyzet terlete, ha az oldalak hosszsgt egyre nvel-jk?

MegoldsHa egy ngyzet oldala x cm-es, akkor a terlet x 2 cm2. Itt az x tetszleges pozitv szm lehet. Teht a vltozst az a fggvny rja le, amelynek az rtelmezsi tartomnyaa pozitv szmok halmaza (R +), hozzrendelsi szablya pedig x x 2. Jelljk ezt a fggvnyt f -fel!

Adjunk az x-nek nhny rtket, ksztsnk ehhez a fggvnyhez tblzatot:

Oldalhosszsg (x cm) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5Terlet (x 2 cm2) 0,25 1 2,25 4 6,25 9 12,25

Rajzoljuk meg annak a fggvnynek a grafi konjt, amely minden szm-hoz a ngyzett rendeli hozz! Jelljk ezt a fggvnyt g-vel!

MegoldsAzt a fggvnyt kell brzolnunk, amelynek az rtelmezsi tartomnyaa vals szmok halmaza (R), hozzrendelsi szablya pedig x x 2. Ez egymsodfok fggvny. Az elz s a mostani fggvny hozzrendelsi sza blya ugyanaz, rtelmezsi tartomnyuk azonban klnbz.Az elz feladatban mr lttuk, milyen ennek a grafi konnak a pozitv szmok-hoz tartoz rsze. Ksztsnk most olyan tblzatot, amelyben a 0 s nhny negatv szm szerepel!

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5g(x) = x 2 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 12,25

A kt tblzat alapjn megrajzoljuk a grafi kon 15 pontjt. A pontokat sszekt-jk. Tengelyesen szimmetrikus grbt, egy parabolt kaptunk.

1 .

PLDA

2 .

Szkkutak kedvelt ltvnyeleme a medence szlrl vagy k-zeprl ferdn felltt vzsugr. A vzcseppek plyja, ez az r-dekes grbe egy parabola. Foglalkozzunk olyan fggvnyekkel, amelyeknek ilyen grbe a grafi konja!

BEVEZET

11234 2 3 4 5

1

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

3

2

0

y

f

x

11234 2 3 4 5

1

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

3

2

0

y

g

x

MSODFOK FGGVNYEK4949

4 KAPCSOLATOK, VLTOZSOK. BEPILLANTS A FGGVNYEK VILGBA Fggvnyek

Az bra alapjn tltsd ki a tblzatot a fzetedben a m-sodfok fggvnyek hozzrendelsi szablyval!

Fggvny neve f g h k m

Hozzrendelsi szablya

x x x x x

Rajzold meg az x R, x 14x 2 fggvny grafi konjt!

Rajzold meg az x R, x 14x 2 fggvny grafi konjt!

1 .

FELADAT

2 .

3 .

Az elz feladat esetben a szimmetriatengely az ordintatengely, a tengelypont pedig az orig.Az elz feladatban megrajzolt parabolt eltoljuk az y s az x tengely mentn 1, 3, 2 egysggel. Az brkrl leolvashatjuk, mi az brzolt fggvnyek hozzrendelsi szablya s mi a parabolk egyenlete.

x x 2 + 3; x x 2 + 1; x x 2; x x 2 2 x (x + 2) 2; x x 2; x (x 1) 2; x (x 3) 2

y = x 2 + 3; y = x 2 + 1; y = x 2; y = x 2 2 y = (x + 2) 2; y = x 2; y = (x 1) 2; y = (x 3) 2

Az itt brzolt fggvnyek mind msodfokak.

A parabolnak a szimmetriatengelyn lv pontjt tengelypontnak nevezzk.

ELMLET

y

x1 1 2 32345

1

1

2

2

3

4

5

0 4 5

y

x1 1 2 32345

1

1

2

2

3

4

5

0 4 5

Hasznlhatod a fggvnyek brzolshoz a GeoGebra vagy a Graph programot is.H

y

x1 1 2 3 42345

1

1

2

3

4

2

3

4

5

6

0

g

m

k

f

h

49. lecke MSODFOK FGGVNYEK 5

Az bra alapjn tltsd ki a tblzatot a fzetedben!1 .

HZI FELADAT

y

x1 1 2 3 4 5234

1

1

2

2

3

4

5

6

0

g

m

kf

h

y

x1 1 2 3 42345

1

2

3

4

5

0

g fh

y

x1 1 2 323

1

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

0

k

f

g

h

m

Fggvny neve


f x g x h x k x m x

a) Melyik fggvny hozzrendelsi szablya az

x 32x 2 ?

b) Add meg a msik kt msodfok fggvny hoz-zrendelsi szablyt is!

2 .

Rajzold meg az x 32x 2 fggvny grafi konjt!

Az bra alapjn tltsd ki a tblzatot a fzetedben!

3 .

4 .

Fggvny neve


f x g x h x k x m x


Az 1., illetve a 2. pldban megadott f , illetve g fggvnynek ugyanaz a hozzrendelsi szablya, s Df Dg. rde-kes a grafi konok kapcsolata is: az f grafi konja rszhalmaza a g grafi konjnak. E kt fggvnyre azt mondjuk, hogyaz f leszktse a g-nek, a g pedig kiterjesztse az f -nek.

KIEGSZT ANYAG

Defi nci: Ha egy f -fel s egy g-vel jellt fggvny olyan, hogy Df Dg , s a g a Df mindegyik elemhez ugyanazt rendeli hozz, mint az f , akkor az f -et a g leszktsnek, a g-t pedig az f kiterjesztsnek nevezzk.

ELMLET

A kvetkez tblzattal megadunk egy fggvnyt:

x 5 3 1 0 1 2,5 3 8h(x) = | x | 5 3 1 0 1 2,5 3 8

a) Mi ennek a {3; 1; 0; 3} halmazra val leszktse?b) Adjuk meg ennek a leszktsnek a Dh halmazra val hromfle kiterjesztst!

Megoldsa) A{3; 1; 0; 3} rszhalmaza Dh-nak, ezrt ez a leszkts ltezik; jelljk k-val! Tblzattal megadva:

x 3 1 0 3k(x) = |x| 3 1 0 3

Ha a h-t rendezett prok halmaznak tekintjk, akkor ennek a halmaznak egy rszhalmaza a most kapott k lesz-kts.

b) A k egyik kiterjesztse maga a h fggvny. A Dh halmazra val tovbbi kiterjesztseit gy kapjuk, hogy a kvetkez tb-lzatba az res helyekre brmilyen szmokat (vagy akr ms dolgokat) runk.

x 5 3 1 0 1 2,5 3 8kiterjeszts 3 1 0 3

Az jonnan bert szmok (dolgok) mr termszetesen nem (mind) abszolt rtkei a felettk lv szmoknak. Pldul:

x 5 3 1 0 1 2,5 3 81. kiterjeszts 20 3 1 0 1 20 3 20

x 5 3 1 0 1 2,5 3 82. kiterjeszts 0 3 1 0 alma szk 3 2

Ha egy fggvnyt tblzattal adunk meg, akkor egy vagy tbb oszlop elhagysval a fggvnynek egy leszktst kap-juk. Termszetesen nem szabad az sszes oszlopot elhagynunk. Ha pedig jabb oszlopot vagy oszlopokat illesztnk az eredeti tblzathoz, akkor az eredeti fggvnynek egy kiterjesztst hozzuk ltre.

FELADAT

49. lecke MSODFOK FGGVNYEK 7

Hrom fggvnynek, az f-nek, a g-nek s a h-nak ugyanaz a hozzrendelsi szablya, de ms-ms halmaz az rtelme-zsi tartomnya: Df = [2; 2], Dg = [2; 0], Dh = ]2; 2]; f (x) = g(x) = h(x) = x

3. Van-e a fggvnyek rtkksz-letnek legnagyobb, illetve legkisebb eleme? Ha van, akkor melyik szm az?

MegoldsNagyobb szmnak nagyobb a kbe is, ezrt az x x 3 hozzrendelsi szably fggv-nyek mind szigoran monoton nvekedk.

1 .

PLDA

Legyen s Df = Dg = Dh = [1; 4[ s f (x) = x 2, g(x) = 2 x 2, h(x) = 0,5 x 2.

a) Rajzoljuk meg a fggvnyek grafi konjt, adjuk meg f , g s h legnagyobb s legkisebb rtkt (ha van)!

Megolds

2 .

1 1 2 323

1

1

2

3

4

5

6

7

8

4

5

6

7

8

3

2

0

f

1 1 223

1

1

2

3

4

5

6

7

8

0

g

1 1 2 323

1

1

2

3

4

5

6

7

8

4

5

6

7

8

3

2

0

h

y

x

y

x

y

x

1 1 2 3 4 52

1

1

2

3

4

3

2

0

f

1 1 2 3 4 52

1

1

2

3

4

4

5

6

3

2

0

g

1 1 2 3 542

1

1

2

3

2

0

h

4

y

x

y

x

y

x

f g hLegnagyobb rtk nincs nincs nincsLegkisebb rtk 3 4 2,5

f g hLegnagyobb rtk 8 0 8Legkisebb rtk 8 8 nincs

MELYIK A LEGNAGYOBB S MELYIK A LEGKISEBB RTK?5050


Legyen Df = [3; 1], Dg = [1; 2], Dh = ]2; 3[; f (x) = g(x) = h(x) = x 3. Van-e a fggvnyek rtkkszletnek

legnagyobb, illetve legkisebb eleme? Ha van, akkor melyik szm az?

Legyen Df = Dg = Dh = [1; 4[ s f (x) = x + 2, g(x) = 2 x + 2, h(x) = 12x + 2.

a) Rajzoljuk meg a fggvnyek grafi konjt, adjuk meg f , g s h legnagyobb s legkisebb rtkt, ha van!b) Rajzoljuk meg az f , g s a h fggvny abszolt rtknek grafi konjt, s keressk meg az | f |, | g |, | h | fggv-

nyek legnagyobb s legkisebb rtkt, ha van!

1 .

FELADAT

2 .

b) Rajzoljuk meg az f , g s a h fggvny abszolt rtknek grafi konjt, s keressk meg az | f |, | g |, | h | fggvnyek legnagyobb s legkisebb rtkt!

MegoldsItt a fggvnyek hozzrendelsi szablya: x | x 2 |, x | 2 x 2 |, x | 0,5 x 2 |.Az j grafi konokat gy kapjuk meg, hogy az eredeti grafi konok x tengely alatti rszt tkrzzk az x tengelyre, a tbbi rszt helyben hagyjuk.

1 21 3 4

1

3

2

0 1 21 3 4

1

4

5

6

3

2

0 1 21 3 4

1

3

2

0x

y

x

y

x

y

Egy fggvny abszolt rtke azt jelenti, hogy az rtelmezsi tartomny mindegyik elemhez az eredeti helyettestsi rtk abszolt rtkt rendeljk hozz.

ELMLET

| f | | g | | h |Legnagyobb rtk 3 nincs 2,5Legkisebb rtk 0 0 nincs

Az intervallumon rtelmezett fggvnyek brzolshoz is hasznlhat a Graph program.A

50. lecke MELYIK A LEGNAGYOBB S MELYIK A LEGKISEBB RTK? 9

a) A grafi konokrl olvasd le a fggvnyek legnagyobb s legkisebb rtkt, ha ezek lteznek!1 .

HZI FELADAT

1 1 2 3 423

1

1

3

2

0 1 1 2 3 423

1

1

3

2

0

g

f

1 1 2

1

1

3

2

0

h

y

x

y

x

y

x

b) Vzold a f , g s h fggvnyek grafi konjt, s llaptsd meg e hrom fggvny legnagyobb s legkisebb rtkt! (A f jells azt a fggvnyt adja meg, amely az f rtelmezsi tartomnynak mindegyik elemhez az eredeti helyettestsi rtk ellentettjt rendeli hozz.)

c) Mennyi az | f |, | g |, | h | fggvnyek legnagyobb s legkisebb rtke?

Legyen az f fggvny rtelmezsi tartomnya az [1; 3] zrt intervallum, s f (x) = 12x 4.

a) Szmold ki az f (1), f (2,8) s f (3) fggvnyrtkeket!b) brzold az f fggvnyt! llaptsd meg a legnagyobb s a legkisebb fggvnyrtket!

c) Rajzold le a g fggvny grafi konjt, ha Dg = [6; 10] s g(x) =12x 4 !

Grafi konjval adtuk meg az f fggvnyt.a) rd fel az f hozzrendelsi szablyt!b) Vlaszd ki az | f |, a f , a | f | s a | f | fggvny grafi konjt a megadottak kzl!

2 .

3 .

1 1 2 3

1

1

2

3

4

5

4

3

2

0

f

x

y

1 1 2 3

1

4

5

3

2

0

b

123 1

1

4

5

3

2

0

a

1 1 2 3

1

2

3

4

5

0

c

x

y

x x

y y

1 1 2 3

1

1

2

3

4

4

5

3

2

0

e

1 123

1

1

2

3

4

4

5

3

2

0

d

y

x x

y

c) rd fel legalbb kt brzolt fggvny hozzrendelsi szablyt!


Cskken CO2-szint

Sok tuds tart attl, hogy a lgkrben megnvekedett CO2-gz szintje klmavltozst idzhet el.Az albbi bra tbb orszg (vagy rgi) CO2-kibocstsnak szintjt mutatja 1990-ben, 1998-ban, s a kibocsts szintjnek szzalkos vltozst 1990 s 1998 kztt (fekete nyilak).

a) Az brrl leolvashat, hogy az USA-ban 11% volt a CO2-kibocsts szintjnek vltozsa 1990 s 1998 kztt. rd le szmtsaidat, amelyek bemutatjk, honnan ered ez a 11%!b) Mni megvizsglta az brt s azt lltja, hogy tallt egy hibt a kibocstsi szint szzalkainak vltozsban: Nmetor-

szgban nagyobb a szzalkos rtk cskkense (16%), mint az egsz Eurpai Uni rtke (EU sszesen 4%). Ez lehetet-len, hiszen Nmetorszg is az EU tagja.

