C Á L C U L O S R Á P I D O S

Propiedad distributiva

Lola y su hermano calculan cuántos bocadillos llevarán para su excursión del fin de semana.

Podemos saber el número de bocadillos que llevarán en total de dos formas diferentes:

LLEVO 3BOCADILLOS DE ATÚN

PARA CADA UNO.SI YO LLEVO 4 DE JAMÓN

PARA CADA UNO, ¿CUÁNTOSLLEVAMOS EN TOTAL?

55 Calcula estas operaciones de dos formas distintas. Aplica la propiedad distributiva.

• 2 � (7 � 9) • 7 � (6 � 4) • (7 � 4) � 2

• 3 � (5 � 4) • 8 � (10 � 3) • (6 � 3) � 5

• 4 � (11 � 8) • 9 � (5 � 2) • (4 � 2 � 8) � 3

• 5 � (3 � 10 � 2) • 10 � (24 � 13 � 1) • (10 � 5 � 3) � 4

56 En el colegio de Juan compran 23 sillas y 23 pupitres. ¿Cuánto pagan por la compra?

• Calcula los resultados de dos formas distintas.

• Si el presupuesto para material es de2.100 euros, ¿tendrán suficiente dinero?¿Cuánto dinero faltará o sobrará?

Llevarán 14 bocadillos en total.

Obtenemos el mismo resultado: 2 � (3 � 4) � 2 � 3 � 2 � 4Esta propiedad es la propiedad distributiva de la multiplicación.

39 €

52 €

a Podemos sumar los bocadillos de cada uno ymultiplicar el resultado por 2.

Bocadillos de cada uno

Por 2 hermanos

Bocadillos en total

2 � (3 � 4) � 14

3 � 4

2 � 7

14

2 � 3 2 � 4

6 � 8

14

b Podemos calcular los bocadillos que llevacada hermano y sumar los resultados.

Bocadillos de atún y de jamón

Sumamos

Bocadillos en total

2 � 3 � 2 � 4 � 14

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Multiplicar números decimales por la unidad seguida de ceros

Carlos compara los precios de los CD en una tienda, y ve una buena oferta.

Como 5,50 � 5,20, Carlos aprovechará la oferta.

58 Realiza las siguientes operaciones.

• 0,75 � 10 • 1,45 � 10 • 12,544 � 10

• 0,34 � 100 • 4,56 � 100 • 524,43 � 100

• 0,483 � 1.000 • 6,89 � 1.000 • 0,8701 � 1.000

• 0,09 � 10.000 • 79,2 � 10.000 • 893,92 � 10.000

59 Los habitantes del pueblo de Josefa presumen de tenerintacta la torre de su castillo, y Josefa subirá sus100 escalones para comprobarlo.

• Si cada escalón tiene una altura de 0,185 metros, ¿quéaltura tiene la escalera de la torre?

• Si su hermano subió solo 10 escalones, ¿qué alturaalcanzó?

Podemos hacer los cálculos igual de rápido que Carlos.

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1.000... desplazamos la coma a la derecha tantoslugares como ceros acompañen a la unidad.

Se completa con ceros si es necesario.0, 5 5 � 10 � 5,5

EN LUGAR DE COMPRAR 10 CD SUELTOS,COMPRARÉ UN PAQUETE, PORQUE 10 CD

SUELTOS CUESTAN 5,50 €.

OFERTA10 CD5,20 €

1 CD0,55 €

100

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Redondear números decimales y dividir

59 Relaciona las siguientes divisiones con su cociente aproximado.

14,35 � 2 • • 3 • • 25,08 � 5

44,78 � 9 • • 6 • • 24,49 � 4

23,56 � 4 • • 5 • • 14,89 � 5

18,21 � 6 • • 7 • • 20,95 � 3

60 Javier tiene que guardar 6,4 litros de leche en botellas de 2 litros cada una. ¿Cuántas botellasllenará?

• Calcula el número de botellas aproximado.

• Calcula el número de botellas de manera exacta.

• Observa los datos, y razona cuántas botellas necesitará Javierrealmente.

1 Redondeamos el precio total a la unidad máscercana

5,76 € son aproximadamente 6 €.

