MATEMATİKMATEMATİK6. SINIF6. SINIF

KONU: KÜMELERKONU: KÜMELER

Küme Kavramı: İyi tanımlanmış birbirinden farklı, birtakım nesneler topluluğu küme belirtir. Kümenin oluşması için elemanlarının açık ve kesin olarak söylenmesi gerekir.

Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine bu kümenin elemanı denir. Genel olarak kümeler A, B, C, D … gibi büyük harfle gösterilir. Bir "a" elemanı kümeye aitken  a A, ait değilken a A  şeklinde gösterilir.

Her topluluk bir küme oluşturmaz.

ÖRNEK:Okulumuzdaki 10 öğrencinin topluluğu küme değildir. Hangi öğrencilerin bu topluluğun elemanı olduğu belirtilmemiştir.

ÖRNEK:"CAN" sözcüğünün harflerinin oluşturduğu topluluk bir kümedir ve elemanları C, A, N‘ dir.

Belirsiz sözler küme oluşturmaz.

ÖRNEK:Sınıfımızdaki güzel kızlar, okulumuzdaki çalışkan öğrenciler, apartmanımızdaki iyi insanlar gibi.

1) Liste Yöntemi1) Liste Yöntemi

Kümenin elemanlarını { } biçimindeki bir parantezin içine yazarak gösterilmesidir.

ÖRNEK:Mevsimler kümesini liste biçiminde yazalım.

A = { İlkbahar, Yaz, Sonbahar, Kış }

2)2)Venn Venn ŞemasıŞeması

Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri ilesınırlı düzlem parçasının içinde noktalar ilegösterilmesidir. A = {a, e, i, o, u}

a e

i ou

A

3) Ortak Özellik Yöntemi3) Ortak Özellik Yöntemi

Bir A kümesinin elemanlarının ortak bir özelliği varsa A kümesi bir açık önerme şeklinde yazılarak gösterilebilir.

   A = {8'den küçük tek sayılar}

A = { 1, 3, 5, 7 }

Bir kümenin içine bir eleman yalnız bir kez yazılır.

            Aşağıdakilerden hangisi küme belirtir?a. { 0, 1, 2, 3, 1 }b. { 2, c, 3, 4, 2 }c. { 0, 1 }d. { a, d, a, n }

Kümenin eleman sayısı s(A) şeklinde gösterilir. 

A = { 12, 5, 6, 673, 8 } ise A = { 12, 5, 6, 673, 8 } ise 

A kümesinin eleman sayısı A kümesinin eleman sayısı s(s(AA)) = 5 ’tir. = 5 ’tir.

Boş Küme :Boş Küme : Hiç elemanı olmayan kümelerdir. Hiç elemanı olmayan kümelerdir. Boş küme veya Boş küme veya {}{} şeklinde gösterilir. şeklinde gösterilir.

2 ile 3 arasındaki doğal sayılar kümesi boş 2 ile 3 arasındaki doğal sayılar kümesi boş kümedir. kümedir.

{0} ve { } boş küme {0} ve { } boş küme değildirdeğildir..

Eşit Küme : Aynı elemanların oluşturduğu iki kümeye eşit küme denir. A kümesi, B kümesine eşit ise A = B şeklinde gösterilir.

  A = { +, 0, 3 }A = { +, 0, 3 }

 B = { 3, +, 0 }  ise B = { 3, +, 0 }  ise A = BA = B

Denk Küme : : Eleman sayıları aynı olan Eleman sayıları aynı olan kümelere denir. kümelere denir. s(A) = s(B) ise A B şeklinde gösterilir.s(A) = s(B) ise A B şeklinde gösterilir.

  A = { 1, 3, 5 } ve A = { 1, 3, 5 } ve

 B = { a, b, c } ise  B = { a, b, c } ise A BA B Eşit kümeler aynı zamanda denktir.Eşit kümeler aynı zamanda denktir.

A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı ise A'ya B'nin alt kümesi denir ve A B veya B A şeklinde gösterilir.

Alt küme işareti Kapsar işareti

• A B  ve  B A  ise  A = B,• A B  ve  B C  ise  A C dir.

A = { a, b, c }A = { a, b, c }B = { a, b }B = { a, b }C = { a } ise C B A C = { a } ise C B A veya A B C  veya A B C 

A = {a, b, c} kümesinin bütün alt kümeleri A = {a, b, c} kümesinin bütün alt kümeleri { } 0 elemanlı alt kümesi { } 0 elemanlı alt kümesi {a}, {b}, {c} 1 elemanlı alt kümeleri {a}, {b}, {c} 1 elemanlı alt kümeleri {a, b}, {a, c}, {b, c} 2 elemanlı alt {a, b}, {a, c}, {b, c} 2 elemanlı alt

kümeleri kümeleri {a, b, c} 3 elemanlı alt kümesi {a, b, c} 3 elemanlı alt kümesi Her küme kendisinin alt kümesidir.Her küme kendisinin alt kümesidir.

Boş küme her kümenin alt kümesidir.Boş küme her kümenin alt kümesidir.

8 elemanlı bir kümenin 8 elemanlı alt 8 elemanlı bir kümenin 8 elemanlı alt küme sayısını bulalım.küme sayısını bulalım.

1 tanedir. O da kümenin kendisidir.1 tanedir. O da kümenin kendisidir.

{a,b,c}{2,3} = {a,b,c,2,3} {2,3,5}{3,5,7} = {2,3,5,3,5,7} ={2,3,5,7}

Venn Şeması ile Kümelerde BirleşimVenn Şeması ile Kümelerde Birleşim

BA

A B

3 572

İki yada daha çok kümenin elemanlarını bir araya getirme işlemidir. A ve B iki küme ise bu iki kümenin birleşimi A B şeklinde gösterilir.