Egyetrtesz-e Mni lltsval, amikor azt lltja, hogy ez nem lehetsges? Magyarzattal is tmaszd al a vlaszodat!c) Mni s Norbi elbeszlgetett arrl, hogy melyik orszgban (vagy rgiban) volt a legnagyobb a CO2-kibocsts nveke-

dse. Mindketten klnbz kvetkeztetseket vontak le az bra alapjn. Adj kt klnbz helyes vlaszt erre a krdsre, s magyarzd meg, hogyan jutottl erre a megllaptsra!

RADS

60

49

67

27

30

40

19

62

12

13

13

31

61

2

69

2

42

3

48

5

42

08

40

41

12

09

10

20

21

8

23

6

(milli tonna CO2)

Kibocsts 1998-ban

Kibocsts 1990-ben

(milli tonna CO2)

US

A

Oro

szo

rszg

Jap

n

Kan

ad

a

Au

sztr

li

a

EU

sszesen

Nm

eto

rszg

A kibocsts szintjnek

szzalkos vltozsa

1990 s 1998 kztt +11%

35%

+10% +13% +15%

4% 16%

+8%

Ho

llan

dia

a) Rajzold meg az x x 2 3 fggvny grafi konjt, ha az rtelmezsi tartomnya a ]1; 3] intervallum! Mekkoraa legnagyobb s a legkisebb fggvnyrtk?

b) Tkrzd a fggvny grafi konjt az abszcisszatengelyre! Melyik fggvny grafi konjt kaptad meg gy? Mennyi ennek a fggvnynek a legnagyobb s a legkisebb rtke?

4 .

50. lecke MELYIK A LEGNAGYOBB S MELYIK A LEGKISEBB RTK? 11

brzoljuk azt a fggvnyt, amely az x m2 (x 0) terlet ngyzethez hozzrendeli a ngyzet mterben mrt oldal-hosszt!

MegoldsAz x m2 terlet ngyzet oldala x mter hosszsg, teht az x x (x 0) fggvnyt kell brzolnunk.Nhny esetben tblzatba foglaljuk az sszetartoz szmokat:

x 0 0,25 1 2,25 4 90 0,5 1 1,5 2 3

Pont a grafi konon (0; 0) (0,25; 0,5) (1; 1) (2,25; 1,5) (4; 2) (9; 3)

A grafi kon:

1 .

PLDA

A nemnegatv vals szmok halmazn rtelmezett x x hozzrendelsi szably fggvnyt ngyzetgykfggvny-nek nevezzk. A ngyzetgykfggvny szigoran monoton nveked, rtkkszlete a nemnegatv vals szmok halmaza. A legki-sebb fggvnyrtk a 0, legnagyobb fggvnyrtk nincs.A ngyzetgykfggvny grafi konja egy olyan parabolnak a fele, amelynek a tengelypontja az orig, tengelye pedig az abszcisszatengely.

ELMLET

y

x

3

2

1

1 20 3 4 5 6 7 8 9

y x y = x

Szemlletnk s a grafi kon is azt mutatja, hogy ez a fggvny szigoran monoton nveked (kt ngyzet kzl a nagyobb terletnek nagyobb az oldala).

x

NGYZETGYKFGGVNY, ZRUSHELY S RTKKSZLET5151


Melyik szmok az f fggvny zrushelyei, ha a fggvny rtelme-zsi tartomnya a vals szmok halmaza, hozzrendelsi szablya: x x 2 4? Adjuk meg az f rtkkszlett is!

MegoldsAzt kell megvizsglnunk, hogy melyik vals szmhoz rendeli hozz az f fggvny a 0 rtket.

f (x) = x 2 4 = 0, ha x 2 = 4, vagyis ha x = 2 vagy x = 2. Teht az f fggvnynek kt zrushelye van: 2 s 2.

Az f fggvny rtkkszlett a (4)-nl nem kisebb szmok alkotjk. Ezt a szmhalmazt gy is jelljk: [4; +[.

2 .

PLDA

a) A megadott pontok kzl melyek vannak rajta a ngyzetgykfggvny grafi konjn? A(4; 16), B(25; 5), C(100; 10), D(0; 0), E(64; 8), F(3,5; 12,25), G(51,84; 7,2)b) Melyik nemnegatv szmhoz rendel a ngyzetgykfggvny 0-t, 2,8-et, 5,1-et, illetve 12-t?c) Melyik szmot rendeli a ngyzetgykfggvny a 0-hoz, a 2,8-hez, az 5,1-hez, illetve a 12-hz?

1 .

FELADAT

y

x

f

01 1 2 3 4 5 6 7 8234

3

2

1

1

2

3

Egy fggvny rtelmezsi tartomnynak azokat az ele-meit, amelyekhez a 0 van hozzrendelve, a fggvny zrushelyeinek nevezzk. A grafi konrl knnyen leolvas-hatjuk egy fggvny zrushelyeit: ezeket a grafi konnak az x tengelyen lv pontjai mutatjk meg.

ELMLET

y

f

0 11

1

2

3

4

23

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6 x

llaptsuk meg az f fggvny zrushelyeit, rajzoljuk meg a grafi konjt, hatrozzuk meg az rtkkszlett, ha f rtelme-zsi tartomnya a vals szmok halmaza, s f (x) = (x + 1) (x 3)!

Megoldsf (x) = (x + 1) (x 3) = 0, ha x + 1 = 0 vagy x 3 = 0. x + 1 = 0, ha x = 1; x 3 = 0, ha x = 3. A zrushelyek teht a 1 s a 3.

3 .

PLDA

51 . lecke NGYZETGYKFGGVNY, ZRUSHELY S RTKKSZLET 13

Hatrozd meg a vals szmok halmazn rtelmezett f , g s h fggvny zrushelyeit s rtkkszlett, ha f (x) = x 2 9, g(x) = x 2 6,25 s h(x) = x 2 + 4!

Olvasd le a grafi konjukkal megadott fggvnyek rtelmezsi tartomnyt, legnagyobb s legkisebb rtkt (ha van!), rtkkszlett, zrushelyeit!a) b) c) d)

llaptsd meg a g fggvny zrushelyeit, rajzold meg a grafi konjt, ha rtelmezsi tartomnya a vals szmok halmaza, s g(x) = x (x + 4)! Add meg a g rtkkszlett is!

llaptsd meg a g fggvny zrushelyeit, rajzold meg a grafi konjt, ha rtelmezsi tartomnya a vals szmok halmaza, s g(x) = x (3 x)! Add meg a g rtkkszlett is!

2 .

FELADAT

3 .

4 .

5 .

1034 2 2 3 4 5 6

1

1

3

4

5

2

2

3

4

5

y

x 110 2 3 4

1

1

3

4

5

2

2

3

4

5

y

x 1034 2 2

1

1

3

4

5

2

2

3

4

5

x

y

1

1

10

3

4

5

2

2

2

3

4

5

3

y

x

A fggvny rtkkszlete a (4)-nl nem kisebb vals szmok halmaza (jellse: [4; +[).A parabola szimmetriatengelye ppen a kt zrushelyet jelz pont kztt kz-pen metszi az x tengelyt.

y

x

f

02 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

A grafi kon megrajzolshoz ksztsnk tblzatot!

x 2 1zrushely 0 1 23

zrushely 4

f (x) 5 0 3 4 3 0 5Pont a grafi konon (2; 5) (1; 0) (0; 3) (1; 4) (2; 3) (3; 0) (4; 5)

A grafi kon:


brzold a kvetkez fgggvnyeket koordinta-rendszerben, majd olvasd le az rtkkszletket s a zrushelyeiket (ha vannak):a) Df = {0; 1; 4, 9} x xb) Dg = R \ {0} g(x) =

1x

c) Df = ]4, 2] f(x)= 32

x 3

Add meg a kvetkez fggvnyek zrushelyeit!a) Ngyzetgykfggvny c) x 5 x + 12 e) x 9 x 2b) x | x | d) x x 2 f) x (x + 2,8) (x 4,8)

A Fldn 9,81 ms2

a gravitcis gyorsuls nagysga, de az IM nev bolygn csak 2 ms2

. Kiszmtottk, hogy ha ezen

a bolygn 6 ms

sebessggel fgglegesen fellvnk egy lvedket, s az x msodperc mlva y mter magasan lesz,

akkor y = 6 x x 2.a) Tltsd ki a tblzatot a fzetedben!

x 0 1 2 2,5 3 3,5 4 5 6y

b) A tblzat alapjn grafi kont ksztettnk a lvedk helyzetrl a [0; 6] intervallumban. Vlaszd ki az albbiak kzl a megfelelt!

A) B) C)

c) Mennyi id alatt rkezik vissza a kilvs helyre a lvedk?d) Milyen magasra emelkedik a lvedk?e) A kilvstl szmtva mikor lesz 5 mter magassgban a lvedk?

1 .

HZI FELADAT

2 .

3 .

y

1

1

0 2

2

3

4

5

6

7

8

9

3 4 5 6 7 1

1

0 2

2

3

4

5

6

7

8

9

3 4 5 6 7 1

1

0 2

2

3

4

5

6

7

8

9

3 4 5 6 7

yy

x x x

51 . lecke NGYZETGYKFGGVNY, ZRUSHELY S RTKKSZLET 15

Dszdoboz als rsznek elksztshez egy 24 cm hossz, 10 cm szles kartonlapbl vlyt ksztnk gy, hogy a kt szlt derkszgben felhajtjuk. Milyen szles rszt hajtsunk fel, hogy a vly keresztmetszetnek a terlete a lehet legnagyobb legyen?

MegoldsA keresztmetszet olyan tglalap, amelynek az oldalai x cm s (10 2 x) cm hosszak, ezrt a terlete x(10 2 x) cm2. Az x az 5-nl kisebb pozitv szm lehet.brzoljuk az x R, x x(10 2 x) fggvnyt, vizsgljuk meg, hol veszi fel a ]0; 5[ intervallumon a legnagyobb rtkt!Ez egy msodfok fggvny (hiszen a hozzrendelsi szablya x 10 x 2 x 2 alakban is megadhat, s ez msodfok kifejezs). A grafi -konja lefel nyitott parabola. Hol metszi a parabola az x tengelyt?x (10 2 x) = 0, ha x = 0, illetve ha 10 2 x = 0, vagyis ha x = 5.Azt ltjuk, hogy a fggvnynk zrushelyei 0 s 5, a parabola tengelye ezek kztt kzpen, 2,5-nl metszi az x tengelyt. ppen ez a szm a ten-gelypont els koordintja. Itt a legnagyobb a fggvny rtke, vagyisa vly keresztmetszetnek a terlete.

Teht a 10 cm-es oldalbl ktfell 2,5 cm-es darabot kell felhajtanunk, hogy a legnagyobb keresztmetszet vly keletkezzk.Mekkora ekkor a keresztmetszet terlete? Ha x = 2,5, akkor 10 2 x = 10 5 = 5,a tglalap terlete pedig 2,5 5 = 12,5 (cm2).

1 .

PLDA

24 cm

10

cm

10

2

cmx

10

2

xcm

10 2x cm

xcm

xcm

xcm

xcm

xcm

24 cm

GYAKORLATI FELADATOK5252

x

y

0,5

1

10 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13


Ravaszdi r alkalmi munkst keres egy munka el-vgzsre. Okos Tninak azt mondja, hogy ha x ra alatt sikerl elvgeznie a munkt, akkor (6 2 x) tallr rabrt fi zet neki (ha 3 ra alatt sem vgez, akkor fi zetsg nlkl kell tvoznia). a) Mennyi rabr s mekkora fi zetsg jrna akkor,

ha Tni 0,5 ra alatt elvgezn a munkt? s ha2 ra alatt vgezn csak el?

Okos Tni egy kis ideig gondolkodott, majd r-jtt, hogyan lehet a lehet legnagyobb sszeget felvenni a munka elvgzsrt.

b) Mennyi id alatt vgzett Tni, ha valban a leg-nagyobb sszeget vette fel?

c) Mekkora sszeget kapott ekkor?

1 .

FELADAT

Szilveszter este az Arany csald 5. emeleti erkly-rl (kb. 15 m magasbl) kilttek egy tzijtk-ra-ktt. Hajni nagyon rt a fi zikhoz, elmondja a csa-ldnak, hogy ha a kilvstl szmtva x msodperc telt el, s ekkor a rakta az erkly szintjtl szmt-va y mter magassgban van, akkor y = 5 x (2 x).a) A kilvstl szmtva mennyi id alatt esik

vissza a rakta az erkly szintjre?b) Mekkora magassgig emelkedik a rakta az er-

kly szintjhez viszonytva?c) A kilvstl szmtva mennyi id mlva esik le

a rakta a fldre?

2 .

A hang terjedsi sebessge a leveg hmrsklettl fgg, durvn a c = 20 T kplet alapjn, ahol c a ms

-ban mrt

terjedsi sebessg, T pedig a leveg hmrsklete Kelvin-fokban mrve (a Kelvin-fokban mrt rtk mindig 273-mal nagyobb, mint ugyanaz a hmrsklet Celsius-fokban).

Mekkora hmrskleten lesz a hang terjedsi sebessge 350 ms?

MegoldsElksztjk az T 20 T (T 0) fggvny grafi konjt s leol-vassuk, melyik szmhoz tartozik a 350 helyettestsi rtk. Ez kb. 305, teht kb. 305 K (azaz 32 C) hmrskleten lesz

a hang terjedsi sebessge 350 ms.

Feladatunkat algebrai ton is megoldhatjuk:

350 = 20 T , teht T = 35020

= 17,5.