2 Dividimos el resultado entre el númerode bebidas.

6 � 3 � 2

Fernando compra 3 refrescos antes de empezar una ruta por el monte con sus amigos. ¿Cuánto cuestacada bebida aproximadamente?

Veamos cómo hizo Fernando la división.

Cada bebida cuesta 2 euros aproximadamente.

SON 5,76 EUROSEN TOTAL

CADA BEBIDA CUESTA2 EUROS

APROXIMADAMENTE

6,4 l

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Criterio de divisibilidad del 11

En una fábrica tienen que clasificar 6.182 camisetas en grupos de 11.

Para saber si un número es divisible por 11 no es necesario hacer la división. Observa cómo lo podemosaveriguar.

TENEMOS 6.182CAMISETAS.

¡PERFECTO!, PODEMOS ORGANIZARLASEN GRUPOS DE 11 CAMISETAS CADA UNO.

67 Sin hacer la división, indica cuáles de los siguientes números son divisibles por 11.

• 54 • 231 • 1.243 • 13.024

• 22 • 478 • 2.794 • 26.325

• 89 • 569 • 4.444 • 51.698

• 99 • 572 • 6.349 • 85.360

68 Ayuda a Marcos a descubrir en qué portal vive Eva.

• Es un número de tres cifras.

• Es divisible por 5, pero no es divisible por 10.

• Es mayor que 267 y menor que 282.

• Es divisible por 11.

1 Sumamos por separado las cifras queocupan los lugares pares y los lugaresimpares del número.

Lugares impares: 1 � 2 � 3Lugares pares: 6 � 8 � 14

2 Hallamos la diferencia de las sumasy comprobamos si el resultado es divisiblepor 11.

14 � 3 � 11

Como 11 es divisible por 11, el número6.182 es divisible por 11.

Par Impar Par Impar6 1 8 2

¿CUÁL ESEL NÚMERO DETU PORTAL?

¡SIGUE MIS PISTASY LO SABRÁS!

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Calcular potencias de números acabados en ceros

Los empleados del comedor del colegio calculan la cantidad de leche que necesitan para este mes.

¡IMPOSIBLE!,20 LITROS DE LECHE

NO SON SUFICIENTES.NECESITAMOS 20 VECES

MÁS.

ENTONCESCOMPRAREMOS 202... MMM...

¡400 LITROS DE LECHE!

57 Calcula el valor de las siguientes potencias.

• 102 • 802 • 4002 • 203

• 302 • 902 • 5002 • 603

• 502 • 1002 • 1202 • 1003

• 702 • 2002 • 2102 • 3003

58 Luisa quiere hacer un puzle de más de 500 piezas pero menos de 1.000. ¿Cuáles de estos puzlespodría hacer?

1 Descomponemosla potencia en formade producto.

202 � 20 � 20

2 Descomponemos cadafactor y multiplicamospor separado.

3 Calculamos el resultadofinal.

Necesitan comprar 202 litros de leche para este mes, es decir, 400 litros de leche.

�

2 � 10 � 2 � 10

4 � 100

4 � 100

400

20 20

902

Observa cómo hacemos la operación rápidamente.

5021102 302

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Ordenar varias fracciones con distinto denominador

Estos tres alumnos comparan las respuestas positivas obtenidas en tres cuestionarios para saber quétipo de energía respeta más el medio ambiente.

La energía solar es la que respeta más el medio ambiente.

Podemos comparar rápidamente fracciones con distinto denominador.

ENERGÍA EÓLICA.DE 10 PREGUNTAS8 TIENEN RESPUESTA

POSITIVA.

ENERGÍA TÉRMICA DEL CARBÓN.

ESTA ES LA PEOR, SOLO �1320�

SON POSITIVAS.

ENERGÍA SOLAR.¡ESTA ES LA MEJOR,

TIENE �1280� RESPUESTAS

POSITIVAS!

53 Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.

, y , y , y , y

54 Marta ha ganado 7 de las 15 partidas de ajedrez que hajugado, y Macarena ganó 23 de 45 partidas. ¿Cuál de lasdos ha obtenido mejores resultados?