   A = { a, b, c, d, e }, B = { c, e, f, m } ise A B kümesini liste biçiminde yazalım.

A B = { a, b, c, d, e, f, m }'dir.

Kesişim İşlemi :Kesişim İşlemi :  İki yada daha çok kümenin   İki yada daha çok kümenin ortak elemanlarını bir araya getirme işlemidir. ortak elemanlarını bir araya getirme işlemidir. A ve B kümesinin ortak elemanlarının A ve B kümesinin ortak elemanlarının oluşturduğu küme A B şeklinde gösterilir.oluşturduğu küme A B şeklinde gösterilir.

A = { m, n, p, r }, B = { n, o, z, t } veriliyor. A = { m, n, p, r }, B = { n, o, z, t } veriliyor. A B kümesini liste biçiminde yazalım.A B kümesini liste biçiminde yazalım.

A B = { n } A B = { n }

A = { 1, 3, 5, 7 },  B = { 3, a, b } ise A B A = { 1, 3, 5, 7 },  B = { 3, a, b } ise A B kümesini şema ile gösterip tarayalım.kümesini şema ile gösterip tarayalım.

A BA B

Venn Diagram Venn Diagram İle Kesişim İşlemiİle Kesişim İşlemi

BA

A B

3 572

{{a,b,c}a,b,c}{2,3} = ___{2,3} = ___ {2,4,6}{2,4,6}{3,4,5}{3,4,5} = ______ = ______

Kümelerde KesişimKümelerde Kesişim

{4}

Ayrık KümelerAyrık Kümeler

Eğer iki kümenin kesişimi boş küme Eğer iki kümenin kesişimi boş küme ise , bu iki kümeye ise , bu iki kümeye ayrık kümelerayrık kümeler denir.denir.((AABB==))

Çift sayılar kümesi Çift sayılar kümesi

ile tek sayılar kümesi ile tek sayılar kümesi

ayrık kümelerdir.ayrık kümelerdir.

Yardım edin!!

Kümelerin ortak elemanlarını atarak elde Kümelerin ortak elemanlarını atarak elde edilen yeni kümeye fark kümesi denir. edilen yeni kümeye fark kümesi denir. "-" veya "\" ile gösterilir. "-" veya "\" ile gösterilir.

     A = { a, b, c, d, e },  B = { c, d, e, f } ise A \ A = { a, b, c, d, e },  B = { c, d, e, f } ise A \ B  ve  B \ A kümelerini liste biçiminde B  ve  B \ A kümelerini liste biçiminde yazalım. yazalım.

A \ B = { a, b }A \ B = { a, b }B \ A = { f }B \ A = { f }

FARKFARK

A = {3, 5, 7}, B =A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5}{2, 3, 5}

A A \\ B = {3, 5, 7} B = {3, 5, 7} \\ {2, 3,5}={7} {2, 3,5}={7}

Kümelerde farkKümelerde fark

{1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6} {2,3,5,7,9,11} = {2,3,5,7,9,11} = ___________ ___________{1,4,6}

Kümelerde fark – Venn ŞemasıKümelerde fark – Venn Şeması

AA--BB , A kümesinin , A kümesinin B’yi yedikten sonra kalan B’yi yedikten sonra kalan kısmı olmaktadır.kısmı olmaktadır.

A B

AB

Venn Venn ŞemasıŞeması İle Fark İşlemiİle Fark İşlemi

BA

A B

3 572

1) Hangi seçenekte (A B) \ C bölgesi taralı 1) Hangi seçenekte (A B) \ C bölgesi taralı olarak verilmiştir? olarak verilmiştir?

          A) B)A) B)        C) D)C) D)    

2)  Aşağıdaki ifadelerden hangisi küme 2)  Aşağıdaki ifadelerden hangisi küme belirtmez?belirtmez?

A) Sınıfımızdaki yeşil gözlü A) Sınıfımızdaki yeşil gözlü öğrencileröğrencilerB) Ankara’daki semtlerB) Ankara’daki semtlerC) Boyu 5 metre olan insanlarC) Boyu 5 metre olan insanlarD) Okul kitaplığındaki 5 kitapD) Okul kitaplığındaki 5 kitap

3) Aşağıdakilerden hangisi 3) Aşağıdakilerden hangisi boş boş kümedir?kümedir?

A) Okulumuzdaki çalışkan A) Okulumuzdaki çalışkan öğrencileröğrencilerB) 1' den küçük doğal sayılarB) 1' den küçük doğal sayılarC) 4' ten küçük çift doğal C) 4' ten küçük çift doğal sayılarsayılarD) 4 ayaklı tavuklarD) 4 ayaklı tavuklar

4) A = {*, a, 1, 4}, B = {1, 5, a} ve C = {4, a, 1} 4) A = {*, a, 1, 4}, B = {1, 5, a} ve C = {4, a, 1} kümeleri veriliyor. kümeleri veriliyor.

C \ (A B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?C \ (A B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?A){ }A){ }

B){4, a, 1}B){4, a, 1}

C){4, 1}C){4, 1}

D){*, a}D){*, a}

5)Taralı küme aşağıdakilerden 5)Taralı küme aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir?

A) (A C) \ BA) (A C) \ B

B) C \ (A B)       B) C \ (A B)       

C) B \ (A C)C) B \ (A C)

D) A \ (A B C)D) A \ (A B C)