Egyetlen olyan szm van, amelynek a ngyzetgyke a 17,5, s ez a 17,5 2.Teht T = 17,5 2 = 306,25.

Azaz kb. 306 K (33 C) hmrskleten terjed a hang 350 ms

se-

bessggel.

2 .

T

c

20 60 100 140 180 220 260 300 340

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

52. lecke GYAKORLATI FELADATOK 17

Egy tartlyban a tltanyag mennyisge az idnek lineris fggvnye. Ha a gyrtsi folyamat kez-dettl eltelt id x ra, akkor a tltanyag meny-nyisge y kilogramm. A kett kztti kapcsolat: y = 500 2,5 x. Jelentsd meg koordinta-rend-szerben a kapcso latot!a) Hny kilogramm tltanyag fogy rnknt?b) Mennyi id alatt rl ki a tartly?c) A gyrtsi folyamat indulsa utn mennyi id-

vel lesz a tartlyban lev tltanyag mennyisge 150 kilogramm?

Vili nagypapk tglalap alak baromfi udvart akar-nak elkerteni 12 m hossz drtkertssel. A barom-fi udvar egyik oldala a hts kkertshez tmaszko-dik. Mekkorra vlasszk a tglalap oldalait, hogya baromfi udvar a lehet legnagyobb legyen?

1 .

HZI FELADAT

2 .

Ha x mter hosszsg vkony fonlra egy kism-ret (de elg slyos) fmdarabot ktnk, s ezt az ingt lengsbe hozzuk, akkor egy teljes lengs ideje nagyon j kzeltssel 2 x msodperc lesz.

(Egy teljes lengs trtnik pldul akkor, ha az inga a szls helyzetbl ugyanebbe a szls helyzetbe tr vissza.)a) Ksztsd el az x 2 x (x 0) fggvny gra-

fi konjt!b) Mekkora annak az ingnak a hossza, amelynl

egy teljes lengs 1 msodpercig (0,5 msodper-cig, 2 msodpercig, 3 msodpercig) tart?

c) Mekkora az 50 cm hossz inga lengsideje?d) Bence azt mondja, hogy most mr is tudja,

hogyan lehet egy vkony fonl hosszt stopper-rval megmrni. Te is tudod?

Az f msodfok fggvny rtelmezsi tartomnyaa vals szmok halmaza, s f (x) = x (6 x).a) Add meg a fggvny zrushelyeit!b) Rajzold meg az f grafi konjt!c) Add meg az f rtkkszlett!d) Oldd meg az f grafi konjnak felhasznlsval

az x (6 x) = 8 egyenletet!

3 .

4 .

x


a) Az albbi grafi konok kzl melyik mutatja legjobban a postai djszabst Zedorszgban?(A vzszintes tengelyen a tmeg grammokban, a fggleges tengelyen a dj zedben van brzolva.)A) C)

B) D)

b) Gyurka kt levelet akar kldeni (Zedorszgbl) egy bartjnak; a levelek tmege 40 g, illetve 80 g.A zedorszgi postai djszabs alapjn dntsd el, melyik esetben kell kevesebbet fi zetnie Gyurknak: ha egy bortkban adja postra a kt levelet, vagy ha kln-kln adja postra ket! Szmolssal tmaszd al az lltsodat!

c) Az A) jel grafi kon pontjai illeszkednek-e az y = 0,1 x egyenlet grbre (a vzszintes tengelyt x-szel, a fgglegeset y-nal jellve)?

Postai djszabs

Zedorszgban a postai djak a kldemnyek tmeg-tl fggnek a mellkelt tblzat szerint:

RADS

04000300020001000

3

4

5

6

2

1

0 4000300020001000

3

4

5

6

2

1

0 4000300020001000

3

4

5

6

2

1

0 3000200010005003502001005020

3

4

5

6

2

1

Tmeg (egsz grammra kerektve) Dj20 g-ig 0,46 zed21 g50 g 0,69 zed51 g100 g 1,02 zed

101 g200 g 1,75 zed201 g350 g 2,13 zed351 g500 g 2,44 zed501 g1000 g 3,20 zed

1001 g2000 g 4,27 zed2001 g3000 g 5,03 zed

52. lecke GYAKORLATI FELADATOK 19

Lajos kerkprversenyz. Napi edzse rszeknt a 45-s kilomtertblnl ll hztl lland

(30 kmh ) sebessggel elkarikzik a megyeszkhelyig, ahol a kilomtertblk szmozsa kezddik, s ott rgtn visszafordulva ugyanakkora sebessggel ha-zahajt. A mellkelt grafi kon megmutatja, hogy Lajos az edzse melyik pillanatban mekkora tvolsgra volt a megyeszkhelytl. Az idpontokat az x tengelyen, a tvolsgokat az y tengelyen olvashatjuk le.A grafi kon egyenlete: y = | 30 x 45 |.

1 .

PLDA

0,5 1 1,5 2 2,5 3

45

40

35

30

25

20

15

10

5

x

y0,5 1 1,5 2 2,5 3

45

40

35

30

25

20

15

10

5

x

y

0,5 1 1,5 2 2,5 3

45

40

35

30

25

20

15

10

5

x

y

a) Mikor hajt el Lajos a 25-s kilomtertbla mel-lett?

b) Lajossal egy idben a bartja, Tibor is elindul egy kempingbiciklivel. az 5-s kilomtertbltl indulva a megyeszkhellyel ellenttes irnyban,

10 kmh

sebessggel halad. Mikor s hol tallkozik

Tibor Lajossal?

Megoldsa) A msodik grafi konrl leolvashat, hogy Lajos

odafel 2030

= 23

rnl (40 percnl),

visszafel pedig 1,5 + 2530

= 73

rnl (2 ra 20 percnl)

halad el a 25-s tbla mellett.

Megjegyzs: grafi kus ton megoldottuk az | 30 x 45 | = 25 egyenletet.

b) Az als koordinta-rendszerben brzoltuk azt a fgg-vnyt is, amely a kempingkerkpr helyzett rja le. En-nek a hozzrendelsi szablya: x 10 x + 5.A kt grafi kon kt helyen metszi egymst, teht kt-szer fognak tallkozni. Elszr, indulsuk utn1 rval (ekkor Lajos a vroskzpont fel halad), a 15-s tblnl, aztn pedig indulsuk utn 2,5 rval, a 30-as tblnl (ekkor Lajos mr hazafel kerkprozik). Megjegyzs: grafi kus ton megoldottuk az | 30 x 45 | = 10 x + 5 egyenletet.

ABSZOLT RTKES EGYENLETEK5353


Melyik szmot jellheti az x, ha | 3 x + 2 | = 8?

MegoldsEls (algebrai) mdszerKt olyan szm van, amelynek 8 az abszolt rtke, a 8 s a 8. Ezrt 3 x + 2 = 8 vagy 3 x + 2 = 8.Az els egyenletbl 3 x = 6, vagyis x = 2, a msodik egyen-

letbl 3 x = 10, vagyis x = 103

= 313.

Teht az x kt klnbz szmot jelenthet, a 2-t vagy

a 313

-ot.

Msodik (grafi kus) mdszerRajzoljuk meg az x |3 x + 2| fggvny grafi konjt, s ol-vassuk le, melyik szmhoz rendeli ez a fggvny a 8 rtket!Elszr az x 3 x + 2 elsfok fggvnyt brzoljuk:

2 .

y

x1123 2 3 4

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y x3 2

Oldd meg a kvetkez abszolt rtkes egyenleteket (x R)!a) | x + 2 | = 3 b) | x + 2 | = 2,3 c) | x + 2 | = 0 d) | x + 2 | = 1,8

1 .

FELADAT

y

x

y x3 2

112345 20

1

2

3

4

5

6

7

8

y 8

Az brrl termszetesen csak kzeltleg olvashatjuk le a

2 s a 313

szmot.

Behelyettestssel ellenrizhetjk, megkaptuk-e az egyen-let gykeit.Ha x = 2, akkor | 3 x + 2 | = | 6 + 2 | = 8, teht a 2 gyke az adott egyenletnek.

Ha x = 313

, akkor | 3 x + 2 | = | 10 + 2 | = 8, teht

a 313

is gyke az adott egyenletnek.

A grafi kon jl mutatja, hogy az x ms szmot nem jellhet.

Oldjuk meg algebrai mdszerrel az |x 4| = 2x + 7 egyenletet!

MegoldsHa x 4 0, vagyis x 4, akkor |x 4| = x 4, teht az adott egyenlet x 4 = 2x + 7 alak, amibl x = 11. A (11) kisebb a 4-nl, teht nem talltunk megoldst a 4-nl nem kisebb szmok kztt. Ha x 4 < 0, vagyis x < 4, akkor |x 4| = (x 4) = x + 4, teht az adott egyenlet x + 4 = 2x + 7 alak. Ebbl x = 1. Ez valban megol-dsa az eredeti egyenletnek. Ms gyke nem lehet, teht a megoldshalmaz: {1}.

3 .

Ezutn a grafi konnak az x tengely alatti rszt az x ten-gelyre tkrzzk. gy kapjuk az x |3 x + 2| fggvny grafi konjt. Ez a kk, V bethz hasonlt ponthalmaz. Ugyanitt megrajzoltuk az x 8 fggvny grafi konjt,a piros egyenest. A kt grafi kon metszspontjainak els ko-ordinti adjk meg az |3 x + 2| = 8 egyenlet gykeit.

Egyenlet megoldshoz hasznlhatk a fgg-vny-brzol programok is.Ev

53. lecke ABSZOLT RTKES EGYENLETEK 21

rj fel egy-egy olyan egyenletet, amelynek a megoldsa leolvashat a megadott grafi konokrl! Behelyettestssel ellenrizd, hogy a leolvasott szmok valban megoldsok!a) b) c)

1 .

HZI FELADAT

Oldjuk meg grafi kus ton az | 3 x + 2 | = 0,5 x 1 s az | 3 x + 2 | = 0,5 x + 5 egyenletet (x R)!

MegoldsAz elz feladat megoldsa sorn mr megrajzoltuk az x | 3 x + 2 | fggvny gra-fi konjt. Most berajzoljuk ugyanabba a koordinta-rendszerbe az x 0,5 x 1 s az x 0,5 x + 5 elsfok fggvny grafi konjt is. Az els egyenesnek nincs kzs pontja az x | 3 x + 2 | fggvny grafi konjval. Ez azt jelenti, hogy az | 3 x + 2 | = 0,5 x 1 egyenletnek nincs gyke.

A msodik egyenesnek 2 kzs pontja van az x | 3 x + 2 | fggvny grafi konjval. Ez azt jelenti, hogy az | 3 x + 2| = 0,5x + 5 egyenletnek 2 gyke van, e kzs pontok-nak az els koordintja: 2 s 1,2. Az brrl csak kzeltleg olvashatjuk le a metszspontok els koordintit. Hogy pontosan ezek a gykk, azt behelyettestssel ellenrizhetjk:Ha x = 2, akkor | 3 x + 2 | = | 6 + 2 | = 4 s 0,5 x + 5 = 1 + 5 = 4, vagyis a 2 gy-ke az egyenletnek;ha x = 1,2, akkor | 3 x + 2 | = | 3,6 + 2 | = 5,6 s 0,5 x + 5 = 0,6 + 5 = 5,6, vagyisaz 1,2 is gyke az egyenletnek.A grafi konrl leolvashatjuk, hogy egyenletnknek tbb gyke nem lehet.

4 .

PLDA

y

x

y x3 2

1 31234 2

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

yx

0,55

yx

0,51

y y y

x x x4 3 2 1 10 2 3 4

1

2

3

4

4 3 2 1 1 2 3 4

1

2

3

4

4 3 2 1 1 2 3 4

1

2

3

4

0 0

Oldd meg a kvetkez abszolt rtkes egyenleteket (x R)!

a) | 2 x 6 | = 3 b) | 2 x 6 | = x c) | 2 x 6 | = 25x + 6 d) | 2 x 6 | = x 3

2 .

FELADAT

Egyenlet megoldshoz hasznlhatk a fggvnybrzol programok is.E


Oldd meg grafi kusan az albbi egyenleteket (x R)!a) | x | = x 2 c) | x | = (x 2) 2

b) | x | = x 2 2 d) | x | = x 2 + 6

4 .Oldd meg a kvetkez egyenleteket (x R)!a) | x 2,7 | = 3,5 c) | 70,4 + 22 x | = 30,8b) | 5,7 3 x | = 5,7 d) | 4 x | + 9 = 0

Oldd meg grafi kusan az albbi egyenleteket (x R)!a) | 2 x | = x + 2 c) | 2 x 2 | = 3 x

b) | 2 x | = 3 x d) 23x 2 = 1

3x + 2

2 .

3 .

Vizsgljuk meg, hogy az a rtknek ms-ms megvlasztsa esetn hny gyke van a |3 x + 2| = x + a egyenletnek!

Adjunk az a-nak tbb rtket! brzoljuk az x x + a elsfok fggvnyeket az x | 3 x + 2 | fggvnnyel kzs koordinta-rend-szerben! Ltjuk, hogy

ha a= 23, akkor az egyenesnek 1 kzs pontja van az x | 3 x + 2 |

fggvny grafi konjval, vagyis az 3x + 2 = x + 23

egyenletnek egy

gyke van, a 23;

ha a > 23, vagyis ha a piros egyenest feljebb toljuk, akkor az j egyenesnek 2 kzs pontja van az x | 3 x + 2 | fgg-

vny grafi konjval, vagyis az | 3 x + 2 | = x + a egyenletnek kt gyke van;

ha a < 23, vagyis ha a piros egyenest lejjebb toljuk, akkor az j egyenesnek nincs kzs pontja az x | 3 x + 2 | fggvny

grafi konjval, vagyis az | 3 x + 2 | = x + a egyenletnek nincs gyke.