3�4

12�16

7�8

2�5

3�4

5�9

4�5

16�25

3�10

7�3

8�12

5�6

1 Escribimos fracciones equivalentescon el mismo denominador.

1 m.c.m.(10, 20, 30) � 60

Energía térmica � �

Energía solar � �

Energía eólica � �48�60

54�60

24�60

8�10

8 � 6�10 � 6

18�20

18 � 3�20 � 3

12 � 2�30 � 2

12�30

2 Ordenamos las fracciones según el ordende los numeradores.

24 � 48 � 54

� �

� �

Térmica Eólica Solar

8�10

18�20

12�30

24�60

48�60

54�60

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Sumar fracciones mediante productos cruzados

La clase de Ana ha ido de visita a una planta de reciclaje de residuos. Allí se separan los metalesdel resto de la basura.

Observa cómo se puede calcular rápidamente.

Ana tenía razón, se puede recuperar �11

12� del total del metal.

Observa que el número que hallamos como denominador es un múltiplo común a los dos denominadores,pero no es necesariamente el mínimo.

CREO QUE �11

12�

DEL METAL.

¿QUÉ CANTIDAD DE METALSE PUEDE RECUPERAR?

SEPARAMOS LOS METALES CON ESTOS POTENTES ELECTROIMANES.

EL PRIMERO EXTRAE �23� DE LOS METALES Y EL SEGUNDO �

14�.

50 Calcula la suma de las siguientes fracciones. ¿Es más fácil utilizar el método del mínimocomún múltiplo en algún caso? Razona tu respuesta.

• �25� � �

34� • �2

25� � �

14� • �

27� � �

14� • �

58� � �

34� • �

43� � �

89�

• �75� � �

67� • �

38� � �

13� • �

12� � �

58� • �

79� � �

56� • �1

30� � �2

45�

51 Claudia comió en casa de su amigo Luis. Su padre les preparó

un flan y tomaron �34�y �

25�, respectivamente.

• ¿Qué fracción del flan tomaron entre los dos?

• ¿Es posible que comieran esa cantidad cada uno? Explica por qué.

1 Hallamos fracciones equivalentesmultiplicando los términos de cada fracciónpor el denominador de la otra.

�23� � �

14� � �

23

�

�

44� � �

14

�

�

33� � �1

82� � �1

32�

2 Sumamos los numeradores y dejamos elmismo denominador.

�182� � �1

32� � �

81�2

3� � �

11

12�

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Series de números proporcionales

Andrés y Belén saben cómo averiguar la distancia a la que se encuentra una tormenta según el tiempoque pasa desde que vemos el rayo hasta que escuchamos el trueno.

Veamos cómo Andrés y Belén construyen mentalmente una serie de números proporcionales.

Dos series de números son proporcionales si podemos pasar de una serie a otra multiplicandoo dividiendo por el mismo número.

HAN PASADO9 SEGUNDOS.

LA TORMENTAESTÁ A 3 KILÓMETROS

DE NOSOTROS.CLARO, EL TIEMPO

QUE PASA ENTRE EL RAYOY EL TRUENO ES PROPORCIONAL

A LA DISTANCIA A LA QUEESTÁ LA TORMENTA.

53 Indica si las siguientes tablas de números son o no proporcionales, y si lo son indicacómo están relacionadas.

54 Javier dibuja un cartel para la tienda de su padre. El cartel indicalos precios por kilos hasta un total de 10 kilos de patatas. Si un kilode patatas vale 30 céntimos de euro, completa la tabla y respondea las siguientes preguntas.

• ¿Cuánto cuestan 4 kilos de patatas?

• ¿Cuántos kilos de patatas se pueden comprar con 2 euros y 20céntimos? ¿Sobra dinero?

3 6 9 12

1 2 3 4

Tiempo rayo - trueno (s)

Distancia (km)�3

1 2 3 4 5

16 32 48 64 80

5 10 15 20 25

20 40 60 80 100

1 2 3 4 5

3 6 9 12 16

4 6 8 10 12

5 7 9 11 13

Kilos Precio

1 30 CENT

23456789

10

CADA 3 SEGUNDOSQUE PASAN ENTRE RAYOY TRUENO, LA TORMENTA

SE ALEJA 1 KM.

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Transformar unidades

Julia va de vacaciones con su familia a Asturias y en el trayecto ve uno de los puentes más grandes del mundo.

Observa cómo transforma Julia unas unidades en otras.