KIEGSZT ANYAG

y

x6 5 4 3 2

2

3

4

11

0 1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6 7

7

8

9

y x 23

6

Megoldsaidat ellenrizheted fggvnybrzol programmal is.Mp

53. lecke ABSZOLT RTKES EGYENLETEK 23

Hny 0-ra vgzdik a 2 7 3 12 5 8 + 4 3 6 2 15 6

szm?

a) Egy tglatest leinek hossz-sga 3,6 10 8 cm, 7,5 10 6 dm s 5,8 10 5 m. Hny m3, hny dm3 s hny cm3 a tgla-test trfo gata?

b) Egy csillag tmege 2 10 30 kg, ennek a tmeg-nek nagy rsze hidrogn. A csillag msodper-cenknt hatszzmillird kilogramm hidrognt get el. Egymillird v alatt hny kg hidrognt get el, s ez hny szzalka a tmegnek? (Fel-tesszk, hogy a hidrogngets hevessge nem vltozik.)

Dobkockval dobtunk 50-szer, a kvetkez ered-mnyeket kaptuk: 6, 3, 2, 5, 2, 2, 1, 5, 4, 1, 3, 2, 5, 6, 2, 2, 1, 5, 4, 1, 6, 1, 5, 6, 2, 2, 3, 5, 2, 1, 6, 2, 5, 6, 2, 6, 1, 5, 4, 1, 4, 2, 5, 6, 1, 3, 3, 5, 4, 1.a) Kszts gyakorisgi tblzatot!b) brzold a gyakorisgokat oszlop- s krgrafi -

konon!c) Melyik szm a mdusz, s melyik a medin?

(Vlaszodat indokold meg!)d) Mennyi a mdusz dobsnak a relatv gyakori-

sga?e) Mennyi a dobott pontok tlaga?

1 .

FELADAT

2 .

3 . egysincs

egy kett hrom ngy t hatvagy tbb

0

5

10

15

20

25

30 26

13 14

2225

11

68

10

15

8 7

15

20

2003. dec.2008. dec.

tlag

3,82,5

Egy elsfok fggvny grafi konja olyan egyenes, amely thalad a (0; 3) ponton, s a meredeksge 2. Az albb felsoroltak kzl melyik a fggvny hoz-zrendelsi szablya? a) x 3 x + 2 c) x 2 x 3b) x 3 x 3 d) x 2 x

Egy napilapban talltuk ezt a grafi kont:Kzvetlen csaldtagjain kvl hny olyan ismer-se van, akitl szksg esetn komolyabb segtsget krhet? (1000 vlasz alapjn, szzalkban kifejezve)

4 .

5 .

a) Mit llapthatsz meg ezekbl az adatokbl?b) Kszts msfle grafi kont ehhez a problmhoz!

brzold a kvetkez fggvnyeket! Add meg az rtkkszletket, a zrushelyeiket, a legnagyobb sa legkisebb fgg vny rtkket, ha ezek lteznek!

a) x [0; 5], x 32x + 1

b) x ]3; 4[, x x 2 8c) x [1; +[, x 2 xKzlk melyik elsfok fggvny, melyik egyenes arnyossg?

Az f fggvny rtelmezsi tartomnya a [4; 6[ in-tervallum, hozzrendelsi szablya: x 2 x 3.Rajzold meg az f grafi konjt, sorold fel nhny tu-lajdonsgt (legnagyobb fggvnyrtk, legkisebb fggvnyrtk, rtkkszlet, zrushely, nveked, cskken, monoton)!

6 .

7 .

GYAKORLS; TUDSPRBA5454


yx

A B C

D

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2 4 6 86 4 2 08

A grafi kon egy osztly matematikadolgozatnak eredmnyeit szemllteti. Mennyi lett a jegyek tlaga?

a) Rajzold le az x | x 2 | fggvny grafi konjt! Mi a fggvny zrushelye s rtkkszlete?

b) Oldd meg grafi kusan az x 2 = |x 2| egyenletet!

Egy felmrs sorn 1000 vletlenszeren kivlasztott embert krdeztek meg arrl, hogy milyen kzleked-si eszkzzel jr reggelente munkba. A vlaszok sz-mt a tblzat mutatja:

Gyalog 125

Kerkpr, motorkerkpr 75

Aut 425

Tmegkzlekeds 375

a) Szmtsd ki az adatok relatv gyakorisgt!b) brzold a megoszlst krdiagramon!

a) A megadott egyenesek kzl melyiknek az egyen-

lete y = 23x + 2?

b) Melyik lehet egyenes arnyossg grafi konja?

1 .

TUDSPRBA

2 .

3 .

4 .

Egy kisebb foly vzllst 24 rn keresztl folyama-tosan mrtk, grafi konon brzoltk.

5 .

1 2

rdemjegy

3 4 50

darabszm

8

6

4

2

10

y

1 5 10 15 20

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

(mter)

x (ra)

a) Ezen a folyn a harmadfok rvzvdelmi k-szltsget akkor rendelik el, ha a vzlls elri a 3,5 mtert. Mikor rendeltk el, s mikor szntet-tk meg a harmadfok kszltsget?

b) rnknt hny mterrel ntt a vzszint, amikora nvekeds sebessge a legnagyobb volt?

c) rnknt hny mterrel vltozott a vzszint, amikor a vltozs (nvekeds vagy cskkens)a leggyorsabb volt?

Az jszltt koala kb. 2 cm hossz, az ezt kvet 4 v alatt havonta tlagosan 1,5 cm-t nvekedve fejldik ki teljesen.a) Add meg azt a fggvnyt, ami a koala hosszt rja

le a szletse ta eltelt hnapok szmnak fgg-vnyben!

b) Milyen hossz egy 1 ves koala?c) Mennyi idsen lesz 50 cm hossz?

A klnbz testek kztti gravitcis vonz-

er nagysgt (N-ban) az F = m1 m2r 2

kplettel

sz molhatjuk ki, ahol m1 s m2 az egymst von-z testek tmege kg-ban, r a kzttk lv tvol-sg m-ben, pedig az n. gravitcis lland,

= 6,67 1011 Nm2

kg2.

Szmtsd ki szmolgp segtsgvel a Fld s a Nap egymsra gyakorolt vonzerejnek nagysgt, ha a Fld tmege: m1 6 10

24 (kg), a Nap tme-ge: m2 2 10

30 (kg), a FldNap tvolsg pedig r 1,5 10 11 (m)!

6 .

7 .

54. lecke GYAKORLS; TUDSPRBA 25

Arany Csilla a mesekockit rakosgatja:Nzd, Anya, az elbb kiraktam gy, hogy gy 6 kocka volt, gy meg 2, most meg erre 3 kocka van, arra meg 4! Most megint mshogy rakom ki!

Vajon sikerl-e Csillnak mshogyan kirakni a kockkat gy, hogy tmr tglatest alakot kapjon, s egyms tetejre ne tegyen kockkat?

MegoldsCsilla a kockkat sorokba s oszlopokba rendezte, ezek szmnak szorzata mindig 12, hiszen Csilla most ennyi me-sekockval jtszik. A 12-t tbbflekppen is felrhatjuk kt termszetes szm szorzataknt, pl. a fentieknek megfelelen: 2 6 = 12, illetve 3 4 = 12.Ezeken kvl mg az 1 s a 12 szorzataknt, mshogy azonban nem.

A felsorolt szorzatokban az 1, a 2, a 3, a 4, a 6 s a 12 szerepel. Ezek a szmok a 12 oszti, a 12 pedig ezeknek a szmoknak a tbbszrse.

BEVEZET

Csilla tallt mg egy kockt (az eredetileg 25 me-sekockbl ll kszletbl), gy 13 kockt prblt sorokba s oszlopokba rendezni (egyms tete-jre nem rakott kockkat). a) Sorold fel az sszes klnbz lehetsget!b) Mg legalbb hny kockt kellene megtallnia

Csillnak, hogy ugyanannyi lehetsge legyen, mint a 13 kockval?

1 .

FELADAT

Egy 5 cm 6 cm-es tglalapot azonos mret tglalapokra kell sztvgni gy, hogy a tglalapok olda lainak hossza csak egsz cm hosszsg lehet.

2 .

6 cm

5 cm

a) Mekkora lehet egy tglalap terlete, s hny tglalap keletkezhet?

b) Sorold fel az sszes klnbz lehetsget!

OSZT, TBBSZRS5555

26 A TERMSZETES SZMOKTL A VALS SZMOKIG Szmok

Bontsuk fel a 120-at prmszmok szorzatra!

Megolds

Teht 120 = 2 2 3 5 2 = 2 3 3 5.

1 .

PLDA

Ismteljk t, amit korbban mr tanultunk az oszthatsgrl!Akkor mondjuk, hogy az a pozitv egsz szm osztja a b pozitv egsz szm nak, ha van olyan pozitv egsz szm, amellyel az a-t megszorozva a b-t kapjuk.

Azt, hogy a osztja b-nek gy is ki szoktuk fejezni, hogy b oszthat a-val. Jelekkel: a | b.Ha a osztja b-nek, akkor a b tbbszrse az a-nak. Pldul a 27 osztja a 81-nek (jelekkel: 27 | 81), mert van olyan pozitv egsz szm, a 3, amellyel a 27-et megszorozvaa 81-et kapjuk.

Minden pozitv egsz szm oszthat 1-gyel s nmagval.Eszerint az 1-nek egyetlen osztja van, az 1, az 1-nl nagyobb egsz szmoknak legalbb kt osztjuk van. Kzlkaz 1-et s magt a szmot nem valdi osztnak, a tbbit valdi osztnak nevezzk.

Pldul a 12 nem valdi oszti: 1 s 12; valdi oszti: 2, 3, 4, 6;a 67 nem valdi oszti: 1 s 67; valdi osztja nincs.

Ha egy pozitv egsz szmnak pontosan kt pozitv osztja van, akkor ezt prmszmnak nevezzk. Bebizonythat, hogy vgtelen sok prmszm van.

Prmszm pldul a 2, a 3, az 5, a 7, a 29, a 101, a 103, az 569, az 571, a 991, a 65537.

Ha egy pozitv egsz szmnak kettnl tbb pozitv osztja van, akkor ezt sszetett szmnak nevezzk.

sszetett szm pldul a 4, a 6, a 8, a 9, a 10, a 12, a 14, a 15, a 100, a 111, a 4866.

Az 1 nem prmszm, s nem sszetett szm. Ilyen tulajdonsg pozitv egsz szm nincs tbb.

A pozitv egsz szmok teht a kvetkezk:1 egyetlen osztja vanprmszm pontosan kt osztja vansszetett szm kettnl tbb osztja van

ELMLET

Bontsuk fel a 630-at prmszmok szorzatra!

MegoldsA 630-at elosztjuk 2-vel, a hnyados 315.A 315-t elosztjuk 3-mal, a hnyados 105.105 : 3 = 35; 35 : 5 = 7; 7 : 7 = 1.A fggleges vonal jobb oldaln lv prmszmok szorzata adja meg a 630-at: 630 2 315 3 105 3 35 5 7 7 1

630 = 2 3 3 5 7 = 2 3 2 5 7.

2 .

10

120

12

4 3

22

5 2

55. lecke OSZT, TBBSZRS 27

Bence s osztlytrsa a 20 570-et felbontotta prm-szmok szorzatra. A felbontst Bence gy kezd-te: 20 570 = 2 10 285, s vgl azt kapta, hogy 20 570 = 2 5 11 17 11. A bartjnl ez volt a kezds: 20 570 = 50 415, s vgl erre jutott: 20 570 = 5 2 5 5 83.Bence eltndtt a ktfle eredmnyen. Szerette volna megllaptani, hogy az albbi hrom lehet-sg kzl melyik biztosan igaz s melyik biztosan hamis, de nem volt szmolgpe, s egyik szorzst sem akarta elvgezni.

3 .

FELADAT

Egy tglatest egyik le 1 cm hossz, trfogata 140 cm3. Hny klnbz ilyen tglatest van, ha mindegyik le egsz cm hosszsg?

1 .

HZI FELADAT

Minden sszetett szm felbonthat prmszmok szorzatra, s ez a felbonts egyrtelm, ha a tnyezk sorrendjt nem vesszk fi gyelembe. Ez a szmelmlet alapttele.

Ms szavakkal: egy sszetett szmot brhogyan runk is fel prmszmok szorzataknt, mindegyik szorzatban ugyanazok a prmtnyezk fordulnak el, s mindegyik prm pontosan ugyanannyiszor szerepel az egyik felbontsban tnyezknt, ahnyszor a msik felbontsban. Csak a tnyezk sorrendjben lehet teht klnbsg!

Pldul18 = 2 3 2 = 3 2 3, 120 = 2 3 3 5 = 5 2 3 2 2, 222 = 2 3 37 = 3 37 2, 1024 = 2 10.

A szmelmlet alapttelnek egyszer kvetkezmnye: egy sszetett szm brmelyik osztjnak prmtnyezs alakja csak olyan prmtnyezket tartalmazhat, amelyeket maga a szm is tartalmaz, s a prmtnyezk mindegyike legfeljebb annyiszor fordulhat el az osztban, ahnyszor az eredeti sszetett szmban.Teht az sszetett szm sszes osztjt kiolvashatjuk a prmtnyezs felbontsbl.

Pldul18 = 3 2 3, ezrt a 18 oszti: 1; 2; 3; 2 3; 3 3 s 2 3 3.

ELMLET

Csilla tallt egy 180 cm hossz, 1 cm szles szala-got. Olyan 1 cm szlessg, egyforma tglalapokra akarja sztdarabolni, amelyek msik oldala is egsz

2 .

a) Mindkt felbonts rossz.b) Mindkt felbonts j. c) Az egyik felbonts j, a msik rossz.Mik lehettek Bence vlaszai?

Bontsd fel prmszmok szorzatra a kvetkez sz-szetett szmokat!a) 525b) 990c) 873d) 1221

4 .

Bontsd fel prmtnyezk szorzatra a 450-et! Sorold fel az osztit prmtnyezs alakban! Keresd meg mind a 18 osztjt!

5 .

FELADAT


Bontsuk fel a 211-et prmtnyezk szorzatra!

MegoldsHa nem akarunk vletlenszeren tallgatni, akkor 2-vel kezdve elkezdjk prblgatni a prmszmokat, vajon melyik lesz osztja a 211-nek.211 nem oszthat 2-vel, 3-mal, 5-tel, 7-tel, 11-gyel, 13-mal Felmerl a krds: meddig rdemes prblkozni? Ha ugyanis a 211 prmszm, akkor gysem tallunk valdi osztt, hiba keressk.

Kezdetnek vizsgljunk egy kisebb sszetett szmot, a 72-t, hogy lssuk, milyen szablyossgokat tal-lunk az oszti kztt! A 72-t kt-kt pozitv egsz szm szorzatra bontjuk.

Vegyk szre, hogy egy bizonyos ponttl kezdve kr is folytatni, hiszen a 8 9 utn ugyanazokata tnyezprokat kapjuk, csak fordtott sorrendben.

Egyszer a kvetkez gondolat: ha kt pozitv szm nagyobb (kisebb) a 72-nl, akkor a szorzatuk nagyobb (kisebb) a 72-nl.

Teht, ha egy pozitv egsz szmot kt tnyez szorzatra bontunk, akkor vagy mindkt tnyeza szm ngyzetgyke (pl. 64 = 8 8), vagy az egyik nagyobb, a msik kisebb a ngyzetgyknl (pl. 72 = 6 12).

Trjnk vissza a kiindul problmnkhoz, a 211 prmosztinak keresshez!211 14,5. Mivel nem talltunk 14,5-nl kisebb prmosztt (2, 3, 5, 7, 11, 13 egyike sem volt osztja a 211-nek), ezrt 14,5-

nl nagyobb prmosztt sem fogunk tallni. A 211-nek teht nincsenek valdi oszti, a 211 prmszm.

Mennyi a 39 375 osztinak a szma?

MegoldsMegmutatunk egy rdekes mdszert: 39 375 = 3 2 5 4 7. Ha a kitevket 1-gyel megnveljk, s a kapott szmokat sszeszo-rozzuk, megkapjuk az osztk szmt: (2 + 1) (4 + 1) (1 + 1) = 30. A 39 375-nek 30 osztja van.

1 .

RADS

2 .

cm hosszsg. Sorold fel az sszes lehetsget (belertve azt is, hogy Csilla mgsem darabolja fel a szalagot)!Bencnek 7 darab egyforma, 6 cm3 trfogat, tgla-test alak dobozt kell elhelyeznie egy nagyobb tg-latest alak dobozban gy, hogy a nagyobb dobozt teljesen kitltsk. A kisebb s a nagyobb dobozok lhossza is csak egsz cm hosszsg lehet.a) Add meg az sszes lehetsget!b) Megvltozik-e a lehetsgek szma, ha Benc-

nek 6 db 7 cm3 trfogat dobozt kell a felttel-

3 .

nek megfelelen egy nagyobb dobozba elhe-lyeznie?

Bontsd fel prmszmok szorzatra az albbi ssze-tett szmokat!a) 240b) 231c) 435d) 10 000e) 100 000f) 1 000 000

4 .

72 = 1 72 2 36 3 24 4 18 6 12 8 9 9 8 12 6


Az eratoszthenszi szita

2200 esztendvel ezeltt Eratoszthensz alexandriai fi lozfus s csillagsz rdekes mdszerrel kereste meg a 100-nl kisebb prmszmokat.

10 10-es tblzatba foglalta 1-tl 100-ig az egsz szmokat, s kihzta (kiszitlta) azokat, ame-lyekrl tudta, hogy nem prmszmok.Az 1 nem prmszm, ezt kihzta.A 2., 4., 6., 8. s 10. oszlopban vannak a pros szmok, kzlka 2 az egyetlen prmszm. Ezt bekarikzta, a tbbit kihzta.Az 5. oszlopban vannak az 5-re vgzd szmok, kzttk egyet-len prmszm van, az 5. Ezt bekarikzta, a tbbit kihzta.szrevette, hogy a 3-mal oszthat szmok knnyen megtall-hatk. Kzttk egyetlen prmszm van, a 3. Ezt bekarikzta,a tbbit a ferde zld szakaszokkal kihzta.A kvetkez szm, amely mg nem volt kihzva, a 7. Ez prmszm, bekarikzta. A 7-nek a 7-szerese, a 11-szerese s a 13-szorosa sze-repel mg a tblzatban (49, 77, 91), ezeket kihzta. A legkisebb megmaradt szm most a 11, majd a 13, a 17, k-vetkezik. Ezek prmszmok, bekarikzta ket. E szmok 100-nl kisebb tbbszrseit mr korbban kiszitlta. Amelyik szmmal teht eddig nem foglalkozott, azok mind prmszmok, Eratoszthe-nsz bekarikzta ket. gy megkapta a szznl kisebb sszes prm-szmot. 25 van bellk.

Egy msik szitlsi mdszerhez 6-os sorokba rendezzka 100-nl nem nagyobb pozitv egsz szmokat. Az 1 nem prmszm, kihzzuk.A 2., 4. s a 6. oszlopban vannak a pros szmok, kzlk a 2az egyetlen prmszm. Ezt bekarikzzuk, a tbbit kihzzuk. A 3. oszlopban csupa 3-mal oszthat szm van, kzlk a 3az egyetlen prmszm. Ezt bekarikzzuk, a tbbit kihzzuk.Az 5-t bekarikzzuk, azutn az 1. s az 5. oszlopbl kihzzuka tbbi 5-re vgzd szmot.A 7-et bekarikzzuk, s kihzzuk a 7-szerest, a 11-szerest sa 13-szorost (49, 77, 91).Ami megmaradt, az mind prmszm, bekarikzzuk ket.gy ismt megkaptuk a 25 szznl kisebb prmszmot.

KIEGSZT ANYAG

1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

2

12

22

32

42

52

62

72

82

92

3

13

23

33

43

53

63

73

83

93

4

14

24

34

44

54

64

74

84

94

5

15

25

35

45

55

65

75

85

95

6

16

26

36

46

56

66

76

86

96

7

17

27

37

47

57

67

77

87

97

8

18

28

38

48

58

68

78

88

98

9

19

29

39

49

59

69

79

89

99

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

41

47

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

2

8

14

20

26

32

38

44

50

56

62

68

74

80

86

92

98

3

9

15

21

27

33

39

45

51

57

63

69

75

81

87

93

99

4

10

16

22

28

34

40

46

52

58

64

70

76

82

88

94

100

5

11

17

23

29

35

53

59

65

71

77

83

89

95

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96


Az oszthatsg kt tulajdonsga

1. Ha a, b s c olyan pozitv egsz szmok, hogy a osztja b-nek, s b osztja c-nek, akkor a is osztja c-nek (az oszt-hatsg tranzitv).Pldul45 | 180 s 180 | 3600, ezrt 45 | 3600.

2. Ha az a pozitv egsz szm osztja a b s a c (< b) pozitv egsz szmnak, akkor az a osztja a b + c s a b c szm-nak is. Pldul37 | 370 s 37 | 74, ezrt 37 | (370 + 74) = 444 s 37 | (370 74) = 296.

ELMLET

Az sszetett szmok msodik fajta kiszitlsakor tulajdonkppen ezt a 2. tulajdonsgot is felhasznltuk. Ebbl kvetkezik ugyanis, hogy egy 5-nl nagyobb prmszm nem adhat 6-tal osztva 2, 3 vagy 4 maradkot. Nincs teht olyan k pozitv egsz szm, amelyre 6 k, vagy 6 k + 2, vagy 6 k + 3, vagy 6 k + 4 prmszm lenne. Mirt? Mert 6 k = 2 3 k, 6 k + 2 = 2 3 k + 2 s 6 k + 4 = 2 3 k + 2 2 mindegyike oszthat 2-vel, 6 k + 3 = 2 3 k + 3 pedig 3-mal, ezrt mindegyiknek van valdi osztja. A hat oszlop kzl teht a msodik, a harmadik, a negyedik s a hatodik oszlop mindegyikben sszetett szmok llnak, a 2 s a 3 kivtelvel. A megmarad els s tdik oszlop szmai kzl az 1-et s az 5-tel vagy 7-tel oszthatkat kell ki-hzni, az 5 s a 7 kivtelvel. Ilyen mdon az sszes olyan sszetett szmot kihztuk, amelynek van 10-nl nem nagyobb prmosztja. Az eddig ki nem hzott szmok teht vagy 10-nl nagyobb prmszmok, vagy csak 10-nl nagyobb prmosztjuk lehetne. A 100-nl nem nagyobb egszek kztt azonban egy sincs, amelynek kt 10-nl nagyobb prmosztja is lenne, hiszen akkor ezek szorzata mr 100-nl nagyobb volna. Ezrt az sszes eddig ki nem hzott szm csak prmszm lehet. (Mivel 11 11 = 121, ebbl az is kvetkezik, hogy az ismertetett mdszerrel 120-ig megtallhatjuk az sszes prmet, csupn a 2, a 3, az 5 s a 7 tbbszrseinek kiszitlsval.)

A 2. tulajdonsg tbb sszeadand esetre is ltalnosthat:Ha az a pozitv egsz szm osztja vges szm pozitv egsz szmnak, akkor a osztja e szmok sszegnek is.

Hajni egy olyan szmtgpes programocskt rt Benc-nek, amely a szitamdszer segtsgvel kilistzza a kijelzre a prmszmokat. Legfeljebb melyik pozitv egszig tallja meg a program az sszes prmszmot, ha csak azokat az sszetett szmokat szitlja ki, amelyeknek van 100-nl ki-sebb prmosztja?

FELADAT


Bencnek egy 84 cm 126 cm-es tglalapot egyforma mret ngyzetekre kell felosztania gy, hogy a ngyzetek ol dala is csak egsz cm hosszsg lehet. a) Add meg az sszes felosztsi lehetsget!b) Mennyi a legtbb s mennyi a legkevesebb ngyzet, ami a feloszts sorn keletkezhet?

1 .

FELADAT

Ha az a pozitv egsz szm osztja a b s a c pozitv egsz szmnak is, akkor ezt a b s a c kzs osztjnak nevezzk.

Brmely kt pozitv egsz szmnak van kzs osztja, az 1, de termszetesen lehet ms kzs osztjuk is. Kt pozitv egsz szmnak nem lehet olyan kzs osztja, amely nagyobb, mint a kt szm brmelyike.

Kt vagy tbb pozitv egsz szm kzs oszti kzl a legnagyobbat a szmok legnagyobb kzs osztjnak nevezzk. Ha kt pozitv egsz szmnak egyetlen kzs osztja van (az 1), akkor ezeket relatv prm szmoknak mondjuk.

Pldula 18 s a 120 kzs oszti: 1, 2, 3, 6;a 22 s a 75 egyetlen kzs osztja az 1; ezek teht relatv prmek.

ELMLET

Egy 240 cm szles s 320 cm hossz szobt akarunk kitaptzni. A taptt azonos szlessg fggleges cskokban szeret-nnk feltenni minden falra. Maximum milyen szles cskokat vgjunk, hogy minden falra pontosan egsz szm taptacsk frjen ki?

MegoldsOlyan szmot keresnk, amely a 240-nek s a 320-nak is osztja. Az ilyen szmokat az albbi listn bekarikztuk:

a 240 oszti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240

a 320 oszti: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160, 320

Mint lthat, a legnagyobb ilyen szm a 80. Teht 80 cm szles cskokat vgjunk.

BEVEZET

LEGNAGYOBB KZS OSZT, LEGKISEBB KZS TBBSZRS5656


Ha az a pozitv egsz szm tbbszrse a b s a c pozitv egsz szmnak is, akkor ezt a b s a c kzs tbbszrsnek nevezzk.

Brmely kt pozitv egsz szmnak van kzs tbbszrse, pldul a kt szm szorzata, de termszetesen van sok ms kzs tbbszrsk is. Pldula 18 s a 120 kzs tbbszrsei: 360, 720, 1080, ;a 22 s a 75 kzs tbbszrsei: 1650, 3300, 4950, .

Kt vagy tbb pozitv egsz szm kzs tbbszrsei kzl a legkisebbet a szmok legkisebb kzs tbbszrsnek nevezzk.Pldul

A szmok A legnagyobb kzs oszt A legkisebb kzs tbbszrs4 s 15 1 608 s 24 8 24

24 s 36 12 7224, 180 s 420 12 2520

ELMLET

Hajni iskolja rajzversenyt szervez. A berkez anyagoktl fggen majd 6, 8 vagy 10 kategriban osztanak ki ju-talmakat, mindegyik kategriban ugyanakkora sszeget. Az iskola alaptvnytl 100 ezer s 200 ezer forint kztti sszegre plyzhatnak. Hajnira bzzk, szmtsa ki, hny forintot krjenek. Hajni kerek ezreseket szeretne adni az egyes kategrik jutalmazsra. Mekkora a legkisebb sz-szeg, amelyet meg kell plyzniuk?

MegoldsAz sszes kategriban kiosztott jutalom tbbszrsea 6-nak, a 8-nak s a 10-nek is. A 6 s a 8 kzs tbbszrsei: 24, 48, 72, 96, 120, 144, . Kzlk a 120 oszthat 10-zel is, ez a 6, a 8 s a 10 legki-sebb kzs tbbszrse.Teht legalbb 120 ezer forintot kell krni az alaptvnytl. Ekkor egy-egy kategria jutalmazsra6 kategria esetben 20000 forint,8 kategria esetben 15000 forint,10 kategria esetben 12000 forint jut.