El puente tiene 123 m de alto y 572 m de largo.

Observa que para unidades de capacidad o de masa la estrategia funciona de la misma manera.

49 Transforma estas cantidades según la unidad de medida que se indica.

• 20 dm � dam • 72 m � cm • 4.500 cm � dam

• 0,345 kg � hg • 345,56 dag � kg • 645 mg � dg

• 340,07 l � cl • 65 dal � hl • 46,879 hl � l

50 El padre de Pablo le ha pedido que guarde los 5 l de aceitede una garrafa en botellitas de 25 cl cada una. ¿Cuántasbotellas tendrá que llenar Pablo?

1 Contamos el número de “saltos” que hayque dar para pasar de una unidad a otra.

2 Multiplicamos o dividimos por la unidadseguida de tantos ceros como “saltos”.

3 saltos abajo � 1.000

2 saltos arriba � 100

Largo 0,572 � 1.000 � 572 m

Alto 12.300 � 100 � 123 m

Largo del puente: 0,572 kmAlto columnas: 12.300 cm

Kilo

Hecto

Deca

Unidad principal

Deci

Centi

Mili

Damos 3 saltoshacia abajo

Damos 2 saltoshacia arriba

¡GUAU! ¿CUÁNTOSMETROS TIENE?

123 M DE ALTO Y 572 M DE LARGO.

5 l

25 cl

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Sumar varios números enteros

En el colegio de Susana todas las clases participan en un programa de reciclaje de juguetes.

Veamos cómo ha hecho Susana los cálculos:

56 Calcula los valores siguientes agrupando las cantidades según su signo.

• 10 � 5 � 40 � 3 • 67 � 7 � 40 • � 4 � 23 � 19 � 1

• 23 � 7 � 3 � 17 • 3 � 45 � 23 � 7 • 7 � 25 � 4 � 6

• 35 � 4 � 14 � 5 • � 90 � 100 � 25 • 34 � 44 � 5

57 En la ciudad de José a principio de semana había23 �C de temperatura. A lo largo de la semana sehan ido produciendo los cambios de temperaturaque se indican en la tabla con respecto al díaanterior. Calcula la temperatura de la ciudadel viernes.

LA SEMANA PASADA ARREGLAMOS 250 Y ESTASEMANA VAMOS A ARREGLAR OTROS TANTOS.

DE LOS 1.400 JUGUETES QUE NOS HANTRAÍDO, 360 ESTÁN ROTOS Y 145

ESTÁN DEFECTUOSOS.

DESPUÉS DELA CAMPAÑA

TENDREMOS 1.395JUGUETES.

1 Tenemos que resolver esta expresión:

1.400 � 360 � 145 � 250 � 250

2 Agrupamos los números enteros positivos.

1.400 � 250 � 250 � 1.900

3 Agrupamos los números enteros negativos:

�360 � 145 � �505

4 Por último, operamos con las doscantidades.

1.900 � 505 � 1.395

Lunes �1 �C

Martes �3 �C

Miércoles �2 �C

Jueves �2 �C

Viernes �1 �C

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Estimar la medida de ángulos y sumar

Los alumnos de Julián han visitado unas excavaciones arqueológicas.

Los ángulos suman aproximadamente 180�.

44 Une cada dibujo con el valor aproximado del ángulo que forma.

45 Pascual utiliza trozos de tela para hacer un mantel circular.

• ¿Qué ángulo podrá cubrir con las telas?

• En el caso de necesitar más tela, ¿qué ángulo le faltaría porcubrir?

LOS RESTOSDE PIEDRA FORMABAN

UN HACHA.

SI OS FIJÁIS, LA SUMADE LOS ÁNGULOS SEAPROXIMA A 180�.

1 Aproximamos la medida de un ángulode cada pieza.

2 Sumamos las cantidades aproximadas.

45 � � 45 � � 60 � � 30 � � 180 �

458458

608

308458

458 608

308

30� 45� 90� 60�

90�

60�30� 90�

45�

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Calcular el área de una parte de una figura

Un grupo de restauradores están arreglando una iglesia gótica.

Observa cómo ha hecho los cálculos el aprendiz.

Necesitan 4 dm2 de vidrio rojo para la vidriera.