PLDA

Hajni megmutatta szmtsait a rajztanrnnek, aki rvid gondolkods utn rjtt, hogy mg nagyobb sszeget is eloszthatnnak a szablyoknak megfelelen, ha nem ra-gaszkodnak az egsz ezresekhez, csak az egsz forintok-hoz. Mekkora lehet a megplyzhat legnagyobb sszeg, s mennyit kapnak ebben az esetben a djazottak?

MegoldsA legnagyobb sszeg a 120-nak az a legnagyobb tbbszr-se, ami mg belefr a megplyzhat sszegbe:200 000 : 120 1666,7, teht 1666 120 = 199 920 forintot kell megplyzni.Ebben az esetben az egy kategrira jut sszeg:6 kategria esetben 199 920 : 6 = 33 320 forint,8 kategria esetben 199 920 : 8 = 24 990 forint,10 kategria esetben 199 920 : 10 = 19 992 forint.

56. lecke LEGNAGYOBB KZS OSZT, LEGKISEBB KZS TBBSZRS 33

Egy 3,3 m 4,2 m-es tglalap alak helyisg pad-ljt azonos mret, ngyzet alak jrlapokkal szeretnnk burkolni gy, hogy a lehet legkeve-sebb darab jrlapra legyen szksg. Mekkornak vlasszuk a jrlap mreteit, ha az oldalhossza csak egsz szm cm lehet? (A jrlapok hzagtalanul illeszkednek egymshoz.)

1 .

HZI FELADAT

Idzzk fel a korbban tanultakat!Kt vagy tbb pozitv egsz szm legnagyobb kzs osztjt gy is meghatrozhatjuk: a szmokat felrjuk prmszmok szorzataknt, s a kzs prmtnyezket az elfordul legalacsonyabbik hatvnyon sszeszorozzuk.Pldul 18 = 2 3 2, 60 = 2 2 3 5, 222 = 2 3 37, 512 = 2 9, ezrt a 18 s a 60 legnagyobb kzs osztja: 2 3 = 6; a 60 s az 512 legnagyobb kzs osztja: 2 2 = 4;a 18, a 60, a 222 s az 512 legnagyobb kzs osztja: 2.

Kt vagy tbb pozitv egsz szm legkisebb kzs tbbszrst gy is meghatrozhatjuk: a szmokat felrjuk prmsz-mok szorzataknt, s az sszes szerepl prmtnyezt az elfordul legmagasabb hatvnyon sszeszorozzuk.Pldul 18 = 2 3 2, 60 = 2 2 3 5, 222 = 2 3 37, 512 = 2 9, ezrt a 18 s a 60 legkisebb kzs tbbszrse: 2 2 3 2 5 = 180;a 60 s az 512 legkisebb kzs tbbszrse: 2 9 3 5 = 7680;a 18, a 60, a 222 s az 512 legkisebb kzs tbbszrse: 2 9 3 2 5 37 = 852 480.

ELMLET

Add meg n s m legnagyobb kzs osztjt s leg-kisebb kzs tbbszrst, ha a) n = 3 4 s m = 3 7;b) n = 3 4 5 s m = 3 7 11;c) n = 3 4 5 3 s m = 3 7 5 2 11!

2 .

Bencnek 84 cm 126 cm-es tglalapokbl egy ngyzetet kell kiraknia gy, hogy a tglalapok hosz-szabb oldalai mind prhuzamosak legyenek. a) Mennyi a legkevesebb tglalap, amellyel meg-

oldhat a feladat?b) Mekkora a legkisebb kirakhat ngyzet oldala?c) Adj meg kt msik lehetsget is!

2 .

FELADAT

Prmtnyezkre bonts segtsgvel hatrozd meg az 1995 s a 3325 legnagyobb kzs osztjt s leg-kisebb kzs tbbszrst!

3 .


Internetes aukcis oldalakon (mint pl. az eBay.com vagy a Vatera.hu) rendszerint megadhatjuk, hogy az egyes meghirdetett rucikkek mennyi ideig le-gyenek elrhetek. Bellthatjuk azt is, hogy ha a megadott idtartam alatt nem kel el a termk, akkor a rendszer jra meghirdeti azt, ugyanolyan idtartamra. Tegyk fel, hogy egyszerre hirdetjk meg a rgi kenyrpirtnkat 8 napos ciklussal s a megunt szmtgpes jtkunkat 6 napos ciklussal. Legkzelebb hny nap mlva indul egyszerre a kt aukci, ha kzben egyiket sem vettk meg?

Adj meg egy olyan szmot, amelynek a 24-gyel vett a) legnagyobb kzs osztja 6;b) legkisebb kzs tbbszrse 72;c) legnagyobb kzs osztja 8 s legkisebb kzs

tbbszrse 48!

Magyarorszgon az orszggylsi kpviselket 1990 ta ngyvente vlasztjk. A kztrsasgi el-nkt ugyanettl az vtl tvente.

3 .

4 .

5 .

a) Legkzelebb mikor fogjuk mindkt vlasztst ugyanabban az vben tartani?

b) Az Eurpai Parlament kpviselit is t vre v-lasztjk meg, Magyarorszg elszr 2004-ben kldhetett kpviselket. Legkzelebb mikor tartunk ugyanabban az vben magyar s eur-pai parlamenti vlasztsokat?

c) Ha nem trtnik vltozs, legkzelebb mikor fogjuk ugyanabban az vben tartani mindh-rom vlasztst?

Lehetsges, hogy a legnagyobb kzs oszt s a legkisebb kzs tbbszrs meghatrozshoz nem kell ismernnk a sz-mok prmtnyezs felbontst. Ilyen eset pldul, ha a kt pozitv egsz szm egyike osztja a msiknak, vagy a kt pozitv egsz szm relatv prm.

KIEGSZT ANYAG

Ha a osztja b-nek, akkor a s b legnagyobb kzs osztja az a szm, s legkisebb kzs tbbszrse a b szm.Pldul a 9 osztja a 36-nak, ezrt e kt szm legnagyobb kzs osztja a 9, a legkisebb kzs tbbszrse a 36.

Ha az a s a b relatv prm szmok, akkor a s b legnagyobb kzs osztja 1, s legkisebb kzs tbbszrse a b.Pldul a 12 s a 25 relatv prmek, ezrt a legnagyobb kzs osztjuk 1, s legkisebb kzs tbbszrsk 12 25 = 300.

ELMLET

Hatrozd meg az albbi szmok legnagyobb kzs osztjt s legkisebb kzs tbbszrst!a) 2 3 5 7 s 2 5 3 5 8 c) 2 3 5 7; 2 2 5 3; 2 4 5 8 e) 39 s 351b) 2 3 5 7 s 3 2 11 19 4 d) 740 s 63 f) 12, 36 s 144

FELADAT

56. lecke LEGNAGYOBB KZS OSZT, LEGKISEBB KZS TBBSZRS 35

Egy ruhzlnc kzponti raktrban 5 15 20 cm mret bonbo nos do bozokat szeretnnek nagy kar ton do bozokba csomagolni. Eze ket a bonbonos do bo zoknak tel je sen ki kell tl tenik, fggetlenl attl, hogy melyik lapjukra lltva kezdtk belerakni ket. Legalbb mekkora legyen a kartondoboz hosszsga, szlessge s magassga? Feltesszk, hogy mindegyik bonbonosdobozt ugyanolyan llsban helyezik el, mint a legelst.

1 .

CSOPORTMUNKA

Nhny egyszer oszthatsgi szablyt mr az ltalnos iskolban megismertnk.

Azok s csak azok a pozitv egsz szmok oszthatk 2-vel, amelyeknek az utols szmjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8.

Ezeket a szmokat, az ellentettjket s a 0-t egytt pros szmoknak, a nem pros egsz szmokat pedig pratlan sz-moknak nevezzk.

Azok s csak azok a pozitv egsz szmok oszthatk 3-mal, amelyekben a szmjegyek sszege oszthat 3-mal; 4-gyel, amelyekben az utols kt jegybl ll szm egy termszetes szm ngyszerese; 5-tel, amelyeknek az utols szmjegye 0 vagy 5; 6-tal, amelyek 2-vel is s 3-mal is oszthatk; 8-cal, amelyekben az utols hrom jegybl ll szm egy termszetes szm 8-szorosa; 9-cel, amelyekben a szmjegyek sszege oszthat 9-cel; 10-zel, 100-zal, 1000-rel, (10 n-nel), amelyeknek az utols 1, 2, 3, (n) szmjegye 0; 25-tel, amelyekben az utols kt szmjegy 00, 25, 50 vagy 75.

Pldula 4356 oszthat 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 9-cel, de nem oszthat 5-tel, 8-cal, 10-zel, 25-tel, 100-zal;a 72 000 oszthat 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 8-cal, 9-cel, 10-zel, 25-tel, 100-zal, 1000-rel.

ELMLET

OSZTHATSGI FELADATOK5757


Bontsd fel az 1260 szmot prmtnyezk szorzatra, s a prmtnyezkbl lltsd ssze az 1260 sszes osz-tjt! Sikerlt megtallnod mind a 36 osztt?

Pierre Fermat francia jogsz s matematikus 1636-ban fogalmazta meg a ksbb rla elnevezett kis Fermat-ttel-t: Ha p prmszm, a pedig tetszleges pozitv egsz, akkor az a p a szm oszthat p-vel.Ellenrizd az llts helyessgt a kvetkez esetek-ben!a = 2 s p = 3 a = 2 s p = 5a = 3 s p = 3 a = 3 s p = 5a = 4 s p = 3 a = 4 s p = 5Szmolgppel ellenrizd az lltst nhny nagyobb szmra is!a = 4 s p = 7a = 5 s p = 13a = 8 s p = 11

Egy htvgi csaldi akadlyverseny-sorozat els versenyre 144 csald jelentkezett elzetesen, a m-sodikra csak 120, a harmadikra pedig 100. A szer-vezknek olyan csoportokat kell alkotniuk, amelyek mindegyikben ugyanannyi csald van, hogy egyik csoport se tartsa fel a tbbit egyetlen feladatnl sem. Mi legyen a maximlis csoportmret, ha azt akarjuk, hogy egyetlen benevezett csald se maradjon ki egyik htvgn sem, akr 144, akr 120, akr 100 versenyz csald indul?

2 .

3 .

4 .

Igazak-e az albbi lltsok? Vlaszodat indokold!a) Ha egy szm oszthat 3-mal, akkor a ngyzete is

oszthat 3-mal. b) Ha egy szm ngyzete oszthat 3-mal, akkor a

szm is oszthat 3-mal.c) Ha egy szm oszthat 3-mal, akkor a ngyzete

oszthat 9-cel.d) Ha egy szm oszthat 4-gyel, akkor a ngyzete is

oszthat 4-gyel. e) Ha egy szm ngyzete oszthat 4-gyel, akkor a

szm is oszthat 4-gyel.f) Ha egy szm oszthat 4-gyel, akkor a ngyzete

oszthat 16-tal.g) A 10 minden 1-nl nagyobb kitevj hatvnya

oszthat 25-tel.h) Brmely hrom egymst kvet pozitv egsz

szm szorzata oszthat 6-tal.i) Brmely t egymst kvet pozitv egsz szm

szorzata 0-ra vgzdik.j) Ha egy szm oszthat 4-gyel, akkor az azt kvet

msodik legkisebb pros szm is oszthat 4-gyel.k) Ha egy sszetett szm oszthat 3-mal, akkor azt

tetszleges mdon kt pozitv egsz tag sszegre bontva, e tagok is oszthatk lesznek 3-mal.

l) Ha egy sszetett szm oszthat 3-mal, akkor azt tetszleges mdon kt pozitv egsz tnyez szor-zatra bontva, e tnyezk is oszthatk lesznek 3-mal.

5 .

57. lecke OSZTHATSGI FELADATOK 37

A 7-tel val oszthatsg ellenrzse

Hromjegy szmokhoz j mdszer a kvetkez: hagyjuk el az egyesek helyn ll szmjegyet, majd az gy kapott ktjegy szmbl vonjuk le az elhagyott szmjegy ktszerest. Ha az eredmnyl kapott szm egy egsz szm 7-szerese, akkor az eredeti hromjegy szm is az; ha nem, akkor az eredeti sem.E szably alapjn llaptsd meg, hogy a szmok kzl melyik oszthat 7-tel!352, 805, 959, 410

1 .

RADS

Pros vagy pratlana) kt pros szm sszege;b) kt pratlan szm sszege;c) egy pros s egy pratlan szm sszege;d) kt pratlan szm szorzata;e) kt pros szm szorzata;f) egy pratlan s egy pros szm szorzata?

Mekkora maradkot adnak a 2-vel, a 3-mal, a 4-gyel, az 5-tel, a 6-tal, illetve a 10-zel val oszts-nl a kvetkez szmok?

a) 630 b) 306 c) 968 d) 1395

Bence azt lltja, hogy egy legalbb 2-jegy pozitv egsz szm ugyanannyi maradkot ad 3-mal oszt-va, mint a szmjegyeinek sszege. Hajni ezt el is hitte, s azt mondta, hogy ez a 9-re is igaz. Egyetr-tesz-e Bencvel s Hajnival?

Hajni meghvta Mrtit, Drit, Annt s Barbart is a szletsnapjra. Hajni mindegyikket ismeri, de azt nem tudja, hogy a ngy meghvott lny isme-ri-e egymst. Mely esetek lehetsgesek a ngy lny-ra vonatkozan az albbiak kzl, s melyek nem? Indokold a vlaszaidat (rajzolj grfokat)!a) Mrti csak Drit ismeri, a tbbieknek egynl

tbb ismersk van. b) Mrti hrom lnyt ismer, a tbbieknek csak

kt-kt ismersk van.c) Ha sszeadjuk az ismeretsgek szmt, akkor

12-t kapunk eredmnyl.d) Ha sszeadjuk az ismeretsgek szmt, akkor

9-et kapunk eredmnyl.

1 .

HZI FELADAT

2 .

3 .

4 .

Egy ruhzlnc kzponti raktrban 4 16 20 (cm) mret bonbonosdobozokat szeretnnek nagy kartondobozokba csomagolni. A bonbonosdobo-zoknak teljesen ki kell tltenik a kartondobozo-kat, fggetlenl attl, hogy melyik lapjukra lltva kezdtk berakni ket. Minden dobozt ugyanolyan llsban helyeztek el, mint a legelst.a) Legalbb mekkora legyen a kartondoboz hosz-

szsga, szlessge s magassga? b) Hny doboz fr el a legkisebb megfelel doboz-

ban?c) Ha valamirt mgsem a legkisebb megfelel

dobozt hasznljk, akkor mekkora a kvetkez legkisebb mret megfelel doboz, s ebben hny bonbonosdoboz fr el?

5 .


Igazoljuk, hogy 5 egymst kvet pozitv egsz szm szorzata oszthat 120-szal!

Megolds120 = 2 3 3 5, teht az 5 egymst kvet egsz szm szor-zatban legalbb hromszor kell elfordulnia a 2, egyszer a 3 s egyszer az 5 prmtnyeznek.Minden tdik pozitv egsz szm oszthat 5-tel, teht az 5 egymst kvet szm kztt az egyik ppen ilyen. Ebben megtallhat az 5 prmtnyez.Minden harmadik pozitv egsz szm oszthat 3-mal, teht az 5 egymst kvet szm kztt legalbb az egyik ilyen. Ebben megtallhat a 3 prmtnyez.Minden msodik pozitv egsz szm oszthat 2-vel, s min-den msodik pros szm oszthat 4-gyel. Az 5 egymst k-vet szm kztt teht legalbb az egyik oszthat 4-gyel, egy msik pedig 2-vel. Ebbl a kt szmbl kapunk hrom 2 prmtnyezt.

1 .

KIEGSZT ANYAG

Legyen az n egy 1-nl nagyobb, 3-mal nem osztha-t pratlan szm. Keresd meg az n kt szomszdjt! Bizonytsuk be, hogy ezeknek a szorzata oszthat 24-gyel!

Igazold, hogy brmely kt pozitv egsz szm szorza-ta ugyanannyi, mint a legnagyobb kzs osztjuk s a legkisebb kzs tbbszrsk szorzata!

Egy tjegy szm els szmjegye nagyobb, mint az utols. Igazold, hogy ha ebbl a szmbl kivonjuka fordtottjt, akkor 9-cel oszthat szmot kapunk!

Mely szmok esetben igaz, hogy ha kivonjuk belle a fordtottjt, akkor 9-cel oszthat szmot kapunk?

2 .

3 .

4 .

5 .

Oszthatsg 11-gyel

A kvetkez szmok mind oszthatk 11-gyel: 10 + 1, 100 1, 1000 + 1.a) Folytasd a megkezdett sorozatot, s ellenrizd szmolgppel, igaz marad-e a 11-gyel val oszthatsg!b) Melyik oszthat 11-gyel: 10 4 + 1; 10 4 1; 10 5 + 1; 10 5 1; 10 9 + 1; 10 9 1?c) Ellenrizd, hogy helyes-e a kvetkez gondolatmenet!

247 = 2 10 2 + 4 10 1 + 7 = 2 99 + 2 + 4 11 4 + 7.Teht 247 = 2 9 11 + 4 11 + 2 4 + 7 = 22 11 + (2 4 + 7). Mivel 2 4 + 7 = 5, ezrt a 247-et 11-gyel elosztva 5 maradkot kapunk. A 247 teht nem oszthat 11-gyel.

d) Vizsgljuk az 572-t 11-gyel val oszthatsg szempontjbl. Mivel 5 7 + 2 = 0, a c) feladat alapjn azt gondolhat-juk, hogy 11 | 572.Mutasd meg, hogy helyes a sejts (rd fel az 572-t gy, ahogyan a c)-ben a 247-et)!

e) Szmolgp s a 11-gyel val oszts elvgzse nlkl mutasd meg, hogy a kvetkez szmok mind oszthatk 11-gyel! 352, 3190, 5599, 6391

Egy pozitv egsz szm pontosan akkor oszthat 11-gyel, ha a szmjegyeit vltakoz eljellel sszeadva olyan szmot kapunk, amely egy egsz szm 11-szerese.

2 .

57. lecke OSZTHATSGI FELADATOK 39

SZMRENDSZEREK5858

Benck osztlykirndulson elltogattak egy csokigyrba. Bencnek nagyon tetszett egy automata csomagolgp. Sokig fi gyelte, hogyan mkdik. A gp 12 csokoldbon-bont tett egy kisebb dszdobozba, majd 12 dszdobozt egy nagyobb kartondobozba. A gpen egy szmll jelezte, hogy hny bonbon rkezett (az elz munkafzis utn) a csomagolgpbe.

Bence megfi gyelte, hogy a kijelz azt mutatja, hogy 1347 szem bonbon kerlt aznap reggel a csomagolgpbe. Hny dszdoboz, s hny kartondoboz telt meg ezekkel a bonbo-nokkal?

12 bonbon tesz ki egy tucatot, 12 dszdoboz (egy karton) pedig egy nagytucatot. A nagytucatban 12 12 = 144 bonbon van.

teht a gp 112 dszdobozba tett 12-12 bonbont, s ma-radt mg 3 bonbon.

Hny kartondoboz telt meg a dszdobozokkal?112 : 12 = 9, teht megtelt 9 karton s maradt 4 dszdoboz. 4

Az 1347 bonbon kitett 9 kartont, 4 dszdobozt s 3 bonbont.Mskpp: 1347 bonbon = 9 nagytucat + 4 tucat + 3 darab

Bence egy tblzatba feljegyezte, hny kartondoboz lett tele, hny dszdoboz maradt, amely nem tett ki egy kartont, s hny bonbon maradt.

A tblzat alapjn Bence ezt rta fel a bonbonok szmra: 94312. Mirt?Bence a 12-es szmrendszerben adta meg a bonbonok szmt. A szm megadsakor jelezte a csoportosts alapszmt: ez a 12.A 94312 teht a kvetkezt jelenti: 3 bonbon maradt, amely nem tett ki egy dszdobozt, a kartondobozokon kvli dszdobo-zokban pedig 4 12 bonbon van. Egy kartondobozban sszesen 12 12 = 12 2 bonbon van, a 9 kartonban sszesen 9 12 2.Bence teht a 9 12 2 + 4 12 + 3 sszeget rta fel gy: 94312.

A 10-es szmrendszerben a bonbonok szmt gy rjuk le: 1347.Ezt mi gy rtjk: 1347 = 1 10 3 + 3 10 2 + 4 10 1 + 7.Vagyis 7 egyes, 4 tzes, 3 szzas s 1 ezres csomagban van sszesen annyi bonbon, ami a gpbe eddig bekerlt.Ennyi bonbont jelent a 94312 jells is, ezrt 94312 = 1347.

BEVEZET

Kartondobozokszma

Dszdobozok szma, amelyek nem kerltek

kartonba

Bonbonok szma, amelyek nem kerltek

dobozba

9 4 3

an.

nt, s ma-1347 : 12 = 112, 14 27 3


Egy msik fajta bonbonbl 8 kerl egy dszdoboz-ba, s 8 dszdoboz egy kartonba. Bence a bonbo-nok szmt gy adta meg: 7258.

1 .

FELADAT

A pozitv egsz szmokat helyi rtkes rendszerben, a tzes szmrendszer szerint szoktuk felrni. Ehhez 10 jelet haszn-lunk, a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 szmjegyeket.

Mi a tzes szmrendszer lnyege?Ha sok megszmllni val dolog van, akkor azokat tzesvel csoportostjuk, s feljegyezzk, hny darab maradt kia csoportostsbl.Pldul66 = 6 10 + 6;15 823 = 1 10 000 + 5 1000 + 8 100 + 2 10 + 3 = 1 10 4 + 5 10 3 + 8 10 2 + 2 10 + 3.

Hasonl a tbbi szmrendszer alapelve is. Minden szmrendszerben annyi szmjegyre van szksg, amennyi a szmrend-szer alapszma.

Pldula kettes szmrendszerben kt szmjegyre van szksg; ezek lehetnek a szoksos rtelemben hasznlt 0 s az 1 is;a nyolcas szmrendszerben nyolc szmjegyre van szksg; ezek lehetnek a szoksos rtelemben hasznlt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 s 7.

Ha egy szmot a 10-estl eltr szmrendszerben rtunk fel, azt a szmjegyek utn alul, egy kisebb szmmal jelljk.

Pldul201234 azt jelenti, hogy itt egy 4-es szmrendszerben felrt szmrl van sz.

A kettes szmrendszer tudomnyos alkalmazsa Neumann Jnos (19031957) vilghr matematikus nevhez fzdik. alkotta meg ennek segtsgvel a szmtgpek alapjul szolgl elmletet. lete nagy rszt Nmetorszgban s az Egye-slt llamokban tlttte, de Budapesten doktorlt. A matematika szmos gval foglalkozott kiemelked eredmnnyel, tudsval a gyakorlati letet kvnta szolglni.

ELMLET

Hny bonbont jelzett a szmll? A bonbonok szmt add meg 10-es s 12-es szmrendszerben is!

58. lecke SZMRENDSZEREK 41

Csilla vgl megtallja mind a 25 do b kockjt. Hogyan rhatn fel a sajt kettes szm rendsze rt hasznlva a kockk szmt?

2 .

FELADAT

A csomagolgp klnbz fajta bonbonokat k-lnbz csoportosts szerint dobozol. Hny bon-bont csomagolt sszesen, ha Bence gy jegyezheti le: 10006 + 1008 + 1012?

Igazak-e a kvetkez kijelentsek?a) 100 = 1448b) 100 = 11001002c) 100 = 8412

1 .

HZI FELADAT

2 .

Bence hozott kstolt a csokoldbl, majd elmeslte otthon, hogyan mkdik a csomagolgp, s hogyan rta fel a bon-bonok szmt. Csilla jtkbl utnozza a gpet, a dobkockit csoportostja. Kettesvel kpez nagyobb csoportokat. Kt kockt egy prnak nevez, kt prt egy kupacnak, kt kupacot egy halomnak s kt halmot egy csomnak.Vgl, mg Bence jellst is utnozva, ezzel a jelsorozattal rja le a megtallt kockinak szmt: 101112. Megtallta-e Csilla mind a 25 dobkockjt?

MegoldsKsztsnk tblzatot!

Hny kockbl ll egy csoport?

Csom2 2 3 = 2 4

Halom2 2 2 = 2 3

Kupac2 2 = 2 2

Pr2

Magnyos1

Hny van belle? 1 0 1 1 1

Csilla teht 1 csom + 1 kupac + 1 pr + 1 magnyos = 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 kockt tallt meg, vagyis ssze-sen 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23 darabot. Mg kt kocka hinyzik.

PLDA

Add meg 10-es szmrendszerben a kvetkez sz-mokat!a) 102 e) 1002 i) 10002b) 103 f) 1003 j) 10003c) 108 g) 1008 k) 10008d) 1025 h) 10025 l) 100025

rd fel 4-es s 8-as szmrendszerben is a 25-t!

3 .

4 .

A legnagyobb 8-bites szm az 111111112. Meny-nyi ez a 10-es szmrendszerben felrva?

Vgezd el a kvetkez sszeadsokat! Az ered-mnyt ugyanabban a szmrendszerben add meg, amelyben az sszeadandk vannak megadva!

a) 1112 + 12 = c) 5556 + 16 =b) 2223 + 13 = d) 999 + 1 =

3 .

4 .


Ha n az 1-nl nagyobb egsz szm, akkor ltezik n-es szmrendszer. Ebben n jelet hasznlunk. Ha n < 10, akkor ltalban a 0, 1, 2, 3, 4, , n 1 szmjegyeket hasznljuk. Ha n > 10, akkor a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 szmjegyeken kvl mg ms jeleket is be kell vezetni. Pldul a 10-et A-val, a 11-et B-vel, a 12-t C-vel, jellhetjk.

A szmtstechnikban, informatikban az adatokat 1-ek s 0-k sorozataknt kezelik. Erre azrt van szksg, mert a szmtgpek csak kt llapotot ismernek fel: a van jel (1) s a nincs jel (0) llapott. Az informci trolsa is ilyen mdon trtnik; a lemez megfelel szakasza vagy mgnesezett (1), vagy nem (0). A CD/DVD-lemez tkrfellete vagy visszaveri a lzersugarat az rzkelbe (1), vagy nem (0).Klnbz szmokat a kettes szmrendszer segtsgvel tudunk 1-ek s 0-k sorozatra trni.

Mennyi az 100110102 szm a tzes szmrendszerben felrva?

Helyi rtk 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1Alaki rtk 1 0 0 1 1 0 1 0Valdi rtk 128 0 0 16 8 0 2 0

Ez a szm a tzes szmrendszerben: 128 + 16 + 8 + 2 = 154.

A kettes szmrendszerben felrt szmokkal az a legnagyobb problma, hogy nagyon hosszak.rjunk fel egy olyan, viszonylag nem tl nagy szmot, mint a 6700, a kettes szmrendszerben!6700 = 4096 + 2048 + 512 + 32 + 8 + 4.Helyirtk-tblzattal:

Helyi rtk 2 12 2 11 2 10 2 9 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 1Valdi rtk 4096 2048 512 32 8 4Alaki rtk 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0

Teht 6700 = 11010001011002.Ez 13 szmjegy!