CADA CUADRADOMIDE 1 DM2. ¿QUÉ SUPERFICIEDE VIDRIO ROJO NECESITAMOS

PARA LA VIDRIERA?

39 Calcula ahora el área que ocupacada color en las siguientesfiguras.

40 Marta quiere poner dos tipos de baldosas distintas en susalón de acuerdo al dibujo. ¿Qué área ocupa cada tipode baldosas?

1 Calculamos el área total de la figura. 2 Buscamos la fracción del área totalque ocupa el color rojo.

El color rojo ocupa 4 dm2.

�14� de 16 dm2 � 4 dm2

4 DM2

4 m

8 m

4 dm

4 dm

1 dm2

4 dm � 4 dm � 16 dm2

La vidriera tiene 16 dm2 de superficie.

6 m

10 m

12,56 dm2

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Estimar el área de superficies circulares

La clase de Marga visita el Congreso de los Diputados. Ahora están en el Salón de Plenos, dondese reúnen los diputados para realizar y discutir las leyes.

Hacemos las cuentas como las hizo Marga. Redondeamos el valor de �.

Observa que el área que obtenemos es menor que el área real porque tomamos un valor menor que �.

El área del semicírculo es un poco mayor que 600 m2.

ALGO MÁSDE 600 M2.

¿CÓMO LO HASHECHO?

ESTE SALÓN ES UNSEMICÍRCULO DE UNOS20 M DE RADIO. ¿QUÉSUPERFICIE OCUPA?

54 Estima el área de las siguientes chapas. Indica si el área calculada será mayor o menorque el área real.

55 Matilde quiere poner un cristal al reloj que tiene enla pared. ¿Qué superficie tendrá que pedir al cristalero?

1 Hallamos el área aproximada del círculotomando 3 como valor de �.

Radio: 20

Elevamos al cuadrado: 202 � 20 � 20 � 400

Multiplicamos por 3: 400 � 3 � 1.200

2 Para calcular el área aproximadadel semicírculo dividimos entre 2.

Área del círculo→ 1.200 m2

1.200 � 2 � 600

Área del semicírculo→ 600 m2

1 cm 2,5 cm 2 cm8 mm

d � 50 cm

A � � � r2

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Calcular mentalmente el volumen de algunos objetos

En la fábrica de juguetes han apilado varias cajas del mismo tamaño formando un prisma rectangular.

Veamos cómo ha calculado Pablo el número total de cajas apiladas.

En total hay 120 cajas apiladas.

¿CUÁNTAS CAJASHAY APILADAS?

TODAS LAS CAJASSON IGUALES. HAY 120

CAJAS EN TOTAL.

40 Si cada cubo de estas figuras tiene un volumen de 1 dm3, calcula el volumen que ocupancada una de ellas.

41 Dibuja en tu cuaderno tres figuras distintas formadas por cubos de 1 cm3 y que todas tenganun volumen de 10 cm3.

1 Calculamos las cajas de cada pisodel prisma rectangular.

4 � 6 � 24

2 Multiplicamos por el número de pisos.

24 � 5 � 120

C Á L C U L O S R Á P I D O S

Obtener información rápidamente a partir de gráficos

Luis ve en el periódico unos datos sobre la población de tres países europeos.

Para saber en qué país hay más de un 20% de personas menores de 15 años hacemos lo siguiente:

Los menores de 15 años superan el 20% de la población solo en Irlanda.

¿EN QUÉ PAÍS LOS MENORES

DE 15 AÑOS SUPERAN

EL 20 % DE LA POBLACIÓN?

44 Observa el gráfico anterior y responde a las siguientes preguntas.

• ¿En qué franja de edad estarías representado? ¿Y tu profesor?

• ¿Cuál es el país con menor población infantil?

• ¿Qué país tiene menor porcentaje de personas mayores de 50 años?

45 Ayuda a Jesús a encontrar cuál de estos gráficos representa la misma información.

1 Buscamos en el eje horizontal las columnasque representan a la población menorde 15 años.

2 Buscamos el 20% en el eje vertical,y elegimos el país cuya columna supereeste valor.

0 50 1000

50

100

<1505

101520

%

,15

%

05

101520

05

10152025303540

, 15 15 a 24 25 a 49 . 49

%

AlemaniaEspañaIrlanda

Años