Elterjedt ezrt egy msik, a 16-os (hexadecimlis) szmrendszer hasznlata is. Ebben a szmrendszerben a hagyomnyos 10 szmjegynl tbbre van szksg, gy az bc betit is segtsgl hvtk:A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.6700-at a 16 hatvnyaival felrva a kvetkezt kapjuk:6700 = 1 4096 + 10 256 + 2 16 + 12 1.Helyirtk-tblzattal:

Helyi rtk 16 3 16 2 16 1 1Valdi rtk 1 4096 10 256 2 16 12 1Alaki rtk 1 A 2 C

Teht 670010 = 1A2C16. Ez mindssze 4 szmjegy!

RADS

58. lecke SZMRENDSZEREK 43

rjuk t a 201234 szmot 10-es szmrendszerben!

MegoldsKsztsnk helyirtk-tblzatot, ebbe rjuk be az adott szmjegyeket!

Helyi rtk 4 4 4 3 4 2 4 1Alaki rtk 2 0 1 2 3Valdi rtk 2 4 4 = 512 0 4 3 = 0 1 4 2 = 16 2 4 = 8 3

Eszerint 201234 = 512 + 16 + 8 + 3 = 539.

rjuk fel a 315-t 6-os szmrendszerben!

MegoldsKpzeljk el, hogy 315 golyt hatosval csoportostunk. 6-6 golyt celofnba csomagolunk, 6-6 kis csomagot pa-przacskkba tesznk, 6-6 zacskt pedig szatyrokba. gy egy zacskban 6 2 = 36 goly lesz, egy szatyorban pedig 6 3 = 216. Hny szatyor s hny zacsk telik meg?

Els mdszer315 = 52 6 + 3, teht 52 kis csomagunk, vagyis hatos cso-portunk lesz, s kimarad 3 goly.52 = 8 6 + 4, teht 8 zacsk telik meg, vagyis 8 harminc-hatos csoportunk lesz, s kimarad 4 kis csomag (hatos cso-port).8 = 1 6 + 2, teht a 8 zacskval 1 szatyrot tudunk megtlteni: 1 ktszztizenhatos csoportunk lesz, s kimarad 2 zacsk (harminchatos csoport).

216-os 36-os 6-os 1-es1 2 4 3

Teht315 = 1 216 + 2 36 + 4 6 + 3 = 1 6 3 + 2 6 2 + 4 6 + 3,vagy rviden: 315 = 12436.

Msodik mdszerMegtltnk 1 szatyrot 216 golyval, marad 315 216 = 99 goly. 99 = 2 36 + 27, ezrt a 99 golyval 2 zacskt tlthetnk meg, s marad 27 goly. 27 = 4 6 + 3, ezrt 4 kis csomagot kszthetnk, s marad 3 goly.A vastagon rt szmokat egyms mell helyezzk. gy kapjuk meg, hogy 315 = 12436.

1 .

PLDA

2 .

CSOMAGOLUNK5959


rd fel a 20-nl nem nagyobb pozitv egsz szmo-kat kettes, hrmas, ngyes s ts szmrendszer-ben! Tltsd ki a tblzatot a fzetedben!

Szmrendszer alapszma

10-es szmrendszer-ben felrt szm 2 3 4 5

1 1

2

3

4 10

5 101 10

6 20

7

8 13

9

10 1010 101

11 23

12 110

13

14 24

15 1111

16 10000 100

17

18 200

19

20 110 40

1 .

A magyar krtya lapjainak szma 32. rd fel ezt a szmot kettes, ngyes, nyolcas, tizenhatos s 32-es szmrendszerben is!

A szmtgp sszeadsokat vgez. Melyik kt sz-mot adta ssze, s mi lett az sszeads eredmnye? Jl szmolt a gp?a) 100012 + 100102 = 1000112b) 1010102 + 1001112 = 10100012

a) A 77 magyar npmese cm knyvet lehetne-e ezzel a cmmel is kiadni: 1407 magyar np-mese?

1 .

HZI FELADAT

2 .

3 .

b) A 145 kiskutya. Melyik szmrendszerben r-tk fel a kedves rajzfi lm cmt?

c) Hny jszaka az 1001 jszaka, ha a felrt jelsoro-zat kettes szmrendszerben rtend?

rd fel a 813-at kettes szmrendszerben!

Az ts szmrendszerben vgeztk el az albbi szorzst. Sajnos az egyik szmjegyet nem jl ll-tottk be, azt nem ismeri fel a szmtgp, s # jelet r helyette. Mi az ismeretlen szmjegy?4#205 305 = 224#005

4 .

5 .

A 315 golyt mskpp csomagoljuk. 8 golyval egy kis csomagot, 8 kis csomaggal egy zacskt, 8 zacs-kval egy dobozt tltnk meg. a) Hny goly fr egy zacskba, s mennyi egy do-

bozba?b) Melyikbl mennyi lesz?c) rd fel nyolcas szmrendszerben a 315-t!

a) rd fel az 10111011112 szmot 10-es szmrend-szerben!

b) rd fel a 491-et kettes szmrendszerben!

Vgezd el a szorzsokat! Az eredmnyt is kettes szm rendszerben add meg!a) 1012 102 = c) 1012 10002 = b) 1012 1002 = d) 1012 1000002 =

A ngyes szmrendszerben melyik a legnagyobb ngyjegy szm? Szmold t ezt tzes szmrend-szerbe s kettes szmrendszerbe!

Egy 4-es szmrendszerben felrt ngyjegy szm els szmjegye 3, msodik szmjegye 1. Milyen lehet ennek a szmnak a tzes szmrendszerbeli alakja?

2 .

3 .

4 .

5 .

6 .

FELADAT

59. lecke CSOMAGOLUNK 45

A kettes szmrendszerben felrt hossz szmok az emberek szmra nehzkesen kezelhetk. Ezrt is van nagy jelent-sge annak, hogy ezeket a szmokat meglehetsen knny a jval kevesebb jegy ngyes, nyolcas vagy ppen 16-os szmrendszerbe felrni. Ez utbbit kedvelik a programozk is. Nzzk, hogyan lehetsgesek az tvltsok!

Figyeljk meg a tblzatban mutatkoz szablyossgot!

Kettes szmrendszer Ngyes szm-rendszer0 0

1 1

1 0 2

1 1 3

1 0 0 1 0

1 0 1 1 1

1 1 0 1 2

1 1 1 1 3

1 0 0 0 2 0

1 0 0 1 2 1

1 0 1 0 2 2

1 0 1 1 2 3

1 1 0 0 3 0

1 1 0 1 3 1

1 1 1 0 3 2

1 1 1 1 3 3

A kettes szmrendszerben felrt szm szmjegyeit htul-rl elindulva kettes csoportokba osztjuk. A kettes csoport-ban lthat ktjegy szmnak a ngyes szmrendszerben 0, vagy 1, vagy 2, vagy 3 felel meg.Semmi mst nem kell tennnk a ngyes szmrendszerre val ttrshez, mint ezeket a szmjegyeket rendre egyms mell rni:

Kettes 1 0 1 1

Ngyes 2 3

Teht 10112 = 234.

A mdszer termszetesen visszafel is mkdik.

Ngyes 1 2

Kettes 0 1 1 0

Teht 124 = 1102 (a kezd 0-t nem rtuk ki).

RADS

Hosszabb, kettes vagy ngyes szmrendszerben felrt szm-ra is ugyangy hasznlhat a mdszer.

Kettes 1 1 0 0 0 0 1 1 1

Ngyes 1 2 0 1 3

Teht 1100001112 = 120134.

Ngyes 3 0 1 2

Kettes 1 1 0 0 0 1 1 0

Teht 30124 = 110001102.

A nyolcas szmrendszerre val tvltshoz (htulrl kezdve) hrmasval kell csoportostani a kettes szmrend-szerben felrt szmot, a 16-os szmrendszerhez pedig n-gyesvel.Pldul rjuk fel az 11101111000101012 szmot 8-as s 16-os szmrendszerben is!

2-es 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1

8-as 1 6 7 4 2 5

2-es 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1

16-os E F 1 5

Teht 11101111000101012 = 1674258 = EF1516.(Itt E-vel a 14-et, F-fel a 15-t jelltk.)

A mdszer visszafel is mkdik. Pldul:

16-os 7 A D

2-es 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1

Teht 7AD16 = 111101011012 (a kezd nullt, nullkat nem rjuk le). (A = 10 s D = 13.)

A kettes szmrendszerben dolgoz szmtgpek egyszer-re csak kt szmot kpesek sszeadni, s ezt az sszeadst gy vgzik, ahogyan mi a tzes szmrendszerben papron sszeadunk:Az egyesek helyi rtkn ll szmjegyeket sszeadjuk (az sszeads eredmnye 0 s 18 kztt lehet), az eredmny utols szmjegyt lerjuk. Ha elrtk vagy tlptk a 10-et, akkor a kvetkez oszlop sszeadsnak ered-mnyhez hozzadunk 1-et (az sszeg teht 0 s 19 kztt lehet). Az utols jegyet ismt lerjuk stb.

828+2531081


111

0

0

1

1 1

0 1 0

00

01 0 1 0 1 1 0

A 12-es szmrendszerben 12 szmjegyre van szk-sg. Ezek a kvetkezk: a szoksos tz szmjegy 0-tl 9-ig (a szoksos jelentssel), tovbb az A s a B a tz s a tizenegy jellsre.

rjuk fel a kvetkez szmokat 10-es szmrend-szerben!a) A512 b) 4B712 c) BBB12

Megoldsa) A512 = 10 12 + 5 = 125.b) 4B712 = 4 12

2 + 11 12 + 7 == 576 + 132 + 7 = 715.

c) Szoksos mdszer: BBB12 = 11 12

2 + 11 12 + 11 == 1584 + 132 + 11 = 1727.

gyes mdszer:BBB12 + 112 = 100012 = 12

3 = 1728, teht BBB12 = 12

3 1 = 1727.

1 .

FELADAT

KIEGSZT ANYAG

Egy msik teremben lv csomagolgp 12-es cso-portosts szerint dolgozik. Bence gy jegyezte fel a bonbonok szmt: BAB12. a) Hny bonbon kerlt a gpbe?b) Igaz-e, hogy BAB12 = 100012 1112?

rd fel a 813-at 12-es szmrendszerben!

Vgezd el a szorzsokat! Az eredmnyt is hrmas szmrendszerben add meg!

a) 213 103 = c) 213 10003 =b) 213 1003 = d) 213 100003 =

2 .

3 .

4 .

A szmtgp is gy ad ssze, csak kettes szmrendszer-ben az sszeads meglepen gyorsan megy. Ha egy helyi rtken kt 0-t kell sszeadni, akkor az eredmny is 0. Ha egy 0-t s egy 1-et adunk ssze, akkor az eredmny 1. Ha pedig kt 1-est adunk ssze, akkor az 2, ami a kettes szm-rendszerben az adott helyi rtken 0-t, az eggyel nagyobb helyi rtken pedig + 1-et jelent (akrcsak a 10 a tzes szmrendszerben).

(Ez az sszeads a tzes szmrendszerbeli108 + 42 = 150 mveletnek felel meg.)

59. lecke CSOMAGOLUNK 47

Pontostsuk a szmokrl korbban szerzett ismereteinket!Azokat a szmokat, amelyek felrhatk kt egsz szm hnyadosaknt, racionlis szmoknak nevezzk.

Az egsz szmok is racionlis szmok, mert felrhatk kt egsz szm hnyadosaknt: 5 = 15 : 3; 8 = (8) : 1, 0 = 0 : 7 stb.

A racionlis szmok felrhatk trt alakban is, pldul: 23, 7

4, 16

8, 35

12 stb.

Figyeljnk meg olyan trteket, amelyeknl a szmll is s a nevez is pozitv egsz szm, s a szmll nagyobb a ne-veznl! Ezek talakthatk termszetes szmm vagy vegyes szmm (egy egsz szm s egy 1-nl kisebb pozitv trt sszegv). A vegyes szmban az sszeads jelt nem rjuk ki.

Pldul 74

= 44+

34

= 1 + 34

= 134; 16

8= 2; 35

12= 24

12+

1112

= 2 + 1112

= 21112

.

A racionlis szmok halmaznak a jele Q, a latin quotiens (ejtsd: kvciens) szbl, ami hnyadost jelent. A pozitv, illetve a negatv racionlis szmok halmaznak a jele Q +, illetve Q .

Kt racionlis szm sszege is, klnbsge is, szorzata is racionlis szm.

Pldul29+

56

= 418

+1518

=1918

; 29

56

= 418

1518

= 1118

; 2956

= 1054

= 527

; 5 112

+ 334

= (5 + 3) + 112

+912

= 8 + 1012

= 856;

5 112

334

= (5 3) + 112

912

= 2 812

= 2 23

= 113; 5 1

12 33

4= 61

12154

= 91548

= 30516

= 19 116

.

Kt racionlis szm hnyadosa is racionlis szm, ha az oszt nem 0.

Pldul29: 56

= 2965

= 1245

= 415

; 5 112

: 3 34

= 6112

: 154

= 6112

415

= 61 412 15

= 613 15

= 6145

= 11645

.

A 0-val val osztsnak nem adunk rtelmet.

A fenti szmtsokban a trtek egyszerstst s bvtst is tbbszr alkalmaztuk. Ezt a kvetkez rn fogjuk gya-korolni.

talakts tizedes trttFoglalkozzunk olyan trtekkel, amelyeknek a szmllja is s a nevezje is pozitv egsz szm! Ezek mind talakthatk egsz szmm vagy tizedes trtt gy, hogy a trt szmlljt elosztjuk a nevezjvel. Ha a szmll tbbszrse

matematika 9

Documents